+ All Categories
Home > Documents > Analiza Starii de Tensiune

Analiza Starii de Tensiune

Date post: 12-Jul-2015
Category:
Upload: constantin-dumitriu
View: 1,106 times
Download: 2 times
Share this document with a friend

of 42

Transcript

ANALIZA STRII DE TENSIUNE Mediul continuu este un model al unui corp material care se caracterizeaza printr-o distributie continua a masei n volumul ocupat de corp. n studiul Rezistentei Materialelor, elementul de volum dv trebuie sa fie suficient de mic pentru ca sa poata fi tratat din punct de vedere matematic ca o marime infinit mica, dar suficient de mare pentru a cuprinde n interiorul lui un numar de molecule, astfel nct efectul mediei statistice a comportarii moleculelor sa fie independenta de starea individuala a moleculelor. Fortele interne infinitetezimale dintr-un mediu continuu sunt concepute, de asemenea, ca valori medii statistice ale fortelor de interactiune dintre moleculele situate de o parte si de alta a unei sectiuni. Evident, aceleasi restrictii se impun si pentru aria dA, adica aceasta trebuie sa fie suficient de mica pentru a putea fi tratata din punct de vedere matematic ca marime infinit mica si suficient de mare pentru ca forta dF ce actioneaza asupra ei sa nu depinda de starea individuala a moleculelor cuprinse n dA.

III.1 Tensiuni normale. Tensiuni tangentiale. Dualitatea tensiunilor tangentiale Ca urmare a cresterii sarcinilor exterioare, eforturile din interiorul corpului, fiecare din ele raspndite pe sectiunea de calcul, nu mai au capacitatea sa se opuna, astfel ca materialul corpului ncepe sa se rupa n zona cea mai solicitata din sectiune. n consecinta, este interesant de vazut modul de repartizare a eforturilor RF, RM pe sectiune. Se considera pe fata pozitiva de arie A a unei sectiuni fictive n jurul unui punct M o arie elementara dA, fig. (III.1), pe care este repartizat efortul elementar dRF rezultat ca urmare a discretizarii eforturilor RF si RM. Se defineste tensiunea medie ca raportul: (III.1)

Fig. III.1 Te 353p158d nsiunea medie px med Deoarece mediul este considerat continuu, la limita obtinem tensiunea px n punctul M; prin x se indica orientarea suprafetei pe care se calculeaza tensiunea: [MPa] (III.2)

Tensiunea px reflecta distributia punctuala a efortului sectional de pe suprafata de orientare x. Tensiunea dintr-un punct pentru o

suprafata de orientare data este redata matematic printr-un vector; tensiunea din jurul unui punct este redata matematic printr-un tensor. Sistemul de axe se modifica odata cu orientarea suprafetei. Daca n loc de ipoteza mediului continuu, studiul s-ar face prin prisma structurii atomice discontinue a solidului, tensiunea p va exprima variatia fortelor intermoleculare aferente unui punct la solicitarea corpului. Fiind dependenta de orientarea suprafetei, tensiunea din jurul unui punct este redata printr-un model matematic numit tensor. Tensiunea dintr-o sectiune este definita prin doi indici: primul arata directia versorului normalei la suprafata sectiunii, al doilea indice reprezinta directia tensiunii. Daca este trecut un singur indice, acesta arata directia normalei la suprafata. Tensiunea px dintr-un punct M situat ntr-un plan, ce admite ca normala axa x, poate fi descompusa dupa normala si dupa cele doua axe din planul sectional, fig. (III.2 b). Proiectia tensiunii px dupa normala reprezinta tensiunea normala x (sigma), componentele din planul sectiunii numindu-se tensiuni tangentiale (tau), notate xz, xy. Tensiunile sunt nsotite de indici conform explicatiilor date anterior. Din descompunerea tensiunii px (diagonala paralelipipedului) n tensiunile componente, se poate scrie relatia: (III.3)

Fig. III.2 Proiectia tensiunii px

Daca n jurul punctului M se considera o sectiune cu o alta orientare, tensiunea p capata o alta valoare si o alta directie. Ansamblul tensiunilor corespunzatoare tuturor sectiunilor trecnd prin punctul M determina starea de tensiune din jurul punctului. Aceasta poate fi exprimata considernd tensiunile de pe trei plane perpendiculare. Pentru redarea acestora pe fetele vizibile ale cubului elementar se reprezinta tensiunile n vrful N, fig. (III.3), omolog cu M, conform fig. (III.4).

Fig. III.3 Tensiunile din vrful N al cubului elementar din interiorul unui corp solicitat n cadrul acestui studiu, o reflectare a ipotezei mediului continuu este evidentiata prin tensiunile tangentiale care apar simultan pe suprafete ortogonale. Pentru aceasta n sistemul de axe x, y, z se considera din punctul M un paralelipiped elementar dx dy dz supus unei stari omogene de tensiune pe ntregul volum, fig. (III.4).

Fig. III.4 Cubul elementar Scriind ecuatia de echilibru a momentelor elementare n raport cu punctul G, se constata: rezultantele tensiunilor normale nu creeaza moment, deoarece suportul rezultantelor trece prin G; scriind ecuatia de momente n raport cu una din directiile sistemului ortogonal, se observa ca n echilibrul momentului orientat dupa aceasta actioneaza doar forte elementare generate de ce sunt definite pe perechi de suprafete opuse.

Fiind o stare omogena pe ntregul volum, pentru o directie data, Gy, tensiunile fiind constante pe fetele paralelipipedului elementar, se poate scrie: ; (III.4)

n mod analog, scriind

si

, rezulta relatiile:

(III.5) Relatiile (III.5) exprima proprietatea de dualitate a tensiunilor tangentiale potrivit careia, fiind date doua plane normale unul pe celalalt, n interiorul unui corp, de-a lungul muchiei de intersectie a celor doua plane, componentele tensiunilor tangentiale din aceste doua plane sunt normale pe muchie, egale n modul si converg sau diverg de la muchia respectiva.

III.2 Ecuatiile diferentiale de echilibru Tensiunile care iau nastere ntr-un corp nu au aceeasi valoare n fiecare punct dect n cazul unei stari omogene de tensiuni. Presupunnd ca tensiunile variaza de la punct la punct, atunci, daca pe una din fetele elementului actioneaza, de exemplu, tensiunile x, xy, xz, fig. (III.5), pe fata opusa actioneaza aceleasi tensiuni plus cresterile respective, adica , pe celelalte fete. , . n mod analog se stabilesc tensiunile si

Tensiunile dau nastere unor forte avnd directia tensiunii respective si marimea egala cu produsul dintre valoarea tensiunii si suprafetele pe care actioneaza. Neglijnd fortele masice, fortele care actioneaza pe cele sase fete ale elementului trebuie sa mentina elementul n echilibru. Scriind ecuatia de proiectii pe Ox se obtine:

(III.6) rezultnd relatia diferentiala:

(III.7)

Fig. III.5 Variatia tensiunilor pe cubul elementar n mod analog, din ecuatiile de proiectii pe Oy si Oz se obtin alte doua relatii, astfel ca rezulta urmatoarele ecuatii diferentiale de echilibru:

(III.8) cunoscute sub denumirea de ecuatiile diferentiale de echilibru ale lui Cauchy.

III.3 Variatia tensiunii n jurul unui punct

Studiul variatiei tensiunilor in jurul unui punct urmareste stabilirea expresiilor tensiunilor , , dintr-un plan oarecare de orientare n functie de tensiunile de pe suprafetele unui sistem ortogonal ales. Expresiile tensiunilor pentru o suprafata oarecare data se stabileste astfel: - din nsumarea vectoriala a componentelor sale determinate n baza ecuatiilor de echilibru a fortelor ce actioneaza pe un volum elementar; - din nsumarea proiectiilor pe directia - din calcul vectorial cunoscnd si a componentelor lui . ;

Se considera un punct M dintr-un corp solicitat, fig. (III.6). Se izoleaza n jurul acestuia un volum elementar de forma unui tetraedru dreptunghiular MBCD ale carui suprafete rectangulare de marime dAx, dAy, dAz admit versorii , , ai unui sistem oarecare de axe x, y, z.

Fig. III.6 Volumul elementar Planul secant BCD de orientare oarecare si marime este definit n raport cu sistemul de axe adoptat de cosinusii directori l, m, n:

,

,

.

(III.9)

Fig. III.7 Tensiunile de pe fetele tetraedrului elementar n urma solicitarii, pe fetele tetraedrului se dezvolta tensiunile ,

, , , n fig. (III.7) fiind reprezentate tensiunile si , mpreuna cu componentele lor. Tensiunile de pe fetele tetraedrului studiat de versori , , , pot fi scrise vectorial numai dupa o aceeasi orientare a suprafetei sub forma: , (III.10)

(III.11) Considernd ca starea de tensiune este omogena si avnd n vedere componentele tensiunilor definite de (III.11), echilibrul fortelor elementare pe fiecare directie se scrie tinnd cont de (III.10) si de forma: , sub

(III.12) nlocuind n relatia (III.12) expresiile (III.9), dupa simplificari rezulta valoarea componentelor tensiunii pentru o orientare oarecare n raport cu orientarea initiala , , (x, y, z).

(III.13) Deoarece dimensionarea structurilor metalice se face si prin folosirea calculului matricial, expresia (III.13) mai poate fi scrisa sub forma:

, sau: , unde:

(III. 14)

(III. 15)

.

(III. 16)

Relatia (III.14) permite caracterizarea printr-o singura expresie a starii de tensiune din punctul considerat prin intermediul notiunii numita tensorul tensiunilor. ,

. Cum si

(III. 17)

sunt matrice coloana asociate unor vectori, relatia

(III.15) arata ca este o matrice asociata unui tensor, simetric de ordinul al II-lea. Avnd n vedere relatia de reciprocitate a tensiunilor tangentiale, se constata ca aceasta matrice este simetrica. De asemenea, infinitatea de tensiuni din jurul punctului M este perfect definita, pentru o orientare data, de sase marimi algebrice distincte , , , , , .

De remarcat ca n matricea T coloanele reprezinta componentele tensiunii , , de pe suprafetele rectangulare date, definite de versorii , , relatia (III.11). Tensorul tensiunilor, relatia (III. 17), este util n determinarea tensiunii periculoase si a directiei pe care aceasta actioneaza. Cu ajutorul relatiilor (III. 13) se determina vectorul care reprezinta tensiunea totala. nseamna ca tensiunea de pe o suprafata de orientare are valoarea: . (III.18)

Daca se face proiectia componentelor lui pn (pnx, pny, pnz) dupa axa normala pe planul secant, rezulta tensiunea : . (III.19)

Introducnd n (III.19) expresiile din (III. 13), se obtine: . (III.20) ,

Tensiunea tangentiala , cealalta componenta ortogonala a lui fig. (III.7), situata n planul secant, se determina cunoscnd , astfel:

. III.4 Tensiuni normale principale. Directii principale. Plane principale

(III.21)

Studiul tensiunilor are ca scop stabilirea valorilor extreme n jurul punctului considerat. n cazul tensiunilor normale, acestea se determina asimilnd relatia (III.20) cu o suprafata de gradul II. Din geometria analitica se cunoaste ca prin rotirea axelor de coordonate se ajunge ntr-o pozitie n care cosinusii directori au o valoare l, m, n, situatie pentru care termenii dublului produs (ce contine tensiunile ) din relatia mentionata sunt nuli. Deoarece , rezulta ca exista un sistem de axe x, y, z n raport cu care tensiunile tangentiale din relatia (III.20), , , sunt nule. Axele n aceasta situatie reprezinta directiile principale (axele principale) si se noteaza cu 1, 2, 3. Planele ortogonale corespondente se numesc plane principale, iar tensiunile normale de pe aceste plane se numesc tensiuni normale principale (deoarece numai asupra lor se distribuie ntreaga stare de tensiune) care, n ordinea marimii lor algebrice, respecta conditia: , n care: - tensiunea normala maxima; - tensiunea normala minima n planul 12; dar tensiune normala maxima n planul 23; - tensiunea normala minima. Pe fiecare dintre planele principale 1, 2, 3 tensiunea pn se manifesta numai sub forma uneia dintre tensiunile normale principale . Prin urmare relatiile de echilibru (III. 13) se scriu: (III.22)

(III.23) Se observa ca tensiunea totala ntr-un punct prin componentele sale poate fi determinata si numai functie de tensiunile normale principale (III. 23). Determinarea tensiunii principale se face egalnd expresia tensiunii pn scrisa pentru directiile oarecare x, y, z, (III. 13) cu cea scrisa pentru directiile principale 1, 2, 3 (III.23).

.

(III.24)

Datorita relatiei fundamentale a cosinusilor directori , sistemul (III.24) nu admite solutia banala , astfel ca rezulta conditia (III.25):

.

(III.25)

Determinantul (III.25) exprima o ecuatie de gradul III n ale carei radacini sunt functie de starea de tensiune si nu depind de sistemul de axe initial adoptat.: . (III.26)

n consecinta, chiar daca axele se rotesc, coeficientii ecuatiei (III.26) I1, I2, I3 ramn invariabili. Acestia se numesc invariantii starii de tensiune avnd valorile: , (III.27)

, , unde este determinantul matricii asociate tensorului directiile principale 1, 2, 3 avnd forma:

(III.28) (III.29) scris pe

.

(III.30)

Prin prisma tensiunilor normale principale, relatia (III.20) se scrie sub forma: , (III.31)

unde l, m, n reprezinta cosinusii directori ai directiilor principale. Daca se considera cte doua din ecuatiile sistemului (III.24) n care sau introdus solutiile si formnd un nou sistem n care este cuprinsa si relatia fundamentala a cosinusilor directori, rezulta pe rnd valoarea cosinusilor directori l, m, n. n raport de valorile ce le capata invariantii, starea de tensiune poate fi: spatiala, cnd ; , , , de unde , ,

-

plana, cnd unul din invarianti are valoarea zero, de exemplu , , , de unde , , ; liniara, cnd , , , de unde , , .

-

Determinnd tensiunile , ecuatiile (III.23) sunt verificate de solutiile obtinute folosite corespunzator, astfel:

(III.32) nlocuind cosinusii directori fundamentala a acestora, rezulta: din relatia (III.32) n relatia

.

(III.33)

Marimile , , pot fi considerate ca niste coordonate ale tensorului tensiunii totale pn ce descrie un elipsoid ale carui semiaxe sunt tensiunile normale , fig. (III.8).

Fig. III.8 Elipsoidul tensiunilor Odata determinate directiile tensiunilor normale principale ntrun punct, s-a pus problema orientarii acestora n punctele nvecinate. Una din posibilitatile de evidentiere a acestor orientari este prin fotoelasticitate, metoda de investigare bazata pe principiile opticii experimentale. Astfel se pot determina izoclinele, locul geometric al punctelor din plan n care tensiunile normale principale au o directie constanta. Izoclinele pot fi folosite si pentru trasarea traiectoriilor tensiunilor normale principale, numite izostatice. Liniile izostatice sunt curbele care se bucura de proprietatea ca tangentele

n fiecare punct coincid cu una din directiile principale, prin fiecare punct trecnd doua curbe reciproc ortogonale. III.5 Tensiuni tangentiale maxime Prin prisma relatiei (III.21), se poate deduce expresia tensiunilor tangentiale maxime mai simplu, deoarece tensiunile si pot fi exprimate si functie de tensiunile normale principale, asa cum s-a aratat n paragraful precedent. n plus, de regula se cunoaste unul din planele principale care trece prin punctul studiat, astfel ca celelalte doua plane principale se determina dintr-o familie de plane ortogonale pe planul principal identificat. Prin prisma premizelor prezentate se considera cubul lui Cauchy, fig. (III.9), orientat dupa axele principale ( ) din care se decupeaza o prisma dreptunghiulara, fig. (III.10). Aceasta se obtine ducnd un plan oblic ce ramne tot timpul paralel cu una din axele principale (axa y n cazul prezentat), indiferent de marimea unghiului de nclinare . Pentru reprezentarea din fig. (III.9), versorul suprafetei oarecare confunda versorul suprafetei oarecare (a nu se cu cosinusul director n) formeaza

cu versorul al axei z, axa de referinta (pentru naintarea surubului drept dupa axa y, axa z este cea care se suprapune peste axa x, x-y-z-x-y), unghiul oarecare . Pentru acest caz, cosinusii directori au valorile, fig. (III.9): ,

,

.

Fig. III.9 Sectiune prin cubul lui Cauchy

Fig. III.10 Prisma dreptunghiulara decupata

Studiul se face n continuare pentru cazul general unde si . Daca se cunosc tensiunile normale principale, tensiunea totala , prin nlocuirea relatiei (III.32) n relatia (III.18), capata forma: . (III.34)

Cunoscnd calculat conform relatiei (III.31), tensiunea tangentiala, relatia (III.21), se poate calcula functie de tensiunea normala principala: (III.35) Rezulta: (III.36) nlocuind unul din cosinusii directori prin ceilalti doi rezulta:

.

(III.37)

Pentru determinarea tensiunii tangentiale maxime, se anuleaza derivata partiala a expresiei (III.37) n raport cu l, respectiv cu n:

;

(III.38)

.

(III.39)

n cazul general, cnd , ecuatiile obtinute pot fi simplificate prin mpartire cu diferenta tensiunilor principale, iar dupa o transformare simpla se pot scrie sub forma:

. Solutia

(III.40)

trebuie eliminata, deoarece ea corespunde directiei , deoarece, simplificnd

axei Oy. Nu este posibil nici cazul

ecuatiile (III.40) prin l, respectiv n si scaznd una din alta, se obtine , ceea ce contravine conditiilor initiale puse. Astfel, ramn doua posibilitati si anume:

-

si

, cnd rezulta din prima ecuatie

,

,

;

-

si

, cnd rezulta din a doua ecuatie

,

,

.

Prin derivare n raport cu m, se obtine n mod asemanator nca o solutie:

,

,

.

(III.41)

nseamna ca valorile extreme ale tensiunilor tangentiale apar n plane ale caror normale fac unghiuri egale ( ) cu cte doua din directiile principale 1, 2, 3 si sunt paralele cu cea de a treia, fig. (III.11), unghiul oarecare este reprezentat separat pentru fiecare pereche de planuri. n aceste reprezentari unghiul oarecare este reprezentat separat pentru fiecare pereche de plane. Astfel n planul secant determinat de planele principale 1 si 2 (si paralel cu directia 3) s-au notat cu 4 si 4 directiile ce

determina planele n care se dezvolta tensiunile tangentiale maxime pentru situatia prezentata, fig.( III.11.c). Analog s-au notat cu 5 si 5 si cu 6, respectiv 6 directiile dupa care se dezvolta celelalte tensiuni tangentiale maxime, fig.( III.11.b, d).

Fig. III.11 Planele n care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme nlocuind n relatia (III.36) solutiile obtinute pentru cosinusii directori, rezulta valorile extreme ale tensiunilor tangentiale: ; ; , (III.42)

egale asadar cu semidiferenta tensiunilor principale. Alaturi de ele, pe aceste plane n care se dezvolta tensiunile tangentiale extreme, actioneaza si tensiuni normale, egale cu semisuma tensiunilor principale: ; ; . (III.43)

Spre exemplu, n cele doua plane nclinate cu (planul 6), respectiv (planul 6) fata de directia lui , n planul (1, 3) se dezvolta tensiunea tangentiala ct si tensiunea normala , respectiv , . Evidentierea tensiunilor tangentiale maxime max este redata n fig. (III.12) pentru cazul planelor ce contin directiile 3, 6, 1, 6. Tensiunea tangentiala maxima corespunde semidiferentei celei mai mari dintre tensiunile principale. Daca , atunci: . (III.44)

Fig. III.12 Tensiuni tangentiale maxime III.6 Tensiuni octaedrice Planele egal nclinate fata de directiile principale 1, 2, 3 se numesc plane octaedrice, la care cosinusii directori au aceeasi valoare: . n acest plan se dezvolta tensiunile octaedrice (III.13). (III.45) si , fig.

Din relatia (III.34) rezulta expresia tensiunii totale octaedrice: , iar din relatia (III.20) tensiunea normala octaedrica: , (III.47) (III.46)

egala ca valoare cu media tensiunilor normale principale din punctul considerat.

Fig. III.13 Tensiuni octaedrice Prin prisma tensiunilor normale octaedrice, relatia (III.47), tensorul tensiunilor scris pe directiile principale descompune n doi tensori de forma: , unde: se poate

(III.48)

, este numit tensor sferic al tensiunilor, iar:

(III.49)

, este numit tensor deviator al tensiunilor. Se poate calcula si tensiunea tangentiala octaedrica:

(III.50)

. Dupa nlocuire rezulta: .

(III.51)

(III.52)

Functie de tensiunile tangentiale principale, tensiunea tangentiala octaedrica are valoarea: . III.7 Expresiile tensiunilor pentru starea plana Starea plana de tensiuni se poate deduce din starea spatiala prin anularea parametrilor caracteristici uneia din directii. Pentru aprofundarea fenomenului se face n continuare un studiu independent al starii plane de tensiune. Dealtfel, n majoritatea cazurilor practice, unul din planele principale n punctul studiat poate fi indicat de la nceput; celelalte doua plane se determina din familia de plane perpendiculare pe primul, stabilirea orientarii acestora facndu-se n studiul starii plane. Se considera un corp sub forma de placa de grosime constanta, solicitat n planul median zx. Se considera un punct M n interiorul corpului, iar n jurul acestuia o prisma triunghiulara elementara cu naltimea de marimea grosimii. Sarcinile actioneaza n planul zx conform fig. (III.14). Ca si n starea spatiala problema este de a determina tensiunile de pe o suprafata elementara dAn n raport cu tensiunile de pe doua suprafete ortogonale dAx si dAz, cazul solicitarii n planul zx, fig. (III.15). Suprafetele elementare reprezinta ariile laterale ale prismei; suprafata dAn facnd unghiul oarecare cu planul orizontal xy. Tensiunile n si n din starea spatiala se regasesc n tensiunile si , tensiuni dependente de unghiul pentru o solicitare data. (III.53)

Fig. III.14 Planul de actiune al sarcinilor ntre suprafetele laterale ale prismei exista relatiile:

(III.54)

Fig. III.15 Suprafata elementara

III.7.1 Expresia tensiunii normale Din conditia de echilibru dupa axa , fig. (III.15), rezulta:

.(III.55) nlocuind relatia (III.54) n (III.55) si simplificnd prin dAn rezulta: . (III.56)

Se observa ca functiile trigonometrice ale unghiului se pot transcrie pentru a nu avea produs de functii trigonometrice sub forma cosinusilor directori ai suprafetelor astfel: , ,m=0( y) (III.57)

Punnd conditia m = 0 n relatia (III.20), rezulta aceeasi expresie a tensiunii normale n starea plana, relatia (III.56): . (III.58)

Studiul functiei tensiunii se face mai usor pentru cazul n care functia trigonometrica se scrie functie de argumentul 2 . Rezulta: , sau: . (III.60) (III.59)

III.7.2 Expresia tensiunii tangentiale Din conditia de echilibru dupa axa , fig. (III.15), rezulta:

.(III.61) nlocuind relatia (III.54) n (III.61) si simplificnd prin dAn rezulta: . (III.62) Scriind relatia (III.62) pentru argumentul 2 , rezulta: . (III.63)

III.8 Tensiuni normale principale. Tensiuni tangentiale principale Orientarea planelor principale 1 si 3, ce definesc tensiunile normale maxime si minime, sub un unghi , este data de solutia obtinuta prin anularea derivatei functiei (III.60):

.

(III.64)

Se observa ca n cazul plan se regaseste conditia dedusa pentru starea spatiala n care tensiunile tangentiale sunt nule pe directiile tensiunilor normale principale. Din relatia (III.64) rezulta:

.

(III.65)

ntruct functia tangenta determinata de parametrii x, z, zx, perpendiculari ntre ei, are perioada , rezulta ca pe un cerc ntreg sunt doua solutii, 2 1 si 2 3, decalate ntre ele cu . Se

observa ca directiile principale 1 ( 1) si 3 ( 3) formeaza un unghi drept ntre ele. Procednd n mod similar asupra functiei (III.63) se obtine orientarea planelor principale 6 si 6, sub unghiul , pentru tensiuni tangentiale extreme:

. Rezulta:

(III.66)

.

(III.67)

Directiile 6 ( 6) si 6 ( 6) sunt rectangulare din aceleasi considerente exprimate pentru directiile 1 si 3. Ecuatia (III.67) este reciproca si negativa n raport cu ecuatia (III.65):

.

(III.68)

Relatia (III.68) arata ca valorile argumentului 2 determinate n cele doua situatii (III.67, III.65) sunt decalate ntre ele cu . nseamna ca directiile [1 ( 1) si 3 ( 3)] si [6 ( 6) si 6 ( 6)] formeaza ntre ele unghiuri de . Daca n relatia tensiunilor normale (III.60) se nlocuiesc functiile si prin functia exprimata pentru directiile principale si anume:

(III.69)

rezulta expresia tensiunilor normale principale:

.

(III.70)

Semnul plus din fata radicalului este asociat tensiunii 1, semnul minus este corespunzator tensiunii 3. Adunnd tensiunile normale principale rezulta: (invariantul starii de tensiune). (III.71)

Procednd ca mai nainte pentru expresia tensiunilor tangentiale (III.63) prin folosirea relatiei (III.67) se obtine:

.

(III.72)

Rezulta ca tensiunea tangentiala maxima are aceeasi valoare cu cea minima n concordanta cu legea dualitatii tensiunilor tangentiale pentru doua suprafete ortogonale. Din compararea relatiilor (III.71) si (III.72), se observa ca se mai poate exprima sub forma: . (III.73)66

nlocuind relatia (III.67) n relatia (III.60), rezulta ca, n planele n care actioneaza tensiunile tangentiale extreme, tensiunea normala are valoarea: . (III.74)

Pentru redarea imaginii starii plane de tensiune (planul zx) a unui punct, se procedeaza astfel, fig. (III.16):

se considera n jurul unui punct M un cub elementar supus unei stari plane si omogene de tensiune x, z, xz, zx, reprezentat n planul solicitarii prin suprafata hasurata de laturi dx, dz (pentru simplificarea figurii nu s-au reprezentat tensiunile); suprafata studiata rotita fata de axa z cu unghiul dupa o directie oarecare pe care se dezvolta tensiuni si se reprezinta la o scara mai mica; prin rotirea elementului (suprafetei) studiate cu unghiul 1, 3 reprezentat la o scara si mai mica se obtin directiile principale 1 si 3; pe colturi, perpendicular pe diagonale, s-au reprezentat suprafetele ce au versorii dupa directiile principale 6 si 6, rotite cu fata de directiile 1 si 3.

Fig. III.16 Starea plana de tensiune n starea plana de tensiune, daca asupra elementului studiat actioneaza numai tensiuni tangentiale extreme, solicitarea se numeste forfecare pura. Astfel, din relatia (III.74), punnd conditia ca pe directia principala 6 tensiunea normala sa fie nula, rezulta:

, de unde de unde, conform relatiei (III.60), se obtine

.

(III.75) .

nseamna ca pe directiile principale 1 si 3 rotite la , fata de starea de forfecare pura, exista o stare echivalenta (reprezentarea sa facut la o scara mai mica) n care tensiunile normale sunt egale si de sens contrar, fig. (III.17).

Fig. III.17 Starea de forfecare pura

III.9 Cercul lui Mohr Cercul lui Mohr este o reprezentare geometrica a relatiilor ntre tensiunile si pentru starea plana sau spatiala de tensiune. n planul zx relatiile (III.60) si (III.63) definesc un cerc, ceea ce se poate demonstra rescriindu-le astfel: (III.76) (III.77) Ridicnd la patrat cele doua ecuatii si adunndu-le, obtinem:

(III.78) De remarcat ca sunt constante ce reprezinta o stare de

tensiune data;

si

reprezinta variabilele. Rezulta ca

este o

constanta C, iar membrul din dreapta al ecuatiei (III.78) este o alta constanta, R. Folosind aceste notatii, ecuatia (III.78) devine: ( III.79) Ecuatia (III.79) reprezinta, n sistemul de coordonate raza: , un cerc cu

,

(III.80)

al carui centru este deplasat la dreapta, fata de origine, pe axa OC care are marimea constantei C:

cu distanta

.

(III.81)

Fig. (III.18) reprezinta cercul lui Mohr pentru o stare plana de tensiune. Centrul C reprezinta media tensiunilor normale, iar raza R este ipotenuza triunghiului dreptunghic CDM. Prin punctele E,F,G sunt redate tensiunile extreme , , .

Fig. III.18 Cercul lui Mohr Punctele M de pe cerc redau proprietatile starii plane de tensiune. Spre exemplu, se poate observa ca tensiunea tangentiala maxima este egala cu raza cercului, deci cu semidiferenta tensiunilor principale si corespunde unui unghi fata de directiile principale de solicitare. Starea plana de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare, dupa cum urmeaza:

1.

Starea liniara de tensiune cnd (III.78). Ea se produce n barele drepte solicitate la ntindere sau compresiune uniaxiala si n cazul ncovoierii pure:

Fig. III.19 Cercul lui Mohr pentru starea liniara

. Reprezentarea s-a facut pentru partea stnga). 2. ; pentru

(III.82) (cercul se afla n

Starea de forfecare pura daca (III.78). Ea se realizeaza n barele solicitate la forfecare pura sau torsiune: (III.83)

Fig. III.20 Cercul lui Mohr pentru starea de forfecare pura 3. Starea de tensiune cu , . n acest caz tensiunile sunt dirijate n lungul directiilor principale de solicitare. Aceasta stare se produce, n mod aproximativ, n peretele unui cazan solicitat de o presiune interioara:

Fig. III.21 Cercul lui Mohr pentru cazul

,

,

(III.84)

n mod asemanator ca n starea plana de tensiune, tensiunile n starea spatiala se reprezinta n sistemul de referinta prin trei cercuri ale lui Mohr n planele normale pe cele trei axe principale, fig. (III.22).

Fig. III.22 Cercul lui Mohr pentru starea spatiala

P III.1 ntr-un anumit punct dintr-un corp solicitat, tensiunile principale sunt MPa si MPa. Sa se determine tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor a caror normale fac unghiurile de si cu axa x. Pentru rezolvarea problemei, se ilustreaza starea de tensiune data, n fig. (P.III.1.1). stiind ca MPa si = 0, se obtine punctul A (80,0). Similar rezulta B (-40,0). Se traseaza cercul cu diametrul . Sub un unghi , se duce dreapta DE, n care punctul D are coordonatele ( , ), iar punctul E are coordonatele ( , ). Prin urmare:

iar pe planul perpendicular:

Fig. P.III.1.1

Tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor cu normale de si fata de axa x sunt reprezentate n fig. (P.III.1.2).

Fig. P.III.1.2 III.10 Starea liniara de tensiune Starea liniara de tensiune se caracterizeaza prin faptul ca, indiferent de orientarea sectiunii de calcul, tensiunile se dezvolta pe o aceeasi directie. Este caracteristica solicitarii axiale a barelor. Bara fiind solicitata dupa axa x, nseamna ca, oricare ar fi orientarea suprafetei de calcul pn pnx, axa x este pe directia principala 1. Planul ortogonal pe directia pe care se dezvolta tensiunile normale principale 1 are tensiunile tangentiale nule. Starea liniara de tensiune se deduce simplu din starea plana prin anularea parametrilor caracteristici uneia din directii. Tratarea analitica prezentata n continuare se abordeaza pentru o ntelegere mai usoara a solicitarilor simple. Se considera o bara solicitata axial si un punct M n interiorul acesteia n jurul caruia se decupeaza o prisma triunghiulara, fig. (III.23).

Fig. III.23 Bara solicitata axial Pentru starea liniara de tensiune, la fel ca si n celelalte stari studiate, problema este de a determina tensiunea (prin componentele sale si ) de pe o suprafata elementara dAn oarecare, n raport cu tensiunea de pe o suprafata ortogonala pe directia solicitarii dAx (avnd n vedere orientarea solicitarii si a suprafetei, ). Pentru elementul studiat, fig. (III.24), relatiile ntre caracteristicile geometrice sunt aceleasi ca n cazul plan.

Fig. III.24 Suprafata elementara

Din conditia de echilibru dupa axa , .

rezulta: (III.85) (III.86)

Aceasta relatie se obtine direct din starea: spatiala, punnd conditiile m = 0, z = 0, ; plana, punnd conditiile z = 0, . Din conditia de echilibru dupa axa , . rezulta: (III.87) (III.88)zx zx

= 0:

= 0:

Relatia se obtine direct din starea plana punnd conditiile z = 0, zx = 0: . (III.89)

Tensiunile principale se deduc anulnd derivata expresiilor tensiunilor. n cazul tensiunilor normale:

(III.90)

Se observa ca si pentru starea liniara pe directia tensiunilor normale principale, tensiunile tangentiale sunt nule. Sintetiznd cele prezentate, se poate scrie pn = pnx = x = 1 = . n solicitarea axiala tensiunea normala se simbolizeaza simplu fara indice. nlocuind valorile lui deduse n expresia lui rezulta 1 si 3:

(III.74),

Se verifica invariantul tensiunilor normale: Determinarea tensiunii tangentiale extreme se face prin anularea derivatei functiei tensiunii .

(III.91) nlocuind valorile lui pentru directiile principale 6 si 6 n expresia lui (III.88), rezulta 66 si 66. Tensiunile normale pe aceste directii se determina prin folosirea relatiei (III.86):

Se verifica dualitatea tensiunilor tangentiale:

.

Pentru redarea imaginii starii liniare de tensiune (planul zx) din jurul unui punct, se procedeaza astfel:

-

se reprezinta cubul elementar din jurul punctului M prin fata din planul zx; se studiaza cazul pentru suprafetele orientate cu unghiurile si ;

la o scara mai mica se reprezinta elementul studiat pentru .

Fig. III.25 Starea liniara de tensiune 1


Recommended