Bazele electrotehnicii I
Conf. dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
An I - ETTI
e-mail: [email protected]
BAZELE
ELECTROTEHNICII I
BE I
CURS 3
Bazele electrotehnicii I
CIRCUITE ELECTRICE
DE CURENT CONTINUU
2/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Teorema transferului maxim de putere (Transfer maxim de putere)
Presupunem că avem o sursă de tensiune electromotoare reală, E, cu rezistența internă,
, care debitează (este conectată la) pe un rezistor (o sarcină), :iR
Puterea transmisă rezistorului:
2
s sP R I=
Ce valoare trebuie să aibă rezistența pentru ca sursa
să transmită putere maximă?
sR
sR
s i
EI
R R=
+ ( )
2
2s s
s i
EP R
R R=
+
Găsim maximul puterii prin anularea derivatei max când 0s
s
PP
R
=
3/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 3 3 3
2 210s s s i s i s
s s i s i s i s i
P R R R R R RE E E
R R R R R R R R R
+ − − = − = = =
+ + + +
0i sR R− = i sR R= Condiția de transfer maxim de putere
Condiția de transfer maxim de putere este îndeplinită atunci când rezistența de sarcină
este egală cu rezistența internă a sursei.
Puterea este maximă:
( )
2
max max
2
max 22
s
s
s i s
s i
P R I
E EI P R
R R R
R R
=
= =+
=
2 2
max 24 4s
s is s
E EP R
R RR R= =
=
2
max4 s is
EP
R RR=
=
4/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Dacă avem un circuit complex (cu o configurație mai complicată):
Sursa debitează putere maximă când , unde
este rezistența echivalentă a circuitului la bornele A și B
i ABR R= ABR
Observație:
5/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Metoda curenţilor ciclici (de ochiuri, de buclă, fictivi)
Se operează cu noi variabile numite curenți de ochiuri (de bucle sau ciclici).
' ' '
1 2, , ..., bI I I
Curentul ciclic este un curent fictiv .
Metoda presupune că, cele b= l - n+s bucle independente, sunt parcurse de curenți
fictivi (de buclă) notați cu:
În sistemul specific metodei teoremelor lui Kirchhoff are loc o substituție ingenioasă a
necunoscutelor: în locul celor l curenți din laturi se introduc b= l - n+s curenți de
buclă (ciclici sau de ochiuri).
Curenții reali din laturile circuitului se vor determina ca sume algebrice ale tuturor
curenților fictivi (ciclici), care concură (trec) prin latura respectivă.
Numărul ecuațiilor sistemului și numărul necunoscutelor se reduce de la l la b= l -n+s,
deoarece primele (n-s) ecuații date de Teorema I a lui Kirchhoff dispar, devin identități.
6/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
+ + + =
+ + + == − +
− − − − − − − − − − − − − − − − − −
+ + + =
1
2
' ' '
11 1 12 2 1
' ' '
21 1 22 2 2
' ' '
1 1 2 2
,
b
b b k
k b
b b k
k b
b b bb b k
k b
R I R I R I E
R I R I R I Eb l n s
R I R I R I E
Este un sistem de ecuații compatibil, având b ecuații și b necunoscute.
Curenții de buclă prin cele b bucle independente sunt notați cu: au
sensuri arbitrar alese și sunt necunoscutele sistemului.
Metoda presupune scrierea unui sistem de ecuații de forma:
' ' '
1 2, , ..., bI I I
7/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
reprezintă resistența proprie buclei independente k și este egală cu suma
aritmetică a tuturor rezistențelor din bucla independentă k (întotdeauna
pozitivă),
kkR
=kj jkR R
Termenii din sistem de forma:
0kkR
reprezintă rezistența comună buclelor independente k și j (pozitivă
dacă curenții fictivi și au același sens prin latura comună și
negativă dacă și au sensuri opuse)
= sau < 0kj jkR R
'
kI'
jI'
kI'
jI
b
k
k b
E suma algebrică a tuturor tensiunilor electromotoare ale surselor care
acționează în bucla independentă k (se păstrează semnificația de la
Teorema a II-a a lui Kirchhoff)
sau < 0b
k
k b
E (este pozitivă, dacă are același sens cu curentul fictiv
din bucla independentă k, negativă în caz contrar)
'
kIkE
8/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Se rezolvă
sistemul de
ecuații
Curenții de buclă (fictivi)
Curenții reali din laturile circuitului,
ca fiind sume algebrice ale
curenților fictivi (de buclă) care ar
parcurge fictiv latura respectivă
RESTRICȚII în aplicarea metodei curenților ciclici (Surse ideale de curent)
Sunt similare cu cele din cazul aplicării metodei teoremelor lui Kirchhoff pentru
circuite electrice care conțin surse ideale de curent:
a)latura care conține sursa ideală de curent va fi obligatoriu cuprinsă într-o singură
buclă independentă, deoarece prin sursa ideală de curent poate să treacă un singur
curent fictiv de buclă;
b)ecuația corespunzătoare buclei independente care conține sursa ideală de curent se
elimină și se înlocuiește în sistemul specific metodei curenților ciclici cu expresia:
valoarea curentului fictiv de buclă egală cu valoarea sursei ideale de curent
se reduce numărul necunoscutelor sistemului specific metodei, de la b necunoscute
la (b-x) necunoscute, unde x reprezintă numărul surselor ideale din circuit
9/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
ETAPELE de aplicare ale metodei curenților ciclici:
1. Se analizează topologic circuitul: b, n, s, l
2. Se introduc curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese;
3. Se introduc curenții fictivi (de buclă) în cele b bucle independente cu sensuri
arbitrar alese;
4. Se scrie sistemul de ecuații corespunzător metodei, format din b= l -n+s ecuații,
având b necunoscute;
5. Se explicitează termenii din sistemul specific metodei;
6. Se rezolvă sistemul de ecuații și se determină curenții fictivi;
7. Se calculează curenții reali din laturile circuitului ca sume algebrice ale
curenților fictivi care concură latura respectivă.
10/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
- se operează cu noi variabile numite „potențialele nodurilor”, egale ca număr cu
numărul nodurilor independente (n-1) ale rețelei
- se alege nodul n ca nod de referință, față de acest nod, celelalte noduri ale rețelei au
potențialele: V1, V2 ... Vk, unde k=n-1
Metoda potențialelor nodurilor (tensiunilor nodale)
- este o metodă duală;
- în sistemul de ecuații corespunzător metodei teoremelor lui Kirchhoff se substituie
necunoscutele astfel: în locul celor l curenți prin laturi se introduc (n-1) potențiale
de noduri, după ce s-a ales arbitrar nodul neutilizat ca origine de potențial (potențial
de referință), = 0nV
- numărul ecuațiilor sistemului, ca și numărul necunoscutelor se reduce astfel de la l
la (n-1), căci ultimele b ecuații ale sistemului specific metodei teoremelor lui
Kirchhoff pentru buclele independente dispar, devenind identități
11/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
+ + + =
+ + + =
+ + + =
1
1
2
1
1
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
, k=n-1
k
k k sc
k N
n k sc
k N
k k kk k sc
k N
G V G V G V I
G V G V G V I
G V G V G V I
Metoda presupune scrierea unui sistem de ecuații de forma:
- necunoscutele sistemului sunt cele (n-1) potențiale: V1, V2 ... Vk, unde k=n-1
12/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Se numește conductanța proprie nodului k și reprezintă suma
conductanțelor laturilor care concură (se leagă) în nodul
independent k , ( întotdeauna pozitivă)
kkG
=kj jkG G
Termenii din sistem reprezintă:
0,kkG
Se numește conductanța mutuală dintre nodurile independente
k și j și reprezintă suma cu semn schimbat a tuturor
conductanțelor laturilor care leagă direct nodul k de nodul j
. (întotdeauna negativă)= < 0kj jkG G
k
k
sc
k N
I - reprezintă curenții de scurtcircuit
- intervin numai în laturile active (sunt injectați de către surse în
nodul respectiv)
- reprezintă suma algebrică a curenților de scurtcircuit injectați de
surse în nodul respectiv, k
13/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
sc
EI EG
R= =
Sursa de tensiune: Sursa de curent:
= +
k k
k k
ksc g
k N k N k
EI I
R
Suma este pozitivă dacă curenții de scurtcircuit sunt injectați în nod (sursele
au sensul orientat (dirijat) înspre nodul considerat), negativă în caz contrar
Determinarea curenților de scurtcircuit injectați de:
14/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Se rezolvă sistemul de ecuații și se obțin valorile necunoscutelor : V1, V2 ... Vk, unde
k=n-1
Curenţii reali din laturile circuitului se determină aplicând pe fiecare latură în
parte Legea lui Ohm:
+ =U E RI
− += 1 2V V E
IR
− + =1 2V V E RI
− =
(sau - )k j kj jk
kj
kj
V V E EI
R
15/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
RESTRICȚII în aplicarea metodei potențialelor nodurilor (Surse ideale de tensiune)
În cazul circuitelor care conțin surse ideale de tensiune metoda se poate aplica cu
următoarele restricții:
1. Dacă în circuit există o sursă ideală de tensiune, atunci unul dintre nodurile laturii
care conține această sursă se alege ca origine de potențial (potențial de referință),
a.î. celălalt nod va avea potențialul egal cu valoarea sursei ideale de tensiune
= 1U E
= −1 0U V V
− =1 0 1V V E=0 0V
=1 1V E
a.î. ecuația corespunzătoare metodei pentru acest nod se va înlocui cu: valoarea
potențialului acestui nod egală cu valoarea sursei ideale de tensiune
16/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
2. Dacă în circuit există mai multe surse ideale de tensiune, apar dificultăți în
aplicarea metodei, a.î. este necesară eliminarea unor surse ideale de tensiune cu
ajutorul Teoremei lui Vaschy (lăsând în circuit doar o sursă ideală de tensiune)
Observații:
1. Surse de curent Calculul curenților reali din laturile circuitului
Dacă în circuit există surse de curent, rezistențele laturilor cu surse de curent se
consideră ∞, deci conductanța laturii va fi egală cu zero, a.î. curentul care parcurge
latura care conține sursa de curent va avea exact valoarea sursei de curent,
indiferent dacă în serie cu sursa de curent mai există alte surse de tensiune sau
rezistențe
2. Surse ideale de tensiune Calculul curenților reali din laturile circuitului
Curentul prin latura cu sursa ideală de tensiune se determină aplicând Teorema I a
lui Kirchhoff pe nodul în care este legată latura cu sursa, după ce s-au determinat
curenții prin celelalte laturi adiacente nodului respectiv
17/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
ETAPELE de aplicare a metodei potențialelor nodurilor
1. Se analizează topologic circuitul;
2. Se introduc curenți prin laturile circuitului cu sensuri arbitrar alese;
3. Se alege un nod drept nod de referință (origine de potențial), față de
care necunoscutele sistemului specific metodei vor fi V1, V2 ... Vn-1
4. Se scrie sistemul de ecuații corespunzător metodei potențialelor nodurilor,
format din (n-1) ecuații;
5. se explicitează termenii din sistem;
6. Se rezolvă sistemul și se determină valorile potențialelor;
7. Se determină curenții din laturile circuitului aplicând Legea lui Ohm pe fiecare
latură în parte:
= 0nV
− =
k j kj
kj
kj
V V EI
R
18/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Teoremele lui Vaschy
Teoreme de rezolvare a circuitelor
electrice de curent continuu
a) Pentru generatoare (surse) de tensiune
Enunț:
Într-un nod al unui cirucit electric se pot introduce pe toate laturile care concură nodul
respectiv, surse de tensiune de aceeași valoare, E și respectiv cu aceeași orientare în
raport cu nodul, prin această operație curenții din circuit rămânând neschimbați
Presupunem că avem un nod cu 4 laturi parcurse de curent:
Teorema lui Vaschy
Conform Teoremei lui Vaschy se introduce pe fiecare latură câte o sursă de aceeași
valoare și aceeași orientare față de nod fără să modific curenții din restul circuitului.
19/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Astfel cu ajutorul Teoremei lui Vaschy se pot elimina sursele de pe laturile circuitului
prin introducerea pe fiecare latură adiacentă unui nod a unei surse de tensiune de
aceeași valoare și orientare inversă față de cea pe care dorim s-o eliminăm
Exemplu:
= = = =1 2 ... nE E E E
=+s e
EI
R Ra.î. ; unde:
=
=1
1 1n
ke kR R
Se consideră că:
20/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Observație:
Pentru a anula efectul sursei E, punem în serie cu ea, o sursă E, de aceeași valoare
și orientare diferită
legătură directă
(scurtcircuit)
b) Pentru generatoare (surse) de curent
Enunț:
Într-o buclă de circuit se pot introduce în paralel cu
laturile aparținătoare buclei surse ideale de curent, ,
de aceeași valoare și orientare în raport cu sensul de
parcurgere al buclei, prin această operație curenții din
circuit rămânând neschimbați
gI
21/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Observație:
Pentru a anula efectul unei surse ideale de curent, punem în paralel cu ea o
sursă de aceeași valoare și orientare diferităgI
gI
Astfel cu ajutorul Teoremei lui Vaschy se pot înlătura sursele ideale de curent din
circuit prin introducerea în paralel cu fiecare latură aparținătoare buclei, a unei
surse ideale de curent de aceeași valoare și orientare în raport cu sensul de
parcurgere al buclei
R →
întrerupere
(mers în gol)
22/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Teorema reciprocității
Enunț:
Dacă într-o latură k a unui circuit există o sursă de tensiune, E și ea produce într-o
latură j a aceluiași circuit un curent I, atunci mutând sursa E în latura j, ea va
produce în latura k aceelași curent I
23/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Teorema superpoziției (suprapunerii efectelor)
Valoarea oricărei variabile (tensiune, curent) poate fi găsită ca sumă (algebrică) a
valorilor produse de fiecare sursă necomandată, când aceasta acționează singură
în rețea, celelalte surse fiind pasivizate
Pasivizarea unei surse reale = înlocuirea cu rezistența (conductanța) sa internă
24/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
legătură directă
(scurtcircuit)
întrerupere
(mers în gol)
La pasivizare: - sursa ideală de tensiune se înlocuiește cu legătură directă
- sursa ideală de curent se înlocuiește cu o întrerupere de circuit
Enunț: Intensitatea curentului electric în orice latură a unui circuit electric liniar, este
suma algebrică a intensităților curenților pe care i-ar stabili prin acea latură
fiecare dintre surse dacă s-ar găsi (ar acționa) singură în circuit
Pasivizarea unei surse ideale
25/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Teoremele generatoarelor echivalente
a) Teorema generatorului echivalent de tensiune (Teorema lui Thevenin)
Presupunem că avem un circuit și dorim să calculăm curentul I pe o singură latură
Un circuit
oarecare
Conform Teoremei lui Vaschy pe orice latură se pot introduce două surse de
tensiune, de aceeași valoare E și orientare diferită fără a afecta curenții din circuit
26/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I27/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Introducem sursa E
conform Teoremei lui
Vaschy
Adunăm sursele cu
aceeași orietare
Bazele electrotehnicii I
Aplicând Teorema superpoziției pe acest circuit determinăm curentul dat de
fiecare dintre surse:ABI
a.î.' ''
AB AB ABI I I= +
28/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Lăsăm activă doar sursa E +EAB Lăsăm activă doar sursa E
Bazele electrotehnicii I
Determinam curentul din primul circuit, curentul '
ABI
0
' (1)ABAB
AB AB
E EI
R R
+=
+
- unde = rezistența echivalentă a circuitului după pasivizare la bornele AB0ABR
29/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
- neavând alte surse în circuit (E =0), partea stângă se va înlocui cu rezistența sa
echivalentă văzută între A și B la mers în gol,0ABR
Circuitul s-a redus astfel
la o singură buclă închisă,
parcursă de curentul ,
care conform Legii lui
Ohm este:
'
ABI
k
Bazele electrotehnicii I
Determinăm curentul din al doilea circuit, curentul''
ABI
(pasivizând sursa și lăsăm toate celelalte surse active )ABE E+ E 0k
Alegem o valoare pentru sursa E, a.î. curentul să
fie egal cu zero.
Dacă:
''
ABI
'' 0ABI = mers în gol0ABE U=
0ABE U=
Astfel pentru:
'' 0 (2)ABI =
0ABU = tensiunea de mers în gol între bornele A și B
30/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
0
0
' '' 0AB AB
AB AB AB
AB AB
U EI I I
R R
= + = +
+
0
0
AB AB
AB
AB AB
U EI
R R
=
+
Teorema lui Thevenin (generatorul echivalent de tensiune) pentru laturi active:
- din (1) și (2) conform Teoremei superpoziției și pentru0ABE U=
31/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
- unde:
0ABU = tensiunea de mers în gol între nodurile A și B
ABR = rezistența laturii AB înainte de pasivizare
0ABR = rezistența echivalentă după pasivizarea circuitului văzută între bornele A și B
ABE = tensiunea dată de sursa de pe latura AB
Bazele electrotehnicii I
Generatorul echivalent de tensiune
Schema echivalentă a generatorului echivalent de tensiune este:
32/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Dacă avem o latură pasivă de circuit:
0ABE =
0
0
AB
AB
AB AB
UI
R R=
+
- unde:
0ABU = tensiunea de mers în gol între nodurile A și B
ABR = rezistența laturii AB înainte de pasivizare
0ABR = rezistența echivalentă după pasivizarea circuitului văzută între
bornele A și B
Teorema lui Thevenin pentru laturi pasive
33/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I
Enunț:
Curentul debitat de o rețea activă liniară, pe o rezistența R, legată între bornele
A și B, este egal cu tensiunea între punctele A și B, la mersul în gol (când ramura cu
rezistența R este întreruptă), împărțită la suma dintre acea rezistență și rezistența
interioară a rețelei pasivizate
ABI
Este o teoremă cu “răspuns într-o singură latură“, deoarece permite calculul
curentului într-o singură latură
ETAPE:
a) Se determină tensiunea între A și B, în gol, (se face mers în gol între A și B, )
și se reface circuitul în concordanță cu aceste observații:
R →
( )0AB k k k
A B
U R I E→
= −
b) Se calculează - rezistența echivalentă după pasivizarea circuitului (văzută
între A și B redesenând circuitul după pasivizare)0ABR
34/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Bazele electrotehnicii I35/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
b) Teorema generatorului echivalent de curent (Teorema lui Norton)
Se demonstrează prin analogie cu Teorema lui Thevenin
Se echivalează sursa de tensiune care formează generatorul echivalent de tensiune
cu o sursă de curent egală cu:
0
0
AB
g
AB
UI
R=
0 0g AB ABI U G=
0
0
1AB
AB
GR
=
Bazele electrotehnicii I36/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Generatorul de tensiune
pentru o latură pasivăGeneratorul de curent
pentru o latură pasivă
Bazele electrotehnicii I37/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
- prin analogie cu Teorema lui Thevenin:
0
0
Thevenin
AB
AB
AB AB
UI
R R=
+0
0
1
1 1Norton
g
AB
AB
AB AB
II
G
G G
=
+
0 0g AB ABI U G=0
0
g
AB
AB
IU
G=
0
00 0 0
0
1 AB ABg g
ABAB ABAB AB AB AB
AB AB
G GI II
G GG G G G
G G
= =+ +
Bazele electrotehnicii I38/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
0
ABAB g
AB AB
GI I
G G =
+
scg ABI I= 0
sc
ABAB AB
AB AB
GI I
G G=
+
- Din circuit: ABAB
AB
IU
G= 0
sc
ABAB
AB AB
AB
AB
GI
G GU
G
+=
0
scAB
AB
AB AB
IU
G G=
+
Bazele electrotehnicii I39/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
- unde: scABI = curentul de scurtcircuit
ABG = conductanța laturii înainte de pasivizare
0ABG = conductanța echivalentă după pasivizarea circuitului văzută între
bornele A și B
0
scAB
AB
AB AB
IU
G G=
+Teorema lui Norton (generatorul echivalent de curent)
Enunț:
Căderea de tensiune produsă pe o rezistență R, legată în latura AB a unei rețele
electrice active, este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al laturii și
suma dintre conductanța laturii și conductanța rețelei pasivizate, calculată la
mersul în gol între punctele A și B
Bazele electrotehnicii I40/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
0
scAB
AB
AB AB
IU
G G=
+
- este o teoremă cu “răspuns într-o singură latură”, deoarece permite calculul
tensiunii la bornele unei laturi de circuit
ETAPE:
a) Se determină curentul de scurtcircuit , (se face scurtcircuit între A și B,
R=0) și se reface circuitul în concordanță cu aceste observații:
(în nodul A) 0 sck AB
k A
I I
=
b) Se calculează - conductanța echivalentă după pasivizarea circuitului
(văzută între A și B redesenând circuitul după pasivizare)0ABG
scABI
Bazele electrotehnicii I
Vă mulţumesc!!!
41/41 Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR