Algoritmi, numere şi fractali 4/28/2012 Math experience CONCURS 2012 SECTIUNEA 3, clasele IX – XII – Matematica Aplicata Argument Analizând lumea plantelor sau organismul uman, privind în cosmos sau observând relieful planetei, se observă aspecte geometrice similare. Ce au în comun o frunză de ferigă, un fulg de nea, un munte stâncos sau poate o galaxie ? Răspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit Mandelbrot. Frumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate. Artă şi stiinţă deopotrivă, geometria fractală este o modalitate de creaţie bazată pe cunoaştere, emoţie şi imaginaţie. Cosiderăm că descoperirea formelor fractale în natură constituie o formă de universalitate care permite modelarea matematica a naturii.
Transcript
Algoritmi numere şi fractali
4282012
Math experience CONCURS 2012
SECTIUNEA 3 clasele IX ndash XII ndash Matematica Aplicata
Argument
Analizacircnd lumea plantelor sau organismul uman privind icircn cosmos sau observacircnd relieful planetei se observă aspecte geometrice similare Ce au icircn comun o frunză de ferigă un fulg de nea un munte stacircncos sau poate o galaxie Răspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit MandelbrotFrumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate Artă şi stiinţă deopotrivă geometria fractală este o modalitate de creaţie bazată pe cunoaştere emoţie şi imaginaţieCosiderăm că descoperirea formelor fractale icircn natură constituie o formă de universalitate care permite modelarea matematica a naturii
Algoritmi numere şi fractali
1 Două numere şi un algoritm2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor
prime3 Puteri şi fractali4 Sisteme dinamice 5 Arta fractală şi design-ul naturii
Floroiu Andreea clasa a X-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiRomano Mariacristina clasa a XII-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiLiciu Louise clasa a XI-a Colegiul Naţional ldquoIon Neculcerdquo BucureştiHerea Nicoleta clasa a X-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiTudor Andrei clasa a XI-a Liceul Teoretic ldquoDante Aligherirdquo Profesori coordonatoriMoise Luminiţa Dominica Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiDruţă Doina Liceul Teoretic ldquoDante Aligherirdquo Bucureşti
Analizacircnd lumea plantelor sau organismul uman privind icircn cosmos sau observacircnd relieful planetei se observă aspecte geometrice similare Ce au icircn comun o frunză de ferigă un fulg de nea un munte stacircncos sau poate o galaxie Răspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit MandelbrotPe de altă parte fizica a oferit umanităţii mari principii tehnologice care au fost de importanţă vitală pentru secolul XX Chiar dacă principiile fundamentale ale Fizicii au fost formulate cu aproape 75 de ani icircn urmă se mai aşteaptă altele mai noi Cu mijloacele sale concise corecte şi modelatoare fiind o ştiinţă numerică şi a formelor Matematica prin Teoria Haosului va ajuta fizica secolului XXI ca şi pacircna acum Frumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate Artă şi stiinţă deopotrivă geometria fractală este o modalitate de creaţie bazată pe cunoaştere emoţie şi imaginaţieDe aceea considerăm că descoperirea formelor fractale icircn natură constituie o formă de universalitate care permite modelarea matematica a naturii
1 Imaginile care ilustrează acest articol (1-4) sunt realizate cu pachetul de programe Fractall cap 5 contine imagini realizate cu UltraFractal 43 şi imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
3
1 Două numere şi un algoritm a) triunghiul lui Pascal (modulo 2) b) matricea boole a numerelor pare şi impare
a)Triunghiul lui Pascal (modulo 2) Generăm un triunghi pornind de la 1 1 1
Creăm mereu cacircte o nouă linie punacircnd icircn extremităţi 1 şi adunacircnd cele două numere aflate icircn stacircnga şi icircn dreapta
Putem continua astfel oricacirct de mult dorim Obţinem aşa-numitul triunghi al lui Pascal numerele rezultate avacircnd o interpretare icircn teoria combinărilor dar nu acest aspect ne interesează acum De fapt aici ne interesează doar dacă numerele astfel calculate sunt impare deoarece vom vizualiza numerele impare prin sfere pentru a creea o imagine Observăm că dacă icircnlocuim numerele pare cu 0 şi pe cele impare cu 1 regula de generare a triunghiului devine - număr par + număr par = număr par deci 0 + 0 = 0 - număr par + număr impar = număr impar deci 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 - număr impar + număr par = număr par deci 1 + 1 = 0
Avem următorul tabel care sintetizează cele de mai sus
Desenacircnd icircn locul numerelor de 1 sfere de rază suficient de mică rezultă imaginea de mai sus numită şi triunghiul lui Sierpinski Dacă aliniem numerele din triunghiul lui Pascal altfel obţinem imaginea următoare
4
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Sau
b) Matricea numerelor pare şi impare Putem face calculele asemănatoare pornind de la o linie de 1 (linia 0) şi o coloană de
valori nule (mai puţin primul element coloana 0) A0 j=1 j=0 n Ai 0=0 i=1 n Vom genera
linile pentrru i=1 n j=1 n rdquoadunacircnd rdquo după regula lui ldquosau exclusivrdquo Aij =Aij-1 +Ai-1j Obţinem astfel imaginea matricii (mai puţin linia şi coloana 0) ( Observaţie este de fapt tot triunghiul anteriorndash prima imagine ndash rotit cu 45ordm )
5
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Algoritmi numere şi fractali
1 Două numere şi un algoritm2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor
prime3 Puteri şi fractali4 Sisteme dinamice 5 Arta fractală şi design-ul naturii
Floroiu Andreea clasa a X-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiRomano Mariacristina clasa a XII-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiLiciu Louise clasa a XI-a Colegiul Naţional ldquoIon Neculcerdquo BucureştiHerea Nicoleta clasa a X-a Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiTudor Andrei clasa a XI-a Liceul Teoretic ldquoDante Aligherirdquo Profesori coordonatoriMoise Luminiţa Dominica Şcoala Superioară Comercială ldquoNicolae Kretzulescurdquo BucureştiDruţă Doina Liceul Teoretic ldquoDante Aligherirdquo Bucureşti
Analizacircnd lumea plantelor sau organismul uman privind icircn cosmos sau observacircnd relieful planetei se observă aspecte geometrice similare Ce au icircn comun o frunză de ferigă un fulg de nea un munte stacircncos sau poate o galaxie Răspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit MandelbrotPe de altă parte fizica a oferit umanităţii mari principii tehnologice care au fost de importanţă vitală pentru secolul XX Chiar dacă principiile fundamentale ale Fizicii au fost formulate cu aproape 75 de ani icircn urmă se mai aşteaptă altele mai noi Cu mijloacele sale concise corecte şi modelatoare fiind o ştiinţă numerică şi a formelor Matematica prin Teoria Haosului va ajuta fizica secolului XXI ca şi pacircna acum Frumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate Artă şi stiinţă deopotrivă geometria fractală este o modalitate de creaţie bazată pe cunoaştere emoţie şi imaginaţieDe aceea considerăm că descoperirea formelor fractale icircn natură constituie o formă de universalitate care permite modelarea matematica a naturii
1 Imaginile care ilustrează acest articol (1-4) sunt realizate cu pachetul de programe Fractall cap 5 contine imagini realizate cu UltraFractal 43 şi imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
3
1 Două numere şi un algoritm a) triunghiul lui Pascal (modulo 2) b) matricea boole a numerelor pare şi impare
a)Triunghiul lui Pascal (modulo 2) Generăm un triunghi pornind de la 1 1 1
Creăm mereu cacircte o nouă linie punacircnd icircn extremităţi 1 şi adunacircnd cele două numere aflate icircn stacircnga şi icircn dreapta
Putem continua astfel oricacirct de mult dorim Obţinem aşa-numitul triunghi al lui Pascal numerele rezultate avacircnd o interpretare icircn teoria combinărilor dar nu acest aspect ne interesează acum De fapt aici ne interesează doar dacă numerele astfel calculate sunt impare deoarece vom vizualiza numerele impare prin sfere pentru a creea o imagine Observăm că dacă icircnlocuim numerele pare cu 0 şi pe cele impare cu 1 regula de generare a triunghiului devine - număr par + număr par = număr par deci 0 + 0 = 0 - număr par + număr impar = număr impar deci 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 - număr impar + număr par = număr par deci 1 + 1 = 0
Avem următorul tabel care sintetizează cele de mai sus
Desenacircnd icircn locul numerelor de 1 sfere de rază suficient de mică rezultă imaginea de mai sus numită şi triunghiul lui Sierpinski Dacă aliniem numerele din triunghiul lui Pascal altfel obţinem imaginea următoare
4
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Sau
b) Matricea numerelor pare şi impare Putem face calculele asemănatoare pornind de la o linie de 1 (linia 0) şi o coloană de
valori nule (mai puţin primul element coloana 0) A0 j=1 j=0 n Ai 0=0 i=1 n Vom genera
linile pentrru i=1 n j=1 n rdquoadunacircnd rdquo după regula lui ldquosau exclusivrdquo Aij =Aij-1 +Ai-1j Obţinem astfel imaginea matricii (mai puţin linia şi coloana 0) ( Observaţie este de fapt tot triunghiul anteriorndash prima imagine ndash rotit cu 45ordm )
5
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
Analizacircnd lumea plantelor sau organismul uman privind icircn cosmos sau observacircnd relieful planetei se observă aspecte geometrice similare Ce au icircn comun o frunză de ferigă un fulg de nea un munte stacircncos sau poate o galaxie Răspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit MandelbrotPe de altă parte fizica a oferit umanităţii mari principii tehnologice care au fost de importanţă vitală pentru secolul XX Chiar dacă principiile fundamentale ale Fizicii au fost formulate cu aproape 75 de ani icircn urmă se mai aşteaptă altele mai noi Cu mijloacele sale concise corecte şi modelatoare fiind o ştiinţă numerică şi a formelor Matematica prin Teoria Haosului va ajuta fizica secolului XXI ca şi pacircna acum Frumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate Artă şi stiinţă deopotrivă geometria fractală este o modalitate de creaţie bazată pe cunoaştere emoţie şi imaginaţieDe aceea considerăm că descoperirea formelor fractale icircn natură constituie o formă de universalitate care permite modelarea matematica a naturii
1 Imaginile care ilustrează acest articol (1-4) sunt realizate cu pachetul de programe Fractall cap 5 contine imagini realizate cu UltraFractal 43 şi imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
3
1 Două numere şi un algoritm a) triunghiul lui Pascal (modulo 2) b) matricea boole a numerelor pare şi impare
a)Triunghiul lui Pascal (modulo 2) Generăm un triunghi pornind de la 1 1 1
Creăm mereu cacircte o nouă linie punacircnd icircn extremităţi 1 şi adunacircnd cele două numere aflate icircn stacircnga şi icircn dreapta
Putem continua astfel oricacirct de mult dorim Obţinem aşa-numitul triunghi al lui Pascal numerele rezultate avacircnd o interpretare icircn teoria combinărilor dar nu acest aspect ne interesează acum De fapt aici ne interesează doar dacă numerele astfel calculate sunt impare deoarece vom vizualiza numerele impare prin sfere pentru a creea o imagine Observăm că dacă icircnlocuim numerele pare cu 0 şi pe cele impare cu 1 regula de generare a triunghiului devine - număr par + număr par = număr par deci 0 + 0 = 0 - număr par + număr impar = număr impar deci 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 - număr impar + număr par = număr par deci 1 + 1 = 0
Avem următorul tabel care sintetizează cele de mai sus
Desenacircnd icircn locul numerelor de 1 sfere de rază suficient de mică rezultă imaginea de mai sus numită şi triunghiul lui Sierpinski Dacă aliniem numerele din triunghiul lui Pascal altfel obţinem imaginea următoare
4
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Sau
b) Matricea numerelor pare şi impare Putem face calculele asemănatoare pornind de la o linie de 1 (linia 0) şi o coloană de
valori nule (mai puţin primul element coloana 0) A0 j=1 j=0 n Ai 0=0 i=1 n Vom genera
linile pentrru i=1 n j=1 n rdquoadunacircnd rdquo după regula lui ldquosau exclusivrdquo Aij =Aij-1 +Ai-1j Obţinem astfel imaginea matricii (mai puţin linia şi coloana 0) ( Observaţie este de fapt tot triunghiul anteriorndash prima imagine ndash rotit cu 45ordm )
5
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
1 Două numere şi un algoritm a) triunghiul lui Pascal (modulo 2) b) matricea boole a numerelor pare şi impare
a)Triunghiul lui Pascal (modulo 2) Generăm un triunghi pornind de la 1 1 1
Creăm mereu cacircte o nouă linie punacircnd icircn extremităţi 1 şi adunacircnd cele două numere aflate icircn stacircnga şi icircn dreapta
Putem continua astfel oricacirct de mult dorim Obţinem aşa-numitul triunghi al lui Pascal numerele rezultate avacircnd o interpretare icircn teoria combinărilor dar nu acest aspect ne interesează acum De fapt aici ne interesează doar dacă numerele astfel calculate sunt impare deoarece vom vizualiza numerele impare prin sfere pentru a creea o imagine Observăm că dacă icircnlocuim numerele pare cu 0 şi pe cele impare cu 1 regula de generare a triunghiului devine - număr par + număr par = număr par deci 0 + 0 = 0 - număr par + număr impar = număr impar deci 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 - număr impar + număr par = număr par deci 1 + 1 = 0
Avem următorul tabel care sintetizează cele de mai sus
Desenacircnd icircn locul numerelor de 1 sfere de rază suficient de mică rezultă imaginea de mai sus numită şi triunghiul lui Sierpinski Dacă aliniem numerele din triunghiul lui Pascal altfel obţinem imaginea următoare
4
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Sau
b) Matricea numerelor pare şi impare Putem face calculele asemănatoare pornind de la o linie de 1 (linia 0) şi o coloană de
valori nule (mai puţin primul element coloana 0) A0 j=1 j=0 n Ai 0=0 i=1 n Vom genera
linile pentrru i=1 n j=1 n rdquoadunacircnd rdquo după regula lui ldquosau exclusivrdquo Aij =Aij-1 +Ai-1j Obţinem astfel imaginea matricii (mai puţin linia şi coloana 0) ( Observaţie este de fapt tot triunghiul anteriorndash prima imagine ndash rotit cu 45ordm )
5
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Sau
b) Matricea numerelor pare şi impare Putem face calculele asemănatoare pornind de la o linie de 1 (linia 0) şi o coloană de
valori nule (mai puţin primul element coloana 0) A0 j=1 j=0 n Ai 0=0 i=1 n Vom genera
linile pentrru i=1 n j=1 n rdquoadunacircnd rdquo după regula lui ldquosau exclusivrdquo Aij =Aij-1 +Ai-1j Obţinem astfel imaginea matricii (mai puţin linia şi coloana 0) ( Observaţie este de fapt tot triunghiul anteriorndash prima imagine ndash rotit cu 45ordm )
5
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Observaţie Dacă n este un număr prim putem generaliza construcţia de la punctul a) a triunghiuluilui Pascal modulo 2 astfel reprezentǎm icircn triunghiul lui Pascal punctele corespunzătoare numerelor care nu se divid la n (n=2 a fost cazul anterior) De exemplu imaginile triunghiului lui Pascal modulo n pentru
n=11173 57
6
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Algoritmi şi programe
Triunghiul lui Pascal modulo 2
Varianta Pascal Varianta C++program triunghiul_lui_pascalvar aarray[11001100] of charijnmintegerbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]= a[1m div 2+1]=1for i=2 to n dofor j=2 to m-1 dobeginif ((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]=1))or ((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]= ))or((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=1))or((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=1if((a[i-1j-1]=1) and (a[i-1j+1]=1)) thena[ij]=0if((a[i-1j-1]= ) and (a[i-1j+1]= )) thena[ij]= if((a[i-1j-1]=0) and (a[i-1j+1]=0)) thena[ij]=0 a[n1]=1a[nm]=1endfor i=1 to n dobeginfor j=1 to m dowrite (a[ij] )writelnend end
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
program triunghiul_ lui_ pascalvar aarray[11001100] of integerijnmintegerpstringbeginwrite(n=)readln(n)m=n+n-1for i=1 to n dofor j=1 to m doa[ij]=0a[1m div 2+1]=1for i=2 to n do
8
for j=2 to m-1 doa[ij]=a[i-1j-1]+a[i-1j+1]a[n1]=1a[nm]=1for i=1 to n dobeginfor j=1 to m doif(a[ij]=0) thenwrite( ) elsebeginstr(a[ij]p)write(p )end writelnend end
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
2 Tabloul numerelor prime şi teorema numerelor prime
Teorema fundamentală a aritmeticii (Euclid şi Gauss) Teoremă Orice număr natural nenul şi diferit de 1 este un produs finit de numere ireductibile descompunerea fiind unică abstracţie făcacircnd ordinea termenilor Definiţie Fie p ε N p ne 0 p ne 1 p se numeşte prim dacă verifică condiţia dacă a b isin N şi p | a b atunci p| a sau p | b Observaţie Noţiunile de număr prim şi ireductibil coincid conform teoremei următoare Teoremă Orice număr p isin N p ne 1 este ireductibil oacute p este prim Teorema lui Euclid Teoremă Mulţimea numerelor prime este infinită Demonstraţie Utilizăm metoda reducerii la absurd Dacă ar fi doar un număr finit p1 p2 pn de numere prime atunci numărul m = 1+p1 p2hellip pn
nu se divide la niciunul din numerele pi i =1n Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date Am obţinut o contradicţieSirul numerelor prime are goluri de lungime oricacirct de mare Deoarece mulţimea numerelor prime este infinită ele formează un şir crescător 2357hellip pn
hellipunde pn este al ldquonrdquo-lea număr prim Se demonstrează că acest şir are goluri de lungime oricacirct de mari icircn care se află numere compuse Icircntr-adevăr următoarele n numere nu sunt prime deoarece
Ciurul lui Eratostene Pentru a vizualiza cele spuse anterior vom genera tabelul numerelor prime mai mici ca 5000 utilizacircnd Ciurul lui Eratostene Scriem toate numerele mai mici ca 5000 şi eliminăm pe racircnd multiplii lui 2 3 5 şamd Ii vom icircnlocui cu 0 (şi 1 se icircnlocuieşte cu 0 ) Numerele nenule rămase sunt numerele primeVom face apoi tabloul numerelor prime vizualizacircnd printr-un bec aprins poziţia numărului prim icircntr-o matrce boole
Teorema numerelor prime Cacirct de dense sunt numerele prime Pentru aceasta să notăm cu A(x) numărul numerelor prime mai mici ca x de exemplu A(3)= 1 A(10) = 4 Teorema numerelor prime a fost enunţată de Gauss pornind de la o conjectură a lui Legendre şi demonstrată ulterior de Jacques Hadamard (1896) şi de Charles-Jean Poussin icircn acelaşi an icircn mod independent Această teoremă afirmă că
Altfel spus pentru valori ale lui x suficient de mari A(x) este aproximativ egal cu x ln x
9
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
deci A(x) creste icircn raport cu x la fel de repede cum creşte x icircn raport cu logaritmul său natural
10
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
11
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Algoritmi şi programe
program numere_prime_pacircna_la_5000var nisintegerfunction prim(ninteger)booleanvar vbbooleaniintegerbeginvb=trueif(n=0)or(n=1) then prim=falsefor i=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod i =0 then vb=falseprim=vbendbegin s=0write( Numerele prime pana la 5000 sunt)for i=1 to 5000 doif (prim(i)) then if s mod 10=0 then begin writeln s=s+1 write(i ) end else begin s=s+1 write(i ) endwrite(si sunt s) end
12
program nr_perfectfunction perfect(nword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=n then perfect=trueelse perfect= falseend beginwrite(n=)readln(n)if(perfect(n)) then write(numarul n este perfect)else write(numarul n nu este perfect)readln end
program numere_amiabilevar ijwordfunction amiabil(nwordmword)booleanvar isintegerbegin s=0for i=1 to n div 2 doif n mod i=0 then s=s+iif s=m then amabil=trueelse amabil= falseendbeginwriteln(Perechile de numere amiabile pana la 5000 sunt)for i=2 to 4999 dofor j=i to 5000 doif(amabil(ij))and(amabil(ji)) then write((i j))readlnend
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
3 Puteri şi fractali a) Fractali din - puterile lui 2 ndashfractalul copac mulţimea Cantor - puterile lui 3 ndashtriunghiul lui Sierpinski copacul cu trei ramuri - puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D - puterile lui 5 ndash fractalul steluţă - puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski b) Iteraţia ndash fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici d) Curba lui Coch
a) Fractali Icircntr-un limbaj neştiinţific fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată icircn părţi fiecare parte fiind o copie mai mică a icircntregului Termenul provine din latinescul lsquofractusrsquo care icircnseamnă rupt sau fracturat Un obiect fractal este mai dificil de surprins din cauza complexităţii sale El necesită din partea observatorului un efort imaginativ o participare mentală de natura unui proces nesfacircrşit Limita procesului este chiar obiectul fractal căutat Această formă geometrică deosebită are trei proprietăţi principale - este un obiect autosimilar (conform acestei proprietăţi o parte din structura sa seamănă cu icircntregul Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă aduce icircn faţa ochilor noştri aceeaşi informaţie ne dezvăluie acelaşi aspect ) - are o dimensiune fracţionară - are o definiţie simplă şi recursivăExemplele cele mai simple de fractali sunt fractalii geometrici obţinuţi
prin divizare triunghiul lui Pascal triunghiul lui Sierpinski covorul lui Sierpinski box-fractalii
prin procese de creştere spirala radicalilor fractalul pitagoreic curba lui CochPentru a-i genera ne trebuie o altă unealtă mai complexă decacirct rigla şi compasul Şi această unealtăeste calculatorul El a constituit poarta prin care s-a intrat icircn lumea fractalilor lume definită in 1975 odată cu apariţia primei cărţi a lui Mandelbrot Les objects fractales forme hasard et dimension
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul copacul cu două braţe
13
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Puterile lui 2 exemplificate prin fractalul Muţimea lui Cantor şi Smith-Volterra Cantor(praful lui Cantor)Se porneşte de la un segment de dreapta Se elimină la fiecare iteraţie 13 respectiv frac14 din lungimea intervalului curent
Puterile lui 3- triunghiul lui Sierpinski
Considerăm un triunghi căruia icirci vom aplica următoarea transformare (repetitivă)ldquoeliminămrdquo triunghiul definit de mijloacele laturilor Acesta a fost primul pas La pasul al doileaaplicăm aceeaşi transformare fiecăruia din cele trei triunghiuri rămaseTriunghiul lui Sierpinski este mulţimea punctelor rămase după ce repetăm transformarea de mai sus de o infinitate de ori
Triunghiul lui Sierpinski poate fi generat şi printr-un proces de creştere Pornind de la un punct ldquocopiemrdquo desenul de icircncă două ori rezultacircnd la fiecare iteraţie trei imagini identice cu imaginea de la iteraţia anterioară
14
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Puterile lui 4
Mulţimea lui Cantor icircn 2D (Praful lui Cantor 2D)
Puterile lui 5 ndash fractalul steluţă
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum 4 pătrate Acesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 5 pătrate rămase Prin trecere la limita so obţine fractalul steluţă
15
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Puterile lui 8 ndash covorul lui Sierpinski
Icircmpărţim un pătrat icircn 9 pătrate egale fiecare avacircnd latura de 3 ori mai mică decacirct a celui iniţial Eliminăm acum pătratul din mijlocAcesta a fost primul pasLa pasul doi aplicăm aceeaşi transformare fiecăruia dintre cele 8 pătrate rămaseCovorul lui Sierpinski este mulţimea de puncte rămase după ce repetăm procedeul de mai sus de o infinitate de ori
Dimensiunea fractalilor geometrici
Pornim de la un triunghi şi ajungem la o imagine atacirct de franjurată icircncacirct ideea pe care o avem depre suprafaţa nu corespunde dar nici cea de dreaptă nu se potriveşte Avem o dimensiune sau două Intuiţia şi simţul nostru matematic nu pot să decidă
Icircn construcţia fractalului figura s-a icircmpărţit icircntr-un număr n de piese similare făcacircnd o anumită divizare a unui interval icircn m bucăţiExemplu la triunghiul lui Sierpinscki fiecare latură se icircmparte icircn două m=2 rezulta 3 obiecte deci n=3La covorul lui Sierpinscki ndash fiecare latură se icircmparte icircn trei m =3 şi rezultă opt pătrate n=8
La curba lui Coch (vezi capitolul următor) ndash fiecare segment se icircmparte icircn trei m=3 şi rezultă 4 segmente similare n=4 Definiţia dimensiunii fracţionare este
Astfel - pentru triunghiul lui Sierpinski
- covorul lui Sierpinski
16
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
- curba lui Coch
a) Curba lui Coch
Considerăm un segment de dreaptă (acesta se numeste ldquoiniţiatorrdquo) Icircmpărţim segmentul icircn trei părţi egale şi pe segmentul din mijloc construim un triunghi echilateral eliminăm apoi acest segment (baza triunghiului) Acesta este primul pas
Icircn concluzie după primul pas am icircnlocuit segmentul iniţial cu o linie poligonală (numită ldquogeneratorrdquo) formată din 4 segmente (fiecare cu o lungime de 3 ori mai mică decacirct a segmentului iniţial) La pasul doi aplicăm procedeul fiecăruia dintre cele patru segmenteContinuacircnd procedeul de o infinitate de ori se obţine curba lui Coch
Program curba_lui_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)
17
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
beginx=round(xc+(x1-xc)cos(-unghi)-(y1-yc)sin(-unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(-unghi)+(y1-yc)cos(-unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
Program fulgul_Cochuses graphvar lgdrivergmodelsintegerxmaxymaxintegerprocedure initgbegingdriver=detect
18
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
initgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltendendprocedure unghi1(xcycx1y1integervar xyintegerunghireal)beginx=round(xc+(x1-xc)cos(unghi)-(y1-yc)sin(unghi))y=round(yc+(x1-xc)sin(unghi)+(y1-yc)cos(unghi))endprocedure traseaza(x1y1x2y2x3y3integer)beginmoveto(x1y1)lineto((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3)lineto(x3y3)lineto((x1+2x2) div 3(y1+2y2)div 3)lineto(x2y2)endprocedure a (x1y1x2y2nlsinteger)var xyintegerbeginunghi1((2x1+x2)div 3(2y1+y2)div 3(x1+2x2)div 3(y1+2y2)div 3xypi3)if nltls thenbegina(x1y1(2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3n+1ls)a((2x1+x2) div 3(2y1+y2) div 3xyn+1ls)a(xy(x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3n+1ls)a((x1+2x2) div 3(y1+2y2) div 3x2y2n+1ls)endelsetraseaza(x1y1x2y2xy)endbeginwrite(ls=)readln(ls)initgsetcolor(red) l=getmaxx-320a(150getmaxy-100150+lgetmaxy-1001ls)a(150+lgetmaxy-100150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150+lgetmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)1ls)a(150getmaxy-100-lround(sqrt(3)2)150getmaxy-1001ls)setfillstyle(1blue)floodfill(getmaxx div 2getmaxy div 2 red)readlnend
19
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
4 Sisteme dinamice
a) DefiniţiiSisteme dinamice şiruri recurente orbite puncte fixe cicliceb) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquoc) Teoria Haosului
a) Definiţii Sisteme dinamice şiruri recurente orbiteDefiniţie Fie X R (sau X C ) şi f o funcţie f Xrarr X Atunci ( Xf ) se numeşte
sistem dinamic Vom vedea mai tacircrziu cum sistemele dinamice generează fractali icircn urma unor iteraţii Exemple 1 Dacă f R rarr R atunci ( R f ) este un sistem dinamic 2 X = [ 0 1 ] f(x) = 2x ndash [2x] f [01] rarr [01] (X f ) este un sistem dinamic3 X = [01] fc (x) = cx (1-x) este un sistem dinamic pentru orice cisin [04] Spunem că avem o familie cu un parametru de sisteme dinamice (Xfc )Icircntr-adevăr din studiul graficului funcţiei de gradul II ştim că x max = - b 2a ymax =c( 12 - 14)=c4
Deci f [ 01]rarr[0 c 4 ]sub[ 01 ] pentru cisin[04 ]
4 y1=ax1+bx2+c iquest iquestiquestiquest
( x1 x2 ) f ( y1 y2 ) f R2rarr R2 ( R2f ) este un sistem dinamic Şiruri recurente
Definiţie Fie f R rarr R ( sau f C rarr C) o funcţie şi x0 isin R (C) Şirul construit după formula xn+1 = f(xn) se numeşte şir recurent de ordinul 1 (deoarece orice termen al şirului icircncepacircnd cu al doilea se calculează icircn funcţie de termenul anterior)OrbiteDefiniţie Fie f RrarrR ( sau f CrarrC ) x0 isin R ( x0 isinC ) Şirul xn+1= f(xn) se numeşte orbita lui x0 sub funcţia fPuncte importante puncte fixe ciclice puncte de atracţie puncte de respingere
DefiniţieFie f R rarrR (f CrarrC ) Dacă x0 este soluţia ecuaţiei f(x) =x atunci x0 se numeşte punct fix
x= 064 este punct fix al funcţiei f(x)=3x(1-x) f RrarrR x=042 şi x=072 sunt puncte fixe ale aplicaţiei f
(2) desenată cu verde rezultată prin compunerea de două ori a funcţiei desenate cu alb f = 355 x (1-x) (f
(2) =fof(x) )
20
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Eexemple de sisteme dinamice cu un singur punct fix sunt aşa numitele funcţii de contracţie după cum vom vedea icircn capitolul următor
Puncte periodice
Definiţie Fie x0 isin R un punct care nu este punct fix x0 isin Rx0 se numeşte punct periodic dacă există n isin N nge2 astfel icircncacirct xn= x0 deci
Cel mai mic număr natural n cu proprietatea din definiţia anterioară se numeşte perioada principală Este evident că orice multiplu natural a unei perioade este tot perioadă
ciclu de perioada 2 ciclu de perioada 4
Exemplul 1 f(x) = - x3 are cicluri de perioada 2 Acesta revine la a rezolva ecuaţia
fof(x) = x (- x3)3 = x - x9 = x x9+x = 0 x(x8+1) = 0 =gt x=0 dar x =0 este punct fix pentru f (x) deci f nu are cicluri de perioadă 2
Exemplul 2 Stabiliţi dacă x = 0 este punct periodic pentru f(x) = (x+1) (- 32 x+1)x1= f(0) = 1 x2= f(1) = 2(-12 ) = -1 x3=f(-1) = 0
Deci 0 este punct periodic de perioada principală 3
21
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Utilizarea calculatorului icircn depistarea punctelor fixe periodice de atracţie sau de respingere
22
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
b) Multimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Algoritmul rdquoescape-timerdquo
Vom analiza şiruri recurente de numere complexe Fie f C C Mulţimea Julia a unei funcţii complexe se numeşte astfel după numele matematicianului francez Gaston Julia Această mulţime este asociată unei funcţii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar icircn vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit)Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f C C f (z)= z2 + c c=c1+ic2 cu c 2le c1 c2 isin Rz= x+ iy cu x 2lt y 2lt Reamintim că dacă z = x + iy ε C x y ε R atunci (x + iy)2 = (x2-y2) + 2xyi Imaginile prezentate utilizează un program conform căruia dacă pacircnă la f 20 (z) valorile rămacircn icircn sfera raza 2 deci f 20(z) 2lt considerăm că pentru punctele respective orbitele nu converg la infin (Algoritmul rdquoescape-timerdquo) Recomandăm crearea mulţimilor Julia corespunzătoare următoarelor valori
Exemplu Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru următoarele valori
c=01+06024i c = -1
23
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor cisin C pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0) nu tinde la infinit deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z 0 = 0 este mărginită
Teoremă Mulţimea Manelbrot a sistemului dinamic ( Cz2+c) este multimea parametrilor cisinC pentru care multimea J(c) este conexă
Mulţimea Mandelbrot este un index pentru mulţimile Julia Fiecare punct din planul complex corespunde unei alte mulţimi Julia Pentru o valoare c vecinătatea din jurul lui c a mulţimii Mandelbrot seamănă cu centrul mulţimii Julia cu prametrul c (vezi şi paragraful următor)
Mulţimea Mandelbrot nu are proprietaea de autosimilitudine ci cvasi -autosimlitudine adică putem găsi replici ale icircntregului la scări mai mici
program mandelbrotuses graphvar mgdrivergmodenjiintegerxmaxymaxvbintegerc1c2xyx1y1rrealprocedure initgbegin gdriver=detectinitgraph(gdrivergmodeebpbgi)if graphresultltgt0 thenbeginwriteln(tentativa esuata)haltend end begininitg setcolor(red) for i=1 to 300 do
24
for j=1 to 150 do begin c1=-2+4i300 c2=2-4j300 x=c1y=c2 vb=1n=1 while (nlt=30) and(vb=1) do begin x1=xx-yy+c1 y1=2xy+c2 r=x1x1+y1y1 if rgt4 then vb=0 x=x1y=y1 n=n+1 end if vb=1 then begin putpixel(ijred) putpixel(i300-jred) end end readlnend
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
c) Teoria Haosului
Legătura icircntre bdquohaosrdquo şi geometrie nu este accidentală ci mai degrabă o dovadă a icircnrudirii lor Teoria haosului a progresat mai rapid după jumătatea secolului cacircnd a devenit evident pentru anumiţi cercetători că teoria sistemelor liniare sistemul predominant al teoriei icircn acea perioadă nu putea explica comportamentul observat icircn unele experimente Mulţi oameni de ştiinţă considerǎ teoria haosului alǎturi de teoria relativitǎţii şi mecanica cuanticǎ descoperirile teoretice ce au revoluţionat ştiinţa secolului XX Şi deşi ea poartǎ numele de ldquoteoria haosuluirdquo şi concluzioneazǎ cǎ o variaţie cacirct de micǎ icircntr-un sistem dinamic neliniar precum cel meteorologic poate genera o perturbare haoticǎ majorǎ adepţii acestei teorii icircncearcǎ sǎ demonstreze exact contrariul De fapt nu existǎ haos şi nimic nu e icircntacircmplǎtor Oricacirct de imprevizibile sunt formele şi manifestǎrile ce ne icircnconjoarǎ totul se structureaza pe sisteme liniare logice ordonate dar care sunt puse icircn scenǎ de un set de decizii primare extrem de sensibileIn toate sistemele nelineare ndash si avem ca exemplu functia logistica - apărea un număr de ordine limita unei succesiuni de numere Acest număr a fost calculat cu ajutorul mai multor calculatoare de mare putere şi rezultatul a fost acelaşi
Cercetătorii au ajuns la concluzia că acest număr este fundamentul haosului şi că el stă la baza ciclurilor periodice care compun orice fenomenDe fapt legat de sistemele dinamice mai exista si o adoua constanta a lui Feigenbaum
Descoperirea de catre Feigenbaum a celor două constante ale Haosului este considerata de mulţi cea mai mare descoperire a secolului trecut si de o importanta egala cu descoperirea lui π si a lui eIcircn 1960 Lorenz lucra la o problemă de prezicere a vremii Dispunea de un calculator cu ajutorul căruia rezolva un sistem de 12 ecuaţii care reprezentau un model al evoluţiei fenomenelor meteorologiceIcircntr-o zi din anul 1961 el a vrut să revadă o anumită secvenţă Pentru a cacircştiga timp a pornit de la mijlocul secvenţei şi nu de la icircnceput A introdus numerele din documentele printate anterior şi a aşteptat rezultatele Icircntorcacircndu-se după o oră a observat că secvenţa evoluase altfel sfacircrşind complet diferit faţă de rezultatul iniţial Icircntr-un finala realizat ce s-a icircntacircmplat Computerul a stocat numerele pacircnă la 6 zecimale icircn memorie iar el le-a reintrodus cu numai 3 zecimale De exemplu dacă icircn secvenţa originală numărul era 0506127 el a introdus numai 0506Conform tuturor ideilor convenţionale ale timpului rezultatul ar fi trebuit să difere foarte puţin de secvenţa originală Lorenz a demonstrat că această idee este greşită şi aecest efect a ajuns să fie cunoscut sub numele de ldquoEfectul flutureluirdquo Diferenţa iniţială icircntre două curbe este atacirct de mică icircncacirct se poate compara cu un fluture care dă din aripi dovedind o dependenţă senzitivă de condiţiile iniţiale rdquoO mică schimbare icircn condiţiile inţiale poate schimba drastic comportamentul unui sistem pe termen lungrdquo Pornind de la această idee Lorenz a afirmat că este imposibil să se prezică vremea cu exactitate
25
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
5 Arta fractală şi design-ul naturii- Design-ul naturii- minuni ale lumii microscopice- Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Design-ul naturii2- minuni ale lumii microscopice Prezenăm in continuare imagini fractale evidențiate cu un microscop polarizant ale unor substanțe chimice imagini ce au fost realizate pentru prima oară icircn 2011
Ca și gheața pe fereastră icircn timpul iernii unii polimeri cristalizează icircntr-un mod similar pornind de la un punct central spre exterior şi dezvoltacircndu -se icircn toate direcţiile icircn forme aproximativ sferice şi prin urmare sunt numite spherulites
Dacă te uiţi la ele cu un microscop de polarizare poate fi văzut un model de cruce maltezăCulorile diferite ale luminii pot fi folosite pentru a furniza informaţii cu privire la dispunerea spatiala a cristalelor
2 imagini din galeria Ventures in Science Using Art Laboratory
26
Realizarea fractalului lui Lorenz cu pachetul de programe Fractall
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Aranjamentul floral prezentat aici este de fapt o imagine realizată cu un microscop electronic care a captat o astfel de reorganizare şi a amplificat imaginea de douăzeci de mii de oriAcest tip de stratificare apare icircn straturi subţiri de copolimeri bloc ( straturile sunt de zeci de nanometri grosime ndash adică de o sută de mii de ori mai subţire decacirct o foaie de hacircrtie)
27
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Creaţii artistice realizate de Mariacristina Romano
Imaginile următoare au fost create cu UltraFractal 43 si mai tarziu editate cu Photoshop CS 40 cu texturi adaugate cu Aphophysis 209 (creator de flame fractale)
SupernovaAceasta este formată din trei fractali diferiti
- O formulă publică din baza de date a Ultrafractal care odata cu marirea unui detaliu ale acesteia si schimbarea unghiului a dat partea cea mai deschisa la culoare
- Un fractal cu efect circular care a dat partile albastre
- Un fractal spirala (aqua)Toate cele trei imagini au fost editate si suprapuse in photoshop cu diverse moduri ale layer-urilor(ldquoOverlayrdquordquoColor Dodgerdquo ldquoLightenrdquo etc) Partile roscate si oranj ale fractalului au fost realizate prin overlay cu un degredee rosu-galben La final am adaugat rosu in mijloc pentru ca astfel imaginea imi amintea de supernovele vezaute in documentare
Varsarea CerneliiAceasta imagine a fost la inceput un fractal Mandelbrot standardDand zoom pe depresiunea din partea carotida cea mai mare a fractalului am gasit o zona cu mai multe curve Nefind satisfacuta de cum arata imagine am dat zoom iar si am schimbat unghiul ceea ce a rezultat in formele din imagineAm selectat un degrade alb-negru cu contrast mare si tonuri subtile de lila facand imagine sa arate precum cerneala varsandu-se pe un plan negru
Sange de FerigaUtilizacircnd o formulă publică am creat fractalul de bază ce semană cu o feriga Am selectat un degrede oarecare pe verde si albastruAm deschis in Photoshop o flama fractală careia i-am dat Gaussian Blur urmat de Overlay ceea ce a conferit o textura ca de bokehAm adaugat pete si degradeuri de culoare rosie in mijlocul celor mai mari structuri de feriga pentru contrast de culoareAm dublat layer-ele dupa ce le-am unit si am dat Gaussian Blur dupa aceea Overlay Aceasta a facut imagine sa para mai luminoasa punand in evidenta rosul
28
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
HIVStructurile bulboase folosite ca baza au fost create in UltraFractal cu un degradee adaugat dupa aceea in Photoshop Culorile si formatia structurii mi-au adus aminte de o ilustratie anatomica asa ca am adaugat fractalul folosita in ldquoSupernovardquo ca un overlay ca sa arate ca un virusDupa am adaugat un fractal palmier pentru mai multa textura deasupra ldquocelulelorrdquoCulorile au fost editate ulteiror cu ldquoCurverdquo pentru a parea mai bolnavicioase
Scara spre CeruriAcesta este un compozit din trei fractali Primul creeaza structura cea mai mare care influenteaza forma Al doilea este un fractal in spirala care creeaza ldquoscarilerdquo luminoase Al treilea a fost folosit pentru a adauga texturi luminoase
Floarea Raului
Acesta este un simplu fractal spirala cu o textura tot spiralata peste care au fost puse culori toxice ca overlay accentuandu-se forma
Spirala Raiului Un fractal spirala a fost folosit ca baza Pentru efectul de raze a fost folosit un alt fractal pus sub modul Lighten Am dublat partile albastre ale spiralei si le-am facut culoarea mai intensa
29
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
30
Bibliografie
[1] Michael FBarnsley ndash ldquoFractals every where ldquo Second Edition Academic Press Professional 1993
[2] Heinz ndash Otto Peitgen Harmut Jurgens Dietmar Saupe ndash ldquoChaos and New frontiers of sciencerdquo ndash Springer Verlag 1992
[3] Robert LDevamy ndash bdquoChaos Fractals and Dynamicsrdquo ndash Wesley Publishing Company 1990[4] Mircea Olteanu-ldquo Fractalirdquo ndashcurs universitar Universitatea Politehnica din Bucureşti[5] Dominica Moise Brandusa Bogdan Doina Druta rdquoAlgoritmi numere si fractali rdquo editura
Printech Bucuresti 2007[6] H Rademacher O Toeplitz ndash ldquoDespre numere şi figuri rdquo[7] Florica T Campan ndash ldquoVechi şi nou icircn matematicărdquo[8] Florin Munteanu- ldquo Introducere icircn geometria fractalărdquo articol[9] Gazeta Matematică
[10] Revista de Matematică dn Timisoara[11] wwwscientiaro [12] wwwEurekalertorg [13] wwwYICorg [14] wwwunescoorg
