Home >Documents >ă ş ţ ş ţ ă ţ ă ţ ă ţ ă ş ă ş ţ ă ţ ă suportul ei f ă ă ţ .... Dr. Ing....

ă ş ţ ş ţ ă ţ ă ţ ă ţ ă ş ă ş ţ ă ţ ă suportul ei f ă ă ţ .... Dr. Ing....

Date post:04-Apr-2018
Category:
View:263 times
Download:2 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • Capitolul II. Reducerea sistemelor de fore

    Toate operaiile definite n cadrul algebrei vectorilor liberi prezentate n

    Capitolul I vor fi extinse n prezentul capitol pentru vectorii alunectori i

    legai. Acest calcul se deosebete de cel specific vectorilor liberi; operaiile

    definite pentru vectori liberi, vor trebui efectuate n cazul vectorilor

    alunectori n punctul comun de intersecie al suporturilor vectorilor

    alunectori, iar n cazul vectorilor legai, n punctul comun de aplicaie al

    vectorilor respectivi. Calculul vectorial se aplic att forelor care acioneaz

    asupra corpurilor ct i altor mrimi care pot fi reprezentate prin vectori

    alunectori i legai.

    Referitor la forele ce acioneaz corpurilor, acestea vor fi reprezentate

    fie prin vectori alunectori, fie prin vectori legai. Spre exemplu:

    forele care acioneaz asupra unui corp rigid pot fi reprezentate prin

    vectori alunectori; punctul de aplicaie al unei fore poate fi deplasat pe

    suportul ei fr ca efectul pe care fora l are asupra corpului rigid s se

    schimbe;

    forele care acioneaz asupra unui corp asimilat cu un punct material

    pot fi reprezentate prin vectori legai.

    Momentul unui vector n raport cu un punct.

    FMomentul unui vector legat n raport cu polul 0 (sau momentul polar

    al vectorului F) se definete ca produsul vectorial dintre vectorul de poziie

    al punctului de aplicaie al vectorului F i vectorul F.

    FA0Fr)F(M0 (2.1)

    1

  • 0M

    F 0

    r A Fig. 2.1.

    0 0

    r

    r

    B B

    A A

    F F

    C

    0M 0M

    b

    a) b) Fig. 2.2.

    cr

    Momentul unui vector alunector F n raport cu polul 0 (sau momentul

    polar al vectorului F) se definete ca produsul vectorial dintre vectorul de

    poziie al unui punct oarecare al suportului vectorului F i vectorul F .

    FrFA0)F(M0 (2.2)

    Relaia (2.2) evideniaz faptul c momentul polar 0M are caracteristicile i proprietile produsului vectorial, adic:

    - este perpendicular pe planul format de vectorii F i r ; - sensul este dat de regula burghiului drept;

    - mrimea este dat de relaia:

    2

  • FbF,rsinFrM (2.3) unde b este braul: mrimea perpendicularei dus din pol pe suportul

    vectorului F (fig. 2.2.a); - este nul atunci cnd suportul vectorului trece prin pol.

    Proprietile momentului polar.

    1. Momentul polar al unui vector alunector nu se modific dac

    vectorul gliseaz pe suportul su. Acest lucru rezult din definiia

    momentului polar; dac vectorul F alunec pe suportul su astfel nct punctul su de aplicaie din A ajunge n C, atunci se pot scrie relaiile:

    FC0FCAFC0FCAC0FA0 , vectorii CA i F fiind coliniari ( FCA ), produsul lor vectorial este nul (fig. 2.2.b).

    2. Momentul polar al unui vector alunector sau legat, depinde de

    poziia polului, adic se modific la schimbarea polului (fig. 2.3)(cu condiia

    ca aceast schimbare s nu aib loc pe o dreapt polar cu suportul

    vectorului considerat).

    0M

    0

    0''0M

    '0r r'r

    A

    F

    Fig. 2.3.

    3

  • FrFrFrrFrM ''' 00'0 ; FrMM '00'0 (2.4)

    Formula (2.4) de variaie a momentului polar la schimbarea polului

    conduce la concluzia c momentul polar este un vector legat.

    Dac Fr '0 , arunci 00 MM ' , adic momentul polar nu se modific dac schimbarea polului are loc dup o direcie paralel cu suportul

    vectorului considerat.

    3. Produsul scalar dintre 0M i F este nul:

    0FM0 (2.5)

    Deoarece momentul 0M al vectorului Feste perpendicular pe vectorul F. Expresia analitic a momentului polar.

    a) Cazul spaial.

    Momentul polar al unui vector ce are o orientare oarecare n spaiu, se

    calculeaz n funcie de proieciile vectorului ZYX F,F,FF pe axele reperului 0xyz i de coordonate x, y, z ale unui punct A de pe suportul su (n particular

    punctul de aplicaie al vectorului) (fig. 2.4).

    x

    z

    y0

    0M A(x,y,z)

    Fig. 2.4.

    F

    4

  • kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkji

    FA0FrM xyzxyzzyx

    0

    kMjMiM zyx (2.6)

    Proprietile momentului polar pe axe se numesc momentele axiale ale

    vectorului F n raport cu axele de coordonate i are urmtoarele expresii:

    yzx zFyFiMM ; zxy xFzFjMM ; zyz yFxFkMM (2.7)

    Relaia de ortogonalitate ntre vectorul F i momentul su 0M se exprim analitic prin expresia:

    0FMFMFMFM zzyyxx (2.8)

    Cu ajutorul momentelor axiale (a proieciilor momentului polar pe

    axele reperului 0xyz) se pot determina mrimea i cosinusurile lui directoare

    care precizeaz orientarea sa n reperul 0xyz:

    2z

    2y

    2x0 MMMM (2.9)

    MM)i,Mcos( x0 ;

    MM

    )j,Mcos( y0 ; MM)k,Mcos( z0 ;

    b) Cazul plan.

    Dac se consider vectorul F situat n planul de coordonate 0xy

    jFiFF yx ; jyixrA0 atunci momentul su fa de polul

    axelor va fi orientat dup axa 0z (fig. 2.5.), adic:

    kMkyFxF0FF0yxkji

    FrFA0M zxyyx

    0 (2.10)

    5

  • FbMM~

    z M (2.11) unde:

    x

    z

    y0

    0M

    A(x,y,0)

    Fig. 2.5.

    B

    b r

    F

    Semnul valorii scalare a momentului polar n cazul plan se stabilete

    dup

    ~M

    regula observatorului (fig. 2.6).

    0 0x x

    y y

    0M~ 0M

    ~

    B

    B

    A

    b

    F

    b F

    a) b)Fig. 2.6.

    Valoarea scalar a momentului unui vector alunector situat n unul din

    planele de coordonate, va fi pozitiv sau negativ, dup cum privim planul

    dinspre sensul pozitiv al axei normale la el, rotaia braului vectorului n

    6

  • jurul polului considerat, efectuat n sensul indicat de vector, are sensul

    trigonometric (fig. 2.6.a) sau orar (fig. 2.6.b).

    n concluzie, dac vectorul F este situat n planul de coordonate 0xy, momentul polar se va calcula cu relaia:

    kFbkMM~

    (2.12)

    dac se cunosc mrimea vectorului F i braul b, sau cu relaia:

    kMkyFxFFrM ~xy (2.13) dac se cunosc proieciile vectorului yx F,FF i coordonatele unui

    punct de pe suport, A(x,y,0).

    Se mai fac urmtoarele precizri:

    deoarece n cazul plan nu se figureaz o a treia ax (exp. 0z),

    valoarea scalar a momentului se reprezint printr-o sgeat curbilinie care

    indic sensul de rotaie al braului b n jurul polului n sensul indicat de

    vectorul F (fig. 2.6.a, sens antiorar pentru >0; fig. 2.6.b, sens orar pentru

  • Sisteme de vectori.

    Torsorul unui sistem de vectori.

    Se consider un sistem n,....,2,1iFS i de n vectori alunectori cu suporturile trecnd prin punctele )n.....1i(Ai sau un

    sistem de vectori legai cu punctele de aplicaie A )n.....1i(i i un pol 0.

    Pentru acest sistem S de vectori se vor defini: vectorul rezultant i

    vectorul moment rezultant 0M .

    1. Vectorul rezultant (sau rezultant) este definit de relaia:

    n

    1iiF (2.14)

    n care vectorii )n....1i(Fi din sistem sunt considerai liberi.

    Vectorul rezultant al unui sistem de vectori este egal cu suma geometric a vectorilor din sistem, considerai liberi.

    Din relaia (2.14) se determin expresia analitica a vectorului rezultant:

    kFjFiFkFjFiFF

    n

    1iiz

    n

    1iiy

    n

    1iix

    n

    1iiziyix

    n

    1ii

    kji zyx (2.15)

    cu ajutorul creia se pot preciza mrimea, direcia i sensul rezultantei :

    2z

    2y

    2x (2.16)

    i

    xi,cos ;

    yj,cos ;

    zi,cos (2.17)

    8

  • 2. Vectorul moment rezultant 0M n polul 0 definit de relaia:

    n

    1iii

    n

    1ii0 FrM 0M (2.18)

    n care vectorii n....1iM 0i sunt vectori legai, )n....1i(ri sunt

    vectorii de poziie ale punctelor )n....1i(Ai .

    Vectorul moment rezultant 0M al unui sistem de vectori n raport cu

    polul 0 este egal cu suma geometric a momentelor vectorilor fa de acelai

    pol.

    Din relaia (2.18) se poate determina expresia analitic a momentului

    rezultant:

    kMjMiMkMjMiMM

    n

    1iiz

    n

    1iiy

    n

    1i

    n

    1iixiziyix

    n

    1ii0 0M

    kji zyx MMM (2.19)

    care va permite determinarea mrimii i orientrii vectorului moment

    rezultant 0M :

    2z

    2y

    2x0 MMMM (2.20)

    i M

    Mi,Mcos x ; M

    Mj,Mcos y ;

    MMk,Mcos z ; (2.21)

    9

  • Cu ajutorul proieciilor vectorilor iziyixi F,F,FF care compun sistemul i ale proieciilor momentelor polare ale lor iziyixi M,M,MM se pot calcula proieciile vectorilor i 0M :

    ;F

    ;F

    ;F

    n

    1iizz

    n

    1iiyy

    n

    1iixx

    n

    1iizz

    n

    1iiyy

    n

    1iixx

    0

    M

    M

    M

    M

    M

    M

    M (2.22)

    Torsorul n polul 0 al unui sistem de vectori alunectori sau legai este

    format din vectorul rezultant i vectorul moment rezultant 0M i se

    noteaz:

    0

    0 STM

    (2.23)

    Pentru acest sistem de vectori se mai poate calcula i produsul scalar

    dintre componentele torsorului i 0M :

    zzyyxx RRRR0S MMMM (2.24)

    numit scalarul tronsonului n polul 0 sau trinom invariant.

    0R M , vectorii i 0M nu sunt perpendiculari ntre ei;

    0R M , vectorii i 0M sunt ortogonali;

    10

  • Caracteristicile n polul 0 ale sistemului S de vectori alunectori sau

    legai sunt:

    , vectorul rezultant;

    0M , vectorul moment rezultant;

    MR scalarul torsorului sau trinom invariant;

    Aceste caracteristici au un rol important n rezolvarea problemelor de

    reducere a sistemelor de vectori.

    Variaia torsorului unui sistem de vectori la schimbarea polului.

    Vectorul rezultant rmne neschimbat, fapt ce rezult din formula

    de definiie a acestuia:

    '

    )0()0( ' (2.25)

    Vectorul rezultat este un vector liber.

    Vectorul moment rezultant '0M fa de noul pol 0 se modific dup

    relaia: Rr '' 000 MM ( Rr '0 ) (2.26)

    afirmaie confirmat de o scurt demonstraie:

    RrFrMFrMM ''''''' 00n

    1ii0

    n

    1i0i

    n

    1ii00i

    n

    1i0i0

    MM

    n relaia (2.26) pentru 0 , rezult 00' MM .

    11

  • Dac vectorul rezultant al unui sistem de vectori este nul, momentul

    rezultant M este invariant la schimbarea polului, deci este un vector liber.

    Invarianii unui sistem de vectori.

    Invarianii unui sistem de vectori sunt mrimi vectoriale i scalare care

    nu se modific la schimbarea polului.

    1. Vectorul rezultant este un invariant (relaia 2.25), fapt ce rezult din

    formula lui de definiie, n care acesta se consider vector liber.

    11 I;I (2.27)

    2. Scalarul torsorului este un invariant:

    MRI2 (2.28)

    deoarece:

    ''''' 000000 RRrRRRrRR MMMM 3. Raportul primilor doi invariani scalari este tot un invariant:

    MMMM RR1

    23 priR

    RR

    RIII (2.29)

    unde:

    i este versorul rezultantei.

    Relaia (2.29) conduce la o concluzie important i anume: la trecerea

    de la un pol la altul, proiecia momentului rezultant este un invariant.

    12

  • Axa central a unui sistem de vectori.

    0

    0M

    R

    0PrP0

    P

    R

    Fig. 2.7.

    r0MC0M C0P MM

    La schimbarea polului, momentul rezultant se modific dup legea dat

    de relaia (2.26) iar proiecia lui pe direcia rezultantei nu se modific, fiind

    un invariant (relaia 2.29). Concluzia este c la schimbarea polului se

    modific numai componenta normal la rezultanta a momentului

    rezultant M (figura 2.7).

    Cn00 MMM (2.30)

    CM este componenta coliniar cu vectorul rezultant ;

    n0M este componenta normal la vectorul rezultant ; Se pune problema determinrii poziiei punctelor pentru care

    componenta normal a momentului rezultant n acele puncte s fie nul; n

    acest caz momentul rezultant (figura 2.7), adic se verific relaia:

    0R P M (2.31)

    n aceast relaie se exprim PM n funcie de 0M :

    0RrR P0 M

    13

  • Se efectueaz dezvoltarea i se noteaz 2pr

    , obinndu-se astfel

    ecuaia vertical a unei drepte orientate:

    RR

    Rr 20

    M (2.32)

    Aceast ax se numete axa central a sistemului de vectori alunectori,

    este paralel sau coliniar cu rezultanta , trece prin punctul P. determinat de vectorul de poziie:

    20

    PR

    Rr M (2.33)

    cu direcia perpendicular pe . Din figura (2.7) se observ c:

    02

    n02

    C0CminP MMMMMM (2.34)

    Axa central a unui sistem de vectori alunectori reprezint:

    - locul geometric al punctelor n care vectorul rezultant i momentul

    rezultant sunt coliniari;

    - locul geometric al punctelor n care momentul rezultant are valoare

    minim (dup cum rezult din relaia 2.34).

    Din expresia analitic a ecuaiei vectoriale (2.32) se obin ecuaiile

    scalare alei axei centrale:

    x0xyzzy2 RxRRRR1x MM

    y0yzxxz2 RyRRRR1y MM (2.35)

    14

  • z0zxyyx2 RzRRRR1z MM

    cu urmtoarea form canonic:

    z

    0

    y

    0

    x

    0 zzyyxx

    (2.36)

    Momentul minim (diferit de zero) va avea urmtoarea expresie

    vectorial:

    RR

    RRiRC0C0PminMMMMM ;

    RR

    R2minMM (2.37)

    Rezultanta i momentul minim minM formeaz torsorul minimal al sistemului de vectori:

    RR

    R

    FR

    )S(T

    20

    min

    n

    1ii

    min

    MM

    (2.38)

    Precizri.

    a) Dac 0R 0 M atunci R,0 minmin MM (momentul

    minim este coliniar cu rezultanta).

    b) Dac 00

    ,0R 0

    M ; 0 (momentul rezultant este

    perpendicular pe rezultant); atunci

    R 0 M

    0min M ; n acest caz axa central se

    15

  • definete ca locul geometric al punctelor din spaiu n care momentul

    rezultant are valoarea minim zero.

    c) Dac 0 , noiunea de ax central nu are sens.

    Teorema lui Varignon.

    iM

    0M

    1M

    0

    rM

    A

    1F

    iF

    nF

    R

    b)

    iM

    0M

    1M

    0

    rM

    A

    1F

    iF

    nF

    R

    a)

    Ar

    Fig. 2.8.

    Se consider un sistem de n vectori concureni ntr-un punct A format

    din vectori alunectori cu suporturile concurente n A sau din vectori legai

    cu punctul de aplicaie n A i un pol arbitrar O.

    Torsorul acestui sistem n polul O este de forma:

    n

    1i0i0

    n

    1ii

    0

    M

    FR

    )S(T

    M

    (2.39)

    n cazul de fa:

    iii FrFA0M 0 (2.40)

    i

    16

  • RrFA0Mn

    1ii

    n

    1i0i0

    M (2.41)

    RM00 M Relaia obinut exprim Teorema lui Varignon cu urmtoarea

    formulare:

    Momentul rezultant fa de un pol oarecare al unui sistem de vectori

    concureni ntr-un punct este egal cu momentul rezultantei calculat n raport

    cu acelai pol.

    Dac polul este situat pe suportul rezultantei atunci momentul rezultant

    este nul. La acest sistem de vectori, rezultanta i momentul rezultant sunt doi

    vectori ortogonali:

    0R 0 M (2.42)

    Echivalena sistemelor de vectori alunectori.

    Definiie: dou sisteme de vectori alunectori se numesc echivalente

    atunci cnd, evolund n condiii identice, au acelai efect al aciunii lor (n

    consecin pot fi nlocuite unul prin cellalt).

    Operaia de reducere a sistemului de vectori alunectori considerat,

    nseamn operaia de nlocuire a unui sistem complex de vectori alunectori

    cu sistemul echivalent cel mai simplu posibil.

    Pentru a nelege operaia de reducere a sistemelor de vectori

    alunectori e necesar s se prezinte urmtoarele probleme:

    a) formularea principiului de echivalen;

    b) caracterizarea sistemelor simple de vectori alunectori;

    c) formularea teoremei de echivalen.

    17

  • a) Formularea principiului de echivalen.

    Dou sisteme de vectori alunectori sunt echivalente atunci cnd se pot

    transforma unul n cellalt numai prin efectuarea a dou operaii elementare

    de echivalen:

    1. nlocuirea a doi vectori cu raporturile concurente printr-un vector

    unic dup regula paralelogramului, sau descompunerea unui vector n dou

    componente cu suporturile concurente ntr-un punct de pe suportul

    vectorului considerat;

    2. adugarea sau suprimarea unei perechi de vectori direct opui

    (vectori situai pe acelai suport, de aceeai mrime, i sensuri contrare).

    Aceste dou operaii elementare de echivalen nu modific mrimile

    , 0M i 0R M , fapt ce justific denumirea acestora de caracteristici ale

    sistemului de vectori alunectori.

    b) Caracteristicile sistemelor simple de vectori alunectori.

    1. Sistemul format din doi vectori direct opui.

    0

    2r1r

    FF2 FF1

    Fig. 2.9.

    n acest caz caracteristicile 0R , 00 M , 0R 0 M

    vor fi nule;

    18

  • 1 2

    1 1 2 2 1 2 1 20

    0

    0

    0

    0 (2.43)

    R F F F F

    r F r F r F r F r r F F F

    R

    M

    M

    2. Sistem format din doi vectori cu suporturile paralele, de mrimi

    egale i de sensuri contrare (cuplu de vectori).

    0

    (P)

    0r

    1r 2r

    A1A2

    FF1

    FF2

    cup0 MM

    B br0r

    Fig. 2.10.

    Caracteristicile sistemului sunt urmtoarele:

    (2.44)0R0MFrFrrFrFrFrFr

    0FFFFR

    0

    cup0212122110

    21

    M

    M

    deci:

    0R , 0Mcup0 M , 0R 0 M (2.45)

    19

  • Momentul rezultant cup0 MM numit i momentul cuplului are

    expresia vectorial:

    FrM 0cup0 M (2.46)

    i mrimea

    0FbMcup (2.47)

    Rezult c momentul cuplului este un vector liber ( b,r0 i F nu

    depind de pol).

    Din aceeai relaie de calcul a lui cupM mai rezult:

    - momentul cuplului este normal la planul cuplului (planul determinat

    de vectorii F,F ); - sensul momentului respect regula burghiului drept cu privire la

    sensurile vectorilor cuplului.

    3. Sistem format din doi vectori cu suporturile concurente (sistem

    echivalent cu un vector unic).

    0

    r1r

    2r

    R

    A1

    A

    A2

    1F

    2F

    Fig. 2.11.

    20

  • Caracteristicile sistemului sunt urmtoarele:

    0RrRR

    RMRrFFrMM0FFR

    0

    021210

    21

    M

    M (2.48)

    Acest sistem, cu caracteristicile date de relaiile (2.48) este echivalent

    cu un vector unic (sau rezultant unic):

    0R

    00

    RM

    0R

    0

    00

    M

    M (2.49)

    Relaia (2.48)2 exprim teorema lui Varignon aplicabil la acest sistem

    de vectori:

    RMRr 00 M (2.50) Deoarece 0R i 0R 0 M , axa central este locul geometric al

    punctelor de moment minim egal cu zero; ea coincide cu suportul

    rezultantei.

    Torsorul minimal are expresia:

    0RR

    R0R

    )S(T2

    0min

    min MM (2.51)

    21

  • 0'

    0

    R

    2FA2

    A11F

    ' 2 r '

    0r

    Fig. 2.12.

    4. Sistem format din doi vectori cu suporturile oarecare n spaiu.

    Se calculeaz torsorul acestui sistem de doi vectori n polul situat pe

    suportul vectorului

    '0

    1F (fig. 2.12). Relaia de necoplanaritate a vectorilor 1F

    i 2F poate fi exprimat prin:

    0FrF 2'21 (2.52) Caracteristicile n polul ale sistemului considerat, vor fi: '0

    0FrFFrFFrFFrFFR

    )53.2(0FrFrFr0FFR

    22122222122210

    2222110

    21

    '''''

    ''''

    M

    M

    ntr-un pol oarecare 0 (care nu se afl pe suporturile celor doi vectori

    din sistem) caracteristicile vor fi de asemeni toate diferite de zero:

    0R

    0Rr

    0FFR

    0

    000

    21

    ''

    M

    MM (2.54)

    22

  • Torsorul minimal al sistemului

    0RR

    R0FFR

    )S(T2min

    21

    min MM (2.55)

    - vectorul rezultant R ca invariant la schimbarea polului;

    - momentul rezultant 0M n baza relaiei (2.49)2 explicabil din cauz

    c egalitatea cu zero ar implica coliniaritatea vectorilor '0M i Rr '0 i

    deci ortogonalitatea vectorilor '0M i R , contrazis de relaia (2.48)3

    0R '0 M ;

    - scalarul torsorului 0R M ca invariant la schimbarea polului.

    Axa central a acestui sistem de vectori este locul geometric al

    punctelor n care vectorul rezultant i momentul rezultant sunt coliniari

    (momentul rezultant are valoare minim diferit de zero).

    c) Teorema de echivalen.

    Reducerea unui sistem de vectori alunectori este justificat prin

    teorema de echivalen: Dou sisteme de vectori alunectori sunt

    echivalente ntre ele atunci cnd au acelai torsor (sau aceleai caracteristici)

    ntr-un pol arbitrar.

    Reducerea sistemelor de vectori alunectori.

    Teorema de echivalen conduce la concluzia c operaia de nlocuire a

    unui sistem de vectori alunectori cu unul din cele patru sisteme simple de

    vectori care s fie echivalent cu el se reduce la:

    - calculul componentelor torsorului ntr-un pol oarecare al acestui

    sistem (respectiv a caracteristicilor sistemului);

    23

  • - compararea acestor componente cu cele corespunztoare sistemelor

    simple de vectori alunectori.

    Cazul spaial.

    Calculnd torsorul n 0 al unui sistem de vectori, se pot ivi urmtoarele

    patru situaii:

    I. Sistem echivalent cu zero:

    0R , 00 M , 0R 0 M (2.56)

    II. Sistem reductibil la un cuplu de vectori:

    0R , 0Mcup0 M , 0R 0 M (2.57)

    III. Sistem echivalent cu un vector unic (sau rezultant unic):

    0R , 00

    0

    M , 0R 0 M (2.58)

    Axa central coincide cu suportul rezultantei i are ecuaia:

    RR

    Rr 20

    M cnd 00M (2.59)

    i

    Rr cnd 00 M (2.60) suportul rezultantei trecnd prin pol.

    Torsorul minimal:

    0RR

    R0R

    )S(T2min

    min MM (2.61)

    IV. Sistem reductibil la un torsor propriu-zis:

    0R , 00 M , 0R 0 M (2.62)

    24

  • Torsorul minimal este de forma:

    0RR

    R0R

    )S(T2

    0min

    min MM (2.63)

    iar axa central e determinat prin ecuaia:

    RR

    Rr 20

    M (2.64)

    x

    z

    y 0

    0 i M

    P

    a) 0y xxR yR 0; z 0 M

    r

    R

    00 M RM

    i r b i

    B i

    A i ( x i , y i , z i )

    i F y

    x 0

    i M P

    b)

    y x zxR yR M

    r R

    i r b i B i

    A i ( x i , y i , z i)

    i F

    00 M RM

    Fig. 2.13.

    Cazul plan.

    F F F F

    0M cup 0M cup

    a) b)Fig. 2.14.

    25

  • Se consider sistemul de vectori coplanari n...,,2,1iFS i situai ntr-un plan de coordonate, spre exemplificare n planul 0xy

    (fig.2.13); fiecare vector iF din sistem va avea expresia analitic i momentul polar de forma:

    jFiFF iyixi ; kFbkMM iiizi0 (2.65)

    Caracteristicile sistemului dat vor avea urmtoarele expresii:

    jFiFFRn

    1iiy

    n

    1iix

    n

    1ii

    kMMn

    1ii

    ~n

    1ii0 00

    M (2.66)

    0R 0 M

    Sunt posibile urmtoarele cazuri de reducere:

    I. 0R ; 00 M sistem echivalent cu zero;

    II. 0R ; 0Mcup0 M sistem echivalent cu un cuplu;

    Momentul cuplului cupM este un vector perpendicular pe planul

    figurii; precizarea sensului lui cupM ectueaz printr-o sgeat curbilinie

    ce indic sensul de rotaie al burghiului drept, situat perpendicular pe planul

    cuplului, sub aciunea cuplului respectiv (fig. 2.14.).

    se ef

    III. R 0 ; 00

    0

    M sistem echivalent cu un vector unic, al crui

    suport coincide cu axa central de ecuaie:

    0~

    xy yRxR M (2.67)

    obinut prin efectuarea urmtoarelor calcule:

    26

  • kkyRxR0RR0yxkji

    RrRM 0~

    xy

    yx

    00 MM (2.68)

    Momentul minim minM este nul.

    27

    Se consider sistemul de vectori coplanari situai ntr-un plan de coordonate, spre exemplificare n planul 0xy (fig.2.13); fiecare vector din sistem va avea expresia analitic i momentul polar de forma:

Click here to load reader

Reader Image
Embed Size (px)
Recommended