analiza id

CSIE 2012—2013, anul I ID, sem. 2

Analiza Matematica —Teme de curs

Cristian Neculaescu

CAPITOLUL 1

Analiza Matematica, 2102—2013

Materialul de fata este organizat în mai multe sectiuni:

(1) Programa curenta, care descrie pe scurt materialul acoperit de curs.

(2) Organizarea predarilor, care descrie:

• organizarea materialului din sectiunea 1. în teme cu predare periodica;

• continutul fiecarei predari, din doua puncte de vedere:

—teoretic (axiome, definitii, rezultate, demonstratii, exercitii teoretice)

—practic (exercitii rezolvate si propuse)

• localizarea materialului în titlurile bibliografice.

(3) Informatii despre evaluare si examinare.

(4) Subiecte la examenul de Analiza Matematica din 15.06.2012.

(5) Bibliografie, care descrie titlurile unde pot fi gasite informatiile de mai sus.

1.1. Programa curenta 2012—2013

(1) Spatii metrice si notiuni de topologie: Notiunea de distanta, Punct fix, Contractie, Teorema de

punct fix.

(2) Spatiu topologic, multime deschisa, punct aderent, punct interior, punct de acumulare, frontiera.

Functii continue pe multimi compacte.

(3) Siruri si serii de functii: Multimi numarabile, sir numeric, Limita superioara si inferioara a unui sir

numeric, Siruri fundamentale, Criteriu Cauchy de convergenta pt. siruri numerice, Serii numerice,

Serii cu termeni pozitivi, criterii de convergenta.

(4) Serii alternate, serii absolut convergente. Siruri de functii, convergenta simpla si uniforma. Pro-

prietatile sirurilor uniform convergente: continuitate, integrare termen cu termen, derivare termen

cu termen. Serii de functii. Criterii de convergenta uniforma.

3

4 1. ANALIZA MATEMATICA, 2102—2013

(5) Serii de puteri, Teorema Cauchy Hadamard, Determinarea razei de convergenta, Proprietati, Serie

Taylor, Formule Taylor, Restul sub forma Lagrange, Dezvoltare în serie de puteri a functiilor.

(6) Functii de mai multe variabile: Functii vectoriale, functii partiale, Functii reale de mai multa

variabile, Limite, limite iterate. Legatura dintre limita globala si limitele iterate. Continuitate,

Derivabilitate partiala a functiilor de mai multe variabile.

(7) Derivate partiale de ordin superior, Criteriul Schwartz, Diferentiabilitate functiilor de mai multe

variabile. Legatura dintre diferentiabilitate, derivabilitate si continuitate. Criteriul Young.

(8) Diferentala unei functii, Diferentiale de ordin superior, Formula Taylor pentru functii de mai

multe variabile, Hessiana si convexitatea functiilor, Transformari regulate.

(9) Puncte de extrem local, punct stationar, Conditia suficienta ca un punct stationar sa fie punct de

extrem local, Metoda celor mai mici patrate. Aplicatii.

(10) Dependenta functionala, Functii implicite, teorema functiilor implicite, Aplicatii în modelarea

microeconomica, Extreme cu legaturi, Aplicatii în cercetari operationale.

(11) Calcul integral, Integrale cu parametrii pe interval compact, Integrale generalizate, Integrale def-

inite pe intervale necompacte, Criterii de convergenta, Convergenta integralelor Euleriene.

(12) Masura interioara si exterioara a unei multimi, Multimi masurabile Jordan, Proprietati ale multim-

ilor masurabile, Masura unei multimi, Functii integrabile, Caracterizare.

(13) Integrala dubla, Domeniu simplu conex în raport cu una din axe. Teorema de descompunere,

Mod de calcul, Trecerea la coordonate polare cu ajutorul transformarilor regulate.

(14) Comentarii si completari, Recapitularea unor probleme teoretice, Discutii cu studentii.

1.2. Organizarea predarilor

În paranteze patrate sunt incluse sugestii de lectura pentru fiecare topic în parte. Urmatoarele observatii

sunt valabile pentru toate sugestiile:

• desi sugestiile sunt listate în ordine alfabetica, aceasta ordine nu este întotdeauna si cea mai buna

pentru lucru; se recomanda o privire peste toata informatia înainte de a începe munca

• aceste sugestii nu sunt singurele locuri unde poate fi gasita informatia respectiva

1.2. ORGANIZAREA PREDARILOR 5

• desi destule dintre sugestii contin solutii sau raspunsuri, unele sugestii pot fiincomplete (pot sa nu

contina toate informatiile necesare). Cu ocazia rezolvarii temelor, este sarcina celui care rezolva

tema sa faca rezolvari complete. Argumente de genul "rezolvarea mea este incompleta deoarece

rezolvarea de textul ... este la fel" nu sunt valide nici pentru teme, nici pentru examen.

• unele sugestii pot contine mai multa informatie decât este necesar

• unele sugestii pot contine trimiteri la alte zone de interes | pot folosi informatie care se afla în

alta parte

• sugestiile vor fi completate cu ocazia fiecarei teme

1.2.1. Predarea I.[24.03.2013]:

(1) 1. Siruri si serii numerice.

(i) Multimi numarabile si multimi nenumarabile

[[1], Cap. 1, prob. rez. 12—15, pag. 14—17], [[14], Sec. 1.2.3], [[16], Sec. 2.1, pag. 24 +

Cap. 2]

(ii) Siruri numerice. Limita, limita superioara si limita inferioara ale unui sir numeric.

[[1], Cap. 2], [[3], Sec. 12.1, 12.2], [[4], Sec. 4.1, 4.3], [[5], Cap. 5], [[8], Sec. I.3], [[9],

VII.3], [[13], Sec. 2.1], [[14], Sec. 3.1], [[16], Sec. 3.1, pag. 47, 3.2 pag. 51, 3.3 pag.

52, 3.4 pag. 55, 3.5 pag. 57 + Cap. 4]

(iii) Siruri fundamentale (Cauchy), criteriul Cauchy de convergenta pentru siruri numerice.

[[1], Cap. 2], [[3], Sec. 29.1], [[4], Sec. 4.2], [[9], VII.3], [[13], Sec. 2.1, 2.3], [[14], Sec.

3.1], [[16], Sec. 3.1, pag. 47, 3.2 pag. 51, 3.3 pag. 52, 3.4 pag. 55, 3.5 pag. 57 + Cap.

4]

(iv) Serii numerice, criterii de convergenta.

[[1], Cap. 2], [[4], Sec. 4.4, 4.5, 4.6, 4.7], [[5], Cap. 6], [[7], Sec. 5.1], [[8], Sec. VIII.1],

[[9], VII.4], [[11], Sec. 3.1], [[13], Sec. 2.4, 2.5, 2.6], [[14], Sec. 3.3, pag. 149 —Ermakov

test], [[16], Sec. 3.6, pag. 58, 3.7 pag. 61, 3.8 pag. 63, 3.9 pag. 65, 3.11 pag. 70, 3.12

pag. 71, 3.13 pag. 72, 3.14, pag. 75 + Sec. 4.5]

6

1. ANALIZA MATEMATICA, 2102—2013

(i) Convergenta simpla si convergenta uniforma pentru siruri si pentru serii de functii.

[[1], Cap. 3], [[4], Sec. 4.8, 4.9], [[5], Sec. 11.1, 11.2], [[8], Sec. VIII.2], [[9], IX.1], [[13],

Cap. 8], [[14], Sec. 3.2, 3.4, 4.8, 4.9, 5.7, 6.2], [[16], Cap. 7 + Cap. 8]

(ii) Proprietati ale convergentei uniforme: continuitate, integrare termen cu termen, derivare

termen cu termen, criterii de convergenta uniforma pentru siruri si serii de functii.

[[1], Cap. 3], [[4], Sec. 4.8, 4.9], [[5], Sec. 11.1, 11.2], [[8], Sec. VIII.2], [[9], IX.1], [[13],

Cap. 8], [[14], Sec. 3.2, 3.4, 4.8, 4.9, 5.7, 6.2], [[16], Cap. 7 + Cap. 8]

(iii) Serii de puteri. Teoremele Abel si Cauchy-Hadamard. Proprietati ale seriilor de puteri.

[[1], Cap. 3], [[4], Sec. 4.10], [[5], Sec. 11.3], [[7], Sec. 5.2], [[8], Sec. VIII.2], [[9], IX.2],

[[11], Sec. 3.2], [[13], Cap. 8], [[14], Sec. 3.4.1, 3.4.2, 5.8], [[16], Sec. 3.10 pag. 69, 8.1

pag. 172, 8.2 pag. 178, Sec. 8.3, pag. 182, 8.4, pag. 184 + Cap. 9]

(iv) Dezvoltari în Serie Taylor. Formule ale restului.

[[1], Cap. 3], [[3], Sec. 30.2], [[4], Sec. 4.11], [[5], Sec. 11.3], [[7], Sec. 5.3], [[8], Sec.

VIII.3], [[9], IX.2], [[11], Sec. 3.2], [[13], Cap. 8], [[14], Sec. 3.4.1, 3.4.2, 5.8, 5.8.1,

5.8.2], [[16], Sec. 3.10 pag. 69, 8.1 pag. 172, 8.2 pag. 178, Sec. 8.3, pag. 182, 8.4, pag.

184 + Cap. 9]

1.2.2. Predarea II. [14.04.2013]:

(1) 3. Spatii Metrice

(i) Spatii metrice si spatii metrice complete [[3], Cap. 29.4], [[4], Sec. 5.1], [[9], VII.1,

VII.2], [[13], Sec. 1.1], [[14], Cap. 2], [[16], Cap. 1, 2 + Cap. 1, 2, 3]

(ii) Principiul contractiei/teorema de punct fix.

[[13], Sec. 2.2], [[14], Sec. 4.5, 5.9], [[16], Sec. 9.3 pag. 220]

4. Notiuni de topologie

(i) Spatiu topologic, multime deschisa, închisa, punct aderent, punct interior, interiorul

unei multimi, punct de acumulare, închiderea unei multimi, frontiera.

Siruri si serii de functii.2.

1.2. ORGANIZAREA PREDARILOR 7

[[1], Cap. 1], [[3], Sec. 12.3, 12.4, ], [[4], Sec. 5.1], [[9], VII.1, VII.2], [[13], Sec. 1.1, în

special de la ex. 1.17 la 1.28], [[14], Sec. 1.2.4, 1.2.5, Cap. 2], [[16], Cap. 1, 2 + Cap.

1, 2, 3]

(ii) Multime compacta. Functii continue pe multimi compacte. Proprietati.

[[1], Cap. 1], [[3], Sec. 12.5, 29.2, 29.5], [[9], VIII.1, VIII.2], [[14], Sec. 2.3, 4.2], [[16],

Sec. 2.3, pag. 36, 2.4, pag. 41, 2.5, pag. 42, Cap. 4 + Cap. 2, 5]

1.2.3. Predarea III. [05.05.2013]:

(1) 5. Functii reale de mai multe variabile [o introducere generala în [[3], Cap. 13]]

(i) Limite, limite iterate, legatura dintre limita globala si limitele iterate.

[[1], Sec. 4.1], [[4], Sec. 5.2], [[5], Sec. 7.1, 7.2], [[7], Sec. 6.1], [[8], Sec. VI.1, VI.2],

[[9], VIII.1], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 3], [[16], Sec. 4.1, pag. 83, 4.5, pag. 94, 4.6,

pag. 95, 4.7, pag. 97 + Sec. 5.1]

(ii) Continuitate partiala si continuitate.

[[1], Sec. 4.1], [[3], Sec. 13.4], [[4], Sec. 5.2], [[5], Sec. 7.1, 7.2], [[7], Sec. 6.1], [[8], Sec.

VI.1, VI.2], [[9], VIII.2], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 4], [[14], Sec. 2.3, 4.2], [[16], Sec.

4.1, pag. 83, 4.5, pag. 94, 4.6, pag. 95, 4.7, pag. 97 + Sec. 5.1]

(iii) Derivabilitate partiala a functiilor de mai multe variabile.

[[1], Sec. 4.2], [[3], Sec. 14.1, 14.2, 14.3, 14.4, 14.5, 14.6, 14.7], [[4], Sec. 5.3], [[5], Sec.

8.1, 8.2], [[7], Sec. 6.1], [[8], Sec. VI.3], [[9], VIII.3], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 5],

[[14], Sec. 7.1, 7.3], [[16], Cap. 5, 9 + Cap. 6]

(iv) Derivate partiale de ordin superior. Criteriul Schwarz.

[[1], Sec. 4.2], [[3], Sec. 14.8], [[4], Sec. 5.4], [[5], Sec. 8.2], [[7], Sec. 6.1], [[8], Sec.

VI.7], [[9], VIII.4], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 5], [[14], Sec. 7.1, 7.4], [[16], Cap. 5, 9

+ Cap. 6]

6. Diferentiala

(i) Diferentiala unei functii. Legatura dintre diferentiabilitate, derivabilitate si continui-

tate. Criteriul lui Young.


[[1], Sec. 4.2], [[3], Sec. 14.4, 14.5, 14.7, 14.8], [[4], Sec. 5.5, 5.6], [[5], Sec. 8.1, 8.2],

[[7], Sec. 6.1], [[8], Sec. VI.4, VI.5], [[9], VIII.3], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 5], [[14],

Sec. 7.1, 7.2], [[16], Cap. 5, 9 + Cap. 6]

(ii) Diferentiale de ordin superior. Hessiana si convexitatea functiilor.

[[1], Sec. 4.2], [[3], Sec. 14.8, Cap. 21], [[5], Sec. 8.1, 8.2], [[7], Sec. 6.1], [[8], Sec.

VI.7], [[9], VIII.4], [[11], Sec. 3.3], [[13], Cap. 5], [[14], Sec. 5.6, 7.1, 7.3], [[16], Cap.

5, 9 + Cap. 6]

(iii) Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile.

[[1], Sec. 4.2], [[3], Sec. 30.3], [[4], Sec. 5.7], [[8], Sec. VI.12], [[9], VIII.4], [[14], Sec.

5.8, 7.5]

7. Extreme neconditionate.

(i) Puncte de extrem local. Punct stationar. Conditii suficient de extremalitate.

[[1], Sec. 4.3], [[3], Cap. 17, Sec. 30.4], [[4], Sec. 5.8], [[5], Sec. 8.2], [[7], Sec. 6.2.1],

[[8], Sec. VI.13, VI.14], [[9], VIII.5], [[11], Sec. 3.4], [[13], Cap. 7], [[14], Sec. 7.6]

(ii) Metoda celor mai mici patrate [[3], Sec. 17.5], [[4], Sec. 5.9], [[7], Sec. 6.3], [[11], Sec.

3.5]

8. Teorema functiilor implicite.

(i) Transformari regulate. Dependenta functionala.

[[1], Sec. 4.4], [[8], Sec. VI.10], [[9], VIII.4], [[13], Sec. 6.3, 6.4, 6.5], [[16], Cap. 5, 9 +

Cap. 6]

(ii) Functii implicite, Teorema functiilor implicite.

[[1], Sec. 4.4], [[3], Cap. 15], [[5], Sec. 8.3], [[8], Sec. I.1, II.3, II.5, VI.9], [[9], VIII.4],

[[13], Sec. 6.1, 6.2], [[14], Sec. 7.3.1], [[16], Cap. 5, 9 + Cap. 6]

9. Extreme conditionate.

(i) Conditii necesare de optimalitate.

[[1], Sec. 4.3], [[3], Cap. 18, 19], [[5], Sec. 8.3], [[7], Sec. 6.2.2], [[8], Sec. VI.13, VI.14],

[[9], VIII.5], [[11], Sec. 3.4], [[13], Cap. 7], [[14], Sec. 7.6]

1.3. EVALUARE SI EXAMINARE 9

(ii) Conditii suficiente.

[[1], Sec. 4.3], [[3], Sec. 19.3, 30.5], [[5], Sec. 8.3], [[7], Sec. 6.2.2], [[8], Sec. VI.13,

VI.14], [[9], VIII.5], [[11], Sec. 3.4], [[13], Cap. 7], [[14], Sec. 7.6]

1.2.4. Predarea IV [26.05.2013]:

(1) 10. Calcul integral [o recapitulare de metode de liceu în [[5], Sec. 10.1, 10.2], [[8], Cap. IV, V]]

(i) Integrale cu parametri pe interval compact.

[[5], Sec. 10.4], [[8], Sec. VII.8], [[13], Sec. 9.4], [[14], Sec. 8.5], [[16], Sec. 9.9 pag.

236]

(ii) Integrale pe intervale necompacte. Criterii de convergenta.

[[4], Sec. 6.1, 6.2, 6.3], [[5], Sec. 10.3], [[7], Sec. 7.1], [[8], Sec. V.3, VII.8], [[11], Sec.

3.6], [[13], Sec. 9.3], [[14], Sec. 6.3]

(iii) Integrala euleriana gamma. Integrala euleriana beta. Integrala Euler —Poisson.

[[4], Sec. 6.4], [[7], Sec. 7.1], [[10], Cap. 1, 2], [[11], Sec. 3.6], [[14], Sec. 6.4], [[16],

Sec. 8.6, 192]

(iv) Integrala dubla (coordonate carteziene/polare).

[[5], Sec. 10.6], [[7], Sec. 7.2], [[8], Sec. VII.1, VII.2, VII.8], [[11], Sec. 3.6], [[13], Sec.

11.1, 11.2], [[14], Sec. 8.1]

1.2.5. Predarea V [02.06.2013]:

(1) 11. Recapitulare

1.3. Evaluare si examinare

• Nota finala la acest curs va stabilita ca medie ponderata a doua note: 0, 7×NE + 0, 3×NT

—Nota obtinuta la examenul final NE (cu pondere 70%)

—Nota acordata rezolvarii temelor de control NT (cu pondere 30%).

• Sunt 5 teme de control (5 predari);

—nota pentru temele de control NT va fimedia obisnuita a celor 5 note.

—fiecare va fi notata de la 1 la 10:


∗ nota 1: tema este predata si nu contine nimic;

∗ nota 10: tema este predata si este perfecta;

∗ nota 0: tema nu este predata.

• Temele/predarile vor postate pe platforma online, în zona alocata fiecareia. Fiecare predare va

consta într—un unic fisier pdf, numit "1_Nume_prenume.pdf" (pentru predarea 1) sau "2_Nume_prenume.pdf"

(pentru predarea 2), etc. Fiecare fisier va contine scanarile paginilor scrise de mâna.

• Nota fiecarei teme va tine cont de completitudinea rezolvarilor si de respectarea termenelor de

predare. Dupa termenul de predare nu va fi interzisa predarea, dar întârzierea poate fipenalizata.

În plus, pot fi verificate corelari dintre teme si examen, cum ar fi: similaritatea scrisului de mâna

si existenta si corectitudinea rezolvarilor din teme comparativ cu rezovarile din examen.

• Structura biletului de examen va fi similara atât cu biletul de examen de la învatamântul de zi

cât si cu anii anteriori. La sfâsitul acestui document este inclus subiectul de examen din 15 iunie

2012, împreuna cu unele rezolvari si comentarii. Ca reguli generale, vor fi urmarite:

—Subiectul va acoperi întreaga materie

—Subiectul va contine parte practica (exercitii care trebuie rezolvate) si parte teoretica (definitii,

enunturi si exercitii teoretice)

—Vor fi anuntate punctajele pentru fiecare subiect

—Punctajul va fi acordat pentru completitudinea cu care se explica modul de rezolvare a

subiectului. Corectura va fi de tip clasic (punctajul este acordat pâna la prima greseala)

—Pot fiacordate punctaje suplimentare pentru rezolvari care trebuie sa fie mai laborioase decât

punctajul din examen.

—Studentii care comit fraude sunt dati afara din examen (fara nota). Fraudele sunt definite

de regulamentele ASE si includ primirea si/sau oferirea de informatii în timpul examenului

scris.

Varianta A

Subiectul I (2 puncte)

(1.pct.) a) Se consideră seria de puteri , pentru . Aflaţi mulţimea de

convergenţă şi calculaţi suma seriei pentru valorile din mulţimea de convergenţă.

(1.pct.) b) Să se studieze convergenţa simplă şi uniformă a şirului de funcţii

.

Subiectul II (2 puncte)

(1.pct.) a) Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei , cu legătura .

(1.pct.) b) Sistemul defineşte implicit şi ca funcţii de şi .

Să se afle derivatele parţiale , , , .

Subiectul III (2 puncte)

(1.pct.) a) Să se calculeze integrala , folosind derivarea sub semnul integralei.

(1.pct.) b) Desenaţi domeniul

şi calculaţi integrala .

Subiectul IV (3 puncte)

(0,5.pct.) 1) Definiţi, într-un spaţiu topologic, noţiunea de punct aderent al unei mulţimi.

(0,5.pct.) 2) Definiţi noţiunea de integrală improprie convergentă (cazul limitelor / capetelor infinite).

(0,5.pct.) 3) Daţi exemplu de funcţie spaţiu metric complet, care nu este

contracţie.

Justificaţi răspunsul.

(0,5.pct.) 4) Fie , .

Determinaţi diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei în , în situaţia în care ea există.

Justificare.

(0,5.pct.) 5) Fie , .

Determinaţi matricea hessiană folosind definiţia derivatelor parţiale.

(0,5.pct.) 6) Enunţaţi un criteriu suficient privind convergenţa uniformă a unui şir de funcţii.

Subiecte la examenul de Analiză Matematică din 15.06.2012

Varianta B


(1.pct.) a) Se consideră seria de puteri , pentru . Aflaţi mulţimea de convergenţă şi

calculaţi suma seriei pentru valorile din mulţimea de convergenţă.


.


(1.pct.) a) Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei cu legătura

.






şi calculaţi .


(0,5.pct.) 1) Definiţi, într-un spaţiu topologic, noţiunea de punct frontieră al unei mulţimi.

(0,5.pct.) 2) Definiţi noţiunea de convergenţă uniformă a unui şir de funcţii.

(0,5.pct.) 3) Fie un interval închis şi o funcţie derivabilă pentru care

. Demonstraţi că este contracţie.

(0,5.pct.) 4) Fie , .

Determinaţi diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei în 0,2 .

(0,5.pct.) 5) Fie , .

Determinaţi: matricea hessiană folosind definiţia derivatelor parţiale.

(0,5.pct.) 6) Enunţaţi criteriul necesar şi suficient a lui Cauchy privind convergenţa uniformă a unui şir de

funcţii.

Varianta C





.


(1.pct.) a) Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei cu legătura

.






şi calculaţi .


(0,5.pct.) 1) Definiţi, într-un spaţiu topologic, noţiunea de punct de acumulare al unei mulţimi.

(0,5.pct.) 2) Definiţi noţiunea de limită superioară a unui şir de numere reale.

(0,5.pct.) 3) Daţi exemplu de contracţie pentru care nu este spaţiu metric complet.


(0,5.pct.) 4) Fie , .

Determinaţi diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei în (0,3) .

(0,5.pct.) 5) Fie , .

Determinaţi matricea hessiană folosind definiţia derivatelor parţiale.

(0,5.pct.) 6) Enunţaţi teorema de derivare a integralelor depinzând de parametru (cazul limitelor /

capetelor variabile).

Set de subiecte : varianta D





.


(1.pct.) a) Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiei cu legătura .






şi calculaţi .


(0,5.pct.) 1) Definiţi, într-un spaţiu topologic, noţiunea de punct interior al unei mulţimi.

(0,5.pct.) 2) Definiţi noţiunea de transformare regulată.

(0,5.pct.) 3) Cum poate fi folosit principiul contracţiei pentru a afla rădacina reală a ecuaţiei .


(0,5.pct.) 4) Fie , .

Determinaţi diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei în (4,0 ) , în situaţia în care ea există.

Justificare.

(0,5.pct.) 5) Fie , .

Determinaţi: matricea hessiană şi precizaţi natura sa.

(0,5.pct.) 6) Enunţaţi criteriul necesar şi suficient a lui Cauchy privind convergenţa unui şir de funcţii.

Sunt prezentate rezolvarile unora dintre subiectele de pe biletul de examen. Rezolvarile prezentate pot avea mai multe

detalii decât necesarul pentru obtinerea punctajului maxim, sau pot avea omise detalii care intra în grila de corectura (si

care au fost omise pentru ca au fost considerate subîntelese). Motivul principal al acestei prezentari este pregatirea restantei.


[Varianta A:] (1 punct) a) Se considera seria de puteri∞∑n=1

(−1)n

n!(2x+ 5)

n, pentru x ∈ R. Aflati multimea de convergenta

si calculati suma seriei pentru valorile x din multimea de convergenta.

Sol:∞∑n=1

(−1)n

n!(2x+ 5)

n=∞∑n=1

[− (2x+ 5)]n

n!= e−(2x+5) − 1, x ∈ R.

[S—a folosit formula cunoscuta pentru dezvoltarea în serie MacLaurin a functiei exponentiale, inclusiv domeniul]

[Varianta B:] (1 punct) a)∞∑n=1

2n

5n(6x− 1)

n, pentru x ∈ R.

Sol:

Se aplica formula∞∑n=0

xn =1

1− x , x ∈ (−1, 1).

∞∑n=1

2n

5n(6x− 1)

n=∞∑n=1

(2 (6x− 1)

5

)n=

2 (6x− 1)

5· 1

1− 2 (6x− 1)

5

=2 (6x− 1)

5· 5

−12x+ 7=

12x− 2

7− 12x,

∣∣∣∣2 (6x− 1)

5

∣∣∣∣ <1 ⇐⇒

⇐⇒ |6x− 1| < 5

2⇐⇒ −5

2< 6x− 1 <

5

2⇐⇒ −3

2< 6x <

7

2⇐⇒ −1

4< x <

7

12⇐⇒ x ∈

(−1

4,

7

12

).

(1 punct) b) Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a sirului de functii fn (·) : R→ R, fn (x) =x2

n+ 1.

Sol:

∀x ∈ R fixat, ∃ limn→∞

x2

n+ 1= 0 ⇒ fn (·) converge simplu pe R catre functia nula f (·) : R→ R, f (x) = 0, ∀x ∈ R.

Sirul (fn (·))n nu converge uniform catre f (·), deoarece pentru xn = (n+ 1)2 (de exemplu), sirul numeric fn (xn) =

(n+ 1)2

n+ 1= n+ 1→∞ (pentru a gasi un exemplu corespunzator de sir, se considera sup

x∈Rfn (x) =∞ —care depinde de n, si

se cauta un sir care atinge valoarea suprema)


(1 punct) a) Determinati punctele de extrem local ale functiei f (x, y) = x− 2y, cu legatura x2 − y2 = −9.

Sol:

L (x, y;λ) = x− 2y + λ(x2 − y2 + 9

)∂L

∂x(x, y;λ) = 1 + 2λx

1

∂L

∂y(x, y;λ) = −2− 2λy

Se rezolva sistemul:1 + 2λx = 0

−2− 2λy = 0

x2 − y2 = −9

⇒ λ 6= 0, x 6= 0, y 6= 0 si

x = − 1

2λ

y = − 1

λ1

4λ2 −1

λ2 = −9⇒ 3

4λ2 = 9⇒ λ2 =1

12⇒ λ = ± 1

2√

3

⇒

⇒(− 1

4√

3,− 1

2√

3;

1

2√

3

)si(

1

4√

3,

1

2√

3;− 1

2√

3

)sunt puncte stationare.

Se studiaza punctul(− 1

4√

3,− 1

2√

3;

1

2√

3

):

Se considera functia (x, y) 7→ x− 2y +1

2√

3

(x2 − y2 + 9

)= L

(x, y;

1

2√

3

)

Hessiana acestei functii este: H(x, y;

1

2√

3

)=

1√3

0

0 − 1√3

Diferentiala ei este functionala patratica d2L

(x, y;

1

2√

3

)=

1

2√

3dx2 − 1√

3dy2

Diferentiala legaturii este 2xdx− 2ydy = 0, care în punctul studiat devine − 1

4√

3dx+

1

2√

3dy = 0⇒ dx = 2dy

Se restrictioneaza d2L

(x, y;

1

2√

3

)la diferentiala legaturii:

1

2√

3dx2 − 1√

3dy2

∣∣∣∣dx=2dy

=1

2√

3(2dy)

2− 1√3dy2 =

(2√3− 1√

3

)dy2 =

1√3dy2, care este o functionala patratica pozitiv

definita.

Se obtine ca punctul studiat(− 1

4√

3,− 1

2√

3;

1

2√

3

)este punct de minim conditionat.

Se studiaza punctul(

1

4√

3,

1

2√

3;− 1

2√

3

):

Se considera functia (x, y) 7→ L

(x, y;− 1

2√

3

)= x− 2y − 1

2√

3

(x2 − y2 + 9

)Hessiana acestei functii este: H

(x, y;− 1

2√

3

)=

−1√3

0

01√3

Diferentiala ei este functionala patratica d2L

(x, y;

1

2√

3

)= − 1

2√

3dx2 +

1√3dy2

Diferentiala legaturii este 2xdx− 2ydy = 0, care în punctul studiat devine1

4√

3dx− 1

2√

3dy = 0⇒ dx = 2dy

Se restrictioneaza d2L

(x, y;

1

2√

3

)la diferentiala legaturii:

2

1

2√

3dx2 − 1√

3dy2

∣∣∣∣dx=2dy

=1

2√

3(2dy)

2− 1√3dy2 =

(2√3− 1√

3

)dy2 =

1√3dy2, care este o functionala patratica pozitiv

definita.

Se obtine ca punctul studiat(

1

4√

3,

1

2√

3;− 1

2√

3

)este punct de minim conditionat.

(1 punct) b) Sistemul

x+ y + u+ v = 1

x2 + y2 + u2 + v2 = 1defineste implicit u si v ca functii de x si y. Sa se afle derivatele partiale

∂u

∂x(x, y),

∂u

∂y(x, y),

∂v

∂x(x, y),

∂v

∂y(x, y).

Sol:

Se presupune ca toate conditiile din Teorema Functiilor Implicite sunt satisfacute.

Se rescrie sistemul cu explicitarea dependentelor functionale: x+ y + u (x, y) + v (x, y) = 1

x2 + y2 + u2 (x, y) + v2 (x, y) = 1

În acest sistem, u (·, ·) si v (·, ·) sunt functii care sunt bine definite (cu Teorema Functiilor Implicite), care satisfac sistemul,

dar care nu pot fi aflate efectiv/explicit.

Sistemul se deriveaza partial în raport cu x:1 +

∂u

∂x(x, y) +

∂v

∂x(x, y) = 0

2x+ 2u (x, y) · ∂u∂x

(x, y) + 2v (x, y) · ∂v∂x

(x, y) = 0⇒

∂u

∂x(x, y) +

∂v

∂x(x, y) = −1

2u (x, y) · ∂u∂x

(x, y) + 2v (x, y) · ∂v∂x

(x, y) = −2x

Se obtine:∂u

∂x(x, y) =

−2v + 2x

2v − 2u=

x− v (x, y)

v (x, y)− u (x, y)∂v

∂x(x, y) =

−2x+ 2u

2v − 2u=

u (x, y)− xv (x, y)− u (x, y)

Sistemul se deriveaza partial în raport cu y:1 +

∂u

∂y(x, y) +

∂v

∂y(x, y) = 0

2y + 2u (x, y) · ∂u∂y

(x, y) + 2v (x, y) · ∂v∂y

(x, y) = 0⇒

∂u

∂y(x, y) +

∂v

∂y(x, y) = −1

2u (x, y) · ∂u∂y

(x, y) + 2v (x, y) · ∂v∂y

(x, y) = −2y

Se obtine:∂u

∂y(x, y) =

−2v + 2y

2v − 2u=

y − v (x, y)

v (x, y)− u (x, y)∂v

∂x(x, y) =

−2y + 2u

2v − 2u=

u (x, y)− yv (x, y)− u (x, y)


(1 punct) a) Sa se calculeze integrala I (y) =y∫0

ln (1 + xy)

1 + x2dx, folosind derivarea sub semnul integralei.

3

Sol:

Functia I (y) =y∫0

ln (1 + xy)

1 + x2dx se deriveaza folosind Teorema de derivare a integralei parametrizate:

I ′ (y) =∂

∂y

(y∫0

ln (1 + xy)

1 + x2dx

)=

y∫0

∂

∂y

(ln (1 + xy)

1 + x2

)dx+

ln (1 + xy)

1 + x2

∣∣∣∣x=y

· 1 =

=y∫0

x

(xy + 1) (x2 + 1)dx+

ln(1 + y2

)1 + y2

.

[∂

∂y

(ln (1 + xy)

1 + x2

)=

x

(xy + 1) (x2 + 1)]

Se calculeaza integralay∫0

x

(xy + 1) (x2 + 1)dx:

Se descompune fractia de sub integrala în fractii simple; necunoscuta este x [deoarece integrarea se face dupa x] iar y

este considerat parametru.x

(xy + 1) (x2 + 1)=

A

xy + 1+Bx+ C

x2 + 1=A(x2 + 1

)+ (Bx+ C) (xy + 1)

(xy + 1) (x2 + 1)=

(A+By)x2 + (B + Cy)x+ (A+ C)

(xy + 1) (x2 + 1)⇒

⇒

A+By = 0

B + Cy = 1

A+ C = 0

⇒

A = −By

B + Cy = 1

−By + C = 0

⇒

By + Cy2 = y

−By + C = 0⇒ C

(y2 + 1

)= y ⇒

C =y

1 + y2,

B = 1− Cy = 1− y2

1 + y2=

1

1 + y2,

A = −By = − y

1 + y2.

⇒ x

(xy + 1) (x2 + 1)=

− y

1 + y2

xy + 1+

1

1 + y2x+

y

1 + y2

x2 + 1=

1

1 + y2

[−y

xy + 1+

x+ y

x2 + 1

]y∫0

x

(xy + 1) (x2 + 1)dx =

y∫0

1

1 + y2

[−y

xy + 1+

x+ y

x2 + 1

]dx =

1

1 + y2

[y∫0

−yxy + 1

dx+y∫0

x+ y

x2 + 1dx

]=

=1

1 + y2

− y∫0

∂

∂x(xy + 1)

xy + 1dx+

1

2

y∫0

2x

x2 + 1dx+

y∫0

y

x2 + 1dx

=

=1

1 + y2

[− ln (xy + 1)|x=y

x=0 +1

2ln(x2 + 1

)∣∣x=y

x=0+ y arctanx|x=y

x=0

]=

=1

1 + y2

[− ln

(y2 + 1

)+

1

2ln(y2 + 1

)+ y arctan y

]Se obtine:y∫0

x

(xy + 1) (x2 + 1)dx =

1

1 + y2

[− ln

(y2 + 1

)+

1

2ln(y2 + 1

)+ y arctan y

]Deci:

4

I ′ (y) =1

1 + y2

[− ln

(y2 + 1

)+

1

2ln(y2 + 1

)+ y arctan y

]+

ln(1 + y2

)1 + y2

=1

1 + y2

[1

2ln(y2 + 1

)+ y arctan y

]1

2

ln(y2 + 1

)1 + y2

+y arctan y

1 + y2∫ ln(y2 + 1

)1 + y2

dy =∫y′

ln(y2 + 1

)1 + y2

dy =1

2

∫ (ln(1 + y2

))′ · ln (1 + y2)dy =

1

2ln2(1 + y2

)− 1

2

∫ln(1 + y2

)· 2y

1 + y2dy ⇒

⇒ 2∫ ln

(y2 + 1

)1 + y2

dy =1

2ln2(1 + y2

)⇒∫ ln

(y2 + 1

)1 + y2

dy =1

4ln2(1 + y2

)∫ y arctan y

1 + y2dy =

1

2

∫ (ln(y2 + 1

))′arctan y · dy =

1

2ln(y2 + 1

)· arctan y − 1

2

∫ln(y2 + 1

)· 1

1 + y2dy =

1

2ln(y2 + 1

)·

arctan y − 1

8ln2(1 + y2

)[se foloseste integrala calculata anterior]

Se obtine:

I (y) =∫ [1

2

ln(y2 + 1

)1 + y2

+y arctan y

1 + y2

]dy =

=∫ ln

(y2 + 1

)1 + y2

dy +∫ y arctan y

1 + y2dy =

1

8ln2(1 + y2

)+

1

2ln(y2 + 1

)· arctan y − 1

8ln2(1 + y2

)+ C

⇒ I (y) =1

2ln(y2 + 1

)· arctan y + C

Se observa ca forma initiala a integralei

I (y) =y∫0

ln (1 + xy)

1 + x2dx ia, în y = 0, valoarea 0: I (0) = 0, asa ca se poate obtine constanta C din aceasta conditie:

I (y) =1

2ln(y2 + 1

)· arctan y + C ⇒ I (0) = 0 + C ⇒ C = 0

⇒ I (y) =1

2ln(y2 + 1

)· arctan y.

(1 punct) b) Desenati domeniul D = {(x, y) ; x ≥ y; y ≥ −2; x+ y ≤ 1} si calculati integrala∫∫D

(2x− 3y) dxdy.

∫∫D

(2x− 3y) dxdy =1/2∫−2

(x∫−2

(2x− 3y) dy

)dx+

3∫1/2

(1+x∫−2

(2x− 3y) dy

)dx =

x∫−2

(2x− 3y) dy =

(2xy − 3

2y2

)y=x

y=−2

=

(2x2 − 3

2x2

)−(−4x− 3

2· 4)

=1

2x2 + 4x+ 6

1+x∫−2

(2x− 3y) dy =1

2(x+ 3)

2

∫∫D

(2x− 3y) dxdy =1/2∫−2

(1

2x2 + 4x+ 6

)dx+

3∫1/2

(1

2(x+ 3)

2

)dx =

905

24

Subiectul IV

(0,5 puncte) 5) Fie f (·, ·) : R× R→ R, f (x, y) =

x4 − 2y4

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

. Determinati matricea Hessiana ∆ =

Hf (0, 0) folosind definitia derivatelor partiale.

Sol:

5

6

f ′x (x0, y0) = limx→x0

f (x, y0)− f (x0, y0)

x− x0

Hessiana: Hf (0, 0) =

f ′′x2 (0, 0) f ′′xy (0, 0)

f ′′xy (0, 0) f ′′y2 (0, 0)

f ′′x2 (0, 0) = (f ′x (x, y))

′x (0, 0) = lim

x→0

f ′x (x, 0)− f ′x (0, 0)

x− 0

f ′x (0, 0) = limx→0

f (x, 0)− f (0, 0)

x− 0= lim

x→0

x2 − 0

x− 0= 0.

f ′x (x, 0) = limx→x

f (x, 0)− f (x, 0)

x− x = limx→x

f (x, 0)− f (x, 0)

x− x = limx→x

x2 − x2

x− x = limx→x

(x+ x) = 2x.

f (x, 0) =x4

x2= x2

f (x, 0) = x2

f ′′x2 (0, 0) = limx→0

f ′x (x, 0)− f ′x (0, 0)

x− 0= lim

x→0

2x− 0

x− 0= 2.

f ′′xy (0, 0) = (f ′x (x, y))′y (0, 0) = lim

y→0

f ′x (0, y)− f ′x (0, 0)

y − 0

f ′x (0, y) = limx→0

f (x, y)− f (0, y)

x− 0= lim

x→0

x4 − 2y4

x2 + y2+ 2y2

x− 0= lim

x→0

x4 + 2x2y2

x (x2 + y2)= 0

f (0, y) =0− 2y4

0 + y2= −2y2

f (x, 0) = x2

f ′′xy (0, 0) = limy→0

f ′x (0, y)− f ′x (0, 0)

y − 0= lim

y→0

0− 0

y − 0= 0.

f ′′y2 (0, 0) =(f ′y (x, y)

)′y

(0, 0) = limy→0

f ′y (0, y)− f ′y (0, 0)

y − 0

f ′y (0, 0) = limy→0

f (0, y)− f (0, 0)

y − 0= lim

y→0

−2y2 − 0

y − 0= 0

f ′y (0, y) = limy→y

f (0, y)− f (0, y)

y − y = limy→y

−2y2 + 2y2

y − y = −2 limy→y

(y + y) = −2y

f ′′y2 (0, 0) = limy→0

f ′y (0, y)− f ′y (0, 0)

y − 0= lim

y→0

−2y − 0

y − 0= −2.

Hf (0, 0) =

2 0

0 −2

7

42

20

42z

2

40

4

x 42

20

00

y

0

[Varianta D]

Subiectul IV

3) Cum poate fi folosit principiul contractiei pentru a afla radacina reala a ecuatiei x3 − 7 = 0?

Sol:

Rezolvarea este o aplicatie a procedurilor care pot fi citite în 2.51, 2.52, 2.53 (Metoda lui Newton), sectiunea 2.2, pag. 31

din Ispas § Procopiuc (vezi bibliografia cursului).

Ecuatia x3 − 7 = 0 este o ecuatie care are o radacina unica, 3√

7.

Ecuatia este de forma h (x) = 0, cu h (x) = x3 − 7

Se considera functia f (x) = x− h (x)

h′ (x)= x− x3 − 7

3x2=

2

3x− 7

3· 1

x2.

Proprietatile functiei f (·):

• f(3√

7)

= 3√

7−(3√

7)3 − 7

3(3√

7)2 = 3

√7 (deci 3

√7 este punct fix al lui f (·))

• f ′ (x) =2(x3 − 7

)3x3

=2

3− 14

3x3

• 2

3≥ f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 3

√7,∞):

8

pt x ≥ 3√

7, x3 ≥ 7 ⇒ 3x3 ≥ 21 ⇒ 0 ≤ 1

3x3≤ 1

21⇒ 0 ≤ 14

3x3≤ 14

21=

2

3⇒ 0 ≥ − 14

3x3≥ −2

3⇒ 2

3≥ 2

3− 14

3x3≥

2

3− 2

3= 0⇒ 2

3≥ 2

3− 14

3x3≥ 0

• f (x) = x− x3 − 7

3x2=

2

3x− 7

3· 1

x2este contractie pe [ 3

√7,∞):

Se folosesc punctele anterioare:

f(3√

7)

= 3√

7 si f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 3√

7,∞) ⇒ f (·) ↗ (crescatoare) pe [ 3√

7,∞), asa ca f (x) ≥ 3√

7, ∀x ∈ [ 3√

7,∞), deci

poate fi considerata functia f (·) : [ 3√

7,∞)→ [ 3√

7,∞).

|f ′ (x)| ≤ 2

3, ∀x ∈ [ 3

√7,∞) ⇒ ∀x, y ∈ [ 3

√7,∞), ∃cx,y între x si y, astfel încât |f (x)− f (y)| ≤ |f ′ (cx,y)| · |x− y| ≤

2

3|x− y|

Se aplica Principiul Contractiei si se obtine ca pentru orice x0 ∈ [ 3√

7,∞), sirul xn+1 = f (xn) adica xn+1 =2

3xn−

7

3· 1

x2n

converge la punctul fix, care este 3√

7.

Unul dintre avantajele procedurii este ca, daca x0 este natural (de exemplu, în cazul nostru, x0 = 2), sirul generat este

un sir de numere rationale care tinde la numarul irational 3√

7; aceasta caracteristica permite aplicarea procedurii pentru

introducerea de numere irationale în medii de programare pe computer care nu au acces decât la numere rationale. Mai

mult, procedura contine si metode de aproximare a erorii (care nu au fost incluse în exercitiu).

9


Urmatoarea lista este o lista de titluri bibliografice, în ordine alfabetica. La sfârsitul fiecarei intrari

sunt indicate informatiile:

• Tip general [Teorie/Culegere de probleme]

• Capitolele recomandate [recomandarea nu trebuie privita ca o interdictie de a citi alte capitole]

• Alte informatii:

—TE [enunturi de teorie]

—TD [teorie cu demonstratii —de obicei contine si TE]

—ER [exercitii rezolvate]

—EP [exercitii propuse]

—RR [recapitulare]

—SS [suplimentar]

—AE [Aplicatii în Economie]

—ACS [Aplicatii în Informatica/Computer Science]

—ENG [În limba Engleza]

—VIP [Titlu foarte important/apreciat din punct de vedere international —referinta primara

internationala]

—La unele titluri sunt precizate ca note de subsol si detalii despre structura documentelor.

Bibliografie

[1] Baz, Sorin; Iftimie, Bogdan; Manu—Iosifescu, Liana; Raischi, Constantin: Analiza Matematica, Culegere de probleme

pentru anul I, Editura ASE, Bucuresti, 2000 [Culegere de probleme, integral] [EP, ER].1

[2] Bluman, George, W.: Problem book for first year calculus, Springer, 1984 [ENG, ER, EP, RR, AE, ACS].2

[3] Blume, Lawrence; Simon, Carl, P.: Mathematics for Economists, W. W. NORTON & COMPANY, NEW YORK,

LONDON, 1994 + Blume, Lawrence; Simon, Carl, P.: Mathematics for Economists — Answers Pamphlet, W. W.

NORTON & COMPANY, NEW YORK, LONDON, 1994 [ENG, VIP, TD, ER, EP, RR, SS, AE].3

[4] Cenusa, Gheorghe; Raischi, Constantin; Serban, Radu: Matematici pentru economisti, Curs în format digital, Biblioteca

digitala ASE [Teorie, Cap. 4, 5, 6] [TD, ER].4

[5] Chirita, Stan: Probleme de Matematici Superioare, Editura Didactica si Pedagogica, 1989 [Culegere de probleme, Cap.

1, 5, 6, 7, 8, 10, 11] [TE, ER, EP, RR].

[6] Chites, Petriceanu: Manual pentru clasa 11, Ed Teora, 2002 [TD, ER, EP, RR].5

[7] Dedu, Silvia; Serban, Florentin: Matematici aplicate în economie —culegere de probleme, Tipogrup Press, 2005 [Culegere

de probleme, cu mici rezumate teoretice, ER, EP].6

[8] Demidovich, B.: Problems in mathematical analysis, MIR, Moscou, 1970 [ENG, ER, EP, RR].7

1Culegerea nu contine nimic referitor la integrale.2Acest titlu a fost inclus în special pentru exemplele de aplicatii în domenii nematematice.3Anexa 4 contine integrale la nivel de clasa a XII—a, si este interesanta pentru recapitulare si pentru interpretari economiceale derivatelor. Nu sunt abordate integrale de nivel mai ridicat.Anexa 6 (pag. 913|899) contine unele raspunsuri la exercitii. În plus, de la pag. 945 pot figasite alte raspunsuri. Sunt exercitiiîn carte care nu au raspuns inclus.

4Textul contine teoria pentru aproape toate temele cursului, iar aproape la fiecare topic exista câte un exemplu.5Inclus în special din motive de recapitulare.6Versiunea citata este mai veche decât cea care poate fi gasita în comert, asa ca trimiterile pot fi decalate (din punct devedere al paginii).Lucrarea prezinta rezultatul unui efort considerabil din partea autorilor, de acoperire a nivelului de baza necesar pentrucursurile de Matematica ale anului I din ASE. Topicile acoperite ofera un binevenit prim contact cu exercitii rezolvate sipropuse.7O culegere deosebita, care demostreaza zicala: "cartile sunt ca vinul: cu cât sunt mai vechi, cu atât mai valoroase".Culegerea acopera doua zone de interes: recapitularea de liceu, facuta din perspectiva anului I de facultate, si o buna partedin necesarul anului I.Stilul culegerii este unul dintre cele mai prietenoase pe care le—am întâlnit: cunostintele sunt acoperite sistematizat, cu câteun exercitiu rezolvat urmat de o lista de exercitii propuse —exercitii de antrenament. Autorii sunt dintre acei autori carenu—si propun sa ajunga la Olimpiade cu cititorii lor.

13

14 BIBLIOGRAFIE

[9] Dragusin, Constantin; Dragusin, Lucia; Radu, Constantin: Aplicatii de Algebra, Geometrie si Matematici Speciale,

Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1991. [Culegere de probleme, Cap. VII, VIII, IX] [TE, ER, EP, RR].

[10] Farrell, Orin, J.; Ross, Bertram: Solved problems in Analysis — as applied to Gamma, Beta, Legendre and Bessel

functions, Dover Publications Inc. New—York, 1971 [ENG, TD, ER, ACS, SS].8

[11] Filip, Argentina: Matematici aplicate în Economie, Curs în format digital, Biblioteca digitala ASE [Culegere de prob-

leme, Cap. 3] [ER, EP].9

[12] Garrett,Paul: Calculus Refresher, version 2008.4, http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf,

last accessed on 02.03.2012 [ENG, TE, ER, EP, RR].10

[13] Ispas, Mihai; Procopiuc, Gheorghe: Analiza Matematica - CULEGERE DE PROBLEME, Iasi, 2002,

http://analizam.neuron-media.ro/, last accessed on 02.03.2012 [este recomandat tot site—ul autorilor, pentru alte in-

formatii] [ER, RR].

[14] Muresan, Marian: A Concrete Approach to Classical Analysis, Springer, 2009 [ENG, TD, EP, RR, SS, ACS]11.

[15] Neculaescu, Cristian; Veghes, Ovidiu: Note de curs pentru Analiza Matematica, draft, platforma online a cursului.12.

[16] Rudin, Walter: Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw—Hill, Inc.1953, 1964, 1976 [VIP, ENG,

TD, ER, EP]13 + Silvia, Evelyn M.: COMPANION NOTES A Working Excursion to Accompany Baby Rudin, 199914.

[17] Safier, Fred: Precalculus, Second Edition, The McGraw—Hill Companies, Inc.1998, 2009 [ENG, ER, EP, RR].15

8Aceasta carte se ocupa excusiv de functiile speciale Gamma, Beta, Legendre si Bessel, si unele aplicatii ale lor. este unulduntre foarte putinele texte existente, care se ocupa exclusiv de aceste topici.9Numerotarile de capitole/sectiuni/subsectiuni ar fi putut fimult mai bune.10Inclus din motive de recapitulare.11Este un material foarte bogat în informatie teoretica pentru Analiza Matematica. În plus, materialul urmareste cu con-secventa aplicatii în Computer Science ale zonei clasice de Analiza —este vorba despre zona numita de obicei "ComputationalAnalytic Theory"; aceasta zona este prezentata în cele mai multe texte ca o extindere dinspre Analiza Complexa, asa ca tex-tul lui Marian Muresan, care prezinta aceeasi zona dar din perspectiva Analizei Reale, este o raritate binevenita. Probabil camaterialul nu este usor de citit pentru începatori —printre motive ar fi ca exercitiile propuse nu au rezolvari, iar numerotarilefolosite în text ar fi putut fimult mai bine facute.12Acest material este în forma incipienta [versiune α —nici macar β] si are o gramada de lipsuri; s—a ales totusi sa fie pus asacum este la dispozitia studentilor, pentru ca se pare ca studentilor li se pare folositor un asemenea material [chiar neterminatfiind, sunt vizibile anumite alegeri, preferinte si stil]. Autorilor pe de alta parte le este de folos sa afle impresii din partea celorcare folosesc materialul. Materialul nu are foarte multe rezultate originale [si daca ar avea, probabil ca ar fi gresit, deoarecesubiectul cursului este unul clasic: în câte moduri diferite poti spune tabla înmultirii?], dar ponderile alocate diverselor topicipot fidiferite, iar scopul declarat este "Analiza la nivel maxim de abstractizare, cu aplicatii Economice si Computer Science".13Walter Rudin, 02.05.1921—20.05.2010.Textul este a treia editie a cartii numita cu afectiune [de catre cei care au citit—o] "Baby Rudin". Textul este pur si simpluelegant si profund, si îl recomand cu placere studentilor. Sectiunile cartii nu sunt numerotate, asa ca vor fi apelate dupanumarul paginii de început din carte.14Desi notele care acompaniaza "Baby Rudin" fac parte din literatura "gri" [nu sunt publicate], sunt suficient de completepentru a fi folosite în efortul de învatare. Trimiterile la aceste note vor fi puse laolalta cu cele referitoare la "Baby Rudin",dupa ele si separate de semnul "+".15Inclus în special din motive de recapitulare.

Date post:	27-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	geeorgi23
View:	117 times
Download:	4 times

analiza id

Documents