A Doua Sansa Secundar a Elev 1

8/2/2019 A Doua Sansa Secundar a Elev 1

1/60

Aceast prim ediie (pilot) este finanat de Uniunea European.

MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII

ARIANA-STANCA VCREU

MATEMATICModulul 1

NumereGhidul elevului

Proiect Phare Acces la educaie pentru grupuri dezavantajateProgramul A doua ans


2/60

Ministerul Educaiei i Cercetrii

Aceste materiale publicate n cadrul Proiectului Phare Acces la educaie pentru grupuri

dezavantajate 2003 au fost realizate de o echip de experi ai Ministerului Educaiei i Cercetrii,pentru a fi folosite n primul an de aplicare experimental a programului educaional revizuitA doua ans nvmnt secundar inferior.

Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei A doua ans nvmnt secundar inferiorDorina Kudor, autoare Limba i literatura romnCarmen Costina, autoare Limba englezAriana-Stanca Vcreu, autoare MatematicNicolae Pellegrini, autor MatematicLuminia Chicina, autoare tiineIoana Mihacea, autoare tiine

Mihai Stamatescu, autor Istoriedr. Horaiu Popa-Bota, autor Geografiedr. Doina-Olga tefnescu, autoare Cultur civicPaul Vermeulen, expert U.E., componenta Elaborare curriculum i materiale educaionale

Ghidul este realizat n conformitate cu programa colar pentru disciplina Matematicdin cadrul programului A doua ans nvmnt secundar inferior, aprobat deMinisterul Educaiei i Cercetrii prin Ordinul nr. 5375/29.12.2005 i este distribuit gratuit cursanilornscrii n acest program educaional.

Toate materialele din cadrul programului educaional A doua ans vor fi modificate, conformsugestiilor de mbuntire formulate n urma utilizrii lor n coal.

n acest sens, trimitei comentariile i sugestiile dumneavoastr pe [email protected]

Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copert, layout: Elemr KnczeyDesign i dtp: Andrs TnczosIlustraii: Levente SzekeresCorectur: Mirabela Mitric

Acest material este publicat n scopuri educaionale, non-profit, pentru a fi folosit n primul an deaplicare experimental a programului educaional A doua ans nvmnt secundar inferior.Autorii s-au strduit s intre n legtur cu proprietarii imaginilor pentru a obine permisiunea de a le

folosi n aceast ediie. i rugm pe aceia pe care nu i-am putut contacta s ia legtura cu noi [email protected].

Aceast publicaie face parte din Programul Phare 2003 Acces la educaie pentru grupuridezavantajate, componenta A doua ans.Editorul materialului: Ministerul Educaiei i CercetriiData publicrii: februarie 2006

Coninutul acestui material nu reprezint n mod necesar poziia oficial a Uniunii Europene.


3/60

PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3

Cuprins1. Lecie introductiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Capitolul I. Numere naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Numere naturale: comparare, reprezentare,

operaii de baz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. Ordinea efecturii operaiilor cu numere naturale . . . . . 104. Aplicaii cu numere naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Capitolul II. Numere ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Comparare, reprezentare;adunarea i scderea numerelor ntregi negative . . . . . . 16

6. Adunarea i scderea numerelor ntregi . . . . . . . . . . . . . 187. nmulirea i mprirea numerelor ntregi . . . . . . . . . . . 208. Aplicaii cu numere ntregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Capitolul III. Numere raionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259. Fracii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10. Compararea fraciilor i operaii cu fracii . . . . . . . . . . . 2811. Aplicaii practice ale fraciilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012. Fracii zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213. Operaii cu fracii zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

14. Numere raionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3615. Numere raionale n probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Reflecie la final de modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Proiecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Rezumatul modulului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ghid de studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Indexul cuvintelor-cheie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


4/60

NUMERE

Lecie introductiv 1

MATEMATIC GHIDUL ELEVULUI4

De ce este important modulul Numere?Din jurnalul meu M-am trezit la ora 6 i unsfert. Ar fi trebuit ca la ora 7 s fiu la munc, aac m-am splat i m-am mbrcat cu repeziciune,mi-am luat i al doilea pulover i mi l-am pus ngeant prea destul de frig afar , am mncatdou felii de pine i am but o can cu lapte, amluat 3 lei ca s mi pot cumpra ceva de mncaren pauza de mas i am ieit valvrtej din casTrebuia s atept n staie autobuzul 30 i, ca defiecare dat cnd sunt n ntrziere, autobuzul nu

vine. M uit la ceas deja e ora 6 i 35 deminute Am s ajung oare la timp? Autobuzul

face 15 minute, apoi, pe jos, nc 5 minute mibag mna n buzunar i dau de cei 3 lei pe care iluasem nainte de a pleca mi vor ajunge pentrua-mi cumpra 3 cornuri i un iaurt n pauza demas? Nu am vreme s mi rspund la ntrebarepentru c vine autobuzul. Urc repede n el, m uitla ceas din nou, fac un calcul i m linitesc Laora 7 voi fi pe Strada Meseriei la numrul 10adic n atelierul n care lucrez Parc i audvocea maistrului: Azi vei avea de fcut 45 de pie-

se Sper c te-ai odihnit bine azi-noapte pentruc trebuie s onorm azi cele 2 comenzi!

Recitete textul i elimin toate numerele din text. Cum i se pare textul n aceast variant?Cum ar fi viaa noastr fr numere?

Acest modul te va ajuta s cunoti mai bine nume-rele i s faci calcule cu ele n diferite situaii: sprepari o mncare dup o reet din cartea de

bucate, s calculezi dac i ajung banii pentru a-icumpra un tricou, s decizi care dintre reducerilede preuri din magazine este mai convenabil, scalculezi dac i ajunge timpul pentru a ajungentr-un anume loc, s lucrezi Credem c tii sfaci calcule cu numerele naturale (0, 1, 2, 3, 4,5,) dar oare sunt toate numerele naturale?Parcurgnd acest modul, vei afla i despre altfel

de numere i vei putea face calcule cu acesteapentru a rezolva probleme diferite.

Vei studia acest modul pe parcursul a 50 deore alocate n cadrul curriculumului trunchicomun i a 15 ore de curriculum la deciziacolii. n cele 50 de ore vei parcurge leciile i,

evident, activitile din acest ghid. Cele 15 orede curriculum la decizia colii sunt alocatepentru a-i da posibilitatea s lmureti chesti-uni ce au rmas neclare n activitile de la clas,s aprofundezi noiuni i tehnici pe care le-ainvat la orele de matematic sau, de ce nu?, snvei tehnici i noiuni noi despre numere.

Ghidul este structurat pe 3 capitole: numerenaturale, numere ntregi i numere raionale.Fiecare capitol conine descrierea leciilor cores-punztoare i se finalizeaz cu o activitate care i

va da posibilitatea s verifici progresul pe care l-aifcut. La finalul ghidului ai s gseti o fi pentrureflecia de modul, informaii referitoare la proiec-tele acestui modul, rezumatul modulului, un ghidde studiu ce te va ajuta n pregtirea evalurii demodul i indexul cuvintelor-cheie.

De ce este important acest ghid?El te va conduce n activiti care te vor sprijinin nvare i este un instrument util n vederea

achiziionrii rapide a unor tehnici de lucru.n paginile ghiduluivei gsi 15 lecii, 14 dintreele fcnd parte din capitolele pe care le-ammenionat anterior. Fiecare lecie se desfoar pe

parcursul a 3 ore i este structurat pe trei fa-ze/etape:faza de familiarizare cu problema, cea a

achiziiilor noi i cea a aplicrii n contexte si-mulate sau autentice. n cadrul primei faze selanseaz problema n faa ntregii clase i,mpreun, vei clarifica definiii/noiuni, vei


5/60

repeta noiunile deja nvate. Faza a doua este,de fapt, dedicat structurrii problemei i veilucra individual, n perechi, n grupuri mici sau,cteodat, toi mpreun, pentru a rezolva proble-ma. n timp ce lucrai, vei mprti idei, veicuta modele de rezolvare, vei face presupuneri.Ultima faz este cea a aplicriinoilor achiziii nalte contexte, a refleciei. Pe parcursul acestei eta-pe vei dobndi deprinderi de a utiliza ideile itehnicile care au rezultat prin explorarea proble-mei. Fiecare faz a leciei este construit pe baza

a 2-3 activitice presupun, de fapt, rezolvri deexerciii i probleme. Exerciiile i problemelepropuse te vor ajuta s descoperi aproapesingur Lumea Numerelor. Spunem aproapesingur deooarece cadrul didactic de matematicva fi lng tine pentru a te sprijini atunci cndvei avea nevoie. Ideile matematicii sunt mbrcaten exerciii i probleme interesante. Sperm caaplicaiile propuse, majoritatea lor fiind puse ncontext, s te ajute s nelegi i s reii mai uorconceptele i regulile matematicii.


Pentru a nelege mai bine ideea pe care ncercam s o exprim,am s dau un exemplu.Ieri, patru prieteni i-au cumprat fiecare cte o franzel mic.Toate franzeluele erau la fel. Mihai i-a tiat franzela n 4 feliiegale i a mncat 3, Corina a tiat-o n 5 felii egale i a mncat 4,Maria a tiat-o n 10 felii egale i a mncat 9, Sami a tiat-o n 20de felii egale i a mncat 17. Cine a mncat mai mult pine? De

unde tii?Pentru a rezolva aceast problem, poi folosi ce materialedoreti: hrtie cu ptrele, calculator, cercuri din hrtie Defapt, vei lucra cu fracii: vei gsi o modalitate de a le reprezenta,vei efectua operaii cu fracii i le vei compara. Problema estedoar un pretext pentru nelegerea fraciilor i operarea cu ele.

n paginile acestui ghid, vei ntlni simbolurile:

Ce tiu?Rezolv problemele de mai jos n caietul tu. Dup ce ai terminat, compar rezultatelepe care le-ai obinut cu rezultatele colegilor ti.

1. Am intrat n supermarket i aveam 16 lei. Am luat o pine de2 lei, o cutie cu margarin de 4 lei i am vzut un tricou pe

care mi-ar fi plcut s-l am cu 11 lei. mi ajung banii i pentrutricou?

2. Vecina mea, Ana, dorete s plece n concediu n Grecia saun Tunisia. A cumprat ziarul Piaa de la A la Wi m-a rugat s oajut s decid la ce hotel s se cazeze. Ciudat rugminte!Cum pot eu s o ajut n alegerea hotelului?! m-am ntrebat iapoi i-am adresat ntrebarea cu voce tare. Foarte simplu mi-arspuns ea te rog s-mi scrii ofertele de pre din ziar n ordineacresctoare a preului. Imagineaz-i c eti vecinul Anei i cvrei s o ajui. Scrie lista ofertelor din ziar n ordinea cresctoarea preurilor n caietul tu.

Simbol Semnificaie Simbol Semnificaie Simbol Semnificaie

include pagina nportofoliu

informaie nouutilizeaz computeruli resurse web

se recomand srezolvi sarcina delucru n caiet

ar fi util s ireaminteti

proiect


6/60


ReflecieMarcheaz cu csuele prin care afirmaiile 1, 2, 3, 4devin adevrate.

1. Sunt pus n situaia de a face calcule cu numere cnd: fac cumprturi; citesc ziarul; m uit la televizor; lucrez; mi planific timpul; mi planific banii; altele (te rog s specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Calculez uor cu numere dac: numerele sunt naturale de la 0 la 10; numerele sunt naturale de la 10 la 100; numerele sunt naturale i mai mari ca 100; numerele sunt cu virgul;

numerele sunt fracii (ex.: 14 ); numerele sunt sub form de procente (ex.: 20%); alte situaii (te rog s specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calculez uor dac n calcul sunt operaii de: adunare i scdere; nmulire; mprire; alte situaii (te rog s specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Calculez uor: n minte; utiliznd creionul i hrtia; utiliznd calculatorul.

5. Completeaz propoziia: A dori s nv despre numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7/60

Numere naturale I

Parcurgnd acest capitol, vei fi capabil:

s scrii i s citeti numere naturale;

s compari i s ordonezi numere naturale;

s reprezini pe ax numere naturale;

s efectuezi calcule cu numere naturale;

s rezolvi probleme cu numere naturale.



8/60

NUMERELE NATURALE


Pentru nceput1. tiai c?Din ceea ce arheologii au descoperit, se pare c matematica a precedat scrisul. Un mod

simplu de reprezentare a numerelor, folosit n Orientul Mijlociu cu peste 5 000 de ani nurm, este cel cu ajutorul rbojurilor.

Reprezentarea numerelor a evoluat de-a lungul timpului n sensul simplificrii iconcentrrii scrierii. Cum credei c s-ar fi scris, n Orientul Mijlociu, acum 5 000 de ani,

numrul 11? Discutai.

2. Scrie 5 motive pentru studiul numerelor. Listeaz 10 meserii n care este necesar slucrezi cu numere.Dac i-a plcut aceast activitate, i sugerez s o dezvoli prin proiectul Numere nmeserie, a crui descriere o gseti la pagina 44 a acestui ghid.

Numerele naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Cele trei puncte scrise dup cifra 6 arat cirul numerelor naturale continu, fr a se termina vreodat. Mulimea numerelornaturale se noteaz cu N.

Cele patru operaii de baz cu numere naturale sunt:

(+) adunarea (de ex.: 3 + 6 = 9), () scderea (de ex.: 6 3 = 3),() nmulirea (de ex.: 3 6 = 18) i (:) mprirea (de ex.: 6 : 3 = 2).

Numrul natural b divide numrul natural a sau numrul natural b este divizor alnumrului natural a dac exist numrul natural castfel nct a = c b. De exemplu, 3este divizor al lui 21 pentru c 21 = 7 3.

Numrul natural a este mai mare sau egal dect cu numrul natural b (i scriem a b) dacexist cun numr natural astfel nct a = b + c. De exemplu, 8 6 pentru c 8 = 6 + 2.Dac a b, atunci spunem i c b este mai mic sau egal cu a i scriem b a.

Axa numerelor naturale este:

Fiecrui numr natural i corespunde un punct pe ax. Numerele mai mari se reprezintn dreapta numerelor mai mici.

Descoper i nva

3. Citete ntregul text i apoi citete doar numerele din text.

Numere naturale: comparare,reprezentare, operaii de baz 2

Lista monumentelor protejate de organizaiaUNESCO World Heritage include 788 de mo-numente ce sunt parte a motenirilor culturalei naturale situate n 134 de state. Din cele 788

de monumente, 611 sunt monumente cultu-rale, 154 sunt monumente naturale i 23 suntmonumente naturale i culturale. Conveniaasupra proteciei monumentelor culturale i

naturale ale lumii din 1972 ncurajeaz coope-rarea internaional pentru a pstra acestemonumente. Comitetul World Heritage su-pervizeaz distribuirea celor peste 2.000.000

de dolari pe an pentru aciuni de urgen,formarea experilor i ncurajarea cooperriitehnice. Romnia este prezent n lista mo-numentelor protejate UNESCO cu 7 poziii:


9/60

Delta Dunrii (anul nscrierii 1991), sate cubiserici fortificate din Transilvania (anul n-scrierii 1993, anul extinderii 1999), Mnsti-rea Horezu (anul nscrierii 1993), biserici dinMoldova (anul nscrierii 1993), centrul istorical oraului Sighioara (anul nscrierii 1999),

biserici din lemn din Maramure (anulnscrierii 1999), Fortreaa dac din MuniiOrtiei (anul nscrierii 1999). (informaiepreluat de pe site-ul web UNESCO http://portal.

unesco.org/en i web-site-ul World Heritage http://

whc.unesco.org/en)


Rspunde la urmtoarele cerine, tiind c toate fac referire la numerele naturale dintextul anterior. Scrie fiecare numr ca o sum de cel puin alte 2 numere naturale diferite.Scrie numerele mai mari dect 10 ca sum de 3, 4 i 5 numere naturale diferite. Scrienumerele mai mari dect 2 ca sum n care unul din termeni este un alt numr naturaldin text. Scrie toate numerele n ordine cresctoare. Scrie toate numerele n ordinedescresctoare. Reprezint numerele mai mici dect 30 pe axa numerelor. Rotunjetenumerele naturale mai mari dect 100 i mai mici dect dect 1000. Identific 4 divizoridiferii ai numrului 788.

4. Calculeaz mintal: 80 49; 48 : 3; 15 6; 35 + 36; 12 + 39 + 8 + 1.

Aplic

5. Citete textul i apoi, mpreun cu colegii ti, rspunde lantrebri.Sunt iniiatorul proiectului Graffiti art i nu vandalism.Avem de fcut un graffiti pe unul din pereii colii. M pregtescs merg cu prietenii mei, Tudor i Ana, la Braov, la depozit,pentru a cumpra 58 de spray-uri de vopsea superpigmentat laun pre mai mic. Un bilet de tren dus-ntors cost 27 de lei, cumncarea ne putem descurca cu 6 lei/persoan i un spray

cumprat din depozit cost 14 lei. Estimeaz i apoi calculeazce sum trebuie s obin ca sponsorizare pentru a acoperi costuldrumului la Braov. Ct ne cost spray-urile? Cu ct pltim maipuin pe spray-uri, dac un spray n magazin cost 18 lei? Cteconomism fcnd acest drum pn la depozitul din Braov, nloc s cumprm spray-urile dintr-un magazin din oraul nostru?Este important de tiut c n oraul nostru nu avem un depozitde spray-uri. Scrie expresia aritmetic a calculelor fcute pentrua rspunde la ultima ntrebare. Aaz toate numerele naturaledin textul problemei pe axa numerelor.

6.Tem suplimentar

1. Calculeaz: a) 1 + 23 + 45 + 54 + 32 + 1; b) 45 17; c) 345 194; d) 63698 3333;e) 4963 232; f) 253 + 121 323; g) 120 5; h) 3 5 20.

2. Fie numerele: 5; 12; 3; 1; 7; 17; 8; 11; 6; 13. Citete-le, aeaz-le n ordine cresctoare ireprezint-le pe axa numerelor.Arat c 3 17 i c 12 6. Arat c 6 este divizor al lui 12.

Rezolv problemele:3. Am 17 ani i mama m-a nscut cnd avea 20 de ani. Ci ani are mama?

4. Am ajutat-o pe vecina mea s culeag caise i, drept rsplat, mi-a dat 15 kg de caise. Am

preparat gem din 6 kg, am mncat 1 kg i restul le-am vndut. Ci lei am obinut, dacam vndut restul caiselor la preul de 4 lei/kg? Ct m-a costat zahrul pentru gem dacam pus 1 kg de zahr la 2 kg de caise i 1 kg de zahr cost 2 lei?


10/60

Pentru nceput1. tiai c?ntr-unul din cele mai vechi manuale de matematic, atribuit lui Ahmes (1700 .Hr.),

apare urmtoarea problem: 7 persoane au cte 7 pisici, fiecare pisic mnnc 7 oareci,fiecare oarece mnnc 7 spice de orz, din fiecare spic pot rsri 7 plante noi. Cteplante noi ar rsri? Rezolvai problema n grup. Ce operaie ai utilizat pentru rezolvareaproblemei? De cte ori? ntre ce numere?

Descoper i nvaRidicarea la putere este o alt operaie cu numere naturale. Produsul a n factori egali cu ase numete ridicarea lui a la puterea n i se noteaz an. Produsul a doi factori egali cu ase numete ptratul numrului a, iar produsul a 3 factori egali cu a se numete cubulnumrului a. De exemplu, ptratul numrului 5 este 52, adic 5 5 = 25, iar cubulnumrului 5 este 53, adic 5 5 5 = 125. n scrierea an, a se numete baz i n senumete exponent.Ordinea efecturii operaiilor este foarte important n rezolvarea exerciiilor ce presupunmai multe operaii diferite. Ar fi bine s reii regula: Parantezele Ridicarea la putere nmulirea/mprirea Adunarea/Scderea.

2. Citete textul i utilizeaz un calculator de buzunar pentru a rspunde la ntrebri.

NUMERE NATURALE


Ordinea efecturii operaiilorcu numere naturale 3

Problema Baza Exponentul Ce nseamn Soluia23 2 3 2 2 2 832

4 26 6

72

43

5 28 8

(2 3)3

5 3(2 5)2

Ce se ntmpl dac utilizezi un calculator i rezultatul calculului este prea lung pentru a

putea fi scris pe ecranul calculatorului? Utilizeaz un calculator pentru a efectua urmtoareanmulire: 4.000.000.000.000 2.000.000.000. Vei descoperi o modalitate de a scrie numerefoarte lungi utiliznd puin spaiu. Aceast scriere se numete notaie tiinific saunotaia E pe calculator (E vine de la exponent). Scrierea tiinific nseamn scriereaunui numr ca un produs dintre un numr de la 1 la 10 i o putere de-a lui 10.Utilizeaz scrierea tiinific pentru a scrie numerele: 2.000.000; 5.000.000.000 i apoiefectueaz, cu ajutorul calculatorului, nmulirea 2.000.000 5.000.000.000.

3. Completeaz tabelul.

8 + 4 (10 7) = 8 + 4 3 paranteza8 + 4 3 = 8 + 12 nmulirea8 + 12 = 20 adunarea

S ne reamintim cum aplicm ordinea efecturii operaiilor. Dac avemde fcut urmtorul calcul: 8 + 4 (10 7), vom proceda n felul urmtor:


11/60

4. Estimeaz, calculeaz, fr a uita s ii cont de ordinea efecturii operaiilor, i aazrezultatele obinute pe axa numerelor naturale.a) 18 + 36 : 32; b) 52 24 10 4; c) 289 (3 5) 2 54; d) 8 + (2 5) 34 : 9 89.

Aplic

5.Rezolv, mpreun cu colegii ti, problemele:

1. Un grup de 28 de persoane este mprit n mod egal, n 4 echipe. Cte persoane sunt nfiecare echip?

2. Leo, Vlad i Tudor au lucrat la o spltorie de maini pe timpul verii. Ei au primit210 lei. Ci lei a primit fiecare, dac au decis s mpart banii primii n mod egal?

3. 58 de prieteni s-au hotrt s srbtoreasc majoratul Mariei ntr-o discotec. Cte meseau rezervat, dac o mas are 8 locuri?

4. Un decorator de apartamente ncaseaz 12 lei/m2 pentru a lipitapetul i 150 de lei pre de lucrare. Ci lei trebuie s i pltesc,dac doresc s tapetez doi perei n form de ptrat cu latura de3 metri? i reamintim c suprafaa ptratului de latur L este L2.

6. Estimeaz 182; 292; 112; 12 23; 59 98; 26 101; 71 69.

Calculeaz mintal: 70 19; 12 11; 120 : 4; 100 18; 43 + 45; 202.

Dac avei conexiune internet la coal, rezolv exerciiile de la adresahttp://www.edhelper.com/math/order_of_operations105.htm

7. Tem suplimentar1. Calculeaz: a) 32 43; b) 27 256 : 43; c) 9 (5 +3)2 144; d) 7 + 3 24 : 6

e) 9 5 : (8 3) 2 + 6; f) 159 : (6 + 3 8) 5; g) (36 6) : (12 + 3);h) (36 3 4) : (15 9 : 3). Reprezint printr-un desen expresia aritmetic de la e).Desenul va conine obiecte din viaa real i cifre.

Rezolv problemele:2. Un parchetar ncaseaz 20 de lei/m2 pentru a pune parchet. Dac el pune parchet ntr-un

hol n form de ptrat cu o lungime de 6 m i ofer o reducere de 25 de lei la aceastlucrare, ct va fi costul lucrrii?

3. Vasile i-a cerut Mihaelei 32 de lei pentru piese i 10 lei/or pentru repararea mainii.Dac el a lucrat 3 ore pentru a repara maina, ct are Mihaela de pltit?

4. O firm de catering cere pentru organizarea unei mese 50 de lei plus 20 de lei/persoan.Ct trebuie s pltesc firmei dac la petrecere particip 35 de persoane i beneficiez de oreducere de 100 de lei?

5. Un grdinar ncaseaz 8 lei/m2 pentru a monta gazon. Dac o gradin are forma unuiptrat cu latura de 15 m, ct va ncasa grdinarul pentru a acoperi cu gazon grdina?

6. ase persoane vor mpri n mod egal consumaia pe care au fcut-o ntr-un club. Ct vaavea Anca de pltit, dac ntreaga consumaie a fost de 150 de lei i are un cupon dereducere n valoare de 8 lei?

7. Dana mnnc la cantin, i prnzul o cost n fiecare zi 4 lei. Ct trebuie s plteascpentru o cartel sptmnal? Dar pentru una lunar? Stabilete o formul de calcul.



12/60

NUMERE NATURALE


Pentru nceput1. Despre rezolvarea problemelorFiecare problem pe care am rezolvat-o a devenit o regul pe

care am utilizat-o mai trziu n rezolvarea altor probleme. (RenDescartes filosof i matematician francez 1596 1650)Gndii-v la etapele parcurse pentru rezolvarea problemelor dincadrul leciilor 2 i 3. Discutai i stabilii care sunt etapele derezolvare a unei probleme.

Aplicaiicu numere naturale 4

2. Gsete-i perechea i aliniaz-te!Vei primi o carte de joc dintr-un pachet de cri de joc maispecial. De data aceasta, crile de joc nu sunt ai, dame, regi sauvalei, ci conin exerciii numerice. n setul de cri de joc suntcte dou cri care au aceeai valoare, adic rezultatulexerciiilor de pe cele dou cri este acelai. Vei avea de aflatvaloarea crii de joc pe care ai primit-o i apoi va trebui s igseti perechea. Dup ce toi elevii din clas i-au gsitperechea, vei scrie valoarea crii pe partea nescris a acesteia i,mpreun cu colegii ti, vei realiza o linie valoric, aezndu-vntr-un rnd n ordinea cresctoare a valorilor crilor de joc.Un exemplu de dou cri de joc cu aceeai valoare esteurmtorul:

72 + 3 (5 + 10) + 13 2 8 + (9 7) 82 : 8

Descoper i nva

3. Citete textul i rspunde mpreun cu colegii ti cerinelor din text. Reflectai mpreunasupra etapelor parcurse pentru rezolvarea problemei.Am gsit o ofert special (n lei vechi) n ziar i m-am hotrt s merg la cumprturi.

Doresc s cumpr 2 cutii de detergent la 500 de grame, 2 cutii termorezistente, 20 debuci de burei de vase, 20 de buci de hrtie igienic, un lighean i 2 seturi decondimente. Aproximeaz suma de bani de care am nevoie pentru a cumpra produseleenumerate mai sus. Calculeaz suma exact pe care o voi plti. Ct voi primi rest dac

pltesc cu o hrtie de 50 de lei noi?Citete toate preurile din ofert i scrie-le apoi n ordine descresctoare.


13/60

Aplic

4. Rezolv problema mpreun cu colegii ti.Echipa de majorete pe care o antrenez a fost invitat laCampionatul European de Majorete. Este o recunoatere a valoriiechipei, dar participarea la campionat nseamn i un efortfinanciar mare. Va trebui s gsesc i nite sponsori. Am nceputprin a-mi pregti o list cu tot ceea ce ar fi necesar pentru aonora participarea noastr la campionat cum se cuvine.Pentru fiecare membr a echipei trebuie cumprate: un costumnou, adic: o bluz (aproximativ 15 lei), o fust (aproximativ 17lei), o pereche de cizme (aproximativ 70 de lei), o pereche deadidai (depinde de marc, dar hai s spunem 50 de lei), 3perechi de ciorapi (o pereche cost aproximativ 4 lei), 2 perechide osete albe (o pereche cost aproximativ 2 lei), o pereche decercei toate fetele trebuie s aib cercei identici (aproximativ 2lei), 3 elastice de pr (1 bucat cost 1 leu). Ar mai trebui srefacem pompoanele, ceea ce nseamn c ar trebui s cumprm

panglici de hrtie (dintr-o rol se pot confeciona dou pompoanei cost 2 lei) i band adeziv groas (o rol e suficient pentru20 de pompoane i cost 2 lei). V rog s m ajutai s calculez cteste costul echipamentului de concurs pentru una dintre majoretei ct cost echipamentul pentru ntreaga echip, dac n echipsunt 30 de fete. Estimai i apoi calculai suma pe care ar trebui so obin ca sponsorizare pentru a achiziiona bluzele, fustele i ciz-mele pentru toate fetele din echip i suma pe care ar trebui s ocheltuiasc fiecare fat pentru restul obiectelor din echipament ncondiiile n care obin sponsorizarea.


5.Verific-i progresul!

Realizai o brainstorming pentru a rspunde la ntrebrile: Ce nseamn progres?De ce e util s ne verificm progresul?

Rezolv exerciiile i problemele de mai jos.

1. Scrie semnul sau , astfel nct urmtoarele afirmaii s fie adevrate:a. 19 12;

b. 83 75;c. 101 111;d. 2050 2500.

2. Cte sute are numrul:

a. 745;b. 3657?

3. Completeaz urmtoarele propoziii: Numrul este cu 3 mai mare dect 15. Numrul este cu 26 mai mic dect 78. Numrul este de 5 ori mai mic dect 20. Numrul este de 15 ori mai mare dect 24.

4. Subliniaz rspunsul corect:4 + 2 3 estea. 18 b. 10

c. 8 d. 12.29 + 2 33 : 6 este:a. 139 b. 32c. 38 d. 46.


14/60


5. Subliniaz numerele din textul urmtor:Sperana de via a romnilor e sub 70 de ani, cu 10 15 ani mai mic dect n rileUniunii Europene. ()De ce mor romnii:

1) Boli cardiovasculare (735 decese la 100.000 de locuitori);2) Cancerele (203 decese la 100.000 de locuitori);3) Bolile aparatului digestiv (70 decese la 100.000 de locuitori);4) Bolile aparatului respirator (63 decese la 100.000 de locuitori).5) Accidentele au reprezentat a cincea cauz de deces n Romnia n anul 2004,

nregistrndu-se 62 de decese la 100.000 de locuitori.(articolul Romnii triesc cu 15 ani mai puin ca occidentalii, din ziarul Libertateanr. 4774, din 22 august 2005)Citete numerele pe care le-ai subliniat.

6. Distana de la Cluj-Napoca la Budapesta este de 480 km. Dac microbuzul parcurgeaproximativ 80 km ntr-o or, estimeaz cte ore dureaz cltoria.

7. Vasile lucreaz ca voluntar la un centru pentru copii. El trebuie s cumpere 14 tricouripentru echipa de volei a centrului. La magazinul Tineret, un tricou cost 12 lei. La

magazinul Kervelo un tricou cost 16 lei, dar n aceast perioad magazinul are o ofertspecial: dac cumperi 3 produse, unul dintre produse este gratis. Vasile dorete scheltuiasc ct mai puin. De la care magazin s cumpere tricourile? Argumenteaz-irspunsul.

6. Completeaz fia de autoevaluare.1. Am nvat despre numerele naturale c: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere naturale dac n expresie aparoperaiile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu i paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazafirmaiile mele de la 1 i 2.

4. Am nc dificulti cu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Cred c ntmpin aceste dificulti pentru c: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu i paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreaz

afirmaiile mele la 4 i 5.

7. Am contribuit la activitile n perechi/pe grupe/cu ntreaga clas atunci cnd:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


15/60

Numere ntregi II


s scrii i s citeti numere ntregi;

s compari i s ordonezi numere ntregi;

s reprezini pe ax numere ntregi;

s efectuezi calcule cu numere ntregi;

s rezolvi probleme cu numere ntregi.



16/60

NUMERE NTREGI


Pentru nceput1. Despre numere: Dumnezeu a fcut numerele naturale; toate celelalte numere suntrezultatul muncii omului. Leopold Kronecker, matematician (1823 1891).

Natura nu numr i nici numerele naturale nu apar n natur. Omul a creat toatenumerele, n ciuda celor spuse de Kronecker. P. W. Bridgman, matematician i fizician(1882 1961), laureat al Premiului Nobel pentru fizic n 1946.Comentai citatele de mai sus.

Descoper i nva

2.Citete textele de mai jos i mpreun cu colegul tu rspundecerinelor.Privii hotelul din imagine. Proprietara lui dorete s introducun lift care s i transporte pe turiti la fiecare etaj (pn la etajul4) i n discoteca, barul i parcarea aflate n cele dou nivele dinsubsolul hotelului. Desenai n caiete panoul de comand cu

butoanele pentru lift. Scriei pe fiecare buton numrul etajului.

Registrul de cas al firmei A & V pentru data de 30 octombrie se prezint astfel:

Efectuai totalul pe cele dou coloane (ncasri i, respectiv, pli) i stabilii ce sum vaavea firma de reportat pentru ziua urmtoare (suma de reportat este diferena dintre totalncasri i total pli). Refacei calculele pentru situaia n care suma pltit la poziia 5 arfi fost 700 (adic dac firma ar fi cumprat hrtie de copiator n valoare de 700 de lei).Cum ai reprezenta n scris suma de reportat pentru ziua urmtoare n aceast situaie?

Azi, la Helsinki sunt 5 grade sub zero. Scriei, utiliznd simboluri matematice,temperatura aerului din Helsinki.

Numerele sub zero care au intervenit n cadrul activitii 2 sunt numere negative. Ele senoteaz cu minus n faa numrului.

Mulimea numerelor ntregi (se noteaz cu Z) conine numerele naturale i numerele negative,adic:, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, Numerele negative sunt mai mici dect 0, iarnumerele pozitive sunt mai mari dect 0. Numrul 2 este opusul numrului 2, i reciproc.Pentru a reprezenta numerele negative pe ax, ar trebui s prelungim spre stnga axanumerelor naturale. n aceast situaie, axa numerelor este reprezentat ca n desenul alturat:

Dac numrul a se afl n stnga numrului b (pe ax), spunem c a b.

Comparare, reprezentare; adunareai scderea numerelor ntregi negative 5

Nr.crt.

Nr. act casNr.

anexExplicaii ncasri Pli

Simbol contcorespondent

Report/ sold ziua precedent 40001. Chit. 12 Achiziie calculator 15002. DP 20 Salarii 23003. Chit. 2 Chirie 5004. Chit. 72 Protocol 1005. Chit. 98 Hrtie copiator 600

De reportat pagina/TOTAL X


17/60

3. Reprezint pe axa numerelor valorile celor mai sczute temperaturi lunare (n C)nregistrate n ultimii 21 de ani la Deva(informaia este preluat de pe site-ul web http://www.weatherbase.com)

Citete numerele din tabel. Compar numerele 1 i 23; 19 i 13; 3 i 2;15 i 13; 2 i 1; 2 i 1. Aaz valorile din tabel n ordine cresctoare. Determinnumrul de uniti de pe axa numerelor dintre punctele reprezentate pe ax.

4. Rezolv mpreun cu colegii ti problemele:Am o datorie de 50 de lei i, pentru a plti consumul de energie electric la timp, mmprumut cu nc 55 de lei. Care este suma total pe care am mprumutat-o? Dac laprimul salariu pot achita 75 de lei din datorie, ce sum voi mai avea de achitat?

Temperatura crete sau descrete n cursul zilei sau/i de la o zi la alta. Rspunde nscris, folosind reprezentarea valorilor pe axa numerelor, la urmtoarele ntrebri:a) cu cte grade a crescut temperatura, dac dimineaa au fost 3C i la prnz au fost 11C?;

b) cu cte grade a sczut temperatura, dac la prnz au fost 14C i seara au fost 9C?;

c) cu cte grade a crescut temperatura, dac dimineaa au fost 4C i la prnz au fost 5C?;d) cu cte grade a sczut temperatura, dac la prnz au fost 3C i noaptea au fost 2C?;e) cu cte grade a crescut temperatura, dac dimineaa au fost 20C i la prnz au fost8C?

Discutai rezultatele obinute i deducei o regul pentru adunarea i scdereanumerelor ntregi.

Adunarea a dou numere negative are ca rezultat un numr mai mic dect ambele numere(ex.: 3 + (5) = 8). Scderea unui numr negativ nseamn de fapt adunarea cu opusulsu (ex.: 4 (3) = 4 + 3 = 1)

Aplic5. Calculeaz 10 + (5); 2 (9); 4 (11); 12 + (17);21 + 35; 1 + (3); 33 (35); 21 (14);

5 + 16; 2 +1; 7 + 4; 15 (12);32 (23); 31 + 42.

Verific rezultatele reprezentnd numerele pe ax.

Dac avei la coal conexiune internet, exerseaz adunarea i scderea numerelor ntregirezolvnd exerciiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/integers110.htm.

6.Tem suplimentar

1. Reprezint pe axa numerelor i compar:4 cu 6; 5 cu 3; 2 cu 5; 3 cu 7; 2 cu 4; 5 cu 2; 5 cu 5;4 cu 3; 2 cu 8; 2 cu 8; 0 cu 6; 8 (4) cu 4.

2. Calculeaz: 2 (14); 5 (3); 16 + 20; 1 + 49; (15) + (20); 43 + 38;16 + 41; 46 (35); 46 + (35); 9 + (21); 9 (21); 7 + (34); 25 + 31.Aaz rezultatele obinute n ordine cresctoare. Reprezint pe axa numerelor valorileobinute care sunt mai mari dect 10 i mai mici dect 12.

3. Rezolv problema:

Era att de frig afar, nct i se tia rsuflarea. Dimineaa a debutat cu o temperatur de20C, pn la prnz temperatura a crescut cu 5C, iar spre sear gerul s-a lsat din nou itemperatura a sczut cu 7C. Ce temperatur a fost n acea sear?


Luna Ian. Feb. Martie Apr. Mai Iunie Iulie Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.Temp. 23 19 19 3 2 1 6 7 1 5 13 15


18/60

NUMERE NTREGI


Pentru nceput1. tiai c? Introducerea conceptului de numr negativ a fost un proces surprinztor delent. Bineneles c nu putea fi vorba de numere negative, atta timp ct nu exista

numrul 0. Cei care i-au dat seama de existena independent a lui 0 au fostmatematicienii Indiei, n secolul al VI-lea. Numrul 0 reprezenta din punct de vederecantitativ nimicul. Pentru prima dat, nimicul a primit o reprezentare simbolic.Numrul 0 a ajuns n Europa la nceputul secolului al XV-lea.Discutai textul. Facei o predicie referitoare la perioada introducerii numerelor ntregi.

Descoper i nva2. Gsete-i perechea i aliniaz-te!Vei primi o carte de joc dintr-un pachet n care fiecare carte de joc conine exerciiinumerice. n setul de cri de joc sunt cte dou cri care au aceeai valoare, adicrezultatul exerciiilor de pe cele dou cri este acelai. Vei avea de aflat valoarea crii dejoc pe care ai primit-o i apoi va trebui s i gseti perechea. Dup ce toi cursanii dinclas i-au gsit perechea, vei scrie valoarea crii pe partea nescris a acesteia i,mpreun cu colegii ti, vei realiza o linie valoric aezndu-v ntr-un rnd n ordineadescresctoare a valorilor crilor de joc.Un exemplu de dou cri de joc cu aceeai valoare este urmtorul:

Adunarea numerelor ntregi se efectueaz astfel: a) dac numerele sunt ambele pozitivesau ambele negative, se efectueaz operaie de adunare, i rezultatul va fi pozitiv, respectivnegativ, dac numerele au fost pozitive, respectiv negative (ex.: 5 + (3) = 8; 5 + 3 = 8);

b) dac numerele au semne diferite, se efectueaz operaie de scdere, i rezultatul va aveasemnul numrului mai mare n valoare absolut (ex.: 5 + 3 = 2; 5 + 7 = 2).

Valoarea absolut a unui numr este distana pe axa numerelor dintre punctulcorespunztor numrului i punctul corespunztor numrului 0 (de ex.: valoarea absoluta numrului 1 este 1). Valoarea absolut a numrului a se noteaz |a |. Scdereanumerelor ntregi se efectueaz dup regula adunrii, adic a b = a + (b), unde (b)

este opusul numrului b.

3. Determin valoarea absolut i opusul pentru fiecare dintre numerele: 5; 10; 2; 14; 4;2 + (4); 7; 5 (2); 3; 15; 28 + 30; 32 36.Compar i discut rezultatele. Identific o regul (care s nu presupun reprezentareanumerelor pe ax) pentru determinarea valorii absolute a unui numr.

Aplic

4. Lucrnd n grupe, rezolvai problema:Am un card de salariu adic firma la care lucrez mi vireazn fiecare lun salariul n contul cardului. Mi s-a prut o variantfoarte avantajoas, mai ales c banca mi-a oferit posibilitatea de acheltui mai mult dect ctig. Ea m crediteaz (dac am nevoie)cu o sum egal cu salariul meu pe o lun, urmnd ca mai apoi

Adunarea i scdereanumerelor ntregi 6

13 + 5 (4) +7 3 (7) + (2) +1


19/60

s returnez suma cu care am fost creditat (i, evident, dobnda aferent). Extrasul meude cont pe o anumit perioad a lunii martie arta astfel (am notat cu sumele pe carenu pot s le citesc de pe extras din cauza unei erori de imprimare):

Estimeaz suma pltit din cont i sumele de bani care au intrat n cont. nlocuiete din tabel cu valorile corespunztoare. Adaug o coloan la dreapta tabelului, coloan cese va numi Balan i care va conine soldul contului dup fiecare transfer de sum ni din cont. Completeaz coloana pe care ai adugat-o.

5.Calculeaz: 29 15 + 40; 45 + (7) + (32); 26 + (14) + 20;

5 + (44) + 24; 45 + (19) + (1); 8 + 46 (4);23 + (7) (30); |5 | + 3 10 (4); 24 (32 + 12 6 +7);42 (17) + 30; |18 + 36 |; |5 10 + 3 | |23 + 20 14 |;

Verificai rezultatele cu ajutorul unui calculator.

6. Tem suplimentar1. Scrie numrul 4 ca sum de patru numere ntregi diferite.

2. Efectueaz calculele: 2 34 14; 48 (32) 12; 25 30 + 12 14;12 + 20; 43 +12 (13 12 + 2); 12 46;32 (42); 22 30 (27) 9 (38).

3. Alegei 11 juctori din Campionatul Naional (feminin sau masculin) de Fotbal. Punctajulfiecrui juctor din echipa ta l vei stabili utiliznd tabelul de mai jos i informndu-tedespre activitatea juctorilor alei de tine n ultimul meci din Campionatului Naional.Punctajul echipei tale va fi suma punctajelor juctorilor.

Dac i-a plcut aceast problem, i sugerez s o dezvoli prin proiectul Diviziapunctajelor a crui descriere o gseti la pagina 43 a acestui ghid.


Data Denumire Debit (pli din cont) Credit (intrri n cont)Sold iniial la 1.03.2005 3201.03.05 Dobnd sold 3

3.03.05 ATM (retragere) 1204.03.05 Tranzacie Oranges 2866.03.05 Tranzacie S&V 2248.03.05 Alimentare automat 50Suma micrilor

Sold la 9.03.05

Pentru toi juctorii punctaj Pentru aprtori i portari punctaj

Joac tot meciul +2Nu are sanciuni i a jucat ntregmeciul

+4

Joac doar o anumit perioaddin meci

+1Nu are sanciuni i a jucat numaio perioad din meci

+2

Gol marcat (inclusiv din penalti) +10 Gol primit i recunoscut dearbitru

1

Pas decisiv de gol +3

Ratarea unui penalti (unei lovituride la 11 m)

5

Eliminat din joc 5

Primete cartona galben 2


20/60

NUMERE NTREGI


Pentru nceput1. tiai c exist glume cu matematicieni?!Un matematician, un biolog i un fizician stau la o teras. Cei trei beau cafea i se uit la

oamenii care intr i ies din casa de peste drum. Ei vd doi oameni intrnd n cas.Timpul trece i, dup o vreme, ei observ trei oameni care ies din cas. Fizicianul spune:Msurarea nu este corect. Biologul spune: S-au reprodus. Matematicianul spune:Dac acum ar intra o persoan n cas, atunci casa ar fi din nou goal.Explicai afirmaia matematicianului.

2. Calculeaz mintal: 40 22; 14 30; 21 (43); 4 + 42;8 + (14); 15 45; 7 + (38); (20 44); |61 |; |80 21 |.

3. Msoar temperatura de afar cu ajutorul unui termometru inoteaz valoarea temperaturii pe tabl. Reprezint aceastvaloare, n scris, pe cartonae separate, n cel puin cinci moduri(de ex.: numrul 4 poate fi reprezentat n scrisca 6 + 2 sau 10 + 6 sau 1 3 sau minus patru sau).Discut cu ceilali reprezentrile pe care le-ai scris. Cte astfel dereprezentri are un numr ntreg?

Descoper i nva

4.Efectueaz n scris urmtoarele calcule: 4 + 4 + 4; (4) + (4) + (4); (4) (4) (4); [(4) + (4) + (4)]. Identific modaliti de scriere ale exerciiilor anterioare cu ajutoruloperaiei de nmulire. Prezint i discut modalitile identificate.

Pentru a nmuli dou numere ntregi, se efectueaz nmulirea dintre valorile absoluteale numerelor i n faa rezultatului se pune semnul + dac numerele au acelai semn,respectiv semnul dac numerele au semne diferite.De ex.:

Aceeai regul este valabil i pentru mprirea numerelor ntregi; evident c ntrevalorile absolute vom avea operaie de mprire.Ex: 15 : 3 = 5; (15) : (3) = 5; (15): 3 = 5; 15: (3) = 5.Regula semnelor de la nmulirea i mprirea numerelor ntregi este reprezentatsugestiv n urmtorul tabel:

nmulirea i mprireanumerelor ntregi 7

4 3 = 12 nmulim dou numere pozitive, rezultatul este pozitiv.

(4) (3) = 12 (4) (3) =|4 | |-3 | = 4 3 = 12; rezultatul este pozitiv pentru c cele

dou numere au acelai semn.

(4) 3 = 12 |4 | |3 |= 12 i n faa rezultatului punem semnul minus pentru cnumerele au semne diferite.

4 (3) = 12|4 | |3 |= 12 i n faa rezultatului punem semnul minus pentru cnumerele au semne diferite.

/: + + + +


21/60

Aplic

5. Estimeaz i apoi efectueaz urmtoarele calcule:

Ordinea efecturii operaiilor cu numere ntregi este aceeai cu ordinea efecturiioperaiilor cu numere naturale.

6. Determin valorile urmtoarelor expresii numerice:

Dac avei la coal conexiune internet, rezolv exerciiile de la adresahttp://www.edhelper.com/math/integers113.htm.

7. Tem suplimentar1. Scrie numerele ntregi care s reprezinte fiecare descriere din tabel.

Ordoneaz descresctor numerele ntregi obinute.

2. Ordoneaz cresctor numerele: 75, 29, 12, 76, 14, 0, 5, 10;25, 7, 28, 22, 8, 27, 9, 22, 16, 16, 24;15, 12, 53, 60, 7, 3, 32, 38;43, 7, 22, 7, 23, 19, 26.

3. Alege un numr ntreg negativ. Reprezint valoarea lui, cu ajutorul celor patru operaii debaz, n cel puin 10 moduri.

4. Rezolv problema:Maria dorete s participe la o ntlnire a reprezentanilor unororganizaii de tineret din Europa de Est care se organizeaz laBudapesta. Ea trebuie s achite taxa de participare de 30 de euroi costul drumului dus-ntors cu microbuzul. Drumul pn laBudapesta cost 18 euro. Dac Maria are n cont 45 de euro, cesold va avea dup efectuarea plilor?


(6) (44) (12) 1 41 (9) (49) 30 29 13 (19) 4(11) 1 (13) (7) (18) 14 (19) 15 (2) (2) (11) 29

35 (48) 21 49 (4) (31) 5 (39) (3) 13 (6) (6)(3) (3) (11) (10) (12) 12 10 (34) 15 (40) 18 (25)27 : (3) (10) : (5) 196 : (14) 150 : (3) (44) : 2 125 : (5)(35) : 7 (120) : (40) (72) : 9 (63) : (7) 40: (8) 55 : 11

(38) (25) 14 (22) (38) 30 (99) : (3) 0 : (3) (54) : 935 (21) (198) 0 (12) 30 8 (22) 960 : (32) 172 : (43)8 : (8) 108 : (6) (51) : 3 (14) : 14 (154) : 11 (240) : (16)

[11 (35) (3) + (9)] + 25 [(30) : (3) + (42)] + (38)(35) + [(37) 1 15] 12 + (32) 31 (25)26 + [(42) 17 (33) + 31] 41 (104) : (2)3

31 + 3 + (6)2 : 4 (8) 21 [(5) 2 + 2 (46)] : 2

6 uniti la stnga lui 11 pe axa numerelor o cretere de 80 de lei20C sub 0 120 m sub nivelul mriio pierdere de 3 kg un profit de 14356 lei la o investiieun ctig de 15 kg 4 uniti la stnga lui 5retragere de 956 de lei de la ATM o reducere de 35 de lei7 uniti la dreapta lui 15 pe axa numerelor opusul numrului 47


22/60

NUMERE NTREGI


Pentru nceput1. Cnd te-ai nscut?Scrie pe foaie toate numerele de la 1 la 12. Rspunde apoi n

scris, notnd rspunsul tu lng numrul cerinei.

Aplicaiicu numere ntregi 8

1. Scrie numrul carereprezint luna n carete-ai nscut.

2. nmulete-l cu 4;3. adun 13;4. nmulete cu 100;5. mparte la 4;

6. scade 200;7. adun numrul care

reprezint ziua n carete-ai nscut;

8. nmulete cu 2;9. scade 40;

10. nmulete cu 50;11. adun ultimele 2 cifre

ale anului n care te-ainscut;

12. scade 10500.

Rezultatul ar trebui s fie un numr care conine (de la stnga spre dreapta) luna, ziua iultimele dou cifre ale anului n care te-ai nscut. Este aceasta data la care te-ai nscut?Dac nu, reia paii pe care i-ai parcurs i gsete greeala. Putei explica de ce aceastregul este valabil, indiferent de data naterii?

Descoper i nvaFiecare cifr a unui numr are semnificaia ei. De exemplu, n cazul numrului 367, 3reprezint cifra sutelor, 6 reprezint cifra zecilor i 7 reprezint cifra unitilor. Caurmare, putem scrie: 367 = 3 100 + 6 10 + 7 sau 367 = 3 10 2 + 6 10 + 7.Reprezint numrul 91063, punnd n eviden semnificaia fiecrei cifre.

2. Deseneaz i utilizeaz axa numerelor pentru a identifica numrul care este:a) cu 4 mai mare dect 1;b) cu 6 mai mic dect 3;c) cu 8 mai mare dect 10;d) cu 4 mai mare dect 0;e) cu 7 mai mic dect 4;

f) cu 3 mai mic dect 1;g) cu 8 mai mare dect 2;h) cu 5 mai mic dect 4;i) cu 2 mai mic dect 0;j) cu 5 mai mare dect 8.

3. Identific numrul:a) cu 10 mai mare ca 20;b) cu 200 mai mare dect 300;c) cu 80 mai mic dect 50;d) cu 170 mai mare dect 700;e) cu 70 mai mic dect 225;

f) cu 400 mai mic dect 60;g) cu 150 mai mare dect 500;h) cu 40 mai mic dect 20;i) cu 200 mai mare dect 200;j) cu 50 mai mic dect 60.

4. Completeaz tabelul urmtor:Temperaturala prnz (C)

Temperaturan timpulnopii (C)

Diferena detemperatur

(C)

6 8 14 (a sczutcu 14 C)

4 71 6

Temperaturala prnz (C)

Temperaturan timpulnopii (C)

Diferena detemperatur

(C)5 04 19

18 55 7

3 8


23/60

5. Determin valorile expresiilor numerice:(3) (5) [-3 (4) : (2) + 10 (8) 20] + 1;7 + (24) : (6) (5 + 4 7 + 5) : 3 + (5) 2;8 : (2)3 |5 | + |21 48 | |45 30 | : (6);5 (5) + 125 : (5) + (6 + 4 12 24) : (2).

Aplic6. Lucrnd n grupe, rezolvai problemele:Lavinia i-a propus s sar n nlime 1 m, adic 100 cm. Ea i-a

notat cum s-a poziionat la fiecare sritur fa de performana pecare i-a propus-o. Dac a srit mai mult cu 1 cm fa derezultatul pe care i l-a propus, a notat +1, iar dac a srit maipuin cu 1 cm, a notat 1. Foaia ei de hrtie arta astfel:

Ci centimetri a avut cea mai nalt sritur a ei?

Ci centimetri a avut cea mai slab sritur a ei?


3 2 +1 0 +2 1

Andra i Mihai, prietenii mei, au plecat n Statele Unite ntr-un turneu cu ansamblul dedansuri populare. Primul spectacol era programat n Los Angeles. Ei au decolat la ora 4dimineaa din Bucureti i au cltorit timp de 36 de ore cu escale la Amsterdam iAlabama. La ce or ar trebui ca organizatorii americani s fie n aeroport pentru a-intmpina pe dansatori, tiind c ora local din Los Angeles este UTC/ GMT 8 i oralocal din Bucureti este UTC/ GMT +2 (UTC nseamn Universal Time Coordinated ieste termenul oficial pentru timpul msurat atomic, iar GMT nseamn Greenwich MeanTime i denumete timpul de baz fa de care toate celelalte fuse orare sunt relative ieste determinat de observaiile astronomice realizate la Greenwich, Regatul Unit alMarii Britanii).

7. Verific-i progresul!1) Completeaz textul astfel nct afirmaia s fie adevrat.

La prnz, temperatura aerului a fost de 3 C, iar spre sear s-a rcit foarte tare i au fost15C, deci temperatura aerului a cu C.

2) Completeaz textul astfel nct afirmaia s fie adevrat.Te gseti pe axa numerelor exact n punctul care reprezint numrul 0. Dac faci 7 paila dreapta, apoi 8 pai la stnga, apoi 2 pai la dreapta, 4 pai la stnga i nc 3 ladreapta, te vei gsi pe axa numerelor n punctul care reprezint numrul Precizmc pasul tu are lungimea de o unitate.

3) Subliniaz rspunsul corect. Care dintre urmtoarele numere este pozitiv?a. +10 + |20 |; b. (5) (25);c. (25 5); d. |5 25 |.

4) Subliniaz rspunsul corect. Care dintre numerele de mai jos este mai mare dect 200?a. (7)3; b. 142;c. 53; d. (16)2.

5) Subliniaz rspunsul corect. Rezultatul calculului [3 3 (2 3 2)] : 3 este:a. 0; b. 9;c. 7; d. 5.

6) Subliniaz rspunsul corect. Rezultatul calculului [10 (- 2) 3 2 6] este:a. 32; b. 28;c. 4; d. 20.


24/60


7) Subliniaz rspunsul corect. Dac |a | = 3, care este valoarea lui a?a. 3; b. 3;c. 0; d. 9.

8) Rezolv problema: Mihai are pe cardul su de credit suma de 300 de lei. El se pregtetes plece n vacan i face ultimele cumprturi: o pereche de adidai cu 75 de lei, ungeamantan cu 80 de lei, 3 prosoape a 21 de lei bucata. i pltete asigurarea la main cu156 de lei i abonamentul la telefon cu 99 de lei. Ce sum are Mihai pe card dup ceachit cu cardul de credit toate cele enumerate mai sus?

9) Scrie numerele ntregi care s reprezinte fiecare descriere din tabel.

8. Completeaz fia de autoevaluare.1. Am nvat despre numerele ntregi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere ntregi dac n expresie apar operaiile:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Rezolv corect probleme care presupun utilizarea numerelor ntregi dac: . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu i paginile . . . . . . . . . . . . . din caietdemonstreaz afirmaiile mele de la 1, 2 i 3.

5. Am nc dificulti cu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Cred c ntmpin aceste dificulti pentru c: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu i paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din caietdemonstreaz afirmaiile mele de la 5 i 6.

8. Am contribuit la activitile n perechi/pe grupe/cu ntreaga clas atunci cnd: . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 uniti la stnga lui 20 pe axa numerelor o cretere de 1200 de lei27C sub 0 140 m sub nivelul mriio pierdere de 10 kg un profit de 238.769 lei la o investiieun ctig de 15 lei 5 uniti la stnga lui 9retragere de 847 de lei de la ATM o reducere de 25 de lei9 uniti la dreapta lui 14 pe axa numerelor opusul numrului 36.


25/60

Numere raionale III


s scrii i s citeti fracii, fracii zecimale, procente;

s compari i s ordonezi numerele raionale (inclusiv

fracii, fracii zecimale i procente); s reprezini numere raionale pe ax

sa utilizezi diferite reprezentri ale fraciilor

s efectuezi operaii cu numere raionale

s rezolvi probleme cu fracii, fracii zecimale i

procente.



26/60

NUMERE RAIONALE

Fracii 9


Pentru nceput1. tiai c? Urmtoarea invenie dup numerele necesare numrrii a fost descoperireafraciilor acel tip de numere pe care azi le simbolizm cu 2/3 (dou treimi), sau 22/7

(douzeci i dou de eptimi sau, echivalent, trei ntregi i o eptime). Cu ajutorulfraciilor nu se poate numra dei 2/3 dintr-o cmil pot fi mncate, dar nu pot finumrate , n schimb se pot face multe alte lucruri interesante. (Stewart Ian, Numerelenaturii Ireal realitate a imaginaiei matematice, Humanitas, Bucureti, 1999, p. 42)Discut cu ceilali citatul de mai sus i realizai mpreun o list cu lucrurile interesantecare se pot face cu fraciile.

Descoper i nva2. Copiaz figurile geometrice din desenul alturat n caiet i, n dreptul fiecrui desen,scrie n cte pri este mprit figura geometric, cte dintre pri sunt colorate cu gri i

cte pri sunt albe.

3.Studiaz desenele.

Reprezint tabelul n caiet (cu attea linii cte figuri sunt) i completeaz-l:

Discut cu colegii semnificaia semnului din scrierea ab

.

Numerele de forma ab , cu a i b numere naturale, b 0 se numesc fracii (sau fracii ordinare);a se numete numrtorul fraciei, b se numete numitorul fraciei, iar semnul senumete linie de fracie i semnific mprirea. O fracie se citete punnd n eviden attnumitorul (numrul de pri n care a fost mprit ntregul), ct i numrtorul (numrul depri luate n considerare). De exemplu, fracia 34 se citete trei ptrimi.Un sfert se poate scrie cu ajutorul fraciilor ca 14 , o jumtate se reprezint ca

12 .

4. Citete i rspunde cerinelor.Citete urmtoarele fracii:14 , 12 , 34 , 18 , 13 , 35 , 310 , 79 , 36 , 58 , 24

i apoi citete numrtorul i numitorul fiecreia. Deseneaz un dreptunghi pentru fiecaredintre ele i reprezint-le prin colorare. Scrie sub form de fracie poriunea necolorat a

Numrulfigurii

Numrul de pri ncare este mpritfigura geometric

Numrul de pricolorate

Scrie ab

, unde a este numrulde pri colorate i b estenumrul total de pri


27/60

dreptunghiului pentru fiecare caz n parte. Discut cu colegul tu rezultatele obinute iapoi discutai n clas paii pe care i-ai parcurs pentru rezolvarea acestei sarcini de lucru.


5. Lucrnd n grupe, rezolvai problema:Camelia i Adrian au fcut o prjitur cu mere pentru prieteniilor care au venit n vizit. Era prima lor ncercare i a fost oadevrat reuit! Dup ce fiecare s-a servit din prjitur,Camelia a spus: A mai rmas un sfert din prjitur! i Adrian areplicat: Ba nu, au mai rmas dou optimi. Cine are dreptate:Camelia sau Adrian? Pentru a putea rspunde la ntrebare, amfotografiat prjitura rmas.

Dou fracii care sunt reprezentate (n scris) diferit i au aceeai valoare se numesc fracii

echivalente. De exemplu, 12 i24 sunt fracii echivalente.

6. Citete i ndeplinete sarcinile.n cele trei desene am reprezentat aceeai fracie; scrie cele trei fracii diferite (darechivalente) reprezentate de cele trei diagrame.

Gsete o regul de obinere a fraciilor echivalente. Discut cu colegii ti regula pe careai gsit-o.

Dac nmulim sau mprim att numrtorul, ct i numitorul fraciei cu acelai numr(diferit de 0), atunci obinem o fracie echivalent cu fracia dat. Dac nmulim numitoruli numrtorul unei fracii cu un acelai numr n diferit de 0, spunem c amplificm fraciacu n. Dac mprim numitorul i numrtorul unei fracii cu un acelai numr n diferit de

0, n fiind divizor al numitorului i al numrtorului, spunem c simplificm fracia dat.

Aplic

7. Identific valoarea lui xi pe cea a lui tdin urmtoarele egaliti:12 =

x8 ;

15 =

x10 ;

34 =

x12 ;

18 =

2x

; 1640 =x5 ;

312 =

x4 ;

13 =

x15 ;

16 =

2x

; 14 =2x

= t16 .

Compar rezultatele pe care le-ai obinut cu rezultatele obinute de colegi. Discutaimodalitatea pe care fiecare dintre voi a utilizat-o n rezolvarea exerciiului.

Dac avei la coal conexiune internet, exerseaz simplificarea i amplificarea fraciilor

rezolvnd exerciiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/fractions_ft105.htm.

8. Tem suplimentar. Rezolv problemele:1. 4 prieteni cumpr o pizza i doresc s o mpart n mod egal. Cte buci va lua fiecare dintre

ei, dac buctarul a tiat pizza n: a) 8 pri egale; b) n 16 pri egale; c) n 4 pri egale.

2. Marian are lips de calciu. Medicul i-a recomandat s ia calciu sub form de pastile i sbea ct mai mult lapte. Singura problem este c lui Marian nu-i place laptele.De aceea, fraii lui caut reete de buturi rcoritoare pe gustul lui Marian care s coninct mai mult lapte. Tudor a gsit urmtoarea reet: ntr-un pahar de 250 ml se pun25 ml sirop de fragi, se completeaz cu lapte rcit i se amestec bine. Daniela a gsit

urmtoarea reet: ntr-un pahar de 200 ml se pun 25 ml sirop de portocale, secompleteaz cu lapte rcit i se amestec bine. Care dintre reete conine mai mult lapte?Argumenteaz-i rspunsul. De ct lapte este nevoie pentru a prepara 1 l de fragi culapte? Dar pentru a prepara un 1 l de portocale cu lapte?


28/60

NUMERE RAIONALE


Pentru nceput1. Egalitatea de anse pentru femei i brbai n Romnia prin fracii

n 2002, femeile reprezentau 310 din numrul membrilor corpurilor legislative i al

directorilor de instituii publice i uniti socio-economice i politice.

n urma alegerilor din 2004, 110 din numrul membrilor Parlamentului Romniei

sunt femei.

(Date preluate din Raportul Equal Opportunities for Women and Men Monitoring Law and Practice in New

Member States and Accession Countries of the European Union realizat de Open Society Institute i dat

publicitii n mai 2005.)

Reprezint fraciile din textul de mai sus. Compar fraciile din text cu fracia 51100 , carereprezint numrul femeilor din totalul populaiei Romniei. Discutai despresemnificaia comparaiei.

Descoper i nva

2. Citete textul i ndeplinete sarcinile.Corina a tiat prjitura n 10 pri egale. Ea mnnc 3 buci din prjitur i Mariusmnnc 4 buci. Scrie fraciile care completeaz afirmaia:Corina a mncat din prjitur, Marius a mncat din prjitur, mpreun au

mncat din prjitur.Dedu care este regula de adunare a dou fracii care au numitor comun.

3. Rezolv problema mpreun cu un coleg i apoi prezentaicelorlali colegi rspunsurile la ntrebri i modul n care airezolvat problema.Ieri, patru prieteni i-au cumprat fiecare cte o franzel mic.Toate franzeluele erau la fel. Mihai i-a tiat franzela n 4 feliiegale i a mncat 3, Corina a tiat-o n 5 felii egale i a mncat 4,Maria a tiat-o n 10 felii egale i a mncat 9, Sami a tiat-o n 20de felii egale i a mncat 17. Cine a mncat mai mult pine? Deunde tii? Cui i-a rmas mai mult pine? De ce? Dac Sami ar fi

mncat cu o felie n plus, ar fi mncat cel mai mult din pine?Dar dac ar fi mncat cu dou felii mai mult?

Reprezint pe axa numerelor fraciile:34 ,

45 ,

910 ,

1720 ,

1820 .

Ai fi putut rezolva problema utiliznd aceste reprezentri? Discut cu colegii ti pentru agsi rspunsul la aceast ntrebare.

Pentru a compara dou fracii, vom ine cont de urmtoarele:ab c

bdac i numai dac a c(b 0); a

b a

cdac i numai dac b c, (b 0, c 0);

pentru a compara dou fracii care nu au nici acelai numitor, nici acelai numrtor, sescriu forme echivalente ale celor dou fracii care fie au acelai numitor, fie au acelainumrtor i se aplic una din regulile anterioare.

Compararea fraciilori operaii cu fracii 10


29/60

Pentru a efectua adunarea sau scderea a dou fracii, vom ine cont de urmtoarea regul:ab c

b= a cb (b 0).

Dac cele dou fracii nu au acelai numitor, atunci ele se vor aduce la numitor comun,utiliznd echivalena fraciilor.

nmulirea a dou fracii se efectueaz astfel:ab

cd

= a cb d (b 0, c 0)

i mprirea a dou fracii se efectueaz astfelab

: cd

= ab

dc

(b 0, c 0, d 0).

nainte de a efectua nmulirea i mprirea fraciilor, simplificai fraciile.O fracie a

bse numete subunitar dac a < b.

4. Citete textul de mai jos i ndeplinete sarcinile.Scrie 4 fracii subunitare diferite, utiliznd numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Reprezint-le peaxa numerelor. Ordoneaz-le descresctor. Efectueaz patru operaii de adunare diferitecu fraciile pe care le-ai scris. Efectueaz patru operaii de nmulire diferite cu operaiile

pe care le-ai scris. Efectueaz patru operaii de mprire diferite cu fraciile pe care le-aiscris. Simplific rezultatele pe care le-ai obinut, dac este posibil, i reprezint-le pe axanumerelor. mprtete-i colegului tu rezultatele obinute. Discutai.

Aplic

5. Dac avei la coal conexiune internet, exerseaz adunarea fraciilor lahttp://www.aaamath.com/fra57a-addfractld.html,nmulirea fraciilor la adresa http://www.aaamath.com/B/fra66mx2.htm sauhttp://www.aplusmath.com/Flashcards/fractions-mult.html,mprirea fraciilor la http://www.aaamath.com/B/fra66ox2.htm.

6. Lucrnd n grupe, rezolvai problema:Ca n fiecare an, n luna mai se organizeaz Zilele colii. Cu toii, elevi i profesori, neaducem contribuia la organizarea diferitelor momente. Maria i Mihai se ofer s preparesucul de fructe pentru copiii care particip la acest eveniment. Ei prepar suculamestecnd concentratul de suc de fructe cu ap. Ca s fie siguri c sucul va fi apreciatde copii, Maria i Mihai ncearc mai multe reete de amestec:reeta A: 2 cni de concentrat i 3 cni de ap rece;reeta B: 1 can de concentrat i 4 cni de ap rece;reeta C: 4 cni de concentrat i 8 cni de ap rece;reeta D: 3 cni de concentrat i 5 cni de ap rece. Care reet ar trebui utilizat pentruca sucul s aib cel mai pronunat gust de fructe? Care dintre reete este cea mai ieftin?

Dac fiecare copil va primi o jumtate de can de suc i la eveniment vor participa 360 decopii, calculai ct concentrat i ct ap vor fi necesare pentru prepararea sucului(considerai fiecare din cele 4 reete). Argumentai-v rspunsul.

7. Tem suplimentar1. Reprezint fraciile pe axa numerelor: 38 ,

25 ,

13 ,

24 .

Scrie 2 fracii echivalente pentru fiecare fracie. Amplific prima fracie cu 5. Verificdac vreuna dintre fracii poate fi simplificat i dac da, simplific fracia.

2. Efectueaz operaiile: 23 +56 ;

34

13 ;

35

23 ;

23 +

16 ;

23 :

16 ;

14 +

16

23 ;

25 :

520 .

Stabilete care dintre rezultate este fracie subunitar. Reprezint rezultatele pe axanumerelor.



30/60

NUMERE RAIONALE


Pentru nceput1. Umor cu fraciiUn matematician i spune soiei sale c se va ntoarce acas la 12 fr un sfert. Ajungnd

acas la ora 3 dimineaa, soia lui i reproeaz cu nu s-a inut de cuvnt. Rspunsulmatematicianului a fost: M-am inut de cuvnt, draga mea Doar i-am spus c voi veniacas la un sfert din 12Explicai rspunsul matematicianului.

Descoper i nva

2.Rezolv urmtoarele probleme:

1. Determin 35 din 60 de lei.

2. Marin are trei copii. Fiind foarte btrn, el i-a scris testamentul. Jumtate din averea sa olas soiei, un sfert celui mai mare dintre copii, o cincime mijlociului i restul celui maimic. Ce parte din avere va primi cel mai mic dintre copiii lui Marin? Dac averea luiMarin este 51.000 de lei, ce sum reprezint motenirea fiecruia?Discut cu ceilali modalitatea de rezolvare a fiecrei probleme.

Pentru a determina ab

dintr-o cantitate n se efectueaz ab

n.

3.Determin mintal:12 din 20,

13 din 60,

15 din 100,

14 din 28,

37 din 63,

38 din 64,

34 din 100,

12 din 10,

25 din 25,

35 din 45,

20100 din 50,

40100 din 300.

4. Rezolv problemele i discutai n grup modalitatea de rezolvare a fiecreia.

1. Punctajul maxim care poate fi obinut la testul scris de la examenul pentru obinerea

carnetului de ofer este de 26 de puncte. Mdlina a obinut 1213 din punctaj.

2. Cte puncte a obinut la test?

3. ntr-un departament al unei firme lucreaz 32 de persoane, dintre care 38 vin la firm cuautobuzul. Cte persoane vin la firm cu autobuzul?

4. ntr-o coal sunt 798 de elevi. 12 din numrul elevilor sunt fete. Cte fete sunt n coal?

310 din angajaii unei firme nu au copii. Firma are 510 angajai. Determinai numrul de

angajai care au copii.

5. Unul din cinci tineri ntre 16 i 20 de ani au condus n anul 2004sub influena alcoolului dezvluie raportul guvernamental alStatelor Unite ale Americii din decembrie 2004. Dac n S.U.A.

sunt 20 de milioane de tineri cu vrste ntre 16 i 20 de ani, citineri au condus sub influena alcoolului n 2004? (informaiepreluat de pe site-ul ASAP Familyhttp://www.asapfamily.com/news/drive.htm)

Aplicaii practiceale fraciilor 11


31/60

5. Lucrnd n perechi, rezolvai problemele:Patronul a anunat o cretere salarial de 6100 . Dac am un salariu de 400 de lei, cu ctmi va crete salariul?

Doar doi tineri din cinci au un loc de munc spune un articol citat de revista PreseiOn-Line dup Cotidianul(http://www.cafeneaua.com/node/view/2407). Determin citineri din 100 au un loc de munc.

Fraciap

100 se noteaz cup% i se numete procent. Cuvntul procent provine dinlimba latin, percent nsemnnd la fiecare sut.

6. Rezolv problemele de mai jos. Discut cu colegii modalitatea de rezolvare a fiecreiprobleme. Stabilete cunoscutele i necunoscuta n fiecare caz i identific reguli derezolvare.Patru stomatologi din cinci recomand guma de mestecat fr zahr. Care este procentulde medici stomatologi care recomand guma de mestecat fr zahr?

80% din costul transportului este suportat de organizatori. Dac contravaloareatransportului este de 50 de lei, ct vor acoperi organizatorii din costul biletului?

Din cauza unor probleme financiare, firma a putut onora n aceast lun doar 80% dinsalarii. Dac am primit 320 lei, care este salariul meu lunar?

Aplic

7. Rezolv problemele, compar rezultatele cu colegul tu idiscut modalitile de rezolvare cu toi colegii.La alegerile pentru preedinie n Asociaia TIME, 2268 persoaneau votat pentru Mirela V., 8820 persoane au votat pentru Leo T.i 1512 persoane au votat pentru Vlad G. Ce procent din voturi a

avut fiecare candidat, tiind c fiecare membru al asociaiei avotat pentru unul din candidai?

Dobnda oferit de o banc pentru depozitele n lei este 11% pe an. Ce dobnd voi primidup un an, dac depozitul meu este 500 de lei? Dar dup 5 luni? Dar dup 2 ani, dacdobnda primit pe primul an s-a capitalizat (adic, a fost depus automat n cont)?

8. Tem suplimentar1. Eva cheltuiete jumtate din salariul ei pe mncare i chirie, 25% din salariu pe haine, 112

pentru petrecerea timpului liber i reuete s economiseasc n fiecare an 120 de lei.

Maria cheltuiete 50% din salariul ei pe mncare i chirie, 13

pe haine, 112

pentru

petrecerea timpului liber i reuete s economiseasc n fiecare an 120 de lei.Estimeaz cine ctig mai mult, Eva sau Maria? Argumenteaz-i rspunsul. Reprezintprin desen fiecare din cele dou situaii. Calculeaz venitul anual al Evei n mai multemoduri. Calculeaz venitul anual al Mariei.

2. O pereche de blugi cost 80 de lei la magazinul de pe strada mea. Luna aceasta,magazinul ofer o reducere de 20%. Pot s mi cumpr blugii, dac am 60 lei?Argumenteaz-i rspunsul.



32/60

NUMERE RAIONALE

Fracii zecimale 12


Pentru nceput1. tiai c procentele comunic?!n anii 1995, 1999 i 2003, Romnia a participat mpreun cu alte ri din lume la studiul

TIMSS (The Trends in International Mathematics and Science Study) iniiat de AsociaiaInternaional pentru Evaluarea Rezultatelor din Educaie. n anul 1995, elevii testai lamatematic (clasa a VIII-a) din Romnia au obinut 474 de puncte, n 1999 au obinut 472puncte i n 2003, 475 puncte. Cel mai mare punctaj a fost obinut de elevii din Singapo-re: 609 puncte n 1995, 604 n 1999 i 605 n 2003. Pentru a interpreta corect rezultateleobinute de elevi, s-a fcut un studiu (realizat de Eric A. Hanushek i Javier A. Luque,http://edpro.stanford.edu/eah/papers/TIMSS.pdf) legat de condiiile pe care le au acaselevii care au participat la test. Datele acestui studiu se gsesc n tabelul de mai jos.

Ce v spun datele din tabel? Discutai.

2.Gsete-i perechea i aliniaz-te!

Vei primi o carte de joc dintr-un pachet n care fiecare carte de joc conine o problem.n setul de cri de joc sunt cte dou cri care au aceeai valoare, adic rezultatulproblemelor de pe cele dou cri este acelai. Vei avea de aflat valoarea crii de joc pecare ai primit-o i apoi va trebui s i gseti perechea. Dup ce toi elevii din clas i-augsit perechea, vei scrie valoarea crii pe partea nescris a acesteia i, mpreun cu colegiiti, vei realiza o linie valoric, aezndu-v ntr-un rnd n ordinea cresctoare a valorilorcrilor de joc. Un exemplu de dou cri de joc cu aceeai valoare este urmtorul:

Descoper i nva

3. Citete textul i ndeplinete sarcinile.Linia de fracie nseamn operaie de mprire. Utiliznd un calculator de buzunar,determin valorile urmtoarelor fracii prin mprirea numrtorului la numitor:14 ,

12 ,

310,

72 ,

48 ,

13 ,

15 ,

29 ,

54 ,

1410,

5100 ,

251000 ,

245100 .

Scrie toatele rezultatele obinute n caiet. Lucreaz n perechi pentru a rspunde laurmtoarele ntrebri: Ce au n comun toate valorile pe care le-ai obinut lucrnd cu

fracii subunitare? Cte cifre ai obinut dup virgul n fiecare caz? Ce crezi c determinnumrul de cifre de dup virgul? Compar scrierea fiecrei fracii cu scrierea valorii pecare ai obinut-o. Se regsesc aceleai cifre? Dac da, n ce situaii? Crezi c ai putea scrievaloarea unei fracii fr a utiliza calculatorul? Dac da, n ce condiii?

araPunctaj

obinut n1999

% elevicare au

acas uncalculator

de buzunar

% elevicare au

acas unbirou

% elevicare au

acas undicionar

% elevicare au

acas maimult de 25

de cri

% elevicare au

acas uncalculator(computer)

Romnia 472 58% 68% 55% 49% 17%Hong Kong 582 97% 78% 97% 50% 37%S.U.A. 502 96% 87% 95% 75% 54%

Un costum cost 150 de lei. Magazinula anunat o reducere de pre de 20%.Cu ct a sczut preul costumului?

Preul unui kilogram de salam este de 24lei. De luna viitoare, preul salamului vacrete cu 14 . Ct va costa un kilogram desalam?


33/60

Valoarea unei fracii ce se obine prin mprirea numrtorului la numitorul fraciei senumete fracie zecimal. Fiecare cifr dintr-o fracie are o semnificaie legat de poziiaei n numr. De ex.: pentru numrul 34,56 avem 3 cifra zecilor, 4 cifra unitilor,5 cifra zecimilor, 6 cifra sutimilor; numrul se poate descompune ca sum astfel:

3 10 + 4 + 5 110 + 6 1100 .

Numrul 34,56 se citete treizeci i patru i 56 de sutimi sau, n limbajul curent, seutilizeaz varianta treizeci i patru virgul cincizeci i ase. Fraciile care au la numitorputeri ale lui 10, 100, 1000 se scriu foarte uor ca fracii zecimale. De ex.:

310 = 0,3;

234100 = 2,34;

451000 = 0,045.

Fraciile zecimale se pot reprezenta pe axa numerelor.

Dou fracii scrise sub form zecimal se compar prin compararea cifrelor care ocupaceeai poziie n cadrul numrului. De exemplu: 2,34 2,39 pentru c: 2=2, 3=3 i 4


34/60

NUMERE RAIONALE


Pentru nceput1. Numere la tiriLa nivel naional, aproape dou treimi dintre tineri sunt ntreinui de prinii lor i

numai 30% au declarat c pot s triasc din salariul pe care l ctig tire citat deRevista Presei On-Line dup Cotidianul http://www.cafeneaua.com/node/view/2407.

Procentul elevilor care au abandonat studiile n nvmntulobligatoriu a cunoscut o evoluie ascendent, ajungnd de la 0,6%n 1993 la 0,8% n 1998. raport al Organizaiei Salvai CopiiiRomnia ctre Comitetul Naiunilor Unite pentru DrepturileCopilului Geneva, referitor la al doilea raport periodic al

Guvernului Romniei pentru intervalul 1995 2002(www.salvaticopiii.ro/romania/resurse/RAPORTUL_ALTERNATIV_SC.pdf).

La nivel mondial 4 din 5 copii cu vrste cuprinse ntre 10 i 15 ani sunt cuprini nnvmntul gimnazial. raport UNESCO pentru Educaie Global(http://www.uis.unesco.org/template/pdf/ged/2005/ged2005_en.pdf).

Lucrai pe grupe. Fiecare grup analizeaz una dintre tiri. Calculai procentele carerezult din tirile de mai sus. Comparai procentele pe care le-ai calculat i cele careintervin n text cu 110 i cu

1100 . Discutai rezultatele. Comentai.

Descoper i nva2. Rezolvai problemele. Discutai despre modalitatea de rezolvare a fiecrei probleme idespre cum ai efectuat calculele.

1. Un kilogram de zahr cost 1,9 lei i un ou cost 0,4 lei. Cumpr 2 kg de zahr i 4 ou.Ci lei voi primi rest la o bancnot de 10 lei?

2. Pentru 4 porii de glute din cartofi cu brnz i ceap sunt necesare: 0,6 kg cartofi,0,25 kg fin, 0,2 kg brnz de vaci, 0,2 kg ceap, 0,15 kg margarin. Ce cantiti suntnecesare pentru 10 porii?

3. Un trening cost 40,95 de lei la magazinul Sport i 40 de lei la magazinul unde lucrez. Lamagazinul Sport au reducerea cumperi i plteti dou treimi din pre i la magazinulunde lucrez avem o reducere de 30%. Unde cost treningul mai puin?

Operaiile de baz cu fracii zecimale sunt: adunarea, scderea, nmulirea, mprirea.Pentru a aduna sau scdea dou fracii zecimale, acestea se aaz una sub alta, n aa felnct virgulele s ocupe aceeai poziie. Dac unul din numere este natural, atunciconsiderm c dup virgul are cifre de 0.

Ex.: 234,34 + 72,36 1,40 23,45

235,74 48,91

Pentru a nmuli dou fracii zecimale, se efectueaz nmulirea numerelor neinndseama de virgul, iar la rezultat desprim attea cifre zecimale cte au cele dou numerezecimale mpreun; ex.: 0,175 3,5 = 0,6125. mprirea fraciilor zecimale se face n

Operaiicu fracii zecimale 13


35/60

acelai mod ca n cazul numerelor naturale. nmulim att dempritul ct i mpritorulcu acea putere a lui 10 care transform mpritorul n numr ntreg;ex.: 33 : 6,5 = 330 : 65 = 5,07. mprirea unei fracii zecimale cu o putere a lui 10 se facemutnd virgula spre stnga peste un numr de cifre egal cu exponentul puterii.Ordinea efecturii operaiilor este aceeai cu ordinea efecturii operaiilor cunumere ntregi.

3.Lucrnd n grupe, estimai rezultatele i apoi efectuai calculele:


23,02 + 32,5645,24 + 6,0981,23 + 55,2994,37 + 101,23581,24 + 0,2485,32 + 34,21

102,34 51,3542,39 25,39114,23 0,9

324,25 102,4556,22 20,4481,34 0,23

5,1 22,31 4,510,5 0,235,3 0,1

235,6 0,018,34 50

8 : 1,632,14 : 10,3

45 : 274,24 : 0,145,13 : 12,1

1,6 : 4,8

Verificai rezultatele pe care le-ai obinut cu ajutorul calculatorului de buzunar.Comparai estimrile pe care le-ai fcut cu rezultatele operaiilor. Discutai despremodalitile n care ai realizat estimrile.

4.Lucrnd n grupe, efectuai calculele:

80,7 : 0,3 2,7830 : 5 + 4,4 + 3,1343 : 7 2,876,5 : 0,5 3,9 2,7 2,421,8 : 0,2 + 1,7 2

(630 : 7) (4,80 + 35,46)1,5 : 0,03 + (51,2 2)

726 : 6 (5,24 +1)918 : 6 4,80 + 2 + 48,620,63 : 0,7 25,6 + 22

Verificai cu ajutorul calculatorului de buzunar dac ai lucrat corect.

Aplic

5.Gndii mpreun i rezolvai problemele de mai jos.Gelu lucreaz la cantina unei firme. El i ncepe munca n fiecare diminea la ora 5:20i pleac acas la ora 11:20. Lucreaz 5 zile pe sptmn i este pltit cu 3,5 lei pe oralucrat. Ct ctig Gelu ntr-o sptmn? Dar ntr-o lun?

Un euro este 3,55 lei. Fratele meu mi-a trimis din Spania 350 de euro. Pot s mi cumprdin aceast sum un calculator ce cost 1301,5 de lei?

6. Tem suplimentar:1. Efectueaz calculele:

23,4 + (5,34 0.02) 0,1

2,6 : 0,7 4,5 + 57,2 : 0,8 1,8

32 : 4 + (2,5 1,49) 1,23

7,8 : 0,2 + 2 (3,2 2,29)7,2 : 0.9 3,1 4,2

2. Rezolv problema:Corina i Daniel au invitai. S-au gndit s i serveasc pe prietenii lor cu o prjitur cumere. Pentru o tav de prjitur au nevoie de 1 kg de mere, 14 kg zahr, 0,2 kg unt, 3 ou,0,30 kg fin, 1 plic de zahr vanilinat i o lmie. Pentru c vor veni 15 persoane ipentru c prjiturile fcute de cele dou gazde sunt foarte apreciate, Corina i Danieldoresc sa fac dou tvi de prjitur. Mergi la magazin i afl preurile tuturor produselornecesare pentru prjitur i calculeaz suma necesar pentru achiziionarea lor.


36/60

NUMERE RAIONALE

Numere raionale 14


Pentru nceput1. Numere n ziaren ultimii 15 ani, n ara noastr au disprut, ca urmare a

defririle ilegale, pdurile de pe o suprafa de peste trei sute demii de hectare. La ora aceasta, n Romnia, suprafaa declarat apdurilor este de 6,3 milioane de hectare, ceea ce reprezint doar26,7% din suprafaa total a rii. Toate aceste lucruri auaccentuat eroziunea solului i schimbrile climaterice, fenomencare, de altfel, se manifest la nivel global.(Romnia liber, 15 iulie 2005).

Reprezint prin desen suprafaa declarat a pdurilor i suprafaa defriat n ultimii 15 ani.Pornind de la textul preluat din ziar i de la afirmaia: Calamitile naturale se datoreazi defririi pdurilor, discutai n grup i rspundei la ntrebarea: Ce putem face noiacas, la coal sau n comunitate pentru a diminua defriarea pdurilor?

Rezolv problema: Familia Gapar colecteaz separat deeurile de hrtie. n fiecaresptmn se strng aproximativ 0,5 kg de hrtie. Cte kg de hrtie colecteaz familiaGapar ntr-un an? Dac prin reciclarea a 50 kg de hrtie se salveaz o zecime dintr-uncopac, n ci ani va salva familia Gapar un copac?

2. Eu am Cine are?Fiecare va primi o carte de joc. De data aceasta, crile de joc vor fi astfel:

Fiecare din voi va avea o carte de joc i, pentru c profesorii sunt ntotdeaunaprivilegiai, prima carte de joc este a profesorului voastru/profesoarei voastre. Trebuie sfii ateni i s efectuai calculul pe care l propune cel care citete cartea. Cu siguran cunul dintre voi are rspunsul. Citete rspunsul i adreseaz ntrebarea scris pe cartea tade joc. Ultima carte de joc nu va mai conine nici o ntrebare. Ea va conine doarrspunsul la ntrebarea precedent i apoi este scris sfrit.

Descoper i nva3. Citete textul de mai jos i ndeplinete sarcinile.Acesta este extrasul meu de cont din prima sptmn a lunii august (am notat cu

sumele pe care nu pot s le citesc de pe extras din cauza unei erori de imprimare):

StartCine are 0,4 7?

Eu am 2,8.Cine are 0,73 + 1,26?

Eu am 1,99.Cine are 34 scris sub form

zecimal?

Data Denumire Debit (pli din cont) Credit (intrri n cont)Sold iniial la 1.08.2005 325,71.08.05 Dobnd sold 2,883.08.05 ATM (retragere) 1204.08.05 Tranzacie Oranges 290,346.08.05 Tranzacie M & N 226,12

8.08.05 Alimentare automat 50Suma micrilor Sold la 9.08.05


37/60

Te rog s estimezi suma pltit din cont i sumele de bani care au intrat n cont.nlocuiete din tabel cu valorile corespunztoare. Adaug o coloan la dreaptatabelului, coloan ce se va numi Balan i care va conine soldul contului dup fiecaretransfer de sum n i din cont. Completeaz coloana pe care ai adugat-o.

Numerele de forma ab

, unde a i b sunt numere ntregi i b 0, se numesc numereraionale. Mulimea numerelor raionale se noteaz cu Q. Numerele naturale, numerelentregi i, evident, fraciile (scrise sub orice form) sunt numere raionale. Operaiile de

baz cu numere raionale sunt: adunarea, scderea, nmulirea, mprirea. Aceste operaiise efectueaz innd cont de regulile efecturii operaiilor cu numere ntregi i, respectiv,cu fracii. De ex.:

14 54 =

64 =

32 ; 1 (

12 ) = 1 +

12 =

32 ;

23 (

15 ) =

215; (0,25) (0,5) = 0,125.

4. Citete textele de mai jos i rspunde cerinelor.1. Se consider numerele 1

4

, 52

, 13

, 92

. Reprezint-le pe axa numerelor, ordoneaz-le

cresctor, scrie-le sub form de fracii zecimale, compar-le cu 0, apoi cu 12 , apoi cu 12 .

Reprezint numerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice.Discutai n grup.

2. Se consider numerele: 0,75; 1,25; 2,5; 3,25. Reprezint-le pe axa numerelor,ordoneaz-le cresctor, scrie-le sub form de fracii, compar-le cu 0, apoi cu 0,5, apoi cu1,5. Reprezint numerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice.Discutai n grup.

3. Argumenteaz afirmaia: Numerele naturale i numerele ntregi sunt numere raionale.Lucreaz mpreun cu unul dintre colegii ti. Prezentai argumentul vostru celorlali colegi.

Aplic

5. Efectueaz calculele i apoi verific rezultatele cu ajutorul unui calculator de buzunar.


0,5 + 1,3 1,51336 +

19 + (

59 )

9210 + (7,5) 2,7

1 1,65

2 2,3

3,2 4,51 012 (0,75) + 0,5 (0,25)56

56 2

0,5 23 :10,3

(

23 0,5) :

73 + (0,1)

Rezolv problema: Dac, pe o hart, 1 cm reprezint 30,5 km n teren, ci kilometrireprezint n teren 4,8 cm de pe hart?

6. Tem suplimentarRezolv problema: Vaca lui Ion este destul de slab, i totui nc d 11,5 l lapte pe zi.Ion are patru copii, astfel c el vinde doar 45 din lapte la o firm de comercializare

a laptelui, care i pltete 0,9 lei pe litrul de lapte. Ce cantitate de lapte d vaca lui Ionntr-o lun (consider c luna are 31 de zile)? Ce cantitate de lapte vinde Ion ntr-o lun?Ct ctig Ion din vnzarea laptelui ntr-o lun? Ce cantitate de lapte bea zilnic fiecare

copil din familia lui Ion, dac laptele nevndut este mprit n mod egal ntre copii?


38/60

NUMERE RAIONALE


Pentru nceput1. Despre probleme.Problema nu este c exist probleme. Problema este c gndim c este o problem dac

avem probleme. Theodore Isaac Rubin, scriitor, 1923. Comenteaz citatul.

2. Citete cu atenie textul de mai jos.Doresc s m duc mpreun cu prietena mea, Mdlina, laSrbtoarea Castanelor din Baia Mare. Dou zile de distracii, nu epuin lucru Cristina i Andrei au fost anul trecut i impresiile lorau fost grozave! Singura problem este c trebuie s facem rost de

bani ca s putem merge. Ne-am gndit mpreun la cheltuielile

presupuse de un astfel de drum i le-am scris ntr-un tabel:

Avem 100 de lei. Nu am fcut calculul, dar se pare c nu ne ajung.Mdlinei i-a venit o idee grozav. Ea ar putea obine aprobare ca

s vindem prjituri de cas la meciurile de baschet de la SalaSporturilor. Ideea e cu att mai bun, cu ct noi facem nitepreparate delicioase. Specialitile noastre sunt ilerele i covrigeiisrai. Pentru 20 de ilere avem nevoie de 0,3 kg fin, 1 pachet deunt de 200 de grame, 200 de grame de zahr, 150 de grame de nucimcinate, 3 linguri de cacao i jumtate de borcan de gem. Nuci nutrebuie s cumprm, pentru c are bunica un nuc n grdin i ned cte nuci vrem. Putem vinde ilerele cu 0,9 lei bucata. Pentru 60de covrigei srai avem nevoie de 0,5 kg fin, 150 de grame unt,dou ou, 200 ml smntn, 20 de grame drojdie, o linguri rasde zahr, o linguri de sare, o linguri de chimion. Covrigeii iputem vinde n pungi de 300 de grame (adic 20 de covrigei) la un

pre de 3 lei punga. Preul ingredientelor este n tabelul de mai jos.

Numere raionalen probleme 15

Tip de cheltuial CostTransport cu trenul personal clasa a II-ade la Cluj-Napoca la Baia Mare

19,3 lei/persoan

2 nopi de cazare 6,5 lei/persoan/noapteMncare pentru 2 zile i jumtate 6,2 lei/zi/persoan

Distracie dou zileAici e clar c putem scrie orict dar, hai, s spunemc ar trebui cel puin 15 lei

Date post:	05-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	ariana-vacaretu
View:	446 times
Download:	5 times

A Doua Sansa Secundar a Elev 1

Documents