21 Δ < 0 Nu se descompune. Δ = 0 ( ) 2 2 0 ax bx c ax x + += − , unde 0 2 b x a =− Δ > 0 ( ) ( ) 2 1 2 ax bx c ax x x x + += − − , unde 1 2 b x a −−Δ = , 2 2 b x a −+Δ = Semnul funcŃiei de gradul II. În funcŃie de valorile lui Δ distingem cazurile: Δ < 0 x –∞ +∞ f (x) semnul lui a Δ = 0 x –∞ 2 b a − +∞ f (x) semnul 0 semnul lui a lui a Δ > 0 x –∞ x 1 x 2 +∞ f (x) semnul 0 semn 0 semnul lui a contrar lui a lui a Extremul funcŃiei de gradul II. Monotonia funcŃiei de gradul II. 1. Dacă a < 0, atunci funcŃia are un maxim în punctul a b 2 − , valoarea maximă este
Transcript
21
∆ < 0 Nu se descompune.
∆ = 0 ( )22
0ax bx c a x x+ + = − , unde
0 2
bx
a= −
∆ > 0
( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − − , unde
1 2
bx
a
− − ∆= ,
2 2
bx
a
− + ∆=
� Semnul funcŃiei de gradul II. În funcŃie de valorile lui ∆ distingem cazurile:
∆ < 0 x –∞ +∞
f (x) semnul lui a
∆ = 0 x –∞
2
b
a− +∞
f (x) semnul 0 semnul lui a lui a
∆ > 0
x –∞ x1 x2 +∞
f (x) semnul 0 semn 0 semnul lui a contrar lui a
lui a � Extremul funcŃiei de gradul II. Monotonia
funcŃiei de gradul II. 1. Dacă a < 0, atunci funcŃia are un maxim
în punctul a
b
2− , valoarea maximă este
22
a4
∆− , funcŃia este strict crescătoare pe
,2
b
a
−∞ − şi strict descrescătoare pe
,2
b
a
− +∞ .
2. Dacă a > 0, atunci funcŃia are un minim în
punctul a
b
2− , valoarea minimă este
a4
∆− ,
funcŃia este strict descrescătoare pe
,2
b
a
−∞ − şi strict crescătoare pe ,
2
b
a
− +∞ .
� Graficul: este o parabolă care are
∆−−
aa
bV
4,
2.
9. FuncŃia exponenŃială (de bază a)
f : Ρ → (0, ∞), ( ) xaxf = , unde 0>a , 1≠a .
� Rezolvarea ecuaŃiei ax = b, unde 0>a , 1≠a , b ∈ Ρ. 1. Dacă b ≤ 0, atunci ecuaŃia nu admite solu-
Ńii, deci x ∈ ∅. 2. Dacă b > 0, atunci ecuaŃia admite soluŃia
unică x = loga b.
23
� Semnul funcŃiei exponenŃiale: f (x) = ax > 0 (este strict pozitivă), (∀) x ∈ Ρ, a > 0, a ≠ 1.
� Monotonia: Pentru a > 1 ⇒ f este strict crescătoare, adică
pentru x1 < x2 ⇒ 21 xxaa < .
Pentru a ∈ (0, 1) ⇒ f este strict descrescătoa-
re, adică pentru x1 < x2 ⇒ 21 xxaa > .
� Graficul funcŃiei exponenŃiale trece prin punc-tul P(0, 1), adică a0 = 1, (∀) a > 0, a ≠ 1.
ObservaŃie. FuncŃia exponenŃială de bază a este bijectivă, deci inversabilă, inversa acesteia este funcŃia logaritmică de bază a.
10. FuncŃia logaritmică (de bază a)
f : (0, ∞) → Ρ, f (x) = loga x, unde a > 0, a ≠ 1. ObservaŃie Dacă a = e j 2,7182, atunci loge se notează ln. Dacă a = 10, atunci log10 se notează lg. � Rezolvarea ecuaŃiei loga x = b, unde a > 0, a ≠ 1,
b ∈ Ρ. EcuaŃia are soluŃie unică x = ab, (∀) b ∈ Ρ.
� Semnul funcŃiei logaritmice:
a ∈ (0, 1) x 0 1 +∞
loga x | + + + 0 – – –
a ∈ (1, ∞) x 0 1 +∞
loga x | – – – 0 + + +
24
� Monotonia: Este strict crescătoare (pe (0, ∞)) dacă a > 1 şi strict descrescătoare (pe (0, ∞)) dacă a ∈ (0, 1).
ProprietăŃile logaritmilor: Dacă a > 0, a ≠ 1, atunci:
� xaxa =log , (∀) x > 0; xax
a =log , (∀) x ∈ Ρ;
1log =aa ; 01log =a ;
� ( ) yxyx aaa logloglog +=⋅ ,
yxy
xaaa logloglog −= , (∀) x, y > 0;
� xkx ak
a loglog ⋅= , xx
aa log1
log −= ;
xm
x aam log1
log ⋅= , (∀) x > 0;
�
a
xx
b
ba log
loglog = ;
ba
ab log
1log = , (∀) a, b > 0,
a, b ≠ 1. � Graficul funcŃiei logaritmice trece prin punc-
tul P(1, 0), adică loga 1 = 0, (∀) a > 0, a ≠ 1. ObservaŃie. În ecuaŃii sau exerciŃiile în care apar expresii de forma: logA(x) B(x) se impun condiŃiile
de existenŃă:
( )( )( )
>
≠
>
0
1
0
xB
xA
xA
.
25
11. Elemente de combinatorică
Se numeşte mulŃime ordonată, o mulŃime îm-preună cu o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale. Permutări de n elemente, notate cu Pn, reprezin-tă numărul mulŃimilor ordonate formate cu ele-mentele unei mulŃimi cu n elemente. Numărul permutărilor de n elemente este de
( ) ( ) !12321not
nnnnPn =⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= … .
Prin convenŃie 0! = 1. Aranjamente de n elemente luate câte k, notate
knA , reprezintă numărul submulŃimilor ordonate
formate cu k elemente din elementele unei mul-Ńimi cu n elemente. Numărul aranjamentelor de n luate câte k este
( )!!
kn
nAk
n −= , n, k ∈ Ν, 0 ≤ k ≤ n.
Combinări de n elemente luate câte k, notate knC , reprezintă numărul submulŃimilor cu k ele-
mente ale unei mulŃimi cu n elemente. Numărul combinărilor de n luate câte k este
( )!!
!
knk
nC k
n −= , n, k ∈ Ν, 0 ≤ k ≤ n.
26
ProprietăŃi:
� kn
nkn CC −= ; 10 == n
nn CC
� kn
kn
kn CCC 1
11 −−− += ;
� nn
nnnnnn CCCCC 21210 =+++++ −
… ;
� 1531420 2 −=+++=+++ n
nnnnnn CCCCCC …… .
Binomul lui Newton
( )
nnn
nnn
nn
nn
nn
n
k
kknkn
n
bCabCbaC
baCaCbaCba
++++
++==+
−−−
−
=
−∑11222
110
0
…
� Formula termenului general: kknk
nk baCT −+ =1 ; k
nC se numeşte coeficient
binomial � În dezvoltarea (a + b)n se obŃin n + 1 termeni.
� Formula de recurenŃă: 12 1 ++ ⋅+−
= kk Ta
b
k
knT .
Fie A o mulŃime finită cu n ∈ Ν* elemente. Atunci: � numărul submulŃimilor lui A este 2n; � numărul submulŃimilor nevide ale lui A este
2n – 1; � numărul submulŃimilor cu k elemente, unde
k ≤ n, ale lui A este knC .
27
Fie m, n ∈ Ν*, A o mulŃime finită cu n elemente şi B o mulŃime cu m elemente. Atunci: � numărul funcŃiilor definite pe A cu valori în
B este mn; � numărul funcŃiilor injective definite pe A cu
valori în B este nmA , dacă m ≥ n şi 0 în rest;
� numărul funcŃiilor bijective definite pe A cu valori în B este n!, dacă m = n şi 0 în rest.
� numărul funcŃiilor strict crescătoare defini-
te pe A cu valori în B este nmC , dacă m ≥ n şi
0 în rest, analog pentru funcŃiile strict descres-cătoare.
Probabilitatea unui eveniment numărul cazurilor favorabile
numărul cazurilor posibileP = .
12. Numere complexe
Forma algebrică Se numeşte număr complex (în formă algebrică), un număr z de forma iyxz += , unde x, y ∈ Ρ,
i2 = –1, x se numeşte partea reală a lui z şi se notează Re(z), iar yi se numeşte partea imagina-ră a lui z, y se numeşte coeficientul părŃii ima-ginare şi se notează Im(z). MulŃimea numerelor complexe se notează cu Χ. Un număr complex se numeşte pur imaginar dacă este de forma yi,
28
unde y ∈ Ρ* (este nenul şi partea reală este egală cu 0).
Dacă iyxz += , unde x, y ∈ Ρ este un număr
complex, atunci se numeşte conjugatul lui z, numărul complex z x yi= − , se numeşte modu-
lul lui z, numărul real pozitiv 2 2z x y= + .
ObservaŃie. Două numere complexe sunt egale dacă şi numai dacă au atât partea reală cât şi cea imaginară egale.
Fie 1 1 1z x y i= + şi
2 2 2z x y i= + două numere
complexe, atunci:
� 1 21 2
1 2
x xz z
y y
== ⇔
=
OperaŃii cu numere complexe � ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i+ = + + + ,
( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i− = − + − .
� ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x y i x y i x x y y x y x y i⋅ = + + = − + +
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x y i x y i x x y y x y x y i⋅ = + + = − + +
(0, 1, 2, 3 reprezintă de fapt restul împărŃirii lui n la 4). ProprietăŃi ale numerelor complexe: � z ∈ Ρ ⇔ z = z ; z este pur imaginar ⇔ z = – z ; � z + z ∈ Ρ, (∀) z ∈ Ρ; z ⋅ z ∈ Ρ+, (∀) z ∈ Χ;
� 2121 zzzz +=+ , 2121 zzzz −=− , (∀) z1,
z2 ∈ Χ;
� 2121 zzzz ⋅=⋅ , (∀) z1, z2 ∈ Χ, n nz z= ,
2
1
2
1
z
z
z
z=
, (∀) z1, z2 ∈ Χ, z2 ≠ 0;
� zzz ⋅=2
,(∀) z ∈ Χ;
� 0≥z , (∀) z ∈ Χ; 00 =⇔= zz ; zz = ,
(∀) z ∈ Χ;
� 2121 zzzz ⋅=⋅ , (∀) z1, z2 ∈ Χ; nn zz = ,
(∀) z ∈ Χ;
�
2
1
2
1
z
z
z
z= , (∀) z1, z2 ∈ Χ; z2 ≠ 0.
30
Forma trigonometrică Reprezentarea numărului complex z = a + bi sub forma:
z = r(cos α + i sin α),
022 ≥+= bar , α ∈ [0, 2π), se numeşte forma
trigonometrică a lui z, α se numeşte argumen-tul redus a lui z şi se notează cu arg z,
( )
( )
( )
( )
arctg ,dacă 0, 0 CI
barctg ,dacă 0, 0 CII
a
arctg ,dacă 0, 0 CIII
b2 -arctg ,dacă 0, 0 CIV
a
ba b
a
a b
ba b
a
a b
πα
π
π
> > − < >
= + < < > <
0,dacă 0, 0
,dacă 0, 02
,dacă 0, 0
3,dacă 0, 0
2
a b
a b
a b
a b
π
αππ
> = = >
= < =
= <
� Fie z = r(cos α + i sin α) un număr complex.
Atunci ( ) ( )cos 2 sin 2z r i= − + − π α π α
(conjugatul).
81
� Tabel de valori:
x 3− –1 3
3− 0
3
3 1 3−
arctg x –3
π –
4
π –
6
π 0
6
π
4
π
3
π
� Graficul:
4. ( )arcctg : 0,→ πℝ , arcctg x = y ⇔
⇔ x = ctg y; y ∈ (0, π);
( )ctg arcctg x x= , ( ) x∀ ∈ℝ ,
( )arcctg ctg x x= , ( ) ( )0,x∀ ∈ π ;
� ( )arcctg arcctgx x− = π− , ( ) x∀ ∈ℝ ;
� Semnul: este strict pozitivă; � Monotonia: funcŃia arcctg este strict descres-
cătoare; � Tabel de valori:
x 3
3− –1 3−
3
3 1 3− 0
arcctg x 2
3
π
3
4
π
5
6
π
3
π
4
π
6
π
2
π
82
� Graficul:
SoluŃiile ecuaŃiilor trigonometrice fundamentale:
EcuaŃia MulŃimea soluŃiilor
sin x a= S = ∅ ,dacă [ ]\ 1,1a∈ −ℝ
( ){ }1 arcsink
S a k k= − + π ∈ℤ ,
dacă [ ]1,1a∈ −
cos x a=
S = ∅ , dacă [ ]\ 1,1a∈ −ℝ
{ }arccos 2S a k k= ± + π ∈ℤ , dacă
[ ]1,1a∈ −
tg x a= { }arctgS a k k= + π ∈ℤ , ( )a∀ ∈ℝ
ctg x a= { }arcctgS a k k= + π ∈ℤ ,
( )a∀ ∈ℝ
83
ANALIZĂ MATEMATICĂ
Aritmetica în ℝ
( ) ( )+∞ + +∞ = +∞
( ) ( )−∞ + −∞ = −∞
( ) ( )x x+ +∞ = +∞ + = +∞ , ( ) x∀ ∈ℝ
( ) ( )x x+ −∞ = −∞ + = −∞ , ( ) x∀ ∈ℝ
( )x − +∞ = −∞ , ( ) x∀ ∈ℝ
( )x − −∞ = +∞ , ( ) x∀ ∈ℝ
( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞
( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = +∞
( ) ( ) ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ ⋅ +∞ = −∞
( ), dacă 0
, dacă 0
xx
x
+∞ >⋅ +∞ =
−∞ <
( ), dacă 0
, dacă 0
xx
x
−∞ >⋅ −∞ =
+∞ <
0x
=±∞
, ( ) x∀ ∈ℝ
( ) ,dacă 0
,dacă 0
x
xx
+∞ +∞ >=
−∞ <
84
( ) ,dacă 0
,dacă 0
x
xx
−∞ −∞ >=
+∞ <
±∞ = +∞
( )( )+∞+∞ = +∞
( )( )0
−∞+∞ =
( )0 0+∞ =
( )
( ),dacă 1
0,dacă 0,1
xx
x
+∞ +∞ >= ∈
( )
( )0,dacă 1
,dacă 0,1
xx
x
−∞ >= +∞ ∈
( ),dacă 0
0,dacă 0
x x
x
+∞ >+∞ =
<
( )k +∞ = +∞ , ( ) , 2k k∀ ∈ ≥ℕ
( )2 1k− −∞ = −∞ , ( ) , 2k k∀ ∈ ≥ℕ
( )loga +∞ = +∞ , dacă 1a >
log 0a = −∞ , dacă 1a >
( )loga +∞ = −∞ , dacă ( )0,1a∈
log 0a = +∞ , dacă ( )0,1a∈
85
OperaŃii fără sens (nedeterminări)
∞−∞ ±∞±∞
0
0 ( )0 ⋅ ±∞
00 ( )0±∞ 1±∞
22. Şiruri de numere reale
Monotonia şirurilor: • un şir ( )n n
a este strict crescător, dacă există
1n ∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,
n ∗∈ℕ , 1n na a +< .
• un şir ( )n na este strict descrescător, dacă
există 1n ∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,
n ∗∈ℕ , 1n na a +> .
• un şir ( )n na este crescător, dacă există
1n ∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,
n ∗∈ℕ , 1n na a +≤ .
• un şir ( )n na este descrescător, dacă există
1n ∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,
n ∗∈ℕ , 1n na a +≥ .
• un şir este strict monoton dacă este strict crescător sau strict descrescător.
117
( )1
nx a+
( )( )1
1n x a−
− +
( )2
1dx
2x=
+∫
=1
2x− +
+C
1
x ln x
1
x a± ln x a±
1dx
12x=
−∫
= ln 12x − + C
xα
1
1
xα+
α +,
{ }\ 1∗α∈ −ℝ
12dx x
x= +∫ C
ax ln
xa
a
33
ln 3
xxdx C= +∫
2 2
1
x a+
1arctg
x
a a,
0a ≠
2
1
4dx
x=
+∫
= 1
arctg2 2
x+ C
2 2
1
x a−
1ln
2
x a
a x a
−+
,
0a >
2
1
9dx
x=
−∫
= 1 3
ln6 3
x
x
−
++ C
118
1
x a± 2 x a±
1dx
3x=
+∫
= 2 3x + + C
2 2
1
a x− arcsin
x
a,
0a >
2
1
16dx
x=
−∫
= arcsin4
x+ C
2 2
1
x a+ ( )2 2ln x x a+ + ,
0a ≠
2
1
5dx
x=
+∫
= ( )2ln 5x x+ + + C
2 2
1
x a−
2 2ln x x a+ − ,
0a >
2
1
3dx
x=
−∫
= 2ln 3x x+ − + C
2
x
x a+
2x a+ , 0a ≠
2 2
xdx
x=
−∫
= 2 2x − + C
2 2
x
a x−
2 2a x− − , 0a >
23
xdx
x=
−∫
= 23 x− − + C sin x – cos x cos x sin x
119
2
1
sin x –ctg x
2
1
cos x tg x
tg x ln cos x−
ctg x ln sin x
Formula de integrare prin părŃi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫
Formula Leibniz-Newton: Fie [ ]: ,f a b →ℝ o funcŃie continuă, iar
[ ]: ,F a b →ℝ o primitivă a lui f pe [ ],a b .
Atunci: ( ) ( ) ( )dxb
a
f x F b F a= −∫ .
ObservaŃie. Dacă f integrabilă pe [0, 1], atunci
( )1
1 0
1lim dx
n
nk
kf f x
n n→∞=
=
∑ ∫
• Fie [ ]: ,f a b →ℝ ; diviziunea ∆ = (x0, x1, x2,
…, xn) a lui [a, b] ξ = (ξ1, ξ2, …, ξn) sistem de
puncte intermediare, ξi ∈ [xi–1, xi], ∀ ni ,1= .
Atunci suma Riemann asociată funcŃiei f, divizi-unii ∆ şi punctelor intermediare ξ este:
120
σ∆(f, ξ) = f (ξ1)(x1 – x0) + f (ξ2)(x2 – x1) + … +
+ f (ξn)(xn – xn–1) = ∑=
−−ξn
i
iii xxf1
1))(( .
• Dacă ||∆n|| → 0, atunci
∫=ξσ∆∞→
b
a
n
ndxxff
n)(),(lim )( .
ObservaŃii: ∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ;
0)( =∫a
a
dxxf .
Teoreme: 1) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ este mărginită şi are un
număr finit de puncte de discontinuitate, atunci f integrabilă pe [a, b] (Criteriul lui Lebesgue). 2) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ este, f continuă, atunci f
integrabilă pe [a, b]. 3) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ , f monotonă, atunci f in-
tegrabilă pe [a, b].
121
ProprietăŃile integralei definite: 1) Dacă f, g : [ ]: ,f a b →ℝ , f, g integrabile şi
k ∈ Ρ, atunci
∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ;
∫∫ =⋅b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()( .
2) Fie [ ]: ,f a b →ℝ , c ∈ [a, b], f integrabilă pe
[a, b] şi [c, b]. Atunci
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
(proprietatea de aditivitate la interval a integralei). 3) Fie [ ]: ,f a b →ℝ , f integrabilă pe [a, b] şi
f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. Atunci 0)( ≥∫b
a
dxxf (po-
zitivitatea integralei). 4) Dacă f, g : [ ]: ,f a b →ℝ , f, g integrabile pe
[a, b] şi f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b], atunci
∫∫ ≤b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
(monotonia integralei).
Cuprins ALGEBRĂ
1. MulŃimi de numere .................................... 3
![CAZAN PE PELE , BIODOM 27 E - Calduros.ro...biodom 27 e | instruc !lxql gh lqvwdoduh xwlol]duh ûl vqwuh !lqhuh _ versiunea 1.0 din iul. 2014 3 /e y /e y x x x x x x x x x x x x x](https://static.documente.net/doc/80x56/5e2b1b5a0678ef3f622df605/cazan-pe-pele-biodom-27-e-biodom-27-e-instruc-lxql-gh-lqvwdoduh-xwlolduh.jpg)
![Carte Tehnica CAZAN ABUR Bx[1]](https://static.documente.net/doc/80x56/55cf8580550346484b8eb5b9/carte-tehnica-cazan-abur-bx1.jpg)
