APLICAŢII ALE MATEMATICIIABORDĂRI INTERDISCIPLINARE

Elevi: Mihai Popescu,

Daniela Codreanu,

Serban Silvestru,

Alexandra Radu

Profesor coordonator:

Carmen Delcea

Moto: “Matematica este limba …

… în care Dumnezeu a creat lumea”

SUMAR EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII

NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE NOTELE CU PUNCT

MODELUL DE CULORI RGB DEFINITIE SI SEMNIFICATII REPREZENTAREA CULORILOR REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA

SIRUL LUI FIBONACCI SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI PROPORTIA DE AUR COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI FIBONACCI

GEOGRAFIA SI MATEMATICA COORDONATE GEOGRAFICE LATITUDINEA LONGITUDINEA

EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA

Raport Exemplu

1. Raport procentual = un raport de forma p% (pQ, p0)

17% = 17/100

2. Scara unei harti = raportul dintre distanta pe harta si distanta pe teren

Pe o harta, unui segment ce are lungimea de 1 mm ii corespunde o distanta de teren egala cu 5 km. Scara hartii este 1: 5 000 000.

3. Concentratia unei solutii = raportul dintre masa substantei care se dizolva si masa solutiei

In 190 g de apa de dizolva 10 g de sare. Concentratia solutiei este 0,05

4. Titlul unui aliaj = raportul dintre masa metalului pretios si masa aliajului

Un aliaj contine 240 g aur si 940 g cupru. Titlul aliajului este 0,2

5. Probabilitatea realizarii unui eveniment A = raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului si numarul cazurilor egal posibile ale experientei.

Intr-o cutie sunt 5 bile albe si 2 negre. Probabilitatea de a extrage la intamplare o bila neagra este 2/7

APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR

Este foarte important sa ştim sa punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, sa privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.

Una dintre cele mai cunoscute inegalităţi în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică şi media armonica a două sau mai multe numere reale pozitive.

Aplicaţie în fizică: Două mobile parcurg acelaşi drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al doilea parcurgând 2 porţiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v. Care mobil parcurge drumul mai repede?

Notăm distanţa cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1 (pentru primul mobil) şi t2 (pentru al doilea mobil)

,

21211

4

2

2

vvd

vvd

v

Dt

21212

11

vvd

v

d

v

dt

Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetica si media armonica pentru v1 si v2:

2112 21

21

vv

vv

2121212121

114114tt

vvd

vvd

vvvv

În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinaţie în cel mai scurt timp

FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII

NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE

Nota corespunzatoare Numele notei Durata

Nota intreaga Doua doimi

DoimeDoua patrimi

saujumatate din nota intreaga

PatrimeDoua optimi

saujumatate din doime

OptimeDoua saisprezecimi

saujumatate din patrime

SaisprezecimeDoua treizecidoimi

saujumate din optime

TreizecidoimeaDoua saizecipatrimi

saujumatate din saisprezecime

Saizecipatrimea Jumatate din treizecidoimea

FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII

NOTELE CU PUNCTAdaugand un punct la o nota valoarea acesteia se mareste cu jumatate

din valoarea initiala a notei.Exemple:

• O nota intreaga = 4 timpi. O nota intreaga cu punct = 6 timpi. De ce?

Raspuns: Deoarece, ½ din 4 este 2, si 4+2=6 

• O doime = 2 timpi. O doime cu punct = 3 timpi. De ce?

Raspuns: Deoarece ½ din 2 este 1, si 2+1=3. 

•O patrime = 1 timp. O patrime cu punct = 1 ½ timpi. De ce?

Deoarece ½ din 1 este ½ , si 1+ ½ = 1 ½ .

Modelul de culori RGB este un model prin care orice culoare poate fi exprimata ca o combinatie de rosu (R), verde (G) si albastru (B). Dupa cum se observa, numele acestui model provine de la culorile sale de baza: rosu = red = R verde = green = G albastru = blue = B

Modelul a fost inspirat din realitate, intrucat cele 3 tipuri de conuri din retina ochiului uman contin cate un pigment fotosenzitiv pentru aceste 3 culori: rosu, verde si albastru. Orice alta culoare pe care omul o percepe este de fapt o combinatie din aceste 3 culori 

Scopul principal al modelului de culori RGB este de a reprezenta imaginile in sistemele electronice, cum ar fi televizoarele sau calculatoarele.

MODELUL DE CULORI RGBDEFINITIE SI SEMNIFICATII

MODELUL DE CULORI RGBREPREZENTAREA CULORILOR

In memoria calculatorului imaginile se reprezinta intr-un mod foarte similar.

Fiecare pixel, adica fiecare punct vizibil din imagine este stocat in memoria calculatorului astfel: O valoare intre 0 si 255 pentru rosu O valoare intre 0 si 255 pentru verde O valoare intre 0 si 255 pentru albastru

Astfel: 0 reprezinta minimul culorii (sau lipsa ei) 255 reprezinta maximul culorii (sau prezenta 100% a

ei).

In exemplul de mai jos se poate vedea reprezentarea culorilor prin RGB la televizor.

MODELUL DE CULORI RGBREPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL

BINAR

Se stie ca in memoria calculatorului orice informatie este reprezentata ca siruri de 0 si 1, adica in sistem binar.

Unitatea de baza de masura pentru memorie este bitul, adica o pozitie din memorie pe care poate fi 0 sau 1.

Orice valoare intre 0 si 255 poate fi exprimata pe 8 pozitii, deci pe 8 biti:

0(10) = 00000000(2)

1(10) = 00000001(2)

10(10) = 00001010(2)

….255(10) = 11111111(2)

Unitatea de masura folosita pentru o colectie de 8 biti se numeste octet (sau byte).

Putem concluziona astfel ca orice culoare pe care o reprezinta calculatorul este reprezentata in memoria acestuia pe 3 octeti = 24 de biti, cate un octet = 8 biti pentru fiecare culoare: rosu, verde si albastru. 

 Astfel, dintr-o imagine precum este cea de jos, se pot extrage 3 imagini, luand din fiecare pixel doar valoarea corespunzatoare cate unei culori, pe rand: Prima imagine este imaginea initiala, fotografiata din realitate A doua imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru rosu, iar valorile

pentru albastru si verde sunt considerate 0 A treia imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru verde, iar

valorile pentru rosu si albastru sunt considerate 0 A patra este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru albastru, iar valorile

pentru rosu si verde sunt considerate 0.

Din imaginile prezentate se observa ca: albul este combinatia de maxim rosu, maxim verde si maxim albastru negru reprezinta combinatia de minim rosu, minim verde si minim albastru maro este combinatia de mult rosu si verde, dar putin albastru verdele inchis este combinatie de mult verde cu putin rosu sau albastru albastrul cerului este o combinative de mult albastru si moderat rosu si verde.

MODELUL DE CULORI RGBREPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI

Deoarece orice culoare poate fi reprezentata ca o combinatie de rosu, verde, albastru, atunci modelul RGB este un model cu 3 dimensiuni. Spatiul RGB este reprezentat prin 3 dimensiuni independente (rosu, verde si albastru).

Astfel, putem considera spatiul RGB ca un cub, pe fiecare axa fiind o culoare din cele trei (rosu, verde si albastru), cu valori de la 0 la 255.

Dupa cum se observa in imaginea de mai jos, orice punct din interiorul cubului poate fi exprimat in functie de cele 3 axe, adica cele 3 culori.

MODELUL DE CULORI RGBREPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA

Toate aceste lucruri pot fi verificate foarte simplu cu ajutorul unui calculator, deschizand aplicatia Paint.

SIRUL LUI FIBONACCI In anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematica in Pisa. Problema

propusa concurentilor a fost celebra “Problema a iepurasilor” lui Fibonacci. Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri

produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productiva” la varsta de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luni)

Sa notam Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti. Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi Fn-1 perechi de iepuri nou-nascuti.

Obtinem astfel o relatie de recurenta: (reprezentata si prin diagrama de mai jos ) Fn+1 = Fn + Fn-1;

F1=1; F0=0.

Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.....

Sirul lui Fibonacci este un sir de numere in care fiecare, incepand cu al treilea,

este suma celor doua dinaintea sa.

Dacă luăm în considerare raportul dintre două numere succesive, în sirul lui Fibonacci si vom imparti fiecare la predecesorul sau vom găsi următoarele serii de numere: 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1·5, 5 / 3 = 1·666..., 8 / 5 = 1·6, 13 / 8 = 1·625, 21 / 13 = 1·61538... 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1,5, 5 / 3 = 1.666 ..., 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.61538 ...

Raportul aproximeaza o anumită valoare, pe care o numim raportul de aur sau numărul de aur:

φ (fi) = 1.618034

Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.( ex. Partenonul )

Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale π sau е, pare a face parte din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie.

SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR

Fuchsia Fucsie GarofitaCrin

• Numarul de aur se regaseste in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etc…

• La multe plante, numărul de petale este un numar Fibonacci• 3 petale: crin, iris • 5 petale: trandafir salbatic, viorele, lalele• 8 petale: delphiniums • 13 petale: gălbenele, porumb, cineraria, unele margarete • 21 petale: margarete, cicoare • 34 petale: patlagina

• Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci, si de asemenea la floarea soarelui.

SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA

Con de pin

SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA

• La floarea soarelui se pot observa doua randuri de spirale in sens invers. Numarul de spirale nu este acelasi in fiecare sens. Potrivit soiului, acest numar poate fi 21 si 34 sau 34 si 55, uneori 58 si 89.

• Multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr-o secventa Fibonacci in jurul tulpinei.

• Ideea dispunerii frunzelor in acest sens pleaca de la considerarea unghiului de aur de 222,5 grade, unghi care impartit la intregul 360 de grade va da ca rezultat numarul 0.61803398..., cunoscuta ca ratia sirului lui Fibonacci.

CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI

Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange, separate prin 2 incheieturi. Media lungimilor falangelor este de 2, 3 si respectiv 5 cm. In continuarea lor este un os al palmei care are in medie 8 cm.

Catul dintre lungimea partii de jos a corpului omenesc, masurata de la ombilic pana la talpi, si partea de sus, masurata din crestet pana la ombilic este numarul de aur.

Ritmul ciclic al batailor inimii apare în electrocardiograma unui om sanatos ca o linie curba, cu suisuri si coborâsuri. Reprezentarea grafica a "sirului lui Fibonacci" seamana izbitor cu cea de-a doua parte a amintitei EKG.

Molecula de ADN are si ea la baza sectiunea de aur. Ea masoara 34 angströmi (A) în lungime si 21 A latime, pentru fiecare ciclu complet al elicei duble a spiralei sale. 21 si 34 fac parte din "sirul lui Fibonacci“.

PROPORTIA DE AUR O paralelă cu baza de la mijlocul unei laturi într-un

triunghi echilateral înscris într-un cerc generează proporţia de aur.(fig.1)

Pătratul maxim înscris într-un semicerc generează proporţia de aur. (fig.2)

Intersecţia diagonalelor unui pentagon generează proporţia de aur. (fig.3)

Bisectoarele (de ex.: DB) unui "triunghi isoscel de aur" (adică unul în care baza reprezintă 0,618... faţă de laturi) generează, la rîndul lor, proporţia de aur, iar arcele de cerc trasate din punctele unde ele intersectează laturile "triunghiurilor de aur" ce se formează succesiv generează spirala logaritmică. (fig.4)

COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI

FIBONACCI Cati dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti "la plimbare" dupa o ploaie de vara.

Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam trasand-o cu pixul. Aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:

pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd... pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd..

Dupa cum puteti observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci. Motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in

interior un maxim de spatiu si de siguranta. Spirala logaritmică - unicul tip de spirală care nu-şi modifică forma pe măsură ce creşte.

Aceasta se gaseste:o In forma cochiliei de melco In forma urechii umane. o In interiorul aparatului auditiv

GEOGRAFIA SI MATEMATICACOORDONATE GEOGRAFICE

Harta Pământului arătând liniile de latitudine (orizontal) şi longitudine (vertical). Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ prin 2 sau 3

coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au asigurat 360°.

GEOGRAFIA SI MATEMATICALATITUDINEA

Latitudinea este una dintre cele două coordonate geografice care descriu poziţia unui punct de pe suprafaţa Pământului

Latitudinea unui punct este unghiul dintre direcţia de la centrul Pământului spre acel punct şi planul ecuatorului.

GEOGRAFIA SI MATEMATICALONGITUDINEA

Longitudinea descrie poziţia unui punct de pe suprafaţa Pământului.

Longitudinea unui punct este unghiul dintre proiecţiile pe planul ecuatorului ale direcţiilor de la centrul Pământului către punctul dat şi, respectiv, către un punct de pe Pământ ales convenţional ca origine a longitudinii.

Echivalent, longitudinea unui punct este unghiul diedru dintre semiplanele sprijinite pe axa Pământului şi conţinând punctul dat şi, respectiv, punctul ales ca origine a longitudinii.

IMPORTANTA INTERDISCIPLINARITATII