AnR Toate CAP.oct2013

8/20/2019 AnR Toate CAP.oct2013

1/205

Lecţ ii de Analiză Matematică

Georgescu Constantin


2/205

2


3/205

Cuprins

Prefat ¸ă 7

1 Noţ iuni preliminare 91.1 Elemente de logică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Mulţimi şi funcţ ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Mulţimi indexate şi şiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Relaţii binare. Mulţ imi ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Monotonia funcţiilor şi a şirurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Mulţimea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Mulţimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8 Numere cardinale. Mulţ imi numărabile . . . . . . . . . . . . . 24

2 Structuri fundamentale ale analizei matematice 292.1 Spaţii topologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Deniţii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Analiza topologică a unei mulţimi . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Convergenţ ă şi continuitate ı̂n spat ¸ii topologice . . . . 32

2.2 Spaţii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Deniţii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Mulţimi specice spaţiilor metrice . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Convergenţ ă şi continuitate ı̂n spat ¸ii metrice . . . . . . 362.2.4 Principiul contract¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Spaţii cu măsur ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Deniţii şi exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Măsura Lebesque ı̂n R n . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Şiruri de numere reale 453.1 Şiruri de numere reale; exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Moduri de prezentare a unui şir . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Clase de şiruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.1 Şiruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3


4/205

4 CUPRINS

3.3.2 Şiruri m ărginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.3 Şiruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.4 Şiruri fundamentale (Cauchy) de numere reale . . . . . 61

4 Serii numerice 634.1 Noţiuni generale despre serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Operaţii cu serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Criterii de convergenţ ă pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 Criterii de convergenţ ă pentru serii cu termeni oarecare 674.3.2 Criterii de convergenţ ă pentru serii cu termeni pozitivi 69

5 Şiruri şi serii de funct ¸ii 795.1 Şiruri de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.1 Şir de funcţii; mulţ ime de convergenţ ă . . . . . . . . . 795.1.2 Convergenţa simpl ă; convergenţa uniform ă . . . . . . . 795.1.3 Criterii de convergenţ ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.4 Transferul de m ărginire, continuitate, derivabi-litate şi

integrabilitate de la un şir de funct ¸ii la limita sa . . . . 845.2 Serii de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.1 Deniţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.2 Criterii de convergenţ ă uniformă pentru serii . . . . . . 86

5.2.3 Transferul de continuitate, derivabilitate şi integrabil-itate pentru serii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.4 Cazuri particulare de serii de funcţ ii . . . . . . . . . . 88

6 Funct¸ii de mai multe variabile reale 976.1 Deniţii şi exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Limita şi continuitatea funct ¸iilor de mai multe variabile . . . . 97

6.2.1 Convergenţa şirurilor ı̂n R n . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.2 Limita funcţiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . 996.2.3 Continuitatea funct¸iilor de mai multe variabile . . . . . 103

6.3 Derivate parţ i a le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Diferenţiabilitatea funct¸iilor de mai multe variabile . . . . . . 1106.5 Interpretare economic ă

a derivatelor part¸iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6 Derivatele şi diferenţ ialele funcţ iilor compuse . . . . . . . . . . 1206.7 Formula lui Taylor pentru funct¸ii de mai multe variabile . . . 1266.8 Extremele funcţ iilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . 129

6.8.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.8.2 Extreme cu legături (condit¸ionate) . . . . . . . . . . . 137


5/205

CUPRINS 5

7 Extinderi ale integralei Reimann 1437.1 Integrala Riemann - Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2 Integrale improprii (generalizate) . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.2.1 Criterii de convergenţ ă . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3.1 Deniţii şi exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3.2 Propriet ăţi ale integralelor cu parametru . . . . . . . . 1587.3.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . 163

7.4 Integrala Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8 Calculul integralelor multiple 171

8.1 Calculul integralelor duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.2 Calculul integralelor triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.3 Schimbări de variabile ı̂n integrale multiple . . . . . . . . . . . 180

9 Teste de autoevaluare ̧si evaluare 1839.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2 Test de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


6/205

6 CUPRINS


7/205

Prefat ¸ă

Abordarea ştiint ¸ică actual ă a fenomenelor tehnice, economice şi ştiiţ icetot mai complexe, impune o preg ătire matematică superioar˘ a şi riguroas ă, acelor chemaţi să se ocupe de analiza acestor fenomene.

Prezentul curs, Lect ̧ii de Analiz˘ a Matematic˘ a se adresează student¸ilordin primul an de la facult ăţ ile cu prol tehnic, economic şi o pot utiliza cu fo-los şi studenţ ii facult ăţ ilor de matematic˘a. Cuprinde conţ inutul matematic,de bază conform cu programa analitic˘a actual ă.

În general noţiunile prezentate sunt ı̂nsot ¸ite de exerciţ ii complet rezolvate.Se prezint ă de asemenea un test de autoevaluare, constˆ and din exerciţ ii com-plet rezolvate şi un test de evaluare, care cuprinde exercit ¸ii nerezolvate ce sepot rezolva uşor de cel care a parcurs ı̂ntreaga lucrare.

Autorul mulţ umeşte, ı̂n mod deosebit, celor care şi-au adus contribut ¸ia

lor cu gândul, cu vorba sau cu fapta, la aparit ¸ia acestei lucr ări.Mulţumim de asemenea, celor care vin cu sugestii pentru ı̂nbun˘ at ăţireaacestei lucr ări.

Autorul Piteşti octombrie 2006

7


8/205

8 CUPRINS


9/205

Capitolul 1

Noţ iuni preliminare

1.1 Elemente de logică1.1 Denit ¸ie. Un enunţ despre care se cunoaşte c ă este adevărat sau fals,ı̂nsă nu şi una şi alta simultan, se numeşte propozit ¸ie .

Vom nota propozit¸iile cu p, q, r, ... şi mulţ imea propoziţ iilor cu P .Pe mulţ imea P denim aplicaţ ia v : P → {0, 1},

v( p) = 1, dacă p este adevărat ă;0, dacă p este falsă. ,

numit ă funct ̧ ia valoare de adev˘ ar . Tot pe mulţ imea propoziţ iilor se de-nesc unele funcţii speciale numite operatori logici . Astfel avem operatorii:

a)negaţ ie: : P → P , ∀ p ∈ P , p (se citeşte non p sau negaţia lui p)este o propoziţie adev ărat ă când p este falsă şi falsă când p este adevărată.b) disjuncţ ie: ∨: P × P → P (∨ se citeşte sau )c) conjuncţie: ∧: P ×P → P (∧ se citeşte şi )d) implicaţ ie: →: P × P → P (→ se citeşte implică )e) echivalenţă: ↔: P ×P → P (↔ se citeşte echivalent ).Cu ajutorul acestor operatori logici, din propozit ¸ii simple p,q,... se pot

forma propoziţ ii compuse. De exemplu, dac ă p,q,∈ P , formăm propoziţ ia p (non p), p∨q ( p sau q ), p∧q ( p şi q ), p → q ( p implică q ), p ↔ q ( pechivalent cu q . Valorile de adev ăr ale acestor propoziţ ii sunt date ı̂n tabelulurm ător:

p q p p∨q p∧q p→q p ↔q p →q def

≡ p∨q 1 1 0 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 1 0 10 0 1 0 0 1 1 1

9


10/205

10 Capitolul 1. Noţiuni preliminare

Propoziţ ia p

→ q se mai citeşte dacă p atunci q , iar propoziţ ia p

↔ q

se mai citeşte p dacă şi numai dac ă q .Dacă propoziţia p → q este adevărat ă, vom scrie p ⇒ q şi vom spune că p este o condit ̧ ie sucient˘ a pentru q sau că q este condit ̧ ie necesar˘ a

pentru p. Altfel spus propoziţ ia care implic ă se numeşte condiţ ie sucient ăpentru propoziţ ia implicat ă, iar propoziţ ia implicat ă se numeşte condiţ ienecesară. pentru propozit¸ia care implic ă.

Dacă propoziţ ia p ↔ q este adevărat ă, vom scrie p ⇔ q şi vom citi că peste condiţ ie necesar ă şi sucient ă pentru q şi invers.O propoziţ ie compusă , care este adevărat ă oricare ar valoarile de adevăr

ale propoziţiilor componente, se numeşte tautologie .1.2 Propozit ¸ie: Fie p, q ∈P . Atunci avem tautologiile :a) p ↔ p (legea reexivit˘ at ̧ii );b) p∨ p; p∧ p ↔ p (legea idempotent ̧ei ) - comutativitate ;c) p∨( p) (principiul tert ̧iului exclus ) - asociativitate ;d) p ↔ p (principiul dublei negat ̧ii ) - distributivitate ;e)

( p∨q ) ↔( p)∧( q )( p∧q ) ↔( p)∨( q ) (principiul dualit˘ at ̧ii ) - Legile lui De Mor-

gan ;f) ( p

→ q )

↔ ( p

→ q ) (legea contrapozit ̧iei, ) de aceast˘ a lege depind

demonstrat ̧iile prin reducere la absurd (reductio ad absurdum ).1.3 Denit ¸ie. O propoziţie care depinde de una sau mai multe variabile

se numeşte predicat (funcţia propoziţ ional ă). El se noteaz ă p(x) (predicateunare), p(x, y) (predicate binare), p(x,y,z ) (ternare),...

Pe lângă operatori logici menţ ionaţ i ı̂n matematic˘ a mai intervin alţ i oper-atori dintre care cei mai important ¸i sunt cuanticatorul univeral (notatcu ∀̧si se citeşte oarecare sau oricare ) şi cuanticatorul existent ¸ial (no-tat ∃ şi se citeşte exist ă ). Cu ajutorul acestor doi cuanticatori, dintr-unpredicat unar p(x), putem forma propoziţ ii noi. De exemplu

(∀x) p(x), ( se citeşte ,,oricare ar x, p(x)”);(∃x) p(x), ( se citeşte ,,exist ă x, a.̂ı. p(x)”);

şi tautologiile, care sunt tot propozit ¸ii(∀x) p(x)⇒∃x) p(x);

(∀x, p(x))⇒(∃x), p(x);(∃x, p(x))⇒(∀x), p(x).


11/205

1.2. Mulţimi şi funct¸ii 11

Din predicate binare p(x, y) putem forma propoziţ ii, cum ar :

(∀x)(∀y), p(x, y)⇒(∀y)(∀x), p(x, y);(∃x)(∃y), p(x, y)⇒(∃y)(∃x), p(x, y);

(∀x,∃y, p(x, y))⇒(∃x)(∀y), ( p(x, y));

De aici deducem urm ătoarea regul ă practică: ,, prin negare cuantica-torul universal (∀) se transform˘ a ı̂n cuanticator existent ¸ial (∃) şi invers,iar propozit ̧ia p ı̂n propozit ̧ia p”.

Fiind date propozit¸iile p(x1, x2, . . . , x n ), q (x1, x2, . . . , x n ), din teorema

p(x1, x2, . . . , x n )⇒q (x1, x2, . . . , x n )

putem forma urm ătoarele teoreme

q (x1, x2, . . . , x n )⇒ p(x1, x2, . . . , x n ), (teoema reciproc ă); p(x1, x2, . . . , x n )⇒ q (x1, x2, . . . , x n ), (teoema contrar˘a);

q (x1, x2, . . . , x n )⇒ p(x1, x2, . . . , x n , (reciproca contrarei) .

Datorit˘a tautologiei ( p −→q ) ←→( q −→ p), teorema direct ă p(x1, x2, . . . , x n )⇒q (x1, x2, . . . , x n )

este echivalent ă cu teorema

q (x1, x2, . . . , x n )⇒ p(x1, x2, . . . , x n ),

i.e. cu contrara reciprocei sale. Pe aceast ă echivalenţ ă se bazează metodademonmstrat¸iei prin reducere la absurd. Aceast˘a metod ă este foarte util ăı̂n matematică, deoarece demonstrat ¸ia teoremei directe este ı̂nlocuit˘a cudemonstrat¸ia contrarei reciprocei sale.

1.2 Mult ¸imi şi funct ¸ii

a) Mulţ imi : Noţiunea de mulţ ime este una dintre not¸iunile fundamentaleşi cele mai des folosite ı̂n matematica modern˘ a. Dup ă Georg Coutor (1845-1918), creatorul teoriei mulţ imilor, se numeşte mult ¸ime o colecţie de obiectebine determinate şi distincte ale intuit ¸iei sau gândirii noastre, considerate caun tot . Obiectele considerate se numesc elementele mulţ imii.


12/205


De regulă mulţ imile se noteaz ă cu literele mari ale alfabetului latin ( A,B,C,... ), iar elementele lor cu litere mici ale alfabetului latin ( a,b,c,... ). DacăA este o mulţime şi x un element al său, vom scrie x ∈ A şi vom citi xaparţ ine lui A . Dacă x nu se găseşte ı̂n A, atunci vom scrie x ∈ A şi vomciti x nu aparţ ine lui A .

O mulţ ime poate dat ă:i)sintetic - numind individual elementele sale, adic ă A = {a,b,c,...};ii) analitic - specicând o proprietate pe care o au doar elementele sale,

adică A = {x|P (x)}.Ţinând seama de cum se poate deni o mult ¸ime putem scrie: φ = {}, φ =

{x|x = 0}.O mulţime cu un număr nit de elemente se numeşte mult ̧ime nit˘ a .

În caz contrar se numeşte mult ̧ime innit˘ a . Pentru c âteva mulţ imi carevor des utilizate se folosesc notaţii speciale:

i) N (sau N) - mulţimea numerelor naturale; N = {0, 1, 2,...,n,... }, N∗ -mulţ imea numerelor naturale nenule; N∗ = {0, 1, 2,...,n,... },ii) Z - mulţimea numerelor ı̂ntregi; Z = {...−n, ..., −2, −1, 0, 1, 2,...,n,... }iii) Q - mulţimea numerelor rat¸ionale Q =

mn

m, n ∈Z , n = 0iv) R - mulţimea numerelor reale;v) C - mulţimea numerelor complexe;= - Două mulţimi A şi B sunt egale (coincid) (şi vom scrie A = B)

dacă şi numai dac ă sunt formate din aceleaşi elemente. Dac˘a A şi B nu suntegale, şi vom scrie A = B şi vom citi A diferit B .

⊂ şi ⊆ - Dacă A şi B sunt două mulţ imi, spunem c ă A estesubmulţ ime a lui B, ( A este inclusă ı̂n B şi vom scrie A ⊂ B, respectivA ⊆ B sau B include A şi vom scrie B ⊇ A) dacă orice element al mulţ imiiA este şi element al mulţ imii B. Mulţimea vid ă este submulţ ime a oricăreimulţ imi.

1.3 Mult ¸imi indexate şi şiruri

Fie I o mulţime nevid ă, pe care o numim mulţ ime de indici. Fie deasemenea o mulţ ime arbitrar˘a X = φ şi f : I → X o funcţie denit ă prinf (i) = xi , ∀i ∈ I. Mulţimea {x i|i ∈ I }, chiar dacă are şi elemente egale,constituie imaginea lui I prin f şi se numeşte mult ̧ime indexat˘ a (dupăi∈I ). Deşi mulţ imea indexat˘a {x i|i∈I } este considerat ă, ca o submulţ imea lui X, având elemente ce pot coincide, ea trebuie identicat˘ a cu funcţiaf : I →X.


13/205

1.3. Mulţimi indexate şi şiruri 13

Fie acum m

∈

N, xat şi mulţ imea Nm =

{n

∈N

|n

≥m

}. Dacă I = Nm ,

atunci mulţ imea indexat˘a {xn |n ∈ I } se numeşte şir innit (pe scurt şir)de elemente din X, notat ı̂n mod uzual {xn}n≥m sau (xn )n≥m . Elementulxn ∈ {xn |n ∈ I } se va numi termenul de rang n al şirului {xn}n≥m . Prinurmare şirul {xn}n≥m poate considerat ca ind funcţ ia f : Nm →X denit ăprin f (n) = xn (funcţia f se poate numi funcţ ia generatoare a şirului) saumulţ imea indexat ă {xn |n ≥ m}, mulţime care poate avea şi elemente egale.Cel mai adesea m∈ {0, 1}.Orice submulţ ime innit ă, a mulţ imii indexate {xn |n ≥ m}, notat̆a ingeneral prin {xn k |k ∈ N}, se numeşte subşir al şirului {xn}n≥m şi care semai noteaz ă de regulă {xn k }k≥0 sau (xn k )k≥0. Mulţimea {xn k |k ∈ N}, poateşi ea să aib˘a elemente egale. Mai mult, mulţ imea {xn |n ≥ m} şi implicit{xn k |k ≥0}pot avea chiar toate elementele egale. În acest caz şirul {xn}n≥mse numeşte şir constant.

Dacă elementele mulţ imii X sunt mulţ imi sau submulţ imi ale unei mulţ imiT = φ, atunci mulţ imea indexat˘a {Ai|i ∈ I } cu I mulţime de indici, senumeşte familie de mulţ imi respectiv familie de submulţ imi ale lui T şi senoteaz ă uzual (Ai)i∈I .

a) Fie (Ai)i∈I o familie de mulţimi. Mulţ imile

i∈I

Ai := {x|(∃)i∈I , x ∈Ai},i∈I

Ai := {x|(∀)i∈I, x ∈Ai},se numesc reuniunea , respectiv intersect i̧a familiei (Ai)i∈I .

b) Se numeşte partit ¸ie a unei mulţ imi M = φ o familie de mulţimi (Ai)i∈I cu:1) A i ∈P (M ), Ai = φ, (∀)i∈I,2) A i ∩A j = φ, (∀)i, j ∈I cu I = j,

astfel ı̂nc ât ∪i∈I Ai = M.c) Se numeşte acoperire a mulţ imii M = φ, o familie (Bk)k∈K astfel ı̂ncât(∀)x∈M, (∃)k ∈K astfel ı̂nc ât x∈BK , deci M ⊆ ∪k∈K BK .Dacă (Ai)i∈

I este o familie de mulţimi, atunci mult¸imea

i∈I

Ai := {f : I →i∈I Ai f (i)∈Ai , (∀)i∈I } = X i∈I Aise numeşte produs cartezian sau produs direct al familiei ( Ai)i∈I .

Pentru ecare f ∈ ∏i∈I Ai şi i ∈ I, imaginea xi = f (i), a lui i prin f, senumeşte coordonat˘a de ordin i a lui f. Astfel putem scrie:i∈I

Ai = {(a i)i∈I |a i ∈Ai , (∀)i∈I }


14/205


Dacă Ai = A, (

∀

)i

∈ I , atunci produsul cartezian

∏i∈I

Ai = AI . În partic-

ular, dac ă I = {1, 2,...,n }, atunci not ăm

i∈I

Ai = A1 ×A2 ×... ×An = {(x1, x2,...,x n )|xi ∈Ai , (∀)i∈I }.

Dacă I = N, ı̂n loc de AI se va scrie A∞. Pentru A = R vom scrieRn := {(x1, x2,...,x n )|xi ∈R , (∀)i ≥1}.Fie i0 ∈I. Funcţ ia pi0 : ∏i∈I Ai →Ai0 . Funcţ ia pi0 se numeşte i0 - proiecţiacanonică a produsului cartezian

∏i∈I

Ai pe mulţimea Ai0 . Formulele lui de

Morgan r ămân valabile şi pentru familiile de mult¸imi.În teoria mulţ imilor se admite urm˘atoarea axiom ă.Dacă (Ai)i∈I este o familie nevidă de mulţimi nevide, atunci ∏i∈I Ai = Φ numit ă axioma alegerii . Altfel formulată: Pentru orice familie ( Ai)i∈I

de mulţ imi nevide exist ă o mulţime B astfel ca B ∩Ai să e mulţime cu unsingur element pentru orice i∈I .

1.4 Relat ¸ii binare. Mult ¸imi ordonate

1.4 Denit ¸ie. Fie A şi B două mulţ imi nevide. O submulţ ime ρ⊂A×Bse numeşte relaţ ie binară ı̂ntre A şi B.Dacă elementul ( a, b) ∈ ρ, unde a ∈ A şi b ∈ B spunem că a este ı̂n relat ̧ ia ρ cu b şi not ăm aρb. Când B = A o relaţie binar ă ρ ı̂ntre A şi A

se numeşte simplu relat ̧ ie binar˘ a pe mult ̧ imea A.1.5 Exemple: 1. Fie A = φ, o mulţime oarecare. Mulţ imea ∆ =

{(a, a )|a∈A} (diagonala mulţ imii A) este o relaţie binar ă pe A.2. Relaţia de simetrie faţ ă de un punct O ı̂n mult¸imea p unctelor dinplan. P este simetricul lui P faţă de O, dacă O este mijlocul segmentului(P P ).

3. Relaţia de paralelism ı̂n mult¸imea dreptelor din plan. Dreptele a şi bsunt paralele dac ă a ∩b = φ sau a = b.4. Relaţia de incluziune ı̂n mult¸imea P (M ) a părţ ilor unei mulţ imi M.5. Relaţia de implicaţ ie logică ı̂ntre propozit¸ii ı̂ntr-o teorie matematic˘ a.Propoziţ ia p implică propoziţia q ( p →q ) dacă din faptul că p este adevărat ărezult ă că q este adevărat ă.

6. Fie A = {1, 2, 3, 4} şi ρ o relaţie binar ă pe A denit ă astfel:ρ = {(m, n )∈A ×A|m < n }.


15/205

1.4. Relaţ ii binare. Mulţ imi ordonate 15

1.6 Denit ¸ii: O relaţie ρ pe o mulţime M

= φ se numeşte:

a) reexivă , dacă xρx, (∀)x∈M (vezi ex. 1,3,4,5);b) ireexiv˘ a , dacă xρx ⇒x = y (xρx, (∀)x ∈M );c) simetrică , dacă xρy ⇒yρx, (∀)x, y ∈M (ex. 2,3);d) antisimetrică , dacă xρy şi yρx ⇒x = y, (∀)x, y ∈M (ex. 4,6);e) tranzitivă , dacă xρy şi yρx ⇒xρz, (∀)x,y,z ∈M (ex. 1,3,4,5);f) de ordine , dacă este reexivă, antisimetrică şi tranzitiv˘ a;g) de ordine strict˘ a , dacă este ireexivă şi tranzitiv˘a;h) de ordine totală , dacă xρx sau yρx, (∀)x, y ∈M ;i) de ordine part ¸ială , dacă nu este total ă;e ) de echivalent ¸ă , dacă este reexivă, simetric ă şi tranzitiv˘a.1.7 Denit ¸ie. Submulţ imea: ρa = {x ∈ M |zρa} se numeşte clas ă deechivalent ¸ ă a elemntului a ∈ M, faţă de relaţia de echivalenţ ă ρ din M,sau clasa de echivalent ¸̆ a elementului a modulo ρ.1.8 Teoremă. Fie ρ o relat ¸ie de echivalent ̧̆ a pe M = φ. Atunci :

ρx = ρy ⇔xρy.Demonstrat ̧ie : ⇒ evident.

⇐ e a∈ρx ⇒aρxdar xρy ⇒

a

∈

ρy

⇒ρx

⊂ρy.

Analog se găseşte ρy ⊂ρx . Şi apoi este clar că ρx = ρy .1.9 Denit ¸ie. Fie M = φ şi ρ o relaţie de echivalenţ ă pe M faţă de ρ senumeşte mult¸imea factor (mulţ imea cât) a mult ¸imii M faţă de relaţia ρ şi se

noteaz ă M/ρ.1.10 Teorem˘ a. Fie M = φ şi ρ o relat ¸ie de echivalent ̧̆ a pe M. Atunci avem :1) M/ρ ⊂P (M )2) M/ρ este o partit ̧ie pentru M (M =

∪a

∈S ρ

ρa , unde S ρ face parte dintr-osingur˘ a clas˘ a de echivalent ¸̆ a).

Demonstrat ̧ie. 1) evident2) ρa ∩ρb = φ (∀)a, b∈M cu a = b (exerciţiu). M = ∪a∈S ρ ρa (evident).1.11 Denit ¸ie. O mulţime A = φ, pe care s-a denit o relaţie de ordine

notat ă de regulă ≤ se numeşte mult ̧ime ordonat˘ a sau lanţ şi se noteaz ă(A, ≤). Dacă relaţ ia este de ordine totală (part ¸ial ă) atunci mulţ imea A estetotal (part i̧al) ordonat̆a . Orice submulţ ime A ⊆A, A mulţime ordonată,atunci A u relaţia indus ă de ≤ este o mulţime ordonat˘a.


16/205


1.12 Exemple: 1) Fie T

= φ. (

P (T ),

⊆

) este o mulţime ordonat˘a. DacăT are cel puţin două elemente, atunci ( P (T ),⊂) nu este mulţ ime total ordo-nat ă;

2) (N, ≤) este total ordonat˘a (n ≤m :⇔(∃) p∈N cu n + p = m);3) (Q , ≤) este total ordonat˘a

mn ≤

pq

:⇔mq ≤np1.13 Denit ¸ie. Fie M = φ, (M, ≤) - mulţime ordonat ă şi X ⊂M.1) Un element a ∈ M este un minorant al mult ¸imii X dacă a ≤x, (∀)x∈X.

Un element b ∈ M este un majorant al mult ¸imii X dacă a ≤b, (∀

)x

∈

X.2) O mulţime care posed ă majorant ¸i şi minorant i̧ se numeşte mărgi-

nită .3) Un minorant (respectiv majorant) al mult ¸imii X care aparţ ine lui X

se numeşte prim element , cel mai mic element sau minim (respectivultim element , cel mai mare element sau maxim ) al lui X şi se noteazăcu min A (respectiv max A).

4) Cel mai mic majorant (respectiv cel mai mare minorant) al mult ¸imii X se numeşte margine superioară (respectiv margine inferioară a mulţimiiX şi se notează sup X şi respectiv inf X.

1.14 Denit ¸ie. O mulţime ordonat˘a (M,

≤) se numeşte latice, dac˘a

pentru orice dou ă elemente a, b ∈ X există max{a, b} şi min{a, b}. O laticese numeşte complet˘a dacă orice submulţ ime nevid ă a sa are superior şi inferiorı̂n X. O mulţime ordonată ( A, ≤) se zice inductivă dacă orice submult¸ime asa total ordonat˘a are un majorant.

1.5 Monotonia funct ¸iilor şi a şirurilor

1.15 Denit ¸ie. Fie (A,

≤), (B,

≤) două mulţ imi ordonate. O aplicat¸ie

f : A −→ B se zice crescătoare dac ă (∀) x, y ∈ A cu x ≤ y ⇒ f (x) ≤f (y); f se zice strict crescătoare (izoton ă) dac ă (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒f (x) < f (y); f se zice descrescătoare dac ă (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒ f (y) ≤f (x); f se zice strict descrescătoare dac ă (∀) x, y ∈ A cu x < y ⇒ f (y)


17/205

1.6. Mulţ imea numerelor reale 17

Şirul

{xn

}n≥0 se numeşte cresc ător (respectiv descrescător) dac˘ a şi nu-

mai dacă funcţia sa generatoare este cresc ătoare (respectiv descresc˘atoare).Astfel spus avem:

Şirul {xn}n≥0 este crescător ⇔xn ≤xn +1 , (∀)n ≥0.Şirul {xn}n≥0 este descrescător ⇔xn +1 ≤xn , (∀)n ≥0.Şirul {xn}n≥0 se numeşte strict cresc ător (respectiv strict descresc˘ator)dacă şi numai dacă funct¸ia asociat ă este strict cresc ătoare (respectiv strictdescrescătoare). Astfel spus avem:

Şirul {xn}n≥0 este strict cresc ător ⇔xn < x n +1 , (∀)n ≥0.Şirul {xn}n≥0 este strict descrescător ⇔xn +1 < x n , (∀)n ≥0.1.17 Remarc˘ a. În loc de f crescătoare (respectiv descresc˘atoare) se

mai utilizează şi f monoton crescătoare (respectiv monoton descresc˘atoare).Funcţ ia f este monoton ă, dac ă f este monoton cresc ătoare sau monotondescrescătoare. Funct¸ia f este strict monoton˘a dacă f este strict cresc ătoaresau f este strict descresc ătoare. Aceleaşi observat¸ii sunt şi pentru şiruri.

1.6 Mult ¸imea numerelor reale

Mulţimea numerelor reale este mulţ imea de baz ă ı̂n ı̂ntreaga analiz˘ a mate-matic ă. Conceptul de num ăr real este cunoscut ı̂nc˘a din antichitate. Denit ¸iariguroasă a numerelor reale a fost dat˘ a abia ı̂n a doua jum˘atate a secoluluial XIX-lea de către Weiostrass, Dedekind, Cantor, Meray, etc.

Exist ă mai multe moduri de a deni mulţ imea Ranumerelorreale. Sepoate deni mulţ imea N a numerelor naturale (cu axiomele lui Peano). Cuajutorul lui N se deneşte, prin extensiune, mult¸imea Z a numerelor ı̂ntregi,care se extinde apoi la mulţ imea Q, a numerelor raţ ionale. Aşadar N⊆

Z⊆Q . Mulţimea Q, deşi este corp ordonat, este destul de sărac˘ a ı̂n propriet˘aţi.

De exemplu, ecuaţ ia x2 −2 = 0 nu are soluţii ı̂n Q. Apare deci nevoia dea extinde, ı̂n continuare şi mult ¸imea Q. Acest lucru poate realizat ı̂n maimulte moduri:

- cu a jutorul şirurilor Cauchy de numere rat ¸ionale (construct¸ia lui Cantor) ∗- cu ajutorul t ăieturilor (construct¸ia lui Dedekind)∗∗- cu ajutorul fracţ iilor zecimale etc ...∗∗∗De ecare dată se obţ ine un corp complet ordonat K, K ⊇ Q. Cel maimic dintre aceste corpuri este corpul numerelor reale notat R. Aceasta este

calea natural˘a de a deni mulţimea R.Exist ă, ı̂ns ă, un procedeu de denire a mulţ imii R, mai puţ in natural,

dar mai economic şi mai uşor de reţ inut. Se va deni ı̂nc˘a de la ı̂nceputmulţ imea R a numerelor reale ca ind un corp complet ordonat K, deci o


18/205


mulţ ime abstract˘a ı̂nzestrat˘ a cu anumite propriet˘aţi (axiome), dup ă care vomdeni pe N, Z şi Q ca ind submulţ imi particulare ale lui R.

Prin urmare primul procedeu are la bază armat ¸ia: Exist ă o mulţime denumere naturale (denit˘ a cu axiomele lui Peano) , iar al doilea procedeu arela bază armaţ ia: Exist ă un corp complet ordonat . Din punct de vederematematic cele dou ă armaţ ii sunt echivalente.

1.18 Denit ¸ie. O mulţime nevid ă K pe care s-au denit două legi decompoziţie ,,+” şi ,, ·”, şi relaţ ia binar ă ≤, având propriet˘aţile:a) (K, + , ·) corp comutativ;b) (K, ≤) este mulţime total ordonată;

c) x, y

∈K şi x

≤y

⇒ x + z ≤y + z, (∀)z ∈K ;xz ≤yz, (∀)z ∈K cu z ≥OK .

(aceast ă

condiţ ie arat ă compatibilitatea ı̂ntre structura algebric˘ a a lui K şi relaţ ia deordine pe K ), se numeşte corp ordonat şi se notează (K, + , ·, ≤).1.19 Denit ¸ie. Un corp ordonat ( K, + , ·, ≤) ı̂n care (∀) submulţ ime= φ,majorat ă a sa posedă margine superioar ă (i. e. (∀)φ = A ⊆ K, A majorat ă⇒(∃sup A)) se numeşte corp complet ordonat .Într-un corp complet ordonat K , Orice submult ̧ime minorat˘ a a lui K are margine inferioar˘ a.

1.20 Denit ¸ie. Un corp complet ordonat se numeşte sistem (corp) denumere reale şi se notează cu R; un element x ∈ R se numeşte num˘arreal .

1.21 Denit ¸ie. Mult ¸imea numerelor naturale este cea mai micăsubmulţ ime N ⊆ R cu: 0 ∈ N; (∀)x ∈ N ⇒ 1 + x ∈ N. Mulţimea Z :=N∪ (−N∗) se numeşte mulţ imea numerelor ı̂ntregi , iar mulţ imea Q =mn

;m, n ∈Z , n = 0 se numeşte mulţ imea numerelor rat ¸ionale . R \ Qse numeşte mulţ imea numerelor irat ¸ionale .

Reguli de calcul pe R. x −y := x + ( −y); xy

:= x ·y−1, y = 0 .Notaţ iiR+ := {x∈R|x ≥0} mulţimea numerelor reale nenegative;R

− :=

{x

∈

R

|x

≤0

} mulţimea numerelor reale nepozitive;

R∗ := {x∈R|x = 0}; mulţimea numerelor reale negative.Intervale[a, b] := {x∈R|a ≤x ≤b} interval ı̂nchis cu extremităt ¸ile a şi b.(a, b) := {x∈R|a < x < b } interval deschis cu extremit˘aţile a şi b.[a, b) := {x∈R|a ≤x < b} intervale semideschise.(a, b] := {x∈R|a < x ≤b} intervale semideschise.[a, −∞) := {x∈R|x ≥a}.(a, −∞) := {x∈R|x ≥a}.(−∞, a] := {x∈R|x ≤0}.


19/205


(

−∞, a) :=

{x

∈R

|x

≤0

}.

P + r > 0, I (x, r ) = ( x −r, x + 2) se numeşte interval centrat ı̂n x.1.22 Denit ¸ie. Pentru orice interval I cu originea ı̂n a şi extremitateab, numărul b−a numeşte lungimea intervalului I şi se notează (I ), adică(I ) = b−a.1.23 Denit ¸ie. Funcţ ia | · |: R −→R+ , |x| := max {x, −x}|x| =

−x, x < 0;0, x = 0;x, x > 0

se numeşte funcţ ia modul (norm˘a).

Propriet˘aţi:

m1 |x| ≥0, (∀) x∈R .|x| = 0⇔x = 0.m2 |x + y| ≤ |x|+ |y|, (∀)x, y ∈R .m3 |xy| ≤ |x| · |y|, (∀)x, y ∈R

Prin inducţ ie se poate verica uşor c ăn

∑i=1 ≤n

∑i=1 |x i|1.24 Denit ¸ie. Funcţ ia d : R ×R → R+ , d(x, y) = |x −y|, (∀)(x, y) ∈R ×R se numeşte funcţ ia distant˘a (distanţ a euclidian ă).Se verică imediat c ă au loc propriet ăţile:D1

d(x, y) ≥0, (∀) x, y ∈R .d(x, y) = 0⇔x = y.D2 d(x, y) = d(y, x ), (∀

)x, y

∈R .

D3 d(x, z ) ≤d(x, y) + d(y, z ), (∀)x,y,z ∈R1.25 Observat ¸ie. |x| = d(x, 0).1.26 Propozit ¸ie. Orice submult ̧ime B ⊂ R, minorat˘ a, are margine inferioar˘ a (adic˘ a exist˘ a inf B).Demonstrat ̧ie. Mulţimea −B := {−x|x ∈ B} = {x|x ∈ B} va majorat ă deci există sup(−B) (adic ă are margine superioar ă) şi cum inf B =

−sup(−B) (se verică uşor) avem c˘a exist ă inf B.1.27 Observat ¸ie. Fie A⊂R şi m = inf A, M= sup A. Pentru m avempropriet ăţile:1) m

≤x, (

∀

)x

∈A (adică m este minorant pe A);

2) (∀)ε > 0, (∃)y ∈ A astfel ı̂nc ât m ≤ y < m + ε. (m este cel mai mareminorant).Pentru M, avem propriet ăţile:1) M ≥ x, (∀)x∈A (adică M este majorant pentru A);2) (∀)ε > 0, (∃)y ∈A astfel ı̂nc ât M−ε < y ≤ M (M este cel mai micmajorant).1.28 Teoremă. (∀)x, y ∈R , x > 0, (∃)n ∈N∗, nx ≥y.Demonstrat ̧ie. Presupunem prin reducere la absurd c˘a (∀), n ∈ N∗,nx < y. Atunci submult¸imea A = {0, x, 2x, 3x, ...} al lui R ar majorat ă de


20/205


y şi indcă R este un corp complet ordonat

∃ ξ = sup A. Din proprietatea

lui sup menţionată mai sus avem că pentru ε = x există puncte din A ı̂nintervalul ( ξ −x, ξ ]. Deci (∃) p ≥ 1 a. ı̂. ξ −x < px ≤ ξ ⇒ ξ < ( p + 1) x.Aceast ă inegalitate este fals ă, căci ξ = sup A şi ( p + 1) x ∈ A. Prin urmarepresupunerea f ăcut ă este falsă. Deci teorema este demonstrat˘a.

Teorema se numeşte proprietatea lui Arhimede. O alt˘ a formă a pri-priet ăţ ii lui Arhimede este dat˘a de Corolar 1.

1.29 Corolar 1. Pentru ∀y ∈R , ∃n0 ∈Z a. ı̂. n0 y < n 0 + 1 (Altfel:Orice număr real este cuprins ı̂ntre dou˘a numere ı̂ntregi consecutive)Demonstrat ̧ie. Fie y ∈R . Cazul 1. Conform cu proprietatea lui Arhimedepentru x = 1 şi y, (

∃

)n

∈ N şi r

·1

≥ y. Fie p cel mai mic n cu această pro-

prietate (∃?) da pentru c ă n este dat, proprietatea lui Arhimede este fals˘ a.Dacă y ∈N, n0 = y. Dacă y ∈N, n0 = p −1 şi ⇒ c.c.t.d.Cazul 2. y < 0 ⇒ −y > 0 şi conform cu cazul 1 ∃ q ∈ N a. ı̂.q ≤ −y < q + 1⇒−q −1 < y ≤ −q.1.30 Corolar 2. Fie a∈R , a ≥0 xat. Dac ă pentru (∀) ε > 0, raţ ionalavem a < ε, atunci, ı̂n mod necesar, a = 0.Demonstrat ̧ie. Dacă a > 0, se aplică teorema de mai sus, pentru x = a >

0 şi y = 1. deci (∃) n ∈ N∗ a. ı̂. na ≥ 1. Conform ipotezei corolarului avempentru ε =

12n

, a < 12n ⇒ na <

12

. Deci a > 0 nu se poate. Prin urmare

a = 0.1.31 Corolar 3. (Lema de densitate a lui Q ı̂n R) (∀) a, b ∈ R (a


21/205


Sit. 4. a

∈ Q şi b

∈ R

\Q . x = b−a,

y = 1, ⇒ ∃ n

∈ N a.̂ı. n(b

−a)

≥1⇒a < b − 1n

< b.1.32 Teoremă. (lema intervalelor incluse ). Fie I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ ... ⊃I n ⊃ ... un şir descresc˘ ator de intervale ı̂nchise şi mărginite ı̂n R, I n =[an , bn ], n ≥0. Atunci intersect ̧ia ∩n≥0 I n = φ.Demonstrat ̧ie. Aşadar, au loc inegalit˘aţile.

A = {a0, a1, a2,...,a p,...} şi B = {b0, b1, b2,...,b p,...}.

Cum b0 este majorant pentru A şi a0 minorant pentru B, există ξ = sup Aşi η = inf B. Deoarece a p ≤bq (∀) p, q ≥0⇒ξ ≤bq (∀) q ≥0⇒ξ ≤η.

Vom dovedi c ă ∩I n are cel puţin un element. Fie t ∈ [ξ, η]. Atuncian ≤ξ ≤η ≤bn , (∀) n ≥0, deci t∈I n , (∀) n ≥0⇒t∈I n . deci ∩n≥0 I n = φ.1.33 Observat ¸ie. 1) Este esenţial ă condiţia ca I n să e ı̂nchis (∀) n ≥0.Dacă I n = 0,

1n

avem I n ⊃I n +1 (∀) n ≥1 şi totuşi ∩n≥0 I n = φ.2) În teorema de mai sus, cum (I n ) ≥ 0 (∀) n ≥ 0, avem (∃) inf (I n ).Dacă introducem ipoteza suplimentar˘ a că inf (I n ) = 0 , atunci ∩n

≥0

I n are un

singur element. Într-adev˘ar dac ă ar c şi c ∈ ∩n≥0 I n , atunci am avea c ă|c −c | ≤ (I n ) oricare n ≥ 0. În conformitate cu ultimul corolar |c −c | =0⇒c = c .Dreapta reală, biject ¸ia lui Descartes: Fiind dat ă o dreaptă d pe care

s-a ales o origine O, un sens de parcurgere pozitiv şi o unitate de lungime, sestabileşte o concordant¸ă µ : G −→R (G - mulţimea punctelor de pe dreapt˘a)bijectiv ă (numit ă bijecţia lui Descartés) prin care oric˘arui punct P ∈ G i seasociază un num˘ar real x, numit abscisa lui P. Deci µ(P ) = x. Convenindsă spunem c ă sensul pozitiv pe d este de la stânga la dreapta, pe G se poatestabili o relaţ ie de ordine astfel: P < Q :⇔ P la stânga lui Q. Bijecţiaµ păstreaz ă ordinea adic ă P < Q ⇔ µ(P ) < µ(Q). Dacă P şi Q sunt dou ăpuncte de abscise, respectiv x şi y, d(P, Q ) = d(x, y) = |x−y|; d(P, O ) = |X |.Punctele aate la stˆanga originii au abscise negative. Prin aceast˘a bijecţie,de o importanţă unicial̆ a pentru analiz˘a şi geometrie, punctele se identicăprin numere şi invers.

Dreapta real̆aı̂ncheiată: Unul dintre conceptele cu care opereaz ă anal-iza matematic˘a este acela de innit. Vom ad ăuga mulţ imii numerelor realedacă noi elemente care vor juca rolul elementelor de la innit .


22/205


1.34 Denit ¸ie. Mulţimea R = R

∪{−∞}∪{+

∞} se numeşte dreapta

reală ı̂ncheiat˘ a dacă elementele −∞̧si + ∞nu aparţ in lui R şi sunt satisf ăcuteurmătoarele condiţ ii:1.35 Terminologie: (∀) x∈R se numeşte număr real nit.Elementul ( −∞)∈R se numeşte minus innit.Elementul (+ ∞)∈R se numeşte plus innit.1) −∞< a < + ∞ (∀) a∈R ;2) a + ∞= + ∞+ a = + ∞, (∀) a∈R ;3) a + ( −∞) = ( −∞) + a = −∞, (∀) a∈R ;4) +∞ ·a =

+∞, dacă a > 0 ı̂n R−∞, dacă a < 0 ı̂n R

(= a ·(+ ∞));5) (−∞) ·a = +∞, dacă a < 0 ı̂n R−∞, dacă a > 0 ı̂n R

(= a ·(−∞));Nu se pot deni + ∞+ ( −∞); 0 · ∞; 0 ·(−∞); ∞∞

, etc.

1.36 Observat ¸ie. 1) În mulţ imea R se denesc intervalele ca ı̂n mult¸imeaR . Să remarcăm egalit˘aţile: R = ( −∞, + ∞); R = [−∞, + ∞];2) P ăstr ând ordinea de pe R, mulţimea R făr ă ca operaţ iile algebrice săe peste tot denite.

1.7 Mult ¸imea numerelor complexe

Consider ăm produsul cartezian R×R pe care denim operaţ iile de adunareşi ı̂nmult¸ire astfel:(x1, y1) + ( x2, y2) := ( x1 + x2, y1 + y2)(x1, y1) ·(x2, y2) := ( x1 ·x2 −y1 ·y2, x1 ·y2 + x2 ·y1)

În raport cu aceste operat¸ii R × R este corp comutativ numit corpulnumerelor complexe, notat prin C. Orice element al lui C se numeşte num ărcomplex.

deoarece corpul (R , + , ·) este izomorf cu subcorpul (R ×{0}, + , ·) al cor-pului numerelor complexe (se va deni f : R −→ R × {0}, f (x) = ( x, 0)).Prin urmare num˘arul real x se poate identica cu num ărul complex (x, 0)şi invers. Aşadar se poate scrie ( x, 0) = x. Notând i = (0 , 1), orice numărcomplex z = ( x, y) se poate scrie z = ( x, 0)+( y, 0) = x+ iy. Deci orice numărcomplex z admite reprezentarea z = x + iy; x se numeşte partea real˘a a luiz şi se notează Rez şi se citeşte real de z ; iy se numeşte parte imaginar˘aa la z, iar y se numeşte coecientul p ărţ ii imaginare şi se noteaz ă Imz carese citeşte imaginar de z . Două numere complexe z şi z sunt egale dacă şi


23/205

1.7. Mulţ imea numerelor complexe 23

numai dac ă Rez = Rez şi Imz = Imz . Prin calcul se găseşte c˘a i2 =

−1 sau

i = √ −1 (uneori pentru evitarea unor confuzii √ −1 not= j ). Dacă z = x + iy,numărul complex z = x − iy se numȩste conjugatul complex al lui z. Severică uşor că:1. z = z 4.

1z

2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 5. x = Rez = 12

(z + z )

3. z 1 ·z 2 = z 1 ·z 2 6. y = Imz = 12i

(z −z ).Numerele reale ind reprezentate geometric pe o ax˘a, numerele complexe

se reprezint ă ı̂n plan folosind un sistem de axe rectangulare.Punctul P (x, y) se numeşte imaginea geometric˘a a numărului complex

z = z + iy, iar numărul complex z = z + iy se numeşte axal punctul P (x, y).Între mulţ imea numerelor complexe C şi punctele din plan exist˘a o bijecţie şide aceea punctele din plan se vor identica numerele complexe. Deci ı̂n loc s˘azicem punctul P (x, y), spunem punctul z = ( x, y). Unghiul ϕ pe care ı̂l facesemiaxa pozitiv ă Ox cu semidreapta care uneşte punctul (0,0) cu punctul(x, y) = (0 , 0) se numeşte argumentul num˘ arului complex z = ( x, y), iarnumărul real pozitiv |z | =

√ x2 + y2 se numeşte modulul num˘arului complex

z. Cum x =

|z

|cosϕ∗ şi y =

|z

|sinϕ∗ avem că z =

|z

|(cosϕ∗ + i sinϕ∗) ceea

ce constituie forma trigonometric˘a a numărului complex z, unde ϕ∗ = argz ∈[0, 2π) numit argumentul redus al num˘ arului complex. ϕ∗ = arctan yx

+ kπunde

k =0, dacă P ∈Cadranului I;1, dacă P ∈Cadranului II sau Cadranului III;2, dacă P ∈Cadranului IV ,

sau

ϕ∗ =

0, dacă P ∈Ox+ ;π2

, dacă P ∈Oy+ ;π, dacă P

∈Ox − ;

3π2

, dacă P ∈Oy− ,ϕ∗ se mai numeşte şi valoare principală a lui Arg z .

Numărul arg z este unic determinat.Numărul Arg z = arg z + 2 kπ |k∈Z nu este unic determinat.Propriet˘aţ i: 1) |z 1 ·z 2| = |z 1| · |z 2| şi

z 1z 2

= |z 1||z 2|

, z 2 = 0;2) x = Rez ≤ |z |, y = Im z ≤ |z |, |z | ≤ |x|+ |y| = |Rez |+ |Imz |;3) |z 1 + z 2| = |z 1|+ |z 2|; ||z 1| − |z 2||= |z 1| − |z 2| (∀) z 1, z 2 ∈C .


24/205


1.8 Numere cardinale. Mult ¸imi numărabile

1.37 Denit ¸ie. Fie T clasa tuturor mult¸imilor. Mulţ imile A, B ∈ T se zic cardinal echivalente (echipotente sau c˘a au aceeaşi putere) şi se scrieA∼B dacă exist ă o bijecţie f : A −→B (din A∼B ⇔(∃) f : A −→B).

1.38 Teoremă. Relat ̧ia de echipotent ̧̆ a este o relat ̧ie de echivalent ̧̆ a pe T.Demonstrat ̧ie. 1) ∼ este reexivă: A ∼ A, (∀)A ∈ T 1A : A →A, (1A(x) = x)2) ∼ este simetric ă: A ∼ B → B ∼ A. Dacă A ∼ B :⇔ (∃)f : A →B ind bijecţie,

⇒

(

∃

)f −1 : B

→A este bijecţie,

⇒B

∼A.

3) exerciţiu.1.39 Denit ¸ie. Orice element al mulţ imii T / ∼ se numeşte num ăr car-dinal.Cardinalul mult¸imii A se notează cardA sau |A|. În conformitate cu ces-a spus la clasele de echivalenţ ă avem că:a) card A =card B ⇔A∼B;b) card A ≤cardB ⇔(∃) B1 ⊆B astfel ı̂nc ât A∼B1.Dacă A este nit ă (innit ă) atunci card A este nit (transnit). Pentru o

mulţ ime nit ă A1, cardA = num ărul de elemente ale mulţ imii A.1.40 Denit ¸ie. O mulţime A se zice:(i) numărabil˘ a (not ăm card A = χ 0) dacă ea este cardinal echivalent˘a

cu N; deci χ 0 =card N (χ 0 se citeşte alef zero) se mai numeşte şi cardinalulnumărabilului. Spunem c ă A este de puterea num ărabilului.

(ii) cel mult num ărabil ă (notăm card A ≤ χ c sau cardA) dacă ea estenit ă sau num ărabil ă.(iii) de puterea continuului (not˘ am card A = χ c sau cardA) dacă ea este

echipotent ă cu mulţimea numerelor reale.Dacă A este innit ă, atunci χ 0 ≤cardA, adică χ 0 este primul num ărcardinal transnit.1.41 Lema 1. a) Elementele oric˘ arei mult ̧imi num˘ arabile sunt termenii

unui şir, b) Mult i̧me atermenilor unui şir este cel mult num˘ arabil˘ a.Demonstrat ̧ie. a) Fie A numărabil ă ⇒ (∃)f : N → Abij . Dar f : N → A

generează mulţ imea indexat˘a {xn |n ∈N}fb ij= A⇔ {xn}n∈N = A.

b) Fie şirul {xn}n≥0. Mulţimea termenilor şirului poate nit˘ a, innită.Dacă este innit ă, avem {x0, x1, x2,...}∼N⇒ {x0, x1,...,x n ,...}numărabil ă.1.42 Lema 2. Orice submult ̧ime A a lui N este cel mult num˘ arabil˘ a .Demonstrat ̧ie. Ideea demonstraţ iei este:1) A nită ⇒A cel mult numărabil ă.


25/205

1.8. Numere cardinale. Mult¸imi numărabile 25

2) A innit ă ⇒ (∃)a1 ∈Aa2 ∈A \ {a1}− − − − − − − − − − − − − − − − − − −an ∈A \ {a1, a2,...,a n ,...}− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

(s-a

folosit axioma lui Zermelo - axiomă a alegerii).Astfel se obţine D = {a1, a2,...,a n ,...} numărabilă.Deci D ⊆A⊂N şi cum N, D numărabile ⇒A numărabil ă.1.43 Lema 3. Fie A = φ şi B o mult ¸ime cel mult num˘ arabil˘ a. Preimag-

inile printr-o funct ̧ie f : A → B surj, a elementelor lui B constituie opropozit ¸ie pentru mult ̧imea A (obs. ı̂n loc de surj, a elementelor lui B ) sepoate lua: a elementelor lui f (A) .

Demonstrat ̧ie. (exerciţiu) (direct sau folosind relat¸ia: x∼y def

⇔ (∃) t∈Ba.̂ı. x, y ∈f (t).)1.44 Observat ¸ie. Preimaginile oric ărei două elemente din B, prin f

sunt disjuncte.1.45 Lema 4. a) Dac˘ a f : A −→N este injectiv˘ a, atunci A este cel mult num˘ arabil˘ a ;b) Dacă f : N −→B este surjectiv ă, atunci B este cel mult numărabil˘a.Demonstrat ̧ie.a) Funcţ ia f : A

−→ f (A), f 1(x) = f (x), (

∀

) x

∈ A este bijecţie. Deci

A şi f (A) au aceeaşi putere, şi cum f (A) ⊂ N, este cel mult numărabil ă(conform cu Lema 2) avem că A este cel mult numărabil ă.b) Consider ăm mulţ imea C = {ξ y|ξ y = min f (y), (∀)y ∈ B}. În confor-mitate cu observaţ ia de mai sus, avem că C are elementele diferite dou ă câte

două. Funcţ ia f 2 : C −→ B, prin f 2(ξ y1 = y) este bijecţie (rezultă din felulcum s-a denit mulţ imea C şi funcţ ia f 2.) Deci C şi B sunt echipotente. DarC ⊂N⇒C cel mult numărabil ă. Deci B este cel mult num ărabil ă.

1.46 Lema 5. Fie f : A −→B.a) Dac˘ a f injectiv˘ a şi B num˘ arabil˘ a, atunci A cel mult num˘ arabil˘ a ;b) Dacă f surjectiv ă şi A numărabil ă, atunci B cel mult numărabil ă.Demonstrat ̧ie. a) B numărabil ă ⇒ (∃) g : B −→ N bijecţie. Cum

f inj⇒ g ◦f : A −→NinjLema 4a)

=⇒ A cel mult numărabil˘a.b) A numărabil ă ⇒ (∃) h : N −→ A bijectivă. Cum f surjectiv ă ⇒

f ◦h : N −→BsurjLema 1.45b)

=⇒ B cel mult numărabil ă.1.47 Lema 6. Produsul cartezian N ×N este mult ¸ime num˘ arabil˘ a .Demonstrat ̧ie. Fie f : N ×N −→ N, f (a, b) = a +

(a + b)(a + b + 1)2

. Searat ă că f este injectiv ă şi conform cu Lema 4/a), avem N2 ×N numărabilă.


26/205


1.48 Lema 7. Dac˘ a A şi B sunt mult ̧imi num˘ arabile, atunci A

× B

num˘ arabil˘ a .Demonstrat ̧ie. Dacă A numărabil ă (∃) f : A −→ N, bijectivă. Dac˘a Bnumărabilă ( ∃) g : B −→N bijectivă. denim F : A×B −→N×N, f (a, b) =(f (a), g(b)) . Se arat ă că f este bijecţie (exerciţ iu). Deci A ×B echipotent ăcu N ×N. Şi conform cu Lema 1.47 avem că A×B este numărabil ă. A×B1.49 Teoremă. Reuniunea unei familii num˘ arabile de mult ̧imi num˘ arabile

este num˘ arabil˘ a.Demonstrat ̧ie. Fie {Ai}i∈I familia numărabil˘a de mulţimi num ărabile.Deci (∀) i∈I, (∃) ϕi : N −→Ai bijecţie. Denim ψ : N ×N −→

∪i∈I

Ai , prin

ψ(m, n ) = ϕi(m). Arăt ăm că ψ este surjecţie e y = ∪i∈I Ai ⇒ (∃) i0 ∈ I a.̂ıy ∈Ai0 şi cum ϕi0 : N −→Ai0 bij⇒ pentru y ∈Ai0 (∃) p ∈N a.̂ı. ϕi0 ( p) = y,dar ϕi0 ( p) = ψ( p, i0)⇒(∀) y ∈ ∪i∈I Ai , (∃) ( p, i0)∈N ×N a.̂ı ϕi0 ( p) = y ⇒ψsurjecţ ie ⇒. Funcţ ia f se poate deni şi astfel: f (a, b) = 2 a ·3b.

Lema 1.46b)=⇒ ∪i∈I Ai1.50 Corolar. a) Reuniune nit˘ a de mult ¸ime num˘ arabil˘ a este mult ¸imea

num˘ arabil˘ a.b) Reuniune num˘ arabil˘ a de mult ¸imi nite este cel mult num˘ arabil˘ a.

1.51 Teoremă. Mult ¸imile Z şi Q sunt num˘ arabile.Demonstrat ̧ie. Fie A = {n|n ∈ N∗} şi B = N. Se observă că Z = A∪B.Cum A şi B sunt num ărabile, conform corolarului de mai sus, avem că Z =

A∪B este numărabil ă (Denim: ϕ :N −→Z , ϕ(n) =

n2

, n par;

−n + 1

2 , n impar.

sau ψ : Z −→N, ψ(z ) = 2z, z ≥0;−2z −1, z < 0.

)

Se arată c˘a ϕ sau ψ este bijecţie şi rezult ă că Z este numărabil ă.Denim acum f : Z

×N∗

−→ Q, f (m, n ) =

m

n . Se arat ă uşor că f este

surjecţ ie. Conform cu Lema 1.48 Z ×N∗ este numărabil ă şi conform cu Lema2.46 , Q este numărabil ă.1.52 Teoremă. Mult ¸imea numerelor reale nu este num˘ arabil˘ a.Demonstrat ̧ie. Presupunem c ă este num ărabil ă. Deci

R = {x1, x2, x3,...,x n ,...}.

Şi cum orice număr real z admite o scriere zecimală z = z 0, z 1z 2z 3...z i ∈


27/205

1.8. Numere cardinale. Mult¸imi numărabile 27

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

}(

∀

) i

≥1, avem că:

x1 = a1, b11b12b13...x2 = a2, b21b22b23...x3 = a3, b31b32b33.............................

.

Consider ăm num ărul real y = 0, y1y2y3... cu yi = bi i , (∀)i ≥ 1. Cum yeste num ăr real ⇒ y ∈ {x1, x2, x3,...} ⇒ (∃) p ≥ 1 şi y = x p. Dacă y = x p,va trebui ca zecimalele de pe locul p să e egale, adică y p = bbb, contradicţ iecu .... lui y. Dacă exist ă un num ăr real y ∈ {x1, x2, x3,...}. Prin urmare Rnu este num ărabil ă.

1.53 Corolar. a) Orice interval (α, β ), α < β, nu este mult ̧ime num˘ arabil˘ a ;b) R \ Q nu este mult ¸ime num˘ arabil˘ a.Demonstrat ̧ie. a) f : (α, β ) −→R , f (x) =

1x −α

+ 1x −β

este bijecţie;

b) R = Q∪(R \ Q).Dacă R \ Q numărabil ă ⇒ Q ∪ (R \ Q ) numărabil ă ⇒ R numărabilă,contradicţ ie. Deci R \ Q nu este numărabil˘ a.1.54 Observat ¸ie. Q numărabil˘a şi R\Q nenumărabil ă⇒cardQ < card( R\Q), există mai puţ ine numere raţ ionale decât numere iraţ ionale.


28/205



29/205

Capitolul 2

Structuri fundamentale ale

analizei matematice

Vom prezenta ı̂n acest paragraf cˆateva noţ iuni de baz ă privind spaţ iiletopologice, spaţ iile metrice şi vom deni spaţ ii Banach.

2.1 Spat¸ii topologice

Spaţ iul topologic este unul din cele mai simple spaţ ii ı̂n care se pot deninoţiunile de convergenţ ă a unui şir, de limită şi de continuitate a unei funct ¸ii.

2.1.1 Denit ¸ii. Exemple

2.1 Denit ¸ie. Fie X = φ. Spunem că τ ⊆ P (X ),este o topologie pe X dacă:(t1) φ, X

∈τ,

(t2) (Dα )α∈Λ ⊂ τ ⇒ ∪α∈Λ Dα ∈ τ , unde Λ este o familie oarecare de indici(i.e. Λ este o mulţime cel mult num ărabil ă sau nenumarabil˘a),(t3) D1, D 2 ∈τ ⇒D1 ∩D2 ∈τ.Perechea ( X, τ ) se numeşte spat ̧iu topologic , iar elementele lui τ se

numesc mult ̧imi deschise ale lui X ı̂n raport cu topologia τ.Axiomele (t2) şi (t3) arat ă că τ este ı̂nchisă la reuniune oarecare, respectiv

ı̂nchis ă la intersecţ ie nit ă.Topologia τ ı̂nzestreaz ă pe X cu structur ă topologică.

29


30/205

30 Capitolul 2. Structuri fundamentale ale analizei matematice

2.2 Denit ¸ie . Fie (X, τ ) un spaţ iu topologic. O mulţ ime F

⊂ X se

numeşte ı̂nchis ̆ a dacă C F este deschisă. O mulţ ime V ⊂ X se numeştevecin˘ atate a lui a∈X dacă exist ă D ∈τ astfel ı̂nc ât a∈D ⊂V.Evident că, ı̂ntr-un spat ¸iu topologic X, vecinătatea unui punct poate mulţ ime deschis ă sau mulţ ime ı̂nchis˘a şi că o mulţ ime D ⊂ X este deschisă(i.e D ∈τ ) dacă şi numai dacă este vecin˘atate pentru oricare dintre punctelesale.

În cele ce urmează vom nota V (a) mulţ imea vecin ăt ăţ ilor lui a şi V̇ mulţ imea V \ {a}, dacă V ∈ V (a). V̇ se numeşte vecin˘ atate punctat˘ a a lui a.2.3 Exemple . 1◦. X = R este spaţiu topologic ı̂n raport cu o topologie

notat˘a τ R şi numit̆ a topologia uzual˘ a a lui R . Denim mai ı̂ntˆai elementelelui τ R (i.e. mulţimile deschise ale lui R ) şi apoi ar ăt ăm că τ R este o topologiepe R .

2.4 Denit ¸ie. O mulţime D ⊂ R este deschisă (şi not ăm D ∈ Des R )dacă:∀x ∈D,∃)r > 0a. ı̂ .(x −r, x + r )⊂D.

Vom nota I (x, r ) = ( x −r, x + r) şi citim interval deschis de centru x şirază r > 0 sau interval centrat ı̂n x de raz˘a r. Aici noţiunea de raz ă esteimproprie, dar se p ăstreaz ă denumirea specic ă spaţ iului metric.

2.5 Lemă. (R , τ R ) este spaţ iu topologic, unde τ R =

{D

⊂ R

|D

∈desR}∪∅.Demonstrat ̧ie (exerciţiu).2◦. X = R este spaţ iu topologic ı̂n raport cu topologia uzual˘ a τ R care se va

deni ca o extindere a lui τ R . Consider ăm mai ı̂ntˆai V (−∞) = {[−∞, x)|x∈R}, V (+ ∞) = {(y, + ∞]|y ∈R}, mulţimea vecin ăt ăţ ilor lui −∞ şi respectiv+ ∞ şi apoi se procedează ca ı̂n exemplul 1.3, dup ă cum urmeaz ă.2.6 Denit ¸ie. O mulţime D ⊂R este deschisă dacă are forma D = A∪Bunde A∈τ R şi B ∈ {φ, [−∞, x), (y, + ∞]|x, y ∈R}.2.7 Lemă. (R , τ R ) este spat ¸iu topologic unde τ R = A⊂R |A∈Des R .Demonstrat ̧ie (exerciţiu).3◦.X = C2.8 Propozit ¸ie . Dacă (X, τ ) spaţiu topologic şi b∈X, avem:(1) U, V ∈V (b) şi V ∩U ∈V (b);(2) U ∈V (b) şi V ⊃U ⇒V ∈V (b).Demonstrat ̧ie : (1) U ∈ V (b) ⇒ ∃D1 ∈ τ cu b ∈ D1 ⊂ U şi la felV ∈ V (b) ⇒ ∃D2 ∈ τ cu b ∈ D2 ⊂ V. De aici rezultă că D1 ∩D2 ∈ τ şib∈D1 ∩D2 ⊂U ∩V. Deci U ∩V ∈V (b).(2) U ∈V (b)⇒∃D ∈τ cu b∈D ⊂U. Şi cum U ⊂V, rezult ă că ∃D ∈τ cu b∈D ⊂V. Deci V ∈V (b).


31/205

2.1. Spaţ ii topologice 31

2.9 Denit ¸ie. Un spaţiu topologic (X, τ ) se numeşte spat ̧iu separat ı̂n sens Hausdorf) dac˘a ∀x, y ∈ X cu x = y, ∃U ∈ V (x) şi V ∈ V (y) a.̂ı.U ∩V = φ.

2.1.2 Analiza topologică a unei mult ¸imi

În aceast ă secţiune vom prezenta principalele puncte şi mult ¸imi de puncteimportante ı̂ntr-un spat ¸iu topologic X.

Fie (X, τ ) spaţiu topologic şi A⊂X.2.10 Denit ¸ie . Spunem că b

∈ A este punct interior al lui A dacă

A∈V (b) (i.e. b este punct interior al lui A dacă există D ∈τ a.̂ı. b∈D ⊂A).Mulţimea ◦A = {x∈X |x punct interior lui A } (notat ă uneori şi cu Int A) senumeşte mult ̧imea punctelor interioare lui A .

Dacă A = (2 , 5] atunci ◦A = (2 , 5), iar dacă A = {1, 2, 3, . . .}⇒◦A = φ.2.11 Denit ¸ie . Spunem că b ∈ X este punct exterior al lui A dacă

b ∈◦

CA. Mulţimea, ExtA = {t ∈ X |t este exterior mulţ imii A}, se numeştemult ̧imea punctelor exterioare mult ¸imii A sau exteriorul mult ¸imii A.

Pentru A = (−∞, 3)∪[5, 7) ⊂ R , ExtA = (3 , 5)∪(7, + ∞),, iar pentruA = {1, 3}, ExtA = (−∞, 1)∪(1, 3)∪(3, + ∞).2.12 Denit ¸ie . Spunem că b ∈ X este punct frontier˘ a al lui A dacă

b /∈◦A ∪ ExtA (i.e. punctul frontier̆ a nu este nici interior, nici exterior).Mulţimea, ∂A = {t∈X |t punct frontier ă a lui A} (notat ă uneori şi cu Fr Ase numeşte frontiera mult ¸imii A.

Pentru A = (−∞, 1)∪(1, 3)∪(5, 7) ⊂ R ⇒ ∂A = {1, 3, 5, 7}, iar dacăA⊂R , atunci ∂A = {−∞, 1, 3, 5, 7}. Pentru A = {1, 3}⇒∂A = A.2.13 Denit ¸ie . Spunem că b ∈ X este punct de acumulare (saupunct limit˘ a ) al mulţimii A dacă A

∩ V̇

= φ,

∀V

∈ V (b). Mulţimea A =

{t ∈ X |t punct de acumulare al lui A} se numeşte mult ̧imea punctelor de acumulare ale lui A.2.14 Denit ¸ie. Spunem că b ∈ X este punct izolat al lui A dacă

∃V ∈ V (b) a.̂ı. V̇ ∩ = φ. Mulţimea izol A = {t ∈ X |t punct izolat al lui A}se numeşte mult ̧imea punctelor izolate ale lui A .Se observă că izol A ⊂ A.2.15 Denit ¸ie . Spunem că b ∈ X este punct aderent al mulţimii Adacă A∩V = φ, ∀V ∈V (b). Mulţimea Ā = {x∈X |x punct aderent al lui A}se numeşte mult ̧imea punctelor aderente ale mulţimii A.


32/205


2.16 Observat ¸ie. ∂A = Ā

∩ ¯

CA. Această relaţ ie foloseşte uneori ca

deniţ ie a frontierei lui A.Dacă A = {1, 2, 3}∪[4, 7)⊂R , atunci Ā = {1, 2, 3}∪[4, 7], A = [4, 7] şiizol A = {1, 2, 3}.Din acest exemplu se observ ă că: A⊆

Ā, A ⊂A şi A ⊆ Ā.2.17 Denit ¸ie. Fie (X, τ ) spaţ iu topologic. Mulţ imea G ⊂X se numeştecompact˘ a dacă ı̂n orice acoperire cu deschişi a lui G (o familie (Ai)i∈I ⊂P (X ) este acoperire a lui G, dacă G ⊂ ∪i∈I Ai), există o subacoperire nit ăa sa.

Vom nota K(X ) = {G⊂X |G compact ă}. De exmplu, ı̂n spţ iu topologic(R , τ R ), elementele lui K

(R ) sunt intervale ı̂nchise sau reuniuni de intervaleı̂nchise.

2.1.3 Convergent ¸̆a şi continuitate ı̂n spat ¸ii topologice

2.18 Denit ¸ie . Fie X = φ. O funcţie f : Nk → X unde Nk = {n ∈N |n ≥ k}, k ind un număr natural xat (̂ın mod uzual k ∈ {0, 1}), senumeşte şir cu elemente din X şi se noteaz ă (an )n≥k . Pentru c ă an ∈X,∀n ≥ k vom scrie (an )n≥k ⊂ X. Când k este sub̂ınţ eles se scrie simplu (an )nşi respectiv (a n )n

⊂ X.

Pentru un şir ( an )n≥1, an se numeşte termenul general al şirului ,iar A = {a1, . . . , a n , . . .} mult ̧imea termenilor s˘ ai, care este diferit˘ a de mult ̧imea valorilor termenilor s˘ ai .

Dacă n0 < n 1 < . . . < n k < . . . , atunci şirul ( an k )k≥0 se numeşte subşir al şirului (an )n .

Dacă nk = k, ∀k ∈N , atunci subşirul ( an k )k coincide cu şirul (an )n .2.19 Denit ¸ie . Fie (X, τ ) spaţiu topologic. Şirul ( xn )n ⊂ X este con-vergent ı̂n X (sau ı̂n raport cu topologia τ ) dacă ∃a∈X cu proprietatea:

∀V ∈V (a), ∃nV ∈N a. ı̂. xn ∈V, ∀n ≥nV . (2.1)Relaţ ia (2.1) este echivalent˘a cu: şirul (xn )n este convergent către a şi

scriem xn →a sau că are limita a (şi scriem a = limn→∞xn ).Numărul a se numeşte limita şirului (xn )n iar numărul natural nV reprezint ă pragul de la careı̂ncolo toţ i termenii şirului se g ăsesc ı̂n vecin ătateaV. Vom nota, de asemenea, CX mulţimea şirurilor convergente ı̂n X.

Un şir care nu este convergent ı̂n X se numeşte şir divergent . Deci,şirul ( xn )n este divergent ı̂n X dacă nici un element al lui X nu este limitasa.


33/205

2.1. Spaţ ii topologice 33

2.20 Propozit ¸ie. În orice spaţiu topologic separat limita unui şir, dac˘ aexist ă, este unic ă.

Demonstrat ̧ie . Presupunem c ă ∃(xn )n ⊂ X care are două limite. Deci∃a, b ∈ X cu a = b a.̂ı. xn → a şi xn → b. Pentru c ă a = b, rezult ă că∃U ∈ V (a) şi V ∈ V (b) a.̂ı. U ∩V = φ. Din convergenţa şirului ( xn )n cătrea şi b rezult ă că exist ă na şi nb ∈N a.̂ı. xn ∈U ∀n ≥na şi xn ∈V, ∀n ≥nb.Deci xn ∈U ∩V, ∀n ≥max( na , n b). Contradicţ ie cu U ∩V = φ.2.21 Denit ¸ie . Fie (X, τ ) şi (Y, ρ) spaţii topologice şi f : A⊂X →Y.(1) Spunem c ă f are limita λ ∈ Y ı̂n punctul x0 ∈ A şi scriemλ = lim

x→x0f (x) dacă ∀V ∈V (λ), ∃U ∈V (x0) a.̂ı. f (x)∈V, ∀x ∈ U̇ ∩A. Cele

spuse aici se pot schiţa astfel:

Dacă spaţ iu metric ( Y, ρ) este separat, atunci limita funct ¸iei f ı̂n x0 esteunică (exerciţiu).

(2) Spunem că f este continu˘ a ı̂n x0 ∈ A dacă ∀V ∈ V (f (x0)) , ∃U ∈V (x0) a.̂ı. f (U )⊂V.

Precizaţ i deosebirea şi asem ănarea dintre punctele (1) şi (2) ale Denit ¸iei2.21.

Se observă că f este continu ăı̂n x0 ∈A dacă x0 ∈izol A şi dac ă limx→x0 f (x) =f (x0) când x0 ∈ A ∩A. Dacă f nu este continu ă ı̂n x0 ∈ A, spunem că f este discontiu˘ a ı̂n x0.

(3) Spunem că f este continu˘ a pe A dacă f este continuă ı̂n

∀ x0

∈A.

Prezent ăm făr ă demonstraţ ie urm ătoarea teoremă de caracterizare a funct ¸iilorcontinue.

2.22 Teoremă . Fie (X, τ ), (Y, ρ) spat ¸ii topologice şi funt ̧ia f : X → Y.Urm˘ atoarele armat ̧ ii sunt echivalente:(1) f continu˘ a pe X ;(2) ∀ D ∈ des(Y ) ⇒ f −1(D) ∈ des(X ) (i. e. imaginea reciproc˘ a a oric˘ arui deschis din Y este un deschis din X );(3)∀F ρ -ı̂nchis ⇒f −1(F ) τ -ı̂nchis (i. e. imaginea reciproc˘ a a oric˘ arui ı̂nchis din Y este un ı̂nschis din X ).


34/205


2.2 Spat¸ii metrice

2.2.1 Denit ¸ii. Exemple

2.23 Denit ¸ie. Fie X o mulţime nevidă. Orice aplicat¸ie

d : X ×X →R +cu propriet ăţ ile urm ătoare:

(m1)d(x, y) = 0⇔x = y(m2)d(x, y) = d(y, x),

∀x, y

∈X ;

(m3)d(x, z ) ≤ d(x, y) + d(y, z ), ∀x,y,z ∈ X ; se numeşte distant ¸̆ a saumetric˘ a ı̂n X.Perechea ( X, d ) se numeşte spat ̧iu metric .2.24 Exemple : 1◦ X = R şi d(x, y) = |x −y|. Este uşor de vericat c ăd este o metrică (se aplică proprietăt ¸ile modulului).2◦ X = R n şi d(x, y) = √ (x1 −y1)2 + ( x2 −y2)2 + ... + ( xn −yn )2 ∀x =(x1, . . . , x n ) şi y = ( y1, . . . , yn )∈R n .Arătăm c˘ a d este o metrică pe R n . Condiţiile (m1) şi (m2) sunt evidente.

În ceea ce priveşte axioma ( m3) (numit ă şi inegalitatea triunghiului), vomfolosi inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz

n

i=1

a ibi)2

≤n

i=1

a2in

i=1

b2i . (2.2)

Vom lua ı̂n (2)xi −yi = ai şi yi −z i = bi

de undex i −z i = a i + bi i = 1, n.

Cu aceste preciz ări, avem:

d2(x, z ) = n∑i=1 (xi −z i)2 = n∑i=1 (a i + bi)

2 = n∑i=1 a2i + 2 n∑i=1 a ibi +

n

∑i=1 b2i ≤

≤n

∑i=1 a2i + 2 n

∑i=1 a2in

∑i=1 b2i +n

∑i=1 b2i = n

∑i=1 a2i + n

∑i=1 b2i2

= ( d(x, y) + d(y, z ))2.

De aici rezultă:d(x, z ) ≤d(x, y) + d(y, z ).

3◦. Fie (X, || ||) un spaţ iu normat. Atunci aplicat ¸ia d : X × X →R + , d(x, y) = ||x −y|| este o metrică ı̂n X.


35/205

2.2. Spaţ ii metrice 35

Din axiomele normei (n1), (n2) şi (n3) ([5], 2.106) rezultă că d este ometric ă ı̂n X.

De aici rezultă c ă orice spaţiu normat este un spat¸iu metric.

2.2.2 Mult ¸imi specice spat ¸iilor metrice

Fie (X, d ) un spaţ iu metric şi a∈X şi r ∈R∗+ .2.25 Denit ¸ie . Mulţimea: B(a, r ) = {x ∈ X |d(a, x ) < r } se numeştebila deschis˘ a de centru a şi raz˘ a r ; mulţimea S(a, r ) = {x∈X |d(a, x ) =r} se numeşte sfera de centru a şi raz˘ a r ; mulţimea B̄ (a, r ) = {x ∈X |d(a, x ) ≤ r} se numeşte bila ı̂nchis ̆ a de centru a şi raz˘ a r . DeciB̄ (a, r ) = B(a, r )∪S (a, r ).2.26 Denit ¸ie . Mulţimea D ⊂X este m˘ arginit˘ a dacă∃x∈X şi r > 0a.̂ı. D ⊂B(x, r ).2.27 Denit ¸ie . O mulţime D ⊂ X este deschis˘ a dacă pentru ∀x ∈D, ∃r > 0 a.̂ı. B(x, r )⊂D.2.28 Propozit ¸ie . Dac˘ a (X, d ) este un spat ¸iu metric atunci ∃τ d ⊂P (X )a.̂ı. (X, τ d) este spat ¸iu topologic.

Demonstrat ̧ie. Considerăm τ d = {D ⊂ X | D deschis ı̂n X} şi ar̆at ămacum că τ d este o topologie pe X ; conform, cu deniţia 1.1.(t1) este evident vericat ă.(t2) Fie (D i)i∈I o familie oarecare de elemente din τ d şi vrem să arat ăm că

∪i∈I D i ∈ τ d. Dacă x ∈ ∪i∈I D i , atunci ∃ i0 ∈ I a.̂ı. x ∈ D io . D io ind deschisă∃ r > 0 a.̂ı. B(x, r ) ⊂ Dio . Cum Dio ⊂ ∪i∈I D i rezult ă că B(x, r ) ⊂ ∪i∈I D i .Deci ∪i∈I D i ∈τ d.(t3) Fie D1, D2 ∈ τ d şi ar̆at ăm că D1 ∩ D2 ∈ τ d. Fie a ∈ D1 ∩ D2.Atunci a ∈ Di ∈ τ d ⇒ ∃r i > 0 a.̂ı. x ∈ B(a, r i) ⊂ D, i = 1, 2. Rezult ăx ∈B(a, r )⊂D1 ∩D2, r = min {r 1, r 2}. Deci D1 ∩D2 ∈τ d.Din 1.28 se observă că orice spaţiu metric poate ı̂nzestrat cu o structur˘ atopologică. Deci (R

n

, de), care este un spaţ iu metric unde de este cu distanţ aeuclidian ă, este şi spaţ iu topologic.2.29 Remarc˘ a. În spaţ iul metric ( R n , de), mulţimea G ⊂ X este com-pact ă dacă şi numai dac ă G este ı̂nchis ă şi mărginit ă.


36/205


2.2.3 Convergent ¸̆a şi continuitate ı̂n spat ¸ii metriceVom prezenta ı̂n aceast˘a secţiune deniţ iile convergenţei şirurilor, limitei şicontinuit ăţ ii funcţiilor ı̂n spaţ ii matrice ( X, d ).

2.30 Denit ¸ie . Fie (X, d ) spaţ iu metric. Spunem c ă şirul ( an )n ⊂ X este convergent ı̂n X dacă ∃x0 ∈X cu proprietatea:

∀ε > 0,∃nε ∈N a. ı̂. d(an , x0) < ε,∀n ≥nε ,şi vom scrie x0 = lim

n→∞an .

În orice spaţiu metric, limita unui şir este unic˘ a.2.31 Teoremă (de caracterizare a limitei unei funct ̧ ii ).Fie (X, d ), (Y, ρ) spat ¸ii metrice , A ⊂ X, f : A → Y, b ∈ A şi ∈ Y.Urm˘ atoarele armat ̧ ii sunt echivalente:(a) = lim

x→bf (x) (̂ın sensul Denit ̧iei 2.21, (1));

(b) ∀ε > 0,∃δ = δ (ε, a ) > 0 a.̂ı. ∀x ∈ A\{b} cu d(x, a ) < δ ⇒ρ(f (x), ) < ε (deniţia cu ε şi δ );(c) ∀(xn )n ⊂A\{b} cu xn →b⇒f (xn ) → (deniţia cu şiruri).2.32 Teoremă (de caracterizare a continuit˘ at ̧ii ı̂ntr-un punct ).Fie f : A⊂(X, d ) →(Y, ρ), b ∈A un punct xat. Atunci sunt echivalente urm˘ atoarele armat ̧ ii:(a) f continu˘ a ı̂n b (̂ın sensul Denit ̧iei 2.21, (2));(b) ∀ε > 0,∃δ = δ (ε, b) > 0 a.̂ı . ∀x ∈ A cu d(x, a ) < δ ⇒ d(f (x), f (b)) 0,∃δ =δ (ε) > 0 a.̂ı. ∀x , x ∈A cu d(x , x ) < δ ⇒ρ(f (x ), f (x )) < ε.În 2.31 (b) şi 2.32 (b), δ depinde şi de ε şi de a, pe când ı̂n 2.34, δ depinde

doar de ε.Prezent ăm ı̂n teorema ce urmeaz ă, făr ă demonstraţ ie, propriet˘aţ ile de

bază ale funcţiilor uniform continue.2.35 Teoremă . (1) O funct i̧e continu˘ a pe o mult i̧me compact˘ a este

m˘ arginit˘ a şi ı̂şi atinge marginile pe acea mult ¸ime.(2) O funct ¸ie continu˘ a pe o mult ¸ime compact˘ a este uniform continu˘ a pe

acea mult ̧ime.(3) O funct ¸ie continu˘ a transform˘ a o mult ¸ime compact˘ a tot ı̂ntr-o mult ̧ ime

compact˘ a.


37/205

2.2. Spaţ ii metrice 37

Aceste propriet ăţ i sunt adev ărate ı̂n orice spat¸iu metric, deci şi pe R .Demonstrat¸iile prezentate pe R se menţin şi ı̂n spat ¸iu metric ı̂nlocuind mod-ulul cu distanţ a.

2.36 Denit ¸ie . Fie (X, d ) un spaţ iu metric şi ( an )n ⊂ X. Spunem căşirul ( an )n este şir fundamental sau şir Cauchy dacă:

∀ε > 0,∃nε ∈N a.̂ı. d(an , am ) < ε,∀n, m ≥nε (2.3)sau

∀ε > 0,∃nε ∈N a.̂ı. d(an + p, an ) < ε,∀n ≥nε şi p ≥1 (2.4)Aceast ă deniţie a fost dat ă de Cauchy. Pe baza ei, el a precizat o condiţ ie

de convergenţ ă pentru şiruri, care foloseşte doar termenii şirului.În Secţiunea 2.3.4 sunt prezentate unele propriet˘ aţi de bază pentru şirurile

Cauchy de numere reale.2.37 Denit ¸ie. Un spaţiu metric( X, d ) se numeşte spaţ iu metric com-

plet , dacă orice şir Cauchy cu elemente din X este un şir convergent ı̂n X .Deoarece orice spaţiu normat este un spat¸iu metric se poate vorbi de

spaţ ii normate complete.2.38 Denit ¸ie . Un spaţ iu normat şi complet ca spat¸iu metric (cu

distanţ a dat ă de normă) se numeşte spat ̧iu Banach .2.39 Remarcă. Dacă not̆ am ST - mulţimea spat ¸iilor topologice , SM -

mulţ imea spat i̧ilor metrice (care sunt şi spaţ ii topologice), SN - mulţ imeaspat ̧iilor normate (care sunt şi spaţ ii vectoriale şi spaţ ii metrice) şi SB -mulţ imea spat ¸iilor Banach (care sunt şi spaţ ii normate), atunci avem ST ⊃SM ⊃ SN ⊃ SB. În aceast ă lucrare noi am considerat doar aceste spat¸iifundamentale, pe care le-am considerat ı̂n mod deosebit necesare pentruprezentarea lucr ării.

2.2.4 Principiul contract ¸iei2.40 Denit ¸ie. O funcţie T : (X, d ) −→(Y, ρ) se numeşte contract i̧e dacă

∃

c

∈

(0, 1) a. ı̂.

ρ(T (x1), T (x2)) ≤cd(x1, x2), ∀x1, x2 ∈X. (2.5)Constanta c menţionat ă ı̂n Deniţ ia (2.5) ca şi ∀c ∈ [c, 1) (căci vericărelaţ ia (2.5)), poate considerat˘a o constant ă a contracţ iei ϕ.2.41 Lema (contracţ iei). Fie ϕ : (X, d ) −→ (X, d ) o contract ̧iei şi x0 ∈ X xat . Atunci ∃c ∈ (0, 1) astfel ı̂ncˆ at pentru şirul (xn = ϕ(xn−1))n≥1avem c˘ a :1◦.d(xn , xn +1 ) ≤rc n , ∀n ≥0;


38/205


2◦.d(xn , xn + p) < r

1 −c ·cn ,

∀ p, n

∈N;

3◦. este şir Cauchy ,unde r = d(x0, x1).

Demonstrat ̧ie. Deoarece ϕ este contracţ ie, atunci ∃c ∈ (0, 1) astfel ı̂nc âtd(ϕ(a)ϕ(b)) ≤cd(a, b)∀a, b∈X.1◦. p(n) : d(xn , xn +1 ) ≤ rcn , ∀n ≥ 0 şi prin inducţ ie rezult ă c.c.t.d.2◦. d(xn , xn + p) ≤d(xn , xn +1 ) + d(xn +1 , xn +1 ) + ... + d(xn + p−1, xn + p)1

◦

≤≤ rc n + rc n +1 + ... + rc n + p−1 = rcn (1 + c + ... + c p−1) == rcn ·

1 −c p1 −c

< r1 −c ·

cn

3◦. Trebuie ar ătat c ă:

∀ε > 0,

∃

nε

∈N a. ı̂. d(xn , xn + p) < ε,

∀ p

≥1.

Fie ε > 0. Pe nε ı̂l determin˘am din condiţ ia r1 −ccn ≤ ε, (căci apoi

folosind 2◦ va rezult ă că d(xn , xn + p) < ε )

r = 0 . ⇔ cn ≤ r1 −c ⇒

n lg c ≤ lg ε(1 −c)

r ≥ lg ε(1−c)r

lg c şi luând

nε = [lg ε(1−c)rlg c + 1 avem r1 −ccn ≤ ε(∀) n ≥ nε şi cum d(xn , xn+ p) 0, (∃)nε ∈ N a.̂ı. d(xn , xn + p) < ε, (∀)n ≥ nε şi p ≥ 0, adică

{xn} este un şir Cauchy.2.42 Teorema lui Bonach de punct x (principiul contract¸iei). Orice contract ̧ie a unui spat ̧iu metric complet are un punct x unic .

Demonstrat ̧ie. Demonstrşm mai ı̂nt̂ai existent ¸a punctului x. Fie ( X, d )spaţ iu metric complet şi T : X → X o contracţ ie a sa. Consider ăm şirul{xn = T (xn−1)}n≥1, x0 ∈ X, xat. Conform cu 3◦ din lema anterioar ă{xn}n≥0 este şir Cauchy şi ( X, d ) ind spaţ iu metric complet rezult˘a că {xn}este convergent. Deci (∃)ξ ∈ X a. ı̂. xn −→ ξ ⇔ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ Na. ı̂. d(xn , ξ ) < ε, (∀)n ≥ nε , dar d(T (xn ) → T (ξ )) ≤ cd(xn , ξ ) ⇒ (∀)ε >0, (∃) nε ∈ N a. ı̂. d(T (xn ) → T (ξ )) ≤ cε < ε, (∀)n ≥ nε ⇒ T (xn ) →T (ξ ), xn+1 →ξ.Deci şirul xn are două limite T (ξ ) şi ξ . Cum limita şirului este unic˘a,rezult ă că T (ξ ) = ξ.

Pentru unicitate consider˘ am ξ şi η a. ı̂. T (ξ ) = ξ şi T (η) = η. Atuncid(ξ, η) = d(T (ξ ), T (η)) ≤ cd(ξ, η) ⇒ (1 − c)d(ξ, η) ≤ 0 ⇒ d(ξ, η) ≤ 0 şid(ξ, η) ≥0⇒d(ξ, η) = 0⇒ξ = η. c.c.t.d.

Observat ̧ie la 2◦. d(xn , xn+ p) ≤ r cn

1 −c −rc n

c p

1 −c facem pe p −→ ∞ ⇒

lim p→∞

xn + p = ξ şi se obţine: d(xn , ξ ) ≤ r cn

1 −c ⇒xn aproximeaz ă pe ξ (punctul


39/205

2.3. Spaţ ii cu măsur˘ a 39

x) al aplicaţ iei, o eroare mai mică decât r cn

1 −c < ε, ı̂ncep ând de la ηε =

1lg c ·lg

ε(1 −c)r

+ 1 . Deci şirul {xn} aproximeaz ă pe ξ. De aceea se mainumeşte şirul aproximat ¸iilor succesive.

Aplicat ̧ii. Să se rezolve ecuaţia 1 + arctan x = 2x.

2.3 Spat¸ii cu măsură

2.3.1 Denit ¸ii şi exemple

2.43 Denit ¸ie. a) Fie φ = Ω şi A ⊂ P (Ω). A se numeşte σ - algebr˘ a (sau corp borelian ) pe Ω dacă:1) A∈A⇒ C A ∈A;2) ∀{An}n∈N ⊂A⇒

∞

∪n =1An ∈A.

b) Dacă A este o σ - algebră pe Ω, atunci perechea (Ω, A) sau pe scurtΩ, se numeşte spat ̧iu m˘ asurabil şi elementele lui A se numesc mult ̧imi m˘ asurabile ı̂n Ω (sau A -m˘ asurabile ).2.44 Denit ¸ie. Fie (Ω, A) un spaţ iu m ăsurabil şi (T , τ ) un spaţ iu topo-logic. O funcţie f ∈ F

(Ω, T) se numeşte funct ̧ ie m˘ asurabil˘ a dacă pentru

∀B ∈τ, f −1(B)∈A.Pentru funct¸iile măsurabile se pot demonstra propriet˘ aţile:1) f, g : Ω−→K , K∈R , C măsurabile, rezult ă f + g, fg măsurabile;2) A ⊂ Ω măsurabil ă dacă şi numai dac ă χ A măsurabil ă, (unde χ A ∈

F (Ω, R ) (sau χ A ∈ F (Ω, {0, 1}), {0, 1} ind spaţ iu topologic cu topologiadiscret ă))3) Dacă lim

n→∞f n = f (limita punctual˘a) şi {f n}n≥0 ⊂ F (Ω, T) este un şir

de funcţii măsurabile, atunci f este măsurabilă.2.45 Denit ¸ie. Fie (Ω, A) un spaţ iu m ăsurabil. O aplicaţ ie µ : A −→[0, +∞

] se numeşte m˘ asur˘ a pe Ω dacă1) µ(∅) = 0 , µ(E ) ≥0, ∀E ∈A,2) ∀{E n} ⊂ A astfel ı̂nc ât E i ∩E j = ∅ ∀i = j , seria numeric ă

∞

∑n=1 µ(E n )este convergent ă ı̂n R şi µ( ∞

∪n =1E n ) =

∞

∑n =1 µ(E n ).Proprietatea 2) a denit ¸iei de mai sus, se numeşte num˘ arabil aditivi-tate .

2.46 Denit ¸ie. Dacă (Ω, A) este un spaţ iu m ăsurabil şi µ o măsur ă peΩ, atunci tripletul (Ω , A, µ) se numeşte spat ̧iu cu m˘ asur˘ a . Un spaţ iu cu


40/205


măsur˘a (Ω,

K, µ), cu µ(Ω) = 1 se numeşte câmp de probabilitate şi ı̂n

acest caz măsura se numeşte probabilitate .Dacă Ω este nită, nevidă şi A = P (Ω), denim µ(A) =

cardAcard Ω

, iar(Ω, P , µ) se numeşte spat ̧iu Laplace . Se verică imediat c ă µ este o măsur ăşi µ(Ω) = 1. Acest exemplu constituie modelul clasic al teoriei proba-bilit ăţ ilor discrete.

P ână aici au fost prezentate câteva not ¸iuni abstracte legate de m˘asur ă şispaţ iu cu măsură. În continuare vom deni un exemplu de spat¸iu cu măsur ă.

2.3.2 Măsura Lebesque ı̂n R n

2.47 Denit ¸ie. Fie a i , bi ∈R , ai < bi , ∀i = 1, n. Spunem că mulţimea:1) P = ( a1, b1)×(a2, b2)×. . .×(an , bn ) se numeşte paralelipiped deschisde dimensiune n;2) P = [a1, b1]×[a2, b2]×. . . ×[an , bn ] se numeşte paralelipiped ı̂nchisde dimensiune n.Mulţimea vid ă este un paralelipiped. Pentru cazurile n ∈ {1, 2} denu-mirea de paralelipiped pare fort¸at ă, dar se urm ăreşte o terminologie unitar˘ a.2.48 Denit ¸ie. Dacă P este un paralelipiped (̂ınchis sau deschis) ı̂n R n ,

atunci num ărul

µ(P ) :=n

i=1

(bi −a i)se numeşte m˘ asura lui P .

2.49 Denit ¸ie. O mulţime A ⊂ R n care se scrie ca reuniunea unuinumăr nit de paralelipipede disjuncte dou˘a câte dou ă, se numeşte mult ̧imeelementar˘ a .

Vom nota cu E clasa mulţimilor elementare ı̂n Rn . Deci A ∈ E , dacăA = P 1∪P 2∪. . .∪P r , cu P i paralelipipede a. ı̂. i = j ⇒P i ∩P j =∅.Pentru ∀A∈E , denim măsura ei ca indµ(A) =

r

i=1µ(P i),

unde A = P 1∪. . .∪P r . Deniţia m ăsurii mulţ imilor elementare este corect˘a.Într-adev˘ar dac ă P 1 ∪. . .∪P r şi P 1 ∪. . .∪P s sunt dou ă descompuneri ı̂nparalelipipede disjuncte dou˘a câte două, ale lui A (i.e. A = P 1∪. . .∪P r =P 1∪. . .∪P s ), atunciµ(A) =

r

i=1

µ(P i) =s

j =1

µ(P j ).


41/205


Dacă n = 1, 2, 3, . . . , µ reprezint ă lungimea, aria sau volumul mult¸imii A.2.50 Observat ¸ii. 1) Orice paralelipiped este o mulţ ime elementar ă şi

măsura sa ca paralelipiped, coincide cu m ăsura sa ca mulţ ime elementar ă.2)Dacă A, B ∈E atunci A∪B, A −B, A ∩B ∈E .3) ∀A∈E şi ∀ε > 0, ∃F, G ∈E , F ı̂nchis ă şi G deschisă astfel ı̂nc ât:

F ⊂A⊂G şi µ(G) −ε ≤µ(A) ≤µ(F ) + ε.Aceast ă ultim ă proprietate poart˘ a numele de regularitate a m˘ asurii

µ,.4) măsura µ : E −→ [0, + ∞) a mulţ imilor elementare are proprietatea

de nit aditivitate (adică: µ n

∪i=1 Ai =

n

∑i=1 µ(Ai), unde Ai ∈ E , i = 1, n

sunt disjuncte dou˘a câte două) şi nit subaditivitate (adică µ n

∪i=1B j ≤

m

∑i=1 µ(B j ).)2.51 Denit ¸ie. Pentru ∀D ∈P (R p) considerămA0c(D) = {(An )n |(An )n ⊂E ∩desR p, D ⊂

n

An}mulţ imea acoperirilor lui D cu mulţimi deschise şi elementele din R p.

Aplicaţ ia µ∗ : P (R p) −→[0, + ∞] denită prin

µ∗(D) = inf {n

µ(An )|(An )n ⊂A0c(D)}, ∀D ∈P (R p)(i. e. marginea inferioar ă a tuturor sumelor ∑n µ(An ) dup ă toate acoperirile(An )n ale lui D cu mulţimi deschise şi elementare din R p) se numeşte m˘ asura exterioar˘ a a mulţimii D.

2.52 Teoremă. M˘ asura µ∗, denit˘ a ı̂n Denit ̧ia 2.48, are propriet˘ at ̧ile:1) ∀E ⊂R p, µ∗(E ) ≥0;2) ∀E 1, E 2 ⊂R p cu E 1 ⊂E 2 ⇒µ∗(E 1) ≤µ∗(E 2).3) ∀A∈E ⇒µ∗(A) = µ(A);4) µ∗(∞

∪1E n ) ≤

∞

∑1 µ∗(E n ).Demonstrat ̧ie. 3) Fie A ∈ E şi ε > 0. Măsura µ ind regulat ă ∃F şiG ∈ E cu F ı̂nchis ă şi G deschisă a.̂ı F ⊂ A ⊂ G, µ(G) − ε ≤ µ(A) (1)şi µ(A) ≤ µ(F ) + ε (2). Din (1) rezult ă că (1) ⇒ µ(G) ≤ µ(A) + ε. CumA⊂G, G deschisă şi elementar˘a, rezult ă că µ∗(A) ≤µ(A). (3)


42/205


Mulţimea F

⊂ A ind ı̂nchis ă rezult ă că este compact ă. Fie acum

(An )n ⊂ A0c(A). Atunci ∃(An k )k=1 ,m a.̂ı. F ⊂m

∪k=1An k şi apoi avem succe-

siv µ(F ) ≤ µ m

∪k=1An k =

m

∑k=1 µ(An k ) ≤∞

∑n =1 µ(An ) ≤ inf ∞

∑n =1 µ(An ) + ε =µ∗(A) + ε. Din µ(F ) ≤ µ∗(A) + ε şi din (2) găsim µ(A) ≤ µ∗(A) + 2 ε. Cumε este arbitrar, rezult˘a că µ(A) ≤µ∗(A) (4)Din (3) şi (4) rezult ă că µ∗(A) = µ(A). Deci µ∗|E = µ.4) Fie E = ∞

∪n =1E n . Dacă∃n cu µ∗(E n ) = + ∞, atunci µ∗(E ) ≤

∞

∑n =1 µ∗(E n )(=∞).Deci presupunem c ă µ∗

(E n) <

∞,

∀n. Fie ε > 0. Pentru ecare E

n există

un şir

{An k ⊂A0c(A)}. a.̂ı. şi∞

∑k=1 (µ(An k )) ≤ µ∗(E n ) + ε2n (din proprietateamarginii inferioare).Din cele de mai sus rezultă c ă E ⊂ ∪n,p Anp ({Anp}np este o familie demulţ imi elementare deschise) şi avem:

µ∗(E ) ≤n p

µ(Anp ) ≤∞

n =1

µ∗(E n + ε).

Cum ε > 0 este arbitrar, deducem:

µ∗(E ) ≤∞

n =1

µ∗(E n )

adică proprietatea de subadivitate este probat˘ a.În continuare vom pune ı̂n evident ¸ă o σ - algebră cât mai mare pe care

µ∗ să e o măsură (deci num˘ arabil aditiv ă).2.53 Denit ¸ie. Spunem că şirul de mulţ imi (An )n ⊂ R p converge cătreA⊂R p (̧si not̆ am An −→A) dacă

limn−→∞

µ∗(An ∆ A) = 0 .

Not ăm B = {A∈R p|∃(An )n ⊂E ∩Dn R cu An −→A}.2.54 Denit ¸ie. O submulţ ime E ⊂ R p este m˘ asurabil˘ a Lebesquedacă ∃(Ai)i∈I ⊂B, I c. m. n, a. ı̂ E = ∪i∈I Ai .Not ăm L= {E ∈P (R p)|E măsurabil ă Lebesgue }.2.55 Denit ¸ie. Aplicaţ ia µ : L −→ [0, + ∞] denită prin µ(E ) =µ∗(E ), ∀E ∈L (i. e. µ = µ∗|L) se numeşte măsur ̆ a Lebesque .


43/205


in urmare ar ătat c ă tripletul ( R n ,

A(µ), µ) este un spaţ iu cu m ăsur ă,

măsura numindu-se m˘ asura Lebesque .Printre propriet˘ aţile măsurii Lebesgue ment i̧onăm:1) Orice mult ̧ime A⊂R

p, deschis˘ a (sau ı̂nchis˘ a ) este m˘ asurabil˘ a Lebesgue (∈L);2) Orice mult ̧ime compact˘ a K ⊂ R n , este m˘ asurabil˘ a Lebesgue şi mai mult µ(K ) < ∞;3) Dac˘ a A∈L, atunci ∀ε > 0.∃(F ı̂nchis ̆a şi G deschis˘ a ) cu F ⊂A⊂Gastfel ı̂ncˆ at µ(G −A) < ε şi µ(A −F ) < ε (regularitate ).4) Pentru ∀A∈A(µ) avem :

µ(A) = inf G {µ(G)|G⊃A, G deschisă },µ(A) = sup

G {µ(K )|G ⊃A, K mulţime compact ă }.


44/205



45/205

Capitolul 3

Şiruri de numere reale

3.1 Şiruri de numere reale; exemple

În 2.18 este dată denit¸ia şirului cu elemente ı̂ntr-o mult ¸ime oarecareX. Dacă se ia X = R se obţine deniţ ia şirului de numere reale. În cele ceurmeaz ă pentru şirul de numere reale vom spune doar şir .

3.1 Exemple de şiruri :1◦. (an )n≥0, an =

nn + 1

;

2◦. (bn )n≥1, bn = (−1)n 12n ;3◦. (an )n≥1, an = n;4◦. (an )n≥0, an = 2n + n

2;5◦. (an )n≥0, an = 7,∀n ≥0;6◦. 1, 2, 1, 2, ...3.2 Exemple de subşiruri : Şirurile:1◦. 2, 4, 6, . . . , 2n , . . . ;2◦. 3, 5, 7, . . . , 2n + 1 , . . . ;3◦. 12, 22, 32, . . . , n 2, . . . ;

4◦. 21

, 22

, 23

, . . . , 2n

, . . . ;5◦. 101, 102, . . . , 10n , . . . ;sunt toate subşiruri ale şirului 1 , 2, 3, . . . , n , . . . .

3.2 Moduri de prezentare a unui şir

Deoarece şirul este un caz particular de funct¸ie, modurile de denire aleunei funcţii se aplică şi pentru denirea unui şir.

45


46/205

46 Capitolul 3. Şiruri de numere reale

(a) Şiruri denite descriptiv . De exemplu, şirul ( xn )n≥1 denit prin x1 =1, x2 = 2, x3 = 22, . . . , x n = 2n−1, . . . .

(b) Şiruri denite analitic (i.e. cu ajutorul unei formule). Acest modpermite

Date post:	07-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	madalin-savu
View:	229 times
Download:	0 times

AnR Toate CAP.oct2013

Documents