+ All Categories
Home > Documents > ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf ·...

ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf ·...

Date post: 05-Feb-2018
Category:
Upload: hatram
View: 217 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
27
Curs Scoala Doctorala (2007-2008) ª Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin 1 ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE FINITE SI INSTABILITATI NUMERICE IN CALCULUL LINIAR SI NELINIAR AL STRUCTURILOR 1. DISCRETIZAREA STRUCTUR ILOR. 1.1 Generalitati Prin discretizarea unei structuri se intelege subinpartirea acesteia intr-un numar oarecare de elemente finite sau retea de puncte de integrare numerica, interconectate in nodurile lor exterioare. In cadrul acestei operatii se aleg tipurile de elemente finite care vor fi utilizate si se stabilieste repartitia lor pe domeniul discretizat, rezultind astfel numarul, dimensiunea si forma acestora. La structurile care pot fi asimilate ca fiind alcatuite numai din bare, modelul de calcul ce rezulta in urma discretizarii structurii asigura satisfacerea conditiilor de compatibilitate si de echilibru atit in interiorul fiecarui element cit si pentru intreaga structura; la structurile bi si tri dimensionale, modelul de calcul rezultat prin discretizare nu satisface conditiile mentionate decit partial.
Transcript
Page 1: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

1

ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE FINITE SI INSTABILITATI NUMERICE IN CALCULUL

LINIAR SI NELINIAR AL STRUCTURILOR 1. DISCRETIZAREA STRUCTURILOR. 1.1 Generalitati Prin discretizarea unei structuri se intelege subinpartirea acesteia intr-un numar oarecare de elemente finite sau retea de puncte de integrare numerica, interconectate in nodurile lor exterioare. In cadrul acestei operatii se aleg tipurile de elemente finite care vor fi utilizate si se stabilieste repartitia lor pe domeniul discretizat, rezultind astfel numarul, dimensiunea si forma acestora. La structurile care pot fi asimilate ca fiind alcatuite numai din bare, modelul de calcul ce rezulta in urma discretizarii structurii asigura satisfacerea conditiilor de compatibilitate si de echilibru atit in interiorul fiecarui element cit si pentru intreaga structura; la structurile bi si tri dimensionale, modelul de calcul rezultat prin discretizare nu satisface conditiile mentionate decit partial.

Page 2: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

2

Fig.1 De asemenea fortele nodale care depind de gradele de libertate prevazute in nod, nu au in acest caz corespondenta fizica in structura data, in cazul elementelor finite liniare acete forte coincizind chiar cu eforturile rezultante din sectiune. Din aceasta cauza, pentru ca rezultatele obtinute prin calculul condus pe un model cu element bi sau tri dimensionale sa aproximeze cit mai bine solutia problemei discretizarea trebuie sa aiba la baza o analiza atenta a starii de deformatii si eforturi din structura, luind in considerare aspectele legate de forma, material, rezemare si incarcare pe care le prezinta aceasta. Pozitia nodurilor, respectiv a liniilor sau suprafetelor de separare intre elementele finite (linii, suprafete nodale) este conditionata atit de prezenta unor variatii in geometria structurii sau calitatea materialului acesteia, cit si de existenta unor incarcari concentrate sau chiar distribuite, dar dupa legi de variatie discontinue. In figura 1 sunt prezentate schematic citeva situatii in care pozitia nodurilor sau a liniilor nodale este impusa In cazul structurilor bidimensionale se pot utiliza pentru modelare elemente finite triunghiulare sau patrulatere, elementele triunghiulare asigurind posibilitati mai largi in ceea ce priveste aproximarea geometriei contururilor, in timp ce elementele patrulatere reproduc mai corect distributia de tensiuni. Este indicat sa se utilizeze elemente cit mai apropiate de triunghiul echilateral, respectiv de patrat. Nu se recomanda utilizarea triunghiurilor cu unghi foarte obtuz sau a elementelor patrulatere prea alungite. Aproximind o structura printr-un anumit numar de element finite, de un anumit tip, modelul de calcul optim este caracterizat prin energia potentiala minima. Aceasta proprietate poate furniza criteriul de alegere a variantei opime de discretizare. In acest scop se analizeaza structura in diferite variante de discretizare si se determina energia potentiala pentru fiecare caz cu relatia:

∑=

=m

iii

Ti

121 ukuΠ

Folosind acest criteriu se poate stabili configuratia optima a retelei de discretizare corespunzatoare unui numar dat de puncte de nodale si se pot face aprecieri in ceea ce priveste calitatea modelarii in functie de tipurile de elemente finite utilizate. In cazul existentei unor concentratori de tensiune cum este cazul intrindurilor in virful unghiului concav va trebui plasat un nod. Cind se urmareste efectul local al concentratorului de tensiune, pentru cunoasterea virfului de tensiune uneori se preconizeaza procedeu indesirii succesive a retelei in zona cercetata in functie de starea de tensiune si deformatie din zona respectiva la momentul de timp considerat. Prezenta unor fisuri necesita dedublarea nodurilor in retea, la capatul fisurii fiind dispus un singur nod. Pentru a prinde efectul local al concentratorului de tensiune de la capatul fisurii si in acest caz sunt imaginate elemente finite speciale cu fisura. In ceea ce priveste

Page 3: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

3

tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind elemente finite cu margini drepte (triunghi, patrulater oarecare, tetraedru) fie ca se apeleaza la avantajele elementelor finite izoparametrice cu margini curbe.

Fig.2. Model numeric pentru analiza la solicitari dinamice a unui stilp din beton armat Rafinarea retelei de discretizare pe zonele plastic potentiale

(a) Retea cu pas variabil

(b) Discretizare diferita pe zona de impact respectiv pe zona conturului circular

(c) Detaliu de dicretizare a proiectilului sferic

Page 4: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

4

Fig. 3. Model numeric pentru analiza la impact balistic In analiza cu elemente finite a starii de deformatie si tensiune a mediilor continue infinite sau semi-infinite (modelarea terenului de fundare, modelarea zonelor de impact balistic), o problema esentiala este precizarea limitelor semispatiului sau semiplanului cercetat. Avind in vedere faptul ca efectul actiunilor descreste cu distanta pina la punctul de aplicatie al incarcarilor, mediul continuu va trebui extins pina in zona unde acest efect este neglijabil, iar conditiile de rezemare, in lungul acestei margini, idelaizate; daca, de exemplu, deplasarile nodurilor retelei in lungul acestei margini sunt foarte mici acestea pot fi blocate, considerindu-le deci fixe. Pentru structuri complexe si cu dimesniuni mari, majoritatea programelor de calcul permit generarea automata a topologiei si a coordonatelor nodurilor, reducind prin aceasta substantial volumul datelor initiale. 1.2 Efectul discretizarii asupra rezultatelor numerice Rezultatele (deplasarile si tensiunile) care se obtin cu metoda elementelor finite sunt dependente de solutia de discretizare aleasa. Din acest motiv exista situatii in special in cazul unor geometrii complicate cind problema inginereasca abordata cu aceste metode trebuie investigata in mai multe variante de discretizare urmind sa se trieze rezultatele obtinute. Pentru solicitari dinamice influenta marimii retelei este chiar mai importanta intrucit sunt adaugati mai multi termeni in modelul constitutiv (strain rate effect), iar daca nu este dispusa o retea de elemente finite suficient de densa rezultatele numerice ale modelului pot fi invalidate de o alegere gresita a retelei. Pe de alta parte, efectul de manipulare al erorilor creste odata cu numarul de elemente utilizat. Erorile numerice sunt datorate truncherilor, erorilor de tip round-off si a datelor de intrare. Pentru studiul influentei discretizarii, cea mai comuna metoda este de injumatatire a retelei si comprarea primei retelei injumatatite cu cea de a doua cu reteaua dublata, iar daca rezultatele sunt neglijabile analiza se considera acceptabila. In analiza cu elemente finite a problemelor cu caracter dinamic este important a se utiliza citeva retele pentru a se asigura de acuratetea rezultatelor. Schimbarea dimensiunii mesh-ului in structura anlizata trebuie facuta insa cu multa atentie. Pentru a realiza in mod efectiv o crestere apreciziei rezultatelor prin rafinarea succesiva a retelei de elemente finite se impune respectarea urmatoarelor trei criterii:

• Fiecare discretizare anterioara trebuie sa se regaseasca in cea noua. • Fiecare punct al structurii trebuie sa se afle totdeauna in cadrul unui element

finit. • Functia de aproximare (tipul de element) trebuie sa ramina aceeasi cind se

trece de la un element la altul. Trebuie facuta insa observatia ca de la un anumit numar de elemente finite, rezultatele nu mai pot fi imbunatatite prin cresterea numarului acestora, impunindu-se schimbarea tipului de element finit utilizat.

Page 5: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

5

Fig. Figura 4 prezinta modelul numeric de analiza a unui element din beton supus impactului dinamic a unui proiectil din otel. Au fost studiate sapte tipuri de retele. Dupa cum se poate observa adincimea penetrarii este sensibil influentata de calitatea retelei de discretizatre.

Fig. 4

Tableul 1 Dimensiunea si numarul de elemente utilizate la discretizare

Page 6: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

6

Fig. 5 Adincimea penetrarii

Fig. 6 Studiu parametric. Influenta retelei asupra marimii craterului

Page 7: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

7

2. TEHNICI DE MODELARE A STRUCTURILOR SUB ACTIUNEA INCARCARILOR DINAMICE SEVERE ( IMPACT, EXPLOZII) In aplicarea metodei elementelor finite la calculul structurilor exista in principal doua metode de descriere a miscarii materialului asociat retelei de discretizare a structurii, si anume modelul Lagrangian respectiv modelul Eulerian.

Fig.7 Modelul Lagrangian (stinga) respectiv modelul Eulerian(dreapta)

Page 8: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

8

Fig. 8 Modelele numerice (a) Lagrangian (b) Eulerian utilizate la modelarea problemei de

impact In modelul Lagrangian reteaua de discretizare se distorsioneaza impreuna cu materialul aasociat celulelor (elementelor) de discretizare, in timp ce in modeul Eulerian reteaua de discretizare (mesh-ul) ramine fixa in spatiu, doar materialul miscindu-se in interiorul celuleor de discretizare. Pentru a permite miscarea materialului dimensiunea mesh-ului este mai mare decit corpul original. In cazul deplasarilor si deformattiilor mari modelul Lagrangian prezinta dezavantajul probelemelor numerice datorate distorsionarii severe a elementelor si intersectei acestora care conduce la pierderea acuratetei solutiei la timp de integrare numerica foarte mic si chiar la oprirea procesului de analiza. Pentru depasirea acestor probleme trebuie aplicate tehnici de "rezonare" a elementelor puternic distorsionate sau la aplicarea tehnicii de "erodare" a elementelor ce inregistreaza deformatii accentuate. Rezonarea este o tehnica de creare a unei retele noi de discretizare in functie de nivelul de distorsionare a elementelor dintr-o zona oarecare a corpului original. Prin tehnica de "erodare" anumite elemente sever distorsionate sunt eliminate din modelul numeric atunci cind un anumit criteriu, cel mai adesea cind deformatiile plastice au atins un anumit nivel extrem, este indeplinit. "Erodarea" poate altera solutia fizica a problemei intrucit masa si energia de deformatie interna a elementlor este eliminata din intregul asamblu al sistemului initial. Ambele metode descrise, atit cel Lagrangian cit si cel Eulerian sunt bazate pe definirea unei retele de discretizare (grid-based techniques). Pentru modelarea corpurilor care

Deformatii mari

Deformatii mari

Page 9: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

9

inregistreaza deformatii mari este recomandabila utilizarea tehnicii SPH (Smot Particle Hydrodynamics) in care, spre deosebire de modelele anterioare, nu mai apar probleme legate de distorsionarea severa a elementelor si care sa conduca la instabilitati numerice.

Fig. 9 Modelul numeric Lagrangian - problema de impact

Page 10: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

10

Impact balistic asupra unei placi compozite (Kevlar/Ceramica)

Fig. 10 Modelarea mixta Lagrangian+ SPH a zonei de impact

Fisurarea cermicii sub forma unui conoid Delaminarea-

placii de Kevlar

Page 11: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

11

3. INSTABILITATI NUMERICE IN CALCULUL NELINIAR AL STRCUCTUR ILOR 3.1. Introducere Prin analiza statica elasto-plastica de ordinul al II-lea se intelege orice tip de analiza care urmareste sa surprinda atit efectul neliniaritatii fizice cit si a celei geometrice, respectiv influenta modificarii geometriei structurii, asupra marimii deplasarilor si eforturilor structurii. In acest caz controlul solutiei consta in aplicarea unui calcul incremental sau incremental-iterativ si indeplinirea concomitenta a ambelor conditii ce trebuie satisfacute in situatia de echilibru, compatibilitatea deformatei si echilibrul static al nodurilor, la fiecare increment al incarcarii exterioare. In principal, procedeele de acest fel pot fi grupate in urmatoarele categorii: (1) metoda pasilor controlati de incarcari, (2) metoda pasilor controlati de deplasari si (3) metoda pasilor controlati de lungimea de arc ("arc length control method"). De mentionat faptul ca aplicarea unei metode incremental-iterative din categoria (2) sau (3) premite si studiul comportarii structurii in domeniul postcritic, spre deosebire de cazul metodelor din categoria pasilor controlati de incarcari, cind analiza este oprita la momentul atingerii incarcarii limita. Raspunsul neliniar al unei structuri se datoreaza in principal modificarii caracteristicilor sale de rigiditate corespunzatoare diferitelor niveluri de intensitate ale actiunilor exterioare. Variatia rigiditatii provine din doua cauze importante, si anume: neliniaritatea geometrica si neliniaritatea fizica. Neliniaritatea geometrica se manifesta prin doua efecte importante: un efect local, de flexibilizare a barelor comprimate, modelat in analiza prin considerarea functiilor de stabilitate in formularea metodei deplasarilor, respectiv prin considerarea matricelor de rigiditate geometrica in formularea elementelor finite si un efect global, datorat modificarii configuratiei geometrice a nodurilor structurii, modelat in analiza prin formularea Lagrangiana adoptata (actualizata sau totala). Neliniaritatea fizica sau materiala se manifesta prin modificarea parametrilor curbei caracteristice a materialului, ca urmare a cresterii nivelului de solicitare. Pentru structurile in cadre plane metalice neliniaritatea fizica se manifesta prin plastificarea locala a sectiunilor si a dezvoltarii acestor zone plastice in lungul barelor, urmarind starea de eforturi ce produce violarea curbei de inetractiune N-M corespunzatoare initierii curgerii. In principiu, utilizind una din metodele de analiza elasto-plastica de ordinul al II-lea amintite, curbele de raspuns forta-deplasare pentru cazul unor actiuni statice sunt prezentate in figura 11.

Page 12: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

12

Fig. 11 3.2. Metoda elementelor finite in studiul comportarii postelastice Analiza statica neliniara genereaza, in metoda elementelor finite, sisteme de ecuatii neliniare, pentru rezolvarea carora se recurge la liniarizarea prin metoda secantelor sau prin metoda tangentelor. In concordanta cu acestea se definesc matricea secanta a rigiditatilor, respectiv matricea tangenta a rigiditatilor. Determinarea matricelor caracteristice ale elementelor finite, in formularea deplasarilor, se bazeaza pe principiul deplasarilor virtuale si, considerarea unei functii de deplasari, de obicei sub forma polinomiala, cu ajutorul careia se pot exprima deplasarile oricarui punct din interiorul elementului, in raport cu deplasarile nodurilor de la capetele elementului finit. Odata cunoscut cimpul de deplasari, pe baza unui studiu geometric, se poate determina starea de deformatie specifica si de efort unitar din element. Daca se tine seama ca deformata structurii nu se incadreaza in domeniul micilor deplasari, pentru o bara dintr-o structura plana, unde din tensorul deformatiilor se retine numai deformatia specifica corespunzatoare axei longitudinale a barei, expresia acesteia nu mai poate fi mentinuta sub forma simpla, ci trebuie adaugati unul sai mai multi termeni pentru a tine seama de interdependenta dintre solicitari. Pentru fiecare asemenea forma va rezulta o alta alcatuire a matricei de rigiditate secanta respectiv tangenta, alegerea celei mai potrivite depinzind de natura problemei studiate si de gradul de aproximare dorit.

Analiza elasto-plastica (articulatii

plastice) de ordinul I

Analiza rigid plastica

Analiza elasto-plastica de ordinul al

II-lea

Modelul clasic al articulatiilor plastice

Modelul plastificarii

distribuite sau al artic. plastice imbunatatite

d (deplasare)

p (fa

ctor

de

inca

rcar

e)

Page 13: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

13

Formularea calculului neliniar in metoda elementelor finite, implica rezolvarea urmatoarelor doua aspecte principale: (1) Determinarea ecuatiilor ce caracaterizeaza comportarea neliniara a structurilor, sub cele doua aspecte, cel fizic si cel geometric:.

(a) adoptarea relatiilor neliniare intre deformatiile specifice si deplasari. (b) adoptarea unui model pe baza caruia sa se deduca relatiile constitutive

neliniare σ-ε (c) aplicarea principiului deplasarilor virtuale pentru determinarea ecuatiilor

de echilibru static. (2) Rezolvarea acestor ecuatii neliniare, prin metoda elementelor finite. Principiul metodei elementelor finite aplicat in studiul structurilor din bare, consta in separarea structurii prin linii imaginare rezultind un anumit numar de elemente finite. Elementele finite sunt presupuse ca se interconecteaza intr-un numar discret de puncte nodale situale la capetele lor; deplasarile acestor puncte nodale se considera a fi parametrii necunoscuti. Deplasarile punctelor din interiorul fiecarui element finit sunt exprimate in functie de deplasarile nodurilor de interconexiune, cu ajutorul unor functii de deplasari. Functiile de deplasari, odata definite, servesc la deducerea starii de eforturi unitare in diverse sectiuni si fibre, din interiorul elementului finit. Solutionarea sistemului de ecuatii neliniare implica aplicarea urmatoarelor proceduri (a) Adoptarea tipului de element finit si asocierea gradelor de libertate in functie de natura problemei studiate si de gradul de aproximare dorit. (b) Definirea functiilor de deplasari pe baza carora se definesc deplasarile in interiorul elementului finit. (c) Exprimarea ecuatiilor de echilibru in functie de deplasarile gradelor de libertate asociate elementului finit utilizat. (d) Aplicarea unor procedee incrementale sau incremental iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare rezultate 3.2.1 Determinarea matricelor caracteristice ale elementelor finite. Tipul de element finit utilizat in acest studiu este cel de bara dreapta cu sase grade de libertate (3 grade de libertate pe nod), corespunzatoare deplsarilor axiale, verticale si rotirilor (fig. 12.).

Fig. 12

y

z

Ti, vi

x

y

i

L

Bara ij

M

Nj, uj

Tj, vj

Mi, θi

Ni, ui

Page 14: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

14

Acceptind modelul de comporatre elastic-perfect plastic al materialului (descarcarea are loc considerind modulul de elasticitate initial, iar reconsolidarea nu este luata in considerare), energia potentiala de deformatie a elementului finit poate fi scrisa in modul urmator :

∫ ∫∫∫ ∫ ⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅=

pc

c

e c Vpc

Ve dVdddVdU

ε

ε

ε

ε

εσεσεσ0

(1)

Legatura neliniara intre deformatia specifica axiala (incrementala) si deplasari, fata de sistemul de referinta fix al sectiunii transversale curente a elementului finit (fig. 12), poate fi scrisa acceptind comportarea elastica pe parcursul unui increment al incarcarii, astfel:

2

22

21

dxvdy

dxdv

dxdu

⋅−

⋅+=ε (2)

Pentru aproximarea cimpului de deplasari din interirul elementului finit, se utilizeaza functiile standard de interpolare Lagrange pentru deplasarile axiale si Hermite pentru deplasarile transversale. Prin intermediul acestor functii de interpolare se aproximeaza deplasarile punctelor, din lungul axei de referinta initiala (fixa) a elementului finit (fig. 12.), dupa cele doua directii, longitudinale si transversale, in functie de deplasarile nodale cunoscute, considerind o variatie liniara (Lagrange) pentru reprezentarea deplasarilor axiale, u, respectiv o variatie polinomiala cubica (Hermite) pentru reprezentarea deplasarilor transversale, v. Notind cu d vectorul deplasarilor nodale ale elementului finit reprezentat in fig. 12., cimpul de deplasari se poate exprima in functie de vectorii de interpolare corespunzatori deplasarilor axiale, uN si transversale, vN astfel:

dN ⋅= uu ; dN ⋅= vv (3) unde:

−= 0,0,,0,0,1

Lx

Lx

uN (4)

⋅+⋅−⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅−= 3

223

32

23

223

32

2

11,23,0,12,231,0 xL

xL

xL

xL

xL

xL

xxL

xLvN

Exprimind variatia de ordinul II a energiei potentiale totale de deformatie a elementului finit rezulta expresia matricei de rigiditate tangenta, in coordonate locale, prin intermediul careia se exprima relatia neliniara intre variatia fortelor si variatia deplasarilor, si care poate fi scrisa simbolic, sub forma matriceala astfel: FdK ∆=∆⋅t (5) unde F∆ si d∆ reprezinta vectorul variatiei fortelor si respectiv vectorul variatiei deplasarilor nodale ale elementului finit, in coordonate locale, iar tK reprezinta matricea de rigiditate Considerarea dezvoltarii zonelor plastice in sectiunile transversale ale elementelor finite se face prin impartirea acestor sectiuni printr-un cadrilaj de ochiuri dreptunghiulare (fig. 13) si explicitarea deformatiilor in dreptul acestora utilizind ecuatia (2) in functie de valorile deplasarilor incrementale de la capetele elementului finit, actualizindu-se astfel la

Page 15: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

15

fiecare pas valorile deformatiilor totale, pe baza deformatiilor din pasii anteriori: k

iki

ki εεε ∆+= −1

rik

vik

vT

vTkk

uki y ε+∆⋅⋅−∆⋅⋅⋅∆⋅+∆⋅=ε∆ −−−− 1''1''''11'

21 dNdNNddN (6)

Prin monitorizarea explicita a deformatiilor in fiecare fibra a sectiunii transversale, pentru fiecare increment al incarcarii, prin intermediul relatiilor (6), se ia in considerare cu maxima acuratete dezvoltarea graduala a zonelor plastice si a descarcarilor elastice in fibrele sectiunii precum si influenta deformatiilor din tensiuni reziduale, εri, asupra caracteristicilor de deformabilitate si rigiditate ale sectiunilor. O fibra se considera plastificata in momentul in care deformatia totala corespunatoare unui anumit increment k al incarcarii depaseste valoarea deformatiei de initiere a curgerii εc. Pentru evaluare integralelor de suprafata care intervin in relatiile (1-6), de determinare a caracteristicilor de rigiditate ale sectiunilor transversale, se pot utiliza diferite metode numerice de integrare numerica cum ar fi metoda Simpson sau metoda Gauss. Desi metoda Gauss este in general mai eficienta din punct de vedere al numarului de puncte utilizate (la acelasi numar de puncte de integrare are o precizie mai buna decit metoda Simpson) deseori in programele de analiza este utilizata metoda Simpson. Motivul principal al acestei alegeri il constituie faptul ca reteaua de puncte de integrare presupusa de metoda Simpson surprinde si frontiera domeniului de integrare, adica tocmai fibrele cele mai puternic solicitate, in timp ce metoda Gauss nu considera puncte de integrare in aceste zone. 3.2.2 Integrari numerice in metoda elementelor finite Matricele de rigiditate secanta respectiv tangenta ale elementelor finite pot fi determinate doar aproximativ prin intermediul unor metode numerice de integrare numerica a functiilor de o singura variabila, deoarece caracteristicile de rigiditate ale sectiunilor din lungul elementelor finite, ce intervin in expresiile matricelor de rigiditate, sunt marimi cu caracter discret, ce depind de valoarea deplasarilor de la capetele elementului. Cea mai eficienta metoda de integrare numerica, utilizata in acest caz, ca urmare a considerarii unei variatii polinomiale ale deplasarilor in interiorul elementului finit, este considerata a fi metoda Gauss in diferite variante (Gauss-Legendre, Gauss-Lobatto). In figura 13 se prezinta modul de discretizare a elementului de bara in elemente finite si a sectiunilor transversale din dreptul punctelor de integrare numerica Gauss a elementelor finite.

(ec.3.99)

kiε

Suprafata dreptunghiulara elementara (fibra)

Nod de element finit Punct de integrare

Gauss-Legendre

n 4 3 2 1

Page 16: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

16

In cazul aplicarii unei metode de tip Gauss trebuie avut in vedere faptul ca limitele de integrare sunt diferite. Astfel printr-o schimabre de variabila corespunzatoare, se reduce orice integrala cu limite finite (a, b, a<b) si integrand continuu F la urmatoarea forma:

∫ ∫−

Ψ⋅−

=b

a

dzzabdxxF1

1

)(2

)( (7)

unde noua functie Ψ este:

( ) ( ) ( )

++⋅−=Ψ abzabFz

21

21 (8)

In cazul particular in care limitele de integrare ale functiei F sunt a=0 si b=1 si aplicind formula pentru cuadratura gaussiana obtinem urmatoarea aproximare:

( ) ( )∑∫=

+⋅⋅⋅=n

jjj zFwdxxF

1

1

0

5,05,021 (9)

unde cu zj si wj s-au notat abscisele respectiv coeficientii de pondere corespunzatori uneia dintre variantele de cuadratura gaussiana adoptata. In tabelul 2 se prezinta comparativ abscisele nodurilor de integrare si coeficientii de pondere corespunzatori cvadraturii gaussiene in varianta Legendre si Lobatto, pentru un numar de 3,4 si 5 noduri de integrare. La alegerea metodei de integrare, mai trebuie avut in vedere faptul ca numarul de puncte de integrare se resfringe in mod direct asupra acuratetii rezultatelor, si alegerea unui numar mare de puncte duce la marirea considerabila a timpului de analiza, mai ales in cazul unei analize la nivel de fibra. Mai mult in cazul in care se doreste luarea in considerare a efectelor descarcarilor elastice trebuiesc memorate informatii aditionale cu privire la istoria eforturilor (tensiunilor) in dreptul acestor sectiuni, in timpul etapelor de calcul, si generarea unui numar mare de puncte de integrare conduce la marirea considerabila a datelor ce trebuiesc memorate.

Tabelul 2. Abscisele si coeficientii de pondere de la integrarea gaussiana.

Nr. puncte Abscisele z Coeficientii de pondere w

Gauss-Lobatto Gauss-Legendre Gauss-Lobatto Gauss-Legendre

3 ±1,0000000000 0,0000000000

±0,7745966692 0,0000000000

0,3333333333 1,3333333333

0,5555555556 0,8888888889

4 ±1,0000000000 ±0,4472135954

±0,8611363116 ±0,3399810436

0,1666666667 0,8333333334

0,3478548451 0,6521451549

5 ±1,0000000000 ±0,6546536707 0,0000000000

±0,9061798459 ±0,5384693101 0,0000000000

0,1000000000 0,5444444445 0,7111111112

0,2369268851 0,4786286705 0,5688888889

Fig13 Discretizarea elementelor de bara in elemente finite de fibra

Element finit

Page 17: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

17

Este stiut faptul ca cuadratura gaussiana ne da, la acealasi numar de puncte, o precizie mai buna decit metoda lui Simpson-simpla, presupunind ca nu putem localiza aceste puncte, si ca urmare a faptului ca varianta Gauss-Lobatto fata de Gauss-Legendre considera noduri si la capetele barei, aceasta varianta este de preferat.

Fig.14 Distributia factorilor de pondere pentru (a) Gauss-Legendre (b) Gauss-Lobatto In cazul integrarii numerice pe domenii (cazul bi-dimensional) cuadratura Gauss se exprima in modul urmator:

( ) ( )∑∫=

−==

n

iiii fHddfI

1

1

1,, ηξηξηξ

unde iξ , jη reprezinta coordonatele punctelor de integrare iar Hi sunt coeficientii de pondere. Distribuita si coeficientii de pondere a punctelor de integrare pentru elemente finite de forma patrulater si triunghi este data in tabelele de mai jos.

Page 18: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

18

Tabelul3. Cuadratura Gauss pentru elemente finite de forman patrulater.

Pozitia punctelor Gradul polinomului

n Coordonate Ponderi ξ η

1 1 0 0 4

3 4

-1/√3 1/√3 -1/√3 1/√3

-1/√3 -1/√3 1/√3 1/√3

1 1 1 1

4 9

-√3/5 0

√3/5 -√3/5

0 √3/5 -√3/5

0 √3/5

-√3/5 -√3/5 -√3/5

0 0 0

√3/5 √3/5 √3/5

25/81 40/81 25/81 40/81 64/81 40/81 25/81 40/81 25/81

Tabelul 4. Cuadratura Gauss pentru elemente finite de forma triunghiulara.

Pozitia punctelor Gradul polinomului

n Coordonate Ponderi ξ η

1 1 1/3 1/3 1/2

2 3

1/2 1/2 0

1/2 0

1/2

1/6 1/6 1/6

Page 19: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

19

3.3 Metode de determinare a solutiei in calculul elasto-plastic de ordinul al II-lea In studiul comportarii neliniare a structurilor intereseaza atit modul de comportare a structurii pina la atingerea incarcarii limita ce produce colapsul structurii cit si modul de comportare post critic, astfel incit este necesar ca ecuatia (3.102) sa fie rescrisa sub urmatoarea forma:

( ) 0=⋅λ− FdP (1) in care cu λ s-a notat factorul de incarcare corespunator unei anumite situatii de echilibru stabil sau instabil al structurii. Pentru rezolvarea acestui sistem cu n ecuatii de echilibru si (n+1) necunoscute (deplasarile generalizate corespunzatoare celor n grade de libertate ale structurii respectiv λ parametrul incarcarii de referinta F ), o ecuatie aditionala de constringere trebuie introdusa. In general aceasta ecuatie poate fi scrisa sub urmatoarea forma:

( ) ( ) 22121

1

21 cdd mmn

n

k

mk

mkk =−⋅⋅+−⋅ −

+=

−∑ λλαββ

(2) in care α reprezinta un coeficient de normalizare a dimensiunilor incarcarilor cu cele al deplasarilor, indicele superior m semnifica pasul corespunzator pozitiei de echilibru curente, c este o valoare prescrisa a lungimii de arc dintre doua puncte succesive m si m-1 de echilibru, iar coeficientii βk (k=1,2,3,…,n+1) sunt parametrii de control ai algoritmului de rezolvare a sistemului (3.107). Dupa cum se poate observa in figura 15.a, ecuatia (2) in cazul in care 0=kβ ( )nk ,...2,1= si 11 =+nβ corespunde metodei pasilor controlati de incarcari; ecuatia de constringere corespunzatoare metodei pasilor controlati de deplasari se obtine prin particularizarea ecuatiei (2) daca 1=kβ si 0=iβ ( )ki ≠ (fig. 15.b); iar metoda pasilor controlati de lungimea de arc (arc-length control) corespunde situatiei in care toti parametri kβ =1 (fig.15.c).

Fig.15 Ecuatii de constringere pentru diferite metode de control pentru trasarea curbei incarcare -deplasare

Snap-Through

Snap-Back

Control in deplasaricdd ii =−+1

Control in incarcaricii =−+ λλ 1

m+1c1

m mm+1

m+1

m

c2

c

d3d2d1

λ

dd

λ

cλ3

λ2

λ1

d

λ

Control in lungimea de arc( ) ( ) 22121 cdd iiii =−+− ++ λλ

Snap-Through

(a) (b) (c)

Page 20: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

20

3.4 Exemple numerice Un studiu cu privire la eficienţa metodelor de integrare numerică Gauss-Lobatto, respectiv Gauss-Legendre este prezentat în continuare.

Fig. 16. Curbele încărcare-rotire.

Fig. 17. Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate în lungul barei.

În figura 16 sunt prezentate comparativ curbele încărcare-rotire, pentru capătul din dreapta al grinzii, în cazul utilizării metodei "exacte" Simpson-repetat, pentru efectuarea integralelor în lungul barei, respectiv utilizând metoda numerică Gauss-Lobatto, considerând un număr par respectiv impar de puncte de integrare. Se observă o bună concordanţă între curba "exactă" obţinută cu metoda Simpson-repetat, cu cea obţinută prin utilizarea metodei Gauss-Lobatto, cu 9 puncte de integrare numerică. De asemenea, este de observat că, în cazul de faţă, datorită faptului că zona plastic potenţială se afla la mijlocul grinzii (mijlocul intervalului [-1,1]), este nevoie de un număr par de puncte de integrare mult mai mare decât cel impar pentru o precizie asemănătoare, datorită faptului ca în cazul unui număr par de puncte de integrare, nu este prevăzut punct de integrare la jumătatea intervalului de integrat (mijlocul grinzii), în contrast cu cazul unui număr impar.

98.7%

Fibre plastificate comprimate

Fibre plastificate intinse

Articulatie plastica

Page 21: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

21

Eficienţa metodei numerice de integrare Gauss-Lobatto faţa de metoda Gauss-Legendre va fi testată în următorul exemplu de calcul. Se consideră cazul unei grinzi continue cu trei deschideri, cu o deschidere centrală de lungime L=3,524m şi două deschideri laterale α⋅L, acţionată de o forţa uniform distribuită în lungul deschiderii centrale (fig. 18). Se observă ca pentru α→0 grinda continuă se transformă intr-o grindă dublu încastrată în reazemele 2 şi 3, în care caz zonele plastic potenţiale sunt concentrate la capetele şi la mijlocul grinzii centrale.

Fig. 18. Grinda continuă cu trei deschideri.

Fig. 19. Testarea metodei de cuadratură Gauss-Lobatto. Un număr impar de puncte de integrare Gauss-Lobatto, acoperă în totalitate aceste secţiuni, în timp ce un număr similar de puncte Gaus-Legendre omit capetele intervalului de integrare (capetele grinzii centrale), conducând, în acest caz, la erori semnificative la determinarea răspunsului neliniar. Curbele comparative încărcare-rotire, pentru capatul 3 al grinzii centrale, obţinute utilizând aceste două metode numerice de integrare, precum şi în cazul utilizării metodei Simpson-repetat sunt reprezentate grafic în figura. 19.

Page 22: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

22

Fig. 20. Compararea metodelor de cuadratura Gauss-Lobatto şi Gauss-Legendre (curbele încărcare-rotire pentru capătul 3 al grinzii centrale).

Comportarea elasto-plastică a secţiunilor din lungul barei a fost modelată pe baza relaţiilor analitice propuse in [1] considerând σrc=0,333σc. În figura 21 sunt prezentate curbele comparative încărcare-rotire pentru capătul 3 al grinzii centrale, în ipoteza formării articulaţiilor plastice (a=1, n=600), precum şi în ipoteza comportării elasto-plastice a secţiunilor conform relaţiilor analitice, considerând două valori pentru tensiunile maxime de compresiune σrc=0,333σc, rspectiv σrc=0,80σc, iar în figura 22 este prezentată distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate, considerând separat fibrele întinse respectiv comprimate intrate în curgere, din lungul barei, obtinuţă la valoarea factorului limită de încărcare (q/qpl=2,0) , în ipoteza considerării formării zonelor plastice în secţiune şi în lungul barei, relaţiile constitutive neliniare σ-ε şi distribuţia tensiunilor reziduale pe înalţimea secţiunii fiind considerate în mod similar cu cel de la exemplul anterior. În aceste cazuri s-a utilizat metoda Simpson-repetat pentru calcularea coeficienţilor de corecţie.

Page 23: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

23

Fig. 21. Curbele încărcare rotire pentru capătul 3 al grinzii centrale.

Fig. 22. Distributia procentuală a secţiunilor plastificate în lungul grinzii centrale.

98,7% 98,7%

Fibre plastificate comprimate

Fibre plastificate intinse 98,7%

Articulatie plastica #1,q/qpl=1,5

Articulatie plastica #2,q/qpl=2,0

Articulatie plastica #1,q/qpl= 1,5

(-)

(+)

(-)

(+)(+)

(-)

Page 24: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

24

4. INSTABILITATI NUMERICE IN MODELAREA CONSTRINGER ILOR Metoda elementelor de penalizare Se considera urmatorul model numeric asociat barei din figura 23. Se cere sa se determine deplasrile din lungul barei, in ipoteza neglijarii deplasarilor transversale si a rotirilor, considerind urmatoarea constringere cu privire la deplasarile axiale u2 si u6.

Fig. 23

062 =− uu (1) Pentru impunerea acetei conditii putem considera un element imaginar de rigiditate axiala w care este asamblat modelului initial Fig.24 Elementul atasat poarta denumirea de element de penalizare iar rigiditatea sa w reprezinta ponderea de penalizare.

Fig. 24 Elementul de penalizare poate fi considerat ca si oricare element finit iar asamblarea sa in matricea de rigiditate a structurii urmeaza aceleasi procedeu standard. Ecuatiile de penalitate asamblate matriceal pot fi scrise in acest caz astfel:

( ) ( ) ( )

( )

( )

=

=

76

72

6

2

777

1111

ff

uu

w

fuK (2)

Urmind procedeul standard de asamblare a matricii de rigiditate globale a intregului model obtinem:

Element de penalizare cu rigiditatea axiala w

Page 25: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

25

(3) Acest sistem poate fi in continuare rezolvat, folosind spre exemplu metoda eliminarii Gauss, determinind astfel vectorul deplasarilor u si care satisface in plus relatia (1). Principalul avantaj al acestei metode, in comparatie cu metoda bazata pe rearanjarea matricii sistemului de ecuatii dupa tehnica "master-slave" consta in simplitatea implementarii ei numerice. Cu toate acestea o atentie deosebita trebuie acordata alegerii coeficeintului de pondere de penalizare w in cazul rezolvarii numerice a sistemului (3). Daca pentru coeficientul w se alege o valoare finita ecuatia de constribgere 062 =− uu este satisfacuta doar aproximativ:

0,62 ≠=− gg eeuu (4)

Valoarea eroarii ge depinde de w: cu cit valoarea coeficeintului de pondere este mai

mare cu atit eroarea de violare a contringerii este mai mica. Se poate arata ca eroarea ge devine proportionala cu w/1 daca w este suficient de mare. In baza acestor afirmatii s-ar parea ca strategia adecvata modelarii este alegerea unui coeficient de pondere w cit de mare posibil, in limitele domeniului de definitie alocat reprezentarii numerelor in calculator. Cu toate acestea pe masura ce coeficientul de pondere tinde spre ∞ matricea de rigiditate a sistemului modificat (3) devine tot mai slab conditionata ceea ce conduce la obtinerea unor solutii eronate la rezolvarea sistemului. Astfel daca alegem o valoare mare pentru ponderea de penalizare w eroarea de violare a cosntringerii se reduce, dar in acest caz creste eroare cu care este solutionat sistemul de ecuatii, din cauza slabei condtionari a matricii de rigiditate modificate. Astfel cea mai buna valoare pentru coeficientul w este cel care pondereaza cele doua erori. In calculele practice urmatoarea regula a radacinii patrate este aplicata. Presupunem ca cel mai mare coeficient din matricea de rigiditate a structurii asamblata inainte de adaugarea elementelor de penalizare, este de ordinul 10k iar precizia sistemului de calcul pe care se ruleaza aplicatia este p digiti. Determinarea celui mai mare coeficient al matricii de rigiditate se face simplu inspectind elementele de pe diagonala principala a matricii de rigidate. In acest caz, conform regulii radacinii patrate, valoarea coeficientului de pondere w se determina cu relatia:

Page 26: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

26

pkpkw 101010 2/ == + (5) asigurindu-ne de nedepasirea de format (arithmetic overflow). Sa consideram urmatoarea relatie omogena de constringere:

043 653 =−+ uuu (6) relatie care mai poate fi scrisa matriceal astfel:

[ ] 0413

6

5

3

=

uuu

(7)

si multiplicind ambii membri ai relatiei cu transpusa matrcii coeficientilor obtinem: (8) Unde ( )eK reprezinta matricea de rigiditate nescalata a elementului de penalizare. Multiplicind aceasta matrice cu coeficeintul de pondere w si asamblind-o in matricea de rigiditate a structurii urmind regulile uzuale de asamblare obtinem: (9) In cazul general pentru un model numeric oarecare descris prin FEM, includerea constringerilor se realizeaza construind asa numita functie patratica de penalizare a lui Courant. Prsupunem ca avem urmatorul set de relatii de constringere:

mppp ,...,2,1== bua (10) unde vectorul u contine toare gradele de libertate si fiecarei astfel de relatii i se asociaza un coeficeint de pondere wp. Se construieste functia Cournat de penalizare:

pT

pT

pTppp

Tpp

Tp

m

pp wwPPP fuuKubauaau −=

−== ∑

= 21

21,

1

(11)

Adaugind functia P functiei energiei potentiale fuKuu TT −=21

Π obtinem functia

energiei potentiale totale Pa += ΠΠ . Minimizind functia aΠ in raport cu u obtinem

Page 27: ASPECTE LEGATE DE DISCRETIZAREA IN ELEMENTE …users.utcluj.ro/~ccosmin/cursscoaladoctorala.pdf · tratarea marginilor curbe fie ca se procedeaza la o indesire a retelei, utilizind

Curs Scoala Doctorala (2007-2008) Cosmin G. Chiorean http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin

27

urmatoarea ecuatie matriceala de condtie a modelului:

∑∑==

+=

+

m

pp

m

pp

11

ffuKK (12)

Relatia (12) mai poate fi scrisa intr-o forma mai compacta daca se utilizeaza urmatoarea forma de definire a constringerilor:

bAu = (13) in acest caz relatia (12) se scrie:

( ) bWAfuWAAK TT +=+ (14) Aplicatii 1. Modelarea efectului de saiba rigida 2. Modelarea barelor cu variatie brusca de sectiune 3. Modelarea structurilor mixte cadre-diafragme Bibliografie 1. Chiorean C.G., Aplicatii software pentru analiza neliniara a structurilor in cadre, Ed.

UT Pres Cluj-Napoca, 2006. 2. Chiorean, C.G., Numerical simulation of ballistic impact on composite materials,

Technical Report, Project POCTI 43228/EME/2001, UNIC-New University of Lisbon, Portugal, 2003.

3. Chiorean, C.G., Large deflection distributed plasticity of 3D steel frameworks, Comp&Struct, 83(19-20), pp.1555-1571, 2005.

4. Stoian, V., Pacoste, C.,Dubina, D, Metode moderne in calculul structurilor, Edit. Tehnica, Bucuresti, 1985.

5. Felippa, C.A., Introduction to Finite Elements Method, Departmanet of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado at Boulder, www. Colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.


Recommended