97267676 Curs Statistica

7/25/2019 97267676 Curs Statistica

1/115

STATISTICSUPORT DE CURS

LECTOR UNIV. DR. DEAC DAN

1


2/115

CUPRINSModulul 1..5Capitolul 1 Noiuni introductive....................................................................7Capitolul 2 Colectarea datelor.........................................................................102.1 Tipuri de date i scale de msurare ......................................102.2

Surse de date statistice...............................................................11

2.3

Planul observrii statistice.......................................................12

2.4

Recensmntul statistic.............................................................12

2.5

Sondajul statistic...........................................................................12

Capitolul 3

Sistematizarea si prezentarea datelor...............................15

3.1

Sistematizarea datelor...............................................................15

3.2

Prezentarea datelor statistice.................................................17

3.3

Distribuii statistice unidimensionale ...............................20

3.4

Histograma..................................................................................23

3.5

Diagrame de structur............................................................25

3.6

Reprezentri grafice specifice seriilor de timp.............. 26

3.7


3/115

Cartograme i cartodiagrame...............................................29

3.8

Distribuii statistice bidimensionale .................................30

Teste..34Bibliografie.34

Modulul 2..35

2


4/115

Capitolul 4

Indicatori statististici n mrimi absolutei relative.....................................................................................38

4.1

Indicatori n mrimi absolute ..............................................38

4.2

Indicatori n mrimi relative ...............................................38

Capitolul 5

Indicatori ai tendinei centrale. ( Mrimi medii)..........40

5.1

Probleme generale ale mrimilor medii...........................40

5.2

Media aritmetic........................................................................42

5.3

Media unei caracteristici alternative..................................44

5.4

Medii cu aplicaie special.......................................................44

5.5

Modul (Dominanta)..................................................................46

5.6

Mediana..........................................................................................47

5.7 Quantilele .......................................................................................505.8

Mediala.........................................................................

......................53

5.9

Relaii ntre valorile tendinei centrale ...............................55

Teste.56Bibliografie..57

Modulul 358


5/115

Capitolul 6

Indicatori ai dispersiei, asimetriei i boltirii.....................60

6.1

Indicatori simpli si sintetici ai dispersiei.............................60

6.2

Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative............64

6.3

Msurarea dispersiei n sistemul medianei........................65

6.4

Dispersia unei variabile nominale (atributive).................673


6/115

6.5

Indicatori ai formei........................................................................68

Capitolul 7 Indicatori ai seriilor cronologice..............................................727.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului ivariaiei n timp...............................................................................727.1.1 Indicatori absolui72

7.1.2 Indicatori relativi..727.1.3 Indicatori medii..74Test..78Bibliografie..78

4


7/115

MODULUL 1Noiuni introductiveColectarea datelorSistematizarea i prezentareadatelor

5


8/115

OBIECTIVE- cunoaterea noiunilor de baz din statistic- nsuirea metodelor de prezentare i sistematizare a unui set de date

CUVINTE CHEIE- caracteristic statistic, date statistice, distribuii statistice

CUPRINS MODUL 1Capitolul 1 Noiuni introductive....................................................................7Capitolul 2 Colectarea datelor..................................................

.......................102.1 Tipuri de date i scale de msurare ......................................102.2 Surse de date statistice...............................................................112.3 Planul observrii statistice.......................................................122.4 Recensmntul statistic.............................................................122.5 Sondajul statistic...........................................................................12Capitolul 3 Sistematizarea si prezentarea datelor...............................153.1 Sistematizarea datelor......................................................

.........153.2 Prezentarea datelor statistice..............................................

...173.3 Distribuii statistice unidimensionale ...............................203.4 Histograma..................................................................................233.5 Diagrame de structur............................................................253.6 Reprezentri grafice specifice seriilor de timp.............. 263.7 Cartograme i cartodiagrame...............................................293.8 Distribuii statistice bidimensionale .................................30Teste..34Bibliografie.34

6


9/115

CAP.1 Noiuni introductive.

Statistica:- tiina colectrii i nelegerii datelor ce caracterizeaz

fenomenele de mas .

- instrument de cunoatere a particularitilor de volum, structur i dinamic afenomenelor i proceselor economico-sociale.Fenomene care au condus la apariia si dezvoltarea statisticii.- Nevoile guvernelor de a calcula date privind cetenii i activitile rilor pe car

le conduc.- Dezvoltarea teoriei probabilitilor.- Apariia i extinderea utilizrii calculatoarelor.Datele au fost permanent colectate de-a lungul istoriei. (civilizaiile egiptene,romane, greceti : pentru taxe i nrolare; din evul mediu:naterile, decesele,cstoriile )n zilele noastre, progresele calculatoarelor au determinat schimbri profunde nstatistic. Exist soft-uri statistice specializate cu care se poat face analize foartecompexe.Obiectul de studiu:Fenomenele i procesele ce prezint urmtoarele particulariti:- Se produc n numr mare de cazuri (fenomene de mas)

- Variaz de la un element la altul.- Sunt forme individuale de manifestare.Fenomenele de mas se supun aciunii legilor statistice. Pentru a evidenia olege statistic este necesar studiul unui numr mare de cazuri individuale.

7


10/115

Un principiu fundamental al statisticii este Legea numerelor mari, dat deBernoulli (,, frecvena apariiei unui eveniment converge n probabilitate laprobabilitatea producerii acelui eveniment'')Metode speciale de cercetare:- Observarea de mas.- Centralizarea i gruparea.- Procedee i metode de analiz i interpretare statistic.Etapele cercetrii statistice:- Observarea statistic: se culeg datele- Prelucrarea statistic: se sistematizeaz datele, se calculeaz indicatoriiprimari, derivai, absolui i sintetici.

- Analiza i interpretarea rezultatelor: se verific ipotezele, se formuleazconcluziile, se elaboreaz deciziile. Pasul dificil este transpunerea problemei ntermeni statistici.Statistica descriptiv: Totalitatea metodelor de culegere, prezentare icaracterizare a unui set de date.Statistica inferenial: Totalitatea metodelor de estimare a caracteristicilor uneipopulaii pe baza rezultatelor obinute pe un eantion.Utilizeaz metode de sistematizare, rezumare i prezentare a datelor.De exemplu:- Metoda graficStatistica inferenial este format dintr-un grup de metode ce pot daconcluzii ample caracteristicilor unei populaii pe baza datelor din eantioane. Daracestea nu se pot afla cu o probabilitate de 100%.Probabilitatea de estimare corect

este de obicei 90%, 95% sau 99%.Elemente de baz ale statisticii.1. Populaia (colectivitatea) statistic.Totalitatea elementelor de aceeai natur ce au trsturi comune. Daccolectivitatea e numeroas, cercetarea este foarte grea.8


11/115

2. Eantion: submulime de elemente selectate dintr-o colectivitate (populaie)statistic:Colectiviti statistice: - statice(stare la un moment dat)-dinamice (proces, devenire n timp)3. Unitatea statistic ( individ ): - simpl-complex (ex. familia)4. Caracteristica statistic: trstura comun tuturor unitilor. E numit ivariabil statistic.5. Datele statistice: Caracteristica numeric obinut de statistic privindcolectivitatea studiat. Mesajul lor este informaia statistic.6. Indicatorul statistic: Expresia numeric a unor fenomene.

7. Parametrul statistic: Indicator statistic descriptiv calculat pentru ocolectivitate total.Exemplu:-

Populaia statistic: cetenii dintr-o localitate.Eantionul: persoanele selectate pentru anchet.Scopul anchetei: descrierea diverselor caracteristici ale colectivitii.Parametru: venit mediu.

9


12/115

CAP. 2 Colectarea datelor.

2.1

Tipuri de date i scale de msurare:

Clasificarea datelor:- Date univariate: (o singur variabil statistic)- Date bivariate: (dou variabile statistice)- Date multivariate( mai mult de dou variabile statistice)Caracteristicele statistice se pot clasifica dup mai multe criterii:

a) Dup modul de exprimare:- Calitative ( nu se exprim numeric: profesie, locul de domiciliu)- Cantitative (se exprim numeric: salariu, greutate, nlime)b) n funcie de variantele de rspuns:- Alternative (binare) cu doua variante de rspuns.- Nealternative , cu mai multe rspunsuri (se pot transforma nalternative.c) n funcie de natura caracteristicilor.- Caracteristici continue : greutate, nlime.- Caracteristici discrete: numr de orae, numr de copii.d) n funcie de coninutul caracteristicii:- Caracteristici de timp.- Caracteristici de spaiu.

- Caracteristici atributive (altul dect spaiul i timpul)e) n funcie de modul de obinere i caracterizare a fenomenelor.- Caracteristici primare.- Caracteristici derivate.

10


13/115

Scale de msurare:Sunt patru scale principale de msurare:- Scala nominal :(scala denumirilor) se atribuie nume pentruvariabile. Se face o difereniere de specie dar nu i de grad.Exemplu: ocupaia, sexul, profesia.- Scala ordinal: sunt msurate variabile de timp nenumeric dar carepot fi ordonate. Difereniere de specie i de grad.Exemplu: nivelul de studii, categorii de hoteluri, ratinguri, etc.- Scala de intervale (cardinal). Difereniere de specie i de grad, nplus folosete uniti de msur egale. Absena unui punct zeroabsolut pentru scal.

Exemplu: temperatura.- Scala proporional ( de raport)Are toate calitile celor anterioare iar n plus are un punct fix zeroabsolut.Pentru compararea i msurarea opiniilor, a comportamentelor, s-au elaborat scalespecifice de intensitate.n cercetrile de marketing se folosete scala de opinie sau de rating.Se fixeaz 4pn la 10 gradaii pentru gradarea rspunsurilor.

2.2

Surse de date statistice

Sursele de date pot fi:- Primare ( date obinute direct prin organizarea de observristatistice, ex: recensmntul statistic)- Secundare ( datele sunt prelucrate n tabele i grafice) ex: buletinulstatistic pe anul n care gsim de exemplu: micarea populaiei11


14/115

n ora, veniturile salariale, numrul de omeri, nivelul produciei launele bunuri, etc.

2.3 Planul observrii statistice:- Observarea statistic: Aciunea de culegere a datelor de la unitilestatistice.Condiiile ce trebuie ndeplinite de observare:- Condiia de cantitate (obinerea n timpul stabilit a tuturor datelor)- Condiia de calitate (asigurarea veridicitii coninutului datelor)Observarea se face dup un plan riguros ce trebuie s conin:-

Scopul observrii.Delimitarea colectivitii i unitii de observare.Stabilirea caracteristicilor de observare.Alegerea formularelor de observare.Delimitarea timpului i locului observrii.Stabilirea msurilor organizatorice.

2.4 Recensmntul statistic.Este o metod de observare total cu caracter periodic ce surprinde un fenomen nmod static.Exemplu: recensmntul populaiei, a locuinelor,a animalelor.

2.5 Sondajul statistic.Este o metod parial de observare statistic; avantajul unei economii de timp ibani.12


15/115

Exemple: CTC. ,pentru a estima rezervele de zcminte, n analizamacroeconomic, demografie, agricultur, comer, anchete sociale, etc.

A. Sondajul aleator simplu:Condiii:- Fiecare unitate statistic are probabilitatea egal de a fi aleas.- Unitile sunt alese independent, fr legtur una cu alta.Sondajele pot fi repetate( cu revenire n populaie pentru populaii infinite)saunerepetate (far revenire n populaie pentru populaii finite)Procedee de selecie aleatoare.1) Procedeul urnei cu bile: fiecare unitate se numeroteaz de la 1 la N. Se

folosete o urn cu N bile numerotate de la 1 la N din care se fac n extragerifr revenire.2) Procedeul tabelului cu numere ntmpltoare: numrul de ordine al unitiieste ales din tabelul cu numere aleatoare.3) Procedeul mecanic de selecie: se stabilete pasul de numrare k. Deexemplu dac volumul populaiei este N=1000, iar volumul eantionului

este n=50, atunci k= =20;se va selecta tot a 20-a unitate.

B) Sondajul stratificat.Se divizeaz colectivitatea general n ,, straturi'' ct mai omogene

C) Sondajul n cuiburi.Cuib sau Cluster : grupare de uniti statistice concentrate i strict delimitate.Exemplu: familia.Avem trei niveluri de cercetare:13


16/115

- Uniti statistice- Cuiburile (grupurile)- Populaia n ansambluEtape:- Stabilirea cuiburilor- Extragerea unui eantion din cuiburile stabilite- Examinarea fiecrei uniti statistice din cele ce compun cuibul.Alte tipuri de sondaj:- Eantionarea concentrat selectarea n eantion a acelei pri ceprezint majoritatea cazurilor individuale.- Selecie dirijat se iau elementele (unitile) reprezentative

apropiate de media ce trebuie estimat. Rezultatele nu sunt obiective.- Eantionarea multifazic: - se ia un eantion, de la unele elemente seiau anumite caracteristici iar de la altele se studiaza altecaracteristici.- Eantionarea pe cote: - alegerea unitilor statistice este lsat peseama operatorilor.

14


17/115

Cap.3 Sistematizarea si prezentarea datelor

Prelucrare statistic fenomen complex prin care datele nregistrate suntsistematizate i tratate statistic.Sistematizarea datelor ordonarea acestora n funcie de omogenitatea lor.3.1. Sistematizarea datelor- se realizeaz prin centralizare si grupare3.1.1. Procedee de sistematizare-Centralizarea (totalizarea unitilor statistice sau a valorilor uneicaracteristici la nivelul grupelor tipice sau al colectivitaii).-Se face prin sumare directa.Rezult astfel indicatori statistici de nivel.

Exemplu: numrul populaiei unei localita

i la un moment dat, valoareaproduciei unei firme pe o perioada dat.

-Gruparea - (centralizare pe grupe a unitailor statistice).Rezult iruri de date ordonate cresctor sau descresctor.3.1.2. Tipuri de grupri statistice :a) Dup numrul caracteristicilor de grupare :-grupare simpl dup o singur caracteristic.- exemplu gruparea intreprinderilor industriale dup numrul muncitorilor.- gruparea combinat separarea unei colectiviti n grupe omogene dup variaiasimultan a dou sau mai multe caracteristici;Se face o grupare dup o caracteristic principal, apoi, fiecare grup se divizeazn subgrupe dup variaia unei alte caracteristici (secundare)b) Dupa natura caracteristicii:

15


18/115

- grupri dup variabila timp i dup variabila spaiu ;- grupare dup o variabil calitativ:- grupare dup o variabil nominal (clasificare)- Exemplu: gruparea populaiei pe ocupaii, rezultatele acestei grupri fiind cuprinsen nomenclatoare.- dup o variabil exprimat numeric. Se poate face pe variante (numr redus devariante;exemplu:gruparea familiilor din cartier dupa numrul de copii);sau pe intervale de variaie (numr mare de variante);exemplu: gruparea populaiei din localitate dup vrst)3.1.3. Probleme ale gruprii statistice

1. Scopul gruprii statistice :- pentru sistematizarea materialului n vederea prelucrrii (grupe egale ca mrime);- pentru analiza direct in cazul grupelor bine determinate.2. Alegerea variabilei de grupare (variabil dup care se face separarea unitilor ingrupe omogene). Funcie de scopul gruprii se va decide gradul de esenializare acaracteristicilor.3. Stabilirea numrului de grupe.( Funcie de scop).- exemplu: gruparea statistic a unei populaii dup vrst : se folosesc n generalintervale cincinale, adic intervale tipice egale: 0-4; 5-9; 10-14; 95-99 ; 100 i peste.Se folosesc pentru unele cercetri intervale tipice neegale:0-19 (populaie tnr);205populaie adult);60 i peste (populaie vrstnic).Numrul k al grupelor folosite n practic , dac volumul eantionului este n, se

poate face dup formula Sturges: = 1 + 3,322 4. Determinarea mrimii intervalului de grupare ()

16


19/115

Fie X caracteristica de grupare cu valorile xi, i=1, Numrul: A = xmax xmin se numete amplitudinea de varianie a lui XAtunci

=

sau

=1+3,322

( numrul obinut se rotunjete n plus)5. Delimitarea grupelor de variaie i separarea unitilor colectivitii peintervale de variaie- dac variabila este continu atunci limita superioar a unui interval va fi limitainferioar a intervalului urmtor.Se face o not explicativ (care limit e inclus ninterval)- dac variabila e discret atunci limita inferioar a intervalului urmtor estedeplasat cu o unitate fa de limita superioar a intervalului precedent.

- intervalele pot fi nchise sau deschise3.2. Prezentarea datelor statisticeDistribuie statistic rezultatele sistematizate prin grupare.3.2.1. Tabele statisticeElementele unui tabel:- titlul general si titlurile interioare;- unitatea de msur general;- notele explicative;- sursa datelor;- rubricile tabelului.Tipuri de tabele :- simplu (distribuie univariat)

17


20/115

- cu dubl intrare (tabel de corelaie) ( distribuie bivariat)3.2.2. Repezentri graficeMetod de prezentare sub forma unei imagini a datelor unei distribuii ntr-unsistem de coordonate dat. Principiul de baz : proporionalitateaElementele reprezentriia. Axele de coordonateb. Scarac. Reeaua graficuluid. Legendaa. Axele de coordonateAxe rectangulare:

n plan:yyi

Ai(xi,ni)

ni

xi

0

X

n spaiu:nij este frecvena absolut a perechii (xi,yj)

ZAi(xi,yj,nij)nijyi

0

xix

Y18


21/115

Coordonate polare

Ai

0

x

Ai ( i , j)

= 1,

= 1,

grade sau radiani- proporional cu -proporional cu intervalul de timp ce separ dou valori succesive.De exemplu: 2= anul

atunci

= luna

62

= trimestrul

b) Scara :- uniform (aritmetic, cu diviziuni echidistante);

- neuniform (logaritmic) punem n coresponden biunivoc numrul culogaritmul su zecimal.0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000


22/115

-3

-2

-10

1

2

3

c)Reeaua graficului se construiesc paralele la axe prin punctele respectivyj . Este util pentru distribuii bidimensionale.19


23/115

d)Legenda alturi de figur; se reprezint la scar redus elemente deconstrucie cu explicaii.

3.3. Distribuii statistice unidimensionale3.3.1. Definitie notaii.Definiie : Se numete distribuie statistic unidimensional, corespondena dintreirul valorilor unei caracteristici i cel de al doilea: irul frecvenelor absolute.Acestea se prezint sub forma unui tabel.X:( x1,x2,,xm )unde x1


24/115

=1

() =

= 1, ; evident = 1

Se pot calcula i valorile () () frecvena absolut cumulatdescresctoare, respectiv frecvena relativ cumulat descresctoare a valorii xi1 () = 2 () = - 13 () = - 1 - 2() = -

-1=1

21

3

141

51

-1 -

-1 -

Intervalul10 - 1

Prezentarea n tabel a unei distribuii unidimensionale


25/115

3. 3.3

Modelul unui tabel simplu:

|

|

|

xi

1

xi

ni

fi

FrecvenaabsolutcumulatN1||Ni

||

|

|

Interval degrupare

Frecvenaabsolut

Frecvenarelativ

x0-x1

n1

f1

|

|

|

21

FrecvenarelativcumulatF1


26/115

|

||

Fi


27/115

|

|

|

|

|

xk-1-xk

nk

fk

Nk

Fk

Total

N

1-

-

Exemplu: Inregistrarea unui eantion de 100 persoane dupa caracteristica vrstGrupa devrst

0 1415 5960 si

peste(din care65 de anii peste)Total

0,170,610,22

Frecvenaabsolutcumulat

Ni ( )1778100

(10)

(0,1)

-


28/115

100

1

Efectivul(ni)Frecvenaabsolut1761

22fifrecvenarelativ

Frecvenacumulat

relativ

Ni ()100

8322

Fi ()0,17O,781

Fi ()10,830,22

--

-

Poligonul i curba frecvenelorPoligonul frecvenelor specific v. a. discreteSe unesc prin segmente punctele Ai (xi,ni)i=1, , unde X: (xi, ni) = 1, Curba frecvenelor: punctele Ai( xi,ni) se unesc prin arce de curb; Esteaproximat mai bine forma distribuiei colectivitii dup caracteristica cercetatat.Curba frecvenelor cumulate : se unesc punctele Ai(xi,Ni) prin arce de curb.Poligonul frecvenelor cumulate : este reprezentarea grafic a funciei

empirice de repartiie: Fn(x)=


29/115

Exemplul : distribuia familiilor dintr-un bloc dup numrul de copii.

3.4. Histograma:Folosit pentru serii cu distribuie continu X: (, ) unde =(xi-1,)= 1, Dac intervalele sunt inegale se folosesc frecvenele reduse =

23

,


30/115

Construcia histogrameiSe construiesc dreptunghiuri cu baza aezat pe abscis, lungimea acesteiafiind proporional cu lungimea a intervalului.nlimea dreptunghiurilor va fi proporional cu .Se poate obine poligonul frecvenelor dac se unesc prin segmente mijloaceleintervalelor duse prin ordonatele .Exemplul1: n tabelul de mai jos avem distribuia unui eantion de 200persoane dup timpul de deplasare zilnic ( n minute).

24


31/115

Exemplul 2: n tabelul de mai jos avem distribuia unui eantion de 100persoane dup vrst

3.5. Diagrame de structur.Proporionalitate ntre volumul colectivitii( 100% )i suprafaa din figur.-dreptunghiul de structur ;25


32/115

- ptratul de structur;- cercul de structur.Exemple:

3.6 Reprezentri grafice specifice seriilor de timpDiagrama polar :pentru fenomene cu evoluie ciclic( serii cronologice)- Prin segmente de dreapt,- Prin sectoare de cerc;Exemplu:

26


33/115

Construcie:- Se construiete un cerc cu raza proporional cu nivelul maxim alfenomenului;- Se mparte cercul ntr-un numr de sectoare egale cu numrul perioadelor devariaie;- Se traseaz sectoare de cerc cu raza proporional cu nivelul atins de fenomenn perioadele considerate.

Cronograma reprezentare grafic specific seriilor de timp. Poate fi liniarsau prin benzi sau coloane.Exemple:

27


34/115

28


35/115

3.7 Cartograme i cartodiagrameReprezentri grafice specifice seriilor teritorialeCartograma: intensitatea de manifestare a unui fenomenCartodiagrama: structura unui fenomen.Exemple:

29


36/115

3.8 Distribuii statistice bidimensionale

Definiie : Fie C o colectivitate de volum nX variabila cu valorile xi , = 1, Y variabila cu valorile ,= 1, Fie numrul elementelor din colectivitate corespunztoare perechii, (frecvena absolut a perechii)Se numete distribuie bidimensional (bivariat) irul de triplete(, , ) = 1, , = 1, Aceast distribuie se prezint ntr-un tabel cu dubl intrare (tabel decorelaie).

30


37/115

1---- ------

1

11---- 1-----1

|

||

|

1

|

1---------

|

III

||

=1

=

=1 =1

1---- ----- 1---- -----

=

=

=1


38/115

(, . )= 1,

..

i

(, ,) = 1, distribuii marginale

=Frecvenele relative marginale :

=

=

Frecvenele relative pariale :

/=

Frecvenele relative condiionate:

/=

31

, - ; = 1,

, - ; = 1,


39/115

a) Distribuii bidimensionale cu ambele variabile cantitative.Exemplu: Prezentarea unui eantion de 50 de persoane dintr-o ntreprindere dupproducia individual (buci) i salariul lunar ( lei / lun)

-1 ,(-1 ;)20

3030 4040

5050

6060

70

200-400

400-600

600-800

800-1000

10001200

213

15118

57

2115

104317

527

272212750

Reprezentri grafice norul de puncte ntr-un sistem de axe se traseazreeaua corespunztoare valorilor , . Se construiesc apoi punctele (, ) ncelulele reelei.


40/115

Diagrama paralelipipedelor n sistem de 3 axe . Se construiescparalelipipede cu baza n planul ( X0Y), iar nlimea proporional cu .

b)Distribuie bidimensional, cu o variabil cantitativ i una atributiv.32


41/115

Reprezentarea grafic : piramida vrstelor.

c)Distribuie bidimensional cu ambele variabile atributive.

33


42/115

TesteDistribuia unui eantion de 150 de persoane dup caracteristica timpul dedeplasare zilnic, este:Timpul dedeplasare(minute)

0-30

30-60

60-90

90-120

120-180

15

40

50

35

10Ji=xi-1 - xiNumr persoaneni

a) s se reprezinte grafic histograma, poligonul i curba frecvenelor.b) s se reprezinte grafic structura pe intervalele 0-60, 60-120, 120-180, folosindcerc, respectiv dreptunghi de structur.Bibliografie1)Jaba Elisabeta Statistic economic, ediia a treia, Ed. Economic, Bucureti2002

2)ian Emilia Statistic.Teorie i aplicaii n sectorul teriar.Ed. MeteorPress Bucureti 20023)Otinan Pun Ioan, Cre Florian Elemente de matematici aplicate neconomia agroalimentar, Ed. Agroprint, Timioara 20024)PetriSor Emilia Probabiliti i statistic .Aplicaii n economie i inginerie,Ed. Politehnica, Timioara 20035)Florea I., .a.- Statistic descriptiv.Teorie i aplicaii, Ed. Aisteda Alba-Iulia1998

34


43/115

MODULUL 2

Indicatori statistici n mrimiabsolute i relativeIndicatori ai tendinei centrale

35


44/115

OBIECTIVE- cunoaterea semnificaiei i a relaiilor matematice de definire a indicatorilor nmrimi absolute i relative- cunoaterea semnificaiei i a relaiilor matematice de definire a indicatorilortendinei centrale- nelegerea rolului i importanei acestor indicatori n caracterizarea unui set dedate- nsuirea modului de calcul a acestor indicatori n diverse situaii practice

CUVINTE CHEIE

- indicator statistic, mrimi absolute, mrimi relative, medie, modul, median,medial, quantile

36


45/115

CUPRINS MODUL 2Capitolul 4

Indicatori statististici n mrimi absolutei relative.....................................................................................384.1 Indicatori n mrimi absolute ..............................................384.2 Indicatori n mrimi relative ...............................................38Capitolul 5 Indicatori ai tendinei centrale. ( Mrimi medii)..........405.1 Probleme generale ale mrimilor medii...........................405.2 Media aritmetic..............................................................

..........425.3 Media unei caracteristici alternative..................................445.4 Medii cu aplicaie special.......................................................445.5 Modul (Dominanta)..................................................................465.6 Mediana..........................................................................................475.7 Quantilele .......................................................................................505.8 Mediala...............................................................................................535.9 Relaii ntre valorile tendinei centrale ...............................55

Teste.56Bibliografie..57

37


46/115

Cap.4. Indicatori statististici n mrimi absolute i relative.

4.1 Indicatori n mrimi absoluteIndicatorii de nivel sunt indicatori individuali, rezultat al centralizrii pegrupe. Se obin prin sumare direct n cadrul unei grupe: ,,Indicatori ai variaiei absolute :Fie : (, )= 1, ,

0 - 01 - 1

NumrulSau 1/0=

1/01 - 0 se numete spor.1

-

0

, = 1,

4.2 Indicatori n mrimi relative:Exprim rezultatul comparrii a doi indicatori statistici sub form de raport.Arat cte uniti din indicatorul de la numrtor revin la o unitate a indicatoruluiconsiderat ca baz de raportare.Probleme ale folosirii mrimilor relative.

- alegerea bazei de comparare: funcie de gradul de independen dintrecaracteristici sau funcie de scopul cercetrii;

- asigurarea comparabilitii datelor ce formeaz raportul;- alegerea formei de exprimare a mrimilor relative (procente, promili,prodecimili etc.) arat de cte ori se cuprinde indicatorul de raportat n baza deraportare.Tipuri de mrimi relative:Mrimile de structur : (ponderi sau greuti specifice ).38


47/115

Exprim raportul dintre parte i ntreg.Notaii : , , , = 1, Exemplu : =

;

= 1 % =

. 100,

% =

100%Mrimi relative de coresponden (mrimi relative de coordonare)/=

. 100

/=

. 1000

, - nivelul grupei A respectiv B.Arat cte uniti dintr-o grup revin la 100 sau 1000 uniti din cealalt grup acolectivitii.Mrimi relative de intensitate :K=

K = marimea relativ de intensitate.X = variabila (fenomenul) de raportat.Y = variabila (fenomenul) ales ca baz de raportare.Arat gradul, intensitatea de rspndire a unui fenomen n raport cu variabila lacare se raporteaz.Se utilizeaz n demografie (caracterizeaz micrile populaiei), economie.

39


48/115

Cap.5 Indicatori ai tendinei centrale. ( Mrimi medii).

5.1 Probleme generale ale mrimilor medii.Mediile, sunt mrimi statistice care exprim n mod sintetic si generalizant,ceea ce este esenial pentru unitile unei colectiviti distribuite dupa o anumitcaracteristic.Trsturi caracteristice :- media exprim n mod sintetic valorile unei serii statistice i are un caracterabstract;

40


49/115

- este o mrime generalizant (nlocuind fiecare termen al seriei cu nivelulmediu, suma termenilor va fi aceeai);- media sintetizeaz normalul, adic exprim nivelul purtat de majoritateaunitilor colectivitii. Se mai numete i sperana matematic (poziia centralspre care tind unitile unei colectiviti);- este rezultatul aciunii factorilor eseniali, exprim legicul. Abaterile de lanivelul mediu se datoreaz factorilor aleatori.Condiii de calitate ale unei mrimi medii(Principiul lui Yule)1.Media trebuie definit obiectiv printr-o definiie sau formul;2.Media trebuie s fie reprezentativ pentru toi termenii seriei;3.Media trebuie s aibe o semnificaie concret uor de observat;

4.Media trebuie s fie simplu de calculat;5.Media trebuie s se preteze la calcule algebrice ulterioare;6.Media trebuie s fie puin sensibil la fluctuaiile de eantionare.

Clasificarea mrimilor mediia)Dup rolul lor n analiza statistic :- mrimi medii fundamentale : - media aritmetic;- modul;- mediana;- mrimi medii cu aplicaii speciale:- media geometric;- media armonic;- media ptratic;

41


50/115

- media progresiv;- media cronologic;etcb)Dup modul de obinere:- medii de poziie: modul, mediana, mediala;- medii de calcul medii simple pentru distribuii de tipul:X: (, )= 1, , 1 = 2 = = - medii ponderate pentru distribuii de tipulX: (, )= 1, , 1 2

5.2 Media aritmetic ()

Definiie -mod de calcul.Media simpl:

Dac : X: (, )= 1, ,atunci: =

1

.

Observm c:

=1 ;

=1

= .

1 = 2 = = = .

Media ponderat :

Dac: X: (, )= 1, ,atunci: =unde =

=1 .=1

=1

=

1 2

=1 =1


51/115

=1

Dac seria este prezentat pe intervale de variaie:X: (, )= (-1 , ),

= 1, 42


52/115

=1 ,=1

atunci: =unde: xi=

=1 ,

=

-1 +

()

2

Proprieti ale mediei aritmetice:1. Dac: 1 = 2 = = = 0 = 02. < < =1 (

3.

- ) = 0

=1(

4.

c) =

=1

=

=1 =1

6. dac: Z = X+Y

=

=

()

b) =


53/115

()

- )2 = =1(

)

5. a) =

()

=

()

, X,Y variabile aleatoare independente, atunci: + = +

Calculul simplificat al mediei.Din propietile 5) punctul a) i b), c=

-

=1

+ 1 = 2 = =

Respectiv:=

-=1

+ , 12=1 43


54/115

5.3 Media unei caracteristici alternative:Distribuia de frecven pentru o caracteristic alternativ.

Frecvena de apariieEfectiv ()Pondere ()

Valori ale caracteristicii()Da (1)

p=Uniti ce nu posedcaracteristica - 1n

Nu (0)Total

=

1

Unitai ce posedcaracteristica 1

=

-1

+ =1

1 1 + 0 (- 1 ) 1

===

Media unei caracteristicii alternative = ponderea unitilor ce posed caracteristica.

5.4 Medii cu aplicaie specialMedia geometric. Se aplic doar pentru numere pozitive.Media geometric simpl:

=

1 2 . . , .

Media geometric ponderat :=


55/115

=1

1 1 2 2 . = 1 1 2 2 . 44


56/115

Observaii : logaritmnd relaiile celor dou medii obinem:1) =2) =

1 +2 ++

1 1 +2 2 ++=1

=1

1 +

2

2 +

+

Proprieti:1) este mrime intern, normal i translativ.2) = unde = ,3) =

, .

unde = , , .

Exemplu: Cifra de afaceri a unei firme crete cu 10% n primul an; cu 15% nurmtorii doi ani i cu 18% n ultimul an pe o perioada de observare de patru ani.S se calculeze creterea medie anual.

=

=4

1,10 1,152 1,18 =

4

1,716605 = 1,144635 = 1,145

14,5%

Media de ordin r :

1=

=1

Media aritmetic de ordin r:


57/115

=

Observaie:Dac: = 1, 1 = = 2, 2 =45


58/115

= -1, -1 = Inegalitatea mediilor:< < < 5.5 Modul (Dominanta)Notat Mo sau Do. Este o mrime fundamental de pozitie.Modul este valoarea caracteristicii cu frecvena absolut .Determinarea modului:) : (, ) = 1, .-se determin = .-se citete valoarea corespunztoare =0b)dac X: (, )= 1, ()

-se determin=

- Se citete intervalul modal = (-1 , ) .- 0 = -1 +

11 +2

= - -11 = - -12 = - +1

Dac intervalele sunt inegale se folosesc n loc de frecvenele reduse:=

,

=

Determinarea grafic : cu histograma.

46


59/115

Propietile modulului.1. < 0 < - .2. 0 - , 03. Dac =

: 0 = 0

4. Dac: =

0 =

0

= ,

0 = 0 Media armonic:=

=

1=1 =1 =1

ponderat.

Media ptratic:a)Simpl:=

2=1

2

=

2=1


60/115

b)Ponderat:

=

2=1

=1

2

=

2=1 =1

5.6 Mediana()Definiie : Se numete median acea valoare a caracteristicii unei seriiordonate, pn la care i peste care sunt distribuite n numr egal unitilecolectivitii.47


61/115

Dac volumul colectivitii este m, atunci locul medianei corespunde valorii=

+1

- unitatea median

2

a) X= ()= 1, i) dac m=2p+1 atunci =

+12

=

2+22

=+1

Deci : = +1Exemplu: : 1 = 5; 2 = 10; 3 = 15; 4 = 25; 5 = 35

= 5 = 2 2 + 1; = 2;=

+12

=

5+12

= 3 = 3 =15

) = 2=2

=

22

=

Avem doi termeni centrali ai seriei i +1

=

+ +12

Exemplu: : 1 = 4; 2 = 6; 3 = 9; 4 = 10;=

2 +32


62/115

=

9+6 152

=

2

= 4 = 2 2; = 2

= 7.5

b) : (; )= 1, 1) Se calculeaz () =2) Se determin ==

2+12

=1

= 2 = 2+ 1

Se determin () 3) Se determin = Exemplu:

48

()


63/115

061182233204

14566271total 90

()62447

6781878990-

m=90=2p90= = = 4522

Observm c:3 () = 47 > 45 =3 = 2 =

c) : (; )= 1, = (-1 ; )1) Se calculeaz()2) Se determin () 3) Se determin intervalul median , () 4) = +

--1 ()

- -1 () - Exemplu:S se determine mediana pentru seria de intervale urmtoare(-1 ; ](0;30](30;60](60;90]


64/115

(90;120](120;150](150;180]

25506045155

( )2575135180195200

( )200175125

65205

Total

200

49


65/115

=

2002

= 100; 3 () = 135 > 100 = (60; 90) .

- -1 ( )100 - 75= -1 + = 60 + 30= 60 + 12.5 = 72.560

5.7 Quantilele(generalizri ale medianei)Sunt valori ale caracteristicii ce mpart seria n r grupe ale cror efectivesunt egale. Numrul r se numete ordinul quantilelor.Quantile uzuale:r=2 - quantila este medianar=4 quartileler=10 decileler=100 centileleQuantilele: Q1 Q2 Q3

0

Q1=+

Q1

Q2

Q31 --1

= ()

1

50


66/115

Q2== +

--12

, {1,2,3}Q3=+

Unde 1 =

4

3 --1

, 2 = =

32

;

3 =

3

4

- .D1 , D2 , .., D9

Decilele:

D1 = -1 +

1 --1

1

D5= = 2D9= -1 + 1 =

10

9 --19

, ., 9 =

,

= ()

9

10

()


67/115

1,9

- ,Centilele:

1,9

C1 , C2 , ,C99

C1 = -1 +

1 --11

C50= 5 = 2 =C99= -1 + unde: 1 =

99 --199

100

, ,99 =

99

100

()

Exemplu: S se calculeze quartilele,decilele i centilele extreme pentru seria deintervale prezentat n tabelul urmtor:

51


68/115

25506045155200

(-1 ;](0,30](30 ; 60](60 ; 90](90 ; 120](120 ; 150](150 ; 180]Total

( )2575135180195

200

( )20017512565205

Quartilele:

200== 5044

1 =

Observm c: 2 () = 75 > 50 = 1 (30; 60 1Q1=-1 +

1 --1 ()1

= 30 + 30

50-2550

= 30 + 15 = 45

200=


69/115

= 10022

2 =

3 () = 135 > 100 = 2 (60; 90 2Q2== -1 + = 60 +3 =

252

34

2 --1 ()2

= 60 + 30

100-7560

= 60 + 30

2560

= 60 +

756

=

= 60 + 12.5 = 72.5=

3 200 = 1504

Observm c: 4 () = 180 > 150 = 3 (90; 120 3Q3=-1 +

3 --1 ()3

= 90 + 30

150-13545

Decilele:1 =

200=


70/115

= 20101052

= 90 + 30

1545

= 90 + 10 = 100


71/115

Observm c: 1 () = 1 = 25 > 20 = 1 (0; 30 1 D1=-1 + 9 =

910

1 --1 ()1

=

= 0 + 30

20-025

4

= 30 = 245

9

200 = 18010

Observm c: 4 () = 180 = 9 (90; 120 9D9=-1 +

9 --1 ()9

= 90 + 30

180-13545

= 90 +

903

= 120

Diagrama `'box

plot'' (Tukey 1972)

D1

Q1

Me

Q3

D9

valorile minime i maxime ale distribuiei.


72/115

D1 , D9 - decilele extreme.

5.8 Mediala ()Indicator de poziie egal cu acel nivel al caracteristicii ce mparte suman dou pri egale.Notaie: .Avem c: Determinarea medialei pentru serii simple : : ()= 1, 1.Se ordoneaz cresctor termenii 2.Se determin irul =

=1

, = 1, 53


73/115

3. =

=1

2

4. =, . ,

Exemplu: S se determine mediala pentru seria cu valorile :2, 4, -3, 5, 8, 6, 1, 9=81 =-3; 2 =1; 3 =2; 4 =4; 5 =5; 6 =6; 7 =8; 8 = 91 =1 =-32 =1 +2 =-23 = 1 + 2 + 3 = 2 + 3 = -2 + 2 = 04 = 45 = 9 =

6 = 15

32

2= 16

7 = 237 = 23 >16= 8 = 32=

, deci

= 7 =8

8

=1

a)Determinarea pentru serii cu frecven: : (, )= 1, 1. Se determin =2. =3. =

=1

=1

2

,

= 1,

, ()


74/115

b)Determinarea pentru serii de intervale:

1. Se determin: =

=1

54

: (, )= 1,

, = 1,


75/115

2. =

=1

2

-

3. = -1 +

--1,

5.9 Relaii ntre valorile tendinei centrale1) Dac distribuia este unimodal simetric atunci: = = 0

= = 0

2) Dac distribuia este unimodal asimetric atunci are loc relaia- 0 = 3(- 0 )Ex: Pt distribuia dup timpul de deplasare n minute a eantionului de 200persoane, avem: =73,5; 0 =72; =72,573,5-72=3(72,5-72), adevrat.

55


76/115

TESTE1) Populaia ocupat (mii persoane) pe sectoare de activitate n Romnia, n anii1993 i 2001 este dat n tabelul de mai jos:Sectorul de activitate

1993

2001

Industrie

30302017

Construcii

574

340

Agricultur i silvicultur

3614

3498

Alte ramuri

2844

2708

Total

10062

8563Sursa: Anuarul Statistic al Romniei, 1994, C.N.S. , p.158, 2002, p.94

a) S se ntocmeasc un tabel cu ponderea populaiei ocupate pe sectoare deactivitate, n anul 1993 comparativ cu anul 2001.b) S se ntocmeasc un tabel cu modificrile de structur n 2001 fa de 1993 pesectoare de activitate, n mrime absolut.

2) Numrul de salariai pe sexe la nivelul economiei naionale a Romniei, la31.12.1999, este dat n tabelul urmtor:Total personal muncitor

2.976.000

Brbai

1.781.000

Femei

1.195.000


77/115

Sursa: Anuarul Statistic al Romniei, I.N.S., 2000, p.110

Se cere s se calculeze mrimile relative de coresponden( coordonare).3) Distribuia muncitorilor unei firme dup caracteristica timpul necesar realizriiunui produs, este dat n tabelul urmtor:56


78/115

Timpul(min)Ji= xi-1-xiNumrmuncitorini

0-30

30-60

60-9090-120

120-150

150-180

25

50

60

45

15

5

S se calculeze:a) Media aritmeticb) Modulc) Medianad) Diagrama Box-Plote) Mediala

Bibliografie1)Jaba Elisabeta Statistic economic, ediia a treia, Ed. Economic, Bucureti20022)ian Emilia Statistic.Teorie i aplicaii n sectorul teriar.Ed. MeteorPress Bucureti 20023)Otinan Pun Ioan, Cre Florian Elemente de matematici aplicate neconomia agroalimentar, Ed. Agroprint, Timioara 20024)PetriSor Emilia Probabiliti i statistic .Aplicaii n economie i inginerie,Ed. Politehnica, Timioara 20035)Florea I., .a.- Statistic descriptiv.Teorie i aplicaii, Ed. Aisteda Alba-Iulia1998

57


79/115

MODULUL 3Indicatori ai dispersiei i aiformeiIndicatori ai seriilorcronologice

58


80/115

OBIECTIVE- cunoaterea semnificaiei i a relaiilor matematice de definire a indicatorilorsimpli i sintetici ai dispersiei- cunoaterea semnificaiei i a relaiilor matematice de definire a indicatorilor deasimetrie- cunoaterea semnificaiei i a relaiilor matematice de definire a indicatorilorspecifici seriilor cronologice- nelegerea rolului i importanei acestor indicatori n caracterizarea unui set dedate- nsuirea modului de calcul a acestor indicatori n diverse situaii practice

CUVINTE CHEIE- dispersie, asimetrie, serie cronologic

CUPRINS MODUL 3Capitolul 66.16.26.36.46.5Capitolul 77.1

Indicatori ai dispersiei, asimetriei i boltirii.....................60Indicatori simpli si sintetici ai dispersiei.............................60Indicatori ai dispersiei unei variabile alternative............64Msurarea dispersiei n sistemul medianei........................65Dispersia unei variabile nominale (atributive).................67Indicatori ai formei........................................................................68Indicatori ai seriilor cronologice..............................................72Indicatori pentru caracterizarea nivelului ivariaiei n timp...............................................................................727.1.1 Indicatori absolui72

7.1.2 Indicatori relativi..727.1.3 Indicatori medii..74

Test..78Bibliografie..7859


81/115

Cap.6 Indicatori ai dispersiei i asimetriei6.1 Indicatori simpli i sintetici ai dispersieiDispersia exprim gradul de mprtiere a valorilor individuale ale unei distribuiin jurul valorii centrale6.1.1 Indicatorii simpli ai dispersieiMsoar cmpul de mprtiere al caracteristicii i mprtierea fiecrui nivelindividual al caracteristicii fa de nivelul mediu.a) Amplitudinea variaieiDaca X variabila asociat caracteristicii unei populaii :X: (, )= 1, = - -

% =

100, se numete amplitudinea variaiei absolut respectiv

amplitudinea variaiei relativ.b)Abaterea individualNumrul: =- % =

-

100, se numete abaterea

individual absolut respectiv abaterea individual relativ.6.1.2 Indicatori sintetici ai dispersieiExprim n mod sintetic, mprtierea tuturor nivelurilor individuale alecaracteristicii fa de nivelul mediu.a) () : X=(, )= 1, ==

=1

=

=1 =1

-

=

, dac 1 = 2 = = =

=1-=1


82/115

, 1 2 .

Observaie: Dac nu se pune modul, atunci (- ) = 0

60


83/115

b) Dispersia.Numrul: s2 2=1

s2Numrul: 2

1-1

2

2=1

=

2=1(-)

,

.

e numete .

c)Abaterea medie ptratic (derivaia standard).Este = 2d)Intervalul mediu de variaie .Acesta este:I.II.III.

(- ; + ) = 68.27% (- ; + )(- 2; + 2) = 95.65%(- 3; + 3) = 99.97% - .

e) Coeficientul de variaie ()

100 = 100

(0; 100%)este folosit ca test de reprezentativitate a mediei.


84/115

0< 50% -

media nu este reprezentativ.

Exemplu : Un produs se vinde n 5 magazine cu preuri diferite : 10; 11; 12;13; 14(lei).S se calculeze preul mediu i gradul de dispersie cu ajutorul indicatorilor simplisi sintetici:

61


85/115

1= 5

5

==1

10 + 11 + 12 + 13 + 14 60=

= 1255

Preul mediu este 12 lei= 14; = 10Amplitudinea variaiei:= - = 14 - 10 = 4 ,=

-

100=4

12

Abaterea individual:

,

100 = 33,3%, = 1,5

= - % =

- 100

1 = 1 - = 10 - 12 = -22 = 2 - = 11 - 12 = -13 = 3 - = 12 - 12 = 04 = 4 - = 13 - 12 = 15 = 5 - = 14 - 12 = 21% =

1 -

2% =

2 -

3% =

3 -


86/115

4% =

4 -

-2

12

-1

12

100= 3 100=

0

12

1

12

100= 1 100=

100= 2 100=

100= 4 100=

100 = -16.67% 100 = -8.33%

100 = 0% 100 = 8.33%

5% = 16.67%


87/115

62


88/115

Indicatori sintetici ai dispersiei.Abaterea medie liniar ()5=1

=

-5

=

5=1

5

=

2+1+0+1+2 6

= = 1,2

5

5

Deci: = 1,2 lei+ = 12 + 1,2 = 13,2 + = 12 - 1,2 = 10,8(10,8; 13,2)Di

per

ia (s2)2

=

5=1(

- )2

5

=

52

=1

5

=

2 4 + 2 1 10==25


89/115

5

Abaterea medie patratic. s=

2 = 2 = 1,4142 ; = 1,4142

Ob

ervm c: > Intervalul mediu de variaie.- =12

1,4142=10,5858+ =12+1,4142=13,4142deci 63% din unit

ile colectivitii (magazine) practic un precuprins ntre10,5858 lei i 12,4142 lei

Coeficientul de variatie ()=

1,4142 100 = 100 = 11,78% < 17%12

=>media este semnificativ pentru distribuie.

63


90/115

6.2 Indicatori ai dispersiei unei variabile alternativeO caracteristic alternativ are doar dou variante. Variantele se exprim princuvinte, pot fi cuantificate cu ,,0'' si ,,1Dispersia unei caracteristici alternative.2

(1 - )2 + (0 - )2 == = (1 - )+

=

1-

=1-Abaterea mediei patratic.=

2 =

Coeficientul de variaie ()=

100 =

100 =

100

Exemplu :Din 300 piese examinate, 270 sunt bune.S se determine :i)ii)iii)iv)

procentul mediu de piese bune.procentul mediu de piese rebut.dispersia.coeficientul de variaie.

i)

=


91/115

ii)

= 1 - = 10% (0,1)

iii)

2 = = 900.

1

100 =270300

100 = 90% (0,9)

=

1090

64

100 = 33,33%.


92/115

6.3 Msurarea dispersiei n sistemul medianeiIndicatori ai dispersiei n sistemul medianei.1) Intervalul interquartilic. (1 ; 3 )2) - = 3 - 13) Semiinterquartila. () - .=

3 - 12

Ob

ervaie : 25% < 1 25% > 34) Intervalul interdecilic. (1 ; 9 )5) Abaterea interdecilic = 9 - 1

80% 9 -1

6) Semiinterdecila =

2

FrecvencumulatIQIDD1 Q1

Me

Q3

*

D9

xi*

65


93/115

Coeficientul de variaie interquartilic: ()=

3 - 1 100 = 1002

- -1- ; = + ; =2

Q1

1

Q1= -1 +

Q3

3

Q3= -1 +

1 --11

3 --13

; 1 =

; 3 =

43

4

Coeficientul de variaie interdecilic ()

9 - 12

= 100Aplicaie: Considernd datele din tabelul urmtor:Timpul consumatpentru realizarea uneipiese (-1 ; ](0 ; 120](120 ; 130](130 ; 140]


94/115

(140 150](150 160]

Numr muncitori()

( )

121628

2420

12285680100

Total

10066


95/115

S se determine gradul de variaie cu ajutorul indicatorilor de variaie nsistemul medianei.= 100 =

3 - 12 100

= 100 =

9 - 12 100

Se calculeaz : 1 , 2 , 3 , 1 9

6.4 Dispersia unei variabile nominale (atributive)Msurarea dispersiei se bazeaz pe deficienele calitative dintre unitilestudiate.Definiie: Se numete indice de variaie calitativ.Numrul:

0

0 - .

0 ==1 >

=

=1

= .

= .

67


96/115

=

=

(- 1) .2=1

>

(- 1) 2.( )2

Exemplu: Avem un grup de =60

tudeni.1=40 copii de muncitori.2=10 copii de intelectuali.

3=10 copii de rani.S se studieze gradul de omogenitate al grupului dup originea social a printilor.=33

=

= 1 2 + 1 3 + 2 3 ==1 >

=4010+4010+1010=900==

3(3 - 1) 60 = 120023

900= 0,75 = 75%1200> 50% -

.

6.5 Indicatori ai formeiForma unei distribuii statistice se poate aprecia cu ajutorul indicatorilor deasimetrie i a indicatorilor de boltire.68


97/115

Indicatori de asimetrie: dau informaii asupra modului de repartizare afrecvenelor de o parte i de alta a valorii centrale.Indicatori de boltire: msoar aglomerarea frecvenelor n zona central.

6.5.1 AsimetriaDefiniie: Se numete asimetrie, deviaia de la forma simetric a distribuiei.Valorile centrale folosite pentru aprecierea asimetriei :, 0 , .- Grafic, asimetria se poate aprecia cu ajutorul curbei frecvenelor i adiagramei box plot.- Se compar curba frecvenelor cu modelul teoretic al distribuiei normale

(clopotul Gauss

= 0 = 1

1

()

2 9

< < 0Asimetrie la stnga

0

69


98/115

0 < < Asimetrie la dreapta

0

Indicatori ai asimetriei

a) Asimetria n mrime absolut ()- 0

= 3(- 0 )

au

dac: < 0 - dac: > 0 - b) Coeficientul de a

imetrie Yule ()=

1 + 3 - 2

3 - 1

[-1; 1 ]dac = 0 .dac > 0 .dac < 0 .dac

0,1 .dac

0,3 .70


99/115

E xemplu:1 = 128,132 = = 137,863 = 147,92=

128,13 + 147,92 - 2 137,86= 0,0141 147,92 - 128,13

, .

c) Coeficientul de asimetrie Pearson ()=

- 0

Dac: = 0 .dac > 0 .dac < 0 .dac

0,1 .dac

0,3 .

Exemplu:

Pentru distribuia de la exerciiul anterior sa se afle 0 = 137,5= 137,4

= -0,0078

71


100/115

Cap. 7 Indicatori ai

eriilor cronologice

7.1 Indicatori pentru caracterizarea nivelului i variaiei n timpSerie cronologic serie de timp ce prezint un ir de observaii la diferitemomente sau intervale de timp.Avem : serie de timp de momente :serie de timp de intervale :

(, )= 0, (, )= 1,

unde:= - -1 - ()

7.1.1 Indicatori absoluiNivelul absolut valoarea a fiecrui termen al seriei cronologiceVolumul absolut valoarea =

=0

- valoarea nivelurilor absolute.

Sporul absolut creterea sau descreterea unui fenomen ntr-o perioad

(moment) fa de o alt perioad (moment)

- sporul cu baz fix : 0 = - 0 ; 0 . = 0,

porul cu baz mobil:

-1 =

- -1 ;

= 1,

Ob

ervaia 1:1)2)

=1 -1 =00 - -1 0 = -1

7.1.2 Indicatori relativi :a) Ritmul

au indicele de variaie arat de cte ori a crescut (sczut) nivelulunui fenomen ntr-o perioad (moment) fa de nivelul aceluiai fenomen ntr-o altperioad (moment)72


101/115

- ritmul variaiei cu baza fix:

0

0

=0%

=

100, = 0, 0

- ritmul variaiei cu baza mobil:

-1% = 100,-1-1

=

-1

= 1,

Ob

ervaia 2:

1. =1

-1

0-1 0

2.

=


102/115

=

-1

0

, ()= 1,

b) Ritmul sporului arat cu ct s-a modificat n mrime relativ nivelul

fenomenului n perioada raportat fa de nivelul fenomenului n perioada deraportare.

Ritmul sporului cu baz fix:

/0

=

/00

=

- 0= 0 - 1,0

= 0,

/0% = /0% - 100Ritmul

porului cu baz mobil:

-1

=

-1

-1

=

- -1= -1 - 1 -1


103/115

-1%

=

-1

-1

100 =

-1%

- 100 ,

d) Valoarea ab

olut a unui procent de cretere- Cu baz fix:

73

= 1,


104/115

%

0

=

0/0%

-0

= -00

100

=

0100

- Cu baz mobil:

%

-1

=

-1-1%

-

= --1-1 =-1

100

-1100

7.1.3 Indicatori mediiNivelul mediu Dac seria este de intervale , atunci nivelul mediu se afl calculnd o

medie aritmetic a termenilor seriei.Dac seria este de timp atunci nivelul mediu se afl calculnd o mediecronologic.Media cronologic simpl (pentru serie cronologic cu momente egal distanate):(, )= 0, cr=

0+1 +2


105/115

+-1 + 2

=

0 + 1 + + +1

Media cronologic ponderat (pentru seria cronologic cu momente inegaldistanate)cr=

0 +1++1 + 1 2 2 ++ -1 222

1 +2 ++

, = - -1

1++ 1 2 1 ++ 2 022

cr =1 +2 ++

Sporul mediu:

()

=0 -1

74


106/115

=

0

=

- 0

Ritmul mediu al variaiei ( ) : arat de cte ori s-a modificat n medie pean nivelul unui fenomen, ntr-o perioad n care fenomenul evolueaz dup oprogresie geometric.a)Metoda mediei geometrice.

=

=1

-1

=

=

0

1

/0 % = 100

= -

/0dezavantaj:se ignor termenii seriei, folosindu-se primul si ultimul.b) Metoda mediei parabolice:Fie seria: 0 , 1 ,

= 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 =

= 0 , = 1,


107/115

=0

=0 (1 + + 2 + + ) == 0

+1 - 1-1

+1 - 1=-1

=0

0

.

Dezavantaj: se exagereaz importana primului termen.Ritmul mediu al sporului

()

=-1% = % - 100

75


108/115

Apl

Aplicaie1:

Se d seria cronologic ce reprezint volumul comerului exterior al Romniei inperioada 1994 1999.

Anii ( )T0 = 1994T1 = 1995

T2 = 1996T3 = 1997T4 = 1998T5 = 1999

Exportul (n mil. $)0 = 61511 = 79102 = 80843 = 84314 = 83025 = 848747365

a)S se calculeze indicatorii absolui i relativi ai variaiei n timp (i valoareaabsolt a unui procent de cretere cu baz fix i cu baz mobil)b)S se calculeze indicatorii medii pentru aceste serii.Indicatorii absoluiAniiTi

Exportul ()

199419951996

199719981999

0 =61511 =79102 =80843 =84314 =83025 =8487

Sporul absolutcu baz fix

/0 = - 0

0/0 = 01/0 = 17592/0 = 1993


109/115

3/0 = 22804/0 =21515/0 =2336

76

(mil. $ )Cu baz mobil

-1 = - -1

1/0 =17592/1 =1743/2 =3474/3 =-1295/4 =185


110/115

Indicatorii relativiRitmul variaiei i al sporului.

Anul

1994199519961997

19981999

615179108084843183028437

variaiei(%)-1% =

100-1128,6102,2104,2998,47102,23

Ritmul0% =/0 100100128,6

131,43137,07134,97137,98

ritmul

0% =

sporului (%)-1%

O28,631,4337,0734,9737,98

28,62,2


111/115

4,29

1,532,23

Valoarea ab

olut a unui procent de cretere:Cu baza fix %(/0 ) =

/0

0%

/0

= /00

100

=

/-1

Cu baz mobil: % /(-1) = /-1

-1

100

0100

=

=

6151100

= 61,51 . $

-1100

Indicatorii medii

0+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 400212 =

= 2= 8004,2 . $55

Nivelul mediu =Sporul mediu

=


112/115

=

-0

473656

=

Ritmul mediu al variaiei =

= 7894,16 mil. $

8487 -61515

0

=

5

= 467,2 mil. $1,3797 = 1,066 % = 106,6%

% = % - 100 = 6,66%

77


113/115

TEST1)Se cuno

c datele privind producia de gru a unei ferme vegetale

AnulProducia (/) 19951,81996219972,11998219992,320002,3Sa

e calculeze indicatorii ab

olui i relativi ai variaiei n timp, valoarea absoluta unui procent de cretere cu baz fix i cu baza mobil i indicatorii medii.

Bibliografie1)Jaba Elisabeta Statistic economic, ediia a treia, Ed. Economic, Bucureti2002

2)ian Emilia Statistic.Teorie i aplicaii n sectorul teriar.Ed. MeteorPress Bucureti 20023)Otinan Pun Ioan, Cre Florian Elemente de matematici aplicate neconomia agroalimentar, Ed. Agroprint, Timioara 20024)PetriSor Emilia Probabiliti i statistic .Aplicaii n economie i inginerie,Ed. Politehnica, Timioara 20035)Florea I., .a.- Statistic descriptiv.Teorie i aplicaii, Ed. Aisteda Alba-Iulia1998

78


114/115

79


115/115

Date post:	28-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	emanuel
View:	236 times
Download:	0 times

97267676 Curs Statistica

Documents