Binomul lui NewtonBinomul lui Newton

Se cunosc următoarele formule de calcul prescurtatSe cunosc următoarele formule de calcul prescurtat: (a+b): (a+b)11=a+b; (a+b)=a+b; (a+b)22=1=1··aa22+2ab+1+2ab+1··bb22; (a+b); (a+b)33= a= a33+3a+3a22b+3abb+3ab22+b+b3.3.

Acestea se pot scrie astfel: Acestea se pot scrie astfel:

(a+b)(a+b)11=C=C0011a+Ca+C111 1 b (a+b)b (a+b)22=C=C22

00aa22+C+C2211ab+Cab+C

2222bb22 (a+b)(a+b)33= C= C33

00aa33+C+C3311aa22b+Cb+C

3322abab22+C+C33

33bb33

Dacă generalizăm cele de mai sus obDacă generalizăm cele de mai sus obŃŃinem:inem:

(a+b)(a+b)nn=C=Cnn00aann+C+Cnn

11aann--11b+Cb+Cnn22aann--22bb22+...+C+...+Cnn

kkaann--kkbbkk+...+C+...+Cnnnn--11ababnn--11+C+Cnn

nnbbnn

cunoscută sub numele decunoscută sub numele de ““binomul lui Newtonbinomul lui Newton””..

Formula (Formula (dezvoltarea binomuluidezvoltarea binomului) lui Newton se mai scrie astfel: ) lui Newton se mai scrie astfel: ( ) kkn

n

k

k

n

n

baCba−

=∑=+

0

Termenul general al acestei sume , Termenul general al acestei sume , TTk++1k++1=C=Cnnkkaann--kkbbkk , k=0,...,n se nume, k=0,...,n se numeşşte termenul de rang te termenul de rang ““k+1k+1”” al al

dezvoltării binomuluidezvoltării binomului..

ObservaObservaŃŃie :ie : Dezvoltarea binomială con Dezvoltarea binomială conŃŃine ( n+1) termeni.ine ( n+1) termeni.

Numerele CNumerele Cnnkk se numesc se numesc coeficiencoeficienŃŃi binomialii binomiali ai dezvoltării ai dezvoltării..

ObservaObservaŃŃie:ie:

Să se facă distincSă se facă distincŃŃie ie îîntre ntre coeficientul unui termencoeficientul unui termen al dezvoltării al dezvoltării după formula lui Newtondupă formula lui Newton

şşi i coeficientul binomial al aceluiacoeficientul binomial al aceluiaşşi termeni termen. .

De exemplu, De exemplu, îîn dezvoltarea: (a + 2b)n dezvoltarea: (a + 2b)4 4 = a= a44 + 8a+ 8a33b + 24ab + 24a22bb22 + + 3232abab33 + 16b+ 16b44

coeficientul coeficientul celui decelui de--al patrulea termen al dezvoltării este al patrulea termen al dezvoltării este 3232, iar , iar coeficientul său binomialcoeficientul său binomial este este CC4433 = 4.= 4.

ExerciExerciŃŃiiii:: a)a) Să se pună Să se pună îîn evidenn evidenŃŃă ă termenii dezvoltăriitermenii dezvoltării

TT88 = T= T7+17+1 = = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (x(x33))1111= = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅xx33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅77 = = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xx2121 = = 330x= = 330x1818. .

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ T8 = 330xT8 = 330x1818..

( x + 3y)( x + 3y)33..

(x + 3y)(x + 3y)33 = x= x33 + 3x+ 3x22⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3y + 3x(3y)3y + 3x(3y)22 +(3y)+(3y)33 = x= x33 + 9x+ 9x22y + 3xy + 3x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9y9y22 +27y+27y33 = x= x33 + 9x+ 9x22y + 27xyy + 27xy22 +27y+27y33. .

b)b) Să Să se dezvoltese dezvolte după formula lui Newton după formula lui Newton :: (x + 2 )(x + 2 )77

Rezolvare:Rezolvare:

(x + 2 )(x + 2 )77 = x= x77+ 7x+ 7x66⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2 + 21x2 + 21x55⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2222 + 35x+ 35x44⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2233 + 35x+ 35x33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2244 +21x+21x22⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2255 + 7x+ 7x⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2266 + 2+ 277 ==xx77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 35+ 35⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8x8x44 + 35+ 35⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅16x16x33+ 21+ 21⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅32x32x22 + 7+ 7⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅64x+ 132 = 64x+ 132 =

xx77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 280x+ 280x44 + 560x+ 560x33+ 652x+ 652x22 + 448x+ 132. + 448x+ 132. ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒(x + 2 )(x + 2 )77 = x= x77+ 14x+ 14x66 + 84x+ 84x55 + 280x+ 280x44 + 560x+ 560x33+ 652x+ 652x22 + 448x+ 132. + 448x+ 132.

=

( )72 aba +

C47

447

aba2−

)!47(!4

!7

−

3

a2!3!4

765!4 ⋅⋅⋅

a6

765 ⋅⋅a a

a

c)c) Să se determine Să se determine termenul termenul al cincileaal cincilea al dezvoltării al dezvoltării

I. TI. T55 = T= T4+14+1 ==

⋅

= = a2b2 = 2aa2b2 ==

2a3b2 = 84 a3b2 ⇒ T5= 84 a3b2

d)d) AflaAflaŃŃi termenul i termenul al optulea al dezvoltăriial optulea al dezvoltării

11

3xx

1

+

C711

711

x

1−

)!711(!7

!11

−

3

x

1

!4!7

111098!7 ⋅⋅⋅⋅3x

1

4321

111098

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3

21

x

x

e)e) AflaAflaŃŃi termenul i termenul îîn care n care nu apare xnu apare x din dezvoltarea din dezvoltarea

21

5

x

1x

+

TTk+1k+1 ==k

k215k

21x

1xC

−=

k

2

1

k21

5

1

k21

x

1xC

−

=

k

2

1

k21

5

1

k21

x

1xC

−

=

2

k5

k21

k21

x

1xC

−

=

2

k

5

k21

k21

x

xC

−

= 2

k

5

k21

k21xC

−−

Cum x nu apare Cum x nu apare îîn termenul Tn termenul Tk+1k+1 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ x este o putere cu exponentul 0 x este o putere cu exponentul 0 şşi baza xi baza x

Pentru căPentru că: :

x0 = 1 ⇒ = x 0 ⇒ ⇒ k = 6k = 6. ⇒2

k

5

k21

x−

−

02

k

5

k21=−

−

Termenul Termenul îîn care nu apare x este termenul al n care nu apare x este termenul al şşaseleaaselea

f)f) AflaAflaŃŃi termenul care i termenul care îîl conl conŃŃine pe aine pe a4 4 ,,din dezvoltareadin dezvoltarea

13

3 a

3

3

a

+

TTk+1k+1 ==

k

3

k13

k13

a

3

3

aC

−

=

k

3

1

k13

2

1

k13

a

3

3

aC

−

=

k

3

1

k

k13

k13

2

1

k13

a

3

3

a

C

⋅

−

−

=

3

k

2

k13

k13

k

k13

a

a

3

3C

−

− ⋅ = 3

k

2

k13

)k13(kk13 a3C

−−

−− ⋅

3

k

2

k13

a−

−

43

k

2

k13=−

−

Cum aCum a44∈∈∈∈∈∈∈∈ TTk+1k+1 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

= a= a44 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ k k =3 =3 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

Termenul care Termenul care îîl conl conŃŃine pe aine pe a44 este termenul al treilea. este termenul al treilea.

BINOMUL LUI NEWTON-TEST-1 1. Binomul lui Newton are formula

(a+b)n = aCno

n + baC1n1

n− + baC

22n2n

− +…+ baCkknk

n− +…+ baC

1n1nn

−− + bCnn

n

2. Termenul general este: Tk+1 = baCkknk

n−

ExerciŃiu: 1 ( x + 3y)3.

R: (x + 3y)3 = x

3 + 3x

2⋅3y + 3x(3y)2 +(3y)3 = x3 + 9x2y + 3x⋅9y2 +27y3 = x3 + 9x2y + 27xy2 +27y3.

1. ( )4ba −

R: ( )4ba − = 4

a + 43

a (– b )+6 ( )22

ba − +4 a (–3

b )+ (–4

b ) =

a2 – 43

a b +6ab – 4 a3

b + b2

2. (x + 2 )7

R: x7+ 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3+ 652x2 + 448x+ 132

EXERCITUL 2

. Să se determine termenul al optulea al dezvoltării ( )7aba2 −

R: 84 a3b2 a

Să se determine termenul al cincilea al dezvoltării

11

3xx

1

+

R: 330x18.

Să se determine termenul în care nu apare x din dezvoltarea

21

5

x

1x

+

R: k=6

Să se determine termenul din dezvoltarea

13

3 a

3

3

a

+ care îl conŃine pe a4.

R: k =3

Să se pună în evidenŃă termenii dezvoltării

Să se dezvolte după formula lui Newton următoarele binoame:

Dacă Dacă n este parn este par (n=2m) ,atunci termenul (n=2m) ,atunci termenul TTm+1m+1=C=Cnnmmaamm--nnbbmm ,este termenul situat ,este termenul situat îîn n mijlocul sumeimijlocul sumei

dezvoltării binomialedezvoltării binomiale,iar ,iar CCnnmm este cel mai mareeste cel mai mare dintre todintre toŃŃi coeficieni coeficienŃŃii binomiali.ii binomiali.

Dacă Dacă n este imparn este impar (n=m+1) ,atunci termenii (n=m+1) ,atunci termenii TTm+1m+1 şşi Ti Tm+2m+2 sunt termernii din mijloculsunt termernii din mijlocul dezvoltării dezvoltării

binomiale,iar binomiale,iar CCmm2m+12m+1 =C=Cm+1m+1

2m+12m+1 sunt coeficiensunt coeficienŃŃii binomiali ii binomiali cei mai mari.cei mai mari.

ObservaObservaŃŃie:ie:

Termenii consecutiviTermenii consecutivi TTk+1k+1= C= Cnnkkaann--kkbbkk şşi Ti Tk+2k+2=C=Cnn

k+1k+1aann--kk--11bbk+1k+1 sunt legasunt legaŃŃi de relai de relaŃŃia :ia :

CoeficienCoeficienŃŃii binomialiii binomiali ai termenilor ai termenilor egal depărtaegal depărtaŃŃii de capetelede capetele dezvoltării dezvoltării sunt egalisunt egali: : CCnnkk=C=Cnn

nn--kk

((conform formulei combinărilor complementareconform formulei combinărilor complementare.).)

121

++ ⋅+−

=kkTa

b

k

knT

IdentităIdentităŃŃi i îîn calculul cu combinărin calculul cu combinări

Numerele CNumerele Cnnkk au o serie de proprietă au o serie de proprietăŃŃi interesante.i interesante.

Indicăm mai jos c Indicăm mai jos cîîteva dintre acestea teva dintre acestea şşi stabilim o serie de identităi stabilim o serie de identităŃŃi pe care le verifică coeficieni pe care le verifică coeficienŃŃii binomiali. ii binomiali.

Amintim mai Amintim mai îîntntîîi următoarele formulei următoarele formule

CCnnkk = C= Cnn--kknn ,, (1)(1)

CCn+1n+1k k = C= C

nnk k + C+ Cnn

kk--11 ,, (2)(2)

CC°°nn++CCnn11 + ... + ... + C+ Cnn

nn= 2= 2nn,, (3)(3)

Suma coeficienSuma coeficienŃŃilorilor binomiali.binomiali.

Dacă Dacă îîn dezvoltarea binomială alegem an dezvoltarea binomială alegem a=b=1 =>=b=1 => CCnn0 0 +C+Cnn

11+C+Cnn22+...+C+...+Cnn

nn=2=2n n adică adică (3)(3)

((aa++bb))nn==CCnn00aann++CCnn

11aann--11bb++CCnn22aann--22bb22+...++...+CCnn

kkaann--kkbbkk+...++...+CCnnnn--11ababnn--11++CCnn

nnbbn n (*)(*)

Dacă Dacă îîn formula binomului lui Newton se pune n formula binomului lui Newton se pune a = a = 1, 1, b b = = ——1,se ob1,se obŃŃine egalitatea:ine egalitatea:

CCnn00 ––CCnn

11 + C+ Cnn22-- ... + (... + (--1)1)nnCCnn

nn= 0.= 0. (4)(4)

Pe baza egalităPe baza egalităŃŃilor (3) ilor (3) şşi (i (4) 4) rezultărezultă

CCnn00 + C+ Cnn

22 + C+ Cnn44 + ... = C+ ... = C

nn11 + + CCnn

33 + C+ Cnn55 + ... = 2+ ... = 2nn--11.. (5)(5)

Deci, Deci, suma coeficiensuma coeficienŃŃilor binomiali ai termenilor de rang impar este egală cu suma coilor binomiali ai termenilor de rang impar este egală cu suma coeficieneficienŃŃilor binomiali ai termenilor ilor binomiali ai termenilor

de rang parde rang par

Vom stabili Vom stabili îîn continuare alte cn continuare alte cîîteva formule combinatorii importanteteva formule combinatorii importante