Date post: | 02-Aug-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | seitancalin |
View: | 60 times |
Download: | 8 times |
OSCILAŢII
9
Partea I-a
OSCILAŢII ŞI UNDE
1. OSCILAŢII
1.1 Introducere
In general, orice fenomen în cursul căruia se transformă periodic sau
pseudoperiodic, reversibil sau parţial reversibil, energia, dintr-o formă în alta
poartă numele de oscilaţie. Evident, există o mare diversitate de tipuri de
oscilaţii care pot fi clasificate în funcţie de natura energiilor sau a mărimilor
fizice periodice care caracterizează fenomenele. Astfel, oscilaţiile pot
fi:mecanice (vibraţii), electrice, electromagnetice, electromecanice, termice,
nucleare etc.
Oscilaţiile efectuate de un sistem izolat, care a intrat în oscilaţie, la un
moment dat, sub acţiunea unei cauze externe care după aceea nu mai
acţionează asupra sistemului, se numesc oscilaţii libere sau oscilaţii proprii ale
sistemului respectiv. Frecvenţa unei oscilaţii libere se numeşte frecvenţa
proprie a sistemului.
Dacă sistemul nu este izolat ci pierde energie în timpul oscilaţiilor atunci
oscilaţiile sale se numesc amortizate (amplitudinea acestora scade în timp).
Amortizarea poate fi împiedicată prin transmitere de energie din exterior
către sistemul care oscilează. In acest caz oscilaţiile sistemului se numesc
oscilaţii întreţinute. Dacă frecvenţa acţiunii externe care menţine oscilaţia este
egală cu frecvenţa proprie a sistemului atunci oscilaţiile vor căpăta
amplitudinea maximă;acesta constituie fenomenul de rezonanţă.
FIZICĂ
10
1.2 Oscilaţii mecanice
1.2.1 Oscilaţii liniare libere
Oscilaţiile liniare libere constau în deplasarea periodică a unui sistem în
jurul unei poziţii de echilibru în prezenţa unui câmp de forţe elastice. Un câmp
de forţe elastice poate fi considerat ca un câmp central caracterizat prin aceea
că, în orice punct, forţa aplicată în acel punct este orientată spre centrul forţelor
iar modulul ei este proporţional cu distanţa de la centrul forţelor (poziţia de
echilibru-O) la punctul de aplicaţie (figura 1.1).
F kx= − (1.1) Constanta de proporţionalitate k poartă (Figura 1.1) numele de constantă
elastică.
Sistemele mecanice care
execută mişcări oscilatorii libere
au în poziţia de echilibru
( )x o= energia potenţială zero iar
energia cinetică maximă. în
timpul oscilaţiilor energia cinetică se transformă în energie potenţială şi invers.
Ecuaţia mişcării unui punct material, cu masa m, asupra căruia acţionează
forţa elastică 1.1 este
ma kx= − sau 0mx kx+ = (1.2) Notând
20
km
ω= (1.3)
ecuaţia mişcării devine
2 0ox xω+ = (1.4)
Soluţia generală a acestei ecuaţii este
0 01 2
i t i tx C e C eω ω−= + (1.5)
Sau
0sin( )x A tω ϕ= + (1.6)
În legea de mişcare (1.6) mărimea A poartă numele de amplitudine a
mişcării, 0ω se numeşte pulsaţie iar 0tω ϕ+ , fază a mişcării.
x
mF0
Figura 1.1
OSCILAŢII
11
Se observă că elongaţia x a mişcării se repetă, după un interval de timp T,
numit perioadă a mişcării şi care are expresia
0
2 2 mTk
π πω
= = (1.7)
Apelând la expresia 1.6 se poate calcula viteza şi acceleraţia mişcării
2 20 0 0cos( )dxv x A t A x
dtω ω ϕ ω= = = + = − (1.8)
2 20 0 0sin( )dva x A t x
dtω ω ϕ ω= = = − + = − (1.9)
Energia totală a punctului material este suma dintre energia cinetică ( )cE şi
energia potenţială ( )pE
2 22 2 2 20
02 2 2 2 2x
c pm Amv mv kx kAE E E F dx ω
= + = + = + = =∫ (1.10)
Mărimile x, v şi a, a căror expresii sunt, respectiv, 1.5, 1.8 şi 1.9, sunt
reprezentate grafic în figura 1.2.
Din expresiile menţionate şi din figura 1.2 se observă că elongaţia x şi
acceleraţia a sunt în opoziţie de fază iar viteza v este defazată înaintea
elongaţiei cu 2π .
Mişcarea oscilatorie studiată mai sus reprezintă un caz ideal. într-o astfel de
mişcare s-a ţinut seama doar de forţa elastică (forţă conservativă) dar au fost
Figura 1.2
v x
, ,x v a
t
a
A
2o Aω
o Aω
o A−ω
2o A−ω A−
T
FIZICĂ
12
neglijate forţele neconservative exterioare cum ar fi forţele de frecare. în lipsa
acestora energia totală are aceeaşi valoare tot timpul. Astfel de oscilaţii care au
loc fără pierderi de energie poartă numele de oscilaţii nedisipative.
1.2.2 Oscilaţii amortizate
În realitate oscilatorul pierde energie (prin frecare, radiaţie) în timpul
oscilaţiilor şi din acest motiv amplitudinea acestora scade în timp până devine
egală cu zero. Acest tip de oscilaţii, disipative de energie, poartă numele de
oscilaţii (vibraţii) amortizate.
Pentru viteze de oscilaţie relativ mici forţele de rezistenţă ale mediului sunt
proporţionale, în fiecare moment, cu viteza oscilatorului şi sunt îndreptate în
sens opus vitezei
reyF v xρ ρ= − = − (1.11)
În expresia de mai sus ρ este un coeficient de rezistenţă a mediului care
depinde de forma şi volumul oscilatorului cât şi de natura (vâscozitatea)
mediului în care are loc oscilaţia.
Ecuaţia mişcării în acest caz, devine
ma x kxρ= − − sau 0mx x kxρ+ + = (1.12) Utilizând notaţiile
20
km
ω= şi 2mρ δ= (1.13)
Ecuaţia mişcării 1.12, devine
202 0x x xδ ω+ + = (1.14)
Căutând soluţia ecuaţiei diferenţiale 1.14 sub forma ntx e= , se obţine
2 20( 2 ) 0nte n nδ ω+ + =
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 2 202 0n nδ ω+ + = sunt
2 21,2 0n δ δ ω= − ± − (1.15)
În acest fel, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale 1.14 este
2 2 2
2 0 01 2 ( ) ( )1 2 1 2
t tn t n tx C e C e C e C eδ δ ω δ δ ω− + − − − −= + = + (1.16)
OSCILAŢII
13
În funcţie de cum este valoarea rezistenţei mediului (mai slabă sau mai
puternică) faţă de valoarea forţei elastice, rădăcinile 1.15 pot fi complexe sau
reale. Se disting, în acest fel, mai multe cazuri.
Cazul 1, corespunzător frecărilor relativ mici 20( )δ ω .
În acest caz rădăcinile 1.15 sunt complex conjugate
2 21,2 0n iδ δ ω δ ω= − ± − = − ± (1.17)
Iar soluţia generală 1.16 devine
1 2 0( ) sin( )t i t i t tx e C e C e A e tδ ω ω δ ω ϕ− − −= + = + (1.18)
Analizând 1.18 se observă că în acest caz avem de a face cu o mişcare
oscilatorie având perioada
2 20
2 2T π πω ω δ
= =−
(1.19)
Adică mai mare decât perioada 00
2T πω
= a oscilaţiilor libere.
De asemenea, amplitudinea acestei mişcări
0tA A e δ−=
scade exponenţial în timp;scăderea este cu atât mai pronunţată cu cât factorul
de amortizare δ este mai mare.
Graficul mişcării oscilatorii amortizate este reprezentat în figura 1.3
Amortizarea oscilaţiilor poate fi caracterizată cu ajutorul mărimii, numită
( )x t
oA
oA−
toA e−δ
t
Figura 1.3
FIZICĂ
14
decrement logaritmic al amplitudinii, care reprezintă logaritmul natural al
raportului a două amplitudini care se succed la un interval de o perioadă adică a
două amplitudini succesive, de aceeaşi parte a poziţiei de echilibru
0( )
1 0
ln ln lnt
Tnt T
n
A A e e TA A e
δδ δ
−
− ++
Δ = = = =
Cazul 2, corespunzător frecărilor relativ mari 0( )δ ω≥
În acest caz, deoarece rădăcinile 1.15 sunt negative, rezultă că x tinde
exponenţial către zero;este cazul unei mişcări aperiodice.
1.2.3 Oscilaţii întreţinute
Oscilaţiile pot fi menţinute adică amortizarea poate fi împiedicată dacă
oscilatorul primeşte energie din exterior. Considerând că aportul de energie din
exterior se face cu o forţă periodică
1sinext oF F tω= (1.21)
Ecuaţia de mişcare în prezenţa forţei elastice ( )kx− , a forţei de rezistenţă a
mediului ( )xρ− şi a forţei exterioare 0 1( sin )F tω este
0 1sinmx x kx F tρ ω= − − +
Sau 2 00 12 sinFx x x t
mδ ω ω+ + = (1.22)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale neomogene 1.22 se obţine prin însumarea
soluţiei ecuaţiei omogene, care are forma
2 21 0 0 0sin( )tx A e tδ ω δ ϕ−= − + (1.23)
Şi o soluţie particulară de forma membrului drept
2 1sin( )x A tω ϕ= + (1.24)
Datorită amortizării, soluţia 1x poate fi neglijată după un interval de
timp suficient de mare;de aceea, oscilaţiile sistemului vor fi descrise, după
acest interval de timp, numai de soluţia particulară
2 1sin( )x x A tω ϕ= = + (1.25)
Mişcarea descrisă de această soluţie se numeşte în regim staţionar;într-un
asemenea regim, oscilaţiile sistemului se efectuează cu o frecvenţă egală cu cea
a forţei de întreţinere şi nu cu frecvenţa proprie. Pentru a găsi constantele A şi
ϕ se introduce 1.25 în 1.22
OSCILAŢII
15
1 1cos( )x A tω ω ϕ= + ; 21 1sin( )x A tω ω ϕ= − + (1.26)
2 2 01 1 1 1 0 1 1sin( ) 2 cos( ) sin( ) sinFA t A t A t t
mω ω ϕ δω ω ϕ ω ω ϕ ω− + + + + + = (1.27)
sau
2 2 00 1 1 1 1 1( ) sin( ) 2 cos( ) sinFA t A t t
mω ω ω ϕ δω ω ϕ ω− + + + = (1.28)
Dezvoltând 1sin( )tω ϕ+ şi 1cos( )tω ϕ+ şi identificând coeficienţii lui
1sin tω şi 1cos tω din cei doi membri ai relaţiei astfel obţinute, rezultă
2 2 00 1 1( ) cos 2 sin FA A
mω ω ϕ δω ϕ− − = (1.29.a)
2 21 1( )sin 2 cos 0oA Aω ω ϕ δω ϕ− + = (1.29.b)
Din sistemul 1.29 se deduc A şi ϕ
02 2 2 2 2
1 1( ) 4o
FAm ω ω δ ω
=− +
(1.30)
12 21 0
2tg δωϕω ω
=−
(1.31)
Dependenţa amplitudinii A de pulsaţia 1ω a forţei exterioare este
reprezentată în figura 1.4;se observă că, coeficientul δ are rolul unui
parametru.
Mişcarea este deci întreţinută de către forţa exterioară şi după încetarea
regimului tranzitoriu, în care există şi oscilaţii proprii ale sistemului, acesta
1δ A
2 1δ δ>
1ω
Figura 1.4
FIZICĂ
16
intră în regim staţionar, frecvenţa mişcării fiind egală cu frecvenţa de vibraţie a
forţei exterioare. Maximul amplitudinii, pentru cazul când variază frecvenţa, se
poate afla derivând expresia amplitudinii, 1. 30, în funcţie de pulsaţie şi
egalând-o cu zero
2 2 2 200 1 1 1
32 2 2 2 21 20 1 1
2( )( 2 ) 82 0
( ) 4
FdA md
ω ω ω δ ω
ω ω ω δ ω
⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦= =
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
. (1.34)
De unde 2 2 2 21 0 1 1( ) 2 0ω ω ω δ ω− − + = . (1.35)
Deoarece 1 0ω = nu este un caz de extrem pentru A, rezultă că frecvenţa
rω pentru care amplitudinea oscilaţiilor este maximă (numit fenomen de
rezonanţă) este
2 20 2rω ω δ= − . (1.36)
Valoarea maximă a amplitudinii se obţine înlocuind 1.36 în 1.30
0max 2 2
02FA
mδ ω δ=
−. (1.37)
Din această expresie rezultă că maximul amplitudinii este cu atât mai mare
cu cât coeficientul de amortizare δ este mai mic, tinzând la infinit când δ
tinde la zero. Cu cât coeficientul δ este mai mic cu atât pulsaţia de rezonanţă
rω este mai apropiată de pulsaţia proprie 0ω .
1.3 Compunerea oscilaţiilor
Mişcările oscilatorii studiate în paragraful 1.2 reprezentau situaţiile în care
asupra punctului material acţiona doar o singură forţă elastică. Un punct
material poate fi însă supus simultan acţiunii mai multor forţe elastice şi dacă
considerăm că fiecare din ele este cauza unei oscilaţii
Atunci putem spune că acel punct material este supus acţiunii simultane a
mai multor oscilaţii. Interesează mişcarea care rezultă din compunerea acestor
oscilaţii. Vor fi studiate câteva cazuri particulare.
OSCILAŢII
17
1.3.2 Compunerea oscilaţiilor de aceeaşi direcţie şi perioadă
Fie două oscilaţii de aceeaşi direcţie (x) şi aceeaşi perioadă 2T πω
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
1 1 1
2 2 2
sin( )sin
x A tx A t
ω ϕω ϕ
= +
= + (1.38)
În urma compunerii acestora, rezultă o oscilaţie de forma
( )sinx A tω ϕ= + (1.39)
unde 1 2x x x= + (1.40)
Înlocuind în 1.40 expresiile lor din 1.38 şi 1.39, în urma identificărilor, se
găseşte
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin sincos cos cos
A A AA A A
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= += +
(1.41)
Rezolvând sistemul 1.41, se găseşte
( )2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A ϕ ϕ= + + − (1.42)
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sincos cos
A AtgA A
ϕ ϕϕϕ ϕ+
=+
(1.43)
Amplitudinea mişcării rezultante 1.42 depinde de valoarea diferenţei de
fază ( ) ( )2 1 2 1t tϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ϕΔ = + − + = −
Dacă 0ϕΔ = (oscilaţii în fază), atunci
1 2A A A= + (1.44)
Dacă ϕ πΔ = (oscilaţii în opoziţie de fază), atunci
2 1A A A= − (1.45)
Dacă 2πϕΔ = (oscilaţii în cuadratură), atunci
2 21 2A A A= + (1.46)
1.3.3 Compunerea oscilaţiilor perpendiculare
Fie un punct material supus simultan la două oscilaţii perpendiculare (pe
direcţiile x şi y);considerăm că cele două oscilaţii au aceeaşi pulsaţie.
( )( )
1
2
sin
sin
x A t
y B t
ω ϕ
ω ϕ
= +
= + (1.47)
FIZICĂ
18
Eliminând timpul, din 1.47 se va găsi ecuaţia generală a traiectoriei
punctului material care este ecuaţia generală a unei elipse înscrise într-un
dreptunghi cu laturile 2A şi 2B
( ) ( )2 2
22 1 2 12 2 2 cos sinx y x y
A B A Bϕ ϕ ϕ ϕ+ − − = − (1.48)
Dacă ( )2 1 1 ,n cuϕ ϕ ϕ πΔ = − = − n=0, 1, 2, … atunci 1.48 devine
By xA
= ± (1.49)
adică punctual material se mişcă pe o dreaptă.
Dacă
( )2 1 , 0,1,2,...2
n nπϕΔ = + = atunci 1.48 devine
2 2
2 2 1x yA B
+ = (1.50)
Adică punctual material se mişcă pe o traiectorie eliptică centrată la axele
ox şi oy care sunt şi direcţiile de oscilaţie a celor două oscilaţii care se compun.
În cazul în care A=B=R expresia 1.50 devine
2 2 2x y R+ = (1.51) Adică mişcarea are loc pe un cerc cu raza R.
În figura 1.5 sunt reprezentate unele din situaţiile prezentate mai sus.
Valoarea vitezei în fiecare punct al traiectoriei şi sensul în care este
parcursă traiectoria se determină după relaţiile
2 2 2 2x yv v v x y= + = + cu ( )1cosx A tω ω ϕ= + şi ( )2cosy B tω ω ϕ= +
Observaţie. Dacă cele două oscilaţii perpendiculare au pulsaţii diferite
atunci traiectoriile mişcărilor rezultante sunt curbe complicate numite figuri
Figura 1.5
y
x B
A
y
xB
A
y
x B
A
a) 0ϕΔ = b) 0 / 2ϕ π< Δ < b) / 2ϕ πΔ =
OSCILAŢII
19
Lissajous. Forma acestora depinde de valoarea diferenţei de fază şi de raportul
perioadelor lor de oscilaţie.
1.3.4 Compunerea oscilaţiilor cu aceeaşi direcţie şi pulsaţii diferite (fenomenul de bătăi).
Considerăm două oscilaţii paralele cu pulsaţii diferite
1 1
2 2
sinsin
x A tx A t
ωω
==
(1.52)
Unde 1 2,ω ω ω ω ω ω= −Δ = + Δ şi ω ωΔ
Compunând cele două oscilaţii, se obţine
( ) ( )1 2 sin sin 2 cos sinx x x A t A t A t tω ω ω ω ω ω= + = −Δ + + Δ = Δ ⋅ (1.53)
Din expresia 1.53 se observă că mişcarea rezultantă are amplitudinea
2 cosrezA A tω= Δ (1.54)
Modulată periodic cu perioada
2A
T πω
=Δ
(1.55)
Observaţie. Dacă cele două oscilaţii care se compun au amplitudini egale
(cazul prezentat mai sus) atunci amplitudinea rezultantă variază între zero şi
2A iar dacă amplitudinile sunt diferite atunci amplitudinea rezultantă variază
între 1 2A A+ şi 1 2A A− .
t
Figura 1.6
2A
2A−
T
2AT
x
FIZICĂ
20
Tot din expresia 1.53 se observă că perioada mişcării rezultante este
2 2AT Tπ π
ω ω= ∠ =
Δ (1.56)
Rezultatele prezentate mai sus sunt reprezentate grafic în figura 1.6
2. PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
2.1 Introducere
Oscilaţiile unui punct material dintr-un mediu se transmit din aproape în
aproape datorită forţelor de interacţiune dintre particulele mediului. De fapt,
propagarea oscilaţiilor într-un mediu reprezintă transportul energiei oscilaţiilor
prin acel mediu. Dacă în cursul propagării energia oscilaţiilor se transformă în
alte forme de energie (de exemplu în energie termică) atunci se spune că acel
mediu este absorbant.
Oscilaţiile se propagă sub formă de unde. în general se poate considera că o
undă reprezintă o perturbaţie (mecanică, electromagnetică) care se propagă în
spaţiu, din aproape în aproape, prin intermediul unui câmp (câmp de forţe
elastice, de presiune, câmp electromagnetic).
Dacă v reprezintă viteza de propagare a unei unde (numită viteză de fază)
după o anumită direcţie atunci distanţa parcursă de undă în timpul unei
perioade T de oscilaţie se numeşte lungime de undă ( )λ
vvTλυ
= = (2.1)
unde υ poartă numele de frecvenţă.
Un tip de unde (perturbaţii) importante din punct de vedere fizic este cel al
undelor periodice, la care funcţia de undă (mărimea perturbată) ( ),x tψ are
proprietatea
( ) ( ), , , 1, 2,..x t x t nt nψ ψ= + = (2.2)
Aceasta înseamnă că într-un punct dat (x=ct.), funcţia ψ ia aceeaşi valoare
când t variază cu cantităţile T, 2T, 3T, …Echivalent, aceasta înseamnă că la un
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
21
anumit moment t funcţia ψ ia aceeaşi valoare când x creşte sau descreşte cu
cantităţile , 2 2 ,..vT vTλ λ= =
( ) ( ) ( ), , ,x t x nvT t x t nTψ ψ ψ= ± = ± (2.3)
Din 2.2 şi 2.3 rezultă că funcţia de undă are forma ( )x vtψ ±
Notând ,u x vt= ± derivatele pentru funcţia ψ sunt
2 2 2 2
22 2 2 2, v
x u t uψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂
= =∂ ∂ ∂ ∂
Rezultă
2 2
2 2 2
1 0x v tψ ψ∂ ∂
− =∂ ∂
(2.4)
Dacă unda se propagă într-un mediu omogen, izotrop şi neabsorbant atunci
funcţia de undă are forma ( ) ( ), , , ,x y z t r tψ ψ= iar ecuaţia 2.4 devine
2
2 2
1 0v t
ψψ ∂Δ − =
∂ (2.5)
Ecuaţiile 2.4 şi 2.5 poartă numele de ecuaţia diferenţială a undelor.
Soluţia generală a ecuaţiei 2.4 este
( ) ( ) ( )1 2,x t f x vt f x vtψ = − + + (2.6)
sau
( ), x xx t f t tv v
ψ ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.7)
Cei doi termeni corespund superpoziţiei a două unde Primul termen
corespunde undei progresive, adică undei care se propagă în sensul axei 0x iar
cel de al doilea termen corespunde undei regresive care se propagă în sens
opus.
Dacă unda se propagă într-un singur sens atunci, evident, se foloseşte un
singur termen al funcţiei. Dacă însă unda se reflectă, atunci se utilizează ambii
termeni.
Locul geometric al punctelor care au la un moment dat aceeaşi fază, adică
x vt ct− = sau x vt ct+ = poartă numele de suprafaţă de undă.
Se observă că viteza cu care se deplasează aceste suprafeţe este
FIZICĂ
22
dxvdt
= ±
şi din acest motiv se numeşte viteză de fază.
În funcţie de forma suprafeţelor de undă, undele pot fi clasificate în unde
plane, sferice, elipsoidale etc.
2.2 Unda plană transversală
Vom considera un mediu omogen şi
izotrop în care propagarea undelor are
loc fără atenuare. Dacă toţi oscilatorii
situaţi într-un plan perpendicular pe
direcţia de propagare a undei oscilează în
fază atunci unda este plană.
Fie un oscilator (sursă de oscilaţii) S
(figura 2.1) care oscilează după legea
( ) ( ), , sin sin 2sty x t x t A t AT
ψ ω π= = = (2.8)
Oscilaţiile care au loc pe direcţia y şi se propagă pe o direcţie
perpendiculară x, poartă numele de oscilaţii transversale.
Considerând doar unda progresivă (care se propagă de la S spre P), funcţia
de undă în punctul P va fi (vezi şi 2.7)
( ) ( )
( )
, sin
sin sin 2 sin
pxx t f t A t tv
x t xA t A A t kxv T
⎛ ⎞ ′= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ψ ω
ω π ωλ
(2.8)
În expresia 2.8, mărimea
2kv
π ωλ
= = (2.9)
Poartă numele de număr de undă şi este egal cu numărul de lungimi de
undă λ care sunt cuprinse în 2π unităţi de lungime.
În general se defineşte vectorul de undă,
2k kn nπλ
= = (2.10)
unde n este versorul direcţiei de propagare a undei.
Px S
nA
A−x
Figura 2.1
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
23
Astfel, ecuaţia undei plane monocromatice care se propagă pe direcţia k
are forma
( ) ( ), sinr t A t krψ ω= − (2.11)
Ecuaţia
t kr constω − = Sau
( )x y zt k x k y k z constω − + + = (2.12)
Reprezintă ecuaţia unui plan la un moment dat t (suprafaţă de undă) iar
vectorul k este perpendicular pe acest plan.
2.3 Ecuaţia coardei vibrante
Considerăm o coardă AB fixată la capete de-a lungul axei 0x ( Fie M un punct de pe coarda AB şi fie PQ un element de coardă cu
lungimea dx din jurul punctului M. în timpul vibraţiei coardei, la un moment t,
elementul de coardă PQ va ocupa poziţia P Q′ ′ fiind tensionat de forţele T şi
( )T T T′ ′≈ . Rezultanta acestor forţe pe axa oy tinde să readucă elementul P Q′ ′
în poziţia PQ. Valoarea acestei forţe este
sin sinydT T Tθ θ′ ′= − (2.13)
unde .dxxθθ θ ∂′ = +∂
Unghiurile fiind mici dytgdx
θ θ = şi 2
2
yx xθ∂ ∂=
∂ ∂ (2.14)
x
a)
y
'P
'M
'Q
( )P x
M
( d )Q x x+
A
B
'P
'Q
( d )Q x x+
( )P x
y
y
dyy xx∂
+∂
'T
T
'θ
( , )x tθ
b)
Figura 2.2
FIZICĂ
24
În acest fel 2.13 devine
2
2yydT T dx
x∂
=∂
(2.15)
Dacă m este masa corzii şi l lungimea acesteia, masa unităţii de lungime
este ml
μ = şi din legea a doua a mecanicii se obţine
2
2yydT dx
tμ ∂
= ⋅∂
(2.16)
Egalând 2.15 cu 2.16 se găseşte
2 2
2 2 0y yx T t
μ∂ ∂− =
∂ ∂ (2.17)
Se observă că ecuaţia diferenţială 2.17 are aceeaşi structură cu ecuaţia
diferenţială a undelor 2.4 în care
trTv vμ
= = (2.18)
Este viteza undelor transversale din coardă.
2.4 Propagarea undelor longitudinale
Undele longitudinale se propagă atât în medii solide cât şi în fluide (lichide
şi gaze);undele transversale se propagă numai în medii solide. La undele
transversale oscilaţiile particulelor mediului se fac perpendicular pe direcţia de
propagare a undei în timp ce la undele longitudinale particulele mediului
elastic oscilează pe direcţia propagării undei, astfel încât în mediu există în
orice moment o succesiune de deformaţii de comprimare şi destindere.
Pentru a obţine ecuaţia de propagare a undelor longitudinale într-un mediu
solid elastic cu densitatea ρ şi modulul de elasticitate E vom considera o
epruvetă sub forma unei bare de secţiune S (figura 2.3). Fie o perturbaţie F
produsă în planul AB al barei, pe direcţia barei, şi care se propagă de-a lungul
acesteia (axa 0x). în timpul propagării undei de-a lungul barei,
Planul de abscisă x devine x+X iar planul de abscisă x+dx devine
.x dxx dx X ++ + Lungimea porţiunii dx a elementului de bară cu volumul
dV=Sdx trece la valoarea
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
25
( ) ( )x dxXx dx X x X dx dxx+
∂+ + − + +
∂ (2.19)
Legea lui Hooke în acest caz se scrie astfel
1X Fx E S
∂=
∂ (2.20)
şi 2
2
XdF ES dxx
∂=
∂ (2.21)
Pe de altă parte legea a doua a dinamicii în acest caz se scrie astfel
2
2
XdF dm a dV dxx
ρ ∂= ⋅ =
∂ (2.22)
Egalând expresiile pentru dF din 2.21 şi 2.22, se găseşte
2 2
2 2 0X Xx E x
ρ∂ ∂− =
∂ ∂ (2.23)
Comparând 2.23 cu 2.4 se găseşte viteza de propagare a undelor
longitudinale ( )lv într-un mediu elastic cu densitatea ρ şi modulul de
elasticitate E
lEvρ
= (2.24)
2.5 Propagarea undelor în lichide
Propagarea undelor în lichide poate fi studiată prin analogie cu propagarea
undelor longitudinale în bare unde în locul barei se va considera un cilindru
plin cu un lichid. O perturbaţie produsă la un capăt al cilindrului se va propaga
S
Figura 2.3
A
B
F
x d xX
d dx X+
d dV S x= d 'V
x
FIZICĂ
26
sub forma unei unde progresive de-a lungul cilindrului constând în variaţii ale
densităţii lichidului. Deoarece lichidele au conductivitate termică mică iar în
cazul oscilaţiilor sonore frecvenţa este mare (perioada mică), căldura nu are
timp să se disipe în mediu şi în acest fel propagarea sunetelor este adiabatică.
Pentru lichide legea lui Hooke are forma
1dV Vdpχ
= − (2.25)
unde dp este presiunea exterioară care acţionând asupra volumului V produce
variaţia dV a acestuia; χ joacă rolul lui E şi poartă numele de modul de
compresibilitate.
Urmând acum acelaşi raţionament ca şi în cazul prezentat în paragraful 2.4,
se găseşte pentru viteza de propagare a undelor în lichide, expresia
lichidepv χ
ρ ρΔ
= =Δ
(2.26)
unde 0p p pΔ = − şi 0ρ ρ ρΔ = −
Mărimile 0p şi 0ρ reprezintă presiunea şi densitatea fluidului în absenţa
undei iar p şi ρ în prezenţa acesteia.
2.6 Propagarea undelor în gaze
Deoarece gazele ca şi lichidele fac parte din categoria fluidelor rezultă că în
gaze se propagă doar undele longitudinale.
Dacă frecvenţa oscilaţiilor care se propagă este mică (perioada este mare)
atunci în timpul unei perioade de comprimare şi rarefiere între regiunea în care
se propagă unda şi mediul înconjurător are loc schimb de energie. Aceasta face
ca regiunea în care se propagă unda să rămână la temperatură
constantă;spunem că avem de a face cu un proces izoterm de propagare a
oscilaţiilor.
Dacă frecvenţa este mare (perioada mică) atunci în timpul unei perioade nu
poate avea loc un schimb energetic astfel încât propagarea este adiabatică.
Propagarea izotermă respectă legea pV const= şi astfel
10,p dV V dp dV V dpp
⋅ + ⋅ = = − ⋅ (2.29)
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
27
Comparând 2.27 cu 2.25 şi făcând raţionamentul din paragraful 2.5 se
găseşte pentru viteza de propagare izotermă în gaze, expresia
izotpvρ
= (2.28)
Propagarea adiabatică se face respectând legea acestei transformări
p V constγ⋅ = (2.29)
unde p
v
CC
γ = este exponentul adiabatic.
Din 2.29 se obţine
1dV V dppγ
= − ⋅
şi pentru viteza propagării adiabatice expresia
adp RTv γ γρ μ
= = (2.31)
S-a considerat că acel gaz este ideal şi respectă ecuaţia gazelor perfecte
,p RTμ ρ= unde μ este masa molară a gazului, T este temperatura absolută a
gazului iar R este constanta gazelor perfecte.
2.7 Dispersia undelor. Viteza de grup
Până în prezent au fost studiate fenomenele legate de propagarea undelor
considerând că acestea au forma 2.11 adică sunt unde monocromatice
caracterizate de frecvenţa 2ωυπ
= . în practică se întâlnesc situaţii în care avem
de a face cu propagarea unor unde compuse dintr-un număr foarte mare de
unde sinusoidale cu frecvenţe foarte apropiate între ele. Dacă o undă
monocromatică se propagă cu viteza v, numită viteză de fază şi care depinde de
frecvenţa acesteia, atunci grupul (pachetul) de unde se va deplasa cu o viteză
gv , numită viteză de grup. Altfel spus, viteza de grup, care diferă de viteza
undelor componente, reprezintă viteza cu care se deplasează maximul
amplitudinii rezultante şi deci al densităţii de energie a undei.
Dacă considerăm cazul simplu a două unde monocromatice cu frecvenţele
FIZICĂ
28
11 2
ωυπ
= şi 22 2
ωυπ
= şi numerele de undă 11
2k πλ
= şi 22
2 ,k πλ
= atunci maximul
amplitudinii rezultante la momentul 0t se va găsi în punctul de abscisă 0x unde
undele sunt în fază
( ) ( )1 0 1 0 2 0 2 0 2 1 2 1 0, 0t k x t k x t k k xω ω ϕ ω ω− = − Δ = − − − = (2.32)
Fie 0t dt+ şi 0 ,x dx+ momentele, respectiv abscisele pentru care fazele din
nou coincid, adică avem un maxim de amplitudine
( )( ) ( )( )2 1 0 2 1 0 0t dt k k x dxω ω− + − − + = (2.33)
Ţinând seama de 2.32, expresia 2.33 devine
( ) ( )2 1 2 1 0dt k k dxω ω− − − = (2.34)
Astfel viteza maximului de amplitudine, adică viteza de grup, este
2 1
2 1g
dxvdt k k k
ω ω ω− Δ= = =
− Δ (2.35)
În general viteza de grup are expresia
( ) 2g
vdd vkd dvv vdk dk d dω λλ λ
λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = − = − (2.36)
Fenomenul prin care undele cu frecvenţe diferite se propagă cu viteze
diferite poartă numele de dispersie a undelor.
2.8 Gama undelor mecanice
Undele mecanice existente în natură ocupă o anumită gamă de frecvenţe.
Clasificarea acestora este dată în tabelul 2.1
Tabelul 2.1
Denumirea domeniului
Infrasunete (Infraacustica)
Sunete (Acustica)
Ultrasunete (Ultraacustica)
Hipersunete (Hiperacustic)
Gama de Frecvenţe (Hz) <16 16-20000 20000-20 108 >20 108
Undele mecanice care impresionează urechea umană, adică produc o
senzaţie auditivă, poartă numele de sunete. Pentru ca o undă mecanică să
producă senzaţie auditivă, sunt necesare, de fapt, mai multe condiţii:
i să aibă o durată mai mare de 0, 05 secunde,
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
29
i să aibă o frecvenţă cuprinsă între 16-20000Hz,
i să aibă o valoare minimă, numită prag de audibilitate (de exemplu pentru
o frecvenţă de 310 Hz acesta este de 12210 )W
m− .
Trebuie de precizat că urechea umană nu reacţionează proporţional cu
mărimea excitaţiei. Dacă intensitatea excitaţiei (I) creşte în progresie
geometrică, intensitatea senzaţiei (S) creşte în progresie aritmetică (legea
Weber-Fechner).
22 1
1
lg IS S SI
Δ = − = (2.37)
De asemenea trebuie spus că urechea umană are sensibilitatea maximă în
domeniul de frecvenţe cuprins între 3 310 3 10 .Hz− ⋅
Vibraţiile cuprinse între 0-16Hz, numite infrasunete, nu sunt sesizate de
urechea umană dar sunt percepute de anumite animale, păsări şi peşti. De
asemenea oscilaţiile cu frecvenţa mai mare de 20kHz (ultrasunetele) sunt
percepute de lilieci, delfini, câini, ţânţari, rozătoare. Ultrasunetele, care pot fi
produse prin efectul piezoelectric sau prin fenomenul de magnetostricţiune,
cunosc o gamă largă de aplicaţii: sonolocaţia, ecografia, defectoscopia
nedistructivă, sudarea şi lipirea cu ultrasunete, detensionarea cu ultrasunete,
prelucrarea şi curăţirea cu ultrasunete, amestecarea lichidelor nemiscibile,
obţinerea de aerosoli etc.
2.9 Intensitatea sunetului şi presiunea sonoră
Fie o undă sonoră care transportă energia totală dW printr-o suprafaţă S
(normală la viteza undei v) în intervalul de timp dt. în acest interval de timp
unda sonoră se propagă pe distanţa dl. Energia totală este suma dintre energia
cinetică a particulelor care oscilează şi energia potenţială elastică de deformare.
Fluxul Φ de energie reprezintă cantitatea de energie (dW) care trece prin
suprafaţa S în unitatea de timp
1 dW S dl vS dt S dt
ϖ ϖ⋅ ⋅Φ = = = ⋅
⋅ (2.38)
FIZICĂ
30
unde ϖ este densitatea de energie.
Valoarea medie în timp a fluxului de energie poartă numele de intensitate a undei (sunetului) I vϖ= (2.39)
O altă mărime care caracterizează unda sonoră în fiecare punct al ei este
presiunea sonoră SP dată de diferenţa dintre presiunea p, într-un punct, în
prezenţa undei şi presiunea 0p în acelaşi punct în absenţa undei
0SP p p= − (2.40)
În cazul undelor sonore, perturbaţia care se propagă este o perturbaţie a presiunii iar legea lui Hooke este(vezi şi 2.20)
( )SF XP x E ES x x
ψ∂ ∂= = =
∂ ∂ (2.41)
Ţinând seama de 2.8, pentru 2.41 se găseşte
( ) 2 cos 2St xP x EAT
π πλ λ
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.42)
Deoarece lEvρ
= şi ,vTλ = se găseşte
( ) 2 cos 2
2 sin 22
St xP x vA
T Tt xvA
T T
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
π ρ πλ
π πρ πλ
(2.43)
Presiunea sonoră maximă este
( )max2
SP vATπ ρ= (2.44)
Din 2.43 se observă că presiunea sonoră este defazată cu 2π în urma
funcţiei de undă ψ .
2.10 Fenomene comune undelor
Cu ajutorul undelor se pot obţine următoarele fenomene: reflexia, refracţia,
dispersia, interferenţa, difracţia, atenuarea şi polarizarea (doar pentru undele
transversale). Studiul acestor fenomene se va face doar pentru undele
electromagnetice.
PROPAGAREA OSCILAŢIILOR. UNDE MECANICE
31
S
( )Sν
Sv Rv R
2.11 Efectul Doppler acustic
Efectul Doppler constă în variaţia frecvenţei recepţionate de un receptor
dacă sursa şi receptorul sunt în mişcare relativă.
În acest caz se disting trei situaţii:
i sursa S este mobilă şi observatorul O este fix,
i sursa S este imobilă şi observatorul O este mobil,
i sursa S şi observatorul O sunt mobile.
Se va analiza prima situaţie în care sursa S se apropie de observatorul O fix
cu viteza sv (figura 2.4). Fie o vibraţie care porneşte de la sursa S la momentul
t. Ea va ajunge în punctual O la momentul SO
tv
+ , unde v este viteza de
propagare a vibraţiei. După o perioadă T, adică la momentul t+T, pleacă de la
sursa S a doua vibraţie;sursa S a parcurs între timp spaţiul sSS v T′ = ⋅ . A doua
vibraţie ajunge la observatorul (receptorul) O după timpul
sSO SS SO v Tt T t T
v v′− −
+ + = + + (2.45)
Diferenţa, în timp, între cele două vibraţii recepţionate de observatorul O
este
s sv T v vt T T Tv v
−′Δ = = − = (2.46)
Figura 2.4
Deoarece 1v Tλ λυ−= = , unde λ este lungimea de undă iar υ este
frecvenţa vibraţiilor, se obţine
s
vv v
υ υ′ =−
(2.47)
FIZICĂ
32
Din expresia 2.47 se observă că la apropierea sursei de vibraţie S de un
observator fix O, frecvenţa vibraţiilor recepţionate υ′ este mai mare decât
frecvenţa vibraţiilor emise .υ
Dacă sursa S se îndepărtează de observatorul O, atunci
,s
s
v v vT Tv v v
υ υ+′ ′= =+
(2.48)
Făcând un raţionament analog şi pentru celelalte situaţii, se poate completa
tabelul 2.2
Tabelul 2.2 S mobil (cu viteza sv )
O fix S fix
O mobil (cu viteza ov ) S mobil(cu viteza sv ) O mobil (cu viteza ov )
sv vT Tv
′ =∓
s
vv v
υ υ′ =∓
0
vT Tv v
′ =±
ov vv
υ υ ±′ =
s
o
v vT Tv v
′ =±∓
o
s
v vv v
υ υ ±′ =±