+ All Categories
Home > Technology > an num new

an num new

Date post: 15-Jun-2015
Category:
Upload: peter020000
View: 1,345 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
an num new
24
Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare: metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici. Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor. Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei. Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice. Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg. Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta, consistenŃă, stabilitate, convergenŃă. BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990 2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro 3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian), http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf Subiecte propuse analiza numerica ____ 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. ____ 2. Metoda bisectiei converge liniar. ____ 3. Se considera ecuatia Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. ____ 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] va calcula in mod exact integrala
Transcript
Page 1: an num new

Universitatea Spiru Haret Facultatea de Matematica-Informatica Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI

• Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare:

metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss

Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici.

• Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor.

• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei.

• Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri

simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice.

• Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula

trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui

Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg.

• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui

Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta,

consistenŃă, stabilitate, convergenŃă.

BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990 2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro 3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian),

http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf

Subiecte propuse analiza numerica

____ 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se

aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.

____ 2. Metoda bisectiei converge liniar.

____ 3. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda

bisectiei.

____ 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]

va calcula in mod exact integrala

ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
F
ramona
Typewritten Text
Page 2: an num new

____ 5. Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica

____ 6. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu

diferente divizate.

____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.

____ 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe

adica

____ 9. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile

se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.

____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia

ii aplicam metoda.

____ 11. Se considera ecuatia f(x)=0

cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge

catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.

____ 12. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica

metoda bisectiei.

____ 13. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale

de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor

obtinute.

____ 14. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe

[a,b] va calcula in mod exact integrala

ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
F
ramona
Typewritten Text
F
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
F
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
A
ramona
Typewritten Text
F
Page 3: an num new

____ 15. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a

numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.

____ 16. Pentru A= sa se calculeze .

____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

____ 18. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].

____ 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i

unde

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
F
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
GAUSS
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
3
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
RUNGE
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
KUTTE
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
DE ORDIN 4
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Sticky Note
Marked set by ramona
ramona
Typewritten Text
4
ramona
Typewritten Text
Page 4: an num new

Aceasta este metoda ……

____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul

de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este

Care este a doua iteratie?

____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……..

____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….

____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.

____ 26. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes

Cat este ?

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
RUNGE-KUTTE DE ORDIN 4
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(1/2 5/4)
ramona
Typewritten Text
SAU
ramona
Typewritten Text
(0.5 1.25)
ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
2 1 3
ramona
Typewritten Text
0 3/2 3/2
ramona
Typewritten Text
3 2 1
ramona
Typewritten Text
0 1/3 -1/2
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
2 1.5
ramona
Typewritten Text
sau
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
2 3/2
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
0.5
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1
Page 5: an num new

____ 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa

Aceasta este metoda ………

____ 28. Pentru A= sa se calculeze .

____ 29. Pentru A= sa se calculeze .

____ 30. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La

primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel

punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……

____ 31. Se da tabelul

Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ?

____ 32. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula ……

____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
CAUCHY
ramona
Typewritten Text
EULER
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
CAUCHY-EULER
ramona
Typewritten Text
max(4,2)=4
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
max(4,6)=6
ramona
Typewritten Text
BISECTIEI
ramona
Typewritten Text
BISECTIEI
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1-x²
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(b-a)(f(b)+f(a))/2
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(-2 1 -1;0 -1/2 -1/2)
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
Page 6: an num new

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……

____ 34. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes

Cat este A0?

____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce

metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui?

____ 36. Aproximati integrala

cu metoda trapezului.

____ 37. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda ……

____ 38. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este ………

____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este

1. Care este a doua iteratie?

____ 40. Aproximati integrala

ramona
Typewritten Text
0,3
ramona
Typewritten Text
CHOLESKY
ramona
Typewritten Text
1,5
ramona
Typewritten Text
TRAPEZULUI
ramona
Typewritten Text
TRAPEZULUI
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1,5
ramona
Typewritten Text
20
Page 7: an num new

cu metoda lui Simpson.

____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula ……..

____ 42.

Aproximam integrala

cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este

………..

____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare

functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia

exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform

teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.

____ 44. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este

aproximatia produsa de aceasta metoda pentru , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?

____ 45. Pentru A= sa se calculeze .

____ 46. Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic

produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi

rezolvat)?

____ 47. Se da tabelul

x 0 1 2

y 1 1 3

si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.

Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia

spline este data de

. Cat este m?

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(b+a)(f(b)+4f(a+b/2)+f(a)/6
ramona
Typewritten Text
f(0)+4f(1)+2f(2)+4f(3)+2f(4)+4f(5)+f(6))/3
ramona
Typewritten Text
3/2
ramona
Typewritten Text
3
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
max(3,7)=7
ramona
Typewritten Text
JACOBI
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(+GAUSS-SEIDEL)
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
-0.5
Page 8: an num new

____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este

aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ?

____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic

produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?

____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 51. Se da tabelul

Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica .

Cat este ?

____ 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea

iteratie ?

____ 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.

____ 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea

iteratie ?

____ 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este ……..

ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
GAUSS+CHOLESKY
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
(0,0)
ramona
Typewritten Text
9
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
(2 0,5)
ramona
Typewritten Text
SAU
ramona
Typewritten Text
(2 1/2)
ramona
Typewritten Text
1/4
ramona
Typewritten Text
x²-2
Page 9: an num new

____ 56. Aproximati integrala

cu metoda trapezului.

____ 57. Pentru A= sa se calculeze .

____ 58. Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?

____ 59. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult

egal cu …….

____ 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa

Aceasta este metoda ……

____ 61. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

ramona
Typewritten Text
0
ramona
Typewritten Text
max(10,4)=10
ramona
Typewritten Text
0
ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
EULER
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
EULER
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
GAUSS
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
Page 10: an num new

____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si

se calculeaza matricea

____ 63. Se da tabelul

Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica ,

grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate

pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile .

____ 64. Se rezolva sistemul cu matricea A data de

Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala

De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?

____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 66. Pentru A= sa se calculeze .

____ 67. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe

nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat

……….

ramona
Typewritten Text
0 0
ramona
Typewritten Text
0 1/2
ramona
Typewritten Text
4n²
ramona
Typewritten Text
ca matricea sistemului este diagonal dominanta pe linii
ramona
Typewritten Text
(1,5 0.75)
ramona
Typewritten Text
max(3,5)=5
ramona
Typewritten Text
1
Page 11: an num new

____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam . Care este prima iteratie ?

____ 69. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

____ 70. Se da tabelul

x 0 1 2

y 0 2 3

si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.

Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]

functia spline este data de

. Calculati valoarea lui m.

____ 71. Se da tabelul

x 0 1 2

y 1 1 4

si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.

Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]

functia spline este data de

. Cat este m?

____ 72. Pentru A= sa se calculeze .

____ 73. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

ramona
Typewritten Text
3
ramona
Typewritten Text
0
ramona
Typewritten Text
2,25
ramona
Typewritten Text
-0,75
ramona
Typewritten Text
max(3,9)=9
ramona
Typewritten Text
0
Page 12: an num new

____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-6x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Cat este prima iteratie produsa de

metoda lui Euler?

____ 75. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].

____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?

____ 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea

iteratie ?

____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y+x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?

____ 80. Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza

valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?

____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
5
ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
1/4
ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
x
Page 13: an num new

este aproximata de

unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este ?

____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda ……

____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de

Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala . De ce este metoda lui

Jacobi garantata sa convearga?

____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este

1. Care este a doua iteratie?

____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si

se calculeaza matricea

____ 86. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

, y(1)=1

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam . Efectuam zece iteratii in metoda Euler-

Cauchy. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de

metoda numerica pentru ……

ramona
Typewritten Text
SIMPSON
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
SIMPSON
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ca matricea sistemului este diagonal dominanta pe linii
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
0,5
ramona
Typewritten Text
1/2 0
ramona
Typewritten Text
0 0
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
Page 14: an num new

____ 87. Se considera ecuatia

Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv .

Aceasta este metoda …….

____ 88.

Aproximam integrala

cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este …..

____ 89. Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este ?

____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara

____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.

____ 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.

____ 93. Se da tabelul

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
NEWTON
ramona
Typewritten Text
f(0)+2f(1)+2f(2)+f(3)0/2
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
3 1 4
ramona
Typewritten Text
0 2/3 2/3
ramona
Typewritten Text
(1 1,5)
ramona
Typewritten Text
sau
ramona
Typewritten Text
(1 3/2)
ramona
Typewritten Text
(1 3/2)
ramona
Typewritten Text
sau
ramona
Typewritten Text
(1 1,5)
ramona
Typewritten Text
yi*li(x)
Page 15: an num new

Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca

si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus

este dat de formula:

____ 94. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen

liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul

si calculam urmatoarea iteratie dupa

formula

-----------------------

pentru i de la 1 la n

-----------------------

Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?

____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele

____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare

functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia

exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform

teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.

____ 98. Se da tabelul

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
JACOBI
ramona
Typewritten Text
(1 1)
ramona
Typewritten Text
LAGRANGE
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
7
Page 16: an num new

Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].

____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.

____ 100. Se da tabelul

x 0 1 2

y 0 1 3

si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.

Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]

functia spline este data de

. Cat este m?

____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare

functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei

aproximatiilor succesive?

____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle

elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare

functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei

aproximatiilor succesive?

____ 104. Se da tabelul

Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de

mai sus adica . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea

sistemului

____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

ramona
Typewritten Text
(3 0)
ramona
Typewritten Text
0,75
ramona
Typewritten Text
2/3
ramona
Typewritten Text
4
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1 x0 ... xⁿ0
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1 x1 ... xⁿ1
ramona
Typewritten Text
.. ..
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
... ...
ramona
Typewritten Text
1 xn ... xⁿn
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
a0
ramona
Typewritten Text
a1
ramona
Typewritten Text
..
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
an
ramona
Typewritten Text
=
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
y0
ramona
Typewritten Text
y1
ramona
Typewritten Text
yn
ramona
Typewritten Text
2
Page 17: an num new

y’=y-x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?

____ 106. Se da tabelul

Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel.

____ 107. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea

iteratie ?

____ 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 109. Se da tabelul

Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)

____ 110. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru

aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de

cuadratura ?

____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……

____ 112. Aproximati integrala

ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
1/4
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
GAUSS
ramona
Typewritten Text
0,75
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
se integreaza polinomul lui LEGENDRE pe [-1,1]valoarea obtinuta fiind o aproximare buna a integralei
ramona
Typewritten Text
2 1 3
ramona
Typewritten Text
0 1/2 1/2
ramona
Typewritten Text
0,5
Page 18: an num new

cu metoda trapezului.

____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde

B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare

functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei

aproximatiilor succesive?

____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este

1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei.

Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei.

____ 116. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea

integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt ……

____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de ……..

____ 118. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta

metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu …..

____ 119. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea

iteratie ?

____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam . Formula iterativa din metoda lui Euler in

acest caz este ….

____ 121. Aproximati integrala

ramona
Typewritten Text
1
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
radacinile polinomului de interpolare al lui LAGRANGE pentru functia f pe nodurile -1 si 1
ramona
Typewritten Text
INTEGRARE NUMERICA
ramona
Typewritten Text
2n-1
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1/2
ramona
Typewritten Text
yi+1=yi+0,5(xi+sin(yi))
ramona
Typewritten Text
4
Page 19: an num new

cu metoda lui Simpson.

____ 122. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector

si se calculeaza matricea

____ 123. Se considera ecuatia

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La

primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel

punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……

____ 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

. La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile ….

____ 125. Se rezolva sistemul cu matricea

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa

produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?

____ 127. Consideram un prim pas:

-----------------------

-----------------------

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1 -1
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
-1 1
ramona
Typewritten Text
BISECTIEI
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1 cu 3
ramona
Typewritten Text
CHOLESKY
ramona
Typewritten Text
matricea sistemului e diagonal dominanta pe linii
ramona
Typewritten Text
CHOLESKY
Page 20: an num new

intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda

numerica incepe cu acest pas?

____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle

elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 129. Pentru A= sa se calculeze .

____ 130. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip …..

____ 131. Se da tabelul

x 0 1 2

y 1 1 2

si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.

Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]

functia spline este data de

. Cat este m?

____ 132. Se da tabelul

Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)

____ 133. Pentru A= sa se calculeze .

____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

ramona
Typewritten Text
3
ramona
Typewritten Text
max(2,5)=5
ramona
Typewritten Text
NEWTON COTES
ramona
Typewritten Text
-0,25
ramona
Typewritten Text
3
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
max(4,8)=8
ramona
Typewritten Text
(2 1)
Page 21: an num new

. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.

____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector

si se calculeaza matricea

____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de …..

____ 137. Se considera ecuatia

Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv , n

numar natural. Aceasta este metoda ….

____ 138. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt . Se considera

urmatoarea metoda de integrare numerica:

Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?

____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus.

____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,

unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.

____ 141. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

, y(1)=1

ramona
Typewritten Text
1/2 (1 -1;-1 1)
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
INTEGRARE NUMERICA
ramona
Typewritten Text
NEWTON
ramona
Typewritten Text
alegem l1,l2 polinoamele lui LEGENDRE corespunzatoare nodurilor x1,x2 si apoi integram aceste polinoame p[-1,1]
ramona
Typewritten Text
2
ramona
Typewritten Text
5
ramona
Typewritten Text
2
Page 22: an num new

Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem

iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica

pentru ……

____ 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si

se calculeaza matricea

____ 143. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen

liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul

si calculam urmatoarea iteratie dupa

formula

-----------------------

pentru i de la 1 la n

-----------------------

Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?

____ 144. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..

____ 145. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru

aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame

de grad mai mic sau egal ca ….

ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
1/6(1 1;1 1)
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
CHOLESKY
ramona
Typewritten Text
GAUSS
ramona
Typewritten Text
3
Page 23: an num new

____ 146. Pentru A= sa se calculeze .

ramona
Typewritten Text
max(2,10)=10
ramona
Typewritten Text
ramona
Typewritten Text
Page 24: an num new

Recommended