1

COMPASE GIROSCOPICE

2.1. Giroscopul 2.1.1. Definiţii• Giroscopul este un rigid cu un punct fix, O, căruia i s-a imprimat o viteză unghiulară foarte mare în jurul axei de simetrie, suspendat în centrul de simetrie O cu ajutorul unui sistem cardanic care permite schimbarea direcţiei axei principale în spaţiu.

• Pentru studierea proprietăţilor şi legilor de mişcare ale giroscopului se foloseşte giroscopul de laborator (fig. 2.1.)

2

Fig. 2.1. Giroscopul de laborator

• Elementul principal al giroscopului este torul care reprezintă un disc cu masa principală distribuită uniform spre periferie şi care se roteşte în jurul axei de simetrie x -x, numită axă principală.

3

Torul este suspendat cu ajutorul suspensiei cardanice formată din inelul cardanic orizontal, inelul cardanic vertical şi inelul exterior care-i permite să execute mişcări de rotaţie în jurul a trei axe rectangulare cu centrul în centrul de suspensie, acest giroscop are trei grade de libertate.

Centrul de greutate se suprapune cu centrul de suspensie şi se neglijează forţele de frecare din lagăre şi cu aerul, deci asupra lui nu acţionează forţe exterioare.Giroscopul cu trei grade de libertate al cărui centru de greutate coincide cu centrul de suspensie se numeşte giroscop compensat, iar dacă asupra lui nu acţionează forţe exterioare se numeşte giroscop liber.

4

1.1.2. Noţiuni de bază din mecanică1.1.2.1. Mişcarea de rotaţie a solidului rigid

Un solid rigid are o mişcare de rotaţie, dacă în timpul mişcării două puncte ale rigidului rămân fixe în spaţiu, dreapta care trece prin cele două puncte se numeşte axă de rotaţie.

Pentru studiul mişcării se consideră triedrul mobil OXYZ solidar cu rigidul, având originea în punctul O şi axa Ox în coincidenţă cu axa de rotaţie. Triedrul fix OX1Y1Z1 se alege astfel încât originea O1 coincide cu O iar axa O1Z1 cu axa OZ (ca suport şi ca sens).

Se notează cu unghiul dintre axa O1Y1 a triedrului fix şi axa OY a triedrului mobil (fig. 1.2).

5

Fig. 1.2. Mişcarea de rotaţie

• Vectorul viteză unghiulară ( ) are ca suport axa de rotaţie şi sensul este dat de regula burghiului drept (sensul de înaintare al burghiului drept când este rotit în sensul de rotaţie al giroscopului).• Vectorul ( ) se scrie:

kk

6

• Vectorul acceleraţie unghiulară are expresia

• momentul de inerţie planar

• momentul de inerţie axial

• momentul de inerţie polar

• Teorema impulsului

• Momentul cinetic al unui sist. de pct. materiale

• Teorema momentului cinetic (1.19)

kk

2iixOy zmJ

22iiiOx zymJ

2222iiiiiix rmzyxmJ

ii vmH

iii vmrk

ii Frdt

kd

7

• Ec. de mişcare (ec lui Euler)- proiectând ec. momentului cinetic pe axele sist. mobil Oxyz obţinem

• Jxy, Jyz,Jzx sunt nule, rezultă expresia derivatei

• proiectând rel. (1.19) pe sist. mobil Oxyz obţinem (2.24)

•

zxzyxyxxx JJJK

zyzyyxyxy JJJK zzyzyxzxz JJJK

zyx

zyxzyx

JJJ

kji

kJjJiJKt

K

dt

Kd

321

321

Oxzyx MJJJ

231

Oyxzy MJJJ

312

Ozyxx MJJJ

123

8

• 1.1.3. Proprietăţile giroscopului liber

• 1.1.3.1. Inerţia(stabilitatea) giroscopului• Fig. 2.4 Proprietatea de stabilitate

• Alegând axa de simetrie ca axă Ox a triedrului mobil, solidar cu

rigidul, Mx= 0, My=0, Mz=0, şi de asemenea J1=J2, ec. lui Euler devin

0231 zyx JJ

dt

dJ

9

• Din ultima relaţie rezultă şi prin integrare

• Înlocuind în celelalte două ecuaţii rezultă (2.27)

• Derivând prima relaţie şi înlocuind pe din cea de a doua obţinem:

• Notând , soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.27) rezultă:

• Din prima relaţie (2.26) rezultă:

• sau ţinând seama de notaţia făcută:

0dt

d zoz

00231 yx JJ

dt

dJ 00312 x

y JJdt

dJ

dt

d y

02

1

232

2

x

x

J

JJ

dt

d

pJ

JJ

0

1

23

ptCptCx sincos 21

ptpCptpCJJ

J

dt

d

JJ

J xy cossin 21

023

1

023

1

ptCptCy cossin 21

10

• Semnele ± corespund cazurilor J3>J2 sau respectiv J3<J2. Constantele C1 şi C2 depind de condiţiile iniţiale. Dacă giroscopul nu este perturbat, atunci la t = o avem şi rezultă C1=C2=0.

• Deoarece avem un giroscop liber, momentul rezultant al forţelor exterioare şi deci conform teoremei momentului cinetic:

• Rezultă

• Admitem că în momentul iniţial i-a fost imprimată torului numai

viteza unghiulară a rotaţiei proprii al cărei vector coincide

cu axa Oz (fig. 2.4). În acest caz este valabilă egalitatea:

• Din această expresie rezultă că vectorul şi deci axa principală de rotaţie a giroscopului liber îşi menţine constantă direcţia dată iniţial în spaţiu.

0,0 00 yx

0

M

0

Mdt

Kd

.constK

z

tconsJK tan

11

• 2.1.3.2. Precesia giroscopului (Efectul giroscopic) • Momentul cinetic , orientat în lungul axei de rotaţie, are

scalarul unde s-a notat cu J momentul de inerţie în raport cu axa de rotaţie şi cu viteza unghiulară, foarte mare.

• Presupunem că asupra giroscopuluiacţ. forţa ext. aplicată într-un punct A de pe axa de rotaţie din planul Oxz• Momentul acestei forţe în rap.cu punctul fix O va fi al cărui scalar este Mo=Fd . În baza teoremei mom. cinetic sau

Fig. 2.5 Precesia giroscopului

• unde este vit. liniară a vârfului vectorului

KJK

F

0M

VMdt

Kd0

dtMdK

0

K

v

V

12

• deci

• rezultă că

• unde viteza unghiulară de precesie

• Viteza unghiulară de precesie este orientată după axa Oz, deci giroscopul va executa o mişcare de precesie în planul Oxy.

• Sensul precesiei se determină cu o regulă practică, "momentul cinetic al giroscopului tinde să se suprapună peste momentul rezultant al forţelor exterioare“

• 2.1.3.8. Nutaţia giroscopului

• Reprezintă mişcarea axului giroscopului sub influenţa unui moment care acţionează în permanenţă.

• Se consideră un giroscop cu viteza unghiulară , al cărui sistem de axe OXYZo coincide cu sistemul ONWZn şi cu polul orientat

pe direcţia axei ON (fig. 2.11).

pJ

dt

dJ

dt

dJJ

dt

d

dt

Kd

0MJ p

J

Mp

p

13

• Asupra giroscopului acţionează

forţa F în planul OXZo , care dă

naştere momentului My după

axa Oy.

• Ec tehnice ale giroscopului devin• Fig. 2.11. Nutaţia giroscopului

• Integrând a doua ec. pt. t=0 rezultă

• Rezolvând în raport cu obţinem

• Înlocuind pe şi împărţind la coef. lui obţinem

cu soluţia parţială

iar sol. ec. omogene are forma

yMHI

0

HI

0;0 00

I

H

I

M

I

H y

2

2

2H

IM yr

02

2

I

H

qtCqtC sincos 21

14

unde q=H/I

• Soluţia generală a ec. neomogene va fi

• unde C1 şi C2 sunt const. de integrare, date de cond. iniţiale (derivând, pentru t=0, rezultă ) şi se obţine

sau dar atunci

• Înlocuind valorile lui C1 şi C2 în ec. neomogenă rezultă

• Înlocuind pe în relaţia lui se obţine

• C3 const. de integrare care la t=0 şi este 0.

• Înlocuind în ultimele două ec. pe q şi obţinem legile de variaţie ale unghiurilor şi

• din ec. anterioară rezultă că giroscopul execută o mişcare de

rqtCqtC sincos 21

0

rC 10

rC 1 20 qC 0q 02 C

rr qt cos

3sin Cqttq rr 00

r

22cos

H

IMt

I

H

H

IM yy tI

H

H

Mt

H

M yy sin22

15

• rotaţie uniformă în jurul axei verticale, cu vit. unghiulară

• Peste această mişcare se suprapun oscilaţiile armonice exec. de giroscop în planurile unghiurilor şi

• Oscilaţiile executate de axa giroscopului se numesc oscilaţii de nutaţie sau nutaţie, polul giroscopului descrie spire (caneluri) mişcându-se în direcţie perpendiculară pe planul forţei.

• Înălţimea acestor caneluri este egală cu dublul amplitudinilor oscilaţiilor de nutaţie, mărimile lor sunt invers proporţionale cu pătratul momentului cinetic, din acest motiv atât amplitudinea cât şi perioada sunt forte mici, motiv pentru care nutaţia se neglijează în studiul aparatelor giroscopice.

• 2.2. Mişcarea aparentă, diurnă a axei principale a giroscopului liber

• Este consecinţă a mişcării diurne a Pământului şi a proprietăţii de inerţie a axei principale a giroscopului liber.

H

M yp

16

• 2.2.1. Componentele vitezei unghiulare de rotaţie a Pământului

• Vectorul (viteză unghiulară de rotaţie a Pămţntului)se descompune în două componente: una orizontală dispusă pe direcţia NS şi una verticală dispusă pe verticala locului.

• Această mişcare de

rotaţie poate fi

considerată ca mişcare

compusă formată din: mişcarea de rotaţie a axelor

ZnNd şi EW împreună cu planele meridianului şi orizontului în jurul

axei NS cu viteza unghiulară • mişcarea de rotaţie a axelor NS şi EW împreună cu planele

meridianului şi primului vertical în jurul axei ZnNd cu viteza unghiulară

o

v

t

0

v

17

• Din figura 2.12 reiese că:

• reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a planului orizontului în jurul direcţiei NS (estul coboară, westul se ridică).

• reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a planului meridianului în jurul direcţiei ZnNd (nordul se deplasează spre west).

• 2.2.2. Mişcarea aparentă a axului principal al giroscopului liber

• Proiectăm vectorii şi ai vitezelor unghiulare de rotaţie a planelor orizontului şi meridianului, pe axele OY şi OZ, obţinem:

• Expresiile determina vitezele unghiulare ale rotirii adevărate a planurilor orizontului şi meridianului în raport cu axa principală fixă în spaţiu a giroscopului liber şi reprezintă vitezele unghiulare a variaţiei aparente ale înălţimii şi azimutului polului giroscopului.

cos0 t sint

0

0

10 sincossin Voyt

2sin Vvztv

18

Fig. 2.13 Mişcarea aparenta a axei giroscopului

19

• Ca urmare axa principală a giroscopului liber va executa o mişcare aparentă faţă de planul orizontului cu viteza dată de viteza unghiulară şi una faţă de planul meridianului cu viteza dată de viteza unghiulară .

• Viteza liniară aparentă a axului giroscopului are sensul de ridicare pentru înclinarea axului spre E faţă de meridian şi sens de coborâre când axa este înclinată spre vest, viteza de înclinare faţă de planul orizontului depinde de unghiul (azimut).

• Viteza liniară aparentă a axului girocompasului are sensul spre est pentru latitudine nordică şi spre vest pentru latitudine sudică, viteza de înclinare faţă de planul meridianului este constantă pentru o anumită latitudine.

• Se dispune giroscopul la latitudinea nordică, în momentul iniţial având axa principală orizontală (în planul orizontului) şi pe direcţia nord (în planul meridianului) (fig. 2.14).

oy

z

1V

2V

2V

20

• Giroscopul datorită mişcării aparente

nu va rămâne în planul meridianului

ci se va deplasa spre est, imediat ce axa

a ieşit din meridian apare mişcarea

aparentă de înclinare faţă de planul

orizontului şi axa se va ridica, astfel că

după 6 ore axa va fi înclinată spre

est cu unghiul şi ridicată faţă de

planul orizontului cu unghiul . Fig. 2.14 Traiectoria axei giroscopului datorita mişcării aparente

• După 12 ore axa revine în planul meridianului dar este ridicată cu unghiul faţă de planul orizontului, după 18 ore axa se deplasează spre vest faţă de meridian cu unghiul şi coboară spre planul orizontului fiind ridicată cu unghiul faţă de orizont. După 24 ore axa revine în poziţia iniţială.

• se neglijat frecările

2V

1V

2

21

• În concluzie chiar dacă iniţial giroscopul a fost cu axa în planul meridianului şi planul orizontului, acesta a executa oscilaţii atât faţă de planul orizontului cât şi faţă de planul meridianului, oscilaţii cu perioada de 24 ore.

• Deci giroscopul liber nu poate fi folosit ca indicator al direcţiei nord, este necesar să fie anulate înclinările faţă de planele orizontului şi meridianului, operaţie care se numeşte "transformarea giroscopului în girocompas".

22