21

∆ < 0 Nu se descompune.

∆ = 0 ( )22 0ax bx c a x x+ + = − , unde

0 2

bx

a= −

∆ > 0 ( )( )2 1 2ax bx c a x x x x+ + = − − , unde

1 2

bx

a

− − ∆= , 2 2

bx

a

− + ∆=

� Semnul funcŃiei de gradul II. În funcŃie de valorile lui ∆ distingem cazurile:

∆ < 0 x –∞ +∞

f (x) semnul lui a

∆ = 0 x –∞

2

b

a− +∞

f (x) semnul 0 semnul lui a lui a

∆ > 0

x –∞ x1 x2 +∞

f (x) semnul 0 semn 0 semnul lui a contrar lui a lui a

� Extremul funcŃiei de gradul II. Monotonia

funcŃiei de gradul II. 1. Dacă a < 0, atunci funcŃia are un maxim

în punctul a

b

2− , valoarea maximă este

22

a4

∆− , funcŃia este strict crescătoare pe

,2

b

a

−∞ − şi strict descrescătoare pe

,2

b

a

− +∞ .

2. Dacă a > 0, atunci funcŃia are un minim în

punctul a

b

2− , valoarea minimă este

a4

∆− ,

funcŃia este strict descrescătoare pe

,2

b

a

−∞ − şi strict crescătoare pe ,

2

b

a

− +∞ .

� Graficul: este o parabolă care are

∆−−

aa

bV

4,

2.

9. FuncŃia exponenŃială (de bază a)

f : Ρ → (0, ∞), ( ) xaxf = , unde 0>a , 1≠a . � Rezolvarea ecuaŃiei ax = b, unde 0>a , 1≠a ,

b ∈ Ρ. 1. Dacă b ≤ 0, atunci ecuaŃia nu admite solu-

Ńii, deci x ∈ ∅. 2. Dacă b > 0, atunci ecuaŃia admite soluŃia

unică x = loga b.

23

� Semnul funcŃiei exponenŃiale: f (x) = ax > 0 (este strict pozitivă), (∀) x ∈ Ρ, a > 0, a ≠ 1.

� Monotonia: Pentru a > 1 ⇒ f este strict crescătoare, adică pentru x1 < x2 ⇒ 21

xxaa < .

Pentru a ∈ (0, 1) ⇒ f este strict descrescătoa-re, adică pentru x1 < x2 ⇒ 21

xxaa > .

� Graficul funcŃiei exponenŃiale trece prin punc-tul P(0, 1), adică a0 = 1, (∀) a > 0, a ≠ 1.

ObservaŃie. FuncŃia exponenŃială de bază a este bijectivă, deci inversabilă, inversa acesteia este funcŃia logaritmică de bază a.

10. FuncŃia logaritmică (de bază a)

f : (0, ∞) → Ρ, f (x) = loga x, unde a > 0, a ≠ 1. ObservaŃie Dacă a = e j 2,7182, atunci loge se notează ln. Dacă a = 10, atunci log10 se notează lg. � Rezolvarea ecuaŃiei loga x = b, unde a > 0, a ≠ 1,

b ∈ Ρ. EcuaŃia are soluŃie unică x = ab, (∀) b ∈ Ρ.

� Semnul funcŃiei logaritmice:

a ∈ (0, 1) x 0 1 +∞

loga x | + + + 0 – – –

a ∈ (1, ∞) x 0 1 +∞

loga x | – – – 0 + + +

24

� Monotonia: Este strict crescătoare (pe (0, ∞)) dacă a > 1 şi strict descrescătoare (pe (0, ∞)) dacă a ∈ (0, 1).

ProprietăŃile logaritmilor: Dacă a > 0, a ≠ 1, atunci:

� xaxa =log , (∀) x > 0; xaxa =log , (∀) x ∈ Ρ;

1log =aa ; 01log =a ;

� ( ) yxyx aaa logloglog +=⋅ ,

yxy

xaaa logloglog −= , (∀) x, y > 0;

� xkx ak

a loglog ⋅= , xx

aa log1

log −= ;

xm

x aam log1

log ⋅= , (∀) x > 0;

�

a

xx

b

ba log

loglog = ;

ba

ab log

1log = , (∀) a, b > 0,

a, b ≠ 1. � Graficul funcŃiei logaritmice trece prin punc-

tul P(1, 0), adică loga 1 = 0, (∀) a > 0, a ≠ 1. ObservaŃie. În ecuaŃii sau exerciŃiile în care apar expresii de forma: logA(x) B(x) se impun condiŃiile

de existenŃă:

( )( )( )

>

≠

>

0

1

0

xB

xA

xA

.

25

11. Elemente de combinatorică

Se numeşte mulŃime ordonată, o mulŃime îm-preună cu o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale. Permutări de n elemente, notate cu Pn, reprezin-tă numărul mulŃimilor ordonate formate cu ele-mentele unei mulŃimi cu n elemente. Numărul permutărilor de n elemente este de

( ) ( ) !12321not

nnnnPn =⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= … .

Prin convenŃie 0! = 1. Aranjamente de n elemente luate câte k, notate

knA , reprezintă numărul submulŃimilor ordonate

formate cu k elemente din elementele unei mul-Ńimi cu n elemente. Numărul aranjamentelor de n luate câte k este

( )!!

kn

nAkn −

= , n, k ∈ Ν, 0 ≤ k ≤ n.

Combinări de n elemente luate câte k, notate knC , reprezintă numărul submulŃimilor cu k ele-

mente ale unei mulŃimi cu n elemente. Numărul combinărilor de n luate câte k este

( )!!!

knk

nC kn −

= , n, k ∈ Ν, 0 ≤ k ≤ n.

26

ProprietăŃi:

� kn

nkn CC

−= ; 10 == nnn CC

� kn

kn

kn CCC 1

11 −−− += ;

� nn

nnnnnn CCCCC 2

1210 =+++++ −… ;

� 1531420 2 −=+++=+++ nnnnnnn CCCCCC …… .

Binomul lui Newton

( )

nnn

nnn

nn

nn

nn

n

k

kknkn

n

bCabCbaC

baCaCbaCba

++++

++==+

−−−

−

=

−∑11222

110

0

…

� Formula termenului general: kknk

nk baCT−

+ =1 ; knC se numeşte coeficient

binomial � În dezvoltarea (a + b)n se obŃin n + 1 termeni.

� Formula de recurenŃă: 12 1 ++⋅

+−

= kk Ta

b

k

knT .

Fie A o mulŃime finită cu n ∈ Ν* elemente. Atunci: � numărul submulŃimilor lui A este 2n; � numărul submulŃimilor nevide ale lui A este

2n – 1; � numărul submulŃimilor cu k elemente, unde

k ≤ n, ale lui A este knC .

27

Fie m, n ∈ Ν*, A o mulŃime finită cu n elemente şi B o mulŃime cu m elemente. Atunci: � numărul funcŃiilor definite pe A cu valori în

B este mn; � numărul funcŃiilor injective definite pe A cu

valori în B este nmA , dacă m ≥ n şi 0 în rest; � numărul funcŃiilor bijective definite pe A cu

valori în B este n!, dacă m = n şi 0 în rest. � numărul funcŃiilor strict crescătoare defini-

te pe A cu valori în B este nmC , dacă m ≥ n şi 0 în rest, analog pentru funcŃiile strict descres-cătoare.

Probabilitatea unui eveniment numărul cazurilor favorabile

numărul cazurilor posibileP = .

12. Numere complexe

Forma algebrică Se numeşte număr complex (în formă algebrică), un număr z de forma iyxz += , unde x, y ∈ Ρ, i2 = –1, x se numeşte partea reală a lui z şi se notează Re(z), iar yi se numeşte partea imagina-ră a lui z, y se numeşte coeficientul părŃii ima-ginare şi se notează Im(z). MulŃimea numerelor complexe se notează cu Χ. Un număr complex se numeşte pur imaginar dacă este de forma yi,

28

unde y ∈ Ρ* (este nenul şi partea reală este egală cu 0).

Dacă iyxz += , unde x, y ∈ Ρ este un număr complex, atunci se numeşte conjugatul lui z, numărul complex z x yi= − , se numeşte modu-

lul lui z, numărul real pozitiv 2 2z x y= + .

ObservaŃie. Două numere complexe sunt egale dacă şi numai dacă au atât partea reală cât şi cea imaginară egale.

Fie 1 1 1z x y i= + şi 2 2 2z x y i= + două numere

complexe, atunci:

� 1 21 2

1 2

x xz z

y y

== ⇔

=

OperaŃii cu numere complexe � ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i+ = + + + ,

( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x y y i− = − + − . � ( )( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x y i x y i x x y y x y x y i⋅ = + + = − + +

( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x y i x y i x x y y x y x y i⋅ = + + = − + + � Dacă z2 ≠ 0, atunci

( )( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 11 1 22 2 2 2 2

2 2 2 2 22

x y i x y i x x y y x y x y iz z z

z x y x yz

+ − + + − += = =

+ +

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2

2 2 2 2 2

x y i x y i x x y y x y x y i

z x y x y

+ − + + − += = =

+ +.

29

Puterile lui i: 1, dacă 4 0

, dacă 4 1unde

1, dacă 4 2

, dacă 4 3

n

n k

i n ki k

n k

i n k

= + = +

= ∈− = +

− = +

ℤ

(0, 1, 2, 3 reprezintă de fapt restul împărŃirii lui n la 4). ProprietăŃi ale numerelor complexe: � z ∈ Ρ ⇔ z = z ; z este pur imaginar ⇔ z = – z ; � z + z ∈ Ρ, (∀) z ∈ Ρ; z ⋅ z ∈ Ρ+, (∀) z ∈ Χ;

� 2121 zzzz +=+ , 2121 zzzz −=− , (∀) z1,

z2 ∈ Χ;

� 2121 zzzz ⋅=⋅ , (∀) z1, z2 ∈ Χ, n nz z= ,

2

1

2

1

z

z

z

z=

, (∀) z1, z2 ∈ Χ, z2 ≠ 0;

� zzz ⋅=2

,(∀) z ∈ Χ;

� 0≥z , (∀) z ∈ Χ; 00 =⇔= zz ; zz = ,

(∀) z ∈ Χ;

� 2121 zzzz ⋅=⋅ , (∀) z1, z2 ∈ Χ; nn zz = ,

(∀) z ∈ Χ;

�

2

1

2

1

z

z

z

z= , (∀) z1, z2 ∈ Χ; z2 ≠ 0.

30

Forma trigonometrică Reprezentarea numărului complex z = a + bi sub forma:

z = r(cos α + i sin α),

022 ≥+= bar , α ∈ [0, 2π), se numeşte forma trigonometrică a lui z, α se numeşte argumen-tul redus a lui z şi se notează cu arg z,

( )

( )

( )

( )

arctg ,dacă 0, 0 CI

barctg ,dacă 0, 0 CII

a

arctg ,dacă 0, 0 CIII

b2 -arctg ,dacă 0, 0 CIV

a

ba b

a

a b

ba b

a

a b

πα

π

π

> > − < >

= + < < > <

0,dacă 0, 0

,dacă 0, 02

,dacă 0, 0

3,dacă 0, 0

2

a b

a b

a b

a b

π

αππ

> = = >

= < =

=

81

� Tabel de valori:

x 3− –1 3

3− 0

3

3 1 3−

arctg x –3

π –

4

π –

6

π 0

6

π

4

π

3

π

� Graficul:

4. ( )arcctg : 0,→ πℝ , arcctg x = y ⇔ ⇔ x = ctg y; y ∈ (0, π);

( )ctg arcctg x x= , ( ) x∀ ∈ℝ , ( )arcctg ctg x x= , ( ) ( )0,x∀ ∈ π ;

� ( )arcctg arcctgx x− = π− , ( ) x∀ ∈ℝ ; � Semnul: este strict pozitivă; � Monotonia: funcŃia arcctg este strict descres-

cătoare; � Tabel de valori:

x 3

3− –1 3−

3

3 1 3− 0

arcctg x 2

3

π

3

4

π

5

6

π

3

π

4

π

6

π

2

π

82

� Graficul:

SoluŃiile ecuaŃiilor trigonometrice fundamentale:

EcuaŃia MulŃimea soluŃiilor

sin x a= S = ∅ ,dacă [ ]\ 1,1a∈ −ℝ

( ){ }1 arcsinkS a k k= − + π ∈ℤ , dacă [ ]1,1a∈ −

cos x a=

S = ∅ , dacă [ ]\ 1,1a∈ −ℝ

{ }arccos 2S a k k= ± + π ∈ℤ , dacă [ ]1,1a∈ −

tg x a= { }arctgS a k k= + π ∈ℤ , ( )a∀ ∈ℝ ctg x a= { }arcctgS a k k= + π ∈ℤ ,

( )a∀ ∈ℝ

83

ANALIZĂ MATEMATICĂ

Aritmetica în ℝ

( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ ( ) ( )−∞ + −∞ = −∞

( ) ( )x x+ +∞ = +∞ + = +∞ , ( ) x∀ ∈ℝ ( ) ( )x x+ −∞ = −∞ + = −∞ , ( ) x∀ ∈ℝ ( )x − +∞ = −∞ , ( ) x∀ ∈ℝ ( )x − −∞ = +∞ , ( ) x∀ ∈ℝ

( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞ ( ) ( )−∞ ⋅ −∞ = +∞ ( ) ( ) ( ) ( )+∞ ⋅ −∞ = −∞ ⋅ +∞ = −∞

( ), dacă 0

, dacă 0

xx

x

+∞ >⋅ +∞ =

−∞ ⋅ −∞ =

+∞ =

−∞

84

( ) ,dacă 0,dacă 0

x

xx

−∞ −∞ >=

+∞ = ∈

( )

( )0,dacă 1

,dacă 0,1

xx

x

−∞ >= +∞ ∈

( ),dacă 0

0,dacă 0

x x

x

+∞ >+∞ =

log 0a = −∞ , dacă 1a >

( )loga +∞ = −∞ , dacă ( )0,1a∈ log 0a = +∞ , dacă ( )0,1a∈

85

OperaŃii fără sens (nedeterminări)

∞−∞ ±∞±∞

0

0 ( )0 ⋅ ±∞

00 ( )0±∞ 1±∞

22. Şiruri de numere reale

Monotonia şirurilor: • un şir ( )n na este strict crescător, dacă există

1n∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,

n ∗∈ℕ , 1n na a +< .

• un şir ( )n na este strict descrescător, dacă există 1n

∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,

n ∗∈ℕ , 1n na a +> .

• un şir ( )n na este crescător, dacă există

1n∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,

n ∗∈ℕ , 1n na a +≤ .

• un şir ( )n na este descrescător, dacă există

1n∗∈ℕ astfel încât pentru orice 1n n≥ ,

n ∗∈ℕ , 1n na a +≥ .

• un şir este strict monoton dacă este strict crescător sau strict descrescător.

117

( )1

nx a+

( )( )1

1n x a−

− +

( )21

dx2x

=+

∫

=1

2x− +

+C

1

x ln x

1

x a± ln x a±

1dx

12x=

−∫ = ln 12x − + C

xα

1

1

xα+

α +,

{ }\ 1∗α∈ −ℝ

12dx x

x= +∫ C

ax ln

xa

a

33

ln 3

xxdx C= +∫

2 2

1

x a+

1arctg

x

a a,

0a ≠

2

1

4dx

x=

+∫

= 1

arctg2 2

x+ C

2 2

1

x a−

1ln

2

x a

a x a

−+

,

0a >

2

1

9dx

x=

−∫

= 1 3

ln6 3

x

x

−

++ C

118

1

x a± 2 x a±

1dx

3x=

+∫

= 2 3x + + C

2 2

1

a x− arcsin

x

a,

0a >

2

1

16dx

x=

−∫

= arcsin4

x+ C

2 2

1

x a+ ( )2 2ln x x a+ + ,

0a ≠

2

1

5dx

x=

+∫

= ( )2ln 5x x+ + + C

2 2

1

x a−

2 2ln x x a+ − ,

0a >

2

1

3dx

x=

−∫

= 2ln 3x x+ − + C

2

x

x a+

2x a+ , 0a ≠

2 2

xdx

x=

−∫

= 2 2x − + C

2 2

x

a x−

2 2a x− − , 0a >

23

xdx

x=

−∫

= 23 x− − + C sin x – cos x cos x sin x

119

2

1

sin x –ctg x

2

1

cos x tg x

tg x ln cos x−

ctg x ln sin x

Formula de integrare prin părŃi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫ Formula Leibniz-Newton: Fie [ ]: ,f a b →ℝ o funcŃie continuă, iar

[ ]: ,F a b →ℝ o primitivă a lui f pe [ ],a b .

Atunci: ( ) ( ) ( )dxb

a

f x F b F a= −∫ .

ObservaŃie. Dacă f integrabilă pe [0, 1], atunci

( )1

1 0

1lim dx

n

nk

kf f x

n n→∞ =

=

∑ ∫

• Fie [ ]: ,f a b →ℝ ; diviziunea ∆ = (x0, x1, x2, …, xn) a lui [a, b] ξ = (ξ1, ξ2, …, ξn) sistem de

puncte intermediare, ξi ∈ [xi–1, xi], ∀ ni ,1= . Atunci suma Riemann asociată funcŃiei f, divizi-unii ∆ şi punctelor intermediare ξ este:

120

σ∆(f, ξ) = f (ξ1)(x1 – x0) + f (ξ2)(x2 – x1) + … +

+ f (ξn)(xn – xn–1) = ∑=

−−ξn

i

iii xxf1

1))(( .

• Dacă ||∆n|| → 0, atunci

∫=ξσ∆∞→b

a

n

ndxxff

n)(),(lim )( .

ObservaŃii: ∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()( ;

0)( =∫a

a

dxxf .

Teoreme: 1) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ este mărginită şi are un număr finit de puncte de discontinuitate, atunci f integrabilă pe [a, b] (Criteriul lui Lebesgue). 2) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ este, f continuă, atunci f integrabilă pe [a, b]. 3) Dacă [ ]: ,f a b →ℝ , f monotonă, atunci f in-tegrabilă pe [a, b].

121

ProprietăŃile integralei definite: 1) Dacă f, g : [ ]: ,f a b →ℝ , f, g integrabile şi k ∈ Ρ, atunci

∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ;

∫∫ =⋅b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()( .

2) Fie [ ]: ,f a b →ℝ , c ∈ [a, b], f integrabilă pe [a, b] şi [c, b]. Atunci

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

(proprietatea de aditivitate la interval a integralei). 3) Fie [ ]: ,f a b →ℝ , f integrabilă pe [a, b] şi

f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]. Atunci 0)( ≥∫b

a

dxxf (po-

zitivitatea integralei). 4) Dacă f, g : [ ]: ,f a b →ℝ , f, g integrabile pe [a, b] şi f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b], atunci

∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

(monotonia integralei).

Cuprins ALGEBRĂ

1. MulŃimi de numere .................................... 3

2. MulŃimi ..................................................... 6

3. Metoda inducŃiei matematice .................... 7

4. Radicali, puteri cu exponent raŃional ........ 8

5. Progresii aritmetice şi geometrice ........... 10

6. FuncŃii ..................................................... 13

7. FuncŃia de gradul I .................................. 18

8. FuncŃia de gradul II ................................. 19

9. FuncŃia exponenŃială (de bază a) ............ 22

10. FuncŃia logaritmică (de bază a) ............. 23

11. Elemente de combinatorică ................... 25

12. Numere complexe ................................. 27

13. Polinoame ............................................. 32

14. Matrice şi determinanŃi ......................... 41

15. Sisteme de ecuaŃii liniare ...................... 48

16. Permutări ............................................... 50

17. Legi de compoziŃie. Structuri algebrice ....................................... 52

126

GEOMETRIE

18. Elemente de geometrie sintetică plană .. 60

19. Elemente de geometrie vectorială ......... 61

20. Elemente de geometrie analitică în plan ......................................................... 69

21. Trigonometrie ....................................... 71

ANALIZĂ MATEMATICĂ

22. Şiruri de numere reale ........................... 85

23. Limite de funcŃii .................................... 93

24. FuncŃii continue .................................. 104

25. FuncŃii derivabile ................................ 106

26. Primitive şi integrale definite .............. 115