Atanasiu Gheorghe - Geometrie

8/14/2019 Atanasiu Gheorghe - Geometrie

1/64

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOVFACULTATEA DE MATEMATICI INFORMATICSPECIALIZAREA : INFORMATICNVMNT LA DISTAN

Prof. univ.dr. ATANASIU GHEORGHE

GEOMETRIE

2007


2/64


3/64

Capitolul 3 SPAII PUNCTUALE EUCLIDIENE3.1. Spatiul afin: definiie i exemple3.2. Combinaii afine. Repere n spaii afine3.3. Subspaii afine3.4. Spaiul afin geometric al vectorilor liberi3.5. Spaiul punctual euclidian al vectorilor liberi

3.5.1. Proiecii ortogonale

3.5.2. Produsul scalar3.5.3. Produsul vectorial3.5.4. Dublu produs vectorial3.5.5. Produsul mixt

3.1 Spaiul afin: definiie i exemple

n cele ce urmeaz vom considera o mulime nevidA = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} i vom conveni ca elementele sale s se numeascpuncte iar un element (A, B) AA s se numeascbipunctal lui A. PunctulA se va numi originea bipunctului, iar punctulB se va numi extremitateabipunctului (A, B). Bipunctele (A, B) i (B, A) se vor numi bipuncte simetrice.

3.1.1 Definiie. Numimspaiu afin, tripletul(A, V, ) n care A este o mulime nevidde puncte, V un K-spaiu vectorial i funcia : AA A,

VvBA =),( , care satisface condiiile:A1) A, B, CA, (A, B) + (B, C) = (A, C)

A2) AVv , A exist un punct B A , unic determinat derelaia vBA =),( .

Mulimea A se numete mulime suporta spaiului afin i elementele sale vor fi numite punctele spaiuluiafin. Spaiul vectorial V se numete spaiul vectorial director al spaiului afin, iar elementele sale vor fi numitevectorii sapiului afin. Aplicaia este numitfuncia de structurafin.

Elementele unui spaiu afin sunt puncte i vectori.Spaiul afin (A, V, ) se zice real sau complex dup cum spaiul vectorial Veste real sau complex.

Dac n axioma A1) considermA = B = C, atunci (A, A) = 0 , AA. Deci oricrui bipunct (A, A)

i corespunde prin funcia de structur vectorul nul V0 .Vectorii corespunztori unei perechi de bipuncte simetrice sunt vectori opui. n adevr, dac lum

C = B, n axioma A1) , avem (A, B) = - (B, A).

3.1.2 Consecin. Funcia este surjectivi n plus, pentru fiecare punct O Afixat , O: AV , O(A) = (O, A),

A A , este bijectiv.

Demonstraia este imediatinnd cont de axiomele A1) i A2).ntr-un spaiu afin (A, V, ) funcia determin o relaie de echivalen pe mulimea bipunctelor lui A, pe

care o vom numi relaia de echipolen.Vom spune ca bipunctul (A, B) este echipolent cu bipunctul (C, D) dac acestea au aceeai imagine prin .

(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) (1.1)

Se verific uor c relaia ~ este reflexiv, simetrici tranzitiv, adic este o relaie de echivalen pe A A.

Spaiul factorA A/~ este n coresponden bijectiv cu spaiul vectorial V. Fiecrui vector Vv icorepunde o singur clas de echivalen de bipuncte echipolente, anume

-1( v ) = { (A,B)A A | (A,B) =v } (1.2)

1


4/64

Cnd identificm spaiul factor A A/~ cu spaiul vectorial V prin aceast

bijecie, clasa bipunctului (A, B) notat cu AB , poart numele de vector liber al spaiului afin.n aceste condiii axiomele A1) i A2) pot fi scrise n felul urmtor:

A,B,CA , CACBBArrr

=+ (1.3)

AVv, A , BA, unic aa nct vAB =

Fie OA un punct fixat i A = {O} A = {(O, A) /A A } mulimea bipunctelor de origine O.innd cont de Consecina 1.2 i c relaiaAA (O,A)A este o coresponden bijectiv, rezult c

A se poate identifica att cuA ct i cu spaiul vectorial directorV.a

Cnd se identificA cu spaiul vectorial Vse induce pe A structura vectorial din V. Vectorii acestui

spaiu se numesc vectori legai ai spaiului afin sau vectori tangeni n O la Ai vor fi notai prinOA .Cnd se identific A cu spaiul vectorial A , prin bijecia

A A (O, A) A o, nseamn c s-a considerat A ca spaiu vectorial, avnd punctul O ca origine.

Vectorul OAAOOA = ),( se va numi vector de poziie.Practic n orice punct OA al unui spaiu afin (A, V, ) se poate construi un spaiu vectorial A , care

se identific cu A .n urma acestor identificri, se justific noiunea de dimensiune a unui spaiu afin ca fiind dimensiunea

spaiului vectorial directorV.Dac dimV= n, atunci spaiul afin de dimensiune n se va nota cu (A n, Vn) sau simplu A n.

3.2. Combinaii afine. Repere n spaii afine

Fie spaiul afin (A, V,), un sistem de puncte {A0, A1, ..., Ap} Ai scalarii 0, 1, ..., pK.

3.2.1 Definiie. Numim combinaie afin a punctelor{A0,A1,...,Ap}A, punctul PAdat de

P= 0A0 + 1A1 + ...+ pAp cu 0 + 1 + ...+ p = 1 (2.1)

Relaia (2.1) poate fi neleas ca o relaie vectorial ntre vectorii de poziie ai punctelorP,A0, A1, ..., Ap,folosind ca punct origine un punct oarecare OA, adic

pp OAOAOAOP +++= ...1100 (2.1)Combinaia afin (2.1) poate fi scrisi sub forma

==

+

=

p

iii

p

ii AAP

10

1

1 , iK, pi ,1= (2.2)

Scalarii 0, 1, ..., p cu proprietatea 0 + 1 + ... + p = 1 se numesc coeficienii combinaiei afine sauponderi.

3.2.2 Definiie. Un sistem finit de puncte din A se numete afin dependent dacexistun punct n sistem care sse exprime ca o combinaie afinacelorlalte puncte din sistem. n caz contrar vom spune c sistemuleste afin independent.

3.2.3 Propoziie. Sistemul de puncte este afin dependent (independent) daci numai

dac sistemul de vectori }{ 02010 pAA, ...,AA,AA este liniar

2


5/64

dependent (independent).

3.2.4 Definiie. Un sistem de puncte R = {A0, A1,..., An} se numete reper afin nspaiul afin An dacsunt ndeplinite condiiile:1) R este un sistem de puncte afin independent2) Orice punct P An poate fi exprimat ca o combinaie afin a

punctelor din R .

DacR este un reper afin, atunci pentru PA avem

nnAAAP +++= ...1100 , PAn (2.6)

n care 1...210 =++++ n (2.7)Sistemul de puncte {A0, A1, ...,An} afin independent, ce formeaz un reper afin, determin n mod unic

sistemul de vectori liniar independeni nAAAAAA 02010 ,...,, ce reprezint o baz a spaiului vectorial directorVnal spaiului afin An.

Dac considerm punctul A0 = O ca punct origine al spaiului afin An i notnd baza spaiului vectorial

director cu nn AAeAAeAAe 0202101 ,...,, ===r

putem defini ntr-un spaiu afin An noiunea de reper cartezian.

3.2.5 Definiie. Se numete reper cartezian ntr-un spaiu afinAn ,o pereche R = {O; B}, n care O este un punct fixat n An, iarB =

{ neee ,...,, 21 } este o baza spaiului vectorial director.

Fie B = { neee ,...,, 21 } o baz a spaiului vectorial director Vn. Atunci, pentru fiecare punct P An,

vectorul de poziie OP poate fi scris n mod unic sub forma:

nnexexexOPrrr

+++= ...2211 (2.8)

Scalarii x1,x2,...,xn vor fi numii coordonatele carteziene ale punctuluiPn raport cu reperul R = {O; B},

iar bijecia nnn

,...,x,xxP K)(21

aA va fi numitfuncie de coordonate corespunztoare reperului R =

{O; B}.Fie R = {O; B}, un reper cartezian n An. Un alt reper

R= {O; B}, din An va fi determinat n mod unic dac cunoatem vectorul de poziie al punctului O fa de

reperul iniial R i relaia dintre B= { neee ',...,',' 21 } i baza iniialB = { neee ,...,, 21 }, adic

njaeae

eaOO

ijn

niiji

i

n

ii

,1,0)det(,'

'

1

10

=

=

=

=

= (2.9)

DacPAn este un punct oarecare i (xi), (xj), i,j = n,1 sunt coordonatele sale n reperul R respectiv R,atunci din relaia POOOOP '' += obinem formulele

njiaaxax ijijiji ,1,,0)det(,' 0 =+= (2.10)

numite ecuaiile transformrii de coordonate obinute la schimbarea reperului R cu R.Dac notm cu X = t[x1,x2, ...,xn], X=

t[x1,x2, ...,xn], A0 = (ai0),A = (aij) putem scrie ecuaiile schimbrii de coordonate sub form matriceal

3


6/64

00 'sau

1

'

101AAXX

XAAX+=

=

(2.11)

Matricea de ordinul n + 1 este numitmatricea de trecere de la reperul R la reperul R.

10

0AA

n particular dacB

=B atunci

A = Iiar ecua

iile (2.11) se scriu sub forma:

niaxxAXX ii ,1,'sau' 010 =+=+= (2.11)

Schimbarea reperului R = {O; B} cu R = {O; B } guvernat de ecuaiile transformrii de coordonate(11) se numete translaie.

Dac O= O, schimbarea reperului R = {O; B } cu reperul

R= {O; B}, adicai0 = 0, ni ,1= se numete centro-afinitatei este caracterizat de ecuaiile

nixaxAXX iji ,1,'sau' 1 === (2.11)

Remarc: Orice reper afin poate fi nlocuit cu un reper cartezian i reciproc.

3.3. Subspaii afine

Fie (A , V, ) un spaiu afin, Ao submulime nevid a lui Ai restricia lui la A A . DacV= (A A) este un subspaiu vectorial al lui Vatunci sunt satisfcute axiomele A1) i A2) pentru tripletul (A ,V, ).3.3.1 Definiie. Se numetesubspaiu afin al spaiului afin (A , V, ) un triplet(A

, V, ), unde AA este o submulime nevid, V = (A A) este un subspaiu vectorial al lui V, iar este restricia lui la AA.

Un subspaiu afin al unui spaiu afin (A , V, ) este determinat fie de submulimea A A pentru care

(A A) = V

V este subspaiu vectorial, fie de un punct P0A i un subspaiu vectorial V

V, cazn care mulimea suport este dat de }'AP/'A{' V=

0AA .

3.3.2 Propoziie. O submulime nevidAA este un subspaiu afin daci numaidaccombinaia afina oricror doupuncte din Aaparine luiAadic

A, B A (1 - )A + B A , K (3.1)

3.3.3 Definiie. Subspaiul generat de dou puncte afin independente din A, S ={A0,A1}, se numete dreapt afin, pe scurt dreapt, dat de

A 1 = {PA /P=(1 - )A0 + A1, K} (3.2)

Spaiul vectorial director este dreapta vectorial

},/{ 1000 KV1 == AAPAVPA (3.3)

Punctele A0,A1A sunt afin independente daci numai dacA0A1.

4


7/64

n spaiul vectorial V1 exist cel puin un vector nenul (A0A1) i orice doi vectori sunt liniar dependeni,ceea ce nseamn c dim A1 = 1.

Doi vectori ai spaiului vectorial V1 se zic coliniari.

3.3.4 Definiie. Spunem cun punct PA 1 mparte segmentul orientatAB, A

B, n raportul kK, dac PBkAP= . Spunem cnumrul kKeste raportul simplu al punctelor A, B, PA 1.

3.3.5 Propoziie.Punctul PA 1 mparte segmentulAB, A B, n raportul kK,daci numai dacpentru un punct fix O A 1, avem

k

OBkOAOP

++

=1

, k -1 (3.4)

nlocuind OAOPAP = , OPOBPB = n relaia PBkAP= se obine (3.4) i reciproc.n caz particular pentru k= 1 se obine mijlocul segmentului orientat AB .Vom numi figur a dreptei afine A 1 orice submulime de puncte din A 1.

nelegem prin geometria afin a dreptei A 1 mulimea noiunilor, figurilori proprietilor lor bazate peaxiomele ce definesc un spaiu afin.

3.3.6 Definiie. Subspaiul generat de trei puncte S = {A0, A1, A2} A afineindependente se numeteplan afin, pe scurt plan, dat de

},,AAA)(P/P{ K++== 1210

AA (3.5)

Spaiul vectorial director este planul vectorial

V2 = { PA0 V/ PA0 = 10AA + 20AA , , K} (3.6)

Vectorii spaiului V2 se numesc vectori coplanari.

3.4. Spaiul afin geometric al vectorilor liberiFieE3 spaiul punctual al geometriei elementare i V3 spaiul vectorial al vectorilor liberi.

Dac asociem oricrui bipunct (A, B) E3E3 vectorul liber B V3 atunci aplicaia :E3E3

V3 , (A, B) = B satisface proprietile A1) i A2) din definiia spaiului afin, adic

A1) A, B, CE3 , ACBCAB =+ A2) v V3, AE3 exist un punct B E3 unic determinat de relaia vAB = .

3.4.1 Definiie. Tripletul A3 = ( E3, V, ) se numete spaiul afin geometric alvectorilor liberi.

Elementele spaiului afin A3 sunt puncte i vectori. Punctele spaiului afin A3 sunt punctele mulimii suportE3 pe care le vom nota cu majuscule A, B, C, ..., O, P, ..., iar vectorii spaiului afin A3 sunt vectorii spaiului

vectorial directorV3, vectorii liberi pe care-i vom nota cu AB , CD , ..., sau cu ,...,,,...,, vuba . Aplicaia :E3E3V3 ce satisface axiomele A1) i A2) reprezint funcia de structur afin, iar relaia de echivalen definit deaceasta pe mulimeaE3 reprezint tocmai relaia de echipolen ~ a segmentelor orientate, aa cum aceasta a fostdefinit n geometria euclidian.

Fie OE3 un punct fixat. Aplicaia :E3E3V3 definit prin 0(A) = (O,A), AE3 este bijectiv(Conseciena 1.2) ceea ce permite identificarea spaiului punctualE3 cu spaiul vectorial al vectorilor liberi.

5


8/64


9/64

Am definit n paragraful precedent proiecia pe o dreapt paralel cu un plan i respectivproiecia pe un plan paralel cu o dreapt. Dac dreapta dE3 este perpendicular pe planul E3 atunci proiecia paralel cu planul a vectorului v V3 pe dreapta dva fi numit proiecia

ortogonala vectorului v pe dreapta di va fi notat cu vprd , iar proiecia paralel cu dreapta

da vectorului v pe planul va fi numitproiecia ortogonala vectorului v pe planuli va fi

notat cu vpr .Se demonstreaz uor c proiecia unui vector pe dou drepte paralele ne procur acelaivector, ceea ce nseamn c proiecia unui vector pe o dreapt depinde numai de direciaacesteia. De aceea dac u este un vector nenul care definete direcia dreptei d, atunci putem

vorbi de proiecia lui v pe u , pe care o vom nota cu vpru .

Dac e este versorul lui u , adic u = | u | e , atunci pentru v V3 , vpru

este un vector coliniar cu e , vpru = | vpru | e .

Numrul real | vpru | se numete mrimea algebrica proieciei ortogonale vpru pe care

o vom nota simplu vpru , i care reprezint coordonata vectorului v pe direcia determinat de

u .

3.5.1.1 Teorem. Pentru u V3 \ { 0 } v , w V3 , i R avem:

vprvpr

wprvprwvpr

uu

uuu

=

+=+

)(

)((1.1)

3.5.2. Produsul scalar

Fie V3 spaiul vectorial real al vectorilor liberi

3.5.2.1Teorem.

Funcia :V3V3R, definitprin

|u |.|v | cos( u , v ) , vu, V3 \ {0 }

= vu (2.1)0 , pentru 0=a sau / i 0=b

definete unprodus scalarpe spaiul vectorial al vectorilor liberi.

3.5.2.2

Consecin.

Spaiul vectorial al vectorilor liberi V3 nzestrat cu

produsul scalar(2.1) este un spaiu vectorial euclidianreal.

3.5.2.3Consecin.

Spaiul afin A3 = (E3, V3, ) avnd ca spaiu vectorialasociat spaiul euclidian V3 , devine unspaiu punctualeuclidian pe care-l vom nota cu 3.

7


10/64

Cu ajutorul acestui produs scalar se definete n mod natural norma || u || = >< vu , =

>< )v ), f(uf( R

Dac considerm dou puncte arbitrare A, B E3 i vectorii de poziie OA i OB caracterizai de ternele ( x1, x2, x3) R

3 , i respectiv ( y1, y2, y3) R3, atunci vectorul

OAOBAB = va fi caracterizat de terna (y1 x1,y2 x2,y3 x3) i va avea norma dat de

||||AB = >< ABAB, = >< )(),( ABfABf R =

= 2332

222

11 )()()( xyxyxy ++ = ),( BA = | B |.

Acest rezultat arat c norma ||AB || definit de produsul scalar (2.2) coincide culungimea geometric |AB | , a vectorului AB .

Unghiul a doi vectori nenuli OA i OB V3 definit de produsul scalar < , > coincide cuunghiul (geometric) definit de direciile semidreptelor |OAi |OB . n adevr,

||||||||

,cos

OBOA

OBOA

>0, b>0, c>0.

Pentru a vedea care este forma acestei suprafee se va face intersecia ei cu :- axele de coordonate : ( )a,0,0A:(Ox) i ( )A' a,0,0 ,

( )b,00,B:(Oy) i B(0,-b,0),( )c0,0,C:(Oz) i ( )C' 0,0, c ,

- planele de coordonate : (xOy) :

=

=+

0,z

0,1b

y

a

x

(xOz) :

=

=+

0,y

0,1c

z

a

x

(yOz) :

==+0,x

0,1cz

by

adic elipse n planele de coordonate,- plane paralele cu planele de coordonate, de ecuaii:

19


22/64

z=h:

=

=+

h,z

0,c

h1

b

y

a

x

care reprezint elipse, dac h c< .Analog pentru intersecia cu planele de ecuaii: y=h, x=h .

ntruct pentru (x,y,z)(E) rezult: (-x,y,z), (x,-y,z), (-x,-y,z), (-x,-y,-z)(E) se obine celipsoidul admite planele de coordonate (xOy), (xOz) i (yOz), ca plane de simetrie. Deasemenea i interseciile acestor plane: axele de coordonate (Ox), (Oy), (Oz) sunt axe de simetrieale elipsoidului, precum i originea O este centrul de simetrie al elipsoidului.

Dac a=b=c se obine o sfer.Dac se are n vedere cele expuse mai sus, se poate reprezenta elipsoidul n modul

urmtor:

8 3. HIPERBOLOIDUL CU O PNZ.

Definiia 3.1: Se numete hiperboloid cu o pnz, ( )H1 , locul geometric al punctelor Mdin spaiul , ale cror coordo-nate (x,y,z) n raport cu reperul ortonormat

3E k,j,i0,=R ,

satisfac ecuaia :

(H1):x2

a2y2

b2z2

c21 0+ = , a>0, b>0, c>0.

Dac se procedeaz ca n cazul precedent suprafaa (H1):x2

a2y2

b2z2

c21 0+ = , a>0,

b>0, c>0 se va numi: hiperboloid cu o pnz cu axa (Oz) ca ax netransvers. Atunci i

suprafeele:

(H1): 01c

z

b

y

a

x =++ ,a>0, b>0, c>0 i (H1): 01c

z

b

y

a

x =+ ,

a>0, b>0, c>0 reprezint hiperboloizi cu o pnz cu axe netransversale (Ox) i (Oy).

Hiperboloidul cu o pnz are urmtoarea reprezentare grafic:

20


23/64

84. HIPERBOLOIDUL CU DOU PNZE.

Definiia 4.1. Se numete hiperboloidul cu dou pnze , ( )H2 , locul geometric al punctelor M din spaiul , ale cror coordonate (x,y,z) n raport cu reperul ortonormat

3E

k,j,i0,=R satisfac ecuaia:

( ) :H2x2

a2y2

b2z2

c21 0+ + = , a>0, b>0, c>0.

Dac se consider n mod asemntor, interseciile hiperboloidului cu dou pnze cuaxele de coordonate i planele de coordonate , se observ c acesta are numai dou vrfuri , nutaie planul (xOy), iar interseciile lui cu planele (xOz), (yOz) sunt hiperbole.

Suprafaa :( )H2x2

a2y2

b2z2

c21 0+ + = , a>0, b>0, c>0 se mai numete: hiperboloid cu dou

pnze cu ax transversal axa (Oz). Atunci i suprafeele: 2H : 01cz

b

y

a

x

=+++ , a>0, b>0,

c>0 i2'H' : 01

c

z

b

y

a

x =++ , a>0, b>0, c>0 repre-zint hiperboloizi cu dou pnze dar

cu axele (Ox) i respectiv (Oy) ca axe transversale.Hiperboloidul cu dou pnze are urmtoarea reprezentare grafic :

21


24/64

8 5. PARABOLOIDUL ELIPTIC.

Definiia 5.1. Se numete paraboloid eliptic, ( )PE locul geo-metric al punctelor M dinspaiul , ale cror coordonate (x,y,z) n raport cu reperul ortonormat

3E k,j,i0,=R , satisfac

ecuaia :

( ) :PEx2

a2y2

b22pz+ = , p>0, a>0, b>0.

Intersecia paraboloidului eliptic cu planul (yOz) i respectiv (xOz) este parabola:

=

=

2pz,2b

2y

0,x

i respectiv parabola:

=

=

.2pz2a

2x

0,y

Interseciile suprafeei cu planele de ecuaii z=h>0 , sunt elipse, iar cu planele de

ecuaii: x=h, y=h sunt parabole.

(PE)

Din forma ecuaiei rezult c planele (xOz) i (yOz) sunt plane de simetrie, iar axa (Oz) ax de simetrie.

Paraboloidul eliptic are urmtoarea reprezentare grafic:

8 6. PARABOLOIDUL HIPERBOLIC.

Definiia 6.1. Se numete paraboloid hiperbolic sau a, ( )PH , locul geometric al punctelor M din spaiul , ale cror coordonate (x,y,z) n raport cu reperul ortonormat

3E

k,j,i0,=R satisfac ecuaia :

( )PH :x2

a2y2

b22pz = , p>0, a>0, b>0.

Intersecia cu planul (xOy) sunt dreptele :x

a

y

b0

z 0

=

=

i

=

=+

.0z

0b

y

a

x

22


25/64

Interseciile cu plane paralele cu (xOy) de ecuaii z=h, *Rh sunt hiperbolele:

=

=

.hz

0,2phb

y-

a

x

Interseciile lui ( cu planele (xOz) i (yOz) sunt respectiv parabolele:)PH

=

=

2a

2x2pz

0y

i

=

=

.2b

2y2pz

0x

Interseciile suprafeei cu plane paralele cu planul (yOz), de ecuaii z=h,(PH)*Rh ,

sunt parabolele:

=

=

,*, Rh2b

2y

2a

2h2pz

h,x

iar interseciile cu plane paralele cu planul (xOz), de ecuaii z=h, *Rh , sunt parabolele:

=

=

. *Rh2b

2h

2a

2x2pz

h,y

,

Paraboloidul hiperbolic este simetric fa de (xOz) (yOz) i axa (Oz).

Paraboloidul hiperbolic are urmtoarea reprezentare grafic:

CAPITOLUL 9 GENERRI DE SUPRAFEE

9 1. Suprafee cilindrice.

Definiia 1.1. Se numete suprafa cilindric, suprafaa generat prin micarea uneidrepte care rmne paralel cu o dreapt dat i se sprijin pe o curb dat, numit curbdirectoare a suprefeei.

23


26/64

Se consider dreapta (d) de ecuaii (d): dat ca intersecie a dou plane.

=

=

0,(Q)

0(P)

Fie curba (C) dat ca intersecie a dou suprafee :

(C):

Dreptele generatoare

, paralele cu dreapta (d), se obin ca intersecii a dou

familii de plane, paralele cu planele (P) i (Q):

:

=

=

0.z)y,G(x,

0,z)y,F(x,

,

,

=

=

(Q)

(P), R, .

Condiia ca aceste drepte s se sprijine pe curba (C) este ca sistemul:

====

0,(G)

0,(F)

(Q)(P)

,,

s

aib soluii.ul este subdimensionat , are patru ecuaii i x,y,z,Sistem , necunoscute , deci n

neraii , se obine o singur ecuaie n

ge l este compatibil.Dac se elimin x,y,z din cele patru ecua i :

( ) , 0= , numit condiie de sprijin ( sau condiie de compatibilitate a sistemului ).se nlocuiesc iDac din ecuaiile generatoarelor, ( ),, n aceast condiie,

adic ( ) 0,(Q)(P), = se o ine uaia suprafeei cilindrice.b ec

Observaia 1.1. Dac este dat numai direcia dreptei (d) , adic vectorul ei director:

( )v l n , atunci innd cont c toate dreptele din spaiu paralele cu aceast direcie taie cell din planele de coordonate, se pot scrie ecuaiile generatoarelor lund puncte din unul

din aceste plane, dac direcia nu este paralel cu el.

Deci : :

,m,

puin unu

,x y z = = , aici fiind luat un punct ( ),0,,M R,l m n

din planul

(xOy). Astfel ecuaiile generatoarelor se mai pot scrie :

24


27/64

:

= .R z,my

, ,

=

n

z,n

lx

Caz parti ar cul : S se scrie ecuaia suprafetei cilindrice cu generatoarele paralele cu axa

z) i curba directoare (C):

: (Oz):=

, deci :

(O

==0.G

0,F

Axa (Oz) are ecuaiilex 0=

y 0

,

=

=

y,

xR, , iar ecuaia

suprafeei cilindrice cu generatoarele paralele cu (Oz) va fi ( ) x,y 0= , ecuaie n carepsete se ob ra r cilindrice cu g

paralele cu axele (Ox) i (Oy).li necunoscuta z. n mod analog in ecuaiile sup feelo eneratoarele

9 2. Suprafee conice.

Definiia 2.1. Se numete suprafa conic , suprafaa generat prin micarea unei drepte,it vrfi se sprijin pe o curb dat, numit curb directoare.

,0(R)

respectiv, dac , atunci :

care trece printr-un punct fix, num

Fie V punctul fix. Se poate presupune c V este obinut ca intersecie a trei plane (eventual paralele cu planele de coordo-nate) , adic :

= 0,(P)

V :

=

= 0,(Q)

( )V x0,y0,z0

.0=0

zz(R)

0,=0

yy(Q)

0,=0

xx(P)

Toate dreptele care trec prin V pot fi obinute prin intersec-tarea fascicolelor de plane :

,

:

=

=

,R)(Q)

R),(P)

R.

,(

(

=

=

0.z)y,G(x,

0,z)y,F(x,

Fie (C) curba directoare, e ecuaii: (C) :d

25


28/64

Condiia ca dreptele generatoare s se sprijine pe curba directoare (C), este ca

sistemul :

,

====

0,(G)

0,(F)

R(Q)R(P)

),(),(

s fie compatibil. n mod analog cu cazul suprafeelor cilindrice, prin

eliminarea lui x,y,z din acest sistem, se obine condiia de sprijin: ( ) , = 0 . Dac se

nlocuiesc pe i din ecuaiile generatoa-relor , se obine ecuaia suprafeei conice : ,

0(R)

(Q),

(R)

(P) =

.

Observaia 2.1. Dac se ine cont de faptul c dintre cei trei parametri directori ai uneidirecii din spaiu, sunt eseniali doar doi, o direcie oarecare poate avea componentele ( ), ,1

i atunci, dac vrful este dat prin coordonatele lui, adic : ( )V x0,y0,z0 , dreptele generatoareau ecuaiile :

: ,

x x0

y y0

z z0

1

=

=

, R, ,

adic:

,

:

=

=

,

,

R.

,

0

zz

0

yy

0zz

0xx

9 3. Conoid cu plan director.

Definiia 3.1. Se numete suprafa conoid cu plan director, suprafaa generat prinmicarea unei drepte, care ramne paralel cu un plan (P), dat, numit plan director i se sprijinatt pe o curb dat (C), numit curb directoare ct i pe o dreapt dat, (d).

26


29/64


30/64

Se observ c fiecare punct al curbei (C) descrie un cerc cu centrul pe dreapta (d) , avnd

planul perpendicular pe axa de rotaie.Deci, se poate spune c suprafaa de rotaie este suprafata generat de

cercuri, cu centrele M0 axa de rotaie, (d), de raz variabil, avnd planul perpendicular pe ax icare se sprijin pe curba (C).

Fie axa de rotaie (d) : x x0l

y y0m

z z0n

= = , i curba dat (C), de ecuaii:

(C) :

=

=

.0z)y,G(x,

0z)y,F(x,

Cercurile generatoare se obin dac se intersecteaz sfere cu centrul n ( )M0 x0,y0,z0 i raz variabil, cu plane paralele i perpendiculare pe ax.

:C,

=++

=++

.R

,,

,2222

nzmylx

0zz

0yy

0xx

Dac se impune condiia ca aceste cercuri s se sprijine pe curba (C), din sistemul formatde ecuaiile cercurilor generatoare i ecuaiile curbei (C), se obine condiia de sprijin :

.0, =

2

Prin nlocuirea lui 2 i a lui din ecuaiile generatoarelor, se obine:

,0nzmylx,2

0zz

0yy

0xx =++++

22

care reprezint ecuaia suprafeei de rotaie.

28


31/64

PARTEA II-a:GEOMETRIE DIFERENTIALA

Prof. univ.dr. ATANASIU GHEORGHE

2007


32/64

ii


33/64

Cuprins

1 /setcounterchapter1/RESUME 1

2 Curbe n spatiu 32.1 Reprezentarea analitica a curbelor n spatiu . . . . . . . . . . 32.2 Element de arc al unei curbe n spatiu . . . . . . . . . . . . . 92.3 Dreapta tangenta si planul normal la o curba n spa tiu . . . . 132.4 Reperul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Formulele lui Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Curbura si torsiune. Interpretari geometrice . . . . . . . . . . 23

2.6.1 Interpretarea geometrica a curburii si torsiunii. Sem-nul torsiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.2 Forma locala a unei curbe n vecinatatea unui punctregulat. Reprezentarea canonica. Ecuatiile intrinseci . 27

2.6.3 Calculul curburii si torsiunii cu t - parametru oarecare 29

iii


34/64

iv CUPRINS


35/64

Capitolul 1

/setcounterchapter1/RESUME

1


36/64


37/64


38/64

4 CAPITOLUL 2. CURBE N SPATIU

transformare de tipul

(2.2) t = t(t):

Deoarece multimea punctelor () din 2.1 este initial conditionata, vomadmite numai acele transformari care, aplicate unei reprezentari 2.1 admisi-bile de clasa p; sa conduca la reprezentari admisibile !r = !r (t) tot de clasa

p si sa reprezinte ntreaga multime de puncte ().

Denitia 2.2 Doua reprezentari admisibile de clasa p se spun a echiva-lente daca exista o transformare de parametrut = t(t) care sa le transformeuna n alta, cu urmatoarele proprietati:

P0 : Functiat = t(t) : I ! I; undeI este un interval, este bijectiva.P1

: Functiat = t(t) este de clasap 1 peste tot nI:P2

: Derivatadt

dteste diferita de zero peste tot n I:

Este usor de vericat ca relatia denita mai sus ndeplineste axiomeleechivalentei.

Denitia 2.3 O clasa de echivalenta de reprezentari admisibile de clasa pse numestearc regulat de curba de clasa p:

Cu alte cuvinte, un arc regulat este format din multimea de puncte ()(puncte ale arcului) si un reprezentant !r = !r (t) al clasei de echivalenta:f() : !r = !r (t); t 2 Ig : n continuare, vom neglija acolada pentru de-semnarea arcului regulat, notnd simplu:

() : !r = !r (t); t 2 I:

Conditiile P0; P1; P2 se numesc conditii de regularitate. Un punctcare ndeplineste aceste conditii se numeste punct regulat, spre deosebirede punctul singular, care nu ndeplineste cel putin una din aceste conditii.Este evident, din cele de mai sus, ca un arc regulat este constituit din puncte

regulate, abstractie facnd eventual de extremitati, si ca un arc regulat nuare intersectii cu el nsusi (conform presupunerii P0), adica, nu are punctemultiple.

Fie I un interval, nu neaparat marginit.

Denitia 2.4 O reprezentare de forma !r = !r (t) : I ! (C) se numestereprezentare general admisibila de clasa p daca ea satisface P1 si P2(nu neaparat si P0), nsa restrictia acesteia la un subinterval eI = (a; b) Ieste un arc regulat de curba.


39/64

2.1. REPREZENTAREA ANALITICA A CURBELOR N SPATIU 5

Denitia 2.5 Doua reprezentari!r = !r (t) : I!

(C) si!r = !r (t) : I!(C) general admisibile de clasap se spun a echivalente daca pentru orice

subinterval eI = (a; b) al lui I; restrictia lui !r (t) la eI este echivalenta curestrictia lui!r (t) la un subinterval al lui I; n sensul denitiei 2.2.

Axiomele echivalentei sunt evident ndeplinite, asa nct dam

Denitia 2.6 Prin curba de clasa p, ntelegem o clasa de echivalenta dereprezentari general admisibile de clasap: Elementele multimii de puncte dinaceasta clasa sunt numite puncte ale curbei.

Asadar, o curba este ansamblul format de multimea de puncte (C)(puncte ale curbei) si un reprezentant !r = !r (t) al clasei de echivalenta:

(C) : !r = !r (t); t 2 I R : n continuare, vom nota, pentru simplitate:(C) : !r = !r (t); t 2 I:

Denitia de mai sus arma ca, de fapt, o curba de clasa p este oreuniune de arce regulate de clasa p.

Deoarece presupunerea P0 nu este ntotdeauna ndeplinita, o curba poateadmite puncte multiple (autointersectii). Curbele care nu admit puncte mul-tiple se numesc curbe simple.

O curba se spune a nchisa daca ea poate reprezentata printr-o functievectoriala periodica !r (t):!r (t + w) = !r (t); 8t 2 I

(unde w > 0 este xat).O curba se numeste plana daca toate punctele ei sunt continute ntr-un

plan; o curba care nu este plana se numeste curba strmba.Geometria diferentiala a curbelor n spatiu se ocupa n mod special de

studiul curbelor n vecinatatea unui punct regulat.Din expresia analitica a functiei vectoriale 2.1, avem:

(2.3)

8


40/64


Daca, de exemplu, _x(t)

6= 0; rezulta ca functia x = x(t) admite o inversa

t = t(x) si avem pentru un arc regulat (mai general, chiar pentru o curba)ecuatiile:

(2.4) y = y(x); z = z(x):

Astfel, o curba n spatiu poate aparea si n reprezentarea 2.4 cu x dreptparametru, ecuatiile 2.4 reprezentnd din punct de vedere geometric inter-sectia a doi cilindri, primul cu generatoarele paralele cu Oz si al doilea, cugeneratoarele paralele cu Oy:

La fel, daca _y(t) 6= 0 sau _z(t) 6= 0; obtinem pentru curba reprezentarile:

x = x(y); z = z(y);

cu y drept parametru, sau, respectiv,

x = x(z); y = y(z);

cu z drept parametru al curbei.Mai general, o curba n spatiu poate obtinuta si din sistemul

(2.5)

F(x;y;z ) = 0G(x;y;z ) = 0;

care, n conditiile teoremei functiilor implicite pentru doua ecuatii implicite??, conduce la ecuatii de tip 2.4. Amintim ca functiile F si G trebuie sa econtinue, cu derivate partiale cel putin de ordin 1 continue si cel putin unuldin determinantii functionali

D(F; G)

D(y; z)=

F0y F0zG0y G0z ; D(F; G)D(z; x) =

F0z F0xG0z G0x ;(2.6)

D(F; G)

D(x; y)=

F0x F0y

G0x G0y

sa e diferit de zero. Ecuatiile 2.5 poarta numele de reprezentarea

carteziana generala a curbei.Daca n 2.5 consideram x; y ca variabile independente atunci putem, n

conditiile impuse de analiza matematica, explicita 2.5 n forma:

(2.7)

z = f(x; y)z = g(x; y);

care este o ultima forma analitica pentru ecuatiile unei curbe n spatiu.


41/64

2.1. REPREZENTAREA ANALITICA A CURBELOR N SPATIU 7

Deoarece ecuatia z = f(x; y) poate scrisa sub forma:

(2.8)

8


42/64


g. 2.1

Ecuatiile generale ale curbei sunt:

x2 + y2 + z2 r2 = 0x2 + y2 rx = 0:Vom da si o reprezentare parametrica a curbei.

Fie M(x;y;z ) 2 (C); M0 (x;y; 0) - proiectia lui M pe planul xOy (M0apartine cercului de diametru OA). Sa observam ca triunghiurile OAM0 siOM M0 sunt dreptunghice si congruente (OM0 comuna si OA = OM = r).Prin urmare, \AOM0 \MOM0: Notnd cu t = \AOM0; obtinem:8


43/64

2.2. ELEMENT DE ARC AL UNEI CURBE N SPATIU 9

n ceea ce urmeaza, vom prezenta teoria diferentiala a curbelor n spatiu

n reprezentarea parametrica 2.1, iar la nalul capitolului vom prezenta for-mulele necesare trecerii de la reprezentarea parametrica la reprezentareacarteziana generala.

ncheiem acest paragraf introducnd notiunea de orientare pe o curban spatiu, n acelasi mod ca pentru o curba plana.

Denitia 2.7 Numim sens pozitiv de parcurs pentru curba (C) : !r =!r (t); t 2 I; sensul care corespunde cresterii valorilor parametrului t:

Evident, exista doua moduri de orientare a lui (C) si trecerea de la o ori-entare la orientarea opusa poate efectuata printr-o transformare de para-

metru a carei derivata este negativa: t = t(t); dt

dt< 0 (n particular, putem

alege t = t).

2.2 Element de arc al unei curbe n spatiu

Notiunea de arc recticabil al unei curbe plane a fost introdusa n 2 alcapitolului precedent. Deoarece aceasta notiune este independenta de reper,ea ramne valabila si pentru curbele n spatiu.

Fie (C) : 8


44/64


45/64

2.2. ELEMENT DE ARC AL UNEI CURBE N SPATIU 11

unde s =k!

v sk

!r s : Sumnd acum dupa s; obtinem:

(2.11) L(Qn) =nX

s=1

(ts ts1) !r s+ nX

s=1

(ts ts1)s:

Din inegalitatea triunghiului (proprietatile normei), nsa,

s = k!v sk !r s !v s !r s :

Folosind faptul ca

!r s este continua, avem ca, pentru " > 0 dat, exista (")astfel nct

!v s !r s < " daca ts ts1 < : Din aceasta cauza, dacalungimea corzii maxime este mai mica dect ; atunci

nXs=1

(ts ts1)s nX

s=1

(ts ts1)!v s !r s

"nXs=1

(ts ts1) = "(b a):

Aceasta ultima egalitate ne arata ca daca lungimea corzii maxime se apropiede zero cnd n ! 1; ultima suma din 2.11 tinde la zero; prima suma tinde,n acest caz, la integrala 2.10.

n acest fel, prima parte a teoremei este demonstrata.Fie, acum !r = !r (t) un alt reprezentant al clasei de echivalenta a

reprezentarii !r = !r (t): Atunci, exista o transformare t = t(t) denitape un interval I = (a; b) care duce o reprezentare n alta. Conform pre-

supunerilor P1

; P2

, avemdt

dtcontinua pe I si substituind n 2.10 pe t;

avem:

L _AB

=

bZa

!r (t) dt =bZa

!r (t) dtdt dt =bZa

d!rdt dt;ceea ce demonstreaza si cea de-a doua parte a teoremei.

Din 2.10, avem:

(2.12) L _AB

=

bZa

!r (t)

dt =

bZa

kd!r k =bZa

pdx2 + dy2 + dz2:


46/64


47/64

2.3. DREAPTA TANGENTA SI PLANUL NORMAL LA O CURBANSPA TIU13

Specicam ca punctul corespunzator pe (C) lui s = 0; adica t = t0 poate

ales, n 2.14, arbitrar. Sensul pozitiv al reprezentarii 2.15 este acelasi cu celal reprezentarii initiale !r = !r (t); deoarece s = s(t) este o functie monotoncrescatoare. Utiliznd observatia din nalul paragrafului precedent, pentru aobtine orientarea opusa putem ntrebuinta pe s = s; ca un nou parametru.

Facem conventia ca n continuare, derivatele functiei vectoriale !r nraport cu parametrul natural s sa le notam cu accente, spre deosebire dederivatele aceleiasi functii n raport cu parametrul t oarecare, pe care ne-amobisnuit sa le notam cu puncte:

!r 0 = d!r

ds; !r 00 = d

2!rds2

;!r = d

!rdt

;!r = d

2!rdt2

etc.

2.3 Dreapta tangenta si planul normal la o

curba n spa tiu

Fie (C)

8


48/64


Daca!R este vectorul de pozitie al unui punct arbitrar N(X ; Y ; Z ) de pe

tangenta, atunci: !R !r = !MN = !r :Adica:

(2.16) (tg) :!R = !r +

!r ; 2 R;

este ecuatia vectoriala a dreptei tangente n M la (C):Pe componente, avem:

(2.17) (tg) :X x

x

=Y y

y

=Z z

z

;

ecuatiile dreptei tangente la (C) n punctul M; sub forma de rapoarte.

Versorul dreptei tangente se noteaza cu ! si se obtine mpartind!r la

lungimea sa:

(2.18) ! =!r !r =

d!rdtds

dt

=d!rds

:

Daca curba este data de intersectia a doua suprafete:

(C)

F (x;y;z ) = 0G (x;y;z ) = 0

;

presupunnd ca x = x (t) ; y = y (t) ; z = z(t) este o parametrizare a curbei,prin derivare n raport cu t; obtinem:

(2.19)

(F0x

x + F0y

y + F0z

z = 0

G0x

x + G0yy + G0z

z = 0:

Matricea sistemului are rangul doi n punctul regulat M(x;y;z ); prin

urmare, putem presupune ca, spre exemplu, determinantul F0x F0yG0x G0y este

diferit de zero.Rezolvam sistemul de mai sus prin regula lui Cramer, lund _z ca para-

metru. Obtinem:

x

F0y F

0z

G0y G0z

=

y

F0x F0z

G0x G0z

=

z

F0x F

0y

G0x G0y

:


49/64

2.4. REPERUL FRENET 15

Din 2.17 si ultimul sir de egalitati, obtinem ecuatiile dreptei tangente

n cazul curbei date ca intersectie de doua suprafete, sub forma:

(2.20)X x F0y F0zG0y G0z

=Y y

F0x F0zG0x G0z

=Z z F0x F0yG0x G0y

:Denitia 2.10 Se numeste plan normal (N) la curba ntr-un punct re-gulat M 2 (C); planul perpendicular n M pe dreapta tangenta.

Notnd cu!R vectorul de pozitie al unui punct din planul normal (N) ;

ecuatia vectoriala a planului normal este:

(2.21)!r h!

R !r (t)i

= 0:

Pe componente, (N) se scrie:

(2.22)x (t) [X x (t)] + y (t) [Y y (t)] + z(t) [Z z(t)] = 0;

sau:

(2.23) X x (t) Y y (t) Z z(t)

F0x F0y F

0z

G0x G0y G0z = 0:2.4 Reperul Frenet

Fie (C) : !r = !r (t); t 2 I o curba de clasa cel putin 2 si M0 un punctal lui (C); corespunzator valorii t0 a parametrului. Presupunem ca M0 estepunct regulat. Avem

!r (t0) 6= 0

si, dupa cum am vazut mai sus, vectorul

!r (t0) ne da directia dreptei tangente

n M0 la curba. Luam n considerare si vectorul!r (t0): Daca

!r (t0) 6= 0;punctul M0 se numeste neinexionar (n caz contrar, el poarta numele depunct inexionar al lui (C)).

Mai mult, daca!r (t0)

!r (t0) 6= 0;


50/64


adica, daca vectorii

!r (t0) si

!r (t0) nu sunt coliniari, atunci punctul M se

numeste nestationar (n caz contrar, el poarta numele de punct stationaral lui (C)).

Presupunnd ca M0 este neinexionar si nestationar, directiile vectorilor!r (t0) si

!r (t0), mpreuna cu punctul M0; determina n mod unic un plan.Denitia 2.11 Se numesteplan osculator(0) la curba(C) ntr-un punctneinexionar si nestationar M0(t0) 2 (C); planul care trece prin M0 sicontine directiile vectorilor

!r (t0) si!r (t0):

Directia normala la acest plan este, evident,

!r (t0)

!r (t0) : De aici,deducem ecuatia sa vectoriala:

(2.24) (0) :!

R !r (t0)

!r (t0) !r (t0)

= 0;

unde!R este vectorul de pozitie al unui punct oarecare din planul (0) :

Pe componente, obtinem ecuatia planului osculator sub forma:

(2.25) (0) :

X x (t0) Y y (t0) Z z(t0)x (t0)

y (t0)

z(t0)

x (t0)

y (t0)

z(t0)

= 0:

Observatii:

1. Planul osculator (0) contine dreapta tangenta la curba n M0 si esteperpendicular pe planul normal (N) n M0:

2. n punctele inexionare sau stationare ale lui (C) nu putem atasa planulosculator. De aceea, n cele ce urmeaza, vom lua n considerare numaipunctele M 2 (C); neinexionare si nestationare.

3. Planul osculator nu depinde de parametrizarea aleasa pe curba (de

reprezentantul !r = !r (t) al clasei de echivalenta). ntr-adevar, daca!r = !r (t) este un alt reprezentant al clasei de echivalenta, atunci:!r = d

!rdt

=d!rdt

dt

dt;

deci,!r este coliniar cu d

!rdt

: Mai mult,

!r = ddt

d!rdt

dt

dt

=

dt

dt

2 d

2!rdt2

+d!rdt

d2t

dt2;


51/64


52/64


Pe componente, obtinem ecuatiile de mai sus sub forma de rapoarte:

(2.28) (np) :X x (t0) B Cy (t0) z(t0)

=Y y (t0)

A Cx (t0) z(t0)

=Z z(t0) A Bx (t0) y (t0)

;unde

A =

y (t0)

z(t0)

y (t0)

z(t0)

; B =

z(t0)

x (t0)

z(t0)

x (t0)

; C =

x (t0)

y (t0)

x (t0)

y (t0)

:Asadar, n M0 2 (C) am obtinut doua drepte perpendiculare si anume,

dreapta tangenta si dreapta normala principala. Acum, este usor de obtinut,n M0; o a treia dreapta, perpendiculara pe acestea.

Denitia 2.13 Dreapta perpendiculara pe planul osculator (0) n M0 senumestedreapta binormala (bn) :

Conform cu cele aratate mai sus, dreapta binormala este continuta n

planul normal si este de directie!r (t0)

!r (t0) :Ecuatia vectoriala a dreptei binormale este:

(2.29) (bn)!R = !r (t0) +

!r (t0)

!r (t0)

:

Pe componente, obtinem ecuatiile dreptei binormale sub forma derapoarte:

(2.30)X x (t0)

A=

Y y (t0)B

=Z z(t0)

C;

unde A;B;C sunt date mai sus.

Denitia 2.14 Se numeste plan recticator n M0 2 (C) planul ce treceprin M0 si este perpendicular pe dreapta normala principala.

Ecuatia vectoriala a planului recticator este:

(2.31) (r)!

R !r (t0)

!r (t0) !r (t0) !r (t0) = 0:

Ecuatia scalara a lui (r) este: B Cy (t0) z(t0) (X x (t0)) A Cx (t0) z(t0)

(Y y (t0)) +(2.32)+

A B

x (t0)y (t0)

(Z z(t0)) = 0


53/64


Vom ncheia acest paragraf cu cteva consideratii asupra versorilor

dreptelor introduse.1. Prin 2.18, am vazut ca versorul dreptei tangente este:

! =!r !r =

d!rds

:

Deoarece k~k = 1; avem ~ ~ = 1; care, prin derivare, conduce la ~d!ds

= 0; adica,

~ ? d!ds

:

Cu alte cuvinte,d!ds

este o directie din planul normal (N) :

2. Pe de alta parte, avem:

d!ds

=d2!rds2

=d

ds

d!rds

=

d

ds

d!rdt

dt

ds

=

d2!rdt2

dt

ds

2+

d!rdt

d2t

ds2

=

!r dtds2

+

!r d2tds2 :Cum

!r si!r sunt doua directii din planul osculator (0) ; rezulta ca

d!ds

2 (0) :

Din observatiile 1) si 2), obtinem cad!ds

=d2!rds2

este o directie pe dreapta

normala principala (np) : Din 2), mai rezulta cad!ds

nu depinde de orientarea

pe curba, deoarece prin schimbarea s = s obtinem acelasi lucru. Vectoruld!ds se numeste vector de curbura.

Versorul vectorului de curbura se noteaza cu

(2.33) ! =d!dsd!ds

si este un versor pentru dreapta normala principala, numit versor normalprincipal.


54/64


Denitia 2.15 Se numeste curbura a curbei (C) n punctul regulat M

2(C); scalarul

(2.34) K =

d!ds :

Inversul curburii se numesteraza de curbura: R =1

K:

Merita remarcat faptul ca, pentru o curba n spatiu, curbura este tottimpul nenegativa: K 0:

Denitia 2.16 Versorul dreptei binormale (bn) ntr-un punct regulat M 2(C); notat cu

! ; orientat astfel nct

nM; ! ; ! ; !

osa formeze un reper

direct orientat, se numesteversor binormal.

g. 2.4

Din denitia de mai sus, rezulta

(2.35)! = ! ! :

Sa remarcam ca n ecare punct regulat M 2 (C) am format un repermobil

nM; ! ; ! ; !

oatasat curbei, reper ortonormat si direct orientat.

Reperul obtinut se numeste reperul (triedrul) lui Frenet n punctulM:


55/64


n raport cu parametrul t al curbei, versorii reperului sunt:

! =!r !r ;

! =

!r !r !r !r !r !r ;! =

!r !r !r !r :

Planele reperului (N) ; (0) ; (r) se numesc fetele triedrului.Dreptele (tg) ; (np) ; (bn) se numesc muchiile triedrului.Exemplu: Fie curba: x = a cos t; y = a sin t; z = ht; t 2 R (elicea

cilindrica). Sa se determine triedrul Frenet al curbei ntr-un punct oarecare.Avem:

_x = a sin t; _y = a cos t; _z = h;x = a cos t; y = a sin t; z = 0:

Ecuatiile dreptei tangente sunt:

X a cos ta sin t =

Y a sin ta cos t

=Z ht

h;

iar ecuatia planului normal,

a sin t(X a cos t) + a cos t(Y a sin t) + h(Z ht) = 0:Versorul dreptei tangente ~ este dat de:

~ =1p

h2 + a2(a sin t~i + a cos t~j + h~k):

Ecuatia planului osculator este

X a cos t Y a sin t Z hta sin t a cos t h

a cos t

a sin t 0

= 0;

sau, dupa dezvoltarea determinantului,

h sin t(X a cos t) h cos t(Y a sin t) + a(Z ht) = 0;

de unde citim vectorul binormal ~b(h sin t; h cos t; a) si deducem ecuatiiledreptei binormale:

X a cos th sin t

=Y a sin th cos t =

Z hta

:


56/64


Versorul ~ al acestei drepte este dat de:

~ =1p

h2 + a2(h sin t~i h cos t~j + a~k):

Vectorul director al dreptei normale principale este ~np = (

~r

~r)

~r = ~b

~r

sau

~np =

~i ~j ~k

h sin t h cos t aa sin t a cos t h

= (h2 + a2)(cos t~i + sin t~j);prin urmare, ecuatiile dreptei normale principale sunt:

X a cos tcos t

=Y a sin t

sin t=

Z ht0

;

iar versorul normal principal ~ are componentele ~( cos t; sin t; 0) (~ seputea gasi si direct, din egalitatea ~ = ~~). Planul recticator are, atunci,ecuatia:

(X a cos t)cos t + (Y a sin t)sin t = 0:

2.5 Formulele lui Frenet

n paragraful precedent am descris modul de constructie al triedruluiFrenet pentru curba (C) !r = !r (t) :

Tinnd cont de Denitia 2.15, formula 2.33 se poate scrie:

(2.36)d!ds

=1

R! :

Ne propunem sa calculam derivatele n raport cu s si pentru ceilalti doiversori. Deoarece lungimea lor este constanta (unitatea), derivatele lui ! si! sunt vectori perpendiculari pe ei si deci, avem urmatoarea descompuneredupa versorii triedrului:

(2.37)

d !ds

= a2! + b2

! ;d!

ds= a3

! + b3 ! :

Din ! ! = 0; prin derivare, avem d!

ds ! + ! d

!ds

= 0; adica1

R! ! + !

a2

! + b2

!

= 0: Obtinem ca b2 = 1R

:


57/64

2.6. CURBURA SI TORSIUNE. INTERPRETARI GEOMETRICE 23

Analog, din !

! = 0; prin derivare, avem:

d!ds

! + ! d!

ds= 0 ) ! (a3 ! + b3 ! ) = 0 ) a3 = 0:

Din ! ! = 0; prin derivare obtinem:

d!

ds ! + ! d

!ds

= 0 ) b3 + a2 = 0:

Notam a2 =1

Tsi deci, b3 = 1

T:

Scalarul = 1T

se numeste torsiunea curbei (C) n punctul M; iar T

se numeste raza de torsiune.Am dedus urmatoarele formule:

d!ds

=1

R! ;

d !ds

= 1R

! + 1T

! ;(2.38)

d!

ds= 1

T! ;

sau, matriceal,

d

ds

0@ !~~

1A =0BBBB@

01

R0

1R

01

T

0 1T

0

1CCCCA0@ !~

~

1A ;numite formulele lui Frenet.

2.6 Curbura si torsiune. Interpretari geome-

trice

2.6.1 Interpretarea geometrica a curburii si torsiunii.Semnul torsiunii

Fie curba (C) : x = x(s); y = y(s); z = z(s); data n parametrizarenaturala si ! (s); versorii sai tangenti.


58/64


Construim sfera cu centrul n O; de raza 1 si translatam versorii ! (s);cu originea n O: Vrfurile acestora vor descrie n acest caz o curba pe sfera,numita indicatoarea sferica a tangentelor curbei (C) (g. 2.5). n modanalog, translatnd n O versorii binormali

!(s); se obtine notiunea de in-

dicatoare sferica a binormalelor.

g. 2.5

Fie (I) indicatoarea sferica a tangentelor. Ecuatia ei vectoriala este

!r (s) =

! (s);

cu mentiunea ca, pentru I; s nu mai este parametru natural.Fie P(s) si Q(s + s) (cu s > 0) doua puncte vecine ale lui (C) si P0;

Q0 corespondentele lor pe indicatoarea sferica (I) (g. 2.5). Numim unghide contingenta al tangentelor, unghiul dintre OP0 si OQ0:

Teorema 2.17 Are loc egalitatea:

K(s) =

s

:

Demonstratie. Lungimea segmentului P0Q0 este:!P0Q0 = k! (s + s) ! (s)k :Conform teoremei de medie, k! (s + s) ! (s)k =

! (s0)s; cus0 2 (s; s + s); adica

!P0Q0

= K(s0)s:


59/64


mpartind prin s si trecnd la limita cu s

!0; obtinem:

(2.39) K(s) = lims!0

!P0Q0s

= lims!0

!P0Q0

s

:Pe de alta parte, din triunghiul isoscel OP0Q0, avem!P0Q0

2=

sin 2 :

nlocuim n 2.39:

K(s) = lims!0

2sin 2s = lims!0

sin 22

s

:

Cum nsa, lims!0

sin

2

2

= 1; obtinem relatia cautata.n concluzie, curbura unei curbe este data de variatia unghiului

de contingenta al tangentelor, raportata la variatia lungimii de arc.Analog, putem construi unghiul de contingenta al binormalelor ;

rationnd ca n teorema precedenta, modulul torsiunii este

j(s)j =s :

n continuare, ne propunem sa studiem ce informatii ne ofera curbura sitorsiunea unei curbe despre forma acesteia n vecinatatea unui punct al ei.

Pentru aceasta, sa presupunem ca functia K(s) se anuleaza pentru totis dintr-un interval I: Din formula de denitie a curburii, avem K(s) = 0

)d2!rds

2= 0; adica !r (s) = s!a + !b ; altfel spus, curba este o dreapta.

Reciproca este evidenta. Am demonstrat astfel

Propozitia 2.18 O curba este o dreapta daca si numai daca are curburaidentic nula.

Mai mult, din cele aratate mai sus, am putea arma ca, pentru o curban spatiu, curbura ntr-un punct masoara abaterea acesteia de la o dreapta sianume, dreapta tangenta la curba n punctul considerat (vezi si cazul curbelorplane, Teorema ??).


60/64


Propozitia 2.19 O curba (C) de clasa cel putin 3 si curbura nenula este

plana daca si numai daca torsiunea sa este identic nula.

Demonstratie. Daca curba este plana cu K > 0; atunci! va avea

directie, sens si modul constant si deci,d!

ds= 0: Din 2.38 obtinem ca

1

T= 0:

Reciproc, daca1

T= 0; atunci

d!

ds= 0 si prin integrare obtinem

! =

!c : Cum ! ! = 0; prin integrare, obtinem !c R! ds = const:; adica!c !r (s) = k = constant. Rezulta ca toate punctele curbei (C) cu torsiuneanula satisfac ecuatia !c !r (s) = k; adica apartin unui plan care trece prinM0; xat si perpendicular pe !c : Curba este, deci, plana.Denitia 2.20 O curba!r = !r (t) este drept orientata n punctul M0 2(C) corespunzator valorii s0 a parametrului natural s; daca pentru s > s0puncteleM(s) ale curbei(C) parasesc planul osculator (0) nM0 pe parteadata de

!0: n caz contrar, ea se numestestng orientata.

Teorema 2.21 Fie (C) o curba de clasa cel putin trei n vecinatatea unuipunct M0 2 (C); cu curbura si torsiunea nenule.

Daca torsiunea n M0 este pozitiva, atunci curba este drept orientata nM0; iar daca torsiunea nM0 este negativa, curba este stng orientata nM0:

Demonstratie. Deoarece curba (C) este de clasa cel putin trei, functiile!r (s) ; !r 0 (s) ; !r 00 (s) ; !r 000 (s) sunt continue. Aplicam formula lui Taylor siavem:

!r (s) = !r (s0) + s s01!

!r 0 (s0) + (s s0)2

2!!r 00 (s0) + (s s0)

3

3!!r 000 (s0) + !O ;

unde!O ! !0 cnd s ! s0:

Din formulele lui Frenet, rezulta:

!r 0 (s0) = ! 0; !r 00 (s0) = d!

dsjs0 = K0!0

!r 000 (s0) = dds

(K(s) ! (s)) js0 = K00!0 K20! 0 + K00!0;

unde K0 = K(s0); K00 = K0(s0) etc.. Avem, deci:

!r (s) = !r (s0) +"

(s s0) (s s0)3

6K2

0

#! 0 +(2.40) "

(s s0)22

K0 +(s s0)3

6K0

0

#!0 + (s s0)

3

6K00

!0 +

!O :


61/64


62/64


g. 2.6

g 2.6- aproximanta

Curba (C) reprezinta o buna aproximare a lui (C) n vecinatatea punc-

tului regulat M0: Daca (C) este drept orientata n M0 (0 > 0), atunci, sicurba (C) este drept orientata n M0.

Acest lucru se constata usor din reprezentarea vectoriala 2.43 si s > 0;K0 > 0 ((C) paraseste planul xM0y pe partea sa pozitiva).

Din cele aratate mai sus, concluzionam ca putem cunoaste forma uneicurbe n vecinatatea unui punct regulat studiind curbura si torsiunea acesteian punctul respectiv. Mai mult, se poate demonstra, [?], urmatoarea teorema(datorata lui Euler):

Teorema 2.22 FieF(s) > 0 siG(s) doua functii de o variabila reala, de-nite si continue ntr-un interval nchisI : 0

s

a: n aceste conditii, exista

un arc al unei curbe (C) a carui lungime de arc este s; a carui curbura sitorsiune sunt date, respectiv, de:

(2.44) K = F(s); = G(s):

Acest arc este unic, abstractie facnd de pozitia sa n spatiu.

Ecuatiile 2.44 poarta numele de ecuatiile intrinseci ale curbei (C); de-numirea ind justicata prin faptul ca lungimea de arc, curbura si torsiuneasunt cantitati caracteristice lui (C); ele nedepinznd de reperul ales.


63/64


2.6.3 Calculul curburii si torsiunii cu t - parametru

oarecare

Deoarece n practica, parametrizarea naturala nu este ntotdeauna usorde determinat, este util sa dam formulele de calcul pentru curbura si torsiunen functie de un parametru oarecare t.

Avem:

(2.45)!r = d

!rds

dsdt

= ! s0;

(2.46)!r = d!

ds ds

dt s0 + ! s00 = 1

Rs02 ! + ! s00:

Calculam

!r =

1

R

0s02 ! + 1

R 2s0 s00 ! + 1

Rs02 d

!ds

ds

dt+ s000! + s00d

!ds

ds

dt=

=

1

R

0s02! + 2

Rs0s00! + 1

Rs03

1R

! + 1T

!

+ s000! + s

0s00

R! ; adica

(2.47)!r =

s000 1

R2s03! +3s0s00

R+ 1

R

0s02! + s03

R T! :

Calculam pe!r

!r , tinnd seama de 2.45 si 2.46:!r

!r = s03

R(! ! ) = s

03

R

! :

De aici, rezulta ca

!r !r !r = s06R2T:Dar s0 =

!r ; astfel ca din ultimele doua relatii deducem:

(2.48)1

R=

!r !r

!r3

si1

T=

!r ;

!r ;!r

!r !r2

:


64/64


Exemplu: Pentru curba ~r(t) = 2t~i + t2~j +t3

3

~k; sa se determine curbura

si torsiunea n O(0; 0; 0) si aproximanta acesteia n vecinatatea originii.Originea corespunde valorii t = 0 a parametrului si avem:

~r(0) = (2~i + 2t~j + t2~k)jt=0 = 2~i;

~r(0) = (2~j + 2t~k)jt=0 = 2~j;

~r(0) = 2~k;

(

~r

~r)(0) = 4~k; (

~r;

~r;

~r)(0) = 8: Deducem de aici, prin 2.48, ca, n punctul

considerat, K0 =1

Rjt=0 = 1

2; X0 = 1

Tjt=0 = 1

2: Uznd acum de relatiile 2.43,

obtinem ecuatia vectoriala a aproximantei:

~r(s) = s~i +s2

4~j +

s3

24~k:

Date post:	30-May-2018
Category:	Documents
Upload:	valiq2002
View:	246 times
Download:	1 times

Atanasiu Gheorghe - Geometrie

Documents