93

MODULUL 5. ARBORI ŞI OSII

Timpul mediu necesar pentru studiu: 120 minute

Obiective educaŃionale

Scopul cursului este de a prezenta clasificarea, structura şi elementele de dimensionare şi

verificare ale arborilor şi osiilor.

Cuvinte cheie:

Arbori, osii, fusuri, momente de torsiune, egală rezistenŃă, rigiditate.

Cuprinsul Modulului:

5.1 Materiale şi tehnologie

5.2 Calculul osiilor şi arborilor

Întrebări de autoevaluare

Rezumat

Bibliografie

94

EXPUNEREA DETALIATĂ A TEMEI

Osiile şi arborii sunt organe de maşini care au funcŃia comună de susŃinere a organelor aflate în

mişcarea de rotaŃe. Osiile nu transmit momente de torsiune utile, în timp ce arborii îndeplinesc şi

funcŃia de transmitere a mişcării şi puterii între organele pe care le susŃin.

Tabelul 3.1 Clasificarea osiilor şi arborilor

Osii şi arbori

Criteriu de calsificare Felul osiilor şi arborilor

După axa geometrică longitudinală drepte formă

După secŃiune curbate fixe

După mişcare rotative static determinate static nedeterminate cu forŃe între reazeme (cazul I)

funcŃionare După reazeme şi după poziŃia forŃelor

cu forŃe în afara reazemelor (cazul II) Orizontale Verticale poziŃie

Înclinate

static determinaŃi După reazeme

static nedeterminaŃi greu încărcaŃi uşor încărcaŃi Putere

scopuri speciale în principal la răsucire

Osii

fucŃionare

Mod de solicitare răsucire şi încovoiere drepŃi După axa geometrică longitudinală cotiŃi diametru constant diametru variabil cu caneluri secŃiune plină

formă După secŃiune

secŃiune inelară Rigizi rigiditate Elastici Orizontali Verticali

Arbori

poziŃie ÎnclinaŃi

Forma şi dimensiunile arborilor sunt determinate atât de modul de repartizare a sarcinilor pe

lungime, cât şi de condiŃiile funcŃionale, de fabricaŃie şi de montaj.

Clasificarea osiilor şi arborilor se face după mai multe criterii: formă, condiŃii de funcŃionare,

încărcare. În tabelul 3.1 se arată clasificarea osiilor şi a arborilor după diferite criterii.

95

5.1 Materiale şi tehnologie

Stabilirea materialului şi a tratamentului termic trebuie să ia în considerare atât modul de

solicitare a osiei sau a arborelui, cât şi condiŃiile de lucru ale fusurilor.

Pentru solicitări uşoare se utilizează oŃelurile carbon obişnuite OL42, OL50, OL60 (STAS 500/2-

80). Pentru solicitări medii cu cerinŃe de durabilitate, pentru fusuri şi caneluri se folosesc oŃelurile

carbon de calitate cu tratament de îmbunătăŃire, OLC35 ,OLC45, OLC50 (STAS 880-80); pentru

solicitări importante şi gabarite şi mai reduse se folosesc oŃeluri aliate de îmbunătăŃire:

41MoCr11, 41CrNi12, 40Cr10, etc., sau oŃeluri de cementare: 18MnCr10, 18MoCrNi13,

13CrNi30 (STAS 791-80). Dacă unele organe de maşini se execută din aceeaşi bucată de material

cu arborele (formează corp comun cu arborele), atunci arborele se realizează din materialul piesei

respective.

Arborii de dimensiuni mari sau arborii de formă complicată pot fi executaŃi din fontă cu grafit

nodular (STAS 6071-75), sau fontă maleabilă (STAS 569-79). Fontele au rezistenŃă mecanică

mai scăzută decât oŃelurile, dar au o sensibilitate mai redusă faŃă de efectul de concentrare a

tensiunilor şi o capacitate mai bună de amortizare a vibraŃiilor.

Alegerea semifabricatului şi a tehnologiei de execuŃie este determinată de dimensiunile şi rolul

funcŃional al arborelui, respectiv al volumului de producŃie.

Pentru diametre d<300mm, arborii se execută prin prelucrări mecanice din oŃel rotund laminat.

La serii mari şi dimensiuni mici, arborii se pot forja în matriŃă. Arborii de dimensiuni mari se

obŃin direct din lingouri prin forjare (osiile locomotivelor sau vagoanelor), sau prin turnare.

5.2 Calculul osiilor şi arborilor

Osiile şi arborii se dimensionează şi se verifică luându-se în considerare toŃi factorii ce

influenŃează comportarea lor în exploatare.

Criteriile folosite în calculul de proiectare iau în considerare atât aspectele de rezistenŃă ale

osiilor şi arborilor, cât şi cerinŃele impuse de funcŃionarea corectă a organelor montate pe acestea.

Dintre criteriile de rezistenŃă, în majoritatea cazurilor, hotărâtoare este rezistenŃa la solicitări

variabile. În cazul arborilor cu funcŃionare lentă, supuşi la suprasarcină, criteriul de calcul este

capacitatea portantă la suprasarcini, pentru evitarea deformaŃiilor plastice.

CondiŃiile de funcŃionare corectă a organelor de maşini montate pe osii şi arbori impun, de

asemenea, efectuarea de calcule de rigiditate şi de vibraŃii.

96

Proiectarea osiilor şi arborilor se desfăşoară, în mod obişnuit în următoarea succesiune:

- predimensionarea pe baza unui calcul simplificat;

- stabilirea formei constructive;

- verificerea la rupere prin oboseală;

- verificarea la rigiditate (deformaŃii);

- verificarea la vibraŃii.

Calculul osiilor.

În calculul de rezistenŃă al osiilor se iau în considerare doar momentele încovoietoare datorate

sarcinilor erxterioare. Osiile rotative sunt solicitate variabil după un ciclu alternant simetric, de

aceea se recomandă verificarea lor la oboseală prin calculul coeficientului de siguranŃă. Pentru o

utilizare economică a materialului, osiile nu se recomandă a se executa cu secŃiune constantă pe

toată lungimea lor (fig.3.1) ci cu secŃiunea variabilă (fig.3.2).

Notând cu D diametrul în zona momentului maxim Mimax şi cu Mix momentul corespunzător

diametrului dx situat la distanŃa x de reazemul 1, se poate scrie:

aax

aa

xix

i

d

D

R

lR

M

M

~

3

~

3

1

11max

32

32

σπ

σπ

== (3.1)

de unde rezultă

3

1l

xDd x = (3.2)

RelaŃia (3.2) defineşte forma solidului de egală rezistenŃă ca fiind un paraboloid de revoluŃie de

gradul 3 (fig.3.2). Realizarea unei astfel de forme este costisitoare din punct de vedere al

fig.3.1 fig.3.2

97

execuŃiei; de aceea în practică se aproximează cu porŃiuni cilindrice şi conice trasate cât mai

apropiat de conturul teoretic.

Predimensionarea arborilor drepŃi

Sistemul de forŃe care solicită arborele rezultă din interacŃiunea acestuia cu organele susŃinute

(roŃi dinŃate, roŃi de curea) şi lagăre.

În majoritatea cazurilor în prima etapă a proiectării unui arbore nu se cunosc lungimile dintre

reazeme şi tronsoane şi ca urmare nu se pot determina momentele de încovoiere necesare

dimensionării.

În mod normal arborii ar trebui dimensionaŃi la solicitarea compusă de încovoiere şi torsiune, cu

luarea în considerare a concentratorilor de tensiune. Cum tipul şi elementele concentratorilor de

tensiune nu se pot preciza în această fază, efectul lor se neglijează şi se adoptă în consecinŃă

rezistenŃe admisibile mai scăzute.

Succesiunea etapelor de calcul este următoarea:

a. Determinarea preliminară a diametrului arborelui care se realizează pe baza unui

calcul convenŃional simplificat, considerând numai rezistenŃa de rupere la torsiune:

316

at

tp

Md

πτ= [mm] (3.3)

unde:

Mt reprezintă momentul de torsiune transmis de arbore [N·mm];

τat- rezistenŃa admisibilă la torsiune [N/mm2]

Deoarece se neglijează solicitarea de încovoiere se aleg pentru rezistenŃa admisibilă la torsiune

valori reduse: τat= 15-25 N/mm2.

Dacă deformaŃia de torsiune θa este limitată şi se cunoaşte lungimea l a arborelui, diametrul

preliminar se determină cu relaŃia:

G

lMd

a

tp

πθ

32= (3.4)

unde G este modulul de elasticitate transversal al

materialului arborelui.

Cunoscând diametrul preliminar, se determină pe baza

unor recomandări constructive lungimea transversală a

98

arborelui, rezultând în final întreaga lungime l. De exemplu, în cazul arborilor unui reductor cu

roŃi dinŃate se lasă o lungime de (1....1,2)·dp pentru montarea semicuplajului sau a butucului roŃii

de curea şi (0,3...0,8)·dp pentru montarea rulmenŃilor; pentru montarea roŃilor dinŃate se lasă un

spaŃiu egal cu lăŃimea roŃilor; pentru sistemul de etanşări se lasă câte un tronson de 15-20mm;

între organele aflate în mişcare relativă de rotaŃie se lasă circa 10mm dacă sunt în interiorul

carcasei şi circa 20mm dacă sunt în exterior.

b. Predimensionarea arborelui cu luarea în considerare atât a solicitărilor de răsucire,

cât şi a celei de încovoiere se face parcurgând mai multe etape.

1. Stabilirea schemei de forŃă care solicită arborele la încovoiere şi determinarea

momentelor de răsucire. ForŃele active şi reacŃiunile din reazeme se consideră

simplificat sub forma unor forŃe concentrate pe mijlocul tronsoanelor respective.

Dacă într-un reazem se montează doi rulmenŃi, din cauza elasticităŃii arborelui

forŃele de reacŃiune sunt preluate într-o măsură mai mare de rulmenŃii amplasaŃi pe

partea deschiderii solicitate, motiv pentru care, convenŃional, drept reazem

articulat se consideră un punct imaginar, dispus la o treime din distanŃa dintre

axele rulmenŃilor reazemului, situat în câmpul rulmentului interior (fig.3.3). În

cazul acŃiunii sarcinilor în plane diferite, se determină proiecŃiile fiecărei forŃe în

două plane perpendiculare care trec prin axa arborelui (fig.3.4).

99

2. Determinarea momentelor încovoietoare MiH şi MiV date de componentele forŃelor

din fiecare din cele două plane perpendiculare, cu trasarea diagramelor de

momente încovoietoare corespunzătoare.

3. Calculul momentului încovoietor rezultant

( ) ( ) ( )22

jiVjiHjirez MMM += ; j=1,2,...,n (3.5)

4. Trasarea diagramelor de variaŃie a momentelor de torsiune de-a lungul axei

arborelui.

5. Determinarea, punct cu punct a mărimii momentului de încovoiere echivalent Mie.

Materialele pentru arbori sunt, în marea lor majoritate, materiale cu domeniu

plastic la care se recomandă utilizarea ipotezei tangenŃiale maxime drept criteriu

de rupere, în care caz momentul de încovoiere echivalent se determină cu relaŃia:

( ) ( ) ( )22

jtjirezjie MMM α+= , j=1,2,...,n (3.6)

fig.3.4

100

în care α este un coeficient care ia în considerare modul diferit de variaŃie a

tensiunilor produse de solicitarea de încovoiere, respectiv de torsiune.

RelaŃia de determinare a coeficientului α pentru un material dat al arborelui este:

torsiunedeolicitariisciclulpentruσ

încovoieredeolicitariisciclulpentruσ

ai

ai=α (3.7)

unde σai pentru ciclul solicitării de încovoiere este rezistenŃa admisibilă a

materialului arborelui la încovoiere pentru ciclul de variaŃie a solicitării de

încovoiere, care la arbori este mereu alternant simetrică, deci σaiIII, iar σai pentru

ciclul solicitării de torsiune este rezistenŃa admisibilă a materialului arborelului la

încovoiere pentru ciclul de variaŃie a solicitării de torsiune, care poate fi constant,

deci σaiI, sau pulsator, deci σaiII şi foarte rar alternant simetric, deci σaiIII.

De obicei 67,033,0 ≅=≅=aiII

aiIII

aiI

aiIII sauσ

σα

σ

σα

6. Calculul diametrelor tronsoanelor arborelui în secŃiunea cu valori maxime ale

momentului încovoietor echivalent:

( )

aiIII

jie

i

Md

πσ

32= (3.8)

Proiectarea formei arborelui

Forma arborelui se stabileşte pe baza diametrelor calculate după metoda prezentată anterior, cu

considerarea condiŃiilor impuse de rolul funcŃional, al tehnologiei de execuŃie şi montaj.

Diametrele suprafeŃelor de montaj se aleg din şirul de numere normale (STAS 75-80). Diametrele

fusurilor pentru montarea rulmenŃilor se stabilesc după seria de dimensiuni a diametrelor

interioare ale rulmenŃilor.

101

Pentru rezemarea axială a rulmenŃilor fusurile respective se prevăd cu umeri de sprijin şi raze de

racordare (STAS 6603-75), cu filet sau alte mijloace de fixare a inelelor.

Dacă arborele are mai multe canale de pană pe întreaga lungime, aceasta se dispun pe aceeaşi

generatoare. PrezenŃa canalelor de pană stabileşte secŃiunea arborelui, ceea ce impune mărirea

diametrelor transoanelor respective cu 5% în cazul folosirii unei singure pene şi cu 10% când se

folosesc două pene aşezate diametral opus.

Zonele de racordare între două trepte cu diametre diferite se pot realiza în următoarele variante:

- rază de racordare constantă (fig.3.5 a) care se alege mai mică decât raza de racordare sau

dimensiunea radială a teşiturii pieselor montate pe treapta cu diametru mai mic. Pentru arbori

puternic solicitaŃi se recomandă ca raza de racordare să fie cel puŃin egală cu 0,1d unde d este

diametrul treptei mai mici. Dacă raza de racordare sau teşitura piselor care se montează pe arbore

limitează valoarea razei de racordare a arborelui, se pot introduce inele intermediare (fig.3.5 b).

Valorile razelor de racordare sunt indicate în STAS 403-73.

- canalul circular pentru ieşirea pietrelor de rectificat (fig.3.5 c), soluŃie care introduce un puternic

concentrator de tensiuni, micşorând prin aceasta considerabil rezistenŃa la oboseală a arborelui.

Se folosesc la arbori dimensionaŃi din condiŃiile de rigiditate sau pe tronsoanele de capăt ale

arborilor unde momentele încovoietoare sunt mici. Dimensiunile racordate sunt prezentate în

tabelul 3.2. SoluŃia din fig.3.5 d asigură pe lângă accesul pietrei de rectificat şi o micşorare a

efectului de concentrare a tensiunilor.

- racordarea de formă specială, care urmăreşte mărimea razei de racordare la treapta cu diametru

mai mic.

Diametrul arborelui

LăŃimea Adâncimea

≤50 2,5-3 0,25-0,5 >50 4-5 0,5-1

fig.3.5

a b c d

102

Se folosesc racordări realizate cu două raze de curbură sau se execută racordarea cu degajare

interioară (fig.3.6 a). Pentru mărirea rezistenŃei la oboseală a arborelui în secŃiunile de racordare

se procedează la îndepărtarea din treapta cu diametrul mai mare a materialului puŃin solicitat.

Aceasta se realizează prin executarea unor canale de degajare (fig.3.6 b) sau a unei găuri (fig.3.6

c).

În cazul în care pe lungimea arborelui există mai multe suprafeŃe de contact, asigurarea unei

montări facile se realizează atât prin stabilirea unei forme cât şi a unor toleranŃe corespunzătoare.

Dacă se foloseşte sistemul de toleranŃe cu alezaj unitar, arborele poate rămâne cu diametru

constant.

fig.3.6

a b c

fig.3.7

a

b

c

d

103

În cazul utilizării sistemului cu arbore unitar, pentru evitarea deteriorării suprafeŃelor de montare

se realizează tronsoane cu salturi de diametre de 2mm. Forma şi dimensiunile capetelor de arbori

sunt indicate în STAS 8724-71 şi 8724-71. Dimensiunile capetelor cilindrice (fig.3.7 a,b) pentru

diametrele nominale folosite în mod curent sunt prezentate în tabelul 3.3. În fig.3.7 c,d sunt

prezentate capete de arbore conice.

Tabelul 3.3 Dimensiunile de execuŃie pentru capete cilindrice de arbori

d l d l d l No-mi-nal

Abateri limită

Seria lungă

Seria scurtă

No-mi-nal

Abateri limită

Seria lungă

Seria scurtă

No-mi-nal

Abateri limită

Seria lungă

Seria scurtă

+0,006 6 -0,002 22 50 +0,018

16 - +0,002

7 +0,007

--

24 +0,009

50 36

55 8 -0,002 26 -0,004 56 9

20 28 60

10 30 63

110 82

20

32

60 42

65 +0,030 11

23 35 70 +0,011

12 +0,008 25

38 +0,0018 71 14 -0,003 40 +0,002 75

140 145

16 30

42 80 18

28 45

80 58

85

40 48 90

19 +0,009 +0,035 20 -0,004

50 36

110 82

+0,013

170 130

104

Tabelul 3.4 Dimensiunile de execuŃie pentru capete conice de arbori

l1 l2 t Diam nomin d lung scurt lung scurt

l3 Filet d1 Filet d2 bxh lung scurt

10 1,6 11

23 - 15 - 8 M6 - 2x2 1,7

-

12 2,3 14

30 18 - 12 M8x1 M4 3x3 2,5

2,2

16 18 19 20

40 28 28 16 12 M10x1,25 M5 4x4 3,4 3,1

22 24

50 36 36 22 14 M12x1,25 M6 3,9

25 28

60 42 42 24 18 M16x1,5 M8 4,1 3,6

30

5,5

4,5 3,9 32 35

M20x1,5 M10

38

80 58 58 36 22

M24x2 M12

6x6 5,0 4,4

40 42 45 48

M30x2 M16 10x8 7,1 6,4

50 55 56

110 82 82 54 28

M36x3 14x9 7,6 6,9

60 63 65

M42x3

M20

16x10 8,6 7,8

70

140 105 105 70 35

M48x3 M24 18x1 9,6 8,8

Calculul la oboseală a arborilor drepŃi

Calculul la oboseală permite verificarea formei şi dimensiunilor arborelui, acestea fiind funcŃie

de: material, caracterul variaŃiei eforturilor unitar, formă, mod de prelucrare, dimensiuni, condiŃii

de exploatare, starea suprafeŃei, etc.

Verificarea la oboseală se face la arborii solicitaŃi variabil la cel puŃin 103-104 cicluri.

Calculul la oboseală constă în determinarea coeficientului de siguranŃă şi compararea lui cu

valoarea admisă. La arbori solicitaŃi la încovoiere şi torsiune, coeficientul de siguranŃă se

determină cu relaŃia

22

11

1

τσ cc

c

+

= (3.9)

unde cσ şi cδ sunt coeficienŃii de siguranŃă la încovoiere, respectiv la torsiune, aceştia

determinându-se cu relaŃiile cunoscute din RezistenŃa materialelor:

105

mc

vk

s Bc

σσ

σσ

γε

σ

σσ

σ 1

1

−

−

+

= ;

mc

vkB

cτ

τ

ττ

γε

τ

ττ

ττ

1

1

−

−

+

= (3.10)

unde Bk este coeficientul efectiv de concentrare a eforturilor unitare, valorile lui fiind date în

fig.3.8-3.16, astfel:

fig.3.8 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru suprafeŃe lise.

fig.3.9 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru filete.

fig.3.10 – diagrama concentratorului βk la încovoiere şi răsucire pentru arbori cu raze de

racordare între tronsoane.

fig.3.11 – diagrama concentratorilor αk şi βk pentru degajări la încovoiere

fig.3.12 – diagrama concentratorului βk pentru degajări la solicitarea de răsucire.

fig.3.13 – diagrama concentratorului βk pentru suprafeŃe lise la solicitarea de încovoiere şi

răsucire.

fig.3.14 – diagrama coeficenŃilor ε şi εk.

fig.3.15 – diagrama coeficienŃilor de calitate γ.

fig.3.15 – diagrama coeficentului ε la răsucire.

CoeficienŃii de siguranŃă necesari sunt greu de apreciat; literatura de specialitate recomandă

următoarele valori:

- c=1,3-1,5 în cazul în care se cunosc precis solicitările şi caracteristicile mecanice ale

materialului ce se execută cu o tehnologie de calitate superioară.

- c=1,5-1,8, în cazul în care solicitările se cunosc mai puŃin, iar materialele au

caracteristici nesigure;

- c=1,8-2,5 în cazul calculelor aproximative, solicitări puŃin cunoscute, materiale nesigure

şi secŃiuni mari (d>200mm).

Valorile superioare ale coeficienŃilor de siguranŃă se admit când în calcule s-au introdus valorile

maxime ale rezistenŃei la oboseală a materialului, iar valorile inferioare ale lui c se admit când se

lucrează cu valorile minime ale rezistenŃei la oboseală.

106

Valorile σv, σm, τv, τm se determină în secŃiunea considerată a arborelui; adoptându-se solicitarea

de încovoiere întotdeauna după un ciclu alternant-simetric, deci σm=σmax=σi şi σm=0, iar torsiunea

de obicei pulsantă cu τv=τmax/2 =τt/2 (dar poate fi şi statică sau alternant-simetrică).

fig.3.9

fig.3.10

fig.3.8

107

fig.3.11 fig.3.12

fig.3.13

fig.3.15 fig.3.14

108

Calculul la deformaŃii

DeformaŃiile arborilor pot fi de încovoiere şi de răsucire; cunoaşterea acestor deformaŃii este

foarte importantă, deoarece influenŃează mult buna funcŃionare a lagărelor şi a organelor montate

pe arbori. Astfel, se impune ca înclinaŃia fusului unui arbore într-un lagăr de alunecare să se

menŃină în cadrul jocului calculat dintre fus şi cuzinet, pentru a evita griparea.

Calculul deformaŃiilor la încovoiere.

Calculul deformaŃiilor la încovoiere înseamnă verificarea, în secŃiunile de interes, a relaŃiilor:

fj≤faj (3.11)

sau

αj≤αaj (3.12)

unde fj, respectiv αj reprezintă valorile efective ale deformaŃiilor flexionale, respectiv ale

unghiului de rotire, în secŃiunea j a arborelui, iar faj şi αaj valorile admisibile pentru aceste

deformaŃii. În cazul în care sarcinile acŃionează în mai multe plane, ele se determină pentru

fiecare punct Hjf şi V

jf din două plane axiale perpendiculare, iar

( ) ( )22 Vj

Hjj fff += (3.13)

În mod deosebit interesează săgeata maximă a arborelui, săgeŃile şi unghiurile de înclinare din

zona pieselor montate pe arbore şi deformaŃiile unghiulare din zona lagărelor.

Pentru arbori cu diametru constant, încărcaŃi cu mai multe forŃe transversale sau momente de

încovoiere, determinarea mărimii deformaŃiilor Hjf şi V

jf se poate realiza folosind metoda

suprapunerii efectelor:

fig.3.16

109

( )∑=

=1

1

Vm

kkj

Vj Fff ; ( )∑

=

=2

1

Hm

kkj

Hj Fff (3.14)

în care cu ( )kj Ff v a fost notată valoarea deformaŃiei produsă în punctul j de sarcina Fk care

acŃionează în planul vertical, iar prin m1 numărul sarcinilor din planul vertical. SemnificaŃii

analoage au ( )kj Ff H şi m2.

În cazul arborilor în trepte supuşi unor solicitări exterioare complexe, determinarea deformaŃiilor

Vjf şi H

jf se face folosind pentru fiecare plan metoda integralelor lui Mohr. Pentru fiecare plan

se parcurg următoarele etape:

1. Se împarte arborele într-un număr de tronsoane în direcŃia forŃelor şi de zonele în care

sunt salturi de diametre.

2. Sub desenul arborelui se trasează diagrama de momente încovoietoare reale Mr,

realizată de sarcinile Fk care încarcă arborele în planul respectiv (fig.3.17 b).

3. Se aplică o forŃă unitară Fk=1 în secŃiunea j, în care se doreşte să se determine săgeata

fj şi se trasează diagrama momentelor încovoietoare Myj produse de forŃa unitară Fy

(fig.3.17 c).

4. Se determină grafic sau analitic, valoarea maximelor Mj şi Myj din punctele de

delimitare a tronsoanelor alese.

Săgeata f în punctul j considerat în cazul din fig.3.17 din dreptul forŃei F2 este dat de o sumă de

integrale de suprafaŃă corespunzătoare fiecărui tronson:

∑∫=

=n

j S j

yjjj ds

EI

MMf

1

(3.15)

unde Ij este momentul de inerŃie axială corespunzător tronsonului j.

Cu relaŃia (3.15) se determină Vjf şi H

jf , iar fi se calculează cu relaŃiile (3.13).

110

fig.3.17

Pentru determinarea unghiurilor de înclinare în reazeme se aplică, succesiv, în fiecare reazem al

arborelui, câte un moment unitar Mi (fig.3.17 d), respectiv M2 (fig. 3.17 e) se trasează diagrama

momentelor încovoietoare produse numai de '1M ,

respectiv '2M .

Se determină valoarea momentelor '1 jM şi '

2 jM

pentru punctele j de delimitare a tronsoanelor

arborilor.

Unghiurile de înclinare în reazem se determină cu

relaŃiile similare celor patru săgeŃi:

∑∫=

=n

i S j

jj dsEI

MM

1

'2,1

2,1α (3.16)

În tabelul 3.5 sunt date valorile integralelor din

relaŃiile (3.15) şi (3.16) pentru diferite forme ale

diagramei de momente şi ale tronsonului de arbore.

Valorile admisibile pentru deformaŃiile flexionale

depind de soluŃiile constructive, de condiŃiile de

funcŃionare. În general, se admite săgeata maximă

fmax≤3·10-4l, unde l este distanŃa dintre reazeme.

Pentru arborii maşinilor unelte se impune

fmax≤2⋅10-4l. ÎnclinaŃia maximă se admite în

majoritatea cazurilor αmax=10-3 radiani.

DeformaŃiile unghiulare admisibile pentru lagăre cu alunecare sunt: tgα≤3⋅10-4 la cuzineŃi ficşi;

tgα≤10-3 la cuzineŃi oscilanŃi; tgα≤10-3 la rulmenŃi.

Calculul deformaŃiilor la torsiune

DeformaŃia torsională se calculează în cazurile când buna funcŃionare a agregatului fixează limite

în acest sens.

Calculul deformaŃiilor unghiulare se face cu relaŃia (3.17):

p

t

GI

lM=θ (3.17)

111

În cazul unui arbore cu secŃiune şi încărcări variabile (fig.3.18), deformaŃia unghiulară totală este:

+++

++=++= 3

3

3212

2

211

1

1321

1l

I

MMMl

I

MMl

I

M

G p

ttt

p

tt

p

tθθθθ (3.18)

Recomandări de valori admisibile θa: pentru arborii diferenŃialelor de automobile

θa≤(13...25)x10-2 rad/m; pentru arborii mişcărilor de avans de la maşinile unelte θa≤15x10-4

rad/m.

fig.3.18

112

Tabelul 3.5 Valoarea integralelor de suprafaŃă pentru calculul deformaŃiilor flexionale

Forma diagramelor de momente

Forma tronsonului de arbore

M M

Ids respectiv

M M

EIdsJ zj

js

j j

js∫ ∫

1 2,

'

Cilindric cu diametrul

d [ ]a

EdM M M M M M

0 2942 2

4 1 1 2 2 2 1,( ) ( )' ' ' '+ + +

Tronconic cu

diametrele capetelor d1 şi d2

a

Ed d

d M M d d M M M M

d M M0 294

2

21

3

2

3

2

2

1 1 1 2 1 2 1 2

1

2

2 2,

( )' ' '

'

+ + +

+

Cilindric a

EdM M M

0 0098 4 1 2 2,( )' '+

Tronconic [ ]a

Ed dd M d d M M d M M

0 2942 2

1

3

2

3 2

2

1 1 2 1 2 1

2

2,( )' ' ' '+ + +

Cilindric a

EdM M M

0 2942

4 1 2,' ( )+

Tronconic a

Ed dd M M d M M

0 2942

1

2

2

3 2 1 1 2,( ' ' )+

Cilindric a

EdMM

0 147 4,'

Tronconic a

Ed dMM

0 147 1 2

3,'

Cilindric a

Ed dMM

0 294 1

2

2

2,'

Tronconic a

EdMM

0 294 4,'

La calculul săgeŃilor M’se înlocuieşte cu Myj.

Calculul arborilor drepŃi la vibraŃii

Verificarea la vibraŃii a arborilor constă în asigurarea condiŃiei:

*ii ff ≠ ; i=0,1,2,...,n (3.19)

în care fi sunt frecvenŃele proprii de vibraŃie ale arborelui iar *if sunt frecvenŃele sarcinilor

perturbatoare. Când una din frecvenŃele perturbatoare coincide cu o frecvenŃă proprie a arborelui

sau se află în zonele haşurate din fig.3.19, are loc fenomenul de rezonanŃă mecanică, cauzând o

serie de efecte dăunătoare bunei funcŃionări a arborelui.

113

Sistemul elastic real al arborelui cu masă proprie distributivă are un număr infinit de frecvenŃe

proprii. Este suficient să se determine doar frecvenŃele proprii f0,f1,f2,f3 şi în majoritatea cazurilor

numai frecvenŃa proprie fundamentală f0.

În funcŃie de natura şi sensul de acŃiune al sarcinilor exterioare perturbatoare, vibraŃiile arborilor

pot fi vibraŃii flexionale, torsionale sau longitudinale.

Calculul la vibraŃii flexionale

VibraŃiile flexionale la arbori apar datorită existenŃei maselor excentrice care produc forŃe

centrifuge. Aceste diferenŃe între axa centrelor de greutate a arborelui şi axa de rotaŃie apar

datorită lipsei de precizie în executarea şi montarea arborelui, defecte ale materialului, de

execuŃie sau de centrare a pieselor montate pe arbore. Pentru evitarea lor este necesară

echilibrarea sistemului arbore cu piesele montate pe el, mai ales la arborii care funcŃionează cu

turaŃii ridicate.

1. Arbore cu masă neglijabilă, solidar cu un disc de masă m şi sprijinit în două lagăre. Se

consideră un arbore vertical cu masă proprie neglijabilă pe care este montat un disc de

masă m cu o excentritate e (fig.3.20). În timpul funcŃionării cu viteza unghiulară ω,

datorită masei excentrice, arborele se va deforma până ce se realizează echilibrul dintre

forŃa centrifugă de valoarea:

( ) 2ωefmF dinc += (3.20)

şi forŃa elastică de revenire a arborelui:

dine fkF ⋅= (3.21)

unde k este constanta elastică a arborelui.

Din egalitatea Fe=Fc rezultă:

fig.3.19

114

2

2

ω

ω

mk

mefdin

−= (3.22)

Întrucât interesează condiŃiile la care apare rezonanŃa, deci când fdin tinde către infinit, în relaŃia

(3.22) se egalează numitorul cu zero, obŃinându-se viteza unghiulară critică:

m

kcr =ω (3.23)

respectiv

m

kn crcr

πω

π

3030== (3.24)

La rezonaŃă, viteza unghiulară de funcŃionare ω=ωcr, ca pulsaŃie a forŃei perturbatoare, este egală

cu pulsaŃia proprie a sistemului vibrator, notată cu p, adică ωcr=p.

Dacă în relaŃia (3.22) se introduce relaŃia (3.23), se obŃin factorii de amplificare:

2

2

2

1

−

==

cr

crdin

e

fA

ω

ω

ω

ω

(3.25)

respectiv

21

1

1

−

=±

=

cr

din

e

efA

ω

ω (3.26)

Dacă arborele este montat în poziŃie orizontală (fig.3.21),

greutatea G=mg a discului provoacă săgeata statică fst astfel

încât rigiditatea arborelui este:

stst f

mg

f

Gk == (3.27)

Viteza unghiulară critică, se obŃine similar cu relaŃia (5.23):

stcr f

g

m

k==ω (3.28)

fig.3.20

115

2. Arbore fără masă proprie, încărcat cu m mase concentrate.

Arborele din fig.3.22 reprezintă un sistem vibrator cu n grade de libertate, deci cu n pulsaŃii

proprii şi cu n forme de vibraŃie numite şi moduri normale sau proprii de vibraŃie. Dintre acestea

interesează în

special pulsaŃia

proprie fundamen-

tală şi turaŃia critică

cea mai joasă.

Printre cele mai

cunoscute metode

aproximative de

determinare a pulsa-

Ńiei proprii fundamentale este metoda Rayleigh bazată pe considerente de conservare a energiei:

.constEE cjpj =+

Se admite că masele sistemului execută vibraŃii armonice de aceeaşi pulsaŃie şi fază şi că

deformaŃiile statice reprezintă amplitudinile maxime ale vibraŃiilor.

Dacă f1,...,fn sunt săgeŃile fibrei medii deformate statice produse de forŃele F1,...,Fn, în poziŃia de

deplasare maximă faŃă de poziŃia de echilibru toate punctele sistemului au viteze nule, deci

energia vibraŃiei este numai energia potenŃială a cărei valoare este:

∑=

=n

i

iip

fFE

1max 2

(3.29)

În ipoteza vibraŃiilor armonice, deplasările maselor pot fi scrise sub forma:

( ) ptftf ii sin=

fig.3.21

fig.3.22

116

iar vitezele

( ) ptpftv ii cos=

Energia cinetică este maximă la 1cos =pt , când se obŃine vtmax şi anume când arborele trece prin

poziŃia de echilibru AB:

∑∑==

==n

ii

in

i

iic pf

g

FVmE

1

22

1

2max

max 22 (3.30)

Din egalitatea relaŃiilor (3.29) şi (3.30) rezultă:

crn

iii

n

iii

fF

fFgp ω==

∑

∑

=

=

1

2

1 (3.31)

din care se obŃine:

crcrn ωπ

30=

3. Arbore pe două reazeme, cu încărcare oarecare şi cu considerarea masei proprii.

În general arborele este încărcat cu sarcini concentrate Fi şi/sau cu sarcini uniform distribuite

q(x)=const.

Şi în acest caz general baza calculului pulsaŃiei fundamentale o reprezintă cunoaşterea funcŃiei

fibrei medii deformate static f(x), cu ajutorul căreia se pot preciza săgeŃile fi din dreptul sarcinilor

concentrate.

Se deosebesc următoarele cazuri:

a. Arbore cu masă proprie, de secŃiune constantă, fără alte încărcări.

În acest caz, arborele se poate echivala cu o grindă cu o infinitate de sarcini concentrate. TuraŃia

critică fundamentală este dată de relaŃia:

γ

απ

A

EIg

ln i

cri

2

30

= (3.32)

în care:

αi=1,2,...,n, este un coeficient care stabileşte ordinul turaŃiei critice şi depinde şi de modul de

rezemare a arborelui;

l-lungimea arborelui;

EI- rigiditatea la încovoiere;

117

A-aria secŃiuuni constante a arborelui;

γ- greutatea specifică.

b. Arbore cu masă proprie, de secŃiune variabilă, la care sarcinile exterioare

concentrate depăşesc mult sarcinile exterioare uniform distribuite.

În acest caz se neglijează influenŃa sarcinilor exterioare uniform distribuite şi se determină linia

elastică a arborelui numai datorită masei proprii şi a sarcinilor concentrate. RelaŃia de calcul a

turaŃiei critice este:

( ) ( )∫∑

∑

+

≤

=

=

ln

iii

n

iii

cr

dxxfxGfF

fFgn

0

2

1

2

130

π (3.33)

c. Arbore cu masă proprie şi sarcini exterioare uniform distribuite, mult superioare

sarcinilor exterioare concentrate.

În acest caz, linia elastică a arborelui se determină neglijându-se sarcinile concentrate, iar turaŃia

critică este:

( ) ( )

( ) ( )∫∑

∫+

≤

=

ln

iii

l

cr

dxxfxGfF

dxxfxggn

0

2

1

2

030

π (3.34)

Calculul la vibraŃii torsionale

VibraŃiile torsionale apar la arborii care primesc de la maşinile motoare sau de lucru un moment

de torsiune variabil periodic. Arborii cu secŃiune variabilă (fig.3.23), se echivalează cu un arbore

de secŃiune constantă. CondiŃia de echivalenŃă este cea de păstrare a aceleiaşi rigidităŃi la

torsiune. Astfel, un tronson oarecare i de diametru di şi lungime li a unui arbore în trepte are

rigiditatea torsională:

i

i

i

pit l

Gd

l

GIk

32

4π== [Nm] (3.35)

Dacă se adoptă la arborele echivalent un diametru constant de valoare d0, din condiŃia ca

tronsonul de arbore echivalent să posede aceeaşi rigiditate, rezultă:

4

00

=

iii d

dll (3.36)

118

Lungimea totală a arborelui echivalent va fi egală cu suma lungimilor tronsoanelor echivalente,

adică:

∑=

=

n

i ii d

dll

1

4

00 (3.37)

În figura 3.24 se prezintă un arbore cu diametru constant, solidar cu un disc.

La aplicarea momentului Mt, arborele se răsuceşte cu unghiul:

4

32

Gd

lM

GI

lM t

p

t

πθ == (3.38)

Când momentul Mt dispare, momentul forŃelor elastice de valoare Ktθ readuce discul în poziŃia

iniŃială de echilibru şi astfel discul cu arborele execută o oscilaŃie torsională liberă dată de relaŃia:

θθ tKI −=&&

(3.39)

în care Kt este

constanta elastică

la torsiune a

arborelui de

valoare:

l

GdMK t

t 32

4π

θ==

iar I - momentul de inerŃie al masei volantului.

PulsaŃia fundamentală a sistemului are valoarea

lmD

Gd

I

kp t

2

4

4

π== (3.40)

unde:

m este masa volantului,

G-modulul de elasticitate transversal al materialului.

Este necesar ca pulsaŃia proprie p a sistemului să fie diferită de pulsaŃia momentelor de torsiune

exterioară, pentru că la egalitate apare rezonanŃa de torsiune.

Pentru calculul pulsaŃiilor proprii al unui arbore solidar cu mai multe discuri este utilă consultarea

fig.3.23 fig.3.24

119

lucrării [R1].

Întrebări de autoevaluare

1. Care este diferenŃa dintre arbori şi osii?

2. Ce materiale se utilizează pentru arborii de dimensiuni mari sau care au o formă

complicată?

3. Care este succesiunea de proiectare a arborilor şi osiilor?

4. Cum se evită realizarea unui paraboloid de revoluŃie de gradul 3 la proiectarea osiilor?

5. Care sunt etapele de calcul ale arborilor drepŃi?

6. Care sunt criteriile pe baza cărora se proiectează forma arborilor?

7. Care este scopul razelor de racordare la arbori? Dar al degajărilor?

8. Care este relaŃia de calcul pentru deformaŃiile unghiulare produse de solicitarea la

torsiune?

Rezumat

Osiile şi arborii sunt organe de maşini care au funcŃia comună de susŃinere a organelor aflate în

mişcarea de rotaŃe. Osiile nu transmit momente de torsiune utile, în timp ce arborii îndeplinesc şi

funcŃia de transmitere a mişcării şi puterii între organele pe care le susŃin.

Pentru solicitări uşoare se utilizează oŃelurile carbon obişnuite OL42, OL50, OL60 (STAS 500/2-

80). Pentru solicitări medii cu cerinŃe de durabilitate, pentru fusuri şi caneluri se folosesc oŃelurile

carbon de calitate cu tratament de îmbunătăŃire, OLC35 ,OLC45, OLC50 (STAS 880-80); pentru

solicitări importante şi gabarite şi mai reduse se folosesc oŃeluri aliate de îmbunătăŃire:

41MoCr11, 41CrNi12, 40Cr10, etc., sau oŃeluri de cementare: 18MnCr10, 18MoCrNi13,

13CrNi30 (STAS 791-80). Dacă unele organe de maşini se execută din aceeaşi bucată de material

cu arborele (formează corp comun cu arborele), atunci arborele se realizează din materialul piesei

respective.

Proiectarea osiilor şi arborilor se desfăşoară, în mod obişnuit în următoarea succesiune:

120

- predimensionarea pe baza unui calcul simplificat;

- stabilirea formei constructive;

- verificerea la rupere prin oboseală;

- verificarea la rigiditate (deformaŃii);

- verificarea la vibraŃii.

Bibliografie

1. Chişiu, A., ş.a., Organe de maşini, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981;

2. Cornea, Cl. ş.a., Organe de maşini. Asamblări, arbori, lagăre, elemente de tribologie, Ed.

UniversităŃii din Oradea, 2001.