+ All Categories
Home > Documents > bazele_statisticii_Opait

bazele_statisticii_Opait

Date post: 05-Dec-2014
Category:
Upload: roxana1967
View: 22 times
Download: 2 times
Share this document with a friend
81
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi Facultatea de Economie şi Administrarea Afacerilor OPAIŢ GABRIELA Lector univ. doctor BAZELE STATISTICII ISBN 978-606-8216-12-6 Editura EUROPLUS Galaţi 2010
Transcript

Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi Facultatea de Economie şi Administrarea Afacerilor

OPAIŢ GABRIELA Lector univ. doctor

BAZELE STATISTICII

ISBN 978-606-8216-12-6

Editura EUROPLUS

Galaţi 2010

2

CUPRINS Capitolul I. – Statistica, instrument de cunoaştere a realităţii……………………. 3 1.1. Importanţa statisticii în universul realităţii……………………………………….. 3 1.2. Etapele evoluţiei statisticii…………………………………………………………3 1.3. Obiectul şi metoda statisticii……………………………………………………… 4 1.4. Noţiuni folosite în cercetarea statistică………………………………………….…5

Capitolul II. – Observarea, prelucrarea şi prezentarea datelor statistice…………7

Capitolul III. – Indicatorii statistici ai tendinţei centrale………………………….13 3.1. Mărimile medii……………………………………………………………………13 3.1.1. Media aritmetică……………………………………………………………….. 13 3.1.1.1. Proprietăţile mediei aritmetice………………………………………………. 15 3.1.2. Media armonică…………………………………………………………………18 3.1.3. Media geometrică……………………………………………………………….18 3.1.4. Media pătratică………………………………………………………………….18 3.2. Indicatorii medii de poziţie……………………………………………………….19 3.2.1. Modulul…………………………………………………………………………19 3.2.2. Mediana…………………………………………………………………………20

Capitolul IV. Indicatorii variaţiei………………………………………………….. 22 4.1. Indicatorii simpli ai variaţiei…………………………………………………….. 22 4.2. Indicatorii sintetici ai variaţiei……………………………………………………22

Capitolul V. Regresia simplă liniară………………………………………………..26

Capitolul VI. Intensitatea corelaţiei simple liniare……………………………….. 30

Capitolul VII. Regresia hiperbolică…………………………………………………35

Capitolul VIII. Intensitatea corelaţiei hiperbolice………………….…………….. 37

Capitolul IX. Regresia exponenţială……………………………………………….. 38

Capitolul X. Intensitatea corelaţiei exponenţiale………………………………….. 40

Capitolul XI. Corelaţia neparametrică…………………………………………….. 41

Capitolul XII. Indicii statistici……………………………………………………….44 12.1. Noţiunea, importanţa şi rolul indicilor statistici…………………………………44 12.2. Indicii individuali………………………………………………………………. 45 12.3. Indicii sintetici………………………………………………………………….. 48 12.3.1. Indicii agregaţi…………………………………………………………………48 12.3.2. Indicii sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali……………………..53 12.3.2.1. Indicele mediu aritmetic ponderat………………………………………….. 53 12.3.2.2. Indicele mediu armonic ponderat……………………………………………55 12.3.2.3. Indicele mediu geometric……………………………………………………56 12.3.3. Indici calculaţi ca raport între două medii aritmetice ponderate……………....58 12.3.4. Raportul şi diferenţa dintre indicii Paasche şi Lapeyres……………………....60 12.3.5. Metode de analiză a influenţei factorilor cu ajutorul indicilor……………….. 61 12.3.5.1. Metoda substituţiei în lanţ………………………………………………….. 62 12.3.5.2. Metoda restului nedescompus…………………………………………….....68 Capitolul XIII. Testul „t”…………………………………………………………....77

Bibliografie…………………………………………………………………………….81

3

CAPITOLUL I

STATISTICA - INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE A REALITĂŢII

1.1. Importanţa statisticii în universul realităţii Statistica este o ştiinţă într-o continuă evoluţie, ce atrage în universul ei oameni din diverse domenii de activitate: economie, sociologie, psihologie, medicină, cultură, sport, etc., şi care reuşind să cunoască multitudinea de metode şi tehnici oferite de ea, vor putea să se confrunte cu diversele probleme complexe ale societăţii noastre. Importanţa extremă a statisticii în cunoaşterea realităţii este subliniată puternic de-a lungul timpului de mari statisticieni. T.W. Anderson şi S.L. Sclove menţionau că: „statistica intră aproape în fiecare fază a vieţii noastre. Buletinul de ştiri poate începe cu analiza situaţiei economice şi se poate sfârşi cu timpul probabil. Statistica, cu ajutorul unor mijloace specifice, furnizează baza pentru cercetare în multe domenii ale cunoaşterii, cum sunt: sociologia, fizica, biologia, ingineria, educaţia, comerţul, medicina şi jurisprudenţa. Informaţia asupra unui anumit subiect este sintetizată sub formă de numere; o analiză a acestor numere este făcută cu scopul obţinerii unei înţelegeri mai bune a fenomenului ce ne interesează. O definiţie a statisticii ar putea fi aceasta: extragerea semnificaţiei, a sensului din numere.” Deosebit de sugestive sunt afirmaţiile lui V. Craiu: „metodele statistice moderne bazate pe teoria probabilităţilor, sunt de neînlocuit în fizică şi biologie, în economie şi sociologie, în medicină şi agricultură, în psihologie şi educaţie, în industrie şi în administraţia de stat. Astronomul stabileşte următoarea poziţie a unei comete pe baza metodelor statistice; cercetătorii din agricultură şi medicină stabilesc dacă o nouă metodă, un nou tratament este superior, pe baza consideraţiilor statistice; dezvoltarea sistemului energetic nu poate avea loc fără cunoaşterea datelor statistice asupra cererii de energie electrică; inginerii găsesc de neînlocuit teoria selecţiei în controlul calităţii producţiei; administraţia de stat îşi bazează acţiunile pe date statistice.” Dar, statisticienii îl citează şi pe scriitorul englez H. G. Wells care afirma că: „în viitorul nu prea îndepărtat, oamenii vor trebui să înveţe statistica aşa cum învaţă să scrie şi să citească.” Pe măsura curgerii ireversibile a timpului, observăm că previziunea sa începe să capete contur. Însă, există şi o severă caracterizare a statisticii efectuată de Benjamin Disroeli „există trei feluri de minciuni: minciunile, minciunile teribile şi statisticile”. Această afirmaţie făcută cu mulţi ani în urmă, capătă mai exact o descriere a multor înşelătorii de care ne ciocnim în viaţa de zi cu zi. Darrell Huff, în plăcuta sa carte „Cum să minţim cu statistica” nota că: „mincinoşii ştiu aceste trucuri; oamenii cinstiţi trebuie să le înveţe ca mijloc de autoapărare”.

1.2. Etapele evoluţiei statisticii Istoria statisticii este la fel de veche ca şi istoria consemnată, între ele existând o puternică corelaţie după opinia lui A.L. Schlozer, şi anume: „istoria este statistică în mişcare, iar statistica este istoria în repaus”. Cel mai vechi stadiu al statisticii este statistica practică definită prin forme de evidenţă şi de înregistrări discontinue. Ca exemple, se pot enumera: recensământul populaţiei realizat la romani (censul), precum şi în Dacia cucerită de aceştia, unde serviciile de evidenţă erau îndeplinite de „tabulari”; inventarierea aurului şi a pământului în Egipt cu o periodicitate de 2 ani, etc..

4

O altă etapă deosebit de importantă în dezvoltarea statisticii este statistica descriptivă. Formele de guvernământ ale Babyloniei, Egiptului şi Romei Antice adunau documente ce descriau în amănunt populaţiile şi resursele. În Evul Mediu, formele de guvernământ începeau să înregistreze proprietarii de pământ, iar în anul 762 Charlemagne [7,p. 2-3] se interesa de descrierile detaliate ale averilor şi serviciilor. Pe de altă parte, la începutul secolului al IX-lea Charlemagne a terminat o enumerare statistică a sclavilor şi iobagilor ataşaţi moşiilor. În jurul anului 1086, William Cuceritorul a ordonat scrierea cărţii „Domesday Book”, care trebuia să fie un raport al proprietarilor de vase într-o oarecare măsură şi o evaluare a terenurilor agricole ale Angliei. Finalizarea scrierii ei a determinat apariţia primei statistici abstracte în limba engleză. Deoarece Henric al VII-lea se temea de ciumă, în timpul izbucnirii acesteia la sfârşitul anului 1500, guvernul Angliei a început publicarea săptămânală a statisticilor decedaţilor. Această practică a continuat, iar după anul 1632 aceste „Afişe ale mortalităţii” au cuprins născuţii şi decedaţii după sex. În anul 1662, căpitanul John Graunt a utilizat 30 de ani „afişele mortalităţii” ca să efectueze previziuni asupra numărului de persoane care ar muri din cauza diverselor boli, precum şi asupra proporţiei naşterilor persoanelor de sex feminin şi masculin la care se pot aştepta. Sintetizate în lucrarea sa „Observaţii naturale şi politice… înţelegerea afişelor mortalităţii”, aceste „afişe” au dat naştere unui studiu care a fost efortul de pionerat în analiza statistică, iar pentru realizarea sa constând în utilizarea înregistrărilor trecute în vederea previzionării înregistrărilor viitoare, Graunt a fost făcut membru al „Royal Society”. Un nou stadiu în evoluţia de-a lungul timpului a statisticii este „Aritmetica politică”, unde în cadrul „şcolii Aritmetice politice”, apărută în Anglia la finele secolului al XVII-lea, se formează obiectul şi metoda statisticii ca urmare a aportului adus de William Petty (1623-1687) în lucrarea sa cu acelaşi nume al şcolii. Gottfried Achenwall (1719-1772), profesor la Malborough şi Göttingen, a fost cel care a folosit mai întâi termenul de statistică, originea cuvântului „statistic” provenind din cuvântul italian „statista” ce înseamnă „om de stat”. Pe de altă parte, cel care a introdus cuvântul statistică în Anglia, a fost doctorul E.A. Zimmerman, iar Sir John Sinclair l-a popularizat în lucrarea sa „Descrierea statistică a Scoţiei, 1771-1799”. Parcurgând de-a lungul timpului istoria statisticii, o altă fază este statistica inductivă care interpretează fenomenul în ansamblul său pe baza rezultatelor experimentelor succesive şi a aplicării teoriei selecţiei, iar toate fenomenele focalizate sub incidenţa cercetării sunt privite în interdependenţa lor. În cadrul acestei faze apare utilizarea metodelor matematice şi a calculului probabilităţilor. Jacob Bernoulli (1654-1705) este cel care a pus bazele statisticii inductive ca urmare a utilizării „legii numerelor mari” în cuantificarea fenomenelor economice. De asemenea, contribuţii deosebit de importante în cadrul dezvoltării statisticii inductive şi-au adus: A. Fisher, K. Pearson, C.E. Spearman, M.G. Kendall, G.U. Yule, Cebîşev, Leapunov, etc.. Istoria dezvoltării statisticii teoretice şi practice este foarte lungă, multe personalităţi aducându-şi aportul la studiul statisticii, al perfecţionărilor şi inovaţiilor în acest domeniu, contribuind împreună la perfecţionarea de-a lungul timpului a bazelor teoretice ale statisticii.

1.3. Obiectul şi metoda statisticii Obiectul de studiu al statisticii este reprezentat de orice fenomen social-economic, dar şi de corelaţia dintre acestea şi condiţiile materiale sub incidenţa cărora ele apar.

5

Marele statistician M.G. Kendall sublinia că „statistica este matricea oricărei ştiinţe experimentale”, ea fiind definită ca o ştiinţă ce cercetează aspectul cantitativ al fenomenelor şi proceselor social-economice de masă în condiţii concrete de timp şi spaţiu. La rândul lor, fenomenele pot fi simple şi colective sau de masă. Fenomenele simple sunt acele fenomene care apar datorită unui singur factor de influenţă, adică ca urmare a unei cauze, acesteia corespunzându-i un singur efect. Pe de altă parte, există fenomene care se formează ca rezultat al acţiunii unui complex de factori de influenţă, fenomene ce se produc prin intermediul acţiunii unei mulţimi de forme individuale întâmplătoare. Aceste fenomene se numesc fenomene colective sau fenomene de masă, iar pentru a identifica legile statistice care le guvernează trebuie cercetată întreaga colectivitate statistică aflată sub incidenţa programului de cercetare. Legea statistică reprezintă media acţiunilor individuale, respectiv rezultanta acţiunilor tuturor factorilor de influenţă ai fenomenului studiat. Metoda statistică se defineşte ca fiind mulţimea tuturor operaţiilor, tehnicilor, procedeelor şi metodelor de cercetare statistică a fenomenelor ce fac parte din programul de cercetare. Etapele care se vor urma în cadrul cercetării statistice sunt: observarea, prelucrarea, analiza şi interpretarea rezultatelor. Observarea statistică are loc în urma culegerii datelor statistice, în această etapă observându-se fiecare caz separat. Formele observării statistice sunt: recensămintele, anchetele statistice, monografiile, etc. Următoarea fază este prelucrarea statistică, în cadrul căreia prin intermediul „arsenalului” de metode şi tehnici statistice se prelucrează datele statistice culese, obţinându-se indicatorii statistici ce vor releva ceea ce este esenţial, tipic şi semnificativ în evoluţia fenomenului cercetat. Ultima etapă în cadrul cercetării statistice este analiza şi interpretarea rezultatelor ce vor avea ca efect obţinerea concluziilor statistice. Ca urmare a existenţei unui univers foarte variat de fenomene ce formează obiectul său de cercetare, statistica s-a separat pe ramuri, şi anume: bazele statisticii, statistica macroeconomică, statistica firmei, statistica demografică, statistica medicală, etc.

1.4. Noţiuni folosite în cercetarea statistică În cadrul programelor de cercetare statistică, precum şi în oricare formă de activitate statistică, se operează cu noţiuni de bază ce conferă statisticii un limbaj propriu, asigurându-i dimensiuni distincte faţă de celelalte limbaje ştiinţifice. Datele statistice sunt valorile, numerele obţinute prin intermediul observării şi prelucrării statistice. Unităţile statistice reprezintă elementele componente ale colectivităţilor statistice. La rândul lor, unităţile statistice pot fi simple şi complexe. Unitatea statistică simplă este acea entitate din colectivitatea statistică care este indivizibilă în cadrul activităţii de culegere a datelor statistice. Exemple de unităţi statistice simple: produsul, studentul, sportivul, etc. Unitatea statistică complexă este alcătuită din două sau mai multe unităţi statistice simple ca efect al formelor de organizare din cadrul unei colectivităţi statistice, de exemplu: familia, grupa de studenţi, echipa alcătuită din sportivi, lotul de produse, etc.. Colectivitatea statistică reprezintă totalitatea unităţilor statistice intrate sub incidenţă procesului de cunoaştere, respectiv a activităţii de cercetare statistică. Ca exemple, se pot enumera: totalitatea studenţilor dintr-un centru universitar, populaţia unei ţări, producţia unei firme, etc..

6

Caracteristicile statistice sau variabilele statistice reprezintă trăsăturile comune ale unităţilor statistice dintr-o colectivitate, ce vor urma a fi supuse procesului de înregistrare, ale căror valori pot fi în general distincte de la o unitate statistică la alta. Variabilele statistice se notează cu X,Y,Z. La nivelul fiecărei unităţi statistice aparţinând unei colectivităţi, fiecare variabilă statistică înregistrează în general mai multe valori, iar numărul acestora poartă denumirea de frecvenţă sau pondere. Exemple de variabile statistice: vechimea, înălţimea, greutatea, viteza, acceleraţia, lăţimea, lungimea, volumul, etc.. Criteriile în funcţie de care variabilele statistice se diferenţiază sunt: 1. după natura lor, distingem variabile statistice de: - timp, ce exprimă momentul ori perioada de apariţie; - spaţiu, ce indică plasarea unităţii statistice în teritoriu; - atributive, ce fac referire la natura interioară a unităţilor statistice. 2. după natura variaţiei, variabilele statistice sunt: - discrete, când variantele lor reprezintă valori izolate, întregi, în cadrul unui interval; - continue, în situaţia în care variantele lor sunt într-un număr infinit pe un interval, luând orice valoare întreagă şi zecimală. 3. după modul de exprimare, întâlnim variabile statistice: - cantitative, ele fiind exprimate numeric: greutatea, înălţimea, vârsta, viteza, etc.; - calitative, acestea fiind exprimate prin cuvinte: naţionalitatea, sexul, starea civilă, etc.. 4. după numărul de variante pe care le iau, distingem: - variabilele statistice alternative ce sunt caracterizate prin două variante pe care le pot lua: da şi nu; sexul (bărbat, femeie), etc.; - variabilele statistice nealternative, ce sunt definite prin mai mult de două valori, deci pot exprima mai multe variante numerice sau calitative distincte. 5. după importanţa acestora în cadrul activităţii de cercetare statistică, întâlnim: - variabile statistice esenţiale, ce oferă răspunsuri directe proceselor de cunoaştere; - variabile statistice neesenţiale, care reprezintă însuşiri cu caracter întâmplător în activitatea de cercetare. 6. după modul de obţinere şi utilizare a datelor, întâlnim: - variabile statistice primare, ce sunt obţinute prin intermediul activităţii de înregistrare statistică; - variabile statistice derivate, ce rezultă în urma utilizării unui model de calcul statistic. Indicatorii statistici reprezintă mărimi statistice prin intermediul cărora, caracterizarea fenomenelor din punct de vedere al conţinutului, structurii, al variaţiei în timp ori spaţiu, respectiv al conexiunii cu alte fenomene se exprimă numeric. Întâlnim următoarele tipuri de indicatori statistici: - indicatori absoluţi, care apar în urma operaţiilor de măsurare, numărare, însumare ori agregare; - indicatori derivaţi numiţi şi indicatori sintetici întâlniţi sub forma mărimilor medii, mărimilor relative, ei rezultând ca urmare a efectuării unor calcule simple sau prin utilizarea unor modele matematice.

7

CAPITOLUL II OBSERVAREA, PRELUCRAREA ŞI PREZENTAREA DATELOR STATISTICE

Cercetarea statistică a fenomenelor şi proceselor social-economice include aşadar, ansamblul activităţilor de observare şi culegere, sistematizare şi prelucrare, analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute. Prima etapă a cercetării statistice este observarea. Pentru ca datele statistice să fie utile programului de cercetare, observaţiile trebuie să fie organizate astfel încât să se poată selecţiona exemple şi să se ajungă la concluzii logice. Observarea statistică este procesul de culegere a datelor statistice pe baza unor criterii precizate, în ceea ce prieşte nivelul variabilelor aparţinând tuturor unităţilor statistice dintr-o colectivitate. Statisticienii selecţionează observaţiile lor astfel încât toate eşantioanele cercetate să conţină date statistice relevante. Astfel, lansarea unui produs nou implică cuantificarea potenţialului pieţei de desfacere. Pentru aceasta, analiştii pot cerceta câte 100 de consumatori în orice arie geografică a lumii, iar ei trebuie să fie siguri că fiecare grup conţine o varietate de oameni ce prezintă variabile de tipul: venitului, studiilor, al rasei, al căror nivel să fie semnificativ în evoluţia fenomenului cercetat. Obiectul observării este reprezentat de colectivitatea statistică cercetată sau de ansamblul unităţilor statistice de la care se culeg şi se înregistrează nivelul caracteristicilor incluse în programul de cercetare. Ţinând cont de natura fenomenelor ce se vor înregistra, purtătorii de informaţii pot fi: fişele, listele şi benzile magnetice. Fişa se foloseşte doar pentru o singură unitate de observare, cu menţionarea faptului că se utilizează în situaţia în care programul observării este amplu, iar unităţile statistice pentru care nivelurile caracteristicilor se vor înregistra, sunt răspândite spaţial. Lista reprezintă un formular utilizat pentru înregistrarea datelor cu privire la nivelurile variabilelor aparţinând la mai multe unităţi statistice concentrate în teritoriu. Observările statistice se clasifică după o serie de criterii: 1. după numărul unităţilor statistice înregistrate, întâlnim: - observări totale: recensămintele; - observări parţiale: sondajele; anchetele statistice. 2. după timpul la care se referă datele statistice înregistrate, distingem: - observări curente: rapoartele statistice; - observări periodice: recensămintele; - observări unice: observările special organizate (sondajul statistic, ancheta statistică, monografia statistică, recensămintele). Recensământul reprezintă observarea statistică totală şi directă, realizată o dată la zece ani şi care deţine gradul cel mai ridicat de complexitate. Datele statistice privind caracteristicile referitoare la mărimea şi structura populaţiei după vârstă, sex, profesie, etc., se culeg şi se înregistrează simultan după criterii unitare la nivelul tuturor unităţilor statistice simple aparţinând colectivităţii generale cercetate. Ancheta statistică reprezintă observarea statistică parţială, prin intermediul căreia se studiază de exemplu, opiniile consumatorilor privitoare la un anumit produs lansat pe piaţă, segmentul de piaţă fiind luat sub observaţie în mod aleatoriu, ceea ce nu poate asigura un grad de reprezentativitate ridicat al părţii focalizate sub observaţie faţă de colectivitatea generală. Monografia statistică este observarea statistică special organizată, prin intermediul căreia se culeg şi se înregistrează date cu privire la caracteristici diferite ale unei unităţi statistice complexe luate sub observare.

8

Prelucrarea statistică exprimă sistematizarea preliminară a datelor statistice pe colectivitatea generală, cât şi pe unităţile statistice componente, inclusiv cuantificarea mărimilor indicatorilor absoluţi şi derivaţi, dar şi reliefarea rezultatelor statistice obţinute. Aşadar, etapele prelucrării statistice sunt: centralizarea, gruparea datelor, calculul indicatorilor absoluţi, cuantificarea indicatorilor derivaţi, prezentarea rezultatelor sub forma tabelelor, graficelor şi a seriilor statistice. Centralizarea reprezintă acumularea întregului număr de formulare, precum şi însumarea datelor statistice pe fiecare variabilă aditivă. Gruparea datelor statistice este operaţia de organizare a datelor statistice primare în funcţie de o variabilă statistică cantitativă, aceasta putându-se realiza manual sau automatizat. Grupările statistice se pot clasifica în funcţie de o serie de criterii: 1. după numărul de variabile utilizate în cadrul operaţiei de grupare statistică a datelor, distingem: - grupări simple, acestea fiind realizate în funcţie de o singură variabilă statistică; - grupări combinate, în cadrul lor fiind folosite două sau mai multe variabile statistice; 2. după conţinutul variabilelor statistice, întâlnim: - grupări de timp, acestea fiind efectuate în funcţie de variabile statistice de timp; - grupări teritoriale, ele fiind realizate după variabile statistice de spaţiu; - grupări în funcţie de variabile statistice atributive. 3. după modalitatea de exprimare a variabilelor statistice, distingem: - grupări în funcţie de variabile statistice numerice, în cadrul lor utilizându-se caracteristici exprimate prin numere; - grupări în funcţie de variabile statistice nenumerice, acestea fiind obţinute prin utilizarea caracteristicilor exprimate prin cuvinte. 4. după mărimea variaţiei variabilei statistice analizate, întâlnim: - grupări pe variante, ele fiind efectuate în funcţie de caracteristici numerice sau nominative; - grupări pe intervale de variaţie, care pot fi egale sau neegale. Gruparea pe intervale egale se efectuează începând de la calculul amplitudinii variaţiei care se notează cu A şi se calculează în funcţie de diferenţa dintre valoarea maximă şi valoarea minimă a variabilei statistice cercetate: .min.max xxA −= (2.1) Astfel, mărimea intervalului de grupare a valorilor caracteristicii statistice luate în studiu, se determină conform relaţiei H.A. Sturges:

n

xxn

Adlg322,31lg322,31

.min.max

+−

=+

= (2.2)

unde: d = mărimea intervalului de grupare; n = numărul unităţilor statistice. Prezentarea datelor statistice se realizează sub forma tabelelor, graficelor şi a seriilor statistice. Tabelul statistic reprezintă modalitatea de prezentare într-o reţea de linii şi coloane a unor date statistice primare sau a unor prelucrări de mărimi statistice derivate, acestea fiind realizate în vederea analizei indicatorilor absoluţi şi derivaţi în cadrul programului

9

de cercetare. Ca exemple de tabele statistice se pot enumera: tabelul statistic simplu, tabelul statistic pe grupe, tabelul cu dublă intrare, etc.. Tabelul statistic simplu reprezintă acea formă a unui tabel obţinută prin simpla înşiruire a unităţilor statistice cercetate, înregistrând în dreptul lor valoarea variabilelor statistice măsurate, exemplu fiind tabelul nr. 2.1: Tabelul nr. 2.1. Distribuţia salariaţilor dintr-un departament în funcţie de vechime

Tabelul statistic pe grupe include date statistice ale unei colectivităţi împărţită în funcţie de o variabilă statistică de grupare în grupe omogene, de exemplu tabelul nr. 2.2: Tabelul nr. 2.2. Forma unui tabel statistic pe grupe de unităţi statistice după variabila X

Tabelul cu dublă intrare se utilizează în situaţia în care unităţile statistice dintr-o colectivitate analizată se repartizează în funcţie de două variabile statistice de grupare, între care există o corelaţie, exemplu fiind tabelul nr. 2.3:

Unitatea statistică (salariatul)

Vechimea (ani)

1. 7 2. 10 3. 4 4. 3 5. 1 6. 14 7. 20 Total 59

Variabila statistică

Numărul unităţilor statistice (ni)

x1 x2

.

.

. xk

.

.

. xp

n1 n2 . . . nk

.

.

np

Total ∑

=

p

kin

1

10

Tabelul nr. 2.3. Tabelul cu dublă intrare

Grupe după variabila Y Grupe după variabila X

y1

y2

. . .

yj

. . .

ys

ni.

x1 n1. x2 n2. . . .

. . .

xi ni. . . .

. . .

xp np. n.j

n.1

n.2

. . .

n.j

. . .

n.s ∑∑

= =

p

i

s

jijn

1 1

Graficele exprimă trăsăturile cele mai importante ale fenomenelor cercetate, prin intermediul a diferite mijloace de reprezentare, cum ar fi: diagrama prin benzi şi coloane, diagramele de structură, histograma, curba frecvenţelor absolute, poligonul frecvenţelor absolute, curba frecvenţelor cumulate, poligonul frecvenţelor cumulate, etc.. Diagrama prin benzi are la bază o arhitectură alcătuită din dreptunghiuri a căror lungime (latură mare) se plasează pe orizontală, şi care vor fi tangente la ordonata sistemului de axe rectangulare xoy. Lungimile dreptunghiurilor vor fi proporţionale cu valorile datelor ce se vor reprezenta, iar lăţimile lor vor fi aceleaşi pentru toate benzile. De exemplu, în figura nr. 2.1. este reprezentată diagrama prin benzi care prezintă populaţia în anul 1995 a cinci metropole: Tabelul nr. 2.4. Populaţia unor metropole în anul 1995

Metropola Sao Paulo Jakarta Tokyo Rio de Janeiro

Buenos Aires

Populaţia 9.393.753 9.160.500 7.966.195 5.473.033 2.988.006

0.00 20000

00.004000000.00

6000000.00

8000000.00

10000000.00

Buenos Aires

Rio de Janeiro

Tokyo

Jakarta

Sao Paulo

Fig. nr. 2.1. Diagrama prin benzi reprezentând populaţia în anul 1995 a cinci metropole

11

Diagrama prin coloane deţine o tehnică de construcţie bazată pe dreptunghiuri, a căror lungime (latură mare) se plasează pe verticală în cadrul unui sistem de axe rectangulare. De exemplu, în figura nr. 2.2. este prezentată diagrama prin coloane care relevă populaţia S.U.A. în anii 1973, 1976 şi 1998:

0

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

300000000

1973 1976 1998

Fig. nr. 2.2. Diagrama prin coloane reprezentând populaţia S.U.A. în anii 1973, 1978 şi 1998. Diagramele de structură (cercul de structură, pătratul de structură, dreptunghiul de structură) se construiesc pe baza unui raport de proporţionalitate între suprafaţa fiecărei figuri geometrice şi volumul total al colectivităţii de 100 %. După ce se alege figura geometrică, aceasta se va împărţi într-un număr de părţi egal cu numărul componentelor colectivităţii analizate, fiecare parte colorându-se sau haşurându-se după dorinţa cercetătorului. De exemplu, în figura nr. 2.3. este reprezentat cercul de structură al populaţiei Franţei în anul 1997, în mediul urban aceasta ocupând 75%, iar în mediul rural ponderea sa fiind de 25%.

urbanrural

Fig. nr. 2.3. Cercul de structură al ponderilor

populaţiei Franţei în mediul urban şi rural în anul 1997 Histograma este alcătuită dintr-o succesiune de dreptunghiuri lipite unele de altele, cu bazele egale şi proporţionale cu mărimile intervalelor de grupare, iar înălţimile proporţionale cu mărimile nivelurilor frecvenţelor absolute şi perpendiculare pe axa absciselor din cadrul sistemului de axe rectangulare xoy. De exemplu în figura nr. 2.4. este prezentată histograma notelor obţinute de o grupă de studenţi la un examen:

12

Tabelul nr. 2.5. Distribuţia notelor obţinute de o grupă de studenţi

Note Număr de studenţi ni

4-5 2 5-6 3 6-7 4 7-8 12 8-9 8 9-10 7 Total 36

Nr. studenţi

0

2

4

6

8

10

12

NOTE

(4-5](5-6](6-7](7-8](8-9](9-10]

Fig. nr. 2.4. Histograma notelor obţinute de o grupă de studenţi

Seria statistică exprimă efectul grupărilor statistice sub forma a două şiruri de date: primul şir relevă variabila de grupare şi cel de-al doilea şir prezintă efectul centralizării frecvenţelor absolute. Ţinând cont de numărul de variabile statistice focalizate în cadrul programului de cercetare, seriile statistice pot fi: - unidimensionale, adică serii statistice ordonate după o singură variabilă statistica; - multidimensionale, adică serii statistice ordonate după doua sau mai multe variabile statistice. În funcţie de conţinutul variabilei statistice de grupare, există următoarele serii statistice: - de timp, numite şi serii dinamice sau cronologice, ele exprimând variaţia în timp a unei variabile statistice cercetate; - de spaţiu, denumite şi serii statistice teritoriale, reprezentând acele serii statistice în cadrul cărora se efectuează centralizarea valorilor variabilei statistice cercetate sau a frecvenţelor în funcţie de variantele unei variabile statistice de spaţiu; - de distribuţie, numite şi serii statistice de repartiţie, în cadrul lor gruparea datelor statistice efectuându-se în funcţie de o variabilă statistică atributivă sau cantitativă.

13

CAPITOLUL III

INDICATORII STATISTICI AI TENDINŢEI CENTRALE Indicatorii tendinţei centrale reprezintă un set de indicatori statistici ce sintetizează valorile variabilelor statistice aparţinând unei serii statistice cercetate, printr-un număr redus al acestora. În cadrul indicatorilor tendinţei centrale se includ mărimile medii, dar şi indicatorii medii de poziţie.

3.1. Mărimile medii Mărimile medii ocupă o poziţie aparte în cadrul indicatorilor sintetici generalizatori ai tendinţei centrale de dezvoltare a fenomenelor, cât şi în cel al indicatorilor derivaţi, relevând ceea ce este esenţial, normal, tipic, comun şi reprezentativ în apariţia şi manifestarea fenomenelor de masă. Media deţine o funcţie principală, şi anume aceea de a sintetiza într-o singură expresie numerică valorile individuale înregistrate ale variabilelor statistice cercetate, astfel încât să fie posibilă substituirea acestora. Pe de altă parte, înainte de a calcula media ca o măsură a tendinţei centrale trebuie verificată omogenitatea colectivităţii statistice intrate în programul de cercetare, în vederea asigurării unei reprezentativităţi mediei calculate. În situaţia în care mulţimea valorilor individuale înregistrate este eterogenă, colectivitatea statistică se împarte pe grupe omogene şi apoi se calculează mediile parţiale pe grupe. În final, nivelul mediu al variabilelor statistice cercetate pe ansamblul colectivităţii va fi sinteza mediilor parţiale. În cadrul evoluţiilor lor în timp sau în spaţiu, fenomenele social-economice se pot afla sub influenţa factorilor esenţiali, cât şi a celor întâmplători. Dintre aceste două categorii de factori, mărimile medii reliefează influenţa factorilor esenţiali care au acţionat asupra unităţilor statistice dintr-o colectivitate sub aspectul unei anumite variabile statistice.

3.1.1. Media aritmetică De cele mai multe ori, când ne referim la „media” a ceva, vorbim despre media aritmetică. Această situaţie este adevărată în următoarele exemplificări: vârsta medie de viaţă a omului, greutatea medie a sportivilor dintr-o echipă, înălţimea medie a baschetbaliştilor dintr-o echipă, etc.. Media aritmetică a unei serii statistice de forma x1, x2, …, xn aparţinând variabilei statistice X, se determină ca raport între suma valorilor individuale ale caracteristicii analizate şi numărul acestora. - în cazul unei serii statistice simple x1, x2, …, xn , media aritmetică simplă, va fi:

n

xx

n

ii∑

== 1 (3.1)

14

- în situaţia unei serii statistice ponderate de forma ),1;,( kinx ii = , media aritmetică va fi:

=

== k

ii

i

k

ii

n

nxx

1

1 (3.2)

Exemple: Fie distribuţia primelor zece ţări producătoare de cafea în anul 1998: Tabelul nr.3.1. Primele 10 ţări mari producătoare de cafea

Nivelul mediu al producţiei de cafea va fi:

4,46810

46841 ===∑=

n

xx

n

ii

mii tone

În tabelul următor este prezentată distribuţia studenţilor dintr-o facultate după înălţime: Tabelul nr. 3.2. Repartiţia studenţilor dintr-o facultate în funcţie de înălţime

Înălţime (cm)

Nr. studenţi (ni)

xi xini

156-160 21 158 3318 160-164 277 162 44874 164-168 384 166 63744 168-172 245 170 41650 172-176 183 174 31842 176-180 75 178 13350 180-184 62 182 11284 184-188 125 186 23250 188-192 54 190 10260 192-196 27 194 5238 196-200 18 198 3564

Total 1471 252374

Nr.crt. Ţara Producţia de cafea (mii tone)

1. Brazilia 1690 2. Columbia 732 3. Indonezia 455 4. Vietnam 392 5. Côte d’Ivoire 332 6. Mexic 288 7. India 228 8. Etiopia 204 9. Guatemala 183 10. Uganda 180 Total 4684

15

Nivelul mediu al înălţimii studenţilor pe întreaga facultate va fi:

cmn

nxx

ii

ii

i

57,1711471

25237411

1

11

1 ===

=

=

3.1.1.1. Proprietăţile mediei aritmetice

Proprietăţile mediei aritmetice deţin o importanţă deosebită în obţinerea unei simplificări a cuantificării acesteia, dar şi în verificarea exactităţii calculului ei. 1. Nivelul mediei aritmetice este cuprins între xmin şi xmax . maxmin xxx << (3.3) În cazul exemplului nr.1, observăm că: 16904,468180 <=< x 2. Suma abaterilor valorilor individuale ale variabilei statistice cercetate faţă de nivelul mediu al acesteia este egală cu zero. - în cazul unei serii simple:

0)( 1

11=⋅−=−

∑∑∑ =

== k

xkxxx

k

iik

ii

k

ii (3.4)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

0)(1

1

1

11=⋅−=⋅− ∑

∑∑∑

=

=

=

==

k

iik

ii

k

iiik

iiii

k

ii n

n

nxnxnxx (3.5)

3. Dacă toate nivelurile variabilelor statistice xi, unde ki ,1= , sunt egale, atunci media aritmetică a acestora va fi egală cu valoarea lor comună. Dacă α==== kxxx ...21 , atunci: - în cazul unei serii simple:

αα=

⋅==

∑=

kk

k

xx

k

ii

1 (3.6)

16

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

αα

===

=

=

=

=k

ii

k

ii

k

ii

k

iii

n

n

n

nxx

1

1

1

1 (3.7)

4. În situaţia în care toate nivelurile variabilelor statistice (x1, x2, …, xk ) cresc sau descresc cu o constantă β , atunci şi nivelul mediu aritmetic al acestora creşte sau descreşte cu aceeaşi valoare β . - în cazul unei serii simple:

βββ

±=±

=∑∑== x

k

kx

k

xx

k

ii

k

ii

11')(

(3.8)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

βββ

±=±=⋅±

=

=

=

=

= xn

nx

n

nxx k

ii

k

iii

k

ii

i

k

ii

1

1

1

1')(

(3.9)

5. Dacă toate nivelurile variabilelor statistice (x1, x2, …, xk ) se măresc sau se micşorează de un anumit număr de ori ω , atunci şi nivelul mediu aritmetic al acestora se măreşte sau se micşorează de acelaşi număr de ori ω , unde 0≠ω . - în cazul unei serii simple:

ωω

ω xk

x

k

x

x

k

ii

k

i

i

=⋅==∑∑== 11' 1 (3.10)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

ωω

ω x

n

nx

n

nx

x k

ii

k

iii

k

ii

i

k

i

i

=⋅=⋅

=

=

=

=

=

1

1

1

1' 1 (3.11)

Observăm că dacă combinăm proprietăţile 4 şi 5, obţinem formula de calcul simplificat a mediei aritmetice:

17

- în cazul unei serii simple:

βωωβ

+⋅

=∑=

k

x

x

k

i

i

1' (3.12)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

βωωβ

+⋅⋅

=

=

=k

ii

k

ii

i

n

nx

x

1

1' (3.13)

6. În situaţia în care într-o serie statistică cu frecvenţe, toate nivelurile frecvenţelor asociate fiecărei variante a variabilei statistice cercetate se reduc de acelaşi număr de ori ϕ , unde 0≠ϕ , atunci nivelul mediei aritmetice ponderate nu se modifică.

xn

nx

n

nxx k

ii

k

iii

k

i

i

k

i

ii

==⋅

=

=

=

=

=

1

1

1

1'

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ (3.14)

unde 0≠ϕ Combinând proprietăţile 4, 5 şi 6 obţinem o altă formă a formulei de calcul simplificat a mediei aritmetice în cazul unei serii cu frecvenţe.

βω

ϕ

ϕωβ

+⋅⋅

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nx

x

1

1' (3.15)

7. Nivelul mediu aritmetic al sumei alcătuită din două variabile statistice X şi Y este egal cu suma nivelurilor mediilor aritmetice ale fiecărei variabile statistice cercetate. yxyx +=+ (3.16) - în cazul unei serii simple:

yxk

y

k

x

k

yxyx

k

ii

k

ii

k

iii

+=+=+

=+∑∑∑=== 111

)( (3.17)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

yxn

ny

n

nx

n

nyxyx k

ii

k

iii

k

ii

k

iii

k

ii

k

iiii

+=+=+

=+

=

=

=

=

=

=

1

1

1

1

1

1)(

(3.18)

18

8. Nivelul mediu aritmetic al produsului alcătuit din două variabile statistice X şi Y este egal cu produsul nivelurilor mediilor aritmetice ale fiecărei variabile statistice analizate. yxyx ⋅=⋅ (3.19)

3.1.2. Media armonică

Media armonică reprezintă inversa mediei aritmetice a valorilor inverse ale variabilelor statistice xi. - în cazul unei serii simple:

∑=

= k

i i

h

x

kx

1

1 (3.20)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

=

=

⋅= k

ii

i

k

ii

h

nx

nx

1

1

1 (3.21)

3.1.3. Media geometrică Media geometrică se utilizează în situaţia în care termenii unei serii statistice evoluează în progresie geometrică. - în cazul unei serii simple:

kk

iig xx ∏

=

=1

(3.22)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

∑= = ∏=

k

ii i

n k

i

nig xx 1

1

(3.23)

3.1.4. Media pătratică Media pătratică reprezintă rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratelor nivelurilor variabilei statistice cercetate.

19

- în cazul unei serii simple:

k

xx

k

ii

p

∑== 1

2

(3.24)

- în cazul unei serii cu frecvenţe:

=

== k

ii

k

iii

p

n

nxx

1

1

2

(3.25)

3.2. Indicatorii medii de poziţie

3.2.1. Modul Modul reprezintă acea valoare a caracteristicii X din cadrul unei serii cu frecvenţe de forma (xi, ni), unde ki ,1= , care prezintă frecvenţa maximă. El se notează cu Mo şi are următoarea formulă:

21

10 Δ+Δ

Δ⋅+= dxMo (3.26)

unde: x0 = limita inferioară a intervalului modal; d = mărimea intervalului;

1Δ = diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului adiacent anterior;

2Δ = diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului adiacent următor.

Interpretarea geometrică a modului se realizează în maniera următoare: - fie un sistem de axe rectangulare x0y, pe a cărei abscisă se aleg variabilele xi-1 şi xi, cărora le corespunde frecvenţa cea mai mare. - vom plasa pe abscisă două intervale adiacente intervalului (xi-1,xi), pentru a construi o histogramă. Astfel, intervalul modal va fi intervalul (xi-1,xi). - în continuare vom uni punctul A cu punctul C şi punctul B cu punctul D, obţinând două triunghiuri asemenea: AEB şi CED. y B C F G A D

0 xi-1 Mo xi x Figura nr. 3.1. Interpretarea geometrică a modului

20

Din asemănarea triunghiurilor AEB şi CED vom obţine următoarea relaţie:

CDEG

ABEF

= (3.27)

Vom utiliza următoarele notaţii: EF = Mo – xi-1 ; 1Δ=AB EG = xi – M0 ; 2Δ=CD ; xi - xi-1= d

Aşadar:

21

1

Δ−

=Δ− − oiio MxxM (3.28)

⇒Δ⋅−Δ⋅=Δ⋅−Δ⋅ − 101212 MxxM iio ⇒Δ⋅+Δ⋅=Δ+Δ − 21121 )( iio xxM

⇒Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ+Δ −− 2111121 )( iio xdxM

21

110 Δ+Δ

Δ⋅+= − dxM i (3.29)

Exemplu: Fie distribuţia următoare a salariaţilor dintr-o firmă după vechime: Tabelul nr. 3.3. Distribuţia salariaţilor dintr-o firmă în funcţie de vechime

Vechime (ani)

Număr de salariaţi (ni)

0 - 10 4 10 - 20 7 20 - 30 23 30 - 40 6 Total 40

Intervalul modal va fi intervalul cu frecvenţa maximă, şi anume intervalul 20 – 30:

8,24)623()723(

)723(102021

10 =

−+−−

⋅+=Δ+Δ

Δ⋅+= dxMo

3.2.2. Mediana Mediana reprezintă valoarea caracteristicii din centrul unei serii statistice care a fost ordonată crescător sau descrescător. Dacă seria statistică simplă este alcătuită dintr-un număr impar de termeni, mediana va fi egală cu mărimea variabilei statistice aflată la mijlocul seriei. În situaţia în care seria statistică are un număr par de termeni, mediana va fi egală cu semi-suma sau media aritmetică simplă a valorilor caracteristicilor aflate la centrul seriei. În cazul unei serii cu frecvenţe, mediana prezintă următoarea formulă de calcul:

i

ime

nNUdxMe 1

0−−

⋅+= (3.30)

21

unde: Me = mediana; x0 = limita inferioară a intervalului median; meU = unitatea mediană; Ni-1 = frecvenţa cumulată până la intervalul median; ni = frecvenţa absolută din dreptul intervalului median;

2

11

+=∑=

n

ii

men

U ; dacă 301

≤∑=

n

iin (3.31)

21∑==

n

ii

men

U ; dacă 301

>∑=

n

iin (3.32)

Intervalul median va fi cel din dreptul frecvenţei cumulate Ni care va îndeplini condiţia următoare: me

i UN ≥ (3.33) Exemplu: Fie distribuţia următoare a angajaţilor dintr-o firmă după salarii: Tabelul nr. 3.4. Distribuţia angajaţilor dintr-o firmă în funcţie de salarii

Salarii (mil.lei)

Număr de salariaţi (ni)

Frecvenţa cumulată (Ni)

0 - 8 10 10 8 - 16 14 24 16 – 24 22 46 24 – 32 6 52 Total 52

Vom calcula valoarea unităţii mediane:

262

5221 ===∑=

n

ii

men

U

Prima frecvenţă cumulată care îndeplineşte condiţia stabilită în cadrul relaţiei (3.33), este N3 = 46. Aşadar, intervalul median este 16 – 24. Prin urmare, mediana va fi:

73,1622

242681610 =

−⋅+=

−⋅+= −

i

ime

nNUdxMe

22

CAPITOLUL IV.

INDICATORII VARIAŢIEI În vederea caracterizării gradului de împrăştiere al valorilor xi aparţinând unei variabile statistice X în jurul nivelului mediu al acesteia, se calculează numeroşi indicatori ai variaţiei, care pot fi: indicatori simpli şi indicatori sintetici ai variaţiei.

4.1. Indicatorii simpli ai variaţiei

4.1.1. Amplitudinea absolută a variaţiei minmax xxA −= (4.1.) 4.1.2. Amplitudinea relativă a variaţiei

100minmax ⋅−

=x

xxA (4.2.)

4.1.3. Abaterea individuală a unei variabile xi faţă de nivelul mediu al variabilei statistice X - în mărimi absolute: xxxa ii −=)( (4.3.) - în mărimi relative:

100)( ⋅−

=x

xxxa ii (4.4)

4.2. Indicatorii sintetici ai variaţiei

Indicatorii sintetici ai variaţiei prezintă formule de calcul care au o proprietate comună, şi anume toate deţin în componenţa lor suma abaterilor valorilor individuale xi ale unei variabile X faţă de nivelul lor mediu. În cadrul indicatorilor sintetici ai variaţiei sunt incluse: abaterea medie liniară, dispersia, abaterea standard şi coeficientul de variaţie.

4.2.1. Abaterea medie liniară Abaterea medie liniară reprezintă media aritmetică (simplă sau ponderată), în valori absolute, a abaterilor valorilor individuale ale variabilelor xi faţă de nivelul lor mediu. - pentru serii simple:

n

xxd

n

ii∑

=

−= 1 (4.5.)

23

- pentru serii cu frecvenţe:

=

=

⋅−= k

ii

i

k

ii

n

nxxd

1

1 (4.6.)

4.2.2. Dispersia

Dispersia reprezintă media pătratică (simplă sau ponderată), a abaterilor valorilor individuale ale variabilelor xi faţă de nivelul lor mediu. - pentru serii simple:

n

xxn

ii∑

=

−= 1

2

2)(

σ (4.7.)

- pentru serii cu frecvenţe:

=

=

⋅−= k

ii

i

k

ii

n

nxx

1

1

2

2)(

σ (4.8.)

4.2.3. Abaterea standard

Abaterea standard, numită şi abaterea medie pătratică, reprezintă rădăcina pătrată din dispersie, adică radical de ordinul doi din media pătratică (simplă sau ponderată) a abaterilor valorilor individuale ale variabilelor xi faţă de nivelul lor mediu. - pentru serii simple:

n

xxn

ii∑

=

−= 1

2)(σ (4.9.)

- pentru serii cu frecvenţe:

=

=

⋅−= k

ii

k

iii

n

nxx

1

1

2)(σ (4.10)

4.2.4. Coeficientul de variaţie

Coeficientul de variaţie exprimă gradul de omogenitate sau eterogenitate dintr-o colectivitate statistică analizată. Cu cât coeficientul de variaţie are o valoare mai mică, cu atât populaţia este mai omogenă şi invers.

24

Acest indicator al variaţiei prezintă două formule de calcul, şi anume: fie se împarte valoarea abaterii medii liniare la cea a mediei aritmetice, fie se efectuează raportul dintre valoarea abaterii standard şi cea a mediei aritmetice.

100⋅=xdv (4.11)

sau

100⋅=x

v σ (4.12)

Exemplu: Fie următoarea distribuţie a unor persoane în funcţie de greutate, prezentată în tabelul nr. 4.1.: Tabelul nr. 4.1. Distribuţia unor persoane după greutate

Greutate (kg.)

Nr. pers. (ni)

(xi)

xini

xxi −

ii nxx ⋅−

ii nxx 2)( −

50-60 2 55 110 21,67 43,34 939,178 60-70 14 65 910 11,67 163,38 1906,645 70-80 27 75 2025 1,67 45,09 75,003 80-90 6 85 510 8,33 49,98 416,333 90-100 11 95 1045 18,33 201,63 3695,878 Total 60 4600 61,67 503,42 7033,037

- Nivelul mediu al greutăţii va fi:

67,7660

4600

1

1 ===

=

=k

ii

k

iii

n

nxx kg

- Abaterea medie liniară:

39,860

42,503

1

1 ==⋅−

=

=

=k

ii

i

k

ii

n

nxxd kg

Fiecare persoană se abate în medie, faţă de greutatea medie pe colectivitatea cercetată, cu ± 8,39 kg. - Dispersia:

217,11760

037,7033)(

1

1

2

2 ==⋅−

=

=

=k

ii

i

k

ii

n

nxxσ kg

25

- Abaterea standard:

82,10217,117)(

1

1

2

==⋅−

=

=

=k

ii

k

iii

n

nxxσ kg

Astfel, fiecare persoană se abate faţă de greutatea medie pe colectivitatea analizată, cu ± 10,82 kg. - Coeficientul de variaţie:

11,1467,7682,10100 ==⋅=

xv σ %

Coeficientul de variaţie având o valoare mică, populaţia prezintă un grad de omogenitate destul de ridicat. \

26

Capitolul V.

REGRESIA SIMPLĂ LINIARĂ Regresia simplă liniară prezintă un model care relevă legătura dintre o variabilă cauzală şi o variabilă efect ale căror valori variază în progresie aritmetică:

ix xbay

i⋅+= (5.1)

unde: a = ordonata la origine; b = coeficientul de regresie. Pentru a determina valoarea parametrilor a şi b vom apela la „metoda celor mai mici pătrate”:

.min)(1

2 =−=∑=

n

ixi i

yyS (5.2)

care prezintă următoarea definiţie: „suma pătratelor abaterilor dintre valorile empirice yi şi valorile teoretice

ixy trebuie să fie minimă”. În vederea calculării parametrilor a şi b vom deriva parţial suma în raport cu a şi apoi vom deriva suma în raport cu b.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−⋅−−

=−⋅−−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∂∂

=∂∂

=

=

n

iiii

n

iii

xbxay

bxay

bSaS

1

1

0)()(2

0)1()(2

0

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+

=+⋅⇔

∑∑∑

∑∑

===

==

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxxbxa

yxban

11

2

1

11 (5.3)

Pentru a afla parametrii a şi b din acest sistem vom utiliza metoda lui Cramer:

2

11

2

1111

2

1

2

1

1

1

2

1

11

)(∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

====

==

=

==

==

⋅−⋅== n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxxyx

xx

xn

xyx

xy

a (5.4)

27

2

11

2

111

1

2

1

1

11

1

)(∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑

==

===

==

=

==

=

⋅−⋅== n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxyxn

xx

xn

yxx

yn

b (5.5)

Formulele parametrilor a şi b demonstrate în cadrul relaţiilor (5.4) şi (5.5), reprezintă cazul I, adică situaţia în care perechea (xi,yi) apare o singură dată. Exemplu: Fie distribuţia a 5 persoane dintr-o firmă oarecare, în funcţie de salarii, prezentată în tabelul nr. 5.1: Tabelul nr. 5.1. Distribuţia unui număr de 5 persoane în funcţie de salarii

Aşadar:

100400905

650020150090

)( 2

11

2

1111

2

=−⋅

⋅−⋅=

⋅−⋅=

∑∑

∑∑∑∑

==

====n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

xxn

yxxyxa

50400905

15002065005

)( 2

11

2

111 =−⋅

⋅−⋅=

⋅−⋅=

∑∑

∑∑∑

==

===n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb

Prin urmare: ix xy

i⋅+= 50100

Cazul II. - (xi, yi, ni) – în situaţia în care perechea (xi,yi) apare de ni ori.

2

11

2

1

1111

2

)(∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅−⋅= n

iii

n

iii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iiii

n

ii

nxnxn

nyxnxnynxa (5.6)

Nr. crt

Vechime (ani) (xi)

Salarii ($) (yi)

2ix

ii yx

1. 2 200 4 400 2. 3 250 9 750 3. 4 300 16 1200 4. 5 350 25 1750 5. 6 400 36 2400 Total 20 1500 90 6500

28

2

11

2

1

1111

)( i

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiii

n

ii

nxnxn

nynxnyxnb

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅−⋅= (5.7)

Exemplu: Fie distribuţia a 30 persoane dintr-o firmă, în funcţie de salarii, prezentată în tabelul nr. 5.2: Tabelul nr. 5.2. Distribuţia unui număr de 30 persoane în funcţie de salarii

=−⋅

⋅−⋅=

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

2

11

2

1

1111

2

)(n

iii

n

iii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iiii

n

ii

nxnxn

nyxnxnynxa

200)690(1795030

31750069012900179502 =

−⋅⋅−⋅

=

=−⋅

⋅−⋅=

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

2

11

2

1

1111

)( i

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiii

n

ii

nxnxn

nynxnyxnb

10)690(1795030

12900690317500302 =

−⋅⋅−⋅

=

Deci: ix xy

i⋅+= 10200

Cazul III. - (Tabel de corelaţie)

2

1.

1.

2

1 1

1 11.

1..

1

2

)(∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=== =

= ====

−⋅

⋅−⋅= n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

i

n

jijji

n

iii

n

jjji

n

ii

nxnxn

nyxnxnynxa (5.8)

2

.11

.2

1 1

1.

1.

1 11 1

)( i

n

ii

n

iii

n

i

n

jij

n

jjj

n

iii

n

iij

n

jji

n

i

n

jij

nxnxn

nynxnyxnb

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== =

=== == =

−⋅

⋅−⋅= (5.9)

Vechime (ani)

Salarii ($)

Nr. pers (ni)

xi

yi

xini

yini

xi

2

iii nyx

0 – 10 200 – 300 2 5 250 10 500 50 2500 10 – 20 300 – 400 8 15 350 120 2800 1800 42000 20 – 30 400 – 500 14 25 450 350 6300 8750 157500 30 – 40 500 – 600 6 35 550 210 3300 7350 115500 Total 30 690 12900 17950 317500

29

Tabelul nr. 5.3 Distribuţia bidimensională a 8 persoane în funcţie de vechime şi de salarii Salarii Ve- chime

0 -200

200 - 400

400 - 600

600 - 800

ni.

xi

xini.

xi

2ni. ∑ ijji nyx

0 –10 1 - - 1 2 5 10 50 4000 10–20 - 2 - - 2 15 30 450 9000 20-30 - 1 1 - 2 25 50 1250 20000 30-40 1 - - 1 2 35 70 2450 28000 n.j 2 3 1 2 8 160 4200 61000 yjn.j 200 900 500 1400 3000 ∑ ijji nyx

4000 165

00 12500

28000

61000

=−⋅

⋅−⋅=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=== =

= ====

2

1.

1.

2

1 1

1 11.

1..

1

2

)(n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

i

n

jijji

n

iii

n

jjji

n

ii

nxnxn

nyxnxnynxa

355)160(420086100016030004200

2 =−⋅

⋅−⋅=

=−⋅

⋅−⋅=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== =

=== == =

2.

11.

2

1 1

1.

1.

1 11 1

)( i

n

ii

n

iii

n

i

n

jij

n

jjj

n

iii

n

iij

n

jji

n

i

n

jij

nxnxn

nynxnyxnb

1)160(42008

30001606100082 =

−⋅⋅−⋅

=

Aşadar: ix xy

i+= 355

30

Capitolul VI.

INTENSITATEA CORELAŢIEI SIMPLE LINIARE

Intensitatea corelaţiei dintre o variabilă cauzală xi şi o variabilă efect yi, ale căror valori evoluează după un trend liniar, se poate măsura prin intermediul coeficientului de corelaţie al lui Pearson. Acesta aparţine intervalului [-1,1]. Cu cât coeficientul de corelaţie tinde către ± 1, cu atât intensitatea legăturii dintre variabilele cercetate este mai puternică, şi cu cât coeficientul de corelaţie tinde către 0, cu atât intensitatea legăturii dintre cele două variabile analizate este mai slabă. - în cazul în care perechea (xi,yi) apare o singură dată, coeficientul de corelaţie Pearson va fi:

yx

n

iii

n

yyxxr

σσ ⋅⋅

−−=∑=1

))(( (6.1)

unde:

n

xxn

ii

x

∑=

−= 1

2)(σ (6.2)

n

yyn

ii

y

∑=

−= 1

2)(σ (6.3)

Exemplu: În cazul distribuţiei celor 5 persoane în funcţie de vechime şi salarii, prezentată în cadrul tabelului nr. 5.1., să se determine intensitatea legăturii dintre variabilele vechime şi salarii, ştiind că între acestea există o legătură de tip liniar. Tabelul nr. 6.1.

Nr. Crt.

Vechime xi

Salarii $/lună

xxi −

yyi −

)( xxi −

)( yyi −

2)( xxi −

2)( yyi −

1. 2 200 - 2 - 100 200 4 10000 2. 3 250 - 1 - 50 50 1 2500 3. 4 300 0 0 0 0 0 4. 5 350 1 50 50 1 2500 5. 6 400 2 100 200 4 10000 Total 20 1500 500 10 25000

Vechimea medie va fi:

45201 ===

∑=

n

xx

n

ii

ani

31

Salariul mediu va fi:

3005

15001 ===∑=

n

yy

n

ii

$/lună

Aplicând coeficientul de corelaţie al lui Pearson, vom obţine:

1711,70414,15

500))((

1 ≅⋅⋅

=⋅⋅

−−=∑=

yx

n

iii

n

yyxxr

σσ

unde:

414,15

10)(

1

2

==−

=∑=

n

xxn

ii

şi

711,705

25000)(

1

2

==−

=∑=

n

yyn

ii

Aşadar, intensitatea legăturii dintre vechime şi salarii este foarte puternică. - în situaţia în care perechea (xi,yi) apare de ni ori, coeficientul de corelaţie Pearson va fi:

yx

n

ii

i

n

iii

n

nyyxxr

σσ ⋅⋅

−−=

=

=

1

1))((

(6.4)

unde:

=

=

−= n

ii

i

n

ii

x

n

nxx

1

1

2)(σ (6.5)

=

=

−= n

ii

n

iii

y

n

nyy

1

1

2)(σ (6.6)

Exemplu: În cazul distribuţiei celor 30 persoane în funcţie de vechime şi salarii, prezentată în cadrul tabelului nr. 5.2., să se determine intensitatea legăturii dintre variabilele vechime şi salarii, ştiind că între acestea există o legătură de tip liniar.

32

Tabelul nr. 6.2. Vechi

me Salarii $/lună

nr pers.

xini

yi ni

ii nxx )( −

ii nyy )( −

)( xxi −

ii nyy )( −

ii nxx 2)( −

ii nyy 2)( −

0-10 200-300 2 10 500 - 18 - 180 6480 648 64800 10-20 300-400 8 120 2800 - 8 - 80 5120 512 51200 20-30 400-500 14 350 6300 2 20 560 56 5600 30-40 500-600 6 550 3300 12 120 8640 864 86400 Total 30 650 12900 20800 2080 208000

Vechimea medie va fi:

2330690

1

1 ===

=

=n

ii

n

iii

n

nxx ani

Salariul mediu va fi:

43030

12900

1

1 ===

=

=n

ii

n

iii

n

nyy $/lună

Aplicând coeficientul de corelaţie al lui Pearson, vom obţine:

12080020800

))((

1

1 ==⋅⋅

−−=

=

=

yx

n

ii

i

n

iii

n

nyyxxr

σσ

unde:

326663998,830

2080)(

1

1

2

==−

=

=

=n

ii

i

n

ii

x

n

nxxσ

26663998,8330

208000)(

1

1

2

==−

=

=

=n

ii

n

iii

y

n

nyyσ

Deci, intensitatea legăturii dintre vechime şi salarii este foarte puternică. - în cazul tabelului de corelaţie, coeficientul de corelaţie Pearson va fi:

yx

n

i

n

jij

n

i

n

jijji

n

nyyxxr

σσ ⋅⋅

−−=

∑∑

∑∑

= =

= =

1 1

1 1))((

(6.7)

33

unde:

=

=

−= n

ii

i

n

ii

x

n

nxx

1.

.1

2)(σ (6.8)

=

=

−= n

jj

n

jjj

y

n

nyy

1.

1.

2)(σ (6.9)

Exemplu: În cazul distribuţiei celor 8 persoane în funcţie de vechime şi salarii, prezentată în cadrul tabelului nr. 5.3., să se stabilească intensitatea legăturii dintre variabilele vechime şi salarii, ştiind că între acestea există o legătură de tip liniar. Tabelul nr. 6.3 Distribuţia bidimensională a 8 persoane în funcţie de vechime şi de salarii Salarii Ve- chime

0 -200

200 - 400

400 - 600

600 - 800

ni.

xini.

xxi −

.2)( ii nxx −

ijji nyyxx ))(( −−∑

0 –10 1 - - 1 2 10 -15 450 -750 10–20 - 2 - - 2 30 - 5 1800 750 20-30 - 1 1 - 2 50 5 1250 250 30-40 1 - - 1 2 70 15 2450 750 n.j 2 3 1 2 8 160 5950 1000 yjn.j 200 900 500 140

0 3000

yy j − -275 -

75 125

325

Vechimea medie va fi:

208

160

1.

1.

===

=

=n

ii

n

iii

n

nxx ani

Salariul mediu va fi:

3758

3000

1.

1.

===

=

=n

jj

n

jjj

n

nyy $/lună

Coeficientul de corelaţie Pearson va fi:

02,0205,222272,278

1000))((

1 1

1 1 =⋅⋅

=⋅⋅

−−=

∑∑

∑∑

= =

= =

yx

n

i

n

jij

n

i

n

jijji

n

nyyxxr

σσ

34

unde:

272,278

5950)(

1.

.1

2

==−

=

=

=n

ii

i

n

ii

x

n

nxxσ

205,2228

395000)(

1.

1.

2

==−

=

=

=n

jj

n

jjj

y

n

nyyσ

Aşadar, intensitatea legăturii dintre vechime şi salarii este foarte slabă. În situaţia în care între valorile variabilelor x şi y există o legătură de tip liniar, coeficientul de corelaţie prezintă şi o formă simplificată: - în situaţia în care perechea (xi,yi) apare o singură dată:

])(][)([ 2

11

22

11

2

111

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

−−

⋅−=

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxnr (6.10)

- în situaţia în care perechea (xi,yi) apare de ni ori:

])(][)([ 2

11

2

1

2

11

2

1

1111

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

======

====

−⋅−⋅

⋅−⋅=

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiii

n

ii

nynynnxnxn

nynxnyxnr (6.11)

- în situaţia tabelului de corelaţie:

])(][)([ 2

1.

1.

2

1 1

2

1.

1.

2

1 1

1.

1.

1 11 1

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== ==== =

=== == =

−−

⋅−⋅=

n

jjj

n

jjj

n

i

n

jij

n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

jjj

n

iii

n

i

n

jijji

n

i

n

jij

nynynnxnxn

nynxnyxnr (6.12)

35

Capitolul VII.

REGRESIA HIPERBOLICĂ Regresia hiperbolică exprimă un model care prezintă legătura dintre o variabilă cauzală şi o variabilă efect ale căror valori variază după o funcţie hiperbolică:

i

x xbay

i+= (7.1)

În vederea calculării valorilor parametrilor a şi b vom aplica „metoda celor mai mici pătrate”:

.min)(1

2 =−=∑=

n

ixi i

yyS (7.2)

Pentru a determina parametrii a şi b vom deriva parţial suma în raport cu a şi apoi vom deriva suma în raport cu b.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−⋅−−

=−⋅−−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∂∂

=∂∂

=

=

n

i iii

n

i ii

xxbay

xbay

bSaS

1

1

0)1()(2

0)1()(2

0

0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+

=+⋅⇔

∑∑∑

∑∑

===

==

n

i i

in

i i

n

i i

n

ii

n

i i

xy

xb

xa

yx

ban

112

1

11

11

1

(7.3)

Pentru a afla parametrii a şi b din acest sistem vom utiliza metoda lui Cramer:

2

112

11112

12

1

1

12

1

11

)1(1

11

11

1

1

1

∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

====

==

=

==

==

⋅−⋅== n

i i

n

i i

n

i i

in

i i

n

ii

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

i

n

i i

n

ii

xxn

xy

xy

x

xx

xn

xxy

xy

a (7.4)

2

112

111

12

1

1

11

1

)1(1

1

11

1

1

∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑

==

===

==

=

==

=

⋅−⋅== n

i i

n

i i

n

ii

n

i i

n

i i

i

n

i i

n

i i

n

i i

n

i i

in

i i

n

ii

xxn

yxx

yn

xx

xn

xy

x

yn

b (7.5)

36

Formulele parametrilor a şi b demonstrate în cadrul relaţiilor (7.4) şi (7.5), reprezintă cazul I, adică situaţia în care perechea (xi,yi) apare o singură dată. Cazul II. - (xi, yi, ni) – în situaţia în care perechea (xi,yi) apare de ni ori.

2

112

1

11112

)1(1

11

i

n

i i

n

ii

i

n

ii

n

ii

i

ii

n

i i

n

iii

n

ii

i

nx

nx

n

nxyn

xnyn

xa∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅−⋅= (7.6)

2

112

1

1111

)1(1

1

i

n

i i

n

ii

i

n

ii

n

iii

n

ii

i

n

ii

i

in

ii

nx

nx

n

nynx

nxyn

b∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅−⋅= (7.7)

Cazul III. - (Tabel de corelaţie)

2

1.

1.2

1 1

1 11.

1..

12

)1(1

111

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=== =

= ====

−⋅

⋅−⋅= n

ii

i

n

ii

i

n

i

n

jij

n

i

n

jijj

i

n

ii

i

n

jjji

n

i i

nx

nx

n

nyx

nx

nynx

a (7.8)

2

.11

.21 1

1.

1.

1 11 1

)1(1

11

i

n

i i

n

ii

i

n

i

n

jij

n

jjj

n

ii

i

n

iij

n

jj

i

n

i

n

jij

nx

nx

n

nynx

nyx

nb

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== =

=== == =

−⋅

⋅−⋅= (7.9)

37

Capitolul VIII.

INTENSITATEA CORELAŢIEI HIPERBOLICE În cazul în care între valorile variabilelor x şi y există o legătură de tip hiperbolic, coeficientul de corelaţie prezintă următoarea formă simplificată:

- în situaţia în care perechea (ix

1 ,yi) apare o singură dată:

])(][)1(1[

11

2

11

22

11

111

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

−−

⋅−=

n

ii

n

ii

n

i i

n

i i

n

ii

n

i i

n

ii

i

yynxx

n

yx

yx

nr (8.1)

- în situaţia în care perechea (ix

1 ,yi) apare de ni ori:

])(][)1(1[

11

2

11

2

1

2

112

1

1111

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

======

====

−⋅−⋅

⋅−⋅=

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

i

n

ii

i

n

ii

n

iii

n

ii

i

n

iii

i

n

ii

nynynnx

nx

n

nynx

nyx

nr (8.2)

- în situaţia tabelului de corelaţie:

])(][)1(1[

11

2

1.

1.

2

1 1

2

1.

1.2

1 1

1.

1.

1 11 1

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== ==== =

=== == =

−−

⋅−⋅=

n

jjj

n

jjj

n

i

n

jij

n

ii

i

n

ii

i

n

i

n

jij

n

jjj

n

ii

i

n

i

n

jijj

i

n

i

n

jij

nynynnx

nx

n

nynx

nyx

nr (8.3)

38

Capitolul IX.

REGRESIA EXPONENŢIALĂ Regresia exponenţială prezintă un model care relevă legătura dintre o variabilă cauzală şi o variabilă efect ale căror valori variază în progresie geometrică:

i

i

xx bay ⋅= (9.1)

Pentru a calcula parametrii a şi b vom logaritma funcţia exponenţială prezentată în cadrul relaţiei (9.1): bxay ixi

lnlnln += (9.2) Aplicând „metoda celor mai mici pătrate”, vom obţine:

.min)ln(ln1

2 =−= ∑=

n

ixi i

yyS (9.3)

Pentru a determina parametrii a şi b vom deriva parţial suma în raport cu lna şi apoi vom deriva suma în raport cu lnb.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−⋅−−

=−⋅−−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=∂∂

=∂∂

=

=

n

iiii

n

iii

xbxay

bxay

bS

aS

1

1

0)()lnln(ln2

0)1()lnln(ln2

0ln

0ln

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⋅+⋅

=⋅+⋅⇔

∑∑∑

∑∑

===

==

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxxbxa

yxban

11

2

1

11

lnlnln

lnlnln (9.4)

Utilizând metoda lui Cramer, vom obţine:

2

11

2

1111

2

1

2

1

1

1

2

1

11

)(

lnlnln

ln

ln∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

====

==

=

==

==

⋅−⋅== n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxxyx

xx

xn

xyx

xy

a (8.5)

39

2

11

2

111

1

2

1

1

11

1

)(

lnlnln

ln

ln∑∑

∑∑∑

∑∑

∑∑

==

===

==

=

==

=

⋅−⋅== n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xxn

yxyxn

xx

xn

yxx

yn

b (9.6)

Formulele parametrilor lna şi lnb prezentate în cadrul relaţiilor (9.5) şi (9.6), exprimă cazul I, adică situaţia în care perechea (xi,lnyi) apare o singură dată. Cazul II. - (xi, lnyi, ni) – în situaţia în care perechea (xi,lnyi) apare de ni ori.

2

11

2

1

1111

2

)(

lnlnln

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

iii

nxnxn

nyxnxnynxa

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅⋅−⋅⋅= (9.7)

2

11

2

1

1111

)(

lnlnln

i

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiii

n

ii

nxnxn

nynxnyxnb

∑∑∑

∑∑∑∑

===

====

−⋅

⋅⋅−⋅⋅= (9.8)

Cazul III. - (Tabel de corelaţie)

2

1.

1.

2

1 1

1 11.

1..

1

2

)(

lnlnln

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

=== =

= ====

−⋅

⋅⋅−⋅= n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

i

n

jijji

n

iii

n

jjji

n

ii

nxnxn

nyxnxnynxa (9.9)

2

.11

.2

1 1

1.

1.

1 11 1

)(

lnlnln

i

n

ii

n

iii

n

i

n

jij

n

jjj

n

iii

n

iij

n

jji

n

i

n

jij

nxnxn

nynxnyxnb

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== =

=== == =

−⋅

⋅⋅−⋅⋅= (9.10)

40

Capitolul X. INTENSITATEA CORELAŢIEI EXPONENŢIALE În situaţia în care între valorile variabilelor x şi y există o legătură de tip exponenţial, coeficientul de corelaţie prezintă următoarea formă simplificată: - în situaţia în care perechea (xi,lnyi) apare o singură dată:

])ln(ln][)([

lnln

2

11

22

11

111

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===

−−

⋅−=

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxnr (10.1)

- în situaţia în care perechea (xi,lnyi) apare de ni ori:

])ln(ln][)([

lnln

2

11

2

1

2

11

2

1

1111

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

======

====

⋅−⋅−

⋅⋅−⋅⋅=

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iiii

n

ii

nynynnxnxn

nynxnyxnr (10.2)

- în situaţia tabelului de corelaţie:

])ln(ln][)([

lnln

2

1.

1

2.

1 1

2

1.

1.

2

1 1

1.

1.

1 11 1

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

=== ==== =

=== == =

−−

⋅⋅−⋅⋅=

n

jjj

n

jjj

n

i

n

jij

n

iii

n

iii

n

i

n

jij

n

jjj

n

iii

n

i

n

jijji

n

i

n

jij

ynynnnxnxn

nynxnyxnr (10.3)

41

Capitolul XI. CORELAŢIA NEPARAMETRICĂ În situaţia în care măsurăm intensitatea corelaţiei dintre două variabile statistice care nu prezintă o distribuţie de tip normal sau variabilele nu sunt exprimate numeric, se utilizează metodele de corelaţie neparametrice, care operează cu rangurile variabilelor şi nu cu mărimile variabilelor. Astfel, pentru cuantificarea mărimilor coeficienţilor de corelaţie se vor lua în calcul numerele de ordine ale valorilor individuale ale variabilelor statistice focalizate în cadrul programelor de cercetare. Pentru a determina rangurile variabilelor statistice la nivelul fiecărei unităţi statistice observate, se vor ordona crescător datele statistice ale respectivelor caracteristici. 11.1. Coeficientul de corelaţie al lui Spearman Pentru a măsura intensitatea corelaţiei dintre două variabile ale căror valori nu exprimă o distribuţie normală, Spearman a creat următoarea formulă numită coeficientul de corelaţie a rangurilor:

nn

dn

ii

−−=∑=31

2

61θ (11.1)

unde: θ = coeficientul de corelaţie al lui Spearman; di = diferenţele calculate între rangurile caracteristicilor corelate;

n = numărul de perechi de caracteristici corelate. Coeficientul de corelaţie al lui Spearman aparţine intervalului [-1,1]. Dacă θ = -1, atunci între seria rangurilor variabilei statistice independente şi seria rangurilor variabilei dependente există o discordanţă deplină, iar dacă θ = 1, între seria rangurilor variabilei statistice cauzale şi seria rangurilor caracteristicii statistice rezultative există o concordanţă deplină. 11.2. Coeficientul de corelaţie al lui Kendall O altă modalitate de a măsura intensitatea corelaţiei dintre două caracteristici ale căror valori nu sunt distribuite normal, este cea stabilită de Kendall, care a creat formula următoare ce poartă denumirea de coeficientul de corelaţie a rangurilor al lui Kendall:

)1(

21

11

−=

∑∑==

nn

qpn

ii

n

ii

τ (11.2)

unde: τ = coeficientul de corelaţie al lui Kendall; pi = numărul de ranguri superioare rangului i care sunt pe coloana caracteristicii dependente după fiecare rang;

42

qi = numărul de ranguri inferioare rangului i care sunt după fiecare rang şi care aparţin coloanei variabilei dependente; n = numărul de perechi de variabile corelate. De asemenea, coeficientul de corelaţie al rangurilor al lui Kendall aparţine intervalului [-1,1]. Dacă τ = -1, atunci între rangurile variabilelor corelate există o discordanţă deplină, iar dacă τ = 1, atunci între rangurile caracteristicilor corelate există o concordanţă deplină. 11.3. Coeficientul ponderat de concordanţă al lui Fechner Măsurarea intensităţii corelaţiei dintre două variabile ale căror valori nu exprimă o distribuţie normală se poate realiza şi prin intermediul coeficientului ponderat de concordanţă al lui Fechner:

∑ ∑

= =

=

Δ⋅Δ

ΔΔ=

n

i

n

iyx

n

iyx

c

ii

ii

K

1 1

22

1

)()( (11.3)

Exemplu: Fie distribuţia următoarelor ţări în funcţie de numărul populaţiei şi de valoarea P.N.B.: Tabelul nr. 11.1 Distribuţia unor ţări în funcţie de populaţie şi de P.N.B.

Ţara Populaţia (mil.loc.)

P.N.B. (mil.$) 1996

Argentina 36 0,295 Brazilia 161 0,709 Japonia 126 5,149 Spania 39 0,563 Franţa 58 1,533 • Sursa: „Enciclopedia statelor lumii” – H.C. Matei, Ed. Meronia, Bucureşti, 2001.

Pentru a calcula coeficienţii de corelaţie ai rangurilor ai lui Spearman, Kendall, Fechner, vom ordona crescător ţările menţionate anterior în funcţie de populaţie, atribuindu-le ranguri, iar apoi le vom poziţiona rangurile în ordine crescătoare în funcţie de valoarea P.N.B., după cum se observă în tabelul nr. 11.2:

Tabelul nr. 11.2 Poziţionarea ţărilor în ordine crescătoare în funcţie de numărul populaţiei şi atribuirea de ranguri în ordinea crescătoare a P.N.B.

Ţa ra

Rang după xi

Rang după yi

di

(di)2

pi

qi

Δ xi

Δ yi

(Δ xi)2

(Δ yi)2

Δ xi

Δ yi

Argentina 1 1 0 0 4 - 36 0,295 1296 0,087 10,62 Spania 2 2 0 0 3 - 3 0,268 9 0,072 0,804 Franta 3 4 -1 1 1 1 19 0,824 361 0,679 15,656 Japonia 4 5 -1 1 - 1 68 3,616 4624 13,075 245,888 Brazilia 5 3 2 4 - - 103 0,146 10609 0,021 15,038 Total 6 8 2 16899 13,934 288,006

43

Coeficientul de corelaţie al lui Spearman va fi:

7,055

66161 331

2

=−

⋅−=−

⋅−=∑=

nn

dn

ii

θ

Coeficientul de corelaţie al lui Kendall va fi:

6,045

21

28

)1(21

11 =⋅⋅

−=

−=

∑∑==

nn

qpn

ii

n

ii

τ

Coeficientul lui Fechner va fi:

59,0934,1316899

006,288

)()(1 1

22

1 =⋅

=

Δ⋅Δ

ΔΔ=

∑ ∑

= =

=

n

i

n

iyx

n

iyx

c

ii

ii

K

44

Capitolul XII. INDICII STATISTICI 12.1. Noţiunea, importanţa şi rolul indicilor Cuantificarea şi cunoaşterea evoluţiei în timp, spaţiu sau în raport cu anumite sisteme de referinţă a nivelurilor caracteristicilor unităţilor statistice aparţinând unei colectivităţi studiate, cât şi descoperirea, separarea şi măsurarea contribuţiei factorilor care au determinat aceste evoluţii, contribuie la modelarea statistică a realităţii, asigurând fundamentarea deciziilor de ordin politic, social, cultural şi economic pe plan naţional, regional, local, dar şi la nivel internaţional. Unităţile statistice ale unei colectivităţi prezintă o serie de caracteristici incluse în programul de cercetare în funcţie de interesul pe care îl prezintă. Valorile caracteristicilor numerice se stabilesc prin numărare, măsurare şi prin calcul, iar în cadrul observaţiei instrumentul principal îl va reprezenta măsurarea variabilelor unităţilor statistice supuse cercetării ca modalitate de definire, descriere şi cunoaştere din punct de vedere cantitativ al caracteristicilor unităţilor statistice. Această constatare şi înregistrare a caracteristicilor unităţilor statistice se va completa cu raţionalizarea acestora prin intermediul metodelor statistice, utilizând instrumentul matematic. Pentru a măsura şi caracteriza variaţia medie relativă în timp, spaţiu sau în funcţie de anumite sisteme de referinţă, a nivelului caracteristicii unităţilor statistice ce alcătuiesc colectivitatea statistică cercetată, se folosesc indicii statistici. Indicii statistici reprezintă o categorie a indicatorilor statistici, ei fiind utilizaţi în sferele activităţii economice şi sociale întrucât exprimă cu o deosebită fidelitate schimbările produse, rolul şi influenţa factorilor ce determină evoluţia în timp sau spaţiu a fenomenelor studiate. În acest sens, economistul Helmut Swoboda afirma că: „indicele este degetul arătător al economiei, indicatorul progresului şi al insuccesului… El este caracteristic pentru întreaga situaţie”. [4, p.323]. Numele de indice provine de la denumirea de „numere indice”, fiind o prescurtare a acesteia. Corespondentul denumirii de „numere indice” este în engleză - „index numbers”, în franceză - „nombres indices”, în limba italiană - „numeri indici”, iar în limba germană - „indexziffern”. Prin studiul variaţiei medii relative în timp, spaţiu ori în raport cu anumite sisteme de referinţă a nivelului variabilelor unităţilor statistice dintr-o colectivitate analizată, indicii pun în evidenţă evoluţia progresivă sau regresivă a colectivităţilor social-economice de lucruri şi fapte. Pe de altă parte, această variaţie a nivelurilor caracteristicilor unităţilor statistice poate fi studiată ca: - variaţie în timp, obţinându-se indicii dinamicii; - variaţie în teritoriu, alcătuind astfel indicii teritoriali: - variaţie calitativă, formând indicii calitativi; - variaţie în raport cu niveluri prestabilite prin planuri şi programe, obţinând indicii de plan. Această variaţie medie se măsoară atât la nivelul întregii colectivităţi statistice cercetate, cât şi la nivelul fiecărei unităţi componente aparţinând respectivei colectivităţi. Indicele dinamicii are rolul de a măsura şi caracteriza variaţia medie relativă în timp a nivelului caracteristicii unităţilor statistice aparţinând unei colectivităţi.

45

Indicele teritorial măsoară variaţia medie relativă a nivelului variabilei unui ansamblu de unităţi statistice de acelaşi tip, care se există în acelaşi moment şi evoluează în spaţii diferite. Indicele calitativ deţine rolul de a „măsura şi caracteriza raportul dintre grupe calitative diferite ale unei colectivităţi”. Indicele de plan are rolul de a cuantifica variaţia medie relativă a nivelului caracteristicii unităţilor statistice ale unei colectivităţi statistice în raport cu anumite niveluri prestabilite prin planuri şi programe de cercetare, obţinându-se astfel indicele obiectivului sau sarcinii de plan, indicele îndeplinirii planului şi indicele dinamicii care este numit şi indice efectiv sau al dezvoltării efective, toţi aceşti trei indici ai planului formând sistemul indicilor de plan. Raportând între ele două niveluri absolute ale aceleiaşi unităţi statistice, se obţine un indice ce exprimă variaţia relativă a nivelului caracteristicii unităţii statistice cercetate. Indiferent de aspectul variaţiei pe care o caracterizează (variaţie în timp, în spaţiu, calitativă sau în raport cu niveluri prestabilite prin planuri şi programe), indicii au o bază metodologică comună ce constă în compararea sub formă de raport a două niveluri diferite ale unui indicator statistic. Unul dintre niveluri exprimă valoarea caracteristicii unităţii statistice din perioada care se raportează, numită şi perioadă curentă, iar celălalt reprezintă valoarea caracteristicii aceleiaşi unităţi statistice din perioada considerată ca bază de raportare. Nivelul considerat ca bază de comparaţie trebuie să fie un nivel normal din dezvoltarea caracteristicii unităţii statistice studiate, cu o semnificaţie deosebită, adică să exprime o anumită etapă de dezvoltare, astfel încât să poată fi considerată drept etalon. Dacă înmulţim cu 100 raportul dintre două niveluri absolute aparţinând aceleiaşi unităţi statistice, vom obţine valoarea procentuală a variaţiei relative a nivelului caracteristicii unităţii statistice cercetate. Indicii calculându-se sub forma unui raport dintre nivelurile caracteristicii atinse de una sau mai multe unităţi statistice din două perioade sau zone diferite, pot fi consideraţi mărimi relative adimensionale, adică sunt independenţi de unitatea de măsură a variabilei unităţii statistice focalizate prin programul de cercetare. În concluzie, indicele cuantifică variaţia medie relativă în timp, spaţiu sau în funcţie de anumite sisteme de referinţă a nivelului variabilei aparţinând unui ansamblu de unităţi statistice ce alcătuiesc fenomenul sau activitatea cercetată, el sintetizând într-o expresie numerică nivelul relativ al caracteristicii aparţinând grupului de unităţi statistice analizate.

12.2. Indicii individuali Indicii individuali reprezintă acea categorie de indici, care în funcţie de sfera de cuprindere exprimă variaţia relativă la nivelul unei unităţi statistice simple ce aparţine unei colectivităţi studiate, a nivelului caracteristicii analizate, variaţie cercetată în raport cu timpul, spaţiul ori în raport cu anumite sisteme de referinţă. Indicii individuali se mai numesc indici simpli sau elementari şi se notează cu i. Ei exprimă, de cele mai multe ori procentual, modificarea în timp ori în spaţiu a valorii unui produs, a cantităţii unui produs, a preţului unui produs, etc. Prin intermediul indicelui individual se compară sub formă de raport nivelul variabilei unei unităţi statistice simple dintr-o colectivitate statistică într-o anumită perioadă (numită perioadă raportată), cu nivelul variabilei aceleiaşi unităţi statistice simple într-o perioadă considerată ca bază de comparaţie (numită perioadă de bază).

46

De asemenea, se pot calcula şi modificările în mărimi absolute ale nivelului caracteristicii unităţii statistice simple, ca diferenţă între nivelurile variabilei în cele două perioade de timp comparate. Indicii individuali măsoară în general, modificarea relativă în timp a nivelului caracteristicii unei unităţi statistice simple, astfel de indici individuali făcând parte din categoria indicilor dinamicii. De exemplu, putem compara producţia unui anumit tip de produs obţinută în anul 2004 de o firmă, cu producţia aceluiaşi produs realizată de aceeaşi firmă în anul 2000. Alteori, indicii individuali măsoară variaţia relativă în spaţiu a nivelului variabilei unei unităţi statistice simple, care se manifestă în acelaşi moment în două unităţi teritoriale diferite, indicii individuali fiind numiţi indici teritoriali. Putem compara preţul unui anumit produs realizat de o firmă într-un judeţ sau ţară, cu preţul aceluiaşi produs creat de o altă firmă dintr-un alt judeţ sau ţară în aceeaşi perioadă de timp, recomandându-se ca astfel de comparaţii să se efectueze între ţări cu structuri economice asemănătoare. Se mai poate analiza evoluţia nivelului caracteristicii unei unităţi statistice simple în timp, în raport cu anumite niveluri prestabilite prin planuri şi programe, indicii individuali purtând denumirea de indici individuali de plan. Valoarea unui indice individual poate fi mai mică, egală sau mai mare decât unitatea, sau faţă de 100, în funcţie de modul de exprimare a indicelui individual sub formă de coeficient sau de procente, adică: 10/ <ix

ti , 10/ =ixti , 10/ >ix

ti sau 1000/ <ix

ti , 1000/ =ixti , 1000/ >ix

ti Un indice individual exprimă de câte ori a crescut sau scăzut nivelul caracteristicii unei unităţi statistice simple în perioada raportată t, faţă de nivelul caracteristicii aceleiaşi unităţi statistice simple din perioada de bază 0, sau din aceeaşi perioadă de timp, dar care se desfăşoară în spaţii diferite. Dacă indicele individual are o valoare mai mică decât unitatea, respectiv mai mare faţă de unitatea, sau egală cu unitatea, atunci nivelul caracteristicii unităţii statistice simple a scăzut, respectiv a crescut, sau s-a menţinut la acelaşi nivel, în perioada raportată faţa de perioada considerată drept bază de comparaţie. Când indicii individuali se exprimă în procente, perioada de bază se echivalează cu 100%, iar valoarea indicelui individual exprimă cu cât a scăzut sau a crescut în procente nivelul variabilei unităţii statistice simple în perioada raportată faţă de nivelul ei din perioada de bază. Indicii individuali sunt utilizaţi în toate domeniile activităţii economice şi sociale, deoarece ei pot reflecta schimbările care au loc, rolul şi influenţa factorilor în variaţia fenomenelor cercetate. Variaţia în timp a volumului fizic, respectiv a preţului, sau a valorii fiecărui produs se poate determina calculând indicii individuali ai volumului fizic. Indicele individual cu bază fixă, respectiv cu bază mobilă, al volumului fizic al unui produs i se află raportând volumul fizic al produsului i din perioada raportată t, la volumul fizic al aceluiaşi produs i din perioada de bază 0, respectiv din perioada precedentă t-1:

1000

0/ ⋅=i

tiqt q

qi i (12.1)

47

respectiv,

100,1

1/ ⋅=−

−it

tiqtt q

qi i (12.2)

unde: iq

ti 0/ = indicele individual cu bază fixă al volumului fizic al produsului i; iq

tti 1/ − = indicele individual cu bază mobilă al volumului fizic al produsului i; qti = volumul fizic al produsului i în perioada raportată t; qt-1,i = volumul fizic al produsului i în perioada de precedentă t-1; q0i = volumul fizic al produsului i în perioada de bază 0. Indicele individual cu bază fixă, respectiv cu bază mobilă, al preţului unui produs i se află raportând preţul produsului i din perioada raportată t, la preţul aceluiaşi produs i din perioada de bază 0, respectiv din perioada precedentă t-1:

1000

0/ ⋅=i

tipt p

pi i (12.3)

respectiv,

100,1

1/ ⋅=−

−it

tiptt p

pi i (12.4)

unde: ip

ti 0/ = indicele individual cu bază fixă al preţului produsului i; ip

tti 1/ − = indicele individual cu bază mobilă al preţului produsului i; pti = preţul produsului i în perioada raportată t; pt-1,i = preţul produsului i în perioada de precedentă t-1; p0i = preţul al produsului i în perioada de bază 0. Indicele individual cu bază fixă, respectiv cu bază mobilă, al valorii unui produs i se află raportând valoarea produsului i din perioada raportată t, la valoarea aceluiaşi produs i din perioada de bază 0, respectiv din perioada precedentă t-1:

iii pt

qt

ii

titi

i

tivt ii

pqpq

vvi 0/0/

0000/ ⋅=== (12.5)

respectiv,

iii ptt

qtt

itit

titi

it

tivtt ii

pqpq

vvi 1/1/

,1,1,11/ −−

−−−− ⋅=== (12.6)

unde: iv

ti 0/ = indicele individual cu bază fixă al valorii produsului i; iv

tti 1/ − = indicele individual cu bază mobilă al valorii produsului i; vti = valoarea produsului i în perioada raportată t; vt-1,i = valoarea produsului i în perioada de precedentă t-1; v0i = valoarea produsului i în perioada de bază 0.

48

12.3. Indicii sintetici În cadrul teoriei indicilor statistici, un loc important în clasificarea acestora din punctul de vedere al sferei de cuprindere, îl ocupă indicii sintetici, de grup sau compuşi care măsoară variaţia medie relativă în timp, spaţiu, sau în raport cu anumite sisteme de referinţă a nivelurilor aceloraşi variabile ale unei colectivităţi. Dacă vrem să studiem variaţia medie relativă în timp a nivelului variabilei complexe analizate pe o colectivitate, adică să construim indicii sintetici ce fac parte din categoria indicilor dinamicii, vom compara sub formă de raport nivelul absolut al variabilei complexe a ansamblului de elemente cercetate din perioada raportată t, cu nivelul absolut al aceleiaşi variabile complexe aparţinând ansamblului de elemente din perioada de bază 0 sau perioada precedentă t-1, obţinând indicii sintetici cu bază fixă, respectiv cu bază mobilă. Indicele sintetic sub formă agregată va exprima de câte ori a crescut sau a scăzut nivelul caracteristicii unei colectivităţi în perioada raportată t, faţă de nivelul caracteristicii aparţinând aceleiaşi colectivităţi din perioada de bază 0, sau din perioada precedentă t-1. Când indicele sintetic are valoarea mai mică decât unitatea, respectiv mai mare decât unitatea, sau egală cu unitatea, atunci nivelul variabilei cercetate aparţinând colectivităţii a scăzut, respectiv a crescut, sau s-a menţinut la acelaşi nivel, în perioada raportată t faţă de nivelul ei din perioada de bază 0 sau precedentă t-1. În situaţia în care indicii sintetici se exprimă în procente, valoarea indicelui sintetic arată cu cât a crescut sau a scăzut în procente nivelul variabilei aparţinând colectivităţii studiate, în perioada raportată t faţă de nivelul ei din perioada de bază 0 sau precedentă t-1. Cercetând variaţia medie relativă în spaţiu a nivelului absolut al aceleiaşi variabile complexe aparţinând la două colectivităţi de acelaşi tip care se află în acelaşi timp în două spaţii teritoriale diferite, se obţin indicii sintetici teritoriali, comparaţiile internaţionale efectuându-se între ţări cu structuri economice echivalente. Analizând variaţia medie relativă a nivelului caracteristicii unei colectivităţi în raport cu niveluri prestabilite prin planuri şi programe, vom obţine indicii sintetici de plan. Aşadar, indicii sintetici sunt mărimi relative ale dinamicii, de coordonare şi ale planului, având în structura lor un model de comparaţie sub formă de raport. În acelaşi timp, indicii sintetici au conţinut de mărime medie, în structura lor aplicându-se un model de sinteză, deoarece se calculează la nivelul unei colectivităţi, în cadrul căreia nivelurile valorilor caracteristicii studiate sunt centralizate prin agregare. Indicii sintetici deţin o importanţă deosebită în foarte multe domenii ale ştiinţei: economie, demografie, biologie, medicină, fizică, chimie, etc. Aşadar, indicii sintetici reprezintă un adevărat „tablou de bord” al variaţiei în timp, spaţiu sau în raport cu anumite sisteme de referinţă a nivelurilor variabilelor ce fac obiectul cercetării, oglindind variaţia medie relativă a caracteristicilor la nivelul grupelor valorice şi în final prin agregare la nivelul întregului ansamblu.

12.3.1. Indicii agregaţi Indicele de grup sub formă agregată cu bază fixă, în cazul unei variabile discrete complexe YXZ ⋅= , se va obţine raportând suma mărimilor absolute ale variabilei complexe Z în perioada raportată t, la suma mărimilor absolute ale aceleiaşi variabile complexe Z în perioada de bază 0:

49

=

=

=

= ==∑=

n

iii

n

ititi

n

ii

n

itiz

t

yx

yx

z

zI

n

ii

100

1

10

10/1 (12.7)

Indicele de grup sub formă agregată cu bază mobilă, în cazul unei variabile discrete complexe YXZ ⋅= , se va obţine raportând suma mărimilor absolute ale variabilei complexe Z în perioada raportată t, la suma mărimilor absolute ale aceleiaşi variabile complexe Z în perioada precedentă t-1:

=−−

=

=−

=− ==

∑=

n

iitit

n

ititi

n

iit

n

itiz

tt

yx

yx

z

zI

n

ii

1,1,1

1

1,1

11/

1 (12.8)

În cazul fenomenelor eterogene, valorile individuale ale agregatului nu se pot aduna direct. Astfel, nu se pot însuma costurile de producţie, ori preţurile de vânzare sau cantităţile unor produse diferite. Pentru a putea aduna valorile individuale ale variabilei cercetate la nivelul unui ansamblu, se folosesc ponderile sau frecvenţele. În vederea măsurării contribuţiei fiecărui factor la modificarea nivelului absolut al unui ansamblu întreg de elemente, se consideră variabil factorul a cărui influenţă ne interesează, iar ponderea se menţine constantă la nivelul fiecărui element al colectivităţii. Factorul constant se numeşte pondere şi poate fi considerat la nivelul perioadei de bază sau perioadei curente. În timp, au fost concepute mai multe sisteme de ponderare focalizate mai ales pe exemplul indicelui volumului fizic sau al indicelui preţurilor producţiei şi circulaţiei mărfurilor. Generalizând, considerăm o variabilă discretă complexă Z care depinde de factorul calitativ X şi de factorul cantitativ Y. Contribuţia factorului calitativ xi la variaţia nivelului absolut al ansamblului de elemente, apare sub forma următorului indice sintetic:

=

== n

iii

n

iiti

xt

yx

yxI i

100

10

0/ (12.9)

sau

=

== n

itii

n

ititi

xt

yx

yxI i

10

10/ (12.10)

iar contribuţia factorului cantitativ yi la schimbarea nivelului absolut al ansamblului de elemente, va fi sub forma indicelui sintetic:

=

== n

iii

n

itii

yt

yx

yxI i

100

10

0/ (12.11)

50

sau

=

== n

iiti

n

ititi

yt

yx

yxI i

10

10/ (12.12)

Étienne Laspeyres a propus în anul 1864 un prim sistem de ponderare cu o bază ştiinţifică în alcătuirea indicilor agregaţi, utilizând ponderile din perioada de bază. Indicii cu bază fixă ai volumului fizic şi ai preţului produsului i au fost constituiţi cu ajutorul ponderilor din perioada de bază:

=

== n

iii

n

iiti

qLt

pq

pqI i

100

10

)(0/ (12.13)

şi

=

== n

iii

n

iiti

pLt

qp

qpI i

100

10

)(0/ (12.14)

De regulă, sistemul de ponderare de tip Laspeyres se foloseşte pentru a măsura influenţa factorului cantitativ asupra variaţiei în timp a nivelului variabilei complexe analizate, însă în practica statistică acest sistem se utilizează şi pentru cuantificarea influenţei factorului calitativ asupra dinamicii nivelului unei caracteristici complexe. Economistul şi statisticianul german Herman Paasche a construit indicii agregaţi utilizând ponderi din perioada curentă, propunând acest sistem de ponderare în anul 1874, indicii cu bază fixă ai volumului fizic şi ai preţului produsului i fiind alcătuiţi în maniera următoare:

=

== n

itii

n

ititi

qPt

pq

pqI i

10

1)(0/ (12.15)

şi

=

== n

itii

n

ititi

pPt

qp

qpI i

10

1)(0/ (12.16)

De obicei, sistemul de ponderare de tip Paasche este întrebuinţat pentru analiza în dinamică a influenţei factorului calitativ, dar practica a dovedit că este folosit şi pentru măsurarea influenţei factorului cantitativ asupra variaţiei nivelului variabilei complexe cercetate. Statisticienii Sidgwick şi Drobisch au propus ca indicii agregaţi să se calculeze ca o medie aritmetică simplă a indicilor Laspeyres şi Paasche:

51

2

10

1

100

10

0/

=

=

=

= +

=

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

qt

pq

pq

pq

pq

I i (12.17)

şi

2

10

1

100

10

0/

=

=

=

= +

=

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

pt

qp

qp

qp

qp

I i (12.18)

Francis Ysidor Edgeworth a construit în anul 1925 indicele agregat al preţului produsului i ponderat cu media aritmetică simplă a cantităţilor din perioada de bază şi din perioada curentă:

∑∑

∑ ∑

==

= =

=

=

=

=

+

+=

+

+=

+

+

= n

itii

n

iii

n

i

n

ititiiti

n

itiii

n

itiiti

n

i

tiii

n

i

tiiti

pt

qpqp

qpqp

qqp

qqp

qqp

qqpI i

10

100

1 10

100

10

1

00

1

0

0/

)(

)(

2

2 (12.19)

Dezavantajul indicelui Edgeworth constă în faptul că el nu se poate aplica la studiul dinamicii unei variabile cantitative, deoarece factorii calitativi nu au sens să fie cumulaţi de la o perioadă de timp la alta. Din acest motiv nu se va putea descompune prin intermediul indicelui Edgeworth variaţia în timp a unei variabile complexe pe factorii de influenţă. Pentru a prezenta maniera de calcul a indicilor Laspeyres, Paasche, Drobisch şi Edgeworth, să considerăm următoarea aplicaţie. Fie firma „Sunrise” care a vândut o serie de citrice în lunile noiembrie şi decembrie 2004, în cantităţile şi preţurile exprimate în tabelul nr. 12.1: Tabelul nr. 12.1 Distribuţia cantităţilor şi a preţurilor unitare ale citricelor vândute

Cantitate (kg.)

Preţ (lei/kg.)

Citrice

XI p0i

XII pti

XI q0i

XII qti

ii pq 00

titi pq iti pq 0

tii pq0

Portocale 440 620 27900 26900 12.276.000 16.678.000 17.298.000 11.836.000 Banane 670 810 28000 29900

18.760.000 24.219.000 22.680.000 20.033.000

Lămâi 220

470 24900 25900 5.478.000 12.173.000 11.703.000 5.698.000

Total 36.514.000 53.070.000 51.681.000 37.567.000 - indicele Laspeyres al cantităţilor, conform relaţiei (12.13), va fi:

4154,1000.514.36000.681.51

100

10

)(0/ ===

=

=n

iii

n

iiti

qLt

pq

pqI i sau 141,14 %

52

Ca urmare a sporirii volumului cantităţilor de citrice vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 41,14 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele Laspeyres al preţurilor, conform relaţiei (12.14), va fi:

0288,1000.514.36000.567.37

100

10

)(0/ ===

=

=n

iii

n

iiti

pLt

qp

qpI i sau 102,88 %

Modificarea preţurilor unitare ale citricelor vândute a determinat creşterea valorii vânzărilor cu 2,88 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele Paasche al cantităţilor, conform relaţiei (12.15), va fi:

4127,1000.567.37000.070.53

10

1)(0/ ===

=

=n

itii

n

ititi

qPt

pq

pqI i sau 141,27 %

Pe seama sporirii volumului cantităţilor de citrice vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 41,27 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele Paasche al preţurilor, conform relaţiei (12.16), va fi:

0269,1000.681.51000.070.53

10

1)(0/ ===

=

=n

itii

n

ititi

pPt

qp

qpI i sau 102,69 %

Modificarea preţurilor unitare ale citricelor vândute a determinat creşterea valorii vânzărilor cu 2,69 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele Drobisch al cantităţilor, conform relaţiei (12.17), va fi:

4140,12

4127,14154,12

10

1

100

10

0/ =+

=

+

=∑

=

=

=

=n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

qt

pq

pq

pq

pq

I i sau 141,40 %

Ca urmare a sporirii volumului cantităţilor de citrice vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 41,40 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004.

53

- indicele Drobisch al preţurilor, conform relaţiei (12.18), va fi:

0278,12

0269,10288,12

10

1

100

10

0/ =+

=

+

=∑

=

=

=

=n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

pt

qp

qp

qp

qp

I i sau 102,78 %

Modificarea preţurilor unitare ale citricelor vândute a determinat creşterea valorii vânzărilor cu 2,78 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele Edgeworth al preţurilor, conform relaţiei (12.19), va fi:

=+

+=

+

+=

+

+

=

∑∑

∑ ∑

==

= =

=

=

=

=n

itii

n

iii

n

i

n

ititiiti

n

itiii

n

itiiti

n

i

tiii

n

i

tiiti

pt

qpqp

qpqp

qqp

qqp

qqp

qqpI i

10

100

1 10

100

10

1

00

1

0

0/

)(

)(

2

2

0050,1000.195.88000.637.88

000.681.51000.514.36000.070.53000.567.37

==++

= sau 100,50%

Pe seama modificării preţurilor unitare ale citricelor vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 0,50 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. 12.3.2. Indicii sintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali 12.3.2.1. Indicele mediu aritmetic ponderat Dacă într-o colectivitate statistică se cunosc indicii individuali ai grupelor omogene în care a fost împărţită colectivitatea şi nivelurile de bază ale factorului de ponderare al acestor indici individuali, atunci se poate calcula indicele sintetic pentru colectivitatea totală ca medie aritmetică ponderată a indicilor individuali. Indicele mediu aritmetic ponderat se calculează ca o medie aritmetică ponderată a indicilor individuali ai fenomenului cercetat, ponderaţi cu elementele de la numitorul indicelui agregat corespunzător. Fie YXZ ⋅= o variabilă complexă definită prin produsul a doi factori independenţi: factorul calitativ X şi factorul cantitativ Y. Indicele mediu aritmetic ponderat al factorului cantitativ yi, va fi:

=

=

⋅= n

iii

n

iii

yt

yt

yx

yxiI

i

i

100

1000/

0/ (12.20)

unde: iy

ti 0/ = indicii individuali ai factorului cantitativ yi; x0iy0i = elementul de ponderare a indicilor individuali: iy

tI 0/ = indicele mediu aritmetic ponderat al factorului cantitativ yi.

54

Dacă în formula indicelui mediu aritmetic ponderat al factorului cantitativ yi explicităm indicii individuali ai factorului cantitativ yi şi efectuăm transformările, atunci vom obţine formula indicelui agregat corespunzător factorului cantitativ yi care este indicele Laspeyres al factorului cantitativ yi:

=

=

=

=

=

= =⋅

=⋅

= n

iii

n

itii

n

iii

ii

n

i i

ti

n

iii

n

iii

yt

yt

yx

yx

yx

yxyy

yx

yxiI

i

i

100

10

100

001 0

100

1000/

0/ (12.21)

Când se cunosc indicii individuali ai volumului fizic pentru un grup de produse şi valorile produselor din perioada de bază, indicele mediu aritmetic ponderat al volumului fizic qi, care exprimă dinamica volumului fizic al grupei de produse i, unde ni ,1= , va fi:

=

=

⋅= n

iii

n

iii

qt

qt

pq

pqiI

i

i

100

1000/

0/ (12.22)

unde: iq

ti 0/ = indicii individuali ai volumului fizic pentru un grup de produse ni ,1= ; q0ip0i = valoarea produsului i în perioada de bază 0;

∑=

n

iii pq

100 = valoarea reală a celor n produse în perioada de bază 0;

iqtI 0/ = indicele mediu aritmetic ponderat al volumului fizic al produsului i.

Indicele mediu aritmetic ponderat al volumului fizic al producţiei unui grup de produse se poate determina şi în situaţia în care nu se cunoaşte valoarea fiecărui produs i din perioada de bază 0, dar în schimb se ştie structura valorii fiecărui produs i în perioada de bază 0:

ivn

iii

ii gpq

pq0

100

00 =

∑=

(12.23)

Atunci, dinamica volumului fizic qi al producţiei unui grup de produse în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, se va putea calcula după următoarea formulă:

∑=

⋅=n

i

vo

qt

qt

iii giI1

0/0/ (12.24)

În mod analog, se calculează indicele mediu aritmetic ponderat al altor variabile cantitative, cum ar fi: cantităţile unor produse recoltate, producţiile de autoturisme construite de mai multe firme, etc., numai în condiţiile în care se cunosc indicii individuali şi nivelurile de bază ale factorului de ponderare (sau structura factorului de ponderare din perioada de bază 0).

55

12.3.2.2. Indicele mediu armonic ponderat Când într-o colectivitate statistică se cunosc indicii individuali ai grupelor omogene în care a fost împărţită colectivitatea şi nivelurile curente ale factorului de ponderare al acestor indici individuali, atunci putem determina indicele sintetic pentru colectivitatea totală ca medie armonică ponderată a indicilor individuali. Indicele mediu armonic ponderat va fi media armonică ponderată a indicilor individuali ai fenomenului studiat, ponderaţi cu elementele de la numărătorul indicelui agregat corespunzător. Fie YXZ ⋅= o variabilă complexă definită prin produsul a doi factori independenţi: factorul calitativ X şi factorul cantitativ Y. Indicele mediu armonic ponderat al factorului calitativ xi, va fi:

=

== n

ititix

t

n

ititi

xt

yxi

yxI

i

i

1 0/

10/ 1

(12.25)

unde: ix

ti 0/ = indicii individuali ai factorului calitativ xi; xtiyti = factorul de ponderare a indicilor individuali: ix

tI 0/ = indicele mediu armonic ponderat al factorului calitativ xi. Explicitând indicii individuali ai factorului calitativ xi în formula indicelui mediu armonic ponderat al factorului calitativ xi şi efectuăm transformările, obţinem formula indicelui agregat corespunzător factorului calitativ xi care este indicele Paasche al factorului calitativ xi:

=

=

=

=

=

= === n

itii

n

ititi

n

ititi

i

ti

n

ititi

n

ititix

t

n

ititi

xt

yx

yx

yx

xx

yx

yxi

yxI

i

i

10

1

1

0

1

1 0/

10/ 11

(12.26)

Când se cunosc indicii individuali ai preţurilor dintr-un grup de produse şi valorile produselor din perioada curentă, indicele mediu armonic ponderat al preţurilor pi, care exprimă dinamica preţurilor dintr-un grup de produse i, unde ni ,1= , va fi:

=

== n

ititip

t

n

ititi

pt

qpi

qpI

i

i

1 0/

10/ 1

(12.27)

unde: ip

ti 0/ = indicii individuali ai preţurilor dintr-un grup de produse ni ,1= ; ptiqti = valoarea produsului i în perioada raportată t; ip

tI 0/ = indicele mediu armonic ponderat al preţurilor.

56

Indicele mediu armonic ponderat al preţurilor dintr-un grup de produse se poate calcula şi în cazul în care nu se cunoaşte valoarea fiecărui produs i din perioada curentă, dar în schimb se ştie structura valorii fiecărui produs i în perioada curentă:

ivtn

ititi

titi gpq

pq=

∑=1

(12.28)

Atunci, dinamica preţurilor unui grup de produse în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, se va putea calcula după următoarea formulă:

i

i

i

vt

n

ip

t

pt

gi

I⋅

=

∑=1 0/

0/ 11 (12.29)

În mod similar, se poate determina indicele mediu armonic ponderat pentru alte variabile calitative: costul unitar, salariul mediu, productivitatea muncii pe un muncitor, etc., numai dacă se cunosc indicii individuali şi nivelurile curente ale factorului de ponderare (sau structura factorului de ponderare din perioada curentă). 12.3.2.3. Indicele mediu geometric Indicele mediu geometric, numit şi indicele „ideal”, a fost determinat de economistul şi statisticianul american Irving Fisher ca o medie geometrică simplă a indicelui agregat de tip Laspeyres şi a indicelui agregat de tip Paasche: - în cazul volumului fizic al produsului i;

=

=

=

= ⋅= n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

qFt

pq

pq

pq

pqI i

10

1

100

10

)(0/ (12.30)

- în cazul preţului produsului i;

=

=

=

= ⋅= n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

pFt

qp

qp

qp

qpI i

10

1

100

10

)(0/ (12.31)

Pe baza aplicaţiei de la pagina nr. 51, să calculăm indicele mediu aritmetic al cantităţilor de citrice vândute, indicele mediu armonic al preţurilor citricelor, indicele mediu geometric al cantităţilor şi indicele mediu geometric al preţurilor citrice vândute de firma „Sunrise”, utilizând şi tabelul nr. 12.2.

57

Tabelul nr. 12.2

iqti 0/

Citrice

ipti 0/

ipti 0/

1

iiqt pqi i

000/ ⋅

titipt

pqi i

⋅0/

1

Portocale 1,4091 0,9642 1,0371 17.298.111,6 17.296.753,8 Banane 1,2089 1,0679 0,9364 22.678.964 22.678.671,6 Lămâi 2,1364 1,0402 0,9613 11.703.199,2 11.704.904,9 Total 51.680.274,8 51.677.330,3 - indicele mediu aritmetic al cantităţilor de citrice vândute, conform relaţiei (12.22), va fi;

4154,1000.514.36

8,274.680.51

100

1000/

0/ ==⋅

=

=

=n

iii

n

iii

qt

qt

pq

pqiI

i

i sau 141,54%

Ca urmare a sporirii volumului cantităţilor de citrice vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 41,54 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele mediu armonic al preţurilor citricelor vândute, conform relaţiei (12.25), va fi;

0269,13,330.677.51

000.070.531

1 0/

10/ ===

=

=n

ititip

t

n

ititi

pt

pqi

pqI

i

i sau 102,69 %

Modificarea preţurilor unitare ale citricelor vândute a determinat creşterea valorii vânzărilor cu 2,69 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele mediu geometric al cantităţilor citricelor vândute, numit şi indicele Fisher al cantităţilor, conform relaţiei (12.30), va fi;

4140,14127,14154,1

10

1

100

10

)(0/ =⋅=⋅=

=

=

=

=n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

qFt

pq

pq

pq

pqI i sau 141,40 %

Ca urmare a sporirii volumului cantităţilor de citrice vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 41,40 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004. - indicele mediu geometric al preţurilor citricelor vândute, numit şi indicele Fisher al preţurilor, conform relaţiei (12.31), va fi;

0278,10269,10288,1

10

1

100

10

)(0/ =⋅=⋅=

=

=

=

=n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

pFt

qp

qp

qp

qpI i sau 102,78 %

Pe seama modificării preţurilor citricelor vândute, valoarea vânzărilor a crescut cu 2,78 % în luna decembrie 2004 faţă de noiembrie 2004.

58

12.3.3. Indici calculaţi ca raport între două medii aritmetice ponderate

Indicii sintetici determinaţi ca raport între două medii aritmetice ponderate sunt folosiţi la analiza statistică a dinamicii ori variaţiei în spaţiu a nivelului mediu al unei variabile calitative luată sub observaţie într-o colectivitate sau două colectivităţi de acelaşi tip care se află în acelaşi timp în două spaţii teritoriale diferite, cât şi la cuantificarea în mărimi relative a contribuţiilor separate ale variaţiilor caracteristicii şi ale structurii acesteia asupra variaţiei în timp sau spaţiu a nivelului mediu al factorului calitativ studiat. Indicii bifactoriali, indicii unifactoriali cu structură fixă şi indicii unifactoriali cu variaţii ale structurii alcătuiesc sistemul indicilor sintetici calculaţi ca raport între două medii aritmetice ponderate, numit şi sistemul indicilor sintetici al valorilor medii. Indicele bifactorial, denumit şi indicele cu structură variabilă, exprimă influenţa simultană a doi factori: variaţia caracteristicii xi şi cea a structurii colectivităţii

∑=

= n

ii

ii

f

fy

1

* :

=

=

=

=== n

ii

n

iii

n

iti

n

ititi

yxxt

f

fx

f

fx

xxI ii

10

100

1

1

0

1),(0/ :

*

(12.32)

Indicele bifactorial se descompune în indicele unifactorial cu structură fixă, care exprimă dinamica pură a valorilor caracteristicii şi indicele unifactorial cu variaţii ale structurii, ce arată gradul de influenţă a schimbărilor în structura colectivităţii asupra dinamicii nivelului mediu al variabilei calitative studiate. Dacă în formula indicelui bifactorial, înlocuim elementul de structură din perioada

de bază 0, ∑=

n

ii

i

f

f

10

0 , cu cel din perioada raportată t, ∑=

n

iti

ti

f

f

1

, se obţine indicele unifactorial

cu structură fixă, care este un indice agregat de tip Paasche:

=

=

=

=

=

= == n

itii

n

ititi

n

iti

n

itii

n

iti

n

ititi

xxt

fx

fx

f

fx

f

fxI i

10

1

1

10

1

1)(0/ : (12.33)

Menţinând în formula indicelui bifactorial nivelul caracteristicii xi la nivelul perioadei de bază 0, se obţine indicele unifactorial cu variaţii ale structurii, denumit şi indicele modificărilor structurale, care este un indice agregat de tip Laspeyres:

=

=

=

== n

ii

n

iii

n

iti

n

itii

yxt

f

fx

f

fxI i

10

100

1

10

)(0/ :

*

(12.34)

59

Produsul dintre indicele unifactorial cu structură fixă şi indicele unifactorial cu variaţii ale structurii este egal cu indicele bifactorial:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= =⋅ n

ii

n

iii

n

iti

n

ititi

n

ii

n

iii

n

iti

n

itii

n

itii

n

ititi

f

fx

f

fx

f

fx

f

fx

fx

fx

10

100

1

1

10

100

1

10

10

1 :: (12.35)

sau )(

0/)(

0/),(

0/

**iiii yx

txx

tyxx

t III ⋅= (12.36)

Fie distribuţia a zece persoane după înălţime, în anii 2002 şi 2004, prezentată în tabelul nr. 12.3:

Tabelul nr. 12.3 Distribuţia unor persoane în funcţie de înălţime

Înălţime Nr. persoane 2002 2004 2002

(f0i) 2004 (fti)

x0i xti x0if0i xtifti x0ifti

160-170 162-172 2 3 165 167 330 501 495 170-180 172-182 4 3 175 177 700 531 525 180-190 182-192 3 2 185 187 555 374 370 190-200 192-202 1 2 195 197 195 394 390 Total 10 10 1780 1800 1780

- indicele bifactorial, adică indicele variaţiei nivelului mediu al înălţimii în 2004

faţă de 2002, va fi:

0112,110

1780:10

1800:

10

100

1

1

0

1),(0/

*

====

=

=

=

=n

ii

n

iii

n

iti

n

ititi

yxxt

f

fx

f

fx

xxI ii sau 101,12 %

Astfel, nivelul mediu al înălţimii pe colectivitatea statistică de zece persoane a crescut în anul 2004 faţă de anul 2002 cu 1,12 %.

- indicele unifactorial cu structură fixă, adică indicele variaţiei nivelului mediu al înălţimii sub influenţa modificării înălţimii la fiecare persoană luată sub observaţie, în anul 2004 faţă de anul 2004, va fi:

0112,117801800:

10

1

1

10

1

1)(0/ ====

=

=

=

=

=

=n

itii

n

ititi

n

iti

n

itii

n

iti

n

ititi

xxt

fx

fx

f

fx

f

fxI i sau 101,12 %

Prin urmare, nivelul mediu al înălţimii sub influenţa modificării înălţimii pe fiecare persoană luată sub studiu, a crescut în anul 2004 faţă de anul 2002 cu 1,12 %.

- indicele unifactorial cu variaţii ale structurii, adică indicele variaţiei nivelului

mediu al înălţimii sub influenţa modificării structurii colectivităţii statistice cercetate, în anul 2004 faţă de anul 2004, va fi:

60

110

1780:10

1780:

10

100

1

10

)(0/

*

===

=

=

=

=n

ii

n

iii

n

iti

n

itii

yxt

f

fx

f

fxI i sau 100,00 %

Aşadar, variaţia nivelul mediu al înălţimii sub influenţa variaţiei structurii colectivităţii statistice analizate, nu s-a modificat în anul 2004 faţă de anul 2002. Se observă că se verifică relaţia (12.36):

1,0112 = 1,0112 x 1,0000

12.3.4. Raportul şi diferenţa dintre indicii Paasche şi Laspeyres Valoarea indicilor de grup este influenţată de sistemul de ponderare, iar studiul intensităţii acestei influenţe şi sensul ei se efectuează prin relaţia lui Bortkiewicz, construită de Ladislau von Bortkiewicz prin comparaţia dintre un indice de tip Paasche şi un indice de tip Laspeyres: În situaţia comparaţiei sub formă de raport dintre indicele Paasche al volumului fizic şi indicele Laspeyres al volumului fizic, relaţia lui Bortkiewicz este:

ipt

iqt

ipt

iqt iiiin

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

vvrpq

pq

pq

pq

0/0/0/0/ ;

100

10

10

1 1: ⋅⋅+=

=

=

=

= (12.37)

unde:

=

=

⋅⋅

−−= n

iiiii

iip

tp

t

n

i

qt

qt

iipq

pqIiIir

ipt

iqt

iiii

ipt

iqt

100

000/0/1

0/0/

;

0/0/

0/0/

)()(

σσ- este coeficientul de corelaţie dintre indicii

individuali ai volumului fizic şi ai preţului produsului i;

=

=

−= n

iii

n

iii

qt

qt

ipq

pqIi ii

iqt

100

100

20/0/ )(

0/σ - abaterea standard a indicilor individuali ai volumelor

fizice ale produselor i faţă de indicii medii corespunzători ai volumelor fizice ale produselor i;

=

=

−= n

iii

n

iii

pt

pt

ipq

pqIi ii

ipt

100

100

20/0/ )(

0/σ - abaterea standard a indicilor individuali ai preţurilor

produselor i faţă de indicii medii corespunzători ai preţurilor produselor i;

iqti

v0/ şi ip

tiv

0/ - sunt coeficienţii de variaţie ai indicilor individuali ai volumului fizic şi ai

preţului produsului i faţă de indicele mediu corespunzător volumului fizic şi preţului produsului i.

61

În cazul abaterii absolute dintre indicele Paasche al preţurilor şi indicele Laspeyres al preţurilor, se obţine formula stabilită de Ladislau von Bortkiewicz în anul 1923:

iqt

ipt

iqt

ipt iiiin

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

vrqp

qp

qp

qp

0/0/0/0/ ;

100

10

10

1 : ⋅⋅=

=

=

=

= σ (12.38)

unde:

=

=n

itii

n

ititi

qp

qp

10

1 = indicele Paasche al preţurilor produselor i;

=

=n

iii

n

iiti

qp

qp

100

10

= indicele Laspeyres al preţurilor produselor i

iq

tip

t iir

0/0/ ; = coeficientul de corelaţie dintre indicele individual al preţului

produsului i şi indicele individual al volumului fizic al produsului i; ip

ti 0/σ = abaterea standard a indicilor individuali ai preţurilor produselor i;

iqti

v0/ = coeficientul de variaţie a indicilor individuali ai volumelor fizice ale

produselor i. 12.3.5. Metode de analiză a influenţei factorilor cu ajutorul indicilor În analiza statistico-economică, dar şi în asigurarea fundamentării deciziilor economice, o mare importanţă o prezintă măsurarea contribuţiilor influenţelor factorilor asupra variaţiilor în timp, spaţiu ori în raport cu alte sisteme de referinţă a nivelurilor variabilelor cercetate. Astfel, un mare interes pentru manageri este cuantificarea influenţei în mărimi relative sau absolute a modificării nivelului productivităţii muncii, respectiv a timpului de muncă consumat, asupra variaţiei volumului producţiei fizice într-o anumită perioadă de timp. De asemenea, la fel de important este calculul aportului în mărimi relative sau absolute al variaţiilor în timp ale volumului producţiei obţinute, respectiv ale costului unitar pe produs, asupra modificării costului total de producţie. Aşadar, variaţiile nivelurilor variabilelor analizate în cadrul programelor de cercetare sunt însoţite de modificarea concomitentă a factorilor de influenţă, în sensuri şi cu intensităţi diferite. În funcţie de tipul de unitate statistică cercetată, simplă sau complexă, de scopul analizei factoriale, descompunerea pe factorii de influenţă cu ajutorul indicilor a variabilelor complexe, se poate realiza prin intermediul schemelor: aditivă, multiplicativă şi mixtă (aditiv – multiplicativă).

62

12.3.5.1. Metoda substituţiei în lanţ Metodologia aplicării în practică a metodei substituţiei în lanţ (M.S.L.), specifică a anumită ordine convenţională în exercitarea influenţei factorilor asupra dinamicii fenomenelor. Astfel: - în primul rând au loc variaţii cantitative în dezvoltarea fenomenelor; - factorul deja substituit se menţine la nivelul perioadei curente în cadrul separării acţiunilor factorilor; - se substituie la sfârşitul descompunerii factorul calitativ. În cadrul metodei substituţiei în lanţ operează schema multiplicativă de descompunere a indicilor pe factorii de influenţă cercetaţi. Fie YX ⋅=α o variabilă complexă a unei unităţi statistice, asupra căreia îşi exercită influenţa factorii X şi Y. - Dinamica nivelului variabilei statistice α în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

)(0/

)(0/

00000

)(0/

Yt

Xt

tttttYXt ii

yy

xx

yxyxi ααα

αα

⋅=⋅=⋅⋅

==U (12.39)

- în mărimi absolute: 000

)(0/ yxyx ttt

YXt ⋅−⋅=−=Δ ααα U (12.40)

În cazul studiului mărimilor influenţelor factoriale asupra variaţiei în timp a nivelurilor variabilelor statistice de forma YX ⋅=α , există două variante de aplicare a metodei substituţiei în lanţ în funcţie de ordinea substituirilor factorilor X şi Y: Varianta I – se substituie întâi factorul X: Asupra variaţiei nivelului variabilei statistice α în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, se manifestă următoarele influenţe: - influenţa factorului X: - în mărimi relative:

)(0/

000

0)/(0/

Xt

ttYXt i

xx

yxyxi αα ==⋅⋅

= (12.41)

- în mărimi absolute: x

tttYX

t yyxxyxyx 0/000000)/(

0/ )( Δ⋅=⋅−=⋅−⋅=Δα (12.42)

63

- influenţa factorului Y: - în mărimi relative:

)(0/

00

)/(0/

Yt

t

t

ttXYt i

yy

yxyxi αα ==⋅⋅

= (12.43)

- în mărimi absolute: y

tttttttXY

t xyyxyxyx 0/00)/(

0/ )( Δ⋅=−⋅=⋅−⋅=Δα (12.44) Se observă că produsul, respectiv suma, dintre influenţele separate în mărimi relative, respectiv în mărimi absolute, ale factorilor X şi Y, sunt egale cu influenţa totală în mărimi relative, respectiv în mărimi absolute, a ambilor factori X şi Y.

000

0

00 yxyx

yxyx

yxyx

t

ttttt

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅ (12.45)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

t iii ααα ⋅=U (12.46) respectiv, )()( 00000 yyxyxxyxyx ttttt −⋅+⋅−=⋅−⋅ (12.47) sau )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

tααα Δ+Δ=Δ U (12.48)

Varianta a II-a – se substituie întâi factorul Y: Variaţia nivelului variabilei statistice α în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, se află sub acţiunea următoarelor influenţe: - influenţa factorului Y: - în mărimi relative:

)(0/

000

0)/(0/

Yt

ttXYt i

yy

xyxyi αα ==⋅⋅

= (12.49)

- în mărimi absolute: y

tttXY

t xxyyxyyy 0/000000)/(

0/ )( Δ⋅=⋅−=⋅−⋅=Δα (12.50) - influenţa factorului X: - în mărimi relative:

)(0/

00

)/(0/

Xt

t

t

ttYXt i

xx

xyxyi αα ==⋅⋅

= (12.51)

64

- în mărimi absolute: x

tttttttYX

t yxxyxyxy 0/00)/(

0/ )( Δ⋅=−⋅=⋅−⋅=Δα (12.52) Aşadar, produsul, respectiv suma, dintre influenţele separate în mărimi relative, respectiv în mărimi absolute, ale factorilor X şi Y, sunt egale cu influenţa totală în mărimi relative, respectiv în mărimi absolute, a ambilor factori X şi Y.

000

0

00 xyxy

xyxy

yxyx

t

ttttt

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅ (12.53)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/YX

tXY

tYX

t iii ααα ⋅=U (12.54) respectiv, )()( 00000 xxyxyyyxyx ttttt −⋅+⋅−=⋅−⋅ (12.55) sau )/(

0/)/(

0/)(

0/YX

tXY

tYX

tααα Δ+Δ=Δ U (12.56)

În continuare, să luăm sub observare variabila statistică ∑=

=n

iii yx

1β care aparţine

unei colectivităţi statistice cercetate. - Dinamica nivelului variabilei statistice β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iii

n

ititi

YXt

yx

yxI

100

1)(0/

Uβ (12.57)

- în mărimi absolute:

∑∑==

−=Δn

iii

n

ititi

YXt yxyx

100

1

)(0/Uβ (12.58)

Se observă că există două variante ale metodei substituţiei în lanţ în cazul

variabilelor statistice ∑=

=n

iii yx

1β , variante are sunt condiţionate de ordinea substituţiei

factorilor X şi Y. Varianta I – se substituie întâi factorul X. - influenţa factorului X asupra variaţiei nivelului variabilei β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi:

65

- în mărimi relative:

=

== n

iii

n

iiti

YXt

yx

yxI

100

10

)/(0/

β (12.59)

- în mărimi absolute:

∑∑∑∑====

Δ=−=−=Δn

i

xti

n

iiiti

n

iii

n

iiti

YXt

iyyxxyxyx1

0/01

001

001

0)/(

0/ )(β (12.60)

- influenţa factorului Y asupra variaţiei nivelului variabilei β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iiti

n

ititi

XYt

yx

yxI

10

1)/(0/

β (12.61)

- în mărimi absolute:

∑∑∑∑====

Δ=−=−=Δn

i

ytti

n

iititi

n

iiti

n

ititi

XYt

ixyyxyxyx1

0/1

01

01

)/(0/ )(β (12.62)

Se observă că produsul dintre indicii factoriali este egal cu indicele factorial complex:

=

=

=

=

=

= ⋅= n

iiti

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

iii

n

ititi

yx

yx

yx

yx

yx

yx

10

1

100

10

100

1 (12.63)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

t III βββ ⋅=U (12.64) De asemenea, suma dintre abaterile absolute ale nivelului variabilei statistice β , ca urmare a influenţelor separate ale factorilor X şi Y, în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, este egală cu abaterea absolută totală a nivelului variabilei β sub influenţa ambilor factori X şi Y, în perioada raportată t faţă de cea de bază 0. ∑∑∑∑∑∑

======

−+−=−n

iiti

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

iii

n

ititi yxyxyxyxyxyx

10

1100

10

100

1)()( (12.65)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

tβββ Δ+Δ=Δ U (12.66)

66

Varianta a II-a - se substituie întâi factorul Y. - influenţa factorului Y asupra variaţiei nivelului variabilei β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iii

n

iiti

XYt

xy

xyI

100

10

)/(0/

β (12.67)

- în mărimi absolute:

∑∑∑∑====

Δ=−=−=Δn

i

yti

n

iiiti

n

iii

n

iiti

XYt

ixxyyxyxy1

0/01

001

001

0)/(

0/ )(β (12.68)

- influenţa factorului X asupra variaţiei nivelului variabilei β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iiti

n

ititi

YXt

xy

xyI

10

1)/(0/

β (12.69)

- în mărimi absolute:

∑∑∑∑====

Δ=−=−=Δn

i

xtti

n

iititi

n

iiti

n

ititi

YXt

iyxxyxyxy1

0/1

01

01

)/(0/ )(β (12.70)

Aşadar: - produsul dintre indicii factoriali este egal cu indicele factorial complex:

=

=

=

=

=

= ⋅= n

iiti

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

iii

n

ititi

xy

xy

xy

xy

yx

yx

10

1

100

10

100

1 (12.71)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/YX

tXY

tYX

t III βββ ⋅=U (12.72) - suma dintre influenţele separate ale factorilor X şi Y, în mărimi absolute, este egală cu influenţa totală în mărimi absolute a ambilor factori X şi Y, asupra variaţiei nivelului variabilei statistice β în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0: ∑∑∑∑∑∑

======

−+−=−n

iiti

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

iii

n

ititi xyxyxyxyyxyx

10

1100

10

100

1)()( (12.73)

sau )/(

0/)/(

0/)(

0/YX

tXY

tYX

tβββ Δ+Δ=Δ U (12.74)

67

În vederea prezentării manierei de aplicare a metodei substituţiei în lanţ, să luăm sub observaţie următoarea distribuţie a preţurilor şi a cantităţilor de televizoare vândute de firma „Ana Electronic” în luna septembrie 2004 faţă de august 2004, prezentată în tabelul nr. 12.4: Tabelul nr. 12.4

Preţuri (mii lei)

Cantitate (buc.)

Televizoare

VIII p0i

IX pti

VIII q0i

IX qti

ii pq 00

(mii lei) titi pq

(mii lei) iti pq 0

(mii lei)

Samsung TxT Hitron diag. 53

5499

5549

6242

7725

34324758

42866025

42479775

Samsung CK 20H1Z diag.51

5299

5347

7284

8436

38597916

45107292

44702364

Samsung TXT Hitron diag.51

5399

5448

6437

7940

34753363

43257120

42868060

Samsung 32M66v diag.79

36015

36015

275

344

9904125

12500616

12389160

Total 20238 24445 117580162 143731053 14243935 9 * Sursa: http: www. Ana Electronic. Ro/shop – Oferta de preţuri. - Variaţia valorii vânzărilor sub influenţa ambilor factori cantitate (qi) şi preţ (pi), în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.57):

2224,11011758016210143731053

3

3

100

1)(0/ =

⋅⋅

==

=

=n

iii

n

ititi

pqVt

pq

pqI U sau 122,24 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.58):

261508911

001

)(0/ =−=Δ ∑∑

==

n

iii

n

ititi

pqVt pqpqU mii lei

Sub influenţa creşterii nivelurilor preţurilor şi a cantităţilor, valoarea vânzărilor a crescut în luna septembrie 2004 faţă de august 2004, în mărimi relative cu 24,24 %, iar în mărimi absolute cu 26150891 mii lei. - Variaţia valorii vânzărilor sub influenţa separată a modificării factorului cantitate (qi), în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.67):

2114,11011758016210142439359

3

3

100

10

)/(0/ =

⋅⋅

==

=

=n

iii

n

iiti

pqVt

pq

pqI sau 121,14 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.68):

248591971

001

0)/(

0/ =−=Δ ∑∑==

n

iii

n

iiti

pqVt pqpq mii lei

68

Ca urmare a influenţei creşterii nivelurilor cantităţilor vândute, valoarea vânzărilor a crescut în luna septembrie 2004 faţă de august 2004, în mărimi relative cu 21,14 %, iar în mărimi absolute cu 24859197 mii lei. - Variaţia valorii vânzărilor sub influenţa separată a modificării factorului preţ (pi), în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.69):

0091,11014243935910143731053

3

3

10

1)/(0/ =

⋅⋅

==

=

=n

iiti

n

ititi

qpVt

pq

pqI sau 100,91 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.70):

12916941

01

)/(0/ =−=Δ ∑∑

==

n

iiti

n

ititi

qpVt pqpq mii lei

Valoarea vânzărilor a crescut în luna septembrie 2004 faţă de august 2004, datorită creşterii preţurilor, în mărimi relative cu 0,91 %, iar în mărimi absolute cu 1291694 mii lei. Se observă că se verifică relaţiile (12.72) şi (12.74): 1,2224 = 1,2114 x 1,0091 şi 26150891 mii lei = 24859197 = 1291694 mii lei 12.3.5.2. Metoda restului nedescompus În cadrul metodei „restului nedescompus” (M.R.N.), care mai poartă denumirile de metoda „influenţelor izolate” (M.I.I.), sau de „metoda lui 2l –1”, unde l = numărul factorilor de influenţă, se aplică schema multiplicativă de descompunere a indicilor pe factorii analizaţi. Fie YX ⋅=γ o variabilă complexă a unei unităţi statistice, asupra căreia îşi exercită influenţa factorii X şi Y. - Dinamica nivelului variabilei statistice γ în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, va fi: - în mărimi relative:

)(0/

)(0/

00000

)(0/

Yt

Xt

tttttYXt ii

yy

xx

yxyxi γγγ

γγ

⋅=⋅=⋅⋅

==U (12.75)

- în mărimi absolute: 000

)(0/ yxyx ttt

YXt ⋅−⋅=−=Δ γγγ U (12.76)

69

sau =⋅−⋅=Δ 00

)(0/ yxyx tt

YXt

Uγ ))(()()( 000000 xxyyyxxxyy tttt −−+⋅−+⋅−= (12.77) Deci, yxxy

YXt yx ΔΔ+Δ+Δ=Δ 00

)(0/Uγ (12.78)

unde:

)(0/

YXt

UγΔ = variaţia totală în mărimi absolute a nivelului variabilei γ sub influenţa factorilor X şi Y;

yx Δ0 = variaţia în timp a nivelului variabilei γ sub influenţa factorului Y;

xy Δ0 = variaţia în timp a nivelului variabilei γ sub influenţa factorului X;

yxΔΔ = variaţia în timp a nivelului variabilei γ sub influenţa concomitentă (interacţiunea) factorilor X şi Y, numită „rest nedescompus”. Aşadar, pe baza relaţiei (12.78) se observă că variaţia totală a nivelului variabilei γ , sub influenţa celor doi factori X şi Y, în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, s-a descompus în trei influenţe factoriale: influenţa separată a factorului X, influenţa separată a factorului Y şi influenţa concomitentă a factorilor X şi Y. Influenţa concomitentă a celor doi factori X şi Y asupra variaţiei totale a nivelului variabilei γ , se poate repartiza în mod convenţional în trei feluri: 1) se repartizează influenţa concomitentă a celor doi factori X şi Y unui singur factor, de obicei factorului calitativ; 2) se repartizează influenţa concomitentă a factorilor X şi Y în mod egal pe cei doi factori X şi Y, astfel: - influenţa totală a factorului X, în mărimi absolute, fiind:

yxxYX

t y ΔΔ+Δ=Δ21

0)/(

0/γ (12.79)

- influenţa totală a factorului Y, în mărimi absolute, fiind:

yxyXY

t x ΔΔ+Δ=Δ21

0)/(

0/γ (12.80)

3) se repartizează influenţa concomitentă a factorilor X şi Y, pe cei doi factori X şi Y, în mod proporţional cu mărimea influenţelor separate, astfel: - influenţa totală a factorului X, în mărimi absolute, fiind:

yxxy

xx

YXt yx

yy ΔΔΔ+Δ

Δ+Δ=Δ

00

00

)/(0/

γ (12.81)

70

- influenţa totală a factorului Y, în mărimi absolute, fiind:

yxxy

yy

YXt yx

xx ΔΔ

Δ+ΔΔ

+Δ=Δ00

00

)/(0/

γ (12.82)

Să considerăm variabila complexă:

∑ ∑= =

==n

i

n

iiii yx

1 1γε (12.83)

ce aparţine unei colectivităţi luate sub observaţie, caracteristică a cărei variaţie este influenţată de factorii X şi Y. - Dinamica nivelului variabilei statistice ε în perioada raportată t faţă de perioada de bază 0, sub influenţa factorilor X şi Y, va fi: - în mărimi relative:

=

=

=

= == n

iii

n

ititi

n

ii

n

iti

YXt

yx

yxI

100

1

10

1)(0/

γ

γε U (12.84)

- în mărimi absolute:

∑∑==

=−=Δn

iii

n

ititi

YXt yxyx

100

1

)(0/Uε

=−Δ+Δ+= ∑∑==

n

iiiyi

n

ixi yxyx

ii1

0001

0 )()(

∑∑∑===

ΔΔ+Δ+Δ=n

iyx

n

iyi

n

ixi iiii

xy11

01

0 (12.85)

Influenţele separate în mărimi relative ale factorilor X şi Y asupra variaţiei nivelului variabilei ε aparţinând unei colectivităţi, sunt indicate de indicii unifactoriali corespunzători, pentru a căror alcătuire factorul cu rol de pondere se va menţine la nivelul perioadei bazei de comparaţie. - influenţa separată a factorului X, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iii

n

iiti

yXt

yx

yxI

100

10

)/(0/

0ε (12.86)

- în mărimi absolute:

∑∑==

−=Δn

iii

n

iiti

yXt yxyx

100

10

)/(0/

0ε (12.87)

71

- influenţa separată a factorului Y, va fi: - în mărimi relative:

=

== n

iii

n

iiti

xYt

xy

xyI

100

10

)/(0/

0ε (12.88)

- în mărimi absolute:

∑∑==

−=Δn

iii

n

iiti

xYt xyxy

100

10

)/(0/

0ε (12.89)

- influenţa simultană a factorului X şi a factorului Y, va fi: - în mărimi relative:

=

=

=

== n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

YXt

yx

yx

yx

yxI

100

10

10

1)(0/ :Iε (12.90)

- în mărimi absolute:

=−−−=Δ ∑∑∑∑====

)()(1

001

01

01

)(0/

n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

YXt yxyxyxyxIε

∑∑∑===

ΔΔ=−−−=n

iyx

n

iiiti

n

itiiti ii

yxxyxx11

001

0 )()( (12.91)

Observăm că: - produsul dintre influenţele separate în mărimi relative ale factorilor X şi Y şi influenţa simultană în mărimi relative a celor doi factori este egal cu variaţia totală în mărimi relative a nivelului variabilei ε pe seama ambilor factori X şi Y:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= =⋅⋅ n

iii

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

n

iii

n

iiti

yx

yx

yx

yx

yx

yx

xy

xy

yx

yx

100

1

100

10

10

1

100

10

100

10

: (12.92)

sau )(

0/)/(

0/)/(

0/)(

0/00 YX

txY

tyX

tYX

t IIII IU εεεε ⋅⋅= (12.93) - suma dintre influenţele separate în mărimi absolute ale factorilor X şi Y şi influenţa concomitentă în mărimi absolute a celor doi factori este egal cu variaţia totală în mărimi absolute a nivelului variabilei ε sub influenţa ambilor factori X şi Y:

+−+− ∑∑∑∑====

)()(1

001

01

001

0

n

iii

n

iiti

n

iii

n

iiti xyxyyxyx

=−−−+ ∑∑∑∑====

)()(1

001

01

01

n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi yxyxyxyx

∑∑==

−=n

iii

n

ititi yxyx

100

1 (12.94)

sau )(

0/)/(

0/)/(

0/)(

0/00 YX

txY

tyX

tYX

tIU εεεε Δ+Δ+Δ=Δ (12.95)

72

Influenţa concomitentă a celor doi factori X şi Y asupra variaţiei totale a nivelului variabilei ε aparţinând unei colectivităţi, se repartizează pe factori în mod convenţional, în trei moduri: 1. se repartizează influenţa concomitentă a celor doi factori X şi Y unui singur factor, în general factorului calitativ, situaţie care conduce la metoda substituţiei în lanţ; 2. se repartizează influenţa concomitentă a celor doi factori X şi Y în mod egal pe cei doi factori X şi Y, obţinând: - influenţa totală a factorului X: - în mărimi relative:

=

=

=

=

=

= ⋅= n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

YXt

yx

yx

yx

yx

yx

yxI

100

10

10

1

100

10

)/(0/ :ε (12.96)

- în mărimi absolute:

∑∑==

ΔΔ+Δ=Δn

iyx

n

ixi

YXt iii

y11

0)/(

0/ 21ε (12.97)

- influenţa totală a factorului Y: - în mărimi relative:

=

=

=

=

=

= ⋅= n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

XYt

yx

yx

yx

yx

xy

xyI

100

10

10

1

100

10

)/(0/ :ε (12.98)

- în mărimi absolute:

∑∑==

ΔΔ+Δ=Δn

iyx

n

iyi

XYt iii

x11

0)/(

0/ 21ε (12.99)

Se observă că produsul dintre influenţele totale separate ale factorilor X şi Y în mărimi relative este egal cu variaţia totală în mărimi relative sub influenţa ambilor factori X şi Y a nivelului variabilei ε aparţinând colectivităţii analizate: )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

t III εεε ⋅=U (12.100) De asemenea, suma dintre influenţele totale separate ale factorilor X şi Y în mărimi absolute este egală cu variaţia totală în mărimi absolute, pe seama ambilor factori X şi Y, a nivelului variabilei ε aparţinând aceleiaşi colectivităţi statistice luate sub observaţie: )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

tεεε Δ+Δ=Δ U (12.101)

73

3. se repartizează influenţa concomitentă a factorilor X şi Y, pe factori, în mod proporţional cu mărimea influenţelor lor separate, rezultând: - influenţa totală a factorului X: - în mărimi relative:

)(0/)/(

0/

)/(0/)/(

0/)/(

0/ 0

00 YX

txYt

yXtyX

tYX

t IIIII Iεε

εεε ⋅⋅= (12.102)

- în mărimi absolute:

)/(0/

)/(0/

)/(0/)/(

0/)/(

0/ 00

00

xYt

yXt

yXtyX

tYX

t εε

εεε

Δ+ΔΔ

+Δ=Δ (12.103)

- influenţa totală a factorului Y: - în mărimi relative:

)(0/)/(

0/

)/(0/)/(

0/)/(

0/ 0

00 YX

tyXt

xYtxY

tXY

t IIIII Iεε

εεε ⋅⋅= (12.104)

- în mărimi absolute:

)/(0/

)/(0/

)/(0/)/(

0/)/(

0/ 00

00

xYt

yXt

xYtxY

tXY

t εε

εεε

Δ+ΔΔ

+Δ=Δ (12.105)

De asemenea: - produsul dintre influenţele totale separate ale factorilor X şi Y în mărimi relative este egal cu variaţia totală în mărimi relative a nivelului variabilei ε sub influenţa ambilor factori X şi Y: )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

t III εεε ⋅=U (12.106) - suma dintre influenţele totale separate ale factorilor X şi Y în mărimi absolute este egală cu variaţia totală în mărimi absolute a nivelului variabilei ε pe seama ambilor factori X şi Y: )/(

0/)/(

0/)(

0/XY

tYX

tYX

tεεε Δ+Δ=Δ U (12.107)

Pentru a prezenta metodologia aplicării în practică a metodei restului nedescompus, vom utiliza aplicaţia de la pagina 67 pe baza căreia vom calcula dinamica nivelului vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004 ca urmare a influenţelor modificărilor factorilor cantitate şi preţ. - Influenţa totală a ambilor factori cantitate (qi) şi preţ (pi), asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, este:

74

- în mărimi relative, conform relaţiei (12.84):

2224,11011758016210143731053

3

3

100

1)(0/ =

⋅⋅

==

=

=n

iii

n

ititi

pqVt

pq

pqI iiU sau 122,24 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.85):

261508911

001

)(0/ =−=Δ ∑∑

==

n

iii

n

ititi

pqVt pqpqiiU mii lei

Valoarea vânzărilor a crescut în septembrie 2004 faţă de august 2004, sub influenţa totală a ambilor factori: cantitate şi preţ, în mărimi relative cu 24,24 %, iar în mărimi absolute cu 26150891 mii lei. - Influenţa separată a creşterii preţurilor unitare (pi) asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.86):

0091,11011758016210118646407

3

3

100

10

)/(0/

0 =⋅⋅

==

=

=n

iii

n

iiti

qpVt

qp

qpI ii sau 0,91 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.88):

10662451

001

0)/(

0/0 =−=Δ ∑∑

==

n

iii

n

iiti

qpVt qpqpii mii lei

În luna septembrie 2004 faţă de august 2004, valoarea vânzărilor a crescut sub influenţa separată a creşterii preţurilor unitare, în mărimi relative cu 0,91 %, iar în mărimi absolute cu 1066245 mii lei. - Influenţa separată a sporii cantităţilor vândute pe fiecare tip de produs (qi) asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.88):

2114,11011758016210142439359

3

3

100

10

)/(0/

0 =⋅⋅

==

=

=n

iii

n

iiti

pqVt

pq

pqI ii sau 21,14 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.89):

248591971

001

0)/(

0/0 =−=Δ ∑∑

==

n

iii

n

iiti

pqVt pqpqii mii lei

Sub influenţa separată a creşterii nivelurilor cantităţilor vândute pe fiecare tip de produs, valoarea vânzărilor a crescut, în mărimi relative cu 21,14 %, iar în mărimi absolute cu 24859197 mii lei.

75

- Influenţa simultană a factorului preţ (pi) şi a factorului cantitate (qi) asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.90):

==

=

=

=

=n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

qpVt

qp

qp

qp

qpI ii

100

10

10

1)(0/ :I

000000138,11011758016210118646407:

1014243935910143731053

3

3

3

3

=⋅⋅

⋅⋅

= sau 100,0000138 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.91):

miileiqpqpqpqpn

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

qpVt

ii 225449)()(1

001

01

01

)(0/ =−−−=Δ ∑∑∑∑

====

I

Sub influenţa concomitentă a creşterii preţurilor unitare şi a nivelurilor cantităţilor vândute pe fiecare tip de produs, valoarea vânzărilor a crescut în septembrie 2004 faţă de august 2004, în mărimi relative cu 0,0000138 %, iar în mărimi absolute cu 225449 mii lei. Se observă că se verifică relaţiile (12.93) şi (12.95): 1,2224 = 1,2114 x 1,0091 x 1,000000138 şi 26150891 mii lei = 24859197 mii lei + 1066245 mii lei + 225449 mii lei În condiţiile în care influenţa concomitentă a preţurilor (pi) şi a cantităţilor vândute (qi) se repartizează în mod egal pe cei doi factori de influenţă, se obţine: - influenţa totală a preţurilor unitare (pi) asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, care este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.96):

=⋅=

=

=

=

=

=

=n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

qpVt

qp

qp

qp

qp

qp

qpI ii

100

10

10

1

100

10

)/(0/ :

0091,1000000138,10091,1)(0/

)/(0/

0 ≅⋅=⋅= iiii qpVt

qpVt II I sau 100,91 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.97):

=ΔΔ+Δ=Δ ∑∑==

n

iqp

n

ipi

qpVt iii

ii q11

0)/(

0/ 21

5,11789691022544921101066245

21 33)(

0/)/(

0/0 =⋅⋅+⋅=Δ⋅+Δ= iiii qpV

tqpV

tI mii lei

76

Nivelul valorii vânzărilor a crescut în septembrie 2004 faţă de august 2004, sub influenţa totală a creşterii preţurilor unitare, în mărimi relative cu 0,91 %, iar în mărimi absolute cu 1178969,5 mii lei. - influenţa totală a cantităţilor vândute pe fiecare tip de produs (qi) asupra variaţiei nivelului valorii vânzărilor în septembrie 2004 faţă de august 2004, care este: - în mărimi relative, conform relaţiei (12.98):

=⋅=

=

=

=

=

=

=n

iii

n

iiti

n

itii

n

ititi

n

iii

n

iiti

pqVt

qp

qp

qp

qp

pq

pqI ii

100

10

10

1

100

10

)/(0/ :

2114,1000000138,12114,1)(0/

)/(0/

0 ≅⋅=⋅= iiii qpVt

pqVt II I sau 121,14 %

- în mărimi absolute, conform relaţiei (12.99):

=ΔΔ+Δ=Δ ∑∑==

n

iqp

n

iqi

pqVt iii

ii p11

0)/(

0/ 21

5,2497192110225449211024859197

21 33)(

0/)/(

0/0 =⋅⋅+⋅=Δ⋅+Δ= iiii qpV

tpqV

tI mii lei

Nivelul valorii vânzărilor a crescut în septembrie 2004 faţă de august 2004, sub influenţa totală a sporirii cantităţilor vândute pe fiecare tip de produs, în mărimi relative cu 21,14 %, iar în mărimi absolute cu 24971921,5 mii lei. De asemenea, se observă că: - produsul dintre influenţele totale ale preţurilor (pi) şi cantităţilor vândute (qi), în mărimi relative, în septembrie 2004 faţă de august 2004, este egal cu variaţia totală în mărimi relative a nivelului valorii vânzărilor sub influenţa ambilor factori preţ şi cantitate, în acelaşi interval de timp, conform relaţiei (12.100): 1,2224 =1,0091 x 1,2114 - suma dintre influenţele totale ale preţurilor (pi) şi cantităţilor vândute (qi), în mărimi absolute, în septembrie 2004 faţă de august 2004, este egală cu variaţia totală în mărimi absolute a nivelului valorii vânzărilor sub influenţa ambilor factori preţ şi cantitate, în acelaşi interval de timp, conform relaţiei (12.101): 26150891 mii lei=1178969,5 mii lei+24971921,5mii lei

77

CAPITOLUL XIII.

TESTUL „t” Testul „t”, numit şi testul „Student”, are o largă aplicare în cadrul unor distribuţii normale, pentru a verifica ipoteza egalităţii a două medii ce se referă la două colectivităţi statistice normal distribuite. Se aplică în următoarele situaţii: a) când se verifică ipoteza H0 : m1=m2, privind egalitatea a două niveluri medii ce corespund la două populaţii normal distribuite cu aceeaşi dispersie necunoscută, vom avea [8, p.155]:

21

2121222

211

12 )2()1()1( nn

nnnnsnsn

xxt+

−+⋅⋅⋅

⋅−+⋅−

−= (13.1)

cu f = n1 + n2 - 2 grade de libertate. unde: 2

1s = dispersia de sondaj a colectivităţii 1; 2

2s = dispersia de sondaj a colectivităţii 2; n1 = volumul colectivităţii 1; n2 = volumul colectivităţii 2. b) când se verifică ipoteza H0 : m1=m2, referitoare la egalitatea a două medii ce corespund la două colectivităţi normal distribuite care nu au aceeaşi dispersie, cu alte cuvinte dispersiile nu sunt egale, în plus fiind şi necunoscute, vom avea [8, p.155]:

2

22

1

21

12

ns

ns

xxt

+

−= (13.2)

cu

11

1

1

2

2

1

2

−−+

=

nc

nc

f grade de libertate (13.3)

iar

2

22

1

211

1 1

ns

nsn

sc+

+= (13.4)

unde: s1 = abaterea standard de sondaj a colectivităţii 1. c) când se verifică ipoteza H0 : m=m0, vom avea [8, p.155]:

nsmxt 0−

= (13.5)

78

cu f = n – 1 grade de libertate. În concluzie, dacă ftabelatcalculat ttt ;α=≤ (13.6) unde: α = pragul de semnificaţie; f = gradele de libertate; atunci, între nivelurile medii m1 şi m2 nu există o diferenţă semnificativă. Dacă: ftabelatcalculat ttt ;α=> 13.7) atunci, între nivelurile medii m1 şi m2 ale fenomenului cercetat pe cele două colectivităţi, există o diferenţă semnificativă. În vederea aplicării formulelor de la punctele a şi b, trebuie utilizat testul F al lui Fisher care ne va indica care dintre cele două formule le vom folosi. Testul F se foloseşte în scopul verificării egalităţii a două dispersii 2

1σ şi 22σ ce

corespund la două populaţii normal distribuite [8, p.160]:

22

21

ssF = (13.8)

cu f1 = n1-1 şi f2 = n2-1 grade de libertate. Dacă: α;; 21 fftabelatcalculat FFF => (13.9)

atunci, 22

21 σσ ≠ şi vom utiliza formula testului „t” de la punctul b.

Dacă: α;; 21 fftabelatcalculat FFF =≤ (13.10)

atunci, 22

21 σσ = şi vom aplica formula testului „t” de la punctul a.

Exemple: 1. Pentru a pregăti meciurile din Liga I, echipa de fotbal Steaua are nevoie la antrenamente de o serie de mingi noi de fotbal. Astfel, s-au testat diametrele mingilor de fotbal produse de două firme, efectuându-se câte cinci măsurători: Tabelul nr. 13.1 Diametrele mingilor de fotbal produse de cele două firme

Firma 1 (cm.)

25,4 25,2 25,4 25,3 25,2

Firma 2 (cm.)

25,2 25,3 25,0 25,4 25,0

Utilizând testul „t”, să se verifice dacă cele două tipuri de mingi sunt asemănătoare, ştiind că pragul de semnificaţie 01,0=α . Mai întâi vom aplica testul „F”:

22

21

ssF =

Pentru a calcula dispersiile de sondaj 2

1s şi 22s , vom alcătui tabelul nr. 13.2 pe baza

datelor din tabelul nr. 13.1:

79

Tabelul nr. 13.2 Nr. crt.

Firma 1 (cm.)

Firma 2 (cm.)

21)( xxi −

22 )( xxi −

1. 25,4 25,2 0,01 0 2. 25,2 25,3 0,01 0,01 3. 25,4 25,0 0,01 0,04 4. 25,3 25,4 0 0,04 5. 25,2 25,1 0,01 0,01 Total 126,5 126,0 0,04 0,10

Diametrele medii ale mingilor testate la nivelul firmei 1, respectiv pe firma 2, vor fi:

3,255

5,126

1

5

11 ===∑=

n

xx i

i

cm.

2,255

126

2

5

12 ===∑=

n

xx i

i

cm.

Aşadar,

01,015

04,01

)(

1

5

1

21

21 =

−=

−=∑=

n

xxs i

i

şi

025,015

10,01

)(

2

5

1

22

22 =

−=

−=∑=

n

xxs i

i

Deci,

4,0025,001,0

22

21 ===

ssFcalculat

Pe de altă parte, 98,1501,0;4;4;; 21

=== FFF fftabelat α

unde, gradele de libertate vor fi:

f1 = n1-1=5-1=4 şi f2 = n2-1=5-1=4 În concluzie, 2

22198,154,0 σσ =⇒=<= tabelatcalculat FF

Prin urmare, vom folosi formula aflată în cadrul relaţiei (13.1):

=+

−+⋅⋅⋅

⋅−+⋅−

−=

21

2121222

211

12 )2()1()1( nn

nnnnsnsn

xxt

195,155

)255(55025,0)15(01,0)15(

3,252,25−=

+−+⋅⋅

⋅⋅−+⋅−

−=

80

Pe de altă parte, 355,301,0;8; === ttt ftabelat α unde, f = n1 + n2 - 2 Aşadar, ⇒=<=−= 355,3195,1195,1 tabelatcalculat tt

ambele tipuri de mingi sunt asemănătoare. 2. Televizorul Samsung CZ20H12T prevăzut pentru livrare, are diagonala de 54 cm.. Pentru a verifica îndeplinirea acestei prevederi s-au efectuat şase măsurători, ale căror rezultate sunt în cm.: 54,4; 54,0; 54,2; 54,0; 54,4; 54,0. Să se verifice dacă acest lot de televizoare corespunde din punct de vedere al diagonalei, unde pragul de semnificaţie 01,0=α . Formulăm ipoteza H0: m = m0 = 54 cm. Vom aplica relaţia (13.5):

nsmxt 0−

=

Tabelul nr. 13.3

Nr. crt.

xi (cm.)

2)( xxi −

1. 54,4 0,09 2. 54,0 0,01 3. 54,2 0,01 4. 54,0 0,01 5. 54,4 0,09 6. 54,0 0,01 Total 126,0 0,22

Nivelul mediu al diagonalelor celor şase televizoare Samsung testate, va fi:

1,546

325

6

1 ===∑=

n

xx i

i

cm.

Abaterea standard de sondaj va fi:

2,016

22,01

)(6

1

2

=−

=−

−=∑=

n

xxs i

i

Deci,

25,1

62,0

541,540 =−

=−

=

nsmxt

Pe de altă parte, 032,401,0;5; === ttt ftabelat α unde, f = n - 1 = 6-1=5. Aşadar, ⇒=<== 032,425,125,1 tabelatcalculat tt

lotul de televizoare este corespunzător calitativ din punct de vedere al diagonalei.

81

Bibliografie 1. Allen R.D.G. –„Index Numbers in Theory and Practice”, The McMillan Press L.T.D., London, 1975. 2. Andrei T., Stancu S., Pele D.T. –„Statistică – teorie şi aplicaţii”, ediţia a II-a, Ed. Economică, Bucureşti, 2002. 3. Baron T., Biji E., Tövissi L., Wagner P., Maniu Al. Isaic, Korka M., Porojan D. – „Statistică teoretică şi economică”, Ed. Didactică şi Pedagogică R.A., Bucureşti, 1996. 4. Bădiţă M., Baron T., Korka M. –„Statistică pentru afaceri”, Ed. Eficient, Bucureşti, 1998. 5. Duon Gaston –„De la theorie a la pratique des indices statistiques”, Ed. Eyrolles 61, Paris, 1955. 6. Fourastie J. –„Les formules d’indices de prix”, Librairie Armand Colin, Paris, 1966. 7. Levin Richard, Rubin David –„Statistics for management”, Ed. Prentice Hall, New Jersey, 1991. 8. Maniu Al. Isaic, Mitruţ C., Voineagu V.-„Statistica pentru managementul afacerilor”, Ed. Economică, Bucureşti, 1999. 9. Marinescu I. –„Analiza factorială”, Ed, Ştiinţifică şi Enciclopedică”, Bucureşti, 1976. 10. Mihoc Gh., Urseanu B. –„Matematici aplicate în statistică”, Ed. Academia Română, Bucureşti, 1962 11. Moineagu C., Negură I., Urseanu V. –„Statistica - concepte, principii, metode”, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică”, Bucureşti, 1976. 12. Oprişan Gh., Sebe G. I. – „Compendiu de teoria probabilităţilor şi statistica matematică”, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1999. 13. Tövissi L., Al. Isaic-Maniu –„Statistica”, A.S.E., Bucureşti, 1984. 14. Ţarcă Mihai –„Tratat de statistică aplicată”, Ed. Didactică şi Pedagogică R.A., Bucureşti, 1998. 15. Vodă V. Gh. –„Gândirea statistică un mod de gândire al viitorului”, Ed. Albatros, Bucureşti, 1977. 16. Yulle G., Kendall M.G. –„Introducere în teoria statistică”, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1969.


Recommended