BE2

CIRCUITE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

Cea mai mare parte a circuitelor electrice funcţionează parcurse de semnale variabile în timp. Astfel, transmisia la distanţă a energiei electromagnetice se face pe linii parcurse de curenţi alternativi. Cele mai simple maşini electrice generatoare de energie electrică sunt alternatoarele care produc tensiuni electromotoare sinusoidale în timp, cele mai simple motoare electrice sunt de curent alternativ, semnalele de telecomunicaţii sunt suprapuneri de semnale sinusoidale. Circuitele liniare funcţionând în regim periodic pot conţine: -elemente de circuit pasive: rezistoare caracterizate de parametrul rezistenţa R, bobine caracterizate de parametrul inductivitate proprie L şi inductivitate mutuală M (în cazul bobinelor cuplate magnetic), condensatoare caracterizate de parametrul capacitate C; -elemente de circuit active: generatoare independente şi comandate de tensiune şi curent Bobina sau inductanţă

Bobina electrică este un element pasiv conservativ, care înmagazinează energie

wm în câmpul său magnetic. Bobina este o înfăşurare de spire dispuse pe un miez. Acesta poate fi aer sau un material nemagnetic sau poate fi din fier sau ferite, deci un material magnetic. La trecerea curentului prin spire, se produce un flux magnetic care înconjoară spirele.

Parametrul bobinei numit inductivitate electrică L exprimă dependenţa dintre intensitatea curentului electric i ce parcurge bobina şi fluxul magnetic produs de curentul ce trece prin bobină. În sistemul internaţional (SI), inductivitatea electrică, L, se măsoară în H (Henry).

LiΨ

Grafic inductivitatea este dată de caracteristica bobnei flux magnetic funcţie de curent.

Dacă caracteristica este o dreaptă , atunci L = ct şi bobina se numeşte liniară (în cazul bobinei cu aer) iar dacă caracteristina este neliniară, atunci inductivitatea este variabilă şi bobina se numește neliniară (bobin cu miez feromagnetic). Bobinele neliniare pot avea caracteristica (i) o curbă sau un ciclu de histerezis.

Din legea inducţiei electromagnetice se ştie că orice variaţie a fluxului magnetic produce o tensiune. Folosind această lege, între tensiunea și curentul de la bornele bobinei există relaţiile

dt

diLu

respectiv

tttudt

L)(i)udtudt(

Ludt

Li

00

0 10

11

unde i(0) reprezintă curentul iniţial prin bobină. Functionarea bobinei in curent continuu, Deoarece i=ct, derivata este zero, deci tensiunea electrică pe bobină este nulă.

+ i=ct

u=0

Bobina ideală în c.c. este echivalentă conceptului de scurtcircuit între cele două borne ale sale, deci rezistenţa electrică a bobinei este practic nulă, r=0. Functionarea bobinei la o variaţie bruscă a

curentului dtdi

, deci tensiunea ar putea

atinge valori infinit de mari, ceea ce în realitate nu este posibil. Aceasta conduce la concluzia că printr-o bobină curentul nu se poate modifica instantaneu. Deci, la un stimul exterior brusc , curentul prin bobină îşi păstrează continuitatea, adică imposibilitatea de a varia brusc. El poate varia doar într-un interval de timp dat de constanta de timp a circuitului în care se află conectată bobina.

+ Li t( )

u t( )

Energia înmagazinată în câmpul magnetic este:

22m Ψ

2L

1Li

2

1Ψi

2

1w

Condensatorul

Condensatorul electric este un element pasiv, conservativ, care înmagazinează energie we în câmpul său

electric.

C--

+++

Un condensator este un ansamblu format din două suprafeţe conductoare, numite armături, separate printr-un material izolator numit dielectric. Parametrul său, capacitatea electrică C, exprimă dependenţa dintre tensiunea electrică

u dintre armăturile condensatorului şi sarcinile electrice libere ( egale şi de semn contrar) q de pe armături. Matematic relaţia de legătură este

t

T

a

A

-A

m

m

0

a

Cuq iar grafic este dată de caracteristica q(u) : sarcina electrică funcţie de tensiune. Relaţia de mai sus arată faptul că sarcinile acumulate pe armăturile condensatorului sunt proporţionale cu tensiunea dintre armături, factor de proporţionalitate fiind capacitatea C. Unitatea de măsură în SI este F(farad). Dacă se porneşte de la definiţia intensităţii curentului electric se obţine.

dt

duC

dt

dqi

t

tt

dt)t(iC

)(u

)dt)t(idt)t(i(C

dt)t(iC

)t(u

0

0

0

10

11

unde u(0) este tensiunea dată de sarcina ce se acumulează pe armături pe intervalul (- ,0) şi care poartă numele de valoarea iniţială a tensiunii. Functionarea condensatorului in c.c Deoarece u=ct, derivata este zero, deci intensitatea curentului electric prin co r, ndensato

0dtdu

i , este nulă iar condensatorul este

echivalent unui circuit deschis între cele două borne ale sale re, spectiv r = .

In c.c. un condensator este un circuit deschis sau gol (r= ).

Functionarea condensatorului la o variaţie

bruscă a tensiunii Deoarece dtdu

, curentul

prin condensator ar putea atinge valori infinite, ceea ce în realitate nu este posibil. Tensiunea la bornele unui condensator nu poate varia brusc la un stimul exterior brusc, deci se păstrează continuitatea tensiunii la borne. Condensatorul poate fi liniar sau neliniar după cum capacitatea este constantă în cazul condensatorului liniar sau variabilă în cazul condensatorului neliniar. Condensatorul , ca forme geometrice clasice este:

plan d

AC

cilindric

1

2

2R

C

Rln

l

sferic 12

2

R

RC

14

R

R

Valori normale ale capacităţii sunt între 1pF până la 50mF dar poate ajunge la 1 F sau valori mai mari. Energia înmagazinată în câmpul electric al unui condensator este:

22e q

2C

1Cu

2

1

2

1w uq

SEMNALE PERIODICE Un semnal este periodic este semnalul care se repetă trecând prin aceleaşi valori şi în acelaşi sens (crescător sau descrescător) după un acelaşi interval de timp. Intervalul de timp după care semnalele se repetă se numeşte perioadă şi se notează cu T. Inversul perioadei se numeşte frecvenţă f. Frecvenţa se defineşte ca fiind numărul de perioade efectuate de semnal în unitatea de timp. Perioada T se măsoară în SI în secunde (s) iar frecvenţa f în hertzi (Hz). Expresia analitică a unui semnal periodic este:

)kTt(a)t(a

unde k este un număr întreg ,...,k 21 CSEMNALE SINUSOIDALE

i=0

+Semnalele sinusoidale sunt funcţii de timp a căror formă de variaţie în timp este identică cu un semnal sinusoidal sau cosinusoidal.

u t( )

Expresia analitică a unui semnal sinusoidal este: )tsin(A)t(a am

unde: : valoarea instantanee a semnalului (valoarea în orice moment t considerat); reprezintă valoarea maximă

a semnalului sau amplitudinea; este pulsaţia

)t(a

0mA

având ca unitate de măsură srad ;

0 a

t( a

reprezintă faza iniţială a semnalului în sinus cu unitatea de măsură radiani (rad);

reprezintă faza semnalului în sinus cu unitatea de măsură. (rad),

)

0f2T2

MARIMI CARACTERISTICE ALE SEMNALELOR SINUSOIDALE 1. Valoarea instantanee este valoarea semnalului la un timp dat t . Valoarea instantanee se notează cu a(t) 2. Valoarea medie pe o perioadă a unui semnal sinusoidal este:

01

0

Tam dt)tsin(A

Tmeda

Pentru semnalele sinusoidale, s-a convenit calculul valorii medii pentru o semiperioadă. Astfel, se obţine:

mT

amA

dt)tsin(AT

220meda

3. Valoarea efectivă Valoarea efectivă a unui curent definită pe un interval de timp, perioada T, a curentului i(t) este intensitatea curentului continuu ce ar dezvolta aceeaşi cantitate de căldură pe un rezistor în acelaşi interval de timp. Valoarea efectivă a unui semnal a(t) este

2

10

2 mTam

Adt)]tsin(A[

T A

Folosind valoarea efectivă, semnalele sinusoidale se pot scrie de forma:

)tsin(A)t(a a 2

expresie numită forma normală în sinus a semnalelor periodice sinusoidale. 4. Factorul de varf (de amplitudine)

4112 ,A

Ak m

a

5. Factorul de formă

1112222

,A

A

A

Ak

m

m

medf


MARIMI CARACTERISTICE ALE SEMNALELOR SINUSOIDALE 1. Valoarea instantanee este valoarea a(t) 2. Valoarea medie

01

0

Tammed dt)tsin(A

Ta

mT

ammedA

dt)tsin(AT

a22

0

3. Valoarea efectivă Valoarea efectivă a unui semnal a(t) este

2

10

2 mTam

Adt)]tsin(A[

TA

4. Factorul de varf (de amplitudine)

4112 ,A

Ak m

a

5. Factorul de formă

1112222

,A

A

A

Ak

m

m

medf

OPERAŢII CU SEMNALE SINUSOIDALE O mărime sinusoidală este complet determinată dacă se cunosc două mărimi: valoarea efectivă A şi faza iniţială a

Poziţia relativă a două semnale sinusoidale Două mărimi sinusoidale, de aceeaşi frecvenţă, se numesc defazate dacă diferenţa fazelor iniţiale este nenulă. Fie două semnale,

)tsin(A)t(a a111 2 şi

)tsin(A)t(a a222 2

Defazajul dintre cele două semnale sinusoidale se notează cu se măsoară în radiani 12

2112 aa

Dacă: 012

2a

semnalul este defazat înaintea lui

1a

012

2a

semnalul este defazat în urma lui

1a

012 semnalele şi sunt în fază )t(a1 )t(a2

(sinfazice) (ambele mărimi trec simultan prin zero şi maxim pozitiv).

212 semnalele şi sunt în

cuadratură (un semnal trece prin maxim iar celălalt prin zero)

)t(a1 )t(a2

12 semnalele )t(a1 şi )t(a2 sunt în

opoziţie de fază (ambele trec simultan prin zero, dar când una trece prin maxim pozitiv, ealaltă trece prin maxim negativ). c

tT

T2

a

a

a

1

2

a t( )

a t( )

1

2

Multiplicarea cu scalari

Fie scalarul (pozitiv sau negativ) care multiplică semnalul sinusoidal

)tsin(A)t(a a 2 . Se obţine:

)tsin(A)t(a 2

a cărei valoare efectivă este de

a

ori mai mare şi are aceeaşi fază lă cu semnalul considerat. Semn

iniţiaalele sunt

mnale în fază.

Adunarea mărim r sinusoidale

)t(a1 şi )t(a

se Adunarea

ilo

)tsin(A)t(a a111 2

)tsin(A)t(a 22 2 a 2

)t(a : conduce la semnalul

)tsin(A)t(a)t(a)t(a a 221

este:

a cărui valoare efectivă A

)cos(AAAAA aa 212122

21 2 şi faza

iniţială a este: 22

2

A

A

11

211

aa

aaa coscosA

sinsinAarctg

în raport cu timpul a semnalului

sinusoidal

Derivarea Derivarea

)tsin(A)t(a a 2 este:

)tsin(A)tcos(Adt aa 2

Derivata este tot un semnal sinusoidal d aceeaşi frecvenţă, cu valoarea efectivă de

da22

e

ori mai mare şi defazat cu 2 înaintea

semnalului original.

Integrarea

Integrala în raport cu timpul a semnalului

sinusoidal )tsin(A)t(a a 2 este:

)tsin(A

)tcos(A

dt)tsin(Adt)t(a

a

aa

2

2

22

Semnalul corespunzător integralei este de asemenea sinusoidal de aceeaşi frecvenţă având valoarea efectivă de ori mai mică şi defazat cu 2 în urma semnalului original.

REPREZENTARI SIMBOLICE ALE SEMNALELOR SINUSOIDALE Reprezentarea simbolică prin fazori (geometrică)

Unui semnal sinusoidal )tsin(A)t(a a 2 , i

se poate asocia un vector fix din plan numit fazor daca: - lungimea acestuia este egală cu valoarea efectivă a semnalului; - unghiul format cu axa Ox numita origine de fază este egal cu faza iniţială a semnalului Corespondenţa biunivocă este:

aA)a(F)t(a

Unghiul fazei iniţiale se măsoară de la axa origine de fază şi este pozitiv în sens trigonometric şi negativ în sens orar.

Operaţiile cu mărimi sinusoidale se transpun astfel în metoda simbolică geometrică:

Multiplicarea cu un scalar a unui semnal sinusoidal conduce la semnalul )t(a )t(a căruia îi corespunde un vector de lungime A şi

aceeaşi fază iniţială a

Fazorul ataşat semnalului multiplicat

cu scalarul este coliniar cu fazorul ataşat semnalului

)t(a , având doar

lungimea amplif atic ă cu .

Adunarea a două semnale şi

conduce la semnalul ceea ce corespunde la

adunarea grafică a

fazorilor ataşaţi celor două semnale

paralelogramului

)t(a1 )t(a2

)t(a

după regula

def ea

ţia

olica prin numere omplexe (analitica)

timp) după regula de corespondenţă:

y

x0

AA

A

a a

a1

2

2

1

Derivarea unui semnal sinusodal conduce tot la

un semnal sinusoidal căruia îi corespunde un fazor a cărui lungime este de ori mai mare decât lungimea fazorului iniţial şi

azat la 90 înaint

y

x0

A

A

a

a

2

acestuia. Integrarea unui semnal sinusoidal reprezintă tot un semnal sinusoidal căruia îi corespunde un

e ori mai mică decât lungimea fazorului ini l şi defazat la 90 în

fazor a cărui lungime este d

y

x0

A urma acestuia

Reprezentarea simbc Această reprezentare stabileşte o corespondenţă biunivocă între mulţimea funcţiilor sinusoidale şi mulţimea numerelor complexe. Unui semnal sinusoidal )t(a i se

poate ataşa o mărime complexă constantă (invariabilă în

ajAeA)t(a

unde: A se numeşte valoare efectivă complexă

şi reprezint agă im inea în complex a semnalului

egatu

sinusoidal )t(a .

Regula de corespondenţă stabileşte că modulul numărului complex este l cu valoarea efectivă A a semnalului )t(a şi argumen l

numărului complex este egal cu faza iniţială a

A

a

a

2F a( )

y

x0

a

A

y

x0

A

A

a

a semnalului sinusoidal. Asocierea de numere complexe semnalelor sinusoidale se numeşte reprezentare simbolică analitică şi este o peraţie liniară.

merelor complexe are la bază relaţia lui Euler:

Numerele complexe se pot reprezenta fie:

cartezian:

o Scrierea nu

tsinjtcose tj

jbaA

unde: a es rtea şi te pa reală partea agin

b

im ară Aea şi Amb

trigonometric: jeAA

unde: A este modulul şi argumentul.

Relaţiile de legătură dintre cele două reprezentări sunt:

22 baA ; a

barctg

;

au

de defazare, care prin definiţie are expresia:

Dacă

cosAa sinAb

Numărul complex je de modul unitate şi argument se numeşte operator de rotaţie s

sinjcosej

2 se obţine:

j2sinj2cose 2j

;

jsinjcosej

222

1sinjcosej

1sinjcose 10sinj0cose

ltiplicarea unui număr complex cu

j 0j

Mu j sau

j , reprez înintă plan o rotaţie cu 2 ,

respectiv cu 2 .

orespondenţa operaţiilor

Multiplicarea cu un scalar a semnalului

C

)t(a

este )tsin(A)t(a a 2 .

Imaginea în complex a semnalului sinusoidal este: )t(a

AAe)t(a aj

valorilor efective omplexe ataşate semnalelor

n

kk

n

k

n

k

jkk AeA)t(a ak

11 1

Ope iei de derivare îi corespunde înmulţirea cu

raţj a valorii efective complexe ataşate

semnalului sinusoidal , ceea ce reprezintă teorema derivatei.

Semnalului )tsin(Adt

2da

a 2 îi

orespunde imaginea în complex: c

AjAejeeAeAdt

daaa

a jjj)(j

22

Ope ţiei de integrare îi corespunde împărţirea la

raj a valorii efective complexe ataşate

semnalului sinusoidal :

Ajj

AeeA

j

eeA

eA

adt

aa

aa

jj

jj)(j

11

22

(1.27)

eea ce reprezintă teorema integralei.

notaţi cu mbolurile reprezentării în complex.

c În aplicaţii se foloseşte simultan cu calculul în complex şi reprezentarea în plan prin fazori, pentru a sugera relaţiile de fază dintre mărimile sinusoidale. De cele mai multe ori, în diagramele fazoriale vectorii sunt si

Adunarea semnalelor sinusoidale (teorema liniarizării) corespunde sumei c


PARAMETRII CIRCUITELOR DE C.A. Fie semnalele tensiune şi curent de pulsaţie :

)tsin(I)t(i

)tsin(U)t(u

i

u

2

2

Reprezentând cele două semnale prin fazori se pune în evidenţă defazajul şi posibilitatea descompunerii fiecărui semnal sinusoidal în două componente. -componenta tensiunii pe direcţia curentului (în fază) se numeşte componenta activă a tensiunii ; aU cosUU a

-componenta tensiunii pe direcţie perpendiculară pe curent (în cuadratu-ră) se numeşte componentă reactivă a tensiunii ;

rU

sinUU r

-componenta curentului pe direcţia tensiunii (în fază) se numeşte componenta activă a

curentului ; aI cosII a

-componenta curentului pe direcţie perpendiculară pe tensiune (în cuadratură) se numeşte componenta reactivă a curentului ;

rI

sinII r

Circuitele în regim sinusoidal sunt definite de câte o pereche de parametri:

a) impedanţa Z şi defazajul

0I

UZ şi 0 iu sau 0

Impedanţa este raportul între valoarea efectivă a tensiunii şi valoarea efectivă a curentului.

b) rezistenţa R şi reactanţa X

cosZI

cosU

I

UR a ;

sinZI

sinU

I

UX r

Între aceste două perechi de parametri există relaţiile:

22 XRZ ; R

Xarctg

care se pot reprezenta geometric sugestiv sub forma unui triunghi dreptunghic care se numeşte triunghiul impedanţelor

R

ZX

U

aIa Impedanţa, rezistenţa şi reactanţa se măsoară în SI în şi sunt specifice circuitelor sau laturilor cu elemente în serie.

Ur I

c) admitanţa Y şi defazajul

0U

IY şi sau 0 iu 0

Admitanţa este raportul între valoarea efectivă a curentului şi valoarea efectivă a tensiunii.

d) conductanţa G şi susceptanţa B

cosYU

cosI

U

IG a ;

sinYU

sinI

U

IB r

Între aceste două perechi de parametri există relaţiile:

22 BGY ; G

Barctg

care se pot reprezenta sub forma unui triunghi dreptunghic care se numeşte triunghiul admitanţelor

Admitanţa, conductanţa şi susceptanţa se

măsoară în SI în sau (Siemens) şi sunt specifice circuitelor sau laturilor cu elemente în paralel.

1 S

Impedanţa şi admitanţa complexă Folosind metoda simbolică analitică de reprezentare a semnalelor sinusoidale, se pot

G

YB

Ua a

+1

ataşa tensiunii şi curentului de la

bornele unui uniport liniar pasiv valorile efective complexe

)t(u )t(i

U şi I .

Impedanţa complexă Z

jXR

sinjZcosZZeeI

U

Ie

Ue

I

UZ jj

j

j

i

u

Modulul impedanţei complexe ( Z ) este egal cu

impedanţa (Z) iar argumentul cu defazajul ( )

între tensiune şi curent. Partea reală a impedanţei complexe este rezistenţa circuitului (R), iar partea imaginară este reactanţa circuitului (X). Cazuri particulare pentru elementele pasive ideale de circuit Rezistor

RIIR

IU

Z

Bobină

LXjLjIILj

IU

Z

unde reactanţa bobinei LXL Condensator

CXjCj

UCjU

IU

Z

1

unde reactanţa condensatorului este

CXC

1

.

Pentru un circuit oarecare partea imaginară a impedanţei complexe, respectiv reactanţa, poate fi pozitivă şi în acest caz circuit are aceleaşi caracteristici ca ale unei bobine şi se numeşte inductiv. În cazul în care reactanţa este negativă, circuitul are aceleaşi caracteristici ca ale unui condensator şi se numeşte capacitiv. Admitanţa complexă Y

jBG

sinjYcosYYeeU

I

Ue

Ie

U

IY jj

j

j

u

i

Modulul admitanţei complexe ( Y ) este egal cu

admitanţa Y iar argumentul cu defazajul dintre tensiune şi curent cu semn schimbat ( ).

Partea reală a admitanţei complexe este conductanţa circuitului (G) iar partea imaginară este susceptanţa circuitului cu semn schimbat (-B).

Cazuri particulare pentru elementele pasive ideale de circuit Rezistor

GRIR

IUI

Y

1

Bobină

LBjLj

LjILjI

UI

Y

11

unde susceptanţa bobinei L

BL 1

Condensator

CBjCjUUCj

UI

Y

unde susceptanţa condensatorului este CBC . Intre perechile de parametri (R, X) şi (G, B) există relaţiile:

2222 XR

XB;

XR

RG

2222 BG

BX;

BG

GR

Este important de ştiut că conductanţa la bornele unui circuit mixt nu este inversul rezistenţei echivalente a circuitului şi nici susceptanţa nu este inversul reactanţei echivalente a circuitului.

LEGI ŞI TEOREME ALE CIRCUITELOR IN RPS LEGEA LUI OHM O latură a unui circuit în funcţionând în regim sinusoidal (RS) poate conţine generatoare de tensiune sau curent, toate cele trei elemente de circuit, R, L, C iar bobinele pot fi cuplate cu alte bobine situate pe alte laturi ale circuitului. O astfel de latură, notată cu indicele! „j” este prezentată în figura de mai jos. Parametrii sunt: - rezistenţa, - inductanţa

proprie, - capacitatea, - inductanţa

mutuală de cuplaj între bobinele j şi k, -

tensiunea electromotoare a laturii. Semnalele laturii j sunt , iar este curentul ce

străbate latura .

jR

j u

k

jL

jkMjC jkL

ki

je

i j

u

L

L

LR Ci

i

jj j

j

k

jk jj

k

e

~

Două bobine cuplate magnetic, sunt două bobine aflate în apropiere una de cealaltă, în aşa fel încât fluxul magnetic produs de curentul dintr-o bobină înlănţuie cealaltă bobină şi reciproc.

Bobinele din stânga nu sunt dispuse pe un miez magnetic şi fluxurile magnetice se închid prin aer, bobinele din dreapta sunt dispuse pe un miez magnetic şi fluxurile magnetice se închid prin miez. Sensul fluxului magnetic produs de curentul care trece prin spirele bobinei se stabileşte folosind regula burghiului drept sau regula mâinii drepte. Astfel, pentru bobina 1, fluxul magnetic produs de curentul va avea sensul lui

(intensitatea câmpului magnetic al bobinei 1) iar pentru bobina 2 sensul lui (intensitatea

câmpului magnetic al bobinei 2). Fluxurile magnetice având acelaşi sens de circulaţie prin cele două bobine vor realiza un cuplaj care se numeşte cuplaj aditiv, iar parametrul care îl caracterizează se numeşte inductanţă mutuală, notată sau şi în acest caz este pozitivă

.

1i

M

1H

2H

12L

12 M

12

012L

În cazul în care fluxurile au sensuri de circulaţie opuse unul faţă de celălalt prin cele două bobine se va realiza un cuplaj care se numeşte cuplaj diferenţial iar parametrul care îl caracterizează se numeşte inductanţă mutuală,

sau dar în acest caz . 12L 12M 01212 ML

Regula care stabileşte tipul cuplajului dintre bobine se numeşte regula bornelor polarizate sau regula punctului. Fluxul magnetic total al unei bobine este suma algebrică dintre fluxul propriu şi fluxurile produse de alte bobine cu care bobina este cuplată magnetic aditiv sau diferenţial

n

kkjkjjj

n

kjkjjj iLiL

11

Forma legii lui Ohm pentru valorile instantanee ale semnalelor este:

jCjLjRjj euuuu

j

t

jjk

kjk

jjjjj edti

C1

dtdi

Ldt

diLiRu

Pentru liniarizarea ecuaţiei se foloseşte metoda simbolică analitică. Astfel, semnalelor li se ataşează valorile efective complexe:

jejjjejjj eEEtsinEte

2

ijjjjijjj eIItsinIti

2

ujjjujjj UeUtsinUtu

2

ikjkkikkk eIItsinIti 2

Ţinând cont de corespondenţa operaţiilor se obţine:

jjjk

kjkjjjjj EICj

1ILjILjIRU

Grupând

jk

kjkjj

jj EILjICj

1LjRU

Notând:

jjjj C

jLjRZ

1

- impedanţa proprie a

laturii j şi jkjk LjZ - impedanţa de cuplaj

dintre latura j şi k se obţine:

jk

kjkjjj EIZIZU

Caz particular 1) 0jkZ (nu există cuplaje între bobine)

jjjj EIZU

2) Latura pasivă

jjj IZU

Se observă că relaţiile corespund ca formă legii lui Ohm scrisă în curent continuu. Pentru un circuit cu L laturi, legea lui Ohm determină sisteme de ecuaţii liniare ce se pot scrie matriceal de forma:

EIZU

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF TEOREMA DE CURENŢI TKC Se aplică nodurilor independente având aceeaşi expresie analitică ca în curent continuu atât în valori instantanee cât şi folosind reprezentarea simbolică analitică:

0uk

ki cu L,......,,k 21 şi 121 N,....,,u

În valori efective complexe TKC se scrie:

ii

ii

u uu u1 1

11 1

2 2

22

2

H

H

a b

0uk

kI cu şi L,......,,k 21 121 N,....,,u

Scrierea matriceală foloseşte matricea de incidenţă dintre laturi şi noduri, notată A , de

dimensiuni având elemente egale cu –

1, 1, 0

LN 1

0IA

TEOREMA DE TENSIUNI TKT Se aplică ciclurilor sau ochiurilor independente având aceeaşi formulare matematică ca cea cunoscută din curent continuu, atât în valori instantanee cât şi utilizând reprezentarea simbolică analitică.

0vj

ju cu şi L,......,,j 21 121 NL,....,,v

În valori efective complexe, suma algebrică a tensiunilor ale laturi se scrie:

0vj

jU cu şi L,......,,j 21 121 NL,....,,v

Scrierea matricială a TKT se face folosind matricea de incidenţă din laturi şi bucle B de

dimensiunea . Folosind tensiunile pe laturi se poate scrie:

LB

0UB


LEGI ŞI TEOREME ALE CIRCUITELOR IN RPS LEGEA LUI OHM Latura activa

Forma legii lui Ohm pentru valorile instantanee ale semnalelor este:

jCjLjRjj euuuu

j

t

jjk

kjk

jjjjj edti

C1

dtdi

Ldt

diLiRu

Pentru liniarizarea ecuaţiei se foloseşte metoda simbolică analitică. Astfel, semnalelor li se ataşează valorile efective complexe:

jejjjejjj eEEtsinEte

2

ijjjjijjj eIItsinIti

2

ujjjujjj UeUtsinUtu

2

ikjkkikkk eIItsinIti 2

Ţinând cont de corespondenţa operaţiilor se obţine:

jjjk

kjkjjjjj EICj

1ILjILjIRU

Grupând

jk

kjkjj

jj EILjICj

1LjRU

Notând:

jjjj C

jLjRZ

1

- impedanţa proprie a

laturii j şi jkjk LjZ - impedanţa de cuplaj

dintre latura j şi k se obţine:

jk

kjkjjj EIZIZU

Caz particular 1) 0jkZ (nu există cuplaje între bobine)

jjjj EIZU

2) Latura pasivă

jjj IZU

Se observă că relaţiile corespund ca formă legii lui Ohm scrisă în curent continuu. Pentru un circuit cu L laturi, legea lui Ohm determină sisteme de ecuaţii liniare ce se pot scrie matriceal de forma:

u

L

L

LR Ci

i

jj j

j

k

jk jj

k

e

~

EIZU

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF TEOREMA DE CURENŢI TKC Se aplică nodurilor independente având aceeaşi expresie analitică ca în curent continuu atât în valori instantanee cât şi folosind reprezentarea simbolică analitică:

0uk

ki cu L,......,,k 21 şi 121 N,....,,u

În valori efective complexe TKC se scrie:

0uk

kI cu L,......,,k 21 şi 121 N,....,,u

Scrierea matriceală foloseşte matricea de incidenţă dintre laturi şi noduri, notată A , de

dimensiuni LN 1 având elemente egale cu –

1, 1, 0 0IA

TEOREMA DE TENSIUNI TKT Se aplică ciclurilor sau ochiurilor independente având aceeaşi formulare matematică ca cea cunoscută din curent continuu, atât în valori instantanee cât şi utilizând reprezentarea simbolică analitică.

0vj

ju cu L,......,,j 21 şi 121 NL,....,,v

În valori efective complexe, suma algebrică a tensiunilor ale laturi se scrie:

0vj

jU cu L,......,,j 21 şi 121 NL,....,,v

Scrierea matricială a TKT se face folosind matricea de incidenţă din laturi şi bucle B de

dimensiunea LB . Folosind tensiunile pe laturi se poate scrie:

0UB

METODE DE ANALIZA IN RPS

METODA TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF

Sistemul de ecuaţii este:

0uk

kI cu şi L,......,,k 21 121 N,....,,u

0vj

jU cu şi L,......,,j 21 121 NL,....,,v

Dezvoltând expresia tensiunii la bornele unui laturi cu ajutorul legii lui Ohm se obţine urmatoarea formă analitică a sistemului:

0uk

kI cu şi L,......,,k 21 121 N,....,,u

vjj

vj jkkjkjj EIZIZ

121 NL,....,,v

L,......,,j 21

Etape

Se asociază semnalelor surselor sinusoidale numere complexe, folosind relaţia de corespondenţă

sincos)( jAAAeAta aj unde A este valoarea efectivă a semnalului iar γa este faza iniţială. Se asociază circuitului schema echivalentă in complex. Surselor li se asociază numerele complexe corespunzătoare semnalelor acestora iar elementele pasive se inlocuiesc astfel: rezistenta cu R, bobina cu Lj iar

condensatorul cu Cj

1 Se stabilesc elementele

topologice ale circuitului şi se numerotează nodurile, se aleg şi se numerotează buclele. Se scriu teoremele lui Kirchhoff: teorema de curenţi în N – 1 noduri şi teorema de tensiuni pe buclele B = L – N + 1. Se scriu tensiunile pe elemente sau laturi folosind legea lui Ohm in complex. Dacă circuitul conţine GIT şi GIC se scriu tensiunile cunoscute pe GIT şi curenţii cunoscuţi prin laturile cu GIC

Se rezolvă sistemul obţinând curenţii pe laturi în complex şi tensiunile pe laturi sau tensiunile pe elemente în complex. Dacă circuitul conţine GIC nu se folosesc ecuaţiile de tensiuni de pe buclele ce conţin GIC în rezolvarea circuitului.

Numerele complexe asociate semnalelor ce rezultă din sistemul de ecuaţii în formă carteziană se transformă in forma exponenţială folosind relaţiile cunoscute

22 baA ; ab

arctga . Deci ajeAA

Se scriu legile de variaţie a semnalelor în domeniul timp folosind inversul regulei de corespondenţă. Astfel A repezintă valoarea

efectivă a semnalului iar a faza iniţială a semnalului. Semnalul sinusoidal este:

)tsin(A)t(a a 2

TEHNICA TENSIUNILOR DE NODURI TTN Se aplică circuitelor liniare cu elemente reale sau ideale, aflate în regim permanent sinusoidal, care în principal nu au cuplaje magnetice între bobine. Tensiunile nodale sunt tensiunile nodurilor raportate la nodul de masă a cărui potenţial se adoptă nul. Tensiunile nodale complexe se notează ,......V,V 21 . Tensiunile pe laturi sau

tensiunile între două noduri sunt diferenţe între tensiunile nodale asociate nodurilor respective, Astfel, putem scrie:

433423322112 VVU;VVU;VVU

Curenţii din laturi sunt: pentru o latură pasivă

)VV(YZ

VVI kjjk

jk

kjjk

pentru o latură

activă )VVE(YZ

VVEI kjjkjk

jk

kjjkjk

Etape Se asociază semnalelor sinusoidale numere complexe după regula de corespndenţă

Se asociază schema echivalentă în complex pe care se alege nodul de masă, se numerotează celelalte noduri, se asociază tensiunile nodale având sensul de la fiecare nod la nodul de masă şi se notează aceste tensiuni cu ......V,V,V 321 .

Se scriu curenţii din laturi în funcţie de tensiunile nodale

Se scrie sistemul de ecuaţii aplicând teorema de curenţi în nodurile independente ale circuitului şi înlocuind curenţii în funcţie de tensiunile de noduri.

Se rezolvă sistemul obţinând tensiunile nodale Se calculează tensiunile pe laturi şi curenţii prin laturi, în complex , sau semnalele cerute în exerciţiu Se scrie legea de variaţie în timp a semnalelor folosind trecerea de la numere complexe la semnale sinusoidale conform legii de corespondenţă.

Exercitii

e t( )e t( )

16

R21

5

4

L

R

C

++

i t( )g3

Semnalele generatoarelor sunt: 221 tsinte V, tsinte 26 V, tsintig 23 A iar parametrii 142 RR

11 15 CL .

Soluţie Se asociază semnalelor sinusoidale ale surselor numere complexe obţinând:

jeEj

2

1 1 (V); 11 06 jeE (V),

11 03 j

g eI A. Analiza topologică a circuitului

stabileşte numărul nodurilor 34 iN;N

1

, numărul laturilor şi numărul

buclelor .

6 igL;L

31 N LB

Metoda TTN Se alege nodul de masă ca fiind borna negativă a GIT. Se asociază fiecărui nod tensiunea nodală corespunzătoare , ca în figura 3.77. Se observă că tensiunea 3V este tensiunea de la bornele

GIT, deci VEV 163 .

Latura 1 conţine un GIT în serie cu un condensator. Acesta se înlocuieşte cu un GIC în paralel cu condensatorul , figura 3.78, opţional. Din relaţia de echivalenţă rezultă că

1111

11 ECj

Z

EI g A Curenţii sunt:

1

2111 Z

VVEI

;

2

122 Z

VVI

;

4

234 Z

VVI

;

5

35 Z

VI

-j1

j13

(1)

(2) (3)

(0)

E

E

1

6

1

2+

+

Ig3

1

1

V

VV

Se scrie sistemul metodei, aplicând teorema de curenţi nodurilor (1) şi (2). Se înlocuiesc curenţii în funcţie de tensiunile de noduri , se ordonează sistemul şi se obţine:

2323222121

1313212111

gn

gn

IVYVYVY

IVYVYVY

Parametrii sistemului sunt:

jR

CjY

111

2111 S

jR

CjYY 11

212112 S

013 Y S

jRR

CjY 211

42122 S

11

423

RY S

213111 )j(jIECjI ggn A

1112 ECjI gn A

Din sistem se obţin tensiunile nodale: jV 11 V; 02 V V; 13 V V.

E

1

1 6

6

Z2

2

2

1

1

5

554

4

4

Z

Z

Z+

II g33

3

(1)

(2) (3)

(0)

I

II

I

UU

U

UU

U

Ig

Fig. 3.78 Schema echivalentă cu impedanţe şi

tensiuni pe laturi Se calculează tensiunile pe laturi (figura 3.78):

jVVU 1121 V; jVVU 1122 V;

jVU 113 V; 1234 VVU V;

135 VU V; 136 VU V.

Se calculează curenţii

jUCjECjZ

UII g 1111

1

111 A;

jj

Z

UI

1

11

2

22 A; 13 I A;

111

4

44

Z

UI A; j

jZ

UI

1

5

55 A;

jIII 1536 A

Se face trecerea de la numere complexe la semnale sinusoidale calculând expresiile curenţilor şi tensiunilor din laturile circuitului.

)tsin()t(i2

21

A; )tsin()t(i4

22

A; tsin)t(i 23 A; tsin)t(i 24 A;

)tsin()t(i2

25

A; )tsin()t(i4

26

A

)tsin()t(u4

21

V; )tsin()t(u4

22

V; )tsin()t(u4

23

tsin)t(u 24 V; )tsin()t(u 25 V;

tsin)t(u 26 V.


TEHNICA TENSIUNILOR DE NODURI TTN Se aplică circuitelor liniare cu elemente reale sau ideale, aflate în regim permanent sinusoidal, care în principal nu au cuplaje magnetice între bobine. Etape Se asociază semnalelor sinusoidale numere complexe după regula de corespndenţă Se asociază schema echivalentă în complex pe care se alege nodul de masă, se numerotează celelalte noduri, se asociază tensiunile nodale având sensul de la fiecare nod la nodul de masă şi se notează aceste tensiuni cu ......V,V,V 321 .

Se scriu curenţii din laturi în funcţie de tensiunile nodale Se scrie sistemul de ecuaţii aplicând teorema de curenţi în nodurile independente ale circuitului şi înlocuind curenţii în funcţie de tensiunile de noduri.

Se rezolvă sistemul obţinând tensiunile nodale Se calculează tensiunile pe laturi şi curenţii prin laturi, în complex , sau semnalele cerute în exerciţiu Se scrie legea de variaţie în timp a semnalelor folosind trecerea de la numere complexe la semnale sinusoidale conform legii de corespondenţă.

Exercitii

e t( )e t( )

16

R21

5

4

L

R

C

++

i t( )g3

Semnalele generatoarelor sunt: 221 tsinte V, tsinte 26 V, tsintig 23 A iar parametrii 142 RR

11 15 CL .

Soluţie Se asociază semnalelor sinusoidale ale surselor numere complexe obţinând:

jeEj

2

1 1 (V); 11 06 jeE (V),

11 03 j

g eI A. Analiza topologică a circuitului

stabileşte numărul nodurilor 34 iN;N , numărul laturilor 16 igL;L

31

şi numărul

buclelor NLB . Se alege nodul de masă ca fiind borna negativă a GIT. Se asociază fiecărui nod tensiunea nodală corespunzătoare , ca în figura . Se observă că tensiunea 3V este tensiunea de la bornele GIT,

deci V163 EV .

Curenţii sunt: 1

211

Z

VVE ;

2

122 Z

VVI

1I ;

4

234 Z

VVI

;

5

35 Z

VI

-j1

j13

(1)

(2) (3)

(0)

E

E

1

6

1

2+

+

Ig3

1

1

V

VV

Se scrie sistemul metodei, aplicând teorema de curenţi nodurilor (1) şi (2). Din sistem se obţin tensiunile nodale: jV 11 V; 02 V V; 13 V V.

Se calculează tensiunile pe laturi : jVVU 1121 V; jVVU 1122 V;

jVU 113 V; 1234 VVU V;

135 VU V; 136 VU V.

Se calculează curenţii

jUCjECjZ

UII g 1111

1

111 A;

jj

Z

UI

1

11

2

22 A; 13 I A;

111

4

44

Z

UI A; j

jZ

UI

1

5

55 A;

jIII 1536 A

Se face trecerea de la numere complexe la semnale sinusoidale calculând expresiile curenţilor şi tensiunilor din laturile circuitului.

)tsin()t(i2

21

; )tsin()t(i4

22

;

tsin)t(i 23 ; tsin)t(i 24 ;

)tsin()t(i2

25

; )tsin()t(i4

26

)tsin()t(u4

21

; )tsin()t(u4

22

;

)tsin()t(u4

23

tsin)t(u 24 ;

)tsin()t(u 25 ; tsin)t(u 26 .

TEHNICA CURENTILOR DE BUCLE TCB Semnalele necunoscute ale acestei metode sunt curenţi fictivi asociaţi buclelor care poartă numele de curenţi de buclă. Sensul acestor curenţi este arbitrar ales, cu excepţia buclelor care conţin GIC , sensul curentului de buclă fiind acelaşi cu sensul curentului generatorului. Se scriu curenţii din laturi în funcţie de curenţii de bucle ţinând cont de suprapunerea efectelor: curentul dintr-o latura este suma algebrica a curentilor de bucle care trec prin acea latura. Sistemul specific metodei se obţine aplicând teorema de tensiuni pe fiecare buclă şi înlocuind curenţii în funcţie de curenţii de bucle. Etape Se asociază semnalelor sinusoidale ale surselor numere complexe după regula de corespndenţă Se asociază parametrilor circuitului impedanţele complexe corespunzătoare Se asociază schema echivalentă în complex pe care se numerotează nodurile, se stabilesc sensurile curenţilor, se stabilesc buclele şi se ataşează curenţii de buclă. Se scriu curenţii din laturi în funcţie de curenţii de bucle Se scrie sistemul de ecuaţii specific metodei în complex aplicând teorema de tensiuni pe buclele circuitului. Se înlocuiesc curenţii din laturi în funcţie de curenţii de bucle. Se ordonează sistemul în funcţie de curenţii de bucle, variabilele metodei. Se rezolvă sistemul obţinând curenţii de bucle Se calculează curenţii din laturi în funcţie de curenţii de bucle, tensiunile pe laturi şi tensiunile pe elementele circuitului, toate semnalele fiind în complex. Se scrie legea de variaţie în timp a semnalelor folosind trecerea de la numere complexe la semnale sinusoidale conform legii de corespondenţă.

Exercitiu Circuitul din figura conţine un generator ideal de

oidal de forma curent sinus

)2

tsin(2i 2g A si un generator ideal de

inusoidală de forma

tensiune s

)4

t sin(2e6

V. Parametrii circuitului sunt:

1RR 51 Ω, 1LL 54 Ω,

1CC 31

Ω. Să se determine curenţii şi

tensiunile pe laturi ca numere com

11

plexe si ca mnale sinusoidale aplicand TCB.

e tensiune în serie cu o impedanţă

ină folosind grupările de impedanţe complexe.

se

TEHNICA THEVENIN SI NORTON Schema echivalentă Thevenin a unui circuit considerat între două borne (a) si (b) este un generator dcomplexă. Tensiunea electromotoare a generatorului reprezintă tensiunea între cele două borne ale circuitului la gol, adică după îndepărtarea laturii prin care se doreşte obţinerea semnalului necunoscut. Calculul tensiunii se face prin metode deja cunoscute. Impedanţa complexă este impedanţa echivalentă la cele două borne (a) şi (b) pentru circuitul deschis (la gol) şi pasivizat. Pasivizarea circuitului se realizează înlocuind sursele din circuit prin rezistenţele lor interne. Ea se determ

+ 0

Z0

UZU

I

( )a

( )b Pe schema echivalentă Thevenin se adaugă latura cu semnalul necunoscut, care se poate determina aplicând teorema de tensiuni a lui Kirchhoff

ZZ

UI

0

0

+

R

C

i

C

R

LL

1

2

1

g

3

5

54

e

Schema echivalentă Norton a unui circuit considerat între două borne (a) si (b) este un generator de curent în paralel cu o impedanţă complexă. Curentul generatorului reprezintă curentul de scurtcircuit între cele două borne ale circuitului. Acest curent se determină prin metode de analiză deja cunoscute. Impedanţa complexă

0Z este impedanţa echivalentă între cele două

borne pentru circuitul deschis (la gol) şi pasivizat şi este aceeaşi cu impedanţa complexă din metoda Thevenin.

( )a

( )b

Z

IscZ0

U

I

Pe schema echivalentă Norton se adaugă latura cu semnalul necunoscut, a cărui curent se poate determina aplicând teoremele lui Kirchhoff sau divizorul de curent.

ZZ

IZI sc

0

0


TEHNICA THEVENIN SI NORTON Schema echivalentă Thevenin a unui circuit considerat între două borne (a) si (b) este un generator de tensiune în serie cu o impedanţă complexă. Tensiunea electromotoare a generatorului reprezintă tensiunea între cele două borne ale circuitului la gol, adică după îndepărtarea laturii prin care se doreşte obţinerea semnalului necunoscut. Calculul tensiunii se face prin metode deja cunoscute. Impedanţa complexă este impedanţa echivalentă la cele două borne (a) şi (b) pentru circuitul deschis (la gol) şi pasivizat. Pasivizarea circuitului se realizează înlocuind sursele din circuit prin rezistenţele lor interne. Ea se determină folosind grupările de impedanţe complexe.

+ 0

Z0

UZU

I

( )a

( )b Pe schema echivalentă Thevenin se adaugă latura cu semnalul necunoscut, care se poate determina aplicând teorema de tensiuni a lui Kirchhoff

ZZ

UI

0

0

Schema echivalentă Norton a unui circuit considerat între două borne (a) si (b) este un generator de curent în paralel cu o impedanţă complexă. Curentul generatorului reprezintă curentul de scurtcircuit între cele două borne ale circuitului. Acest curent se determină prin metode de analiză deja cunoscute. Impedanţa complexă

0Z este impedanţa echivalentă între cele două

borne pentru circuitul deschis (la gol) şi pasivizat şi este aceeaşi cu impedanţa complexă din metoda Thevenin.

( )a

( )b

Z

IscZ0

U

I

Pe schema echivalentă Norton se adaugă latura cu semnalul necunoscut, a cărui curent se poate

determina aplicând teoremele lui Kirchhoff sau divizorul de curent.

ZZ

IZI sc

0

0

Exercitiu Sa se determine curentul Ix

6A

1

2

1

j2

-j1

4A

4A

Ix ANALIZA CIRCUITELOR CU CUPLAJE MAGNETICE Pentru a stabili tipul cuplajului dintre bobine se foloseşte o convenţie care utilizează notarea bornelor polarizate ale bobinelor sau bornelor de intrare în bobine. Acestea sunt notate cu asterisc sau punct. Convenţia bornelor polarizate este următoarea: Dacă curenţii trec în acelaşi sens prin

bornele polarizate (ambii curenţi intră sau ambii ies) atunci cuplajul este aditiv şi inductanţa mutuală este pozitivă

ii 2

2

1

1

L12

L L

Dacă curenţii trec în sensuri contrare prin bornele polarizate (un curent intră şi celălalt iese) atunci cuplajul este diferenţial şi inductanţa mutuală este negativă

ii 2

2

1

1

L12

L L

Pentru cuplajul aditiv tensiunile la bornele bobinelor au expresiile

dtdi

Ldtdi

Lu

dtdi

Ldtdi

Lu

121

222

212

111

conform figurii de mai jos.

ii 2

2

21

1

1

L =L =M12 21

L L

L L +M +M 1 21 12 2didt

didt

didt

didt

u u

+ +

In complex tensiunile pe bobine se pot scrie:

1122212122

212112111

IZIZIMjILjU

IZIZIMjILjU

Pentru cuplajul diferential tensiunile la bornele bobinelor au expresiile

dtdi

Ldtdi

Lu

dtdi

Ldtdi

Lu

121

222

212

111

conform figurii de mai jos

ii 2

2

21

1

1

L =L =M12 21

L LL L -M -M 1 21 12 2di

dtdidt

didt

didt

u u

+ +

1122212122

212112111

IZIZIMjILjU

IZIZIMjILjU

Ca metode de analiza se folosesc teoremele lui Kirchhoff si TCB. Exrcitiu Să se găsească expresiile complexe ale curenţilor şi tensiunilor din circuitul din figura , în care, cele trei bobine sunt cuplate magnetic. Parametrii circuitului sunt: 11R ;

; ; 154 LL 26L 1C1 ;

. Generatorul de tensiune are

semnalul

14645 LL

tsin2te 1

2 iar cel de curent

222 tsintig .

Se asociază numere complexe semnalelor

surselor: VeE j 22 01 şi AjeI

j

g 2

3 .

Se construieşte schema echivalentă a circuitului în complex , pe care se stabilesc elementele de topologie a circuitului.

+

e t ( )1 i t( )C3

1

4

6

5

4546

R

L

L

L

LL

g2

363144 B;L;N;N i

j Lj L

j L

j L j L

1j C

(1)

(2)(3)

(4)

+E1 I

3

3

1

1

44

6 6

5

54546

R

g2

I I

I

II

I

2

Se numerotează nodurile, se stabilesc sensurile curenţilor , se stabilesc buclele şi sensurile acestora. In funcţie de sensurile curenţilor şi de bornele polarizate ale bobinelor se stabilesc tipurile cuplajelor dintre bobine. Astfel cuplajul L45 este diferenţial iar cuplajul L46 este tot diferenţial. Circuitul conţine un GIC deci jII g 22 A

Se scriu teoremele lui Kirchhoff:

0

0

0

03

02

01

6543

5322

14311

652

543

321

UUU)B(

UUU)B(

UUUU)B(

III)(

III)(

III)(

e

(1)

(2)(3)(4)

+E

E1

11 I

33

3

3

2

2

11

2

1

44

4

6 66

55

545

46

Z

g2

I

I

I

I

I

I

Z

Z Z

Z

Z

Z

U

U

U

UUU

B B

B

U

In schema echivalentă se înlocuiesc parametrii laturilor cu impedanţe complexe pentru a simplifica scrierea tensiunilor pe elementele circuitului. Astfel, tensiunile sunt:

44555445555

64654544

646545444

33

3331111111

;

;1

;;

ILjILjIZIZU

ILjILjIL

IZIZIZU

ICj

IZUIRIZUEUe

;ILjILjIZIZU 44666446666

Se rezolvă sistemul şi se obţin expresiile în complex ale curenţilor din laturile circuitului :

jI;jI;jI;jI;jI;I 220 654321

Tensiunile pe elementele circuitului , în valori complexe sunt:

211100 654321 U;U;U;U;U;U

ELEMENTE DE CIRCUIT PASIVE ÎN RPS REZISTORUL Tensiunea aplicată la borne este sinusoidală de forma :

)tsin(U)t(u u 2

Ecuaţia caracteristică dată de legea lui Ohm este:

semnalelor valori efective complexe. Astfel

tRitu

Pentru analiza circuitului se foloseşte metoda simbolică analitică simplificată, ataşând

ujUeU .

Scriind ecuaţia caracteristică în complex se obţine:

IRU

Rezolvând în raport cu I se obţine:

iu

ujj

j

IeeRRR

că valoarea efectivă a curentului este

UUeUI

Rezultă RUI sau RIU . Faza iniţială a curentului

Forma de variaţie în timp a curentului este: ui , respectiv defazajul 0 iuR

u

Reprezentarea în dome lor două se

tsinR

Uti 2

niu timp a ce

mnale şi reprezentarea prin fazori sunt

Important

Curentul prin rezistor are valoare efectivă egală cu raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi rezistenţa R şi este în fază cu

tensiunea: 0 . Impedanţa complexă

RIUZ are numai parte reală egală cu

rezistenţa. BOBINA

Ecuaţia caracteristică pentru o bobină este:

dt

) şi dacă

inductanţa L nu depinde de timp ea devine:

L

u t( )

i t( )

Li(duL

dt

diLuL

Ataşând tensiunii sinusoidale

)tsin(U)t(u u 2 valoarea efectivă

complexă ujUeU şi ţinând cont de

corespondenţa operaţiilor, ecuaţia caracteristică devine:

ILjU R

u t( )

i

iuu

jj

j

j

IeeL

U

Le

Ue

Lj

UI

2

2

Se determină astfel valoarea efectivă a

curentului L

UI

şi faza iniţială a curentului

2 ui . Defazajul dintre tensiune şi

curent este 02 iu ceea ce implică

faptul că semnalul curent i(t) este defazat în

urma tensiunii u(t) cu . 090

Mărimea L se numeşte reactanţă inductivă şi se notează cu LX

LX L

şi se măsoară în . Semnalul curent are expresia:

)tsin(L

U)t(i u 2

2

iar modul de variaţie în timp a semnalelor tensiune şi curent cât şi reprezentarea fazorială este dată în figura de mai jos.

prezentate ăn figura

de mai jos.

u, i

tT2

u t( )

i t( )

T

I

U

+1

+ju, i

t

u t( )

i t( )

Important Curentul prin bobină are valoare efectivă egală cu valoarea efectivă a tensiunii

împărţită la L )L

UI(

şi este defazat în

cuadratură în urma tensiunii. Impedanţa complexă are partea imaginară egală cu reactanţa bobinei (R=0) . LX L


ANALIZA CIRCUITELOR CU CUPLAJE MAGNETICE METODA TCB Exercitiu Aplicând tehnica de analiză TCB, să se determine expresiile curenţilor din laturile circuitului. Sursele sinusoidale au expresiile

)tsin()t(e43

41

(V),

)tsin()t(ig 224

(A),

)tsin()t(ig 226

(A).

Paramatrii elementelor de circuit exprimaţi în numere complexe sunt notaţi pe figura.

-j1

j112V

11

+

I

I

g

g

6

4

E1

ELEMENTE DE CIRCUIT PASIVE ÎN RPS REZISTORUL Tensiunea aplicată la borne este sinusoidală de forma :

)tsin(U)t(u u 2

Ecuaţia caracteristică dată de legea lui Ohm este:

semnalelor valori efective complexe. Astfel

tRitu

Pentru analiza circuitului se foloseşte metoda simbolică analitică simplificată, ataşând

ujUeU .

Scriind ecuaţia caracteristică în complex se obţine:

IRU

Rezolvând în raport cu I se obţine:

iu

ujj

j

IeeR

U

R

Ue

R

UI

Rezultă că valoarea efectivă a curentului este RUI sau U RI . Faza iniţială a curentului

, respectiv defazajul ui 0 iuR

Forma de variaţie în timp a curentului este:

utsinR

Uti 2

Reprezentarea în domeniu timp a celor două se mnale şi reprezentarea prin fazori sunt prezentate ăn figura

de mai jos.

i rez

tensiunea:

u, i

tT2

u t( )

i t( )

T

Important

Curentul prin rezistor are valoare efectivă egală cu raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii ş istenţa R şi este în fază cu

0 . Impedanţa complexă

RIUZ are numai parte reală egală cu

zistenţa.

BOBINA

pentru o b

re

Ecuaţia caracteristică

obină este:

dt

)L

Li(du şi dacă

inductanţa L nu depinde de t devine:

L

u t( )

i t( )

imp ea

dtLuL

iunii sinusoidale

di

Ataşând tens

)U)t(u 2 efectivă

complexă

tsin( u valoarea

ujUeU şi ţinând cont de

corespondenţa o

R

u t( )

i

peraţiilor, ecuaţia caracteristică devine:

ILjU

iuu

jj

j

j

IeeL

U

Le

Ue

Lj

UI

2

2

Se determin ă a ă astfel valoarea efectiv

curentului L

UI şi faza iniţială a curentului

2 ui re tensiune şi

curent este

. Defazajul dint

02 iu ceea ce implică

faptul că semnalul cu t ren i(t) este defazat în

urma tensiunii u(t) cu . 090

Mărimea se numeşte reactanţă inductivă şi se notează cu

L

LX

LX L

şi se măsoară în . Semnalul curent are expresia:

)tsin(L

U)t(i u 2

2

iar modul de variaţie în timp a semnalelor tensiune şi curent cât şi reprezentarea fazorială este dată în figura de mai jos.

Important Curentul prin bobină are valoare efectivă egală cu valoarea efectivă a tensiunii

împărţită la L )L

UI(

şi este defazat în

cuadratură în urma tensiunii. Impedanţa complexă are partea imaginară egală cu reactanţa bobinei (R=0) . LX L

CONDENSATORUL Ecuaţia caracteristică a elementului dipolar

numit condensator este dt

)Cu(di şi dacă

capacitatea C nu depinde de timp ea devine:

dt

duCi

Folosind reprezentarea în complex simplificat se obţine:

UCjI

Rezultă:

iu

uu jjjjj IeCUeeCUeCUejI

22

Valoarea efectivă a curentului este CUI iar faza sa iniţială: 2 ui . Calculând

defazajul se obţine 02 iu ceea

ce conduce la concluzia că tensiunea şi curentul sunt în cuadratură curentul fiind defazat înaintea tensiunii. Variaţia în timp a curentului este:

)tsin(CU)t(i u 22

Reprezentarea semnalelor în timp şi diagrama fazorială sunt prezentate în figura de mai jos.

I

U +1

+j

2

u, i

t

u t( )

i t( )

Important Curentul prin condensator are valoarea efectivă egală cu valoarea efectivă a tensiunii amplificată cu C )CUI( şi este defazat

în cuadratură înaintea tensiunii 2 ui .

I

U

+1

+ju, i

t

u t( )

i t( ) Dacă se calculează impedanţa complexă se obţine:

CjXC

1j

Cj1

UCjU

IU

Z

Se observă că latura cu un condensator ideal nu are rezistenţă R=0 ci numai reactanţă . CX

LATURA RLC SERIE

u u

u t( )

uR L C

LR Ci t( )

Tensiunea la bornele laturii este

CLR uuuu

respectiv:

idtCdt

diLRiu

1


ICj

ILjIRU

1

ecuaţie căreia îi corespunde diagrama fazorială din figura de mai jos.

U I =R I

U =-j 1C I

U

U I =j L

+1

+j

Se obţine:

RC

Ljarctg

j

eC

LR

Ue

)C

L(jR

UI

u

1

22 1

1

R

CL

arctgj u

e

CLR

UI

1

22 1

Rezultă valoarea efectivă a curentului I şi faza

iniţială i :

22 1

CLR

UI ;

RC

Larctgui

1

Mărimea 2

2 1

CLR este impedanţ

RLC serie:

erie (C = ) curentului este:

a

circuituluiCazuri particulare

1. Circuitul RL sValoarea efectivă a

Z

UI

22222LXRLRZ

Defazajul circuitului este:

0R

arctg L

Diagrama fazorială este dată în figura

complexă este: Impedanţa

LjRU

Z I

i este:

2. Circuitul RC serie ( L=0 )

Valoarea efectivă a curentulu

Z

UI

unde,

2222

2 1CXR

C


01

CRarctg

RCarctg

1

R

Xarctg C

Diagrama fazorială este prezentată în figura.

U I =RI

U =-j 1CU

+j

+1

Impedanţa complexă este:

CjXRC

1jRZ

3. Circuit LC serie (R=0)

u i este:

RZ

Valoarea efectivă a curent lu

Z

UI

cu CL XXC

LZ

1

Defazajul circuitului este 2 .

Diagrama fazorială este

Impedanţa complexă Z este:

)XX(j)C

L(jZ CL

1

u

LRi

U I =RI

UU =j L I

+j

+1

C

u

Ri

L Ci

u

U I =j L U I =j L

+j +j

1

I I

U =-jU =-jC 1

C

U

U+1 +1

a b


LATURA RLC SERIE


IZIC

LjRICj

ILjIRU ))1

((1

Diagrama fazorială se obtine desenand fazorul curent in axa reala si reprezentand pe rand fazorii de tensiune, tinand cont de corespondenta operatiilor, a caror suma este

tensiunea U .

U I =R I

U =-j 1C I

U

U I =j L

+1

+j

Se obţine: Valoarea efectiva a curentului

Z

U

CLR

UI

2

2 1

;

si faza initiala a curentului

uui RC

Larctg

1

Cazuri particulare 1. Circuitul RL serie (C = )

Valoarea efectivă a curentului este:

Z

UI

22222LXRLRZ


0R

Larctg

Diagrama fazorială este dată în figura


LjRI

UZ

2. Circuitul RC serie ( L=0 ) Valoarea efectivă a curentului este:

u u

u t( )

uR L C

LR Ci t( ) C

u

Ri

Z

UI

unde,

2222

2 1CXR

CRZ


01

1

R

Xarctg

CRarctg

RCarctg C

Diagrama fazorială este prezentată în figura.

U I =RI

U =-j 1CU

+j

+1


CjXRC

1jRZ

3. Circuit LC serie (R=0)

Valoarea efectivă a curentului este:

C

u

Li

Z

UI

cu CL XXC

LZ

1

Defazajul circuitului este 2 .

Diagrama fazorială este

U I =j L U I =j L

I I

U =-jU =-j

1C 1

C

U

U

+j +j

+1 +

a b

u

LRi

1

Impedanţa complexă Z este:

)XX(j)C

L(jZ CL

1

U I =RI

UU =j L I

+j

+1

ELEMENTE REALE DE CIRCUIT IN RPS BOBINA REALA IN RPS

Este un element de circuit, tip uniport, al cărui

parametru principal este inductivitatea , dar care consumă putere activă ca urmare a pierderilor ce pot să apară din următoarele cauze:

L

- curenţi turbionari în miezul magnetic - pierderi prin histerezis - magnetizării ciclice a miezului

În aceste condiţii defazajul dintre tensiune şi

curent este mai mic de iar complementul

unghiului se notează cu şi se numeşte

unghi de pierderi.

090

2 ; 2

Diagrama fazorială este dată în figura de mai jos prin reprezentarea fazorilor ataşaţi tensiunii, curentului şi fluxului magnetic .

Astfel, fluxul este reprezentat ca un fazor

perpendicular pe tensiunea U de la borne şi în

urma acesteia cu , ca urmare a relatiei dintre tensiune si flux data de legea inductiei

electromagnetice

090

dt

du

.

Vectorii câmpului magnetic existenţi în bobină

sunt: B ce reprezinta inducţia magnetică şi H intensitatea câmpului magnetic.

Vectorul B este coliniar cu , ca urmare a

relatiei dintre fluxul magnetic si inductia magnetica, iar vectorul H este coliniar cu I ca urmare a legii circuitului magnetic. Astfel B si H sunt reprezentaţi în diagrama fazorială. Este interesant de studiat care este relaţia între mărimile câmpului magnetic. Acestea sunt la rândul lor semnale variabile în timp sub formă sinusoidală a căror legi de variaţie se pot stabili făcând trecerea inversă din complex în domeniul timp. Din diagrama fazorială se pot scrie:

0jHeH şi jBeB

În domeniul timp:

tsinHtH m şi tsinBtB m

Eliminând timpul între cele două relaţii, se obţine legătura înte cele două mărimi.

mm B

Bsintcoscostsin;

H

Htsin

mmm B

Bcos

H

H

sintcos;

H

Htsin

1

Folosind ecuaţia trigonometrică

fundamentală: se obţine: 122 tcostsin

11

2

2

2

mmm B

Bcos

H

H

sinH

H

2

22

2 sincosB

B

H

H

B

B

H

H

mmmm

Ecuaţia de mai sus reprezintă ecuaţia unei elipse numită elipsă de pierderi. Aria închisă de elipsă este proporţională cu energia magnetică înmagazinată în miezul bobinei în unitatea de volum şi unitatea de timp pentru un ciclu al variaţiei tensiunii la borne. Modele (scheme echivalente) pentru bobina reala Bobina reală acceptă ca model electric, circuite R, L serie sau paralel. Legătura dintre parametrii modelului şi semnalele electrice de la bornele grupării U şi I , respectiv unghiul de pierderi se stabilesc utilizând diagrama fazorială şi legea lui Ohm. Selectand din diagrama fazoriala doar fazorii U si I, ca in figura de mai jos, si descompunand tensiunea in componentele U’ de pe axa reala si

U” de pe axa imaginara, observam ca putem modela bobina printr-o schema serie R,L. Relaţiile între parametrii schemei echivalente şi semnalele de la borne, în valori efective, se stabilesc astfel: Din legea lui Ohm se poate scrie:

U +j

+1

H I

B

U

+j

+1

IU’

U”

R L

U’U

U”

I

LIU;RIU

De pe diagrama fazorială se scrie: cosUU;sinUU

Egalând relaţiile se obţine:

cosI

UL;sin

I

UR

Daca rotimm diagrama fazoriala cu unghiul ,

atunci se observa ca putem descompune curentul in doua componente I’ pe axa reala si I” pe axa imaginara. In acest caz putem modela bobina printr-o schema paralel R,L.

Pentru schema paralel R,L ca model al bobinei reale , diagrama fazorială este cea din figura. . Din legea lui Ohm se scrie:

L

UI;

R

UI

De pe diagrama fazorială se obţine relaţiile: cosII;sinII

Egalând relaţiile se obţine:

sinI

UR

1;

cosI

UL

1

CONDENSATORUL REAL IN RPS Este un element de circuit, tip uniport, a cărui parametru principal este capacitatea C, dar care consumă putere activă ca urmare a pierderilor ce pot apărea în dielectricul dintre armături, datorită:

- imperfecţiunilor dielectricului; - pierderilor datorate polarizării

ciclice.



său se notează cu şi se numeşte unghi de pierderi:

090

22 ;

Diagrama fazorială este prezentată în figura. Pe diagramă sunt reprezentaţi fazorii ataşaţi tensiunii, curentului, sarcinii electrice . q

Reprezentarea fazorului ataşat sarcinii electrice de pe armăturile condensatorului se face

folosind relaţia: dt

dqi . Deci I si Q sunt fazori

perpendiculari Mărimile caracteristice ale câmpului electric

sunt: intensitatea câmpului electric E şi

inducţia câmpului electric D . Între tensiunea electrică U şi intensitatea câmpului E există relaţie de coliniaritate şi de asemenea între sarcina electrică q şi inducţia electrică D.

I+j

+1

E

D

U

Q

+j

+1

I

I’

I”

U R

L

U

I’I

I”

Ca şi în cazul bobinei este interesant de studiat relaţia dintre mărimile câmpului electric

DfE . Pentru aceasta se elimină timpul t

între cele două semnale. Astfel de pe diagrama fazorială se pot scrie expresiile în complex pentru D şi E :

jDeD 0jEeE

Trecând în domeniul timp se obţine: tsinEE;tsinDD mm

Eliminând timpul se obţine ecuaţia:

22

2

2

2

2 sincosD

D

E

E

D

D

E

E

mmmm

Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia unei elipse, care se numeşte elipsa de pierderi deoarece aria închisă de această elipsă este proporţională cu energia înmagazinată în unitatea de timp şi unitatea de volum în dielectricul dintre armăturile condensatorului, pentru un ciclu al variaţiei tensiunii la borne. Modele (scheme echivalente) pentru condensatorul real. Condensatorul real se poate modela prin elementele de circuit condensator şi rezistor grupate în serie sau paralel Dacă din diagrama fazorială reţinem doar semnalele de la bornele condensatorului, respectiv tensiunea şi curentul se observă posibilitatea descompunerii curentului în două

componente I şi I , deci modelul va fi o grupare paralel.

R

C

U

I’I

I”

+j

+1

I

I’

I”

U

Din diagrama fazorială se poate scrie:

cosII;sinII

De pe model se poate scrie:

CUI;R

UI

Identificând relaţiile se pot obţine:

sinI

UR

R

UsinI

1

cosU

ICCUcosI

Dacă diagrama fazorială se reprezintă rotind fazorii în aşa fel încât curentul I să fie pa axa

reală se obţine diagrama de mai jos.

Se observa posibilitatea

descompunerii tensiunii in doua componente U şi U , deci modelul va fi o grupare serie.

U

+j

+1IU’

U”

R C

U’U

U”

I

Din diagrama fazorială se poate scrie: cosUU;sinUU

De pe modelul electric se poate scrie:

IC

U;RIU

1

Identificând se obţin relaţiile pentru calculul parametrilor modelului.

sinI

URRIsinU ;

cosU

ICI

CcosU

11


CONDENSATORUL REAL IN RPS Este un element de circuit, tip uniport, a cărui parametru principal este capacitatea C, dar care consumă putere activă ca urmare a pierderilor ce pot apărea în dielectricul dintre armături, datorită:

- imperfecţiunilor dielectricului; - pierderilor datorate polarizării

ciclice.



său se notează cu şi se numeşte unghi de pierderi:

090

22 ;

Diagrama fazorială este prezentată în figura. Pe diagramă sunt reprezentaţi fazorii ataşaţi tensiunii, curentului, sarcinii electrice . q

Reprezentarea fazorului ataşat sarcinii electrice de pe armăturile condensatorului se face

folosind relaţia: dt

dqi . Deci I si Q sunt fazori

perpendiculari Mărimile caracteristice ale câmpului electric

sunt: intensitatea câmpului electric E şi

inducţia câmpului electric D . Între tensiunea electrică U şi intensitatea câmpului E există relaţie de coliniaritate şi de asemenea între sarcina electrică q şi inducţia electrică D.

Ca şi în cazul bobinei este interesant de studiat relaţia dintre mărimile câmpului electric

. Pentru aceasta se elimină timpul t

între cele două semnale. Astfel de pe diagrama fazorială se pot scrie expresiile în complex pentru

DfE

D şi E : jDeD 0jEeE

Trecând în domeniul timp se obţine: tsinEE;tsinDD mm

Eliminând timpul se obţine ecuaţia:

22

2

2

2

2 sincosD

D

E

E

D

D

E

E

mmmm

Relaţia de mai sus reprezintă ecuaţia unei elipse, care se numeşte elipsa de pierderi deoarece aria închisă de această elipsă este proporţională cu energia înmagazinată în unitatea de timp şi unitatea de volum în dielectricul dintre armăturile condensatorului, pentru un ciclu al variaţiei tensiunii la borne. Modele (scheme echivalente) pentru condensatorul real. Condensatorul real se poate modela prin elementele de circuit condensator şi rezistor grupate în serie sau paralel Dacă din diagrama fazorială reţinem doar semnalele de la bornele condensatorului, respectiv tensiunea şi curentul se observă posibilitatea descompunerii curentului în două

componente I şi I , deci modelul va fi o grupare paralel.

Din diagrama fazorială se poate scrie:

cosII;sinII

De pe model se poate scrie:

CUI;R

UI

Identificând relaţiile se pot obţine:

sinI

UR

R

UsinI

1

cosU

ICCUcosI

Dacă diagrama fazorială se reprezintă rotind fazorii în aşa fel încât curentul I să fie pa axa

reală se obţine diagrama de mai jos.

I+j

+1

E

D

U

Q

+j

+1

I

I’

I”

U

R

C

U

I’I

I”

U

+j

+1IU’

U”

R C

U’U

U”

I

Se observa posibilitatea descompunerii tensiunii in doua componente U şi , deci modelul va fi o grupare serie.

U

Din diagrama fazorială se poate scrie: cosUU;sinUU

De pe modelul electric se poate scrie:

IC

U;RIU

1

Identificând se obţin relaţiile pentru calculul parametrilor modelului.

sinI

URRIsinU ;

cosU

ICI

CcosU

11

PUTERI ELECTRICE IN RPS Se consideră semnalele tensiune şi curent sinusoidale de forma:

)tsin(I)t(i

)tsin(U)t(u

i

u

2

2

cu sensurile asociate după regula de la receptoare. Puterea instantanee are expresia: )t(p

)t(i)t(u)t(p

cu sensurile asociate după regula de la receptoare. Puterea instantanee poate fi pozitivă sau negativă şi are ca unitate de măsură în SI wattul W . Dacă tensiunea şi curentul sunt asociate după regula de la receptoare (acelaşi sens) atunci:

0p este putere absorbită (primită)

0p este putere furnizată (cedată)

Dacă tensiunea şi curentul sunt asociate după regula de la generatoare (de tensiuni opuse) atunci:

0p este putere furnizată (cedată)

0p este putere absorbită (primită)

Puterea instantanee are expresia

)tcos(UIcosUI

)tsin()tsin(UIp

iu

iu

2

2

unde este defazajul dintre tensiune şi

curent. iu

Puterea instantanee conţine doi termeni: -un termen constant UI numit putere

activă :

cos

cosUIP

-un termen variabil în timp, cu pulsaţie dublă numit, putere oscilantă

)tsin(UIp iuo 22

Puterea activă P este egală cu valoarea medie a puterii instantanee într-o perioadă , care reprezintă în acelaşi timp componenta continuă a lui

T

)t(p

PcosUI

dt)]tcos(UIcosUI[T

dt)t(pT

Tiu

T

002

11

Puterea activă poate fi pozitivă sau negativă şi se măsoară în watt în SI. Pentru un rezistor defazajul dintre tensiune şi curent este zero deci

2RIUI0cosUIP Un rezistor absoarbe putere activă pe care o transformă în căldură. Pentru bobina şi condensator defazajul dintre tensiune şi curent este 90o deci

02

cosUIP

Bobina sau condensatorul elementar nu aborb şi nu cedează putere activă. Puterea reactivă sau este definită de

relaţia:

Q rP

sinUIPQ r

Unitatea de măsură în SI este VAR (sau VAr)-volt-amper-reactiv. Puterea reactivă poate fi pozitivă sau negativă, în aceleaşi situaţii ca şi puterea activă. Pentru un rezistor puterea reactivă este:

00sinUIQ

Un rezistor nu absoarbe şi nu cedează putere reactivă. Pentru o bobină puterea reactivă este:

2LIUI2

sinUIQ

deci o bobină absoarbe putere reactivă.

Pentru un condensator puetrea reactivă este

UIcos

p

u

i

t

2ic

1UI

2sinUIQ

deci un condensator furnizează putere reactivă.

Transferul de putere maximă în rps. Puterea aparentă este maximul puterii active sau puterea reactivă maximă în valoare absolută, deci:

S Dipolul în rps este caracterizat de impedanţa complexă jXRZ iar sarcina de impedanţa

complexă sss jXRZ . UIS

Unitatea de măsură în SI este VA (volt-amper), ea fiind întotdeauna pozitivă . 0S Calculând puterea aparentă pe sarcină

2sss2 I)jXR(IIZS Se observă că între puterile P , şi există

relaţiile:

Q Siar

2s

2s )XX()RR(

EI

sinSQ

cosSP;

P

Qtg

QPS 22

Puterea activă este partea reală a puterii aparente complexe:

Aceste relaţii sugerează un triunghi dreptunghic având catetele egale cu P şi Q şi ipotenuza cu S, triunghi care se numeşte triunghiul puterilor

2s

2s

2s

2 )XX()RR(

ERP

P

SQ

Derivând în raport cu Rs şi Xs se obţine: 0RRşi0XX ss

ss RRXX

Deci condiţia de transfer a puterii maxime este

sss ZjXRjXRZ Factorul de putere sau FP este raportul

dintre puterea activă şi puterea aparentă. pk

REZONANTA

SP

FPkp Fenomenul de rezonanţă poate apare în circuitele electrice care funcţionează în regim permanent sinusoidal şi în care există obligatoriu bobine şi condensatoare.

În regim permanent sinusoidal coskp deci

. 1k0 p

Un circuit liniar sau neliniar se află la rezonanţă dacă defazajul dintre tensiune şi curent este zero.

Puterea aparentă complexă În regim sinusoidal, utilizarea reprezentării simbolice analitice în complex conduce la posibilitatea definirii unei puteri complexe, numită putere aparentă complexă.

Condiţie de rezonanţă este:

0 iu *IUS

Aceasta conduce la următoarele relaţii de rezonanţă: unde: ujUeU ; ijIeI ; ijIe*I ;

*I se numeşte valoarea complex conjugată a

curentului complex I .

0 sinZX)Z(m ;

0 sinZB)Y(m ; 0 sinUIQ

Calculând puterea aparentă complexă se obţine: În regimurile de rezonanţă, în circuite pot apărea supraintensităţi, supratensiuni, oscilaţii neamortizate, filtrare de semnale, etc.

j)(jjj SeUIeIeUeS iuiu

Deci, modulul puterii aparente complexe este egal cu puterea aparentă şi argumentul este egal cu defazajul circuitului.

jQPsinjUIcosUI

)sinj(cosUIUIeSeS jj

În acelaşi timp, partea reală a puterii aparente complexe este egală cu puterea activă iar partea imaginară este egală cu puterea reactivă.


PUTERI ELECTRICE IN RPS Transferul de putere maximă în rps. Dipolul în rps este caracterizat de impedanţa complexă jXRZ iar sarcina de impedanţa

complexă sss jXRZ . Calculând puterea aparentă pe sarcină

2sss2 I)jXR(IIZS

iar

2s

2s )XX()RR(

EI

Puterea activă este partea reală a puterii aparente complexe:

2s

2s

2s

2 )XX()RR(

ERP

Derivând în raport cu Rs şi Xs se obţine:

0RRşi0XX ss

ss RRXX Deci condiţia de transfer a puterii maxime este

sss ZjXRjXRZ

REZONANTA

Fenomenul de rezonanţă poate apare în circuitele electrice care funcţionează în regim permanent sinusoidal şi în care există obligatoriu bobine şi condensatoare. Un circuit liniar sau neliniar se află la rezonanţă dacă defazajul dintre tensiune şi curent este zero. Condiţie de rezonanţă este:

0 iu

Aceasta conduce la următoarele relaţii de rezonanţă:

0 sinZX)Z(m ;

0 sinZB)Y(m ; 0 sinUIQ

În regimurile de rezonanţă, în circuite pot apărea supraintensităţi, supratensiuni, oscilaţii neamortizate, filtrare de semnale, etc.

-j I 1C

j L I

IU R

U

+j

+1

=0

CIRCUIT RLC SERIE LA REZONANŢĂ

Se calculează impedanţa complexă a circuitului:

CLjR

CjLjRZ

11

Condiţia de rezonanţă este:

0 )Z(mrr CL

r

XXC

L

0

1

Se obţine ecuaţia:

012 LC din care se poate calcula paramentrul variabil la rezonanţă: pulsaţia, capacitatea sau inductivitatea. Astfel pulsatia sau frecventa de rezonanata a circuitului ( formula lui Tompson) sunt:

LC

10 ,

LCf

2

10 .

La variatia capacitatii sau a inductivitatii se obtin valorile la rezonanta:

CL,

LC rr 22

11

La rezonanţă: RZ deci impedanţa complexă are

numai parte reală egală cu rezistenţa echivalentă a circuitului. Dacă se ţine cont de condiţia de mai sus:

C

L

C)L()

C()L(

rrrr

11

unde se numeşte impedanţa caracteristică.

Prin urmare, la rezonanţa de tensiuni reactanţa bobinei şi a condensatorului sunt egale şi independente de frecvenţă. Tensiunile pe elementele de circuit sunt :

IRU R ; ILjU L ; IC

jU C

1

La rezonanţă rr CL UU ; respectiv

0rr CL UU iar diagrama fazorială este

reprezentată în figură

L

Ce t( )

R

~

În valori efective :

rr CL UU

adică tensiunea la bornele bobinei este egală cu tensiunea la bornele condensatorului. Este posibil ca valorile acestor tensiuni să depăşească tensiunea aflată la borne, deci să apară supratensiuni. Condiţia de apariţie a supratensiunilor este condiţionată de inegalitatea :

RR)L(RII)L(UU rrrrL

Se defineşte factorul de calitate, ca fiind raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii la bornele bobinei sau a condensatorului la rezonanţă şi valoarea efectivă a tensiunii de alimentare.

RC

L

RR

)L(

RI

I)L(

U

U

U

UQ rrCr

S

1

Factorul de calitate reprezintă raportul de amplificare a tensiunilor la rezonanţă. Astfel pentru apariţia supratensiunilor . 1SQ

Este interesant de studiat cum variază semnalele din circuit cu frecvenţa, respectiv impedanţa circuitului şi defazajul circuitului cu frecvenţa (diagrame Bode). Modulul impedanţei complexe este

22 1)

CL(RZ

şi defazajul circuitul ui

RC

Larctg

1

Valoarea efectivă a curentului din circuit este :

22 1)

CL(R

E

Z

EI

Se prelucrează relaţiile în aşa fel încât să se raporteze la pulsaţia de rezonanţă . Astfel : r

222

2

22

2

2

222

22

2

22

2

2

2222

11

11

11

11

1

kkQR

kk

CR

LR

R

LR

R

LR

LCR

LR)

CL(R

S

r

r

rr

unde r

k

. La rezonanţă . 1k

Pentru defazaj se prelucrează analog relaţia :

kkQ

R

L

R

L

LCR

L

RC

L

Sr

r

r

r

1

11

2

Pentru studiul în funcţie de frecvenţă şi factorul de calitate relaţiile devin :

22 1

1

kkQRZ S

kkQarctg S

1

22 1

1

kkQR

EI

S

Reprezentând grafic Z , şi I funcţie de şi

pentru 3 valori ale factorului de calitate se obţin reprezentările

k

1 K

I

I / 2

r

r

UR

K K1 2

.I I/ r

1

Z

Z = Rr

1 K

K

90

-90

La rezonanţă se obţine : Curbele trasate pentru diverse valori ale factorului de calitate se numesc curbe de rezonanţă. Cu cât valoarea factorului de calitate este mai ridicată, cu atât curba de rezonanţă este mai îngustă, adică semnalul răspuns are valori importante într-un interval restrâns de frecvenţe.

rr CL II sau 0rr CL II

Pentru valorile efective rezultă relaţiile :

rr CL II

În circuitul RLC paralel, curenţii pot depăşi valoarea curentului furnizat de generator, deci în circuit pot apărea supracurenţi. În concluzie, valoarea factorului de calitate este

un indicator al selectivitaţii circuitului. Condiţia de apariţie a supracurenţilor este dată de:

GGCGUCUIII rCLrr

Se defineşte ca bandă de trecere a semnalelor intervalul de frecvenţe cuprins între frecvenţele corespunzătoare intersecţiei graficului lui

cu dreapta

rI/I

2/I r . Este posibil astfel să se

determine frecvenţele limită ale benzii de trecere.

unde :

L

CC

LCCr

1

se numeşte admitanţă caracteristică.

Factorul de calitate se defineşte, în acest caz, ca fiind raportul dintre valoarea efectivă a curentului din condensator sau bobină la rezonanţă şi valoarea efectivă a curentului total la rezonanţă.

CIRCUITUL RLC PARALEL LA REZONANŢĂ

L Ci t ( ) R

ii i iR L C

g

GR

LC

RGC

GUUC

I

I

I

IQ rr

r

L

r

Cp

rr

Pentru apariţia supracurenţilor : Q 1p

Se calculează admitanţa complexă:

Este interesant de studiat modul de variaţie a semnalelor cu frecvenţa. Astfel :

LCjG

LCj

RY

111

Condiţia la rezonanţă este

LrCrr

BBL

C

0

1 0 )Y(m 2

2p

2

2 kk1

Q1R1

L1

CR

1Z1

Y

r

r LC

1

k

k1

arctgQLC1

arctgRC

R1

L1

Carctg p

Dacă din această condiţie calculăm parametrii variabili la rezonanţă se obţin aceleaşi relaţii ca în cazul circuitului serie. Admitanţa complexă la rezonanţă va fi : Diagramele în funcţie de frecvenţă reprezintă

curbele de rezonanţă ale circuitului. Diagrama admitanţei funcţie de frecvenţă are aceeaşi formă de parabolă iar diagrama defazajului funcţie de frecvenţă este desenată mai jos

RGY

11

Curenţii prin cele trei elemente sunt :

RI R

U;

Lj

LjI L

UU

; UCj

Cj

UI C

1

1 K

90

-90

CLR IIII

Diagrama fazorială în acest caz este reprezentată în figura.

-j UC

j C U

UIR

I

+j

+1

=0

0


CIRCUIT RLC SERIE LA REZONANŢĂ LrCr

r

BBL

C

0

1

Curbe de rezonanta sunt curbele Z, si I in functie de frecventa pentru diferite valori ale factorului de calitate.

22 1

1

kkQRZ S

kkQarctg S

1

22 1

1

kkQR

EI

S

unde r

k

. La rezonanţă . 1k

Cu cât valoarea factorului de calitate este mai ridicată, cu atât curba de rezonanţă este mai îngustă, adică semnalul răspuns are valori importante într-un interval restrâns de frecvenţe. În concluzie, valoarea factorului de calitate este un indicator al selectivitaţii circuitului. CIRCUITUL RLC PARALEL LA REZONANŢĂ Se calculează admitanţa complexă:

LCjG

LCj

RY

111

Condiţia la rezonanţă este

0 )Y(mL

Ce t( )

R

~

rr L

C

1

Dacă din această condiţie calculăm parametrii variabili la rezonanţă se obţin aceleaşi relaţii ca în cazul circuitului serie. Admitanţa complexă la rezonanţă va fi :

RGY

11

Curenţii prin cele trei elemente sunt :

RI R

U;

Lj

LjI L

UU

; UCj

Cj

UI C

1

CLR IIII Diagrama fazorială în acest caz este reprezentată în figura. La rezonanţă se obţine :

-j UC

j C U

UIR

I

+j

+1

=0

0

Z

Z = Rr

1 K

rr CL II sau 0rr CL II

Pentru valorile efective rezultă relaţiile :

rr CL II

În circuitul RLC paralel, curenţii pot depăşi valoarea curentului furnizat de generator, deci în circuit pot apărea supracurenţi. Condiţia de apariţie a supracurenţilor este dată de:

GGCGUCUIII rCLrr

unde :

L

CC

LCCr

1

se numeşte admitanţă caracteristică.

L Ci t ( ) R

ii i iR L C

g

Factorul de calitate se defineşte, în acest caz, ca fiind raportul dintre valoarea efectivă a curentului din condensator sau bobină la rezonanţă şi valoarea efectivă a curentului total la rezonanţă.

G

RLC

RGC

GUUC

I

I

I

IQ rr

r

L

r

Cp

rr

Pentru apariţia supracurenţilor : Q 1p

Este interesant de studiat modul de variaţie a semnalelor cu frecvenţa. Astfel :

22p

2

2 kk1

Q1R1

L1

CR

1Z1

Y

k

k1

arctgQLC1

arctgRC

R1

L1

Carctg p

Diagramele în funcţie de frecvenţă reprezintă curbele de rezonanţă ale circuitului. Diagrama admitanţei funcţie de frecvenţă are aceeaşi formă de parabolă iar diagrama defazajului funcţie de frecvenţă este desenată mai jos

REZONANŢA ÎN CIRCUITE CU ELEMENTE REALE În cazul circuitelor cu elemente reale, studiul rezonanţei se face calculând, în prealabil, impedanţa complexă a circuitului, după care se anulează partea sa imaginară (reactanţa echivalentă). Calculul impedanţei complexe se poate face folosind grupările de impedanţe , pentru circuitele fără cuplaje magnetice, sau aplicând teoremele lui Kirchhoff, pe circuitele cu cupleje magnetice, eliminând apoi pe rând curenţii pentru ca în final să obţinem o ecuaţie între U şi I , care reprezintă impedanţa Z .

Circuitele posedă la rezonanţă proprietăţi interesante : a) dacă un circuit de tip dipol permite

circulaţia curentului continuu atunci prima rezonanţă care apare este de curenţi (paralel) în sensul crescător al frecvenţelor;

b) dacă un circuit de tip dipol nu permite circulaţia curentului continuu atunci prima rezonanţă care apare este de tensiuni (serie);

c) rezonanţele se succed apoi alternativ; d) numărul regimurilor de rezonanţă este egal cu numărul elementelor reactive distincte de circuit mai puţin o unitate.

Exemple 1. Să se determine pulsaţia de rezonanţă a circuitului pentru două valori ale rezistenţei:

50R Ω şi 5R Ω. Bobina are L = 10mH şi condensatorul C = 2μF iar tsin)t(ig 25 .

i t( )g R

L

C

2. Sa se determine capacitatea C la rezonanta.Parametrii bobinelor sunt: , mHL 21

mHL 62 , mHL 43 , ,

iar

mHL 223 L12

mHL 113 s/rad410

1 K

90

-90

C L

L

LL

L

L

1

2

3123

12

3

CIRCUITE SPECIALE IN RPS

TRANSFORMATORUL

ii

ii

u uu u1 1

11 1

2

22

2

2

H

H

a b Transformatorul este un aparat static, format din două înfăşurări distincte cuplate magnetic care are drept scop modificarea tensiunilor şi curenţilor. Transformatorul este alcătuit din 2 bobine (înfăşurări) dispuse pe un miez. Acesta realizează cuplajul dintre bobine. Bobina primară este caracterizată de parametrii R1, L11 şi este alimentată de tensiunea u1(t). Ea primeşte putere din exterior (de la o sursă de tensiune) deci are rol de receptor. Bobina secundară este caracterizată de parametrii R2, L22 şi la bornele ei se obţine tensiunea u2(t). Ea transmite putere electrică unui receptor deci are rol de generator.

Cele două înfăşurări sunt cuplate prin inductanţă mutuală L12 cuplaj realizat de miezul magnetic. Când acesta lipseşte transformatorul se numeşte fărăr miez feromagnetic. Apariţia tensiunii la bornele bobinei secundare se datorează fenomenului de inducţie electromagnetică. Curentul sinusoidal din bobina primară creează un flux magnetic sinusoidal, deci variabil în timp, care înlănţuie spirele bobinei secundare. Prin fenomenul de inducţie electromagnetică la bornele bobinei secundare apare o tensiune electromotoare indusă. Acelaşi fenomen se întâmplă invers, dacă bobina secundară este parcursă de curentul i2 sinusoidal.

Fluxurile totale ale celor două înfăşurări 1 şi 2 se pot scrie de forma:

0222022022

0111011011

NiLN

NiLN

ddd

ddd

unde d1 este fluxul total de dispersie al bobinei primare iar Ld1 este inductuvitatea de dispersie a bobinei primare, d2 este fluxul total de dispersie al bobinei secundare iar Ld1 este inductuvitatea de dispersie a bobinei secundare, 0 este fluxul magnetic principal format din fluxurile magnetice care realizaeză cuplajul.

dtN

dtLiRu d 22222

ddidt

dN

dt

diLiRu d

02

01

11111

În complex sistemul devine:

Ecuaţiile generale ale transformatorului , în valori instantanee sunt:

dt

diRu

dt

diRu

2222

1111

0222222 NjILjIRU d

În cazul transformatorului cu miez feromagnetic se mai adaugă o ecuaţie sistemului de mai sus ,

0111111 NjILjIRU d

care se numeşte ecuaţie de solenaţ de forma: ii,

2211101 INININ

ECUAŢIILE TRANSFORMATORULUI FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC

Ecuaţiile fizice Fluxurile totale ale bobinelor 1 şi 2 sunt formate din fluxurile proprii şi cele de cuplaj.

dt

diL

dt

diLiRu

dt

diL

dt

diLiRu

112

222222

212

111111

Trecând în complex sistemul este:

11222222

21211111

ILjILjIRU

ILjILjIRU

Pentru stabilirea bilanţului de puteri se calculează puterile aparente complexe

111 IUS respectiv 222 IUS

Separând partea reală care reprezintă puterea activă se poate obţine bilanţul puterilor active:

2222

2111 PIRIRP

Puterea activă a primarului furnizează puterea activă necesară secundarului , pe care acesta o transmite unei sarcini şi puterile active absorbite de rezistenţele celor două bobine care se transformă ireversibil în căldură.

Ecuaţiile tehnice


CIRCUITE SPECIALE IN RPS TRANSFORMATORUL

Transformatorul este un aparat static, format din două înfăşurări distincte cuplate magnetic care are drept scop modificarea tensiunilor şi curenţilor. Transformatorul este alcătuit din 2 bobine (înfăşurări) dispuse pe un miez. Acesta realizează cuplajul dintre bobine. Bobina primară este caracterizată de parametrii R1, L11 şi este alimentată de tensiunea u1(t). Ea primeşte putere din exterior (de la o sursă de tensiune) deci are rol de receptor. Bobina secundară este caracterizată de parametrii R2, L22 şi la bornele ei se obţine tensiunea u2(t). Ea transmite putere electrică unui receptor deci are rol de generator. Cele două înfăşurări sunt cuplate prin inductanţă mutuală L12 cuplaj realizat de miezul magnetic. Când acesta lipseşte transformatorul se numeşte fărăr miez feromagnetic. Apariţia tensiunii la bornele bobinei secundare se datorează fenomenului de inducţie electromagnetică. Curentul sinusoidal din bobina primară creează un flux magnetic sinusoidal, deci variabil în timp, care înlănţuie spirele bobinei secundare. Prin fenomenul de inducţie electromagnetică la bornele bobinei secundare apare o tensiune electromotoare indusă. Acelaşi fenomen se întâmplă invers, dacă bobina secundară este parcursă de curentul i2 sinusoidal. Ecuaţiile generale ale transformatorului , în valori instantanee sunt:

dt

diRu

dt

diRu

2222

1111

ECUAŢIILE TRANSFORMATORULUI FĂRĂ MIEZ FEROMAGNETIC

Ecuaţiile fizice Fluxurile totale ale bobinelor 1 şi 2 sunt formate din fluxurile proprii şi cele de cuplaj.

ii

ii

u uu u1 1

11 1

2

22

2

2

H

H

a b dt

diL

dt

diLiRu

dt

diL

dt

diLiRu

112

222222

212

111111

Trecând în complex sistemul este:

11222222

21211111

ILjILjIRU

ILjILjIRU

Pentru stabilirea bilanţului de puteri se calculează puterile aparente complexe

111 IUS respectiv 222 IUS

Separând partea reală care reprezintă puterea activă se poate obţine bilanţul puterilor active:

2222

2111 PIRIRP

Puterea activă a primarului furnizează puterea activă necesară secundarului , pe care acesta o transmite unei sarcini şi puterile active absorbite de rezistenţele celor două bobine care se transformă ireversibil în căldură. Ecuaţiile tehnice Fluxurile totale ale celor două înfăşurări 1 şi 2 se pot scrie de forma:

0222022022

0111011011

NiLN

NiLN

ddd

ddd

unde d1 este fluxul total de dispersie al bobinei primare iar Ld1 este inductuvitatea de dispersie a bobinei primare, d2 este fluxul total de dispersie al bobinei secundare iar Ld1 este inductuvitatea de dispersie a bobinei secundare, 0 este fluxul magnetic principal format din fluxurile magnetice care realizaeză cuplajul.

dtN

dtLiRu d 22222

ddidt

dN

dt

diLiRu d

02

01

11111

În complex sistemul devine:

0222222 NjILjIRU d

În cazul transformatorului cu miez feromagnetic se mai adaugă o ecuaţie sistemului de mai sus ,

0111111 NjILjIRU d

care se numeşte ecuaţie de solenaţii, de forma:

2211101 INININ

unde 10I este curentul de mers în gol al

primarului. CIRCUITE TRIFAZATE Circuitele electrice trifazate se utilizează în producerea, transportul şi distribuţia energiei electrice şi, într-o pondere importantă, şi în transformarea energiei electrice în alte forme de energie spre consumatori. Circuitele trifazate sunt formate din generator, linie de transport şi receptor (sau consumator). Sistemele trifazate sunt sisteme formate din trei semnale, cărora le corespund două tipuri de conexiuni : stea şi triunghi. Sisteme trifazate prezintă următoarele avantaje:

1. economie de material, 2. posibilitatea folosirii câmpului

magnetic învârtitor care asigură realizarea celor mai simple motoare electrice

3. posibiltatea existenţei la receptor a 2 tensiuni diferite: de linie şi de fază

4. suprimatea termenului oscilant din expresia puterii instantanee

CIRCUITE TRIFAZATE SIMETRICE Un sistem simetric trifazat este format din 3 semnale având aceeaşi valoare efectivă şi fiind defazate cu unhiuri egale între ele. În valori instantanee un sistem simetric de tensiuni are valorile efective egale ale celor trei semnale şi defazajele egale cu 1200 :

)tsin(U)t(u

)tsin(U)t(u

)tsin(U)t(u

3

42

3

22

2

3

2

1

În complex sistemul se poate scrie de forma:

)(j)(j

)(j

j

eAeAA

eAA

eAA

3

2

3

4

3

3

2

2

1

Sistemele trifazate simetrice, se pot exprima în funcţie de operatorul de rotaţie a

2

3

2

13

2

jeaj

Operatorul a satisface următoarele relaţii mai importante:

2

3

2

13

2

3

42 jeea

jj

; ; 01 2 aa

13 a ; ; 2aa* aa*2 , unde este

conjugatul numărului complex a.

*a

Astfel semnalele se pot scrie:

ff

ff

f

j

f

UaU

UaU

UeUU fu

f

3

2

1

2

Deci 0321 fff UUU

PUTERI ELECTRICE Puterea instantanee pentru un receptor trifazat simetric este:

cosIU

)tsin(I)tsin(U

)tsin(I)tsin(U

)tsin(I)tsin(U

iuiuiup

ff

ifuf

ifuf

ifuf

ffffff

33

42

3

42

3

22

3

22

22

332211

Puterea aparentă complexă este:

ffffff

ffffffff

IU)Ia(Ua)Ia(Ua

IUIUIUIUS

322

332211

jQPSeeIUeIUIUS fffifu jjff

)(jff

*ff

33311

Rezultă: Puterea activa

fllfff cosIUcosIUP 33

Puterea reactiva

fllfff sinIUsinIUQ 33

Puterea aparenta

lll

lff IUI

UIUS 33

33

In cazul conexiunii în stea cu fir neutru si sistemul nesimetric, puterea aparentă complexă este:

jQPIUIUS *NN

*ff kk

3

1

; 22 QPS

Puterea activă(când este conductor neutru) este:

NNNfff cosIUcosIUPkkk

3

1

Puterea reactivă este:

NNNfff sinIUsinIUQkkk

3

1

Conexiunea stea Se realizează conectând fazele generatorului, respectiv a receptorului, în stea, punând în evidenţă tensiuni de fază şi între faze (de linie), precum şi curenţi pe faze şi pe linia de transport.

În regim sinusoidal, semnalele (tensiuni, curenţi) se pot reprezenta prin valori efective complexe. Diagrama fazoriala de tensiuni este

Relatiile intre tensiunile de linie si de faza sunt:

1331

3223

2112

ffl

ffl

ffl

UUU

UUU

UUU

respectiv 0312312 lll UUU

Curenţii pe fază la generator, la receptor şi pe linie sunt aceeaşi:

'flf III11 1 ; '

flf III 222 ; 'flf III 333

Între curenţi se poate scrie relaţia:

NIIII 321

NI , NU curentul şi tensiunea pe conductorul

neutru (nul).

E U

I

I Z

I Z

Z

U'Z

EU

U UIZ U'

ZE

U

U

U'

UU

U'Z

f1 f1

1

3 l3

2 l2

l1

f1r1

f2f2

12

23

12

3131

l N

NNf 2

r3f3

f3

l

l

ll

f3r2

(1) (1')

(2) (2')(3) (3')

0

Sistemul de tensiuni de faza este simetric:

13

12

1

11

2

ff

ff

j

ff

UaU

UaU

eUU fu

fllll

ffff

UUUUU

UUUU

3312312

321

1231

1223

3112

2

26 33

ll

ll

j

f

j

fl

UaU

UaU

eUeUU

U

U U

UU

UU

f1

f212

31

23

l

f3

l

ll

u

u

uf1

f2

f3

(3)

(1)

(2)

j

10

Sistemele trifazate simetrice de mărimi pot fi 1. direct sau de succesiune directă

111

2fff Ua,Ua,U ;

2. invers sau de succesiune inversă

111

2fff Ua,Ua,U ;

3. homopolar sau de succesiune homopolară

13121 fffff UU,UU,U .

ANALIZA CONEXIUNII STEA Analiza conexiunii înseamnă calculul curenţilor, tensiunilor şi puterilor la receptor dacă se cunosc semnalele generatorului, parametrii liniei şi parametrii receptorului. Pentru un sistem echilibrat, analiza se poate face pe o singură fază, ţinând cont de faptul că valorile efective ale semnalelor sunt egale pe cele 3 faze iar defazajele se cunosc. Pentru conexiunea stea cu fir neutru se cunosc: sistemul de tensiuni de faza de la generator

321 U,U,U , impedanţele de linie egale cu lZ

şi impedanţele receptorului egale cu rZ .

rl

Nf ZZ

UUI

11 Curentul pe o fază este:

Deoarece pentru sistemul simetric de curenţi ul sunt zero: curentul şi tensiunea pe n

0321 NIIII 0 NNN IZU

rezultă:

lrrlllrl

lf IZU,IZU,ZZ

UII

1

Pentru conexiunea stea fără fir neutru se foloseşte pentru calculul tensiunii pe l o nurelaţie ce derivă din teorema lui Millman si care poartă numele de teorema potenţialului punctului neutru.

3210

3322113

0

3

1 UYUYUYUY

U jfjj

N

YYYYZ

fff

jj


E U

I

I Z

I Z

Z

U'Z

EU

U UIZ U'

ZE

U

U

U'

UU

U'Z

f1 f1

1

3 l3

2 l2

l1

f1r1

f2f2

12

23

12

3131

l N

NNf 2

r3f3

f3

l

l

ll

f3r2

(1) (1')

(2) (2')(3) (3')

0

PUTERI ELECTRICE in CIRCUITE TRIFAZATE Puterea instantanee pentru un receptor trifazat simetric este:

cosIU

)tsin(I)tsin(U

)tsin(I)tsin(U

)tsin(I)tsin(U

iuiuiup

ff

ifuf

ifuf

ifuf

ffffff

33

42

3

42

3

22

3

22

22

332211

Puterea aparentă complexă este:

ffffff

ffffffff

IU)Ia(Ua)Ia(Ua

IUIUIUIUS

322

332211

jQPSeeIUeIUIUS fffifu jjff

)(jff

*ff

33311

Rezultă: Puterea activa

fllfff cosIUcosIUP 33

Puterea reactiva

fllfff sinIUsinIUQ 33

Puterea aparenta

lll

lff IUI

UIUS 33

33

In cazul conexiunii în stea cu fir neutru si sistemul nesimetric, puterea aparentă complexă este:

jQPIUIUS *NN

*ff kk

3

1

; 22 QPS

Puterea activă(când este conductor neutru) este:

NNNfff cosIUcosIUPkkk

3

1

Puterea reactivă este:

NNNfff sinIUsinIUQkkk

3

1

Conexiunea stea Se realizează conectând fazele generatorului, respectiv a receptorului, în stea, punând în evidenţă tensiuni de fază şi între faze (de linie), precum şi curenţi pe faze şi pe linia de transport.

Conexiunea stea a receptorului trifazat se poate prezenta sub una din formele:

Z

Z

Z

Z

Z

Z

r

r

r

r

r

r

1

1

3

3

2

2

(1) (1)

(2) (2)

(0)(0)

(3) (3)

În regim sinusoidal, semnalele (tensiuni, curenţi) se pot reprezenta prin valori efective complexe. Diagrama fazoriala de tensiuni este

U

U U

UU

UU

f1

f212

31

23

l

f3

l

ll

u

u

uf1

f2

f3

(3)

(1)

(2)

j

10

Relatiile intre tensiunile de linie si de faza sunt:

1331

3223

2112

ffl

ffl

ffl

UUU

UUU

UUU

respectiv 0312312 lll UUU

Curenţii pe fază la generator, la receptor şi pe linie sunt aceeaşi:

'flf III11 1 ; '

flf III 222 ; 'flf III 333

Între curenţi se poate scrie relaţia:

NIIII 321

NI , NU curentul şi tensiunea pe conductorul

neutru (nul).

Sistemul de tensiuni de faza este simetric:

13

12

1

11

2

ff

ff

j

ff

UaU

UaU

eUU fu

fll31ll

ffff

UUUUU

UUUU

32312

321

ui, parametrii niei şi parametrii receptorului.

egale pe ele 3 faze iar defazajele se cunosc.

sistemul de

Analiza conexiunii stea Analiza conexiunii înseamnă calculul curenţilor, tensiunilor şi puterilor la receptor dacă se cunosc semnalele generatorulli Pentru un sistem echilibrat, analiza se poate face pe o singură fază, ţinând cont de faptul că valorile efective ale semnalelor suntc Pentru conexiunea stea cu fir neutru se cunosc:

tensiuni de faza de la generator

321 U,U,U , impedanţele de linie notate lZ şi

impedanţele receptorului notate rZ .

Curentul pe o fază este: rl

f ZZ 1

Deoarece pentru sistemul simetric de

NUUI

1

curenţi curentul şi tensiunea pe nul sunt zero:

0321 I NIII 0 NNN IZU

rezultă:

lrrlllrl ZZ

Pentru conexiunea stea fără fir neutru se foloseşte pentru calculul tensiunii pe nul o relaţie ce derivă din teorema lui Millman si care poartă numele

lf IZU,IZU,U

II 1

de teorema potenţialului punctului neutru.

3210

3322113

0

3

1

YYYY

UYUYUY

Z

UY

U fff

jj

jfjj

N

ONEXIUNEA TRIUNGHI

receptor coincid. Curenţii de fază diferă de urenţii de linie (pe linia de transport).

eceptorul trifazat în triunghi poate fi reprezentat ca în figura de mai jos.

C Conexiunea triunghi se realizează conectând fazele generatorului în triunghi, ale receptorului în triunghi şi la bornele lor de acces se conectează linia electrică de transport. Tensiunile de fază şi de linie (între 2 faze sau între 2 borne de acces) la generator şi respectiv

lac

UU 3131ll

E

I Z

R

ZZ

Z ZZ

r

r

r rr

23

23

31

Z r31

12

12

(1)(1)

(2)

(3)

(2)(3) Se trasează ţi.

diagrama fazorială de curen

l

I

2

ffffl 12123

Întotdeauna,

''

'f

'fff

'f

'fffl

IIII

IIIII

IIIII

3131

23231

0321 lll III

Când sistemele trifazate sunt simetrice (de te) se obţine: exemplu direc

llll UUUU 312312

respectiv, 1212 ll UU ;

1223

2ll UaU ;

1231 ll UaU

I

ffff

llll

III

IIII

321

321 fl I3I

respectiv, 1

1

fij

ff eII

; 12f

I ; 2fIa

13fI fIa

2

j

113 fl eII ;

12

2ll IaI ;

13 ll IaI

I ZI Z

Z I'I

E UZ

I'I

E

U

U'

U'UU' Z

I'I

f 1

l1

l 2 l 2

l1

l 3 l 3

f 1r1

f 1

f 2 12

23

23

123131lr3

f2f2

f 3

l

l

lllr2

f 3f 3

(1) (1')

(2) (2')(3) (3')

I

I

I

3

2

1

l

l

l

I =If1 23

I =

If2

31I =I32

f3

i

i

if1

f2

f3

(3)

(1)

(2)

j

1

FILTRE ELECTRICE 1. Variatia cu frecventa a parametrilor

elocvente ţei și a

defazajului în funcţie de frecve ţă.

principali ai circuitelor de curent alternativ Pentru studiul în frecvenţă sunt reprezentările modulului impedan

nRezistorul

0jeRRZ

Modulul impedantei este R, deci nu depinde de frecventa iar defazajul este 0.

Z( )

f Hz( )0

R

f Hz( )00

(grade)

Bobina

00 90jL

90jL eLjXLjZ eX

Modulul impedantei este LXZ L iar

defazajul este de 90o = /2 Z( )

f Hz( )0

f Hz( )0

90

Condensatorul

090jeC

1C

jCj

Z

Modulu impedantei este

f Hz( )

Z ( )

0

f Hz( )0

-90

( )grade

2. Filtre Filtrele sunt circuite care selectează semnale, adica sunt circuite care permit să treacă semnale de o singură frecvenţă sau dintr-un domeniu de frecvenţe sau circuite care opresc toate semnalele de frecvenţe diferite dintr- un domeniul stabilit. Filtrele pot fi: trece-jos, care permit trecerea

semnalelor de frecvenţe joase și opresc semnalele de frecvenţe înalte

trece-sus, care permit trecerea semnalelor de frecvenţe înalte și opresc semanlele de frecvenţe joase

trece-bandă care permit trecerea semnalelor de frecvenţe cuprinse într-un anumit domeniu (bandă) și le opresc pe celelalte

oprește-bandă care opresc semnalele de frecvenţe cuprinse într-un domeniu și permit să treacă semnalele de celelalte frecvenţe.

Caracteristicile ideale pentru filtre trece jos si trece sus.

0 0 0 0

1 1

H j( ) H j( )

a b) ) Caracteristicile reale pentru aceleasi filtre.

11

CXZ C

1 iar

o

a b) )

0 0 0 0

1 1

H j( ) H j( )

0,7 0,7

defazajul este de -90 =-/2. Modul de variatie cu frecventa este cel din figurile de mai jos.

Caracteristicile ideale pentru filtrele trece banda si opreste banda.

unde 0 este frecvenţa de tăiere care se obţine impunând condiţia ca modulul funcţiei de transfer să aibă valoarea 0,7. Se obţine

RC11

0

.

a)

0 0i s

1

H( )j

0 0i s

1

H( )j

b)

L

R~+

+

e t( )

u ui e

R

C~+

+

e t( )

u ui e

a)

b) Caracteristicile reale pentru filtrele trece banda si opreste banda

Filtru trece sus Circuitele de ordin 1 de tip RC respectiv RL pot juca rolul de filtre trece sus, dacă semnalul de ieșire se consideră ca fiind tensiunea pe rezistor.

a)

0 0i s

1

H( )j

12

b)

0 0i s

1

H( )j

12

L

R

~+

+

e t( )

u ui e

R

C

~+

+

e t( )

u ui e

a)

b)

Filtru trece jos Un circuit simplu care funcţionează ca un filtru trece jos poate fi un circuit de ordin 1, deci cu un singur element reactiv, de tip RC sau RL, daca semnalul de iesire se culege pe condensator .

0

0

111)()(

j

j

j

j

R

Lj

R

Lj

ILjR

ILjjH

2

0

0

2)(1)(1

)(M

j1

1RCj1

1

I)Cj

1R(

ICj

1

)j(H

2

0

2)(1

1

)(1

1)(M

0

arctg2

)(arctg2

)j1arg()jarg(j1

jarg)(

0

arctg)(arctg

)j1arg()1arg(j1

1arg)(


2. Filtre Filtrele sunt circuite care selectează semnale, adica sunt circuite care permit să treacă semnale de o singură frecvenţă sau dintr-un domeniu de frecvenţe sau circuite care opresc toate semnalele de frecvenţe diferite dintr- un domeniul stabilit. Filtrele pot fi: trece-jos, care permit trecerea

semnalelor de frecvenţe joase și opresc semnalele de frecvenţe înalte

trece-sus, care permit trecerea

semnalelor de frecvenţe înalte și opresc semanlele de frecvenţe joase

trece-bandă care permit trecerea

semnalelor de frecvenţe cuprinse într-un anumit domeniu (bandă) și le opresc pe celelalte

oprește-bandă care opresc semnalele de

frecvenţe cuprinse într-un domeniu și permit să treacă semnalele de celelalte frecvenţe.

Caracteristicile ideale pentru filtre trece jos si trece sus.

0 0 0 0

1 1

H j( ) H j( )

a b) ) Caracteristicile reale pentru aceleasi filtre.

a b) )

0 0 0 0

1 1

H j( ) H j( )

0,7 0,7

Caracteristicile ideale pentru filtrele trece banda si opreste banda.

a)

0 0i s

1

H( )j

0 0i s

1

H( )j

b) Caracteristicile reale pentru filtrele trece banda si opreste banda

a)

0 0i s

1

H( )j

12

b)

0 0i s

1

H( )j

12

Filtru trece jos Un circuit simplu care funcţionează ca un filtru trece jos poate fi un circuit de ordin 1, deci cu un singur element reactiv, de tip RC sau RL, daca semnalul de iesire se culege pe condensator .

j1

1RCj1

1

I)Cj

1R(

ICj

1

)j(H

2

0

2)(1

1

)(1

1)(M

0

arctg)(arctg

)j1arg()1arg(j1

1arg)(

unde 0 este frecvenţa de tăiere care se obţine impunând condiţia ca modulul funcţiei de transfer să aibă valoarea 0,7. Se obţine

RC11

0

.

L

R~+

+

e t( )

u ui e

R

C~+

+

e t( )

u ui e

a)

b) Filtru trece sus Circuitele de ordin 1 de tip RC respectiv RL pot juca rolul de filtre trece sus, dacă semnalul de ieșire se consideră ca fiind tensiunea pe rezistor.

L

R

~+

+

e t( )

u ui e

R

C

~+

+

e t( )

u ui e

a)

b)

0

0

111)()(

j

j

j

j

R

Lj

R

Lj

ILjR

ILjjH

2

0

0

2)(1)(1

)(M

0

arctg2

)(arctg2

)j1arg()jarg(j1

jarg)(

Filtru trece bandă Circuitul care are o comportare tipică de filtru trece bandă cu pierderi este circuitul RLC serie, dacă tensiunea de ieșire este considerată tensiunea pe rezistor.

L

R~+ e t( )

u ui e

C

Fig. 5.24 Circuit RLC serie Funcţia de transfer a circuitului este:

)1LC(jRC

RC

I))C

1L(jR(

IR)j(H 2

Modulul funcţiei de transfer este:

222 )1LC()RC(

RC)(M

unde 0)0(M ; 0)(M iar . 1)(M 0 Faza funcţie de transfer este:

RC1LC

arctg0

))1LC(jRCarg()RCarg()(2

2

unde , iar 090)0( 090)( 0)( 0

a)

log0

-50-60

-40-30-20-10

0

M( ) (dB)dB

i s

(grade)

(log)0

90

-90

b)

Filtru oprește bandă Circuitul care se comportă ca un filtru oprește bandă este desenat în fig.

R

C

~+

+

e t( )

u ui eL

Funcţia de transfer este:

)LC(jCR

)LC(j

I))C

L(jR(

I)C

L(j)j(H

1

11

1

2

2

Modulul funcţiei este:

22222

2

1

1

)LC(CR

LC)(M

unde ; și 1)0(M 1)(M 0)(M 0 Faza circuitului este:

RC1LC

arctg90

))1LC(jRCarg())1RC(jarg()(2

0

22

unde , iar 0180)0( 0)( 00 90)(

(grade)

(log)0

180

90

b)

a)

log0

-50

-60

-40-30-20-10

0

M( ) (dB)dB

i s

0

CIRCUITE IN REGIM TRANZITORIU

Regimul tranzitoriu se produce într-un circuit electric care conţine elemente conservative (bobine şi condensatoare, elemente ce pot înmagazina energie) atunci când se modifică

brusc mărimile caracteristice ale unor elemente din circuit , precum şi structura circuitului. Regimul tranzitoriu poate apare în procesele de comutaţie (închiderea sau deschiderea unui întrerupător care poate conecta sau deconecta un circuit de la sursa de alimentare sau poate conecta sau deconecta laturi de circuit), în procesele de avarie (întreruperi şi scurtcircuite accidentale) precum şi în circuitele de telecomunicaţii excitate cu semnale neperiodice de tip impuls sau cu trenuri de impulsuri. Unul din parametrii importanţi, în analiza de regim tranzitoriu este constanta de timp a circuitului, aceasta arătând cât de repede poate răspunde circuitul la schimbări sau modificări bruşte. METODE DE ANALIZĂ Analiza circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu se poate face în domeniul timp şi în domeniul frecvenţă.

Principalele metode în domeniul timp sunt: metoda directă, metoda variabilelor de stare, metoda răspunsului tranzitoriu la semnale treaptă unitate sau delta unitate (metoda integralei Duhamel). Metodele de analiză în domeniul frecvenţă utilizează reprezentări simbolice ale semnalelor instantanee din circuit: metoda transformatei Laplace, a transformatei Fourier, metoda frecvenţei complexe.

TEOREMELE COMUTĂRII În elementele conservative, ca urmare a faptului că pot stoca energie, modificările energetice nu pot avea loc brusc. De aceea modul de variaţie a semnalelor pe bobină şi pe condensator respectă anumite reguli numite teoreme de comutare, ce decurg din legile generale de conservare, atunci când are loc o variaţie bruscă sau o modificare în circuit.

Teorema I a comutării TC1 Stiind că o bobină poate înmagazina energie în câmpul său magnetic, putem studia puterea şi energia la bornele bobinei, când are loc o modificare bruscă a semnalelor de la borne. Puterea instantanee este

dtdi)t(Li)t(i

dtdi

L)t(i)t(up W

iar energia înmagazinată în bobină este

t t)t(iLdt

dtdi)t(Lipdtw 2

21

Ws

Dacă curentul se modifică instantaneu, derivata

dtdi

tinde la , deci puterea bobinei este

infinit. Sursele de alimentare în circuite sunt surse de putere finită, deci o putere infinită pe bobină este imposibilă. Deci, nu este posibilă nici o variaţie bruscă a curentului prin aceasta. Astfel, curentul prin bobină trebuie să aibă aceeaşi valoare înainte de „comutare” cât şi după „comutare”.

Teorema de comutare pentru o bobina Intensitatea curentului iL şi fluxul magnetic L prin bobină se conservă la comutare, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori, numite valori iniţiale.

)()(

)(i)(i

LL

LL

00

00

unde t = 0- reprezintă un moment de timp imediat înaintea comutării t = 0+ reprezintă un moment de timp imediat după comutare Fac excepţie de la teorema de mai sus, circuitele cu bobine ce formează noduri de bobine. Un nod de bobine conţine numai laturi cu bobine sau laturi cu bobine şi GIC (generatoare ideale de curent). În acest caz se conservă fluxurile magnetice totale pe buclele incidente nodurilor de bobine, care nu conţin laturi cu GIC (incidente în nod ) .

Teorema a II-a a comutării TC2 Un condensator poate înmagazina energie în câmpul său electric. Puterea şi energia la un condensator sunt:

dtdu)t(Cu

dtdu

C)t(u)t(i)t(up W

C)t(q

)t(uCdtdtdu)t(Cupdtw

t t2

2

21

21

Ws Variaţia bruscă a tensiunii de la bornele

condensatorului, înseamnă că derivata dtdu

tinde

la , deci puterea este infinită. Acest lucru nu este posibil, deci tensiunea la bornele condensatorului păstrează aceeaşi valoare înainte de „comutare” cât şi după „comutare”.

Teorema de comutare pentru un condensator Tensiunea la bornele unui condensator precum şi sarcina electrică de pe armăturile sale se

conservă la comutare, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori, numite valori iniţiale.

toare care formează bucle de condensatoare.

are şi GIT (generatoare ideale de ensiune).

ază GIT onţinute în bucla de condensatoare.

le nu se conservă ( se pot modifica prin salt).

)(q)(q CC 00

unde 0- şi 0+ au aceleaşi semnificaţii ca mai sus. Fac excepţie laturile cu condensa

)(u)(u CC 00

O bucla de condensatoare este o buclă care are pe laturi numai condensatoare sau condensatot

În acest caz se conservă sarcina electrică liberă totală în nodurile incidente buclei de condensatoare, în care nu acţionec În regim tranzitoriu, în momentul comutării, unele semnale se conservă (nu se modifică prin salt) iar alte


TEOREMELE COMUTĂRII Teorema I a comutării TC1 Teorema de comutare pentru o bobina Intensitatea curentului iL şi fluxul magnetic L prin bobină se conservă la comutare, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori, numite valori iniţiale.

)()(

)(i)(i

LL

LL

00

00

unde t = 0- reprezintă un moment de timp imediat înaintea comutării t = 0+ reprezintă un moment de timp imediat după comutare Fac excepţie de la teorema de mai sus, circuitele cu bobine ce formează noduri de bobine. Un nod de bobine conţine numai laturi cu bobine sau laturi cu bobine şi GIC (generatoare ideale de curent). În acest caz se conservă fluxurile magnetice totale pe buclele incidente nodurilor de bobine, care nu conţin laturi cu GIC (incidente în nod ) .

Teorema a II-a a comutării TC2 Un condensator poate înmagazina energie în câmpul său electric. Puterea şi energia la un condensator sunt:

dtdu)t(Cu

dtdu

C)t(u)t(i)t(up W

C)t(q

)t(uCdtdtdu)t(Cupdtw

t t2

2

21

21

Ws Variaţia bruscă a tensiunii de la bornele

condensatorului, înseamnă că derivata dtdu

tinde

la , deci puterea este infinită. Acest lucru nu este posibil, deci tensiunea la bornele condensatorului păstrează aceeaşi valoare înainte de „comutare” cât şi după „comutare”.

Teorema de comutare pentru un condensator Tensiunea la bornele unui condensator precum şi sarcina electrică de pe armăturile sale se conservă la comutare, variaţiile lor ulterioare începând cu aceste valori, numite valori iniţiale.

)(q)(q

)(u)(u

CC

CC

00

00

unde 0- şi 0+ au aceleaşi semnificaţii ca mai sus. Fac excepţie laturile cu condensatoare care

formează bucle de condensatoare. O bucla de condensatoare este o buclă care are pe laturi numai condensatoare sau condensatoare şi GIT (generatoare ideale de tensiune).

În acest caz se conservă sarcina electrică liberă totală în nodurile incidente buclei de condensatoare, în care nu acţionează GIT conţinute în bucla de condensatoare. În regim tranzitoriu, în momentul comutării, unele semnale se conservă (nu se modifică prin salt) iar altele nu se conservă ( se pot modifica prin salt). ORDINUL DE COMPLEXITATE AL UNUI CIRCUIT Se numesc circuite de ordin zero , circuitele ce conţin numai rezistoare, deoarece sunt descrise de ecuaţii algebrice numite ecuaţii statice. Se numesc circuite de ordinul întâi acele circuite a căror analiză conduce la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale (ecuatii dinamice) de ordinul 1. Cele mai simple circuite , în acest caz, sunt acelea care conţin, pe lângă rezistoare, un singur element conservativ : o bobină sau un condensator. Se numesc circuite de ordinul doi, acele circuite a căror analiză conduce la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul 2. Aceste circuite conţin rezistoare şi două elemente reactive distincte (bobine şi/sau condensatoare). Un circuit RLC, serie sau paralel este un circuit de ordinul 2. În soluţiile ecuaţiilor diferenţiale intervin, întotdeauna, constante de integrare care se determină în funcţie de condiţiile iniţiale.

Numărul constantelor de integrare din soluţiile ecuaţiilor diferenţiale este egal cu gradul ecuaţiei diferenţiale, respectiv cu numărul elementelor conservative din circuit (în cazul circuitelor fără elemente reactive în exces).

Ordinul de complexitate este egal cu numărul de bobine şi condensatoare conţinute de circuit făcând excepţie circuitele ce conţin bucle de condensatoare şi noduri de bobine. În cazul unei bucle de condensatoare, aplicând teorema a 2-a a lui Kirchhoff, TK2, rezultă o relaţie de dependenţă între tensiunile de la bornele condensatoarelor, dependenţă care este adevărată la orice moment “t”, deci şi pentru valorile iniţiale.

)(e)(u)(u

)t(e)t(u)t(u

CC

CC

000 21

21

Ca urmare, valorile iniţiale ale tensiunilor condensatoarelor ce fac parte din bucla de condensatoare nu sunt independente. Ordinul de complexitate al circuitului se micşorează cu numărul buclelor de condensatoare din circuit. În cazul unui nod de bobine, aplicând teorema a 1-a a lui Kirchhoff, TK1, rezultă o relaţie de dependenţă între curenţii din bobine, dependenţă adevărată la orice moment „t”, deci şi pentru condiţiile iniţiale.

)(i)(i)(i

)t(i)t(i)t(i

gLL

gLL

000 21

21

Ca urmare, valorile iniţiale ale curenţilor prin bobinele ce aparţin nodului de bobine nu sunt independente. Ordinul de complexitate se micşorează cu numărul nodurilor de bobine din circuit. În concluzie, ordinul de complexitate al unui circuit este egal cu numărul elementelor reactive distincte din circuit (bobine şi condensatoare) din care se scade numărul buclelor de condensatoare şi numărul nodurilor de bobine.

METODE DE ANALIZĂ METODE DE ANALIZĂ ÎN DOMENIUL TIMP METODA DIRECTĂ Se consideră un circuit liniar cu L laturi, N noduri ce conţine elemente rezistive şi reactive, inclusiv cuplaje magnetice intre bobine. Aplicând teoremele lui Kirchhoff, în regim variabil se obţine un sistem de ecuaţii integro-diferenţiale, neomogene, de ordinul “n” egal cu ordinul de complexitate al circuitului. Sistemul de ecuaţii este:

vk vkk

t L

kjj

jkjk

k

kkkk

ujj

)t(e)dt

)t(diLdt)t(i

Cdt

)t(diL)t(iR(

)t(i

1

1

0

Soluţiile sistemului sunt întotdeauna de forma unei sume dintre soluţiile de regim liber şi soluţiile de regim permanent.

Ljtititi jljpj ,1)()()(

unde ijp(t) este soluţia de regim permanent ijl(t) este soluţia de regim liber Soluţiile de regim permanent poartă denumirea şi de răspunsul forţat al circuitului, Ele au în general aceeaşi formă (periodică, sinusoidală sau staţionară) ca şi semnalul produs de

generatorul ce alimentează circuitul. Dacă acesta este un generator de tensiune constantă atunci şi soluţiile (semnalele) de regim permanent vor fi constante. Dacă generatorul este un generator de semnal sinusoidal şi soluţiile de regim permanent vor fi de forma unor semnale sinusoidale. Soluţiile de regim permanent se obţin făcând analiza circuitului prin metode corespunzătoare fiecărui regim permanent în care se află circuitul: metode de analiză în curent continuu, metode de analiză în regim permanent sinusoidal respectiv nesinusoidal. Soluţiile de regim liber, numite şi răspunsurile naturale ale circuitului, corespund analizei circuitului realizată prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale omogene ce se asociază circuitului (fără generator de alimentare). Aceste soluţii se obţin prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale omogene ataşate circuitului conform regulilor matematice. În funcţie de tipul rădăcinilor ecuaţiei caracteristice ele pot fi, de cele mai multe ori, sume de semnale exponenţiale. Soluţia de regim liber se poate scrie ca o sumă de semnale exponenţiale, numărul termenilor sumei fiind egal cu gradul ecuaţiei caracteristice ţinând cont şi de ordinul de multiplicitate. De exemplu pentru n=2 (ecuaţie caracteristică de ordinul 2), soluţia de regim liber poate fi de forma:

tstsl eAeA)t(i 21

21 unde s1 şi s2 sunt rădăcinile distincte ale ecuaţiei caracteristice, sau de forma:

stl e)tAA()t(i 21

unde s este rădăcină multiplă de ordinul 2 a ecuaţiei caracteristice. CIRCUITE LINIARE DE ORDINUL 1 Circuitele de ordin unu, cele care conţin un singur element conservativ sunt descrise de ecuaţii diferenţiale de ordin unu de forma:

)t(f)t(xadt)t(dx

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este )t(x)t(x)t(x lp

unde: )t(xp este soluţia ecuaţiei diferenţiale de

aceeaşi formă cu funcţia excitaţie f(t) iar )t(xl este soluţia ecuaţiei omogene

0 )t(xadt)t(dxl

l

De exemplu dacă funcţia excitaţie este constantă f(t) = A atunci soluţia de regim permanent se presupune de aceeaşi formă cu

excitaţia , deci . Soluţia de regim

liber este soluţia ecuaţiei omogene de mai sus,

de forma . Soluţia totală este

.

1K)t(xp

ateK 2

at

l )t(x

eK 2K)t(x 1

Circuit RL Se scrie ecuaţia diferenţială a circuitului aplicând teorema de tensiuni a lui Kirchhoff.

)t(edt

)t(diL)t(Ri L

L

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este curentul iL(t). Acesta va fi de forma:

)t(i)t(i)t(i LlLpL

Pentru orice circuit RL soluţia de regim liber este soluţia ecuaţiei omogene:

0 )t(Ridt

)t(diL Ll

Ll

Ecuaţia caracteristică este:

L

RsRsL 0

Soluţia de regim liber este de forma:

tt

tL

R

Ll AeAeAe)t(i

unde L

R se numeşte constanta de atenuare

iar RL1

se numeşte constanta de timp a

circuitului. Soluţia de regim permanent depinde de sursa e(t). Astfel, în caz general:

tL

R

LpL Ae)t(i)t(i

Impunând condiţiile iniţiale )0()0( LL ii se obţine constanta de integrare:

)(i)(iA)(iA)(i)(i LpLLLpL 00000

Expresia generală a curentului prin bobină în cazul unui circuit de ordinul 1 este:

tL

R

LPLLpL e)(i)(i)t(i)t(i

00

Circuit RC Se aplică TK2 circuitului din figura, obţinând ecuaţia diferenţială a circuitului.

)t(euRi C

R

Ce t( )

K

Ştiind că dt

duC

dt

dqi C , se obţine ecuaţia

diferenţială a circuitului:

R

Le t( )

K

iL

)t(eudt

duRC C

C

Soluţia circuitului uC(t) se caută de forma unei sume dintre soluţia de regim liber (natural) şi soluţia de regim permanent (forţat)

)t(u)t(u)t(u CpClC

Soluţia de regim liber este soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene:

0 ClCl u

dt

duRC


RCsRCs

101 .

Mărimea RC reprezintă constanta de timp a circuitului, iar soluţia de regim liber este:

tRC

Cl Ae)t(u1

Soluţia totală este:

)()()()( tuAetututu CpRC

t

CpClC

Condiţiile iniţiale se determină aplicând teorema a 2-a a comutării:

)(u)(u CC 00

Deci la )(uA)(ut CpC 000 .

Rezultă : )(u)(uA CpC 00

Deci expresia tensiunii de la bornele condensatorului este:

)()0()0()( tueuutu CpRC

t

CpCC

Sarcina de pe armături este: )t(Cu)t(q CC Exemple 1.Sursa de tensiune este un generator de tensiune constantă de valoare E, , care alimenteaza un circuit RL.

E)t(e

Ecuaţia diferenţială a circuitului este

)t(edt)t(di

L)t(Ri LL

i t( )

+

K R

R

L

L

e t( )

u t ( )

u t ( )

Pentru orice circuit , soluţia de regim liber este

soluţia ecuaţiei omogene: 0 )t(Ridt)t(di

L LlLl .

Pentru a rezolva ecuaţia se scrie ecuaţia caracteristică a cărei soluţie este 0 RsL

LR

s . Soluţia de regim liber este de forma:

ttLR

Ll Ae)t(i

t

AeAe

Soluţia de regim permanent (finală) se obţine calculând curentul prin bobină în circuitul de mai jos. Deoarece sursa de tensiune este constantă bobina se inlocuieste cu un

scurtcircuit. Se obţine: RE

)t(iLp .

R

+ iLpE

Soluţia totală este:

RE

Ae)t(i)t(i)t(it

LR

LpLl

Constanta de integrare se calculează din condiţii iniţiale, aplicând teorema comutării. În acest caz , deoarece înainte de închiderea întrerupătorului prin bobină nu trece nici un curent. La se obţine:

000 )(i)(i LL

0t

RE

ARE

A 0 . Deci

)e(RE

RE

eRE

)t(it

LR

tLR

1

Căderile de tensiune pe rezistor şi bobină sunt:

tLR

tLR

L

tLR

R

eEeRE

LR

Ldt)t(di

Lu

)e(E)t(iRu 1

i

t0

ER

u u

t0

EE

t0

R L

a b) ) Se constată că, teorema de tensiuni a lui Kirchhoff sub forma se verifică pe grafice, în orice punct.

Euu LR

2. Circuit RC alimentat de un generator de tensiune constanta E.

+

K R

R

CC

e t( )

u t ( )

u t ( )

Pentru a obţine ecuaţia diferenţială se aplică teorema de tensiuni circuitului .

)t(euRi C

Ştiind că dtdu

Cdt

dqi C , se obţine:

)t(eudtdu

RC CC

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este tensiunea pe condensator care se caută de forma: )t(uC

t(u) Cp )t(u)t(u ClC


0 ClCl udtdu

RC

Ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei diferenţiale este: , a cărei soluţie

este

01 sRC

RCs

1 . Soluţia de regim liber este:

tRC

Cl eA)t(u1

. Mărimea RC reprezintă

constanta de timp a circuitului iar A este o constantă de integrare. Soluţia totală este:

)t(ueA)t(u)t(u)t(u CpRCt

CpClC

Soluţia de regim permanent depinde de forma semnalului excitaţie. E)t(e Soluţia de regim permanent este tensiunea pe condensator, în regim de funcţionare a circuitului de c.c., impus de sursă. Stiind că un condensator se comportă ca o întrerupere (gol), atunci în circuit curentul este zero, i = 0, astfel încât toata tensiunea sursei se aplică condensatorului . Soluţia finală este EuCp .

R

+E

uCp

Tensiunea la bornele condensatorului în regim

tranzitoriu este: EeA)t(u RCt

C

. Pentru a determina constanta de integrare A se impun condiţiile iniţiale care decurg din continuitatea tensiunii la bornele condensatorului:

EAEA)(u)(u CC 0000 Expresia tensiunii la bornele condensatorului

este: )e(E)t(u RCt

C

1 Pentru a obţine curentul prin condensator , derivăm tensiunea în raport cu timpul

RCt

RCt

C eRE

eRC

CEdtdu

C)t(i

1

u i

t0 t0

CC

a b) )

EER


METODA DIRECTĂ CIRCUITE LINIARE DE ORDINUL 1 Circuit RC Circuit RC alimentat de un generator de tensiune constanta E.

+

K R

R

CC

e t( )

u t ( )

u t ( )

Pentru a obţine ecuaţia diferenţială se aplică teorema de tensiuni circuitului .

)t(euRi C

Ştiind că dtdu

Cdtdq

i C , se obţine:

)t(eudtdu

RC CC

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este tensiunea pe condensator care se caută de forma:

)t(uCt(u) Cp )t(u)t(u ClC


0 ClCl udtdu

RC

Ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei diferenţiale este: , a cărei soluţie

este

01 sRC

RCs

1 . Soluţia de regim liber este:

tRC

Cl eA)t(u1

. Mărimea RC reprezintă

constanta de timp a circuitului iar A este o constantă de integrare. Soluţia totală este:

)t(ueA)t(u)t(u)t(u CpRCt

CpClC

Soluţia de regim permanent depinde de forma semnalului excitaţie. E)t(e Soluţia de regim permanent este tensiunea pe condensator, în regimul de funcţionare a circuitului de c.c. de la sfarsitul regimului tranzitoriu. Stiind că un condensator se comportă ca o întrerupere (gol), atunci în circuit curentul este zero, i = 0, astfel încât toata tensiunea sursei se aplică condensatorului.

Soluţia finală este EuCp .

R

+E

uCp

Tensiunea la bornele condensatorului în regim

tranzitoriu este: EeA)t(u RCt

C

. Pentru a determina constanta de integrare A se impun condiţiile iniţiale care decurg din continuitatea tensiunii la bornele condensatorului:

EAEA)(u)(u CC 0000Expresia tensiunii la bornele condensatorului

este: )e(E)t(u RCt

C

1 Pentru a obţine curentul prin condensator , derivăm tensiunea în raport cu timpul

RCt

RCt

C eRE

eRC

CEdtdu

C)t(i

1

u i

t0 t0

CC

a b) )

EER

CIRCUITE LINIARE DE ORDINUL 2 Circuit RLC serie Se consideră un circuit RLC, cu condensatorul iniţial neîncărcat care se conectează la o sursă de tensiune Pentru studiul circuitului se aplică TK2 obţinându-se ecuaţia:

)t(euuu CLR Tensiunile sunt :

dt

duC

dt

dqi;

dt

diLu;Riu C

LR

Ecuaţia diferenţială este:

)t(eudt

duRC

dt

udLC C

CC 2

2

Soluţia ecuaţiei este )()()( tututu CpClC

Soluţia de regim liber este soluţia ecuaţiei omogene:

02

2

CCC u

dt

duRC

dt

udLC


LCL

R

L

R

LC

LCCRRCs

RCsLCs

,1

422

4

01

2

222

21

2

Deoarece ecuaţia caracteristică este de gradul 2 trebuie făcută o discuţie legată de rădăcinile ecuaţiei. Din calculul determinantului se obţine:

C

LR

LCL

R20

1

4 2

2

Rezistenţa R se numeşte rezistenţa critică. Se disting următoarele situaţii: a) Rădăcinile ecuaţiei sunt reale şi distincte

dacă determinantul 0 respectiv

C

LR 2 ; adică crRR . În acest caz

rădăcinile ecuaţiei sunt:

LCL

R

L

Rs ,

1

42 2

2

21

S-au făcut următoarele notaţii:

L

R

2 - constanta de atenuare,

20

1 LC

- pulsaţia proprie (de rezonanţă) a

circuitului,

20

2 - constanta de fază.

Rădăcinile ecuaţiei sunt: 21 ss

Regimul de functionare al circuitului se numeste aperiodic. b) Rădăcinile ecuaţiei sunt reale şi egale dacă

L

RssRR

C

LR cr 2

20 21

Regimul de functionare al circuitului se numeste aperiodic critic. c) Rădăcinile ecuaţiei sunt complexe dacă

0 respectiv crRRC

LR 2 .

Rădăcinile ecuaţiei sunt:

p, jL

R

LCj

L

Rs

2

2

214

1

2

unde 220 p poartă numele de pulsaţie

proprie. Regimul de functionare al circuitului se numeste oscilant Regimul liber al circuitului RLC serie a) Regimul aperiodic Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi distincte. Soluţia de regim liber, respectiv tensiunea la bornele condensatorului, este o sumă de exponenţiale:

tstsCl BeAeu 21

tstsCll BeCsAeCs

dt

duCi 21

21

Se determină constantele de integrare A şi B , pornind de la condiţiile iniţiale ale celor două semnale. Condensatorul iniţial încărcat la tensiunea U0 si curentul zero.

000

00 0

)(i)(i

U)(u)(u

ll

ClCl

Se obţine sistemul: .

021

0

BsAs

UBA

Rezultă constantele de integrare:

2

2

0

12

01

0

21

02

U)(

ss

UsB

U)(

ss

UsA

Semnalele devin de forma:

)tchtsh(eU

)tchtsh(eU

)eeee

(eU

eU)(

eU)(

u

tt

ttttt

t)(t)(Cl

00

0

00

22

22

Pentru simplitatea expresiei se foloseşte

exprimarea raportului

în funcţie de , prin

relaţia:

ch

shth iar

LCth

thsh

02221

Tensiunea la bornele condensatorului este:

)t(sheLC

U)t(she

sh

U

)tshchtchsh(esh

U

)tchch

shtsh(e

th

Uu

tt

t

tCl

00

0

0

Prelucrând relaţia curentului în mod similar se obţine:

Prin deconectarea sursei e1, tensiunea u(t) de la bornele rezistorului de 2 Ω variază brusc. Să se găsească modul de variatie a curentului prin bobina si între ce valori variază u(t) şi care este modul de variaţie în timp.

tsheL

Utshe

UC

2

eee

)(UC

e2

U)()(e

2

U)()(Ci

t0t200

ttt

220

t)(0t)(0l

Modul de variaţie a celor trei semnale este reprezentat în figura .

4

2

2

+

1

12V

12Ve

K

13H

u=?e2

+-

Regim oscilant

t1t2

il

UU

C

L

l

l

t

U0

0-U

În acest caz , se studiază cele 3 semnale făcând substituţiile pj şi pj . Se obţin

expresiile:

)sin(0pp

t

p

Cl teLC

Uu

teL

Ui p

t

pl

sin0

Modul de variaţie a semnalelor este prezentat în figura de mai jos. Se observă că semnalele oscilează în timp după sinusoide amortizate. În acelaşi timp au loc oscilaţii de energie în câmpul electromagnetic.

u

-u

0

0

t t t t1 2 3 4 t

uu

CL

ll i

u, i

l

Exemple pentru circuite mixte


METODA DIRECTĂ Aplicatii 1. Prin deconectarea sursei e1, tensiunea u(t) de la bornele rezistorului de 2 Ω variază brusc. Să se găsească modul de variatie in timp al curentului prin bobina si între ce valori variază u(t) cat şi care este modul de variaţie în timp a tensiunii.

4

2

2

+

1

12V

12Ve

K

13

H

u=?e2

+-

a) Pentru stabilirea condiţiilor iniţiale, întrerupătorul K este închis iar bobina scurtcircuitează rezistorul R3.

R

R

4

2

2

2

2

+

1e

e

i (0-)L

+-

Curentul prin bobină este

ARe

)(iL 62

120

4

1 . Tensiunea pe rezistorul

R4 este Ve)(u 120 1 După deschiderea întrerupătorului , se stabileşte în circuit un alt regim de c.c. , care se poate calcula pe schema echivalentă de mai jos .

Curentul din circuit are valoarea dar

sensul opus curentului .

AiLp 3

)(iL 0Tensiunea la bornele rezistorului R4, este

Viu Lpp 62 .

Schema echivalentă a circuitului corespunzătoare regimului tranzitoriu de după deschiderea întrerupătorului K este

4

2

2

+ 12V

13

H

u t( )

RR

4

2

2e

R3

L

Scriind teoremele lui Kirchhoff pe circuitul care conţine două noduri şi două bucle se obţine ecuaţia diferenţială a circuitului, care are ca variabilă curentul prin bobină. Sistemul de ecuaţii este :

dtdi

LiR

eiRi)RR(iii

L

L

33

23342

3

Ecuaţia diferenţială obţinută prin eliminarea curenţilor i3 şi i este:

42

2

423

432

RRe

idtdi

)RR(R)RRR(L

LL

Inlocuind numeric ecuaţia diferenţială este

186 LL i

dtdi

. Soluţia de regim liber este

. Curentul prin bobină în regim

tranzitoriu este:

tLl eAi 6

tLlLpL eAiii 63

Tinând cont de faptul că sensul curentului la momentul 0- este opus curentului iL se determină constanta de integrare

R

R

4

2

2

2

2

+e 12V

up 96300 AA)(i)(i LL Legea de variaţie a curentului prin bobină este

tLlLpL eiii 693

Pentru a obţine tensiunea pe rezistorul R4 se calculează curentul i3, respectiv i.

Tensiunea pe bobină este tLL e

dtdi

Lu 618 .

Curentul i3 este tL e,Ru

i 6

33 54 . Curentul i

este: ttt

L e,ee,iii 6663 5439354

Tensiunea pe rezistor este

teiR)t(u 64 96

Graficul de variaţie a tensiunii este

t0

u

20V

3V

-6V

12V

METODE IN DOMENIUL FRECVENTA METODA TRANSFORMATEI LAPLACE Transformata Laplace este o transformată funcţională care asociază în mod unic unei funcţii de timp f(t), numită funcţie original, o funcţie de variabilă complexă, F(s), numită funcţie imagine. Clasa funcţiilor care admit transformată Laplace se numeşte clasa funcţiilor original. Corespondenţa între funcţia original şi funcţia imagine este biunivocă. O funcţie f(t) care îndeplineşte condiţiile: a) f(t)=0, pentru t<0, b) este mărginită, continuă pe porţiuni şi are un număr finit de discontinuităţi de speţa I,

c) pentru t>t0>0 funcţia )(tf nu creşte mai

repede decât o exponenţială este o funcţie original în sensul transformatei Laplace. Ei îi corespunde în mod biunivoc funcţia imagine:

0

de)()()( ttftfs ts-LF

unde s este un număr complex de forma . Integrala din relaţia de mai sus este

convergentă pentru domeniul Res)=>ωσ js

0, numit domeniu de convergenţă a funcţiei F(s). Semnalele întâlnite în electronică îndeplinesc condiţiile menţionate anterior fiind funcţii original în sensul transformatei Laplace. În tabelul de mai jos sunt prezentate transformatele Laplace ale unor funcţii uzuale.

Tabelul 3.1

Nr Denumire Funcţia original

f(t)

Funcţia imagine

F(s)

1 Funcţia Dirac

0

00

t,

t,t

1

2 Funcţia treaptă unitate

0

t,1 0

t,0)t(f

s1

s F

3 Funcţia treaptă

0

00

t,A

t,)t(f

s

AsF

4 Funcţia

exponenţială

0e

00

t,

t,)t(f

t

α

1

s)s(F

5 Funcţia

exponenţială

t,e

0t,0)t(f

t

α

s

1)s(F

6 Funcţia liniară

0t,t

0t,0)t(f

2s

1)s( F

7 Funcţia

t,et

0t,0)t(f

t

2)(

1)(

s

sF

8 Funcţia sinus

0sin

00)(

t,t

t,tf

22

ssF

9 Funcţia cosinus

0cos

00)(

t,t

t,tf

22

s

ssF

PROPRIETATILE TRANSFORMATEI LAPLACE 1) Adunarea Dacă f1(t) şi f2(t) sunt funcţii original atunci transformatei Laplace a sumei celor două funcţii îi corespunde suma transformatelor lor Laplace:

)s(F)s(Fttfttf

ttftftftfL

tt

t

210

s-2

0

s-1

0

s-2121

dede

de

2) Înmulţirea cu un scalar Dacă f(t) este o funcţie original şi o constantă atunci:

)s(Ft)t(f)f(tL ts λdeλλ0

-

3) Transformata Laplace a derivatei unei funcţii original.

Utilizând integrarea prin părţi se obţine:

0

s-

0

s-

0

s- deeded

dt)t(fs)t(ft

t

f)t('fL ttt

)(f)s(Fs)t('fL 0

)0()0()()(" '2 ffssstf FL

Dacă f(0)=f’(0)=0 atunci rezultă că :

)s(Fs)t("fL 2 .

4) Transformata Laplace a integralei unei funcţii este:

0

s-

00

s-

0

s-

00

de1

τdτe1

deτdτd t)t(fs

)(fs

t)(ft)t(fL tt

tttt

.

s)s(

d)(ft

0

FL

ττ .

METODE ÎN DOMENIUL FRECVENŢĂ METODA LAPLACE

POSIBILITATI DE DETERMINARE A FUNCTIEI ORIGINAL

Pentru stabilirea originalului f(t) corespunzător unei funcţii imagine F(s) date, se utilizează aşa-numitele formule de inversiune.

1) Formula de inversiune Mellin-Riemann permite determinarea funcţiei original cu ajutorul relaţiei :

j

j

s1 dejπ2

1s)s(F)s(FL)t(f t

integrarea făcându-se pe dreapta Res=, dreaptă care lasă în semiplanul stâng toate singularităţile funcţiei F(s).

2) Teorema dezvoltării (teorema descompunerii în fracţii simple) Se poate aplica numai în cazul în care transformata Laplace a unei funcţii de timp, F(s), este de forma unui raport între două polinoame.

)s(Q)s(P

)s( F

unde P(s) şi Q(s) sunt două polinoame prime între ele de grad m, respectiv n, cu m < n. Rădăcinile numărătorului

se numesc zerourile funcţiei F(s) pentru că în aceste valori funcţia F(s) se anulează. Rădăcinile numitorului

se numesc polii funcţiei F(s) pentru că pentru aceste valori funcţia F(s) devine infinit.

,.......z,z,z)s(P 3210

,........p,p,p)s(Q 3210

I1) Cazul în care rădăcinile numitorului sunt reale şi distincte

)ss(......)ss()ss()s(Q0)s(Q n21 Folosind descompunerea în fracţii simple putem scrie funcţia F(s)

n

n

2

2

1

1

ssC

...............ss

Css

C)s(Q)s(P

)s(F

unde

sunt coeficienţii dezvoltării în fracţii simple. Coeficientul C

nk C,....C,..C,C 21

k este

)s(Q

)s(P)s(Q

)s(P)ss(C

k'

kss

kk k

Trecând din domeniul frecvenţă în domeniul timp , originalul funcţiei F(s) este

n

k

ts

k

kn

k

tsk

kk e)s('Q)s(P

eC)t(f11

I2) Cazul în care rădăcinile sunt complex conjugate

)ss)........(ss()js()js()s(Q n3

unde , , sunt rădăcinile lui Q(s).

js1 js2 ns,.........s3

Funcţia F(s) se poate descompune în fracţii simple de forma

n

n21

ssC

.......js

Cjs

C)s(Q)s(P

)s(F

Coeficientul C este 1

)j('Q 11

jeC

)j(PC

Coeficientul C este2

)j('Q 112

conjugatul num

jeCC

)j(PC . El reprezintă

ărului complex ce defineşte

Funcţia F(s) este: coeficientul C1.

n

nj

1j

1

ssC

......js

eC

js)s(Q eC)s(P

)s(F

Funcţia original este:

n

3k

ts

k

kt1

n

3k

ts

k

k)t(j)t(jt1

n

3k

ts

k

kt)j(j1

t)j(j1

k

k

k

e)s('Q)s(P

)tcos(eC2

e)s('Q)s(P

)ee(eC

e)s('Q)s(P

eeCeeC)t(f

I3) Cazul în care o rădăcină este multiplă de

Polinomul Q(s) este de forma

e descompune în fracţii simple având expresia :

ordin de multiplicitate m

)s(Q)ss()s(Q m11

In acest caz F(s) se poat

...ss)ss( 2

m1

unde ,..s,s,s 321

CC

)ss(

Css

C)s( 2m1

21

12

1

11

F

sunt rădăcinile

Coeficientul C este:

ns.......polinomului Q1(s).

1m

)s(Qssm

1111

1

Derivând relaţia de m

)s(P)s()ss(limC m 1F

- 1 ori se obţin ceilalţi coeficienţi C1k . Astfel

11

11 ssm, )s(Qds `ss)km(

)km(

k)s(Pd

C )s(Qds 1

11

)s(PdC

Originalul functiei F(s) pentru cazul m=2 este:

n

2k

ts

k

kts

11

1

ss1

n

2k

tsk

ts1211

k1

1

k1

e)s('Q)s(P

e)t)s(Q)s(P

)s(Q)s(P

dsd

(

eCe)tCC()t(f

Relaţiile de mai sus poartă numele de formulele de inversiune ale lui Heaviside. FORMA OPERAŢIONALĂ A LEGII LUI OHM SI A TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF Pentru obţinerea formei operaţionale a legii lui Ohm se consideră o latură RLC serie activă cu cuplaje magnetice. Se scrie legea lui Ohm în domeniul timp, deci în valori instantanee ale semnalelor:

)()(

)(1

)()(

1

tesIL

ttiCt

LtiRtu

k

L

kjj

jkj

t

kk

kkkk

dd

di k

Pentru rezistor, relaţia )t(iR)t(u din domeniul timp devine in domeniul frecventa

prin aplicarea transformatei Laplace.

)s(IR)s(U

Pentru o bobină relatia tensiune curent din

domeniul timp dtdi

L)t(u devine in domeniul

frecventa, prin aplicarea operaţiei de derivare de forma:

)(iL)s(IsL)s(U 0 Condiţia iniţială )(iL 0 este modelată printr-un generator de tensiune a cărui tensiune la borne (de la + la -) are sensul opus curentului prin bobină la momentul 0+. Pentru un condensator, relaţia

)0()(1

)(1

)(1

)(1

)(

0

0

0

C

t

tt

udttiC

dttiC

dttiC

dttiC

tu

devine de forma

s)(u

)s(IsC

)s(U C

01

Condiţia iniţială este modelată printr-un generator de tensiune a cărui tensiune la borne (de la + la -) are acelaşi sens cu tensiunea la bornele condensatorului la momentul 0+. Pentru bobine cuplate magnetic se scriu ecuaţiile în domeniul timp, ţinând cont de faptul că între cele două bobine cuplajul este aditiv:

dtdi

Mdtdi

L)t(u

dtdi

Mdtdi

L)t(u

1222

2111

Aplicând transformata Laplace ecuaţiile devin:

)(iM)s(IsM)(iL)s(IsL)s(U)(iM)s(IsM)(iL)s(IsL)s(U

0000

1122222

2211111

Condiţiile iniţiale sunt generatoare de tensiune a căror tensiuni la borne sunt opuse curenţilor prin bobine la momentul 0+. Se ţine cont şi de tipul cuplajului (aditiv sau diferenţial). Pentru latura RLC serie cu cuplaj magnetic între bobine descrisă de ecuaţia

tdt)t(i

Cdt)t(di

Mdt

)t(diL)t(iR)t(u 1

2111

1

u t( )

M

L

L2

1

R Ci t ( )

i t ( )

1

2

Modelul în variabila complexă s, se obţine folosind reprezentările elementelor de circuit respective si corespunde ecuaţiei

s

usI

sC

iMsIsMiLsIsLsIRsU

C )0()(

1

)0()()0()()()(

1

2211111

2L i Mi (0 )+ (0 )+ +

1sC

U s( )

+ R

I s( )+

sLU (0 ) s

+C

sL2

1

1

I (s)

sM

2

+

1L i Mi (0 )+ (0 )+ +

s

uiMiL

ssMIsIsC

sLRsU

C

L

kjj

)0()0()0(

)()(1

)(

211

1211

Mărimea complexă

sCsLRsZ

1)( 1

reprezintă impedanţa operaţională proprie a laturii RLC serie, iar

sMsZkj )(

reprezintă impedanţa operaţională mutuală dintre laturile k şi j.

În situaţia în care condiţiile iniţiale sunt nule, circuitul numindu-se în acest caz relaxat, sursele operaţionale corespunzatoare conditiilor initiale lipsesc din schema echivalentă operaţională. Dacă se înlocuiesc expresiile tensiunilor Uk(s) cu expresiile date de legea lui Ohm în cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff se obţine o altă formă a teoremei de tensiuni:

][ke

][kk

][k

L

kjj

jkjkk )s(E)s(E)s(I)s(Z)s(I)s(Zk

vvv 1

unde s-a notat cu sursa opraţională

corespunzătoare condiţiilor iniţiale.

)s(Eke

Se poate observa analogia formală dintre expresiile în complex ale teoremelor lui Kirchhoff şi, respectiv, ale legii lui Ohm, corespunzătoare regimului permanent sinusoidal, şi forma operaţională a acestor teoreme corespunzătoare regimului tranzitoriu. Singura deosebire constă în apariţia termenului

datorat condiţiilor iniţiale în forma

operaţională a legii lui Ohm.

)s(Eke

METODE DE ANALIZĂ A CIRCUITELOR IN OPERATIONAL Considerând cunoscută topologia reţelei (circuitului) şi semnalele excitaţie, respectiv semnalele surselor, prin analiza circuitelor se urmăreşte determinarea formei de variaţie a semnalelor în timpul regimului tranzitoriu. Pentru analiză se pot aplica toate metodele cunoscute adaptate corespunzător transformatei Laplace. Aceste metode se aplică pe schema operaţională ataşată circuitului, în care condiţiile iniţiale pe bobine şi condensatoare nenule sunt modelate prin generatoare ideale de tensiune (GIT-uri), conectate în serie cu aceste elemente. Astfel, se construieşte mai întâi schema operaţională a circuitului pe care se pot aplica metodele de analiză: teoremele lui Kirchhoff TK, teorema curenţilor ciclici TCC, teorema curenţilor de ochiuri TCO, teorema tensiunilor de noduri TTN, teorema Thevenin sau teorema Norton. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

In operaţional forma teoremelor lui Kirchhoff este :

SN,u,)s(Iuk

k

10

SNL,,)s(Uvk

k

1v0

Prima teoremă se poate scrie de N-1 ori , relativ la nodurile independente, iar cea de a doua teoremă de L-N+1 ori relativ la buclele independente. Daca circuitul conţine GIC se folosesc buclele esenţiale. TEOREMA TENSIUNILOR DE NODURI TTN Această metodă se aplică circuitelor care nu conţin cuplaje magnetice. Necunoscutele metodei TTN sunt tensiuni nodale operaţionale (transformatele Laplace ale potenţialelor nodurilor independente în raport cu nodul de referinţă). Tensiunile pe laturi sunt )s(V)s(V)s(U kjjk

iar curenţii se calculează cu relaţia:

)s(Z

)s(V)s(V)s(E)s(I

jk

kjjkjk

.Pentru obtinerea

sistemului se aplică teorema de curenţi a lui Kirchhoff. Dacă circuitul conţine GIT nodul de masă este borna negativă a GIT. TEOREMA CURENTILOR DE BUCLE TCB Metoda urmăreşte aceleaşi etape ca şi în alte regimuri de funcţionare. Fiecărei bucle i se ataşează câte un curent virtual numit curent de bucla operaţional Ibj(s). Curenţii de pe laturi sunt egali cu suma algebrică a curenţilor de bucle care trec prin laturile respective. Pentru obţinerea sistemului se aplică teorema de tensiuni pe buclele circuitului. Dacă circuitul conţine GIC pe laturi situate in interiorul circuitului se desenează graful, se alege arborele şi se stabilesc buclele. TEOREMA THEVENIN SI TEOREMA NORTON Teorema Thevenin înlocuieşte un dipol activ sau pasiv, liniar, cu un GIT in serie cu o impedanta operationala. Tensiunea generatorului este egală cu tensiunea la gol la bornele dipolului şi a cărui impedanţă operaţională este impedanţa echivalentă a circuitului pasivizat, calculată între bornele dipolului. Schema echivalentă prin teorema Thevenin a unui dipol între bornle (a) şi (b) este prezentată în figura de mai jos.

( )j

( )j

( )k

( )k

Zs( ) Zs( )DLA

Z s( )jk0

jk0U s ( )

Condiţia iniţială nenulă pe condensator uC(0+) sau q(0+) este modelată, în schema operaţională, printr-un GIT în serie cu condensatorul având sensul tensiunii la borne acelaşi cu tensiunea la bornele condensatorului la momentul 0+ şi de

valoare s

)(uC 0.

Teorema Norton înlocuieşte un dipol activ sau pasiv, liniar, cu un GIC în paralel cu o rezistenţă Curentul GIC este egal cu valoarea curentului de scurtcircuit faţă de bornele dipolului şi a cărui impedanţă operaţională este egală cu impedanţa echivalentă a circuitului pasivizat. Schema echivalentă a unui dipol prin teorema Norton, între bornele (a) şi (b) este prezentată în figura . 4. Se face analiza circuitului aplicând o

metodă de analiză adaptată surselor şi configuraţiei circuitului.

( )j

( )j

( )k

( )k

Zs( ) Zs( )DLA Z s( )jk0jkI s ( )sc

5. Se determină semnalul original folosind una din metodele de obţinere a originalului. Cea mai folosită metodă, în domeniul electric este teorema dezvoltării (Heaviside).

6. Se reprezintă grafic semnalul în funcţie de timp.

ETAPE DE ANALIZA IN METODA LAPLACE

1. Stabilirea condiţiilor iniţiale. Se aplică teoremele comutării pentru stabilirea curentului (fluxului) prin bobină şi a tensiunii pe condensator la momentul 0+.

2. Stabilirea schemei operaţionale Din forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff , se observă că fiecărei ecuaţii i se poate asocia o schemă echivalentă operaţională, în care termenii corespunzători condiţiilor iniţiale se pot modela prin generatoare ideale de tensiune GIT. Schema echivalentă ataşată circuitului, se numeşte schema operaţională a circuitului. Regulile de construire a schemei operaţionale sunt: Forma topologică a schemei corespunde

formei topologice a circuitului în regim tranzitoriu

Elementele pasive de circuit se înlocuiesc astfel: rezistenţa este R, parametrul bobinei este sL, paramatreul condensatorului este

sC

1, formând astfel impedanţele

operaţionale Z(s) ale laturilor. Elementele active de circuit (sursele) au

valorile corespunzătoare transformatelor Laplace ale semnalelor acestora din domeniul timp. E(s) respectiv Ig(s) se calculează aplicând transformata Laplace semnalelor surselor din circuit.

Condiţia iniţială nenulă pe bobină iL(0+) sau (0+) este modelată în schema operaţională printr-un GIT în serie cu bobina, a cărui tensiune la borne are sens opus sensului curentului prin bobină la momentul (0+) şi a cărui valoare este )0( - Dacă lipsesc cuplajele magnetice între bobine atunci

)(Li . )( LL 00

ANALIZA CIRCUITELOR CU TRANSFORMATA LAPLACE

EXERCIŢIUL 1 Să se determine modul de variaţie a tensiunii pe rezistorul R4 , dacă circuitul se deconectează de la sursa de tensiune prin deschiderea întrerupătorului K. Parametrii circuitului sunt: R1 = 1K, R2 = 3K, R3 = 3K, R4 = 3K, C = 50F, E = 9V. Rezolvare Condiţia iniţială pentru tensiunea pe condensator şi pentru tensiunea u4(t) se obţin din analiza circuitului din figura .

Aplicând teoremele lui Kirchhoff se obţine sistemul:

44232

23211

421

IRI)RR(

EI)RR(IR

III

Se obţine:

mAI,mAI,mAI 213 421 Tensiunea pe condens ator este:

VIR)(uC 30 23 Tensiunea pe rezistenţa R4 este:

VIR)(u 60 444 Regimul permanent care se stabileşte în circuit după trecere a regimului tranzitoriu, se studiază pe circuitul din figura următoare.

Circuitul fiind deconectat de la sursă, condensatorul se descarcă pe gruparea de

rezistoare şi semnalele devin zero.

R

1sC

U s ( )4

R4

R3

2

2

u s

(0+)C

I s ( )1

I s ( )

u -(0 ) C

R

C

R4

R3

2

R1

E

I1

I2

Schema operaţională este reprezentată în figura. Analiza circuitului se face aplicând din nou teoremele lui Kirchhoff:

0

01

33242

331

321

)s(IR)s(I)RR(s

)(u)s(IR)s(I

sC

)s(I)s(I)s(I

C

Se obţine:

s,

,

CsR

CR)s(IR)s(U C 101

30

23

6

3

333

s,

,

CsR

CR)s(IR)s(U

101

150

23

3

3

4244

Calculând funcţiile original se obţine:

tC etu 103)( , tetu 10

4 5,1)( Reprezentarea grafică a semnalului tensiunii u4(t) este prezentată în figura

t0

6

u4

1,5

R

C

u 4p

R4

R3

2

Date post:	13-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	andrei-zaharia
View:	231 times
Download:	5 times

BE2

Documents