CAPITOLUL 3 APLICAII DE AEOELASTICITATE CLASIC n acest capitol prezentm aplicaii clasice de aeroelasticitate dinamic, folosind ca referin modelul seciunii tipice (sau arip rigid rezemat elastic). Sunt prezentate detaliat determinarea ecuaiilor de micare ale seciunii tipice pe baza formalismului Lagrange, calculul vitezei critice de flutter cu metode consacrate i calculul rspunsului dinamic. 3.1. MODELUL SECIUNII TIPICE CU DOU GRADE DE LIBERTATE 3.1.1. Modelul fizic

Modelul fizic de calcul este reprezentat de modelul seciunii tipice, seciune fixat elastic n centrul elastic (figura 3.1). Fixarea elastic n raport cu deformaia vertical este modelat printr-un resort de constant elastic hk iar

fixarea elastic n raport cu deformaia torsional este modelat printr-un resort de constant elastic tk . Seciunea este supus aciunii unui curent de aer.

Fig. 3.1. Seciunea tipic cu dou grade de libertate

3.1.2 Modelul matematic Cota z , luat pozitiv n sus, a oricrui punct al profilului este

( )w h x= + (3.1) unde x este distana msurat de la centrul elastic. Energia potenial i respectiv energia cinetic sunt date de relaiile:

2 21 1

2 2T hU K K h= + (3.2)

34

( )22 222 2

1 12

2 21 1

2 2

T w dx dx h xdx x dxh

m mx h Ih

= = + + =

= + +

(3.3)

Lucrul mecanic virtual al forelor aerodinamice nestaionare va fi:

{ }a hW p wdx p h x dx Q h Q = = + = + (3.4) unde fora hQ este pozitiv n sus i momentul Q este pozitiv n jos.

Ecuaiile Lagrange sunt date de:

( ) ( )q

T U T UdQ

dt q q

=

(3.5)

unde q h = , ne dau ecuaiile de micare ale profilului considerat: 2

2 22

1 / /0/

/0h

x h b F mbh b

x r M mbr

+ =

(3.6)

La atingerea regimului de fluturare se exprim variaiile n timp ale deformaiilor sub form armonic:

0 0i t i th h e e = , = (3.7)

Ecuaiile de micare devin n cazul oscilaiilor armonice: 2

22 22

1 / / /0

/0h

x h b h b F mb

x r M mbr

+ =

(3.8)

3.1.3 Fore aerodinamice nestaionare (modelul Theodorsen)

n cazul nestaionar, expresiile fortelor aerodinamice i a momentelor fa de axa elastic a suprafeei portante vor fi de forma:

3 2 1

2h hh

F b L L a Lb

pi = + +

(3.9)

Unde:

( ) 11 2hL i C kk

= (3.10)

si

2

1 1 2 2

2

C CL i

k k

+= (3.11)

iar ( )C k este funcia Theodorsen (dependent de frecvena redus bkV

= ).

35 Analog:

( )2

4 2 1 1 1

2 2 2h h h hh

M b M a L M a L M a Lb

pi = + + + + + +

(3.12) Unde:

1 3 1

2 8hM M i

k= , = (3.13)

Folosind aceste fore aerodinamice nestaionare armonice, ecuaiile de micare devin:

( )

22

2 2

2

2

1 / /0

0

1

2 /

1 1 1

2 2 2

h

h h

h h h h

x h b h b

x r r

L L a Lh b

M a L M a L M a L

+ =

+ = + + + + +

(3.14)

Notm fraciile 2

22

= i 2

22hR

= i le introducem n ecuaie. Rezult:

( )

22

2 2

2

2

1 / /0

0

1

2 /

1 1 1

2 2 2

h h

h h h h

x h b h bR

x r r

L L a Lh b

M a L M a L M a L

+

+ = + + + + +

(3.15) 3.1.4 Fore aerodinamice n regim quasi-staionar

n regim quasi-staionar forele aerodinamice se obin prin impunerea

valorii atribuind funciei Theodorsen valoarea ( ) 1C k = n relaiile solicitrilor aerodinamice determinate pentru regimul oscilator armonic.

36 3.2. MODELUL SECIUNII TIPICE CU TREI GRADE DE LIBERTATE 3.2.1 Modelul fizic

Atam o suprafa de comand la bordul de fug al profilului discutat n seciunea anterioar. Suprafaa de comand este articulat n punctul situat la distana cb fa de centrul corzii. La fel ca n cazul precedent, profilul este fixat elastic n centrul elastic prin intermediul a dou resorturi de rigiditate hK respectiv tK iar suprafaa de

comand este fixat elastic de profil prin intermediul unui resort de rigiditate K .

Fig. 3.2. Seciune tipic cu trei grade de libertate

3.2.2 Modelul matematic Cota w, luat pozitiv n sus, a oricrui punct de pe profil este dat de relaia:

( ( )) ( ( ))w h x x bc ba U x bc ba = (3.16) unde x este distana msurat de la centrul corzii iar ( )U x bc este funcia treapt Energia potenial respectiv energia cinetic sunt date de relaiile:

( )2 2 212 h T

U K h K K = + + (3.17)

( )( )

22 221 1 1 1

2 2 2 2T dx m mx h I Iz h

mx h I mx bc ba

= = + + +

+ + +

(3.18)

Ecuaiile Lagrange:

( ) ( )q

d T U T UQ

dt q q

=

(3.19)

unde ( ),q h = , , ne conduc la ecuaiile de micare ale profilului considerat:

37

( )( )

2 2

2 2

0 0

0 0

0 0

h

t

m mx mx h K h

mx mr mr mx bc ba K

mx mr mx bc ba mr K

F

M

M

+ + = +

=

(3.20)

unde [ ] ( )( )

2 2

2 2

m mx mx

M mx mr mr mx bc ba

mx mr mx bc ba mr

= + +

(3.21)

este matricea maselor

iar [ ]0 0

0 0

0 0

h

t

K

K K

K

=

(3.22)

este matricea de rigiditate. n form adimensional ecuaia se scrie:

( )( )

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

1 / 0 0 /

0 0

0 0

/

/

/

hx x h b h b

x r r x bc ba r

x r x bc ba r r

F mb

M mb

M mb

+ + = +

=

(3.23)

Impunem soluiile de forma 0 0 0,i t i t i th h e e e = , = = . (3.24)

Ecuaiile de micare devin:

38

( )( )

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

1 / 0 0 /

0 0

0 0

/

/

/

hx x h b h b

x r r x bc ba r

x r x bc ba r r

F mb

M mb

M mb

+ + = +

=

(3.25) 3.2.3 Fore aerodinamice nestaionare (modelul Theodorsen)

Fora total i momentul rezultate din curgerea circulatorie si cea necirculatorie au expresiile:

24 1 2 ( )

V bF b h V ba T T VbQC kpi pi

pi pi = + (3.26)

( )

( ) ( ){ }

22 2 2

4 10

2

1 8 4 11 7 1

2

1 1

2 8

1

2

12 ( )

2

VM b bah Vb a b a T T

Vb bT T c a T T T c a T

Vb a QC k

pi pi

pi pi

pi

= + + +

+ + + + + +

+ +

(3.27)

( )

22

1 9 1 4 13

2 22

5 4 10 4 11 3 122

1 22

2

( )2

b Vb bM b T h T T a T T

V Vb bT T T T T T Vb T QC k

pi pi pi pi

pi pi pi

= + +

+ +

(3.28) unde

10 11

1

2 2

V bQ V h b a T T

pi pi = + + + +

(3.29)

Funciile T sunt definite dup cum urmeaz: 2

2 11

21 cos

3

cT c c c

+= + (3.30)

( ) ( ) ( )2

22 2 2 1 2 13

1 1 15 4 7 2 1 cos cos

8 4 8

cT c c c c c c c

= + + + +

(3.31)

39 2 1

4 1 cosT c c c= (3.32)

( ) ( )22 1 2 15 1 cos 2 1 cosT c c c c c = + (3.33) 2

2 2 17

7 2 11 cos

8 8

cT c c c c

+ = +

(3.34)

( )2 2 18 1 1 2 1 cos3T c c c c= + + (3.35)

( )2 29 4

1 11

2 3

c cT aT

= +

(3.36)

2 110 1 cosT c c

= + (3.37)

( ) ( )2 111 2 1 1 2 cosT c c c c= + (3.38)

( ) ( )2 112 2 1 1 2 cosT c c c c= + + (3.39)

( )13 7 11

2T T c a T= + (3.40)

15 4 10T T T= + (3.41)

( )16 1 8 4 111

2T T T c a T T= + (3.42)

17 9 1 4

12

2T T T a T

= +

(3.43)

18 5 4 10T T T T= (3.44)

19 4 11

1

2T T T= (3.45)

Q se poate rescrie n urmtoarea form folosind 1S si 2S

[ ]{ } [ ]{ }1 2s sQ V S x b S x= + (3.46) unde

101 0 1

TS

pi

= (3.47)

( ) 112 1 0.5 2T

S api

= (3.48)

40 /

s

h b

x

=

(3.49)

n form matriceal, forele aerodinamice i momentele vor fi:

{ }[ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ }

22

1 2 22

/2 2

/ 2 ( ) ( )

/

22

ss s nc

s snc nc

F bb b

M b q C k R S x C k R S x M xV V

M b

bq B Kx x

V

= + + +

+ +

(3.50) unde

12

2

2 ( 0 5)R a

T

pi

pi

= + .

(3.51)

1

13

31 13

12

8

2

nc

a T

M a a T

TT T

pi pi

pi pi

pi

= +

(3.52)

4

16

1917

0

10

2

0

nc

T

B a T

TT

pi

pi

pi

=

(3.53)

15

18

0 0 0

0 0

0 0

ncK T

T

pi

=

(3.54)

Observaie: innd cont de metodologia de deducere a forelor aerodinamice nestaionare, indicele nc reprezint contribuia prii necirculatorii a curgerii.

41 Cu forele i momentele aerodinamice definite mai sus, ecuaia micrii devine:

{ } { } { }[ ]{ } ( ) { }[ ]{ }

( ) [ ]{ } ( ) [ ]{ } [ ]{ }

21 2

22

2

22 ( ) ( )

2 22

s s s s

nc s nc s nc s

q bM x K x C k R S x i C k R S x

m V

b bM x i B x K x

VV

+ = + +

+ + +

(3.55) i mai departe:

{ } { } { }[ ]{ } { }[ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

1 22 2

2

1 1 1 1( ) ( )

1 1

s s s s

nc s nc s nc s

K x M x C k R S x i C k R S xkk

M x i B x K xk k

pi = + +

+ +

(3.56) 3.2.4 Fore aerodinamice n regim quasi-staionar

Forele i momentele aerodinamice quasi-staionare se obin din forele i

momentele aerodinamice n regim oscilatoriu armonic lund ( ) 1C k = . Se impune observaia c n acest caz modelul Theodorsen devine unul n timp. 3.3 CALCULUL VITEZEI DE FLUTTER CU METODA V-g Metoda V-g este considerat clasic n aeroelasticitate, fiind folosit pe scar industrial. n continuare prezentm numai algoritmul de baz al metodei. 3.3.1 Algoritmul metodei

Pentru fiecare caz n parte (regim nestaionar i regim quasi-staionar) exprimm ecuaia (3.15) n urmtoarea form:

[ ] 2/ /1h b h b

K A M

= +

(3.57)

unde K este matricea de rigiditate structural, M matricea maselor generalizate, iar A este matricea solicitrilor aerodinamice corespunztoare regimului aerodinamic considerat (nestaionar respectiv quasi-staionar). Introducem amortizarea fictiv g :

[ ] ( )[ ]1K ig K= + (3.58) i vom cuta soluiile pentru care amortizarea fictiv g este nul.

42 Rezolvarea problemei de fluturare se rezum la rezolvarea unei probleme de valori

proprii complexe pentru fiecare frecven redus, unde, frecvena redus b

kV

=

ia valori ntr-un domeniu ce se determin pornind de la b

kV

= ,

( )max , h = i maxV V avnd b fixat. ( ) [ ]21 / /1ig h b h b

K A M

+ = +

(3.59)

Valorile proprii ale ecuaiei (3.18) sunt de forma

2

1 ig

+=

(3.60)

Pentru aceste valori proprii avem:

( )

2

2

1

Rei

= (3.61)

( )( )

Im

Reg

= (3.62)

Se reprezint grafic curbele ( )g g V= i ( )V = iar viteza de fluturare,n

form adimensional, se va gsi cnd amortizarea ( )( )

Im

Reg

= schimb semnul.

3.3.2 Aplicaie numeric pentru seciunea tipic cu dou grade de libertate

Pentru efectuarea comparaiilor numerice s-a considerat modelul seciunii tipice cu dou grade de libertate, avnd urmtoarele caracteristici:

0,2x = ; 0,5r = ; 20 = ; 0,1a = ; 1b = ; 0,3R = . n figura 3.3 curbele reprezentate cu culoarea roie corespund cazului n

care forele i momentele aerodinamice au fost calculate cu metoda propus de Theodorsen (cazul nestaionar). Cu culoarea albastr au fost reprezentate curbele

( )g g V= pentru cazul regimului quasi-staionar. Viteza de fluturare ( n form adimensional ) pentru cele dou cazuri se

gsete la intersecia curbelor ( rou respectiv albastru ) cu axa 0g = . Se observ o diferen foarte mare ntre cele dou valori determinate ale vitezei critice de fluturare. Dac diferena ntre cele dou viteze ar fi fost mic am fi tras concluzia c modelarea fenomenului n regim quasi-staionar este una acoperitoare. Lucrurile nu stau ns aa i, este evident faptul c pentru o aproximare ct mai

43

Fig. 3.3 Curbe vitez-amortizare

Fig. 3.4 Curbe vitez-frecven

44 realist a fenomenului este necesar s se calculeze forele i momentele aerodinamice n regim oscilatoriu armonic. 3.3.4 Calculul flutter-ului prin metoda V-g n cazul seciunii tipice cu trei grade de libertate Algoritmul metodei este asemntor cu cel descris anterior, dar prezint cteva particulariti pe care le detaliem n continuare. Cu amortizarea structural fictiv de forma:

[ ] ( )[ ]1K ig K= + (3.63) Rezult din ecuaiile de micare, pentru oscilaii armonice::

{ } { } { }[ ]{ } { }[ ]{ }

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

1 22 2

2

1 1 1 1( ) ( )

1 1

s s s s

nc s nc s nc s

igK x M x C k R S x i C k R S x

kk

M x i B x K xk k

pi+ = + +

+ +

(3.64) Din nou avem de rezolvat o problem de valori proprii complexe.

Pentru o frecven redus b

kV

= valorile proprii sunt

2

1 ig

+

= (3.65)

i vom avea

( )2 1

Re

= (3.66)

( )( )

Im

Reg

= (3.67)

Se reprezint grafic curbele ( )g g V= si ( )V = . Pentru efectuarea comparaiilor numerice s-a considerat modelul seciunii

tipice cu urmtoarele caracteristici:

[ ]50 /h rad s = ; [ ]100 /rad s = ; [ ]300 /rad s = ; 0,2x = ; 0,0125x = ;

2 0, 25r = ; 2 0,00625r = ; 40 = ;

0, 4a = ; 1b = ; 0,6c =

n figurile 3.5-3.8 sunt prezentate principalele rezultate obinute, folosind forele aerodinamice oscilatorii armonice i respectiv modelul quasi-staionar.

n acest caz se observ c diferena nu este foarte mare ntre cele dou valori determinate ale vitezei critice de fluturare. Totui, nici de data aceasta

45 modelul quasi-staionar nu este satisfctor deoarece indic o amortizare foarte mic. O abatere foarte mic n calculul amortizrii conduce la abateri mari n localizarea vitezei de fluturare.

Fig. 3.5 Curbe vitez-frecven, model Theodorsen

Fig. 3.6 Curbe vitez-frecven, model quasi-staionar

46

Fig. 3.7 Curbe vitez-amortizare, model Theodorsen

Fig. 3.8 Curbe vitez-amortizare, model quasi-staionar

47 3.4 CALCULUL VITEZEI CRITICE DE FLUTTER CU METODA p-k Metoda p-k este o alternativ la metoda V-g, fiind preferat uneori acesteia din urm. 3.4.1 Algoritmul metodei Ecuaia de la care se pleac este:

[ ] [ ] [ ] [ ]h h h h

M C K A

+ + =

(3.68)

unde [ ]A este matricea solicitrilor aerodinamice i se va defini ulterior.

Soluia neomogen se presupune de forma ,pth

e p

.

Trecem la un vector al necunoscutelor de forma x

Zy

=

unde

h

x

=

iar

h

y

=

i

h

Zh

=

(3.69)

Rescriem ecuaia (3.68) sub forma:

[ ] [ ] [ ] [ ]M x C x K x A x+ + = (3.70) Fora i momentele aerodinamice sunt:

24 1 2 ( )

V bF b h V ba T T VbQC kpi pi

pi pi = + (3.71)

respectiv

48

( )

( ) ( ){ }

22 2 2

4 10

2

1 8 4 11 7 1

2

1 1

2 8

1

2

12 ( )

2

VM b bah Vb a b a T T

Vb bT T c a T T T c a T

Vb a QC k

pi pi

pi pi

pi

= + + +

+ + + + + +

+ +

(3.72)

( )

22

1 9 1 4 13

2

5 4 10

22

4 11 3 122

1 22

2

( )2

b Vb bM b T h T T a T T

VT T T

Vb bT T T Vb T QC k

pi pi pi pi

pi

pi pi

= + +

+

+ +

(3.73) unde

10 11

1

2 2

V bQ V h b a T T

pi pi = + + + +

(3.74)

iar functiile T sunt definite de relaiile prezentate anterior..

Explicitm forma general [ ]A x astfel:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 0F

A x A x A x A x M

M

= + + =

(3.75)

unde

[ ] ( )

2 3 31

3 4 2 42 7 1

43 4 3

1 13

1

8

2

b b a b T

A b a b a b T c a T

b Tb T b T

pi pi

pi pi

pi

= + +

(3.76)

49

[ ]

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

2 2 2 24 11

3 31 8 4 11

21

3 311

39 1 4

212

12 2

2

1 1

2 212

2 1 1 12

2 2 2

12

2

VbC k Vb VbC k a VbT VbT C k

bV a bV T T c a T T

A VbC k a

Vb a a C k bV a T C k

Vb T T a T

VbT C k

pi pi pi

pi pi

pi

+ + + + = + + + + +

+

( ) ( )

3

4 11

33

11 1212

2

122

VbTT

VbT T C kVbT C k a

pi

pi

(3.77)

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 210

2 2 2 2 2 20 10 4 10

2 22 2

12 10 12 5 4 10

0 2 2

1 10 2 2

2 2

0

V bC k V bT C k

A V b a C k V b a T C k V b T T

V bV b T C k T T C k T T T

pi

pi

pi

= + + +

+ (3.78) Rescriem ecuaia (3.70) sub forma:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 1 0 0M A x C A x K A x + + = (3.79) sau

[ ]0M x C x K x + + = (3.80) unde

[ ] [ ]2M M A = (3.81) [ ] [ ]1C C A = (3.82) [ ] [ ]0K K A = (3.83)

Din ecuaia (3.80) rezult:

( )1x M C x K x = + (3.84) reamintim c s-a definit x y x y= = Ecuaia (3.84) se rescrie:

50

( )1y M C y K x = + (3.85) Rezult

1 1

yxZ

y M C y M K x

= =

(3.86)

sau

1 1

0 I xZ

yM K M C

=

(3.87)

adic

1 1

0 IZ Z

M K M C

=

(3.88)

1 1

00

IZ Z

M K M C

=

(3.89)

Lund ,ptZ Ze p= rezult:

[ ]1 10

0I

p I ZM K M C

=

(3.90)

Algoritmul de calcul Algoritmul metodei p-k const n a calcula n mod iterativ frecvena redus

bk

V

= pentru o serie de viteze cuprinse ntr-un interval n care se presupune c

s-ar afla viteza de fluturare. Procesul iterativ necesit o valoare iniial pentru

frecvena redus k , valoare ce poate fi considerat 0. Din b

kV

= se determin

frecvena iniial . Pentru o vitez dat se calculeaz valorile proprii ale ecuaiei (3.90) i se rein

valorile proprii p care ndeplinesc condiia ( )Im 0p > . Dintre aceste valori proprii se reine valoarea proprie p care ndeplinete condiia

( )( )min Im impusp . Partea imaginar a acestei valori proprii este noua

51 frecven ( )Im p = . Din aceeai valoare proprie se determin amortizarea ca

fiind ( )( )

Im

Re

p

p = .

Din b

kV

= rezult ( )Imnou

bk p

V= . Noua valoare calculat a frecvenei reduse

este folosit la reiniializarea procesului iterativ. Criteriile de oprire ale iteraiei sunt: -depirea numrului maxim de iteraii

-ndeplinirea condiiei nouk k < . Valoarea i numrul maxim de iteraii se fixeaz funcie de acurateea dorit, timpul de calcul i nu n ultimul rnd de capacitatea sistemului de calcul. La oprirea procesului iterativ se stocheaz , ,k i se reprezint grafic funcie de vitez. Acelai proces iterativ se reia pentru urmtoarea vitez pn cnd intervalul

de interes este acoperit. Viteza de fluturare se va gsi la intersecia curbei ( )V cu axa 0 = sau impus = 3.4.2. Rezultate numerice Pentru efectuarea calculelor numerice s-a considerat modelul sectiunii tipice cu urmatoarele caracteristici:

[ ]50 /h rad s = ; [ ]100 /rad s = ; [ ]300 /rad s = ; 0,2x = ; 0,0125x = ;

2 0,25r = ; 2 0,00625r = ; 40 = ; 0,4a = ; 1b = ;

0,6c = Forele aerodinamice nestaionare oscilatorii sunt determinate cu modelul Theodorsen. Rezultatele numerice obinute sunt reprezentate grafic n figurile 3.9-3.10. Se constat o concordan destul de bun cu unele rezultate obinute cu metoda V-g.

52

Figura 3.9 Curba vitez-amortizare

Fig. 3.10 Curba vitez-frecven

53 3.5. DETERMINAREA RSPUNSULUI DINAMIC AL SISTEMULUI AEROELASTIC

n continuare prezentm succint algoritmii de calcul ai metodelor Newmark i Runge-Kutta, foloii pentru a determina rspunsul dinamic al sistemului. Modelul aeroelastic este cel al seciunii tipice cu trei grade de libertate, forele aerodinamice fiind determinate n timp, cu un model quasi-staionar. 3.5.1 Modelul aeroelastic Ecuaia de micare este:

( )( )

{ }

2 2

2 2

0

0 0

0 0

0 0

h

t

m mx mx h

mx mr mr mx bc ba

mx mr mx bc ba mr

K h F

K M Q

K M

+ + +

+ = +

(3.91)

unde { }0Q reprezint efectul cmpului gravitaional. innd cont de faptul c

[ ] [ ] [ ]2 1 0F h h h

M A A A

M

= + +

(3.92)

unde [ ] [ ] [ ]2 1 0, ,A A A sunt explicate pe larg n relaiile din paragrafele anterioare. Putem scrie ecuaia (3.91) sub forma

[ ] [ ] [ ] { }2 1 0 0h h h

M A C A K A Q

+ + =

(3.93)

sau

{ }0h h h

M C K Q

+ + =

(3.94)

unde, evident:

[ ] [ ]2M M A = (3.95)

54

[ ] [ ]1C C A = (3.96) [ ] [ ]0K K A = (3.97)

3.5.2 Metoda Newmark Metoda Newmark este consacrat pentru calcul soluiilor sistemelor de ecuaii difereniale de ordinul al doilea, cuplate, care reprezint legi de micare. Fie problema liniar:

( )( )( )

0

0

0

0

Mq Cq Kq Q t

q q

q q

+ + =

= =

(3.98)

unde [ ]0, Ft t iar , ,M C K sunt matrici constante. Se discretizeaz intervalul de timp astfel nct 1n nt t t ct+ = = . Fiind cunoscute perioadele de oscilaie ale fiecrui grad de libertate t se alege ca fiind

1,2,..,

1

min 20,max 40 nt T =

Metoda Newmark folosete urmtoarele relaii de calcul pentru vitezele i deplasrile generalizate:

( )1 11n n n nq q tq tq + += + + (3.99) ( )21 10,5n n n n nq q tq t q q + += + + + (3.100) alturi de relaia de calcul a acceleraiei generalizate:

( )

( )1 12

1 2

1

0,5

n n n

n

n n n

Q C q tqq M tC t K

K q tq t q

+

+

+ = + + + +

(3.101)

Acceleraiile generalizate din 1nq + si 1nq + implic utilizarea unei proceduri

de tip predictor-corector. Algoritmul de calcul este urmtorul: Din condiiile iniiale date se calculeaz acceleraia:

( ){ }10 0 0 0 00, ,q M Q q q Kq Cq= (3.102) aceast acceleraie va fi folosit la evaluarea strilor, vitezelor i acceleraiilor generalizate:

( )1 1n n nq q tq+ = + (3.103) ( ) 21 0,5n n n nq q tq t q+ = + + (3.104)

55

( ){ }121 1 1 1 1 1, ,n n n n n nq M tC t K Q t q q Cq Kq + + + + + + = + + (3.105) Se corecteaz aceste aproximaii obinndu-se strile, vitezele i acceleraiile generalizate necesare pentru pasul urmtor:

1 1 1n n nq q tq

+ + += + (3.106)

21 1 1n n nq q t q

+ + += + (3.107)

( ){ }11 1 1 1 1 1, ,n n n n n nq M Q t q q Kq Cq+ + + + + += (3.108)

Coeficienii folosii sunt 1

2 = i

1

4 = .

3.5.3 Metoda Runge-Kutta Aceast metod este consacrat pentru integrarea sistemelor de ecuaii difereniale de ordinul nti, liniare sau neliniare. Fie sistemul

{ }0h h h

M C K Q

+ + =

(3.109)

unde

h

x

=

. Explicaii pe larg privind semnificaia termenilor sunt date

n relaiile (3.91)...(3.97). Metoda Runge Kutta implic urmtoarea prelucrare a sistemului:

Se trece la un vector al necunoscutelor de forma x

Wy

=

unde y x= .

{ }0M y C y K x Q + + = (3.110) rezult

{ }( )1 0y M Q C y K x = (3.111) atunci

{ }( )1 0

yxW

y M Q C y K x

= =

(3.112)

ceea ce se poate scrie ca:

56

{ }1 1 1

0

0 0Ix xdW

y ydt M K M C M Q

= = +

(3.113)

Notm n continuare

{ }1 1 1

0

0 0I xR

yM K M C M Q

= +

(3.114)

Avnd sistemul i condiiile iniiale:

( ) 00

dWR

dt

W W

= =

(3.115)

i aflndu-ne la momentul nt , W la momentul 1nt + se determin astfel:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0

1 0 01

1 0 21

0 1

1

...

n

m m

m

m m

m

mn

W W

W W tR

W W tR

W W tR

W W

+

=

= +

= +

= +

=

(3.116)

unde

1

11,2,..,

km k

k m

= +

= (3.117)

Pentru cazul de fa s-a folosit schema Runge Kutta de ordinul 4 3.5.3 Rezultate numerice

Pentru efectuarea calculelor numerice s-a considerat modelul sectiunii tipice cu urmatoarele caracteristici:

50[ / ]h rad s = , 100[ / ]rad s = , 300[ / ]rad s =

0.4a = , 0.6c = , 1b = , 0.2x = , 0.0125x = , 2 0.25r = ,

2 0.00625r = , 40 = . Condiiile iniiale:

0.2 , 10 , 10 , 0.5 / , 0 / , 0 / ,h m h m s rad s rad s = = = = = =

57 Viteza de calcul este sub cea de fluturare, [ ]40 /V m s= . n graficele urmtoare cu negru s-a reprezentat h , cu rou iar cu verde .

Fig. 3.11 Deplasrile calculate cu metoda Newmark

Fig. 3.12 Deplasrile calculate cu metoda Newmark