I. COLESCUGH. DOGARU ANALIZ MATEMATIC I x yFy xF = 2 2

PREFA nultimiledecenii,majoritateadisciplinelordematematici-auschimbatmult aspectulfieprintr-oprecizareaconinutului,fieadoptndoformnoudeexpunere carescorespundprocesuluigeneraldemodernizareamatematicii.Evidentc, analiza matematic nu poate rmne n afara acestei evoluii. Dac nu poate fi vorba de oschimbaredefondaconintuluianalizeimatematice,nschimbcredemcformade expunere trebuie s sufere unele modificri.n ansamblul disciplinelor care fac parte din planul de nvmnt al unei faculti tehnice,analizamatematictrebuiessecorelezecualtedisplinecaalgebra, matematici speciale, analiz numeric i altele. n cartea de fa pe care autorii o prezint, printre altele o importan deosebit s-aacordatmodernizriicaformaanalizeimatematice.Omodernizareexagerati forat n detrimentul coninutului clasic al analizei matematice ar constitui un eec. Din aceastcauzunadindireciileimportanteafostaceeadeagsimsurapotrivitde expunerecaresechilibrezentr-untotformaiconinutul,intuiiarmnndnunele locuri o metod de baz pentru nelegerea anumitor noiuni.CarteaAnalizmatematicIconstituieunprimvolumaluneiseriidelucrri dedicate studiului unor capitole importante ale analizei matematice moderne. n volumul defasuntstudiateunelenoiunifundamentale,cumarficeledelimit,continutate, difereniabilitate,schimbridevariabilidefuncie,folosindu-seconceptuldespaiu topologic i spaiu metric. Amalesacestcadruntructpermite,pedeoparte,otratareunitaraunor probleme fundamentale, fiind suficient de larg pentru a include principalele probleme ce intervinfrecventndiferitedomeniiteoreticeipractice,iarpedealtparte,permiteo deschidere spre abordarea lor ntr-un cadru mai general. Avndnvederecproblemelecarefacobiectulanalizeimatematicenusunt uoraccesibile,amurmritintroducereamotivatanoiuniloriproblemelor,otratare caressesprijinepeexemplectmaisugestiveiamncheiatfiecarecapitolcuun paragrafdeexerciiirezolvatencaresuntprezentateunnumrmaredeexerciiide dificulti diferite rezolvate complet. Cartea se ncheie cu un capitol ce propune spre rezolvare un numr foarte mare deexerciiicorespunztoarefiecruicapitoltratat,dindorinadeadaposibilitatea cititorului s se autoverifice n ce grad a neles noiunile prezentate. Spermcalucrareasfieutilattstudenilorcestudiaznprograma universitaranalizamatematic,profesorilordeliceecare-ipregtescexamenlede definitivatsaugrad,ctituturorcelorcaredorescsnveeisaprofundeze matematicamodernazilelornoastre,facilitndu-lenelegereamaiprecisimai aprofundat a unor noiuni i modele matematice de mare finee. Autorii

CUPRINS CUPRINS......................................................................................................................... 5 CAPITOLUL I RELAII MULIMI NUMRABILE I NENUMRABILE........................... 7 1. Relaii. Definiie. Proprieti generale........................................................................ 7 2. Tipuri de relaii .......................................................................................................... 8 3. Numere cardinale.................................................................................................... 10 4. Exerciii rezolvate.................................................................................................... 12 CAPITOLUL II SPAIU TOPOLOGIC. SPAIU METRIC. SPAIU BANACH ............... 19 1. Spaiu topologic ...................................................................................................... 19 2. Caracterizarea topologic a punctelor unei mulimi ................................................ 21 3. Spaiu metric........................................................................................................... 23 4. Norm. Spaiu vectorial normat............................................................................... 25 5. Exerciii rezolvate.................................................................................................... 29 CAPITOLUL III CARACTERIZAREA TOPOLOGIC A MULIMILOR. IRURI N SPAII TOPOLOGICE, IRURI N SPAII METRICE, IRURI N SPAII VECTORIALE NORMATE. ............................................................................................ 39 1. Mulimi mrginite..................................................................................................... 39 2. Tipuri de mulimi...................................................................................................... 44 2.1. Mulimi compacte............................................................................................. 44 2.2. Mulimi conexe................................................................................................. 45 3. iruri n spaii topologice, spaii metrice, spaii vectoriale normate ......................... 46 5. Subiruri. Principiul contraciei ................................................................................ 54 6. Exerciii rezolvate.................................................................................................... 58 CAPITOLUL IV SERII .................................................................................................... 69 1. Serii. Generaliti .................................................................................................... 69 2. Serii cu termeni pozitivi ........................................................................................... 73 3. Serii cu termeni oarecare........................................................................................ 83 4. Exerciii rezolvate.................................................................................................... 89 CAPITOLUL V IRURI I SERII DE FUNCII............................................................. 103 1. iruri de funcii ...................................................................................................... 103 2. Serii de funcii ....................................................................................................... 110 3. Serii de puteri........................................................................................................ 114 4. Formula Taylor pentru polinoame i funcii ........................................................... 118 5. Seria Taylor........................................................................................................... 123 6. Exerciii rezolvate.................................................................................................. 130 CAPITOLUL VI FUNCII REALE I FUNCII VECTORIALE...................................... 145 1. Limit. Definiii. Proprieti generale ..................................................................... 145 2. Continuitatea......................................................................................................... 151

3. Exerciii rezolvate.................................................................................................. 159 CAPITOLUL VII DERIVATA I DIFERENIALA.......................................................... 171 1. Derivata ................................................................................................................ 171 2. Difereniala............................................................................................................ 184 3. Unele aplicaii ale diferenialei............................................................................... 190 4. Exerciii rezolvate.................................................................................................. 199 CAPITOLUL VIII FUNCII IMPLICITE. DEPENDEN FUNCIONAL. SCHIMBRI DE VARIABIL ....................................................................................... 225 1. Funcii implicite ..................................................................................................... 225 2. Sisteme de funcii implicite.................................................................................... 233 3. Dependen funcional........................................................................................ 236 4. Extreme condiionate ............................................................................................ 241 5. Schimbri de variabil i funcii ............................................................................. 247 6. Exerciii rezolvate.................................................................................................. 253 CAPITOLUL IX EXERCIII PROPUSE........................................................................ 269 BIBLIOGRAFIE............................................................................................................ 299

CAPITOLUL I RELAII. MULIMI NUMRABILE I NENUMRABILE 1. Relaii. Definiie. Proprieti generale Se consider cunoscute noiunile de: mulime, clas, operaii cu mulimi i logic matematic. Definiia 1.1.1. FieA iBdou mulimi oarecare. Se numete relaie de coresponden ntre mulimileAiBtripletul notat astfel:( ) ; ; GAB =unde: G A B = , numit graficul (graful) relaiei; A- domeniul dedefiniie sau sursa relaiei; B- codomeniul sau adresa relaiei; Observaia 1.1.1. a)DacB A atuncirelaiaestenotatcu( ) , GA isenumete relaie nA , iar graficul su este mulimea 2G A . b)( ) , x y G dac i numai dac; x y ( xeste n relaiacuy ); c)( ) , x y G dac i numai dac; x y ( xnu este n relaiacuy ); d)Fie( ) P A B numrulprilormulimiiA B .Mulimeatuturor relaiilor( ) ; ; GAB = estencorespondenbiunivoccu mulimea( ) P A B . e)DaccardA n = , atunci( ) 2ncardPA = . ntr-adevr knCprin definiie reprezintmulimeatuturorsubmulimilorcuk elementeformate dintr-o mulime cunelemente i 0 1... ... 2k n nn n n nC C C C + + + + + = Exemplu: a){ } 1, 2, 3 , A =( ) { } { } { } { } { } { } { } { }1, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3 P A = { } ( ) 2 P A , { } 2 A ,2 A b)DacM esteomulimei( ) P M mulimeaprilorluiM ,atunci mulimea( ) ( ) { }, G aA A P M a A = estegraficulrelaieide apartenen.

Definiia1.1.2.FieA iB doumulimioarecarei( ) ; ; GAB = o relaientreceledoumulimi.Senumeterelaieinvers(reciprocsau simetric) a relaiei relaia ( )1 1; ; = G BAdefinit astfel: ( )1, x y Gdac i numai dac( ) , x y G sau 1y xdac i numai dac x y . Definiia1.1.3.Fie, , AB Ctreimulimioarecarei( )1 1; ; G AB = i ( )2 2; ; = G B C dourelaiioarecare.Relaia 2 1= ,datdetripletul ( ) , , GAC ,ncazulncareexist,senumetecompusarelaiilor 1 i 2 i este definit astfel: x z dac i numai dac exist y B astfel nct 1x y i 2 y z . Propoziia1.1.1.Dac( )1 1; ; G AB = ,( )2 2; ; G BC = iexist 2 1= , atunci exist 1 i are loc relaia: ( )11 1 12 1 1 2 = = Propoziia1.1.2.Compunerearelaiiloresteooperaiaasociativ,adic, dac 1 2 3, , sunt relaii care se pot compune n ordinea 3 2 1 atunci: ( ) ( )3 2 1 3 2 1 3 2 1 = = Observaia 1.1.2. Relaia este generalizarea noiunii de funcie, adic: Fie( ) ; ; GAB =o relaie care verific proprietatea: x y ix z rezulty z = , atunci relaia este funcia: f A B . 2. Tipuri de relaii Aici se definesc cteva tipuri de relaii care sunt foarte ntlnite n practic. Definiia 1.2.1. Dac( ) , GA =ndeplinete urmtoarele proprieti: 01 x y implic y x , pentru orice, x y A (simetria); 02 x x , pentru oricex A (reflexivitatea); 03 x y i y z implic x z ,oricarearfi, , x y z A (tranzitivitatea), atunci se numete relaie de echivalen n mulimeaA . Definiia1.2.2.Dacrelaia( ) , GA = verificproprietatea [x y i y x , implic ]x y =atunci relaia este o relaie antisimetric. Definiia1.2.3.OrelaiedefinitnmulimeaA careestereflexivi antisimetricse numete relaie de preordine.

Oricerelaiedepreordinecareesteitranzitivsenumeterelaiede ordine. Exemple: a)FieA iB doumulimioarecare,relaia" " numitrelaiade echipoten definit astfel: A B dac i numai dac exist: f A B ,fbijectiv; este o relaie de echivalen. Rezolvare: 01 A A ntr-adevr dac se consider funcia identic: 1 :AA A ,( ) 1 =Ax xEste evident c aceast funcie este o funcie bijectiv. Conform cu definiia relaiei" " se obine:A A . 02 A B implicB A . ntr-adevr dinA B rezult c exist: f A B bijectiv; dar se tie c orice funcie bijectiv este i inversabil i inversa sa este bijectiv. Deci exist 1: f B Abijectiv din care rezultB A . 03Trebuie artat cA B iB C implicA C .ntr-adevr din faptul cA B iB C rezultcexist: f A B bijectivi: g B C bijectiv; deciexist: h A C ;h g f =bijectiv.AtunciA C .Verificnd 0 01 3 din definiia 1.2.1. s-a demonstrat c relaia de echipoten este o relaie echivalent. b)n mulimea numerelor reale se tie c exist relaia" " definit astfel: x y dacxare imaginea pe axa real la stnga imaginii luiy . Relaia" " este o relaie de ordine pe mulimea numerelor reale. 01 x x (reflexivitatea): 02 x y iy x implicx y = (antisimetria); 03 x y iy z implicx z (tranzitivitatea). Oricemulimenzestratcuorelaiedeordinedenumetemulime ordonat. Definiia1.2.4.Fie( ) , GA = orelaiedeechivalendefinitn mulimeaAix A , un element oarecare a luiA , atunci mulimea notat astfel x sau xC idefinitastfel{ } / = = xx C y A y x poartdenumireadeclasde echivalen a elementuluix , definit de relaia de echivalen. Definiia1.2.5.MulimeatuturorclaselordeechivalenamulimiiAdefinitderelaiadeechivalensenumetemulimeactamulimiiA , determinat de relaia de echivalen i se noteaz astfel:/ A( A factorizat la) .

Propoziia1.2.1.Fie( ) , GA = orelaiedeechivalenamulimiiA ; atunci au loc relaiile: a) 2 x C x = , pentru oricex A ; b) x y =dac i numai dacx y . Demonstraie: a)Fiex A un element oarecare, deoarece( ) , GA =este o relaie de echivalen,datoritreflexivitiiacesteirelaiisepoatescriecx x deci x x . b)" " Se presupune c x y = ; rezult , x y y rezultx y sauy x . " " S presupunem cx y i trebuie s demonstrm c x y , dar pentru aceasta trebuie artat c: . y xx y Fie z x trebuieartatc z y ;ntr-adevrdinfaptulc z x rezult z x , dar din ipotez se tie cx y , cum relaia este o relaie de echivalen ea este i tranzitiv rezult z y . Deci z y rezult x y . Cealalt incluziune se demonstreaz n mod asemntor. Observaia 1.2.1.a)Dinpropoziia1.2.1rezultcdouclasedeechivalenorisunt disjuncte ori sunt egale i este evident cx AA x=. b)Orice relaie de echivalen peAdetermin o partiie a acestei mulimi n clase de echivalen modulo. 3. Numere cardinale ntr-unul din exempleleanterioare s-a definit noiuneadeechipoten i s-aartatcaceastrelaieesteorelaiedeechivalen.Cuajutorulacestei relaiisedefinescnumerelecardinaleiseclasificmulimiledupnumrul elementelor lor. Definiia1.3.1.FieA omulimeoarecare,dacA N sespunecAeste o mulime numrabil. (Orice mulime echipotent cu mulimea numerelor naturale este o mulime numrabil). Exemplu: 1. 2 2 1,+N NP p - sunt mulimi numrabile 2. mulime numrabil (Exerciiu) Rezolvare:

1.Dupcumsetie,pentruaartacmulimea 2Npestenumrabil trebuieartatcesteechipotentcuN;adictrebuieconstruitofunciecu domeniulNi codomeniul 2Np funcie care s fie bijectiv. Fie 2: N Npf ,() 2 f n n = esteevidentcaceastfuncieesteatt injectiv, ct i bijectiv.n mod asemntor se arat c 2 1 +N Np, construind funcia 2 1:+ N Npf ,() 2 1 f n n = + . FieT mulimeatotali( ) PT mulimeapriloracesteimulimi.Fie( ) A PTo mulime oarecare. Definiia1.3.2.Mulimea{ } ( ) / ~ = CAB P B A T senumetecardinalul mulimiiA sau clasa de echivalen definit deA n mulimea( ) PT .Dac: A are un element rezult1 = CA

A are dou elemente2 = CA

~ N A ,atunci 0= CAsecitetealefzeroireprezintcelmaimic infinit. ~ R A , atunci 0= CA se citete puterea continuului i este un infinit mai mare dect 0 . Definiia1.3.3.Omulimeinfinitcarenuesteechipotentcumulimea numerelor naturale se numete mulime nenumrabil. Ocategoriefoarteimportantdemuliminenumrabilesuntmulimilesin clasadeechivalenputereacontinuului,adicceleechipotentecumulimea numerelor reale. Cunumerelecardinalesepotdefinioperaiideadunare,nmulirei ridicare la putere (cnd numerele cardinale sunt finite aceste operaii se cunosc). Definiiaceurmeazpentruacesteoperaiipoatefifolositincazulncare numerele cardinale sunt infinite. Definiia 1.3.4. Fiecardn A = ,cardm B = , undeA iBsunt dou mulimi oarecare din( ) PT . 10( ) card; n m A B + = A B =20( ) cardn m A B = 30card m Bn A ={ } / :BA f f B A = -mulimeatuturorfunciilorcepotfidefinitep B cuvalori nA. Exemplu: 0 0 0 + =2 2 1,+= = N Np pA B

2 2 1 + = = N N Np pA BMulimea tuturor numerelor cardinale infinite este o mulime ordonat care are un prim element i aceste este 0 , dar care nu are un ultim element (deci cu alte cuvinte mulimea numerelor cardinale infinite nu este mrginit superior, vezi exerciiul 5b). Propoziia 1.3.4. (TEOREMA LUI CANTOR): Mulimea tuturor numerelor reale cuprinse n intervalul [ ]0,1este o mulime nenumrabil.Demonstraie: Se presupune prin absurd c mulimea numerelor reale din intervalul [ ]0,1 estenumrabil;atunciacestenumerepotfipusen coresponden biunivoc cu termenii unui ir dup cum urmeaz: 1 1 1 11 1 2 30, ... ...nb a a a a = 2 2 2 22 1 2 30, ... ...nb aaa a =. 1 2 30, ... ...n n n nn nb aaa a =. unde:{ } 0,1, 2, 3,..., 9jia Searatprinconstruciecmaiexistncunnumrsubunitarcarenu face parte din irul anterior. ntr-adevr dac se consider numerele: 1 2 30, ... ...nb a a a a =unde: 11 1 1 10; 9; a a a a 22 2 2 20; 9; a a a a. 0; 9;nn n n na a a a.Se observ c: 1b bcel puin prin prima cifr 2b bcel puin prin a doua cifr .nb bcel puin prin an -a cifr . Deciacestnumrbestesubunitar,darnufacepartedinmulimea { } 1nnb ,ceeacearatcpresupunereacnumerelerealedinintervalul [ ]0,1este o mulime numrabil este fals.

4. Exerciii rezolvate Exerciiul 1.4.1. Fie relaiile binare 1 2 3, , RRRcare au urmtoarele grafice: ( ) ( ) ( ) ( ) { }=11,1 , 1,2 , 2,2 , 3,2RG( ) ( ) ( ) { }=21,2 , 1,3 , 2,2RG( ) ( ) { }=31,2 , 2,3RGa)S se determine domeniul, codomeniul i simetricile acestor relaii b)Ssestudiezereflexivitatea,simetria,antisimetriaitranzitivitatea acestor relaii Rezolvare: a)FieAiB doumulimi.Dac x Ai y B,x R y atunci = Dom A R (domeniul luiR ),= Ran B R (codomeniul luiR ). innd cont de acestea se observ c: ( ) ( ) ( ) ( ) { } =111,1 , 2,1 , 2,2 , 2,3RG( ) ( ) ( ) { } =122,1 , 3,1 , 2,2RG( ) ( ) { } =133,1 , 3,2RG{ } =1Dom 1,2,3 R ;{ } =2Dom 1,2 R ;{ } =3Dom 1,2 R . { } =1Ran 1,2 R ;{ } =2Ran 2,3 R ;{ } =3Ran 2,3 R . b)Reste simetric dac 11RRG GReste reflexiv dacAi RG GReste antisimetric dac 1AR iRG G GReste tranzitiv dac RR RG G Esteevidentc 111RRG G ; 122RRG G i 133RRG G .Decirelaiile 1 2 3, , RRRnu sunt simetrice. S-a artat c{ } = =1 1Dom 1,2,3 R A . ( ) ( ) ( ) { }=11,1 , 2,2 , 3,3AiGCum( ) ( ) { } = 111 11,1 , 2,2AR iRG G Grezult c 1Reste antisimetric. Analog se arat c 2Ri 3Rsunt antisimetrice.Cum( ) ( )( ) { } ( ) ( )( ) ( ) { }111,1 , 2, 2 3, 3 1,1 , 1, 2 2, 2 , 3, 2Ai RG G = =rezult c 1Rnu este reflexiv. Analog se arat c 2Ri 3Rnu sunt reflexive. Cum( ) ( )( ) ( ) { }1 1 11,1 , 1,2 2,2 , 3,2R R RG G = =

atunci 1R estetranzitiv.Se observ c( ) 31,2RG ,( ) 32,3RG ,( ) 31,3RG . Deci 3 3 3R R RG G

. Aadar, 3Rnu este tranzitiv.

Exerciiul1.4.2.FierelaiaR careareurmtorulgrafic: ( ){ }= Z , , ,RG m n m n m n . S se arate cReste o relaie de preordine peZ. Rezolvare: Pentru ca relaiaRs fie relaie de preordine trebuie caRs fie reflexiv i tranzitiv. Esteevidentc( ) { }= ZZ ,iG m n m ideasemeneaesteevidentc i RG G Z.DeciR estetranzitiv.CumR estereflexivitranzitiv,rezultc Reste o relaie de preordine. Exerciiul1.4.3.FieR orelaiealcreigraficeste ( ){ }= Z Z , , ;3RG m n m n m n . S se arate c: a)Reste o relaie de echivalen peZ. b) S se scrie clasa de echivalen, x x Z c) S se determine mulimea factorZ R . Rezolvare: a) Trebuie artat cReste reflexiv, simetric i tranzitiv.Cum( ) Z 3 x x x seobinecZi RG G .DeaicirezultcR este reflexiv.Cum 3 3 m n n mseobinec =1RRG G .Deaicirezult cReste simetric. Deoarece 3 m n i 3 n p implic 3 m pseobinec RR RG G .De aicirezultcR estereflexiv,simetricitranzitiv.DeciR esterelaiede echivalen. b) { } { }= = + Z Z Z Z 3 , 3 , x y y z x k x k xc) Dac> 3 xatunci= + 3 x k r ,{ } 0,1,2 r . Atunci = 3 x r k . { } 3 r x x r k x = = = Z . Deci= x rDar{ } =Z0 3kk ;{ } = +Z1 3 1kk ;{ } = +Z2 3 2kk . De aici rezult c mulimea factorZ Reste { }= Z 0,1,2 R . Observaie:RelaiaRal crei grafic este dat n acest exerciiu se poate generaliza la relaia *Ral crei grafic este( ){ }= Z Z**, , , ,RG m n p m n m n p . Se arat n mod analog c aceast relaie este o relaie de echivalen i

{ }= Z* 0,1,2,..., 1 R p . Aceast relaie *Reste relaia de congruen modulo p. Exerciiul 1.4.4. Fie A Xi{ } = : 0,1AX Sastfel nct

() = 1,dac 0,dac\Ax Axx X A S se arate c pentru , A B Xau loc proprietile: a) = =A BA Bb) = A B A B c) = = A B A BA Bd) = 1CA A e) = \ A B A A B f) = + A B A B A B Rezolvare: a)Din definiia funciei caracteristice este evident c = =A BA B . b)Din x A B x A i() () = = 1 1A B Ax B x xi () () () () = = 1B A B A Bx x x x . Dac x A B x A i x B sau x A i x B sau x A i x B. Deci() = 0A Bx A B xi() () = 0A Bx x . Deci() () () = A B A Bx A B x x x . c)Se raioneaz ca la a). d)A CA X = ;A CA = .inndcontdec)seobine 1 1A CA CA A + = = . e)Deoarece ( )\1A B A CB A B A B A A BA B A CB = = = = = . f)Deoarece( ) ( ) ( ) \ \ A B A B B A A B = se obine: \ \ A B A B BA A B A A B B A B A B A B A B = + + = + + = + . Exerciiul 1.4.5. FieM o mulime oarecare. S se arate c: card( )card2MPM =Rezolvare: Fie mulimea{ } 0,1 S =i MSmulimea funciilor definite peM cu valori n A.Se consider funcia( ) :Mf PM S definit astfel( ) ( )Af A A M = . Esteevidentcproprietatea A BA B = = aratcf esteinjectiv. Surjectivitateaesteevident.Decif estebijectiv.Atuncicard ( )cardcard=2M MPM S = . Observaie:

Dinrezolvareaanterioarrezultcegalitateacard( )card2MPM = este adevratattpentrucardMfinitctiinfinit.ncazulncarecardMestefinit adic cardM n =atunci card( ) 2nPM =se poate demonstra i astfel: Se tie c( ) PMeste format din toate submulimile mulimiiM. Conform cu definiia combinrilor, numrul submulimilor cukelemente0 k n care se pot forma dintr-o mulime cunelemente este knC . Atunci card( )0 1 2... 2n nn n n nPM C C C C = + + + + = . Exerciiul1.4.6.Oricereuniunefinitsaunumrabildemulimi numrabile este o mulime numrabil. Rezolvare: Exerciiul se mai poate scrie i astfel: 0 0 0 0... + + + = i

0 0 0 0... ... + + + + =Prima egalitate se arat inductiv. Setiec: 2 2 1 n n+= N N N i 2 2 1 n n+ = N N unde 2nN estemulimea numerelornaturaleparei 2 1 n+N estemulimeanumerelornaturaleimpare.Se aici rezult c 0 0 0 + = . (1) Se presupune adevrat c 0 0 0 01 ... + + + =_n ori i se demonstreaz c 0 0 0 0 ... + + + =_n ori. ntr-adevr 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 ... ... + + + = + + + + = + = _ _n ori n ori.Atunci conform cu principiul induciei 0 0 0 0 ... + + + =_n ori pentru oricenfinit. Pentru a demonstra a doua egalitate se procedeaz astfel: Fie { }0 1, ,..., ,...k k kk kA a a a = ,1,2,... k = ofamilienumrabildisjunctde mulimi numrabile. Seconsiderfuncia 0:kkf A= N Ndefinitastfel ( ) ( ) ,jif a i j = .Este evident c aceast funcie este bijectiv. Dac se arat c mulimea N N este numrabil problema este rezolvat. Dacseconsiderfuncia: g N N Nunde() ( ) ,0 gn n = esteevident c aceast funcie este injectiv. Deci card0 N N . (1) Fie: h N N N definit astfel: ( )( )( ) 1,2m n m nhn m n+ + += +Se arat c aceast funcie este injectiv.

Fie( ) ( ) , ', ' ' '. m n mn m n m n + + Framicorageneralitatease consider' ' 1 m n m n + = + + ,( )( )( )( )1', ' ,2m n m nhmn n hm n+ + +> + = .Deci( ) ( ) ( ) ( ) , ', ' , ', ' m n mn hm n hmn . Astfel rezult c funciah este injectiv.Deci card0 N N . (2) Din (1) i (2) rezult c N N este numrabil. Exerciiul1.4.7.Ssearatecoricedouintervaledenumererealecu capete finite sunt echipotente. Rezolvare: Se arat c [ ] [ ]0,1 , a b . ntr-adevrfuncia [ ] [ ]: 0,1 , f a b definitprin() ( ) f x a xb a = + este bijectiv. Deci[ ] [ ]0,1 , a b (1). Analog se arat c [ ] [ ]0,1 , c d (2). Cum relaia" " este tranzitiv din (1) i (2) se obine c [ ] [ ], , a b c d . Exerciiul 1.4.8. Orice interval este de puterea continuului. Rezolvare: Pentruarezolvaaceastproblemtrebuieartatc( ) , a b R(card ;c= Rceste numrul cardinal infinit numit puterea continuului). Seconsiderfuncia: ,2 2f R,() f x tgx = .Aceastfuncieeste evident bijectiv. Deci,2 2 R . Cum( ) , ,2 2a b (conform cu exerciiul 7) datorit tranzitivitii relaiei de echipoten( ) , a b R . Se mai poate spune c ( ) ,ca b . Exerciiul1.4.9.Ssearatecmulimeanumerelorraionaleeste numrabil. Rezolvare: Fie0, 1, 2, 3,...kmA n kk = = N . Este evident c 1kkA== . Cum 0 kA , conform cu Exerciiul 1.4.6. 01kkA=. Deci este o mulime numrabil.

Exerciiul1.4.10.Ssearatecmulimeanumerelorprimep esteo mulime numrabil. Rezolvare: PentruaartacP estenumrabil,trebuieartatcP nuestefinit ( P N evident). Se presupune{ }1 2, ,...,nP p p p = . Fie 1 2... 1nq p p p = + .qeste evident prim iestemaimaredecttoatenumereleprime 1 2, ,...,np p p .Deciq P .Aadar mulimea numerelor prime nu poate fi finit. AtunciPeste numrabil. Exerciiul 1.4.11. S se arate c produsul cartezian al unui numr finit de mulimi numrabile este o mulime numrabil. Rezolvare: inndcontdeoperaiilecunumerecardinale,exerciiulsereducela egalitatea 0 0n = ,nfinit. Se demonstreaz inductiv. n rezolvarea exerciiului 1.4.6. s-a artat c N N este numrabil, adic 0 0 este numrabil. Se presupune adevrat c 10 0n = i se demonstreaz c 0 0n = . ntr-adevr 10 0 0 0 0 0n n = = = .Atunciconforminduciei 0 0n = , pentru oricenfinit. Exerciiul 1.4.12. Mulimea irurilor de numere naturale este o mulime de puterea continuului. Rezolvare: Deoarece mulimea irurilor de numere naturale este NN , atunci exerciiul se reduce la egalitatea 00 c = . Deoarecemulimea NN coninemulimeafunciilorconstante,atunci evident c 00 0 . Se presupune c NNeste o mulime numrabil, adic{ }nnf=NNN . Se consider funcia1ng f = + . Deoareceg NN i NN numrabil,existn Nastfelnct ng f = , atunci() () 1n nf n f n = + 1 0 = absurd. Deci NNnu este numrabil. Aadar, 00 0 > . Deci 00 c = .

CAPITOLUL II SPAIU TOPOLOGIC. SPAIU METRIC. SPAIU BANACH 1. Spaiu topologic n matematic exist dou categorii de structuri: - structuri algebrice; - structuri topologice. Cuajutorulstructuriloralgebricedupcumsetie,plecnddela elementele cunoscute ale unei mulimi, se genereaz alte elemente ale acesteia. ncadrulstructurilortopologicepoatefidefinitnoiuneadevecintate, noiunecuajutorulcreiapoatefidefinitnoiuneadelimit,caredupcumse tie este o noiune fundamental a analizei matematice. Definiia2.1.1.FieE omulimeoarecarei( ) PE mulimeaprilor acestei mulimi. Dac( ) PE satisface proprietile: 1 ;E 2Fie o mulime de indici i iA ,oricare ar fii rezult iiA (Orice reuniune de mulimi din aparine tot lui ). 3Fie iA ,1, i n =rezult 1niiA = (Orice intersecie finit de mulimi dineste tot o mulime din ), atunci se numete topologie a mulimiiE . Cupletul( ) , E se numete spaiu topologic. Exemplu: a){ } ;E = este o topologie a mulimiiE . b)( ) PE =este o topologie a mulimiiE . Rezolvare: Pentruaartacacestemulimisunttopologiitrebuieverificateceletrei axiome din definiia 2.1.1. a) 1 ;E n mod evident. 2 Mulimeamaximaldeindicieste{ } 1,2 = pentruc aredou elemente. E E = E = b) 1 iE n mod evident innd cont de forma lui( ) PE .

2Fie( )iA PE , pentru oricei avem( )iiA PE = 3Fie( )iA PE , pentru orice1, i n rezult( )1niiA PE = = Observaia 2.1.1.: a)Mulimileoricreitopologiisenumescmulimideschisentopologia dat. b)Topologia{ } ;E = senumetetopologiebanalamulimiiE ,iar topologia( ) PE =se numete topologie discret a mulimiiE . c)Oricare ar fiEea poate fi nzestrat cu o structur de spaiu topologic deoareceisepotasociacelpuintopologiabanalitopologia discret. Definiia2.1.2.Fie 1 i 2 ,doutopologiialemulimiiE .Sespunec topologia 2 este mai fin dect topologia 1 , dac are loc relaia 2 1 i se noteaz astfel: 2 1 . Relaiadefineedefinitdedefiniia2.1.2esteorelaiedeordinepe mulimeatuturortopologiilormulimiiE .nraportcuaceastrelaiedeordine, topologiabanalesteunprimelementnmulimeatopologiilor,iartopologia discret este un ultim element n mulimea topologiilor. Definiia2.1.3.FieE omulimenzestratcutopologia i 0x E un punctoarecare;mulimeaV esteovecintateapunctului 0x ,dacexisto mulime G astfel nct 0x G V . Exemplu: DacE R atunci() ( ) { }, , 0 x x x x = + RReste o topologie pe mulimeanumerelorreale.Aceasttopologieestetopologianaturala numerelor reale.Se verific 1 - 3din definiia 2.1.1. inndcontdedefiniia2.1.3rezultcoriceintervaldeschisesteo vecintate pentru orice punct coninut de acest interval. Fie:( )02;4 V = ; 00 x = ; 1 1;2 2G = rezult 00 G V . nspaiultopologic( ) , ( ) x RR sepoatedefininoiuneademulime deschis astfel: Definiia 2.1.4.E R este mulime deschis dacE =sau oricare ar fix E exist0 r >astfel nct( ) , x r x r E + .

Onoiuneimportantestenoiuneadetopologieindus.Cuajutorul acesteinoiuni,porninddelaotopologiedat sepotcreaaltetopologii, conform urmtoarei propoziii: Propoziia 2.1.1. (TOPOLOGIA INDUS). Fie( ) , E - spaiu topologic i F E o submulime oarecare a acestuia, (restrns laF ),{ }/,FF DD = esteotopologiepemulimeaF isenumetetopologiainduspeF de topologia . Demonstraie: Trebuie verificate cele trei axiome din definiia topologiei. 10 / F i / FF . ntre-adevr, deoareceeste o topologie a mulimii Ei iE , deci pe rolul luiD pot fi considerate: D =sau E D =rezult / FF D F = sau / FF D F E = 20 Fie / i FG oricare ar fii rezult / i FiG ntr-adevr, dac / i FG , oricare ar fii rezult c exist iD astfel nct i iG F D = , pentru oricei ; atunci ( )/ i i i Fi i iG F D F D = = . 30 Fie / i FG , pentru orice1, i n =rezult /1ni FiG =. ntr-adevr,dac / i FG ,pentruorice1, i n = exist iD astfelnct i iG F D = , pentru orice1, i n = . ( )/1 1 1n n ni i i Fi i iG F D F D = = = = = 2. Caracterizarea topologic a punctelor unei mulimi Noiuneadevecintatepermiteclasificareapuncteloruneimulimin puncte,nraportcucaresepoatedefininoiuneadelimitpemulimea respectiv. Definiia2.2.1.Fie( ) , E unspaiutopologiciA E omulime oarecare.

1.Punctul 0x E senumetepunctinterioralmulimiiA,dacexist 0xV(vecintatea punctului 0x ) astfel nct 0xV A . 2.Punctul 0x E senumetepunctexterioralmulimiiA,dacexist 0xV(vecintatea punctului 0x ) astfel nct 0x AV C (complementara lui A). 3.Punctul 0x E se numete punct frontier al mulimiiA, dac pentru orice 0xV(vecintate a punctului 0x ) are loc relaia:0 0x x AV A V C . 4.Punctul 0x E senumetepunctaderentpentrumulimeaA,dac pentru orice 0xV(vecintate a punctului 0x ) are loc relaia:0xV A . 5.Punctul 0x E senumetepunctdeacumularepentrumulimeaA, dac pentru orice 0xV(vecintate a punctului 0x ) are loc relaia:{ }00\xV A x . 6.Punctul 0x E se numete punct izolat al mulimiiA, dac exist 0xV(vecintate a punctului 0x ) astfel nct{ }00 xV A x = . Observaia 2.2.1. 1.MulimeatuturorpunctelorinterioaremulimiiAformeazinteriorul mulimiiA i se noteaz astfel:IntA sau 0A. 2.MulimeatuturorpunctelorexterioaremulimiiAformeazexteriorul luiA i se noteaz astfel:ExtA. 3.Mulimea tuturor punctelor frontier ale mulimiiA formeaz frontiera luiA i se noteazFrA sauA . 4.MulimeatuturorpuncteloraderentemulimiiAformeaznchiderea sau aderena mulimiiA i se noteaz astfel:A. 5.MulimeatuturorpunctelordeacumularealemulimiiAformeaz derivata mulimiiA i se noteaz astfel:' A . 6.MulimeatuturorpunctelorizolatealemulimiiAformeazpartea discret a mulimiiA i se noteaz astfel:IzA. DacseconsiderE Ri topologianatural,adictopologia intervalelor deschise simetrice, atunci are loc urmtoarea propoziie: Propoziia 2.2.1. a) n topologia natural a luiR interiorul oricrui interval de numere reale este intervalul deschis. b) Interiorul oricrei reuniuni de intervale dinR este reuniunea intervalelor deschise. Demonstraie:

Fie [ ], A a b = rezult( )0, A a b = .Esteevidentcspaiultopologicncare seaflintervalul [ ], a b esteRnzestratcutopologianaturalaintervalelor deschise simetrice. Punctele luiR raportate la intervalul [ ], a bsunt de mai multe tipuri dup cum urmeaz: 1 x x a < R2[ ], x x a b R3 x x b > R 1 Punctelex x a < R ,nupotsfiepuncteinterioarealeintervalului [ ], a b . ntr-adevr, oricare ar fi 0x Rcu 0x a . Dar se observ c pentru orice0 > ( ) [ ], , a a a b + , ceea ce arat c nu este un punct interior. n mod asemntor se arat c punctul 0x b =nu este un punct interior al intervalului [ ], a b . Se arat c oricare ar fix b >acesta nu este punct interior al intervalului [ ], a b . 2 Fie 0 0x a x b < < R senoteazcu { }0 0inf , d x a x b = ,atuncieste evidentcintervalul [ ]0 0, ,2 2d dx x a b A + = .Decirezultc 0x estepunct interior al intervalului [ ], a brezult [ ]( )00, , A a b a b = = . Interiorul oricrui interval de numere reale este intervalul deschis de numerele reale. Mulimeavecintilorntopologianaturalestemultmaibogatdect mulimea tuturor intervalelor deschise simetrice, centrate nx . Dar x (mulimeatuturorintervalelordeschisesimetrice)esteunsistem fundamental de vecinti pex . 3. Spaiu metric Dac n cadrul structurii de spaiu topologic densitatea elementelor putea fidatnumaicuajutorulvecintilorfraseputeastabilidistanadintre

acesteancadrulstructuriidespaiumetricvaputeafistabilitiaceast distana. Definiia2.3.1.(NOIUNEADEDISTANSAUMETRIC)FieE o mulime oarecare i aplicaia: d E E+ R . Dac: 1 ( ) , 0 d x y > oricarearfi, x y E i( ) , 0 d x y = dacinumaidac y x = . 2 ( , ) ( , ) dx y dy x = , oricare ar fi, x y E 3 ( , ) ( , ) ( , ) dx y dx z d z y + , ( ) , , x y z E (inegalitateatriunghiului), atunci aplicaiadeste distan sau metric pe mulimeaE .Cupletul ( , ) E dpoart denumirea de spaiu metric. Propoziia2.3.1.OricemulimeE poatefimetrizabil(nzestratcu structur de spaiu metric). Demonstraie:Pentruaartaaceastafirmaieestesuficientsseconstruiascpe E E o aplicaied , care s verifice axiomele definiiei 2.3.1. ntr-adevr dac se consider: : d E E+ R , 1,( , )0, x ydx yx y = = deste o distan peEdeoarece verific toate cele trei axiome. 1Axioma 1 este evident din modulul de construcie; 2Pentru orice, x y E x y rezultd(x, y) =1= d(y, x) ; 3Pentru cazul 3 pot exista mai multe posibiliti: x y z x saux y = z sauy x = z saux = y = zetc. Pentrux y z x avem d(x, y) =1,d(x,z) =1,d(z, y) =1 rezult ( , ) 1 1 1 ( , ) ( , ) dx y dx z d z y = += + . nmodanalogsedemonstreazaxioma3pentrucelelaltecazuri,astfel rezult c orice mulime poate fi metrizabil. Observaia2.3.1.PeomulimeE potficonsideratemaimultemetrici care au proprietatea c pe acea mulime una msoar mai fin dect cealalt. Exemple:Aplicaiiledefinitemaijossuntmetricisaudistanepemulimile specificate: a) 2: d+ R R d(x, y) = x - yeste metric peR. b) 2: d+ R R( ) ( )2 21 1 2 2d(x, y) = x x y y + ,unde 1 2x = (x , x ) , 1 2y = (y , y )este metric pe 2R

c) 3: d+ R R ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3d(x, y) = x x x y y y + + ,unde 1 2 3x = (x , x , x ) , 1 2 3y = (y , y , y )este metric pe 3Rd):md+ R R ( )m2i ii=1d(x, y) = x - y,unde 1 2 mx = (x , x ,..., x ) , 1 2 my = (y , y ,..., y )este metric pe mRAceste distane se numesc distane euclidiene. Definiia 2.3.2. Fie( , ) E d spaiu numeric. Mulimile { }0 0 0S(x ,r) = x d(x ,r) < r;r 0, xfixat E E i { }0 0 0S(x ,r) = x d(x ,r) < r;r 0, xfixat E E se numesc sferele deschise respectiv nchise ale spaiului metric( , ) E d . Observaia 2.3.2. a)E R,dmetric euclidian, atunci: 0 0 0S(x ,r) = (x - r, x +r)i[ ]0 0 0S(x ,r) = x - r, x +r . b) 2E Ridmetric euclidian, atunci: { }2 2 2 20 1 2 1 01 2 02S(x ,r) = (x , x ) = x (x - x ) +(x - x ) < r R isenumetediscul plan deschis, iar{ }2 2 2 20 1 2 1 01 2 02S(x ,r) = (x , x ) = x (x - x ) +(x - x ) r R isenumetediscul plan nchis. c) { }3 2 2 2 20 1 2 3 1 01 2 02 3 03S(x ,r) = (x , x , x ) = x (x - x ) +(x - x ) +(x - x ) < r R ise numete sfera deschis din 3R .{ }3 2 2 2 20 1 2 3 1 01 2 02 3 03S(x ,r) = (x , x , x ) = x (x - x ) +(x - x ) +(x - x ) r R ise numete sfera nchis din 3R . Propoziia2.3.2.Oricespaiumetric( , ) E d esteunspaiutopologic. Reciproca nu este n general adevrat. Demonstraie:Searatc { }( , ) , 0MS x r x Er = formeazotopologie.Aceast topologie mai poart denumirea i de topologie metric.Pentruaartac M esteotopologiesearat 0( , ) S x r suntmulimi deschise, pentru orice 0x E fixat i orice0 r . Indicaie: Se arat c 00 0( , ) ( , ) S x r S x r (interior).

n mod analog ca mai sus se arat c dac 1 2, ,...,n MGG G (sunt mulimi deschise) atunci 1 2...n MG G G . Dac i MG pentru oricei avem i MiG , de unde rezult c ntr-adevr Meste o topologie. 4. Norm. Spaiu vectorial normat Definiia 2.4.1. FieEun spaiu vectorial i: E +Ro aplicaie. Dac: 1.( ) 0 x > ,pentruoricex E ;0Ex i( ) 0 x = dac0Ex = ( 0E elementul neutru n raport cu adunarea n spaiul vectorialE ) 2.( ) ( ) ( ) x y x y + + , pentru orice, x y E 3.( ) ( ) ax a x = , pentru oricex E ,a K Atunci aplicaia( ) x este o norm peE . Cupletul( ) , E se numete spaiu vectorial normat, iar norma mai are i urmtoarea notaie( ) x x . Propoziia 2.4.1. Orice norm definete o distan. Demonstraie: Fie ( ), E un spaiu vectorial normat, iar normamai are i urmtoarea notaie( ) x x . Aplicaia( , ) dx y x y = ,: d E E Resteodistan(metric)pe mulimeaE .Pentruaceastatrebuieverificateaxiomelemetricii,inndcontc axiomele normei sunt verificate. 10( , ) 0 dx y > , pentru orice, x y E ,x y i( , ) 0 dx y =rezultx y = .ntr-adevr( , ) 0 dx y x y = > ,pentruorice0 x y .Dar0 x y dacinumai dacx y i( , ) 0 dx y = rezult0 x y = .Dar0 x y = dacinumaidac x y = . 20 Trebuie artat c( , ) ( , ) dx y dy x = . ntr-adevr ( ) ( ) ( , ) 1 1 , dx y x y y x y x y x d y x = = = = = . 30 Trebuie artat c( , ) ( , ) ( , ) dx y dx z d z y + , oricare ar fi, , x y z E . ntr-adevr: ( ) ( ) ( , ) , , dx y x y x z z y x z z y d x z dz y = = + + = + . Astfel am demonstrat c orice norm definete o distan. Observaia 2.4.1.

inndcontdepropoziia2.4.1.oricespaiuvectorialnormatesteiun spaiu metric, dar reciproca nu este n general adevrat. ntr-un spaiu vectorial normat se poate opera cu elementele i se pot crea vecintincaresepoatedeterminaprecisdensitateaelementelorprin msurareadistaneidintreele,darntr-oastfeldestructurnusepoatedefini noiunea de direcie, deci de unghi. Aceast direcie poate fi stabilit cu ajutorul noiunii de produs scalar. Definiia2.4.2.FieE unspaiuvectorialnormatpestecmpulK i aplicaia: p E E K , dac: 1.( ) ( ) , , px y py x = , oricare ar fi, x y E ; 2.( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , px x y px y px y + = + , oricare ar fi 1 2, , x x y E ; 3,( ) ( ) , , , p x y px y = , oricare ar fi, x y E ; 4.( ) , 0 px x > , oricare ar fix E ,0 x i( ) , 0 px x =dac i numai dac0 x = ; Atunciaplicaiap senumeteprodusscalarpespaiulvectorialnormat E . Produsul scalar( ) , px xse noteaz i astfelx y sau( ) , x ysau, x y . Observaia 2.4.2.FieE spaiuvectorial,dacacestspaiuvectorialestenzestratcuun produs scalar, atunci poart denumirea de spaiu prehilbertian. Propoziia 2.4.2. Orice FieEspaiu vectorial i: p E E K un produs scalar. ( Eun spaiu prehilbertian), atunci au loc urmtoarele relaii: 10 1 2 1 2, , , ; x y y x y x y + = +20, , , ; x y x y =30, x y x y (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz). Demonstraie: 10 innd cont de punctul 1, din definiia 2.4.2. rezult: 0 0 01 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , x y y y y x y x y x x y x y x y x y + = + = + = + = +20 0 0 01 3 1, , , , , x y y x y x y x x y = = = = 30 Fie R atunci conform definiiei produsului scalar se poate scrie c: 0 , , , x y x y x x y y x y + + = + + + = 2 2, , , , , 2 , , x x x y y x y y y y x y x x = + + + = + +Deci pentru orice R avem: 2, 2 , , 0 y y x y x x + + (trinom de gradul doi n ) unde

24 , 4 , , x y x x y y = .Dinproprietiletrinomuluidegradul2este evident c0 . Aadar , , , x y x x y y x y = . Propoziia 2.4.3. Orice produs scalar definete o norm. ntr-adevr dac se consider aplicaia: , , x x x = : E+ RatunciaceastaplicaieesteonormpemulimeaE .inndcontc proprietileprodusuluiscalarsuntverificate,trebuieartatcaceastaplicaie verific proprietile normei. 10 0 x > , pentru oricex E ;0 x i0 x =rezult0 x = . ntr-adevr 04, 0 x x > ,pentruorice0 x rezult, 0 0 x x x > > pentruorice x E ,0 x , 0 0 0 0 . x x x x x = = = = 20 Trebuie artat cax a x = , pentru oricex E ,aR. ntr-adevr 2; , ; , ax ax a x x ax ax a x x ax a x = = = . 30 Trebuie artat cx y x y + + . ntr-adevr: 2 2, , 2 , , 2 x y x y x x x y y y x x y y + + = + + + + . ( )2 2x y x y x y x y + + + + . Exemplu: Fie nE = Rs se arate c aplicaia:a) 1 1 2 2, ...n nx y x y x y x y = + + +este un produs scalar pe nR . b)Dac, cos a b ab = , ( ), a b = esteunprodusscalar.(vezi exerciiul 2.5.14). Definiia2.4.3.Fie( ) , E unspaiutopologic,acestspaiutopologicse numetetopologicseparatdac,pentruorice, x y E cux y exist xV , yVastfel nct x yV V = . Spaiu topologic separat prezint o importan deosebit deoarece nu mai ntr-un astfel de spaiu topologic, atunci cnd limita exist, ea este unic. Noiuneadeconvergenestebinedefinitntr-unspaiutopologic separat.

Propoziia2.4.4.Oricespaiuvectorialnormatesteunspaiutopologic separat. Demonstraie: Fie ( ), E spaiu vectorial normat. Fie 0 0 0 0, x y E x y arbitrare. Se consider 0 013x yr= . Se consider sferele: ( ){ }0 1 0 1, Sx r y E x y r = R RRn mod evident. ii) Dac se consider() ( ) ( ){ }0 astfel nct, , D x D x x D x = > + RR Reste evident c() () B x D x R R. Exerciiul 2.5.2. Fie() ( ){ } 2 22, ; 0 x D x x = >R RRmulimea discurilor deschise de centruxi razi() ( ) { } 3 3, , 0 x D x x = >R R mulimea sferelor deschise de centruxi raz . S se arate c() 2x R i() 3x R sunt topologii pe 2Rrespectiv 3R . Rezolvare: Cnd ,( ) 22, D x RR . Deci() 22x RR . Cnd0 ,( ) 2, D x =R. Deci() 2x R. FieI ofamiliedeindici( ) () 2 2,kD x x R R,k I .Dac{ } maxkk I =atunci( ) ( ) 2 2, ,kkk ID x D x =R R. Deci( ) () 2 2,kkk ID x x R R. Fie( ) 2 2, ( )kD x x R R,1, k n = .Dac{ }1minnkk == atunci ( ) ( ) 2 21, ,nkkD x D x ==R R. Deci( ) () 2 21,nkkD x x =R R. Astfel s-a artat c() 2x R este topologie n 2R . Analog se arat c() 3x R este topologie n 3R . Observaie: Topologiile() 2x Ri( ) 3x Rsunttopologiilenaturalealelui 2Rrespectiv 3R .

Dac 0x R atunci( ) { }0 0, 0 x x r + > reprezintmulimea vecintilor lui 0xn topologia() x R. Dac( ) { } 220 0, 0 x D x >RReste mulimea vecintilor lui 0xn topologia() 2x R. Dac( ) { } 330 0, 0 x D x >RReste mulimea vecintilor lui 0xn topologia( )3x R. ngeneraldac esteotopologieoarecarealuiX ,atunci { }0G x G estemulimeavecintilorlui 0x X .Oastfelde vecintatesenoteaz 0xV iarmulimeavecintilorlui 0x se noteaz cu 0x . Exerciiul 2.5.3. Fie( ) , X spaiu topologic. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente. a)A b) xApentru oricex A . Rezolvare: a)b) FieA .x A A pentru oricex A . DeciA este o vecintate a luix . Aadar xA . b)a)Fie xA pentruoricex A .Deciexist xG astfelnct xx G A .Cum{ }x AA x=.Din xG A seobine xx AA G(1).Din xG A rezult c xx AG A (2). Din (1) i (2) rezult c xx AA G = . Exerciiul 2.5.4.Fie( ) , X spaiu topologic ix X . Atunci xare urmtoarele proprieti: a)Dac xV i U V atunci xU b)Dac i xV ,1, i n =atunci 1ni xiV= c)Pentru orice xV atuncix V . Rezolvare: a) xV atunciexistG astfelnctx G U .CumU V atunci x G U . Deci xU . b)Dac i xV ,1, i n = ,atunciexist iG astfelnct i ix G V , 1, i n = .

Aadar1 1n ni ii ix G V= = . Dar cum 1niiG =, atunci 1ni xiV=. c)Evident, innd cont de definiia vecintii. Exerciiul 2.5.5.Orice interval deschis de numere reale este o mulime deschis. Rezolvare: Conformcudefiniia2.1.4.trebuieartatcpentruorice( ) , x a b exist 0 r >astfel nct( ) ( ) , , x r x r a b + . Fie{ } : min , d x a b x = .Atunciesteevidentc( ) , ,2 2d dx x a b + . Deci( ) , a beste mulime deschis. Observaie: Analog se arat c: ( ) ( ) ( ){ }22 22 21 01 2 02, D x r x x x x x r = + conineoinfinitatedenumereraionaleioinfinitatede numere iraionale se obine imediat c: 0 = , ext = ,fr = R,' = R. Iz = i 0E = , 1 10,1, ,..., ,...2frEn = ,ext E frE = R ,E frE = ,{ } ' 0 E = , IzE E = . Exerciiul 2.5.12. Fie:n nd+ R R R ,unde( ) ( )21,ni iid x y x y== ,( )1,...,nx x x = ; ( )1,...,ny y y = . S se arate c aceast aplicaie este o metric pe nR . Rezolvare: nrezolvareaacestuiexerciiuestenevoiedeinegalitatealuiCauchy-Buniacovski2 21 1 1n n ni i i ii i ia b a b= = = ,,i iab R,1, i n = . innd cont de Propoziia 2.4.2. 30: , x x x = iar 1 1 2 2, ...n nx x x y x y x y = + + + inegalitatealuiCauchy-Buniacovski este evident. Pentru ca( ) , d x ys fie metric sau distant trebuie s verifice definiia 2.3.1. ( ) ( ) ( )2 21, 0 0 0ni i i i i iid x y x y x y x y== = = =, 1, i n x y = = . Deci( ) , 0 . d x y x y = =( )210ni iix y= ,1, i n =evident. Deci( ) , 0, , .nd x y x y R( ) ( ) ( ) ( )2 21 1, ,n ni i i ii id x y x y y x d yx= == = = .Deci ( ) ( ) , , d x y d yx = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 1, , 2n n n ni i i i i i i ii i i id x y d yx x y x y y z y z= = = = + = + + . ( ) ( )( ) ( )2 21 1 12n n ni i i i i i i ii i ix y x y y z y z= = = + + = ( ) ( ) ( ) ( )2 221 1,n ni i i i i ii ix y y z x z d x z= = = + = = . Aadar( ) ( ) ( )22, , , d x y d x y d yx + .Deaicirezultfaptulc ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x y d yx + . Aadar( ) ( )21,ni iid x y x y== veridicdefiniia2.3.1.ideciestenorm pe nR . Exerciiul 2.5.13. Fie:n nd+ R R R unde( )11,nppi iid x y x y= = ,( )11, ,...,np x x x = , ( )1,...,ny y y = . S se arate c aplicaia este o metric pe nR . Rezolvare: n rezolvarea acestui exerciiu este nevoie de inegalitatea lui Minkovski. Dac,i iab R i1 p atunci 1 1 11 1 1n n np p pp p pi i i ii i ia b a b= = = + + . Pentru1 p = inegalitateasereducelainegalitateacunoscutmodulul sumei este mai mic sau egal dect suma modulelor. ncontinuareseconsider1 p > iatunci: 1 11 1 1n n np p pi i i i i i i ii i ia b a a b b a b = = =+ + + + . Dac se consider 1pqp= atunci folosind inegalitatea lui Holder rezult inegalitatea lui Minkovski. Inegalitatea lui Holder este: Dac,i iab Ri, 0 p q > astfelnct 1 11p q+ = ,atunci 1 11 1 1n n np qp qi i i ii i ia b a b= = = . Aceast inegalitate se obine imediat din inegalitatea:

Dac, 0 p q > astfelnct 1 11p q+ = ,atunci,p qa ba bp q + pentruorice , a bR. Trebuie artat c aplicaia( ) , d x yverific definiia 2.3.1. ( )1, 0 0 0 0np pi i i i i i i iid x y x y x y x y x y x y== = = = = =. Deci( ) , 0 d x y x y = = . ( )110 0 0 , 0pp npi i i i i iix y x y x y d x y= . 11pp np pi i i i i i i i i iix y y x x y y x x y= = = = ( ) ( )( )11, , ,pp nni iiy x d x y d yx x y= = = R( ) ( ) ( )p p pi i i i i i i i i ix y x z z y x z z y = + + . Deci ( )1 11 1 1 1p p p pp p n n n ni i i i i i i i i ii i i ix y x z z y x z z y= = = = + + Pentru1 p > esteevidentc 11 1p pp n ni i i ii ix y x y= = .Aadar 1 1 11 1 1p p pp p p n n ni i i i i ii i ix y x z z y= = = + . Deci( ) ( ) ( ) , , , d x y d y z dz y + . Exerciiul 2.5.14. 1 1 2 2, ... ,n nx y x y x y x y = + + + ,nx y Reste un produs scalar pe nR . Rezolvare: Trebuie artat c aceast aplicaie verific definiia 2.4.2. , , x y yx = esteevidentdeoarece 1,ni iix y x y== Ri 1 1n ni i i ii ix y y x= = = . ( )1 1 1, , ,n n ni i i i i i ii i ix y z x y z x z y z x z y z= = =+ = + = + = + .

1 1, ,n ni i i ii ix y x y x y x y = = = = = ( )21, 00,0,...,0 0niix x x x== > = 2 21, 0 00 0, 1, 0ni i iix x x x x i n x== = = = = = Observaie: inndcontdepropoziia2.4.3.rezultc 2 2 21 2...nx x x x = + + + esteo norm pe nR . Exerciiul 2.5.15. Mulimile( ) ( ){ }, , Sx r y E d y x r = < unde( ) , E d estespaiumetricsunt mulimi deschise. Rezolvare: Trebuieartatc( ) ( )0, , Sx r Sx r = .Fie( ) , y Sx r i( ) ' , r r d x y = .Fie ( ) , ' z Sy r . Atunci( ) ( ) ( ) , , , ' ' dz x dz y d y x r r r r + < + = . Deci( ) , ' z Sx r . Se obinec( ) ( ) , ' , Sy r Sx r .Aceastincluziunearatcoricepunctalmulimii ( ) , Sx reste punct interior al su. Deci( ) ( )0, , Sx r Sx r . Incluziunea( ) ( )0, , Sx r Sx r este evident. Atunci( ) ( )0, , Sx r Sx r = . Observaie: Mulimea( ) , Sx rse numete sfer a spaiului metric( ) , E d . Familia( ) { }0,rx ESx r>formeazotopologieamulimiiE ipoart denumirea de topologie metric.

CAPITOLUL III CARACTERIZAREA TOPOLOGIC A MULIMILOR. IRURI N SPAII TOPOLOGICE, IRURI N SPAII METRICE, IRURI N SPAII VECTORIALE NORMATE. 1. Mulimi mrginite. Problemamrginiriimulimiloresteoproblemaprioritarnceeace privetecontrolulrezultatelormatematicecesepotobinepeacesttipde mulimi. Cadrul general n care poate fi definit noiunea de mrginire este cel de spaiul vectorial normat i cel de spaiu metric. Definiia3.1.1.Fie( ) , E d spaiumetric.MulimeaE A sespunec este o mulime mrginit n acest spaiu metric dac exist 0x E arbitrat dar fixat i0 r > , astfel nct( )0, d x x r , pentru orice x A . Observaia 3.1.1.a)Mulimilemrginitenusuntechivalentecumulimilecuunnumrfinit de elemente. b)DacAesteomulimemrginit,atunci( ) { },sup ,x y Ad x ysenumete diametrul mulimiiA i se noteaz diam. A. Exemple: a)DacE = R ideste metrica euclidian se spune c mulimeaA R este mrginit, dac exist0 r >astfel nct [ ], A r r . b)Dac 2E = R id estemetricaeuclidiansespunecmulimea 2A R estemrginitdacinumaidacexist0 r > astfelnct 2 21 2x x r + pentruorice( )1 2, x x x A = adicexistundisccu centrul n origine care s includ mulimeaA. c)Dac 3E = R , 3A R estemrginitdacinumaidacexist0 r >astfelnct 2 2 21 2 3x x x r + + ,oricarearfi( )1 2 3, , x x x x A = ,adic exist o sfer cu centrul n origine care s includ peA. d)Dac nE = R sespunec nA R estemrginitdacinumaidac exist0 r >astfel nct 21niix r= oricare ar fi 1 2( , ,..., )nx x x x A = .

Propoziia3.1.1.Fie nA R sespunecmulimeaAestemrginit dacinumaidac,mulimeaproieciilorelementelorluiAsuntmulimi mrginite de numere reale. Demonstraie:Se presupune c nA Rmrginit. Conform cu exemplul anterior punctul d) rezult 21niix r=,( )1 2, ,...,nx x x x A = unde0 r >este un numr real fixat. innd cont de aceast inegalitate se poate afirma c: 12nrxnrxnrxn.

DecicualtecuvintemrginireamulimiiAimplicfaptulcexist0 r >astfel nct ir rxn n , oricare ar fi1, i n =rezult c mulimea proieciilor de indiceifixat ale elementelor mulimiiA este o mulime mrginit.Reciproc.Sepresupunecfiecareproiecieestemrginitisedemonstreazc nA Reste mrginit.ntr-adevrdacfiecareproiecieestemrginit,atunciarelocrelaia: ir rxn n , pentru0 r >i orice1, i n = rezult irxn , oricare ar fi1, i n = sau echivalent22irxn , pentru orice1, i n = . Atunci 2 2 21 1n ni ii ix r x r= = . Deci nA Reste mrginit. Aadarconformpropoziieianterioare,pentruastudiamrginirea mulimilor din nReste suficient s se studieze mrginirea mulimilor dinR. Definiia3.1.2.FieA R.MulimeaAestemrginitdacexistun interval [ ], a b R,undeaibsuntnumererealefiniteastfelnct[ ] b a A , ;

a ResteunminorantpentrumulimeaAibR esteunmajorantpentru A. Observaia 3.1.2. Din definiia 3.1.2. este evident c o mulime mrginit are o infinitate de minorani i o infinitate de majorani. Definiia 3.1.3. Cel mai mare minorant al mulimiiA poart denumirea de margine inferioar a mulimiiA i se noteaz cu Am , iar cel mai mic majorant poart denumirea de margine superioar a mulimiiA i se noteaz cu AM . Observaia 3.1.3. a)Dac AM estemarginesuperioaramulimiiA Ratunciare urmtoarele proprieti:1.pentru oricex A , Ax M ; 2.pentru orice0 > , existx A astfel nct Ax M > b)Dac Am estemargineinferioaramulimiiA Ratunciare urmtoarele proprieti: 1.pentru oricex A , Ax m ; 2.pentru orice0 >exist x A astfel nct Ax m < + Propoziia3.1.2.(Unicitateaiexistenamarginiloruneimulimi). Oricemulimedenumererealemrginitareomarginesuperioar,respectivo margine inferioar. Aceste margini sunt unice. Demonstraie: FieA Rmrginit.Existenamarginiisuperioare AM searatprin construcia efectiv a acesteia. Procedeul de construcie este urmtorul: Fienprimulnumrntregcareverificproprietateax n < ,pentruorice x A .AcestnumrexistdeoarecemulimeaAestemrginit,decimajorat superior. 1 n reprezint partea ntreag a marginii superioare AM . Se mparte intervalul( ) 1, n n n zece pri egale. Fie( )11, n n n cel mai micnumrdediviziuneastfelnct 1x n < ,oricarearfix A .Numrul 10,1 n reprezint pe AMcu o zecimal exact. Se consider intervalul( )1 10,1, n n . Acest interval se mparte n zece pri egale. Fie( )2 1 10,1, n n n celmaimicnumrdediviziunepentrucareareloc proprietatea: 2x n < pentruoricex A .Numrul 20,1 n reprezintpe AM cu dou zecimale exacte. Se poate continua procedeul pentru determinarea lui AMcu oricte zecimale exacte. nacestmod,teoreticrezultexistenalui AM (deiuneoripracticeste imposibil s se determine AM ). Unicitatea lui AMse demonstreaz prin reducere

la absurd. Adic se presupune c mai exist o margine superioar a luiA notat 1AMastfel nct 1A AM M > . Fie 12A AM M= , atunci conform proprietii marginii superioare se afirm c exist unx A astfel nct: 1 11 122 2 2A A A A AA A AM M M M Mx M M M + > = = > =rezul ,Ax M x A > Daraceastacontrazicefaptulc AM estemargineasuperioar. Contradiciaprovinedinfaptulcs-apresupuscmaiexistncomargine superioar. Aadar marginea superioar este unic. n mod analog se raioneaz pentru marginea inferioar. Propoziia 3.1.3. Fie( ) , E dspaiu metric i 0xun punct de acumulare al mulimiiE A . Orice vecintate a punctului 0xconine o infinitate de puncte din mulimeaA. Demonstraie: Se raioneaz prin reducere la absurd. Se presupune c exist o vecintate( )0, Sx ra lui 0xcare s conin un numr finit de puncte dinA. Fie acestea: 1 2, ,...,ny y y . Fie( )0,i id x y =distana de la 0xla iy . Se noteaz{ }1 2min , ,...,n = . Atunci( ) { }0 0, \iSx y A x = . Se ajungelacontradiciecudefiniiapunctuluideacumulare.DacE Ratunci ( ) [ ]0 0 0, , Sx r x rx r = + . Observaia 3.1.4.a) innd cont de propoziia 3.1.3 rezult c mulimile cu un numr finit de elemente nu au puncte de acumulare.b)DupcumsetieN = .Deciexistimulimicuoinfinitatede elementecarenuaupunctedeacumulare.Atuncisepuneproblemacaresunt mulimile care au puncte de acumulare. Propoziia3.1.4.(teoremaluiWeirstrass-Bolzano).Oricemulime infinit i mrginit are cel puin un punct de acumulare.Demonstraie:Se consider c mulimeaA este o mulime de numere reale.FieA Romulimemrginitcuoinfinitatedeelemente.Datorit faptului c mulimea este mrginit rezult c exist [ ], a bastfel nct [ ], A a b , , a b.

Fie 2a bc+= mijloculacestuiinterval.DeoareceAesteinfinit,celpuin unul din intervalele [ ], a csau [ ], c bconin o infinitate de elemente i se noteaz [ ]1 1, abintervalul cu o infinitate de puncte dinA. Din modul cum a fost construit rezult c 1 12b ab a = .Fie 1 112a bc+= mijloculintervalului [ ]1 1, ab .Atuncicelpuinunuldin intervalele [ ]1 1, acsau [ ]1 1, c bconine o infinitate de elemente ale mulimiiA i se noteaz[ ]2 2, a bintervalul care conine infinitatea de puncte. Din modul cum a fost construit rezult 2 2 22b ab a = . Fie 2 222a bc+= mijloculintervalului [ ]2 2, a b .Deoareceacestinterval conine o infinitate de puncte ale mulimiiA, atunci cel puin unul din intervalele [ ]2 2, a csau [ ]2 2, c bconine o infinitate de elemente ale mulimiiA i se noteaz [ ]3 3, a bintervalul ce conine o infinitate de puncte. Din modul cum a fost construit rezult 3 3 32b ab a = .Continundastfelseobineintervalul [ ],n na b ceconineoinfinitatede puncte din mulimeaA i...2n n nb ab a = .nacestmods-auconstruitiruriledenumereraionale( )1nna,( )1nnb care verifica urmtoarele proprieti:1) 1 2 2 1... ... ...n na a a b b b < < < < < < < unnumrpozitivarbitrar,atunciexistunrangN Nastfel nctpentruoricen N > srezultecintervalul [ ],n na b esteinclusnintervalul ( )0 0, x x +care este o vecintate oarecare a lui 0xn cazul topologiei metrice a luiRcu metrica euclidian. Darintervalul [ ],n na b conineoinfinitatedetermeniaimulimiiA,deci rezult( ) { }0 0 0, \ x x A x + .

Cum afostalesarbitrarrezult 0' x A ,adic 0x estepunctde acumulare al mulimiiA. Observaia 3.1.5. a)Demonstraiaanterioarestedatpentrumulimidenumerereale ( ) A R ,dareaesteadevratipentrumulimi mA R inacestcaz intervalul [ ], a b cares-aconsideratndemonstraiesenlocuietecuosfer nchis( )0, Sx rce include mulimeaA. b)Dac 0x A nuestepunctdeacumularealmulimiiA,atuncieleste un punct izolat al acesteia. c) DacA R este mrginit, rezult c' Aeste o mulime mrginit. Marginea superioar a mulimii' Ase noteaz AL , iar marginea inferioar se noteaz cu Ali mai poart denumirea de limit superioar, respectiv limit inferioar a mulimiiA. Se mai scrie astfel: limAL A = ;limAl A = . ALare urmtoarele proprieti: 1. la dreapta lui AL + , oricare ar fi0 > , exist un numr finit de puncte din mulimeaA; 2. la dreapta lui AL , oricare ar fi0 > , exist o infinitate de puncte ale mulimiiA. Alare proprieti analoage cu AL . ntrecelepatrunumereimportantepentruomulimemrginitA,exist urmtoarea relaie: A A A Am l L M . Punctulc)alobservaiei3.1.5esteevidentinndcontdeaceste inegaliti. 2. Tipuri de mulimi 2.1. Mulimi compacte Definiia3.2.1.Ofamiliedemulimi{ } I i Ai = | constituieo acoperire a mulimiiB , dac iI iA B . Dacmulimile iA sunttoatemulimideschise,sespunecesteo acoperire deschis a lui B. DacIeste finit atunci acoperirea este finit.

Observaie:Aestedeschisdac 0A A = ;AestenchisdacA A =sau ACeste deschis. Definiia3.2.2.OmulimeC Restecompactdacestenchisi mrginit. Exemple: 1. Dac{ }1 2, ,...,nA x x x =atunciA este compact. 2.( ) , ; a b R a b < , intervalul [ ], a beste mulime compact. 3. n 2 3, ,nR R R ( )0, Sx r ,r < este o mulime compact. Propoziia 3.2.1. DacC R este o mulime compact, atunci din orice acoperireasacuintervaledeschisesepoateextrageoacoperirefinit(Borel-Lebesque). 2.2. Mulimi conexe Noiuneademulimeconexpoatefiexprimatintuitivspunndceste format dintr-o simpl bucat. Definiia3.2.3.FieAiB doumulimi.SespunecAiB sunt separate dac: A B A B = = . Definiia3.2.4.MulimeaMesteconexdacnupoatefiscrisco reuniunea dou mulimi nevide i separate. Un criteriu destul de intuitiv care exprim conexitatea unei mulimi din 2Rsau 3Reste dat de propoziia urmtoare. Propoziia 3.2.2. Mulimea nA R ,1,2 n = , este conex dac orice dou puncte, x y A potfilegatentreelecuoliniepoligonalLalecreipuncte aparin n totalitate luiA. Exemple:

Figura 1Figura 2 Mulimeadinfigura1esteconex,iarmulimeadinfigura2(nuse consider punctele curbei 2C ) nu este conex. Definiia 3.2.5.a) O mulimeD deschis i conex se numete domeniu. b) O mulimeFnchis i conex se numete continuu. Exemple:1)( ) , a b ,( )0, Sx r ,0 r >este domeniu 2) [ ], a b ;( )0, Sx r ,0 r >este continuu. O categorie foarte important de mulimi sunt cele definite n continuare. Definiia 3.2.6.a)A este mulime rar dac 0A = . b)Dac 1nnA A==i nA suntmulimirareatunciAestemulimeslab sau de categoria I-a Baire. c) Dac' A A =atunciA este mulime perfect. UnexempludemulimerariperfectestemulimealuiCantor(vezi Exerciiul 2.5) 3. iruri n spaii topologice, spaii metrice, spaii vectoriale normate Definiia 3.3.1. FieEo mulime oarecare i: f E No funcie,()nx f n =poartdenumireadetermenulgeneralaliruluigeneratdefunciaf n mulimeaE , iariruldeelementedinmulimeaE ceareacesttermengeneral se mai noteaz i astfel:

( )0nnx (nu intereseaz forma termenilor irului) sau { }0nnx (irul este considerat ca o mulime; intereseaz elementele lui). Observaia 3.3.1. a) Se observ din definiia anterioar c irul este mulimea valorilor unei funcii oarecaref , dar care are domeniul de definiieN. b) Natura elementelor mulimiiE , d tipul irului. Astfel: E = R - ir de numere reale; E = C - irul este de numere complexe; nE = R- ir de elemente din nR ; AE B =- irul funciilor: f A B . c) Pentru a putea fi fcut un studiu complet al irurilor, mulimeaEtrebuie s fie organizat cu structura de spaiu vectorial normat. DarstudiulirurilormaipoatefiefectuatidacE estenzestratcu structuradespaiumetricsaudespaiutopologic(nusepotfaceoperaiicu iruri). Problemacaresepunenlegturcuirurile,dupcumsetieeste monotonia, mrginirea i convergena acestora. Monotonia: Monotonia irului( )0nnx, nx E are sens numai dacEeste o mulime ordonat i aceast noiune se definete astfel: Definiia3.3.2.FieorelaiedeordinepemulimeaE .Sespunec irul( )0nnx este monoton dac oricare ar fi, n mNcun m >rezult n mx x . DacE = R atunci" " astfel nct pentru orice( ) n N >rezult( )0,nd x x < . DacE = Rid estematriceaeuclidianpeRadicmodulul,atunci definiia3.2.5.areforma:( )0nnx, nx Resteconvergent,dacexist 0x Rastfelnctoricarearfi0 > ,exista( ) 0 N > astfelnctoricarearfi ( ) n N >rezult 0 nx x < .

Definiia3.3.6.Fie ( ), E spaiuvectorialnormat.irul( )0nnx, nx E esteconvergentdacexist 0x E astfelnctoricarearfi0 > ,exist ( ) 0 N >astfel nct pentru orice( ) n N >rezult 0 nx x < . Observaia 3.3.2. a)Elementul 0x E care apare n definiiile 3.3.4, 3.3.5, 3.3.6 poart denumirea de limit a irului nxi acest lucru se scrie astfel: 0limnnx x=sau 0 nx x b)Definiiile 3.3.4., 3.3.5., 3.3.6. sunt echivalente. Propoziia 3.3.2. (Unicitatea limitei): Fie( ) , E spaiu topologic separat i 0 nx xatunci 0xeste unic. Demonstraie:Sepresupunec 0x nuesteunic,adicexist 0y E astfelnct 0 nx y . Conform definiiei 3.3.4 se poate scrie c: ( ) ( ) ( )0 00 1 1a.. n x n xx x V N N n N x V > ( ) ( ) ( )0 00 1 1a.. n y n yx y V N N n N x V > Dac se noteaz{ }1 2maxiN N N = , atunci din cele dou afirmaii rezult cpentruoricen N > avem 0n xx V i 0n yx V deunderezult 0 0x yV V , contradiciecufaptulcE estespaiutopologicseparat.Decirezult 0 0x y , ceea ce demonstreaz unicitatea limitei. Observaia 3.3.2. Dac spaiul topologic nu este separat, un ir convergent poate avea mai multelimite,ceeacearatcnspaiitopologiceneseparateconvergenanu estebinedefinit.nspaiulmetricispaiulvectorialnormatconvergenaeste binedefinitdeoarecesetiecoricespaiuvectorialnormatesteunspaiu metric i orice spaiu metric este spaiu topologic separat. Propoziia 3.3.3. Fie 0( )n nx, nnx R . irul 0( )n nx este convergent dac i numai dac orice proiecie a sa este convergent. Demonstraie:Se presupune c 0( )n nx, mnx Reste un ir convergent.Se demonstreaz c 0( )in nx este convergent, oricare ar fi 1, i m = . Fie mnx R ( )1 2 3, , ,...,mn n n n nx x x x x = .

Datoritfaptuluicirulesteconvergentctre ( )1 2 30 0 0 0 0, , ,...,mx x x x x = , rezult conform definiiei 3.3.5 c: ( ) 0 > ,( ) ( ) 0 N >astfel nct( ) ( ) n N > , rezult 1 1 2 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ... ( )m mn n nx x x x x x + + + < . Din aceast inegalitate se obine: 1 102 200'''nnm mnx xmx xmx xm < = < = < =. Decirezultcproieciile ( )0innx,m i , 1 = suntconvergentectre numerele reale 0ix ,m i , 1 = . Reciproc:Se presupune c 0i inx x ,m i , 1 =i se demonstreaz c 0 nx x . Raionamentul se face n mod analog. ntr-adevr,( ) 0 > ,( ) ( ) 0 N >astfel nct: 1 100nm mnx xnx xn < astfel nct oricare ar fi( ) , n m N >rezult c( , )n mdx x < . Observaia 3.4.1. a)EstesimpludeobservatcdacE = Rsau pE = R condiiadin definiia 3.4.1 devine n mx x ,atunciexistunnumr naturalpoarecare, dar fixat astfel nctm n p = + . c)inndcontdeb)condiiadindefiniia3.3.1nacestcazdevine ( , )n n pdx x +< , pentru oricepN. Propoziia 3.4.1. Orice ir convergent este un ir fundamental sau un ir Cauchy. Demonstraie: Fie 0( )n nx un ir convergent ctre nx E , undeEeste un spaiu metric nzestratcumetricad .Conformdefiniieiconvergeneinspaiimetriceauloc urmtoarele afirmaii: pentruorice0 > ,exist( )10 N> astfelnct( )1n N > rezult 0( , )ndx x ,exist( )20 N> astfelnct( )2m N > rezult 0( , )mdx x < .

Fie( ) ( ) ( ) { }1 2max , N N N =atunci au loc simultan relaiile: oricare ar fi( ) n N >rezult 0( , )ndx x rezult 0( , )mdx x < . Atunci rezult c pentru orice( ) , n m N >avem: 0 0( , ) ( , ) ( , ) 2 'n m n mdx x dx x dx x + < = . Deci( , )n mdx x < . Conform cu definiia 3.4.1 irul 0( )n nx este un ir Cauchy. Observaia 3.4.2. Reciproca propoziiei 3.4.1 nu este n general valabil, aa cum reiese din exemplul urmtor: Exemplu: Fie nx definitastfel 11 x = ; 21,4 x = ; 31,41 x = ;irulcare aproximeaz prin lips pe 2 . Esteevidentcoricarearfi0 > ,exist( ) 0 N > ,astfelnct ( ) ( ) , n m N >rezult c n mx x < ; deci 1( )n nx este un ir Cauchy. Dar n spaiul metric( ) ,d ,spaiul din care fac parte toi termeniiirului, acesta nu este convergent pentru c el are limita2 . Acest exemplu arat c exist iruri Cauchy care nu sunt convergente. Propoziia 3.4.2. Orice ir Cauchy este un ir mrginit. Demonstraie:Fie( )0nnx, nx E ,Espaiu metric nzestrat cu metricad . Dac( )0nnx este un ir Cauchy, atunci conform definiiei 3.4.1 se poate afirmacpentruorice0 > ,exist( )00 N n = > ,astfelnctoricarearfi 0, n m n >rezult( ) ,n nd x x < . Aceasta nseamn c pentru termenii 0 1, ,...,nx x xare loc relaia: ( )0,n id x x ,( )00, i n = . Fie ( ) { }000max ,nn iid x x ==atunci( )0, 0n md x x r < + = >pentru oricemN. Ceeacearatcmulimea { }00 1, ,..., ,...nx x x estemrginit,adicirul ( )0nnx este un ir mrginit. Observaia 3.4.3. a) S-a vzut c nu orice ir Cauchy este i ir convergent. Spaiile metrice ncarearelocaceastafirmaiesenumescspaiimetricecompletesauspaii

BANACH.DeciunspaiuBANACHesteunspaiumetriccareverific urmtoarea proprietate: OriceirconvergentdeelementedinspaiulBANACHarelimitn acest spaiu. b)E = ;d- metric euclidian; nu este spaiu BANACH. , 1mE m = R ;d- metric euclidian; este spaiu BANACH.

[ ], E a b = R;d- metric euclidian; este spaiu BANACH. Propoziia 3.4.3. (criteriul de convergenta al lui Cauchy pentru iruri). ntr-un spaiumetric complet un ir este convergent dac i numai dac este un ir Cauchy. Demonstraie:Faptul c orice ir convergent este un ir Cauchy s-a demonstrat. Se presupune c irul este Cauchy i se va arta c este convergent. PentruauurascriereasepresupuneE = R,iarmetricaseconsider metrica euclidian. Fie nx RirCauchysaufundamental,rezultcpentruorice0 > , exist( ) 0 N > , astfel nct( ) ( ) n N > , n p nx x + < , pentru oricepN. innd cont de proprietatea modulului, relaia anterioar devine: n p nx x + < n n p nx x x + < < + . Dacnaceastinegalitatesefixeaz 0n n = rezult 0 0 0n n p nx x x + < < + , oricarearfipNceeacearatcmulimea 0 01 2, ,...n nx x+ +,esteomulime mrginit,adicirul{ }0nnxestemrginit;darsetieconformteoremei Weierstrass-Bolzano c orice mulime infinit i mrginit are cel puin un punct de acumulare. Dacncazuldefapunctuldeacumulareesteunic,teoremaeste demonstrat.Sepresupunecexistmaimultepunctedeacumularepentruirul { }0nnx. FieL cel mai mare dintre acestea ilcel mai mic dintre acestea, deci vor avea loc relaiile: 0 0n nx L x < < +echivalent cu 0nL x < 0 0n nx l x . AadarirulaproximaiilorsuccesiveesteunirCAUCHY,ispaiul metric( ) , X dfiind complet (spaiul Banach) rezult c acest ir este convergent. Fielimnnx = (1)Atunci 1 10 ( ( ), ( )) ( , ( )) ( , )n n nd x dx cdx = .Dinaceastultim inegalitate innd cont de egalitatea (1) se obinelim ( )nnx = (2)

Deoareceoriceirconvergentarelimitunic,din(1)i(2)rezultc ( ) = . Deci contraciaX X : are punct fix. 6. Exerciii rezolvate Exerciiul 3.6.1. Ssedeterminemargineainferioarm,margineasuperioarM,limita inferioarl , limita superioarL a mulimilor: a){ }1 2, ,...,nE x x x = ,( )i jx x i j < > seria ( )()++=+1211nnnnn

estedivergent.Deciseriaalternant( )( )()++=+112111nnnnnnnuesteabsolut convergent. c) ( ) = + 1ln 1nxn.Pentru0 < irul( )( )1 11ln 1nn+ + nuarelimit. Deci seria( )( ) = + 1111ln 1nn n este oscilant.

Pentru > 0 , = 0nnlim x i ( )( )+ += < + 1ln 11ln 2nnnxx n.Deci_nx .Atunci conform cu propoziia 4.3.5. seria( )( ) = + 1111ln 1nn n este convergent. Deoarece ( ) ( ) >+ + 1 11 ln 1 n n( ) 0 > ,atuncipentru 1seria ( ) = + 11ln 1 n n este divergent. Deci pentru( ]0,1 seria( )( ) = + 1111ln 1nn n nu este absolut convergent. Pentru > 1seria ( )11ln 1 n n= + nuesteconvergentdeoarece ( ) ( )11ln 1 ln 1nnknSk n == > + + Deciseria ( ) = + 11ln 1 n nnuesteconvergentpentru > 1.Atunciseria ( )( ) = + 1111ln 1nn n nu este absolut convergent nici pentru > 1. d) ( )= =1 1nnnxnn. Atunci= 1nnlim x(1) Aadarpropoziia4.3.5.numaipoatefifolosit.Dacseconsider ( )= 1 11nnnynesteevidentc 21ny , 2 11ny+ .Atunci,( )1nnynuare limit i seria( )1111nnn n= , N este oscilant. Exerciiul 4.4.7 S se arate c seriile de mai jos au sumele indicate: a) ( )= = + + + + 11 1 1 11 ...2nnn k k k, N k . b)=+ = 11 1lnnnn n, = 0,577215...c) ==+ +2111 4narctgn n

d) ==4115!nnen Rezolvare: a) ( )==+11;nniSi i k ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...2 1 2nSi i k k i i k k k n n n k = = + + + + + + + + + + + Atunci = + + + 1 1 1lim 1 ...2nnSk k b)( )1 1 1 11 1 1 1 1ln ln ln 1n n n nnk k k kk kS nk k k k k= = = =+ + = = = + S-a artat n 3.6 c irul( )== +11ln 1nnkS nk este convergent i are limita = 0,577215... se mai numete constanta lui Euler. c) =+ +2111narctgk k ( ) ( ) ( )= + = + = + + +211 1 1 11 4narctg arctgk arctgk S arctgn arctg arctgnk k = = lim2 4 4nnSDeci seria este convergent i ==+ +2111 4narctgn n d) 41!nnkkSk== ( ) ( ) ( ) ( )= + + + 41 6 7 1! 4 ! 3 ! 2 ! 1 !kk k k k k Fie 11!n iinkSk==,= 1,2,3,4. i = + + +1 2 3 47 6n n n n nS S S S SDeoarece = liminnS e , = 1,2,3,4. i , se obine = lim 15nnS e . Deci ==4115!knen.

CAPITOLUL V IRURI I SERII DE FUNCII 1. iruri de funcii FieX iY spaiivectorialenormate.Setiec { }: ; funcieXY f f X Y f = este mulimea funciilor definite peXcu valori n Y . Definiia5.1.1.Fie:XS Y N ,() ()nSn f x = (punencoresponden fiecarenumrnaturalcuunelementdin XY ).() ()nSn f x = estetermenul general al unui ir de funcii i se noteaz cu() ( )0nnf x. Observaia 5.1.1.c)DacX RiY Rirul() ( )0nnf xsenumeteirdefunciireale de variabil real. d)Dac mX R i kY R irul() ( )0nnf xsenumeteirdefuncii vectoriale de variabil vectorial. e)Fie 0x X ,atunci( ) ( )00nnf xesteunirdeelementedinspaiul vectorial normat Y . Unirdefuncii() ( )0nnf xgenereazirurideelemente( ) ( )00nnf xdin spaiulvectorialnormatY ;acesteirurideelementepotficonvergentesau divergente. Numrul acestor iruri estecardX . Definiia5.1.2.Punctul 0x X senumetepunctdeconvergenal iruluidefuncii() ( )0nnf xdaciruldeelemente( ) ( )00nnf xalespaiului vectorial normat Yeste un ir convergent.Mulimeatuturorpunctelordeconvergenaleiruluidefuncii() ( )0nnf x se numete mulimea de convergen a irului i se noteaz n general cu CM . Observaia 5.1.2.a)ntre domeniul de definiieXal tuturor funciilor din ir i mulimea de convergen exist relaiaCM X . b)Punctul 0x X dacnuesteunpunctdeconvergenaliruluide funcii se numete punct de divergen al acestui ir i mulimea tuturor punctelor

dedivergenaleiruluidefunciisenoteazcu DM iesteevidentrelaia \D CM X M = . Exemple: 1.Fie: ;nf X Y R R ()12nn xf xn +=+unirdefunciirealede variabil real. S se arate c: a) 01 x =este punct de convergen al irului. b) CM= R. Rezolvare:a) Dac n irul de funcii()12nn xf xn +=+ se nlocuietexcu 1 se obine irul de numere reale( )112nnfn +=+. Deoarece( ) lim 1 1nnf= , (irul este convergent) rezult c 01 x =este punct de convergen al irului de funcii. b)Pentruadeterminamulimeadeconvergenairuluidefuncii () ( )0nnf xsecalculeaz() limnnf x,undex esteconsideratcaparametru,iar domeniul de definiie al funciei() f x , care este limita acestui ir, reprezint chiar mulimea de convergen a irului de funcii() ( )1nnf x.ncazuldefa()1lim lim2nn nn xf x xn += =+rezult() f x x = icum domeniul de definiie al acestei funcii esteR rezult CM= R i deci este evident c DM= . 2.Fie:nf X Y R R,()222nxnnf x e= unirdefunciirealede variabil real. S se arate c: a) 00 x =este punct de divergen al irului de funcii. b) s se determine CM . Rezolvare:a)( )20nnf= ( )2lim 0 limnn nnf = = irul( ) ( )00nnfeste divergent. Deci 00 x =este punct de divergen al irului de funcii. b) ()222lim lim 0nnxn nnf xe = = (viteza de convergen a exponenialei este maimaredectafuncieiputere) ( ) { } 0 x R ( ) ( ) ,0 0,CM= { } 0CM= .

ncontinuaresevorstudiairuridefunciivectorialedevariabil vectorial, adic mX Ri kY R . Aacums-avzutdinexempleleanterioare,problemacaresepunen legturcuunirdefunciiestestudiereaconvergeneisaudivergenei,in cazul de convergen, gsirea funciei limit, dac acest lucru este posibil. Pentru irurile de funcii, convergena este de dou tipuri: convergen simpl sau punctual convergen uniform sau global. Aceste noiuni se definesc dup cum urmeaz: Definiia5.1.3.(CONVERGENASIMPL)Fie:m knf X Y R R un irdefunciivectorialedevariabilvectorial.Acestiresteconvergentsimplu sau punctual pe mulimeaX , ctre funcia( ) f x , dac oricare ar fi 0 > , exist ( ) , 0 nx >astfel nct pentru orice( ) , n nx > ,() ()nf x f x < . Se scrie astfel: () ()sn xf x f x (converge simplu pe mulimeaXctre( ) f x ). Definiia 5.1.4. (CONVERGENA UNIFORM) Fie:m knf X Y R Runirdefunciivectorialedevariabilvectorial.irul( )0( )nnf xconverge uniformctrefuncia( ) f x pemulimeaX dacoricarearfi0 > ,exist ( ) 0 n > astfelnctpentruorice( ) n n ix X ,() ()nf x f x < .Sescrie astfel:() ()un xf x f x (converge uniform pe mulimeaXctre( ) f x ). Observaia 5.1.3.a) Din Definiiile 5.1.3 i 5.1.4 se observ c orice ir uniform, convergent este i un ir simplu convergent, pe cnd reciproca nu este n general adevrat. b) O consecin imediat a Definiiei 5.1.4 este urmtoarea: Fie( )1( )nnf x,:nf A R R unirdefunciirealedevariabilreal. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: i)() ()un xf x f x ii)() () sup 0nnx Af x f x iii)() () 0nnf x f x Exemple: 1.Fie( ]: 0,1nf R,unde( )nnf x x = ,unirdefunciirealedevariabil real. S se arate c acest ir converge simplu ctre ( ) 0,0,1( )1, 1xf xx = = , dar nu converge uniform ctre aceast funcie. Rezolvare:Deoarece

( ) 0,0,1lim ( ) lim1, 1nnn nxf x xx = = = rezult c()( ]()0,1snf x f x . Dacseconsider 11nxn = ,cum( ) 0,1nx i ( )1 10 1nn nf xn e = rezult,conformDefiniiei5.1.4cdiferena ( ) ()n nf x f x nupoatefifcutorictdemicdeoarecepentru 11nxn = diferenaseaflntr-ovecintatealui 1e.Deciconvergenairului( )0( )nnf xnu este o convergen uniform. 2.Fie:nf R R , ( )2 2 221 1( )1nf xn xn x= +++ +.Ssearatecacestir este uniform convergent peR ctre( ) 0 f x = . Rezolvare:ntr-adevr limita acestui ir este funcia: f R R prin( ) 0 f x = , deoarece ( )2 2 221 1lim ( ) lim 01nn nf xn xn x = + = ++ + . Aceast convergen este uniform peR deoarece: () ()( ) ( )2 2 2 2 221 1 1 10 01 1nf x f xn x nn x n = + + ++ + +. nseamnc() ()nf x f x < ,( ) 0 > indiferentdevaloarealuix R. Deci acest ir converge uniform peR ctre( ) 0 f x = . CuajutorulDefiniiilor5.1.3i5.1.4poatefistudiatconvergenasimpl sau uniform numai n cazul n care se cunoate funcia limit. Sunt ns iruri de funcii pentru care funcia limit nu poate fi determinat i convergena acestora nu poate fi studiat cu ajutorul definiiilor. Ea se va studia cu una din propoziiile urmtoare: Propoziia5.1.1.(CRITERIULDEUNIFORMCONVERGENALLUI CAUCHY PENTRU IRURI DE FUNCII) Fie:m knf X Y R R unirdefunciivectorialedevariabil vectorial.Condiianecesarisuficientcaacestirdefunciisfieuniform convergent pe mulimeaXeste: oricare ar fi0 > , exist( ) 0 n >astfel nct pentru orice( ) n n > ,() ()nf x f x < , oricare ar fi1 p ix X . Demonstraie:

Se presupune c( )0( )nnf x este un ir uniform convergent pe mulimeaXctre o anumit funcie limit( ) f x . Atunci, conform Definiiei 5.1.4 au loc relaiile: ( ) 0 > ,( ) ( )10 n >a..( ) ( )1n n > () ()nf x f x < ,( ) x X ( ) 0 > ,( ) ( )20 n >a..( ) ( )2n n > () ()n pf x f x + < ,( ) x X . Dac se noteaz( ) ( ) ( ) { }1 2max , n n n = , atunci are loc relaia: () () () () () ()n p n n p nf x f x f x f x f x f x+ + = + () () () () 2 'n p nf x f x f x f x + + < + = =Ceea ce arat c() ()n p nf x f x + < , pentru orice0 >i1 p . Reciproc:PresupunemcrelaiadinPropoziia5.1.1estendeplinit, adic:pentruorice0 > ,exist( ) 0 n > astfelnctpentruorice( ) n n > , () ()n p nf x f x + < , oricare ar fi1 p ix X . Conformdefiniieiunuiirfundamentalrezultcirul( )0( )nnf xesteun ir fundamental pentru oricex X . Cum spaiul vectorial normat kReste un spaiu BANACH (spaiu complet) rezult c exist o funcie( ) f x( :m kf X Y R R ) astfel nct:() ()nf x f x , oricare ar fix X . Atuncininegalitatea() ()n p nf x f x + < dacsetrecelalimitdup p , se obine c:( ) 0 > ,( ) ( ) 0 n >a..( ) ( ) n n > () ()nf x f x < ,( ) x X . De unde rezult c irul este uniform convergent conform Definiiei 5.1.4. Propoziia5.1.2.Fie:m knf X Y R R unirdefunciivectorialede variabilvectorial.Dacexistunir( )0nnadenumererealepozitive convergentctre0iarelocinegalitatea() ()n nf x f x a ncepnddelaun anumitrang( )0n ,oricarearfix X ,atunci( )nf x convergeuniformpe mulimeaXctre( ) f x ,() () ( )un xf x f x . Demonstraie: Deoarecelim 0nna=conform cu definiia convergenei unui ir de numere reale se poate afirma c( ) 0 > ,( ) ( ) 0 n >astfel nct( ) ( ) n n > , na < . inndcontdeaceastinegalitateideinegalitateadinenunulpropoziiei rezultc() ()nf x f x < ,( ) 0 > i( ) n n > .Aceastaaratc( )1( )nnf x converge uniform peXctre( ) f x . Exemple:

1.Seconsiderirul( )0( )nnf x,()nf x xarctg n x = .Ssearatecirul este uniform convergent,( ) [ ) 0, x . Rezolvare:Deoarecefuncialimit( ) f x nupoatefideterminat,nacest caznupoatefifolositdefiniiaconvergeneiiatuncisevafolosiPropoziia 5.1.1 i rezult c:() () ( )n p nf x f x x arctgn p x x arctg n x+ = + =( )( )2p 1xx arctgn p x arctg n x x arctgn p n x= + = + + ( ) ( ) ( )2 2p x p p p 101x xxn p nx n p n x n p n n p n < = = + + + + . iconformfaptuluicirul 10n atunciexist( )00 n astfelnct pentruorice0 > i( )0n n > rezult 1n < i() ()n p nf x f x + < ncondiiile date.ConformcriteriuluideuniformconvergenalluiCAUCHYrezultcirul este uniform convergent. 2.Ssearatecirul()2sinnnxf xn= ,x X esteuniformconvergentpe mulimea numerelor reale ctre( ) 0 f x = . Rezolvare:DeoareceDefiniia5.1.4estegreudeaplicat,nacestcazse va folosi Propoziia 5.1.2() ()2 2sin 10n p nnxf x f xn n+ = . Atunci, conform cu propoziia 5.1.2 rezult c 2sin0unxnR. Setiecnoiuniledelimit,continuitate,derivabilitateiintegrabilitate sunt noiuni de baz pentru funciile reale de variabil real. n continuare se vor da condiiile n care aceste noiuni se transfer de la termenii unui ir de funcii la funcia limit a irului. Propoziia5.1.3.(CONTINUITATEA)Fie( )0( )nnf xunirdefuncii continue,uniformconvergentectrefuncia( ) f x pemulimea mX R .Atunci funcia limit( ) f xeste continu. Demonstraie: innd cont c () ()un Xf x f x conform Definiiei 5.1.4 se poatescriecpentruorice0 > ,exist( )10 n > astfelnctoricarearfi ( )1n n > , avem () ()nf x f x < , pentru oricex X (1)

Datoritfaptuluicfunciile( )nf x suntcontinuenpunctul 0x ,conform definiieicontinuitii,sepoatescriecoricarearfi0 > exist( )0, x astfel nct pentru oricex X cu( )0x x < , are loc inegalitatea() ( )0 n nf x f x , exist( ) 0 n >astfel nct oricare ar fi( ) n n >i1 p ,() () ()1 2...n n n pf x f x f x + + ++ + + < , pentru oricex X . Demonstraie:ConformDefiniiei5.2.2,punctulb),seria()0nnf x=este uniformconvergentpeX dacirul() ()0nn kkS x f x==esteuniformconvergent pe mulimeaX . Din criteriul de uniform convergen al lui CAUCHY pentru irul( )0( )nnS x se obine condiia necesar i suficient de uniform convergen a acestui ir pe mulimeaX : pentru orice0 > , exist( ) 0 n >astfel nct oricare ar fi( ) n n >i1 p ,() ()n p nS x S x + < , pentru oricex X . Dar() () () () () ()10 0...n p nn p n k k n n pk kS x S x f x f x f x f x++ + + = = + + . Astfel se obine condiia din enunul Propoziiei 5.2.1. O consecin imediat a Propoziiei 5.2.1 este urmtoarea propoziie: Propoziia5.2.2.Fie()0nnf x=oseriedefunciisimpluconvergentpe mulimeaX Rctrefuncia() f x .Condiianecesarisuficientcaseriade funcii()0nnf x= s convearg uniform pe mulimeaA ctre funcia() f xeste c mulimea( ) { }, , 0 N x x A >s fie mrginit ( ( ) , N x este rangul ncepnd de la care() ()1nkkf x f x = , exist( ) 0 n >astfel nct oricare ar fi( ) n n >i1 p ,1 2...n n n pa a a + + ++ + + < , pentru oricex X ipN. Din ipoteza 10 se obine urmtorul ir de inegaliti: () ()1 1 2 2, ,...,n n n n n p n pf x a f x a f a+ + + + + + . Adunnd termen cu termen aceste inegaliti, rezult: () () ()1 2 1 2... ...n n n p n n n pf x f x f x a a a + + + + + ++ + + + + + < . tiind c norma este mai mic dect suma normelor rezult: () () ()1 2...n n n pf x f x f x + + ++ + astfel nct 0nna x M . Dac se consider 0x x iconformcriteriuluicomparaieiavemcseria 0nnna x=estedivergent.Continundraionamentulcalapunctul10rezultc oricare ar fi ( ) ( )1 1, , x x x +seria 0nnna x= este divergent. Dar este evident c i n acest caz{ }1supx R = . Deci rezult c mulimea de divergen este( ) ( ) , , R R + . Observaia 5.3.2.a)SeobservcteoremaluiAbelafirmexistenarazeideconvergen pentru orice serie de puteri, dar nu indic modul de determinare a acesteia. b)CuajutorulrazeideconvergenaserieideputeriteoremaluiAbel determinmulimea de absolut convergen i divergen a seriei de puteri fr punctelex R = ix R = .

Pentruastabilinaturaserieideputerinacestepuncteseconsider seriilenumerice 0nnna R=i( )01nnnna R= .nfunciedenaturaacestorserii este i natura seriei de puteri n cele dou puncte. Propoziia5.3.2.(CAUCHY-HADAMARD)RazadeconvergenRpentru seria0nnna x= este dat de relaia 1limnnnaRa+= . Demonstraie:Se consider punctul 0x x =fixat, atunci seria 20 1 0 2 0 0... ...nna a x a x a x + + + + +Poateficonsideratoseriedeputeriiatunci,conformcuPropoziia5.3.1 (TEOREMA LUI ABEL) rezult c aceasta este convergent pentru orice( )0, x R R .(1) Darseriaanterioar,concomitent,poateficonsideratioseriecu termenipozitiviipentrustabilireanaturiiacesteiapoatefiaplicatcriteriullui DALAMBERT i conform formei practice a acestui criteriu se obine: 11 0 100lim limnn nnn nn na x axa x a++ + = . Dac 1010lim 1 atunci seria este convergentlim 1 atunci seria este divergentnnnnnnaxaaxa++ Deci pentru orice 01limnnnaxa+

+ +icumseriaarmonicestedivergent,conformcriteriului comparaieirezultcseria 01nnn=+estedivergent.Decipunctul1 x = este punct de divergen pentru seria de puteri 01nnnxn=+. Folosim operaia cu serii numerice( ) ( ) ( )10 0 011 1 11 1n n nn n nnn n += = = = + + + . Cum cele dou serii sunt convergente, rezult c i seria( )111nnnn=+ este convergent. Deci1 x = este punct de convergen pentru seria

( ) [ )0, 1 1,1nDnnx Mn= = +, [ ) 1,1CM= . Laseriiledefuncii,pelngconvergenasimpl,sepuneiproblema convergenei uniforme. Seriiledeputerifiindseriiparticularedefuncii,aceastproblema convergenei uniforme se pune i pentru seriile de puteri. Propoziia5.3.3.Fieseria 0nnna x=oseriedeputeri,atuncioricarearfi [ ], x R R + , unde( ) 0,R , seria este uniform convergent. Demonstraie: ntr-adevr, dac( )nnn nx R a x a R . Cumseria( )0nnna R = esteconvergent,conformcucriteriullui WEIERSTRASSrezult c seria 0nnna x= este uniform convergent. Observaia 5.3.4.a)Seobservccelmaimareintervaldeuniformconvergeneste ( ) , R R . b)inndcontdePropoziia5.3.3sepoateafirmac( ) , r r ,( ) 0, r R este intervalul de uniform convergen pentru seria de puteri. 4. Formula Taylor pentru polinoame i funcii Propoziia5.4.1.Fie()0;nkkkPx a x== ka R.Dacseconsider 0x a = R, atunci are loc relaia:() () ()( )()( )()()( )()()20' '' ...1! 2! ! !n knn kkx a x a x ax aPx Pa P a P a P a P an k= = + + + + = Demonstraie: n polinomul()0nkkkPx a x== ,dac se consider cx x h +se obine:( ) ( )0nkkkPx h a x h=+ = +. Acest polinom dac se ordoneaz dup puterile luih, atunci el are forma:

( )0nkkkPx h A h=+ = (1) unde kA suntcoeficienicaredefaptsuntexpresiidex ceurmeazafi determinai. n relaia (1), dac se face0 h =rezult()0Px A = . Se deriveaz relaia (1) i se obine ( )2 11 2 3' 2 3 ...nnP x h A A h A h nA h + = + + + +(2) n aceast relaie, dac se consider0 h = , se obine()1' P x A = . Dac se deriveaz relaia (2) se obine( ) ( )22 3'' 2 6 ... 1nnP x h A A h nn A h + = + + + (3) n relaia (3), dac se consider0 h = , se obine()2 2'' 2 2! P x A A = = . Procedndnmodanalog,seobinec ()() !kkP x kA = ,oricarearfi 0, k n = .Cucoeficienii kA astfeldeterminai,dacserevinenrelaia(1),se obine( )()()0!k nkkhPx h P xk=+ = Dac se considerx a =ix h y + =se obineh y a = . Cu aceste notaii egalitatea anterioar devine ()( )()()0!knkky aPy P ak==.Fcndschimbareay x seobine()( )()()0!nnkkx aPx P an==careestetocmaiFORMULALUITAYLORPENTRU POLINOAME.

Observaia 5.4.1.a)FormulaluiTaylorpentrupolinoameareoimportancalculatorie,n sensul c permite dezvoltarea polinomului() Pxdup puterile luix a . b)nformulaluiTaylorpentrupolinoame,dacseconsider 0 a = se obine formula lui Mac-Laurin, care are urmtoarea form:()()( )00!k nkkxPx Pk==. Exemplu:FolosindformulaluiTaylorpentrupolinoamessedescompunnfracii simple fracia:

( )4 3 253 2 11x x x xx+ + + + Rezolvare: Se consider polinomul()4 3 23 2 1 Px x x x x = + + + + .Se scrie formula lui Taylor pentru acest polinom, pentru punctul1 a = . ()( )()( )4011!kkkxPx Pk== Trebuiecalculatederivatelepnlaordinulpatruinclusivalepolinomului () Pxn punctul1 x = . ( ) 1 8 P =()3 2' 4 9 4 1 P x x x x = + + +rezult( ) ' 1 18 P =()2'' 12 18 4 P x x x = + +rezult( ) '' 1 34 P =() ''' 24 18 P x x = +rezult( ) ''' 1 42 P =( )() 24IVP x =rezult ( )( ) 1 24IVP =() ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 18 34 42 248 1 1 1 11! 2! 3! 4!Px x x x x = + + + + . Deci () ( ) ( ) ( ) ( )2 3 48 18 1 17 1 7 1 1 Px x x x x = + + + + . Atunci ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 3 44 3 25 58 18 1 17 1 7 1 13 2 11 1x x x xx x x xx x+ + + + + + + += = ( ) ( ) ( ) ( )( )5 4 3 28 18 17 7 111 1 1 1xx x x x= + + + + Propoziia5.4.2.(FORMULALUITAYLORPENTRUFUNCIICENU SUNT POLINOAME) Fie: f R R o funcie derivabil de1 n +ori n punctul 0x i()( )()( )000!knknkx xP x f xk== polinomul lui Taylor ataat funciei() f xpe intervalul [ ], a b = . Atunci() () ()n nf x P x R x = + , unde:()( ) ( )( )()11!n p pnnb x aR x fn p+ + = ;( ) , a b . ()nR xse numete restul de ordinulndin formula lui Taylor, iar egalitatea se numete formula lui Taylor pentru funcia nepolinomial() f x . Demonstraie:

Pentru a determina restul()nR xeste evident c el trebuie luat sub forma () ( )pnR x x a A = (1) undeA este un numr real ce se determin. Pentru determinarea luiA se consider funcia: () () ()( )()( )()() ( )2' '' ...1! 2! !npnb x b xb xFx f x f x f x f x b x An = + + + + + Seobservcfuncia() F x esteofuncieRolleraportatlaintervalul [ ], a b , adic ea are proprietile: 10() F xcontinu pe [ ], a b20() F xderivabil pe [ ], a b30() () Fa Fb = . Deci, conform teoremei lui Rolle exist( ) , a b astfel nct() ' 0 F = . Dar () () () () ()( )()2' ' ' '' '' ''' ...1! 1! 2!b xb x b xF x f x f x f x f x f x = + + ( )( )()()( )( )() ( )1111 ! !n npn nb x b xf x f x pb x An n+ + Aadar: ()( )( )() ( )11'!npnb xF x f x pb x An+= innd cont de aceasta se obine: ( )( )() ( )110!npnbf pb An + = . Deci ( )( )()11!n pnbA fn p+ += CuA astfel determinat, conform (1) rezult()( ) ( )( )()11!n p pnnb x aR x fn p+ + = . Dac [ ) [ ], , a x a b atunci()( ) ( )( )()11!n p pnnx x aR x fn p+ + = . Observaia 5.4.2.a)Restul()nR x dinPropoziia5.4.2senumeterestulluiTaylorsub forma general sau restul Schlmlich-Roche. Dacnrestulsubformgeneralseconsider1 p n = + seobine restul sub forma Lagrange care are evident forma:

()( )( )( )()111 !nnnx aR x fn++= +,( ) a x a = + ,( ) 0,1 Dac se consider1 p =n forma general a restului, se obine restul sub forma lui CAUCHY. ()( )( )( )()1!nnnx a xR x fn+ = sau()( )( )1 11!nn nnR x x f xn+ += ,( ) 0,1 dac0i( ) 0, x . b)ResturilesubceletreiformedinformulaluiTaylorauoimportan deosebitnstabilireaeroriiprincareformulaluiTayloraproximeazfuncia () f xprin polinomul lui Taylor()nP x . c)FormulaluiTaylorpentrufunciiareoimportanpracticdeosebit, deoarece permite tabelarea funciilor derivabile de1 n +ori. d)Dacseconsider 00 x = ,formulaluiTaylorpentrufunciicapt forma: () ( ) ()( )00!k nknkxf x f R xk== + numit formula lui Mac-Laurin pentru funcii. Propoziia5.4.3.Dac()nR x esterestuldinformulaluiTaylorpentru funcia() f xdezvoltat n jurul punctuluix a = , are loc relaia: ()( )lim 0nnxR xx a= Observaia 5.4.3.Relaiadinpropoziiaanterioarprezintoimportandeosebitn calculullimitelordiverselorfuncii,folosinddezvoltarealordupdinformulalui Taylor. Exemplu: Fie: f R R,() sin f x x = .Ssedezvoltefuncia() f x folosindformula Mac-Laurin cu restul lui Lagrange. Rezolvare: Este evident c formula Mac-Laurin cu restul lui Lagrange are forma: ()( )()( )( )( )0110! 1 !kk n nnkx xf x f f xk n++== + +,( ) 0,1 Pentru a gsi aceast dezvoltare este suficient s se gseasc( )( )0kf .

Dar se tie c( )()sin sin2k kx x = + . Atunci( )( )0 sin2kkf=rezult ( )( )10sin12sin sin! 1 ! 2n nkkknxx x xk n+= += + + + . Deci aceasta este egalitatea cu ajutorul creia se tabeleaz funciasinx . Exerciiu: S se dezvolte dup formula Mac-Laurin funciile: 1)() ( ) ln 1 f x x = +2)() ( ) ln 1 f x x = DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR 1.( ) ()()() ()( )() ()1 1' ...nn nnf g x f x g x C f x g x = + + + ()( )() ()()()1 1 n n n nn nC f x g x C f x g x + + ,( ) x (Formula Leibniz) 2.( )()sin sin2nx x n = + ,( ) x R,n N 3.( )()cos cos2nx x n = + ,( ) x R,n N 4. ()( )11 !1nnnnx x + = ,( ) { } \ 0 x R ,n N 5. ( )() nx xae ae = ,( ) x R,aR,n N 6. ( )() nm n mnmx Ax= ,( ) x R, 1 n m 7. ( )()( ) lnnnx xa a a = ,0 a > ,x R,n N 8.( )()( ) ( )11 1 !lnnnnnxx = ,x R,n N 9.( )( ) 2sh shnx x = ,( )( ) 2 1sh chnx x= ,x R,1 n 10.( )( ) 2ch chnx x = ,( )( ) 2 1ch shnx x= ,x R,1 n 11.arctg y x = ;

()() ( ) 1 !cos sin2n ny x n y y n = + ,x R,,2 2y ,1 n 12. ()( )( )11 !1nnnnx ax a+ = .

5. Seria Taylor Definiia5.5.1.Fie: f R Rofuncieindefinitderivabilnpunctul x a = .Atunciseriadeputeri ( )()()0!nnnx af an=senumeteseriaTaylor ataat funciei() f xpentrux