144 CAPITOLUL V FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE 5.1. Elemente de topologie Spaţiul ( ) ( ) { } } ,..., 2 , 1 { ,..., , 2 1 n i x x x x x i n n ∈ ∀ ∈ = = R R . Fie n n : R R R → × + n operaţie internă, definită astfel ( ) n R ∈ ∀ y x, atunci ( ) n n def y x y x y x y x + + + = + ,..., , 2 2 1 1 rezultă ( ) + , n R este grup abelian. Se defineşte operaţia externă: n n R R R → × ⋅ : astfel încât ( ) R ∈ α ∀ şi ( ) ∀ n R ∈ x avem: ( ) n def x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ α α α α ,..., , 2 1 . Rezultă ( ) R R n / , , ⋅ + este spaţiu vectorial. În spaţiul n R se defineşte norma euclidiană notată cu: + → ⋅ R R n : astfel încât pentru ( ) R ∈ ∀ x avem 2 2 2 2 1 ... n x x x x + + + = , care satisface axiomele normei: 1) 0 ≥ x pentru ( ) R ∈ ∀ x şi 0 = x 0 = ⇔ i x pentru n i ,..., 2 , 1 = ; 2) x x ⋅ = λ λ pentru ( ) ∀ n R ∈ x şi R ∈ λ ; 3) y x y x + ≤ + pentru ( ) ∈ ∀ y x, R. În acest fel ( ) , n R devine spaţiu normat. Observaţie. În spaţiul n R se pot introduce mai multe norme: ∑ = = n i i x x 1 1 ; ∑ = = n i i x x 1 2 2 ; i n i x x ÷ = ∞ = 1 max . Între ele există relaţia: ∞ ∞ ≤ ≤ ≤ x n x x x 1 2 . Toate aceste norme induc aceeaşi topologie pe n R . Vezi [2]. Noţiuni de topologie pe n R Odată ce a fost definită o normă pe n R , atunci se poate introduce o distanţă pe acest spaţiu:
Transcript
144
CAPITOLUL V
FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE 5.1. Elemente de topologie Spaţiul ( ) ( ){ }},...,2,1{,...,, 21 nixxxxx in
n ∈∀∈== RR . Fie nn: RRR →×+ n operaţie internă, definită astfel ( ) nR∈∀ yx, atunci
( )nn
defyxyxyxyx +++=+ ,...,, 2211 rezultă ( )+,nR este grup abelian.
Se defineşte operaţia externă: nn RRR →×⋅ : astfel încât ( ) R∈α∀ şi ( )∀ nR∈x avem:
( )n
defxxxx ⋅⋅⋅=⋅ αααα ,...,, 21 .
Rezultă ( ) RRn /,, ⋅+ este spaţiu vectorial. În spaţiul nR se defineşte norma euclidiană notată cu:
+→⋅ RRn: astfel încât pentru ( ) R∈∀ x avem 222
21 ... nxxxx +++= , care
satisface axiomele normei: 1) 0≥x pentru ( ) R∈∀ x şi 0=x 0=⇔ ix pentru ni ,...,2,1= ;
2) xx ⋅= λλ pentru ( )∀ nR∈x şi R∈λ ; 3) yxyx +≤+ pentru ( ) ∈∀ yx, R. În acest fel ( ),nR devine spaţiu normat. Observaţie. În spaţiul nR se pot introduce mai multe norme:
∑=
=n
iixx
11 ;
∑=
=n
iixx
1
22 ;
inixx
÷=∞=
1max .
Între ele există relaţia: ∞∞
≤≤≤ xnxxx 12 . Toate aceste norme induc
aceeaşi topologie pe nR . Vezi [2]. Noţiuni de topologie pe nR Odată ce a fost definită o normă pe nR , atunci se poate introduce o distanţă pe acest spaţiu:
145
+→× RRR nnd: , astfel încât ( ) R∈∀ yx, avem:
( ) ( )∑=
−=−=n
iii yxyxyxd
1
2, .
Se demonstrează că d este o distanţă, adica satisface următoarele axiome: 1) ( ) 0, ≥yxd pentru ( ) nR, ∈∀ yx şi ( ) ii yxyxyxd =⇔=⇔= 0, pentru
Spaţiul ( )dn ,R devine spaţiu metric în care se poate defini noţiunea de bilă centrată în 0x şi rază r notată cu: ( ){ }rxxdxV nr
x <∈= ,00R
care reprezintă bila centrată în 0x şi rază r şi este o mulţime deschisă (nu conţine frontiera). ( ){ }rxxdxV nr
x ≤∈= ,R 00 reprezintă o mulţime închisă şi reprezintă sfera centrată
în 0x şi rază r inclusiv frontiera sferei. Definiţia 1. Se numeşte vecinătate a punctului nx R∈0 , orice mulţime care conţine o sferă deschisă r
xV0 ⇔ A este vecinătate a lui Ax ∈0 ⇔ ( )∃ r
xV0 astfel
încât rxV
0A⊂ .
Definiţia 2. Se numeşte bază de vecinătaţi a punctului 0x şi se notează cu: { }0
00>= rcuVV r
xx , mulţimea tuturor sferelor centrate în 0x şi rază r cu r>0. Definiţia 3. Fie nA R⊂ . Spunem că punctual 0x este punct interior pentru A ⇔ ⇔ ( )∃ r
xV0∈
0xV astfel încât rxV
0A⊂ .
Definiţia 4. nA R⊂ se numeşte mulţime deschisă, dacă este formată doar din puncte interioare. Definiţia 5. Se numeşte interiorul unei mulţimi A notată cu:
{ }interiorpunctestexxA =
.
Proprietate. Mulţimea A este deschisă ⇔
AA = . Vezi [2]. Definiţia 6. Fie nA R⊂ şi 0x un punct. 0x se numeşte punct aderent ⇔ ( )∀
00 xr
x VV ∈ avem Ο/≠AV rx
0.
Definiţia 7. Fie nA R⊂ . Se numeşte închiderea mulţimii A , notată cu
{ }aderentpunctestexxA =−
, mulţimea tuturor punctelor aderente lui A .
146
Proprietate. Mulţimea A este închisă ⇔−
= AA . Vezi [2].
Definiţia '7 . Fie nA R⊂ . Se numeşte frontiera lui A notată cu ( ) =AFr AA−−
. Definiţia 8. Fie nA R⊂ şi nx R∈0 , se numeşte punct de acumulare pentru A ⇔ ⇔ ( )∀ r
xV0 avem { }( ) Ο/≠− AxV r
x 00.
Proprietate. Orice punct de acumulare este punct aderent, reciproca nu este adevărată. Definiţia 9. nA R⊂ se numeşte mărginită ⇔ ( )∃ r
xV0 astfel încât ⊂A r
xV0 cu r
finit ⇔ ( )∃ 0>r astfel încât rx < , ( )∀ A∈x . Definiţia 10. nA R⊂ se numeşte compactă ⇔ A este închisă şi mărginită. Definiţia 11. nA R⊂ se numeşte conexă ⇔ ( )∀ 1A şi 2A nR⊂ astfel încât
AAA =21 şi Ο/=21 AA cu Ο/≠1A , Ο/≠2A , atunci cel puţin una din ele are un punct de acumulare în cealaltă. 5.2. Şiruri de puncte în nR (Şiruri în nR )
Fie şirul { } nmmx RN ⊂∈ , adică ( ) nm
nmm
m xxxx R∈= ,...,, 21 . Definiţia 1. Şirul { } N∈mmx este convergent către ( )00
2010 ,..., nxxxx = ⇔ ( ) 0>ε∀ ,
( ) ∈∃ εN N, astfel încât ε<− 0xxm pentru ( )∀ ε≥ Nm . Criteriul general al lui Cauchy Şirul { } n
mmx RN ⊂∈ este convergent ⇔ ( ) 0>ε∀ ( ) N∈∃ εN astfel încât ε<−+ mpm xx pentru ( )∀ ε≥ Nm şi ( )∀ N∈p .
Definiţia 2. Şirul { } N∈mmx este mărginit ⇔ ( ) 0>∃ r astfel încât rm Vx 0∈ pentru
orice N∈m . Propoziţie. Fie şirul { } n
mmx RN ⊂∈ cu ( )mn
mmm xxxx ,...,, 21= .
Şirul { } nmmx RN ⊂∈ are limita ( )00
2010 ,..., nxxxx = dacă şi numai dacă şirurile
( ) { }nkxx kmk ,...,2,1,0 ∈∀→ .
Demonstraţie. Necesitatea Convergenţa şirului { } n
mmx RN ⊂∈ la ( )002
010 ,..., nxxxx = este echivalentă cu
( ) ( ) N∈∃>ε∀ εN,0 astfel încât
( ) ε≥∀ε<− Nmxxm ,0 ( ) ε<−=−⇔ ∑=
n
kk
mkm xxxx
1
200 , ( ) ε≥∀ Nm . (1)
147
Cum, ( )∑=
−≤−n
kk
mkk
mk xxxx
1
200 (2)
atunci din relaţile (1) şi (2) rezultă :
( ) ( ) ε=
≥∀ε<−≤− ∑ Nmxxxxn
kk
mkk
mk ,
1
200 ⇔ ( ) { }nkxx kmk ,...,2,1,0 ∈∀→ ,
adică fiecare componentă a şirului este un şir convergent. Suficienţa
Cum ( ) { }nkxx kmk ,...,2,1,0 ∈∀→ , avem ( ) ( ) N∈∃>ε∀ εN,0 astfel încât
,0
nxx k
mk
ε<− ( ) ε≥∀ Nm şi ( ) { }nk ,...,2,1∈∀ . (3)
Dar, ∑∑==
≤≤n
kk
n
kkk aaa
11
2 . (4)
Aplicând (3) şi (4) obţinem :
( ) ε<ε⋅<−≤− ∑∑
== nnxxxx
n
kk
mk
n
kk
mk
1
0
1
20 , ( ) ε≥∀ Nm ( ) ε≥∀ε<−⇔ Nmxxm ,0 .
Observaţie. Această proprietate arată că studiul şirurilor în nR se face cu ajutorul teoriei şirurilor din R ( pe componente). 5.3. Funcţii de mai multe variabile Definiţia1. Dacă nR⊂X şi R→Xf : ( )nxxxfy ,,, 21 =⇔ , spunem că avem funcţie reală de variabilă vectorială sau funcţie reală de n variabile sau funcţie scalară de variabilă vectorială. Exemplul 1. Fie 3R⊂X şi R→Xf : ( )321 ,, xxxfy =⇔ , aceasta reprezintă temperatura punctului ( ) XxxxM ∈321 ,, . Pentru măsurarea temperaturii nu este nevoie decât de o mărime scalară şi aceasta este temperatura punctului M din X. Exemplul 2. Fie 3RR, ⊂→ DDf : , ( ) 2224,, zyxzyxf −−−= . Se cere domeniul de definiţie. Punând condiţia de existenţă 04 222 ≥−−− zyx obţinem
4222 ≤++ zyx , deci domeniul D este sfera închisă de centru ( )0,0,0O şi rază 2. Definiţia2. Dacă nR⊂X şi *m NR ∈⊂ nmY ,, , atunci funcţia
YXf →: se numeşte funcţie vectorială reală de variabilă vectorială,
148
( ) ( )
( )( )
( )
=
==
⇔==
nmm
n
n
mn
xxxfy
xxxfyxxxfy
yyyxxxfy
,,,
,,,,,,
,,,,,,
21
2122
2111
2121
.
În acest caz funcţiile vectoriale de variabilă vectorială se numesc câmpuri vectoriale. Exemplu. Fie YXf →: , cu 3R⊂YX , , atunci ( ) ( ) ( ) ( )( )zyxRzyxQzyxPzyxf ,,,,,,,,,, = . Dacă se consideră vectorul de poziţie , notat kzjyixr ++= , a punctului
( )zyxM ,, , atunci funcţia vectorială poate fi scrisă cu ajutorul vectorilor în felul următor : ( ) ( ) ( ) ( )kzyxRjzyxQizyxPzyxf ,,,,,,,, ++= .
5.4. Limite de funcţii
Fie YXf →: cu nR⊂X , *m ,cu , NR ∈⊂ nmY . Definiţia 1. Fie 0x un punct de acumulare pentru X . Se spune că vectorul l este limita funcţiei f în 0x şi se notează, ( )xfl
xxxx0
0lim≠→
= dacă ( ) ( )0
, xl UV VV ∈∃∈∀
astfel încât { }( ) ( ) { }00 \\ xUxVxUf ∈∀⇔⊂ avem ( ) Vxf ∈ . Definiţia 2. Fie 0x un punct de acumulare pentru X . Se spune că vectorul l este limita funcţiei f în 0x şi se notează, ( )xfl
xxxx0
0lim≠→
= dacă ( ) ( ) 0,0 >η∃>ε∀ ε astfel
încât ( ) ( ) 0, xxlxf ≠∀ε<− cu εη<− 0xx . Definiţia 3. Fie 0x un punct de acumulare pentru X . Se spune că vectorul l este limita funcţiei f în 0x şi se notează, ( )xfl
xxxx0
0lim≠→
= dacă ( ){ } Xx kk ⊂∀ ∈N cu
00 , xxxx kk →≠ , atunci ( ) lxf kk=
∞→lim .
Observaţii. 1) În acest caz nu mai putem vorbi de limita la stânga şi limita la dreapta, dar putem vorbi de limita funcţiei după o anumită variabilă. 2) Cele trei definiţii sunt echivalente. Vezi [2].
149
5.5 Continuitatea funcţiilor de mai multe variabile Fie YXf →: cu nR⊂X , *m NR ∈⊂ nmY ,, şi Xx ∈0 . Definiţia 1. Se spune că f este continuă în 0x dacă ( ) ( ) ( )
00, xxf UV VV ∈∃∈∀
astfel încât ( ) VUf ⊂ . Definiţia 2. Se spune că f este continuă în 0x dacă ( ) ( ) 0,0 >η∃>ε∀ ε astfel încât ( ) ( ) ( )xxfxf ∀ε<− ,0 cu εη<− 0xx . Definiţia 3. Se spune că f este continuă în 0x dacă ( ){ } Xx kk ⊂∀ ∈N cu 0xxk → , atunci ( ) ( )0xfxf k → . Observaţii:
1. Funcţia f este continuă în 0x ⇔ ( ) ( )0
00
lim xfxfxxxx
=≠→
.
2. Funcţia f este continuă pe X dacă este continuă în orice punct Xx ∈0 .
3. Cele trei definiţii sunt echivalente. Vezi [2].
Continuitate parţială Fie YXf →: cu nR⊂X , ,R m⊂Y cu *N, ∈nm şi Xx ∈0 , cu
( )0002
010 ,,,, ni xxxxx = .
Definiţia 4. Se spune că f este continuă parţial în 0x în raport cu variabila ix dacă funcţia: ( ) ( )00
10
102
01 ,,,,, niiii xxxxxxfxg +−=
este continuă în raport cu ix în punctul 0ix .
Teoremă. Dacă f este continuă în punctul 0x , atunci este continuă parţial în raport cu fiecare variabilă ix în punctul 0
ix , pentru { }ni ,,2,1 ∈ . Reciproca teoremei nu este adevărată, adică există funcţii care sunt continue parţial dar nu sunt continue total. Exemplu. Fie RR →2:f , cu
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
0,0,,2, 122
6
yx
yxyx
xyyxf .
150
Avem ( ) ( ) 0,01 == yfyg , deci funcţia este continuă parţial în raport cu y . De asemenea, ( ) ( ) 00,2 == xfxg , ceea ce arată continuitatea parţială în raport cu x . Considerăm curba mxy =6 şi calculăm limita după această curbă. Avem
( ) ( )( ) ( ) .0pentru ,0
13
13lim,lim 222
2
0
0,0,6
≠≠+
=+
=→
=→
mmm
mxmxyxf
xmxy
yx Deci funcţia nu are
limită în origine.
Funcţii vectoriale uniform continue
Definiţia 5. Fie YXf →: cu nR⊂X , *m NR ∈⊂ nmY ,, . Spunem că f este uniform continuă pe X dacă ( ) ( ) 0,0 >η∃>ε∀ ε astfel încât ( ) ( ) ( ) xxxfxf ′′′∀ε<′′−′ ,, cu εη<′′−′ xx .
Teorema 1. Funcţia ( )mffff ,,, 21 = este uniform continuă pe X dacă şi numai dacă mfff ,,, 21 sunt uniform continue pe X . Vezi [1], [2] şi [4]. Teorema 2. Dacă funcţia ( )mffff ,,, 21 = este uniform continuă pe X , atunci f este continuă pe X . Vezi [1], [2] şi [4].
Proprietăţi Proprietatea 1. O funcţie vectorială continuă pe un domeniu compact este mărginită şi îşi atinge marginile. Vezi [1], [2] şi [4]. Proprietatea 2. O funcţie vectorială continuă pe un domeniu compact este uniform continuă pe acel compact. Vezi [1], [2] şi [4].
5.6 Derivate parţiale Definiţia 1. YXf →: , X deschis cu nR⊂X , ,R m⊂Y cu *N, ∈nm şi Xx ∈0 ,
( )0002
010 ,,,, ni xxxxx = . Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu variabila
ix în 0x dacă există şi este finită limita: ( ) ( )
0
0002
01
002
01 ,,,,,,,,lim
0ii
nini
xxi xx
xxxxfxxxxflii −
−=
→
( ) ( )0'
0 xfxxf
ixi
not=
∂∂
= .
Observaţie. Când se derivează în raport cu o variabilă ix atunci restul variabilelor se consideră constante. Se păstrează regulile de derivare cunoscute. Definiţia 2. Funcţia f este derivabilă parţial în raport cu variabila ix pe X dacă este derivabilă parţial în raport cu ix pe toată mulţimea X .
Derivate parţiale de ordin superior Definiţia 3. Fie YXf →: , X deschis cu nR⊂X , ,R m⊂Y cu *N, ∈nm derivabilă parţial în raport cu nxxx ,,, 21 (componentele lui x ). Dacă derivatele parţiale
1xf
∂∂ ,
2xf
∂∂ ,…,
nxf
∂∂ sunt derivabile în 0x , atunci putem defini derivata de ordin
doi a lui f în raport cu ix şi jx cu },...,2,1{, nji ∈ , astfel:
( ) ( ))()(
,,,,,,,,lim)( 0
20
2not
0
0002
01
002
01
0 0xfx
xxf
xx
xxxxxfxxxx
xf
xxf
x jiii
xxjiii
nij
nij
xxji=
∂∂∂
=−
∂∂
−∂∂
=
∂∂
∂∂
→
152
Exemple 1. YXf →: , X deschis cu 2R⊂X , 2R⊂Y .
∂∂
∂∂
=∂∂
∂yf
xyxf2
,
∂∂
∂∂
=∂∂
xf
xxf2
2
,
∂∂
∂∂
=∂∂
yf
yyf2
2
.
2. Fie ( ) ( )222 1ln,,: yxyxff ++=→ RR . Se cer yxf∂∂
∂2
, 2
2
xf
∂∂ , 2
2
yf
∂∂ .
Calculăm intâi derivatele parţiale de ordin unu:
2212
yxx
xf
++=
∂∂ , 221
2yx
yyf
++=
∂∂ .
Derivatele parţiale de ordin doi cerute vor fi: ( ) ( )
( ) ( ) ( )222
22
222
222
222
2222'
222
2
1
1
1
21
1
112
12
yxyx
yxxyx
yx
yxx
xyxx
yxx
xxf
xxf
++
+−=
++
−++=
++
++∂∂−++
⋅=
++∂
∂=
∂∂
∂∂
=∂∂
( )( ) ( )222222
22
22
2
1
4
1
12
12
yx
xy
yx
yxxy
yxy
xyf
xyxf
++=
++
++∂∂
⋅=
++∂
∂=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂ ,
( ) ( )( ) ( )222
22
222
2222'
222
2
1
1
1
112
12
yxyx
yx
yxy
yyxy
yxy
yyf
yyf
++
−+=
++
++∂∂−++
⋅=
++∂
∂=
∂∂
∂∂
=∂∂
Observaţie. Derivatele parţiale mixte yxf∂∂
∂2
şi xyf∂∂
∂2
nu sunt egale, în general.
Teorema de mai jos ne dă condiţiile necesare pentru ca aceste derivate să fie egale. Teorema lui Schwartz. Dacă funcţia ( )yxff ,,: 2 RR → are derivate parţiale mixte de ordin doi în vecinătatea V a unui punct ( )00, yx şi ''
xyf este continuă în
( )00, yx , atunci ( ) ( )00''
00'' ,, yxfyxf yxxy = .
Demonstraţie. Plecăm de la expresia: ( ) ( ) ( ) ( )( )yxfkyxfyhxfkyhxfE ,,,, −+−+−++= . (1)
Cum ϕ este continuă şi derivabilă, avem ( ) ( ) ( )yxfhyxfx xx ,, ''' −+=ϕ . (4) Din teorema lui Lagrange aplicată pentru ( ) ( )xhxE ϕ−+ϕ= , rezultă
( ) ( )hxx +∈ξ∃ , astfel încât ( ) ( ) ( )[ ]yfhyfhhE xxx ,, ''' ξ−+ξ=ξϕ= căreia îi aplicăm teorema lui Lagrange în raport cu y . Obţinem ( ) ( )kyy +∈η∃ , astfel încât ( )ηξ= ,''
xyhkfE cu ( )hxx +∈ξ , , ( )kyy +∈η , . (5)
153
Dar, ( ) ( ) ( ) ( )yxfk
yxfkyxfkx
ykk,,,limlim '
00=
−+=
ϕ→→
. (6)
Atunci, ( ) ( ) ( ) ( )yxfyhxf
kxhx
kE
yykk,,limlim ''
00−+=
−+=
→→
ϕϕ (7)
şi ţinând cont de (5) avem ( ) ( )yhf
khfk
kE
xyxy
kk,
,limlim ''
''
00ξ=
/
ηξ/=
→→. (8)
Din (7) şi (8) rezultă : ( ) ( ) ( )yxfyhxfyhf yyxy ,,, '''' −+=ξ (9) Împărţim prin h şi avem:
( ) ( ) ( )h
yxfyhxfyf yy
xy,,
,''
'' −+=ξ . (10)
Obţinem:
( ) ( ) ( ) ( )yxfh
yxfyhxfyf yx
yy
hxyh,
,,lim,lim ''
''
0
''
0=
−+=ξ
→→.
Având în vedere continuitatea funcţiei ''xyf în ( )yx, avem ( ) ( )yxfyxf yxxy ,, '''' = .
Tema 5.6. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi pentru funcţiile : 1) ( )
yxarctgyxf =,1 , 0≠y .
2) ( )22
2 ,
+
=
by
axcyxf
3) ( ) ( )yxyxf += 23 ln, , 02 >+ yx
4) ( )xyyxarctgyxf
−+
=1
,4 , 1≠xy
5) ( ) ( ) ( )nm yxyxf ++= 11,5 6) ( ) 222
6 ,, zyxzyxf ++=
7) Să se arate că funcţia r
u 1ln= , cu 22 yxr += , )0,0(),( ≠yx , verifică ecuaţia
lui Laplace în plan: 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu .
8) Să se arate că funcţia 222
),,(zyx
czyxu++
−= , )0,0,0(),,( ≠zyx , verifică
ecuaţia lui Laplace în spaţiu: 02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zu
yu
xu .
154
5.7 Diferenţiala unei funcţii de mai multe variabile
Fie YXf →: cu R∈⊂= YXX ,R 2
şi ( ) Xyx ∈00 , . Definiţia 1. Funcţia f este diferenţiabilă în ( )00 , yx dacă există R∈BA, şi
b) Funcţie compusă de o variabilă prin intermediul unei funcţii de mai multe variabile Fie ( ) ( ) 2,,,: RR ⊂×=→ dcbaXXf cu ( ) ( ) 1,,unde,, XCfXvuvufy ∈∈= , şi
Dacă ( )XCf 1∈ şi ( )βα∈ ,1Cui ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxftF n,...,, 21=⇒ şi
( ) '
1
'i
n
i ix
xftF ⋅
∂∂
=∑=
, iar ( ) dxxxfdttFdF i
n
i i
⋅
∂∂
== ∑=
'
1
' .
Operatorul de derivare este ( ) ( ) '
1i
n
i ix
xdtd
⋅∂⋅∂
=⋅ ∑=
.
Derivatele de ordin superior.
Pentru ( ) ( ) ( )( )tvtuftF ,= ( ) =
=⇒
dtdF
dtdtF '' =
⋅∂∂
+⋅∂∂ '' v
vfu
uf
dtd
+⋅
∂∂
= 'uuf
dtd ( )+⋅
∂∂ 'u
dtd
uf ( ) =
∂∂
⋅∂
+⋅
∂∂
vfv
tdv
vf
dtd ''
+⋅
⋅
∂∂
∂∂
+⋅
∂∂
∂∂
= ''' uvuf
vu
uf
u+⋅
⋅
∂∂
∂∂
+⋅
∂∂
∂∂ ''' vv
vf
vu
vf
u
+ =⋅∂∂
+⋅∂∂ '''' v
vfu
uf ( ) ( ) +
∂∂
+⋅⋅∂⋅∂
∂+⋅
∂∂ 2'
2
2''
22'2
2
2 vv
fvuvu
fuu
f=⋅
∂∂
+⋅∂∂ '''' v
vfu
uf ( )tF '' .
Pentru cazul general ( ) ( ) ( ) ( )( )txtxtxftF n,...,, 21= ⇒
( ) ( )( )== tFdtdtF ''' =
⋅
∂∂∑
=
'
1i
i
n
ix
xf
dtd
∑ ∑= =
⋅
∂∂
+⋅
⋅
∂∂
∂∂
=n
ii
iij
i
n
j jx
xfxx
xf
x1
''''
1.
( ) ( ) 2''2 dttFFd ⋅= .
Aplicaţie. Funcţii omogene. Relaţia lui Euler. Definiţia 1. Funcţia ( )nxxxf ,...,, 21 se numeşte omogenă de grad p ⇔ înlocuind pe ix cu itx rezultă: ( ) ⋅= P
n ttxtxtxf ,...,, 21 ( )nxxxf ,...,, 21 . Atunci derivând această relaţie în raport cu variabila t, rezultă
=⋅∂∂∑
=i
n
i ix
xf
1( )n
p xxxftp ,...,, 211−⋅
Înlocuind pe t=1 se obţine:
( )ni
n
i ixxxfpx
xf ,...,, 21
1⋅=⋅
∂∂∑
=
, numită relaţia lui Euler.
c) Funţii compuse de două variabile prin intermediul unei funcţii de două variabile. Fie ( )vufw ,= şi ( )yxuu ,= ⇒ ( ) ( ) ( )( )yxvyxufyxF ,,,, = este funcţie compusă de
159
( )yxvv ,= variabilele x şi y prin intermediul funcţiei ( )vuf , . Dacă f,u,v sunt funcţii derivabile, atunci derivatele ei parţiale de ordin intâi, dacă aplicăm b) sunt:
xv
vf
xu
uf
xF
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂ ;
yu
uf
yu
uf
yF
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂ ,
iar diferenţiala funcţiei F este:
=⋅∂∂
+⋅∂∂
= dyyFdx
xFdF = dy
yv
vf
yu
ufdx
xv
vf
xu
uf
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂ .
Operatorii de derivare care rezultă din relaţiile de sus au forma:
a) ( ) ( ) ( )xv
vxu
ux ∂∂⋅
∂⋅∂
+∂∂⋅
∂⋅∂
=⋅∂∂ ;
b) ( ) ( ) ( )yv
vyu
uy ∂∂⋅
∂⋅∂
+∂∂⋅
∂⋅∂
=⋅∂∂ .
Derivatele funcţiei ( )yxF , de ordin superior se calculează astfel:
=
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
xv
vf
xu
uf
xxF
xxF2
2
+
∂∂
∂∂
⋅∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
xu
xuf
xu
uf
x
+xv
vf
x ∂∂⋅
∂∂
∂∂ ( )a
xv
vf
=∂∂⋅
∂∂
+ 2
2
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
2
2
xv
uf
xu
xv
uf
vxu
uf
u
+ 2
2
xv
vf
xv
xv
vf
vxu
vf
u ∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
.
Efectuând calculele se obţine:
=∂∂
2
2
xF
2
2
2
22
2
222
2
2
2xv
vf
xu
uf
xv
vf
xv
xu
vuf
xu
uf
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂∂∂
+
∂∂
⋅∂∂
;
Analog avem:
=∂∂
2
2
yF
2
2
2
22
2
222
2
2
2yv
vf
yu
uf
yv
vf
yv
yu
vuf
yu
uf
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂∂∂
+
∂∂
⋅∂∂ ;
iar
=
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂xv
vf
xu
uf
yxF
yyxF2
)(22 b
yxv
vf
xv
vf
yyxu
uf
xu
uf
y=
∂∂∂
⋅∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂
∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
=
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
=xv
yv
vf
vyu
vf
uxu
yv
uf
vyu
uf
u
160
+
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
⋅∂∂
∂+
∂∂⋅
∂∂⋅
∂
∂=
∂∂∂
⋅∂∂
+∂∂
∂⋅
∂∂
+xv
yu
xu
yv
vuf
xu
yu
uf
yxv
vf
yxu
uf 2
2
222
yxv
vf
yxu
uf
xv
yv
vf
∂∂∂
⋅∂∂
+∂∂
∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂⋅
∂
∂+
22
2
2
.
Atunci diferenţiala de ordinal doi are expresia:
+⋅∂∂
= 22
22 dx
xFFd 2
2
22
2 dyyFdxdy
yxF
∂∂
+⋅∂∂
∂
d) Funcţii compuse de mai multe variabile prin intermediul unei funcţii de p variabile. Fie funcţia ( )puuufw ,...,, 21= şi se dau funcţiile:
( )nxxxuu ,...,, 2111 = ( )nxxxuu ,...,, 2122 =
( )npp xxxuu ,...,, 21= , atunci:
( ) ( ) ( ) ( )( )npnnn xxxuxxxuxxxufxxxF ,...,,,...,,...,,,,...,,,...,, 2121221121 = este o funcţie compusă de variabilele nxxx ,...,, 21 prin intermediul variabilelor
puuu ,...,, 21 .
Atunci: i
p
piii xu
uf
xu
uf
xu
uf
xF
∂
∂⋅
∂∂
++∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂
2
2
1
1, pentru i∈{1,2,…,n};
iar diferenţiala de ordinal întâi devine:
=⋅∂∂
++⋅∂∂
+⋅∂∂
= nn
dxxFdx
xFdx
xFdF ...2
21
1i
i
p
pii
n
idx
xu
uf
xu
uf
xu
uf
∂
∂⋅
∂∂
++∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∑=
2
2
1
11
Aplicaţie. Fie ( ) ( ) ( )( )xyyxfyxF ++= 1,, 22 , cu 2Cf ∈ , atunci avem funcţia de două variabile
( )vufw ,= cu funcţiile 22 yxu += şi xyv +=1 . Se cer dF , Fd 2 . Calculăm :
xv
vf
xu
uf
xF
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂ ;
yv
vf
yu
uf
yF
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂ ;
unde:
xxu 2=∂∂ , y
yu 2=∂∂ , y
xv=
∂∂ , x
yv=
∂∂ .
Prin înlocuire se obţine :
yvfx
uf
xF
⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂ 2 şi x
vfy
uf
yF
⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂ 2 ,
atunci rezultă :
161
dyvfx
ufydx
vfy
ufxdF
∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
= 22 .
Derivatele parţiale de ordin doi sunt:
+
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
xv
uf
vxu
uf
ux
uf
vfy
ufx
xxF
xxF 2222
2
+ =
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
xv
vf
vxu
vf
uy 2
22
2
2
22 442
vfy
vufxy
ufx
uf
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂vf
xv
uf
vxu
uf
uy
vfx
ufy
xyF
xyxF 22
2
=
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+xv
vf
vxu
vf
ux ( )
vf
vfxy
vufyx
ufxy
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂++
∂∂
2
2222
2
2
224 ;
+
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
yv
uf
vyu
uf
uy
uf
vfx
ufy
yyF
yyF 2222
2
∂∂⋅
∂∂
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
+yv
vf
vyu
vf
ux 2
22
2
2
22 442
vfx
vufxy
ufy
uf
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
= .
Calculând diferenţiala de ordinul doi se obţine :
( ) ( ) =∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= 22
222
2
22 2 dy
yFdxdy
yxFdx
xFFd
( ) +
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
= 22
22
2
2
22 244 dx
uf
vfy
vufxy
ufx
( ) +
∂∂
+∂∂
+∂∂
∂++
∂∂
+ dxdyvf
vfxy
vufyx
ufxy 2
2222
2
2
242
( )22
22
2
2
22 44 dy
vfx
vufxy
ufy
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
+ .
Tema 5.8. 1) Arătaţi că funcţia:
)()(),( atxatxtxu ++−= ψϕ ,
unde ϕ şi ψ sunt două funcţii de clasă 2C pe domeniul de definiţie, verifică ecuaţia undelor:
2
22
2
2
xua
tu
∂
∂=
∂
∂.
2) Arătaţi că dacă ϕ ,ψ 2RC∈ , atunci funcţia:
162
+
⋅=
xy
xyxyxz ψϕ),(
verifică ecuaţia:
02 2
22
2
2
22 =
∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂
yzy
yxzxy
xzx .
3) Arătaţi că dacă ϕ ,ψ 2C∈ , atunci funcţia:
( )
+⋅=
xyxyyxyxu ψϕ),( , 0, >yx
satisface ecuaţia:
02
22
2
22 =
∂
∂−
∂
∂
yuy
xux .
4) Se dă 22
),( yxeyxf += cu tax cos= şi tay sin= . Să se calculeze )(' tF şi )('' tF .
5) Se dă funcţia ( )22),( yxfyxF += , cu 2DCf ∈ , R⊂D . Se cere să se
calculeze Fd 2 . 6) Fie ( )22,),( yxyxfyxF ++= . Să se calculeze dF şi Fd 2 .
7) Se dă ( )xyyxyxfyxF ,,),( 2222 −+= , cu 2DCf ∈ , 3R⊂D . Să se calculeze
Fd 2 .
8) Se dă ( )222,),,( xyxzyxfzyxF ++++= , cu 2DCf ∈ , 2R⊂D . Să se
calculeze Fd 2 .
9) Se dă
⋅+
⋅=
xz
xyfxx
zyxzyxF ,ln),,( , cu x >0 şi 0≠z , atunci dacă
2DCf ∈ avem relaţia:
zyxF
zFz
yFy
xFx ⋅
+=∂∂
+∂∂
+∂∂
.
5.9 Formula lui Taylor pentru o funcţie de mai multe variabile
Fie f o funcţie de două variabile cu RXXf →=
: şi 2R⊂X , 1+∈ nXCf .
Considerăm funcţia compusă de o variabilă t prin intermediul funcţiilor x şi y cu ( )txxxx 00 −+= , ( )tyyyy 00 −+= , adică se obţine funcţia compusă de o
variabilă ( ) ( ) ( )( )tyyytxxxftF 0000 , −+−+=
163
pentru 0=t ⇒ ( ) ( )00 ,0 yxfF = şi ( ) ( )yxfF ,1 = . Cum 1+∈ nxCf ⇒ [ ]
11,0+∈ nCF .
Funcţiei F îi aplicăm formula lui Taylor pentru o funcţie de o variabilă pentru 00 =t şi t=1. Avem:
care reprezintă formula lui Taylor pentru o funcţie de două variabile. Observaţie Dacă are loc (3) ⇒ ( ) ( )00
' ,0 yxdfF = ;
Dacă are loc (4) ⇒ ( ) ( )002'' ,0 yxfdF = ;
Dacă are loc (5) ⇒ ( ) ( )00 ,0 yxfdF nn = ; Dacă are loc (6) ⇒ ( ) ( ) ( )( )0000
11 , yyyxxxfdF nn −θ+−θ+=θ ++ . Atunci, înlocuind în (7) avem o altă exprimare a formulei lui Taylor, mai concisă:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++= 00002
0000 ,!
1,!2
1,!1
1,, yxfdn
yxfdyxdfyxfyxf n
( ) ( ) ( )( )00001 ,
!11 yyyxxxfd
nn −θ+−θ+
++ + (8)
Formula lui Lagrange (formula creşterilor finite) În relaţia (7), dacă 0=n , atunci relaţia devine : ( ) ( ) ( ) ( )( )00000 ,,, yyyxxxdfyxfyxf −+−+=− θθ , cu ( )1,0∈θ (9)
Notând ( )00 xxx −θ+=ξ şi ( )0yyy −θ+=η , atunci formula (9) spune că există ( )xx ,0∈ξ şi ( )yy ,0∈η , astfel încât
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 ,,,, yyyfxx
xfyxfyxf −⋅ηξ
∂∂
+−⋅ηξ∂∂
=− (10)
numită formula lui Lagrange pentru o funcţie de două variabile. Formula lui Taylor pentru o funcţie de p variabile
Fie R→Xf : unde pX R⊂ , cu 1+∈ nXCf şi ( ) Xxxxx p ∈= 00
201
0 ,...,, , atunci ( )
0xVx∈∀ există un punct ( )1,0∈θ astfel încât : ( ) ( )+= 00
20121 ,...,,,...,, pp xxxfxxxf
165
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) n
f
k
pp
n
kRyxxx
xpxx
xxx
xk+
−⋅
∂∂
++−⋅∂∂
+−⋅∂∂
+∑=
0000
222
011
11,...
!1 , (11)
unde restul nR are expresia:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )00011
01
100
222
011
1,,...
)!1(1
ppp
n
fppn xxxxxxxx
xpxx
xxx
xnR −+−+
−⋅
∂∂
++−⋅∂∂
+−⋅∂∂
+=
+
θθ
(12) sau dacă folosim diferenţialele funcţiei f avem:
( ) ( ) ( )N
np
n
k
kpp fdxxxfdxxxfxxxf 100
201
1
002
0121 ,...,,,...,,,...,, +
=+=− ∑ , unde
( ) ( ) ( )( )00022
02
011
01 ,...,, ppp xxxxxxxxxN −θ+−θ+−θ+ , cu ]1,0[∈θ .
Formula lui Lagrange pentru o funcţie de p variabile
În formula (12), notăm :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
∈−θ+=ξ
∈−θ+=ξ
∈−θ+=ξ
pppppp xxxxx
xxxxx
xxxxx
,
,
,
000
202
022
022
101
011
011
Atunci (11) devine: ( ) ( )=− 00
20121 ,...,,,...,, pp xxxfxxxf
( ) ( ) ( ) ( ) ++−⋅ξξξ∂∂
+−⋅ξξξ∂∂
= ...,...,,,...,, 02221
2
01121
1xx
xfxx
xf
pp
( ) ( )021 ,...,, ppp
pxx
xf
−⋅ξξξ∂∂
+ numită formula lui Lagrange pentru o funcţie de
p variabile . Aplicaţie. Fie ( ) ( )2221ln,, zyxzyxf +++= . Să se dezvolte după formula lui Taylor în jurul punctului ( ) ( )0,0,0,, 000 =zyx şi 2=n . Rezolvare. Calculăm derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi:
22212
zyxx
xf
+++=
∂∂ , 2221
2zyx
yyf
+++=
∂∂ , 2221
2zyx
zzf
+++=
∂∂
( ) ( )2222
222
2222
2222
2
2
1
121
212zyx
zyx
zyx
xzyxx
f
+++
++−=
+++
−+++=
∂∂ ,
( ) ( )2222
222
2222
2222
2
2
1
121
212zyx
zyx
zyx
yzyxy
f
+++
+−+=
+++
−+++=
∂∂ ,
( ) ( )2222
222
2222
2222
2
2
1
121
212zyx
zyx
zyx
zzyxz
f
+++
−++=
+++
−+++=
∂∂ ,
166
( ) ( ) xyf
zyx
xy
zyx
yxyxf
∂∂∂
=+++
−=
+++
−=
∂∂∂ 2
22222222
2
1
4
1
22 ,
( ) ( ) zxf
zyx
xz
zyx
zxxzf
∂∂∂
=+++
−=
+++
−=
∂∂∂ 2
22222222
2
1
4
1
22 ,
( ) ( ) yzf
zyx
yz
zyx
yzzyf
∂∂∂
=+++
−=
+++
−=
∂∂∂ 2
22222222
2
1
4
1
22 .
Calculăm aceste derivate în punctul ( )0,0,00 =M :
0)0,0,0( =∂∂
xf
; 0)0,0,0( =∂∂yf
; 0)0,0,0( =∂∂
zf
2)0,0,0(2
2=
∂
∂
xf
; 2)0,0,0(2
2=
∂
∂
yf
; 2)0,0,0(2
2=
∂
∂
zf
0)0,0,0()0,0,0()0,0,0(222
=∂∂
∂=
∂∂∂
=∂∂
∂zyf
zxf
yxf
Atunci :
( ) 0)0)(0,0,0()0)(0,0,0()0)(0,0,0(0,0,0 =−∂∂
+−∂∂
+−∂∂
= zzfy
yfx
xfdf
şi
( ) +⋅∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂= 2
2
22
2
22
2
22 )0,0,0()0,0,0()0,0,0(0,0,0 z
zfy
yfx
xffd
zyzyfzx
zxfyx
yxf
⋅⋅∂∂
∂+⋅⋅
∂∂∂
+⋅⋅∂∂
∂+ )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(2
222
.
Deci : ( ) 2222 2220,0,0 zyxfd ++= şi , înlocuind în formula lui Taylor, rezultă :
( ) ( ) ( ) 2222
22 0,0,0
!210,0,0
!110,, RzyxRfddfzyxf +++=+++= ,
unde ( )zyxfdR θθθ= ,,!3
1 32 , cu )1,0(∈θ .
167
Tema 5.9. Să se dezvolte după formula lui Taylor funcţia f în vecinătatea punctului 0M pentru următoarele funcţii:
( ) 221 , yxyxf += , cu )1,1(0M şi n=2
( ) 222)cos(,,2
zyxezyxzyxf +++++= , cu )0,0,0(0M şi n=2 ( ) 4342,, 222
3 +−−−−+++= zyxyzxyzyxzyxf , cu )1,1,1(0M şi n=2
( )
−−+−−
=yx
xyyxyxf1
1ln,4 , cu )0,0(0M şi n=3, 01
1>
−−+−−yx
xyyx
5.10 Maxime şi minime pentru funcţii de mai multe variabile Definiţie. Fie R→Xf : cu nX R⊂ şi fie ( ) Xxxxx n ∈= 00
2010 ,...,, .
Punctul 0x se numeşte punct de minim local al funcţiei f dacă ( )
0xV∈∃ V astfel încât ( ) ( )0xfxf ≥ pentru ( ) Vx∈∀ . Punctul 0x se numeşte punct de maxim local al funcţiei f dacă
( )0xV∈∃ V astfel încât ( ) ( )0xfxf ≤ pentru ( ) Vx∈∀ .
Observaţie. Aceste extreme se numesc şi extreme locale sau relative.
Teoremă. Dacă R→Xf : cu nX R⊂ şi 0
0 Xx ∈ şi dacă : 1) f are în 0x un punct de extrem; 2) f are derivate parţiale de ordinul întâi în 0x , atunci :
( ) 001
=∂∂ xxf ; ( ) 00
2=
∂∂ xxf ;…; ( ) 00 =
∂∂ xxfn
.
Demonstraţie. Dacă considerăm funcţia ( ) ( )001
01
01 ,...,,,,..., niiii xxxxxfxg +−= ,
atunci este derivabilă şi în punctul 0ix , are un punct de extrem (conform
ipotezei) ⇒ conform teoremei lui Fermat avem ( ) 0' =ixg ⇔ ( ) 00 =∂∂ xxfi
pentru ( )∀ { }ni ,...,2,1∈ . Observaţii. 1)Această teoremă este echivalenta teoremei lui Fermat în nR .
168
2) Dacă 0x este un punct de extrem atunci:
( ) 0...22
11
0 =⋅∂∂
++⋅∂∂
+⋅∂∂
= nn
dxxfdx
xfdx
xfxdf .
3) Reciproca teoremei nu este adevărată în general, adică dacă ( ) 00 =∂∂ xxfi
pentru ( )∀ { }ni ,...,2,1∈ , nu rezultă că 0x este un punct de extrem. Din această
cauză punctul 0x pentru care avem ( ) 00 =∂∂ xxfi
pentru ( )∀ { }ni ,...,2,1∈ se
numeşte punct staţionar, care poate să nu fie punct de extrem. 4) Punctele de extrem sunt printre punctele staţionare. 5) Punctele staţionare sunt date de sistemul:
=∂∂
=∂∂
0
01
nxf
xf
Aplicaţie Determinaţi punctele de minim şi de maxim pentru următoarele funcţii: A1. Fie ( ) yyxxyxf 24, 22 −+−= . Cum ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 51251244, 2222 −−+−=−+−++−= yxyyxxyxf , atunci evident că punctul ( ) ( )1,0, 00 =yx este punct de minim pentru că ( ) ( ) 51,0, −=≥ fyxf pentru ( )( ) ( )1,0, Vyx ∈∀ .
sunt false. Deci, punctul ( )1,2 nu este punct de extrem. Pentru a recunoaşte punctele de extrem dintre cele staţionare folosim teorema 2.
169
Teorema 2.(Teorema lui Sylvester)
Fie R→Xf : cu 2R⊂=
XX , derivabilă parţial de trei ori pe X şi ( )00 , yx o
soluţie a sistemului
=∂∂
=∂∂
0
0
yfxf
.
Dacă notăm :
( ) 11002
2
, Ayxx
f=
∂∂ , ( ) 22002
2
, Ayxy
f=
∂∂ , ( ) 211200
2
, AAyxyxf
==∂∂
∂ , atunci avem:
1) Dacă
>=∆
>=∆
0
0
2221
12112
111
AAAA
A, atunci ( )00 , yx este punct de minim;
2) Dacă
>=∆
<=∆
0
0
2221
12112
111
AAAA
A
, atunci ( )00 , yx este punct de maxim;
3) În celelalte cazuri, ( )00 , yx nu este punct de extrem. Demonstraţie. Folosind formula lui Taylor pentru ( )yxf , şi n=2, facem dezvoltarea în jurul punctului ( )00 , yx ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) +
−
∂∂
+−∂∂
+= 00000000 ,,!1
1,, yyyxyfxxyx
xfyxfyxf
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 22
0002
2
0000
22
0002
2
,,2,!2
1 Ryyyxy
fyyxxyxyxfxxyx
xf
+
−
∂∂
+−−∂∂
∂+−
∂∂
+ (1)
unde ( )( )ηξ∃ , cu ( ) ( )yyxx ,,, 00 ∈η∈ξ astfel încât
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
+−−
∂∂∂
+−∂∂
== 02
02
23
03
33
2 ,3,!3
1,!3
1 yyxxyx
fxxxffdR ηξηξηξ
+ ( )( )( ) ( )( )
−ηξ
∂∂
+−−ηξ∂∂
∂ 303
32
002
2
,,3 yyy
fyyxxyxf . (2)
Cum ( )00 , yx este punct staţionar rezultă ( ) 0, 00 =yxdf , atunci
( ) ( ) ( ) 2002
00 ,!2
1,, Ryxfdyxfyxf +=− . (3)
Pentru ( )yx, suficient de aproape de ( )00 , yx , atunci diferenţa ( ) ( )00 ,, yxfyxf − are semnul dat de trinomul:
170
( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )⇔−≈−+−−+−= 002
02200122
011 ,,2!2
1 yxfyxfyyAyyxxAxxAE
( ) ( ) ( )
+
−−
+
−−−
≈−⇔ 220
012
2
0
011
20
00 22
,, AyyxxA
yyxxAyyyxfyxf (4)
1. Se ştie că: ( ) R∈∀>++ xcbxax ,02 dacă şi numai dacă 0>a şi 0<∆ . (5) Aplicând (5) pentru (4) avem că:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) R∈∀>++−
≈− tAtAtAyyyxfyxf ,022
,, 22122
11
20
00
<∆>
⇔0
011A (6)
,unde 0
0
yyxxt
−−
= , iar 4044 22112
12 ⇔<−=∆ AAA 02221
1211 >AAAA
, 011 >A (7)
Din relaţia (7) rezultă ( ) ( ) 0,, 00 ≥− yxfyxf adică ( )00 , yx este punct de minim. 2. Se ştie că : ( ) R∈∀<++ xcbxax ,02 dacă şi numai dacă 0<a şi 0<∆ . (8)
Aplicând (8) pentru (4) avem că:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) R∈∀<++−
≈− tAtAtAyyyxfyxf ,022
,, 22122
11
20
00
<∆<
⇔0
011A (9)
unde 0
0
yyxxt
−−
= , iar 4044 22112
12 ⇔<−=∆ AAA 02221
1211 >AAAA
, 011 <A .
Dacă
>=∆
<=∆
0
0
2221
12112
111
AAAA
A, atunci ( ) ( )00 ,, yxfyxf ≤ ( )00 , yx⇔ este
punct de maxim. În cazul în care nu sunt verificate condiţiile (1) şi (2) din enunţul teoremei punctul ( )00 , yx nu este punct de extrem. Un astfel de punct se numeşte punct şa.
Aplicaţie. Să se determine extremele funcţiei: ( ) yyxxyxf 24, 22 −+−= .
Soluţie: Calculăm intâi punctele staţionare:
=−=∂∂
=−=∂∂
022
042
yyf
xxf
( )1,2⇒ este singurul punct staţionar.
Să vedem acum dacă este sau nu punct de extrem.
171
Conform teoremei lui Sylvester, calculăm ( ) 21,22
2
11 =∂∂
=x
fA ,
( ) 01,22
2112 =∂∂
∂==
yxfAA , ( ) 21,22
2
22 =∂∂
=y
fA . Atunci,
>===∆
>==∆
042002
02
2221
12112
111
AAAA
A( )1,2⇒ este punct de minim.
Teorema 3 (Teorema lui Sylvester pentru n ≥3).
Fie R→Xf : cu nXX R⊂=
şi fie ( ) Xxxxx n ∈= 002
010 ,...,, punct
staţionar( 01=
∂∂xf , 0
2=
∂∂xf ,…, 0=
∂∂
nxf ). Notând cu ( )0
2
xxxfA
jiij ∂∂
∂= , avem:
1) Dacă
>=∆
>=∆
>=∆
0
0
0
21
22221
11211
2221
12112
111
nnnn
n
n
n
AAA
AAAAAA
AAAA
A
, atunci 0x este punct de minim local.
2) Dacă ( )( )
( )
>∆−=∆
>∆−=∆
>∆−=∆
01
01
01
*
22
2*
11
1*
nn
n
, atunci 0x este punct de maxim local.
3) În celelate cazuri punctul 0x este punct şa. Aplicaţie. Fie punctele ( ) { }nkcbaP kkkk ,...,2,1,,, ∈ şi
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=
−+−+−=n
kkkk zzyyxxzyxf
1
222,, . Să se determine punctele de
extrem ale funcţiei f. Soluţie: Punctele staţionare sunt date de sistemul:
172
( )
( )
( )
=−
=−
=−
⇔
=∂∂
=∂∂
=∂∂
∑
∑
∑
=
=
=
n
kk
n
kk
n
kk
zz
yy
xx
zfyfxf
1
1
1
02
02
02
0
0
0
.
=−
=−
=−
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
1
1
1
n
kk
n
kk
n
kk
znz
yny
xnx
=
=
=
⇔
∑
∑
∑
=
=
=
n
zz
n
yy
n
xx
n
kk
n
kk
n
kk
10
10
10
Punctul ( )0000 ,, zyxM este punct staţionar . Să vedem dacă 0M este punct de extrem. Calculăm derivatele parţiale de ordin doi ale funcţiei f .
nx
f 22
2=
∂
∂; n
yf 22
2=
∂
∂; n
zf 22
2=
∂
∂;
022
=∂∂
∂=
∂∂∂
xyf
yxf
, 022
=∂∂
∂=
∂∂∂
xzf
zxf
şi 022
=∂∂
∂=
∂∂∂
yzf
zyf
.
Atunci:
),,( 0002
2
11 zyxx
fA∂
∂= ; ),,( 0002
2
22 zyxy
fA∂
∂= ; ),,( 0002
2
33 zyxz
fA∂
∂= ;
),,(),,( 000
2
000
2
2112 zyxxyfzyx
yxfAA
∂∂∂
=∂∂
∂== ;
),,(),,( 000
2
000
2
3113 zyxxzfzyx
zxfAA
∂∂∂
=∂∂
∂== ;
şi ),,(),,( 000
2
000
2
3323 zyxyzfzyx
zyfAA
∂∂∂
=∂∂
∂== ;
Aplicând teorema lui Sylvester, obţinem:
173
08200020002
042002
02
33
2
2221
12112
111
>==∆
>===∆
>==∆
nn
nn
nn
nAAAAnA
deci punctul ( )0000 ,, zyxM este de minim local. Tema 5.10. Să se determine extremele funcţiilor:
![5(&+(0$5($ 5(75$*(5($ $/,0(17(/25 1(6,*85( '( 3( 3,$ · 352&('85$ *(1(5$/ 5(&+(0$5($ 5(75$*(5($ $/,0(17(/25 1(6,*85( '( 3( 3,$ ? &2' 3* (gl ld 5hyl]ld ([hpsodu qu (gl ld 'dwd 3djlqd](https://static.documente.net/doc/80x56/5f0744027e708231d41c21a2/505-5755-01725-1685-3-3-35285-15-505.jpg)
![67$%,/,5($ 5(*,085,/25 '( 35(/8&5$5( 35,1 87,/,=$5($ 352*5 ... · 6hvlxqhd ùwllq lilf 6wxghq hdvf pdl 8up wrduhd hwds uhsuh]lqw lqwurgxfhuhd gdwhoru )lj sh ed]d f urud yrp diod ydoruloh](https://static.documente.net/doc/80x56/5e0761aa461814685a44c2db/675-508525-35855-351-875-3525-6hvlxqhd-wllq.jpg)
![5. CUPLAJE [1, 3, 5, 7, 8, 12]](https://static.documente.net/doc/80x56/588dc9301a28ab87218bf38d/5-cuplaje-1-3-5-7-8-12.jpg)
![5[1].Cancerul de Prostata-curs 5](https://static.documente.net/doc/80x56/5571f44649795947648f4656/51cancerul-de-prostata-curs-5.jpg)
