Capitolul 1

INTRODUCERE ÎN STUDIUL SISTEMELOR AUTOMATE

1.1. Concepte, metode şi principii

Ramura ştiinţei care se ocupă cu studiul metodelor şi mijloacelor prin

intermediul cărora se asigură conducerea proceselor tehnice, fără intervenţia directă a

operatorului uman, poartă denumirea de AUTOMATICĂ. Implementarea practică a

acestor principii, metode şi mijloace de automatizare poartă denumirea de

AUTOMATIZARE.

Conceptul general de SISTEM se utilizează foarte frecvent în diverse domenii

ale ştiinţei şi tehnicii, în economie, în natură şi în societate. Aşa sunt conceptul de

sistem social, sistem economic, sistem de ecuaţii, sistem fizic, sistem dinamic, sistem

informaţional, sistem de conducere, sistem automat, etc.

În automatică, SISTEMUL AUTOMAT este format din:

- obiectul sau procesul automatizat;

- instalaţia (echipamentul) de automatizare

Ansamblul de obiecte materiale care asigură controlul desfăşurării proceselor

tehnice sau altor categorii de procese, fără intervenţia operatorului uman, se numeşte

ECHIPAMENT DE AUTOMATIZARE.

Un sistem poate fi privit ca un model al unui obiect, realizat prin metode

sistemice, în scopul studierii în raport cu variabila independentă timpul.

METODELE de studiu utilizate în automatică, conform [23], [30], şi [31] sunt

următoarele:

- metoda renunţării;

- metoda experimentală;

- metoda analitică;

- metoda sistemică

a) METODA RENUNŢĂRII, conform căreia se renunţă parţial şi temporar la

cunoaştere în scopul desăvârşirii cunoaşterii. Se bazează pe conceptul de “cutie

6

neagră” (black box), cu una sau mai multe intrări xi care se modifică în timp şi se

obţine o ieşire xe sau mai multe, care se modifică în timp (fig. 1.1).

Sistem monovariabil Sistem multivariabil

Fig. 1.1. Conceptul de cutie neagră conform metodei renunţării.

Funcţia f stabileşte o legătură între mărimea de intrare şi mărimea de ieşire,

xe(t)=f[xi(t)] şi poate fi o funcţie logică, algebrică, diferenţială sau complexă.

Dacă, spre exemplu, se consideră un automobil (fig. 1.2) ca o cutie neagră,

atunci drept mărimi de intrare şi de ieşire putem avea:

xi[litri] – consumul de combustibil xe[m] – deplasarea pe

şosea

xi[cm] – apăsarea pedalei de acceleraţie xe[m] – deplasarea pe

şosea

xi[cm] – apăsarea pedalei de frână xe[m] – deplasarea pe şosea

Fig. 1.2. Automobilul conform metodei renunţării.

Metoda renunţării se aplică nu numai la definirea cutiei negre, ci şi la definirea

semnalelor de intrare xi şi a semnalelor de ieşire xe (fig. 1.3).

Prin eşantionare se pierde informaţia conţinută în semnal între momentele

eşantionării, deci se renunţă în mod intenţionat la o parte din informaţie, dar se crează

7

xe(t)xi(t) Cutie neagră

fxi(t) xe(t)

xen(t)

xe2(t)

xin(t)

xi2(t)

xe1(t)xi1(t)

f

xi(t)Automobil

xe(t)

astfel posibilitatea prelucrării numerice a semnalului prin conversia analog-numerică a

eşantioanelor extrase.

Fig. 1.3. Metoda renunţării aplicată semnalelor de intrare şi de ieşire.

Corespunzător celor trei tipuri de semnale, se deosebesc trei tipuri de

sisteme automate:

sisteme automate continue;

sisteme automate discrete logice;

sisteme automate discrete cu eşantionare.

b) METODA EXPERIMENTALĂ are la bază efectuarea de măsurări:

- pe teren la faţa locului;

- pe modele pentru determinarea funcţiei f şi a mărimii de ieşire xe

Pentru ca experimentele să fie comparabile, s-au stabilit semnale de intrare tip

care se pot aplica sistemelor studiate:

- semnal treaptă unitară (Heavyside) care corespunde, spre exemplu,

procedurilor de pornire şi de oprire;8

Semnal eşantionatt – perioada de eşantionare

t

xi(t)xe(t)

Semnale continue de intrare şi de ieşire

Semnale logice (unitatea de măsură este adimensională)

xi(t)xe(t)

“0”

“1”

t

xi(t)xe(t)

t

t

- semnal impuls Dirac;

- semnale logice tip sub forma unor coduri;

- semnal rampă;

- semnal sinusoidal;

- semnal triunghiular;

- semnal trapezoidal.

Considerând cazul automobilului, determinarea experimentală a funcţiei care

face legătura între mărimea de intrare şi mărimea de ieşire (funcţia de transfer pentru

automobil), conduce la obţinerea unei constante de proporţionalitate k. Dacă mărimea

de intrare este consumul de combustibil, iar mărimea de ieşire este distanţa parcursă pe

şosea, se poate scrie:

(1.1)

Deoarece constanta de proporţionalitate k este valabilă pentru regimul

staţionar, atunci această constantă se calculează conform relaţiei (1.2).

(1.2)

c) METODA ANALITICĂ. Se presupune că procesul se poate descompune în

părţi componente tipice, se studiază fiecare subansamblu şi apoi se reconstituie

procesul iniţial.

Apicarea metodei analitice la sistemele continue impune posibilitatea aplicării

principiului superpoziţiei, adică într-o exprimare sintetică efectul sumei este egal cu

suma efectelor. Principiul superpoziţiei poate fi aplicat numai sistemelor liniare, adică

acelor sisteme care au caracteristica statică o dreaptă.

Figura 1.4 ilustrează principiul superpoziţiei (principiul suprapunerii efectelor),

care poate fi enunţat astfel: răspunsul unui sistem liniar, produs de diferite semnale de

intrare care acţionează simultan, este egal cu suma răspunsurilor produse de fiecare

din semnale acţionând separat.

d) METODA SISTEMICĂ presupune aplicarea primelor trei metode, astfel

încât să se pună în evidenţă anumite structuri, elemente şi variabile de stare.

9

Legat de metoda sistemică, se evidenţiază conceptul de legătură inversă, reacţie,

sau “feedback”, un concept de bază în automatică (fig. 1.5).

Fig. 1.4. Principiul superpoziţiei.

Fig. 1.5. Conceptul de legătură inversă (feedback).

Reacţia sau legătura inversă (de la ieşire la intrare) poate fi de tip negativ,

atunci când ieşirea se opune acţiunii intrării, sau de tip pozitiv, atunci când ieşirea se

adună cu intrarea.

Experimental s-a constatat că ieşirea mai depinde şi de starea sistemului. Spre

exemplu, la automobil, este necesară luarea în consideraţie a vitezei de rulare (fig. 1.6)

sau a gradului uzură al automobilului, care sunt mărimi de stare ale sistemului

automobil.

Fig. 1.6. Evidenţierea vitezei automobilului ca mărime de stare.

10

y

x2

x1

y2

y1x1

(x2=0)

x2

(x1=0)

y = y1 +y2

yr

yx

Deplasarea pe şosea

xi [ l ]

Consumulde

combustibilviteza

v [km/h] xe [m]

În general, mărimile de stare caracterizează acumulările de energie, de masă, de

defecţiuni, etc.

1.2. Problemele sistemelor automate

Pentru un sistem automat, reprezentat ca în figura 1.7, se pot ridica următoarele

probleme: analiza, sinteza, testarea, sensibilitatea, optimizarea.

Fig. 1.7. Sistem automat reprezentat sub forma schemei bloc.

a) Problema analizei

Sistemul automat există, se cunoaşte funcţia f, se aplică la intrarea sistemului

mărimea de intrare xi dorită şi se determină variaţiile în timp ale mărimii de ieşire xe,

ceea ce permite determinarea performanţelor sistemului automat.

Pe scurt, problema analizei se poate scrie: xi, f xe

b) Problema sintezei

Sistemul automat trebuie sintetizat (proiectat), deci se determină funcţia f care

face legătura între intrarea xi şi ieşirea xe. Mărimea de ieşire dorită xe rezultă din tema

de proiectare a sistemului automat, în condiţiile în care sunt cunoscute variaţiile în

timp care pot apare pentru mărimea de intrare xi.

Problema sintezei se poate scrie: xi, xe f

c) Problema testării

Sistemul automat a fost proiectat şi implementat şi trebuie testat în vederea

punerii în funcţiune, sau periodic pe durata exploatării. Metoda de testare constă în

aplicarea unor intrări tip care permit evidenţierea şi localizarea defectelor. Se cunosc

funcţia f şi ieşirea xe şi se determină intrarea xi care conduce la o anumită ieşire.

Deci se poate scrie: f, xe xi

Observaţie: mărimile (semnalele) notate cu litere mici sunt întotdeauna funcţii

de timp; de exemplu xi(t) = xi

11

xexi

SAxexi

f

1.3. Funcţiile sistemelor automate

Pentru a putea prezenta funcţiile realizate de către sistemele automate sunt

necesare mai întâi câteve precizări legate de structura unui sistem automat.

Sistemul automat este alcătuit din echipamentul de automatizare EA şi din

instalaţia tehnologică IT în care se desfăşoară procesul P (fig. 1.8). Procesul P este

constituit dintr-un grup de transformări (de masă, de substanţă, de energie, de

informaţie), caracterizate prin unul sau mai mulţi parametri. Procesul se desfăşoară în

scopul realizării unui produs finit. Instalaţia tehnologică constituie partea condusă a

sistemului automat.

Fig. 1.8. Scheme bloc pentru un sistem automat.

Mărimea de intrare xi se notează de obicei cu w şi poartă numele de mărime de

referinţă, sau pe scurt referinţă. Mărimea de ieşire xe se notează de obicei cu y şi poartă

numele de mărime reglată. Valoarea mărimii reglate se stabileşte cu ajutorul referinţei

care se impune sistemului automat.

Structura cel mai frecvent întâlnită pentru un sistem automat este următoarea

(fig. 1.9):

Fig. 1.9. Structura de bază a unui sistem de reglare automată.

12

xexi

SA

v+

_

yr

RA E P

T

w + yC

u m y’ + R

AE P

EA IT (P)

SA

xi (w)

xe

(y)

Semnificaţia blocurilor componente şi a mărimilor ce apar în figura 1.9 este

următoarea: C - comparator, R – regulator automat, E – element de execuţie, P –

proces (instalaţie tehnologică), T – traductor, w – referinţă, yr – reacţie (mărimea

măsurată), - abaterea, u – comanda regulatorului, m – mărimea cu care elementul de

execuţie acţionează asupra procesului, y’ – ieşirea neperturbată, v – perturbaţia, y –

ieşirea perturbată.

În structura sistemului de reglare automată se deosebesc calea directă, pe care

se găsesc R, E, P şi calea inversă (de reacţie) pe care se găseşte T.

Funcţiile sistemelor automate sunt date de funcţiile echipamentelor de

automatizare şi sunt următoarele: funcţia de comandă, funcţia de reglare, funcţia de

măsurare, funcţia de control, funcţia de semnalizare, funcţia de protecţie.

a) Funcţia de comandă ( comanda în buclă deschisă, fără reacţie) este realizată

numai de către calea directă a sistemului automat. Se aplică la intrarea sistemului o

comandă prin modificarea mărimii de referinţă w, iar la ieşire se obţine o valoare y a

ieşirii din sistem. Nu are loc şi o verificare a modului în care y atinge valoarea impusă

cu ajutorul lui w.

Exemplu: Se comandă pornirea unui motor electric, dar operatorul nu dispune

de nici un mijloc de control asupra execuţiei comenzii.

b) Funcţia de reglare (comanda în buclă închisă, cu reacţie) se îndeplineşte

numai dacă există calea de reacţie cu ajutorul căreia se verifică în mod automat

executarea comenzii simple de tipul închis-deschis, sau după o anumită lege de

reglare.

c) Funcţia de măsurare este realizată cu ajutorul căii de reacţie, iar elementul

care realizează această funcţie este traductorul. Asigură o informare cantitativă asupra

parametrilor procesului.

d) Funcţia de control este realizată prin calea de reacţie, dar în mod

discontinuu, pentru sesizarea depăşirii anumitor limite ale parametrilor procesului.

e) Funcţia de semnalizare se realizează optic selectiv şi acustic colectiv.

Realizează o informare calitativă asupra parametrilor procesului.

f) Funcţia de protecţie duce la blocarea sau oprirea funcţionării procesului

atunci când anumiţi parametri depăşesc valorile prestabilite.

13

Capitolul 2

DETERMINAREA MODELELOR MATEMATICE ALE

ELEMENTELOR ŞI SISTEMELOR LINIARE

2.1. Tipuri de semnale utilizate în studiul sistemelor automate

Principalele tipuri de semnale aplicate la intrarea sistemelor de reglare automată

sunt următoarele:

impulsul unitar (Dirac)

treaptă unitară

rampa unitară

semnalul sinusoidal

Impulsul unitar (Dirac), notat cu (t), are valori nule în toate intervalele de

timp, cu excepţia momentului t=0 (momentul aplicării sale), când valoarea sa tinde

către infinit, iar aria cuprinsă între curba de variaţie a impulsului şi axa timpului este

egală cu unitatea (fig. 2.1.a).

(2.1)

a) b)

Fig. 2.1. Semnal impuls Dirac.

14

)(t

tt0

)( t

Dacă impulsul unitar este aplicat la momentul 0, atunci este notat cu t-şi se reprezintă ca în figura 2.1.b.

Treapta unitară, notată cu u1(t), are valori nule pentru t < 0 şi valoarea 1

pentru t > 0, la t = 0 având loc trecerea prin salt între cele două valori (fig. 2.2.a).

0 t ≤ 0

u1(t) = (2.2)

1 t > 0

a) b)

Fig. 2.2. Semnal treaptă unitară.

Dacă treapta unitară este aplicată la momentul ≠ 0, atunci este notată cu u1(t-

şi se reprezintă ca în figura 2.2.b.

0 t ≤ u1(t-) = (2.3)

1 t >

Semnalul se numeşte simplu semnal treaptă, dacă înălţimea treptei are o

valoare oarecare k, diferită de 1 şi se notează u(t).

Rampa unitară se notează v(t), are valori nule pentru t < 0 şi valori v=t pentru

t > 0 (fig.2.3 a). Poartă numele de rampă unitară atunci când unghiul format cu axa

timpului are valoarea de 450.

0 t ≤ 0

v(t) = (2.4)

t t > 0

15

0

u1(t)

t

1

0 τ

)(1 tu

1

t

0 t

v(t)

0 t 0 τ

v(t-)

a b

Fig. 2.3. Semnal rampă.

Dacă rampa este aplicată la momentul 0, atunci este notată cu v(t-) (fig. 2.3.b).

0 t ≤ v(t-) = (2.5)

t t >

Semnalul sinusoidal este utilizat pentru analiza în frecvenţă a sistemelor

automate. Este definit matematic cu ajutorul funcţiei trigonometrice sinus sau cosinus.

A=Amsint A=Amcost (2.6)

Impulsul unitar reprezintă derivata în sens generalizat a treptei unitare:

(t)= (2.7)

Răspunsul unui sistem (sau element) la un impuls unitar este denumit funcţie

pondere. Răspunsul unui sistem (sau element) la o treaptă unitară este denumit

răspuns indicial.

2.2. Modele matematice liniare de tipul intrare-ieşire

16

Stabilirea modelului unui sistem se efectuează pe baza legilor fizicii, mecanicii,

chimiei, electrotehnicii, etc., care definesc funcţionarea elementelor componente.

Întocmirea modelului unui sistem impune evidenţierea unor elemente idealizate care

alcătuiesc sistemul şi în cadrul cărora are loc acumularea, disiparea sau transformarea

de energie. Un asemenea model obţinut este un model fizic. Stabilirea ecuaţiilor de

funcţionare ale fiecărui element idealizat permite întocmirea modelului matematic al

sistemului.

Modelele matematice utilizate în studiul sistemelor automate pot fi de tipul

intrare-ieşire (ecuaţii diferenţiale, funcţii de transfer, caracteristici de frecvenţă) şi de

tipul intrare-stare-ieşire (ecuaţii de stare).

Sistemele studiate în automatizări pot fi de natură electrică, mecanică, termică,

hidraulică, chimică, etc. Pentru un studiu mai comod cu ajutorul modelelor

experimentale, uneori, se recurge la modele analog-electrice. Acestea se pot realiza cu

mai mare uşurinţă şi reproduc suficient de exact comportamentul sistemelor studiate

care sunt de obicei de o natură alta decât cea electrică. Modelele experimentale sub

forma circuitelor electrice conţin de obicei rezistoare R, bobine L şi condensatoare C.

Într-un rezistor are loc disipare de energie, într-o bobină are loc acumulare de energie

cinetică, iar într-un condensator are loc acumulare de energie potenţială.

2.2.1. Modelul matematic al unui circuit electric RC

Modelul matematic va fi de tipul intrare-ieşire şi va fi stabilit sub forma ecuaţiei

diferenţiale. Se consideră un circuit electric RC (fig. 2.4) care funcţionează în gol, deci

curentul la ieşire va fi i2 0. Este cazul în care circuitul electric RC este cuplat la

ieşire cu un echipament electronic de automatizare care are impedanţa de intrare

infinită.

Fig. 2.4. Circuit electric RC.

Rezistorul R este un element de circuit în care are loc disipare de energie, iar

condensatorul este un element în care are loc acumulare de energie potenţială.

Prin aplicarea legilor electrotehnicii circuitului RC, se obţin ecuaţiile:

17

i20

u1 u2C

i1=i R

Circuit RC

u1 u2

u y

u1=uR+uC (2.8)

uR=Ri (2.9)

uC= (2.10)

Tensiunea la ieşirea circuitului este chiar tensiunea la bornele condensatorului,

deci uc=u2 şi tensiunea iniţială la bornele condensatorului este nulă, deci uC0=0. Relaţia

(2.10) devine:

u2= (2.11)

Se derivează relaţia (2.11), = şi se obţine curentul la intrarea

circuitului:

i(t)= C (2.12)

Înlocuim i(t) în (2.9) şi rescriem ecuaţia (2.8).

u1= RC

RC

Notând T = RC , constanta de timp a circuitului se obţine ecuaţia diferenţială

liniară cu coeficienţi constanţi (2.13), care reprezintă modelul matematic al sistemului.

T (2.13)

Conform notaţiilor din figura 2.4, folosite de regulă în sistemele automate, u1 =

u (intrarea) şi u2 = y (ieşirea), modelul matematic se scrie sub forma următoare:

18

T (2.14)

În teoria sistemelor automate, sistemul (elementul) descris printr-o astfel de

ecuaţie diferenţială poartă numele de sistem (element) de ordinul întâi.

2.2.2. Modelul matematic al unui circuit electric RLC

Modelul matematic va fi stabilit sub forma ecuaţiei diferenţiale. Se consideră că

circuitul funcţionează în gol, i2 0.

Fig. 2.5. Circuit RLC.

Elementele circuitului au următoarea semnificaţie: R- disipare de energie,

L- acumulare de energie cinetică, C- acumulare de energie potenţială.

Prin aplicarea legilor electrotehnicii circuitului RLC se obţin ecuaţiile:

u1(t)=uR+uL+uC (2.15)

uR=Ri (2.16)

uL=L (2.17)

uC= (2.18)

19

Circuit RLC

u1 u2

u y

i20

u1 u2C

i1=iR L

Condensatorul se consideră iniţial descărcat, uC0 = 0, se derivează relaţia lui u2 şi

se obţine relaţia lui i(t): . Deoarece în relaţia (2.17) i(t)

apare derivat, . Deci, vom avea prin înlocuire în relaţia (2.15)

u1(t)= (2.19)

care prin ordonare devine

(2.20)

o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi, care este de fapt modelul

matematic al circuitului RLC.

Ecuaţia (2.20) se împarte prin LC:

(2.21)

Se notează:

(2.22)

(2.23)

u1u, u2y (2.24)

Din (2.22) se obţine pulsaţia naturală a sistemului

(2.25)

şi din (2.23) se obţine factorul de amortizare al sistemului

(2.26)

20

Se obţine în final modelul matematic al circuitului RLC sub forma ecuaţiei

diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, obişnuită în teoria sistemelor automate:

(2.27)

Sistemul (elementul) descris printr-o astfel de ecuaţie poartă numele de sistem

(element) de ordinul doi.

2.2.3. Modelul matematic al unui sistem mecanic

cu resort şi amortizor

Considerăm un sistem mecanic compus dintr-o masă inerţială, un resort şi un

amortizor, legate aşa cum se arată în figura 2.6. Modelul matematic va fi stabilit sub

forma ecuaţiei diferenţiale, pornind de la legile mecanicii.

Fig. 2.6. Sistem mecanic studiat.

O forţă exterioară F acţionează brusc asupra sistemului la un anumit moment de

timp şi provoacă o deplasare pe axa x. Masa M este o masă inerţială acumulatoare de

energie cinetică, resortul elastic, caracterizat de constanta de elasticitate k, este

acumulator de energie potenţială de deformaţie şi amortizorul, caracterizat de

coeficientul de frecare vâscoasă f, este un element disipator de energie.

Sub acţiunea forţei F, în sistem apar forţa inerţială F i (2.28), forţa elastică Fe

(2.29) în resort şi forţa de frecare vâscoasă Ff (2.30) în amortizor.

21

Mk

f

x

F

Sistem mecanic

F x

u y

Fi=Ma= (2.28)

Fe=kx (2.29)

Ff=fv= (2.30)

Ecuaţia de echilibru a forţelor pentru sistem este

Fi+Fe+Ff = F (2.31)

care prin înlocuire devine

o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi.

Se împarte ecuaţia prin M:

şi se notează:

pulsaţia naturală,

x = y, F = u

Se obţine:

(2.33)

22

factorul de amortizare,

(2.32)

modelul matematic al sistemului mecanic sub forma ecuaţiei diferenţiale liniare cu

coeficienţi constanţi. Se constată că şi sistemul mecanic studiat este tot un sistem de

ordinul doi.

2.2.4. Modelul matematic al unui transportor cu bandă

Transportorul cu bandă este un utilaj pentru construcţii care reprezintă un

exemplu tipic de proces cu timp mort. Timpul mort TM din modelul matematic pune în

evidenţă întârzierile introduse de procesele fizice cu fenomene de transport de masă

sau energie, care se realizează cu viteze finite.

Modelul matematic va fi stabilit sub forma ecuaţiei diferenţiale.

Fig. 2.7. Transportor cu bandă.

Dacă se consideră, la momentul t, debitul q1(t) de material încărcat pe bandă din

buncăr, atunci transportul acestui material pe banda de lungime L, care se deplasează

cu viteză v, se realizează cu o întârziere

(2.34)

care este chiar timpul mort.

Întrega cantitate de material depusă pe bandă la intrare se va regăsi la ieşirea

benzii, deci debitele q1 şi q2 vor fi egale. Se poate spune că la o mărime de intrare dată

23

u(t)q1(t)

y(t)q2(t)

L

u y

u q1, la momentul t, se obţine o ieşire y q2 după un timp TM, care reprezintă o

întârziere pură (timp mort pur).

q2(t) = q1(t -TM) (2.35)

sau

y(t) = u(t - TM) (2.36)

În unele situaţii, elementul cu timp mort prezintă şi o întârziere de ordinul întâi

sau doi. Modelul matematic al unui proces cu timp mort şi întârziere de ordinul întâi

este de forma:

(2.37)

în care T este constanta de timp (exprimă inerţia procesului) şi k este constanta de

proporţionalitate.

2.2.5. Modelul matematic al unui motor electric de curent continuu

cu excitaţie separată

Un sistem frecvent întâlnit în automatică, fie ca proces supus automatizării, fie

ca element de execuţie, este motorul electric de curent continuu cu excitaţie separată

(fig. 2.8).

Fig. 2.8. Motorul electric ca sistem.

24

ua

iaRa La

Re, Le

ie ue

Maşina de lucru

e

Intensitatea curentului prin excitaţia separată a motorului fiind constantă, ie=ct.,

ecuaţiile care descriu funcţionarea motorului se obţin aplicând teorema a doua a lui

Kirchhoff circuitului de alimentare a motorului (2.38) şi legea echilibrului cuplurilor

(2.39) care intervin în funcţionare.

(2.38)

Cm= Ci + Crez (2.39)

Motorul este privit ca un sistem (fig. 2.9) având drept intrări tensiunea de

alimentare ua şi perturbaţia dată de cuplul rezistent Crez, iar ca ieşire viteza unghiulară

la axul motorului.

Fig. 2.9. Schema bloc a sistemului motor electric.

Cuplul de inerţie Ci este

(2.40)

unde J este momentul de inerţie al maselor aflate în mişcare de rotaţie.

Tensiunea contraelectomotoare e care ia naştere în indusul motorului electric este:

e = Ke

Cuplul motor dezvoltat de motorul electric este:

Cm = Km ia (2.42)

25

Mo

tor

ua

Crez

Ecuaţia (2.39) a cuplurilor devine:

(2.43)

Din ecuaţia (2.43) se obţine curentul ia prin indusul motorului:

(2.44)

care înlocuit în ecuaţia (2.38) conduce la:

(2.45)

Ke,, Km sunt constante de proporţionalitate

Ecuaţia (2.45) reprezintă modelul matematic al motorului electric şi evidenţiază

faptul că motorul, având ca intrare tensiunea de alimentare ua şi ca ieşire viteza

unghiulară , se comportă ca un element cu întârziere de ordinul doi.

Motorul electric este utilizat în sistemele automate ca element de execuţie. Alte

elemente de execuţie electrice, pneumatice, hidraulice sunt descrise de ecuaţii

diferenţiale similare, putând fi elemente cu acţiune proporţională sau integrală, cu

întârziere de ordinul întâi sau de ordinul doi.

2.2.6. Modelul matematic general al unui sistem.

Conceptul de liniaritate

In general, pentru un sistem oarecare (proces supus automatizării), cu intrarea u

şi ieşirea y, se obţine modelul matematic general al sistemului :

(2.46)

În mod necesar an 0, deoarece altfel ecuaţia ar avea alt ordin . Dacă se

consideră an = 1 atunci ecuaţia (2.46) devine:

26

(2.47)

Această ecuaţie reprezintă un model matematic ce poate caracteriza

funcţionarea sistemului în jurul unui punct static de funcţionare. În acest caz,

variabilele u şi y reprezintă abateri în jurul acestuia şi care sunt atât de mici, încât

permit utilizarea unui model matematic liniar.

Conceptul de liniaritate poate fi definit prin principiul superpoziţiei, aplicabil

numai sistemelor liniare (fig. 2.10).

Fig. 2.10. Principiul superpoziţiei aplicat unui sistem.

Răspunsul y(t) al unui sistem liniar, la mai multe intrări u1(t) , u2(t) , … , un(t)

care actionează simultan, este egal cu suma răspunsurilor la fiecare intrare considerată

singură:

Spunem că sistemul este liniar dacă la o intrare

se obţine o ieşire .

Pentru o relaţie generală y(t) = g(u(t)), unde funcţia y(t) este o funcţie continuă

pe întregul domeniu de interes (fig. 2.11), se poate obţine un model liniar aproximativ

dacă se cunoaşte punctul de funcţionare de coordonate (y0, u0).

Prin dezvoltare în serie Taylor a funcţiei y(t) = g(u(t)) în vecinătatea punctului

de funcţionare, se obţine modelul liniarizat.

(2.48)

Notăm

(2.49)

27

u1(t)

u2(t)

un(t)

y

u0

y0

u

y

y = g(u)

Fig. 2.11. Dependenţa intrare-ieşire a unui sistem în general.

panta în punctul de funcţionare şi neglijăm termenii de ordin superior ai dezvoltării în

serie Taylor :

(2.50)

care este un model liniar aproximativ al sistemului.

Aproximarea unui model liniar este determinată de precizia cu care se pot

admite variaţii reduse ale variabilelor dependente în vecinătatea punctului de

funcţionare.

2.2.7. Funcţia de transfer

Un alt model matematic de tipul intrare-ieşire, utilizat pentru caracterizarea

funcţionării sistemelor liniare continue monovariabile se obţine prin utilizarea

transformatei Laplace.

Prin definiţie, funcţia de transfer a unui sistem liniar (se defineşte numai

pentru sistemul liniar) reprezintă raportul între transformata Laplace a variabilei de la

ieşire şi transformata Laplace a variabilei de la intrare, definite în condiţii iniţiale nule

( = 0 pentru i = 0, 1,…, n-1 şi = 0 pentru j = = 0,1,…,m-1 )

(2.51)

28

În cazul în care ecuaţia diferenţială a sistemului este scrisă în jurul unui punct în

regim staţionar, condiţiile iniţiale reprezintă în practică chiar valorile de regim

staţionar.

Deoarece variabila s = + j este o variabilă complexă, atunci şi H(s) este o

funcţie complexă :

(2.52)

Transformata Laplace realizează trecerea unei funcţii reale în timp f(t), într-o

funcţie complexă F(s) :

(2.53)

Se utililizează notaţiile F(s) = £ [f(t)] pentru transformata Laplace directă şi

f(t) = £-1 [f(t)] pentru transformata Laplace inversă. F(s) poartă numele de funcţia

imagine şi f(t) poartă numele de funcţia original.

În domeniul timp, funcţia de transfer nu are echivalent pentru studiul sistemelor

şi astfel se explică importantele facilităţi de studiu datorate utilizării transformatei

Laplace şi a proprietăţilor sale.

Funcţia de transfer reprezintă un model funcţional de tipul intrare–ieşire, care se

poate obţine şi prin aplicarea transformatei Laplace ecuaţiei diferenţiale ce

caracterizează sistemul. Utilizând teorema derivării originalului şi aplicând

transformata Laplace în ambii membrii ai ecuaţiei diferenţiale ( 2.47), obţinem :

În condiţii iniţiale nule

(2.54)

ceea ce conduce la:

(2.55)

29

de unde :

(2.56)

funcţia de transfer a unui sistem sub forma generală.

În continuare se vor stabili funcţiile de transfer, pornind de la ecuaţiile

diferenţiale determinate anterior, pentru sistemul de ordinul I, sistemul de ordinul II,

elementul cu timp mort şi sistemul cu întârziere de ordinul I cu timp mort.

a) Sistemul (elementul) de ordinul I

Ecuaţia diferentială a fost dedusă în paragraful 2.2.1. pornind de la circuitul

electric RC.

(2.57)

Se aplică teorema derivării originalului şi transformata Laplace în ambii

membri ai ecuaţiei diferenţiale. În condiţii iniţiale nule avem :

(2.58)

din care se obţine funcţia de transfer conform definiţiei

(2.59)

sau în general pentru un sistem de ordinul I

(2.60)

b) Sistemul (elementul) de ordinul II

30

Ecuaţia diferentială a fost dedusă în paragraful 2.2.2. pornind de la circuitul

electric RLC, sau în paragraful 2.2.3. pornind de la sistemul mecanic cu resort şi

amortizor.

(2.61)

Se aplică teorema derivării originalului şi transformata Laplace ambilor membri

ai ecuaţiei diferenţiale. În condiţii iniţiale nule se obţine:

(2.62)

(2.63)

funcţia de transfer a sistemului de ordinul II.

c) Sistemul (elementul) cu timp mort

Relaţia intrare-ieşire în domeniul timp a fost stabilită în paragraful 2.2.4. pentru

un transportor cu bandă. Modelul matematic pune în evidenţă întârzierile introduse de

procesele fizice cu fenomene de transport de masă sau energie, care se realizează cu

viteze finite. Întârzierile se concretizează prin timpul mort TM.

(2.64)

Aplicăm transformata Laplace şi se obţine:

(2.65)

de unde rezultă funcţia de transfer pentru elementul cu timp mort

(2.66)

31

d) Elementul de întîrziere de ordinul I cu timp mort

Modelul matematic al unui proces cu timp mort şi întârziere de ordinul I este de

forma:

(2.67)

Procedând similar cazurilor precedente avem:

(2.68)

(2.69)

funcţia de transfer pentru sistemul cu timp mort şi întârziere de ordinul I.

2.2.8. Transformata Laplace

O funcţie reală f(t) de o variabilă reală t > 0 admite o transformată Laplace

definită, conform [14], prin relaţia

£f(t)=F(s)=

(2.70)

0 < ε < T

unde s este o variabilă complexă definită prin s=σ+jω, σ şi ω sunt variabile reale şi j

.

Limita inferioară a integralei de definiţie a transformatei Laplace a funcţiei f(t)

t = ε >0 este folosită pentru funcţii care prezintă discontinuităţi la t=0. Funcţia f(t)

32

admite o transformată Laplace F(s) dacă este univocă pentru t >0 şi F(σ) este absolut

convergentă pentru orice σ0 şi pentru Re(s) > σ0.

, 0 < ε < T

(2.71)

Funcţia e –t este transformabilă Laplace deoarece

dacă 1+σ0 >0 sau σ0 > -1.

Transformata Laplace transformă o problemă din domeniul real al timpului în

domeniul variabilei complexe s. Pentru trecerea inversă din domeniul complex în

domeniul real se foloseşte transformata Laplace inversă definită prin integrala de

contur

£-1[F(s)]=f(t)= (2.72)

unde c >σ0 .

În continuare se prezintă tabelul 2.1 cu transformatele Laplace cele mai mult

folosite în automatică.Tabelul 2.1

Funcţia în domeniul

real f(t)

Transformata Laplace

F(s)

1

e -nTs

33

2.3. Identificarea proceselor 2.3.1. Probleme generale ale identificării

Modelul matematic al procesului supus automatizării este necesar pentru

elaborarea strategiei de conducere automată şi reprezintă forma cea mai evoluată de

exprimare a caracteristicilor instalaţiei tehnologice. Ansamblul de metode şi procedee

prin care se urmăreşte obţinerea unor modele matematice cât mai reprezentative pentru

procesele investigate poarta denumirea de identificarea proceselor.

Identificarea urmăreşte stabilirea caracteristicilor statice şi dinamice ale

procesului. În funcţie de proces şi de gradul de precizie impus pentru modelul

matematic, sunt cunoscute mai multe metode teoretice şi experimentale pentru

identificarea proceselor .

Identificarea teoretică (analitică) are la baza legile care determină funcţionarea

proceselor şi modelele obţinute în acest mod au în general un domeniu mare de

validitate. Dezavantajele identificării analitice sunt timpul mare cerut de o astfel de

abordare şi faptul ca modelele obţinute analitic sunt în general foarte complicate.

Identificarea experimentală constă în determinarea unui model pentru proces

din date de intrare–ieşire şi experienţa a arătat ca o astfel de abordare conduce în

general la modele matematice simple. Majoritatea metodelor de identificare

experimentală presupun modele liniare, deci validitatea acestora este limitată la

“excursii” mici în jurul unui punct de funcţionare .

Identificarea experimentală, care determină modelul matematic pe baza datelor

de intrare-ieşire ale procesului, prezintă avantajul că utilizează aceleaşi metode şi

tehnici pentru cele mai diferite tipuri de procese. Prin prelucrarea datelor de intrare-

ieşire se obţin modele funcţionale care descriu numai componentele intrare–ieşire ale

procesului, modele cu largă aplicabilitate în proiectarea sistemelor de reglare

automată.

În cazul instalaţiilor tehnologice în care se desfăşoară procese rapide, cum sunt

prin excelenţă acţionările electrice, identificarea se efectuează uşor şi cu un grad

ridicat de precizie, deoarece ecuaţiile diferenţiale care descriu funcţionarea maşinilor

electrice sunt determinate în literatura de specialitate (identificare teoretică).

34

Mult mai complicată este identificarea proceselor lente, care reprezintă

majoritatea proceselor supuse automatizării. Descrierea matematică a acestor procese

poate fi obţinută numai în mod aproximativ, cu o precizie sensibil mai redusă decât în

cazul proceselor rapide. Există o mare varietate de procese lente pentru care nu există

ecuaţii gata stabilite prin care să se descrie matematic aceste procese, cu excepţia unui

număr redus de cazuri. În al doilea rând, stabilirea acestor ecuaţii este deosebit de

dificilă datorită complexităţii instalaţiilor şi al numărului mare de factori care intervin,

iar ecuaţiile obţinute sunt complicate.

Datorită consideraţiilor menţionate, metodele experimentale joacă un rol

preponderent în identificarea proceselor lente, însă gradul de precizie al identificării

este cu mult mai redus decât în cazul proceselor rapide.

2.3.2. Identificarea experimentală a proceselor pe baza răspunsului indicial

Identificarea experimentală se poate realiza prin aplicarea la intrarea procesului

a unor semnale speciale cunoscute sub numele de semnale de probă.

Modelele construite pe baza răspunsului indicial sunt modele ale ansamblului

format din procesul tehnologic, traductorul şi elementul de execuţie (partea fixată a

sistemului automat). Semnalul de intrare, sub forma unei comenzi, se aplică

elementului de execuţie, iar variabila măsurată se obţine la ieşirea traductorului (fig.

2.12).

Fig. 2.12. Partea fixată a sistemului automat supusă identificării

Funcţia de transfer a părţii fixate se notează cu HF(s) şi este dată de relaţia

(2.73)

Se înţelege prin răspuns indicial al unui proces dintr-o instalaţie, variaţia în

timp a mărimii de ieşire y1(t) atunci când la intrare se aplică un semnal treaptă unitară

u1 (t) .35

E P T

u y

După aspectul răspunsului indicial se deosebesc procese cu autoreglare (fig.

2.13a) şi procese fără autoreglare (fig. 2.13b). Pentru prima categorie funcţia de

transfer HF(s) nu are poli în origine, în timp ce la a doua categorie există un pol în

origine.

Dacă expresia de la numitorul funcţiei de transfer se egalează cu zero,

rădăcinile acestei ecuaţii poartă numele de poli. Dacă expresia de la numărătorul

funcţiei de transfer se egalează cu zero, rădăcinile acestei ecuaţii poartă numele de

zerouri.

Fig. 2.13. Procese cu şi fără autoreglare.

Există mai multe variante de obţinere a funcţiei de transfer HF(s) după aspectul

răspunsului indicial y1(t) al procesului. În cadrul acestor variante se stabilesc relaţii sau

metode grafo-analitice de trecere de la ordonatele răspunsului indicial corespunzător

diferitelor valori ale timpului, la coeficienţii care intervin în funcţia de transfer HF(s) .

Aparatura necesară pentru identificarea pe baza răspunsului indicial este simplă,

fiind compusă dintr-un generator de semnal şi un înregistrator. Numărul încercărilor

experimentale este funcţie de nivelul perturbaţiilor care acţionează asupra sistemului,

recomandându-se 3…5 testări chiar şi în cazul unor perturbaţii neglijabile.

O metodă des folosită pentru identificarea proceselor este utilizarea unor

modele cu funcţii de transfer tipice, de dimensiune redusă, acceptabile pentru un

număr destul de mare de procese tehnologice. Metoda este folosită în cazul proceselor

36

y1

a

y1()

u1

t0

0 tt

y1

b

u1

t0

0

lente şi foarte lente, la care răspunsul indicial este supraamortizat. Drept funcţii de

transfer tipice se utilizează de obicei una din formele:

;

(2.74)

În cazul acestor modele apare timpul mort TM, care este prezent în majoritatea

proceselor lente .

2.3.3. Identificarea prin metoda Küpfmuller

Metoda presupune obţinerea pe cale experimentală a graficului răspunsului

indicial al părţii fixate şi trasarea tangentei la grafic prin punctul de inflexiune I al

acestuia (fig. 2.14). Se stabilesc punctele de intersecţie A şi B ale acestei tangente cu

axa timpului, respectiv cu orizontala valorii staţionare y( ) = yst. Se consideră că

procesul tranzitoriu real poate fi înlocuit prin unul caracterizat de un timp mort

echivalent TM şi o constantă de timp TF , valoarea lui TM fiind egală cu intervalul OA ,

iar valoarea lui TF cu intervalul AB’.

Fig. 2.14. Identificarea prin metoda Küpfmuller.

37

0 tTFTM

I

B’

B

y

yst

A

I

Astfel, pentru un răspuns indicial de tipul celui prezentat în figura 2.14 se poate

aproxima funcţia de transfer a procesului identificat conform metodei Küpfmuller sub

forma:

(2.75)

unde factorul de amplificare al părţii fixate KF se calculează cu ajutorul relaţiei :

(2.76)

Din punctul de vedere al proiectării sistemelor automate (acordarea

regulatorelor) este important, în primul rând, ca aproximarea să fie bună în porţiunea

iniţială a răspunsului indicial.

2.3.4. Identificarea prin metoda Strejc

Metoda Küpfmuller aproximează grosier începutul răspunsului indicial. Un

grad mai ridicat de precizie îl prezintă identificarea care conduce de la un răspuns

indicial aperiodic la o funcţie de transfer de forma :

(2.77)

Această aproximare se bazează pe faptul ca funcţia de transfer a unui sistem

caracterizat de n constante de timp poate fi cu bună precizie aproximată printr-o

funcţie de transfer conţinând de n ori o aceeaşi constantă de timp.

Răspunsul indicial al părţii fixate, conform metodei Strejc, poate fi prelucrat ca

în figura 2.15.

Ordinul n al funcţiei de transfer (2.77) se stabileşte conform [22], pornind de la

valoarea raportului Tb/Tc , folosind tabelul 2.2.

Tabelul 2.2

0

38

Tb/Tc 0,104 0.218 0.319 0.410 0.493 0.570

n 1 2 3 4 5 6 7

Fig. 2.15. Identificarea prin metoda Strejc.

Timpul mort pur al părţii fixate este TM = Ta , iar constanta de timp TF se calculează cu

relaţia :

(2.78)

Identificarea prin metoda Strejc poate fi utilizată cu o precizie mai bună decât

identificarea Küpfmuller, dar şi aici există dezavantajul unei stabiliri imprecise a

poziţiei punctului de inflexiune I pe graficul răspunsului indicial. Din acest motiv este

recomandată varianta de identificare Strejc [30], [31] prezentată în continuare, care nu

ţine seama de poziţia punctului de inflexiune pe grafic.

Funcţia de transfer a părţii fixate este dată de aceeaşi relaţie (2.77), dar

răspunsul indicial de la care porneşte procedura de identificare se prelucrează conform

figurii 2.16.

Timpul mort este dat de lungimea segmentului a:

TM = a (2.79)

Ordinul n al sistemului se stabileşte cu ajutorul relaţiei

39

t

t0

IKF

TC

yst

y

Ta Tb0

(2.80)

ca valoare rotunjită în plus dacă valoarea numerică după virgulă a parantezei este mai

mare de 0,5 şi ca valoare rotunjită în minus dacă valoarea numerică după virgulă a

parantezei este mai mica decât 0,5 .

Fig. 2.16. Identificarea Strejc fără stabilirea punctului de inflexiune.

Odată stabilite grafic valorile a, b, c şi calculat ordinul n al funcţiei de transfer,

se determină constanta de timp TF a procesului folosind tabelul 2.3

Tabelul 2.3

n 1 2 3 4 5 6

c/TF 1 2.7 3.7 4.46 5.12 5.7

şi factorul de amplificare a părţii fixate folosind relaţia (2.76).

Ambele metode de identificare Strejc au dezavantajul aproximărilor specifice

metodelor grafice şi al aproximării ordinului n al sistemului.

40

yinit

0

t

t

u

c

a b

yst

y

1

După determinarea funcţiei de transfer HF(s) a părţii fixate, se trece la ultima

etapă a identificării care este verificarea modelului obţinut. Pentru aceasta, atât pentru

funcţia de transfer Küpfmuller, cât şi pentru funcţia de transfer Strejc, se calculează

funcţia indicială a modelului, se trasează grafic şi se compară cu răspunsul indicial

obţinut experimental.

Capitolul 3

3. ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATĂ

LINIARE ŞI CONTINUE

3.1. Generalităţi privind sistemele automate

Ansamblul format din procesul supus automatizării şi mijloacele tehnice care

asigură automatizarea acestuia constituie un sistem automat. O reprezentare

funcţională a unui sistem automat este arătată în figura 3.1.

Fig. 3.1. Sistem automat. Reprezentare funcţională.

Procesul condus, reprezentat ca un sistem cu intrările u şi vi şi ieşirea y, este

supus acţiunii comenzii u generate de echipamentul de automatizare şi acţiunii

mărimilor exogene vi,, care reprezintă perturbaţii. Perturbaţiile care acţionează asupra

proceselor pot fi aditive sau parametrice. Acţiunea perturbaţiilor aditive se cumulează

41

Procescondus

wu y

yr

v1 v2 vn

Echipament de automatizare (Regulator)

la ieşire cu acţiunea comenzii u, pe când perturbaţiile parametrice se concretizează în

modificări structurale ale procesului.

Sistemul automat îşi îndeplineşte cu succes sarcinile impuse dacă abaterea sau

eroarea de reglare , definită ca fiind diferenţa dintre referinţa w şi ieşirea măsurată yr

conform relaţiei:

(3.1)

atinge valoarea nulă în regimul staţionar, indiferent de acţiunea mărimilor exogene

care acţionează asupra procesului condus. Această condiţie se exprimă matematic

astfel:

(3.2)

Un astfel de sistem poartă denumirea de sistem de reglare automată (SRA).

3.2. Structuri de sisteme de reglare automată

Orice sistem automat conţine o reacţie negativă stabilizatoare, prin intermediul

căreia se realizează un control permanent al efectelor acţiunilor de comandă. Principiul

reacţiei este fundamental pentru înţelegerea funcţionării sistemelor automate şi

evidenţierea lui a constituit actul de naştere al automaticii.

3.2.1. Structura clasică cu un regulator

Sistemul funcţionează pe principiul minimizării abaterii sau erorii de reglare . Structura de reglare (fig. 3.2) este cea mai simplă şi este utilizată acolo unde procesele

supuse automatizării nu ridică probleme deosebite în atingerea performaţelor impuse

sistemului automat.

42P

T

v2

w uR

mE

y

yr

C

v1 vn

+

-

Fig. 3.2. Structura de reglare clasică.

Semnificaţia blocurilor componente şi a mărimilor ce apar în figură este

următoarea: C - comparator, R – regulator automat, E – element de execuţie, P –

proces (instalaţie tehnologică), T – traductor, w – referinţă, yr – reacţie (mărimea

măsurată), - abaterea, u – comanda regulatorului, m – mărimea cu care elementul de

execuţie acţionează asupra procesului, v1, v2,..,vn – perturbaţiile, y – ieşirea reglată.

Valoarea mărimii reglate y se stabileşte cu ajutorul referinţei w. Aducerea

valorii lui y la valoarea impusă prin w se asigură de către regulatorul R, care

elaborează o comandă în tensiune u, aplicată elementului de execuţie E. Elementul de

execuţie, prin mărimea m (de obicei de natură mecanică), acţionează asupra procesului

modificând mărimea reglată y în sensul dorit. Valoarea lui y este măsurată cu ajutorul

traductorului T şi convertită în semnalul electric yr , care prin calea de reacţie negativă

este adusă la intrarea sistemului în comparatorul C. Diferenţa dintre referinţa w şi

măsura yr este abaterea ε, un semnal electric care se aplică regulatorului R. Dacă ε ≠ 0

(ε >0 sau ε<0) regulatorul elaborează o comandă sub forma unui semnal electric u pe

baza legii de reglare (algoritmului de reglare) implementate în structura regulatorului,

până când y atinge valoarea impusă de referinţa w. Dacă ε = 0 abaterea este nulă (w =

y) atunci şi comanda regulatorului este de asemenea nulă.

Diferenţele dintre referinţă şi mărimea reglată apar ca urmare a modificării

valorii mărimii de referinţă sau prin acţiunea perturbaţiilor.

Ţinând seama de sensul fluxului informaţional, regulatorul R, elementul de

execuţie E şi procesul tehnologic P, formează calea directă a sistemului automat, iar

traductorul calea de reacţie.

3.2.2. Structura de reglare în cascadă

O structură de sistem de reglare automată cu largă aplicabilitate este structura

de reglare în cascadă. Este utilizată atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul

proceselor lente cu timp mort. Prezenţa unui număr mare de constante de timp în

43

funcţia de transfer a procesului face dificilă utilizarea unor algoritmi de reglare tipizaţi

[14].

Pentru procesele tehnologice la care se pot evidenţia mărimi intermediare

măsurabile, iar funcţia de transfer a procesului poate fi scrisă ca un produs de funcţii

de transfer care nu conţin mai mult de două constate de timp, se recomandă reglarea în

cascadă. Admiţând că procesul condus este decompozabil în subprocese interconectate

cauzal, cu variabile intermediare accesibile măsurării şi cu dinamică descrescătoare de

la intrare spre ieşire, se poate alcătui o structură de reglare în cascadă folosind un

număr de regulatoare egal cu numărul variabilelor măsurate din proces [10].

În cazul reglării în cascadă are loc o reglare simultană a mai multor mărimi din

cadrul procesului, ceea ce determină o reducere însemnată a duratei procesului

tranzitoriu, mai ales dacă mărimile intermediare sunt alese astfel încât să răspundă mai

repede decât mărimea de ieşire la perturbaţiile care acţionează asupra procesului.

În figura 3.3. este prezentată o structură de reglare în cascadă cu două variabile

y1 şi y2. Sistemul este format din două sisteme simple de reglare în serie (sau în

cascadă).

Fig. 3.3. Structura de reglare în cascadă

Bucla de reglare exterioară este bucla principală (controlează mărimea reglată)

şi bucla de reglare interioară este bucla secundară (controlează variabila intermediară).

Cele două subprocese sunt conectate cauzal şi mărimea de execuţie determină

cauzal evoluţia variabilei intermediare y2, care la rândul ei determină cauzal evoluţia

variabilei de ieşire y1 din proces. Regulatorul automat secundar, cu funcţia de transfer

HR2(s), este destinat reglării variabilei y2 şi compensării acţiunii perturbaţiei v2, iar

regulatorul principal cu funcţia de transfer HR1(s) are rolul de a asigura realizarea

funcţiei de reglare în raport cu referinţa w. De asemenea furnizează referinţa pentru

44

HE(s)

HT2(s)

HT1(s)

V2(s) V1(s)

Y1(s)E1(s) U1(s) E2(s)

HR2(s)

U2(s) Y2(s)

HP1(s)HP2(s)

Yr1(s)

HR1(s)

Yr2(s)

W(s)+

_ _

regulatorul secundar. Cele două regulatoare din cadrul acestei structuri funcţionează în

regim de urmărire (master–slave), adică mărimea de comandă a regulatorului principal

este mărimea de referinţă pentru regulatorul secundar. Se recomandă ca bucla

interioară să aibă o viteză de răspuns mai mare decât bucla principală.

Acordarea regulatoarelor în cadrul structurilor de reglare în cascadă se iniţiază

cu bucla interioară, deconectând regulatorul principal şi se continuă cu regulatorul

principal, folosind procedurile de acordare specifice [6], [14], [16], [22].

Exemplu: Sistem de reglare automată a turaţiei unui motor de curent continuu

(fig. 3.4).

Motorul de c.c. (procesul) este cu excitaţie independentă şi este comandat pe

indus. Elementul de execuţie este o punte cu tiristoare şi este un redresor comandat.

Regulatorul principal este un regulator de tensiune care controlează tensiunea aplicată

indusului motorului, iar regulatorul secundar este un regulator de curent care

controlează intensitatea curentului prin indus. Traductorul principal este un

tahogenerator care furnizează o tensiune proporţională cu turaţia motorului, iar

traductorul secundar este un transformator de curent care măsoară curentul prin indus.

Fig. 3.4. Schema generală de reglare în cascadă a turaţiei unui motor de c. c.

Mărimea de referinţă pentru turaţie U este furnizată de un traductor de valoare

prescrisă şi este comparată cu valoarea efectivă a turaţiei, care este măsurată şi

transmisă prin calea de reacţie de un generator tahometric. Mărimea de ieşire a

45

Tahogenerator

U* UcReg

ulat

orde

cur

ent

IA

Reg

ulat

orde

tura

ţie

Ele

men

t pen

tru

pres

crie

rea

tura

ţiei

M

n

+-

+-

Transformatorde curent

Blo

c de

com

andă

pe

gril

ă a

tiri

stoa

relo

r

regulatorului de turaţie reprezintă valoarea prescrisă pentru regulatorul de curent

rotoric.

Valoarea efectivă a acestei mărimi reglate auxiliare IA este sesizată de

traductorul pentru curentul rotoric şi este transmisă la intrarea regulatorului de curent.

Regulatorul curentului rotoric produce o tensiune continuă de comandă Uc , care prin

intermediul unui echipament de emitere a impulsurilor pentru aprinderea tiristoarelor

comandă redresorul şi modifică prin acesta tensiunea de alimentare a motorului de

curent continuu.

Procesul supus automatizării în acest caz este motorul electric, al cărui model

matematic a fost stabilit în capitolul 2 sub forma ecuaţiei diferenţiale. Funcţia de

transfer HP(s) a motorului (procesul) descompusă în HP1(s) şi HP2(s) pentru reglarea în

cascadă este calculată în [6], [14], [16].

Un alt exemplu de sistem de reglare în cascadă specific proceselor din

construcţii se prezintă în capitolul 4, care este sistemul de reglare automată a debitului

la un transportor cu bandă.

3.2.3. Structura de reglare după perturbaţie şi structura

de reglare combinată

Spre deosebire de structura convenţională de reglare după abatere, reglarea

după perturbaţie prezintă avantajul că acţiunea de compensare a efectului perturbaţiei

se elaborează înainte de apariţia unei abateri între valoarea dorită a mărimii de ieşire şi

valoarea reală a acesteia, evitându-se astfel întârzierea introdusă în întreaga buclă de

reglare în transmiterea semnalelor de comandă.

Pentru determinarea precisă a algoritmului de reglare după perturbaţie trebuie

cunoscut cu precizie modelul matematic al procesului, precum şi funcţia de transfer

care stabileşte corespondenţa între ieşire şi perturbaţie. De asemenea, mărimea

perturbatoare trebuie să fie accesibilă măsurării.

Pe de altă parte, reglarea după perturbaţie nu poate înlocui reglarea după eroare,

deci nu se poate renunţa la reacţia principală, deoarece nu este posibilă instalarea unor

regulatoare de perturbaţie pentru toate perturbaţiile care acţionează asupra sistemului,

întrucât o asemenea soluţie ar fi neeconomică, iar unele perturbaţii nu pot fi bine

cunoscute.

Avantajele reglării după perturbaţie combinate cu avantajele reglării după

abatere conduc la o structură de sistem de reglare combinată (fig. 3.5).

46

Fig. 3.5. Structura de reglare combinată.

Prin introducerea regulatorului RV este compensat efectul perturbaţiei v – care

trebuie să reprezinte perturbaţia cea mai intensă – iar prin acordarea optimă a

regulatorului R este asigurată obţinerea unor performanţe bune ale răspunsului la

semnalele de intrare şi a unei comportări optime în raport cu alte perturbaţii care mai

acţionează asupra sistemului. Regulatorul RV primeşte la intrare perturbaţia v şi

asigură la ieşire o comandă uV, astfel încât prin aplicarea acesteia la intrarea părţii

fixate a sistemului să rezulte compensarea influenţei exercitate de perturbaţia v asupra

mărimii de ieşire y. În acest scop, întrucât perturbaţia este considerată cu semnul plus,

este necesar ca mărimea uV sumată algebric în cel de-al doilea sumator cu mărimea de

ieşire u a regulatorului R (care realizează reglarea după eroare) să fie aplicată

sumatorului cu semnul minus.

Reglarea după perturbaţie este mult folosită în conducerea instalaţiilor de

încălzire a clădirilor, unde aportul de căldură asigurat de corpurile de încălzire trebuie

să ţină seama, printre altele în primul rând, de temperatura exterioară, care reprezintă

perturbaţia principală. Dacă reglarea s-ar efectua numai în funcţie de temperatura

interioară din clădire, atunci când temperatura exterioară variază, evident se modifică

şi temperatura interioară după un timp dat de constantele de timp ale clădirii (care au

valori importante de ordinul orelor) şi în mai mică măsură de timpul mort de ordinul

minutelor necesar agentului termic pentru circulaţia prin instalaţia de încălzire. Eroarea

47

Pw u m

Ey

yr

v

+

-

RV

-

uV

+R

staţionară a sistemului automat (diferenţa dintre temperatura interioară dorită în clădire

şi temperatura interioară reglată) va fi cea mai mare parte a timpului diferită de zero şi

este posibil să atingă valori importante care crează disconfort pentru ocupanţii clădirii.

De asemenea, performanţa cea mai importantă a sistemului automat, stabilitatea, poate

fi mult diminuată. Reglarea după temperatura exterioară (perturbaţia) este o reglare cu

anticipaţie, care modifică cantitatea de căldură produsă de instalaţia de încălzire

funcţie de valoarea temperaturii exterioare, fără să se aştepte modificările nedorite ale

temperaturii interioare.

Reglarea după perturbaţie se utilizează de asemenea la sistemele de reglare

automată a temperaturii apei din piscine.

3.3. Problema stabilităţii

Scopul analizei unui SRA este determinarea performanţelor sistemului având ca

date iniţiale sructura şi parametrii elementelor componente ale sistemului.

O apreciere obiectivă a performanţelor sistemului şi deci a comportării sale, se

poate obţine prin determinarea variaţiei în timp a mărimii de ieşire y ca urmare a unei

variaţii a mărimii de referinţă w, sau ca urmare a variaţiei unei perturbaţii v.

Cunoscând astfel răspunsul sistemului la variaţiile mărimilor de intrare, pot fi măsuraţi

indicii de calitate ai regimului staţionar şi tranzitoriu, respectiv pot fi determinate

performaţele staţionare şi tranzitorii, stabilindu-se în consecinţă dacă sistemul analizat

poate fi sau nu poate fi utilizat în cazul concret dat.

O condiţie necesară, dar nu suficientă, pentru ca un sistem automat să poată fi

utilizat în practică este stabilitatea sistemului, respectiv proprietatea sistemului de a

restabili, prin acţiunea sa, un nou regim staţionar, atunci când datorită variaţiei

mărimilor de intrare a fost scos dintr-un regim staţionar anterior. Astfel, regimul

tranzitoriu al unui sistem automat stabil are o durată limitată.

Un sistem instabil nu este utilizabil, deoarece nu poate îndeplini scopul pentru

care este creat, acela de a realiza pe cale automată o anumită lege de dependenţă între

mărimea de ieşire şi cea de intrare. La sistemele instabile, mărimea de ieşire are

variaţii necontrolate, deoarece un nou regim staţionar nu mai este restabilit după

ieşirea dintr-un regim staţionar anterior.

48

Determinarea performanţelor unui sistem are deci sens numai în cazul când

sistemul este stabil şi, de aceea, analiza comportării sistemelor cuprinde o verificare

prealabilă a stabilităţii.

3.4. Performanţele sistemelor automate determinate pe

baza răspunsului indicial

Un sistem de reglare automată (SRA) trebuie conceput astfel încât să fie

îndeplinite simultan proprietăţile de stabilitate şi de reglare. În afară de aceste două

proprietăţi fundamentale, în aplicaţiile concrete se impun sistemelor de reglare

automată proprietăţi suplimentare, care explicitează ceea ce se numeşe calitatea

procesului de reglare. Calitatea procesului de reglare este descrisă convenţional printr-

o clasă de indici sintetici care definesc performanţele SRA.

3.4.1. Performanţele unui sistem de ordinul întâi

Un sistem de ordinul întâi are funcţia de transfer

(3.3)

obţinută în capitolul 2. Aplicând la intrare un semnal treaptă unitară w1(t)=1(t) (în

complex ), ieşirea Y(s) se calculează astfel:

Răspunsul indicial al sistemului se obţine aplicând transformata Laplace inversă

£-1

Descompunem în fracţii simple:

49

£-1 pentru t 0

(3.4)

Răspunsul indicial (3.4) are două componente:

componenta permanentă;

componenta tranzitorie.

Componenta permanentă se determină folosind teorema valorii limită finale:

pentru t 0 (3.5)

Componenta tranzitorie a răspunsului indicial este:

(3.6)

De remarcat că panta maximă a răpsunsului indicial este dată de derivata în

origine a răspunsului indicial:

(3.7)

unde este unghiul cu abscisa al tangentei de pantă maximă.

50

tT

ttr

w

st

w1,

1

k

y1

Fig. 3.6. Răspunsul indicial al sistemului de ordinul întâi.

Răspunsul indicial al sistemului de ordinul întâi este trasat în figura 3.6, unde

s-au folosit următoarele notaţii:

T – constanta de timp a procesului;

tt – durata procesului tranzitoriu.

Constanta de timp defineşte viteza de răspuns sau inerţia sistemului.

Timpul tranzitoriu reprezintă timpul necesar pentru ca răspunsul tranzitoriu al

sistemului să intre în banda (10,05) yst fără a o mai părăsi ulterior.

Tangenta în origine intersectează răspunsul staţionar după un timp egal cu

constanta de timp a sistemului.

(3.8)

Eroarea staţionară a sistemului se defineşte ca diferenţa dintre mărimea de

intrare (referinţa) şi valoarea staţionară a mărimii de ieşire a sistemului:

51

(3.9)

Performanţele sistemului de ordinul întâi sunt timpul tranzitoriu şi eroarea

staţionară.

3.4.2. Performanţele unui sistem de ordinul doi

Ecuaţia diferenţială a unui sistem de ordinul doi dedusă în capitolul 2 este:

(3.10)

Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale se rezolvă şi se obţin soluţiile p1 şi

p2, care se reprezintă în planul complex (fig. 3.7).

(3.11)

Fig. 3.7. Reprezentarea soluţiilor ecuaţiei caracteristice în planul complex.

Funcţia de transfer a sistemului de ordinul doi obţinută prin aplicarea

transformatei Laplace ecuaţiei diferenţiale (3.10) este:

52

21 n

j

p1

p2

21 n

-n

n

cos

1sin 2

(3.12)

Răspunsul unui sistem de ordinul doi la o intrare treaptă unitară (răspunsul

indicial) se determină conform celor prezentate în continuare.

Fig. 3.8. Schema bloc a unui sistem se ordinul doi.

Treapta unitară aplicată la intrarea sistemului este

(3.13)

Se calculează răspunsul sistemului în complex

(3.14)

de unde prin aplicarea transformatei Laplace inverse se poate ajunge din nou în

domeniul timp.

(3.15)

Descompunem în fracţii simple expresia din paranteză:

53

Y(s)W(s)H(s)

Revenim în expresia (3.14) şi înlocuim coeficienţii A, B şi C:

Folosim tabelul (2.1) cu transformate Laplace şi aplicăm transformata Laplace

inversă fracţiilor din interiorul parantezei drepte:

Prin scoaterea factorului comun şi aplicând transformata Laplace inversă se

ajunge la răspunsul indicial al sistemului:

Notăm conform figurii (3.6)

(3.16)

şi se obţine:54

(3.17)

răspunsul indicial al sistemului de ordinul doi la intrare treaptă unitară.

Răspunsul indicial are o componentă sinusoidală amortizată conform unei

exponenţiale negative.

Răspunsul indicial are o componentă staţionară şi una tranzitorie. Componenta

staţionară este egală cu 1, adică este egală cu referinţa aplicată la intrarea sistemului.

Deci, în regim staţionar eroarea . Componenta tranzitorie (sinusoida

amortizată) are o formă determinată de şi .

Pentru diverse valori ale factorului de amortizare , răspunsul sistemului are

forme diferite (fig. 3.9).

Fig. 3.9. Răspunsul indicial al unui sistem de ordinul doi pentru diverse

valori ale factorului de amortizare ξ .

= 0 răspunsul este neamortizat (sistemul este instabil);

= 1 răspunsul sistemului este amortizat critic;

> 1 răspunsul sistemului este supraamortizat;

55

0 < < 1 răspunsul sistemului este oscilant amortizat (cazul cel mai general).

Fig. 3.10. Răspunsul indicial al sistemului de ordinul doi amortizat după o

exponenţială descrescătoare. Eroarea staţionară este nulă.

Pentru cazul când 0< <1, răspunsul indicial permite stabilirea performanţelor

sistemului automat de ordinul doi (fig. 3.10).

Eroarea staţionară este nulă , .

Fig. 3.11. Răspunsul indicial al sistemului de ordinul doi. Eroarea staţionară este

nenulă.

Eroarea staţionară este diferită de zero , .

Performaţa regimului staţionar

56

Eroarea staţionară impusă unui sistem de reglare poate fi , sau poate fi de

forma (exprimată în procente, prin raportare la voloarea yst). Permite

aprecierea calităţii regimului staţionar al sistemului automat, sau cu alte cuvinte

caracterizează precizia sistemului de reglare:

(3.18)

Performanţele regimului tranzitoriu

Suprareglarea (abaterea dinamică maximă) reprezintă depăşirea maximă de

către mărimea de ieşire y a valorii de regim staţionar yst. Se notează cu şi conform

figurii (3.11) = 1 .

(3.19)

Factorul de amortizare ξ are o influenţă hotărâtoare asupra amortizării

regimului tranzitoriu, ceea ce a determinat şi denumirea acestui factor; după cum se

arată în [10], suprareglarea σ este determinată numai de factorul ξ . Se anulează

derivata de ordinul întâi a răspunsului indicial în raport cu timpul ,

determinându-se momentele de maxim şi minim ale răspunsului indicial, printre care şi

tmax, timpul la care apare suprareglarea σ. Înlocuind tmax în (3.17) se obţine ymax şi

considerând yst = 1, din (3.19) rezultă expresia pentru calculul suprareglării sistemului

de ordinul doi:

(3.20)

confirmându-se faptul că suprareglarea sistemului de ordinul doi depinde numai de ξ şi

nu depinde de pulsaţia naturală ωn .

Pentru o calitate bună o regimului tranzitoriu, care să asigure o rezervă

suficientă de stabilitate sistemului de reglare şi să evite suprasolicitări ale instalaţiei

tehnologice prin depăşiri importante ale valorii prescrise în cursul variaţiei mărimii

reglate, performanţa impusă suprareglării este de forma:

imp. (3.21)

57

Durata regimului tranzitoriu (tt) denumită şi timp de răspuns reprezintă

intervalul de timp dintre începutul procesului tranzitoriu şi momentul în care valoarea

absolută a diferenţei y – yst scade sub o anumită limită fixată, fără a mai depăşi ulterior

această limită.

- limita fixată (3.22)

De cele mai multe ori în practică se adoptă = 0,05yst , deci un domeniu de

5% în jurul valorii staţionare. Astfel, tt se calculează conform [10], [14] punând

această condiţie în (3.17)

(3.23)

considerând cazul cel mai defavorabil atunci când

(3.24)

şi rezolvând ecuaţia (3.23) se obţine

(3.25)

sau aproximativ

(3.26)

În scopul asigurării rapidităţii necesare desfăşurării procesului de reglare

automată, pentru timpul tranzitoriu se impune o performanţă de forma:

(3.27)

Gradul de amortizare () se exprimă prin raportul între două “pulsuri” de

acelaşi semn ale regimului tranzitoriu

58

(3.28)

Gradul de amortizare exprimă descreşterea abaterilor la un sistem oscilant

amortizat.

Timpul de întârziere este definit ca timpul necesar mărimii de ieşire să crească

de la zero la 0,5yst .

Timpul de creştere reprezintă timpul necesar evoluţiei răspunsului în domeniul

(0,1 0,9)yst .

Performanţele sistemului de ordinul doi pentru răspunsul la o variaţie

treaptă a unei perturbaţii

Un sistem de ordinul doi poate avea structura de reglare clasică cu un singur

regulator ca în figura 3.12, în care perturbaţia v reprezintă o mărime de intrare.

Referinţa w se consideră constantă la valoarea impusă, iar perturbaţia v variază sub

forma unei trepte unitare.

Fig. 3.12. Sistem de ordinul doisupus acţiunii perturbaţiei.

Spre deosebire de reprezentările răspunsurilor indiciale pentru variaţii treaptă

ale referinţei w, aici mărimile de intrare şi de ieşire nu mai sunt nule pentru t < 0. Dacă

s-ar considera intrarea şi ieşirea nule pentru t < 0, aceasta ar atrage yst = 0 şi

performanţele regimului tranzitoriu nu ar mai putea fi exprimate în procente.

59

v+

_

yr

RA E P

T

w + y

C

u m y’ + RA E P

Fig. 3.13. Răspunsuri ale sistemului de ordinul doi pentru intrări treaptă ale

perturbaţiei. Eroarea staţionară este nulă, respectiv nenulă.

Performanţa regimului staţionar.

Eroarea staţionară poate fi de forma

(3.29)

fie de forma

(3.30)

Performanţele regimului tranzitoriu cele mai importante sunt abaterea

maximă şi durata regimului tranzitoriu.

Abaterea maximă () reprezintă depăşirea maximă a valorii staţionare de către

mărimea de ieşire

ν=ymax - yst (3.31)

sau în procente

(3.32)

Condiţia impusă este de forma

(3.33)

60

Durata regimului tranzitoriu (tt) se defineşte ca şi în cazul răspunsului la o

variaţie treaptă a mărimii w, iar condiţia impusă este

(3.34)

3.5. Algebra funcţiilor de transfer

Algebra funcţiilor de transfer cuprinde un grup de reguli care permit ca având

funcţiile de transfer ale mai multor elemente componente să se determine funcţia de

transfer a ansamblului, respectiv a unui element echivalent cu întregul ansamblu.

Echivalenţa constă în faptul că pentru acelaşi semnal aplicat la intrarea ansamblului şi

la intrarea elementului echivalent, răspunsurile ansamblului şi elementului echivalent

vor fi identice.

3.5.1. Conexiunea serie (cascadă)

Mai multe elemente sunt legate în serie dacă semnalul de ieşire al fiecăruia este

aplicat la intrarea elementului următor. Pentru uşurinţa echivalării se consideră

exemplul a trei elemente legate în serie (fig. 3.14).

Fig. 3.14. Grup de trei elemente legate în serie echivalate cu un singur element.

Se cunosc funcţiile de transfer ale elementelor componente A, B, C

(3.35)

61

HB(s) HC(s)

X4(s)X3(s)X2(s)X1(s)

HA(s)

H(s)

X1(s) X4(s)

Se caută funcţia de transfer a întregului ansamblu definită prin

(3.36)

Din funcţiile de transfer (3.35) ale elementelor componente rezultă:

(3.37)

Înlocuind X4(s) în funcţia de transfer (3.34) a întregului ansamblu H(s) se

obţine:

(3.38)

Funcţia de transfer a unui ansamblu de trei elemente legate în serie este deci

egală cu produsul funcţiilor de transfer ale elementelor respective.

În cazul general, când sunt conectate în serie n elemente, funcţia de transfer a

elementului echivalent conexiunii serie este următoarea:

(3.39)

Condiţia de unidirecţionalitate care trebuie să fie respectată este următoarea:

pentru ca mai multe elemente să fie considerate legate în serie, este necesar ca

fenomenele care au loc într-un element să nu exercite nici o influenţă asupra

elementului precedent, ci numai asupra elementului următor.

3.5.2. Conexiunea paralel

62

Mai multe elemente sunt legate în paralel dacă primesc acelaşi semnal de

intrare, iar semnalele de ieşire se sumează. Pentru uşurinţa echivalării se consideră

exemplul a trei elemente legate în paralel (fig. 3.15).

Fig. 3.15. Grup de trei elemente legate în paralel echivalate cu un singur element.

Cunoscând funcţiile de transfer ale elementelor componente A, B, C

(3.40)

se caută funcţia de transfer H(s) a întregului ansamblu

(3.41)

Înlocuind pe X5(s) în expresia lui H(s):

(3.42)

63

Xi(s) X5(s)=X2(s)+X3(s)+X4(s)

HA(s)

HB(s)

X4(s)

X1(s)

X1(s)

X1(s)

X2(s)

X3(s)

HC(s)

H(s)X1(s) X5(s)

+

+

+

Funcţia de transfer a unui ansamblu de trei elemente legate în paralel este egală

cu suma funcţiilor de transfer ale elementelor respective.

În cazul general, când sunt conectate în paralel n elemente, funcţia de transfer a

elementului echivalent conexiunii paralel este următoarea:

(3.43)

3.5.3. Conexiunea cu reacţie

În cazul conexiunii cu reacţie (fig. 3.16), semnalul de la ieşirea elementului

HA(s) este adus pe o cale inversă de transmitere înapoi spre intrarea elementului, direct

sau prin intermediul unui alt element B. Reacţia poate fi pozitivă sau negativă după

cum semnalul adus înapoi la intrare se sumează sau se scade cu semnalul de intrare

aplicat din exterior.

(3.44)

Fig. 3.16. Sistem în conexiune cu reacţie.

Din relaţia lui HB(s) se obţine

X4(s)=HB X3(s) (3.45)64

HA(s)

HB(s)

X3(s)

X1(s)

X4(s)

X2(s) X3(s) X3(s)

H0(s)

X3(s)X1(s)

+

_

Comparatorul din conexiunea cu reacţie realizează diferenţa X2=X1(s)–X4(s), din care

se obţine

X1(s)=X2(s)+X4(s) (3.46)

Funcţia de transfer a întregului ansamblu este definită:

(3.47)

Numitorul funcţiei de transfer H0(s) se înlocuieşte din relaţia (3.46), apoi X4(s) se

înlocuieşte din relaţia (3.45), se ţine seama de relaţiile (3.44) şi se obţine:

expresia funcţiei de transfer a sistemului în circuit închis, conexiune cu reacţie

negativă.

Pentru cazul unei reacţii pozitive se obţine:

(3.49)

În cazul unui sistem (fig. 3.17) în conexiune cu reacţie negativă directă,

HB(s)=1, rezultă:

(3.50)

65

(3.48)

Fig. 3.17. Sistem în conexiune cu reacţie negativă unitară (directă).

3.5.4. Funcţia de transfer a elementului de comparaţie

Considerăm un sistem cu reacţie negativă directă (fig. 3.18) pentru care

Yr(s)=Y(s).

Pentru elementul de comparaţie EC se poate defini o funcţie de transfer HEC(s)

de forma:

(3.51)

Fig. 3.18. Sistem cu reacţie negativă directă.

Eroarea sau abaterea obţinută la ieşirea comparatorului este E(s)=W(s)–Yr(s), de

unde W(s)=E(s)+Yr(s) =E(s)+Y(s). Se înlocuieşte W(s) în (3.51) şi se obţine

(3.52)

funcţia de transfer a elementului de comparaţie.

Conform (3.50), funcţia de transfer a unui sistem cu reacţie negativă unitară

este

66

X1(s) X2(s)X3(s) X3(s)

X3(s)

HA(s)+

-

Y(s)H(s)

W(s)

Yr(s)

E(s)+

-

EC

(3.53)

şi comparând se obţine

3.5.5. Funcţia de transfer a sistemului în circuit deschis şi a

sistemului în circuit închis

Fie următorul sistem automat (fig. 3.19) pentru care s-a adoptat structura de

reglare clasică cu un singur regulator, unde traductorul se consideră ideal HT(s)=1.

Sistemul este în circuit deschis (în buclă deschisă) dacă lipseşte reacţia. Funcţia

de transfer a căii directe (sistemul în circuit deschis) se defineşte

(3.55)

Fig. 3.19. Sistem automat în circuit închis.

iar funcţia de transfer a sistemului în circuit închis se defineşte

(3.56)

Funcţia de transfer a regulatorului, a elementului de execuţie şi a procesului

sunt:

(3.57)

67

(3.54)

W(s) Y(s)M(s)HE(s) Hp(s)

U(s)HR(s)

E(s)+

-

Funcţia de transfer a căii directe (sistem în circuit deschis) se obţine sub forma:

(3.58)

fiind o structură de elemente conectate în serie (cascadă). Structura sistemului automat

poate fi reprezentată ca în figura 3.20.

Fig. 3.20. Sistem automat la care se evidenţiază funcţia de transfer a căii directe.

Se va calcula acum funcţia de transfer a sistemului în circuit închis cu reacţie

unitară (traductor cu funcţia de transfer HT(s)=1).

(3.59)

În cazul în care pe calea de reacţie există un traductor a cărui funcţie de transfer

este HT(s)1, reacţia nu mai este unitară (fig. 3.21).

Fig. 3.21. Sistem automat cu reacţie neunitară.

Funcţia de transfer a sistemului în circuit închis devine:

68

Hd(s)Y(s)W(s) E(s)+

-

W(s) Y(s)M(s)HE(s) Hp(s)

U(s)HR(s)

E(s)

HT(s)

+

-

(3.60)

3.6. Analiza sistemelor de reglare automată pe baza

metodelor de frecvenţă

Metodele de analiză a sistemelor automate descrise până aici necesită rezolvarea

ecuaţiilor caracteristice aferente ecuaţiilor diferenţiale care descriu funcţionarea

sistemelor, sau, cunoscând funcţia de transfer a sistemului, mărimii de ieşire

Y(s)=H0(s)W(s) se aplică transformata Laplace inversă, ceea ce impune cunoaşterea

rădăcinilor numitorului funcţiei de transfer, deci tot cunoaşterea rădăcinilor ecuaţiei

caracteristice.

În cazul sistemelor descrise de ecuaţii diferenţiale de ordin mai mare decât doi,

rezolvarea ecuaţiei caracteristice presupune efectuarea de calcule laborioase.

În teoria sistemelor de reglare metodele de frecvenţă sunt utile atât în analiza cât şi

în proiectarea sistemelor automate liniare. În domeniul analizei, metodele de frecvenţă

au avantajul că permit să se obţină, cu o anumită aproximaţie, răspunsul indicial al

unui sistem şi deci să se determine performanţele sistemului fără a fi necesară

rezolvarea ecuaţiei caracteristice aferente ecuaţiei diferenţiale care descrie matematic

funcţionarea sistemului. De asemenea, metodele de frecvenţă permit aprecierea

stabilităţii sistemului.

Reprezentarea în frecvenţă a unui sistem se obţine prin aplicarea la intrarea

sistemului a unui semnal sinusoidal a = A sinωt (sau cosinusoidal b = B cosωt) de

frecvenţă , care în cazul sistemelor liniare determină la ieşirea acestora un

răspuns sinusoidal (sau cosinusoidal) cu amplitudine şi fază diferite faţă de semnalul

de la intrare. Aprecierea răspunsului în frecvenţă al unui sistem definit prin funcţia de

transfer H(s) se face prin înlocuirea s=jω în expresia funcţiei de transfer şi pentru

diverse valori ale pulsaţiei ω se determină modulul şi argumentul funcţiei H(jω). Se

cunoaşte că variabila complexă s=σ+jω este constituită din partea reală σ şi din partea

69

imaginară jω, însă pentru fenomene periodice partea reală σ =0, deci

H(s)=H(σ+jω)=H(jω).

Se consideră sistemul automat reprezentat sub forma schemei bloc în figura 3.22 şi

mărimile de intrare şi de ieşire conform [23]

w=Wcos(ωt+φi) (3.61)

y=Ycos(ωt+φe) (3.62)

Aplicând relaţiile cunoscute de la trigonometrie se obţin

w=W(cosωt cosφi – sinωt sinφi) (3.63)

y=Y(cosωt cosφe – sinωt sinφe) (3.64)

Fig. 3.22. Sistem automat pentru studiul în frecvenţă.

Reprezentarea variaţiei în timp a mărimilor de intrare şi de ieşire date prin

relaţiile (3.61) şi (3.62) este cea din figura 3.23.

Y w W y

I t

e

Fig. 3.23. Reprezentarea mărimilor de intrare şi de ieşire în sistem

la studiul în frecvenţă.

Se aplică transformata Laplace relaţiilor (3.63) şi (3.64).

70

SAw y

(3.65)

(3.66)

Se scrie funcţia de transfer a sistemului

(3.67)

şi se ţine seama s=jω, H(s)=H(jω):

(3.68)

Se simplifică fracţia prin ω şi se înmulţeşte numărătorul şi numitorul cu –j:

(3.69)

Ţinând seama de formulele lui Euler

(3.70)

Funcţia de transfer astfel exprimată se poate reprezenta în coordonate polare printr-un

vector de modul şi argument

Dacă

Y, φe=f(ω) (3.71)

(3.72)

în care: H(ω) este modulul,

φ(ω) este argumentul sau faza.

71

Fiind o mărime complexă, H(jω) se poate scrie şi sub forma:

(3.73)

(3.74)

(3.75)

Relaţia reprezintă caracteristica de răspuns la frecvenţă a

sistemului, care mai este cunoscută şi sub denumirea de caracteristica amplitudine-

fază sau locul de transfer.

H(ω)=f(ω) reprezintă caracteristica amplitudine-frecvenţă (atenuare-frecvenţă)

care este raportul dintre amplitudinile semnalelor de la ieşire şi a celui de la

intrare.

φ(ω)=f(ω) reprezintă caracteristica fază-frecvenţă, adică defazarea între semnalul

de la ieşire şi cel de la intrare.

3.6.1. Caracteristica amplitudine-fază

Cea mai importantă caracteristică de frecvenţă pentru un sistem automat este

caracteristica amplitudine-fază sau locul de transfer. Această caracteristică se trasează

pentru sistemul deschis, fiind utilizată pentru aprecierea stabilităţii sistemului, precum

şi pentru obţinerea celorlalte caracteristici de frecvenţă.

Locul de transfer sau caracteristica amplitudine-fază reprezintă hodograful

vectorului H(jω) în planul complex pentru valori ale lui ω, . Forma unei

asemenea caracteristici este prezentată în figura 3.24.

Pentru a ilustra modul de trasare al hodografului considerăm un sistem cu

reacţie neunitară HT(s) ≠ 0, a cărui funcţie de transfer a căii deschise este dată de

relaţia

(3.76)

72

care reprezintă un sistem de ordinul întâi. Înlocuim şi obţinem

HHT(jω) (3.77)

(3.78)

(3.79)

jHim()

= =0

Hre()0

Fig. 3.24. Exemplu de hodograf.

În figura 3.25 se prezintă locul de transfer (hodograful) pentru un sistem de

ordinul întâi. Pentru frecvenţe negative ( ) locul de transfer este imaginea în

oglindă în raport cu axa reală a locului pentru frecvenţe pozitive.

Pentru un sistem cu funcţia de transfer

HHT(s)=1+Ts (3.80)

care este cunoscut sub numele de sistem de anticipaţie de ordinul întâi, înlocuind

avem

(3.81)

(3.82)

(3.83)

73

Locul de transfer are forma din figura 3.26.

Im

=90 =0 =0

= Re

Fig. 3.25. Locul de transfer pentru un sistem de ordinul întâi.

Fig.3.26. Locul de transfer pentru un sistem de anticipaţie de ordinul întâi.

Pentru un sistem de ordinul al doilea trasarea locului de transfer porneşte de la

expresia vectorului obţinută din funcţia de transfer a sistemului de ordinul

doi, cunoscută din capitolul 2, prin înlocuirea .

(3.84)

74

Im

Re1

Fig. 3.27. Locul de transfer pentru un sistem de ordinul doi.

Modulul acestui vector este

(3.85)

iar argumentul este

(3.86)

Forma locului de transfer pentru sistemul de ordinul doi este dată în figura 3.27.

75

Im

Re

3

2

1

1

Caracteristicile amplitudine-fază pentru diferite elemente tip utilizate în

sistemele automate sunt prezentate în [23], iar cazul general al unui sistem definit prin

funcţia de transfer a căii directe este prezentat în [10] şi în [14].

3.6.2. Caracteristici logaritmice de frecvenţă

În analiza şi proiectarea sistemelor deschise au o largă utilizare caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-

pulsaţie în reprezentare logaritmică, datorită unor avantaje.

Un prim avantaj permite construcţia acestor caracteristici pentru un domeniu

mai mare de frecvenţe decât scara liniară.

În al doilea rând, la scări logaritmice cresc razele de curbură ale graficelor şi

deci acestea pot fi aproximate prin segmente de dreaptă (prin asimptotele lor), fără

erori importante.

În al treilea rând, reprezentările la scări logaritmice permit o trecere mai uşoară

de la caracteristicile elementelor componente la caracteristica unui ansamblu. Astfel,

de exemplu, în cazul a trei elemente legate în serie, având caracteristicile amplitudine-

pulsaţie caracteristica amplitudine-pulsaţie a

ansamblului se obţine ca produs al celor trei caracteristici:

(3.87)

produs care trebuie efectuat pentru modulele corespunzătoare aceleiaşi valori ω;

operaţia este laborioasă.

Dacă reprezentarea caracteristicilor se face la scări logaritmice, atunci are loc

relaţia:

(3.88)

şi deci caracteristica logaritmică a ansamblului se obţine printr-o însumare grafică

simplă a caracteristicilor elementelor componente.

Amplitudinea unei funcţii de transfer (pentru un sistem deschis) se

exprimă în decibeli

(3.89)

76

Caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie sunt cunoscute sub

denumirea de caracteristici Bodé.

Caracteristica amplitudine-pulsaţie reprezintă dependenţa amplitudinii,

măsurată în decibeli, de logaritmul frecvenţei, iar caracteristica fază-pulsaţie reprezintă

dependenţa între fază şi logaritmul frecvenţei. La caracteristica fază-pulsaţie numai

axa pulsaţiilor este gradată logaritmic, iar axa ordonatelor este gradată în radiani sau în

grade, deoarece la înmulţirea mai multor vectori complecşi (care apare când mai multe

elemente sunt legate în serie şi se determină caracteristica ansamblului) argumentele se

însumează; nu apare astfel necesitatea logaritmării, cum apărea în cazul modulelor, la

care intervenea operaţia de înmulţire.

3.6.3. Caracteristici logaritmice de frecvenţă pentru elemente tip

Pentru trasarea acestor caracteritici elementare vom aproxima răspunsul lor în

frecvenţă prin asimptotele obţinute la şi .

Elementul proporţional, definit prin funcţia de transfer H(s)=k, are amplitudinea

egală cu k şi argumentul zero. În figura 3.28 sunt reprezentate caracteristicile de

frecvenţă pentru un asemenea element.

Elementul integrator, care are funcţia de transfer H(s) , deci conţine un pol în

origine de ordinul α .

[dB] (3.90)

(3.91)

Caracteristicile logaritmice sunt trasate în figura 3.29.

77

1 10 100 1000 ω [rad/s]

A[dB]

20 lg

]/[ srad

0

-π

k>0

k<0

]/[ srad

ba

Fig. 3.28. Caracteristicile de frecvenţă pentru un element proporţional:

a) caracteristica A(ω); b) caracteristica φ(ω).

Elementul de întârziere de ordinul întâi, . Înlocuind

rezultă

,

Fig. 3.29. Caracteristicile de frecvenţă pentru elementul integrator:

a – caracteristica amplitudine-pulsaţie; b – caracteristica fază-pulsaţie.

de unde

(3.92)

(3.93)

Caracteristica are două asimptote, care pot determinate considerând întâi

<<1 şi apoi ωΤ>>1.

Pentru <<1, deci pentru expresia (3.92) se poate aproxima prin:

78

110-1 10 ]/[ srad

A[dB]

60

0

20

40

-20

-40-60

a

]/[ srad0123

][rad

0

2

-

2

3

b

(3.94)

iar pentru ωΤ>>1, deci pentru , expresia (3.92) se poate aproxima prin:

(3.95)

Asimptota corespunzătoare expresiei (3.94) coincide cu axa absciselor, iar

asimptota corespunzătoare expresiei (3.95) are o pantă de –20 dB/dec şi intersectează

axa absciselor la pulsaţia , deoarece din (3.95) rezultă:

Caracteristica logaritmică aproximativă amplitudine-pulsaţie, formată din cele

două segmente de asimptote, este reprezentată în figura 3.30. a, iar caracteristica fază-

pulsaţie, corespunzătoare relaţiei (3.93), este reprezentată în figura 3.30. b, având în

vedere că şi

Pulsaţia este denumită pulsaţie de frângere, întrucât la această pulsaţie

are loc schimbarea de pantă a asimptotelor. Pulsaţia de frângere este egală cu inversul

constantei de timp a elementului; această regulă este valabilă şi pentru alte tipuri de

elemente în a căror funcţie de transfer intervin constante de timp.

79

A[dB]

[rad/s]

a

0

-20

10-1 1 1/T 10

-20dB/dec

[rad/s]

10-11/T110102

-/4-/2b

Fig. 3.30. Caracteristicile de frecvenţă pentru elementul de întârziere de ordinul întâi:

a – caracteristica amplitudine-pulsaţie; b – caracteristica fază-pulsaţie.

Funcţia de transfer a elementului de întârziere de ordinul întâi are un pol la

, deci pulsaţia de frângere este egală cu modulul valorii polului funcţiei de

transfer. Această regulă este generală, pulsaţiile de frângere fiind egale cu modulele

polilor şi zerourilor funcţiei de transfer a elementului respectiv.

Elementul de anticipaţie se ordinul întâi, cu funcţia de transfer de forma

. Pentru elementele de anticipaţie de ordinul întâi, a doua asimptotă are o

pantă pozitivă de +20 dB/dec, caracteristica amplitudine-pulsaţie fiind astfel simetrică

– în raport cu axa absciselor – cu cea a elementelor de întârziere de ordinul întâi;

caracteristica fază-pulsaţie este de asemenea simetrică, elementele de anticipaţie

determinând – spre deosebire de cele de întârziere – defazări pozitive, deci defazări

înainte [10], [14].

(3.96)

(3.97)

Reprezentarea grafică în coordonate logaritmice a relaţiilor (3.96) şi (3.97) este

dată în figura 3.31.

80

Fig. 3.31. Caracteristicile de frecvenţă pentru un element de anticipaţie de

ordinul întâi.

Pentru elementele de anticipaţie pulsaţiile de frângere sunt determinate de

modulele zerourilor funcţiei de transfer.

Pentru un element de ordinul doi a cărui funcţie de transfer

conţine doi poli complex conjugaţi ( ), caracteristicile de

frecvenţă A(ω) şi φ(ω) se obţin în mod similar prin aproximarea acestora cu

asimptotele lor.

Ţinem seama de expresia modulului vectorului H(jω) obţinut din funcţia de

transfer a sistemului de ordinul doi determinată în paragraful 3.6.1 (relaţia 3.85) şi

avem

(3.98)

(3.99)

Pentru frecvenţe foarte joase, asimptota la caracteristica A(ω) este axa

absciselor, iar pentru frecvenţe mari (ω>>ωn) şi pentru ξ<1, asimptota este dată de

relaţia

(3.100)

Intersecţia celor două asimptote are loc la pulsaţia de frângere . Eroarea făcută

prin adaptarea caracteristicii asimptotice în locul caracteristicii exacte în acest caz

depinde de valoarea lui ξ:

81

A[db]

20

0 1/T110-1 10 [rad/s] [rad/s]

/2

/4

10-1 1 10 102

(3.101)

Pentru această eroare are expresia

(3.102)

Reprezentarea grafică a caracteristicilor amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

pentru diverse valori ale lui ξ este dată în figura 3.32.

A(dB)

20=0.1

10 =0.2 =0.3

0 0.2 0.5 1 5 10 (rad/s)

-10 =0.5 =0.707

-20

-30

a.

(grad)0.2 0.5 1 2 5 10

[rad/s] 0 =0.1

=0.3 -40 =0.5

=0.707 -60

-120

-160

-180

b.

Fig. 3.32. Caracteristicile de frecvenţă pentru sistemul de ordinul doi:

a – caracteristica amplitudine-pulsaţie; b – caracteristica fază-pulsaţie.

82

Faza unui element de ordinul doi variază între pentru frecvenţe joase şi

pentru frecvenţe foarte înalte.

Caracteristicile de frecvenţă pentru un element de anticipaţie de ordinul

doi se trasează în mod similar, fiind simetrice faţă de caracteristicile unui element de

întârziere de ordinul doi. Pulsaţiile de frângere pentru aceste elemente sunt determinate

de pulsaţiile naturale , iar forma caracteristicii exacte este influenţată de valoarea

factorului de amortizare ξ .

Caracteristicile totale ale unui sistem ce conţine m –zerouri şi n – poli se

obţine prin însumarea contribuţiei fiecărui pol şi zerou atât asupra amplitudinii cât şi

asupra fazei.

Pentru cazul în care sunt cunoscute valorile pulsaţiilor de frângere determinate

de polii şi zerourile funcţiei de transfer, se poate trasa caracteristica A(ω) relativ

simplu, ţinând seama de asimptotele cu care se pot aproxima caracteristicile fiecărui

element de întârziere şi anticipaţie. Prezenţa unui număr α de poli în origine determină

panta iniţială pentru frecvenţe joase ca fiind -20α [dB/dec]. Această pantă se modifică

începând cu prima pulsaţie de frângere, adăugându-se sau scăzându-se 20 dB/dec după

cum pulsaţia de frângere este determinată de un zero sau de un pol al funcţiei de

transfer. În cazul pulsaţiei unui termen pătratic (polii sau zerourile complex

conjugate), panta se modifică cu ±40 dB/dec, după cum pulsaţia de frângere este

determinată de polii sau de zerourile complex conjugate.

83