97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Algebră liniară

97

CAPITOLUL 3

TRANSFORMĂRI LINIARE

3.1. Definiţia transformării liniare

Definiţia 3.1.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ

K. O funcţie u: V → W se numeşte transformare liniară

(sau operator liniar, sau morfism de spaţii vectoriale)

dacă îndeplineşte următoarele condiţii:

1. u(x + y ) = u(x) + u(y) pentru orice x, y ∈ V;

2. u(α x) = α u(x) pentru orice α∈K şi orice x∈V.

În cazul în care V = W o transformare liniară u : V → V

se numeşte endomorfism.

Se observă uşor că restricţia unei transformări liniare la un

subspaţiu vectorial al domeniului său de definiţie este tot o transformare

liniară.

Propoziţia 3.1.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp

comutativ K. O funcţie u: V → W este transformare

liniară dacă şi numai dacă pentru orice x, y ∈V şi orice

α, β ∈K este îndeplinită condiţia

u(α x + β y) = α u(x) + β u(y).

Demonstraţie. Dacă u: V → W este transformare liniară , atunci,

conform definiţiei, pentru orice x, y ∈V şi orice α, β ∈ K, avem

Transformări liniare

98

u(αx + βy) = u(αx) + u(βy) = αu(x) + βu(y).

Reciproc, presupunem că pentru orice x, y ∈V şi orice α, β ∈ K este

îndeplinită condiţia u(αx + βy) = αu(x) + βu(y). Luând α = β = 1,

obţinem u(x + y) = u(x) + u(y). Luând β = 0, obţinem u(αx) = αu(x).

Cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite.

Exemplul 3.1.3. Considerăm spaţiile vectoriale R3 şi R

2 peste corpul

numerelor reale R. Aplicaţia u : R3 → R2, definită prin

u(x) = (x1 + x3, x2 - x3) pentru orice x = (x1, x2, x3) ∈ R3

este o transformare liniară. Într-adevăr, fie α, β ∈ R şi x = (x1, x2, x3) , y

= (y1, y2, y3)∈ R3. Din

α x + β y = (α x1+ β y1, α x2 + β y2, α x3 + β y3),

rezultă că

u(α x + β y) = (α x1+ β y1 + α x3 + β y3, α x2 + β y2 - (α x3 + β y3))

=(α(x1+ x2) + β(y1 + y3), α(x2 -x3) + β(y2 - βy3))

=(α(x1+ x2), α(x2 -x3) ) + (β(y1 + y3), β(y2 - βy3))

= α(x1+ x2, x2 -x3 ) + β(y1 + y3, y2 - y3)

= α u(x) + β u(y).

Aplicaţia v : R3 → R2, definită prin

v(x) = (x1 + x3, x2 x3) pentru orice x = (x1, x2, x3) ∈ R3

nu este o transformare liniară. Într-adevăr, pentru x = (1, 1, 1) ∈ R3 şi α

= 3∈R avem v(α x) = (6, 9) ≠ 3(2,1) = αv(x).


comutativ K şi u: V → W o transformare liniară. Atunci

1. u(0) = 0.

Algebră liniară

99

2. Dacă V1 este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci

u(V1) = {u(x): x ∈ V1} este un subspaţiu vectorial al lui

W.

3. Dacă W1 este un subspaţiu vectorial a lui W, atunci

preimaginea u-1(W1) = {x ∈ V: u(x) ∈ W1} este un

subspaţiu vectorial al lui V.

Demonstraţie. 1. Fie x∈V un element oarecare. Atunci

u(0) = u(0x) = 0u(x) = 0.

2. Fie V1 un subspaţiu vectorial a lui V. Fie α, β ∈K şi y1, y2 ∈

u(V1). Deoarece y1, y2 ∈ u(V1) există x1, x2 ∈ V1 astfel încât u(x1) = y1 şi

u(x2) = y2. Cum V1 este subspaţiu vectorial, αx1 + βx2 ∈V1. Avem

αy1 + βy2 = αu(x1) + βu(x2) = u(αx1 + βx2) ∈ u(V1),

pentru că αx1 + βx2 ∈ V1. Deci u(V1) este un subspaţiu vectorial al lui W.

3. Fie W1 un subspaţiu vectorial a lui W. Fie α, β∈K şi fie x1, x2 ∈

u-1(W1). Din faptul că x1, x2 ∈ u-1(W1) rezultă că u(x1), u(x2) ∈ W1. Cum

W1 este subspaţiu vectorial, αu(x1) + βu(x2) ∈W1 şi deci

u(αx1 + βx2) = αu(x1) + βu(x2) ∈W1,

de unde rezultă că αx1 + βx2 ∈ u-1(W1). În consecinţă, u-1(W1). este un

subspaţiu vectorial al lui V.


comutativ K şi u: V → W o transformare liniară. În

aceste condiţii

1. Pentru orice vectori x1, x2, …, xn din V şi orice scalari

α1, α2, …, αn din K avem

u(∑=

αn

1iiix ) = ( )∑

=

αn

1iii xu .


100

2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă

de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2), …, u(xn)} este o

familie liniar dependentă de vectori din W.

3. Dacă u este injectivă şi { x1, x2, …, xn} este o familie

liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2),

…, u(xn)} este o familie liniar independentă de vectori din

W. Mai general, dacă {xi}i∈I este o familie liniar

independentă de vectori din V, atunci {u(xi)}i∈I este o

familie liniar independentă de vectori din W.

4. Dacă u este surjectivă şi {xi}i∈I este un sistem de

generatori pentru V, atunci {u(xi)}i∈I este un sistem de

generatori pentru W.

5. Dacă u este bijectivă, atunci dimensiunea lui V peste

K este aceeaşi cu dimensiunea lui W peste K.

Demonstraţie. 1. Demonstraţia se face prin inducţie după n, ţinând cont

că

u(∑=

αn

1iiix ) = u(∑

−

=

α1n

1iiix + αnxn) = u(∑

−

=

α1n

1iiix ) + u(αnxn) =

= u(∑−

=

α1n

1iiix ) + αnu(xn).

2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă de vectori

din V, atunci există scalarii α1, α2, .., αn, nu toţi nuli, astfel încât

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = 0.

Aplicând u obţinem u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn) = 0 sau echivalent

α1u(x1) + α2u(x2) + … + αnu(xn) = 0,

Algebră liniară

101

de unde rezultă că {u(x1), u(x2), …, u(xn)} este o familie liniar

dependentă de vectori din W.

3. Presupunem că {x1, x2, …, xn} este o familie liniar independentă

de vectori din V şi că u este injectivă. Fie scalarii α1, α2, .., αn din K

astfel încât α1u(x1) + α2u(x2) + … + αnu(xn) = 0.

Ţinând cont de 1. rezultă că u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn) = 0.

Deoarece u este injectivă şi u(0) = u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn), rezultă că

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = 0. Deoarece {x1, x2, …, xn} este o familie liniar

independentă rezultă că α1 = α2 = … = αn = 0. Deci {u(x1), u(x2), …,

u(xn)} este o familie liniar independentă. Cazul general, al familiilor liniar

independente infinite, revine la cazul familiilor finite, dacă se ţine seama

că o familie de vectori este liniar independentă dacă şi numai dacă orice

subfamilie finită a sa este liniar independentă.

4. Presupunem că {xi}i∈I este un sistem de generatori pentru V şi că

u este surjectivă. Fie y ∈ W. Există x ∈ V astfel încât y = u(x), căci u

este surjectivă. Deoarece {xi}i∈I este un sistem de generatori pentru V,

rezultă că există o familie {αi}i∈I de scalari din K de suport finit (adică

numai un număr finit dintre scalarii αi sunt nenuli) astfel încât x =

∑∈

αIi

iix . Ca urmare, y = u(x) = u(∑∈

αIi

iix ) = ( )∑∈

αIi

ii xu şi deci {u(xi)}i∈I

este un sistem de generatori pentru W.

5. Fie {ei}i∈I o bază în V. Transformarea liniară u fiind bijectivă

este şi injectivă şi surjectivă. Atunci {u(ei)}i∈I este şi liniar independentă

(din 3) şi sistem de generatori pentru W (din 4). În consecinţă, {u(ei)}i∈I

este o bază în W. De aici obţinem că dimensiunile lui V şi W coincid,

fiind egale cu cardinalul lui I.


102

Teorema 3.1.6. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi B

= {ei}i∈I o bază în V. Atunci oricare ar fi spaţiul vectorial

W peste corpul K şi oricare ar fi familia {fi}i∈I de

elemente din W, există o unică transformare liniară

u : V → W

astfel încât u(ei) = fi pentru orice i ∈ I. Mai mult, u este

injectivă (respectiv surjectivă, bijectivă) dacă şi numai

dacă {fi}i∈I este un sistem liniar independent (respectiv

sistem de generatori, bază).

Demonstraţie. Dacă x∈V, există o unică familie {λi}i∈I de scalari din K

de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii λi sunt nenuli)

astfel încât x = ∑∈

λIi

iie . Definim

u(x) =∑∈

λIi

iif .

Evident u este bine definită (datorită unicităţii reprezentării lui x în baza

B) şi rămâne să arătăm că u este transformare liniară.

Pentru orice x1 şi x2 ∈ V există şi sunt unice familii de scalari din

K de suport finit {αi}i∈I şi {βi}i∈I astfel încât x1 = ∑∈

αIi

iie şi x2 = ∑∈

βIi

iie .

Atunci x1 + x2 = ( )∑∈

β+αIi

iii e şi

u(x1 + x2) = ( )∑∈

β+αIi

iii f = ∑∈

αIi

iif +∑∈

βIi

iif = u(x1) + u(x2).

Dacă α∈K şi x = ∑∈

λIi

iie ∈V, atunci αx = ( )∑∈

αλIi

ii e şi deci

Algebră liniară

103

u(αx) = ( )∑∈

αλIi

ii f = α∑∈

λIi

iif =αu(x).

Să demonstrăm unicitatea lui u. Fie v : V → W o altă transformare liniară

cu proprietatea că v(ei) = fi pentru orice i ∈ I. Pentru orice x = ∑∈

λIi

iie ∈V

avem v(x) = v(∑∈

λIi

iie ) = ( )∑∈

λIi

ii ev =∑∈

λIi

iif = u(x). Deci v coincide cu u.

Dacă u este injectivă atunci, conform Propoziţiei 3.1.5, {fi}i∈I =

{u(ei)}i∈I este liniar independentă, deoarece {ei}i∈I fiind bază este în

particular liniar independentă. Reciproc, să presupunem că {fi}i∈I este

liniar independentă şi să demonstrăm că u este injectivă. Fie x1, x2 ∈V

astfel încât u(x1) = u(x2). Atunci u(x1 - x2) = 0. Cum x1 - x2 ∈ V, există o

unică familie {λi}i∈I de scalari din K de suport finit astfel încât x1 - x2 =

∑∈

λIi

iie . Avem 0 = u(x1 - x2) = u(∑∈

λIi

iie ) = ( )∑∈

λIi

ii eu =∑∈

λIi

iif

Faptul că {fi}i∈I este liniar independentă implică λi = 0 pentru orice i ∈I,

şi deci x1 - x2 = 0, sau echivalent x1 = x2. De aici rezultă că u este o

aplicaţie injectivă.

Dacă u este surjectivă atunci, conform Propoziţiei 3.1.5, {fi}i∈I

={u(ei)}i∈I este sistem de generatori pentru W fiindcă {ei}i∈I, fiind bază în

V, este în particular sistem de generatori pentru W. Reciproc, să

presupunem că {fi}i∈I este un sistem de generatori pentru W şi să

demonstrăm că u este surjectivă. Fie y ∈W. Din faptul că {fi}i∈I este un

sistem de generatori pentru W, rezultă că există o familie {λi}i∈I de scalari

din K, de suport finit, astfel încât y = ∑∈

λIi

iif . Luăm x = ∑∈

λIi

iie şi arătăm

că u(x) = y, de unde rezultă că u este surjectivă. Într-adevăr,


104

u(x) = u(∑∈

λIi

iie ) = ( )∑∈

λIi

ii eu =∑∈

λIi

iif = y.

Din cele demonstrate mai sus rezultă că u este o aplicaţie bijectivă

(injectivă + surjectivă) dacă şi numai dacă {fi}i∈I este bază (liniar

independentă + sistem de generatori).

Teorema 3.1.7. Fie n un număr natural, V şi W două spaţii vectoriale n-

dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice

transformare liniară u: V → W următoarele afirmaţii

sunt echivalente

1. u aplicaţie injectivă.

2. u aplicaţie surjectivă.

3. u aplicaţie bijectivă.

Demonstraţie. Vom arăta 1 => 2 =>3. Cum evident 3 =>1, va rezulta că

cele trei afirmaţii sunt echivalente. Fie {e1, e2, …, en} o bază în V.

1 => 2. Dacă u este injectivă, aplicând Propoziţia 3.1.5, rezultă că

{u(e1), u(e2), …, u(en)} este o familie liniar independentă de vectori din

W. Cum dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)} este

de fapt o bază pentru W şi deci în particular {u(e1), u(e2), …, u(en)} este

un sistem de generatori pentru W. Aplicând Teorema 3.1.6, rezultă că u

este surjectivă.

2 =>3. Presupunem că u este surjectivă. Pentru a arăta ca u este

bijectivă este suficient să arătăm că este injectivă. Din Propoziţia 3.1.5,

rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)} este un sistem de generatori pentru W.

Din faptul că dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)}

este de fapt o bază pentru W şi deci, în particular, {u(e1), u(e2), …, u(en)}

Algebră liniară

105

este o familie liniar independentă de vectori din W. Ţinând cont de

Teorema 3.1.6, rezultă că u este injectivă.

Corolarul 3.1.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp

comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V → V

următoarele afirmaţii sunt echivalente

1. u este aplicaţie injectivă.

2. u este aplicaţie surjectivă.

3. u este aplicaţie bijectivă.

Demonstraţie. Se aplică Teorema 3.1.7 luând W =V.

3.2. Operaţii cu transformări liniare

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K.

Notăm cu LK(V, W) (sau L(V, W) când corpul K se subînţelege)

mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu valori în W.

Dacă u şi v sunt două transformări liniare din L(V, W), se defineşte

suma "u + v" lor prin

(u + v)(x) = u(x) + v(x) pentru orice x ∈V.

Se verifică uşor că u + v : V→W este o transformare liniară şi că suma

transformărilor liniare este asociativă şi comutativă. Mai mult, există

transformarea liniară O : V → W,

O(x) = 0 pentru orice x ∈v,

(numită transformarea liniară nulă) care are proprietatea că O + u = u +

O pentru orice u ∈ L(V, W).

Pentru orice transformare liniară u ∈ L(V, W) se defineşte

transformarea liniară opusă "- u" prin


106

(- u)(x) = - u(x) pentru orice x ∈ V.

Este uşor de arătat că - u este o transformare liniară şi că

u + (-u) = (-u) + u = O.

Pentru orice transformare liniară u ∈ L(V, W) şi orice scalar

α∈K, se defineşte produsul lui u cu scalarul α "αu" prin

(αu)(x) = αu(x) pentru orice x ∈V.

Aplicaţia αu este o transformarea liniară din L(V, W).

Mulţimea transformărilor liniare LK(V, W) împreună cu suma şi

produsul cu scalari definite mai sus are o structură de spaţiu vectorial

peste corpul K (temă - verificarea axiomelor) .

Fie U, V şi W trei spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K.

Dacă u∈ LK(V, W) şi v ∈LK(U, V), se defineşte produsul "uv" prin

(uv)(x) = u(v(x)) pentru orice x ∈ U.

Se verifică faptul că aplicaţia uv: U → W este o transformare liniară.

Pentru produsul de transformări liniare uv se mai foloseşte şi notaţia uov

specifică compunerii funcţiilor (deoarece produsul transformărilor liniare

u şi v este dat de fapt de compunerea funcţiilor u şi v).

Să considerăm acum cazul U = V = W. Se introduce transformarea

liniară identică (sau transformarea liniară unitate) IV : V → V, definită

prin

IV(x) = x pentru orice x ∈ V.

Este evident că IV este o transformare liniară şi că IVu = uIV = u pentru

orice transformare liniară u ∈ LK(V, V). Când spaţiul vectorial V se

subînţelege, transformarea liniară identică se notează cu I.

Algebră liniară

107

Mulţimea transformărilor liniare LK(V, V) cu suma şi produsul

definite mai sus formează un inel unitar necomutativ (vezi Definiţia

4.2.1).

Pentru orice transformare liniară u : V → V se poate defini puterea

un pentru orice număr natural n ≥ 2 prin

un = uun-1 cu convenţia u1 = u.

Datorită asociativităţii produsului de transformări liniare sunt valabile

următoarele reguli

unum = un+m

(un)m = unm

pentru orice numere naturale nenule n şi m. Pentru o transformare liniară

nenulă u (diferită de transformarea liniară nulă O) se consideră prin

convenţie că u0 = I.

O transformare liniară u : V → W, bijectivă se numeşte izomorfism

de spaţii vectoriale sau transformare liniară nesingulară.


comutativ K şi u: V → W o transformare liniară

nesingulară. Atunci există o transformare liniară

v : W →V

astfel încât uv = IW şi vu = IV.

Demonstraţie. Faptul că u: V → W este o aplicaţie bijectivă este

echivalent cu faptul că u este inversabilă ca funcţie. Deci există o

aplicaţie v : W →V astfel încât uv = IW şi vu = IV. Rămâne să arătăm că v

este o transformare liniară. Fie y1, y2 ∈ W şi α1 , α2 ∈ K. Deoarece u este

surjectivă (fiind bijectivă) rezultă că există x1, x2 ∈ V astfel încât y1 =


108

u(x1) şi y2 = u(x2). Atunci v(y1) = v(u(x1)) = x1 şi v(y2) = v(u(x2)) = x2.

Avem

v(α1y1 +α2y2) = v(α1u(x1) + α2u(x2)) = v(u(α1x1 + α2x2))

= α1x1 + α2x2 = α1 v(y1) + α2 v(y2).

Deci v este o aplicaţie liniară.

Dacă u : V → W este o transformare liniară nesingulară, atunci

transformarea liniară v : W → V cu proprietatea că uv = IW şi vu = IV ( a

cărei existenţă este demonstrată de Propoziţia 3.2.1) se numeşte inversa

transformării liniare u şi se notează cu u-1. Se mai spune că u : V → W

este o transformare liniară inversabilă. Din demonstraţia Propoziţiei 3.2.1

rezultă că inversa transformării liniare u coincide cu inversa lui u ca

funcţie.

Propoziţia 3.2.2. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un

corp comutativ K şi u: V → V o transformare liniară.

1. Dacă există transformarea liniară v : V → V astfel

încât uv = IV, atunci u este o transformare liniară

nesingulară şi u-1 = v.

2. Dacă există transformarea liniară v : V → V astfel

încât vu = IV, atunci u este o transformare liniară

nesingulară şi u-1 = v.

Demonstraţie. 1. Presupunem că există transformarea liniară v : V → V

astfel încât vu = IV, Faptul că IV este o aplicaţie bijectivă implică faptul

că u este injectivă (dacă u(x1) = u(x2), atunci v(u(x1)) = v(u(x2)) şi deci x1

= x2). Din Corolarul 3.1.8 rezultă că "u injectivă" este echivalent cu "u

Algebră liniară

109

bijectivă". Deci u este nesingulară şi în consecinţă există transformarea

inversă u-1. Înmulţind la dreapta egalitatea vu = IV cu u-1 obţinem v = u-1.

2. Presupunem că există transformarea liniară v : V → V astfel

încât uv = IV. Deoarece IV este o aplicaţie bijectivă rezultă că u este

surjectivă. (Într-adevăr, pentru orice y ∈V luăm x = v(y) obţinem u(x) =

u(v(y)) = y. Deci u este surjectivă). Din Corolarul 3.1.8 rezultă că

surjectivitatea lui u este echivalentă bijectivitatea lui u. Deci u este

nesingulară şi în consecinţă, există transformarea inversă u-1. Înmulţind la

stânga egalitatea uv = IV cu u-1 obţinem v = u-1.

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u, v ∈L(V,

V). Mulţimea transformărilor liniare nesingulare din L(V, V) coincide cu

mulţimea elementelor inversabile ale inelului L(V, V) (vezi Definiţia

4.2.1), deci este un grup (în raport cu produsul transformărilor liniare).

Vom încheia această secţiune punând în evidenţă câteva reguli de

calcul pentru transformările inverse

1. Dacă u şi v sunt nesingulare, atunci uv este nesingulară şi

(uv)-1 = v-1u-1

2. Dacă u este nesingulară, atunci u-1 este nesingulară şi

(u-1)-1 = u

3. Dacă u este nesingulară şi α∈K, α ≠ 0, atunci αu este

nesingulară şi

(αu)-1 = α-1u-1

4. Dacă u este nesingulară, atunci putem defini u-n pentru orice

număr natural n prin formula u-n = (u-1)n. Este uşor de văzut că u-n =(un)-1.


110

3.3. Rangul şi defectul unei transformări liniare


K şi u: V → W o transformare liniară. Mulţimea

Ker u = {x ∈ V: u(x) = 0}

se numeşte nucleul lui u (sau spaţiul nul al lui u).

Mulţimea

Im u = {u(x) : x ∈ V}

se numeşte imaginea transformării liniare u.


comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V →

W, nucleul lui u este un subspaţiu vectorial al lui V, iar

imaginea lui u este un subspaţiu vectorial al lui W.

Demonstraţie. Aplicând Propoziţia 3.1.4 punctul 3, rezultă că nucleul

Ker u = u-1({0}} este subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea aplicând

Propoziţia 3.1.4 punctul 2, rezultă că Im u = u(V) este subspaţiu vectorial

al lui W.


K şi u: V → W o transformare liniară. Dimensiunea

nucleului lui u (Ker u) se numeşte defectul transformării

liniare u. Dimensiunea imaginii lui u (Im u) se numeşte

rangul transformării liniare u.


comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V → W

avem

Algebră liniară

111

1. u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0}

2. u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W.

Demonstraţie. 1. Presupunem că u este injectivă. Dacă x ∈ Ker u, atunci

u(x) = 0 = u(0), deci x = 0 (u fiind injectivă). De aici rezultă Ker u = {0}.

Reciproc, presupunem că Ker u = {0}. Fie x1, x2 ∈ V astfel încât u(x1) =

u(x2). Cum 0 = u(x1) - u(x2) = u(x1 - x2), rezultă că x1 - x2 ∈ Ker u = {0}.

Deci x1 - x2 = 0, de unde rezultă că u este injectivă.

2. Presupunem că u este surjectivă. Deoarece incluziunea Im u ⊂

W este întotdeauna adevărată, rămâne să arătăm incluziunea opusă. Fie y

∈ W. Cum u este surjectivă, există x ∈ V astfel încât y = u(x). Deci y ∈

Im u. Reciproc, dacă Im u = W, atunci pentru orice y∈W există x ∈ V

astfel încât y = u(x). Deci u este surjectivă.

Propoziţia 3.3.5. Fie n un număr natural şi fie V şi W două spaţii

vectoriale n - dimensionale peste un corp comutativ K.

Pentru orice transformare liniară u: V → W următoarele

afirmaţii sunt echivalente

1. Ker u = {0}

2. Im u = W

3. u este nesingulară.

Demonstraţie. Din Teorema 3.1.7 rezultă că faptul că

u este nesingulară <=> u este injectivă <=> u este surjectivă.

Din Propoziţia 3.3.4 rezultă că u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u =

{0}. Tot din propoziţia 3.3.4 rezultă că u este surjectivă dacă şi numai

dacă Im u = W.

Propoziţia 3.3.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un


112

corp comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V → V

următoarele afirmaţii sunt echivalente

1. Ker u = {0}

2. Im u = V

3. u este nesingular.

Demonstraţie. Rezultă din Propoziţia 3.3.5 luând W = V.

Teorema 3.3.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ

K şi u: V → W o transformare liniară.

1. Dacă V este finit dimensional, atunci şi Im u este finit

dimensional.

2. Dacă r(u) este rangul lui u şi d(u) este defectul lui u,

atunci

r(u) + d(u) = dimKV

(dimensiunea spaţiului V este egală cu suma dintre

dimensiunea nucleului transformării liniare u şi

dimensiunea imaginii lui u).

Demonstraţie. Notăm n = dimKV. Fie B1 ={e1, e2 …, ed(u)} o bază în Ker u

pe care o completăm până la o bază B2={e1, e2 …, ed(u), ed(u)+1, …, en} în

V (dacă d(u) = 0, atunci B1 este mulţimea vidă). Arătăm că B3

={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este o bază în Im u. Pentru orice y ∈ Im

u, există x ∈ V astfel încât y = u(x). Cum B2 este o bază în V, există

scalarii α1, α2, …, αn ∈ K astfel încât x = ∑=

αn

1iiie =

( )∑=

αud

1iiie +

( )∑

+=

αn

1udiiie .

Atunci

y= u(x) = u(( )∑=

αud

1iiie ) + u(

( )∑

+=

αn

1udiiie ) = u(

( )∑

+=

αn

1udiiie ) = ( )

( )∑

+=

αn

1udiii eu ,

Algebră liniară

113

deci B3 ={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este un sistem de generatori

pentru Im u. Pentru a arăta că B3 este bază rămâne să arătăm că B3 este

liniar independentă. Fie scalarii α1, α2, …, αn-d(u) astfel încât

α1u(ed(u)+1) + α2u(ed(u)+2) + … + αn-d(u)u(en) = 0.

Ţinând cont că u este o transformare liniară rezultă că

u(α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en) = 0.

sau echivalent α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en ∈ Ker u.

Din faptul că B1 ={e1, e2 …, ed(u)} este o bază în Ker u, rezultă că

există scalarii β1, β2, …, βd(u) astfel încât

α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en = β1e1 + β2e2 + … + βd(u)ed(u).

sau echivalent

α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en - β1e1 - β2e2 - … - βd(u)ed(u) = 0.

Pe de altă parte B2={e1, e2 …, ed(u), ed(u)+1, …, en} fiind bază în V, deci, în

particular, fiind liniar independentă , rezultă că

α1 = α2 = … =αn-d(u) = β1 =… = βd(u) = 0.

De aici rezultă că B3 este liniar independentă. Faptul că B3

={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este o bază în Im u, implică

r(u) = dimK(Im u) = card(B3) = n - d(u),

sau echivalent r(u) + d(u) = n.

Lema 3.3.8. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K

şi u: V → W o transformare liniară. Dacă V este finit

dimensional şi dacă S este un subspaţiu vectorial al lui

V, atunci dimK u(V) - dimK u(S) ≤ dimK V - dimK S.

Demonstraţie. Notăm cu u|S restricţia transformării liniare u la S :

u|S : S → W, u|S(x) = u(x) pentru orice x ∈ S.

Este clar că Im uS = uS(S) = u(S) şi că Ker uS ⊂ Ker u.


114

Din teorema precedentă aplicată transformărilor liniare u şi uS rezultă că

dimKu(V) + dimK(Ker u) = dimKV

dimKu(S) + dimK(Ker uS) = dimKS

Scăzând cele două relaţii obţinem

dimKu(V) - dimKu(S) + (dimK(Ker u) - dimK(Ker uS)) = dimKV - dimKS.

Pe de altă parte, din Ker uS ⊂ Ker u, rezultă dimK(Ker u) ≥ dimK(Ker uS),

şi, ţinând seama de relaţia de mai sus, obţinem

dimKu(V) - dimKu(S) ≤ dimKV - dimKS.

Teorema 3.3.9. (inegalitatea lui Sylvester) Fie V1, V2 şi V3 trei spaţii

vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât dimKV2

=n. Pentru orice două transformări liniare u1: V2 → V3 şi

u2 : V1 → V2, rezultă că

r(u1u2) ≥ r(u1) + r(u2) - n,

unde am notat cu r(u1) (respectiv r(u2), r(u1u2)) rangul

lui u1 (respectiv rangul lui u2, rangul lui u1u2).

Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru transformarea liniară u1 şi

subspaţiul Im u2 = u2(V1) al lui V2:

u2(V1) ⊂ V2 → 1u V3

obţinem dimK(u1(V2)) - dimK(u1(u2(V1))) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)),

sau echivalent, dimK(u1(V2)) - dimK(u1u2(V1)) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)).

Ţinând cont de definiţia rangului unei transformări liniare rezultă că

r(u1) - r(u1u2) ≤ n - r(u2).

Teorema 3.3.10. (inegalitatea lui Frobenius) Fie V1, V2, V3 şi V4 patru

spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V2

şi V3 să fie finit dimensionale. Pentru orice transformări

Algebră liniară

115

liniare u1: V3 → V4, u2 : V2 → V3 şi u3 : V1 → V2 rezultă

că

r(u1u2) + r(u2u3) ≤ r(u2) + r(u1u2u3),

unde am notat cu r(u1u2) (respectiv r(u2), r(u2u3),

r(u1u2u3)) rangul lui u1u2 (respectiv rangul lui u2, rangul

lui u2u3, rangul lui u1u2u3).

Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru restricţia transformării

liniare u1 la u2(V2) şi subspaţiul u2(u3(V1)) al lui u2(V2):

u2(u3(V1)) ⊂ u2(V2) → 1u V4

obţinem inegalitatea

dimK(u1(u2(V2)))-dimK(u1(u2(u3(V1)))) ≤ dimK(u2(V2))-dimK(u2(u3(V1))),

care poate fi scrisă sub forma, r(u1u2) - r(u1u2u3) ≤ r(u2) - r(u2u3).

Corolarul 3.3.11. Fie V1, V2 şi V3 trei spaţii vectoriale peste un corp

comutativ K astfel încât V2 să fie finit dimensional.

Pentru orice transformări liniare u1: V2 → V3, u2 : V1 →

V2, rezultă că

r(u1u2) ≤ min (r(u1), r(u2)),

unde am notat cu r(u1) (respectiv r(u2)), rangul lui u1

(respectiv rangul lui u2).

Demonstraţie. Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius (demonstrată în

teorema precedentă) pentru transformările liniare

V1 →O V1 → 2u V2 → 1u V3

(O fiind transformarea liniară nulă) şi ţinem seama că

r(O) =r(u2O) =r(u1u2O) = 0

obţinem

r(u1u2) ≤r(u2) (1).


116

Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius pentru transformările liniare

V1 → 2u V2 → 1u V3 →O V3

şi ţinem seama că

r(O) =r(Ou1) =r(Ou1u2) = 0

obţinem

r(u1u2) ≤r(u1) (2).

Din (1) şi (2) rezultă că r(u1u2) ≤ min (r(u1), r(u2)).

Exemplul 3.3.12. Fie transformarea liniară u : R2 → R2 definită prin

u(x) = (x1 + x2, x1 -x2) pentru orice x = (x1, x2) ∈R2. Atunci

Ker u = {x ∈R2 : u(x) = 0} = {(x1, x2) ∈R2 : (x1 + x2, x1 -x2) = (0,0)}

Cu alte cuvinte (x1, x2) ∈ Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului

omogen x1 + x2 = 0, x1 - x2 = 0. Determinantul acestui sistem fiind

= -2 ≠ 0,

rezultă că sistemul admite doar soluţia banală x1 =0 , x2 = 0.

Deci Ker u = {0}. Din faptul că u este endomofism al spaţiului finit

dimensional R2 şi are proprietatea că Ker u = {0}, rezultă că u este

nesingular (vezi Propoziţia 3.3.6). Pentru a determina transformarea

inversă notăm u(x) = y, unde y = (y1, y2). Obţinem sistemul liniar

x1 + x2 = y1, x1 - x2 = y2, care are soluţia x1 = 2

1y1 +

2

1y2, x2 =

2

1y1 -

2

1y2. Deci u-1(y) = (

2

1y1 +

2

1y2,

2

1y1 -

2

1y2) pentru orice y = (y1, y2)∈R

2.

Exemplul 3.3.13. Fie transformarea liniară u : R2 → R3 definită prin

u(x) = (x1, x2, x1 -2x2) pentru orice x = (x1, x2) ∈R2. Să se determine

1 1 1 -1

Algebră liniară

117

nucleul şi imaginea acestei transformări liniare.

Avem Ker u = {x ∈R2 : u(x) = 0} = {(x1, x2) ∈R

2 : (x1, x2, x1 -x2) =

(0,0,0)}. Cu alte cuvinte (x1, x2) ∈ Ker u dacă şi numai dacă este soluţia

sistemului omogen x1 = 0, x2 = 0, x1 - 2x2 = 0. Deoarece acest sistem

admite doar soluţia banală (x1 =0 , x2 = 0), rezultă că Ker u = {0}.

Pentru a calcula imaginea transformării observăm că

Im u ={u(x) : x ∈R2} = {y∈R3 : există x ∈R

2 astfel încât y = u(x)}

Cu alte cuvinte (y1, y2, y3) ∈ Im u dacă şi numai dacă sistemul x1 = y1, x2

= y2, x1 - 2x2 = y3 este compatibil. Putem lua drept minor principal

∆p = = 1 ≠0

Există un singur minor caracteristic:

= = y3 - y1 +2y2

Deci condiţia de compatibilitate a sistemului devine y3 -y1 +2y2 = 0.

În consecinţă, Im u = {(y1, y2, y3) ∈ R3 : y3 -y1 +2y2 = 0} ={(α, β, α-2β) :

α, β ∈R}. Se observă uşor că B ={e1, e2}, unde e1 = (1,0,1) şi e2 =(0,1,-

2) este o bază a lui Im u. Deci rangul lui u este 2. Se verifică egalitatea

dimR(Im u) + dimR(Ker u) = dimRR2 (2 + 0 =2)

demonstrată în Teorema 3.3.7.

1 0 0 1

1 0 y1 0 1 y2 1 -2 y3

1 0 y1 0 1 y2 0 -2 y3 -y1


118

3.4. Matricea asociată unei transformări liniare

În această secţiune vom considera doar spaţii vectoriale finit

dimensionale.

Teorema 3.4.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste

un corp comutativ K, şi u : V → W o transformare

liniară. Dacă {e1, e2, …, en} este o bază a lui V şi {f1, f2,

…, fm} este o bază a lui W, atunci există şi este unică o

matrice A = ( )mj1ni1ij

≤≤≤≤α cu elemente din corpul K astfel

încât u(ei) = ∑=

αm

1jjijf pentru orice 1 ≤ i ≤ n. În plus, dacă

imaginea lui x = ∑=

n

1iiiex (xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n)

prin u este u(x) = ∑=

m

1iiify (yi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ m),

atunci yi = ∑=

αn

1jjjix pentru orice 1 ≤ i ≤ m.

Notând X =(x1, x2, …, xn), Y =(y1, y2, …, ym), relaţiile yi =

∑=

αn

1jjjix pentru orice 1 ≤ i ≤ m. pot fi scrise sub forma

matriceală Y = XA.

Demonstraţie. Conform Teoremei 3.1.6, transformarea liniară u este unic

determinată de valorile {u(ei)}1≤i≤n. Pe de altă parte, fiecare vector u(ei)

poate fi reprezentat în mod unic în baza {f1, f2, …, fm}:

u(ei) = ∑=

αm

1jjijf pentru orice 1 ≤ i ≤ n.

Algebră liniară

119

Prin urmare, matricea A = ( )mj1ni1ij

≤≤≤≤α , ale cărei linii au drept elemente

coordonatele (αi1, αi2, …, αim) corespunzătoare vectorilor u(ei) (1 ≤ i ≤n)

în baza {f1, f2, …, fm}, este unic determinată. Fie x = ∑=

n

1iiiex ∈ V (xi ∈K

pentru orice 1 ≤ i ≤ n) şi fie ∑=

m

1iiify (yi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ m)

reprezentarea lui u(x) în baza {f1, f2, …, fm}. Avem u(x) = u(∑=

n

1iiiex ) =

( )∑=

n

1iii eux =∑ ∑

= =

α

n

1i

m

1jjiji fx =∑∑

= =

αn

1i

m

1jjiji fx =∑ ∑

= =

α

m

1jj

n

1iiji fx

Unicitatea reprezentării lui u(ej) în baza {f1, f2, …, fm} implică

yj = ∑=

αn

1iiijx pentru orice 1 ≤ j ≤ m.

Definiţia 3.4.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste


liniară. Dacă B1 ={e1, e2, …, en} este o bază a lui V şi B2

={f1, f2, …, fm} este o bază a lui W, atunci matricea A =

( )mj1ni1ij

≤≤≤≤α cu elemente din corpul K cu proprietatea că

u(ei) = ∑=

αm

1jjijf pentru orice 1 ≤ i ≤ n.

se numeşte matricea asociată transformării liniare u în

raport cu perechea de baze considerate şi se notează cu

( )uM21 BB , . Dacă u :V → V este un endomorfism şi B

={e1, e2, …, en} este o bază a lui V, atunci convenim să

scriem MB(u) în loc de MB,B(u), şi să o numim matricea

asociată transformării liniare u în raport cu baza B.


120

Exemplul 3.4.3. Fie Rn[X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel

mult n, cu coeficienţi reali. Structura de spaţiu vectorial este dată de

adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, de

înmulţirea polinoamelor cu elemente din R:

(α, α0 + α1X +… + αnXn) → αα0 + αα1X +… + ααnX

n.

Considerăm transformarea liniară D: Rn[X] → Rn[X], definită prin

D(P) = P' (derivata polinomului P). Mai precis, dacă P = α0 + α1X + …

+ αnXn atunci D(P) =α1 + 2α2X + … + nαnX

n-1. Se verifică uşor că D

este o transformare liniară (D(αP+βQ) =αD(P) +βD(Q) pentru orice

polinoame P şi Q şi orice numere reale α şi β). De asemenea, este clar

că B ={1, X, X2, …, Xn} este o bază în Rn[X]. Determinăm matricea

asociată lui D în raport cu baza B. Avem

D(1) = 0 = 0⋅1 + 0⋅X +… + 0⋅Xn.

D(X) = 1 =1⋅1 + 0⋅X +… + 0⋅Xn.

D(Xk) = kXk-1 =0⋅1 + 0⋅X +…+ 0⋅Xk-2 +k⋅Xk-1 +0⋅Xk +… + 0⋅Xn.

D(Xn) = nXn-1 =0⋅1 + 0⋅X +…+ 0⋅Xn-2 + n⋅Xn-1 +0⋅Xn.

Matricea asociată lui D în raport cu baza B este

MB(D) =

Matricea asociată lui D în raport cu baza B este se obţine punând pe linii

coordonatele în baza B ale vectorilor D(1), D(X), …, D(Xn).

0 0 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 0 0 0 2 0 … 0 0 0 0 0 0 …(n-1) 0 0 0 0 0 … 0 n 0

Algebră liniară

121

Coordonatele unui polinom P = α0 + α1X + … + αnXn în baza

B ={1, X, X2, …, Xn} sunt chiar coeficienţii polinomului P: (α0, α1, …,

αn). Dacă (β0, β1, …, βn) = (α1, 2α2, …, nαn, 0) sunt coordonatele lui

P'= D(P) în baza B, atunci are loc următoarea egalitate matriceală

(β0, β1, …, βn) = (α0, α1, …, αn)

Observaţia 3.4.4. Fie K un corp comutativ şi u : Kn → Km o transformare

liniară. Fie Bn, respectiv Bm, baza canonică din Kn, respectiv din Km.

Coordonatele unui vector (α1, α2, …, αm) din Km în baza canonică sunt de

fapt componentele vectorului respectiv: (α1, α2, …, αm). Ţinând cont de

aceasta, liniile matricei A = ( )mj1ni1ij

≤≤≤≤α asociate transformării liniare u în

raport cu perechea de baze Bn, Bm sunt date de vectorii u(E1), u(E1),

u(E2), …, u(En) , unde E1, E2, …, En sunt vectorii bazei canonice Bn. Dacă

x = (x1, x2, .., xn) este un vector din Kn, atunci u(x) = (x1, x2, .., xn)A.

De exemplu, fie transformarea liniară u : R3 → R4, definită prin

u(x) =(x1 + x2 - 2x3, x2 + 8x3, -x1, 4x3), pentru x =(x1, x2, x3).

Considerăm baza canonică din R3 :

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)},

respectiv din R4

{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}.

Matricea lui u în raport cu perechea de baze canonice este

0 0 0 … 0 0 0 1 0 0 … 0 0 0 0 2 0 … 0 0 0 0 0 0 …(n-1) 0 0 0 0 0 … 0 n 0


122

A =

( la scrierea matricei s-a ţinut cont de faptul că u(x) =(x1, x2, x3)A, pentru

x =(x1, x2, x3))

Propoziţia 3.4.5. Rangul unei transformări liniare este egal cu rangul

matricei asociate transformării liniare în raport cu orice

pereche de baze.

Demonstraţie. Fie u : V → W o transformare liniară. Fie B1 ={e1, e2,

…, en} o bază în V, B2 ={f1, f2, …, fm} o bază în W, şi fie A =

( )mj1ni1ij

≤≤≤≤α matricea asociată lui u în raport cu perechea de baze B1, B2.

Un vector x = ∑=

n

1iiiex (xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n) din V aparţine lui Ker

u, dacă şi numai dacă u(x) = 0, ceea ce (ţinând seama de faptul că u(x)

=∑ ∑= =

α

m

1jj

n

1iiji fx ) este echivalent cu

∑=

αn

1iiijx = 0 pentru orice 1 ≤ j ≤ m.

Relaţiile de mai sus reprezintă un sistem liniar şi omogen de m ecuaţii cu

n necunoscute. Matricea acestui sistem este A. Dacă rangul matricei A

este r, atunci mulţimea vectorilor ale căror coordonate satisfac sistemul

liniar şi omogen de mai sus este un subspaţiu liniar de dimensiune n - r

(vezi Teorema 1.7.3). În consecinţă, dimK(Ker u) = n-r, şi deci rangul

transformării liniare u este dimK(Im u) = n - dimK(Ker u) = n - (n-r) = r

(vezi Teorema 3.3.7).

1 0 -1 0 1 1 0 0 -2 8 0 4

Algebră liniară

123

Observaţia 3.4.6. Fie u :V → V un endomorfism şi B ={e1, e2, …, en}

este o bază a lui V. Fie MB(u) matricea asociată transformării liniare u în

raport cu baza B. Endomorfismul u este nesingular dacă şi dacă numai

dacă matricea MB(u) este nesingulară (<=> rang(MB(u)) = n <=>

det(MB(u)) ≠ 0). Într-adevăr, conform Propoziţiei 3.3.6, endomorfismul u

este nesingular dacă şi numai dacă Ker u ={0}, ceea ce este echivalent cu

dim(Im u) = n (adică rangul lui u este n). Cum rangul lui u este egal cu

rangul lui MB(u), rezultă că u este endomorfism nesingular dacă şi numai

dacă MB(u) este nesingulară.

Proprietăţile unei transformări liniare sunt reflectate în proprietăţile

matricelor care o reprezintă în diverse baze. Fie V1, V2, V3 trei spaţii

vectoriale peste un corp comutativ K. Fixăm B1 ={e1, e2, …, en} o bază a

lui V1, B2 ={f1, f2, …, fm} o bază a lui V2 şi B3 ={g1, g2, …, gp} o bază a

lui V3. Considerăm trei transformări liniare u1, u2 : V1 → V2, u3 : V2 →V3.

Fie ( )1BB uM21 , (respectiv ( )2BB uM

21 , ) matricea lui u1 (respectiv u2) în

raport cu perechea de baze B1, B2, şi fie ( )3BB uM32 , matricea lui u3 în

raport cu perechea de baze B2, B3. Următoarele afirmaţii sunt uşor de

verificat

1. Transformării liniare u1 + u2 îi corespunde matricea

( )21BB uuM21

+, = ( )1BB uM21 , + ( )2BB uM

21 ,

2. Transformării liniare αu1 (α ∈K) îi corespunde matricea

( )1BB uM21

α, = α ( )1BB uM21 ,

3. Transformării liniare u3u1 îi corespunde matricea

( )13BB uuM31 , = ( )1BB uM

21 , ( )3BB uM32 ,


124

4. Dacă transformarea liniară u1 este inversabilă, atunci

transformării liniare u1-1 îi corespunde matricea

( )11BB uM

12

−, = ( )1BB uM

21 ,-1.

Să verificăm ultimele două afirmaţii. Dacă ( )1BB uM21 , = ( )

mj1ni1ij

≤≤≤≤α şi

( )3BB uM32 , = ( )

pj1mi1ij

≤≤≤≤β , atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem

u3u1(ei) = u3(u1(ei)) =

α∑

=

m

1jjij3 fu = ( )∑

=

αm

1jj3ij fu

=∑ ∑= =

βα

m

1jk

p

1kjkij g = k

p

1k

m

1jjkij g∑ ∑

= =

βα . (1)

Dacă ( )13BB uuM31 , = ( )

pj1ni1ij

≤≤≤≤γ matricea lui u3u1 în raport cu perechea de

baze B1, B3, atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem

u3u1(ei) = k

p

1kikg∑

=

γ (2)

Din (1) şi (2) (în baza unicităţii reprezentării unui vector într-o bază)

rezultă că γik = ∑=

βαm

1jjkij pentru orice 1 ≤ i ≤ n şi 1 ≤ k ≤ p, ceea ce este

echivalent cu

( )13BB uuM31 , = ( )1BB uM

21 , ( )3BB uM32 , .

Presupunem că transformarea liniară u1 este inversabilă (deci m = n), şi că

( )11BB uM

12

−, este matricea lui u-1 în raport cu perechea de baze B2, B3.

Din cele demonstrate mai sus, în baza faptului că transformării liniare

identice îi corespunde matricea identică, rezultă că

In = ( )11 VB IM = ( )1

11B uuM

1

− = ( )1BB uM21 , ( )1

1BB uM12

−,

In = ( )22 VB IM = ( )1

11B uuM2

− = ( )11BB uM

12

−,

( )1BB uM21 ,

Algebră liniară

125

Deci ( )11BB uM

12

−, = ( )1BB uM

21 ,-1.

Proprietăţile puse în evidenţă mai înainte arată că :

1. aplicaţia ϕ : L(V1, V2) → Mn,m(K) definită prin

ϕ(u) = ( )uM21 BB , pentru orice u ∈ L(V1, V2)

este un izomorfism de spaţii vectoriale peste corpul K.

2. aplicaţia ϕ : L(V1, V1) → Mn,n(K) definită prin

ϕ(u) = ( )( )tB uM

1 pentru orice u ∈ L(V1, V1)

este un izomorfism de inele.

Teorema 3.4.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste


liniară. Fie B1, B2 două baze în V şi fie L matricea de

trecere de la baza B1 la baza B2. Similar, fie B3, B4 două

baze în W şi fie M matricea de trecere de la baza B3 la

baza B4. Atunci

( )uM42 BB , =L ( )uM

31 BB , M-1

Demonstraţie. Folosim următoarele notaţii

B1 ={e1, e2, …, en}, B2 ={f1, f2, …, fn} (baze în V),

B3 ={g1, g2, …, gm}, B4 ={h1, h2, …, hm} (baze în W),

( )uM31 BB , = ( )

mj1ni1ij

≤≤≤≤α , ( )uM

42 BB , = ( )mj1ni1ij

≤≤≤≤β (matricele lui u în raport

cu perechea de baze B1, B3, respectiv B2, B4)

L = ( )nj1ni1ij

≤≤≤≤λ (matricea de trecere de la baza B1 la baza B2)

M = ( )mj1mi1ij

≤≤≤≤µ (matricea de trecere de la baza B3 la baza B4)

Pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem


126

u(fi) = u( ∑=

λn

1jjije ) = ( )∑

=

λn

1jjij eu

= ∑ ∑= =

αλ

n

1jk

m

1kjkij g = ∑ ∑

= =

αλ

m

1kk

n

1jjkij g (1)

Pe de altă parte, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem

u(fi) = j

n

1jijh∑

=

β =

µβ ∑∑

==

m

1kkjk

n

1jij g = ∑ ∑

= =

µβ

m

1kkjk

n

1jij g (2)

Datorită unicităţii reprezentării unui vector într-o bază, din relaţiile (1) şi

(2) rezultă că

∑=

αλn

1jjkij = jk

n

1jijµβ∑

=

pentru orice 1 ≤i ≤ n şi 1 ≤ k ≤m,

ceea ce revine la

L ( )uM31 BB , = ( )uM

42 BB , M.

Înmulţind la stânga cu M-1, obţinem

( )uM42 BB , =L ( )uM

31 BB , M-1.

Corolarul 3.4.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp

comutativ K, şi u : V → V un endomorfism. Fie B1, B2

două baze în V şi fie C matricea de trecere de la baza B1

la baza B2. Atunci

( )uM2B =C ( )uM

1B C-1

Demonstraţie. În Teorema 3.4.7 considerăm B3 = B1 şi B4 = B1.

Exemplul 3.4.9. Fie R3[X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel

mult 3, cu coeficienţi reali (vezi şi exemplul 3.4.3). Considerăm

transformarea liniară D1: R3[X] → R3[X], definită prin D1(P) = XP'.

Determinăm matricea asociată lui D1 în raport cu baza

Algebră liniară

127

B = { 1, 1+X, (1 + X)2, (1 + X)3}

Dacă

P = α0 + α1X +α2X2 +α3X

3

atunci

D1(P) = α1X +2α2X2 +3α3X

3.

Matricea lui D1 în raport cu baza

B0 ={1, X, X2, X3}

este

( )1B DM0

=

Matricea de trecere de la baza B0 la baza B este

C =

Cum ( )1B DM =C ( )1B DM0

C-1 rezultă că

( )1B DM =

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3

1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 3 3 1

0 0 0 0 -1 1 0 0 0 -2 2 0 0 0 -3 3


128

3.5. Endomorfisme particulare

Definiţia 3.5.1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K.

Endomorfismul u : V → V se numeşte

1. automorfism dacă este bijectiv;

2. proiecţie (sau endomorfism idempotent) dacă u2 = u;

3. involuţie dacă u2 = I (I este transformarea liniară

identică pe V);

4. antiinvoluţie dacă u2 = - I;

5. endomorfism nilpotent de indice p∈N (p≥2) dacă up =

O şi up-1 ≠ O (O este transformarea liniară nulă pe V).

Propoziţia 3.5.2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Fie

V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale lui V cu

proprietatea că V = V1 ⊕ V2. Aplicaţiile P1, P2 : V → V,

definite prin

P1(x) = x1

P2(x) = x2,

(unde x = x1 + x2 este unica reprezentare a lui x cu

proprietatea că x1 ∈ V1 şi x2 ∈V2) sunt proiecţii.

Demonstraţie. Fie x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2) şi y = y1 + y2

din V1 ⊕ V2 (y1 ∈ V1, y2 ∈V2) şi fie α, β ∈ K. Atunci

P1(αx + β y) = P1(αx1 + βy1 + αx2 + βy2) = αx1 + βy1 = αP1(x) + βP1(y).

Deci P1 este aplicaţie liniară. Analog, P2 este aplicaţie liniară. Pentru

orice x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2), avem

P1(P1(x)) = P1(x1) = x1 = P1(x).

Algebră liniară

129

Analog P2 este endomorfism idempotent.

Definiţia 3.5.3. Fie V1, V2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V

peste corpul comutativ K astfel încât V = V1 ⊕ V2.

Aplicaţiile P1, P2 : V → V, definite prin

P1(x) = x1

P2(x) = x2,

unde x = x1 + x2 este unica reprezentare a lui x cu

proprietatea că x1 ∈ V1 şi x2 ∈V2, se numesc proiecţii

canonice : P1 se numeşte proiecţia lui V pe V1 (de-a

lungul lui V2), iar P2 se numeşte proiecţia lui V pe V2 (de-

a lungul lui V1) .

Propoziţia 3.5.4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K.

Dacă P : V → V este o proiecţie, atunci există subspaţiile

vectoriale V1 şi V2 astfel încât V = V1 ⊕ V2 şi P să fie

proiecţia lui V pe V1 (de-a lungul lui V2).

Demonstraţie. Considerăm subspaţiile vectoriale:

V1 = Im P ={P(x) : x ∈ V} ,V2 = Ker P ={x∈V: P(x) = 0}

Arătăm mai întâi că V1 = {x∈V : P(x) = x}. Dacă y∈V1, atunci

există x ∈ V astfel încât y = P(x), şi ca urmare P(y) = P(P(x)) = P2(x) =

P(x) =y. Deci y ∈{x∈V : P(x) = x}.

Reciproc, orice y∈{x∈V : P(x) = x}, are proprietatea că y =P(y) ∈ Im P.

Arătăm că V = V1 ⊕ V2. Dacă x ∈ V1 ∩ V2, atunci x = P(x) = 0. În

consecinţă V1 ∩ V2 = {0}. Pentru orice x ∈ V, avem x = P(x) + (I - P)(x)

(I este transformarea liniară identică pe V).


130

Notăm x1 =P(x) şi x2 =(I - P)(x). Evident x1 ∈ Im p =V1. Dacă arătăm că

x2 ∈ V2 demonstraţia este încheiată. Din P(x2) = P((I - P)(x)) =P(x -P(x))

= P(x) -P(P(x)) = P(x) -P2(x) = P(x) -P2(x) = P(x) -P(x) = 0, rezultă că x2

∈ Ker P = V2.

Observaţia 3.5.5. Din demonstraţia propoziţiei precedente rezultă

următoarele afirmaţii:

1. Dacă V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi P : V → V este

o proiecţie, atunci

V = Im P ⊕ Ker P

2. Fie V1 şi V2 două subspaţii ale spaţiului vectorial V peste corpul

comutativ K, astfel încât V = V1 ⊕ V2.

2.1. Dacă P este proiecţia lui V pe V1, atunci

V1 = Im P ={P(x) : x ∈ V} ={x∈V : P(x) = x}

V2 = Ker P ={x∈V: P(x) = 0}

2.2. Dacă P este proiecţia lui V pe V1, atunci I - P1 este proiecţia

lui V pe V2 şi reciproc.

2.3. Dacă P1 şi P2 sunt proiecţiile V pe V1, respectiv V2, atunci

P1 + P2 = I

P1P2 = P2P1 = O.

Definiţia 3.5.6. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ

K şi u : V → V un endomorfism. Un subspaţiu invariant

faţă de endomorfismul u este un subspaţiu vectorial V1 al

lui V, astfel ca u(V1) ⊂ V1 (adică, u(x) ∈ V1 pentru orice x

din V1).

Algebră liniară

131

Fie V1 ⊂ V un subspaţiu invariant la endomorfismul u : V→V.

Aplicaţia 1Vu | : V1 → V1, definită prin ( )xu

1V| = u(x) pentru orice x∈V1,

este un endomorfism numit endomorfism indus de u pe V1 (sau restricţia

lui u la V1).

Observaţie 3.5.7. Un subspaţiu vectorial V1 al lui V este invariant faţă de

endomorfismul u : V → V dacă şi numai dacă imaginile prin u ale

vectorilor unei baze din V1 aparţin tot lui V1. Într-adevăr, să presupunem

că {e1, e2, … ,em} este o bază în V1 şi că u(ei) ∈V1 pentru orice 1 ≤ i ≤m.

Deoarece orice x ∈ V1 se reprezintă sub forma

x = α1e1 + α2e2 + …+αmem, α1, α2, …, αm∈K,

rezultă că u(x) =α1u(e1) + α2u(e2) + …+αmu(em) ∈V1. Implicaţia inversă

este evidentă.

Exemple 3.5.8. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ

K şi u : V → V un endomorfism. Se verifică uşor că

1. V şi {0} sunt subspaţii invariante faţă de u.

2. Ker um ={x∈V: um(x) = 0} este subspaţiu invariant faţă de u,

pentru orice m∈N*.

3. Im um ={ um(x) : x∈V} este subspaţiu invariant faţă de u,

pentru orice m∈N*.

4. Dacă V1 şi V2 sunt două subspaţii vectoriale ale V

invariante faţă de u, atunci V1∩ V2 şi V1 + V2 sunt subspaţii invariante

faţă de u.

Propoziţia 3.5.9. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul

comutativ K şi u : V → V un endomorfism. Un subspaţiu


132

vectorial V1 ⊂ V este invariant la u dacă şi numai dacă

PuP = uP, unde P este proiecţia lui V pe V1.

Demonstraţie. Fie V = V1⊕V2 şi x ∈V. Atunci x se scrie în mod unic sub

forma x = x1 + x2 cu x1 ∈ V1 şi x2∈V2. Presupunem că V1 este invariant la

u. Cum uP(x) = u(x1) ∈V1, rezultă că P(uP(x)) = u(x1). Deci

PuP(x) = uP(x).

Reciproc, presupunem că PuP = uP. Dacă x∈V1, atunci x1 = x şi x2 =0

(sau echivalent , P(x) =x) şi deci, u(x) = u(x1) = uP(x) = PuP(x) =

P(u(P(x)) = P(u(x)). Ca urmare, u(x) ∈ Im P = V1.

Teorema 3.5.10. Fie V1 şi V2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V

peste corpul comutativ K, astfel încât V = V1 ⊕ V2.

Subspaţiile V1 şi V2 sunt invariante faţă de un

endomorfism u: V → V dacă şi numai dacă Pu = uP,

unde P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2.

Demonstraţie. Dacă P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2,

atunci I-P este proiecţia lui V pe V2 de-a lungul lui V1. Presupunem că V1

şi V2 sunt invariante la u. Din propoziţia precedentă rezultă că

PuP= uP şi (I-P)u(I-P) = u(I-P).

Relaţia (I-P)u(I-P)=u(I-P) este echivalentă cu Pu =PuP. Deci

uP =PuP =Pu.

Reciproc, să presupunem că Pu = uP. Aplicând P la dreapta, obţinem

PuP = uP2 = uP şi, conform propoziţie precedente, rezultă că V1 =Im P

este invariant la u. Pe de altă parte, Pu = uP implică (I-P)u = u(I-P).

Aplicând proiecţia I-P la dreapta, obţinem (I-P)u(I-P) = u(I-P)2 = u(I-P),

şi ţinând cont din nou de propoziţia precedentă, rezultă că V2 =Im(I-P)

este invariant la u.

Algebră liniară

133

Propoziţia 3.5.11. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K.

Relaţiile

u = 2P - I, P =2

1(u + I),

(unde I este transformarea liniară identică pe V)

stabilesc o corespondenţă biunivocă între proiecţii şi

involuţii pe V.

Demonstraţie. Dacă P : V → V o proiecţie, atunci 2P - I este

transformare liniară. Să verificăm faptul că este involuţie:

(2P - I )2 = 4P2 - 4P + I = 4P - 4P + I =I.

Reciproc, dacă u : V → V este o involuţie, atunci 2

1(u + I) este o

transformare liniară, şi în plus, (2

1(u + I))2 =

4

1(u2 +2u +I) =

4

1(I+2u +I)

=2

1 (I +u). Deci

2

1(u + I) este proiecţie.

Propoziţia 3.5.12. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste

corpul comutativ K. V admite o antiinvoluţie dacă şi

numai dacă dimensiunea lui V peste K este pară.

Demonstraţie. Presupunem că dimensiunea lui V peste K este pară şi

construim o antiinvoluţie pe V. Fie {e1, e2, …,e2n} o bază a lui V. Este

suficient să definim antiinvoluţia pe vectorii bazei. Fie u : V → V,

definită prin

u(ei) = ei+n şi u(ei+n) = -ei pentru orice 1 ≤ i ≤ n.

Se observă că u2(ei) = - ei pentru orice 1 ≤ i ≤ 2n, şi deci u2 = - I.


134

Reciproc, fie u : V → V o antiinvoluţie. Dacă x1 este un vector nenul din

V, atunci {x1, u(x1)} este liniar independentă. Într-adevăr, fie scalarii α1,

α2∈K astfel încât

α1x1 + α2u(x1) = 0 (1)

Aplicând, u în relaţia 1 şi ţinând seama că u2(x1) = -x1, obţinem

α1u(x1) - α2x1 = 0 (2)

Adunând relaţia 1 înmulţită cu α1 cu relaţia 2 înmulţită cu (-α2) , obţinem

(α12 +α2

2)x1 = 0, de unde α12 +α2

2 = 0, sau echivalent α1 = α2 = 0.

Mai general, arătăm că dacă x1, x2, …, xm sunt vectori din V astfel încât

{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)}

să fie liniar independentă, atunci

{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1) , u(xm)}

este liniar independentă. Fie α1, α2, …, α2m∈K astfel încât

α1x1 +α2x2 + … +αmxm + αm+1u(x1) + αm+2u(x2) + … +

+ α2m-1u(xm-1) + α2mu(xm) = 0 (3).

Aplicând, u în relaţia 3 şi ţinând seama că u2(x) = -x pentru orice x∈V,

obţinem

α1u(x1) + α2u(x2) +… + αmu(xm) - αm+1x1 - αm+2x2 - … -

- α2m-1xm-1 - α2mxm = 0 (4).

Prin adunarea relaţiei 3 înmulţită cu αm cu relaţia 4 înmulţită cu (-α2m) ,

obţinem

(α1αm + αm+1α2m) x1 +(α2αm + αm+2α2m)x2 + … +(αm2

+α2m2)xm +

+ (αm+1αm -α1α2m)u(x1) + … + (α2m-1αm -αm-1α2m)u(xm-1) = 0.

Cum {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} este liniar independentă,

(α1αm + αm+1α2m) =…= (αm2

+α2m2) = … =(α2m-1αm -αm-1α2m) = 0,

Algebră liniară

135

de unde rezultă, în particular, că α2m = 0. Înlocuind în relaţia 3 α2m = 0, şi

ţinând din nou cont că {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} este liniar

independentă, obţinem α1 = α2 = … = α2m = 0.

Construim o bază a lui V după cum urmează. Alegem x1 o vector nenul

din V. Am arătat că {x1, u(x1)} este liniar independentă. Dacă

dimensiunea lui V nu este 2, există x2∈V, astfel încât {x1, x2, u(x1)} să fie

liniar independentă. Din cele demonstrate mai sus rezultă că {x1, x2, u(x1),

u(x2)} este liniar independentă. Continuând acest procedeu obţinem o

bază a lui V cu un număr par de vectori.

Observaţia 3.5.13. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste

corpul comutativ K şi u: V →V o antiinvoluţie. Atunci există o bază B a

lui V astfel încât MB(u) (matricea lui u în raport cu baza B) să fie

Într-adevăr, din demonstraţia propoziţiei precedente, rezultă că putem

construi o bază a lui V de forma B = {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)

, u(xm)}. Evident, matricea lui u în raport cu această bază are forma de

mai sus.

Propoziţia 3.5.14. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi

u: V→V un endomorfism nilpotent de indice p (up = O şi

up-1 ≠ O). Mulţimea

{x, u(x), …, up-1(x)}

este liniar independentă oricare ar fi vectorul nenul x∈V

cu up-1(x) ≠0.

O Im -Im O


136

Demonstraţie. Fie x∈V cu x ≠ 0 şi up-1(x) ≠0. Presupunem prin absurd că

{x, u(x), …, up-1(x)} nu este liniar independentă. Fie scalarii α0, α1, …,αp-

1 ∈ K, nu toţi nuli, astfel încât

α0x + α1u(x) + αp-1 up-1(x) = 0. (1)

Fie k cel mai mic indice cu proprietatea că αk ≠ 0. Din relaţia 1 rezultă că

uk(x) = - αk-1(α0x + α1u(x) + αk-1 u

k-1(x) + αk+1 uk+1(x) + … + αp-1 u

p-1(x))

= - αk-1( αk+1 u

k+1(x) + … + αp-1 up-1(x))

= - αk-1 αk+1 u

k+1(x) - αk-1 αk+2 u

k+2(x)- … - αk-1 αp-1 u

p-1(x))

= uk+1( - αk-1 αk+1 x- αk

-1 αk+2 uk(x) … - αk

-1 αp-1 up - k-2(x))

Dacă notăm y = - αk-1 αk+1 x- αk

-1 αk+2 uk(x) … - αk

-1 αp-1 up - k-2(x), rezultă

că uk(x) = uk+1(y). Avem up-1(x) = up-k-1(uk(x)) = up-k-1(uk+1(y)) = up(y) = 0,

deoarece u este nilpotent de indice p. Dar up-1(x) = 0 contrazice ipoteza.

Ca urmare {x, u(x), …, up-1(x)} este liniar independentă.

Observaţia 3.5.15. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi

u: V→V un endomorfism nilpotent de indice p (up = O şi up-1 ≠ O).

Notăm cu L spaţiul vectorial generat de {x, u(x), …, up-1(x)}. Evident L

este un spaţiu invariant la u. Matricea endomorfismului u|L indus de u pe

L în baza B = {x, u(x), …, up-1(x)}, este

MB(u|L) =

Teorema 3.5.16. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul

comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V→ V există

două subspaţii vectoriale V1 şi V2 ale lui V invariante la u

astfel încât:

0 1 0 0 …0 0 0 0 1 0 …0 0 0 0 0 0 …0 1 0 0 0 0 …0 0

Algebră liniară

137

1. V = V1 ⊕ V2

2. endomorfismul 1Vu | indus de u pe V1 este

endomorfism nilpotent, dacă V1 ≠ {0}.

3. endomorfismul 2Vu | indus de u pe V2 este

endomorfism nesingular, dacă V2 ≠ {0}.

Demonstraţie. Notăm

Nm = Ker um ={x∈V: um(x) = 0} , Rm = Im um ={ um(x) : x∈V}

pentru orice m∈N*. Subspaţiile Nm şi Rm sunt invariante faţă de u, şi în

plus, se arată uşor că N1 ⊂ N2 ⊂ …⊂ Nm ⊂…, R1 ⊃ R2 ⊃… ⊃ Rm ⊃…

Deoarece V este finit dimensional nu toate incluziunile Ni ⊂ Ni+1

pot fi stricte. Deci există i astfel încât Ni = Ni+1. Dacă Ni = Ni+1, atunci

putem demonstra prin inducţie după j ≥ 1, că Ni = Ni+j pentru orice j ∈ N.

Presupunem afirmaţia adevărată pentru j-1 şi o demonstrăm pentru j.

Dacă x ∈ Ni+j, atunci ui+j(x) = 0. Din ui+j(x) = 0, rezultă că ui+j(x) =

ui+1(uj-1(x)) =0, sau echivalent uj-1(x)∈Ni+1. Dar Ni+1 = Ni, de unde rezultă

că uj-1(x)∈Ni, adică ui(uj-1(x)) = 0. Am arătat că ui+j-1(x) = 0, adică x∈Ni+j-1

= Ni (din ipoteza de inducţie).

Deoarece R1 este finit dimensional nu toate incluziunile Ri ⊃ Ri+1

pot fi stricte. Deci există k astfel încât Rk = Rk+1. Dacă Rk = Rk+1, atunci

putem demonstra prin inducţie după j ≥ 1, că Rk = Rk+j pentru orice j ∈ N.

Presupunem afirmaţia adevărată pentru j-1 şi o demonstrăm pentru j.

Dacă y ∈ Rk, atunci conform ipotezei de inducţie y ∈Rk+j-1, sau echivalent

există x ∈ V astfel încât y = uk+j-1(x). Din uk(x) ∈Rk = Rk+1, rezultă că

există z ∈ V astfel încât uk(x) = uk+1(z). În consecinţă,

y = uk+j-1(x) = uj-1(uk(x)) = uj-1(uk+1(z)) = uj+k(z)∈Rk+j.


138

Fie i0 cel mai mic indice cu proprietatea că 0i

N = 1i0N + , k0 cel mai mic

indice cu proprietatea că 0kR = 1k0

R + şi fie p = max{i0, k0}. Din cele de

mai sus, rezultă că Np = Np+1 şi Rp = Rp+1. Arătăm că V = Np ⊕ Rp. Din

Teorema 3.3.7, rezultă că

dimKV = dimK(Ker up) + dimK(Im up) = dimK(Np) + dimK(Rp).

Deci pentru a demonstra că V = Np ⊕ Rp, este suficient să arătăm că

Np ∩ RP ={0}.

Fie x∈ Np ∩ RP. Pe de o parte, up(x) = 0. Pe de altă parte există z ∈ V

astfel încât x = up(z). Cum u2p(z) =up(up(z)) = up(x) = 0, rezultă că z∈N2p

= NP. Dar z∈NP implică up(z) = 0, şi deci x = 0.

Luăm V1 = Np şi V2 = Rp. Deoarece up(V1)= up(Np) = {0}, rezultă

endomorfismul 1Vu | indus de u pe V1 este endomorfism nilpotent.

Rămâne să arătăm că endomorfismul 2Vu | indus de u pe V2 este

endomorfism nesingular. Cum V2 este finit dimensional, este suficient să

arătăm că 2Vu | este injectiv. Fie x∈Ker 2Vu | . Din x ∈V2 =Im up, rezultă

că există z ∈ V astfel încât x = up(z). Deoarece 0 =u(x) = up+1(z), z ∈ Np+1

= Np. Deci up(z) = 0, şi ca urmare x = 0.

Lema 3.5.17. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul

comutativ K, şi u: V→V un endomorfism nilpotent de

indice p(up = O şi up-1 ≠ O). Fie Ni = Ker ui pentru orice i

∈N. Atunci

1. {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ … ⊂ Np-1 ⊂ Np = V, incluziunile fiind

stricte;

2. u(Ni) ⊂ Ni-1 pentru orice 1 ≤ i ≤ p;

Algebră liniară

139

3. dacă i≥ 1 şi L este un subspaţiu vectorial al lui V cu

proprietatea că L ∩ Ni = {0}, atunci Ker u ∩ L ={0} şi

u(L) ∩ Ni-1 ={0};

4. există subspaţiile vectoriale F1, F2, …, Fp ⊂ V astfel

încât N1 = F1, Ni = Ni-1 ⊕ Fi şi u(Fi) ⊂ Fi-1 pentru orice

2≤ i≤ p.

Demonstraţie. 1. Şirul de incluziuni de la 1 este evident. Să verificăm

faptul că sunt stricte. Fie x ∈ V astfel încât up-1(x) ≠ 0. Presupunem prin

absurd că există i ≥ 2 astfel încât Ni-1 = Ni. Din 0 = up(x) = ui(up-i(x)),

rezultă că up-i(x) ∈Ker ui = Ker ui-1, şi deci că ui-1(up-i(x)) = 0. Obţinem

de unde up-1(x) = 0, ceea ce contrazice alegerea lui x.

2. Dacă y ∈ u(Ni), atunci există x ∈Ni astfel încât y = u(x). Astfel

avem ui-1(y) = ui-1(u(x)) = ui(x) = 0, deci y ∈Ni-1.

3. Dacă x∈ Ker u ∩ L, atunci u(x) = 0 (şi în consecinţă ui(x) =0) şi

x ∈L. Deci x ∈ L ∩ Ni = {0}. Dacă y ∈ u(L) ∩ Ni-1, atunci ui-1(y) =0 şi

există x ∈L astfel încât u(x) = y. Din ui(x) =ui-1(y) = 0, rezultă că x ∈Ni.

Deci x ∈ L ∩ Ni = {0}, şi ca urmare y = u(x) =0.

4. Fie i ≥ 2. Deoarece Ni = Ni-1⊕Fi, Fi ∩ Ni-1 = {0}, şi din punctul 3

rezultă că u(Fi) ∩ Ni-2 = {0}. Pe de altă parte,

u(Fi) ⊂ u(Ni) ⊂ Ni-1 = Ni-2⊕Fi-1.

Cum u(Fi) ∩ Ni-2 = {0} şi u(Fi) ⊂ Ni-2⊕Fi-1, rezultă că u(Fi) ⊂ Fi-1.

Teorema 3.5.18. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul

comutativ K, şi u: V→V un endomorfism nilpotent. Atunci

există o bază B lui V astfel încât matricea lui u în raport

cu baza B să aibă forma


140

MB(u) =

unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ n-1.

Demonstraţie. Fie p indicele endomorfismului u (up = O şi up-1 ≠ O).

Notăm Ni = Ker ui pentru orice i ∈N. Fie F1, F2, …, Fp ⊂ V astfel încât N1

= F1, Ni = Ni-1 ⊕ Fi pentru orice 2≤ i≤ p. Din lema precedentă, rezultă că

u(Fi) ⊂ Fi-1 pentru orice 2≤ i≤ p. Mai mult,

V = Np = Np-1 ⊕ Fp = Np-2 ⊕ Fp-1 ⊕Fp = …=F1⊕F2⊕…⊕Fp.

Deoarece Fi ∩ Ni-1 = {0}, conform lemei precedente (punctul 3), rezultă

că Fi ∩ Ker u ={0}. Fie B1 = {e11, e12, …, 1n1e } o bază în Fp. Notăm e2i =

u(e1i)∈Fp-1 pentru orice 1 ≤ i ≤ n1. Mulţimea {u(e11), u(e12), …, u(1n1e )}

este liniar independentă. Într-adevăr dacă α1, α2, …, 1nα ∈ K astfel încât

α1 u(e11)+ α2 u(e12) + … + 1nα u(

1n1e )=0, atunci u(α1 e11+ α2 e12 + … +

1nα1n1e ) =0, ceea ce implică

α1 e11+ α2 e12 + … + 1nα

1n1e ∈Ker u ∩ Fp-1 = {0}

Deoarece {e11, e12, …, 1n1e } este liniar independentă, fiind bază, rezultă

că α1 = α2 = … = 1nα = 0. Completăm {u(e11), u(e12), …, u(

1n1e )} până la

o bază B2 = {e21, e22, …, 1n2e , 1n2 1

e +, , …,2n2e } în Fp-1. Continuăm

procedeul şi obţinem în fiecare subspaţiu Fi ( i = p-1, p-2, …,1) o bază

Bp-i+1 ={ep-i+1,1, ep-i+1,2, …, ipn1ipe

−+− , , 1n1ip ipe ++− −, , …,

1ipn1ipe+−+− , }

0 ξ1 0 0 …0 0 0 0 ξ2 0 …0 0 0 0 0 0 …0 ξn-1 0 0 0 0 …0 0

Algebră liniară

141

cu proprietatea că ep-i+1,j = u(ep-i,j) pentru orice 1 ≤ j ≤ np-i. Deoarece V =

F1⊕F2⊕…⊕Fp, rezultă că B1 ∪ B2 ∪ ..∪ Bp este o bază în V. Ordonăm

baza B sub forma (e11, e21, …, ep1, e12, e22, …, ep2, …, 1n1e , ,

1n2e , , …,

1npe , , 1n2 1e +, , 1n3 1

e +, , …, 1np 1e +, , …,

2n2e , , 2n3e , , …,

2npe , , …, pnpe , ).

Este uşor de observat că eji = uj-k(eki)pentru orice 1 ≤ k ≤ p-1, k+1 ≤

j≤ p, np-k-1 < i ≤ np-k, cu convenţia ca n0 = 0.

De aici rezultă că u(epi) = up-k+1(eki) = 0 (pentru că eki ∈ Fp-k+1 ⊂ Np-

k+1), pentru orice np-k-1 < i ≤ np-k. Ţinând cont de faptul că

u(e11) = e21

u(e21) = e31

u(ep-1,1) = ep1

u(ep1) = 0

u(1n1e ) =

1n2e

u(e12) = e22

u(e22) = e32

u(1pn1pe

−− , ) =1pnpe

−,

u(ep1) = 0

u(ppne ) = 0.

rezultă că matricea lui u în raport cu baza ordonată astfel este

0 1 0 0 …0 00 0 1 0 …0 0

0 0 0 0 …0 10 0 0 0 …0 0

0 1 0 0 …0 00 0 1 0 …0 0

0 0 0 0 …0 10 0 0 0 …0 0


142

Exemplul 3.5.19. Fie A matricea corespunzătoare endomorfismul u în

baza canonică din R5 (Bc ={[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0],

[0,0,0,1,0], [0,0,0,0,1]}):

A=

Avem

A2 = A3 =

Deci u este un endomorfism nilpotent de indice 3. Vom determina o bază

în care matricea lui să aibă forma indicată în Teorema 3.5.18.

Determinăm subspaţiile Ni = Ker ui , 0 ≤ i ≤ 3:

{0} = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 = R5.

Un vector [x1, x2, x3, x4, x5]∈Ker ui dacă şi numai dacă (x1, x2, x3, x4, x5)

este soluţie a sistemului

[x1, x2, x3, x4, x5]Ai =[0,0,0,0,0].

1 2 0 2 -1 1 -1 0 2 -1 4 -10 6 -4 -4 2 -5 3 -2 -2 4 -7 6 -4 -4

3 -3 0 6 -3 0 0 0 0 0 -6 6 0 -12 6 -3 3 0 -6 3 -3 3 0 -6 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Algebră liniară

143

Determinarea subspaţiului N1 :

[x1, x2, x3, x4, x5]∈N1 <=> (x1, x2, x3, x4, x5) este soluţie a sistemului

Rangul matricei sistemului este 3. Considerând necunoscute secundare x3

= α, x5 = β, obţinem soluţia generală a sistemului

x1 = -β, x2 = β, x3= α, x4 = -2α -2β, x5 =β.

În consecinţă,

N1 ={[ -β, β, α, -2α -2β, β]: α, β∈R}.

O bază în N1 este

{[ 0,0, 1, -2, 0], [ -1, 1, 0, -2, 1]}

Determinarea subspaţiului N2:

[x1, x2, x3, x4, x5]∈N2 <=> (x1, x2, x3, x4, x5) este soluţie a sistemului

Rangul matricei sistemului este 1. Considerând necunoscute secundare x2

= α, x3 = β, x4 =λ x5 = µ obţinem soluţia generală a sistemului

x1 = 2β +λ+µ, x2 = α, x2 = β, x4 =λ x5 = µ

În consecinţă,

N2 ={[ 2β +λ+µ, α, β, λ µ]: α, β, λ, µ ∈ R}.

O bază în N2 este

{[ 0, 1, 0, 0, 0], [ 2, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0]}

Considerăm subspaţiile F1, F2, F3 cu proprietăţile

x1 + x2 + 4x3 + 2x4 + 4x5 = 0 2 x1 - x2 -10 x3 -5x4 - 7x5 = 0 6x3 + 3x4 + 6 x5 = 0 2 x1 +2 x2 -4 x3 - 2x4 - 4 x5 = 0 - x1 - x2 - 4 x3 - 2 x4 -4 x5 = 0

3x1 - 6x3 - 3x4 - 3x5 = 0 -3x1+ 6x3 + 3x4 + 3x5 = 0 0x1 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0 6x1 - 12x3 - 6x4 - 6x5 = 0 -3x1 + 6x3 + 3x4 +3x5 = 0


144

R5 = N3 = N2 ⊕ F3, N2 = N1 ⊕ F2, N1 =F1.

Deoarece dimRN3 = 5 = dimRN2 + dimRF3 şi dimRN2 =4 rezultă că

dimRF3 = 1. Pentru a determina o bază în F3 este suficient să considerăm

un vector care nu aparţine lui N2. Astfel dacă e11 =[1, 0, 0, 0, 0], atunci

B1 = {e11} este o bază în F3. Fie

e21 = u(e11) =[1, 0, 0, 0, 0]A =[1, 2, 0, 2, -1].

Din demonstraţia teoremei precedente rezultă că e21 ∈ F2. Deoarece

dimRN2 = 4 = dimRN1 + dimRF2 şi dimRN1 =2 rezultă că dimRF2 = 2.

Completăm {e21} până la o bază în F2. Pentru aceasta alegem un vector

e22 din N2 astfel încât

{[ 0,0, 1, -2, 0], [ -1, 1, 0, -2, 1], [1, 2, 0, 2, -1], e22}

bază în N1 e21 = u(e11)

să fie liniar independentă. Dacă alegem e22 = [1, 0, 0, 0, 1] ∈N2 condiţia

de liniar independenţă este îndeplinită şi B2 = {e21, e22} este bază în F2.

Determinăm o bază pentru F1 = N1 procedând la fel. Fie

e31 = u(e21) = [1, 2, 0, 2, -1]A = [3, -3, 0, 6,-3]

e32 = u(e22) = [1, 0, 0, 0, 1] A = [5, -5, 6, -2-, 5]

Mulţimea {e31, e32} este liniar independentă şi inclusă în F1. Cum dimRF1

= dimRN1 = 2, rezultă că B3 = {e31, e32} este de fapt bază în F1.

Considerăm baza lui R5 , obţinută prin ordonarea vectorilor din B1∪B2

∪B3 ca în demonstraţia teoremei precedente:

B = (e11, e21, e31, e22, e32)

Deoarece

u(e11) = e21, u(e21) = e31, u(e31) = 0, u(e22) = e32, u(e32) = 0

Matricea lui u în raport cu baza B este

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Algebră liniară

145

MB(u) =

Matricea de trecere de la baza canonică Bc la baza B este

C =

Se verifică faptul că CAC-1 = MB(u).

3.6. Spaţii normate. Spaţii metrice. Norma unei transformări

liniare

Fie X o mulţime. Se numeşte distanţă pe X o funcţie d: X × X → R

cu următoarele proprietăţi:

1. d(x, y) ≥ 0 pentru orice x, y ∈X;

2. d(x, y) = 0 dacă şi numai dacă x = y;

3. d(x,y) = d(y,x) pentru orice x, y ∈X;

4. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) pentru orice x, y, y ∈X.

Perechea (X, d) se numeşte spaţiu metric.

Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K (K=R sau

K=C). O normă pe V este o funcţie p: V →R care satisface următoarele

condiţii:

1. p(x) ≥ 0 pentru orice x ∈V;

2. p(x) = 0 dacă şi numai dacă x = 0;

3. p(x +y) = p(x) + p(y) pentru orice x şi y ∈ V;

1 0 0 0 0 1 2 0 2 -1 3 -3 0 6 -3 1 0 0 0 1 5 -5 6 -2- 5


146

4. p(λx) = |λ| p(x) pentru orice λ∈K şi orice x ∈V.

Perechea (V, p) se numeşte spaţiu normat. În cele ce urmează vom nota

p(x) = ||x|| pentru orice x∈V şi vom spune că V este un spaţiu normat în

loc de (V, ||⋅||), atunci când norma ||⋅|| se subînţelege. Pe orice spaţiu

normat se poate defini o metrică (distanţă) canonică d prin d(x, y) = ||x -

y|| pentru orice x, y ∈V. Prin urmare oricărui spaţiu normat i se pot asocia

în mod canonic o structură metrică. Normele p1 şi p2 se numesc

echivalente dacă şi numai dacă există M, m >0 astfel încât

m p1(x) ≤ p2(x) ≤ M p1(x) pentru orice x ∈ V.

Pentru a desemna faptul că p1 şi p2 sunt echivalente vom folosi notaţia p1

~ p2.

Exemplul 3.6.1. 1. Considerăm spaţiul vectorial V = Kn(K=R sau K=C),

n∈N*. Se poate arăta că pe acest spaţiu orice două norme sunt

echivalente. Vom nota cu ||⋅||∞, ||⋅||1, ||⋅||2 următoarele norme uzuale pe Kn:

||x||∞ = nj1

max≤≤

|xj|, ||x||1 = ∑=

n

1jjx , ||x||2 =

2/1n

1j

2

jx

∑=

pentru orice x = (x1, x2, …, xn) ∈ Kn (arătaţi că sunt norme echivalente).

2. Pe spaţiu vectorial

C([a,b]) = {f : [a, b] → K | f continuă}(K=R sau K=C),

se poate introduce norma ||f|| =

[ ]( )xfsup

b,ax∈

.

(verificaţi că sunt verificate condiţiile din definiţia normei).

Definiţia 3.6.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul K

(K=R sau K=C). O aplicaţie liniară u : V → W se

Algebră liniară

147

numeşte mărginită dacă există un număr real M astfel

încât

|| u(x)|| ≤ M || x|| pentru orice x ∈ V.

Observaţia 3.6.3. Mulţimea aplicaţiilor liniare mărginite u : V → W

formează un subspaţiu vectorial a lui LK(V, W) (K=R sau K=C).

Teorema 3.6.4. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul K

(K=R sau K=C). Pe spaţiul aplicaţiilor liniare şi

mărginite u : V → W se poate introduce norma

|| u || = ( )xusup1x =

.

Demonstraţie. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Deoarece

există un număr real M astfel încât|| u(x)|| ≤ M || x|| pentru orice x ∈ V,

rezultă că mulţimea {|| u(x)|| : || x|| = 1} este mărginită superior de M.

Deci || u || = ( )xusup1x =

∈ R. Să arătăm că

|| u(x)|| ≤ || u || || x|| pentru orice x ∈ V.

Într-adevăr, pentru orice x ∈ V nenul, avem

x

x

1u ≤ || u ||,

iar pe de altă parte

x

x

1u = ( )xu

x

1 = ( )xu

x

1.

Condiţiile 1, 2 şi 4 din definiţia normei sunt uşor de verificat. Rămâne de

arătat proprietatea 3. Fie u1, u2: V → W două aplicaţii liniare mărginite.

Pentru orice x ∈ V, avem

|| (u1 + u2)(x)|| = || u1(x) + u2(x)|| ≤ || u1(x)|| + ||u2(x)||

≤ || u1|| || x|| + || u2|| || x|| = (|| u1|| + || u2||) || x||,


148

de unde, obţinem || (u1 + u2)(x)|| ≤|| u1|| + || u2||.

Observaţia 3.6.5. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul

K (K=R sau K=C).

1. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Din

demonstraţia teoremei precedente rezultă că

|| u(x)|| ≤ || u || || x|| pentru orice x ∈ V.

2. Norma introdusă (în teorema precedentă) pe spaţiul

aplicaţiilor liniare şi mărginite u : V → W este multiplicativă, adică

||u1u2|| ≤ ||u1||||u2||.

Într-adevăr, ||u1u2(x)|| =||u1(u2(x))|| = ||u1|| ||u2(x)|| ≤||u1|| ||u2|| ||x||,

de unde ||u1u2|| ≤ ||u1||||u2||.

3. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Se poate arăta că

|| u|| =1x

sup=

||u(x)|| = 1x

sup≤

||u(x)||

= inf {M > 0 : || u(x) || ≤ M||x || pentru orice x∈V }.

3.7. Exerciţii

1. Să se cerceteze care dintre aplicaţiile u : V → W

a) V = W = R2, u(x) = (x1 + 2x2, -x1), unde x = (x1, x2) ∈R2.

b) V = W = R2, u(x) = (x12 + x2, -x1), unde x = (x1, x2) ∈R

2.

c) V = R2, W = R3, u(x) = (x1 + 2x2, -x1 + a, x2), unde x = (x1, x2)

şi a ∈R.

d) V = W = { f : [a, b] → R : f continuă }, u(f)(x) = ( )∫x

adttf pentru

orice x ∈ [a, b].

Algebră liniară

149

e) V = Mn,n(K), W = K, unde K este un corp comutativ, u(A) =

trace A = ∑=

n

1iiia pentru orice matrice A = ( )

nji1ija≤≤ ,

.

sunt transformări liniare.

R: Se verifică axiomele din definiţia transformării liniare (Definiţia 3.1.1)

sau condiţia echivalentă din Propoziţia 3.1.2. Răspunsurile sunt: a) da, b)

nu ( pentru x = (1, 0), u(3x) = (9, -3) ≠ 3(1,-1) = u(x)), c) u este

transformare liniară dacă şi numai dacă a = 0 (dacă u este transformare

liniară, atunci u(0, 0) = (0, 0, 0), deci a =0; reciproc, dacă a = 0 se verifică

cu definiţia că u este transformare liniară) d) da, e) da.

2. Fie K un corp comutativ şi A∈Mn,n(K) o matrice al cărei determinat

este nul. Să se arate că există o matrice B ∈Mn,n(K) nenulă astfel încât

AB = O (matricea nulă).

R: Considerăm endomorfismul u: Mn,n(K) → Mn,n(K), u(X) =AX pentru

orice matrice X ∈ Mn,n(K). Presupunem prin absurd că oricare ar fi

matricea nenulă B ∈Mn,n(K), AB ≠ O. Presupunerea este echivalentă cu

Ker u = {O}, adică cu u injectiv. Deoarece Mn,n(K) este un spaţiu

vectorial de dimensiune finită şi u injectiv, rezultă u bijectiv (conform

Propoziţiei 3.3.6). Endomorfismul u fiind în particular surjectiv, rezultă

că există o matrice X astfel încât u(X) = In <=> AX = In. Obţinem 0 =

det(A)det(X) = det(AX) = det(In) = 1, ceea ce contrazice ipoteza.

3. Să se determine nucleul şi imaginea, precum şi defectul şi rangul

pentru următoarele transformări liniare:

a) u : R3 → R2, u(x) = (x1+x2, x2 -x3), unde x = (x1, x2, x3)

b) u : R3 → R3, u(x) = (x1+x2, x2 -x3, x3), unde x = (x1, x2, x3)

c) u : R3 → R3, u(x) = (x1+x2, x2 -x3, x3+x1), unde x = (x1, x2, x3)

d) u : R2 → R3, u(x) = (x1+x2, x2 -x1, x1 - x2), unde x = (x1, x2)


150

e) u : R2 → R3, u(x) = (x1+x2, - x2 -x1, 2x1+2x2), unde x = (x1, x2)

R: a) Ker u ={x: u(x) = (0, 0)} ={(x1, x2, x3) : (x1+ x2, x2 - x3) = (0, 0)}.

Deci x = (x1, x2, x3) ∈Ker u <=> x2 - x3 este soluţie a sistemului

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat: luăm necunoscută

secundară x3 = α, şi obţinem x1 = -α, x2 = α. Deci Ker u = {(-α, α, α): α

∈R}. O bază în Ker u este dată de B1 = {(-1, 1,1)}, deci defectul lui u,

adică dimR(Ker u) este egal cu 1. Pentru determinarea imaginii lui u, Im u

={u(x): x ∈R3} = {y∈R

2: există x ∈R3 cu y =u(x)} putem proceda ca în

exemplul 3.3.13, observând că sistemul

este compatibil oricare ar fi y1 şi y2. Deci Im u = R2, şi rangul lui u este 2.

b) Ker u = {(0,0,0)}. Deoarece u este endomorfism pe un spaţiu de

dimensiune finită şi Ker u = { 3R0 }, conform Propoziţiei 3.3.6, u este

bijectiv şi deci, Im u = R3. Defectul lui u este 0, iar rangul este 3.

c) Ker u = {(-α, α, α): α ∈R}. Pentru determinarea imaginii lui u putem

proceda ca în exemplul 3.3.13, sau putem să ţinem cont că

Im u = {u(x): x ∈ R3} ={(x1+ x2, x2 - x3, x3 + x1) : x1, x2, x3 ∈R}

α=+

β=−=

21

32

xx

xx{(α, β, α - β) : α, β ∈ R}.

O bază în Im u este B = {(1,0,0), (0,1,0)}. Rangul lui u este 2 şi defectul

este 0.

d) Ker u ={(0,0)}, Im u = {(α, β, -β}: α, β ∈ R}. Rangul este 2 şi

defectul 0.

x1+x2 = 0 x2 -x3 = 0

x1+x2 = y1

x2 -x3 = y2

Algebră liniară

151

e) Ker u ={(α,-α), α ∈R}, Im u = {(α, -α, 2α}: α ∈ R}. Defectul este 1

şi rangul este 1.

4. Fie u : Rn → Rn un endomorfism care verifică relaţia:

anun + an-1u

n-1 + … + a1u + I =O,

unde an, an-1, …,a1∈R, I este transformarea liniară identică şi O este

transformarea liniară nulă. Să se arate că u este automorfism.

R: Este suficient să arătăm că u este injectiv (vezi Propoziţia 3.3.6) sau,

echivalent, că Ker u ={0}. Dacă x∈Ker u, atunci u(x) = 0, şi ca urmare

uk(x) = 0 pentru orice k ≥ 1. Ţinând cont de relaţia din ipoteză, se obţine

I(x) = 0, adică x = 0.

5. Fie A, B∈Mn,n(C). Să se arate că

(a) dacă AB = O (matricea nulă), atunci rang(A) + rang(B) ≤ n

(b) dacă AB = E (matricea ale cărei elemente sunt toate egale cu 1),

atunci rang(A) + rang(B) ≤ n +1

R: Considerăm că A, respectiv B sunt matricele asociate unor

transformări liniare u1, respectiv u2 într-o bază. Ţinând cont de Propoziţia

3.4.5 şi Teorema 3.3.9 (inegalitatea Sylvester) rezultă că rang(AB) ≥

rang(A) + rang(B) - n. La punctul (a) avem rang(AB) = 0, iar la (b)

rang(AB) = 1.

6. Se consideră transformarea liniară u : R3 → R2 care are proprietatea că

u(E1) = (1, 8), u(E2) = (0,2), u(E3) = (1,-1), unde B = {E1, E2, E3} este

baza canonică din R3 (E1 = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E3 = (0,0,1)). Se cere să

determine matricea lui u în perechea de baze

B1 = {(-1,0,0) , (1, -1,0), (-1, 1, -1)}

B2 = {(0,1), (1,2)}


152

R: Conform Teoremei 3.1.6 există o unică transformare liniară u care

îndeplineşte condiţiile. Matricea lui u în perechea de baze canonice din

R3 şi R2 este

A =

Matricile L, de trecere de la baza canonică din R3 la baza B1, şi respectiv

M, de trecere de la baza canonică din R2 la baza B2, sunt

L =

−−

−

−

111

011

001

, M =

21

10.

Matricea lui u în perechea de baza B1, B2 este

LAM-1 =

7. Să se determine transformările liniare u : R3 → R

3 care satisfac

condiţiile u(v1) = (9, -9, 3), u(v2) = (-7, 5, 3), u(v3) = (8, -11, 4), unde v1 =

(1,1,0), v2 = (1,-1,0), v3 = (1,1,1). Să se calculeze u(v) , unde v = (1, 2, 3).

R: Deoarece

= -2 ≠0

{v1, v2, v3} este o bază în R3. Atunci conform Teoremei 3.1.6 există o

unică transformare liniară u care îndeplineşte condiţiile. Determinăm

matricea lui u în baza canonică din R3: B = {E1, E2, E3}, unde E1 = (1, 0,

1 8 0 2 1 -1

-6 -1 4 1 -1 -2

1 1 0 1 -1 0 1 1 1

Algebră liniară

153

0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1). Ţinând cont că dacă x = (x1, x2, x3)∈R3,

atunci x = x1E1 + x2E2 + x3E3 şi u(x) = x1u(E1) + x2u(E2) + x3u(E3),

obţinem sistemul

u(E1) + u(E2) = 9E1 - 9E2 + 3E3

u(E1) - u(E2) = -7E1 + 5E2 + 3E3 <=>

u(E1) + u(E2) +u(E3) = -8E1 - 11E2 + 4E3

u(E1) = E1 - 2E2 + 3E3

u(E2) = 8E1 - 7E2

u(E3) = -E1 - 2E2 + E3

Deci matricea lui u în baza canonică este

A =

Deci dacă x = (x1, x2, x3)∈R3, atunci

u(x) = [x1, x2, x3] A= (x1 + 8x2 - x3, -2x1 - 7x2 -2x3, 3x1 + x3).

Ca urmare, u(v) = (14, -22, 6) pentru v = (1,2,3).

8. Se consideră bazele B1 = {(-2, 1, 0), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} şi B2 ={(1, 0,

1), (1, 1, 0), (2, 1, 0)} în R3, şi transformările liniare u1, u2 : R3 → R3.

Dacă matricea lui u1 în baza B1 este

A1 =

iar matricea lui u2 în baza B2 este

A2 =

să se determine u1, u2, u1 + u2, u2u1, u2-1.

1 -2 3 8 -7 0 -1 -2 1

2 -1 2 1 0 3 8 5 4

1 -2 1 -8 0 2 5 1 0


154

R: Matricea de trecere de la baza canonică din R3 la baza B1 este

C1 =

iar matricea de trecere de la baza canonică din R3 la baza B2 este

C2 =

Dacă L1, respectiv L2 sunt matricele lui u1, respectiv u2 în baza canonică,

atunci A1 = C1L1C1-1, respectiv A2 = C2L2C2

-1. În consecinţă,

L1 = C1-1A1C1 =

iar matricea lui u2 în baza canonică este

L2 = C2-1A2C2 =

Deci, pentru x = (x1, x2, x3),

u1(x) = (2x1+3x2-22x3, x1+5x2+11x3, x1+4x2-x3)

u2(x) = (10x1-14x2-9x3, -x1+3x2, 13x1-21x2-12x3).

Matricea lui u1 + u2 în baza canonică fiind

L1 + L2 =

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3), (u1 + u2)(x) = u1(x) + u2(x) =

=( 12x1-11x2-31x3, 8x2+11x3, 14x1-17x2-13x3).

-2 1 0 -1 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 0 2 1 0

2 1 1 3 5 4 -22 11 -1

10 -1 13 -14 3 -21 -9 0 -12

12 0 14 -11 8 -17 -31 11 -13

Algebră liniară

155

Deoarece matricea lui u2u1 în baza canonică este

L1L2 =

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3), (u2u1)(x) = u2(u1(x)) =

=( -3x1 - 76x2 - 365x3, x1 + 12x2 + 55x3, - 7x1 - 114x2 - 505x3).

Matricea lui u2-1 în baza canonică fiind

L2-1 =

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3),

(u2-1)(x) = (

5

6x1-

10

7x2-

10

9x3,

5

2x1+

10

1x2-

10

3x3,

5

3x1-

15

14x2-

15

8x3).

9. Să se verifice care dintre endomorfismele următoare u : R3 → R3 este

proiecţie, involuţie sau endomorfism nilpotent:

(a) u(x) = (-x1-x2-x3, 2x1+2x2+x3, x3)

(b) u(x) = (-x1, -x2-2x3, x3)

(c) u(x) = (3x1+2x2+2x3, -4x1-3x2-4x3, x3)

(d) u(x) = (x1+x2+x3, -x1-x2-x3, 0)

pentru x = (x1, x2, x3) ∈R3.

R: (a) proiecţie (u2 = u); (b) involuţie (u2 = I); (c) involuţie (u2 = I); (d)

endomorfism nilpotent (u2 = O);

10. Să se demonstreze că endomorfismul u : R3 → R3, definit prin u(x) =

(x1+x2+x3, -3x1-2x-2x3, 2x1+x2+x3) pentru x = (x1, x2, x3) ∈R3, este

-3 1 -7 -76 12 -114 -365 55 -505

6/5 2/5 3/5 -7/10 1/10 -14/15 -9/10 -3/10 -8/15


156

endomorfism nilpotent de indice 3 şi să se determine o bază în care

matricea asociată lui u să aibă forma

ε

ε

000

00

00

2

1

cu ε1, ε2 ∈ {0,1}.

R: Matricea asociată lui u în baza canonică este

A =

Deoarece

A2 = A3 =

rezultă că u3 = O şi u2 ≠ 0. Deci, u este endomorfism nilpotent de indice

3. Considerăm vectorul x = (1,0,0). Avem u(x) = [1,0,0] A =(1, -3,2) şi

u2(x) = [1,0,0]A2 =(0,-1,1) ≠ (0,0,0). Conform Propoziţiei 3.5.14

B = {x, u(x), u2(x)}

este o mulţime liniar independentă în R3, deci este o bază. În această

bază matricea lui u este

000

100

010

. Matricea de trecere de la baza

canonică la baza B este

−

−

110

231

001

. Se verifică faptul că

-1

=

1 -3 2 1 -2 1 1 -2 1

0 -1 1 0 -1 1 0 -1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 -3 2 0 -1 1

1 0 0 1 -3 2 0 -1 1

0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 -3 2 1 -2 1 1 -2 1

Date post:	02-Feb-2017
Category:	Documents
Upload:	buicong
View:	229 times
Download:	5 times

97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Documents