CURS ECONOMETRIE

Unitatea de învăŃare : 8

REGRESIA UNIFACTORIALĂ - partea a III-a

Cuprins:

1. Ce am învăŃat în Unitatea de învăŃare 7

2. Obiectivele UnităŃii de învăŃare 8

3. Estimarea valorilor variabilei dependente

4. Câteva considerente asupra eventualelor încălcări şi remedii vizând ipotezele modelelor de

regresie

5.Regresia simplă neliniară

6. Test de autoevaluare

7. Bibliografia UnităŃii de învăŃare 6

8. Lucrare de verificare

1. Ce am învăŃat în Unitatea de învăŃare 7

Cum să testăm validitatea unui model econometric prin ANOVA şi metoda testării

ipotezelor statistice.

2. Obiectivele UnităŃii de învăŃare 6

După studiul acestei unităŃi de învăŃare vei avea cunostinŃe despre:

1. Cum să previzionezi o nouă valoare a variabilei efect;

2. Cum să ajustezi și să controlezi variabila efect prin intervenția asupra variabilei cauză.

Una dintre utilizările importante ale analizei regresiei simple liniare este să obŃinem

previzionări sau predicŃii ale variabilei dependente, condiŃionate de valorile variabilei

independente, adică să obŃinem previzionări condiŃionate.

3. Estimarea valorilor variabilei dependente

Dacă presupunem că variabila independentă ia valoarea specificată Xn+1 şi legătura liniară

se menŃine, atunci valoarea corespunzătoare a variabilei dependente Yn+1 este:

Yn+1,i = α + βXn+1,i + εn+1,I

cu media:

µ (Yn+1/X = Xn+1) = α + βXn+i.

ecuaŃiile de mai sus sunt utilizate pentru estimarea mediei de răspuns şi pentru estimarea unui

răspuns individual. Pentru amândouă estimaŃiile putem obŃine estimaŃii punctuale sau pe

intervale de încredere.

Pentru a obŃine estimaŃii punctuale, folosim ecuaŃia de regresie liniară în eşantion:

yi = a + bxi + ei

şi atunci, înlocuind cu valoarea dată Xn+1, obŃinem:

1ny + = a + b⋅xn+1.

Construirea intervalului de încredere pentru previzionare necesită cunoaşterea distribuŃiei,

mediei şi dispersiei pentru 1ny + . Variabila 1ny + urmează o distribuŃie t cu (n – 2) grade de

libertate. Dispersia asociată variabilei poate fi identificată în trei cazuri şi anume:

• determinarea intervalului de încredere pentru media de răspuns, când xn+1 = x .

Ştim că:

( )xxbybxxbyy 1n1n1n −+=+−= +++ ,

dacă xn+1 = x , atunci ,yy 1n =+ iar estimatorul dispersiei pentru 1ny + este

( ) ( ) n

sss

2

e2

y

2

y 1n==

+ .

Intervalul de încredere este, în acest caz:

n

sty e

2n,2/1n −+ ± α ;

• determinarea intervalului de încredere pentru media de răspuns, când xn+1 ≠≠≠≠ x .

În acest caz:

)xx(byy 1n1n −+= ++ ,

iar estimatorul dispersiei pentru 1ny + este:

( ) [ ] ( )

−

−+==

∑=

+−+ ++ n

i

i

nexxbyy

xx

xx

nsss

nn

1

2

2122

)(

2ˆ

)(111

.

Intervalul de încredere pentru media de răspuns este:

( )( )∑

=

+−+

−

−+± n

1i

2

i

2

1ne2n,2/1n

xx

xx

n

1sty α

;

• determinarea intervalului de încredere pentru un răspuns individual.

În acest caz trebuie să determinăm dispersia diferenŃei ,ˆ,11 inn

yy ++ − adică dispersia erorii de

previzionare. Dispersia în eşantion este:

( ) ( )

−

−++=+

−

−+==

∑∑=

+

=

+− +++ n

i

i

n

een

i

i

n

eyyy

xx

xx

nss

xx

xx

nsss

innin

1

2

2

122

1

2

2

122ˆ

2ˆ

)(

)(11

)(

)(1,11,1 .

Intervalul de încredere este:

∑=

+−+

−

−++±

n

i

i

n

enin

xx

xx

nsty

1

2

2

12,2/,1

)(

)(11ˆ

α.

Exemplu

Proprietarul unui minihotel dezvoltă o analiză statistică pentru determinarea

cheltuielilor cu materialele de curăŃenie (y) în funcŃie de numărul camerelor ocupate (x). El

determină ecuaŃia de regresie pentru cheltuielile zilnice (pentru detergent, clor etc.) (zeci

mii u.m.), pe baza datelor înregistrate pentru n=14 zile:

iixy 7,38,10 +=

86,26)(2

=−∑ xxi 3,2=x

∑ =− 39,163)ˆ( 2yy

i

a) Proprietarul doreşte să estimeze cheltuielile pentru o zi în care are 6 camere

ocupate;

b) Proprietarul doreşte să estimeze cheltuielile medii pentru zilele în care are 6 camere

ocupate.

Y

y = b0+b1xi ∧∧∧∧

Interval de încredere pentru valoarea aşteptată a lui y, fiind dat xi

Intervalul de încredere pentru predicŃia unei singure observaŃii y, fiind dat xi

y

∧∧∧∧

Dacă numărul camerelor ocupate este 61 =+nx , atunci:

t0,025;12 = 2,179

.69,312

39,163

;179,2

;3367,38,10ˆ

12,025.02,2/

1

==

==

=⋅+=

−

+

e

n

n

s

tt

y

α

a) Intervalul de încredere pentru cheltuielile unei zile în care sunt 6 camere ocupate

este:

86.26

)3,26(

14

1169,3179,233

2−++⋅± ,

adică (22,89;43,11) garantat cu o probabilitate de 95%;

b) Intervalul de încredere pentru media cheltuielilor zilnice în cazul în care au 6

camere ocupate este:

86.26

)3,26(

14

169,3179,233

2−+⋅± ,

adică (30,19;35,82), garantat cu o probabilitate de 95%.

În afara ipotezelor de selecŃie aleatoare şi a variabilelor cantitative dependente,

discutate anterior, modelul liniar de regresie are trei ipoteze adiŃionale:

1) legătura dintre Y şi X este „ cu adevărat” liniară: µ(Y|X) = βo

+ β1

X;

2) termenii de eroare ε au toŃi aceeaşi dispersie σ2, aşa că mărimea erorilor nu este influenŃată

de X.

3) termenii de eroare ε au o distribuŃie normală.

Ipotezele 2 şi 3 sunt cunoscute din ANOVA.

Un simplu grafic poate detecta de regulă eşecul primei ipoteze. Printr-o simplă

vizualizare a unei diagrame scatter a celor două variabile se poate determina forma curbilinie

4. Câteva considerente asupra eventualelor încălcări şi remedii vizând ipotezele modelelor de regresie

Exemplu pe baza datelor din unităŃile de învăŃare precedente:

DeterminaŃi un interval de încredere (p=95%) pentru preŃul mediu al caselor de

2000 pp:

PreŃ previzionat y^i = 317,85 mii dolari

37.12317.85)x(x

)x(x

n

1sty

2i

2i

eα/22,-n1n ±=−

−+±

∑+

DeterminaŃi un interval de încredere (p=95%) pentru prePul unei case de 2000 pp:

Limitele intervalului de încredere sunt: 280,66 şi 354,90, sau de la 280660 $ la

354900 $.

PreŃ previzionat y^i = 317,85 mii dolari

102.28317.85)X(X

)X(X

n

11sty

2i

2i

eα/21,-n1n ±=−

−++±

∑+

Limitele intervalului de încredere sunt: 215.50 şi 420.07 sau de la 215,500$ la

420,070$

a legăturii. Mai mult, reprezentarea reziduurilor pe axa OX poate detecta mai subtil forma

curbilinie a legăturii. Folosind fereastra de comandă în SPSS:

pe calea: ANALYZE / REGRESSION, aceasta va salva valorile reziduale (fie

standardizate sau nu) pentru o analiză mai atentă a comportamentului aparent a lui ε.

Diagnosticul ipotezelor 2 şi 3 foloseşte reziduurile de tip Student care sunt reziduuri

nestandardizate împărŃite la MSE.

Ipoteza 2 poate fi verificată grafic prin examinarea graficului reziduurilor pentru a

verifica dacă există o tendinŃă spre o parte (stânga sau dreapta). Un test formal, similar cu al

lui Levene, despre care am vorbit în capitolul anterior, este de a salva coloana reziduurilor, şi

apoi de a crea o nouă coloană cu valorile lor absolute. Se face o analiză de regresie a valorilor

absolute ale reziduurilor în raport cu valorile variabilei independente X. Panta liniei de

regresie nu trebuie să difere semnificativ de 0.

10 15 20 25 30

Doza

-5,00000

-2,50000

0,00000

2,50000

5,00000

Unstandardized Residual

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Unstandardized Residual = 0,00 + -0,00 * Doza

R-Square = 0,00

Ipoteza 3 poate fi de asemenea verificată folosind reziduurile, prin aplicarea testului

Kolmogorov-Smirnov pentru testarea ipotezei nule a normalităŃii, ca în exemplul următor ce

analizează legătura dintre cifra de afaceri și cheltuielile de publicitate.

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

chet_pub

0,00

100,00

200,00

Cifra_afaceri

�����

����

����

� �

��

�

� �

� ��

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

Cifra_afaceri = -17,04 + 4,38 * chet_pub

R-Square = 0,89

Descriptive Statistics

72,2778 70,10792 36

20,3889 15,10587 36

Cifra_afaceri

chet_pub

Mean Std. Deviation N

Model Summary

,944a ,891 ,888 23,48381

Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), chet_puba.

ANOVAb

153278,6 1 153278,583 277,936 ,000a

18750,639 34 551,489

172029,2 35

Regression

Residual

Total

Model1

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), chet_puba.

Dependent Variable: Cifra_afacerib.

Coefficientsa

-17,043 6,635 -2,569 ,015

4,381 ,263 ,944 16,671 ,000

(Constant)

chet_pub

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Cifra_afaceria.

Cifra de afaceri= -17,043+4,381 Cheltuieli publicitate

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

chet_pub

-50,00000

-25,00000

0,00000

25,00000

50,00000

Unstandardized Residual

��

���

�

��

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Unstandardized Residual = 0,00 + -0,00 * chet_pub

R-Square = 0,00

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

36

,0000000

,98561076

,156

,156

-,142

,937

,344

N

Mean

Std. Deviation

Normal Parametersa,b

Absolute

Positive

Negative

Most Extreme

Differences

Kolmogorov-Smirnov Z

Asymp. Sig. (2-tailed)

StandardizedResidual

Test distribution is Normal.a.

Calculated from data.b.

În cazul legăturii simple pe baza reprezentării grafice pot fi emise ipoteze privind

forma neliniară a dependenŃei rezultativei Y de factorul înregistrat X.

Testarea acestor ipoteze poate fi realizată, pe baza metodei celor mai mici pătrate.

♦ În cazul în care linia este apreciată ca o parabolă de gradul doi, vom avea:

ε+++= 2210x xaxaaY

Plecând de la condiŃia ( )∑ =−−− 0xaxaay 22210

))), se va ajunge la sistemul de ecuaŃii

normale:

=++

=++

=++

∑∑∑∑∑ ∑ ∑∑

∑ ∑∑

yxxaxaxa

yxxaxaxa

yxaxaan

242

31

20

32

210

2210

))))

))))

))))

pe baza căruia se vor determina coeficienPii modelului de regresie.

♦ În cazul în care linia este apreciată ca o hiperbolă, vom avea:

ε++=x

aaY 1

0x

Determinarea celor doi parametri impune rezolvarea sistemului de ecuaŃii normale:

=+

=+

∑ ∑ ∑

∑ ∑

yx

1

x

1a

x

1a

yx

1ana

210

10

5. Regresia simplă neliniară

♦ În cazul unei legături de tip logaritmic:

,xlgaaY 10x +=

trebuie estimaŃi cei doi parametri, prin rezolvarea sistemului de ecuaŃii normale:

⋅=+

=+

∑∑∑∑∑

xlgy)x(lgaxlga

yxlgana2

10

10

♦ În cazul unei legături de tip exponenŃial:

,aaY x10x =

În practică, pentru facilitarea determinării celor doi parametri se logaritmează expresia

funcŃiei de estimaŃie, respectiv:

,algalgylg 10 +=

cu sistemul de ecuaŃii normale (din nou cu utilizarea metodei celor mai mici pătrate):

=+

=+

∑ ∑∑∑∑

y lg xxalgxa lg

y lgxalgalg n2

10

10

Pe baza exemplelor anterioare, construiŃi intervale de încredere pentru previzionarea valorilor

variabilei dependente, dând valori ale variabilei independente din afara setului de observaŃii

empirice date.

7. Bibliografia UnităŃii de învăŃare 8

� Peter E. Kennedy - A Guide to Econometrics, 5th Edition, MIT Press 2004

� I.-G. Niculescu-Aron, Miruna Mazurencu-Marinescu - Metode econometrice pentru

afaceri, Ed. ASE, 2007

� V.Voineagu, E.łiŃan, R.Şerban, S.GhiŃă, D.Todose, C.Boboc, D.Pele – Teorie şi

practică econometrică, Ed; Meteor Press, 2007

� T. Andrei, Statistică şi econometrie, Ed. Economică, 2003

8. Lucrare de verificare

1. În urma modelării liniare a unei legături între numărul de familii, suprafaŃa comercială a

unui magazin (exprimată în mp.) din diferite cartiere şi cifra de afaceri (în RON) s-au obŃinut

rezultatele:

6. Test de autoevaluare

Regression Statistics Multiple R 0,93 R Square Standard Error 278,50 Observations 13 Fcritic=4,1

Coefficients

Standard

Error

P-

value Lower 95%

Upper

95%

Intercept 375,02 176,46 0,06 -18,16 768,20 Nr. De fam 14,96 5,53 0,02 2,63 Suprafat com 42,45 10,65 0,00

RăspundeŃi la următoarele întrebări:

1) În ce proporŃie explică modelul variaŃia cifrei de afaceri?

2) Modelul este valid? (explicaŃi folosind testul F).

3) Parametrii sunt semnificativ diferiti de 0? Motivati.

4) Construiti intervalul de incredere la P=0,95 pentru coeficientul variabilei

“Suprafata com”

5) Interpretati rezultatele modelării din punct de vedere economic.

2. Un agent al unei agenŃii imobiliare dintr-un cartier ar dori să poată previziona costul de

închiriere lunar bazându-se pe mărimea apartamentului de închiriat exprimată prin suprafaŃa

în mp. Un eşantion de 7 apartamente a fost selectat şi au fost extrase următoarele date:

Apartamentul Chiria media lunară (u.m.) Mărimea apartamentului în mp 1 95 85 2 160 145 3 120 108 4 150 123 5 95 70 6 115 95 7 165 130

6) reprezentaŃi grafic datele;

7) utilizând metoda celor mai mici pătrate determinaŃii coeficienŃii modelului de

regresie;

8) previzionaŃi chiria medie lunară pentru un apartament cu o suprafaŃă de 100 mp;

9) ca şi consultant imobiliar, sunteŃi rugat să-i sfătuiŃi pe doi dintre prietenii

dumneavoastră care ar dori să inchirieze în această zonă, şi au găsit un apartament

de 100mp cu o chirie lunară de 127 şi respectiv unul 120mp cu o chirie lunară de

142 u.m ce decizie să ia.