+ All Categories
Home > Documents > Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

Date post: 11-Jul-2015
Category:
Upload: alincristianioan1732
View: 155 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
36
 TEORIA JOCURILOR 1. Generalităţi Noţiuni teoretice  Teoria jocurilor este una din teoriile de mare actualitate practică. Apariţia acesteia se datorează lui J. Von Neumann şi O. Morgenstern care în lucrarea Theory of Games and Economic Behaviour , Princeton, Princeton University Press din 1947 au pus bazele teoriei jocurilor. Ea apare ori de câte ori între dou ă sau mai multe persoane există conflicte de interese. Astfel, dacă mai mul ţi agenţi economici urmăresc un acelaş i sc op este evident că fiecare doreşte maximizarea profitului din acţiunile întreprinse de el. 1. Defin i ţ ie Se numeşt e  joc un ansamblu (J, R,A,U) unde J reprezintă o mul ţime de jucători, R o mul ţime de reguli, A o mulţime de acţiuni şi U o mulţime de utilităţi sau câştiguri astfel  î ncât fiecare juc ător din J acţ ionând în limitele impuse de reg ulile R al ege într-un număr de et ape succesive, în mod independent de ceilalţi o acţiune din A urmărind maximizarea sau minimizarea unui element din U. Este evident că alegerea unei acţiuni trebuie să fie făcută  î n mod raţ i onal deoarece în caz contrar jocul ar avea un caracter haotic (imaginaţi-vă jocul de fotbal, cu reguli de altfel  precise, în care fiecare jucător ar pasa efectiv la întâmplare ). Fie g:JA, g(j)=A  j A funcţia care asociază jucătorului j mul ţimea de acţiuni A  j . Vom mai numi o astfel de acţ iune şi strate gie pură a jucătorului j. În situaţia repetării unui joc, dacă jucătorul alege cu o anumită frecvenţă una sau alta dintre strategi i vom numi o astfel de situaţ ie strate gie mixtă. Strategia aleasă de un jucător în scopul maximizării unui câştig sau minimizării unei pierderi se numeşte strategie optimă.
Transcript
Page 1: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 1/36

 

TEORIA JOCURILOR

1. Generalităţi

Noţiuni teoretice Teoria jocurilor este una din teoriile de mare actualitatepractică. Apariţia acesteia se datorează lui J. Von Neumann şi O.Morgenstern care în lucrarea Theory of Games and EconomicBehaviour , Princeton, Princeton University Press din 1947 aupus bazele teoriei jocurilor.

Ea apare ori de câte ori între două sau mai multepersoane există conflicte de interese. Astfel, dacă mai mulţiagenţi economici urmăresc un acelaşi scop este evident căfiecare doreşte maximizarea profitului din acţiunile întreprinsede el.1. Definiţie Se numeşte  joc un ansamblu (J,R,A,U) unde J

reprezintă o mulţime de jucători, R o mulţime de reguli, A omulţime de acţiuni şi U o mulţime de utilităţi sau câştiguri astfel

  încât fiecare jucător din J acţionând în limitele impuse deregulile R alege într-un număr de etape succesive, în modindependent de ceilalţi o acţiune din A urmărind maximizareasau minimizarea unui element din U.

Este evident că alegerea unei acţiuni trebuie să fie făcută  în mod raţional deoarece în caz contrar jocul ar avea uncaracter haotic (imaginaţi-vă jocul de fotbal, cu reguli de altfel

 precise, în care fiecare jucător ar pasa efectiv la întâmplare).Fie g:J→A, g(j)=A j⊂A funcţia care asociază jucătorului j

mulţimea de acţiuni A j. Vom mai numi o astfel de acţiune şistrategie pură a jucătorului j. În situaţia repetării unui joc,dacă jucătorul alege cu o anumită frecvenţă una sau alta dintrestrategii vom numi o astfel de situaţie strategie mixtă.Strategia aleasă de un jucător în scopul maximizării unui câştigsau minimizării unei pierderi se numeşte strategie optimă.

Page 2: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 2/36

 

De asemenea o strategie pură poate fi liberă dacăutilizarea ei poate fi făcută în orice moment al desfăşurării

  jocului (de exemplu jocurile de şah, fotbal, tenis etc.) saualeatoare dacă ea este aleasă la întâmplare (de exemplu

 jocurile de table, zaruri etc.).După cantitatea de informaţie aflată la dispoziţia

  jucătorilor, jocurile se pot clasifica în   jocuri cu informaţiecompletă atunci când fiecare jucător cunoaşte totalitateastrategiilor pure ale celorlalţi jucători şi  jocuri cu informaţieincompletă atunci când există un jucător care nu cunoaşte întotalitate mulţimea strategiilor pure ale cel puţin unuia dintre

ceilalţi jucători.Dacă mulţimea A este finită vom spune că  jocul estefinit în caz contrar numindu-se infinit. Este evident că în cazul

 jocurilor finite şi numărul jucătorilor este finit deoarece, în cazcontrar, dacă fiecare jucător ar avea cel puţin o strategie arrezulta că şi A este infinită.

Vom considera în cele ce urmează numai jocuri finite.Avem deci card(A j)<∞ ∀ j=1,...,n şi card(J)<∞. Fie deci J={1,...,n}mulţimea jucătorilor şi:

f  j:A1× ...× An→R, (a1,...,an)→f  j(a1,...,an), j=1,...,ncâştigul jucătorului j atunci când sunt alese strategiile a i decătre jucătorii i=1,...,n.2. Definiţie Un joc se numeşte cu sumă nulă dacă:

∑=

n

1 jn1 j )a,...,a(f  =0 ∀ j=1,...,n ∀a1∈A1,...,an∈An

Vom considera în cele ce urmează jocuri cu sumă nulă,de două persoane.

Fie deci doi jucători (grupuri de jucători) α şi β . Vomnota cu A={a1,a2,...,am} şi B={b1,...,bn} mulţimea strategiilor pureale acestora.

Dacă jucătorul α va adopta acţiunea a∈A iar jucătorul βacţiunea b∈B ei vor obţine un câştig f(a,b) respectiv g(a,b).

Dacă jocul este cu sumă nulă atunci:f(a,b)+g(a,b)=0Avem deci g(a,b)=-f(a,b). În desfăşurarea jocului este

evident că, de exemplu, jucătorul α va dori maximizarea luif(a,b) iar jucătorul β maximizarea lui g(a,b) adică minimizarealui f(a,b).

Matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j), i=1,...,m, j=1,...,n senumeşte matricea plăţilor. Este evident că indiferent de

42

Page 3: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 3/36

 

modul de acţiune al lui β jucătorul α va obţine un câştig mai

mare sau egal decât n,...,1 jmin=

cij. Strategia cea mai bună a lui α

va fi ak, cea pentru care:

m,...,1imax= n,...,1 j

min=

cij=n,...,1 j

min=

ckj

altfel spus acea strategie pentru care se obţine cel mai buncâştig în condiţiile cele mai defavorabile. O astfel de strategiese numeşte strategie maximin. Analog, cea mai bunăstrategie a lui β este bp astfel încât:

n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij=m,...,1i

max=

cip

sau altfel spus cea care oferă lui α cel mai mic câştig încondiţiile cele mai bune de acţiune. Strategia lui β se numeştestrategie minimax.3. Observaţie Pentru a limita dimensiunile matricei plăţilor seinvestighează aceasta de două ori. Mai întâi se cercetează liniilematricei. Dacă ∃ i,k=1,...,m, i≠ k astfel încât:

cij≤ ckj ∀ j=1,...,natunci cum jucătorul α urmăreşte să-şi maximizeze câştigulrezultă că strategia i va fi dezavantajoasă faţă de strategia k.Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată din matricea plăţilor.Dacă ∃ j,k=1,...,n, j≠ k astfel încât:

cij≥ cik ∀i=1,...,matunci cum jucătorul β urmăreşte să-şi minimizeze pierderearezultă că strategia j va fi dezavantajoasă faţă de strategia k.Prin urmare, aceasta va putea fi eliminată din matricea plăţilor.

Avem acum: cij≤ m,...,1imax=

cij ∀i=1,...,m ∀ j=1,...,n de unde:

n,...,1 jmin=

cij≤ n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij ∀i=1,...,m.

Dar acum este evident că:

m,...,1imax= n,...,1 j

min=

cij≤n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij

Ca urmare a acestei inegalităţi rezultă că avem două

situaţii:1) ∃ckp= m,...,1i

max= n,...,1 j

min= cij= n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij. În acest caz

cip≤ ckp≤ ckj ∀i=1,...,m ∀  j=1,...,n. Perechea de strategii (ak,bp)se numeşte punct de echilibru al jocului iar valoarea ckp-valoarea jocului. În acest caz strategia ak este strategiemaximin iar bp-strategie minimax. Dacă cei doi jucători vorutiliza aceste strategii atunci nici unul dintre ei nu îşi poate

43

Page 4: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 4/36

 

maximiza câştigul prin aflarea strategiei oponentului. Situaţiadevine stabilă şi cele două strategii vor fi considerate bune.Metoda aceasta de rezolvare se numeşte metoda maximin(metoda minimax ).

2) Dacăm,...,1i

max= n,...,1 j

min=

cij< n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij atunci jocul nu are

punct de echilibru.În această situaţie, fiecare jucător poate să-şi măreascăcâştigul prin însuşirea diferenţei:

n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij-m,...,1i

max= n,...,1 j

min=

cij

Vom numi strategie mixtă a jucătorului α un vectorx=(x1,...,xm)∈Rm astfel încât xi este probabilitatea cu care esteutilizată strategia ai  ∀i=1,...,m şi analog pentru β vectoruly=(y1,...,yn)∈Rn astfel încât y j este probabilitatea cu care esteutilizată strategia b j ∀ j=1,...,n.

Cum xi şi y j sunt probabilităţi iar strategiile formează unsistem complet de evenimente vom avea relaţiile:

=∀≥=

=∀≥=

=

=

n1,..., j0y,1y

m1,...,i0x,1x

 j

n

1 j

 j

i

m

1ii

Vom nota cu X mulţimea strategiilor mixte ale lui α şi cu Y mulţimea strategiilor mixte ale lui β .

Fie X j=    

  

 

m21

mj j2 j1

x...xx

c...ccvariabila aleatoare care

reprezintă câştigul jucătorului α în situaţia în care jucătorul β

alege strategia j=1,…,n şi fie Yi=    

  

 

n21

in2i1i

y...yy

c...ccvariabila

aleatoare care reprezintă câştigul jucătorului β în situaţia în

care jucătorul α alege strategia i=1,…,m.

Avem: M(X j)= ∑=

m

1iiijxc   ∀  j=1,...,n şi M(Yi)=∑

=

n

1 j jijyc  

∀i=1,..,m.Dacă cele două strategii mixte sunt independente numim

câştigul mediu Cm realizat de jucătorul α atunci cândfoloseşte strategia x, iar β foloseşte strategia y expresia:

44

Page 5: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 5/36

 

Cm(x,y)= ∑∑= =

m

1i

n

1 j jiij yxc

O strategie mixtă x0∈X se numeşte strategie mixtămaximin dacă:

Xxmax

∈ Yymin

∈Cm(x,y)=

 Yymin

∈Cm(x0,y)

O strategie mixtă y0∈  Y se numeşte strategie mixtăminimax dacă:

 Yymin

∈ Xxma

∈Cm(x,y)=

Xxma

∈Cm(x,y0)

Ca în primul caz analizat, avem:

Xxma

∈ Yymin

∈Cm(x,y)≤

 Yymin

∈ Xxma

∈Cm(x,y)

DacăXx

ma∈ Yy

min∈ Cm(x,y)= Yy

min∈ Xx

ma∈ Cm(x,y) atunci  jocul se

numeşte strict determinat. Există o teoremă a lui John VonNeumann care afirmă că dacă A şi B sunt finite atunci joculeste strict determinat.Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător suntA={a1,a2,a3,a4,a5, a6} respectiv B={b1,b2,b3,b4,b5}. Matriceaplăţilor este:

C=

        

 

 

 

 

89231

61513

86153

103228

51302

65021

1) Să se reducă dimensiunile matricei plăţilor;2) Să se studieze dacă jocul are punct de echilibru.Soluţie 1)Cum linia 1 este mai mică sau egală decât linia 4 iarlinia 2 este mai mică sau egală decât linia 5 rezultă că liniile 1 şi

2 pot fi eliminate. Obţinem deci C=

     

 

 

 

 

89231

61513

86153103228

. În noua

matrice, coloana 5 este mai mare sau egală decât coloana 1 iarcoloana 4 decât coloana 2. Prin urmare, coloanele 4 şi 5 pot fi

45

Page 6: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 6/36

 

eliminate. Rezultă deci matricea C=

     

 

 

 

 

231

513

153

228

. Mulţimile

strategiilor care rămân de luat în considerare sunt deci:A={a3,a4,a5,a6} respectiv B={b1,b2,b3}. 2)Avem acum:

b1 b2 b3 mina3 8 2 2 2a4 3 5 1 1a5 3 1 5 1

a6 1 3 2 1max 8 5 5 5/2

Cum 2=m,...,1i

max= n,...,1 j

min=

cij< n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij=5 rezultă că jocul

nu are punct de echilibru.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

     

 

 

 

 

2912

3834

2275

2321

Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în caz afirmativ săse determine strategia de maximin a primului jucător şivaloarea jocului.Soluţie Avem:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 3 2 1a2 5 7 2 2 2a3 4 3 8 3 3a4 2 1 9 2 1

max 5 7 9 3 3/3

Cum 3= m,...,1imax= n,...,1 j

min= cij= n,...,1 j

min= m,...,1i

max=

cij=3 rezultă că jocul

este echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este (a3,b4)valoarea jocului fiind egală cu 5. Prin urmare, strategia demaximin a primului jucător este a3.3. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

46

Page 7: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 7/36

 

C=

     

 

 

 

 

5922

59a5

3416

9521

, a∈R

Să se studieze dacă jocul este echilibrat, iar în caz afirmativ săse determine strategia de maximin a primului jucător şivaloarea jocului.Soluţie Avem:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1

a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 b=min{5,a}a4 2 2 9 5 2

max 6 c=max{2,a}

9 9 min{6,c}/max{2,b}

Pentru ca jocul să fie echilibrat trebuie ca max{2,b}= m,...,1imax=

n,...,1 jmin=

cij= n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij= min{6,c}. Avem deci mai multe

variante:1) a∈(-∞,2)⇒b=a şi c=2. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2

max 6 2 9 9 2/2 Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este:(a4,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a4 iarvaloarea jocului fiind egală cu 2.2) a∈[2,5)⇒b=a şi c=a. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1

a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 aa4 2 2 9 5 2

max 6 a 9 9 a/a Jocul este deci echilibrat, iar punctul de echilibru al jocului este:(a3,b2) strategia de maximin a primului jucător fiind a3 iarvaloarea jocului fiind egală cu a.3) a∈[5,6)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:

47

Page 8: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 8/36

 

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2

max 6 a 9 9 a/5  Jocul este echilibrat dacă şi numai dacă a=5, iar punctul deechilibru al jocului este: (a3,b2) strategia de maximin a primului

 jucător fiind a3 iar valoarea jocului fiind egală cu 5.4) a∈[6,∞)⇒b=5 şi c=a. În acest caz:

b1 b2 b3 b4 mina1 1 2 5 9 1a2 6 1 4 3 1a3 5 a 9 5 5a4 2 2 9 5 2

max 6 a 9 9 6/5În acest caz jocul nu este echilibrat.

2. Metoda de rezolvare, prinprogramare liniară,

a jocurilor cu sumă nulă, de două

persoaneNoţiuni teoreticeVom studia acum o metodă practică de rezolvare a

acestor probleme cu ajutorul programării liniare.Fie deci doi jucători α şi β şi A={a1,a2,...,am}, B={b1,...,bn}

mulţimea strategiilor pure ale acestora. Fie f(a,b) câştigulrealizat de jucătorul α atunci când va adopta acţiunea a∈A iar

 jucătorul β acţiunea b∈B. Fie, de asemenea, C=(cij), cij=f(ai,b j),i=1,...,m, j=1,...,n matricea plăţilor. Să considerăm deasemenea X mulţimea strategiilor mixte ale lui α şi Y mulţimeastrategiilor mixte ale lui β .

Vom nota în cele ce urmează cu v valoarea jocului. Fie ostrategie mixtă arbitrară a jucătorului α : x=(x1,...,xm)∈Rm şianalog pentru β : y=(y1,...,yn)∈Rn.

 Jucătorul α , prin alegerea strategiei mixte x are şanse decâştig de cel puţin v deoarece M(X j)≥ v ∀ j=1,...,n iar jucătorul βpoate pierde cel mult v deoarece M(Yi)≤ v ∀i=1,...,m. Dinteorema Neumann, care afirmă că jocul este strict determinat,

48

Page 9: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 9/36

 

rezultă că valoarea jocului va fi dată de max v pentru jucătorulα şi de min v pentru jucătorul β .

Sistemele de condiţii de mai sus pot fi transformate cuajutorul următoarelor reguli:i) Dacă se adaugă o constantă c la matricea plăţilor C=(cij)

atunci valoarea jocului devine c+v, strategiile optimerămânând neschimbate;

ii) Dacă înmulţim cu c matricea plăţilor atunci valoarea joculuidevine cv, strategiile optime rămânând neschimbate.

În virtutea lui ii) vom presupune în continuare că v>0 încaz contrar înmulţind cu (-1) şi adăugând eventual 1 dacă v=0.

Pentru rezolvarea concretă a problemei va fi util să facemcâteva transformări. Fie deci: x’i=

v

xi şi y’ j=v

y j   ∀i=1,...,m

∀ j=1,...,n. Din condiţiile:

=∀≥=

=∀≥=

=

=

n1,..., j0y,1y

m1,...,i0x,1x

 j

n

1 j j

i

m

1ii

obţinem:

=∀≥=

=∀≥=

=

=

n1,..., j0y',v

1'y

m1,...,i0x',v1'x

 j

n

1 j j

i

m

1ii

Cum funcţia obiectiv pentru jucătorul α este max v rezultă că

ea poate fi înlocuită de min    

  ∑

=

m

1ii'x şi analog pentru β de max

   

 

 

 

∑=

n

1 j j'y . Avem deci o pereche de probleme duale:

49

Page 10: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 10/36

 

≥≥++

≥++≥++

++

0'x,...,'x

1'xc...'xc

...

1'xc...'xc

1'xc...'xc

)'x...'xmin(

m1

mmn1n1

m2m112

m1m111

m1

şi

≥≤++

≤++≤++

++

0'y,...,'y

1'yc...'yc

...

1'yc...'yc

1'yc...'yc

)'y...'ymax(

n1

nmn11m

nn2121

nn1111

n1

Soluţiile acestor probleme furnizează atât valoareaoptimă a jocului cât şi strategiile mixte ale celor doi jucători.Avem:

v=)'x...'xmin(

1

m1 ++ =)'y...'ymax(

1

n1 ++ , xi=vx’i, y j=vy’ j

∀i=1,...,m ∀ j=1,...,nAplicaţii1. Să se rezolve cu ajutorul programării liniare jocul cu sumănulă, de două persoane, a cărui matrice a plăţilor este:

C=

     

 

 

 

 

231

213

123

321

mulţimea strategiilor primului jucător fiind A={a1,a2,a3,a4}, iar acelui de-al doilea jucător: B={b1,b2,b3}.

Soluţie Avemb1 b2 b3 min

a1 1 2 3 1a2 3 2 1 1a3 3 1 2 1

a4 1 3 2 1max 3 3 3 3/1

Cum 1=m,...,1i

max= n,...,1 j

min=

cij< n,...,1 jmin= m,...,1i

max=

cij=3 rezultă că jocul

nu are punct de echilibru. Vom determina deci mulţimeastrategiilor mixte ale primului jucător X={x1,x2,x3,x4} şistrategiile mixte Y={y1,y2,y3} ale celui de-al doilea jucător. Avemdeci problema de programare liniară:

50

Page 11: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 11/36

 

≥+++

≥+++

≥+++

+++

0'x,'x,'x,'x

1'x2'x2'x'x3

1'x3'x'x2'x2

1'x'x3'x3'x

)'x'x'x'xmin(

4321

4321

4321

4321

4321

Forma standard a problemei este:

≥=−+++=−+++

=−++++++

0y,y,y,'x,'x,'x,'x

1y'x2'x2'x'x3

1y'x3'x'x2'x2

1y'x'x3'x3'x

)'x'x'x'xmin(

3214321

34321

24321

14321

4321

Introducând variabilele auxiliare x1a,x2

a,x3a rezultă:

=+−+++=+−+++=+−+++

++

0x,x,x,y,y,y,'x,'x,'x,'x

1xy'x2'x2'x'x3

1xy'x3'x'x2'x2

1xy'x'x3'x3'x

)xxxmin(

a3

a2

a13214321

a

334321

a

224321

a

114321

a

3

a

2

a

1

 Tabelele simplex pentru prima fază sunt:VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1

ax2a

x3a

1 x1a 1 1 3 3 1 -1 0 0 1 0 0

1 x2a 1 2 2 1 3 0 -1 0 0 1 0

1 x3a 1 3 1 2 2 0 0 -1 0 0 1

z 3 6 6 6 6 -1 -1 -1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1 1

VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2a x3a

x1a 2/3 0 8/3 7/3 1/3 -1 0 1/3 1 0 -1/3

x2a 1/3 0 4/3 -1/3 5/3 0 -1 2/3 0 1 -2/3

x1’ 1/3 1 1/3 2/3 2/3 0 0 -1/3 0 0 1/3z 1 0 4 2 2 -1 -1 1 0 0 -2

VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a x3a

x1a 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 1 -2 1

51

Page 12: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 12/36

 

x2’ 1/4 0 1 -1/4 5/4 0 -3/4 1/2 0 3/4 -1/2x1’ 1/4 1 0 3/4 1/4 0 1/4 -1/2 0 -1/4 1/2z 0 0 0 3 -3 -1 2 -1 0 -3 0

VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1a x2

a x3a

x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -

1/12-

7/125/12

1/12

7/12

-5/12

x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1

Faza a doua este:VB VVB x1’ x2’ x3’ x4’ y1 y2 y3 x1

a x2a x3

a

x3’ 0 0 0 1 -1 -1/3 2/3 -1/3 1/3 -2/3 1/3x2’ 1/4 0 1 0 1 -

1/12-

7/125/12

1/12

7/12

-5/12

x1’ 1/4 1 0 0 1/2 1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4z 1/2 0 0 0 -1/2 -1/6 -1/6 -1/4 - - -

Soluţia optimă este deci x1’=4

1, x2’=

4

1, x3’=0, x4’=0 iar

min(x1’+x2’+ x3’+x4’)=2

1. Valoarea optimă a jocului este:

2

1

1

=2 iar x1=2⋅ 4

1

= 2

1

, x2=2⋅ 4

1

= 2

1

, x3=0, x4=0. Soluţia duală

este dată de: cBB-1=(1,1,1)⋅  

      

 

 

 

 

4

1

4

1

4

112

5

12

7

12

13

1

3

2

3

1

=    

  

6

1

6

1

6

1.

Valoarea optimă a jocului fiind aceeaşi v=2, avem: y1=2⋅6

1=

31 , y2=2⋅ 6

1 = 31 , y3=2⋅ 6

1 = 31 . Din cele obţinute, rezultă că

primul jucător va alege strategia a1 cu probabilitatea2

1, a doua

strategie cu aceeaşi probabilitate, nealegând niciodată una dinstrategiile a3 sau a4. Al doilea jucător va alege oricare din

52

Page 13: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 13/36

 

strategiile b1, b2 sau b3 probabilităţile fiind aceleaşi şi anume3

1

.

3. Jocuri statisticeNoţiuni teoretice

 Jocurile statistice constau în situaţiile conflictuale în care  jucătorul nu mai are informaţii despre strategia adversarului.Fie deci cei doi jucători α şi β . Vom nota cu A={a1,a2,...,am} şiB={b1,...,bn} mulţimea strategiilor pure ale acestora şi f(a,b)pierderea realizată de α dacă el va adopta acţiunea a∈A iar

 jucătorul β acţiunea b∈B. Cum jucătorul α nu are informaţiidespre acţiunile lui β , singurul lucru pe care-l poate face esteca din experienţă el să deducă informaţii despre frecvenţele cucare β poate lua o decizie sau alta. Este evident că dacă astfelde informaţii lipsesc el va considera ca egal probabile toatedeciziile lui β .

Fie acum x=(x1,...,xm)∈Rm astfel încât xi esteprobabilitatea cu care este utilizată de către α strategia ai,i=1,...,m şi analog y=(y1,...,yn)∈Rn unde y j este probabilitatea cucare este utilizată strategia b j, j=1,...,n de către β .

Considerând, de asemenea matricea: C=(cij), cij=f(ai,b j),

i=1,...,m, j=1,...,n a plăţilor se poate determina pierderea medie(Pm) pe care o realizează α atunci când ia decizia ai, i=1,...,m cuprobabilitatea xi iar β ia decizia b j, j=1,...,n cu probabilitatea y j.Avem deci:

Pm= ∑∑= =

m

1i

n

1 j jiij yxc

Strategia optimă va fi aceea pentru care avem min(Pm)numită strategie Bayes.

Să considerăm acum situaţia în care jucătorul α doreşteinformaţii suplimentare despre β făcând o experienţă. Fie

E={e1,...,ep} rezultatele experienţei. Considerând probabilitateade a obţine rezultatul e i atunci când jucătorul β a ales strategiab j ca fiind:

pij=p(eib j)unde p(eib j) este probabilitatea condiţionată avem deci:

1pp

1iij =∑

= ∀ j=1,...,n

53

Page 14: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 14/36

 

Vom numi (E,B,(pij)i=1,,,.p, j=1,...,m) spaţiul de eşantionaj.Acesta se pune de regulă în evidenţă sub forma unui tabel:

pij EB e1 e2 ... ep

b1 p11 p21 ... pp1

b2 p12 p22 ... pp2

... ... ... ... ...bn p1n p2n ... ppn

După ce jucătorul α a obţinut ca rezultat al experienţeipe ei el este pus în situaţia de a lua o decizie. Pentru a stabili unmodel matematic, vom considera că modul de a lua o decizie

este apriori stabilit. Fie deci:d:E→{1,...,m}, ei→d(ei)=k ∀i=1,...,p

funcţia de decizie care asociază rezultatului experienţei ei

numărul de ordine al strategiei ak a lui A.Fie acum strategia b j aleasă de β şi funcţia de decizie d.

Avem variabila aleatoare:

X j=    

  

 

pj j2 j1

 j)e(d j)e(d j)e(d

p...pp

c...ccp21

Numim funcţie de risc pierderea medie calculată pentruo strategie b j aleasă de β şi o funcţie de decizie d adică

valoarea medie a variabilei aleatoare X j.Avem:

P(b j,d)=∑=

p

1iij j)e(d pc

i

În practică, jucătorul α poate alege diverse funcţii dedecizie dintr-o mulţime D={d1,...,ds} cu probabilităţileZ={z1,...,zs}. Numim atunci riscul mediu media tuturorfuncţiilor de risc atunci când d parcurge mulţimea D cuprobabilităţile Z. Avem deci:

P(b j,D)= ∑ ∑∑= = =

=s

1k

s

1k

p

1i

sij j)e(dss j zpcz)d,b(Pis

Principiul minimax pentru alegerea strategiei optime vaconsta în determinarea funcţiei de decizie din D pentru careavem:

)d,b(Pmaxmin jn,...,1 jDd =∈

Se numeşte risc separat riscul mediu atunci când b j

parcurge mulţimea B. Avem deci:

54

Page 15: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 15/36

 

P(B,d)= ∑=

n

1 j j j y)d,b(P

Riscul minimal (riscul Bayes) este dat de: P(B)=)d,B(Pmin

Dd∈.

Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2}respectiv B={b1,b2}. Matricea plăţilor este:

C= 

 

 

 

 

 

46

51

Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primuluirespectiv celui de-al doilea jucător să se determine strategiaBayes pentru obţinerea pierderii medii minime a primului

 jucător.Soluţie Avem Pm=x1y1+5x1y2+6x2y1+4x2y2 cu x1+x2=1,y1+y2=1. Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:

Pm=-6x1y1+x1+2y1+4Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvăm sistemulcaracteristic:

=∂∂

=∂∂

0y

P

0xP

1

m

1

m

Obţinem:

=+−=+−02x6

01y6

1

1

de unde x1=3

1, x2=

3

2, y1=

6

1, y2=

6

5. Pierderea medie minimă

va fi deci Pm(31 ,

61 )=

313 .

2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2}respectiv B={b1,b2}. Matricea plăţilor este:

C=    

  

 61

12

55

Page 16: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 16/36

 

Considerând strategiile mixte X={x1,x2} şi Y={y1,y2} ale primuluirespectiv celui de-al doilea jucător să se determine strategiaBayes pentru obţinerea pierderii medii minime a primului

 jucător.Soluţie Avem Pm=2x1y1+x1y2+x2y1+6x2y2 cu x1+x2=1, y1+y2=1.Înlocuindx2=1-x1 şi y2=1-y1 în expresia lui Pm obţinem:

Pm=6x1y1-5x1-5y1+6Pentru determinarea minimului funcţiei Pm rezolvăm sistemulcaracteristic:

=∂∂

=∂∂

0y

P

0x

P

1

m

1

m

Obţinem:

=−=−

05x6

05y6

1

1

de unde x1=6

5, x2=

6

1, y1=

6

5, y2=

6

1. Pierderea medie minimă

va fi deci Pm( 6

5, 6

5)= 6

11.

4. Criterii pentru alegerea deciziiloroptime în

situaţii de incertitudineNoţiuni teoretice

În situaţia în care nu există informaţii asupra strategiilorlui β se pot aplica diferite criterii pentru alegerea decizieioptime. Problema principală este că aceste criterii nu conduc laaceeaşi soluţie. Din acest motiv, în practică se aplică mai multe

astfel de criterii, soluţiile obţinute conducând la o alegeresubiectivă din partea lui α .A. Criteriul lui Hurwicz (optimismului )

Definim optimismul jucătorului α ca fiind un număr

ω∈[0,1]. Notăm, de asemenea, ci= ijn,...,1 jcmin

=şi Ci= ij

n,...,1 jcmax

=.

Strategia optimă va fi aceea pentru care avem:[ ]ii

m,...,1ic)1(Cmax ω−+ω

=

56

Page 17: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 17/36

 

B. Criteriul lui Savage (regretelor )

Definim regretul jucătorului α ca fiind:

bij= kjm,...,1kcmax

=

-cij

acesta exprimând diferenţa între câştigul pe care-l realizează α în condiţiile în care ia o decizie fără a avea informaţii despre βşi câştigul pe care l-ar fi realizat α dacă ar fi avut informaţiicomplete despre β .

 Jocul astfel obţinut se rezolvă prin metoda maximin dacăeste echilibrat, în caz contrar, alegându-se o strategie mixtăpentru x în scopul determinării deciziei optime.

C. Criteriul Bayes-LaplaceÎn această situaţie, se aleg probabilităţile acţiunilor lui β

ca fiind egale cun

1. Jucătorul α va alege strategia ai pentru

care are loc:

==

n

1 jij

m,...,1ic

n

1max

D. Criteriul lui Wald (

 

 pesimismului )În acest caz, dacă jocul este echilibrat, acesta se rezolvă

cu metoda minimax, în caz contrar determinându-se strategia

optimă mixtă x pentru care se obţine:

∑==

m

1iiij

n,...,1 jxcmax .

Aplicaţii1. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimi

de strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

     

 

 

 

 

4951

4062

8413

5121

Să se determine strategia optimă folosind:

57

Page 18: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 18/36

 

1) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6;2) criteriul lui Savage;3) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:

b1 b2 b3 b4 ci=

ijn,...,1 jcmin

=

Ci=

ijn,...,1 jcmax

=

0,6Ci+0,4ci

a1 1 2 1 5 1 5 3,4a2 3 1 4 8 1 8 5,2a3 2 6 0 4 0 6 3,6a4 1 5 9 4 1 9 5,8

Maximul cantităţilor din ultima coloană este 5,8 deci strategia a4

va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe fiecarecoloană a matricei câştigurilor. Avem:

b1 b2 b3 b4

a1 1 2 1 5a2 3 1 4 8a3 2 6 0 4a4 1 5 9 4

max 3 6 9 8Construim matricea regretelor cu elementele bij=

kjm,...,1k cmax= -cij:b1 b2 b3 b4 max

a1 2 4 8 3 8a2 0 5 5 0 5a3 1 0 9 4 9a4 2 1 0 4 4

min 0 0 0 0 0/4 Jocul fiind neechilibrat, strategia optimă a primului jucător va fia4.3) Construim următorul tabel:

b1 b2 b3 b4

∑=

n

1 jijc

4

1

a1 1 2 1 5 9/4a2 3 1 4 8 4a3 2 6 0 4 3

58

Page 19: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 19/36

 

a4 1 5 9 4 19/4Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a4 rezultă că ea va fi cea optimă.2. Fie jocul cu sumă nulă, de două persoane, ale cărui mulţimide strategii pentru primul şi al doilea jucător sunt A={a1,a2,a3,a4}respectiv B={b1,b2,b3,b4}. Matricea plăţilor este:

C=

     

 

 

 

 

73510

12514

101123

9352

Să se determine strategia optimă folosind:4) criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,8;5) criteriul lui Savage;6) criteriul Bayes-Laplace.Soluţie 1) Construim următorul tabel:

b1 b2 b3 b4 ci=

ijn,...,1 jcmin

=

Ci=

ijn,...,1 jcmax

=

0,8Ci+0,2ci

a1 2 5 3 9 2 9 7,6a2 3 2 11 10 2 11 9,2a3 4 1 5 12 1 12 9,8a4 10 5 3 7 3 10 8,6

Maximul cantităţilor din ultima coloană este 9,8 deci strategia a3

va fi cea optimă.2) Determinăm mai întâi maximul elementelor de pe fiecarecoloană a matricei câştigurilor. Avem:

b1 b2 b3 b4

a1 2 5 3 9a2 3 2 11 10a3 4 1 5 12a4 10 5 3 7

max 10 5 11 12

Construim matricea regretelor cu elementele bij=kj

m,...,1k

cmax=

-cij:

b1 b2 b3 b4 mina1 8 0 8 3 0a2 7 3 0 2 0

59

Page 20: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 20/36

 

a3 6 4 6 0 0a4 0 0 8 5 0

max 8 4 8 5 4/0 Jocul nefiind echilibrat vom aplica criteriul Bayes-Laplace pentrudeterminarea deciziei optime. Avem deci:

b1 b2 b3 b4

∑=

n

1 jijc

4

1

a1 8 0 8 3 19/4a2 7 3 0 2 3a3 6 4 6 0 4

a4 0 0 8 5 13/4Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentrustrategia a1 rezultă că ea va fi cea optimă.3)Construim următorul tabel:

b1 b2 b3 b4

∑=

n

1 jijc

4

1

a1 2 5 3 9 19/4a2 3 2 11 10 13/2a3 4 1 5 12 11/2a4 10 5 3 7 25/4

Maximul cantităţilor din ultima coloană fiind atins pentru

strategia a2 rezultă că ea va fi cea optimă.5. Alegerea deciziilor optime în situaţiide

certitudineNoţiuni teoretice

În unele situaţii practice există o multitudine de informaţiireferitoare la acţiunile care trebuie desfăşurate însă pentrufiecare variantă de acţune există o multitudine de posibilităţi.Problema care se pune este de a găsi o cale prin care să putemdiscerne între diversele variante posibile.

În acest sens, o metodă clasică este metoda Electre.Fie deci un număr n de variante de acţiune V1,V2,...,Vn

pentru un decident. Să considerăm, de asemenea, un număr dem criterii C1,C2,...,Cm care au câte un coeficient de importanţă(de regulă stabilit în mod subiectiv ) k1,k2,...,km. Pentru fiecarepereche (Vi,C j) stabilim o valoare numerică v ij (dacă este oapreciere calitativă de genul: slab, bun, foarte bun etc. o

60

Page 21: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 21/36

 

convertim în numere de ierarhie). Problema constă îndeterminarea variantei optime de acţiune.

Pentru exemplificarea metodei, fie următoarea:

ProblemăÎntr-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.

Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de procestehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii se considerăprofitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului de fabricaţie (C3).Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1 şi bună cu2. Tabelul obţinut este:

CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60V4 700 1 54V5 500 2 58

Vom acorda celor trei criterii câte un coeficient deimportanţă astfel: k1=0,4 , k2=0,4 şi k3=0,2.Pasul 1 Se stabileşte, mai întâi natura metodei (de maximizare

sau de minimizare). Se adaugă două linii sub tabel pe care secalculează minimul şi maximul elementelor de pe fiecarecoloană C j.Pasul 2 Se determină utilităţile Uij corespunzătoare perechilor(Vi,C j) astfel:

♦ pentru problema de maximizare: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−;

♦ pentru problema de minimizare: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

ijkjn,...,1k

vminvmax

vvmax

==

=

−.

şi se construieşte tabelul respectiv.Pentru problema noastră avem (maximizare):

CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

V1 1000 0 50V2 800 1 56V3 600 2 60

61

Page 22: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 22/36

 

V4 700 1 54V5 500 2 58

min 500 0 50max 1000 2 60

 Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant

ă

C1

(k 1=0,4)

C2

(k 2=0,4)

C3

(k 3=0,2)

V1 1 0 0V2 0,6 0,5 0,6V3 0,2 1 1V4 0,4 0,5 0,4V5 0 1 0,8

Pasul 3 Se calculează indicatorii de concordanţă astfel:

c(Vi,V j)=

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k

 jpip

Pasul 4 Se calculează indicatorii de discordanţă astfel:

d(Vi,V j)= )0,UU(max ip jpm,...,1p

−=

Vom trece indicatorii de concordanţă în stânga, iar cei dediscordanţă în dreapta fiecărei celule a unui tabel care va aveape linii şi coloane variantele V i.

Avem, în cazul problemei noastre:

Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5

V1 1 0 0,4 0,6 0,4 1 0,4 0,5 0,4 1

V2 0,6 0,4 1 0 0,4 0,5 1 0 0,4 0,5

V3 0,6 0,8 0,6 0,4 1 0 0,6 0,2 1 0

V4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,4 0,6 1 0 0,4 0,5

V5 0,6 1 0,6 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 1 0

62

Page 23: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 23/36

 

Pasul 5 Se stabilesc două valori p şi q (cu semnificaţie de

  probabilităţi complementare) astfel încât p,q∈(0,1) şi p+q=1care să măsoare limitele admise de concordanţă şi cele dediscordanţă. Vom spune astfel că o variantă V i surclasează ovariantă V j dacă:

q)V,V(d

p)V,V(c

 ji

 ji

Construim matricea G=(gij)∈Mn(R) astfel: gij=1 dacă Vi

surclasează pe V j şi 0 în caz contrar. De asemenea, vomconsidera gii=1 ∀i=1,...,n deoarece c(Vi,Vi)=1 şi d(Vi,Vi)=0

satisfac întotdeauna condiţiile de mai sus.Dacă există o linie a matricei cu toate elementele egale

cu 1 rezultă că varianta respectivă surclasează toate celelaltevariante deci va fi cea aleasă. Dacă nu există o astfel de liniemicşorăm valoarea lui p (şi evident creştem valoarea lui q) pânăcând obţinem condiţia cerută.

În cazul analizat, avem pentru p=0,4 şi q=0,6:

G=

 

     

 

 

 

 

11110

11111

11110

11111

01011

deci oricare din variantele V2 şi V4 este foarte bună.Aplicaţii1. Într-o întreprindere se propune fabricarea unui produs.Pentru aceasta sunt posibile mai multe variante de procestehnologic V1, V2, V3, V4 şi V5, iar drept criterii se considerăprofitul (C1), calitatea (C2) şi durata ciclului de fabricaţie (C3).Vom aprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1, bună cu2 şi foarte bună cu 3. Tabelul obţinut este:

CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70

63

Page 24: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 24/36

 

Coeficienţii de importanţă ai celor trei criterii sunt:k1=0,4, k2=0,4 şi k3=0,2. Să se decidă varianta optimă deacţiune.Soluţie

Calculăm mai întâi: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−( problema fiind

evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

V1 700 1 80V2 200 3 100V3 300 2 30V4 400 1 20V5 100 3 70

min 100 1 20max 700 3 100

 Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant

ă

C1

(k 1=0,4)

C2

(k 2=0,4)

C3

(k 3=0,2)

V1 1 0 0,8V2 0,17 1 1V3 0,33 0,5 0,1V4 0,5 0 0V5 0 1 0,6

64

Page 25: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 25/36

 

Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k

 jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=

)0,UU(max ip jpm,...,1p

−= .

Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5

V11 0 0,4 1 0,6 0,5 1 0 0,6 1

V2 0,6 0,83 1 0 0,6 0,2 0,6 0,3 1 0

V3 0,4 0,67 0,4 0,9 1 0 0,6 0,2 0,4 0,5

V4 0,4 0,75 0,4 1 0,4 0,5 1 0 0,4 1

V5 0,4 1 0,4 0,4 0,6 0,3 0,6 0,5 1 0

Fie acum p=0,16 şi q=0,84. Avem:

G=

      

 

 

 

 

11110

01101

11101

11111

01101

deci varianta V2 este cea optimă.2. Într-o întreprindere se organizează un concurs pentruocuparea postului de manager. La acest concurs se prezintăcinci candidaţi P1, P2, P3, P4, P5. Pentru selecţia acestora seconsideră drept criterii: competenţa profesională (C1),capacitatea de conducere (C2) şi referinţele anterioare (C3). Vomaprecia numeric calităţile slabă cu 0, medie cu 1, bună cu 2 şifoarte bună cu 3. Tabelul obţinut este:

CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

P1 2 2 3P2 3 1 2P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2

Coeficienţii de importanţă ai celor trei criterii sunt:k1=0,4, k2=0,4 şi k3=0,2. Să se decidă varianta optimă deacţiune.

65

Page 26: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 26/36

 

Soluţie

Calculăm mai întâi: Uij=kj

n,...,1kkj

n,...,1k

kjn,...,1k

ij

vminvmax

vminv

==

=

−( problema fiind

evident de maximizare). Tabelele sunt:CriteriuVariant

ă

C1 C2 C3

P1 2 2 3P2 3 1 2

P3 1 3 2P4 3 2 1P5 3 1 2

min 1 1 1max 3 3 3

 Tabelul utilităţilor este:CriteriuVariant

ă

C1

(k 1=0,4)

C2

(k 2=0,5)

C3

(k 3=0,1)

P1 0,5 0,5 1P2 1 0 0,5P3 0 1 0,5P4 1 0,5 0P5 1 0 0,5

Calculăm indicatorii de concordanţă: c(Vi,V j)=

=

≥=

m

1rr

UUm,...,1p

p

k

k

 jpip şi indicatorii de discordanţă: d(Vi,V j)=

)0,UU(max ip jpm,...,1p

−= .

Tabelul indicatorilor de concordanţă şi de discordanţăV1 V2 V3 V4 V5

V1 1 0 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5 0,6 0,5

V2 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0

V3 0,4 0,5 0,6 1 1 0 0,6 1 0,6 1

V4 0,8 1 0,8 0,5 0,4 0,5 1 0 0,8 0,5

V5 0,4 0,5 1 0 0,6 1 0,6 0,5 1 0

Fie acum p=0,5 şi q=0,5. Avem:

66

Page 27: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 27/36

 

G=

      

 

 

 

 

11010

11010

00100

11010

11111

deci varianta P1 este cea optimă.

6. Teste recapitulative1. Compartimentul de vânzări de la firma X, în urma unui studiude piaţă, elaborează cinci strategii de vânzare, notate V1, V2, V3,V4 şi V5 , ce se află în strânsă dependenţă de patru stări alecondiţiilor obiective, notate S1, S2, S3 şi S4. Veniturile(în miliarde lei) ce se estimează a se realiza în cadrul fiecăreistrategii sunt:

Strategia

Stările

V1 V2 V3 V4 V5

S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11

Aplicând criteriul lui Hurwicz pentru ω =0,6, să se

determine ierarhizarea (de la cea mai bună la cea mai proastă)strategiilor de vânzare.Soluţie

StrategiaStările

V1 V2 V3 V4 V5

S1 10 15 12 11 16S2 9 8 14 12 16S3 10 12 13 13 14S4 12 13 10 9 11

max 12 15 14 13 16min 9 8 10 9 11

max⋅ ω +min⋅ (1-ω )

10,8 12,2 12,4 11,4 14,0

Ierarhia strategiilor de vânzare este: V5, V3, V2, V4, V1.2. O firmă producătoare de autoturisme studiază posibilitateade reorientare a capacităţii sale de producţie prin introducereaunor modele noi. Pentru acest lucru, sunt analizate patruproiecte ale unor noi modele de autoturisme: A, B, C şi D.Primirea pe piaţă a acestora poate fi: favorabilă, obişnuită sau

67

Page 28: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 28/36

 

de respingere parţială. În acest caz, nivelul previzionat alproducţiei anuale (bucăţi), va fi:

ModelulStarea

A B C D

favorabil

ă

1000

0

1200

0

1500

0

1200

0obişnuit

ă8000 9000 1200

01000

0respinge

reparţială

3000 6000 2000 4000

Aplicând regula minimizării regretelor, să se determineierarhia modelelor de autoturisme (de la cel mai bun la cel maislab).Soluţie

Modelul

Starea

A B C D

favorabilă

10000

12000

15000

12000

obişnuită

8000 9000 12000

10000

respingere

parţială

3000 6000 2000 4000

max 10000

12000

15000

12000

Matricea regretelor este:Modelul

Starea

A B C D

favorabilă

0 0 0 0

obişnuită

2000 3000 3000 2000

respingere

parţială

7000 6000 13000

8000

68

Page 29: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 29/36

 

max 7000 6000 13000

8000

Pentru a obţine ierarhizarea cerută, vom determina maximelefiecărei coloane şi ordinea va fi dată de nivelul crescător alregretului. Altfel spus, varianta preferată va fi cea cu regretulcel mai mic, iar ultima cea cu regretul cel mai mare. Avem deci:B, A, D, C.3. Compartimentul de marketing al unei firme analizeazăposibilitatea asimilării în fabricaţie a unui număr de cinci tipuride calculatoare C1, C2, C3, C4 şi C5. În funcţie de numărul decalculatoare vândute, profitul (milioane lei) este următorul:

Planulvânzărilor

  Tipul decalculator

300buc.

500buc.

700buc.

C1 1500 3000 7000C2 3000 6000 8000C3 2000 4000 6000C4 1000 2000 4000C5 500 1000 2000

Aplicând criteriul Bayes-Laplace, să se determinevarianta optimă de calculator aleasă de către conducerea

firmei.

SoluţiePlanu

l Tipul

300buc.

500buc.

700buc.

mediaaritmetic

ăC1 1500 3000 7000 3833C2 3000 6000 8000 5666C3 2000 4000 6000 4000C4 1000 2000 4000 2333

C5 500 1000 2000 1166Cea mai mare valoare este cea corespunzătoare calculatoruluiC2.4. În cadrul unei firme, un grup decizional alcătuit din treipersoane P, P2 şi P3 este chemat să analizeze mai multe proiectece sunt caracterizate prin trei criterii de apreciere: C1 - volumulvânzărilor, C2 – costurile totale şi C3 – rata profitului. Decidenţii

69

Page 30: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 30/36

 

au stabilit următoarele niveluri de importanţă acestor criterii deapreciere:

Decidentul

Criteriul

P1 P2 P3

C1 1 1 2C2 3 2 1C3 2 3 3

Care este ierarhizarea criteriilor de apreciere la nivelulgrupului de decizie?Observaţie

Nivelurile de importanţă acordate criteriilor de aprecierereprezintă, în acest caz, nişte “note” acordate acestora, însensul că acel criteriu cu “nota” cea mai mare este cel maiimportant pentru decident ş.a.m.d.

Pe baza acestor niveluri de importanţă, se calculează

coeficienţii de importanţă, astfel: ki=

∑∑

= =

=3

1 j

3

1k jk

3

1 jij

N

N

unde Nij

reprezintă nivelul de importanţă al criteriului Ci pentru

decidentul P j. Ordinea descrescătoare a acestora furnizeazăierarhizarea cerută.Soluţie

Avem: k1=18

4

332123211

211=

++++++++++

=0,22;

k2=18

6

332123211

123=

++++++++++

=0,33;

k3=18

8

332123211

332=

++++++++++

=0,44.

Ierarhizarea este: C3, C2, C1.5. În acţiunea de dezvoltare a capacităţii de producţie a unei

firme de materiale de construcţii sunt luaţi în calcul treiindicatori: I1: costul investiţiei (miliarde lei), I2: volumulproducţiei anuale (tone) şi I3: termenul de recuperare ainvestiţiei (luni). În cadrul acestei acţiuni sunt luate în calcul maimulte direcţii de dezvoltare: D1, D2, D3 şi D4. Acestea suntcaracterizate prin următoarele consecinţe economice şi niveluride importanţă ale indicatorilor menţionaţi:

Indicatorul I1 I2 I3

70

Page 31: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 31/36

 

DirecţiaD1 10 1000 12D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15

Nivelul de importanţă al indicatoruluide apreciere

1 3 2

Aplicând metoda utilităţii globale, care este ordinea depreferinţă a celor patru direcţii de dezvoltare?Observaţie

În situaţia în care în analiza unei probleme apar mai

multe criterii de apreciere (aici indicatori) asupra unor viitoareacţiuni sau decizii se pune problema armonizării acestora.Pentru a înlătura semnificaţiile lor diferite s-a introdus noţiuneade utilitate (Von Neumann & Morgenstern). Astfel, pentru un setde valori (a1, a2,...,an) se determină utilitatea cantităţii a i ca fiind

Ui=

n,...,1 j j

n,...,1 j j

n,...,1 j

 ji

aminamax

amina

==

=

. În acest caz, cantităţii celei mai mici din

setul de valori considerat îi va corespunde o utilitate nulă, iarcantităţii maxime una unitară. În cazul problemei de mai sus, se

vor determina utilităţile pentru fiecare coloană în parte.Nivelurile de importanţă acordate indicatorilor genereazăcoeficienţii de importanţă a acestora, calculându-se astfel: k j=

∑=

3

1kk

 j

N

N

unde N j reprezintă nivelul de importanţă al indicatorului

I j. În final, se calculează utilitatea globală UG a fiecărei direcţii D i

prin formula: UGi=∑=

3

1 jij jUk unde Uij reprezintă utilitatea

indicatorului j corespunzător direcţiei i. După aceea, se

ordonează descrescător utilităţile UGi obţinând ierarhizareacerută.Soluţie Calculăm mai întâi maximele şi minimele fiecăreicoloane:

Indicatorul

Direcţia

I1 I2 I3

D1 10 1000 12

71

Page 32: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 32/36

 

D2 15 1200 14D3 20 2200 20D4 12 1400 15

max 20 2200

20

min 10 1000

12

max-min

10 1200

8

 Tabelul utilităţilor şi al coeficienţilor de importanţă esteurmătorul:

IndicatorulDirecţia

I1 I2 I3

D1 0 0 0D2 0,5 0,17 0,17D3 1 1 1D4 0,2 0,33 0,25

Coeficientul deimportanţă

0,17 0,5 0,33

• UG1=0,17⋅ 0+0,5⋅ 0+0,33⋅ 0=0;• UG2=0,17⋅ 0,5+0,5⋅ 0,17+0,33⋅ 0,17=0,226;• UG3=0,17⋅ 1+0,5⋅ 1+0,33⋅ 1=1,000;

• UG4=0,17⋅ 0,2+0,5⋅ 0,33+0,33⋅ 0,25=0,282.Ierarhia este deci: D3, D4, D2, D1.6. În cadrul procesului de retehnologizare a unei firme se puneproblema achiziţionării unor utilaje complexe I1, I2, I3 şi I4. Înanaliza oportunităţii de achiziţie a unuia sau altuia intră doifactori: fiabilitatea ce are o pondere de 60% în decizie şimentenabilitatea cu o pondere de 40%. Fiabilitatea este larândul ei caracterizată prin două criterii: C1: media timpului debună funcţionare (ore) şi C2: rata căderilor (%), iarmentenabilitatea prin C3: accesibilitatea (%), C4: asigurareapieselor de schimb (%) şi C5: activitatea de service (%).

FactoriiUtilajele

p1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10

72

Page 33: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 33/36

 

Folosind metoda speranţei matematice să se stabileascăordinea de preferinţă a achiziţionării utilajelor.a) I4, I2, I1, I3;b) I2, I4, I1, I3;c) I1, I2, I4, I3;d) I1, I2, I3, I4;e) I4, I1, I2, I3.Observaţie Metoda speranţei matematice constă în calculareautilităţilor fiecărui criteriu şi apoi calcularea nivelului de

importanţă al fiecărui utilaj pe baza formulei NI i=∑=

5

1 jij j

Up unde

 jp reprezintă ponderea (probabilitatea) criteriului C j. În final,se ordonează descrescător după valorile lui NI i.

Soluţie Calculăm, mai întâi, utilităţile:Factorii

Utilajelep1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 3000 10 90 96 8I2 2500 12 87 98 7I3 2700 8 84 92 9I4 3200 14 92 90 10

max 3200

14 92 98 10

min 2500

8 84 90 7

max-min

700 6 8 8 3

 Tabelul utilităţilor:FactoriiUtilajel

e

p1=0,6 p2=0,4

C1 C2 C3 C4 C5

I1 0,71 0,33 0,75 0,75 0,33I2 0 0,67 0,38 1 0I3 0,29 0 0 0,25 0,67I4 1 1 1 0 1

• NI1=0,6⋅ 0,71+0,6⋅ 0,33+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,75+0,4⋅ 0,33=0,368;

73

Page 34: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 34/36

 

• NI2=0,6⋅ 0+0,6⋅ 0,67+0,4⋅ 0,38+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0=0,705;• NI3=0,6⋅ 0,29+0,6⋅ 0+0,4⋅ 0+0,4⋅ 0,25+0,4⋅ 0,67=0,364;• NI4=0,6⋅ 1+0,6⋅ 1+0,4⋅ 1+0,4⋅ 0+0,4⋅ 1=2,000.Ierarhia este: I4, I2, I1, I3.7. În cadrul acţiunii de retehnologizare a unui compartiment alunei întreprinderi se pune problema achiziţionării unor utilajecomplexe I1, I2 şi I3. Analiza oportunităţii de achiziţie a unuia saualtuia ţine seama de patru factori: C1: media timpului de bunăfuncţionare (ore), C2: accesibilitatea (%), C3: asigurarea pieselorde schimb (%) şi C4: activitatea de service (%):

Criteri

ulUtilajul

C1 C2 C3 C4

I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10

În cadrul întreprinderii, hotărârea de achiziţionare esteluată de un grup decizional format din două persoane D1 şi D2.Acestea atribuie fiecărui criteriu următoarele niveluri deimportanţă:

CriteriulDecident

ul

C1 C2 C3 C4

D1 1 2 3 4D2 2 1 4 3

Folosind metoda calculului majorităţii ca şi compunere deutilităţi individuale, rezultă că ierarhizarea achiziţionăriiutilajelor este:a) I1, I3, I2;b) I2, I1, I3;c) I2, I3, I1;d) I3, I1, I2;e) I1, I2, I3.Observaţie

Metoda calculului majorităţii ca şi compunere de utilităţiindividuale constă în determinarea utilităţii globale pe baza

formulei: UGij= ∑=

4

1s jsiskU unde Uis reprezintă utilitatea

corespunzătoare utilajului i şi criteriului s, iar k js reprezintăcoeficientul de importanţă corespunzător decidentului j şicriteriului s. Dacă vom nota cu A matricea corespunzătoare

74

Page 35: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 35/36

 

elementelor utilităţilor primului tabel, cu B cea a elementelorcoeficienţilor de importanţă ai celui de-al doilea tabel şi cu UGmatricea corespunzătoare utilităţilor globale, avem: UG=A⋅ Bt

(Bt=transpusa matricei B). În final, suma elementelor liniilormatricei UG reprezintă suma utilităţilor globale după fiecaredecident. Ordonând descrescător aceste valori se obţineierarhizarea cerută.Soluţie 

Calculul utilităţilor este:Criteriul

UtilajulC1 C2 C3 C4

I1 2000 98 92 8I2 1800 94 90 12I3 2100 96 86 10

max 2100

98 92 12

min 1800

94 86 8

max-min

300 4 6 4

Criteri

ulUtilajul

C1 C2 C3 C4

I1 0,33 1 0 0I2 0 0 0,33 1I3 1 0,5 0 0,5

Calculul coeficienţilor de importanţă:Criteriul

Decidentul

C1 C2 C3 C4

D1 0,1 0,2 0,3 0,4D2 0,2 0,1 0,4 0,3

Avem:

UG=

     

 

 

 

 

⋅   

 

 

 

 

3,04,0

4,03,0

1,02,0

2,01,0

5,005,01

133,000

00133,0

=

 

 

17,025,0

43,050,0

76,053,0

Avem acum:• I1: 0,53+0,76=1,29;

75

Page 36: Aplicatii Economice Ale Matematicii-03

5/11/2018 Aplicatii Economice Ale Matematicii-03 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-economice-ale-matematicii-03 36/36

 

• I2: 0,50+0,43=0,93;• I3: 0,25+0,17=0,42.Ierarhia cerută este: I1, I2, I3.

76


Recommended