Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
1
ANALIZA MATEMATICA D1: Fie I un interval şi f,F:I →R. FuncŃia F se numeşte primitivă a lui f dacă:
1) F este derivabilă; 2) F
’(x)=f(x), ∀ x∈I • Fie I un interval şi funcŃia f:I →R care admite primitive. Dacă F1, F2:I →R sunt primitive ale
funcŃiei f, atunci F1(x)=F2(x)+c, ∀ x∈I, c∈R
• ( ) { : primitiva a funcŃiei }f x dx F I F f= →∫ R - integrala nedefinită a funcŃiei f
• O funcŃie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval • Derivata oricărei funcŃii derivabile pe un interval I are proprietatea lui Darboux pe I • Daca f:I →R admite primitive pe intervalul I, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I • Fie f:I → R. Dacă imaginea funcŃiei pe un subinterval J ⊂ I nu este interval, atunci f nu admite
primitive pe I • O funcŃie cu puncte de discontinuitate de speŃa I nu admite primitive deoarece nu are proprietatea lui
Darboux
Formula de integrare prin părŃi. Fie f,g:I → R funcŃii derivabile cu derivatele continue. Aunci funcŃiile f ’· g si f·g’ admit primitive şi
∫∫ −⋅= .)()()()()()( '' dxxgxfxgxfdxxgxf
Teorema de schimbare de variabilă:
Fie I,J ⊂ R intervale, RJfsiJI →→ ::ϕ funcŃii cu proprietăŃile:
• ϕ este derivabilă pe I • f admite primitiva F pe J
Atunci functia ( ) 'f ϕ ϕ⋅� admite primitiva ϕFo pe I.
Daca ϕ este o functie derivabila pe un interval, atunci:
1) ∫ ++
=⋅+
1)()(
1'
adxxx
aa ϕ
ϕϕ C
2) ∫ = )(ln)()('
xdxx
xϕ
ϕϕ
+C, ϕ 0≠
3) ∫ =⋅a
adxxa
xx
ln)(
)(')(
ϕϕ ϕ +C, a>0, a 1≠
4) ∫ +−
=− ax
ax
adx
ax
x
)(
)(ln
2
1
)(
)(22
'
ϕϕ
ϕϕ
+ C, ϕ 0, ≠±≠ aa
5) a
xarctg
adx
ax
x )(1
)(
)(22
' ϕϕ
ϕ=
+∫ +C, a 0≠
6) ( )∫ ++=+
22
22
'
)()(ln)(
)(axxdx
ax
xϕϕ
ϕ
ϕ+C, 0≠a
7) 22
22
'
)()(ln)(
)(axxdx
ax
x−+=
−∫ ϕϕ
ϕ
ϕ+C, 22 a>ϕ
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
2
8) a
xdx
xa
x )(arcsin
)(
)(22
' ϕ
ϕ
ϕ=
−∫ +C, aaa <<−> ϕ,0
9) )(cos)((x)sin ' xdxx ϕϕϕ −=⋅∫ +C
10) ∫ =⋅ )(sin)()(cos ' xdxxx ϕϕϕ +C
11) ∫ = )()(cos
)(2
'
xtgdxx
xϕ
ϕϕ
+C, IxZkkx ∈∀∈∀+≠ ,,2
)12()(π
ϕ
12) ∫ −= )()(sin
)(2
'
xctgdxx
xϕ
ϕϕ
+C, IxZkkx ∈∀∈∀≠ ,,)( πϕ
13) )(cosln)()( ' xdxxxtg ϕϕϕ −=⋅∫ +C, IxZkkx ∈∀∈∀+≠ ,,2
)12()(π
ϕ
14) ∫ =⋅ )(sinln)()( ' xdxxxctg ϕϕϕ +C, IxZkkx ∈∀∈∀≠ ,,)( πϕ
D2: O funcŃie raŃională f, definita pe un interval I, este de forma ( ) ( )( )
,xQ
xPxf = Ix ∈∀ , ,0)( ≠xQ unde
[ ]XRQP ∈, . D3: O funcŃie raŃională se numeşte funcŃie raŃională simplă dacă are una din formele:
1) [ ]( ) ( ),f x P x P X= ∈R
2) ( )
*( ) , , ,n
Af x A a n
x a= ∈ ∈
−R N
3) ( )
2 *
2( ) , , , , , 4 0,
n
Ax Bf x A B a b a b n
x ax b
+= ∈ − < ∈
+ +R N
• Orice funcŃie raŃională se poate descompune, în mod unic, în suma de funcŃii raŃionale simple D4: Fie :F I → R o primitiva a functiei continue :f I → R . Se numeste integrala definită a funcŃiei f de la
a la b, numărul real notat şi definit prin relatia ∫ −=b
a
aFbFdxxf )()()( (formula Leibniz-Newton)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dxλ µ λ µ λ µ− ⋅ + ⋅ = + ∀ ∈∫ ∫ ∫ R
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=∈∀−b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf,Ic
( ) ( ) ( ) ( ) ( )abcfdxxf.i.ab,ac
b
a
−⋅=∈∃− ∫
[ ] ( )∫ ≥≥−b
a
0dxxfatunci,ba, pe 0fDaca
[ ] ( ) ( )∫ ∫≤≤−b
a
b
a
dxxgdxxfatunci,ba, pe gfDaca
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ), sunt astfel încât m f x , , , atuncib
a
Daca m M M x a b m b a f x dx M b a− ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ − ≤ ≤ −∫R
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
3
( ) ( )∫∫ ≤−b
a
b
a
dxxfdxxf
D5: Fie , ,a b a b∈ <R şi funcŃia continuă pozitivă [ ]: ,f a b +→ R .
Multimea ( ) ( ){ }2, / , 0f
x y a x b y f xΓ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R se numeşte subgraficul funcŃiei f..
D9: FuncŃia [ ]: ,f a b → R se numeşte continuă pe porŃiuni dacă are cel mult un număr finit, nenul,
de puncte de discontinuitate şi acestea sunt puncte de discontinuitate de speŃa întâi. -Fie [ ] Rb,a:g,f → astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )b,ax,xgxf ∈∀= şi g este continuă. Atunci f este integrabilă pe
[ ]b,a şi ( ) ( )∫ ∫=b
a
b
a
dxxgdxxf .
-O funcŃie [ ]: ,f a b → R continuă pe porŃiuni este integrabilă pe [ ]b,a şi ( ) ( )∫ ∑ ∫=
−
=b
a
p
1i
c
c
i
i
1i
dxxfdxxf , unde
[ ]1: , , 1,i i i
f c c i p− → =R sunt funcŃiile asociate lui f.
-Fie RI:g,f → derivabile cu derivate continue. Dacă Ib,a ∈ , atunci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅′−⋅=′⋅b
a
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf .
-Dacă II: →ϕ este derivabila, cu derivata continuă şi :f I → R este continuă, dacă Ib,a ∈ , atunci
( )( ) ( ) ( )( )
( )
∫∫ =′⋅b
a
b
a
dttfdxxxf
ϕ
ϕ
ϕϕ .
-Fie [ ], : ,f g a b → R continue a.i. ( ) ( ) ( ) [ ]b,ax,xfxg ∈∀≤ .Dacă
( ) ( ) ( ){ }2, , / ,
f gx y a x b g x y f xΓ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R , atunci aria ( ) ( ) ( )( )∫ −=
b
a
g,f dxxgxfΓ .
-Fie [ ]: ,f a b → R continuă. MulŃimea ( ) ( ){ }3 2 2, , /V x y z y z f x= ∈ + ≤R se numeşte corpul de rotaŃie
în jurul axei Ox determinat de funcŃia f. Volumul acestui corp este ( )∫=b
a
2 dxxfV π .
-Fie [ ]: ,f a b → R o funcŃie derivabilă cu derivata continuă. Lungimea graficului funcŃiei este
( ) ( )( )∫ ′+=b
a
2dxxf1fl .
-Fie [ ]: ,f a b +→ R continuă. ( ) ( ){ }3 2 2, , / ,x y z y z f x a x bφ = ∈ + = ≤ ≤R se numeste suprafaŃa de
rotaŃie daterminată de funcŃia f. Aria acestei suprafeŃe este ( ) ( ) ( )( )∫ ′+=b
a
2dxxf1xf2f πΑ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
4
Probleme rezolvate
1. Se consideră funcŃia ( )2 , 0
: ,1, 0
xx e xf f x
x x
+ ≤→ =
+ >R R .
a) Să se arate că funcŃia f admite primitive pe R.
b) Să se calculeze ( )0
1
xf x dx−∫ .
c) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox a graficului funcŃiei g :[0;1]→R, g (x) = f (x) . R. a) O funcŃie admite primitive dacă este continuă pe domeniul de definiŃie. Problema continuităŃii se pune în punctul x0=0. Calculăm limitele laterale:
( ) ( )2 2 0
0 00 0
lim lim 0 1x
x xx x
f x x e e→ →< <
= + = + = , ( ) ( )0 0
0 0
lim lim 1 0 1 1x xx x
f x x→ →> >
= + = + = şi f (0)=1. Acestea sunt
egale şi atunci funcŃia este continuă pe R, deci admite primitive pe R.
b) ( ) ( ) ( ) ( )int.prin0 40 0 0 0 04 părŃi'2 3
1 1 1 1 11
10 +
4 4x x xx
xf x dx x x e dx x dx xe dx x e dx− − − − −−
−= + = + = + ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )0 0
0 00 1 0 1
1 11 1
1 1 1 1 1' 0 1
4 4 4x x x x
xe x e dx e e e dx e e ee e
− −
− −− −
+ − ⋅ = − + ⋅ − − − = − + − = − + − + =∫ ∫
1 1 1 2 5 8 51
4 4 4e
e e e e
−= − + − + = − = .
c) Formula pentru calculul volumului este: ( ) ( )2b
f
a
Vol C f x dxπ= ∫ . Avem
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1
22
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2 1gVol C g x dx x dx x x dx xdx xdx dxπ π π π
= = + = + + = + + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
13
1 1 12 2120
00
0
1 1 2 3 4 6 132 2 1 2 1 1
32 2 2 3 6 62
x xx dx xπ π π π π
+ + = + + = + + = + ⋅ ⋅ + = =
∫ .
2. Se consideră funcŃiile f,F:R →R date prin f(x)=xe
x şi F(x)=(x−1)ex.
a) Să se verifice că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f . b) Să se calculeze aria suprafeŃei plane determinate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x = 0 şi x
=1.
c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
1
'' ' 12
xf t f t f t x
dtf t x
− += −∫ pentru orice x>1.
R. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 1 1x x x x x xF x x e x e e x e e x xe= − + − = + − = + − = .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1 0
00
1 0 1 1 0 1 1f
Aria f x dx F x F F e eΓ = = = − = − − − =∫ .
c) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
' 2'
2 2 2
' ' ' '' '' '' ' 'f t f t f t f t f t f t f tf t f t f t f t f t
f t f t f t f t
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅= = =
,
unde ( ) ( ) ( )' ' ' 1x x xf x x e x e e x= + = + .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
5
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 '
2
11 1
'' ' ' ' ' ' 1
1
xx x xf t f t f t f t f t f x f edt dt
f t f t f t f x f
− = = = − =
∫ ∫
( )1x
x
x e
+ 1e−
( )1
1 1
1 e
+
⋅=
12
x
x
+= − .
3. Se consideră funcŃia f :R →R, ( ) , 1
2 , 1
xe e xf x
x x
⋅ ≤ −=
+ > −.
a) Să se arate că funcŃia f admite primitive pe R. b) Să se calculeze volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox, a graficului funcŃiei g:[0,2]→R , g(x)=f(x), x0[0,2].
c) Să se calculeze ( )0
2
xf xdx
e−∫ .
R. a) Determinăm continuitatea funcŃiei în punctul x0= −1. ( ) 1 0
1 11 1
lim lim 1x
x xx x
f x e e e e e−
→− →−<− <−
= ⋅ = ⋅ = = ;
( ) ( )1 1
1 1
lim lim 2 2 1 1x xx x
f x x→− →−>− >−
= + = − = ; ( )1
1
limxx
f x→−<−
= ( )1
1
lim 1xx
f x→−>−
= ⇒ funcŃia este continuă în x0= −1 şi este
continuă pe R, deci admite primitive pe R.
b) Volumul se calculează după formula: ( ) ( )2
b
f
a
Vol C f x dxπ= ∫ .
( ) ( ) ( )22 2 2 3 3
2 2 2
00 0
22 4 4 4 4 4 2 2 2
2 3 3g
x xVol C x dx x x dx xπ π π π
= + = + + = + + = ⋅ + ⋅ + =
∫ ∫
8 24 24 8 568 8
3 3 3π π π
+ + = + + = =
.
c)( ) ( ) ( )
00 1 0 1 131'2 2
212 2 1 2 2
1 1 1 12 1
3 3x x x x
xf x xdx xe dx x x dx x e dx x xe e dx
e e e e
− − −−
−−− − − − −
= + + = + + = − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )1 1 1 1 2 1 2 1
2 22 2 2
2 2 2 8 3 8 9 81 2 3 3
3 3 3 3 3 3x x x e
xe e e x e e e e ee e e e e
− − − − − − − −
− − −
−= − − = − − = − + − = − = − = .
4. Se consideră funcŃia g :R→R, g(x)=(x+1)3 −3x
2 −1.
a) Să se calculeze ( )1
0
g x dx∫ .
b) Să se determine numărul real a >1 astfel încât ( )( )3
1
6a
x ag x x e dx e− ⋅ =∫ .
c) Să se calculeze ( ) ( )1
2 2009
0
3 3x g x dx+ ⋅∫ .
R. a) ( ) ( )( )1 1
3 2 3 2
0 0
1 3 1 3g x dx x x dx x x= + − − = +∫ ∫ 3 1x+ + 23x− 1−( ) ( )1 1
3
0 0
3dx x x dx= + =∫ ∫
14 2
0
3 1 3 74 2 4 2 4x x
= + = + =
.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
6
b) g(x)=x3+3x şi ( )( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 1
3 3 3 'a a a a
x x x xg x x e dx x x x e dx xe dx x e dx− ⋅ = + − ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫
( )1 11 1
3 ' 3 3 3a a
a ax x a x a x axe x e dx ae e e dx ae e e ae e
= − = − − = − − = −
∫ ∫ ae e− +( ) ( )3 1ae a= − .
ObŃinem ( )3 1 6 : 3 1 2 3a a ae a e e a a− = ⇒ − = ⇒ = .
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 31 1 312 2009 2009 2009
00 0
3 3 'g x x x
x g x dx g x g x dx g x= +
+ ⋅ = ⋅ = =∫ ∫
( ) ( )2009 20093 3 20091 3 1 0 3 0 4= + ⋅ − + ⋅ = .
5. Se consideră funcŃia : f :R →R, f(x)=x+e
-x. a) Să se calculeze aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x =1 .
b) Folosind faptul că 22 1xx e−+ ≥ pentru orice x0R , să se demonstreze că
21
0
23
xe dx
− ≥∫ .
c) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia, în jurul axei Ox , a graficului funcŃiei g :[0,1]→R, g(x)=f (x)+ f (−x).
R. a) ( ) ( ) ( )11 1 2
1 0
00 0
1 0 1 1 3 11
2 2 2 2 2x x
f
xAria f x dx x e dx e e e
e e
− − − Γ = = + = − = − − − = − + = − ∫ ∫ .
b) Din 22 1xx e−+ ≥ obŃinem
2 21xe x− ≥ − şi integrăm inegalitatea pe intervalul [0,1] ⇒
( )2
11 1 32
00 0
1 21 1
3 3 3x x
e dx x dx x− ≥ − = − = − =
∫ ∫ .
c) ( ) ( ) ( ) x x x xg x f x f x x e x e e e− −= + − = + − + = + şi volumul este dat de: ( )2
b
a
V f x dxπ= ∫
( ) ( )11 1 2 2
2 2 2
00 0
2 22 2
x xx x x x e e
V e e dx e e dx xπ π π−
− − = + = + + = − + + =
∫ ∫
2 2 0 0 2 24 4
2 2 2e e e e e e
π π− − − + + − + + −
= − =
.
6. Se consideră funcŃia f :R→R, f (x) = x 2 + e
x +1.
a) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe R .
b) Să se calculeze ( )1
0
xf x dx∫ .
c) Să se demonstreze că ( )
1
ln 13
e f xdx e
x= +∫ .
R. a) O primitivă a funcŃiei f este F :R → R, astfel încât F '(x) = f (x) şi f (x) = x 2 + e x +1 > 0 ca sumă
de funcŃii pozitive ⇒ F '(x) > 0. Dacă derivata este pozitivă atunci funcŃia este crescătoare, adică F este funcŃie crescătoare ∀ x0R.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
7
b) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
11 1 1 4 22 3
0 0 0 0
int
1 14 2
' 1
x x x
prinpărti
x x x x x x x
x xxf x dx x x e dx x xe x dx e x
xe dx x e dx xe e dx xe e C e x C
= + + = + + = + − + =
= = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )1 01 1 3 71 1 0 1 1
4 2 4 4e e= + − + − − = + = .
c) ( ) ( )
2 ln 2
1 1 1
ln ln 1 ln ln 1*
e e exf x x e x xdx dx dx
x x x x x
+ += = + + =
∫ ∫ ∫ . Calcuăm primitivele separat:
( )2 3var
2 2ln 1 lnln ln ln '
3
schimbarede iabilăx x
dx x dx x x dx Cx x
= ⋅ = ⋅ = +∫ ∫ ∫
( )2ln ln
ln ln '2
x xdx x x dx C
x= ⋅ = +∫ ∫ ;
1lndx x C
x= +∫ .
( ) � �
3 2 3 2 3 2
011
ln ln ln ln ln 1 ln 1 1 1 2 3 6 11* ln ln ln1 1
3 2 3 2 3 2 3 2 6 6
e
x x e xx e
==
+ += + + = + + − − − = + + = =
.
7. Se consideră funcŃia f :[1,+∞)→R, ( )( )
11 ln
f xx x
=+
.
a) Să se calculeze ( )1
'
e
f x dx∫ .
b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe [1,+∞) . c) Să se determine numărul real a0(1,e2) astfel încât aria suprafeŃei plane determinate de graficul
funcŃiei f, axa Ox, dreptele de ecuaŃii x=a şi x=e2 să fie egală cu
3ln
2.
R. a) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
1 1 1 1 1 1' 1
1 ln 1 ln 1 1 ln1 1 1 1 2
eee
f x dx f xx x e e e e
= = = − = − = − + + + +
∫ .
b) Fie F :[1,+4) →R primitivă a funcŃiei f, atunci F’(x)=f(x),∀ x0[1,+4). Din x0[1,+4)⇒ x>0, lnx ≥ 0 şi atunci f(x) ≥ 0. Dacă derivata unei funcŃii F’(x)=f(x) ≥ 0 atunci functia F este crescătoare pe [1,+4).
c) ( ) ( )( )
( ) ( )2 2 2 2
2'
1 ln1 1 1ln 1 ln
1 ln 1 ln 1 ln
e e e ee
f a
a a a a
xAria f x dx dx dx dx x
x x x x x
+Γ = = = ⋅ = = + =
+ + +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3ln 1 ln ln 1 ln ln 1 2 ln 1 ln ln 3 ln 1 ln ln
1 lne a a a
a= + − + = + − + = − + =
+.
Din ( ) 3ln
2fAria Γ = obŃinem: ( )23 31 ln 2 ln 1 1,
1 ln 2a a a e e
a= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ∈
+
8. Se consideră funcŃiile f,g:(0,+∞)→R date prin f(x)= ex şi ( ) 1
g xx
= .
a) Să se calculeze primitivele funcŃiei f +g.
b) Să se arate că ( ) ( )( )2 4 2
2 2
1
12
e ef x g x dx
− ++ =∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
8
c) Folosind eventual faptul că 2ab≤a2+b
2, pentru orice a,b0R , să se demonstreze că 2 4 2
1
1 14
x e ee dx
x
− +⋅ ≤∫ .
R. a) ( ) ( ) 1 1lnx x x
f g x dx e dx e dx dx e x Cx x
+ = + = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ .
b) ( ) ( )( )22 2 2 4 2
2 2 22
11 1
1 1 11
2 2 2 2
xx e e e
f x g x dx e dxx x
+ = + = − = − − − = ∫ ∫
4 2 4 21 2 12 2
e e e e− − + − += = .
c) f(x), g(x)0R, folosind relaŃia 2ab≤a2+b
2 avem 2@f(x) @ g(x) ≤ f 2(x)+g
2(x). Integrăm inegalitatea pe intervalul [1,2] şi obŃinem:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 24 2 4 2
2 2
1 1 1
1 12 2
2 4e e e e
f x g x dx f x g x dx f x g x dx− + − +
⋅ ≤ + = ⇒ ⋅ ≤∫ ∫ ∫ .
9. Se consideră integralele 1
0
11
n
n
xI dx
x
+=
+∫ pentru orice n0N* .
a) Să se calculeze I1 . b) Folosind, eventual, faptul că x2 ≤ x, pentru orice x0[0,1] , să se demonstreze că I2 ≤ I1.
c) Să se demonstreze că 11
2ln 21n nI I
n+ + = +
+ pentru orice n0N
*.
R. a) Pentru n=1 se obŃine:1 1
1
1 0
0 0
11 1
1x
I dx dx xx
+= = = =
+∫ ∫ .
b) 1 2
2
0
11
xI dx
x
+=
+∫ . Din x2 ≤ x, ∀ x0[0,1] se obŃine x2+1 ≤ x+1⇒2 1 1
1 1x x
x x
+ +≤
+ +, ∀ x0[0,1]; integrăm pe
intervalul [0,1] şi se obŃine 1 12
2 1
0 0
1 11 1
x xdx dx I I
x x
+ +≤ ⇒ ≤
+ +∫ ∫ .
c) ( )1 1 1 1 11 1 1
1
0 0 0 0 0
1 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
nn n n n n n
n n
x xx x x x x xI I dx dx dx dx dx
x x x x x x
+ + +
+
+ + + + + + + + ++ = + = + = = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )11 1
00
2 1 12ln 1 2ln 2 2ln1 2ln 2
1 1 1 1
nn x
x dx xx n n n
+ = + = + + = + − = + + + + + ∫ .
10. Se consideră funcŃiile f , g: R→R, ( ) ( )2 21 1
şix x
x x
e ef x g x
e e
+ −= = .
a) Să se verifice că funcŃia g este o primitivă a funcŃiei f.
b) Să se calculeze ( ) ( )1
0
f x g x dx∫ .
c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0
' 'f x g x dx f x g x dx=∫ ∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
9
R. a) ( )( )
( )
' 2 22
2
2 11'
x x x x xx
xx
e e e e eeg x
e e
⋅ − − ⋅ −= = =
( )( )
2 2
2
2 1x
x x
e x
e e
e
⋅ − +( )
2 1x
x
ef x
e
+= = , adică g este
o primitivă a lui f .
b) ( ) ( )2 2 4
2 22
1 1 1x x xx x
x x x
e e ef x g x e e
e e e
− + − −= ⋅ = = −
şi
( ) ( ) ( )11 1 2 2 2 2 0 0 2
2 22
0 0 0
11
2 2 2 2 2 2 2 2
x xx x e e e e e e e
f x g x dx e e dxe
− −−
= − = + = + − + = + −
∫ ∫ .
c) ( ) xx
xx
x
x
x
eeee
e
e
exf −+=+=
+=
11 22 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'x x x x x xf x e e e x e e e− − −= + = + − = −
( ) xx
xx
x
x
x
eeee
e
e
exg −−=−=
−=
11 22⇒ ( ) ( ) ( ) xxxx eeeexg −− +=−= '''
şi atunci ( ) ( ) ( )( ) xxxxxx eeeeeexgxf 22 −−− −=−+=⋅
( ) ( ) ( )( ) xxxxxx eeeeeexgxf 22'' −−− −=+−=⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =⇒⋅=⋅1
0
1
0
'''' dxxgxfdxxgxfxgxfxgxf .
11. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R, ( ) ln xf x x
x= + .
a) Să se calculeze ( )1
lne
xf x dx
x
− ∫ .
b) Să se verifice că ( )2
12
e
ef x dx =∫ .
c) Să se arate că şirul care are termenul general ( )( )1
, 1
n
n
e
n
e
I f x x dx n
+
= − ≥∫ este o progresie aritmetică
cu raŃia 1.
R. ( )2 2 2
11 1 1
ln ln ln 1 12 2 2 2
e e e e
x x x x e ef x dx x dx xdx
x x x
− − = + − = = = − = ∫ ∫ ∫ .
b) ( ) ( )2 2 2
1 11 1 1 1 1
ln 1 ln 1ln ln ln '
2 2 2 2
e e e e e e e
x x x ef x dx x dx x dx xdx x x dx
x x
= + = ⋅ + = ⋅ + = + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2ln ln 1 1 12 2 2 2 2
e e= − + − =
2 10
2 2e
− + −2
2e
= .
c) Dacă diferenŃa a doi termeni consecutivi este constantă atunci este progresie aritmetică.
( )( ) ( )( )2 12 1 2 1
11 1
2 2
1
ln ln ln ln2 2
n nn n n n
n nn n n n
e ee e e e
n n
e ee e e e
x x x xI I f x x dx f x x dx dx dx
x x
+ ++ + + +
++ +
+ − = − − − = − = − =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 2 1 2 2 1 1ln ln ln ln2 2 2
n n n n n n n ne e e e+ + + + − + − + +− −= − = =
2n=
4n+ 24 n+ − 2n− 21 n− − 2n− 21 n− + 21
2 2= = şi atunci r = 1.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
10
12. Se consideră funcŃiile fm :[0,1] → R definite prin fm(x)=m
2x
2+(m2−m+1) x+1, unde m0R.
a) Să se calculeze ( )1f x dx∫ .
b) Să se calculeze ( )1
0
0
xe f x dx∫ .
c) Să se determine m0R* astfel încât ( )
1
0
32mf x dx =∫ .
R. a) ( ) ( )3 2
21 1
3 2x x
f x dx x x dx x C= + + = + + +∫ ∫ .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
int .1 1 1 1' 1
0 00 0 0 0
1
0
1 1 1
2 1 2 1 1
prinprti
x x x x x
x
e f x dx e x dx x e dx x e e dx
e e e e e
= + = + = + − =
= − − = − − + =
∫ ∫ ∫ ∫ .
c) ( ) ( )( ) ( )11 1 3 2
2 2 2 2 2
00 0
1 1 13 2m
x xf x dx m x m m x dx m m m x
= + − + + = + − + + =
∫ ∫
2 2 2 2 21 2 3 3 3 6 5 3 91
3 2 6 6m m m m m m m m− + + − + + − +
= + + = = şi
225 3 9 3
6 5 3 9 96 2
m mm m
− += ⋅ ⇒ − + = ⇒ ( )2
1 2
35 3 0 5 3 0 0,
5m m m m m m− = ⇒ − = ⇒ = = . Din
m0R* ⇒
35
m ∈
.
13. Pentru fiecare n0N se consideră integralele
2
lne n
n
e
xI dx
x= ∫ .
a) Să se verifice că I0 =1. b) Să se calculeze I1.
c) Folosind, eventual, faptul că 1≤ lnx ≤2, 2,x e e ∀ ∈ , să se demonstreze că 12 1
1 2 ,1
nn n
n
+ −≤ ≤ ∀ ∈
+N ,
pentru orice n0N.
R. a)
2 2
202
0
ln 1ln ln ln 2 1 1
e e
e
e
e e
xI dx dx x e e
x x= = = = − = − =∫ ∫ .
b) ( )22 2 2
2 2 2 2
1
ln 1 ln ln ln 4 1 3ln ln ln '
2 2 2 2 2
ee e e
ee e e
x x e eI dx x dx x x dx
x x
−= = ⋅ = ⋅ = = − = =∫ ∫ ∫ .
c) Din 1≤ lnx ≤2, 2,x e e ∀ ∈ prin ridicare la puterea n0N⇒ 2[ , ] 1 ln 2
1 ln 2 :n nx e e
n n n xx x
x x x
∈
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ şi
integrăm inegalitatea pe 2,e e ⇒
22 2 2
22 11 ln 2 lnln 2 ln
1
ee e en n nee n
e eee e e
x xdx dx dx x x
x x x n
+
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒+∫ ∫ ∫
( ) ( )1 2 1 1 1 1
2 2ln ln 2 1 2 1ln ln 2 ln ln 2 1 2 2 1 1 2
1 1 1
n n n n nn e n ne e
e e en n n
+ + + + +− − −= − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ − ⇒ ≤ ≤
+ + +.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
11
14. Se consideră funcŃia f :[−4,4]→R, ( ) 2 16f x x= − .
a) Să se calculeze ( )4
2
0
f x dx∫ .
b) Să se verifice că ( )
5
5
0x
dxf x
−
=∫ .
c) Să se demonstreze că ( )0
0 8m
f x dx≤ ≤∫ , oricare ar fi m0[0,2] .
R. a) ( ) ( )44 4 3 3
2 2
0 0 0
4 192 64 12816 16 16 4
3 3 3 3x
f x dx x dx x −
= − = − = ⋅ − = =
∫ ∫ .
b) ( ) ( )
5 5 55
2
2 2 55 5 5
16 16 5 16 5 016 16
x x xdx dx dx x
f x x x −− − −
−= = − = − − = − − − − =
− −∫ ∫ ∫ , sau
determinăm paritatea funcŃiei : 5, 5g − → R , ( )216
xg x
x=
−:
( )( )
( )2 21616
x xg x g x
xx
−− = = − = −
−− −, funcŃie impară pe intervalul simetric 5, 5 − ⇒
( )
5
5
0x
dxf x
−
=∫ .
c) Considerăm expresiile 4 + x şi 4 – x, unde x0[0,m], care sunt pozitive şi aplicăm inegalitatea mediilor:
02
a bab
+≤ ≤ ⇒ ( ) ( ) 24 4
0 4 4 0 16 42
x xx x x
+ + −≤ + − ≤ ⇒ ≤ − ≤ . Integrăm inegalitatea pe
intervalul [0,m], se obŃine: ( )2
0
0 0 0
0 16 4 0 4 4m m m
mx dx dx f x dx x m≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ =∫ ∫ ∫ , dar m ≤ 2 şi atunci
4m ≤ 8 şi avem ( )0
0 8m
f x dx≤ ≤∫ .
15. Se consideră funcŃia f :[0,1]→R definită prin ( ) 2 1xf x e x= + .
a) Să se verifice că ( )
1
20
11
f xdx e
x= −
+∫ .
b) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei g:R→R, g(x)=xe−x
f (x), axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x =1 .
c) Să se calculeze ( )1
2
1
1x f x dx
−
+ ⋅∫ .
R. a) ( )1 2
20
1
1
xf x e xdx
x
+=
+∫ 2 1x +
11 1
1 0
0 0 0
1x xdx e dx e e e e= = = − = −∫ ∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
12
b) ( ) 2 2 21 1 1x x x xg x x e e x x e x x x− − += ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = + şi
( ) ( ) ( ) ( )1
111 1 2 21
'2 2 2 2
0 0
0
11 1 11 1 1
12 2 212
g
xAria x x dx x x dx
++
Γ = + = + + = ⋅ =+
∫ ∫2
⋅ ( )1
32
0
13
x⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( )3 32 21 1 1 2 2 11 1 0 1 8 1 2 2 1
3 3 3 3− = ⋅ + − + = − = − =
.
c) ( ) ( ) ( ) ( )int1 1 1 1
'2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
prinpărti
x x xx f x dx x e x dx e x dx x e dx
− − − −
+ ⋅ = + ⋅ ⋅ + = + = + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )1 1 1
1 12 1 1
111 1 1
1 2 2 2 2 ' 2 2 2x x x x xx e xe dx e e x e dx e e xe e dx− −
−−− − −
= + − = − − = − − − =
∫ ∫ ∫
( ) ( )11 1 1 1 1 1
1
32 2 2 2 2 2 2 6 2x
e e e e e e e e e e e e e ee
− − − − − −
−
= − − + − = − − + − + = − = −
.
16. Se consideră integralele 3
2
21
n
n
xI dx
x=
−∫ , n0N.
a) Să se verifice că 0
1 3ln
2 2I = .
b) Să se calculeze I1.
c) Să se demonstreze că 1 1
23 2
1
n n
n nI In
+ +
+−
− =+
, pentru orice n0N.
R. a) 3 3 30
0 2 222 2
1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 3ln ln ln ln ln
2 1 2 4 3 2 4 1 2 21 1
x xI dx dx
xx x
− = = = = − = ⋅ = +− − ∫ ∫ .
b) ( ) ( ) ( )
3 3 23
21 2 2 2
2 2
1 '1 1 1 1 8ln 1 ln8 ln3 ln
2 2 2 2 31 1
xxI dx dx x
x x
−= = = − = − =
− −∫ ∫ .
c) ( )23 3 3 32 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1 1 1
nn n n n n n
n n
x xx x x x x xI I dx dx dx dx
x x x x x
+ + +
+
− −− = − = − = =
− − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1x −
3
2
dx =∫
33 1 1 1
22
3 21 1
n n nn x
x dxn n
+ + +−= = =
+ +∫ , ∀ n0N.
17. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R definită prin f (x)=lnx−x .
a) Să se calculeze ( )( )2
2
1
lnx f x x dx− +∫ .
b) Să se demonstreze că orice primitivă F a funcŃiei f este concavă pe intervalul (1,+∞) . c) Să se calculeze aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei h:[1,e]→R, h(x) = f(x) + x, axa Ox şi dreptele x =1 şi x=e.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
13
R. a) ( )( )2
2
1
ln lnx f x x dx x x− + = −∫ lnx x+ +( ) ( )2 2 232 2
11 1
2 43x
dx x dx= = =∫ ∫
3 32 1 8 1 7 284 4 4
3 3 3 3 3 3
= − = − = ⋅ =
.
b) F primitivă a funcŃiei f, atunci F’(x) = f(x) şi F’’(x) = f '(x) şi ( ) 1 1' 1
xf x
x x
−= − = .
Tabelul de semn: x 0 1 +4
F”(x)=f ' (x) + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - Pe (1,+4), F”(x) ≤ 0 ⇒ F este concavă pe (1,+4).
c) h:[1,e]→R, h(x)= f(x)+x = lnx − x + x = lnx şi
( ) ( ) ( )int .
1
1 1 1 1 1
1ln ln ' ln ln 1 ln1 1
prine e e e eparti
e
hAria h x dx xdx x x dx x x x dx e e dxx
Γ = = = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
11 1
ee x e e= − = − + = .
18. Se consideră funcŃia ( ) ( ): 0, , lnxf f x e x+∞ → = +R .
a) Ştiind că ( ) ( ) ( ): 0, , lng g x f x x+∞ → = −R , să se verifice că ( ) ( ) , 0g x dx g x C x= + >∫ .
b) Să se calculeze ( )1
e
f x dx∫ .
c) Să se demonstreze că ( )2 2
2
1
12
e ee e exf x dx
+ − +=∫ .
R. a) ( ) ( ) ln ln lnx xg x f x x e x x e= − = + − = şi ( ) ( ) , 0x xg x dx e dx e C g x C x= = + = + ∀ >∫ ∫ .
b) ( ) ( ) ( )int .
0
11 1 1 1 1
ln ln ln '
prine e e e epărŃie
x x xf x dx e x dx e dx xdx e x x dx e e= + = + = + ⋅ = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
� �
1
0 1011 1
1ln 1 ln 1 ln1 1 1 0 2 1 1
e e
ex x xdx e e e dx e e x e e e
x ==
+ − ⋅ = − + − ⋅ − = − + − − = − − + =∫ ∫ .
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
.var' '2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1ln ln
2 2
schimb dee e e eiabilă
x xxf x dx x e x dx e x dx x x dx= + = + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
( ) � �
2
2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 0
1 1 2 1ln ln 1 ln1 1
2 2 2
eex e e e e e
e x x x e e e e e= =
+ − − + = + − = + − − − + = =
2 2 12
ee e e+ − += .
( )( )
( )2 2
' '2 2 2 2 2
int .
, '
1ln ln ln ln ln ln
prinpărŃi
u x du x dx
x x dx u du u u du u u u du u u u C x x x Cu
= =
⋅ = = ⋅ = − ⋅ = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫���������
.
19. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R, ( )( )2 2
1 1
1f x
x x= −
+.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
14
a) Să se calculeze ( )( )2
1
1
1
e
x f x dxx
+ +
∫ .
b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe (0,+∞).
c) Să se verifice că ( ) ( )2
1
22'
81f x f x dx = −∫ .
R. a) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
e e e e
x f x dx x dx x dx dxxx xx x x
+ = − + = ⋅ = = + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1ln ln ln1 1ex e= = − =
b) Fie F:(0,+∞)→R, F’(x)=f(x) primitivă a funcŃiei f. Atunci
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )2 2 2 2
2 2 22 2 2
1 2 1 2 10, 0,
1 1 1
x x x x x xf x x
x x x x x x
+ − + + − += = = ≥ ∀ ∈ +∞ ⇒
+ + + F’(x) ≥ 0 şi atunci funcŃia F
este crescătoare pe (0,+∞).
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 222 2 2 2 2
2 2 2 2
11 1
2 1 1 1 1 1 1' '
2 2 2 2 12 1 1 1
f x f ff x f x dx f x f x dx
− = = = = − − − = + +
∫ ∫
2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1
2 4 9 4 2 4 9 4 4
= − − − = − − +
1 11
9 4− + −
1
2
=
9
22
36
−⋅
8⋅
422
9 81= − .
20. Se consideră funcŃiile f,F:R→R definite prin f(x)=e−x
şi ( ) ( )0
x
F x f t dt= ∫ .
a) Să se arate că F(x)= − f (x)+1, pentru orice x0R. b) Să se demonstreze că funcŃia h:R→R, h(x)=F(x)−f (x) este concavă pe R.
c) Să se calculeze ( )1
2
0
x f x dx⋅∫ .
R. a) ( ) ( ) ( )0
00 0
1 1x x
xt t x x
F x f t dt e dt e e e e f x− − − −= = = − = − + = − + = − +∫ ∫ .
b) h(x)=F(x)−f (x)= - f(x)+1-f(x)=1 – 2f(x) şi h(x)= - 2f '(x), iar h"(x)= −2f "(x).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' ' şi '' 'x x x x x xf x e x e e f x e x e e− − − − − −= = − ⋅ = − = − = − − ⋅ = . Cum 0,xe x− > ∀ ∈ R ,
f’’(x)>0 ⇒ h"(x)<0 şi h este concavă pe R.
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 11'2 2 1 0 1
00 0 0
1 1 1 11
2 2 2 2x x xx f x dx x e dx x e dx e e e e− − − − −⋅ = ⋅ = − − ⋅ = − = − − = − − =∫ ∫ ∫ .
1 1 1 11
2 2 2e e
e e e
− − = − − = − =
.
21. Se consideră funcŃia f : R→R, ( ) 3 3x xf x −= + .
a) Să se calculeze ( )1
1
f x dx
−∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
15
b) Să se calculeze volumul corpului obŃinut prin rotaŃia, în jurul axei Ox,a graficului funcŃiei g:[0,1]→R, ( ) 3 xg x −= .
c) Să se arate că orice primitivă F a funcŃiei f este concavă pe (-4,0] şi convexă pe [0, +4) .
R. a) ( ) ( )11 1 1 1 1 1
11 1
3 3 3 3 3 33 3
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
x xx xf x dx dx
− − −−
−− −
= + = − = − − − =
∫ ∫
1 12
63 3 3 3 163ln 3 ln 3 3ln 3
− − −− − += = = .
b) ( ) ( ) ( )11 1 1 2 2 0
2 2 2
00 0 0
3 3 33 3 2 '
2 2 ln 3 2 ln 3
xx x
gVol C g x dx dx x dxπ π π
π π− −
− − −= = = ⋅ − = − ⋅ = − = − ∫ ∫ ∫
11
92 ln 3 2
π π−= − ⋅ = −
8−
⋅49
ln 3 9 ln 3π
= .
c) Fie F :R → R, primitivă a lui f pe R, atunci F '(x)=f(x) şi F"(x)=f '(x),
( ) ( )' 3 ln 3 3 ln 3 ln 3 3 3x x x xf x − −= − = − şi tabelul de semn pentru derivată:
x -4 0 +4
F"(x)=f
'(x) - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +
Pe (-4,0], F"(x) ≤ 0 ⇒ F este concavă, iar pe [0,+4), F"(x) ≥ 0 ⇒ F este convexă.
22. Se consideră funcŃia f: [2, +4)→R, ( ) 1 11
f xx x
= +−
.
a) Să se calculeze ( )2
11
e
f x dxx
− − ∫ .
b) Să se arate că orice primitivă F a funcŃiei f este convexă pe [2,+4). c) Să se determine a>2 astfel încât aria suprafeŃei plane mărginite de graficul funcŃiei f axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=2 şi x=a să fie egală cu ln 3.
R. a) ( )2
1 1 11 1
e
f x dxx x x
− = + − − ∫1
1x−
− 2
2 2
1ln ln ln 2 1 ln 2
e e
edx dx x e
x
= = = − = −
∫ ∫ .
b). F este concavă dacă F"(x) ≤ 0 pe [2,+4). Calculăm derivata a doua a funcŃiei F: F '(x) = f (x) şi
( )( ) ( )
' '
2 22 2
1 1 1 1 1 1"( ) ' 0, [2, )
1 1 1F x f x x
x x x xx x
= = + = − − = − + > ∀ ∈ +∞ − − − şi atunci F "
este concavă pe [2,+4).
c) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1ln ln 1 ln 2 ln
2
a
f
a aAria f x dx x a
−Γ = = + − − =∫ şi Aria(Γf)=ln3⇒
( ) ( ) 2 21 1ln ln 3 3 6 6 0
2 2
a a a aa a a a
− −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − − =
2 4 25 5b ac∆ = − ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = , 2 1
1,2
2
1 52
4 21 52
32
ab b ac
aa
a
− = = −− ± − = ⇒
+ = =
.
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
16
Cum a>2, valoarea cerută este a=3.
23. Se consideră funcŃiile f , F : [1, +4)→R, date prin ( ) 1lnf x x
x= + şi F ( x ) = ( x + l)lnx − x +1.
a) Să se arate că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f .
b) Să se calculeze ( )2
1
xf e dx∫ .
c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )22
1
3ln 2 1
2f x F x dx
−=∫
R. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1' 1 ' ln 1 ln ' ' 1' ln 1 1 ln
xF x x x x x x x x x
x= + + + − + = + + ⋅ − = +
1 x+ −x
=
( )1ln x f x
x= + = .
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
222 2 2
1 11
1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1x x x x xf e dx F e e e e e e e e e e= = + − + = + − + − + − + = ∫
( )2 21 2 1e e= + ⋅ − + ( )1 1 1e e− + ⋅ + − 2 22 2e e e= + − − 1 e− + 2 1e= + .
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
22 22 2 2
11 1
2 1 ln 2 2 1 2 ln1 1 1'
2 2
F xf x F x dx F x F x dx
=
+ − + − − += = = =∫ ∫
������
( )23ln 2 1
2
−= .
24. Se consideră integralele 2
1
,n x
nI x e dx n= ∈∫ N .
a) Să se calculeze I0 .
b) Să se arate că I1 = e2.
c) Să se arate că ( ) ( )111 2 1n
n nn I I e e+++ + = − , pentru orice n0N.
R. a) ( )2 2
20 20 1
1 1
1x x xI x e dx e dx e e e e e= = = = − = −∫ ∫ .
b) ( )int .2 2 2 2
2 22 21 1 1
1 1 1 1
' ' 2 2
prinpărti
x x x x x xI xe dx x e dx xe x e dx e e e dx e e e= = = − = − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫
22e e= − 2e e− + 2e= .
c) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
21 1 1 1 1 2 11 1
1 1 1 1
' ' 2 1 1n x n x n x n x n n n x
nI x e dx x e dx x e x e dx e e n x e dx+ + + + + ++ = = = − = − − +∫ ∫ ∫ ∫ ⇒
( ) ( )1 2 1 2 11 12 1 2 2 1n n n
n n n nI e e n I I I e e e e+ + ++ += − − + ⇒ + = − = − , pentru orice n0N.
25. Se consideră funcŃia f: R → R de forma f(x) = x
3 + mx2 + nx + p unde m,n,p0R
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
17
a) Pentru m = 0, n = −3, p = 2, să se calculeze ( )1
0
f x dx∫ .
b) Să se determine m,n,p0R ştiind că f ′(−1) = f ′(1) = 0 şi că ( )1
1
4f x dx
−
=∫ .
c) Să se calculeze ( )4
0
1lim
x
xf t dt
x→+∞ ∫ .
R. a) Pentru m = 0, n = −3, p = 2, avem f(x) = x3 − 3x + 2 şi
( ) ( )11 1 4 2
3
00 0
1 3 1 6 8 33 2 3 2 2
4 2 4 2 4 4x x
f x dx x x dx x − +
= − + = − + = − + = = ∫ ∫ .
b) ( ) 2' 3 2f x x mx n= + + şi
( )( )
' 3 2 3 2 0 2 3
3 2 0 2 3' 1 3 2
2 6 3 şi 0
f m n m n m n
m n m nf m n
n n m
− = − + − + = − + = − ⇒ ⇔
+ + = + + = −= + + = − ⇒ = − =
( )11 4 2
11
1 3 1 34 3 4 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2x x
f x dx px p p p p
−−
= ⇒ − + = ⇒ − + − − − = ⇒ = ⇒ = ∫ .
c) ( ) ( )4 3 2 4 3 2
3 2
00 04 3 2 4 3 2
xx x
t t t x x xf t dt t mt nt p dt m n pt m n px
= + + + = + + + = + + +
∫ ∫ şi
( )
3 24
4 4
0
11 14 3 2lim lim
4
x
x x
x xx m n px
f t dtx x→+∞ →+∞
+ + += =∫ .
26. Se consideră funcŃiile f , g : (0,+ ∞)→R definite prin f (x) =1+ ln x şi g (x) = xln x . a) Să se arate că g este o primitivă a funcŃiei f .
b) Să se calculeze ( ) ( )1
e
f x g x dx⋅∫ .
c) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x =1 şi x = e .
R. a) ( ) ( ) ( ) ( )1' ln ' ' ln ln ' ln ln 1g x x x x x x x x x x f x
x= = + = + ⋅ = + = ⇒ g este o primitivă a funcŃiei f.
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
22 2 2
11 1
1' 1
2 2
ueudu Ce e
g xf x g x dx g x g x dx g e g
= +∫⋅ = ⋅ = = − =∫ ∫
( )2
2 2 2 2 2 21 1ln 1 ln 1 1
2 2 2e
e e e= − = ⋅ = .
c) ( ) ( )3 3
2 2 2
11
2 2 2 2ln ln ln ln
3 3 9 3 3 9
ee
f
x eVol C f x dx x x e eπ π π
= = − + = − + − ∫
3 321 2 2 2 2 1 2 5 2
ln 1 ln1 13 3 9 3 3 9 3 9 27
e eπ
− − − + = − + − ⋅ = .
Am calculat primitiva:
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
18
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 32 2 2 2 2 2 2
3 3 3 32 2
2
3 32 2
2 2 1ln ln ln ln ln
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2ln ln ln ln .
3 9 9 3 3 3 9
1 1ln ' 2 ln ln '
' '3 3
x x xf x dx x xdx x x xdx x x x dx
x x x xx x C x x C
f x x f x x f x x f xx x
x xg x x g x g x x g x
= = − = − − =
= − + ⋅ + = − + +
= ⇒ = ⋅ = ⇒ =
= ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫ ∫ ∫
27. Se consideră funcŃia f :R→R, f (x)=x
1004+2009x .
a) Să se determine ∫ f (x)dx . b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este funcŃie crescătoare pe R.
c) Să se calculeze ( )1
2
0x f x dx⋅∫ .
R. a) ( ) ( )1005
1004 20092009 +
1005 ln 2009
xx x
f x dx x dx C= + = +∫ ∫ .
b) Fie F :R→R o primitivă a funcŃiei f, atunci F'(x) = f(x) şi x1004 >0, 2009x>0 ⇒ f(x)>0, atunci F este funcŃie crescătoare pe R.
c) ( ) ( )2 2
120101 1 1 12 2008 2009
0 0 0 00
12009 2 2009
2 2010x x x
x f x dx x x dx x dx x dx⋅ = ⋅ + = + ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫
( )2
2
11 '2
00
1 1 1 2009 1 1 2009 12009
2 2010 2 ln 2009 2010 2 ln 2009 ln 2009
ua du xx x dx
∫ + ⋅ = + ⋅ = + − = ∫
1 1 20082010 2 ln 2009
= + ⋅ .
28. Se consideră funcŃia f:R→R, ( )2
2
2 1
1
x xf x
x
+ +=
+.
a) Să se determine ( ) ( )2 1x f x dx+ ⋅∫ .
b) Să se verifice că ( ) ( )1
0ln 2f x dx e=∫ .
c) Să se arate că ( ) ( ) ( )1
0' 1f x
f x e dx e e⋅ = −∫ .
R. a) ( ) ( ) ( )2 21 1x f x dx x+ ⋅ = +∫2
2
2 1
1
x x
x
+ +⋅
+( )
32 22 1
3x
dx x x dx x x C= + + = + + +∫ ∫ .
b) ( )( ) ( )
''221 1 1 1 11 22 2 20 00 0 0 0
11 2 21 1 ln 1
1 1 1
udu
uxx x xf x dx dx dx x dx x
x x x
∫++ + = = + = + = + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫
( )ln ln 2 ln1 ln 2e e= + − = .
c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ' 1 1 0 2 1
00 0' 1f x f x f x f f
f x e dx e dx e e e e e e e⋅ = = = − = − = −∫ ∫ .
29. Se consideră integralele 1
0 1
xeI dx
x=
+∫ şi 1
0 1
xxeJ dx
x=
+∫ .
a) Să se verifice că I + J = e −1.
b) Utilizând, eventual, inegalitatea ex ≥ x + 1, adevărată pentru orice x0R , să se arate că 12
J ≥ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
19
c) Să se demonstreze că ( )
1
20
22 1
xe eI dx
x
−= +
+∫ .
R. a) ( )1 1 1 1
0 0 0 0
1
1 1 1 1 1
xx x x x x x e xe xe e xe e xe
I J dx dx dx dxx x x x x
+ ++ = + = + = = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫
1
1x +
1
01
dx =∫
1 1 1 0
001x xe dx e e e e= = = − = −∫ .
b) Luând [ ]
( ) ( )[ ]
0 1 0
0,1 0,11 1 : 1
1
xx xx x
x x
xee x x xe x x x x
x
≥ + ≥
∈ ∈≥ + ⋅ ⇒ ≥ + + ⇒ ≥ ⇒
+
121 1
0 00
11 2 2
xxe xdx xdx J J
x⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
+∫ ∫ .
c) Aplicăm metoda integrării prin părŃi pentru calculul integralei definite I :
( )( ) ( )
( )
11 1 1 1'
2 20 0 0 0
0
1
20
1 11
1 1 1 21 1
2.
2 1
x x xx x
x
e e e eI dx e dx e dx dx
x x x x x
e edx
x
= = ⋅ = − ⋅ − = − + = + + + + +
−= +
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
30. Pentru orice număr natural n se consideră ( )1
01
n
nI x x dx= +∫ .
a) Să se calculeze I1 .
b) Utilizând faptul că ( ) ( ) 11 1
n nx x
++ ≤ + , pentru orice n0N şi x0[0,1], să se arate că I2009 ≥I2008 .
c) Folosind, eventual, identitatea ( ) ( ) ( )11 1 1
n n nx x x x
++ = + − + , adevărată pentru orice n0N şi x0R,
să se arate că ( )( )
12 11 2
n
n
nI
n n
+⋅ +=
+ +.
R. a) ( ) ( )11 2 31
21
000
1 1 3 2 51
2 3 2 3 6 6x x
I x x dx x x dx +
= + = + = + = + = = ∫ ∫
b) Din ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 , 0 1 1
n n n nx x x x x x x x
+ ++ ≤ + ⋅ ≥ ⇒ + ≤ + şi pentru n = 2008 se obŃine:
( ) ( )2008 20091 1x x x x+ ≤ + . Integrăm pe intervalul [0,1] ⇒
( ) ( )1 1
2008 2009
2008 2009 2009 2008
0 0
1 1x x dx x x dx I I I I+ ≤ + ⇒ ≤ ⇒ ≥∫ ∫ .
c) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 2 1111
' 100 0
1 11 1 1
2 1
aplicam n nu x xegalitatea
n n n
ndata u x
x xI x x dx x x dx
n n
+ += ++
=
+ + = + = + − + = − = + + ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 12 1 2 2 1 2 1 22 2 1 12 1 2 1 1 2
n nn n n n n n
n n n n n n
+ ++ + + ⋅ − + ⋅ − + + += − − + = =
+ + + + + +
12 2 2n n+ +=
2n− −( ) n− 1 n− +
( ) ( ) ( ) ( )
12 2 11 2 1 2
nn
n n n n
++ ⋅ +=
+ + + +.
31. Se consideră funcŃia f:R→R, f (x)=xe
x.
a) Să se determine ( )1
0
xf x e dx−∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
20
b) Să se arate că ( )1
0'' 2 1f x dx e= −∫ .
c) Să se calculeze ( )2
2
1
f xdx
x∫ .
R.a) ( )0
121 1 1
0 0 001
12 2
x x x
e
xf x e dx x e e dx xdx
− −
=
= ⋅ = = =∫ ∫ ∫���.
b) ( ) ( ) ( )' ' ' 1x x x x xf x x e x e e xe e x= + = + = + şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0
0 00'' ' 1 1 1 - 1 0 2 1xf x dx f x e x e e e= = + = + + = −∫ .
c) ( )2 22
1
f x xdx
x=∫
2xe
x( ) ( ) ( )2 2 2
22 2 22 4 3
1 1 1 1
1 1 1' 1
2 2 2 2x x x e
dx xe dx e x dx e e e e= = ⋅ = = − = −∫ ∫ ∫ .
32. Se consideră funcŃiile f,g:[0,1]→R, f(x)=1−x , g(x)=1 − x + x2 − x3 +...+ x2008 − x2009 . a) Să se determine mulŃimea primitivelor funcŃiei f. b) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox, a graficului funcŃiei f .
c) Să se arate că ( ) ( )1
01 1x g x dx+ <∫ .
R. a) ( ) ( )2
12x
f x dx x dx x C= − = − +∫ ∫ .
b) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 122 2
0 0 0 0 01 1 2fVol C f x dx x dx dx xdx x dxπ π π= = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
13
2
0
13x
x xπ π
= − + =
1−13 3
π + =
.
c) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1
2 3 2008 2009 2010
0 0 01 1 1 ... 1x g x dx x x x x x x dx x dx+ = + − + − + + − = − =∫ ∫ ∫
12011
0
11 1
2011 2011x
x
= − = − <
.
33. Pentru orice număr natural nenul n se consideră, 1
0 1
n
n
xI dx
x=
+∫ .
a) Să se calculeze I1.
b) Să se arate că 1
11n n
I In
+ + =+
, oricare ar fi n∈N*.
c) Utilizând, eventual, inegalitatea 2 1
n nnx x
xx
≤ ≤+
, adevărată pentru orice x∈[0,1] şi n∈N*, să se
demonstreze că 2009
12010 1
2I≤ ⋅ ≤ .
R. a) ( )1 1 1 1
1 00 0 0
1 1 11 ln 1 1 ln 2 ln
1 1 1 2x x e
I dx dx dx x xx x x
+ − = = = − = − + = − = + + + ∫ ∫ ∫ .
b) ( )1 11 1 1 1
1 0 0 0 0
1
1 1 1 1 1
nn n n n
n n
x xx x x xI I dx dx dx dx
x x x x x
+ +
+
+ + = + = − = = + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 111
00
11 1
nn x
x dxn n
+
= = =+ +∫ .
Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate
21
c) 2 1
n nnx x
xx
≤ ≤+
, ∀x∈[0,1] şi n∈N*⇒
2009 20092009
2 1x x
xx
≤ ≤+
, ∀x∈[0,1] şi folosind monotonia integralei
definite obŃinem: 2009 20091 1 1 2009
0 0 02 1x x
dx dx x dxx
≤ ≤+∫ ∫ ∫ ⇒
1 12010 2010
2009 2009 2009
0 0
1 1 12010 2010 1
2 2010 2010 2 2010 2010 2x x
I I I≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅ ≤⋅ ⋅
.
34. Se consideră funcŃiile f, g:(0,+∞)→R, f (x)=x
2+xln x şi g(x)=2x+lnx+1. a) Să se arate că f este o primitivă a funcŃiei g.
b) Să se calculeze ( ) ( )1
e
f x g x dx∫ .
c) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 1 şi x = e.
R. a) f este primitivă a lui g dacă f '(x) = g(x), ∀∈(0,+∞).
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1' ' ln ' 2 ' ln ln ' 2 ln 2 ln 1f x x x x x x x x x x x x x x g x
x= + = + + = + + ⋅ = + + = .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 11
1'
2 2
e
e e f x f e ff x g x dx f x f x dx
−= ⋅ = = =∫ ∫
2 2 2ln 1 1ln1 12 2
e e e e e+ − − + −= = .
c)
( ) ( ) ( )3 2
2 2
1 1 1 11 1
2
ln ln ln3 2
e ee e e e
f
x xAria f x dx x x x dx x dx x xdx x
x
Γ = = + = + = + −
−
∫ ∫ ∫ ∫
12 x
⋅3 2 3 2 2
1 11
3 2 2 3 2
1 1 1 1ln ln1
3 3 2 2 2 3 2 3 4
1 1 1.
3 2 3 4 4 3 4 12
ee ee e e e x
dx e xdx
e e e e e
= − + − − = + − − =
= + − − + = + −
∫ ∫
35. Se consideră funcŃiile f,F:R→R, ( ) 23 2xf x e x= + + şi ( ) 3 2 1xF x e x x= + + − .
a) Să se arate că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f.
b) Să se calculeze ( ) ( )1
0f x F x dx⋅∫ .
c) Să se demonstreze că ( ) ( )( ) ( )1
01xf x F x dx F+ =∫ .
R. a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2' ' ' 2 ' 1'=e 3 2x xF x e x x x f x= + + − + + = .
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 2
1 1
0 00
1 0'
2 2
F x F Ff x F x dx F x F x dx
−⋅ = ⋅ = = =∫ ∫
1e +=
2 1+ −( ) ( ) ( )2 20 21 2
2 2
e e− − += .
c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1
0 0 0' 'xf x F x dx x F x x F x dx x F x dx+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1
01 1 0 0 1x F x F F F= ⋅ = ⋅ − ⋅ = .
Clase de resturi – probleme clasa a XII-a
1
Clase de resturi
Tabla adunării şi tabla înmulŃirii în Z5: Tabla înmulŃirii în Z6 şi tabla adunării în Z6:
Tabla adunării din Z8: Tabla înmulŃirii în Z8:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 4 6 0 2 4 6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 3 6 1 4 7 2 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 0 4 0 4 0 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 0 5 2 7 4 1 6 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 0 6 4 2 0 6 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ7 0 7 6 5 4 3 2 1
i
Tabla înmulŃirii în Z11:
�
�
�
�
�
�
�
�
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 92ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 3 6 9 1 5 7 10 2 5 83
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 74
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5ˆ ˆ7
8̂
9̂
10
i
�
�
�
�
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 2 3 4 5 6 7 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2 3 4 5 6 7 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 3 4 5 6 7 0 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ4 4 5 6 7 0 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 5 6 7 0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ6 6 7 0 1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ7 7 0 1 2 3 4 5 6
+
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 00
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 51
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 2 4 0 2 42
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 3 0 3 0 33
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 4 2 0 4 24
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 0 5 4 3 2 1
i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 50
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 01
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 4 5 0 12
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 4 5 0 1 23
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ4 5 0 1 2 34
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 5 0 1 2 3 4
+ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 4 1 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 1 4 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 3 2 1
⋅ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 4 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 3 4 0 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 4 0 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 0 1 2 3
+
Clase de resturi – probleme clasa a XII-a
2
Probleme propuse bacalaureat 2007
1. DeterminaŃi inversul lui 3̂ în Z11 în raport cu operaŃia de înmulŃire.
2. a) DeterminaŃi simetricul lui 7̂ în Z8 în raport cu operaŃia de adunare.
b) CalculaŃi suma S = 7̂6̂5̂4̂3̂ ++++ în Z8.
3. CalculaŃi produsul 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ în Z8.
4. CalculaŃi suma elementelor din Z14.
5. DeterminaŃi 6ˆ Z∈y astfel încât 3̂ˆ3̂ =⋅ y .
6. DeterminaŃi 9ˆ Z∈x astfel încât 1̂5̂ˆ =⋅x .
7. DeterminaŃi 8ˆ Z∈x astfel încât 0̂3̂ˆ =+x .
8. CalculaŃi produsul elementelor inversabile faŃă de înmulŃire în Z5.
9. CalculaŃi 20072̂ în Z12.
10. CalculaŃi 20074̂ în Z8.
11. RezolvaŃi în Z5 ecuaŃia .3̂4̂ˆ2̂ =+⋅ x
12. RezolvaŃi în Z6 ecuaŃia .4̂2̂ˆ4̂ =+⋅ x
13. RezolvaŃi în Z8 ecuaŃia .4̂ˆ2̂ =⋅ x
14. CalculaŃi probabilitatea că un element din Z6 să verifice relaŃia .0̂ˆ3̂ =⋅ x
Probleme propuse bacalaureat 2008
1. Se consideră inelul (Z6 ,+,A) , unde { }6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5=Z
a) Să se rezolve ecuaŃia ˆ ˆˆ2 5 1x + = , x0Z6 .
b) Să se calculeze determinantul
ˆ ˆ ˆ1 2 3
ˆ ˆ ˆ2 3 1
ˆ ˆ ˆ3 1 2
în Z6 .
c) Să se rezolve în Z6 sistemul de ecuaŃii ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
+ =
+ =.
2. Se consideră (Z8,+,A) inelul claselor de resturi modulo 8. a) Să se calculeze în Z8 suma ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7S = + + + + + + . b) Să se calculeze în Z8 produsul elementelor inversabile ale inelului.
c) Să se rezolve în Z8 sistemul ˆ ˆˆ2 5 2
ˆ ˆ ˆ3 2 5
x y
x y
+ =
+ =.
3. Se consideră inelul (Z6 ,+,A) .
Clase de resturi – probleme clasa a XII-a
3
a) Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulŃirea din inelul (Z6 ,+,A). b) Se consideră S suma soluŃiilor ecuaŃiei ˆ ˆ ˆ2 1 5x + = şi P produsul soluŃiilor ecuaŃiei x2 = x , unde x0Z6 . Să se calculeze S + P. c) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul (Z6 ,+,A), acesta să fie soluŃie a ecuaŃiei 3 0̂x = .
4. În mulŃimea M3 (Z8 ) se consideră matricele 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 0 1 0 0 1 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 3 0 , 2 3 0 , 0 1 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 0 5 3 7 5 0 0 1
A B I
= = =
Se notează X 2 = X A X , pentru ∀X 0M3 (Z8 ) . a) Să se arate că A2
= I3 . b) Să se rezolve ecuaŃia matricială AA X = I3 , unde X 0M3(Z8) . c) Să se calculeze (B − A)2
.
Rezolvări probleme bacalaureat 2007
1. DeterminaŃi inversul lui 3̂ în Z11 în raport cu operaŃia de înmulŃire.
R. Din tabla înmulŃirii în Z11⇒ ˆ ˆ ˆ3 4 1⋅ = şi atunci 1ˆ ˆ3 4− =
2. a) DeterminaŃi simetricul lui 7̂ în Z8 în raport cu operaŃia de adunare.
b) CalculaŃi suma S = 7̂6̂5̂4̂3̂ ++++ în Z8.
R. a) Din tabla adunării în Z8⇒ ˆ ˆ7̂ 1 0+ = şi atunci ˆ7̂ 1− =
b) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 4 5 6 7 7 5 6 7 4 6 7 2 7 1+ + + + = + + + = + + = + =
3. CalculaŃi produsul 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ în Z8.
R.łinând cont că înmulŃirea este comutativă, calculăm ˆ ˆ ˆ2 4 0⋅ = şi atunci produsul este 0̂
4. CalculaŃi suma elementelor din Z14.
R. � � � �ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13+ + + + + + + + + + + + + =
�( ) �( ) �( ) �( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 00 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 13 2 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 7
= == = = =
= + + + + + + + + + + + + =
5. DeterminaŃi 6ˆ Z∈y astfel încât 3̂ˆ3̂ =⋅ y .
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ3 1 3, 3 2 0, 3 3 3, 3 4 0, 3 5 3⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = şi atunci { }ˆ ˆ ˆˆ 1, 3,5y∈ .
Clase de resturi – probleme clasa a XII-a
4
6. DeterminaŃi 9ˆ Z∈x astfel încât 1̂5̂ˆ =⋅x .
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
i
⇒ ˆˆ 2x =
7. DeterminaŃi 8ˆ Z∈x astfel încât 0̂3̂ˆ =+x .
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 3 4 5 6 7 0 1 2
+⇒ ˆˆ 5x =
8. CalculaŃi produsul elementelor inversabile faŃă de înmulŃire în Z5.
R. Elementele inversabile sunt: ˆ ˆ ˆ ˆ1,2,3,4 şi produsul lor ˆ ˆ2 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 4 4⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ =
9. CalculaŃi 20072̂ în Z12.
R. ˆ ˆ2 3 4 5 6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4, 2 8, 2 4, 2 8, 2 4= = = = = şi se repetă aceleaşi valori, atunci 2007=1003A2+1 şi
2007ˆ ˆ2 4= .
10.CalculaŃi 20074̂ în Z8.
R. 1 2 3 2 2007ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4,4 0,4 4 4 0 4 0,..., 4 0= = = ⋅ = ⋅ = =
11.RezolvaŃi în Z5 ecuaŃia .3̂4̂ˆ2̂ =+⋅ x
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 4 3 1 2 4 2x x x⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ =
12.RezolvaŃi în Z6 ecuaŃia .4̂2̂ˆ4̂ =+⋅ x
R. { }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 2 4 4 4 2 2,5x x x⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ ∈
13.RezolvaŃi în Z8 ecuaŃia .4̂ˆ2̂ =⋅ x
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 0 4 0 4 0 4
i
⇒ { }ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0, 2, 4,6x =
14.CalculaŃi probabilitatea că un element din Z6 să verifice relaŃia .0̂ˆ3̂ =⋅ x
R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 0 3 0 3
i
⇒ { }ˆ ˆ ˆˆ 0, 2, 4x =
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
Structuri algebrice
1. Monoid Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea); M2. eM astfel încât x*e = e*x = x, xM (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:EE, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor). 2. Grup Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z), x,y,zG(asociativitatea); G2. eG astfel încât x*e = e*x = x, xG (e element neutru); G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),
comutativ; 5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia 2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,), (G2,): Definiţia 2.2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism). 3. Inel Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y şi AxAA, (x,y)xy, A nevidã; Definiţia 3.1. (A,+,) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,) este monoid şi D. este distributivã faţã de +: x(y+z) = xy + yz (y+z)x = yx + yz, x,y,zA
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
dacã C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ} 3. (Rn,,) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n.
Fie inelele (A,,*) şi (A’,,o): Definiţia 3.1. f:AA’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(xy)
= f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA. Definiţia 3.2. (A,+,) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x0, y0 implicã xy0. Definiţia 3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã divizori ai lui
zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia 3.4. Dacã (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul comutativ al
polinoamelor cu coeficienţi în A. fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de
nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an0, grad f = n (an – coeficient dominant); - dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -.
Proprietãţi: 1. grad (f+g) max{grad f, grad g}; 2. grad fg grad f + grad g.
Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad fg = grad f + grad g, f,gA[X]. 4. Corp Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y şi KxKk, (x,y)xy, K – nevidã. Definiţia 4.1. (K,+,) este corp dacã (K,+,) este inel, 01 şi xK, x0 x-1K, astfel încât xx-1 = x-1 x = 1. Dacã xy = yx, x,yK, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ) – corpul numerelor complexe;
4. (Q( d ),+,) – corpul numerelor pãtratice (dZ, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p – numãr prim).
Definiţia 4.2. Fie corpurile (K,,*) şi (K’,,o), f:KK’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
Caz general Fie pe R operaţia x y=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y R. Se cere:
1. Să se arate că, x,y R x y=a(x-b)(y-b)+b; 2. Să se arate că f :RR, f(t)=a(t-b), este funcţie bijectivă care verifică totodată
f(x y)=f(x) f(y), x,y R; 3. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0
considerând H =(- ;b), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0
considerând H =(- ;b), să se arate că f :HR+* , f(t)=a(t-b), este izomorfism de la
(H; ) la (R+* ; ) ;
5. Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6. Să se arate că x,y Q\ Z încât x y Z; 7. Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8. Să se arate că x,y,z R, are loc ( x y ) z = x ( y z ) ; 9. Să se arate că e R încât, x R, verifică x e = e x = x ;
10. Să se arate că, x R\{ b }, x' R\{ b } încât x x'= x' x= 1
a+ b;
11. În cazul alegerii a > 0, considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a<0, considerând H=(- ;b), să se determine ce fel de structură este (H, );
12. Să se rezolve ecuaţia 1
x b x a A B Ca
, x (0,+ ), unde A="an"-b-c,
B="an"-b+c, C=ac2+b, c Z; 13. Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14. Să se determine valoarea expresiei
E=(-"an") (-"an"+1) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... ("an"-1) ("an"); 15. Să se arate că, x,y,z R, x y z=a2(x-b)(y-b)(z-b)+b; 16. Să se rezolve în R ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b; 17. Să se rezolve în R ecuaţia (b-|b|+dx) (logdx) (b-1+Cx
”an”)=b, d N, d 2;
18. Să se arate că 1...nn
de nori
A A A a A b b
, n N, A fiind un număr real liber
ales, spre exemplu A = ”an”; 19. Să se determine cel mai mic număr n N* cu proprietatea (b+1) (b+2) (b+3) ... n
"an"; 20. Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=a4 A5+b, A fiind un număr real liber ales, spre
exemplu A = ”an”. Rezolvare 1. Se verifică imediat, prin calcul direct:
x y=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1) 2. Justificarea bijectivităţii funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), este imediată, ca funcţie de
gradul întâi. Conform cu
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
x y=a(x-b)(y-b)+b x y-b=a(x-b)(y-b)| a a(x y-b)=a(x-b) a(y-b) este chiar cerinţa, respectiv f(x y)=f(x) f(y).
3. Fie x H (x-b)0 şi y H (y-b)0 şi atunci (x-b)(y-b)0, dar cum a este constantă nenulă şi de semn prestabilit, apartenenţa a(x-b)(y-b)+b=x y H este justificată.
4. Variaţia funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), studiată anterior, arată imediat că restricţia f :H R*
+ este bijectivă. Tot din datele anterioare, este evident că H este parte stabilă a structurii (R; ) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismul fiind astfel demonstrat.
5. Comutativitatea este imediată
6. Luând x y=a(x-b)(y-b)+b şi alegând x-b=2
3 şi y-b=
3
2, deoarece b Z, evident x,y Q\Z
şi x y=a+b Z.
7. Pe aceeaşi idee, alegând x-b= 2 -1 şi y-b= 2 +1, se va obţine x,y R\Q şi x y=a+b Z. Se observă că alegerea nu este unică, admiţând chiar o infinitate de posibilităţi.
8. Asociativitatea se demonstrează prin calcul
9. Din x y=a(x-b)(y-b)+b şi x e=x conduce la a(x-b)(e-b)+b=x din care se obţine 1
e ba
10. Dubla egalitate x x'=x' x=1
ba se reduce de fapt la x x'=
1b
a care se exprimă în
forma a(x-b)(x'-b)+b=1
ba , obţinând
2
1'x b
a x b
care este în mod evident din
R\{b}, justificând afirmaţia din item 10. 11. Structura (H; ) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăţilor fiind asigurată de
concluzii anterioare.
12. Cum 1 1
,e b x b x a A B Ca a
devine x x=a A B+C, adică a(x-
b)2+b=a ("an"-b-c)×("an"-b+c)+ac2+b. Observând diferenţa de pătrate, din a(x-b)2=a [("an"-b)2-c2]+ac2 se obţine (x-b)2=("an"-b)2 şi în final x="an", în condiţia alegerii evidente 2b-"an"<0<"an"-b.
13. Din x y=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea menţionată, x = x=. 14. Cum =b se regăseşte printre „factorii” ce compun expresia E , răspunsul la este
E==b. 15. Se obţine prin calcul folosind x y=a(x-b)(y-b)+b. 16. Ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b devine ("an"x2-x)(x2-"an"x)=0 şi răspunsul va fi
10;"an";
"an"x
.
17. Ecuaţia devine (dx-|b| )(logd x-b ) "an" 1xC =0 , deci log ; ;0;"an"bdx b d .
18. Izomorfismul conduce imediat la 11 2
1
...n
nn k
k
x x x a x b b
şi astfel
identitatea 1...nn
de n ori
A A A a A b b
este evidentă.
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
19. (b+1) (b+2) (b + 3) ... n=an-b-1 (n-b)!+b şi astfel se determină imediat răspunsul. 20. x x x x x=a4 (x-b)5+b şi a4 (x-b)5+b =a4 A5+b soluţia x=A+b. Exemplul (corespunzător alegerii a=1, b=5, c=5 şi d=2) Fie pe R operaţia x y=xy-5x-5y+30,x,y R. Se cere: 1) Să se arate că, x,y R, x y=(x-5)(y-5)+5; 2) Să se arate că f :RR, f(t)=t-5, este funcţie bijectivă, care verifică totodată f(x y)=f(x) f(y), x,y R. 3) Considerând H = (5;+ ), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4) Considerând H = (5;+ ), să se arate că f :HR+
*, f(t)=t-5, este izomorfism de la (H; ) la ( R*
+ ; ); 5) Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6) Să se arate că x,y Q\Z încât x y Z; 7) Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8) Să se arate că, x,y,z R, are loc ( x y) z = x ( y z ) ; 9) Să se arate că e R încât x R verifică x e = e x = x ; 10) Să se arate că, x R\{ 5 }, x' R\{5} încât x x'=x' x=6; 11) Considerând H = (5;+ ), să se determine ce fel de structură este (H, ); 12) Să se rezolve ecuaţia x 6 x=1999 2009+30, x (0,+ ) ; 13) Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14) Să se determine valoarea expresiei E=(-2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009; 15) Să se arate că, x,y,z R, x y z=(x-5)(y-5)(z-5)+5; 16) Să se rezolve în R ecuaţia (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5; 17) Să se rezolve în R ecuaţia (2x) (log2x) (4+Cx
2009)=5; 18) Să se arate că 2009
2009
2009 2009 ... 2009 2004 5de ori
19) Să se determine cel mai mic număr n N*, cu proprietatea 6 7 8 ... n2009; 20) Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=20095+5 Rezolvare 1. Se calculează (x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30=x y 2. Funcţie de gradul I, bijectivă.
f(x y)=f((x-5)(y-5)+5)= (x-5)(y-5)+5-5=(x-5)(y-5)=f(x) f(y).
3. 5 5 05 5 0 5 5 5 5 5
5 5 0
x H x xx y x y
y H y y
x y>5 x y H 4. Calculând f ‘(t)=1>0 f este strict crescătoare pe (5, ) şi deci bijectivă pe (5, ).
Morfismul este demonstrat la itemul 2. 5. x y=xy-5x-5y+30=yx-5y-5x+30=y x
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
6. Alegem x-5=2
3 şi y-5=
3
2 obţinem
2 175 \
3 3x Q Z şi
3 135 \
2 2y Q Z şi
calculăm 17 13 17 13 2 3
5 5 5 5 1 5 63 2 3 2 3 2
Z .
7. Alegem x-5= 2 -1 şi y-5= 2 +1 x= 2 +4 R\Q şi y= 2 +6 R\Q şi calculăm
2 4 2 6 2 4 5 2 6 5 5
2 1 2 1 5 2 1 5 6 Z .
8. Asociativitatea: ( x y) z=[(x-5)(y-5)+5] z=[(x-5)(y-5)+5-5](z-5)+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5 x ( y z) =x [(y-5)(z-5)+5]=(x-5)[(y-5)(z-5)+5-5]+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5
9. Elemental neutru x e=x xe-5x-5e+30=x xe-5e=6x-30 e(x-5)=6(x-5) e=6 H.
10. x x’=6 xx’-5x-5x’+30=6 xx’-5x’=5x-24 x’(x-5)=5x-24 5 5 15 24 5 25 1 1
' 5 55 5 5 5
xx xx
x x x x
x’ R\{5}
11. Din 5) H este parte stabilă, din 8) rezultă asociativitatea, din 9) elementul neutru, din 9) elementul simetric şi din 5) comutativitatea (H, ) formează o structură de grup comutativ.
12. x 6 x=(x-5)(6-5)(x-5)+5 şi obţinem (x-5)2+5=1994 2005+30 (x-5)2=(1999-5)(1999+5)+25 (x-5)2=19992-25+25 (x-5)2=19992 x+5= 1999 x1=1994 şi x2=-2004.
13. Determinăm pe astfel încât -5=0 =5. Verificăm: x 5=(x+5)(-5)+5=5. 14. Conform itemului 13) x 5=5 şi în şirul care se compune există numîrul 5, deci E=(-
2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009=5 15. Exprimarea de la acest punct s-a demonstrat la itemul 8). 16. (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5 [(2009x2-x+5)-5][(x2-2009x+5)-5]+5=5 (2009x2-
x)( x2-2009x)=0 x(2009x-1)(x-2009)=0 1
0; ;20092009
x
.
17. Conform punctului 15) (2x) (log2x) (4+Cx
2009)= (2x-5)(log2x-5)(4+Cx2009-5)+5=5
2x-5=0 x1=log25 log2x-5=0 x2=25
2009 1 0xC 2009 1xC x3 =0 sau x4 =2009. 18. Generalizând punctul 8) se obţine
2009
2009 2009
2009 2009 ... 2009 2009 5 2009 5 ... 2009 5 5 2004 5de ori de ori
19. 6 7 8 ... n=(5+1-5) (5+2-5) (5+3-5) ... (n-5)+5=1 2 3 ... (n-5)+5=(n-5)!+5 se obţine (n-5)!+52009 (n-5)!2004. Ştim 6!=720 şi 7!=5040, deci n=7.
20. x x x x x=(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)+5=(x-5)5+5 (x-5)5+5 = 20095+5 (x-5)5=20095 x-5=2009 x=2014.
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
Probleme propuse 1. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y 3xy 3x 3y 2.
a) Arătați că 1 11. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x. c) Determinați perechile a,bde numerele întregi, ştiind că ab 8.
2. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 3x 3y 6. a) Arătați că 0 33. b) Arătați că xy x 3y 33, pentru orice numere reale x şi y. c) Arătați că 3x 3, pentru orice număr real x. d) Verificați dacă e 2 este element neutru al legii de compoziție „”. e)Calculați 2016 2015 ... 3. f) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x 5.
3. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y xy x y 2 . a) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculaţi 012 3. c) Determinaţi numerele reale a, ştiind că a a 2016 2016.
4. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 6xy 2x 2y 1.
a) Calculați 1
13
b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „”.
c) Calculați 1 2 3 2016...
1008 1008 1008 1008
5. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy x y. a) Calculaţi 22. b) Arătați că xy x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2 x 1. d) Verificați dacă legea de compoziţie „” este asociativă. e) Demonstraţi că numărul nn este multiplu de 8, pentru orice număr natural par n .
f) Dați un exemplu de două numere iraționale a şi b , pentru care abℕ. 6. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă
x y xy 4x 4y 20 . a) Arătați că x y x 4y 44, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculați 12 32016. c) Determinaţi numerele naturale a, b şi c, ştiind că a b c şi a b c 66.
7. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y xy 2x 2y 2. a) Arătaţi că 1 22 . b) Demonstrați că xy x 2y 22 , pentru orice numere reale x şi y .
c) Determinați numerele reale nenule x, pentru care 1
x xx
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
8. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă xy2xy10x10y45. a) Arătați că x y 2x 5y 55, pentru orice numere reale x şi y. b) Arătați că 1234 567 89 10 5. c) Determinaţi numerele naturale m şi n, pentru care mn 27.
9. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y xy x y . a) Calculaţi 1 2015. b) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x si y. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x 5x 1.
10. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie x y x y 2. a) Calculați 2 2 . b) Arătați că legea de compoziţie „” este asociativă. c) Verificaţi dacă e 2 este element neutru al legii de compoziţie „”. d) Determinaţi numărul real x, ştiind că x 1x 3. e) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 9 3 0x x
f) Arătaţi că 22
10x
x pentru orice număr real nenul x.
11. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 7x 7y 56 . a) Arătați că 77 7. b) Arătați că x y x 7y 77, pentru orice numere reale x şi y.
c) Calculați 12 3⋯2015. 12. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie asociativă
x y xy 3(x y) 12 . a) Arătaţi că x3 3x 3, pentru orice număr real x. b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x. c) Calculaţi 12 ... 2014.
13. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y x y 1. a) Calculaţi 2 3. b) Verificaţi dacă legea de compoziţie „” este comutativă. c) Arătaţi că legea de compoziţie „” este asociativă. d) Determinaţi numerele reale x pentru care 2 11x x e) Arătaţi că x x 2014x 1012 x 1012, pentru orice număr real x.
f) Determinaţi numărul real nenul x pentru care 1
1xx
14. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y 2x y 1xy. a) Arătaţi că 12 2. b) Arătaţi că x 2 2 x 2 pentru orice număr real x. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x.
15. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție xy 2xy 3x 3y 6. a) Calculați 12.
Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016
b) Arătaţi că3 3 3
22 2 2
x y x y
pentru orice numere reale x şi y.
c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x 2. 16. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy 5x5y 30.
a) Arătați că 15 5. b) Arătați că x y x 5y 55 pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia x x x.
17. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 3x 3y xy 6 . a) Calculaţi 13. b) Arătaţi că x y 3 x 3y 3pentru orice numere reale x şi y. c) Determinaţi numerele reale x pentru care
2014...
x de ori
xx x x .
18. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x y x y 3 şi x y (x 3)y33. a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x x x x. b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x a 3, oricare ar fi numărul întreg x.
c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii
1 4
1 5
x y
x y
, unde x, yZ.
19. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y = 2xy6x6y + 21 . a) Arătați că xy = 2(x3)( y3) + 3 , pentru orice numere reale x şi y . b) Arătați că 12 34 = 3. c) Determinați numerele reale x, pentru care x x x = x .
20. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x * y = x + y - 5. a. Arătaţi că (-2)* 7 = 0 . b. Arătaţi că legea de compoziție „*” este asociativă. c. Arătaţi că (1* 2)*(8*9) = (1*9)*(2 *8) . d. Determinaţi numărul real x , pentru care (x * x)* x = x . e. Determinaţi numărul real x, pentru care 9x *3x = 7 .
f. Demonstrați că 22
13x
x , pentru orice număr real nenul x .
Virgil-Mihail Zaharia
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016 Elemente de analiză matematică, clasa a XII-a D1: Fie I un interval şi f, F:IR. Funcţia F se numeşte primitivă a lui f dacă:
1) F este derivabilă; 2) F ’(x)=f(x), xI
Fie I un interval şi funcţia f:IR care admite primitive. Dacă F1, F2:IR sunt primitive ale funcţiei f, atunci F1(x)=F2(x)+c, xI, cR;
( ) { : primitiva a funcţiei }f x dx F I F f R - integrala nedefinită a funcţiei f;
O funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval ; Derivata oricărei funcţii derivabile pe un interval I are proprietatea lui Darboux pe I ; Daca f:IR admite primitive pe intervalul I, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I ; Fie f:IR. Dacă imaginea funcţiei pe un subinterval J I nu este interval, atunci f nu
admite primitive pe I ; O funcţie cu puncte de discontinuitate de speţa I nu admite primitive deoarece nu are
proprietatea lui Darboux .
Formula de integrare prin părţi Fie f,g:IR funcţii derivabile cu derivatele continue. Aunci funcţiile f ’· g si f·g’ admit primitive şi .)()()()()()( '' dxxgxfxgxfdxxgxf
Teorema de schimbare de variabilă
Fie I,JR intervale, RJfsiJI :: funcţii cu proprietăţile:
este derivabilă pe I f admite primitiva F pe J
Atunci functia 'f admite primitiva Fo pe I.
Daca este o functie derivabila pe un interval, atunci:
1)
1)()(
1'
adxxx
aa C
2) )(ln)(
)('xdx
x
x
+C, 0
3) a
adxxa
xx
ln)(
)(')(
+C, a>0, a 1
4)
ax
ax
adx
ax
x
)(
)(ln
2
1
)(
)(22
'
+ C, 0, aa
5) a
xarctg
adx
ax
x )(1
)(
)(22
'
+C, a 0
6)
22
22
'
)()(ln)(
)(axxdx
ax
x
+C, 0a
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
7) 22
22
'
)()(ln)(
)(axxdx
ax
x
+C, 22 a
8) a
xdx
xa
x )(arcsin
)(
)(22
'
+C, aaa ,0
9) )(cos)((x)sin ' xdxx +C
10) )(sin)()(cos ' xdxxx +C
11) )()(cos
)(2
'
xtgdxx
x
+C, IxZkkx ,,
2)12()(
12) )()(sin
)(2
'
xctgdxx
x
+C, IxZkkx ,,)(
13) )(cosln)()( ' xdxxxtg +C, IxZkkx ,,2
)12()(
14) )(sinln)()( ' xdxxxctg +C, IxZkkx ,,)(
D2: O funcţie raţională f, definita pe un interval I, este de forma ,xQ
xPxf Ix ,
,0)( xQ unde XRQP , . D3: O funcţie raţională se numeşte funcţie raţională simplă dacă are una din formele:
1) ( ) ( ),f x P x P X R
2)
*( ) , , ,n
Af x A a n
x a
R N
3)
2 *
2( ) , , , , , 4 0,n
Ax Bf x A B a b a b n
x ax b
R N
Orice funcţie raţională se poate descompune, în mod unic, în suma de funcţii raţionale simple
D4: Fie :F I R o primitiva a functiei continue :f I R . Se numeste integrala definită a
funcţiei f de la a la b, numărul real notat şi definit prin relatia b
a
aFbFdxxf )()()(
(formula Leibniz-Newton)
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxfIc ,
abcfdxxfiabacb
a
..,
b
a
dxxfatuncifDaca 0,ba, pe 0
, ,b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx R
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
b
a
b
a
dxxgdxxfatuncigfDaca ,ba, pe
, sunt astfel încât m f x , , , atuncib
a
Daca m M M x a b m b a f x dx M b a R
b
a
b
a
dxxfdxxf
D5: Fie , ,a b a b R şi funcţia continuă pozitivă : ,f a b R .
Multimea 2, / , 0f x y a x b y f x R se numeşte subgraficul funcţiei f..
D6: Funcţia : ,f a b R se numeşte continuă pe porţiuni dacă are cel mult un număr
finit, nenul, de puncte de discontinuitate şi acestea sunt puncte de discontinuitate de speţa întâi. -Fie Rbagf ,:, astfel încât baxxgxf ,, şi g este continuă. Atunci f este
integrabilă pe ba, şi b
a
b
a
dxxgdxxf .
-O funcţie : ,f a b R continuă pe porţiuni este integrabilă pe ba, şi
b
a
p
i
c
ci
i
i
dxxfdxxf1
1
, unde 1: , , 1,i i if c c i p R sunt funcţiile asociate lui f.
-Fie RIgf :, derivabile cu derivate continue. Dacă Iba , , atunci:
b
a
b
a
b
a
dxxgxfxgxfdxxgxf .
-Dacă II : este derivabila, cu derivata continuă şi :f I R este continuă, dacă
Iba , , atunci
b
a
b
a
dttfdxxxf
.
-Fie , : ,f g a b R continue a.î. baxxfxg ,, .Dacă
2, , / ,f g x y a x b g x y f x R , atunci aria
b
agf dxxgxf, .
-Fie : ,f a b R continuă. Mulţimea 3 2 2, , /V x y z y z f x R se numeşte
corpul de rotaţie în jurul axei Ox determinat de funcţia f. Volumul acestui corp este
b
a
dxxfV 2 .
-Fie : ,f a b R o funcţie derivabilă cu derivata continuă. Lungimea graficului funcţiei
este b
a
dxxffl 21 .
-Fie : ,f a b R continuă. 3 2 2, , / ,x y z y z f x a x b R se numeste
suprafaţa de rotaţie daterminată de funcţia f. Aria acestei suprafeţe este
b
a
dxxfxff 212 .
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
Probleme propuse 1. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = 5x4 + 3x2 +1.
a) Arătaţi că 1
03 1 1f x x dx .
b) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 şi x = 2 . c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe R.
2. Se consideră funcţia f : (0,+∞)→R, 22 1x
f xx
a) Arătaţi că 2
1
13f x dx
x .
b) Demonstraţi că funcţia F : (0,+∞)→R, 2 ln 2016F x x x este o primitivă a
funcţiei f . c) Arătaţi că volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [1,2]→R , g ( x) = f ( x) este mai mic decât 14π.
3. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul 1 2
01
n
nI x dx .
a) Arătaţi că 1
2
3I .
b) Demonstraţi că In+1 ≤ In , pentru orice număr natural nenul n. c) Demonstraţi că 12 3 2 1n nn I n I , pentru orice număr natural nenul n.
4. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = x33x2 + 2 .
a) Calculaţi 2 2
03 2f x x dx .
b) Arătaţi că 1 3 2
03 2 1f x x x x dx e .
c) Demonstraţi că 1
10
a
af x dx
,pentru orice număr real a .
5. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = xex2 .
a) Determinaţi primitiva F a funcţiei f , pentru care F (1) = 0. .
b) Calculaţi 1
0xf x dx .
c) Determinaţi numerele reale x , ştiind că 1
0x
f t dt .
6. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x5 + x3 + 2x.
a) Arătaţi că 1 3
12 0f x x x dx
.
b) Arătaţi că 2 5 3 2
01 3 1xe f x x x dx e .
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe R. 7. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = (3x +1)ex.
a) Arătaţi că 1
0
1 5
2xf x dx
e .
b) Determinaţi numărul real m , pentru care funcţia F:RR, F (x)=(3x + m)ex este o primitivă a funcţiei f .
c) Determinaţi numărul real nenul a , ştiind că 0
3a
f x dx a .
8. Se consideră funcţia f : (4,+)R, 1
4f x
x x
.
a) Arătaţi că 10
54 ln 2x f x dx .
b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g :[5,6]R, g (x) = x f (x).
c) Demonstraţi că 12lim 1n
nnn f x dx
.
9. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x + 2.
a) Arătaţi că 1
1( ) 2 0f x dx
.
b) Arătaţi că 1
02 1xe f x dx e .
c) Determinaţi numărul real a , ştiind că 6
0 04
a af x dx f x dx
.
10. Se consideră funcăia f :RR, 2
2 3
3 3
xf x
x x
.
a) Arătaţi că 2 2
13 3 6x x f x dx .
b) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 3 are aria egală cu ln 7.
c) Demonstraţi că 0
1' 0f x f x dx
.
11. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x2 + 3x.
a) Arătaţi că 1
13 0f x x dx
.
b) Arătaţi că 1 2
03xf x x e dx .
c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului
funcţiei 3: 1,2 ,
f xg g x
x R .
12. Se consideră funcţia f : (0,+)R, 2
xef x
x .
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
a) Arătaţi că 2 2
11x f x dx e e .
b) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe intervalul [2,+) . c) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 şi x = 2 are aria mai mică sau egală cu e(e -1).
13. Se consideră funcţia f : RR, f (x) = x4 + x +1.
a) Arătaţi că 1
0
11
5f x x dx .
b) Arătaţi că 4
4
1
11
4
e ef x x dx
.
c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x =1.
14. Pentru fiecare număr natural n, se consideră numărul 11
0 3
n
n
xI dx
x
.
a) Arătaţi că 0
31 3ln
4I .
b) Demonstraţi că 1
13
2n nI In
, pentru orice număr natural n.
c) Arătaţi că 1
lim4n
nI
.
15. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = 4x3 + 3x2.
a) Arătaţi că 2 2
13 15f x x dx
b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 2015 .
c) Determinaţi numărul natural n , n >1, ştiind că
219
n f xdx
x .
16. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = x2 2x + 5.
a) Arătați că 1
0
12 5
3f x x dx .
b) Calculaţi
2
0
'f xdx
f x .
c) Arătați că
2015
2014
1 1
4dx
f x .
17. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = xex.
a) Arătați că 2
1
11f x dx e e
x .
b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 0 .
Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016
c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul 1
0
nnI x f x dx .
Arătați că In + (n +1)In1 = e, pentru orice număr natural n , n ≥2. 18. Se consideră funcţia f : R→R , f (x) = x2 + 2 .
a) Arătați că 1
0
12
3f x dx .
b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (3) = 5. c) Arătați că suprafaţa delimitată de graficul funcţiei g :R→R , g (x) = ex f (x) , axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x =1, are aria egală cu 3e - 4.
19. Se consideră funcţia f : (0,+∞)→R, 1f x x
x .
a) Arătați că 3
1
14f x dx
x .
b) Arătați că 2 2
1
1 xf x e dx ex
.
c) Determinaţi numărul real a , a >1, ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 și x = a, are aria egală cu 4 + ln a.
20. Se consideră funcţia f : R→R, f (x) = x2 4.
a) Arătați că 1
0
14
3f x .
b) Determinați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei g : R→R,
1
5g x
f x
, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x =1.
c) Determinaţi numărul real a , a >1, pentru care
1
412
a f xdx
x
.
Virgil-Mihail Zaharia
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
1
Integrala definită
Definiţie. Fie f: [ a, b]R, o funcţie care admite primitive pe [a,b] şi F o primitivă a lui f.Numim integrala definită de la a la b a lui f, expresia:
F(b) – F(a) şi notăm: b
a
dxxf )( = F(b) – F(a) (formula lui Leibniz- Newton).
Notaţie: –b
aF b F a F x (citit:”F(x) luat între a şi b).
Reamintim că orice funcţie continuă admite primitive.
Proprietăţi ale integralei definite.
1) Dacă f,g:[a,b]R sunt funcţii continue şi R, atunci:
a) b
a
dxxgxf )]()([ = b
a
dxxf )( + b
a
dxxg )( ;
b) b
a
dxxf )( = b
a
dxxf )( .
2) Dacă f: [ a, b]R, este o funcţie pozitivă şi continuă b
a
dxxf )( 0.
3) Dacă f,g:[a,b]R sunt funcţii continue, cu proprietatea: f(x) g(x), x[a,b], atunci:
b
a
dxxf )( b
a
dxxg )( ;
4) Fie f: [ a, b]R şi c(a,b); dacă restricţiile lui f, sunt continue pe [a,c] şi [c,b], atunci:
b
a
dxxf )( = c
a
dxxf )( + b
c
dxxf )( .
Definiţie. Dacă a b şi f:[a,b] R este o funcţie continuă, atunci punem prin definiţie:a) 0 0
b
adx
b) a
a
dxxf )( = 0;
c) b
a
dxxf )( = a
b
dxxf )( .
Aplicaţii: Calculaţi integralele:
1) dxxx
1
2
3 43 ; 2) dxx
x
4
22
3 ;
3) dxxx
2
2
11 ; 4)
1
3
2 dxxe x .
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
2
Rezolvare
1)
1 4 21 4 2 4 23
2 2
2)4) 4)
4 23 3
2 21 13 4 3 4 3 4 1 3 4 24 2 4 2 4 2
1 3 16 12 1 6 16 11 514 8 4 6 8 104 2 4 2 4 4 4
Calcul
ăm o primitivă:
3 4 3 4 3 44 2
x xx x dx x
x xF x x x dx x dx xdx dx x C
;
2)
4 44 3 4 2 2 2
2 222 2 2 2
4)
3 1 1 4 2 1 13 3 32 2 2 4 2
1 3 278 2 3 64 4 4
xx dx xdx dxx x x
;
3)
2 1 1 24)
2 2 1 1
1 1 2 2 2 2x x dx x dx dx xdx
2
2x
11
12
2 2x
2
2x
2
12 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1
4 2 2 4 1
10Explicit
ăm expresia de integrat:
1, 1 1, 11 , 1
1, 1 1, 1
1 1 2 , 11 1 1 1 2, 1,1
1 1 2 , 1
x x x xx x
x x x xx x x x
x x x x xx x x x
;
4)
1 2 21 1 1 21 1 3
33 3 3 3
3 3 3
1 32 2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 9 2 2 2 24 42 2
x x x xe x dx e dx xdx e e e
e e e e e e
.
5)
1 1 01 1 1 11 01 1 1 110 0 0
00
2 2 22 2 22 2 2 2ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
1 2 1ln 2
xxxx x xdx dx dx
1 12
3 12 ln 2
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
3
Folosind formula lui Leibniz –Newton calculaţi următoarele integrale:
1)2
5
0
43
x dx ;
2)3
5
2
196
x dx ;
3)3
7
3
0x dx
;
4)1
7
5
78x dx
;
5)
74 2
0
4 27
x xdx ;
6)
21 3
34
3 3 412
dxx
;
7)1
38
1 92
dxx
;
8)1 2
2
1 3 ln 22
x dxx
;
9)1
1
1xe dx ee
;
10)2
1
9010ln10
x dx ;
11) 122
0
22 2 1ln 2
xdx
12)4
24
1 2ln 325 5
dxx
;
13)3
21
1 33 6
dxx
14)0
sin 2xdx
;
15)2
0
cos 1xdx
;
16) 234
1 1cos
dxx
;
17)2
2
6
1 3sin
dxx
;
18) 2 2
20
1 ln 2 2 31
dxx
;
19) 2
23
1 ln 3 63
dxx
20)3
22
14
712
dxx
π
;
21)
34
20
19 124
dxx
π
;
22) 1
3
0
3 4 5x x dx ;
23) 45
1
63
2
2 36
3 2 546
e
x x dxx x
e ee
24) 5
2 24
6 3l3 n9
79
4 ln 7 2ln 2 6ln 3dxx x
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
4
Integrarea prin părţi
Teoremă. Dacă f,g;[a,b] R, sunt două funcţii derivabile cu derivate continue,
atunci are loc relaţia: ( ) ( ) . ( ) ( )b b
b
aa a
f x g x dx f x g x f x g x dx .(1)
(formula de integrare prin părţi)Aplicaţii: Calculaţi, folosind formula de integrare prin părţi:
1)22 2 2 2
2
0 0 0 00
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 3 1x x x x xx e dx e x dx e x e x dx e e dx 22 2 2 0 2 2 2
03 1 =3 1 ( ) 3 1 1 2xe e e e e e e e .
2)1 1
1 1 1
1ln ( ) ln ln ( 1) 1 1.e e e
e exdx x xdx x x x dx e x e e e ex
3)
2 22 2
0 0 00
0
2 2 22
0 00
3sin3 sin3 3cos3 cos32 2 2
3 3 3 9cos3 3sin3 sin32 2 2 2 2 4 4
x xx x
x xx
e eI e xdx x xdx e xdx
e e ex x dx e xdx
2 2 23 9 13 3 34 4 4 4 4 13
e e eI I I I
.
4)
5 5 5 522
2 2 24 4 4 4
55 552 2 2 2
44 44
4 14 44 4 4
5 294 4ln 4 4 4 4ln4 2 5
x xI x dx dx x dx dxx x x
x x dx x x x x x dx
29 5 5 292ln 4 55 292 5 29 8 5 4ln
4 2 5 22 5 4I I
.
5)
1 1 1 1 1(1) 1 12 2 2
0 00 0 0 0 0
( ) ' 2 2 ( ) ' 2
2 1 2
x x x x x x xx e dx x e dx x e xe dx e x e dx e xe e dx
e e e e
6)' 22 2 2 2(1)
2
1 1 1
1ln ln ln2 2 2x xx xdx xdx x x
1x
22 2
1 1
1 32ln 2 2ln 22 2 4
xdx .
7)(1)
'0
0 0 0
sin ( cos) cos cosx xdx x xdx x x xdx
.
8)'
(1)
2 21 11 1 1
ln 1 1 1 1 1 1 1 2ln ln ln ln1 1e ee e ex edx x dx x dx e
x x x x e x e e e
.
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
5
Calculaţi:
1. 2
0
12
0
1
e (2 2 ) 2xx x xx e dx e
2.22 2
2
11
1 3ln 2ln 24 2
l4
n x x xx xdx
3.2
2
1
233
1
1 8ln 2 7ln9 3 3 9
ln x xxdx xx
4. 0
0cossin sinx x xdx x x
5. 21 1
n 1 lnl 2ee xdx
xx
x x
6. 2
0
2
02 ccos os ( 2 )si 2nx x x xx xdx
7. 52
52 2
44
9ln 7 41 99 ln 9 10 2 7 9ln32 2 2
9x x xd xx x
8. 24 4
2
0 0
ln cos2xxtg xdx xtgx x
9. 4
42 0
0
1 ln 2ln(cos ) ln coscos 4 4 4 4 2
x dx xtgx x tgx
10. 3 2 32 2 3 2
00
1sin 4 3 6 sin2 6 cos2 1 1(4 6 co24
s2 (3 6 )sin2 ) 6 424 24
x xdx x x x x x
11. 3
22
0
32
0
11 arcsinarcsi ( 3 3 )6
n x x xxdx
12.1
0
1
0
1 11 2 (1 )arctg 1 2 (6 6 3 5 )2 12
2 1ar x x xctg x dx
13. 2
4
2
4
22 1 3ctg ln sin 72 32 3 7 144ln
2 288 2x x x xxctg xdx
14. 2
2
3
1 9 4 3 9ln[3]1
cossin 8x x dx
x
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
6
15.
3
0
1 23 5sin sin3 15cos cos340 5
1 2 215
c s
0
o
1 14 5 5
xe xdx e
e e
16. 2 21
ln( 1)
e x x dxx
17.1 2
20 ( 2)
xx e dxx
18.1
2
0
( 2 3) xx x e dx
19. 2 2
0
2 sin2xx dx
20. 2
0
2 ln( 1)e
x x dx
21. 2 21
ln( 1)
e x x dxx
22.1
0
1 ln(1 )1
x x dxx
23.
12
0
1ln1
xx dxx
24.2
2
3
xcosxsin
dxx
25.
12
0
arcsinx xdx
26.3
1
arctg xdx
27.1
2
0
1x dx
28.1
1
sin(ln )
e
x dx
29.1
1
cos(ln )
e
x dx
Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia
2012
7
30.2
lne
e
x dxx
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
1
INTEGRALA NEDEFINITĂ
1. Primitive. Proprietăţi.
Definiţia 1. Fie f: I → R. Se spune că f admite primitive pe I dacă F : I →R astfel încâta) F este derivabilă pe I;b) F’(x) =f(x), x ε I.F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fiinterval sau o reuniune finită disjunctă de intervale).
Teorema 1.1 Fie f : I → R. Dacă 1 2, :F F I R sunt două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c R astfel încât ,)()( 21 cxx FF xI.
Demonstraţie : Dacă FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt derivabile )()(')(2
'1 xfxx FF x ε I
0)(')()()(2
'1
'21 xxx FFFF , x ε I. cxx FF )()( 21 , c= constantă
OBS 1. Fiind dată o primitivă F 0 a unei funcţii atunci orice primitivă F a lui f are forma F = 0F + c , c= constantă
f admite o infinitate de primitive.OBS 2. Teorema nu mai rămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă de intervale Expl: f: R- 0 , f(x) = x²
F =3
3x , G=
23
13
3
3
x
x
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1
OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.Se ştie că derivata oricărei funcţii are P. lui Darboux , rezultă că f are P lui Darboux. F’ =f.OBS 4. Dacă I este interval şi f(I) Ixxfdef /)( nu este interval atunci f nu admite primitive.
Dacă presupunem că f admite primitive atunci din OBS 3 rezultă că f are P lui Darboux, rezultă f(I) este interval ceea ceeste o contradicţie.OBS 5. Orice funcţie continuă definită pe un interval admite primitive.
Definiţia 2. Fie f: I →R o funcţie care admite primitive. Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala
nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul )( xf dx. Operaţia de calculare a primitivelor uneifuncţii(care admite primitive ) se numeşte integrare.
Simbolul a fost propus pentru prima dată de Leibniz, în 1675.
Fie F(I)= RIf : Pe această mulţime se introduc operaţiile :1. (f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,2. (αf)(x)=α.f(x) Rx ,α constantă
)( xf dx = fluiaprimitivăFIFF /)( .
Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt funcţii care admit primitive şi α R, α ≠0, atunci funcţiile f+g, αfadmit de asemenea primitive şi au loc relaţiile:∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
2
2. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE
1. RcCxccdx , Ex Cxdx 66
2. Cnxdxx
nn
1
1
Ex. Cxdxx 11
1110
3. Cxdxx
1
1
Ex CxCxCxdxxdxx
3 4341
31
31
3
43
341
31
4. Ca
adxax
x
lnEx Cdx
xx 2ln
22
5. Cedxe xx6. Cxdx
x ln1 7. Cctgxdx
x2sin1
8. Ctgxdxx2cos
19. Cxxdx cossin 10. Cxxdx sincos
11. Caxarctg
adx
ax
11
22 Ex Cxarctgdxx
55
15
122
12.
Caxax
adx
axln
211
22 Ex
Cxxdx
x 55ln
101
251
2
13. Cxaxdxax
)ln(1 22
22Ex Cxxdx
x
)4ln(
41 22
22
14.
Caxxdxax
22
22ln1
Ex
Cxxdxx
49ln49
1 2
2
15.
Caxdx
xaarcsin1
22Ex
Cxdx
x 4arcsin
161
2
16. Cxtgxdx cosln 17. Cxctgxdx sinln
18. Caxdxax
x
22
22Ex Cxdx
xx
22
25
25
19. Caxdxax
x
22
22Ex Cxdx
xx
3636
2
2
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
3
20. Cxadxxa
x
22
22Ex Cxdx
xx
2
225
25
21. Caxxaaxxdxax 222
2222 ln22
Ex Cxxxxdxx 7ln277
27 222
22. Caxxaaxxdxax 222
2222 ln22
Ex Cxxxxdxx 9ln299
29 222
23. Caxaxaxdxxa arcsin
22
22222 Ex C
axaxaxdxxa arcsin
22
22222
I. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii.
1. ∫(3x dxxx )232 35 2. ∫ x(x-1)(x-2)dx
3. ∫ dxxxx )1)(1( 4. ∫ dxxx
x )1(3
3
5. dxxxx 53 42 6. dxxxx
23535
7. ∫ x dxx 3)1( 8. dxxx
x
2
352
9. ∫( e dxe x
x )1 10. ∫ (x dxx )55
11. dxx
x 245
12.
dxx
x3
32
13. ∫ dxx 42 14. ∫ dxx 92
15. ∫ dxx 24 16*. ∫ dxxx 11
2
17*. dxx
x
23
2
2
18*. dxx
x
32
2
2
19*. dxxx 22 cossin
1 20*. dxxx cossin
1
21*. dxxx
11
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
4
3. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE COMPUSE
1. RxCxdxx )(,)()(' Ex Cxdxx 15'15
2. Cxdxxx2
)()(')(2 Ex Cxdxx
2
344342
3.
Cnxdxxx
nn
1)()(')(
1 Ex Cxdxx
825525
87
4. Cedxxe xx )()( )(' Ex Cedxe xx 4242 2
5. Ca
adxxax
x
ln)('
)()(
Ex Cdx
xx 4ln
4343
3
6. Cxdxxx
)(ln)()('
Ex Cxdxx
712ln
71212
7. Cxn
dxxx
nn
)(1
11
)()('
1
Ex
Cx
dxx
56 42
151
)42(2
8. Caxax
adx
axx
)(
)(ln21
)()('
22
Ex Cxxdx
x
34
34ln61
91642
9. Caxarctg
adx
axx
)(1)(
)('22
Ex Cxarctgdx
x
25
21
42552
10. Cxdxxx )(cos)(sin)(' Ex Cxdxx )54cos()54sin(4
11. Cxdxxx )(sin)(cos)(' Ex Cxdxxx )73sin()73cos(6 22
12. Cxdxxtgx )(cosln)()(' Ex Cxdxxtg )75cos(ln)75(5
13. Cxdxxctgx )(sinln)()(' Ex Cxdxxctg )68sin(ln)68(8
14. Cxtgdxx
x )(
)(cos)('
2
Ex Cxtgdx
x 6
6cos62
15. Cxctgdxx
x )(
)(sin)('
2
Ex Cxctgdxx
)95(
)95(sin5
2
16. Caxdxaxxx
22
22)(
)()(')(
Ex Cxdx
xx
49
4933 2
2
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
5
17. Caxdxax
xx
22
22)(
)()(')(
Ex Cxdx
xx
2516
251644 2
2
18. Cxadxxa
xx
)(
)()(')( 22
22
Ex Cxdx
xx
2
249
4922
19. Caxxdxax
x
))()(ln(
)()(' 22
22
Ex Cxxdx
x
)7255ln(
725
5 22
22
20. Caxxdxax
x
22
22)()(ln
)()('
Ex Cxxdx
x
22
22493ln
49
3
21. Ca
xdxxa
x
)(arcsin)(
)('22
Ex Cxdx
x
5
2arcsin45
222
22. Caxxaaxxdxax 222
2222 )()(ln2
)(2
)()(
23. Caxxaaxxdxax 222
2222 )()(ln2
)(2
)()(
24. Caxaxaxdxxa )(arcsin
2)(
2)()(
22222
II.Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii compuse.
1. dxx525 2. dxx43 3. xdx4sin4 4. xdx3cos3
5. dx
x 351 6. dx
x 9412 7. dx
x 1641
2 8. dxx 2925
1
9. dxx 3cos
12 10. dx
x5sin12 11. xdxtg4 12. xdxctg22
13. dxx 22 416
1 14. dxx
21691
III. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive.
1. f: R → R, f(x) =
0,10,1
xx
2. f: R → R , f(x) = [x] ( partea întreagă din x)
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
6
3. f: R → R, f(x) =
0,10,00,1
xx
x4. f: R → R , f(x) = [X] +X
5. . f: R → R f(x) =
),0(,1]0,(,1
xxx
6. f: R → R , f(x) =
0,20,sin
xxx
IV. Să se determine a,b numere reale astfel încât F să fie primitiva unei funcţii f.
1*. F(x) =
1,1
11,ln
2 xxx
xbax2*. F(x) =
],[,)32(),1[,ln1
22
2
eexbxaexx
3*. F(x) =
0,142
0,22
3
xxx
xbea x
4*. F(x) =
0,96
0,1
2
2
xxx
xx
bax
5*. F(x) =
0,2
30,12
2
2
xx
axxbxea x
6*. F(x) =
0,cos3sin0,2
xxxxbaxx
V. Să se verifice dacă următoarele funcţii admit primitive şi în caz afirmativ să se determine o primitivă.
1. f: R→ R, f(x) =
0,20,32
xexx
x2. f: R→ R, f (x) =
0,41
0,4
12
xx
xx
3*.f:[0,∞)→R, f(x) =
1,11)1,0[,
3
3
xxx
xxx4*. f:[-2,∞)→R, f(x) =
)0,2[,9
1
0,3
2
2
3
xx
xx x
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
7
DERIVATENr FUNCTIA DERIVATA MULTIMEA PE CARE
FUNCTIA ESTE DERIVABILĂFUNCTIA COMPUSĂ DERIVATA
1. C 0 R2. x 1 R u u’
3. xn nxn-1 R un n.un-1.u’
4. xa axa-1 [0, ] ua aua-1.u’
5.x1
- 2
1x
R*
u1
- uu
.12
’
6.nx
1- 1nx
n R*
nu1
-n/un+1·u’
7. xx2
1 R*+ u
u21
u’
8. n xn nxn 1
1
R*+,n par
R*,n impar
n un nun 1
1
u’
9. sin x cosx R sin u u’cos u10. cos x -sinx R cos u -u’sin u11. tg x
x2cos1
R\{(2k+1)2
| kZ}tg u
'cos
12 u
u12. ctg x
-x2sin
1 R\{k | kZ} ctg u- 'sin
12 u
u13. arcsin x
211
x
(-1,1) arcsin u'
11
2u
u14. arccos x
-21
1x
(-1,1) arccos u- '
11
2u
u15. arctg x
211x
R arctg u'
11
2 uu
16. arcctg x- 21
1x
R arcctg u- '1
12 u
u17. ax
a x lna R au au.lna.u’18. ex
e x R eu eu.u’19. lnx
x1 R*
+ lnu'.1 u
u20. log a x
ax ln1 R*
+ logau'
ln1 u
au21. uv (uv)’ = v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
8
METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR
1. Formula de integrare prin părţi.
Teorema 1.1 Dacă f,g:R→R sunt funcţii derivabile cu derivatele continue, atunci funcţiile fg,f’g, fg’ admit primitive şi are loc relaţia: f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- f’(x)g(x)dx
Demonstraţie: f,g derivabile f,g continue f’g,fg,fg’ continue şi deci admit primitive.Cum (fg)’=f’g+g’f rezultă prin integrare ceea ce trebuia de demonstrat.
Să se calculeze integralele:
1. xdxln 2. xdxx ln 3. xdxx ln2 4. xdxx
ln1
5. xdxx
ln12 6. dx
xx)ln(ln 7. xdx2ln 8. dx
x)21ln(
9*. dxx
x2
3ln 10. dx
xx
2
2ln 11. dxx)cos(ln 12. dxx)sin(ln
13. xdxxx ln)32( 2 14. dxxx )1ln( 15. dxxx
x )11ln(1
2
2
16*. dxxxx
11ln 17. dxex x 12 18. dxex x
19. dxexx x32 2 20. dxex x 2 21. dxex x22 22*. dxexx x223 )25( 23. dxex x 2 24*.
dxex
xx
2223
25. xdxe x sin 26. xdxe x cos 27. xdxe x 2sin
28. xdxe x 2cos 29. xdxx sin 30. xdxx cos
31. xdxx sin2 32. xdxx cos2 33*. xdxx 2sin2
34*. xdxx 2cos2 35. xdxx 2sin 36. xdxx 2cos
37. dxx
x2cos
38. dxx
x2sin
39.
dxx
xx21
arcsin
40. dxx
x2
arcsin 41*. xdxe x 2sin 42*. dxx)(lncos 243*. dxxx 92 44*. dxxx 162 45*. dxxx 24
46. xdxx ln 47*. dx
exx
x
522
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
9
Rezolvări:
1. Cxxxdxxxdxx
xxxxdxxxdx lnln1lnln'ln
2.
Cxxxxdxxxdx
xxxxxdxxxdxx 2
2222'2
41ln
221ln
21
2ln
2ln
2ln
4.
Cxxdxx
xdxx
xdxx
xxxdxxxdxx
222 ln21ln1ln1ln21lnlnln'lnln1
Observaţie: La integralele care conţin funcţia logaritmică nu se umblă la ea ci se scriu celelalte funcţii ca f ’
20.
CxxeCeexex
dxeexexdxexexdxexexdxexdxexxxxx
xxxxxxxxx
2222
][22222
2'22'22
25. ])sin(cos[sincossinsinsin'
dxxexexexdxexexdxexdxe xxxxxxx
Notând cu I integrala xdxe x sin rezultă: CxxeIIxexeI xxx )cos(sin21cossin
Observaţie: La integralele unde apare funcţia exponenţială , se va scrie aceasta ca f ’
29. Cxxxxdxxxdxxxxdxx sincoscoscoscossin '
32. 29,)sincos(2sinsin2sinsincos 22'22 veziCxxxxxxdxxxxdxxxxdxx
37. Cxtgxxxtgxxtgxdxtgxxxdxtgxdxx
x cosln)cosln(
cos'
2
Observaţie: La integralele care conţin funcţii polinomiale şi funcţii trigonometrice nu se va umbla la funcţiile polinomialeci doar la funcţiile trigonometrice care se vor scrie ca f ’
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
10
41*. Se ştie că:
2
2cos1sinsin212cos 22 xxxx
CxexeIIxexeI
xdxexexedxxexe
xdxexedxxexedxxexdxeI
Iexdxedxedxxexdxe
xx
xx
xx
xxx
xxxxxx
xxxxx
)4
2cos2sin21(
34
41
42cos2sin
21
2cos41
42cos2sin
21
22cos
212sin
21
2sin212sin
21
22sin2sin
21
22sin2cos
21
22cos
21
21
22cos1sin
'
'
2
METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR
2. FORMULA SCHIMBĂRII DE VARIABILĂ (SAU METODA SUBSTITUŢIEI).
Teoremă: Fie I,J intervale din R şi :,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI 1) este derivabilă pe I;2) f admite primitive. (Fie F o primitivă a sa.)Atunci funcţia (f o ) ’ admite primitive, iar funcţia F o este o primitivă a lui (f o ) ’ adică:
CFodtttf '
Să se calculeze integralele:
1. dxbax n 2. dxx 912 3. dxxx 912
4. dxxx 72 35 5. dxxx 632 1 6. dxxx nkk 11
7. dxx x 2
7 8. dxe
ex
x
19. dx
eex
x
12
10. dxe x 11. dxx
e x
12. dxeex
x
1
2
13. dxe
ex
x
12
3
14. dxxx 1 15. dxx 52
16. dxxx 21 17. dxxx 43 1 18. dxxx 5 32 2
19. dxx3 52 20. dxxx 762 21. dxxx 22
22. dxx
x
ln 23. dxx
x
ln 24. xdxx ln
25. dxx
xx
3
2 26.
dxxxx 21 27.
dx
xx 3241
2
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
11
28.
dxxx 43
12
29. dxxx
4 130.
dx
xx
1231.
dx
xx 4ln11 32. dx
xx 8ln1
2 33.
dxxx 2ln3
1 34.
dxxx ln
1 35. dxx
x
3 ln1 36 . dxxx 223 37.
dxxx 2006)ln2005(
1 38.
dxxx 112
Rezolvări:
1. Cna
baxCnt
aadttdxbax
nnnn
)1()(
11 11
unde ax+b=t adx=dt dx=adt
2. CxCtdttdxx
20)12(
20212
101099 unde 2x-1=t 2dx=dt
3. CxxCttdtttdtttdxxx
20)12(
22)12(
2022)(
21
2112
1011101191099
4. dtxdxtxundeCxCtdttdxxx
1035,80
)35(810
110
35 2828
772
7. dtxdxtxundeCCdtdxxxt
tx 2,,7ln
721
7ln7
21
277 2
22
8. dxe
ex
x
1Notăm: dtdxete xx 1
CeCtdt
tdx
ee xx
x
)1ln(ln11
15. dxx 52 Notăm: tdtdxtdtdxtxsautx 225252 2
CxCttdttdxx
352
352
33
20. Cxxxxxxxdxxx
763ln
21676
23
28376 22
222
deoarece:
022
022
222
222
dacaaa
bxacbxax
saudacaaa
bxacbxax
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
12
23. dzdtt
zttdtdxtxdeoarecezdzdttttdt
ttdx
xx 1ln,22ln22lnln 2
2
Cxtzdxx
x
222
lnln2
2ln
28
tcuxnotaputeamCxC
x
dx
x
dxxx 2
32,5
32arcsin
252
32
arcsin
23
25
1
43
1222
INTEGRAREA FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE
Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrării prin părţi, fiemetoda substituţiei. În acest caz se pot face substituţiile:1. Dacă funcţia este impară în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.2. Dacă funcţia este impară în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.3. Dacă funcţia este pară în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.4. Dacă o funcţie nu se încadrează în cazurile 1,2,3,atunci se utilizează substituţiile universale:
211cos,
12sin 2
2
2
xtgtundettx
ttx
5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice:
sin 2x=2sin x .cos x,2
2cos1cos2
2cos1sin 22 xxxx
Să se calculeze:
1. xdxx cossin 3 2. xdxx 2sincos3 3. dxx )52sin(
4. xdxx 23 cossin 5. dxxtgtgx 3 6. dx
xx2sin1
cos
7. dxxx
cossin 3
8. dxxx
cos1 9. dx
xxcos1
10. xdx3sin 11. xdx3cos 12.
dxx
x21
arcsin
13. dxxx
4cossin
2 14.
dxx
x
22cos1
2sin 15. dxxx
22 arcsin11
16. dxxsin
1 17. dxxcos
1 18. xdxx 310 cossin
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
13
19. dxxx
20062 )arcsin2005(11 20. dx
xarctgx
2
2006
1Rezolvări:
1. Notăm sin x=t cosx dx= dt CxCtdttxdxx 4cos
4cossin
4433
2. Notăm cos x=t -sin x dx=dt
CxCtdttxdxxxdxxxxdxx 55
4433 cos52
522sincos2cossin2cos2sincos
10. CxxCttdttdxxxxdxxxdx 3coscos
3)1()cos1(sinsinsinsin
332223
12.
dxx
x21
arcsin Notăm cu t pe arcsin x
dtdxxx
x22 1
11
1'arcsin
CxCttdtdx
xx
2arcsin
21arcsin 22
2
INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE
Definiţie: O funcţie f:I→R , I interval, se numeşte raţională dacă R(x)= ,,0)(,)()( Ixxg
xgxf
unde f,g sunt funcţii polinomiale.Dacă grad f grad g, atunci se efectuează împărţirea lui f la g f=gq+r, 0grad r<grad g şideci
.)(.)()()(
)()()( simplerationalefunctiidesumăcascriereafacesexRPentru
xgxrxq
xgxfxR
1. Cbaxa
dxbax
ln11
Ex. Cxdxx
72ln
21
721
2. Cabaxn
dxbax nn
1))(1(
1)(
11 Ex C
xdx
x
31
)83(61
)83(1
67
3. Caxarctg
adx
ax
11
22 Ex Cxarctgdxx
55
15
122
4.
Caxax
adx
axln
211
22 Ex
Cxxdx
x 55ln
101
251
2
5* dx
axx
adx
axaC
axxax
adx
ax
'
222222222
222
2222 211111
)(1
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
14
Ex. ]
)4(21
322[
161
441
161
1621
161
161
161
1616
)16(1
222
'
2222
22
22
xxxxarctg
dxx
xdxx
Cx
xxdxx
6.
0,])
2()
2[(
1
0,])
2()
2[(
1
1
22
22
2
dx
aabxa
dx
aabxa
dxcbxax
Ex. CxxC
x
xdx
x
dxxx
28
88ln31
83
85
83
85
ln
832
141
83
854
1154
1222
Ex.
Cxarctgdxx
dxxx
1
121
541
22
7. Ccbxaxdxcbxax
bax
22 ln2
Ex. Cxxdxxx
x
764ln764
68 22
8*.
dxcbxax
ncbxaxmdxcbxaxnbaxmdx
cbxaxBAx
22
22
1ln)2(
Ex.
Cxxxxdx
x
xx
dxxx
xxdxxx
xdx
xxx
57545754ln
4572
121452ln
43
457
452
141452ln
43
4521
41452ln
43
4524
1545443
45243
222
2
22
22
Să se calculeze:
1. dx
x 531 2.
dxxx
1232 3.
dxx
x4
4. dxx
x32
31
5.
dxx 200532
1 6. dx
x 91
2 7. dx
x 41
2 8. dx
xx
22
2
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
15
9. dx
xx
12
2
10. dx
x 5312 11.
dxxx 21
1 12. dx
xx 211
13. dx
xx 21 14.
dxxx 23
12 15.
dxxx 32
12 16.
dxxx 13
12
17. dx
xx 521
2 18. dx
xxx
13234
2 19. dx
xxx
52326
2 20. dxxx
x65
232
21. dx
xx
425
2 22. dxxx
x102
12 23.
dxx
x36
2
24.
dxx
x
414
25. dx
xx
412 26.
dxx
x8
3
127.
dx
xx
12
3
128.
dx
xx
101
29. dx
xx
46
2
Rezolvări.
23. Notăm 3x cu t dtdxx 23
CxxC
ttdt
tdx
xx
3
3ln36
133ln
321
31
331
3 3
3
26
2
26. Notăm pe 4x cu t 4 3x dx=dt
CxarctgCtarctgdtt
dxx
x
428
3
41
41
411
1
27. Notăm pe x-1 cu t x=t+1 dx=dt
Cttttdtttttdt
ttttdt
ttdx
xx
1110
39
38
)33(13311
1110981211109
12
23
12
3
12
3
= Cxxxx
111098 )1(111
)1(103
)1(31
)1(81
28. Notăm pe x-1cu t
C
xxCttdttdttdt
ttdx
xx
98
98109
1010 )1(91
)1(81
981
1
Să se calculeze integralele folosind descompunerea în fracţii raţionale simple.
Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012
16
30. dxxx
x
32
4 31. dxxx 52
1 32. dxx
xx
3
752
33. dxxx
x
2
31
34. dxxx
2
3
34. dxx
x
112
35. dxx
xx
1
14
36. dxxx 2
12
37. dxxx 4
12 38. dx
xxx
562 39. dxxxx 376
123 40. dx
xxx 211
41. dxxxxx
112
2
2
42. dxxxx
xx
23
2
223 43.
dx
xxxx
22
23
242 44. dx
xx 24
1
45. dx
xxxx
531
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
1
Grup
Fie G-nevidã şi *: GxGG, (x,y)x*y, x,y G.
Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG (asociativitatea);G2. eG astfel încât x*e = e*x = x, xG (e element neutru);G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x);dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).
Exemple
1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),
comutativ;5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este
comutativ;
Definiţia 1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *);
Fie grupurile (G1,), (G2,):Definiţia 2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia 3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi
f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia 4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f
este un izomorfism (morfism).
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
2
Caz general
Fie pe R operaţia x y=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y R. Se cere:
1. Să se arate că, x,y R x y=a(x-b)(y-b)+b;2. Să se arate că f :RR, f(t)=a(t-b), este funcţie bijectivă care verifică totodată
f(x y)=f(x) f(y), x,y R;3. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0
considerând H =(- ;b), să se arate că, x,y H, are loc x y H;4. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0
considerând H =(- ;b), să se arate că f :HR+* , f(t)=a(t-b), este izomorfism de la
(H; ) la (R+* ; ) ;
5. Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ;6. Să se arate că x,y Q\ Z încât x y Z;7. Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z;8. Să se arate că x,y,z R, are loc ( x y ) z = x ( y z ) ;9. Să se arate că e R încât, x R, verifică x e = e x = x ;
10.Să se arate că, x R\{ b }, x' R\{ b } încât x x'= x' x= 1a
+ b;
11.În cazul alegerii a > 0, considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a<0,considerând H=(- ;b), să se determine ce fel de structură este (H, );
12.Să se rezolve ecuaţia 1x b x a A B Ca
, x (0,+ ), unde A="an"-b-c,
B="an"-b+c, C=ac2+b, c Z;13.Să se arate că R încât x R verifică x = x = ;14.Să se determine valoarea expresiei
E=(-"an") (-"an"+1) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... ("an"-1) ("an");15.Să se arate că, x,y,z R, x y z=a2(x-b)(y-b)(z-b)+b;16.Să se rezolve în R ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b;17.Să se rezolve în R ecuaţia (b-|b|+dx) (logdx) (b-1+Cx
”an”)=b, d N, d 2;18.Să se arate că 1... nn
de nori
A A A a A b b
, n N, A fiind un număr real liber
ales, spre exemplu A = ”an”;19.Să se determine cel mai mic număr n N* cu proprietatea
(b+1) (b+2) (b+3) ... n "an";20.Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=a4 A5+b, A fiind un număr real liber ales, spre
exemplu A = ”an”.
Rezolvare1. Se verifică imediat, prin calcul direct:
x y=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1)2. Justificarea bijectivităţii funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), este imediată, ca funcţie de gradul
întâi. Conform cux y=a(x-b)(y-b)+b x y-b=a(x-b)(y-b)| a a(x y-b)=a(x-b) a(y-b)
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
3
este chiar cerinţa, respectiv f(x y)=f(x) f(y).3. Fie x H (x-b)0 şi y H (y-b)0 şi atunci (x-b)(y-b)0, dar cum a este constantă
nenulă şi de semn prestabilit, apartenenţa a(x-b)(y-b)+b=x y H este justificată.4. Variaţia funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), studiată anterior, arată imediat că restricţia
f :H R*+ este bijectivă. Tot din datele anterioare, este evident că H este parte stabilă a
structurii (R; ) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismulfiind astfel demonstrat.
5. Comutativitatea este imediată
6. Luând x y=a(x-b)(y-b)+b şi alegând x-b= 23
şi y-b= 32
, deoarece b Z, evident x,y Q\Z şi
x y=a+b Z.7. Pe aceeaşi idee, alegând x-b= 2 -1 şi y-b= 2 +1, se va obţine x,y R\Q şi x y=a+b Z.
Se observă că alegerea nu este unică, admiţând chiar o infinitate de posibilităţi.8. Asociativitatea se demonstrează prin calcul
9. Din x y=a(x-b)(y-b)+b şi x e=x conduce la a(x-b)(e-b)+b=x din care se obţine 1e ba
10.Dubla egalitate x x'=x' x= 1 ba se reduce de fapt la x x'= 1 b
a care se exprimă în forma
a(x-b)(x'-b)+b= 1 ba , obţinând
2
1'x ba x b
care este în mod evident din R\{b},
justificând afirmaţia din item 10.11.Structura (H; ) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăţilor fiind asigurată de
concluzii anterioare.
12.Cum 1 1,e b x b x a A B Ca a
devine x x=a A B+C, adică a(x-
b)2+b=a ("an"-b-c)×("an"-b+c)+ac2+b. Observând diferenţa de pătrate, din a(x-b)2=a [("an"-b)2-c2]+ac2 se obţine (x-b)2=("an"-b)2 şi în final x="an", în condiţia alegeriievidente 2b-"an"<0<"an"-b.
13.Din x y=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea menţionată, x = x=.14.Cum =b se regăseşte printre „factorii” ce compun expresia E , răspunsul la este E==b.15.Se obţine prin calcul folosind x y=a(x-b)(y-b)+b.16.Ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b devine ("an"x2-x)(x2-"an"x)=0 şi răspunsul va fi
10;"an";"an"
x
.
17.Ecuaţia devine (dx-|b| )(logd x-b ) "an" 1xC =0 , deci log ; ;0;"an"bdx b d .
18.Izomorfismul conduce imediat la 11 2
1
...n
nn k
kx x x a x b b
şi astfel identitatea
1... nn
de n ori
A A A a A b b
este evidentă.
19. (b+1) (b+2) (b + 3) ... n=an-b-1 (n-b)!+b şi astfel se determină imediat răspunsul.20. x x x x x=a4 (x-b)5+b şi a4 (x-b)5+b =a4 A5+b soluţia x=A+b.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
4
Probleme rezolvate
1. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x ◦ y = xy + 4x + 4y +12 .a) Să se verifice că x ◦ y = (x + 4)( y + 4) − 4 pentru orice x, y R .b) Să se calculeze x ◦ (−4) , unde x este număr real.c) Ştiind că operaţia „◦ ” este asociativă, să se calculeze (−2009) ◦ (−2008) ◦... ◦ 2008 ◦2009 .
R. a) Se verifică prin calcul direct:(x + 4)( y + 4) − 4 = xy+4x + 4y + 16-12= xy + 4x + 4y +12= x ◦ y.b) x ◦ (−4) = (x+4)( −4 + 4) −4= (x+4) 0 −4 = −4, x R.c) (−2009) ◦ (−2008) ◦... ◦ 2008 ◦ 2009=
= 4
4
2009 2008 ... 5 4 3 ... 2008 2009
b)
dinpunctul
− 4.
2. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x ◦ y = 2xy − 6x − 6y + 21.a) Să se arate că x ◦ y = 2(x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice x, y R.b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ◦ x =11.c) Ştiind că operaţia „ ◦ ” este asociativă, să se calculeze 1 2 3 ... 2009 .
R. a) Prin calcul direct obţinem 2(x − 3)( y − 3) + 3 =2(xy − 3x − 3y +9)+3=2xy− 6x− 6y+9+3=2xy− 6x− 6y+12= x ◦ y .b) x ◦ x =11 2(x − 3)( x − 3) + 3 =11 2(x−3)2=8 (x−3)2=4 x−3=±2. S={1, 5}.c) Calculăm x ◦ 3 = 2(x − 3)( 3 − 3) + 3 = 2(x − 3) 0 + 3=3, oricare ar fi x R. Întermenii compunerii 1 2 3 ... 2009 există 9 3 şi din calculul precedentrezultatul calculului este 3.
3. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = xy − 2(x + y) + 6.a) Să se arate că x ◦ y = (x − 2)( y − 2) + 2, oricare ar fi x, y R .b) Să se demonstreze că x ◦ 2 = 2 , oricare ar fi x R .c) Ştiind că legea de compoziţie „◦ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresieiE = (−2009) ◦ (−2008) ◦…◦ (−1) ◦ 0 ◦1◦ 2 ◦…◦ 2009 .
R. a) Prin calcul direct (x− 2)( y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 − 2 = xy − 2x − 2y + 2 = x ◦ y.b) x ◦ 2 = (x − 2)( 2 − 2) + 2 = (x − 2) 0 + 2 = 2, oricare ar fi x R.c)
2
2
2
2009 2008 1 0 1 2 2009=2E
conform
punctului b).
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
5
4. Se consideră mulţimea G = {Ax| x Z} , unde matricea1 0 00 1 0 ,
0 1xA x
x
Z .
a) Să se verifice că Ax Ay = Ax+y, unde x, y Z .b) Ştiind că mulţimea G împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează ostructură de grup, să se determine elementul neutru al grupului (G, ) .c) Să se arate că funcţia f : Z→G, f (x) = Ax este morfism între grupurile (Z,+) şi (G, ).
R. a)1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1x y x yA A A
x y x y
b) Element neutru este Ae, e Z şi Ax Ae = Ax x + e = x e = 0 şi
2
1 0 00 1 00 0 1
eA I
.
c) O funcţie f : G1→G2 este morfism dacă f (x + y) = f (x) + f (y), x,y G1. Calculăm
)
punctula
f x y A x y A x A y f x f y , x,y Z şi f este izomorfism dela Z la G.
5. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = (x − 4)( y − 4) + 4 .a) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie.b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ◦ x ◦ x = x .c) Să se determine două numere a,b Q \ Z astfel încât a ◦ b N.
R. a) Elementul neutru: există e R astfel încât oricare ar fi x R să avem: x◦ e = e ◦x = x.x ◦ e = (x − 4)( e − 4) + 4 (x − 4)( e − 4) + 4 = x (x − 4)( e − 4) = x−4 e − 4 = 1 e = 5.b) x ◦ x ◦ x = (x − 4) (x − 4) (x − 4) + 4 = (x − 4)3 + 4 (x − 4)3 + 4 = x (x−4)3−(x−4) = 0 (x − 4) [(x − 4)2 − 1] = 0 x1 = 0 şi (x − 4)2−1=0 (x−4)2= 1x − 4 = ± 1 x2 = 3 şi x3 = 5.
c)a,b Q\Z , ,cu , , , , 0, 0, 1, 1, , 1, , 1m pa b m n p q n p n p m n p qn q
N
şi calculăm 4 44 4 4 4m p m n p qa bn q n q
. Cum a ◦ b N atunci
4 4 / 4şi / 4
m n p q q m n n p qn q
N . Luăm valori pentru n şi q , n =3 şi
q =5, atunci 5 / (m – 4 3) m = 17 şi 3 / (p – 4 5) p = 23. Obţinem17 23şi3 5
a b , iar
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
6
17 23 17 12 23 20 5 34 4 4 4 4 1 4 5 .3 5 3 5 3 5
a b
N Obs. Se
pot lua şi alte valori pentru n şi q.
6. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = 3 33 1x y .a) Să se demonstreze că x ◦ (−x) = −1, oricare ar fi x real.b) Să se arate că legea de compoziţie „◦ ”este asociativă.c) Să se calculeze (−4) ◦ (−3) ◦...◦ 3◦ 4 .
R. a) 3 33 3 3 33 1 1 1 1x x x x x x , x R.b) Asociativitatea: x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, x,y,z R.
Calculăm 3 3 3 3 3 3 3 33 3 331 1 1 2x y z x y z x y z x y z şi
33 3 3 3 3 3 3 33 3 33
3 3 33
1 1 1 1 1
2
x y z x y z x y z x y z
x y z
,
cei doi termeni sunt egali şi legea de compoziţie este asociativă.c) (−4) ◦ (−3) ◦...◦ 3 ◦ 4 = (−4) ◦ (−3) ◦ (−2) ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ 4 şi din punctul a)obţinem
3 31 1 1 1 3 3
4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0
3 3 3 33 3 3 3 3 3 33 33 3 0 3 3 1 0 7 0 7 0 1 8 2 .
7. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ◦ y = xy + 7(x + y) + 42 .a) Să se calculeze 2 ◦ (− 2) .b) Să se verifice că x ◦ y = (x + 7)( y + 7) − 7, oricare ar fi x, y R .c) Ştiind că legea de compoziţie „◦ ” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelorreale ecuaţia x ◦ x ◦ x = x .
R. a) 2 ◦ (− 2) =2 (−2) + 7(2−2) + 42 = −4+0+42 = 38.b) (x + 7)( y + 7) − 7 = xy +7y +7x +49− 7 = xy +7y +7x +42 = x ◦ y, x,y R.c) Calculăm x ◦ x ◦ x = [(x + 7)2 -7] ◦ x = [(x + 7)2 −7+7](x + 7) −7=(x + 7)3 −7 şiecuaţia va fi: (x + 7)3 −7 = x (x + 7)3 −(x +7) = 0 (x +7)[ (x + 7)2 − 1] = 0 (x +7) =0 şi (x + 7)2 − 1= 0, x1 = −7 şi (x + 7)2 = 1 x + 7 =1 sau x + 7 =− 1 x2 = −6 şi x3 = −8.
8. Se consideră mulţimea M = [k;+∞) R, k R şi operaţia x y = xy − k(x + y) + k 2 + k ,oricare ar fi x, y R.
a) Să se determine k R astfel încât 2 3 = 2 .b) Pentru k = 2 să se rezolve în M ecuaţia x x = 6 .c) Să se demonstreze că pentru orice x, y M , rezultă că x y M.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
7
R. a) 2 3 = 2 3 − k(2 + 3) + k2 + k = 6 − 5k + k2 + k = k2 − 4k + 6 k2 − 4k + 6 = 2 k2 − 4k + 4 = 0 (k − 2)2 = 0 k = 2.b) x y = xy− 2(x + y) + 6 x2 − 4x + 6 = 6 x2 − 4x = 0 x(x− 4) = 0 x1 = 0 şix2 = 4.c)
2
2
0,
0
0 0
, , .
x k x kx y M
y k y k
x k y k xy k x y k k
xy k x y k k k x y M x y M
9. Se consideră mulţimea 0
0 0 00
a aM A a a
a a
R .
a) Să se verifice dacă A(a) A(b) = A(2ab) , oricare ar fi numerele reale a şi b.
b) Să se arate că 12
A
este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor
pe M.c) Să se determine simetricul elementului A(1) M în raport cu operaţia de înmulţire amatricelor pe mulţimea M.
R. a) 0 0
0 0 0 ,
şi 0 0 0 ,
0 0
a a b bA a a A b b
a a b b
R R şi calculăm A(a) A(b):
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
2 0 20 0 0 2
2 0 2
a a b b ab ab ab abA a A b
a a b b ab ab ab ab
ab abA ab
ab ab
.
b) Calculăm )1 12
2 2
punctula
A a A A a A a
şi atunci 12
A
este element
neutru.
c) 1 0 1
1 0 0 01 0 1
A
şi elementul simetric este inversa matricei A-1(1) şi trebuie să
avem A(1) A-1(1) = 12
A
. Notăm A-1(1) = A(e), e R A(1) A(e) = A(2 1 e) =
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
8
A(2e) şi A(2e)= 12
A
, se obţine 1 122 4
e e . Obţinem A-1(1) = 14
A
.
10. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x y = x + y − 3 şix ◦ y = (x − 3)( y − 3) + 3.a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x ◦ x = x x .b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x◦ a=3, oricare ar finumărul întreg x .
c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii
1 4
1 5
x y
x y
, unde x, y Z.
R. a) x ◦ x = (x – 3)2 +3 şi x x = 2x – 3, obţinem ecuaţia: (x – 3)2 +3 = 2x – 3 x2 – 8x + 15 = 0 care are soluţiile x1 = 3 şi x2 = 5, numere întregi.b) x◦ a=3 (x − 3)( a − 3) + 3 = 3 (x − 3)( a − 3) = 0 pentru a = 3 şi oricare ar fi
x Z.c)
1 4 1 3 4 63 1 3 3 5 2 2 6 3 51 5
6 62 2 4 : 2 2
/ 2 4 2, 4
x y x y x yx y x yx y
x y x yx y x y
y y x
şi soluţia este perechea (4;2).
11. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie xy=xy−5(x+y)+30.a) Să se demonstreze că xy=(x−5)(y−5)+5, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „”.c) Ştiind că legea de compoziţie „” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelorreale ecuaţia xxx=x.
R. a) (x−5)(y−5)+5 = xy −5y−5x +25+5= xy −5(x+y) +30 = xy.b) e R este element neutru dacă xe = x, oricare ar fi x R. Atunci (x−5)(e−5)+5=x(x−5)(e−5) −(x−5)=0 (x−5)(e−6) = 0 e = 6 R. Acelaşi element neutru se obţine şipentru ex=x.c) 2 2 35 5 5 5 5 5 5 5 5x x x x x x x x . Ecuaţia va
fi: 3 3 25 5 5 5 0 5 5 1 0x x x x x x x −5=0, x1 = 5
şi 2 22 35 1 0 5 1 5 1 6, 4x x x x x . Soluţii {4,5,6}.
12. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
9
2 2 2x y x y .
a) Să se rezolve ecuaţia xx=x, unde x R.b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „” este asociativă.c) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „”.
R. a) 22 2 2 2 2x x x x x şi se obţine ecuaţia:
2 22 2 2 2 0 2 2 1 0x x x x x x cu soluţiile
1 22şi 2 1
x x .b) Asociativitatea: xyz)=( xy)z, x,y,z R. Calculăm fiecare termen:
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
x y z
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
x y z
Cei doi termeni sunt egali şi legea de compoziţie este asociativă.c) Elementul neutru: e R astfel încât x R să avem: xe = ex =x. Trebuiedeterminat e din egalitatea: xe = x, deoarece legea de compoziţie este evidentcomutativă.
2 2 2 2 2 2 0
2 2 1 0 2 1 0 2 1
x e x x e x
x e e e
R
este element neutru.
13. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie xy=x+y+m, unde m estenumăr real.
a) Să se arate că legea de compoziţie "" este asociativă.b) Să se determine m astfel încât e = −6 să fie elementul neutru al legii "".c) Să se determine m astfel încât 3 2 3 3 2m .
R. a) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) = x(y+z+m) = x+(y+z+m)+m = x+y+z+2mşi (xy)z= (x+y+m)z = (x+y+m )+z +m = x+y+z+2m, cei doi termeni sunt egali şiasociativitatea este demonstrată.b) Elementul neutru: xe=ex=x, x R. Legea de compoziţie este evidentcomutativă şi atunci ajunge xe =x x−6 +m=x m=6.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
10
c) 3 2 3 3 3 2 3m m 3 2 = 2 2 2 2 4 2
m
m m m m m m m m
şi se obţine: 4 2 3 2 4 4 2m m şi 2m .14. Pe mulţimea numerelor reale, se consideră legea de compoziţie definită prinx◦y=xy−x−y+2 .
a) Să se arate că legea “◦ ” este asociativă.b) Să se arate că, pentru oricare x,y(1,+∞), rezultă că x◦y (1,+∞).
c) Să se determine aR cu proprietatea că x◦a=a, oricare ar fi xR.
R. a) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) = x(yz−y−z+2) = x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2 == xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z.şi (xy)z= (xy−x−y+2)z = (xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2) −z +2==xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2= xyz−xy−xz−yz+x+y+z, cei doi termeni sunt egali şiasociativitatea este demonstrată.
b) 1 1 0
, 1, 1 1 01 1 0
x xx y x y
y y
1 0 1 2 1 (1, )xy x y xy x y x y .
c) 2 2 2 2 2 1x a a xa x a a xa a x a x x a .
15. Pe mulţimea R se consideră legea de compoziţie xy=2xy−x−y+1.a) Să se arate că xy=xy+(1−x)(1−y), oricare ar fi x,yR.b) Să se arate că legea de compoziţie „” este asociativă.c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x (1−x)=0.
R. a) xy+(1−x)(1−y)=xy+1−x−y+xy=2xy−x−y+1=xy, x,yRb) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) =x[2yz −y−z+1]=2x[2yz −y−z+1] −x−[2yz −y−z+1]+1==4xyz−2xy−2xz+2x−x−2yz+y+z−1+1=4xyz−2(xy+xz+yz)+x+y+z.şi (xy)z=[2xy−x−y+1] z=2[2xy−x−y+1]z−[2xy−x−y+1] −z+1==4xyz−2xz−2yz+2z−2xy+x+y−1−z+1=4xyz−2(xz+yz+xy)+x+y+z, cei doi termenisunt egali şi asociativitatea este demonstrată.c) x (1−x)=0x(1−x)(1−x)[1−(1−x)]=0 x2(1−x)2=0x1=0 şi x2=1.
16. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie xy=−xy+2x+2y−2.a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x4=10.b) Să se determine aR astfel încât xa=ax=a, oricare ar fi xR.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
11
c) Ştiind că legea „” este asociativă, să se calculeze 1 2 4018...2009 2009 2009
R. a) x4=10−4x+2x+2·4−2=10−2x=4x=−2.
b) xa=a−xa+2x+2a−2=a−xa+a=−2x+2a(−x+1)=2(−x+1)a=2R.
c)
2 2
2
1 2 4018 1 2 4017 4018... ... 22009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
conform punctului
precedent.
Probleme propuse
17. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie xy=x+y+1 , x◦y=ax+by−1, cu a,bZ şifuncţia f (x)=x+2, f :Z→Z,
a) Să se demonstreze că x (−1)=(−1)x=x , oricare ar fi xZ .
b) Să se determine a,bZ pentru care legea de compoziţie „ ◦ ” este asociativă.c) Dacă a=b=1 să se arate că funcţia f este morfism între grupurile (Z,) şi (Z,◦).
18. Se consideră mulţimea G={a+b 2 | a,b Z, a2−2b2=1}.a) Să se verifice că 3+2 2 G .b) Să se demonstreze că x y G, pentru x, y G .c) Să se arate că orice element din mulţimea G are invers în G în raport cu înmulţireanumerelor reale.
19. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y= 2x+y .a) Să se calculeze 2008 (−2008).b) Să se rezolve în R ecuaţia x x2 = 64 .c) Să se demonstreze că nu există x,y,z R pentru care (x y) z= 2z .
20. Pe mulţimea R se defineşte legea de compoziţie 3 33x y x y .a) Să se calculeze x*0.b) Să se demonstreze că legea „*” este asociativă.c) Ştiind că x0 Q şi xn=x0*xn−1, oricare ar fi n N* , să se arate că x* Q.
21. Se consideră mulţimea G=(2,∞) şi operaţia x y=xy−2(x+y)+6, x,y G.a) Să se arate că x y=(x−2)(y−2)+2, x,y G .b) Să se demonstreze că x y G, pentru x,y G.c) Să se afle elementele simetrizabile ale mulţimii G în raport cu legea " ".
22. Se consideră mulţimea G=(0,∞)\{1} şi operaţia x y=x3ln y , x,y G.a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x e = 1, unde e este bazalogaritmului natural.b) Să se demonstreze că x y G , pentru x,y G.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
12
c) Să se arate că operaţia „ ” este asociativă pe mulţimea G.
23. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţiex*y=2xy−6x−6y+21, pentru orice x,y R.a) Să se arate că x*y=2(x−3)(y−3)+3 pentru orice x,y R.b) Să se rezolve în R ecuaţia 5x*5x=11.c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea "*".
24. Fie mulţimea G={a+b 3 | a,b Z, a2−3b2=1}.a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.b) Să se demonstreze că pentru orice x, y G avem x y G .
c) Să se arate că dacă x G, atunci 1x
G.
25. Pe R se consideră legea de compoziţie asociativă x y=x+y+1.a) Să se calculeze 2007 2008.b) Să se rezolve în R inecuaţia x x2 ≤ 3.c) Fie mulţimea A={n N*| n≥2 şi 0 1 2 6n n nC C C n }. Să se determine numărulelementelor mulţimii A .
26. Se consideră mulţimea G=(−1,1) şi legea de compoziţie *1x yx y
xy
,
x, y G .
a) Să se rezolve în G ecuaţia x*x= 45
.
b) Să se verifice egalitatea
1 1 1 11 1 1 1
x y x yx y
x y x y
, x, y G.
c) Să se arate că pentru oricare x, y G rezultă că x*y G.
27. Pe mulţimea numerelor reale definim legea de compoziţie x y=xy+3x+3y+6, x,y R.a) Să se arate că x y=(x+3)(y+3)−3, x,y R.b) Să se determine elementul neutru, ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativăşi comutativă.c) Să se determine n N, n≥2 astfel încât 2 2C 13n nC .
28. Pe mulţimea numerelor întregi definim legile de compoziţie x*y=x+y−3 şix y=xy−3(x+y)+12 .a) Să se rezolve în Z ecuaţia x x=12.b) Să se arate că 1 (2*3)=(1 2)*(1 3).
c) Să se rezolve în mulţimea Z×Z sistemul
3 2
4 10
x y
x y
.
29. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţiex y=x+y+11.
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
13
a) Să se arate că legea de compoziţie „ ” este asociativă.b) Să se rezolve ecuaţia
6 ori x
... 1de
x x x
.
c) Să se demonstreze că (Z, ) este grup comutativ.
30. Pe mulţimea numerelor reale R se consideră legea de compoziţie x y=xy−2(x+y)+6.a) Să se verifice că x y=(x−2)(y−2)+2, x,y R.b) Să se demonstreze că x 2=2 oricare ar fi x R.c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă, să se calculeze expresiaE=(−2008) (−2007) … (−1) 0 1 2 … 2008 .
31. Pe mulţimea G=(−1,1) se consideră legea de compoziţie *1x yx y
xy
.
Fie funcţia f:(-1,1) (0,4), 11
xf xx
a) Să se calculeze 1 12 2 .
b) Să se verifice că f(x*y)=f(x)*f(y),x,y G.c) Să se demonstreze că legea "*" este asociativă.
32. Pe mulţimea R se defineşte legea de compoziţie x y=xy−10(x+y)+110.a) Să se verifice că x y=(x−10)(y−10)+10 , oricare ar fi x,y R.b) Să se calculeze 1 1
20 20C Cc) Să se rezolve ecuaţia x (x−1)=10 , unde x R.
33. Se consideră mulţimea xG A x Z , unde matricea1 0 00 1 0
0 1xA
x
,x Z.
a) Să se verifice că Ax Ay= Ax+y , unde x,y Z.b) Să se determine elementul neutru din grupul (G, ).c) Să se demonstreze că funcţia f :Z→G, f (x)=Ax este morfism de grupuri.
34. Pe mulţimea numerelor reale R se consideră legea de compoziţie definită astfelx*y=xy−x−y+2.a) Să se demonstreze că x*y=(x−1)(y−1)+1, oricare ar fi x,y R.b) Să se demonstreze că legea „*” este asociativă.
c) Să se calculeze 1 2 2008* *...*2 2 2
.
35. Se defineşte pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie asociativăx*y=xy−6x−6y+42, pentru orice x,y R .a) Să se arate că x*y=(x−6)(y−6)+6, oricare ar fi x,y R.b) Să se rezolve în R ecuaţia x * x * x * x=x.c) Să se calculeze 1* 2 * 3 * ... * 2008.
36. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie
Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -
14
x*y=xy− 2008 (x+y)+2008+ 2008 , oricare ar fi x,y R.a) Să se arate că x*y=(x− 2008 )(y− 2008 )+ 2008 , oricare ar fi x,y R.b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „*” pe mulţimea R.c) Ştiind că legea de compoziţie „*” este asociativă, să se calculeze(− 2008 ) * (− 2007 ) * ...* 0 *...* ( 2007 ) * ( 2008 ).
37. Pe Z se defineşte legea de compoziţie asociativă x*y=3xy+7x+7y+14.a) Să se determine elementul neutru al legii "*" .
b) Să se rezolve în R inecuaţia x*x≤− 73
.
c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „*”.
38. Pe R se defineşte legea de compoziţie prin x y=3xy+3x+3y+2,oricare ar finumerele reale x şi y .a) Să se verifice că x y=3(x+1)(y+1)−1, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine perechile (x,y) R×R pentru care (x2−5) (y2−10)=−1.c) Să se determine două numere a,b Q−Z, astfel încât a b N.
39. Pe mulţimea Z se definesc legile de compoziţiex*y=x+y+2 şi respectivx y=xy+2x+2y+2.a) Să se demonstreze că x y=(x+2)(y+2)−2.b) Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două legi de compoziţie.
c) Să se rezolve sistemul2 2
2 2
716
x yx y
.
40. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x y=2xy−8x−8y+36.a) Să se demonstreze că x y=2(x−4)(y−4)+4, oricare ar fi x,y R.b) Să se rezolve ecuaţia x x= 36 .c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă să se calculeze 1 2 ... 2008 .
41. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prinx*y=3xy+3x+3y+2.a) Să se demonstreze că x*y=3(x+1)(y+1)−1, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine perechile (x,y) R×R pentru care (x2−2)*(y2−5)=−1.c) Ştiind că legea de compoziţie este asociativă să se calculeze(−2008)*(−2007)*...*(−1)*0*1*...*2007*2008 .
42. Pe R definim legile de compoziţie x y=x+y+3 şi x*y=xy−3(x+y)+12.a) Să se verifice că x*y=(x−3)(y−3)+3, oricare ar fi x,y R .b) Să se rezolve în R ecuaţia (x (x+1))+(x*(x+1))=11.
c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii
1 0
1 1
x y
x y x y
, x,y R.
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
1
ExerciŃiul 1. Să se arate că e ex
xdx
ee
e
e2
3
12
12
( )ln
( )− < < −∫
SoluŃie: Fie f:[e,e2]6R funcŃia definită prin:
f xx
xx e e( )
ln; ( ) [ , ]= ∀ ∈ 2 .
Evident funcŃia f este derivabilă şi
f xx
xx e e' ( )
ln
ln;( ) ( , ]=
−> ∀ ∈
10
22 , rezultă f este strict crescătoare. Prin urmare
f(e)<f(x)<f(e2), (∀)x0(e,e2). Dar f(e)=e şi
f ee
ex
x
ex e e edx
x
xdx
edx
edx ex e e e e e
edx
ex
e e ee e e
x
xdx
ee
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
( )ln
; ( ) ( , )ln
( ) ( );
( ) ( )ln
( ) .
22 2
22
2 2
2 2 4 3 32
3
2 2 2
1
2 2 2 2 21 1
21
2 2 2
22
22
2
= ⇒ < < ∀ ∈ ⇒ < <
= = − = −
= = − = − ⇒ − < < −
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
ExerciŃiul 2. Să se arate că:
a x x dx bx
xdx
cx
x xdx d
x
xdx
e x x dx f e e dx e
ge
e dx e hx x
dx
i x x
x
x x
) ; ) ;
)( )
; ) ;
) ln ln( ) ; ) ;
) ; ) ;
) ln( ) ln(
2 2 4 5 2 10 31
16
02
11 9
1
135
3
41 0
22
2
8
1
4 2
3
9
2 3 4 4 2
2
1
1
2
5
3
22
1 3
22
7
2
0
1
1
24
40
22
2 30
1
2
2
< + + < <−+
<
<+
+ +< <
+
+<
< − + < < <
≤ < <− −
<
− ≤ −
−
−
−
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫π π
π arctg + <−
∫ 2 2 33
3) ln ;dx π
j e dxe
k e e dx e dx ex x x) ; )3
4
3
32 1
2 2 2
0
1
0
11
0
1< <
+≤ + ≤ +∫ ∫ ∫
−
ExerciŃiul 3. Fie I x dx n Nnn
e
= ∈∫ (ln ) ; *
1.
a) Să se arate că şirul (In) este monoton şi mărginit; b) Să se găsească o formulă de recuren]ă între In şi In-1, n0N, n$2; c) Să se calculeze lim
nnI
→∞.
SoluŃie:
a) I xdx I xdxnn
e
nn
e
= =∫ ∫++ln ; ln
11
1
1
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
2
(∀)n0N* avem: I I x x dxn nn
e
+ − = −∫11
1ln (ln )
Cum x0[1,e] obŃinem lnx0[0,1] şi deci In+1#In, rezultă şirul (In) este descrescător. Deoarece 0#lnx#1; (∀)x0[1,e], rezultă 0#In#e−1; (∀)n0N*, şirul (In) este mărginit.
b) I xdx x xdx x x n xdx e nI
n n
nn
en
ee n
e
n= = = − = −
∀ ∈ ≥
∫ ∫ ∫−
−ln ( )' ln ln ln ;
( ) ; .1 1
11
11
2N
c) Şirul (In) fiind monoton şi mărginit, este convergent. Fie I= limn
nI→∞
;
I0[0,e-1]. Din relaŃia de recurenŃă In=e−nIn-1;n$2 rezultă In+1=e− (n+1)In*:(n+1) I
n
e
nI nn
n+
+=
+− ∀ ≥1
1 11; ( ) ; prin trecere la limită rezultă
lim lim limn
n
nn
nn
I
n
e
nI I
→∞
+
→∞ →∞+=
+−
⇒ =1
1 10.
ExerciŃiul 4. Se consideră şirul (In)n$1, unde I x dx nnn= + ∈∫ ln( ) ; *1
0
1N .
a) ArătaŃi că şirul (In) este monoton şi mărginit; b) CalculaŃi lim
nnI
→∞.
ExerciŃiul 5. Să se arate că dacă pentru funcŃia continuă f:[0,1]→R există un număr natural n$2 astfel încât:
f x dxn
( ) ...0
11
1
2
1∫ = + + +
atunci există c0(0,1) astfel încât f(c)=1
1
−−
c
c
n
.
ExerciŃiul 6. Fie a>0 şi f:[0,a]→R o funcŃie continuă şi crescătoare. Să se arate că pentru orice b0(0,a) avem:
a f x dx b f x dxb a
( ) ( )0 0∫ ∫≤ .
SoluŃie: Deoarece f x dx f x dx f x dxa b
b
a
( ) ( ) ( )0 0∫ ∫ ∫= + rezultă că inegalitatea din
concluzia problemei are loc dacă şi numai dacă:
( ) ( ) ( )a b f x dx b f x dxb
a
b
− ≤∫ ∫0
. Conform teoremei de medie există c10(0,b] şi
c20[b,a] astfel încât:
f x dx bf c si f x dx a b f cb
a
b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 2∫ ∫= = − .
Cum 0#c1#b#c2#a rezultă f(c1)#f(c2) ⇒b⋅(a−b)⋅f(c1)#b⋅ (a−b)⋅f(c2) ⇒
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
3
b a b
f x dx
bb a b
f x dx
a b
a f x dx b f x dx b f x dx
a f x dx b f x dx f x dx
a f x dx b f x dx
b
b
a
b b
b
a
b b
b
a
b a
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
− ≤ −−
⇒
⇒ − ≤ ⇒
⇒ ≤ +
⇒
⇒ ≤
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
0
0 0
0 0
0 0
ExerciŃiul 7. Fie a,b0R cu a<b şi f:[a,b]→R o funcŃie continuă. Să se arate că există c0(a,b) astfel încât:
f ca b c
c a c b( )
( )( )=
+ −− −
2.
SoluŃie: În baza teoremei de existenŃă a primitivelor unei funcŃii continue, funcŃia F:[a,b]→R definită prin:
F x f t dt x a ba
x
( ) ( ) ;( ) [ , ]= ∀ ∈∫ este o primitivă a funcŃiei f pe [a,b], rezultă F este
derivabilă pe [a,b] şi F'(x)=f(x); (∀)x0[a,b]. Atunci funcŃia g:[a,b]→R definită prin g(x)=(x−a)(x−b)eF(x); (∀)x0[a,b] este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) şi rezultă g'(x)=(x−b)eF(x)+(x−a)eF(x)+(x−a)(x−b)F'(x)eF(x)=
=[2x−a−b+(x−a)(x−b)f(x)]eF(x); (∀)x0(a,b).
Deoarece g(a)=g(b)=0 atunci conform teoremei lui Rolle (∃)c0(a,b) astfel încât g'(c)=0. Deoarece eF(c)
≠ 0, deducem că 2c−a−b+(c−a)(c−b)f (c)=0, rezultă
f ca b c
c a c b( )
( )( )=
+ −− −
2.
ExerciŃiul 8. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4)→[0,+4) cu proprietatea că f(x)>0, (∀)x0(0,+4) şi care verifică relaŃia:
x f t dt f x xo
x2 0( ) ( );( ) [ , ).∫ = ∀ ∈ +∞
SoluŃie: Presupunem că există o funcŃie continuă f care satisface cerinŃele problemei. Atunci, în baza teoremei de existenŃă a primitivelor, funcŃia
F:[0,+4)→R definită prin F x f t dt xx
( ) ( ) ;( ) [ , )= ∀ ∈ +∞∫ 00
este derivabilă pe
[0,+4), rezultă f este derivabilă pe [0,+4). Derivând egalitatea dată în problemă, obŃinem că:
f x
f x
x
xx
' ( )
( ); ( ) ( , )=
+∀ ∈ +∞
3 20 , iar prin integrare rezultă
ln ( ) ln ;( ) [ , )f xx
x c x= + + ∀ +∞3
32 0 .
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
4
Prin urmare funcŃia f are forma:
f x cx e c
x
( ) ; ( ) [ , ); ( , ).= + ∀ ∈ +∞ ∈ +∞2 3
3
0 0 ExerciŃiul 9. Să se determine funcŃiile derivabile f:[0,+4]→R care au
proprietatea că:
x f t dt x f xx
+ = +∫ ( ) ( ) ( )0
1 ;(∀)x>0.
ExerciŃiul 10. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4) →[0,+4) cu proprietatea că f(x)>0; (∀)x0(0,+4) şi care verifică egalitatea
3 20
f t dt xf xx
( ) ( )∫ = ; (∀)x0[0,+4).
ExerciŃiul 11. Să Se determine funcŃiile derivabile f:R→R care satisfac egalitatea:
e f x e f t dt xx t
o
x
( ) ( )− =∫ 2 2 ;(∀)x0R.
ExerciŃiul 12. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4) → (0,2
π ) care
satisfac relaŃia:
tg ctgf x dx f x dxx x
( ) ( )0 0∫ ∫= ; (∀)x0[0,+4).
ExerciŃiul 13. Să se calculeze: lim [ ]n n
nx dx→∞
∫1
0
1, unde [a] este partea întreagă a
numărului real a.
SoluŃie: Fie n0N*. Atunci (∀)k0N, k#n−1 şi (∀)x0
+n
k
n
k 1, , avem [nx]=k. De
aici deducem că:
.2
1
2
)1(1)1...1(
11...
321
)1(...20][1
3
2
2
1
1
0
1
0
−=
−=−++=
−++++=
=−++++= ∫∫∫∫∫−
nnn
nn
nn
n
nnn
dxndxdxdxdxnx
n
n
n
n
n
n
n
n
lim [ ] lim .n nn
nx dxn
n
→∞ →∞∫ =
−=
1 1 1
2
1
20
1
ExerciŃiul 14. Fie p0N, p$2. Să se calculeze
lim [ ] .n n
n
pp x dx
→∞∫
1
0
1, unde [a] este partea întreagă a numărului real a.
ExerciŃiul 15. Fie p,q0N; p,q$2. Să se calculeze:
lim[ ]
[ ]n
n
n
p x dx
q x dx→∞
∫
∫
0
1
0
1, unde [a] este partea întreagă a numărului real a.
ExerciŃiul 16. Să se calculeze:
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
5
lim [ ]n
n xe nx e dx→∞
−
∫
1
0
11 , unde [a] este partea întreagă a numărului real a.
ExerciŃiul 17. Să se calculeze: limsinx
tx
e dt
x→
∫
0
02
22
.
SoluŃie: Fie f:R→R definită prin f(t)=et 2
,(∀)t0R; f fiind continuă, admite primitive. Fie F:R→R o primitivă a funcŃiei f. Atunci F este derivabilă şi F '(t)= ,
2te (∀)t0R. Pe de altă parte, din continuitatea funcŃiei f deducem că ea este integrabilă pe [0,x
2];(∀)x0R. Atunci, în baza formulei lui Leibnitz-Newton, avem:
e dt F x Ftx 2
2
0
2 0∫ = −( ) ( ) ;(∀)x0R. Deoarece F este continuă, lim ( ) ( )x
F x F→
=0
2 0 .
Cum lim sinx
x→
=0
2 0 se obŃine o nedeterminare de forma 0
0 . Observăm că sunt
îndeplinite ipotezele teoremei lui l'Hospital, rezultă:
lim
sinlim
( ) ( )
sinlim
[ ( ) ( )]'
(sin )'
lim'( )
sin coslim
sin cos.
x
tx
x x
x x
x
e dt
x
F x F
x
F x F
x
xF x
x x
xe
x x
→ → →
→ →
∫=
−=
−=
= = =
0
02 0
2
2 0
2
2
0
2
0
22
4
0 0
2
21
ExerciŃiul 18. Să se calculeze:
a
t dt
xb
t dt
x
cx
t dt d
t dt
x
e
e dt
e dt
f
e dt
e dt
gx
t
t
dt hx t
x
x
x
x
x
tx
x
x
x
tx
tx
x
tx
tx
x
x
x
) limsin
; ) limcos
;
) lim ( sin ) ; ) lim( )
;
) lim ; ) lim ;
) lim
( )
; ) limln
sin
→ →
→ →∞
→ →
→∞ →∞
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
0
2
02 0
2
0
0
1
0
2
0
2
0
02
0
0
2
4
23
20 33
11 2
1
1
1
1 1
1
2
2
2
2
arctg
tg
tg
ctgπ π
dtx
1∫
;
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
6
i
e dt
e dt
j x e tdt
kx
t dt l e dt
mx
t
tdt n
tdt
tdt
ox
t tdt p
x
tx
tx x
tx
xx
tx
x
tx x
x
x
xx
x
x
x
x
x
) lim ; ) lim sin ;
) lim ; ) lim ;
) lim ; ) lim
sin
;
) lim sin ; ) lim
sin
→∞ →∞
→>
+
→∞
→ →>
→∞ →
∫
∫∫
∫ ∫
∫∫
∫
∫
++
2
2
2 2
0
1
2
2
0
2
0
1
00
21
0 0
1
0 0 00
0
0
22
0
1
1 10
1
1
tg
tg
∞∫
1
0xt tdt
x
sin .
ExerciŃiul 19. Fie f:[1,2]→R funcŃia definită prin f(x)=x3; (∀)x0[1,2].
Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de graficul funcŃiei f, dreptele de ecuaŃii x=1; x=2 şi axa Ox. SoluŃie: FuncŃia f fiind continuă şi pozitivă rezultă multimea Γf delimitată de graficul funcŃiei f, dreptele de ecuaŃii x=1; x=2, axa Ox are arie şi:
aria( )Γ f x dxx
= = =∫3
1
2 4
1
2
4
15
4.
ExerciŃiul 20. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba
yx x
x=
−+
2 8
1; dreptele x=8, x=9 şi axa Ox.
ExerciŃiul 21. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=x
2arctgx; dreptele x=0, x=1 şi axa Ox. ExerciŃiul 22. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba
y x x= +2 2 , dreptele x=0, x=1 şi axa Ox.
ExerciŃiul 23. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=(x+1)lnx, dreptele x=1, x=3 şi axa Ox. ExerciŃiul 24. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=sinx*lncosx*, dreptele x=0, x=π/4 şi axa Ox. ExerciŃiul 25. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba
yx
x x=
−
− + −
1
2 3, dreptele x=0, x=4 şi axa Ox.
ExerciŃiul 26. Fie f,g:[2,5]6R funcŃiile definite prin f(x)=-x2 şi g(x)=e
x;(∀)x0[2,5]. Să se calculeze aria mulŃimii plane delimitate de graficele funcŃiilor f şi g şi dreptele de ecuaŃii x=2 şi x=5. SoluŃie: FuncŃiile f şi g sunt continue. Mai mult f(x)#g(x),(∀)x0[2,5], rezultă mulŃimea Γf,g delimitată de graficele celor două funcŃii f şi g, dreptele x=2, x=5 are arie şi
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
7
( )aria( ) .,Γ f gx xe x dx e
xe e= + = +
= − +∫
2
2
5 3
2
5
5 2
339
ExerciŃiul 27. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele x=ex;
y=(x+1)e-2x şi dreptele x=0, x=1. ExerciŃiul 28. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=xarctgx; y=ln(1+x
2) şi dreptele x=0, x=1. ExerciŃiul 29. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de parabola y=2x−x
2 şi drepta x+y=0. ExerciŃiul 30. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=2x; y=2 şi x=0. ExerciŃiul 31. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=2-x2 şi y3=x
2. ExerciŃiul 32. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=lnx şi y=ln2
x. ExerciŃiul 33. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=max{x2+3x+2,-x2+6x+7},dreptele x=-3; x=3 şi axa Ox. ExerciŃiul 34. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=(1+mx)emx; m>0 şi axele de coordonate. ExerciŃiul 35. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de curbele
y px x y px= − =4 22 ; şi dreptele x=0 şi x=2p. ExerciŃiul 36. Fie a,b0R astfel încât 1<a<b. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f:[a,b]→R definite prin:
f xt
x t tdt( )
sin
( cos ) sin=
− +∫
2 20
π; (∀)x0[a,b] şi dreptele de ecuaŃii x=a; x=b şi axa Ox.
ExerciŃiul 37. Fie a,b0R astfel încât 0<a<b. Să se calculeze aria mulŃimii
delimitate de graficul funcŃiei f:[a,b]→R f x te dttx
( ) = ∫0
; (∀)x0[a,b], dreptele de
ecuaŃii x=a; x=b şi axa Ox. ExerciŃiul 38. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f:[-1,2]→R definite prin:
f xt t t x daca x
t t t x daca x( )
max{ : }, [ , ]
min{ : } ( , ]=
− ≥ ∈ −
− ≤ ∈
3 2
3 2
11
1 2
dreptele de ecuaŃii x=−1; x=2 şi axa Ox. ExerciŃiul 39. Fie f:[1,2]6R funcŃia definită prin: f(x)=(1+*x*)1/x;(∀)x0[1,2]. Să se arate că aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x=1 şi x=2 este cuprinsă între 2 şi 3. ExerciŃiul 40. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,2]→R definită prin f(x)=*x2−1*; (∀)x0[0,2]. SoluŃie: FuncŃia f este continuă pe [0,2] şi f(x)$0, (∀)x0[0,2], atunci corpul de rotaŃie Cf determinat de funcŃia f are volum şi
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
8
vol C x dxx
x xf( ) = − = − +
=∫π π
π2 2
0
2 53
0
2
15
2
3
46
15.
ExerciŃiul 41. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia
f:[0,π]→R definită prin:
]f x
x daca x
x daca x
( )
cos , ,
, ,
=
∈
− ∈
02
2 2
π
π ππ
ExerciŃiul 42. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,2] →R definită prin: f(x)=e-x; (∀)x0[0,2]. ExerciŃiul 43. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,1] →R definită prin: f(x)=arcsinx; (∀)x0[0,1]. ExerciŃiul 44. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[1,e] →R definită prin: f(x)=xlnx; (∀)x0[1,e]. ExerciŃiul 45. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia
f:[0,π] →R definită prin:
)f x
x x
x x
( )
cos ; ,
; ,
=
∈
− ∈
02
2 2
π
π ππ
ExerciŃiul 46. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia
f:[0,2] →R definită prin: f x x x( ) ( )= + −1 12 ;(∀)x0[0,2].
ExerciŃiul 47. Fie n0N; n$1. Să se calculeze volumul Vn al corpului de rotaŃie
determinat de funcŃia f:[0,2nπ]→R definită prin: f x e xx( ) sin= − ;
(∀)x0[0,2nπ]. ExerciŃiul 48. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[1,2] →R; f(x)=arccose
-x; (∀)x0[1,2].
SoluŃie: Evident funcŃia f este derivabilă şi f xe
e e
x
x x' ( ) =
−=
−
−
−1
1
12 2;
(∀)x0[1,2]. Deoarece f ' este continuă pe [1,2] rezultă că graficul funcŃiei are lungime finită şi
( )
l fe
dxe
edx
ln e ee e
e e
x
x
x
x x
( )
ln .
= +−
=−
=
= + − =+ −
+ −
∫ ∫11
1 1
11
1
21
2
21
2
2
1
2 2 4
2
ExerciŃiul 49. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:
e
e,
1 →R definite
prin: f(x)=lnx; (∀)x0
e
e,
1 .
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
9
ExerciŃiul 50. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[0,1]→R definite
prin: f xe e
x x
( ) =+ −
2; (∀)x0[0,1].
ExerciŃiul 51. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[3,5]→R definite prin f(x)=arcsine
-x; (∀)x0[3,5] ExerciŃiul 52. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[1,e] →R
definite prin f xx
x( ) ln=
−2
2
; (∀)x0[1,e].
ExerciŃiul 53. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:π π3
2
3,
→R
definite prin f(x)=lnsinx; (∀)x0π π3
2
3,
ExerciŃiul 54. Fie a>0. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[0,a] →R definite prin f(x)=e
x; (∀)x0[0,a]. ExerciŃiul 55. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinată de funcŃia f:[-1,1] →R definită prin f(x)=e
x; (∀)x0[-1,1]. SoluŃie: FuncŃia f este derivabilă pe [-1,1] şi f '(x)=e
x; (∀)x0[-1,1]. Deoarece f ' este continuă pe [-1,1] rezultă că suprafaŃa de rotaŃie determinată de funcŃia f are arie.
( )
( ) ( )A f e e dx e e e e
ee e
e e e
e
x x x x x x( ) ln
ln .
= + = + + + +
=
= − + ++ +
+ +
− −∫2 1 1 1
1 11
1 1
2
1
12 2
1
1
23 2
2
2
π π
π
ExerciŃiul 56. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,π/2] →R definită prin f(x)=cosx; (∀)x0[0,π/2]. ExerciŃiul 57. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,π/4] →R definită prin f(x)=tgx; (∀)x0[0,π/4]. ExerciŃiul 58. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,1] →R definită prin f(x)=e
-x; (∀)x0[0,1]. ExerciŃiul 59. Fie a>0. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de
funcŃia f:[-a,a] →R definită prin f(x)=e e
a
ax ax+ −
2; (∀)x0[-a,a].
ExerciŃiul 60. Fie f,g:[0,1] →R funcŃiile definite prin f(x)=x4 şi
g(x)= x ;(∀)x0[0,1]. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficele funcŃiilor f şi g şi dreptele de ecuaŃii x=0 şi x=1. SoluŃie: FuncŃiile f şi g sunt continue pe [0,1] şi f(x)#g(x), (∀)x0[0,1]. Avem:
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
10
( )
( )
( )
( ).
36
15,
2
1
36
152
1
,2
11
0
4
1
0
8
1
0
42
1
1
0
52
3
1
0
4
1
0
4
⇒=
−
−
==
−
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫G
dxxx
dxxx
y
dxxx
dxxx
dxxx
dxxxx
x GG
ExerciŃiul 61. Fie f:[0,2] →R funcŃia definită prin f x
e daca x
e
xdaca x
x
( ), [ , )
, [ , ]=
∈
∈
0 1
1 2.
Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x=0; x=2. ExerciŃiul 62. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curbele y=x
3, y=x şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=1. ExerciŃiul 63. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curba y=cosx, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=π/2. ExerciŃiul 64. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curba y=sinx,axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=π. ExerciŃiul 65. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene
delimitate de curba y= 4 2− x , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=2. ExerciŃiul 66. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene
delimitate de curba y=x
x2
4− ln , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=1; x=2.
ExerciŃiul 67. Fie 1#a<b<+4 şi f:(0,+4)→R funcŃia definită prin f(x)=lnx;(∀)x0(0,+4). Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=a; x=b. ExerciŃiul 68. Fie F:R→R funcŃia definită prin F(x)=x
2; (∀)x0R. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa
�
F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=1 în punctul b=10. SoluŃie: FuncŃia F este continuă şi atunci lucrul mecanic efectuat este:
L L F x dxa b= = =−
=∫, ( ) 2
1
10 310 1
3333.
ExerciŃiul 69. Fie F:R→R funcŃia definită prin F(x)=x; (∀)x0R. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa
�
F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=0 în punctul b=4.
ExerciŃiul 70. Fie F:(0,+4) →R funcŃia definită prin F(x)=− ∈
− ≥
10 1
1
2
4
xx
x x
; ( , )
;
.
Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa �
F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=1/2 în punctul b=2.
ExerciŃiul 71. Se consideră funcŃia: f x e dttx
( ) = ∫tg
arctg 2
0.
a) Să se arate că f este definită şi derivabilă pe R; b) Să se calculeze f '; c) Să se deducă relaŃia:
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
11
xf x
edx
e
e
xdx
x
x( )2
2
0
1
20
11
2 1 8∫ ∫+
+=
π.
ExerciŃiul 72. a) Dacă f şi g sunt două funcŃii continue pe [a,b] să se arate că trinomul:
( )t g x dx t f x g x dx f x dxa
b
a
b
a
b2 2 22( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+ +
este nenegativ pentru (∀)t0R. b) Să se deducă inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski în forma integrală:
f x g x dx f x dx g x dxa
b
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫≤
2 2
ExerciŃiul 73. Folosind inegalitatea Cauchy-Buniakovski în forma integrală să se arate că:
ln( )
sinn
n n nsi xdx
+
≤+
<∫1 1
1 3
3
2
0
2
π
π
ExerciŃiul 74. Fie f:[0,a]→R o funcŃie cu derivata continuă şi astfel ca f(0)=0. Atunci:
a) f x dx a x f x dxa a
( ) ( ) '( )0 0∫ ∫= − şi să se deducă de aici că:
f x dxa
f xa
x a( ) max '( )
0
2
02∫ ≤
≤ ≤;
b) f x f x dxa
f x dxa a
'( ) ( ) '( )0
2
02∫ ∫≤ .
ExerciŃiul 75. Să se determine numărul n0N astfel ca volumul corpului ob]inut
prin rotirea graficului funcŃiei f(x)=cos(narccosx) în jurul axei Ox să fie egal cu 2
3
π.
ExerciŃiul 76. (problema 23314 G.M. 7/1995 pag.333) Notăm
a xx
dxnn
n
=+
∫ sin11
,n0N*. Să se calculeze lim ( )n
nn a→∞
α , unde a0R este fixat.
SoluŃie: Conform teoremei de medie (∃)xn0(n,n+1) astfel încât a xx
n nn
= sin1
.
Cum xn>n, rezultă limn
nx→∞
= ∞ . Atunci: lim lim sin lim
sin
nn
nn
n n
n
n
a xx
x
x
→∞ →∞ →∞= = =
1
1
11. Prin
urmare lim lim lim lim
,
,n
nn n
nn
n a n a n
daca
daca
daca→∞ →∞ →∞ →∞
= = =
<
=
∞ >
α α αααα
0 0
1 0
0
.
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
12
ExerciŃiul 77. (problema 23319 G.M. 7/1995 pag 333) Fie funcŃia f:R→R;
f xnx
x x nn ( ) =
+ +
22 2
,n0N* şi an=maxfn(x).
a) Să se calculeze An=a1a2...an şi să se arate că: Ak
n
knk
k
n C=−
+=∑
( )1
2 10.
b) Să se calculeze B mk m
n
knk
k
n C( )( )
=−
+=∑
1
20; m0N* fixat.
SoluŃie: a) Derivata funcŃiei fn este funcŃia f 'n:R6R, ( )
fn n x
x x nn '
( )=
−
+ +
2 2 2
2 2.
Maximul funcŃiei se atinge în punctul x=n şi este an
nn =
+2
2 1. Atunci:
An=a1a2...an=2
3
4
5
2
2 1...
n
n + (1)
Calculăm acum suma Sk
knk
k
n C=−
+=∑
( )1
2 10. Folosind proprietăŃile integralei şi faptul că
integrala unei funcŃii pare pe un interval [-a,a] este dublul integralei acelei funcŃii pe intervalul [0,a], avem:
Sk
x dx x dx
x dx x dx A
knk
k
nk
nk k
k
nk
nk
k
nk
n nn n
CC C=
−+
= −
= −
=
= − = − =
= = =
−
∑ ∫∑ ∑∫
∫ ∫
( )( ) ( )
( ) ( ) ,
1
2 11 1
11
21
1
2
0
2
0
1
0 0
2
0
1
2
0
12
1
1(2)
unde pentru m,n0N notăm A x x dxn mn m
, ( ) ( )= + +−∫ 1 11
1. Calculând prin părŃi, obŃinem
formula de recurenŃă An
mAn m n m, ,=
+ − +1 1 1 pe care aplicând-o în mod repetat obŃinem:
( )( ) ( ) ( )A
n
m m m nA
m n
m n
An
n
n
n n
n
n
n m m n
m n
n n
n n
, ,
,
!
...
! !
!
( !)
( )!
( !)
( )!!( )!!
...
... ( )
=+ + +
=+ +
⇒
⇒ =+
=+
=⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
+
+ +
1 2
2
1
1
2
2
2 1
2
2 2 1
2 4 6 2
3 5 7 2 1
0
1
2 2 2
łinând seama de (1) şi (2) rezultă A Sk
n
knk
k
n C= =−
+=∑
( )1
2 10.
b)
B mk m
x dx
x dx x x dx
n
knk
k
nk
nk
k
n
m knk
k
nm n
CC
C
k m
( )( )
( )
( ) ( ) .
=−
+= −
=
= −
= −
= =
−
=
−
∑ ∫∑
∑∫ ∫
+ −1
21
1 1
0
2
0
1
0
1
00
11 2
0
1
1
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
13
Integrând prin părŃi se obŃine formula de recurenŃă Bn(m)=Bn+1(m−2). Se aplică repetat această formulă, discutându-se după paritatea lui m, iar
( )
Bq
xq
dx A iar
B x x dxx
q
q q
q q
q
q
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
,1 1 2
0
1 1
2
2 11 2 1
2 10
11
2 12
0
1
= −∫ =
= − =− +
− +=
+∫
.
ExerciŃiul 78 (problema dată la olimpiada 1997, etapa pe municipiu, Bucureşti)
Fie p0N* şi (an)n$1 un şir cu an$1, (∀)n0N* şi an→4. Să se calculeze [ ]
limn
n
nk
a a
a k
n
p
→∞ = +∑ 2 2
1, (unde prin [x] s-a notat partea întreagă a numărului x).
SoluŃie: Fie n0N* şi [ ]
fa
af x
x
np
n
: , ; ( )01
1 2
→ =+
R . Considerăm diviziunea
∆=[ ] [ ]
01 2 1
, , ,..., ,a a
a
a
a
an n
np
n
np
n
−
şi sumele inferioare şi superioare Darboux:
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
s f fk
a a
a
a ksi
S f fk
a af
a
a
a kf
a
a a
n nk
an
nk
a
n n n
n
nk
an
p
n nk
a
n
p
n
p
n
p
n
p
∆
∆
( )
( ) ( ) ( )
=
=
+
=−
= +
+−
= =
==
∑ ∑
∑∑
1
1 10
1 11
12 2
1
2 211
FuncŃia fiind descrescătoare pe [0,+4). Dacă notăm (xn)n$1, şirul dat de relaŃiile (1), deducem că
[ ]
S fa
fa
a ax s f
n
np
n nn∆ ∆( ) ( ) ( )− +
= =
1 12 .
Cum f este continuă rezultă că f este integrabilă pe
[ ]0,
a
a
np
n
, din (2) rezultă
[ ] [ ]
[ ]f x dx b x f x dx unde b
af
a
a
a
a
n n
a
a
nn
n
p
n
np
n
np
n
( ) ( ) ,0 0
11∫ ∫+ ≤ ≤ =
−
,
deci [ ] [ ]
arctg arctga
ab x
a
an
np
nn n
np
n
+ ≤ ≤ ∀ ≥;( ) ( )1 3
Deoarece f este mărginită şi lim limn
nn
na b→∞ →∞
= +∞⇒ = 0. Dacă p=1 din (3) rezultă
limn
nx→∞
=π4
, iar dacă p$2, rezultă limn
nx→∞
=π2
.
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
14
ExerciŃiul 79. (problemă dată la olimpiada naŃională 1997) Să se arate că pentru orice funcŃie continuă f:[-1,1]→R are loc inegalitatea:
f x dx f x dx xf x dx2
1
1
1
1 2
1
1 21
2
3
2( ) ( ) ( )
− − −∫ ∫ ∫≥
+
. PrecizaŃi funcŃiile f pentru care
inegalitatea de mai sus devine egalitate.
SoluŃie: Dacă f este pară atunci xf x dx( )−∫ =1
10 şi inegalitatea din enunŃ devine:
f x dx f x dx2
0
1
0
1 2
( ) ( )∫ ∫≥
(1)
Dacă f este impară, ea devine: f x dx xf x dx2
0
1
0
1 2
3( ) ( )∫ ∫≥
(2). Inegalită]ile (1) şi (2) se
deduc din inegalitatea Cauchy-Schwartz-Buniakowski
f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ,0
1 22 2
0
1
0
1
∫ ∫∫
≤ considerând g(x)=1 pentru (1) şi g(x)=x pentru
(2). Fie f:[-1,1]→R o funcŃie continuă şi f1,f2:[-1,1]→R
f xf x f x
f xf x f x
1 22 2( )
( ) ( ); ( )
( ) ( )=
+ −=
− −. Evident f1 este pară, f2 este impară şi
f=f1+f2. Cum f1f2 este impară atunci
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx2
1
1
12
1
1
22
1
1
12
0
1
22
0
12 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + = +
)4()(3)(2
)(2
3)(
2
1)(
2
3)(
2
1
21
0
2
21
0
1
21
1
2
21
1
1
21
1
21
1
+
=
=
+
=
+
∫∫
∫∫∫∫−−−−
dxxxfdxxf
dxxxfdxxfdxxxfdxxf
Din (3) şi (4) inegalitatea din enunŃ devine:
f x dx f x dx f x dx xf x dx12
0
1
22
0
1
10
1 2
20
1 2
3( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫+ ≥
+
, care este adevărată din
(1) şi (2). Egalitatea are loc dacă şi numai dacă:
f x dx f x dx si f x dx xf x dx12
0
1
10
1 2
22
0
1
20
1 2
3( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫=
=
.
Cum în inegalitatea C-S-B cazul de egalitate are loc dacă şi numai dacă f=λg cu λ0R obŃinem: f1(x)=a, f2(x)=bx cu a,b0R şi deci f(x)=a+bx, (∀)x0[-1,1].
ExerciŃiul 80. (problemă dată la olimpiada naŃională 1997)
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
15
Fie şirul de funcŃii (fn)n0N, fn:[0,1]6[0,+4) cu f0 continuă arbitrară şi
fn+1(x)=1
10 +∫
f tdt
n
x
( ); (∀)n0N şi x0[0,1]. Să se arate că pentru orice x0[0,1] şirul fn
este convergent şi să se calculeze limita sa. SoluŃie: Pentru început vom rezolva în mulŃimea funcŃiilor continue şi pozitive pe
[0,1] ecuaŃia funcŃională f xf t
dt( )( )
=+
∫1
10
1, x0[0,1] (1)
Fie f o soluŃie a ecuaŃiei (1). Atunci f este derivabilă pe [0,1] şi
f xf x
'( )( )
=+
1
1 sau f '(x)(1+f(x))=1. Cum f t f t dt dt
x x
'( )( ( ))10 0
+ =∫ ∫ şi f(0)=0, obŃinem
f xf x x deci f x x
2
20 1 2 1
( )( ) , ( )+ − = = + − . Vom arăta că
lim ( ) ( )n
nf x f x→∞
= ,(∀)x0[0,1]. Pentru x=0 este evident. Fie x0(0,1). Avem:
( )( )
f x f xf t f t
dtf t f t
f t f tdt
f t f t dt x f t f t cu t x
nn
xn
n
x
n
x
n
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]
− =+
−+
=
−+ +
≤
≤ − = − ∈
−
−
−
− −
∫ ∫
∫
1
1
1
1 1 1
0
10
1
10
10
1 1 1 1
obŃinut prin aplicarea teoremei de medie funcŃiei fn-1−f pe [0,x]. Procedând analog obŃinem:
f t f t t f t f t t t f t f t
t t t f t f t cu t t x
n n n
n n n n
− − −
−
− ≤ − ≤ − ≤ ≤
≤ − ≤ ≤ ≤ ≤1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 3
1 2 1 0 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
... ( ) ( ) ...
ObŃinem în final f x f x x f t f tnn
t( ) ( ) ( ) ( )
[ , ]max− ≤ −∈ 0 1
0 . Cum
lim lim ( ) ( )[ , ]
( ) ( )n
n
t nnx f x f xf t f t
→∞ ∈ →∞− = ⇒ =0 1
0 0 .
Pentru x=1, fie ε>0 şi a0(0,ε/4). Avem:
( )
f f f t f t dt f t f t dt f t f t dt
f t f t dt a f t f t f t f t dt
a f t f t f t f t dt a
n n n
a
na
nt
n
a
n
a
tn n
a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) max ( ) ( ) ( ) ( )
max ( ) ( ) ( ) ( )
[ , ]
[ , ]
1 1
2
10
1
10
1
11
1
10 1
10
1
10
1
0 11 1
0
1
− ≤ − = − + − ≤
≤ − + − ≤ − +
+ + ≤ − +
− −
−
−−
−∈
−
−
−
−
∈− −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
Cum lim ( ) ( )n
n
a
f t f t dt→∞
−
−− =∫ 1
0
10 , (∃)Nε0N astfel încât pentru (∀)n$Nε rezultă
f t f t dtn
a
−
−− ≤∫ 1
0
1
2( ) ( )
ε.
ObŃinem f f an ( ) ( )1 12
2− ≤ + <ε
ε ,(∀)n$Nε deci lim ( ) ( )n
nf f→∞
=1 1 .
ExerciŃiul 81. (23733 G.M. 4-5/1997 pag.199)
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
16
Fie f:[0,1]6R derivabilă de două ori pe [0,1] cu f "(x)>0, (∀)x0[0,1]. Dacă p0N, p$2 demonstraŃi că:
f x dxp
pf
p
pf x dx
p
( ) ( ) ( )1
1
2
2
0
111
1∫ ∫≤
−+
−
SoluŃie: FuncŃia f este integrabilă Riemann pe [0,1] deci şi pe [1/p,1]. Fie ∆
o diviziune echidistantă a intervalului [1/p,1] de normă p
pn
− 1
∆: ...( )
...( )
xp
xp
p
pnx
p
k p
pnx
p
n p
pnk n0 1
1 1 1 1 1 1 11= < = +
−< < = +
−< < = +
−=
Atunci:
f x dx f x x x fp
k p
pn
p
pn
p
pnf
p
k p
pn
p
nk k k
k
n
n k
n
n k
n
( ) lim ( )( ) lim( )
lim( )
.
1
1
11 1
1
1 1 1
1 1 1
∫ ∑ ∑
∑
= − = +−
−=
=−
+−
→∞−
= →∞ =
→∞ =
FuncŃia f fiind convexă, avem:
fp
k p
pnf
p
p
p
k
n pf
p
pf
k
ndeci
fp
k p
pn
n
pf
p
pf
k
nsi
k
n
k
n
1 1 1 1 11
1
1 11
1
11
+−
= +
−
≤ +
−
+−
≤ +
−
==
∑∑
( )( )
( )( )
p
pnf
p
k p
pn
p
pf
p
p nf
n
kk
n
k
n−+
−
≤
−+
−
= =∑ ∑
1 1 1 11
1 1
12
2
1
( )( )
Prin urmare
f x dxp
pf
p
p nf
n
kp
k
n
( ) ( )1
1
2
2
1
11
1 1∫ ∑≤
−+
−
=.
Dar lim ( )n k
n
onf
n
kf x dx
→∞ =
=∑ ∫1
1
1 deci:
f x dxp
pf
p
pf x dx
p
( ) ( ) ( )1
1
2
2
0
111
1∫ ∫≤
−+
−
ceea ce trebuia arătat.
ExerciŃiul 82. (G.M. 7-8/1997, problema 23776) Să se arate că dacă f:[1989,1999]→R este o funcŃie integrabilă şi convexă,
atunci f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )1992
1996
1989
1991
1997
1999
∫ ∫ ∫≤ +
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
17
SoluŃie: Considerăm şirurile de diviziuni echidistante tinzând în normă la zero pentru intervalele [1989,1991],[1992,1994],[1994,1996],[1997,1999].
∆
∆
∆
∆
1
2 0
3 0
4 0
1989 1991 19892
0
1992 1994 19922
0
1994 1996 19942
0
1997 1999 19972
0
non
nn
kn
n nnn
kn
n nnn
kn
n nnn
kn
x x xn
k k n
y y yn
k k n
z z zn
k k n
t t tn
k k n
= = < < = = + =
= = < < = = + =
= = < < = = + =
= = < < = = + =
( ... ), ; ,
( ... ), ; ,
( ... ), ; ,
( ... ), ; ,
Atunci ∆ in
n= →
20.(∀)i0{1,...,4}. Vom determina λ,µ0(0,1) astfel încât
y x t si z x tkn
kn
kn
kn
kn
kn= + − = + −λ λ µ µ( ) ( )1 1 (∀)n0N*, k0{1,...,n}. Avem:
1992
21989
21 1997
2
1992 1997 85
8
+ = +
+ − +
⇔
⇔ = − ⇔ =
nk
nk
nkλ λ
λ λ
( )
şi analog µ =3
8.
Folosind convexitatea funcŃiei f, avem:
( )f y f x f t si f z f x f t
f y f z f x f t n k n
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
kn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ,*
≤ + = + ⇒
⇒ + ≤ + ∀ ∈ ∀ = ⇒
5
8
3
8
3
8
5
8
0N
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )⇒ + ≤ + ⇒
⇒ + ≤ +
= = = =∑ ∑ ∑ ∑f y
nf z
nf x
nf t
n
f y f z f x f t
kn
k
n
kn
k
n
kn
k
n
kn
k
n
n n n nn n n n
( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 1 4σ σ σ σ
∆ ∆ ∆ ∆
Deoarece f este integrabilă pe intervalele compacte mai sus menŃionate, trecând la limită se obŃine:
f x dx f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( ) ( )1992
1994
1994
1996
1989
1991
1997
1999
∫ ∫ ∫ ∫+ ≤ + rezultă:
f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )1992
1996
1989
1991
1997
1999
∫ ∫ ∫≤ + .
ExerciŃiul 83. (G.M. 8/1995, problema 23341) Să se calculeze:
Ln
nk
n
k
n
n k
n
=+
→∞ =∑lim
sin cos
1
2
1
24 4
1 π π
SoluŃie:
ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia
18
Lk
n
k
n
nn k
n
=+
→∞ =∑lim
sin cos
1
2 2
1
4 4
1
1 π π
Fie f:[0,1]6R, f x
x x
( )sin cos
=
+
1
4 4
π π continuă pe [0,1] şi deci
integrabilă pe [0,1]. Considerăm pe [0,1] şirul de diviziuni
∆n:(0=x0<x1=1
n<...<xn=1) cu ∆ = →
10
n şi sistemul de puncte intermediare
ξ k
k
nk n= =, ,1 ; suma din enunŃ este o sumă Riemann a funcŃiei f pe [0,1]
multiplicată cu 1
2 2:
1
2 2
1
2 2
1
2 2
1 1
4 4
11 1
σ ξ ξπ π∆ n
f f x xn k
n
k
n
k k k kk
n
k
n
( , ) ( )( )sin cos
= − =
+
−= =∑ ∑
L f x dx
x x
dxt t
dt
t
dt
t
dt
x t
= =
+
=+
=
=+
=+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
=1
2 2
1
2 2
1
4 4
1
2 2
1 4
2
2
1
24
1 1
4
0
1
0
1 4
0
4
0
4
0
4
( )sin cos
sin cos
sin sin
π π π
π π π π
π π
π π
Cum
( )1
42 8 8 8
2 1
1 2 11
2 12 1
0
4
0
4
sinln ln ln
ln ln( ) ln ln( ).
t
dt tgt
tg
+
= +
= +
− − =
= − − =−
= +
∫ ππ π π
π π
ExerciŃiul 84. Să se arate că există o funcŃie continuă f:R→R astfel încât 1 1
220xe tdt f xt
x
sin ( )∫ + = ,(∀)x0R*.
ExerciŃiul 85. Fie f x ex ex e
x e( ) ln= +
−
+4 2 . Se cer:
a) Aria cuprinsă între graficul lui f, axa Ox şi dreptele x=2e, x=3e; b) Lungimea arcului de curbă y=f(x) cuprins între dreptele x=2e, x=3e. ExerciŃiul 86. Să se calculeze volumul torului generat de rotaŃia suprafeŃei plane
limitate de cercul x
2+(y-h)2=R2, (h>R)
în jurul axei Ox.
Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia
2012
1
Model test primitive și integrala nedefinită
1. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1
ln , 1x x x
x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
2. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 2, 1
( 1)ln , 1x x xx x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
3. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=, 1
2 , 1
xe e xx x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
4. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 , 0
1, 0
xx e x
x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
5. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=3 , 0
, 0
x x
x x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
6. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2
5, 13 1, 1x xx x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
7. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=1 , 12
ln 2, 1
x xx
x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
8. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1
ln , 1x x x
x x
. Să se arate că funcţia f admite
primitive.
9. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=1 , 0
1 , 01
x x
x xx
. Să se arate că funcţia f admite
primitive pe R.
10. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 2
11x
. Să se arate că funcţia F: ,0 R ,
F(x)= 1xx
este o primitivă a funcţiei f.
11. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= xxe . Să se arate că funcţia F: R R, F(x)= ( 1) xx eeste o primitivă a funcţiei f.
12. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= 2 lnx x x şi g(x)= 2x + ln x + 1. Săse arate că f este o primitivă a funcţiei g.
Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia
2012
2
13. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 23 2xe x . Să se arate că funcţia F: R R,F(x)= 3 2 1xe x x este o primitivă a funcţiei f.
14. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= ln xx
. Să se arate că funcţia g: ,1 R ,
g(x)= 2
1 ln xx este o primitivă a funcţiei f.
15. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 2 2xe x x . Să se arate că funcţia F: R R,
F(x)=3
2 13
x xe x este o primitivă a funcţiei f.
16. Se consideră funcţiile f,F: ,0 R, 1( ) x xf x ex
şi F(x)= lnxe x x . Să se arate
că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.17. Se consideră funcţia f: 1,0 R , f(x)= 2x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .
18. Se consideră funcţia f:
,21 R , f(x)= 2 1x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .
19. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x) = 1 11 2x x
. Să se arate că
2( 1)( 2) ( ) 3 , 0x x f x dx x x C x .
20. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 1xx
. Să se determine ( )f x dx .
21. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2xe . Să se determine , 0,f x dx x .
22. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2
2
2 11
x xx
. Să se determine 2( 1) ( )x f x dx .
23. Se consideră funcţia, f(x)= 1004 2012xx . Să se determine ( )f x dx .
24. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= lnx x şi g(x)= 22x
x . Să se
arate că f este o primitivă a funcţiei g.25. Se consideră funcţia f: 0,1 R , f(x)=1– x. Să se determine ( )f x dx .
26. Se consideră funcţia f: 2,12, ( )f x xx
R . Să se determine ( )f x dx .
27. Să se determine 1 3 x dxx
.
28. Să se determine ( )x x dx .
29. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= 1ln xx
. Să se arate că funcţia F: ,1 R,
F(x)=(x+1) ln x – x + 1 este o primitivă a funcţiei f.30. Se consideră funcţiile :[0,2]mf R definite prin (2 )n
mf x . Să se determine 1( )f x dx .
Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia
2012
3
31. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin (1 )m mmf x x x . Să se determine
2 ( )f x dx .
32. Se consideră funcţiile :mf R R definite prin 1mmf x . Să se determine 1( )f x dx .
33. Se consideră funcţiile : 0,1mf R definite prin 2 2 2( ) ( 1) 1,mf x m x m m x undemR. Să se calculeze 1( ) .f x dx
34. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin 1( 1)m xmf x e . Să se determine
0 ( ) xf x e dx .
35. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin ( ) ,nx
nf x e n N . Să sedetermine 1( )f x dx .