+ All Categories
Home > Documents > Articol Publicare Prof. Banut

Articol Publicare Prof. Banut

Date post: 19-Dec-2015
Category:
Upload: construct-societate
View: 21 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
Description:
c
17
STABILITATEA BARELOR ÎNTINSE STABILITY OF STRETCHED BEAMS Valeriu BANUT 1 Rezumat: În ansamblul structurilor formate din bare unele elemente sunt comprimate iar altele sunt intinse. În calculul de stabilitate prin bifurcarea tipului de echilibru (Teoria Euler) se consideră, în mod obişnuit, numai aportul barelor puternic comprimate. În această lucrare se determină expresiile funcţiilor de corecţie ale eforturilor M şi T pentru barele întinse, utilizate în calculul de stabilitate prin metoda deplasărilor. În final se analizează două structuri şi se comentează rezultatele. Cuvinte cheie: structuri, bare, comprimate, întinse, eforturi, stabilitate Abstract: In all structures consist of bars some elements are compressed and others are stretched.In the analysis of stability by bifurcation type of equilibrium (Euler theory) are considered, usually,only compressed bars. In this paper we determine the expressions of efforts correction functions M and T for stretched bars used in the calculation of stability by the displcements metho. Finally, two structures are analysed and the results are commented . Keywords: structures, bars, compressed, stretched, effort, stability 1. Introducere Calculul de stabilitate al structurilor formate din bare, efectuat prin metoda deplasărilor, fie în formă clasică, fie în formulare matricială, utilizează teoria lui Euler şi consideră numai aportul barelor comprimate. Efectul efortului axial de compresiune asupra momentului încovoietor şi forţei tăietoare produse de deplasările nodurilor -rotire sau translaţie- se introduce în calcul prin funcţiile de corecţie, în expresia cărora intervine parametrul de încărcare la compresiune, parametru care are expresia 1 prof.univ.dr.ing., Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti (Professor, PhD, Eng. Technical University of Civil Engineering), Facultatea de Hidrotehnică (Hydrotechnical Faculty), email: [email protected]
Transcript

CALCULUL STRUCTURILOR ASAMBLATE PRIN LEGTURI ELASTICE

STABILITATEA BARELOR NTINSESTABILITY OF STRETCHED BEAMS Valeriu BANUT

Rezumat: n ansamblul structurilor formate din bare unele elemente sunt comprimate iar altele sunt intinse. n calculul de stabilitate prin bifurcarea tipului de echilibru (Teoria Euler) se consider, n mod obinuit, numai aportul barelor puternic comprimate. n aceast lucrare se determin expresiile funciilor de corecie ale eforturilor M i T pentru barele ntinse, utilizate n calculul de stabilitate prin metoda deplasrilor. n final se analizeaz dou structuri i se comenteaz rezultatele.Cuvinte cheie: structuri, bare, comprimate, ntinse, eforturi, stabilitateAbstract: In all structures consist of bars some elements are compressed and others are stretched.In the analysis of stability by bifurcation type of equilibrium (Euler theory) are considered, usually,only compressed bars. In this paper we determine the expressions of efforts correction functions M and T for stretched bars used in the calculation of stability by the displcements metho. Finally, two structures are analysed and the results are commented .Keywords: structures, bars, compressed, stretched, effort, stability1. Introducere Calculul de stabilitate al structurilor formate din bare, efectuat prin metoda deplasrilor, fie n form clasic, fie n formulare matricial, utilizeaz teoria lui Euler i consider numai aportul barelor comprimate. Efectul efortului axial de compresiune asupra momentului ncovoietor i forei tietoare produse de deplasrile nodurilor -rotire sau translaie- se introduce n calcul prin funciile de corecie, n expresia crora intervine parametrul de ncrcare la compresiune, parametru care are expresia . Valorile acestor funcii sunt date n tabele n toate lucrrile de specialitate [1], [2]. n cele ce urmeaz, se vor determina funciile de corecie pentru eforturile M i T n cazul barelor ntinse, pentru care parametrul de ncrcare la ntindere este .2. Bare ntinse n sistemul de baz al metodei deplasrilor Vor fi analizate barele dublu ncastrate sau ncastrate i articulate, ncarcate cu deplasrile nodurilor rotiri i translaii- i cu for axiala de ntindere.2.1 Bara articulata ncastrata, ncarcata cu translatie de nod. Fie bara din figura 1, ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu translaia de nod , n poziia iniial i n poziia deformat.

Ecuaia fibrei medii deformate este:

(1) Momentul incovoietor in sectiunea curenta fiind

ecuaia diferenial (1) capat forma:

(2)si are soluia general

Soluia particular este iar soluia ecuaiei omogene este:

Din condiia de verificare a ecuaiei difereniale (2) rezult: iar

Soluia general devine:

(3) Cu:

Condiiile pentru determinarea constantelor i sunt:

-pentru i

(4) -

- pentru i

unde

Expresia deplasrii seciunii curente devine:

(5)din care pentru rezult

Momentul ncovoietor n seciunea curent este :

(6)

iar la captul ncastrat, pentru , capat forma:

(7)

undereprezint funcia de corecie pentru momentul ncovoietor, n cazul barei ntinse

si are expresia:

(8) Fora tietoare :

(9)unde:

(10)

2.2 Bara articulat- ncastrat, ncrcat cu rotire de nod

Fie bara din figura 2, ncrcat cu rotirea de nod i fora axiala de ntindere P, n poziia iniial i n poziia deformat.

Momentul ncovoietor n seciunea curent este:

Ecuaia diferenial capt forma:

(11) Soluia ecuaiei difereniale este:

(12)

iar rotirea are forma:

(13)

Constantele i se determin din condiiile:

-pentru i

-pentru i

Cu aceste expresii ale constantelor, deplasarea seciunii devine:

(14) Din condiia pentru rezult expresia forei tietoare:

(15)unde:

(16)

Momentul ncovoietor din ncastrare este:

(17) 2.3 Bara dublu ncastrat ncrcat cu translaie de nod

Fie bara dublu ncastrat din figura 3, ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu translaia de nod, n poziia iniial i n poziia deformat.

Momentul ncovoietor n seciunea curent fiind:

ecuaia diferenial capt forma:

Soluia ecuaiei difereniale este:

(18) Constantele se determin din condiiile:

-pentru si

-pentru si

si rezult:

; ; i (20)

Deoarece , prin unele transformri rezulta:

(21)unde:

(22)

Din condiia de echilibru, i cunoscnd c (pentru acest caz de ncrcare) rezult:

(23)sau:

(24)unde:

(25) 2.4 Bara dublu ncastrat ncrcat cu rotire de nod

Fie bara dublu ncastrat ncrcat cu fora axial de ntindere P i cu rotire de nod, din figura 3, n poziia iniial i n poziia deformat.

Momentul ncovoietor n seciunea curent fiind:

ecuaia diferenial capt forma:

(26)

Soluia ecuaiei difereniale este:

(27) iar rotirea are forma:

(28) Constantele se determin din condiiile:

-pentru i

-pentru i

si rezult:

; ; i (29) Cu aceste expresii se obin, prin cteva transformri, momentele ncovoietoare de la capetele barei:

(30)unde:

(31) Din condiia de echilibru rezult:

sau:

(32)

unde:

(33) Observaie: Din analiza expresiilor funciilor de corecie rezult:

(34)

n tabelul 1 sunt prezentate, n paralel, expresiile funciilor de corecie pentru barele ntinse i pentru barele comprimate. Tabelul 1Bare comprimateBare ntinse

n anexa 1 sunt prezentate matricele de rigiditate ale barelor ntinse, utilizate n metoda deplasrilor. 3. Ecuaia de stabilitate. n teoria Euler pentru stabilitatea structurilor se consider c forele axiale cresc funcie de un parametru unic, astfel nct la o anumit valoare critic, structura se afla la limita echilibrului stabil. Aceast situaie corespunde condiiei c rigiditatea structurii s fie egal cu zero. Teoretic aceasta se exprim prin condiia , fiind matricea de rigiditate tangent a structurii. Considernd expresia matricei de rigiditate tangent se poate exprima condiia de mai sus, astfel:

(35)unde:

reprezint matricea de rigiditate elastic (din calculul de ordinul I)

reprezint matricea de rigiditate geometric tangent, care conine efectul neliniaritii geometrice

Expresia (35) reprezint forma problemei de valori i vectori proprii.

Pentru a aduce la aceeai form ecuaia de stabilitate obinut prin metoda deplasrilor, n care sunt utilizate funciile de corecie, pentru eforturile M i T este necesar s se determine matricea . La nivelul fiecrui element matricea se obine astfel:

-n cazul n care se consider n calculul de stabilitate forele de compresiune

(36)unde:

este matricea obinut prin corectarea elementelor matricei cu funcii de corecie [3] -n cazul n care se consider n calculul de stabilitate forele de ntindere, atunci pentru aceste bare matricea are forma:

(37) n continuare matricile de rigiditate sunt introduse n matricea de rigiditate tangenta a structurii, dup care se rezolv problema de valori i vectori proprii.

4. Exemple numerice. Pentru rezolvarea problemei de stabilitate, n cazul considerrii efectului barelor ntinse, a fost realizat programul STABILITATE 2. 4.1 Cadru metalic Pentru cadrul metalic din figura 5, a eforturile axiale sunt prezentate n figura 5,b.

Elementele cadrului au urmtoarele caracteristici:

-stlpii-

-riglele-

Multiplicatorul critic al forelor axiale este urmtorul:

a) pentru cazul n care se consider numai barele comprimate,

b) pentru cazul n care se consider att barele comprimate ct i cele ntinse,

Comparnd rezultatele obinute se constat c n cazul considerrii barelor ntinse, fora critic scade. Efectul ntinderii este mai important pe masur ce numarul barelor ntinse este mai mare. 4.2 Grinda cu zbrele

Se consider grinda cu zbrele metalic din figura 6. Calculul de stabilitate va fi efectuat pentru urmtoarele situaii:a) grinda cu zbrele cu noduri articulate

b) grinda cu zbrele cu noduri rigide

n ambele variante se vor considera:c) numai barele comprimated) att barele comprimate ct i cele ntinse

Caracteristicile barelor sunt:

-pentru tlpi-

-pentru diagonale i montani-

Eforturile axiale din bare n cele dou variante sunt date n tabelul 2.

Tabelul 2

Bara1-21-32-32-42-53-54-5

NoduriEfort+250,0-353,55+250,0+300,0-70,71-250,0+50,0

articulateBara4-65-65-76-76-87-8-

Efort+300,0-212,13-150,0+150,0+150,0-212,13-

Bara1-21-32-32-42-53-54-5

NoduriEfort+237,38-331,61+220,91+279,60-49,425-242,16+34,144

rigideBara4-65-65-76-76-87-8-

Efort+278,56-171,78-157,60+124,22+147,71-205,70-

Din calcul au rezultat urmtoarele valori pentru parametrul critic de ncrcare axial:

-pentru noduri articulate

numai bare comprimate

bare comprimate i ntinse

-pentru noduri rigide

numai bare comprimate

bare comprimate i ntinse

5. Concluzii Din analiza rezultatelor obinute pe cele dou structuri rezult urmtoarele: -considerarea eforturilor din barele ntinse conduce la scderea parametrului critic de ncrcare axial -scderea acestui parametru este mai important cu ct numrul barelor ntinse din structur este mai mare; aa cum este cazul grinzilor cu zbrele -n cazul grinzilor cu zbrele cu noduri rigide parametrul critic de ncrcare axial este cu mult mai mare dect n cazul grinzilor cu zabrele cu noduri articulate, n ambele situaii de analiz. ANEXA 1Matricile de rigiditate ale barelor ntinse n metoda deplasrilor, utiliznd funciile de corecie

1. Bara dublu ncastrat (A.1)2. Bara ncastrat-articulat (A.2)3. Bara articulat-ncastrat (A.3) Bibliografie[1] Bnu V., Calculul neliniar al structurilor, Bucuresti, Editura Tehnic, 1981[2] Bnu V., Teodorescu, M.E., Calculul geometric neliniar al structurilor de rezisten, Bucureti, Editura Conspress, 2010

[3] Bnu, V., Teodorescu, M.E., - Stability plane structures analysis program by correction functions., Int. Symposium Computational Civil Engineering 2008, Iai, Romnia, May 30, 2008

[4] Scarlat, A., Stabilitatea i calculul de ordinul II al structurilor. Editura Didactic i Pedagogic, 1969

[4] Timoshenko, P.S., Gere, M.J., Teoria stabilitii elastice. Editura Tehnic, 1967

EMBED Equation.3 prof.univ.dr.ing., Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti (Professor, PhD, Eng. Technical University of Civil Engineering), Facultatea de Hidrotehnic (Hydrotechnical Faculty), email: HYPERLINK "mailto:[email protected]" [email protected]

_1427186431.unknown

_1427190626.unknown

_1427192988.unknown

_1427269857.unknown

_1427270755.unknown

_1427273383.unknown

_1427474550.unknown

_1427474778.unknown

_1427475820.unknown

_1427476808.unknown

_1427477759.unknown

_1427474795.unknown

_1427474683.unknown

_1427474715.unknown

_1427474567.unknown

_1427274273.vsdP=100kN

Fig. 6

2m

2m

2m

1,5P

2m

0,5P

2m

1

2

3

4

5

6

7

8

2P

_1427275114.unknown

_1427275154.unknown

_1427273490.unknown

_1427270890.unknown

_1427272868.vsdFig. 5

0,75P

0,75P

0,75P

0,75P

2P

2P

0,475P

0,2375P

P=111,745kN

H=26,539kN

a

b

-87,507kN

+28,957kN

-339,43kN

-174,63kN

442,78kN

216,47kN

_1427270868.unknown

_1427270478.unknown

_1427270631.unknown

_1427270701.unknown

_1427270534.unknown

_1427270135.unknown

_1427270193.unknown

_1427270045.unknown

_1427269137.unknown

_1427269478.unknown

_1427269837.unknown

_1427269267.unknown

_1427268612.unknown

_1427268758.unknown

_1427268932.unknown

_1427268692.unknown

_1427268572.unknown

_1427191892.unknown

_1427192464.unknown

_1427192932.unknown

_1427192707.unknown

_1427192728.unknown

_1427192200.unknown

_1427192337.unknown

_1427191926.unknown

_1427191699.unknown

_1427191864.unknown

_1427191872.unknown

_1427191785.unknown

_1427191262.vsdi

k

l

E,I

Fig. 4

x

y

x

y

M

H

P

P

P

H

ki

ik

M

_1427190738.unknown

_1427190883.unknown

_1427187565.unknown

_1427189897.unknown

_1427190085.unknown

_1427190553.unknown

_1427190277.unknown

_1427190432.unknown

_1427189953.unknown

_1427189562.unknown

_1427189734.unknown

_1427189829.unknown

_1427189865.unknown

_1427189766.unknown

_1427189688.unknown

_1427189468.unknown

_1427189527.unknown

_1427188854.vsdi

k

l

E,I

Fig. 3

x

y

x

y

M

H

P

P

P

ki

ik

M

H

_1427186821.unknown

_1427187130.unknown

_1427187222.unknown

_1427186958.unknown

_1427186636.unknown

_1427186811.unknown

_1427186539.unknown

_1427096305.unknown

_1427096841.unknown

_1427097391.unknown

_1427097815.unknown

_1427098650.vsdi

k

l

E,I

Fig. 2

x

y

x

y

M

H

P

P

P

_1427097610.unknown

_1427097120.unknown

_1427097204.unknown

_1427096895.unknown

_1427096437.unknown

_1427096633.unknown

_1427096747.unknown

_1427096600.unknown

_1427096328.unknown

_1427066668.unknown

_1427067090.unknown

_1427096190.unknown

_1427096209.unknown

_1427096279.unknown

_1427067281.unknown

_1427067188.unknown

_1427066884.unknown

_1427067046.unknown

_1427066781.unknown

_1427066158.vsdi

k

l

E,I

Fig. 1

x

y

x

y

M

T

P

P

P

_1427066507.unknown

_1427066582.unknown

_1427066308.unknown

_1427066400.unknown

_1427062683.unknown

_1427064474.unknown

_1378373298.unknown

_1427062361.unknown

_1359060869.unknown


Recommended