51734530 Statistic A Si Econometrie Harja Eugenia 2009

Dr. Eugenia HARJA

S TAT I S T I CĂ

ş i

E C O N O M E T R I E

Editura Alma Mater a Universităţii din Bacău,2009

Editura Alma Mater a Universităţii din Bacău este acreditată de CONSILIUL NAŢIONAL AL CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE DIN

ÎNVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR

Referenţi ştiinţifici:

Prof.univ.dr. Elena Maria BIJIProf.univ.dr. Elisabeta JABA

Prof.univ.dr. Vergil VOINEAGUProf.univ.dr. Pavel WAGNER

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

HARJA, EUGENIA

Statistică şi Econometrie / Eugenia Harja

Bacău, Alma Mater, 2009

ISBN 978 - 606 - 527 - 031 - 2

Coperta şi grafica: ing. Aurel TURCU

Tehnoredactare computerizată: ec. Lucia-Gabi BEJAN-FALĂ

5

Cuvânt înainte

Complexitatea cu care se desfăşoară procesele economice şi sociale, lanivel micro şi macroeconomic, impune în mod necesar folosirea combinată atuturor ştiintelor, printre care si statistica.

Statistica şi econometria este indispensabilă pentru cunoaşterea complexăa fenomenelor din natură şi societate, conceptele sale fiind din ce în ce maicurente limbajului omului modern. Se poate spune că în prezent, nu existădomeniu în care să nu se afirme: "statisticile de care dispunemdemonstrează că .........." .

Cartea, prin problematica abordată, aduce informaţii deosebit de utile atâtstudenţilor, cât şi practicienilor, cu privire la studierea fenomenelor sociale, aregularităţilor cu care acestea se produc, a evidenţierii gradului de influenţăal diferiţilor factori, în studiul dinamicii şi mutaţiilor structurale, în analizelecomplexe privind realizarea diferitelor programe de dezvoltare economico-socială, în fundamentarea deciziilor financiare şi bancare.

Obiectivele cursului vizează însusirea principalelor procedee si tehnici deculegere şi prelucrare a datelor în vederea obţinerii indicatorilor statistici,interpretarea lor şi, eventual extrapolarea lor în conditii de incertitudine. Deasemenea, se urmăreşte formarea deprinderilor de înţelegere a procedeelorstatistico-econometrice aplicate, atunci când calculele laborioase pot fiexecutate de calculator şi rezultatele pe care le furnizează trebuiescinterpretate.

Teoria prezentată sintetic este completată de aplicaţiile practice, cu aspectereale din viaţa economico-socială a judeţului Bacău şi a ţării, urmărind săatragă tinerii studenţi asupra studierii mecanismelor economice şi aînţelegerii acestor fenomene. Aplicaţiile bazate pe cazuri reale sporescvaloarea practică a lucrării şi permit o înţelegere mai bună a teoriei, lăsândla o parte teoria seacă.

În pregatirea viitorilor economişti, indiferent de specialitatea lor, statistica şieconometria ocupă un loc esenţial; cunoaşterea empirică în orice domeniude activitate impune să se pornească de la date, informaţii individuale, să se

6

desprindă din ansamblul datelor individuale câteva date semnificative, cumare putere de informare, să se analizeze şi interpreteze rezultatele întregiicercetari. Regulile metodele şi procedeele de obţinere a datelor empirice, desistematizare, prelucrare şi interpretare a rezultatelor sunt indispensabile înefectuarea analizelor economico-financiare, urmărind cuantificarea pe câtposibil a tuturor fenomenelor din economie şi societate cu ajutorul metodelorcantitative, iar acolo unde nu este posibil acest lucru, o ierarhizare aaspectelor calitative după criterii bine definite, element esenţial înelaborarea unor decizii pertinente.

Cartea se adresează în primul rând studenţilor, dar şi celor care lucrează îndomeniul statistic şi doresc să-şi îmbunătăţească formarea profesională,precum şi tuturor celor care doresc să efectueze analize economico-sociale.

Cartea vine să completeze şi îmbogăţească conţinutul lucrării anterioare“Statistică aplicată în economie”, păstrând totodată exemplele originalebazate pe cazuri reale, care îşi menţin valoarea în timp tocmai datorităautenticităţii lor.

Aduc pe această cale mii de mulţumiri doamnei profesor universitar dr.Elisabeta JABA şi domnului profesor universitar dr. Vergil VOINEAGUpentru sfaturile primite şi amabilitatea de a efectua recenzia acestei cărţi,precum şi doamnei profesor universitar dr. Elena Maria BIJI, decan devârstă al statisticii româneşti şi domnului profesor universitar dr. PavelWAGNER, care mi-au stat întotdeauna aproape de realizările profesionale.

Totodată, mii de mulţumiri foştilor mei profesori de statistică din cadrulAcademiei de Studii Economice Bucureşti, corp profesional de o marevaloare. Sfaturile domniilor lor m-au urmărit atât în cei peste 27 ani deexperienţă practică din cadrul Direcţiei Judeţene de Statistică Bacău cât şiîn cei 17 ani la catedră, la început ca asociat, iar din 2005 în calitatea decadru didactic titular al Facultăţii de Ştiinţe Economice, Universitatea dinBacău.

Aprilie 2009 Autorul

7

CUPRINS

Cuvânt înainte................................................................................... 5 Cuprins ............................................................................................. 7

Capitolul I STATISTICA - INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE A FENOMENELOR ŞI PROCESELOR ECONOMICE..........................

15

1.1. GÂNDIREA STATISTICĂ – INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE A VIITORULUI. SCURT ISTORIC AL STATISTICII.................................................... 15

1.2. FALSE PĂRERI ASUPRA STATISTICII........................................... 19

1.3. OBIECTUL ŞI METODA STATISTICII.............................................. 20

1.3.1. Particularităţi de studiu ale statisticii........................... 21 1.3.2. Metodologia Statistică................................................ 22

1.4. ORGANIZAREA ACTIVITĂŢII DE STATISTICĂ ÎN ROMÂNIA ŞI PE PLAN INTERNAŢIONAL..................................... 23

1.4.1. Instituţionalizarea statisticii......................................... 23 1.4.2. Organizarea statisticii oficiale în România................. 24 1.4.3. Organizarea activităţii de statistică în plan internaţional............................................................... 27

Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual............................. 28

Capitolul II CERCETAREA STATISTICĂ............................................................. 29

2.1. ETAPELE CERCETĂRII STATISTICE............................................. 29

2.2. METODE DE OBSERVARE STATISTICĂ....................................... 30

2.3. ELABORAREA PROGRAMULUI DE ORGANIZARE ŞI

DESFĂŞURARE A UNEI CERCETĂRI STATISTICE.................... 34

2.4. CONCEPTUL DE EROARE ÎN STATISTICĂ................................. 36

2.5. CONTROLUL DATELOR STATISTICE.......................................... 37

2.6. CONCEPTE DE BAZA FOLOSITE ÎN STATISTICĂ...................... 38

Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual........................... 40

STATISTICĂ şi ECONOMETRIE

8

Capitolul III SISTEMATIZAREA ŞI PREZENTAREA DATELOR STATISTICE... 41

3.1. PRELUCRAREA PRIMARĂ A DATELOR....................................... 41

3.2. CLASIFICĂRI ŞI NOMENCLATOARE DE INTERES GENERAL......................................................................................... 43

3.2.1. Clasificările şi nomenclatoarele registrului REGIS..... 44 3.3. GRUPAREA DATELOR OBŢINUTE DIN OBSERVARE.................. 45

3.3.1. Alegerea numărului de grupe şi stabilirea mărimii intervalului de grupare pentru caracteristicile exprimate numeric...................................................... 45 3.3.2. Funcţiile grupării statistice.......................................... 47


Capitolul IV PREZENTAREA DATELOR STATISTICE........................................ 49

4.1. TABELE STATISTICE...................................................................... 53 4.1.1. Reguli de întocmire a tabelelor statistice.................... 53

4.2. SERIILE STATISTICE....................................................................... 53 4.2.1. Clasificarea seriilor statistice...................................... 53 4.2.2 Reprezentarea grafică a datelor statistice................... 56 4.2.3. Elementele de bază ale unui grafic............................ 57 4.2.4. Tipuri de grafice.......................................................... 60


Capitolul V INDICATORI STATISTICI................................................................. 87

5.1. FUNCŢIILE INDICATORILOR STATISTICI..................................... 89

5.2. CLASIFICAREA INDICATORILOR STATISTICI............................. 89

5.2.1. Indicatorii primari....................................................... 89

5.2.2 Indicatorii derivaţi........................................................ 90

5.3. INDICATORI STATISTICI CALCULAŢI SUB FORMĂ DE MĂRIMI RELATIVE.......................................................................... 91

5.3.1. Mărimi relative de structură........................................ 95 5.3.2. Mărimi relative de coordonare.................................... 96

9

5.3.3. Mărimi relative ale dinamicii....................................... 97 5.3.4. Mărimi relative ale planului......................................... 97 5.3.5. Mărimi relative de intensitate...................................... 98

5.4. APLICAŢIE.............................................................................. 102


Capitolul VI MĂRIMI MEDII.................................................................................... 111

6.1. CARACTERISTICILE ŞI CLASIFICAREA MEDIILOR..................... 111

6.1.1. Mărimile medii de calcul............................................. 113 6.1.2. MEDIA ARITMETICĂ................................................. 114 6.1.3. MEDIA ARMONICĂ SIMPLĂ ŞI PONDERATĂ.......... 117 6.1.4. MEDIA PĂTRATICĂ................................................... 120 6.1.5. MEDIA GEOMETRICĂ............................................... 121

6.2. MEDIA CARACTERISTICII ALTERNATIVE.................................... 125

Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual............................. 126 Capitolul VII INDICATORII VARIAŢIEI................................................................... 127

7.1. INDICATORII SIMPLI AI VARIAŢIEI................................................ 128

7.2. INDICATORII SINTETICI AI VARIAŢIEI........................................... 129

7.2.1 Abaterea medie liniară................................................ 134 7.2.2. Proprietaţile dispersiei................................................ 135 7.2.3. Indicatorii variaţiei într-o colectivitate împărţită în grupe. Regula adunării dispersiilor

ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA)............................................ 137 Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual............................. 142 Capitolul VIII INDICATORII MEDII DE POZIŢIE...................................................... 143

8.1. MODUL (Mo) sau dominanta (Do).................................................... 143

8.2. CUANTILE........................................................................................ 146

8.3. MEDIANA - Me.................................................................................. 146

8.4. CUARTILELE (Qi)............................................................................. 149


10

8.5. DECILELE (Di).................................................................................. 151

8.6. CENTILELE (Ci)................................................................................ 152

8.7. RELAŢIA DINTRE Me, Mo şi x ......................................................... 152 8.8. ASIMETRIA....................................................................................... 154

8.8.1. Variaţia intercuartilică şi interdecilică......................... 156 8.8.1.1. Abaterea intercuartilică.................................... 157 8.8.1.2. Abaterea interdecilică...................................... 157


Capitolul IX INDICATORII CONCENTRĂRII ŞI DIVERSIFICĂRII........................ 161

9.1. DETERMINAREA GRAFICĂ A CONCENTRĂRII............................ 161

9.2. PROCEDEE NUMERICE DE DETERMINARE A CONCENTRĂRII........................................................................... 164

9.2.1. Abaterea medială-mediană........................................ 164 9.2.2. Coeficientul abaterii Me - Ml....................................... 165

9.3. ALTE APLICAŢII ALE CURBEI DE CONCENTRARE........... 166 9.4. INDICATORI AI CONCENTRĂRII SERIILOR CALITATIV ATRIBUTIVE........................................................ 168


Capitolul X STATISTICA - PROBLEME REZOLVATE ŞI PROPUSE................. 171

10.1. SERII DE DISTRIBUŢIE UNIDIMENSIONALE............................... 171

10.2. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE............................... 206

Capitolul XI INTRODUCERE ÎN ECONOMETRIE................................................. 209

DEFINIŢII ŞI OBIECTIVE................................................................... 209

Capitolul XII ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE............................................. 211

12.1. PARTICULARITĂŢILE UNEI SERII CRONOLOGICE ŞI

CLASIFICAREA LOR..................................................................... 212

11

12.2. ANALIZA PREALABILĂ A SCR

ŞI PRINCIPALII INDICATORI CALCULAŢI................................... 215

12.3. PRELUCRAREA STATISTICĂ A

SERIILOR CRONOLOGICE DE INTERVALE................................ 217

12.3.1. Indicatorii absoluti ai SCR........................................ 217 12.3.2. Indicatorii relativi ai SCR.......................................... 220 12.3.3. Indicatorii medii ai unei serii cronologice de intervale............................................................... 225

12.4. PRELUCRAREA SERIILOR CRONOLOGICE DE MOMENTE..... 228

12.5. DESCOMPUNEREA UNEI SERII CRONOLOGICE....................... 231

12.5.1. Ajustarea SCR.......................................................... 232 12.5.1.1. Ajustarea prin metoda mediilor mobile.......... 233 12.5.1.2. Ajustarea prin metoda grafică........................ 236 12.5.1.3. Ajustarea pe baza sporului mediu de creştere........................................................... 236 12.5.1.4. Ajustarea pe baza indicelui mediu de creştere........................................................... 239 12.5.1.5. Ajustarea pe baza metodelor analitice........... 240

12.5.2. Criterii de alegere a celui mai bun procedeu de ajustare................................................ 244 12.5.3. Măsurarea oscilaţiei sezoniere în cazul SCR........... 245

12.6. APLICAŢIE...................................................................................... 250 12.7. ANALIZA SERIILOR DE TIMP FOLOSIND MEDIUL STATISTIC R.............................................................. 256

12.7.1. Analiza statistică a seriei de timp „cantitate de produse petroliere produsă în judeţul Bacău (1998-2006)” (exemplu)........................................... 257 12.7.2. Descompunerea seriei de timp după componente temporale (tendinţa, componenta periodică, componente neregulate).......................... 260 12.7.3. Testarea sezonieră a seriei de timp, folosind metodele şi reprezentările grafice din pachetul „uroot” din R .............................................. 261 12.7.4. Componentele structurale calculate ale seriei de timp. Modele structurale nestaţionare „StructTS()” pentru seriile de timp............................ 263



12

Capitolul XIII ANALIZA SERIILOR INTERDEPENDENTE (Regresie şi Corelaţie)..................................................................... 270

13.1. TIPURI DE LEGĂTURI.................................................................... 270 13.1.1. Probleme ce trebuiesc avute în vedere la cercetarea bazată pe regresie şi corelaţie............... 272

13.2. METODE DE STUDIERE A LEGĂTURILOR STATISTICE........... 273

13.2.1. Metode elementare.................................................. 276 13.2.2. Metode analitice de studiere a legaturilor statistice................................................................... 276 13.2.3. Exemplu................................................................... 283

13.3. METODA CORELAŢIEI.................................................................. 287

13.4. EXEMPLU DE CALCUL PENTRU 2 SERII DE DISTRIBUŢIE CORELATE............................................................. 292

13.5. MODELE DE REGRESIE MULTIPLĂ............................................ 294

13.5.1. Regresia multiplă liniară........................................... 295 13.5.2. Regresia multiplă neliniară....................................... 295

13.6. DETERMINAREA INTENSITĂŢII CORELAŢIEI MULTIPLE.......... 296

13.6.1. Coeficientul de corelaţie multiplă liniară................... 296

13.7. CORELAŢIA PARŢIALĂ................................................................. 298 13.8. METODE NEPARAMETRICE DE MĂSURARE A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE........................................... 299

13.8.1. Tabelul de asociere şi coeficientul de asociere........ 299 13.8.2. Coeficientul de corelaţie a rangurilor........................ 301 13.8.3. Coeficientul de elasticitate........................................ 303


Capitolul XIV INDICI STATISTICI............................................................................ 310

14.1. BAZA METODOLOGICĂ COMUNĂ DE ALCĂTUIRE A INDICILOR............................................................. 310

14.1.1. Indicii individuali....................................................... 311 14.1.2. Indicii de grup.......................................................... 312

14.1.2.1. Alegerea şi folosirea indicilor de grupă.......... 313 14.1.2.2. Modalităţi de ponderare a indicilor de grup.... 314

13

14.2. CONSTRUIREA INDICILOR DE GRUP......................................... 315

14.2.1. Indicii agregaţi....................................................... 315 14.2.2. Indici calculaţi ca medie a indicilor individuali........ 318 14.2.3. Sistemul indicilor calculaţi ca raport de medii........ 320

14.3. DESCOMPUNEREA FACTORIALĂ PRIN SISTEMUL INDICILOR...................................................................................... 320

14.3.1. Metoda substituirii în lanţ......................................... 325 14.3.2. Metoda restului nedescompus................................. 328

14.4. SERII DE INDICI STATISTICI......................................................... 330

14.5. APLICAŢII....................................................................................... 332


Capitolul XV INDICII PREŢURILOR DE CONSUM................................................. 361

15.1. Ce este IPC ?.................................................................................. 362

15.2. La ce serve şte el ?........................................................................ 362

15.3. Care este populaţia de referinţă ?............................................... 364

15.4. Care este tipul de consum acoperit ?......................................... 364

15.5. Care este sfera teritorială de cuprindere ?................................. 364

15.6. Sistemul de ponderare folosit ?................................................... 364

15.7. Care este metoda de calcul a IPC ?............................................. 364

15.8. Indicatori uzuali. Exemple de calcul............................................ 371

15.8.1. Exemplu de calcul.................................................... 374 15.9. Cum putem recalcula anumite sume cu ajutorul IPC ?............. 377

15.10. Cum calculăm dinamica indicatorilor valorici ?....................... 380

15.11. De unde se poate afla IPC ?....................................................... 386


Capitolul XVI SERII TERITORIALE (de spaţiu)...................................................... 389

16.1. DEFINIŢIE ŞI PARTICULARITĂŢI.................................................. 389 16.2. CLASIFICAREA SERIILOR TERITORIALE ŞI FORMA GRAFICĂ DE PREZENTARE......................................................... 393

16.3. INDICATORII SERIILOR TERITORIALE........................................ 395


14

16.4. IERARHIZAREA MULTICRITERIALĂ A UNITĂŢILOR DE SPAŢIU............................................................... 399

16.4.1. Exemplu practic........................................................ 402 16.5. EXTRAPOLAREA ÎN PROFIL TERITORIAL.................................. 406 16.6. IERARHIZAREA MULTICRITERIALĂ ŞI ANALIZA PRIN SIMILARITATE A UNUI GRUP DE ŢĂRI, UTILIZÂND

METODA “CLUSTERE-LOR”........................................................ 409 Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual............................. 411

Capitolul XVII TEMĂ PROPUSĂ............................................................................... 413 Bibliografie........................................................................................ 415


15

Capitolul I

STATISTICA - INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE AFENOMENELOR ŞI PROCESELOR ECONOMICE

OBIECTIVE

Primul capitol urmăreşte familiarizarea cu semnificaţia statisticii ca disciplinăştiinţifică, rolul acesteia în economie şi societate, precum şi cu organizareainstituţională în România şi pe plan internaţional. Viitorii economişti îşiînsuşesc primele informaţii despre legislaţia în vigoare cu privire la obligaţiilepersoanelor fizice şi juridice în privinţa furnizării datelor statistice, precum şidespre dreptul lor la informare.

Cuvinte cheie

Statistică – în sensul de ştiinţă şi nu de simplă enumerare sau însumare de cifreI.N.S. – Institutul Naţional de StatisticăEUROSTAT – Oficiul de Statistică al Uniunii Europene

1.1. GÂNDIREA STATISTICĂ – INSTRUMENT DE CUNOAŞTERE AVIITORULUI. SCURT ISTORIC AL STATISTICII

Imaginea populară asupra statisticii nu este greu de ghicit: ceva care seocupă cu studiul numerelor, cu aşezarea lor în tabele, cu însumări pe linii şicoloane. Această concepţie nu este falsă: ea este însă profund incompletăşi simplistă, iar apariţia ei se poate explica destul de uşor. Într-adevăr,“materia primă” a statisticii sunt numerele, iar obiceiul de a înregistranumere – de a colecta date statistice, cum spunem astăzi – datează cuapariţia societăţii omeneşti.

Statistica - instrument de cunoaştere a fenomenelor şi proceselor economice

16

Administraţiile de stat s-au dovedit de-a lungul timpului, cei mai mari“colecţionari” de date statistice asupra populaţiei (recensământul), asupracomerţului (înregistrarea importului şi exportului era facută în Anglia, spreexemplu, încă din secolul al XIII-lea), starea aprovizionării tehnico-materialea armatei (în Roma antică se înregistrau soldaţii pe categorii, precum şiarmamentul, uniformele...) şi alte aspecte legate de societate în general.

Statistica, în sensul larg de evidenţă a fenomenelor şi proceselor socio-economice, a apărut cu mult înaintea utilizării termenului. Termenul destatistică apare în secolul al XVIII-lea şi îşi are originea în latinescul“STATUS” cu sensul de situaţie, sau în cuvântul italian “STATE” care areaceeaşi rădăcină şi are înţelesul de stat; deci, iniţial, noţiunea nu îmbracădecât în linii foarte largi ceea ce se înţelege azi prin statistică, atât cadisciplină statistică, cât şi ca activitate practică.

Din cercetările istorice rezultă că primele forme de evidenţă au apărut la celemai vechi colectivităţi omeneşti, fiind folosite mai ales în perioada dedescompunere a comunei primitive şi apariţia statului sclavagist, când s-aimpus cunoaşterea amănunţită a numărului de sclavi, a numărului depersoane capabile să poarte arme, precum şi a mărimii averilor şi apersoanelor impozabile. Încă din antichitate se întâlnesc forme de evidenţăce pot fi asimilate înţelesului modern de recensăminte statistice, în special înChina, Egipt, Grecia şi Imperiul Roman. Chinezii dispuneau încă din mileniulal IV-lea î.e.n. de date statistice cu privire la numărul populaţiei, structuraterenurilor şi utilizau diferite tabele statistice cu privire la unele aspecte aleactivităţii agricole.

Recensământul (censul) populaţiei la romani avea un caracter periodic,efectuându-se din 5 în 5 ani, iar mai apoi din 10 în 10 ani.

Din documentele descoperite, rezultă că lucrări asemănătoare de evidenţăerau folosite şi de către popoarele vechi ce locuiau pe teritoriul de azi al ţăriinoastre. Administraţia romană în Dacia a introdus şi aici lucrăriasemănătoare de evidenţă a populaţiei, producţiei şi consumului,organizând servicii speciale de evidenţă (tabularium). Această lungăperioada istorică care corespunde primei etape a apariţiei şi dezvoltăriistatistice se poate caracteriza prin faptul că se cunosc numai formegenerale de evidenţă, în majoritatea lor cu caracter statistic.


17

O a doua etapă este cea a apariţiei atelierelor, breslelor, oraşelor,comerţului intern şi extern, odată cu dezvoltarea forţei de producţie, când sefac încercări de organizare a unei evidenţe în interesul întregului stat. Înacelaşi timp, dezvoltarea comerţului imprimă un caracter nou evidenţei, subforma evidenţei contabile.

Se dezvoltă de asemenea, evidenţa cu caracter demografic ţinută de preoţi,care aveau sarcina de a culege informaţii despre căsătorii, naşteri, decese.

În aceste condiţii are loc o primă diferenţiere a formelor generale deevidenţă: contabilitatea, cu tendinţa de a ţine gestiunea în interesulproprietarilor particulari şi statistica, cu tendinţa de a servi prin culegerea dedate şi informaţii conducerea de stat. Aceasta reprezintă a II-a fază adezvoltării statistice şi se caracterizează prin apariţia statisticii descriptive şitrecerea la aritmetica politică.

În secolul al XV-lea şi al XVI-lea abundă lucrări în care se folosescnumeroase date statistice pentru descrierea amănunţită a situaţiei social-economice a diferitelor state. Astfel de lucrări se găsesc aproape în toatestatele europene şi sunt cunoscute sub denumirea generică de statisticădescriptivă.

Dezvoltarea modului de producţie capitalist a impus o nouă organizare aformelor de evidenţă statistica, care trebuiau să caracterizeze numeric forţade muncă, mărimea duratei zilei de muncă, suma salariilor plătitemuncitorilor salariaţi, mărimea şi structura preţului de cost al producţiei,calculul amortizării fondurilor fixe şi altele.

În această perioadă apare un nou mod de a concepe statistica datorită“şcolii aritmeticii politice” reprezentată prin W.Petty (1623-1687). W. Petty apus bazele statisticii ca ştiinţă. El foloseşte pentru prima dată noţiunea demărime medie şi nu de muncă cheltuită în fiecare caz individual.

Pentru statisticienii din mijlocul secolului al XVIII-lea este specifică folosireatot mai frecventă a metodelor matematice şi în special al calcululuiprobabilităţilor în investigarea şi interpretarea rezultatelor privindfenomenele din societate.


18

Combinând metoda inductivă şi deductivă, folosind din ce în ce mai frecventrezultatele bazate pe experimentări succesive, s-au formulat principiileteoriei selecţiei şi a extinderii rezultatelor acesteia pentru caracterizareaîntregului ansamblu.

Ia naştere astfel statistica inductivă, la care şi-au adus contribuţia maristatisticieni: Fisher, Pearson, Cebîşev, Marcov ş.a. Aceştia, au îmbinat înactivitatea lor munca de cercetare cu activitatea practică, fapt care aratăîncă o dată că ideile mari, cu adevărat importante nu se pot făuri decât încontact cu problemele reale, concrete. Astfel, la începutul secolului XX,statisticianul englez Gosset (cunoscut sub pseudonimul “STUDENT”) alucrat într-o fabrică de bere; acolo, punându-se problema comparării calităţiidiferitelor tipuri de bere, el a ajuns la formularea cunoscutei sale metode(testul Student) prin care se evaluează statistic omogenitatea calităţii medii adouă sortimente de produse.

După cel de-al doilea război mondial, statistica ia o amploare deosebitătocmai datorită complexităţii problemelor lumii moderne.

“Invazia” de statistică nu este întâmplătoare în ultimele decenii, problemelelumii de azi fiind diferite de acum 50 de ani. Metodele statisticii matematicefac parte integrantă din metodologia de conducere a economiei. Spreexemplu, încă de la începutul secolului nostru problema “cheie” careîncepuse să se pună era aceea a controlului calităţii produselor. Metodeleprobabilistico-statistice erau singurele chemate să rezolve aceastăproblemă, deoarece practica dovedise că aşa-numitul control 100% - pelângă faptul că devenise foarte costisitor, în multe situaţii el nu se puteaaplica datorită naturii distructive a controlului.

În epoci mai recente, odată cu apariţia presei, deci şi cu posibilitatearaspândirii rapide a informaţiei, datele statistice au început să joace un rolimportant în ansamblul global al informaţiilor oferite publicului larg.

“Explozia informaţională” din zilele noastre este însoţită inevitabil de datestatistice asupra fenomenelor respective. Astăzi, în majoritatea ţărilor lumiiexistă organisme specializate în strângerea datelor statistice din toatedomeniile de activitate care publică diferite materiale ca: Anuarul statistic,Buletinul informativ al opiniei publice, etc.


19

Organizaţii internaţionale ca F.A.O., UNESCO, etc., editează la rândul lor,publicaţii statistice în domeniul în care activează.

În acelaşi timp, au aparut diferite discipline care aplică statistici în modsistematic (psihometrie, biometrie, sociometrie). Toate acestea au o serie depuncte comune cu statistica în ceea ce priveşte obiectul şi metodele lor decercetare, dar nici una nu este în măsură să o suplinească pe cealaltă.

De aceea trebuie precizată şi delimitată statistica ca ştiinţă.

1.2. FALSE PĂRERI ASUPRA STATISTICII

Ca în multe domenii, părerile false asupra unei situaţii pot proveni din maimulte cauze:În primul rând, un factor universal este necunoaşterea problemei. Nu mărefer aici la marele public neavizat, căruia nu i se poate pretinde în modnormal, să fie expert în statistica matematică. Îi am în vedere pe specialiştiidin alte domenii precum şi chiar pe cei din domeniul matematicii.Imaginea adunării unor numere pe linii sau coloane, ca trăsătură esenţială amuncii statisticianului, persistă nu numai la cel “profan”, care nu este vinovatde o asemenea părere, ci şi în cercuri de specialişti din alte domenii. Esteinteresant de urmărit şi sensul care se acordă denumirii de “statistician”. Înmod uzual este considerat acel individ care se ocupă cu calcule. Până nudemult, în nomenclatorul profesiilor din multe ţări, aceasta se înţelegea prinstatistician.

Azi, statisticianul este persoana cu studii superioare, ca şi ciberneticianul,analistul de sisteme, informaticianul. Statistica matematică constituie bazateoretică a profesiei de statistician.

Încă din secolul trecut, agronomul Ion Ionescu de la Brad – printre alţii,unul din pionerii învăţământului statistic din ţara noastră scria:

“Acei ce sunt numai matematicieni, din lipsă de cunoştinte economice nu audat lucrurilor toată însemnătatea socială ce le trebuia acordată”.


20

El a sesizat pericolul la care sunt supuşi matematicienii care se menţin însfera teoriei pure, refuzând contactul cu problemele lumii înconjuratoare.Acest pericol este dublu: pe de-o parte pentru însuşi matematicianul încauză, pe de altă parte pentru deserviciul pe care aceştia îl pot aduce prindesconsiderarea părţii aplicate a propriei ramuri de matematică.

Un alt factor generator de păreri false asupra statisticii este supraestimareaei. Această supraestimare a alimentat fantezia umoriştilor care l-au imaginatpe statistician drept “omul care poate demonstra orice din nimic”. S-a ajunsla un moment dat să se spună că statistica poate substitui metodelespecifice domeniului în care aceasta este aplicată. Dacă vom aplicastatistica în biologie şi medicină, nu înseamnă că vom vindeca pacienţii cuajutorul statisticii. La fel şi în industrie, statistica nu va produce niciodată. Eadevine însă o forţă de producţie doar atunci când este folosită să producemmai bine. Din această cauză, statisticianul nu-l va putea înlocui niciodată peinginer, pe maistru sau pe muncitor. El trebuie însă să se alăture acesteigrupe şi împreuna să conlucreze la diagnosticarea proceselor de producţie“bolnave”.

Statistica este o disciplină a cărei aplicare utilă cere competenţă.

Nu cu ajutorul statisticii se poate demonstra orice, ci cu ajutorul unorprocedee greşite sau interpretări eronate, în care statistica este luată dreptparavan. În astfel de cazuri nu este vorba de statistică ci de cu totul altceva.

1.3. OBIECTUL ŞI METODA STATISTICII În general, obiectul de studiu al statisticii îl constituie fenomenele şiprocesele în cadrul cărora este prezentă acţiunea legităţilor statistice, legităţicare se manifestă sub formă de tendinţă într-un mare număr de cazuriindividuale diferite ca formă de manifestare, dar aparţinând aceleiaşi esenţe.Astfel de fenomene se întâlnesc atât în natură cât şi în societate şi exprimărezultatul combinării mai multor factori determinanţi.

Examinarea fenomenelor şi proceselor sociale şi economice duce laconcluzia că ea studiază o sferă foarte largă şi variată de fenomene alevieţii sociale care se referă la forţele şi relaţiile de producţie ale societăţii câtşi fenomene din viaţa politică şi culturală a societăţii.


21

Astfel, statistica studiază: mărimea şi structura avuţiei naţionale a unei ţări:

- mărimea şi structura fondurilor fixe;- mărimea şi structura mijloacelor circulante;- mărimea şi structura pe forme de proprietate;- acumulările de bunuri materiale ale populaţiei;- resursele naturale.

mărimea, structura, dinamica şi factorii de creştere ai Produsului InternBrut (PIB), respectiv ai Produsului Naţional Brut (PNB);

raporturile cantitative corespunzătoare unor relaţii calitative interveniteîn variaţia productivităţii, salariului, a preţului de cost şi a rentabilităţii;

studiază fenomenele demografice şi alte aspecte referitoare lapopulaţie:

- miscarea naturală şi migratorie;- nivelul ei de trai material şi cultural, salariul şi venitul real, etc.

fenomenele din cadrul relaţiilor social-politice şi juridice ale societăţii.

1.3.1. Particularităţi de studiu ale statisticii

1. Statistica studiază fenomene sociale şi economice de masă.

Fenomenele de masă sunt fenomene asemănătoare, a căror lege deapariţie nu poate fi cunoscută şi verificată decât la nivelul întreguluiansamblu. În literatura de specialitate, fenomenele de masă se mai numescşi fenomene atipice.

Observând această particularitate a obiectului statisticii s-a abordat de faptproblema legii statisticii, lege care se manifestă sub formă de tendinţă şieste valabilă numai pentru un ansamblu de fenomene.

Legea statisticii poate fi descoperită numai prin cercetarea unui număr foartemare de cazuri individuale întâmplătoare legate între ele prin acţiuneacomună a aceloraşi cauze obiective.

2. Statistica studiază aspectul cantitativ concret al fenomenului socialeconomic de masă, în condiţii specifice de timp şi loc.

•

•

•

•

•


22

1.3.2. Metodologia Statistică

Totalitatea operaţiilor, tehnicilor, procedeelor şi metodelor de investigarestatistică a fenomenelor ce aparţin unor procese de tip stochastic(întâmplătoare) formează metodologia statistică. Procedeele de observare statistică creează posibilitatea cunoaşteriimanifestărilor individuale multiple şi variate ale fenomenelor studiate. Ea serealizează prin dări de seamă, recensăminte, anchete, observări selective,monografii.

Materialul obţinut prin observare este supus, cu ajutorul unor procedeespecifice statistice, unor prelucrări succesive, când ceea ce esteîntâmplător în manifestările individuale se elimină şi se păstrează ceea ceeste comun şi esenţial.

În cadrul acestei etape îşi găsesc aplicabilitate: metoda grupării, metodamediilor, metoda dispersională, a corelaţiei, metoda indiciilor ş.a. Aplicareaacestor metode are ca rezultat obţinerea sistemului de indicatori formatdin mărimi: absolute, relative, medii, etc.

În sfarşit, procedeele de interpretare şi analiză a rezultatelor cercetăriipermit închegarea procesului de cunoaştere statistică, prin examinareaexpresiilor numerice statistice generalizatoare. Procedeele de observare, prelucrare, analiză şi interpretare a datelorstatistice formează conţinutul cursului de statistică teoretică.

Indicatorul statistic exprimă de regulă o categorie economică. Exprimareanumerică a unei categorii economice presupune folosirea mai multorindicatori, fiecare punând în evidenţă anumite aspecte esenţiale aleacesteia.

Complexitatea realităţii impune folosirea unui sistem de indicatori, fapt cerezultă şi din sistemul categoriilor economice ce urmează să fiecaracterizate numeric. Elaborarea indicatorilor statistici se realizează subîndrumarea şi controlul organului oficial de statistică din ţara respectivă.


23

1.4. ORGANIZAREA ACTIVITĂŢII DE STATISTICĂ ÎNROMÂNIA ŞI PE PLAN INTERNAŢIONAL

1.4.1. Instituţionalizarea statisticii

Primele organisme naţionale centrale de statistică au fost înfiinţate dedomnitorul Alexandru Ioan Cuza:- Biroul de Statistică al Ţării Româneşti (28 aprilie 1859) subconducerea lui Dionisie Pop Marţian; - Direcţia de Statistică din Moldova (1 iulie 1859) sub conducerea luiIon Ionescu de la Brad.

Începând cu 1880 s-a dezvoltat în întreaga Europă o puternică mişcare deinovare şi de instituţionalizare a statisticii. Primul Congres Internaţional deStatistică organizat în 1853 la Bruxelles marchează debutul apariţiei şiunificării relative a profesiei de “statistician”.

În 1885 se creează Institutul Internaţional de Statistică (IIS) carereuneşte oficiali şi reformatori importanţi care treptat, (din 1909) devine unforum de dezbateri savante şi nu doar o conferinţă a membriloradministraţiilor statistice. A avut loc crearea unor organizaţii mondiale:Societatea Naţiunilor, Biroul Internaţional al Muncii, Organismul pentruCooperare şi Dezvoltare Economică (OCDE), Comunitatea Europeană, carevor deveni locuri obişnuite de analiză, definire şi armonizare a conceptelorstatistice.

În Franţa se înfiinţează în 1941 Serviciul Naţional al Statisticii, care în 1946devine Institutul Naţional de Statistică şi Studii Economice INSEE. În MareaBritanie s-a creat în 1941 la initiativa lui Churchill, Oficiul Central deStatistică (CSO). În SUA criza din 1929 şi noua politică impulsionată deRoosvelt începând cu 1933 se află la originea a ceea ce experţii au calificatdrept “revoluţie a statisticilor oficiale americane”. (Cele 4 elemente majoreale acestei revoluţii sunt: anchetele prin sondaj, contabilitatea naţională,coordonare statistică şi calculatoarele electronice). De aproximativ douădecenii, ideea de coordonare generală a sistemului statistic prinstandardizare (susţinută de statisticienii americani) a prins contur. Concepţiaeuropeană oferă un exemplu.


24

Armonizarea este o necesitate evidentă. EUROSTAT ca şi celelalteorganizaţii economice de cooperare europeană şi Oficiile de statistică dinţări membre sau nu ale Uniunii Europene au depus mari eforturi pentru a-şiarmoniza producţiile statistice.

1.4.2. Organizarea statisticii oficiale în România

Institutul Naţional de Statistică (I.N.S.) – este gestionarul întregii informaţiistatistice în ţara noastra. România, ca şi alte ţări din Europa Centrala şi deEst, a fost angajată într-un proces deosebit de important, de pregătiri pentruîndeplinirea condiţiilor care au permis ţării noastre integrarea în UniuneaEuropeana. În acest sens, în cazul exerciţiului de screening pentru aderareala Uniunea Europeană, capitolul 12 a fost destinat tocmai statisticii oficiale,iar unul din punctele înscrise în program a condiţionat armonizarea legiistatistice româneşti cu legislaţia europeană.

Regulamentele comunitare cer să se asigure fezabilitatea, coerenţa şicompatibilitatea datelor statistice din statele membre ale UE şi în acelaşitimp colaborarea şi coordonarea dintre organismele naţionale şi comunitareexistente în activitatea de statistică. Tocmai aceste obiective s-au avut învedere în O.G. nr.9/1992 privind organizarea statisticii oficiale în Romania,republicată, modificată şi completată prin Legea 311/2002, precum şi prinH.G. nr. 957/2005 privind organizarea şi funcţionarea I.N.S..

Legislaţia în vigoare îmbunătăţeşte cadrul legal existent şi are în vederestimularea dezvoltării şi diversificării serviciilor statistice în România precumşi formarea unei culturi statistice, atât de necesară în conjunctura actuală.Din textul ordonanţei am selectat câteva aspecte importante pe care leredau în continuare:

ordonanţa privind organizarea statisticii oficiale se aplică tuturorpersoanelor fizice şi juridice care îşi desfăşoară activitatea pe teritoriulRomâniei;

statistica oficială în România este organizată şi coordonată de InstitutulNaţional de Statistică, organ de specialitate al administraţiei publicecentrale în subordinea Guvernului şi în coordonarea primului ministru,finanţat de la bugetul de stat (este condus de un presedinte cu rang desecretar de stat, ajutat de trei vicepreşedinţi cu rang de subsecretari de stat).

•

•


25

În subordinea I.N.S. funcţionează: 8 direcţii regionale de statisticăorganizate la nivelul judeţelor - centre de regiuni de dezvoltare stabilitepotrivit prevederilor Legii nr. 151/1998 privind dezvoltarea regională înRomânia, şi 34 de direcţii judeţene de statistică la nivelul celorlalte judeţe,cu personalitate juridică, precum şi editura “Revista Română de Statistică”şi Centrul Naţional de Pregătire în Statistică, ultimele două fiind finanţateintegral din venituri proprii.

Prin servicii de statistica oficială se înţelege I.N.S. şi Direcţiileregionale/judeţene de statistică, precum şi compartimentele de statistică dincadrul organelor de specialitate ale administraţiei publice, coordonatemetodologic de I.N.S.;

Organizarea statisticii oficiale se întemeiază pe urmatoarele principii:

1. Principiul autonomiei, potrivit caruia “I.N.S. este autorizat săstabilească în mod imparţial şi independent, fără ingerinţe de pe poziţii deinteres ale Guvernului, partidelor politice, grupărilor etnice, sindicatelor,organizaţiilor patronale şi ale altor organizaţii sau persoane fizice, sistemelede indicatori, nomenclatoarele, clasificările, metodologiile, tehnicile deînregistrare şi prelucrare, să publice şi să difuzeze datele şi informaţiilestatistice. Acest principiu implică obligativitatea difuzării statisticilor oficiale(date şi informaţii) tuturor categoriilor de utilizatori, fără nici o restricţie şi încondiţii de egalitate, simultaneitate şi nediscriminare în privinţa calităţii şi atermenelor de difuzare.

2. Potrivit principiului confidentialităţii, serviciile de statisticaoficială şi personalul statistic au obligaţia să adopte şi să asigure peparcursul întregii perioade a cercetării statistice – de la înregistrare până lapublicare – măsuri de protecţie a datelor care se referă la subiecţii statisticiindividuali (persoane fizice sau juridice), date obţinute direct prin cercetăristatistice sau indirect din surse administrative ori ale surse.

3. Potrivit principiului transparenţei, serviciile de statistică oficialăsunt obligate să respecte şi să asigure dreptul furnizorilor de date statistice,al utilizatorilor şi al altor categorii de persoane fizice sau juridice de a aveaacces la temeiul legal şi la scopul organizării cercetărilor statistice, lametodologiile, tehnicile şi metodele folosite la elaborarea informaţiilorstatistice, la măsurile adoptate de protecţie a datelor şi la modul şi termenelede difuzare a datelor şi informaţiilor statistice.

•

•


26

4. Potrivit principiului relevanţei, serviciile de statistică oficialăsunt obligate să asigure producerea de date şi informaţii statistice, conformdomeniilor, termenelor şi gradului de detaliere a datelor statistice, stabilite înfuncţie de evoluţia continuă a fenomenelor demografice, economice, socialeşi de mediu.

5. Potrivit principiului proporţionalităţii, serviciile de statisticaoficială au obligaţia să asigure corelarea dintre cantitatea de informaţiiindividuale ce se solicită şi cantitatea de informaţii prelucrate ce se oferautilizatorilor.

6. Potrivit principiului deontologiei statistice, serviciile destatistica oficiala sunt obligate să instituie şi să aplice criterii şţiintifice laselectarea surselor, a metodelor şi procedurilor pentru realizarea cercetărilorstatistice şi să faca cunoscute, într-o forma larg accesibila, sursele de date,sfera de cuprindere, metodologiile de calcul şi gradul de exactitate alerezultatelor.

7. Potrivit principiului raportului cost/eficienţă, serviciile destatistică oficială sunt obligate să limiteze volumul datelor statistice culesede la subiecţii statistici la nivelul care se justifică prin obiectivul cercetărilorstatistice şi în condiţiile utilizării optime a resurselor disponibile”.

pentru asigurarea caracterului obiectiv, transparent şi ştiintific almetodologiilor, indicatorilor, nomenclatoarelor şi al clasificarilor utilizate înactivitatea de statistica, se înfiintează Consiliul de Coordonare aActivităţii de Statistică, organ consultativ care are, în principal, ca obiectde activitate analiza şi avizarea strategiei de dezvoltare a sistemului statisticnaţional, a rapoartelor de activitate ale I.N.S. şi a Programului anual decercetări statistice. (35 membri în componenţă: 3 reprezentanţi ai Academiei Romane, 6reprezentanţi ai învaţămantului superior de specialitate, 6 reprezentanti aiinstitutelor de cercetare, 6 reprezentanţi ai ministerelor şi/sau ai organelorde specialitate din subordinea Guvernului, 1 reprezentant al BănciiNaţionale a României, 3 reprezentanţi ai organismelor sindicale, 3reprezentanţi ai organizaţiilor patronale, 3 reprezentanţi ai mijloacelor deinformare în masă, 3 reprezentanţi ai asociaţiilor profesionale şi preşedinteleI.N.S. care este membru de drept).

•


27

Cercetările statistice efectuate de compartimentele statistice din cadrulorganelor de specialitate ale administraţiei publice se avizează de cătreI.N.S..

“datele şi informaţiile statistice utilizate de serviciile de statistică oficialăsunt considerate confidenţiale dacă permit identificarea subiecţilorstatistici, în mod direct sau indirect, dezvăluind astfel informaţii cu caracterindividual. Pentru a se stabili dacă un subiect este identificabil se vor avea învedere toate mijloacele care pot fi utilizate de o terţă parte pentru a identificasubiectul statistic respectiv. Datele şi informaţiile statistice confidenţiale nupot servi ca probe în justiţie sau la stabilirea unor drepuri sau obligaţii pentrusubiecţii statistici la care se referă.”

Datele şi informaţiile statistice reprezintă un bun naţional, accesibiloricărei persoane fizice sau juridice, cu respectarea confidenţialităţiiacestora.

Acestea sunt doar câteva aspecte privitoare la organizarea statisticii oficialeîn ţara noastra, care vor putea răspunde necesităţilor naţionale precum şiunui sistem statistic modern, aşa cum o cer reglementările europene.

Nu ne rămâne decât să avem încrederea că această legislaţie, care vadeveni o “lege a statisticii” în Romania, va crea premisele pentru oschimbare în bine în ceea ce priveşte adevaratul rol al statisticii oficiale şi,că “într-o zi – aşa cum intuia H.G.WELLS – gândirea statistică va fi la felde necesară, oricărui cetăţean folositor societăţii, ca scrisul şi cititul”.

1.4.3. Organizarea activităţii de statistică în plan internaţional

Sistemul Naţiunilor Unite – care prin secretariatul sau, prin instituţiilespecializate şi agenţiile sale, prin conferinţele regionale contribuie lafolosirea statisticii ca instrument de cunoaştere şi înţelegere a fenomenelorşi problemelor economico-sociale.

Activitatea statistică a Naţiunilor Unite este înfăptuită sub îndrumareaComisiei de Statistică înfiinţată în 1946 ca organ subsidiar al ConsiliuluiEconomic şi Social (ECOSOC).

•

•

•


28

Cei 24 de membri ai comisiei se aleg pe 4 ani din rândul ţărilor membre.

Odată cu constituirea Comisiei de Statistică în cadrul secretariatuluiNatiunilor Unite a luat fiinţă Biroul Statistic care treptat şi-a facut unităţicorespondente ce funcţionează pe lângă cele 4 comisii economiceregionale: Europa, Asia şi Pacific, America Latină şi Africa.

Acest birou se ocupă de: colectarea, analiza şi evaluarea statisticii oficialecomunicate de guvernele ţărilor membre ale ONU, de instituţiile şi agenţiileinternaţionale specializate şi cele provenind din alte surse; publicarea dedate specializate; întreţinerea unui contact strans şi coordonareainternaţionala a programelor guvernamentale care vizează statistica.

Preocuparea pentru armonizarea şi unificarea tuturor clasificărilor şinomenclatoarelor. Alături de instituţiile specializate ale ONU care publică eleînsăşi buletine, anuare, etc., unele organisme regionale colectează,prelucrează şi publică materiale statistice pe baza unei metodologii proprii:

1. Comisia de Statistica a CAER;2. Departamentul Economic şi Statistic înfiinţat în cadrul Organizaţiei pentruCooperare şi Dezvoltare Economică (OCDE);3. Oficiul de Statistică al Comunităţii Europene (EUROSTAT), şi altele.

Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual

Etape în evoluţia statisticii.Sistemul informaţional statistic.Organizarea activităţii de statistică. Publicaţii statistice.


29

Capitolul II

CERCETAREA STATISTICĂ

OBIECTIVE

Capitolul al doilea urmăreşte însuşirea principalelor noţiuni necesareorganizării unei cercetări statistice, precum şi cunoaşterea metodelor deculegere a datelor. Cuvinte cheie din statistică întâlnite în acest curs suntexplicate de la început pentru a fi folosite cu bună ştiinţă.

Cuvinte cheie

Cercetare statisticăObservare statisticăEroare statisticăMoment de referinţă a datelor / perioadă de referinţăPopulaţie statisticăVariabilă statisticăVariabile discrete şi variabile continuiIndicator statistic

2.1. ETAPELE CERCETĂRII STATISTICE

Etapele unei cercetări statistice sunt:

- observarea - prelucrarea - analiza şi difuzarea (diseminarea)

Observarea statistică, prima fază a oricărei cercetări statistice, esteînregistrarea după o metodologie unitară pentru toate unităţile populaţieicercetate, a valorilor caracteristicilor incluse în programul cercetării.

Cercetarea statistică

30

Observarea statistică se poate realiza prin:- înregistrarea directa a faptelor observate;- interogarea (înregistrarea răspunsurilor la întrebările din chestionar);- înregistrarea pe bază de documente existente în sistemul informaţional.

2.2. METODE DE OBSERVARE STATISTICĂ

Dările de seamă statistice reprezintă un document oficial prin care fiecareagent economic este obligat să raporteze periodic forurilor în dreptrezultatele obţinute în activitatea sa, într-o anumită perioadă de timp.

- Ele se caracterizează prin obligativitatea întocmirii şi înaintării în forma şi latermenele stabilite, folosind o metodologie unitară de calcul al indicatorilorraportaţi. Toate darile de seama pe care le alcătuieşte un agent economicformează nomenclatorul dărilor de seamă.

- Este considerată o metoda de înregistrare totală realizată pe bază dedocumente, care surprinde fenomenul în continua sa desfăşurare, cu operiodicitate bine precizată, cu responsabilitate stipulată prin lege pentru ceicare semnează asupra autenticităţii datelor.

Observarea statistica Culegerea datelor individuale de masa

Sistematizarea datelor individuale;

Prelucrarea statistica Calculul indicatorilor statistici;Prezentarea datelor sub forma de tabele, serii, grafice.

Confruntarea si compararea datelor;

Analiza si Verificarea ipotezelor;interpretarea Formularea concluziilor statistica asupra cercetarii;

Fundamentarea calculelor de prognoza.

Etapele cercetarii statistice


31

Acest tip de observare s-a folosit în ţara noastră până în anul 1990, cândeconomia naţională era de tip centralizat.

În prezent, observarea statistică prin dări de seamă s-a înlocuit cu cea prinrapoarte sau chestionare statistice, care de asemenea au un caracterobligatoriu şi o metodologie unitară pentru toţi raportorii de date, dar cudeosebirea că acestea se completează doar de o parte din agenţiieconomici, fiind o observare selectivă şi nu exhaustiva (totală) asuprafenomenelor studiate.

Recensământul reprezintă cea mai veche metoda de observare statistică.

Iniţial a fost folosit doar la studiul populaţiei, acum există recensăminteindustriale, agricole, etc.

Recensământul constituie una din principalele forme de observare înstatistica demografică şi asigură în primul rând informaţii cu privire lanumărul şi structura populaţiei ţării la un moment dat (“momentul critic” alrecensământului), fiind de fapt o “fotografiere” a populaţiei la acel moment.

Recensământul este deci o fotografiere a fenomenului la un moment dat,prin care se realizează culegerea datelor după criterii unitare şi simultan dela toate unităţile populaţiei cercetate.

În perioada de pregatire a recensământului se realizează şi un recensământde probă, efectuat de organele de specialitate.

Documentele consemnează efectuarea de astfel de înregistrări cuaproximativ 3000 ani i.e.n. în China, dar se consideră ca fiind primulrecensământ “modern” cel efectuat în Belgia în anul 1846, sub conducereastatisticianului A. Quetelet.

Primul recensământ modern al populaţiei din România este considerat celefectuat în anul 1838. De atunci, în România s-au mai efectuat 11recensăminte în anii: 1859, 1899, 1912, 1930, 1941, 1948, 1956, 1966,1977, 1992 şi 2002.

Următorul reensământ al populaţiei şi locuinţelor se va efectua în martie2011.


32

Dintre principiile metodologice ce stau la baza organizăriirecensămintelor, amintesc:

- este o lucrare statistică iniţiată de stat, prin urmare el se efectuează pebaza unui act normativ;- este o înregistrare totală;- este obligatoriu, deci se vor înregistra toate persoanele aflate subjurisdicţia statului, indiferent dacă se află în ţară sau străinătate;- înregistrările trebuie să respecte principiul simultaneităţii, astfel încâtinformaţile ce vor fi culese să facă referire la acelaşi moment;- indiferent de unitatea de observare (gospodaria sau familia), unitatea deînregistrare este persoana;- datele obţinute trebuie prelucrate detaliat, pentru a servi organizarii şiconducerii economiei sau altor scopuri.

Nu voi mai insista asupra modului de realizare şi a importanţeirecensământului, dar precizez ca metodologia Organizaţiei NaţiunilorUnite precizează câteva caracteristici de bază ce trebuiesc înregistrate cuocazia efectuării acestuia:

- caracteristici geografice (domiciliul);- caracteristici privind familia sau gospodaria (legatura cu capul familiei);- caracteristici personale (sex, vârsta, stare civilă);- caracteristici economice (limba maternă, religia, naţionalitatea);- caracteristici privind nivelul de instruire (studii);- caracteristici privind fertilitatea (numărul copiilor, a născuţilor vii).

Trebuie precizat că recensământul organizat în România în 18 martie 2002a aliniat indicatorii calculaţi la nivel mondial, respectând principalele definiţii,clasificări şi nomenclatoare ale ONU şi ale Biroului Internaţional al Muncii(BIM). Astfel, în urma acestui recensamânt s-au obţinut printre alţi indicatoricum ar fi: populaţia curent/obişnuit ocupată, populaţia neocupată, respectivpopulaţia activă, populaţia inactivă, populaţia ocupată fiind defalcată pesexe, medii, localităţi, activitaţi ale economiei naţionale, pregătire şcolară.

În general, recensămintele sunt acţiuni de mare amploare, care necesitămari resurse umane şi materiale, dar în urma acestuia se obţin indicatorideosebit de importanţi. Spre exemplu, caracterizarea forţei de muncă lanivel de localitate nu se poate estima deocamdată, necesitând eşantioanemult prea mari, costuri prea ridicate, ceea ce ar conduce din nou la oînregistrare totală.


33

Astfel, anumite informaţii cu privire la resursele umane, resursele de munca,forţa de muncă şi utilizarea acesteia la nivel de localitate nu sunt înregistratedecât cu ocazia recensămintelor populaţiei. Pe de alta parte, recensămintelefurnizează o bază pertinentă de sondaj pentru anchetele efectuate îngospodariile populaţiei, spre exemplu pentru Ancheta Forţei de Muncă înGospodariile Populaţiei (AMIGO) şi Ancheta Bugetelor de Familie (ABF).

Sondajul este folosit în statistică atunci când, din diferite motive, trebuie săse înlocuiască observarea totala de mare amploare printr-o observareparţiala. Rezulta ca eşantionul (partea supusă observarii) trebuie săîndeplinească condiţia de reprezentativitate.

Între rezultatele unui sondaj şi rezultatele obţinute dacă s-ar fi facut oobservare totala apar unele abateri, numite ERORI DE SONDAJ (dereprezentativitate).

Metoda selectiva se utilizeaza cu eficienta buna la cercetarea bugetelor defamilie, la înregistrarea preturilor pe piata libera, la controlul statistic alcalitaţii marfurilor, etc.

Ancheta statistică se caracterizează prin culegerea unor informaţii,îndeosebi de la populaţie, prin chestionare speciale de observare. Prinprelucrarea datelor culese prin anchetele statistice se obţin informaţiiorientative asupra fenomenelor, spre deosebire de sondajul statistic la careextinderea asupra întregului ansamblu este suficient de riguroasă.

Monografia este o metodă prin care se studiază aprofundat o unitateeconomică sau sociala în cadrul căreia au apărut elemente noi în modul deorganizare a producţiei şi a muncii. De regulă, monografiile sunt realizate deechipe de cercetători capabile să sesizeze elementele nou apărute într-undomeniu sau altul.

Observarea părţii principale se foloseşte atunci când se studiază ocolectivitate care prezintă variaţii calitative substanţiale de la o grupă deobservare la alta.

Exemplu:-volumul producţiei industriale la nivelul judeţului. Ponderea mare este înanumite ramuri, deci în cazul unei analize rapide este suficient să analizămaceste ramuri şi să tragem concluzii pentru tot judetul;-estimarea preliminară a rezultatelor economice anuale se poate faceneglijând întreprinderea de mai mică importanţă pentru economia naţională.


34

2.3. ELABORAREA PROGRAMULUI DE ORGANIZARE ŞI DESFĂŞURARE A UNEI CERCETĂRI STATISTICE

Deoarece cercetările statistice sunt operaţii de mare amploare, necesităforţe umane, apreciabile cheltuieli băneşti şi materiale, organizarea în celemai bune condiţii, cu cheltuieli minime, impune o pregătire riguroasă, toateaceste acţiuni se prevăd şi se coordonează în programul de organizare şidesfăşurare a cercetărilor.

Punctul de pornire în elaborarea programului îl constituie obiectivele care aufost stabilite pentru a fi atinse prin cercetare.

Obiectivele fixeaza scopul cercetarii !

Deci, principalele probleme de rezolvat sunt:

Scopul observarii – definirea clară, selectarea caracteristicilor care suntnecesare precum şi alegerea celor mai bune procedee de culegere adatelor.

Obiectul observării – este format din mulţimea unităţilor care se vorînregistra împreună cu caracteristicile selectate.

Delimitarea populaţiei studiate – se rezolvă cu ajutorul nomenclatoarelorşi clasificărilor existente.

Unitatea de observare (de înregistrare) – element component al populaţieistatistice care se înregistrează. Unitaţile de observare pot fi de două tipuri:- unitate simplă (ex.: salariatul în cazul înregistrării forţei de muncă);- unitate complexă (ex.: echipa)Dacă se cercetează fenomene din cadrul unităţii economico-sociale, atunciunităţi raportoare devin întreprinderi sau instituţiile respective.

Programul înregistrării este o listă în care se enumeră toate caracteristicilepentru care se vor înregistra date, separat pentru fiecare unitate deobservare.

Programul înregistrării în sistemul dărilor de seamă statistice şi al anchetelorstatistice se concretizează în sistemul indicatorilor urmăriţi, iar în celelaltetipuri de observări – sub formă de chestionar. Se pot întâlni întrebări curaspunsuri deschise (orice variantă de răspuns posibil) sau închise (cuvariante de răspunsuri listate). În funcţie de particularităţile concrete alecercetării se alege metoda de observare cea mai adecvata.


35

Datele necesare se pot extrage din documentele existente, se pot stabili prinobservare directă asupra fenomenelor sau prin interogarea persoanelor,care poate fi facută direct prin recenzări sau prin formulare expediate princorespondenţă.

Formularele de înregistrare pot fi sub formă de fişă sau listă.

Fişa este un tip de formular individual care se completează pentru o singurăunitate de observare şi se foloseşte când programul de observare este maibogat, sau când unităţile de înregistrare sunt răspândite pe teritoriu.

Lista este un formular colectiv, în care se înregistrează răspunsurile lacaracteristicile din program pentru mai multe unităţi, concentrate în spaţiu.

Exemplu: la recensământul populaţiei din 2002, fiecare familie a fostînregistrată într-o fişă, iar într-un cămin de locuit în comun persoaneleprezente au fost înscrise într-o listă.

Formularele sunt însoţite de norme metodologice şi tehnice privindcompletarea formularelor. Acestea sunt imprimate direct pe formular ori sedau ca o anexă.

Timpul observarii vizeaza 2 probleme:

1. Stabilirea timpului la care se referă datele înregistrate; 2. Stabilirea timpului când se efectuează înregistrarea lor.

1. Stabilirea timpului la care se refera datele înregistrate este un momentcritic (moment de referinta) pentru înregistrarile care surprind fenomenul înmod static (începutul sau sfarşitul unei perioada de timp) sau o întreagaperioada de timp (luna, trimestru, semestru, an) pentru fenomenele ce seînregistreaza în mod continuu.

2. Alegerea timpului de observare depinde de momentul sau perioada cândfenomenul poate fi înregistrat în cele mai bune condiţii. Ex.: recensământulpopulaţiei se înregistreaza de obicei iarna, când deplasările populaţiei suntmai reduse.

Locul observarii în general coincide cu locul unde există fenomenul deînregistrat.


36

Măsurile organizatorice preconizate au drept scop asigurarea unor condiţiicât mai bune pentru desfăşurarea observărilor statistice. În acest scop sestudiază materialele rezultate din cercetarile similare anterioare, pentruvalorificarea experienţelor acumulate; se întocmesc liste ale unităţilor deobservare, se organizează sectorizarea teritoriului ce trebuie cuprins, învederea repartizarii lui pe recenzori care efectuează înregistrări; serecrutează şi se instruieşte personalul; se stabilesc măsuri de îndrumare şicontrol, precum şi măsuri de centralizare a datelor culese.

Când datele se culeg de la populaţie, acţiunea se popularizează obligatoriuprin mijloacele de mass media.

2.4. CONCEPTUL DE EROARE ÎN STATISTICĂ

Datele de masă, după ce au fost observate sau culese şi înainte de a fiprelucrate, se supun unui control riguros spre a depista şi elimina dateleeronate şi a prelucra numai date autentice.

Calitatea datelor de intrare determină calitatea datelor de ieşire !

Controlul datelor statistice observate se efectueaza în 2 direcţii:

se verifică dacă s-a cules volumul complet al datelor; se verifică calitatea datelor (autenticitatea lor).

Practica statistică a dovedit că în mod curent se pot produce erori deînregistrare, care pot fi cu atat mai numeroase cu cât cercetarea este de oamploare mai mare.

Erorile de observare reprezinta abateri între datele înregistrate şi mărimeaconcretă, reala, a caracteristicilor. Aceste erori pot avea un caracter : a) întâmplator b) sistematic (ex.: erori de metodologie)

a) Erorile ce au un caracter întâmplator se produc de regula în ambelesensuri şi sunt făcute nepremeditat, fie din neînţelegerea corectă aîntrebării, fie din lipsă de memorie. Cu cât observarea se referă la un numărmai mare de unităţi, cu atât posibilitaţile de compensare sunt mai mari şi caatare ele vor influenţa în mai mică măsura rezultatele.

• •


37

b) Erorile ce au un caracter sistematic se produc de regulă într-un singursens şi influenţează asupra indicatorilor. Acest tip de erori este periculos,deoarece nu există posibilitate de compensare şi denaturează sensulindicatorilor.

Spre exemplu, datorită neînţelegerii corecte a metodologiei de către unrecenzor, acesta va înregistra greşit un anumit fenomen în tot sectorul săude recensământ, influentând astfel într-un singur sens fenomenul observat.

2.5. CONTROLUL DATELOR STATISTICE

În prezent, datorită volumului mare de date care circula şi a costurilor maripe care le implică, metoda manuală nu este aplicabilă şi se practică tot maimult controlul automat al datelor şi corectarea centrală a datelor statistice,pe baza algoritmilor desprinşi din practică controlului manual.

sau în procente:

În practică, de regulă, nu se cunoaşte valoarea adevarata x0 şi deci nicieroarea efectivă nu poate fi calculată. De aceea, se fixează o eroaremaximă admisibila , numită şi eroare absoluta limita, pe care eroareaefectiva e nu o poate depaşi:

e x x0–= unde e = eroare absolutăx0 valoare reală=

x valoare determinată statistic=

∑ex0----- 100×= %∑

ex0----- 100×=

e

ee ˆ x- x o ≤=


38

2.6. CONCEPTE DE BAZA FOLOSITE ÎN STATISTICĂ

Colectivitate statistică (sau populaţie statistică) – totalitatea fenomenelorde aceeaşi natură supuse unui studiu statistic (reprezintă o mulţime deelemente care formează o colectivitate statistică numai dacă au aceeaşinatură, sunt asemănatoare sau omogene din punct de vedere al anumitorcriterii).

Colectivitatea statistică se prezinta într-o varietate de forme, de aceeatrebuie delimitată în timp şi spaţiu, precum şi din punct de vedere alconţinutului şi formei de organizare.

In funcţie de natura unităţilor, colectivitaţile statistice sunt alcătuite dintr-unansamblu de persoane (ex. populaţia României), obiecte (ex. parcul demaşini), evenimente (ex. căsătoriile, …), agenţi economici (ex. unităţieconomice de turism), idei sau opinii (ex. opiniile consumatorilor desprecalitate…).

Rezultă că în statistică colectivitaţile pot fi privite:

- static (când exprimă o stare – persoane, etc.) sau - dinamic (când exprimă un proces sau o devenire).

Unităţile colectivităţii – reprezintă elemente constitutive ale colectivităţii.

Acestea pot fi:

- simple (ex. persoana fizică, angajatul, produsul, etc.) sau - complexe (ex. familia, gospodaria, grupa de studiu, unitatea economică,etc.)

Caracteristici statistice (variabile statistice sau variabile aleatoare)reprezintă criteriile pe baza cărora se caracterizează unităţile colectivităţii.

Exemplu: vârsta, greutatea, sexul, naţionalitatea, ocupaţia, cifra de afaceri,etc.).

Valorile înregistrate de aceeaşi caracteristică la unitaţile colectivitaţiistatistice se numesc variante (valori).


39

Caracteristicile statistice pot fi clasificate după mai multe criterii:

după modul de obţinere - primare - derivate

după conţinutul lor, putem avea:

- variabile - de timp (arata apartenenta unitaţilor la un moment sau operioadă de timp); - de spaţiu (arata situarea în spaţiu a unităţii); - atributive (sunt toate celelalte însuşiri ale unitaţilor statistice şi servesc pentru definirea fenomenelor studiate).

după modul de exprimare putem avea caracteristici:

- nenumerice (calitative) - cele exprimate prin cuvinte (ex. activitatea economcă; profesia,...)- cantitative (numerice).

Caracteristicile cantitative (numerice) la rândul lor, pot fi după naturavariaţiei de două tipuri:

a) cu variaţie discretă (nu pot lua decât valori strict determinate într-uninterval dat de valori înregistrate la un moment dat);b) cu variaţie continuă (poate lua orice valoare într-un interval finit sau infinit; ex.: profitul unui agent);

după modul de manifestare la nivelul unităţilor simple se pot întalni şicaracteristici alternative, de tipul “da sau nu”, în care fie întâlnim formadirectă de manifestare, fie opusul acesteia (ex. urban sau rural).

Variabila aleatoare – variabilă ale cărei valori aprioric necunoscute apar înîmprejurari întâmplătoare cu probabilităţi determinate

Date statistice – sunt mărimi concrete obţinute din experimente, observaţii,numărare, măsurare sau din calcule. Fiecare dată statistică are o partenoţională care permite identificarea fenomenului în timp, spaţiu şi formă deorganizare, precum şi o parte numerică .

•

•

•

•


40

Datele statistice sunt purtătoare de informaţii şi nu trebuiesc confundateîntre ele. Practic, informaţia statistică redă mesajul datelor statistice,semnificaţia lor.

Inferenţă statistică – obţinerea de concluzii asupra unei populaţii statistice,bazate pe informaţii obţinute din cercetarea unui eşantion.

Confidenţă – intervalul de încredere, valabil pentru rezultatul unei analizestatistice realizate pe bază de eşantion şi extins asupra întregii populaţii.

Indicator statistic – expresia numerică a unei determinări calitativeobiective obţinută în urma efectuării unei cercetări statistice raportată lacondiţii specifice de timp, spaţiu şi organizare. Indicatorii statistici reprezintădatele statistice cu ajutorul cărora se analizează un fenomen/proceseconomic sau social, sub toate aspectele.


Care sunt metodele de observare exhaustivă ? Dar selective ?

Plecând de la un obiectiv ce vi-l propuneţi, efectuaţi un program decercetare statistică în aşa fel încât să obţineţi informaţiile de care aveţinevoie pentru realizarea obiectivului propus.

Cum puteţi efectua un control riguros al datelor statistice în exemplul decercetare statistică ales ?


41

Capitolul III

SISTEMATIZAREA ŞI PREZENTAREA DATELOR STATISTICE

OBIECTIVE

Capitolul urmăreşte însuşirea principalelor cerinţe ale unei clasificări şigrupări statistice, modalitatea de ordonare şi grupare a datelor obţinute dinobservare, ca un principal pas în prelucrarea acestora. Totodată, aceştia iaucunoştinţă cu principalele clasificări şi nomenclatoare de interes naţionalutilizate în economie.

Cuvinte cheie

CompletitudineUnicitateCAENCORSIRUTAREGIS Variaţie continuă şi discontinuă

3.1. PRELUCRAREA PRIMARĂ A DATELOR

Complexul de operaţii prin care se obţin informaţiile necesare alcatuiesteprelucrarea statistica in sens larg.

Operaţiile de calcul ale caracteristicilor secundare derivate operaţii degrupare a datelor individuale, de centralizare/agregare a lor pe întreagapopulaţie, prezentarea datelor sub formă de tabele/serii statistice şireprezentarea lor grafică, determinarea indicatorilor sintetici absoluţi şiderivaţi sunt metode de prelucrare primară.

Sistematizarea şi prezentarea datelor statistice

42

Operaţiile de transformare pe mai departe cu ajutorul metodelor maievoluate ca: metoda de repartiţie uni – bi şi multidimensionala, etc.,împreuna cu metodele de prelucrare primara, formează prelucrarea în senslarg.

Clasificarea şi gruparea statistică – este sistematizarea populaţiei pe părţistatistic omogene, în funcţie de variaţia unei caracteristici sau, simultan, amai multor caracteristici.

Gruparea/clasificarea se declanşează cu analiza teoretică a populaţieistudiate în vederea stabilirii grupelor/claselor calitativ distincte şi omogenestatistic. În continuare, se stabileşte sistemul de caracteristici care permitedelimitarea grupelor, deci se alege caracteristica de grupare.

Când numarul de valori/variante este mare, gruparea se face pe intervale devalori sau pe grupe de variante, fiind necesara stabilirea intervalelor degrupare.

Clasificarea statistică este deci o operaţie de sistematizare a unui ansamblude elemente, obiecte, activităţi, pe baza atributelor comune, în clase, aclaselor în “clase de clase” şi aşa mai departe, astfel că fiecare clasăobţinută să ocupe un loc precis, iar elementele încadrate în ea să fie cat maiomogene.

Cerinte ale unei clasificări:

completitudine (fiecare element trebuie să aparţina unei clase);unicitate (fiecare element aparţine numai unei singure clase);omogenitate (elementele asemanatoare aparţin aceleaşi clase,

iar elemente diferite – claselor diferite).

În practica statistică se utilizează sisteme standardizate de clasificări careconstituie componente de bază ale Sistemului Informaţional Economic şisunt instrumente indispensabile pentru organizarea culegerii, stocării,prelucrării şi analiza datelor statistice.

Ansamblul acestora este sistemul unitar de clasificări şi nomenclatoaresocial-economice ce funcţionează la nivel macroeconomic.

• • •


43

3.2. CLASIFICĂRI ŞI NOMENCLATOARE DE INTERES GENERAL

Registrul statistic al întreprinderilor – REGIS – baza legală.

Sunt perfectate protocoale de colaborare cu Oficiul Naţional al RegistruluiComerţului şi Ministerul Finanţelor.

REGIS

- asigură cunoaşterea populaţiei statistice prin identificarea unităţilor,furnizarea de informaţii de stratificare (activitatea, talia unităţii, localizareaei). - din acesta se extrage baza de sondaj;- sunt intercalate şi informaţiile externe provenite din surse administrative:

REGISTRUL FISCAL şi RECOM

- rezultatul anchetelor statistice trebuie să constituie sursa principală deameliorare a calităţii datelor din registrul statistic;- în timp ce baza de sondaj reflectă situaţia unităţii la un moment dat,registrul statistic este un instrument dinamic, care trebuie să înregistrezeorice mişcare.

Componentele Registrului:

- identificare (număr, nume, stare, forma juridică, adresa completă)- indicatori de stratificare (forma de proprietate, clasa de activitate, mărimeaunităţii)- stare civilă – date demografice (data creării; a înscrierii în RegistrulStatistic; modificări intervenite, data desfiinţării)- informaţii de legatură (dependenţă; apartenenţă; istoric).

Registrul trebuie să fie de bună calitate (relevant, precis, actualizat).

O cerinţă comunitară - sistemele naţionale de registre statistice să fiearmonizate şi să garanteze comparabilitatea internaţională.


44

3.2.1. Clasificările şi nomenclatoarele registrului REGIS

Conform Legii Statisticii, I.N.S. coordonează elaborarea clasificărilor şinomenclatoarele unitare, de interes naţional, obligatorii în toate formele deevidenţă şi în prelucrarea automată a datelor.

Clasificarea Activitaţilor din Economia Naţionala (CAEN) armonizată cu ceaa Uniunii Europene şi pe plan internaţional, activităţile fiind clasificate dupăprincipiul omogenitaţii, pe secţiuni, diviziuni, grupe şi clase. Avantajul eiconstă în asigurarea unei bune corespondenţe cu nomenclatoarele deproduse. Acest lucru permite utilizarea unui criteriu suficient de obiectivpentru determinarea activităţilor principale, mai ales în industrie.

Regulile de determinare a activităţii principale pot fi corect aplicate doar încazul ASA (Anchetelor structurale anuale). Din acest motiv, în REGIS,unităţile se consideră cu CAEN principal în urma unei astfel de anchete şi nupoate fi modificată.

De regulă, dacă în 2-3 ani succesivi se menţine un nou cod, se schimbă şicodul din REGIS.

SIRUTA este un nomenclator de identificare a unităţilor teritorialeadministrative (Sistemul Informaţional al Registrului Unitaţilor TeritorialAdministrative).

Fiecare unitate teritorial-administrativă a primit un cod de identificare formatdintr-un număr nesemnificativ de la 1 la n şi o cifra de control.

Conţine: toate unităţile administrativ teritoriale, indiferent de nivel +nomenclatorul judeţelor.

Modulul SIRPRIV – cuprinde toate unităţile active cu cod SIRUEScompletat, existente în modulul fiscal şi care are forma de proprietateprivată.

Modulul NOMREGIS – conţine nomenclatoarele şi clasificările atât aleregistrului REGIS cât şi a sistemului statistic.

COR – Clasificarea Ocupaţiilor din România.


45

CPSA – Clasificarea Produselor şi Serviciilor asociate Activităţilor -reprezintă o detaliere a CAEN, prin ordonarea după principiul omogenităţii atuturor familiilor de produse şi servicii pe nivele ierarhice succesive.

Formele de proprietate care se utilizează pentru structurarea datelor suntdetaliate pe 8 tipuri specifice perioadei actuale: perioada integrală de stat;perioada majoritara de stat; majoritar privată; integral privată; cooperatista;obştească; integral străină; publică de interes naţional şi local.

3.3. GRUPAREA DATELOR OBŢINUTE DIN OBSERVARE

Gruparea datelor după modul de variaţie pentru caracteristicile exprimatenumeric:

- grupări pe variante (se foloseşte când numărul variantelor este redus şicentralizarea datelor se poate face pentru fiecare variantă în parte); ex:locuinţele se pot grupa dupa nr. de camere;- grupări pe intervale egale de variaţie (se foloseşte când gradul devariaţie al caracteristicilor permite alegerea unei mărimi egale a intervalelorastfel încât numărul grupelor să nu modifice forma ei de variaţie);- grupări pe intervale neegale (pentru cazul unui grad foarte mare devariaţie).

3.3.1. Alegerea numărului de grupe şi stabilirea mărimii intervalului de grupare pentru caracteristicile exprimate numeric

Alegerea numărului de grupe se face ţinând seama de scopul pentru care sefoloseşte metoda grupării.

Exemplu: Într-o echipă de muncitori s-au înregistrat urmatoarele valori ale producţieiindividuale (număr piese realizate de fiecare muncitor):

125; 128; 130; 131; 142; 135; 136; 142; 136; 143; 125; 123; 135; 123; 132;143; 133; 132; 122; 135; 128; 135; 124; 131; 134; 125.

Mai întâi trebuiesc ordonate datele pentru a obţine frecventele de apariţie adiferitelor variante. În acest scop se porneşte de la amplitudinea variaţiei şide la numărul unităţilor observate.


46

Dacă se notează caracteristica statistică după care se grupează cu “xi”, eapoate lua valori între limita minima xmin şi cea maxima xmax.

Amplitudinea variaţiei (A) = xmax - xmin

Unde: xmin = 122 şi x max = 143

A =143 - 122 = 21

Numărul de grupe (r) marimea intervalului de grupare (k) se aleg în aşa felîncât să se cuprindă toate valorile individuale. Se rotunjeste întotdeauna înplus, pentru a nu rămâne unităţi ale populaţiei observate pe dinafară.

Dacă spre exemplu dorim să efectuăm gruparea celor 26 de muncitori pe 5intervale de grupare egale, mărimea intervalului va fi:

rotunjit în plus .

Putem efectua urmatoarele 4 variante de grupare pentru 5 intervale egale:

Comparând frecvenţele se observă că ele diferă tocmai datorita faptului căau fost suficiente valori ale caracteristicii egale cu una din limiteleintervalelor de grupare. Acestea se numesc grupări pe intervale cu variaţiecontinuă şi întotdeauna trebuie precizat într-o notă care limita (inferioara sausuperioara) se include în interval.

kAmax

r----------- 21

5------ 4 2,= = = 5=

Varianta I Varianta II

Grupe după mărimea produselor obţinute

Nr. muncitori

Nr. muncitori

120-125 4 120-125 7125-130 5 125-130 3130-135 8 130-135 10135-140 5 135-140 2140-145 4 140-145 4TOTAL 26 TOTAL 26

Nota: limita inferioară inclusă în interval Nota: limita superioară inclusă în interval



47

Pentru a elimina această dificultate se fac grupări cu variaţia discontinuă încare limita inferioara a intervalului următor este deplasată cu o unitate demăsura faţă de limita superioară a intervalului precedent.

La determinarea mărimii intervalului de grupare, în special pentrucaracteristicile statistice cu tendinţe de variaţie sistematică şi cu un numarmare de observaţii se poate folosi formula lui Sturges:

În exemplul luat avem:

3.3.2. Funcţiile grupării statistice

- determinarea structurii colectivităţii cercetate pe tipuri calitative diferenţiateîn cadrul aceleiaşi colectivitaţi;- sesizarea mutaţiilor produse în structura colectivităţii statistice, pe planteritorial şi în dinamică;- surprinderea tendinţelor de manifestare a variaţiei fenomenului studiat;- stabilirea şi interpretarea legăturilor dintre fenomene şi a factorilor care leinfluenţează.

Varianta I Varianta II


Nr. muncitori

Nr. muncitori

120-124 4 121-125 7125-129 5 126-130 3130-134 8 131-135 10135-139 5 136-140 2140-144 4 141-145 4TOTAL 26 TOTAL 26


kXmax Xmin–

1 3 322 lg N,+-----------------------------------= unde

N numărul total al observaţiilor=k mărimea intervalului de grupare=

k 211 3 322 lg 26,+------------------------------------- 3 68,= =


48


Cum se încadrează un agent economic într-o activitate a economieinaţionale ? Exemplificaţi încadrarea unor agenţi economici după CAEN.

Efectuaţi o observare statistică a unui grup de studenţi după o caracteristicăaleasă şi efectuaţi o grupare pe 4 intervale de variaţie egale şi discontinui.


49

Capitolul IV

PREZENTAREA DATELOR STATISTICE

OBIECTIVE

Capitolul are drept scop învăţarea corectă a principalelor metode de prezen-tare a datelor statistice sistematizate. Astfel, fie că este vorba de prezen-tarea datelor în tabele sau în grafice statistice, acestea trebuie să respectenişte reguli clare, să nu fie folosite la întâmplare şi, să-şi atingă scopul pen-tru care acestea au fost construite. O diversitate de grafice statistice stau caexemple în înţelegerea corectă a prezentării datelor.

Cuvinte cheie

Tabel, serie şi grafic statisticMărimi de flux şi mărimi de stocScară de reprezentare

Prezentarea datelor statistice se poate face sub următoarele forme:Tabele statisticeSerii statistice Prezentarea grafică a datelor statistice

4.1. TABELE STATISTICE

I. Tabele statistice – este forma de bază a oricărei prezentări, a rezultatelorprelucrării datelor de evidenţă, reprezentând un ansamblu de judecătidespre colectivitatea studiată şi orânduite în aşa fel încât cuvintele scrise săservească drept titluri comune pentru înţelegerea conţinutului expresiilornumerice.

Prezentarea datelor statistice

50

Subiectul tabelului este constituit din colectivitatea la care se referă datele şise regăseşte de obicei în titlul general al tabelului. Predicatul tabelului sereferă la sistemul de indicatori ce caracterizează colectivitatea prezentată întabel. Felurile tabelelor statistice sunt extrem de variate, în funcţie de scopulprelucrării sau al analizei statistice.

Cele mai des întâlnite sunt:Tabele simple sunt cele în care se prezintă indicatorii statistici ai unitatilorstatistice la care se referă datele, ordonate după urmatoarele criterii:cronologic, teritorial sau organizatoric. Întocmirea acestui fel de tabele nuridică probleme deosebite, ordonarea indicatorilor făcându-se în funcţie descop.

Tabelul pe grupe se foloseşte când se aplică gruparea simplă şi secentralizează frecvenţele şi valorile caracteristicilor care se găsesc într-orelaţie de dependenţă faţă de variaţia caracteristicii de grupare.

În acest tabel subiectul este reprezentat prin grupele formate pe bazacaracteristicii de grupare “x”, iar predicatul din frecvenţele de apariţie alediferitelor variante (x1, x2, … xm) şi din sumele parţiale ale valorilorînregistrate pentru caracteristicile y, z, v, condiţionate de variaţia valorilorvariabilei x.

Tabelul pe grupe poate fi folosit pentru:caracterizarea independentă a gradului şi formei de variaţie a

caracteristicii x;interpretarea legăturilor dintre variaţia caracteristicii de grupare şi

variaţia caracteristicilor care formează predicatul tabelului;pentru aplicarea metodelor de calcul ale corelaţiei statistice.

Grupe de unităţi după variaţia caracteristicii

Nr. unităţilor

( f ) y z vA 1 2 3 4

: : : : :

: : : : :

Total

Valorile centralizate ale caracteristicilor din predicat

"x"

1x

ix

mx

2x1f2f

if

mf

1xy2xy

ixy

mxy

1xz2xz

ixz

mxz

1xv2xv

ixv

mxv

∑=

m

iif

1∑=

m

iixy

1∑=

m

iixz

1∑=

m

iixv

1

•

•

•


51

Tabelul combinat se foloseşte când subiectul se prezintă prelucrat dupăvariaţia a cel puţin 2 caracteristici de grupare (x, y) şi predicatul este formatdin valorile centralizate ale variabilelor dependente (z, v) de factorii degrupare.

Caracteristica primară de

grupare

Caracteristica secundară de

grupare

Frecvenţele corespunzătoare

valorilor

x y xy z v

.

.

.

.

.

. Total

. grupa 1

.

.

.

.

.

.

Totalgrupa i

Totalgrupa m

Valorile centralizate ale caracteristicilor

Total general

1x

ix

mx

2x

p

j

yxz.

yxz..

yxz

1

1

11

∑=

p

iijf

1∑=

p

iji yxz

1

p

j

i

y.y..y 1

ip

ij

i

f.f..f 1

p

j

yxv.

yxv..

yxv

1

1

11

∑=

p

iji yxv

1

pi

ji

i

yxz..

yxz.

yxz 1

∑=

p

jijf

1∑=

p

iji yxz

1

ip

ij

i

y..f

f 1

ip

ij

i

y.y..y 1

∑=

p

iji yxv

1

pi

ji

i

yxv..

yxv.

yxv 1

pm

jm

m

yxz..

yxz.

yxz 1

∑=

p

mmjf

1∑=

p

iji yxz

1

ip

ij

i

y..f

f 1

ip

ij

i

y.y..y 1

∑=

p

iji yxv

1

pm

jm

m

yxv..

yxv.

yxv 1

∑=

m

iif

1∑=

m

iixz

1∑=

m

iixv

1


52

3. Tabelul cu dublă intrare se foloseşte atunci când colectivitatea a fostîmpărţită în grupe dupa variaţia a două caracteristici (x, y) şi au fostcentralizate numai frecvenţele de apariţie ale valorilor x, y.

Într-un tabel cu dublă intrare grupele formate dupa variaţia caracteristicii xreprezintă elementele componente ale subiectului, iar grupele formate dupăvariaţia caracteristicii y elementele componente ale predicatului. În rubriciletabelului se trec frecvenţele valorilor x, y.

Rezultă că unităţile la care s-a facut înregistrarea datelor se distribuie atâtdupă variaţia lui x cât şi a lui y, pentru care deci numărul total al unităţilorobservate (N) este egal cu suma frecventelor după x, cât şi cu cele după y.

4. Tabelul de asociaţie se foloseşte pentru a putea prezenta într-un tabelstatistic legatura dintre două caracteristici alternative. Şi pentru subiect şipentru predicat nu sunt decât doua variante x1, x2 pentru grupele formate pebaza variaţiei subiectului şi y1, y2 pentru grupele formate pe baza variaţieipredicatului.

y1 ...y2... ...yj.... ...yp...x 1 f 11 f 12 f 1j f 1p fx 1

x 2 f 21 f 22 f 2j f 2p fx 1. . . . . .. . . . . .

x i f i1 f i2 f ij f ip fx 1. . . . . .. . . . . .. . . . . .

x m f m1 f m2 f mj f mp fx m

Frecvenţa după variabila

yfy 1 fy 2 ... ...fy i ..

....fy p ..

.

Grupare după caracteristica yGrupare după caracteristica

x

Frecvenţa după variabila x

Nffp

jyj

m

ix == ∑∑

== 11


53

4.1.1. Reguli de întocmire a tabelelor statistice

stabilirea subiectului şi predicatului tabelului în funcţie de scopulsistematizării datelor statistice;

alegerea unităţilor de măsură în care se exprima indicatorii statistici; completarea tuturor rubricilor tabelului; evitarea unor tabele prea încărcate;precizarea surselor de informaţie şi

redactarea notelor explicative.

4.2. SERIILE STATISTICE

Seriile statistice sunt o corespondenţa între 2 şiruri de date statistice încare primul şir reprezinta variaţia caracteristicii de grupare, iar cel de-aldoilea şir rezultatul centralizării frecvenţelor de apariţie sau ale valorilor uneialte caracteristici cu care se corelează.

Seria statistică poate fi considerată astfel ca o funcţie matematică în carevalorile centralizate ale frecvenţelor sau ale caracteristicilor sunt valoridependente (y) în funcţie de valorile caracteristice de grupare (x).

4.2.1. Clasificarea seriilor statistice

a. După posibilităţile de caracterizare a fenomenelor, seriile statistice pot fi:

- serii statistice independente (unidimensionale), (acelea care rezultădintr-o grupare simpla);

y1 y2

x1 a b a + bx2 c d c + d

Total a + c b + d N = (a+c) + (b+d) + +(a+b) + (c + d)

Variantele lui yTotalVariantele lui

x

•

• • •


54

Exemple: Notele obţinute de 10 studenţi la examen:

- serii statistice condiţionate (multidimensionale), sunt obţinute dintr-ogrupare combinată.

b. După conţinutul caracteristicii de grupare:- serii statistice de timp (dinamice sau cronologice) – acelea în care seprezintă variaţia unei caracteristici în funcţie de timp:

yi = f (ti) unde yi = valorile caracteristicii care se studiază ti = variabila de timp

c. După timpul la care se referă datele, acestea pot fi la rândul lor:- serii dinamice de intervale

Exemplu: Producţia de carne în România între anii 2000 - 2008

- serii statistice de momente ce se obţin pentru variabile statisticecantitative care se pot măsură în orice moment, ca de ex.: nr. de muncitori,volumul fondurilor fixe, etc.

Caracteristic seriei dinamice de momente este faptul că termenii ei nu se potcumula deoarece pot exista înregistrări repetate şi valoarea obţinută nu aravea sens economic.

- serii statistice de spaţiu sunt cele în care centralizarea frecventelor sau avalorilor individuale ale caracteristicii studiate se face în funcţie de variaţiateritorial-administrativă.

De regulă ele sunt folosite pentru sistematizarea informaţiei statatistice pejudeţe. Se pot întocmi serii teritoriale în care indicatorii pot fi absoluţi, relativişi medii.

Studentul 1 2 3 4 5Nota 9 10 6 4 8

Anii 2000 2001 . . . . .Mii tone 5600 5900

A 2000 2001 . . . . .În unităţi fizice 125630 129700


55

- serii statistice de distribuţie (de repartiţie) sunt acelea în care sefoloseşte pentru gruparea datelor o caracteristică atributivă (calitativă saunumerică) iar centralizarea se face pentru frecvenţele la care seînregistreaza aceeaşi variantă sau pentru o altă caracteristică statistică.

În cazul unei amplitudini mari a variaţiei se folosesc serii statistice peintervale de grupare (egale sau neegale).

Aceasta este o serie de distribuţie cu frecvente relative.

Statutul profesional Numar persoane

Salariati 185972Patroni, intreprinzatori privati 5476Lucratori pe cont propriu 54543Mem bri ai societatilor agricole 125Lucrator fam ilial in propria gospodarie 77818Alte s ituatii 12083

Total judet Bacau 336017

Dis tributia populatiei curent active a judetului Bacau la recensam antul din 2002, dupa s tatutul profes ional

(persoane)

Total 7066230-14 ani 14342615-59 ani 43306760 ani si peste 130130Sursa datelor: "InfoSTAT" nr. 5/2003 - Directia Judeteana de Statistica Bacau

Grupa mare de varsta Total judet (persoane)

Populatia stabila a judetului Bacau la recensamantul din 18 martie 2002, pe grupe mari de varsta

Total 100,00-14 ani 20,315-59 ani 61,360 ani si peste 18,4

Structura populatiei stabile a judetului Bacau la recensamantul din 18 martie 2002,

pe grupe mari de varsta

Grupa mare de varsta Ponderea

populatiei in total (%)


56

Serii statistice descriptive (Ex. Lista candidaţilor admişi la facultate cutoate datele esenţiale).

Serii de distribuţie condiţionate se obţin folosind o grupare combinatădupă 2 sau mai multe caracteristici statistice care se găsesc într-o strânsăinterdependenţă.

Ex.: Distribuţia întreprinderilor din agricultura dupa nr. mediu de muncitori din activitatea de baza şi productivitatea pe un muncitor

Se poate observă că între cele 2 variabile există o anumită legatură, adicăpe măsură ce creşte nr. muncitorilor, creşte şi cantitatea producţiei obţinutede aceştia.

4.2.2 Reprezentarea grafică a datelor statistice

Metoda grafică este folosită în teoria şi practica statistică atât pentruprezentarea unor date statistice cât şi ca instrument de analiza şiinterpretare a fenomenelor studiate. Graficele constau în exprimarea datelorstatistice din tabele prin linii sau puncte, figuri geometrice, harţi, simboluri şialte mijloace specifice.

Ele se întâlnesc în aproape toate sectoarele de activitate deoarece ele aucalitatea de a prezenta într-o forma simpla, sugestivă şi atrăgatoaretrăsăturile esenţiale ale fenomenelor în condiţii determinate de timp şispaţiu.

Grupe de întreprinderi după nivelul producţiei

- mii piese -

Grupe de întreprinderi după nr. muncitorilor din activitatea de baza

Nr. de întreprineri în

funcţie de nr. pieselor

produse

Sub 80

81-100

101-120

121-140

141-160

161-180

181-200

Peste 200

Peste 450 1 - 1 - 2 3 3 - 10401-450 1 1 - 6 6 8 2 3 27351-400 - 1 9 8 8 8 3 1 38301-350 - 4 4 10 13 5 2 2 40251-300 1 9 14 6 3 3 1 - 37201-250 5 16 16 10 2 3 1 1 54151-200 7 13 8 4 1 1 - - 34

Pana la 150 - - 2 - - - - - 2Nr.

întreprinderi în funcţie de

nr. muncitori

15 44 54 44 35 31 12 7 242


57

În statistica social-economică graficele au urmatoarele scopuri:

- interpretarea vizuala a raportului de mărime dintre doi sau mai mulţiindicatori statistici;- interpretarea structurii şi a mutaţiilor de structură, privite în dinamică sau peplan teritorial;- interpretarea densităţilor de repartiţie a frecventelor fenomenelorînregistrate într-o cercetare statistică concretă;- interpretarea tendintelor de dezvoltare a fenomenelor studiate în dinamicăpentru etapa dată; - popularizarea datelor statistice cu privire la gradul de dezvoltare afenomenelor considerate în dinamică sau pe plan teritorial.

Reprezentările grafice sunt folosite fie ca o metoda de prezentare arezultatelor cercetărilor statistice, fie ca mijloc de alegere a metodelor şiprocedeelor de calcul.

4.2.3. Elementele de bază ale unui grafic

Titlul graficului – în el se sugereaza ce relaţii trebuie interpretate vizual pebaza graficului.- este indicat să fie scurt, clar, precis şi complet şi pe cât posibil săcorespundă cu titlul tabelului statistic ale cărui date le reprezintă;- el cuprinde indicaţii cu privire la obiectul reprezentat, timpul şi spaţiul lacare se referă datele reprezentate şi unitatea de măsură;- de regula, se trece deasupra figurii graficului, dar dacă graficul face partedintr-un text, atunci poate fi inclus în fraza pe care-l precede.

Reţeaua graficului are ca scop să usureze identificarea în plan a punctelorcare reprezintă mărimile variabilelor reprezentate grafic. Ea poate fi formatădin linii paralelel orizontale, verticale, oblice, cercuri concentrice, sectoarede cerc care servesc pentru plasarea corectă a punctelor pe grafic.

În reprezentarea grafică a fenomenelor social-economice se folosesc: reţelerectangulare, reţele curbilinii şi reţele suplimentare.

În majoritatea cazurilor se apelează la reţelele folosite pentru construireagraficului în sistemul coordonatelor rectangulare.


58

În mod obişnuit, la construirea graficului se foloseşte numai cadranul I şiuneori I şi IV împreună.În sistemul axelor rectangulare se construiesc şireţele logaritmice, semilogaritmice, dar ele sunt neuniforme.

Reţeaua curbilinie se foloseşte spre exemplu pentru construirea graficuluidupă metoda coordonatelor polare. Dintre reţelele curbilinii:- reţeaua polară (radiala) este formată din cercuri concentrice.

Sunt folosite în special pentru reprezentarea sezonalităţii unui fenomensocial-economic.

Scara de reprezentare se alege ţinând seama de ordinul de mărime alindicatorilor de reprezentat, de gradul şi forma de variaţie dintre ei şi descopul urmărit.

Ea se compune dintr-o linie care se numeşte suportul scării şi dintr-un şir depuncte nenumerotate cu ajutorul cărora se realizeaza divizarea liniei.

Lungimea scări este întreaga distanţă dintre punctele extreme ale scării.

Ex.: ——— 1 cm = 400 kg

0 400 800 1200 1600

Deci pe suportul scării apar doar intervale.

Cadranul ICadranul II

Cadranul III Cadranul IV

+y

x

+

-y

x

-


59

Alegerea variaţiei de lungime a scării se face în funcţie de spaţiul destinatfigurii graficului.Cel mai adesea în practică se foloseşte scara uniforma, caretrebuie să îndeplinească urmatoarele condiţii:

- unitatea de lungime aleasă trebuie să fie aceeaşi pentru toţi indicatorii pecare îi cuprinde graficul;- atât scările verticale cât şi cele orizontale trebuie dispuse în aşa fel încât săpermită citirea uşoară a graficului;- scara aleasă trebuie să permită folosirea completă şi raţională a spaţiuluirespectiv;- deasupra notaţiilor numerice ale scării trebuie să se arăte întotdeaunadenumirea U.M.

Notele explicative şi legendele se folosesc pentru a putea interpreta corectgraficul. Ele apar atunci când este necesar să se atraga atenţia asupraaspectelor metodologice ale calcularii indicatorilor reprezentaţi sau asupramodului de prezentare a lor în grafic.

Notele pot fi de 2 feluri:- note generale care se referă la toate datele sau la întreaga diagrama. Dacăea este scurtă, poate fi aşezată chiar sub titlul graficului;- note speciale, care se referă numai la o anumită parte a datelor sau adiagramei. De regula ele sunt trecute sub figura graficului.

Legendele reprezintă explicarea concisă a semnelor convenţionale,hasurilor şi culorilor folosite.

Semnele convenţionale pot fi facute sub 2 forme:-sub forma de inscripţii în chenar, chiar pe grafic;-sub forma legendei.

Inscripţia în interiorul graficului trebuie să fie scurtă, clară şi plasatădeasupra curbei, fiind legată de aceasta printr-o săgeată.În general, legenda se plaseaza în afara cadrului construcţiei graficului, fieîn dreapta retelei, fie sub retea.

Sursa de informaţie a datelor din grafic este obligatorie în toate cazurilecând se folosesc date reale.Când graficele sunt încadrate într-un raport de analiza sau lucrare decercetare statistica, la fel ca şi titlurile, sursele de informare pot să nu aparăîn mod expres dacă din textul respectiv rezultă aceste elemente.


60

4.2.4. Tipuri de grafice

- grafice prin coloane şi benzi;- grafice prin figuri geometrice de suprafaţă sau volum, cronograme;- diagrame radiale (polare);-diagrame de distribuţie (histograma, poligon de frecvenţă, curba cumulativăa frecventei, curba de concentrare;- cartograme şi cartodiagrame;- grafice prin figuri naturale şi simbolice.

Ele se mai pot grupa şi în funcţie de felul datelor utilizate sau domeniul defolosire:

- diagrame ale unor date parţiale sau independente între ele;- diagrame de structura;- grafice ale seriilor cronologice (SCR);- graficele seriilor de distribuţie;- graficele seriilor teritoriale;- graficele de analiza a corelaţiei.

Graficele prin coloane – sunt cele mai frecvent întâlnite. Se folosesc înspecial pentru:- popularizarea datelor statistice sau a indicatorilor incluşi în programele deactivitate elaborate la diferite nivele;- pentru SCR.

Se recomandă mai ales când numărul datelor reprezentate nu este preamare şi graficul este sugestiv.

Reprezentarea graficului prin coloane presupune folosirea cadranului I dinsistemul axelor rectangulare, unde scara de reprezentare se fixeaza pe axaOy, iar pe Ox se construiesc atâtea coloane cu bazele egale caţi indicatorisunt de reprezentat. Între coloane se lasă un spaţiu liber egal cu aproximativ˝din baza coloanelor. Înălţimea coloanei este proporţionala cu valoareaindicatorilor de reprezentat.

Diagrama prin coloane simple specific este faptul că aranjarea coloanelorpoate fi facută după diferite criterii: dupa mărime (în ordine crescătoare saudescrescătoare), în ordine alfabetică sau alte criterii logice.

Exemplu: La o întreprindere cu 3 secţii s-au înregistrat urmatorii indicatori deîndeplinire a producţiei în septembrie 1999 (%):


61

Diagrama cu coloane grupate în practica statistică se folosesc aşanumitele coloane în aflux. Ele se întâlnesc atunci când pentru fiecare grupase foloseste un “set” format din 2 sau mai multe coloane care se deplaseazape grafic astfel încât să se observe diferentele cantitative dintre subgrupe.Cel mai frecvent sunt utilizate pentru producţia sau stocurile de produseasemănatoare, grupate pe sortimente.

Gradul de indeplin ire a normelor la in treprinderea "X" pe sectii (%)

80

85

90

95

100

105

110

S ec tia A S ec tia B S ec tia C

Sectia ASectia BSectia C

Castigul salarial nominal mediu net lunar (lei) pe judete si in Romania, in anul 2007

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Cov

asna

Biho

r

H

argh

ita

Va

slui

Tele

orm

an

M

aram

ureş

Călăr

aşi

Car

aş-S

ever

in

Vr

ance

a

Bu

zău

Nea

mţ

Botoşa

ni

Su

ceav

a

Ia

lom

iţa

Sa

tu M

are

Bist

riţa-

Năsău

d

Brăi

la

Să

laj

Vâlc

ea

G

iurg

iu

Al

ba

Tu

lcea

Hun

edoa

ra

M

ureş

Arad

Olt

Braş

ov

Si

biu

Dol

j

D

âmbo

viţa

Gal

aţi

Iaşi

Argeş

Bacă

u

M

ehed

inţi

Prah

ova

Tim

iş

C

onst

anţa

Clu

j

G

orj

Ilfov

Mun

icip

iul B

ucur

eşti

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

JudeteRomania


62

Dinamica productiei in anii 2008 si 2000 fata de 1990 (%)

0

500

1000

1500

2000

ani

%

energie

petrol

carbune

2000 2008

Dinamica populatiei active urbane a judetului Bacau, pe grupe mari de varsta, la recensamantul din 2002 fata de 1992

(%)

93,758,681,8

1077,0

245,0

84,368,2

79,9

0

1000

2000

Total populatieactivă

sub 30 ani 30-59 ani 60 ani si peste

fem

inin

0

100

200

mas

culin

Masculin

Feminin

100

200

100

2000

1000


63

Balanţa comercială a unui magazin la sfârşitul unei luni

500000

3000000 2750000

750000

0

3500000

S tocinit ial

Intrari Ies iri S toc final

mii lei

Vârsta medie a populaţiei (ambele sexe) ş i a forţei de muncă a judeţului Bacău pe medii,

la recensământul din 2002 (ani)

39.8 40.4

33.136.5 35.8 37.137.6

41.538.2

41.9

33.831.3

0

10

20

30

40

50

Total judet Urban Rural

Populatie s tabilaPopulatie activaPopulatie ocupataSom eri

ani


64

Diagrama prin coloane lipite se deosebeşte de cea simplă prin faptul cănu se mai lasă nici un spaţiu între coloane. Ele se folosesc atunci când sepoate stabili o anumită continuitate între indicatorii prezentaţi.

Diagrama prin coloane cu subdiviziuni se foloseşte pentru reprezentareamărimilor subdivizate în parţile lor componente. Pentru a distinge usoraceste subdiviziunii se folosesc diferite hasuri sau culori. Scara acestordiagrame se exprima întotdeauna în mărimi absolute.

Dis tributia m uncitorilor dupa gradul de indeplinire a norm ei (%)

78

130150

75

0

100

200

Tim pul

Gra

dul d

e in

depl

inire

%

100-150

150-200

200-250

250-300

100 150 200 250 300

Cifra de afaceri

5010

33

65

25170

100

2000 2008 ani

milioane lei

comertconstructiiindustrie


65

Diagrama prin coloane a abaterilor se foloseşte pentru reprezentareagrafică a indicatorilor care pot fi mărimi pozitive sau negative, de tipulbeneficiilor sau pierderilor spre exemplu. Specific este faptul că fiecarecoloana este orientată fie în sus, fie în jos de linia de baza.

Sporul natural al populatiei (la mia de locuitori)1,6

0,8

0,4

-1,0-0,7

-1,5

0,7

-0,2

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

la mie

Gradul de împlinire a planului produc ţiei la întreprinderea "x" în anul 2008, pe secţii

75%

120%

155%

0

50

100

150

200

s1 s2 s3


66

Diagrama prin benzi – lungimea benzilor este direct proporţională cumărimea indicatorilor reprezentaţi, lăţimile fiind egale.

Se foloseşte când:- indicatorii seriei exprimă lungimi- indicatorii sunt diferiţi (ex.: diferite tipuri de aparate)- când avem serii dinamice în care intervalele dintre momente sunt mari(1945, 1955, 1965) sau când distanţele dintre momentele intervalelor suntneegale (1950, 1958, 1964);- când avem de reprezentat serii cu caracteristici combinate: datele uneibalanţe, bilanţul (activ, pasiv).

Costul orar al forţei de muncă în industrie şi servicii în ţarile UE şi candidate (euro/ora)

1,351,51

2,422,713,033,06

3,833,904,48

8,98

10,74

8,13

10,40

14,2217,31

18,9922,13

22,9923,6023,8524,2324,39

26,3427,10

28,56

3,47

22,19

0 5 10 15 20 25 30

BGROLVLTEESKCCHUCZPLPTSI

GRCYESIEITFI

UENLATUKLUFRDEDKSE

Euro/oră

CandidateUE

Media candidate

Media UE


67

Diagrama prin benzi poate fi folosită şi la reprezentări grafice maicomplexe, folosind două caracteristici combinate (ex.: activ/pasiv; import/export). O astfel de reprezentare grafică este şi piramida vârstelor, graficreprezentativ în demografie. Pe acelaşi grafic, se reprezintă în acest cazpopulaţia unei colectivităţi, folosind în acelaşi timp două caracteristici: sexulpersoanei şi grupa de vârsta din care face parte persoana.

Piramida vârstelor poate fi realizată fie pentru fiecare vârstă aniversară înparte, fie pe grupe de vârste cincinale. Forma piramidei oferă o imaginereprezentativă a populaţiei acelei zone, graficul oferind multiple informaţii:disproporţii existente între diferite grupe de vârste/sexe, dacă acel spaţiuteritorial are o populaţie tânără sau dimpotrivă îmbătrănită demografic,disproporţii existente între diferitele categorii de vârstă (populaţia activa,populaţia şcolară/preşcolară, populaţia vârstnică-întreţinuţii).

Orice strangulare bruscă a unei/unor benzi (pentru anumite vârste)reprezintă anumite evenimente (factori) care au influenţat evoluţia într-unanumit sens (pozitiv sau negativ) a acelei generaţii (ex.: calamităţi naturale,războaie, factori de natură politică,/legislativă care au favorizat saudimpotrivă au condus la diminuarea natalităţii). Este interesant de urmărit şianalizat comparativ şi cele doua piramide pe medii de viaţă socială (urban/rural), existând diferenţe considerabile între acestea.

Plata taxei din PIB in tarile UE (%)

16,4

16,2

12,9

10,8

4,7

2,1

0,5

0 3 6 9 12 15 18

Suedia

Danemarca

Belgia

Finlanda

Franta

Italia

Grecia


68

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

FEMININ MASCULIN

100 ş i peste

Piramida vârstelor judeţului Bacău la 18 martie 2002(ambele medii)


69

6000

5000

4000

3000

2000

1000 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

FEMININ MASCULIN

100 şi peste

Piramida vârstelor judeţului Bacău la 18 martie 2002(Mediul urban)

6000

5000

4000

3000

2000

1000 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

FEMININ MASCULIN

100 şi peste

Piramida vârstelor judeţului Bacău la 18 martie 2002(Mediul rural)


70

Se pot realiza şi mai în detaliu piramide ale vârstelor folosind şi altecaracteristici asociate vârstei şi sexului, cum ar fi: starea civilă sau ocupareapersoanelor. Un astfel de exemplu este “Piramida vârstelor populaţiei pegrupe de vârsta, sexe şi dupa participarea la activitatea economica”.

Distributia populatiei dupa participarea la situatia economica pe grupe de varsta si sexe - judetul Bacau - ambele

medii

720418786

2173225904

169061949119029

13705645556524836

2130222246

2955718596

5428

8419

114818886

564314469

1708321183

135651653116674

12561647561255547

2061921362

2834020307

92027198

73744466

55937239

967510447

1397313656

11117152482704

3626

11322

5899

9668

32572224

15412335

2629

3800

036

000

3400

032

000

3000

028

000

2600

024

000

2200

020

000

1800

016

000

1400

012

000

1000

080

0060

0040

0020

00 020

0040

0060

0080

0010

000

1200

014

000

1600

018

000

2000

022

000

2400

026

000

2800

030

000

3200

034

000

3600

038

000

0 - 45 - 9

10 - 1415 - 1920 - 2425 - 2930 - 3435 - 3940 - 4445 - 4950 - 5455 - 5960 - 6465 - 6970 - 74

75 ani si peste

Persoane

Persoane ocupateSomeriPersoane inactive

MASCULIN FEMININ

Gru

pe d

e vâ

rstă

Distributia populatiei dupa participarea la situatia economica pe grupe de varsta si sexe - judetul Bacau - mediul urban

62258077

109977549

1014910657

6304

74238532

1401412221

4105

2131

4870

57343989

56937815

113987999

10337

4857

71338176

1343113146

51592956

36022403

33814507

603961557636

680649165437

1661

1172

3331

3712

6085

1485898

1416

1778

9289

1700

016

000

1500

014

000

1300

012

000

1100

010

000

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1000

011

000

1200

013

000

1400

015

000

1600

017

000

0 - 45 - 9

10 - 1415 - 1920 - 2425 - 2930 - 3435 - 3940 - 4445 - 4950 - 5455 - 5960 - 6465 - 6970 - 74

75 ani si peste

Persoane


M ASCULIN FEMININ

Gru

pe d

e vâ

rstă


71

Distributia populatiei dupa participarea la situatia economicape grupe de varsta si sexe - judetul Bacau -mediul rural

603212561

1365514907

9357934283727401

479450284530

34602618

1387913714

155436375

3549

57474897

4750877692689785

55666194

73857704

55545839

53623383

2694

1348613186

149097161

404342423772

20632212

27323636

429263376850

62019811

1323

6337

2187

5237

851850

808643

1126

2000

019

000

1800

017

000

1600

015

000

1400

013

000

1200

011

000

1000

090

0080

0070

0060

0050

0040

0030

0020

0010

00 010

0020

0030

0040

0050

0060

0070

0080

0090

0010

000

1100

012

000

1300

014

000

1500

016

000

1700

018

000

1900

020

000

0 - 45 - 9

10 - 1415 - 1920 - 2425 - 2930 - 3435 - 3940 - 4445 - 4950 - 5455 - 5960 - 6465 - 6970 - 74

75 ani si peste

Persoane


MASCULINFEMININ

Distributia populatiei curent ocupate a judetului Bacau pe grupe majore de ocupatii si medii, la recensamantul din 2002 (persoane)

8223

15480

18284

7223

14807

3386

28859

17496

9572

500

1788

2097

4937

2054

6041

17962

11464

12566

876

124532

0 25000 50000 75000 100000 125000

Personal legislativ si de conducere

Specialisti cu ocupatii intelectuale

Tehnicieni, maistri si asimilati

Functionari administrativi

Lucratori operativi in sevicii, comert si asimilati

Agricultori si lucratori calif icati in agricultura,silvicultura, pescuit

Mestesugari si lucratori calif icati

Operatori la masini, utilaje si asamblori de masini,echipamente si altele

Muncitori necalif icati

Fortele armate

Total ruralTotal urban

Grupa majora de ocupatie


72

Deferenţe relative (+/-%) ale salariului mediu net pe judeţe faţă de media ţării în anul 2007

30,4% mun.Bucuresti28,0% Gorj

18,3% Hunedoara13,5% Galati

12,7% Ilfov10,4% Constanta

4,9% Prahova1,2% Olt0,8% Mehedinti

-0,1% Dambovita-0,7% Arges

-0,8% Brasov-2,0% Dolj-2,4% Cluj

-3,1% Bacau-3,4% Valcea

-3,7% Teleorman-6,2% Timis

-8,6% Salaj-9,0% Giurgiu-9,5% Mures-11,1% Iasi

-11,3% Sibiu-11,4% Alba

-11,6% Tulcea-11,7% Bistrita Nasaud

-12,4% Arad-12,7% Buzau

-13,2% Ialomita-13,2% Caras Severin

-13,6% Braila-15,4% Vrancea

-15,5% Bihor-16,5% Suceava

-17,0% Maramures-17,5% Covasna

-17,9% Neamt-17,9% Vaslui

-18,3% Calarasi-18,5% Satu - Mare

-19,1% Harghita-19,4% Botosani

-50,0 -40,0 -30,0 -20,0 -10,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0+/-%


73

Graficele prin figuri geometrice (Diagrama prin suprafete sau volum) sefolosesc fie pentru reprezentările variaţiei unor indicatori de volum, fie pentrureprezentarea structurii colectivităţii. Este un grafic în care datele statisticesunt reprezentate prin figuri geometrice ca dreptunghiul, cercul, pătratul, etc.ale căror arii sunt direct proporţionale cu mărimile indicatorilor respectivi.Spre exemplu:

Diagrama prin pătrate – când se reprezintă grafic datele statisticecentralizate la nivelul unei unităţi complexe al unei grupe sau pe întreagacolectivitate. În acest caz, indicatorii sunt reprezentaţi prin pătrate ale cărorsuprafeţe sunt direct proporţionale cu mărimea indicatorilor, reprezentândlungimea laturilor pătratului care va trebui să fie proporţionala cu rădăcinilepătrate extrase din indicatorii pe care îi reprezintă. Latura pătratului seobţine ca raport între rădăcina pătrată a valorii indicatorului şi unitatea delungime a scării de reprezentare a acestuia.

Exemplu: Producţia de fructe din România (mii tone) în anul 2007.

Mere: considerăm 1 cm = 5 mii tone;

Prune:

Cireşe şi vişine:

Mere = 461,8 mii tone

Prune =370,3 mii tone

Cireşe şi vişine = 64,5 mii tone

L 461 8, 21 5,= =

L 21 5,5

---------- 4 3 cm,= =

L 370 3, 19 2 L 19 2,5

---------- 3 8 cm,= =→,= =

L 64 5, 8 03 , L 8 03,5

------------ 1 6 cm,= =→= =


74

Diagrama prin cercuri – se calculeaza raza cercului.

Se folosesc pentru aceleaşi cazuri ca şi diagrama prin patrate.Unitatea de lungime a scării de reprezentare se fixeaza pe raza cercului.

Mere: 1 cm = 4 mii tone

Prune: 1 cm = 4 mii tone

Cireşe şi vişine: 1 cm = 4 mii tone

Diagrama prin dreptunghi se folosesc la reprezentarile nivelului totalizat alunei caracteristici complexe care se poate descompune în produsul a2 factori:

Exemplu: - prezentarea variaţiei fondului de salarii în funcţie de salariul mediu şi nr.muncitori;- a volumului producţiei în funcţie de nivelul W şi a numărului de muncitori.Folosind dreptunghiul, înseamna că se pot reprezenta în acelaşi timp cele 3variabile statistice: cei 2 factori pe cele 2 laturi, iar variabila complexa prinsuprafaţa dreptunghiului.

Mere

Prune

Cireşe şi vişine

461,8 mii tone

370,3 mii tone

64,5 mii tone

R1461 8,3 14,------------- 12 1,= = R1

12 1,4

---------- 3 cm= =→

R2370 3,3 14,------------- 10 8,≅= R2

10 8,4

---------- 2 7 cm,= =→

R364 5,3 14,---------- 4 5,≅= R3

4 5,4

--------- 1 12 cm,= =→


75

Se stabilesc deci scările de reprezentare doar pentru cei 2 factori.

Exemplu: Producţia totala, producţia medie la hectar şi suprafaţaînsămânţată în România în anul 2007:

Producţia totala = 655,8 mii toneProducţia medie = 1512 kg/haSuprafaţa cultivată = 433,7 mii ha

Se calculeaza mai întâi mărimea bazei dreptunghiului. Pe această laturăvom plasa producţia medie:

1 cm = 500 kg pe bază

Lungimea dreptunghiului va reproduce suprafaţa cultivată:

1 cm = 100 mii ha pe înălţime

Din produsul celor doi indicatori (suprafaţa cultivată şi producţia medie lahectar, rezultă cel de-al treilea indicator: producţia totala), care va fi dată desuprafaţa dreptunghiului.

Alte exemple de acest gen pot fi: - Fondul de salarii, care rezultă din produsul salariului mediu cu numărulmediu de salariaţi; sau a producţiei, care poate fi calculată şi ca produsdintre productivitatea medie a muncii şi numărul mediu de salariaţi.

Diagramele de structură – sunt folosite frecvent în interpretarea mutaţiilorinterGrafic în care este reprezentată structura unei colectivităţi, scotând înevidenţă raportul ce există între parţile componente ale colectivităţii şicolectivitatea luată ca întreg.

Suprafetele sunt direct proporţionale cu volumul colectivităţii, iar parţileacesteia sunt reprezentate prin porţiuni de suprafaţa. Astfel putem folosispre exemplu cercul de structura, considerând suprafaţa cercului,exprimată prin 360 direct proporţionala cu volumul colectivităţii.

Numărul de grade corespunzator sectoarelor de cerc se determina pe bazaregulii de 3 simple. Se hasureaza diferit fiecare pe cerc fiecare grupa dincadrul colectivităţii totale.

360 …………………………. 100%x ………………………………. y cunoscut

°

°


76

Pe aceeaşi regula se bazeaza şi celelalte reprezentări grafice de structură.Dacă avem un dreptunghi, a cărei înalţime este proporţionala cu 100%, sehasureaza (coloreaza) diferit pentru fiecare grupa, corespunzatorprocentului respectiv, marcat pe ordonaţa graficului.

Pe aceeaşi regula se bazeaza şi celelalte reprezentări grafice de structură. Dacă avem un dreptunghi, a cărei înalţime este proporţionala cu 100%, sehasureaza (coloreaza) diferit pentru fiecare grupa, corespunzatorprocentului respectiv, marcat pe ordonaţa graficului.

Structura pe sexe a populatiei

50,7Feminin

49,3Masculin

0

50

100

1

%

57,1

12,7

19,2

11,0

0

20

40

60

80

100

120

1

%

constructii

comert

agricultura

industrie


77

Alte exemple de grafice de structură:

Structura populatiei active din mediul rural dupa statutul profesional, la recensamantul din 2002

(%)

Someri in cautarea

primului loc de munca1,7%

Lucratori fam iliali

neremunerati39,5%

Patroni0,7%

Lucratori pe cont propriu

26,2%

Membri ai asociatiilor

cooperatis te0,1%

Salariati30,1%

Alte s ituatii1,7%

Structura populatiei curent active din mediul urban, pe grupe majore de ocupatii la recensamantul din 2002 (%)


7,9%

Fortele armate0,3%


13,4%

Specialisti cu ocupatii intelectuale

11,1%


5,8%

Someri in cautarea primului loc de

munca3,6%

Operatori la masini, utilaje si asamblori

de masini, echipamente si

altele13,7%


24,7%Agricultori si

lucratori calif icati in agricultura,

silvicultura, pescuit2,4%

Lucratori operativi in sevicii, comert si

asimilati11,6%


5,4%


78

Ponderea femeilor în populaţtia curent ocupată, pe grupe majore de ocupatii (%)

0 20 40 60 80 100


Operatori la masini, utilaje si asamblori demasini, echipamente si altele


Agricultori si lucratori calif icati in agricultura,silvicultura, pescuit

Lucratori operativi in sevicii, comert si asimilati



specialisti cu ocupatii intelectuale


Total Judet Bacau

%FemeiBarbati

Grupa majoră deocupaţie

Structura populatiei curent ocupate, pe grupe m ajore de ocupatii, la recens am antul din 2002 (%)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Total judet Bacau Total urban Total rural

Agricultori si lucratori calif icati in agricultura, silv icultura, pescuitMestesugari si lucratori calif icatiOperatori la masini, utilaje s i asamblori de masini, echipamente si alteleTehnicieni, maistri s i asimilatiMuncitori necalif icatiLucratori operativ i in sevic ii, comert si asimilatiSpecialisti cu ocupatii intelectualePersonal legis lativ si de conducereFunctionari administrativiFortele armate


79

Structura pe localitati a populatiei stabile, dupa participarea la activitatea economica (%), la recensamantul din 2002

0 20 40 60 80 100

ZEMESVULTURENI

VALEA SEACAURECHESTIUNGURENI

TRAIANTATARASTI

TARGU TROTUSTAMASI

STRUGARISTEFAN CEL MARE

STANISESTISOLONT

SECUIENISCORTENISAUCESTI

SASCUTSANDULENI

ROSIORIRACOVA

RACHITOASARACACIUNI

PODURIPODU TURCULUI

PLOPANAPARJOL

PARINCEAPARGARESTI

PARAVAPANCESTIPALANCA

ORBENIONCESTI

OITUZNICOLAE BALCESCU

NEGRIMOTOSENI

MARGINENIMANASTIREA CASIN

MAGURAMAGIRESTI

LUIZI-CALUGARALIVEZI

LIPOVALETEA VECHE

IZVORUHURUIESTIHORGESTI

HEMEIUSHELEGIU

GURA VAIIGLAVANESTI

GHIMES-FAGETGARLENI

GAICEANAFILIPESTIFILIPENI

FARAOANIDOFTEANA

DEALU MORIIDAMIENESTI

COTOFANESTICORBASCACOLONESTI

CLEJACASINCAIUTI

BUHOCIBRUSTUROASA

BOGDANESTIBLAGESTI

BERZUNTIBERESTI-TAZLAU

BERESTI-BISTRITABARSANESTI

BALCANIASAU

ARDEOANIAGAS

TARGU OCNASLANIC MOLDOVA

DARMANESTICOMANESTI

BUHUSIONESTI

MOINESTIBACAU

%

OcupataSomeriInactiva


80

Histograma – grafic al seriilor de repartiţie cu intervale (variaţie continua).Pe axa abciselor este reprezentat prin segmente de dreaptă mărimeaintervalelor de grupare, iar pe axa ortodanatelor se reprezintă frecventele.Pe axa abciselor se construiesc dreptunghiuri ale căror suprafete sunt directproporţionale cu volumul grupelor.

Distributia muncitorilor dupa nr. piese realizate

1922

32

38

18

0

5

10

15

20

25

30

35

40

010

0

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

Numar piese realizate (bucati)

Frec

vent

e re

duse


81

Dacă graficele se realizeaza cu ajutorul programelor informatice specializateîn statistică (SPSS sau STATISTICA spre exemplu), se traseaza automat şicurba distribuţiei normale G. Laplace pentru comparabilitate a se vedea înexemplu graficul de mai sus.

La seriile de repartiţie cu intervale egale, bazele dreptunghiurilor suntegale între ele, iar suprafetele lor sunt determinate de înalţimi care suntproporţionale cu frecventele absolute.

La seriile de repartiţie cu intervale neegale laţimea bazei coloanei seconstruieşte egala cu mărimea intervalelor de grupare, iar înalţimeaproporţionala cu frecventele reduse în funcţie de mărimea intervalelor degrupare.

Pentru a calcula frecventele reduse, se calculeaza mai întâi marimeafiecărui interval, dupa care se calculeaza raportul dintre mărimea fiecăruiinterval şi mărimea celui mai mic interval (în cazul nostru 5), determinându-se astfel un coeficient ki , cu care vom reduce frecventele absolute. În finalse calculeaza frecventele reduse împarţind fiecare frecvenţa absolută lacoeficientul Ki, corespunzător fiecărui interval.

Astfel, baza fiecărui interval va fi proporţională cu mărimea intervalului degrupare, în timp ce înalţimea coloanelor va fi proporţională cu frecvenţaredusă, în felul acesta suprafaţa dreptunghiului fiind şi ea proporţionala cuindicatorii reprezentaţi.

7

14

12

10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

fi

x i


82

Poligonul frecventelor se poate obţine dintr-o histograma dacă se unescsuccesiv printr-o curba mijloacele laturilor superioare ale dreptunghiurilorhistogramei.

Curba cumulativă a frecventelor (ogiva) se foloseşte atunci când sedetermina pe grafic valorile mediilor de poziţie (mediana, cvartilele, decilele,procentilele). Se reprezintă pe acelaşi grafic atât frecventele cumulatecrescător cât şi cele cumulate descrescător. Dacă coborăm operpendiculara de la intersecţia celor doua curbe pe abscisă, vom obţinevaloarea medianei, indicator mediu al tendintei centrale care imparte seria îndoua parţi egale.

Grupe

Frecvenţa

Mărimea intervalului de

grupare

Raportul dintre mărimea fiecărui

interval si mărimea celui mai mic interval

Frecvenţa redusă

10-15 10 5 1 10 15-25 24 10 2 12 25-35 28 10 2 14 35-50 21 15 3 7

ix if id ik

'if

ii kf

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

xi

fi'

f i =10

24

28

21


83

Historiograma (cronograma) - reprezentarea grafică a seriilor dinamice.Pe axa abciselor se reprezintă timpul, iar pe axa ordonatelor indicatorii serieidinamice. Se pot reprezenta pe acelaşi grafic evoluţia în timp a mai multorindicatori, dacă au legatură între ei şi dacă au aceeaşi unitate de măsură.

Cartogramele sunt grafice care se folosesc pentru prezentarea densităţii derepartiţie teritoriala a fenomenelor cu ajutorul harţilor.

Evoluţia ratei medii anuale a inflaţiei în perioada 1990 - 2004 (%)

5,1

256,1

154,8

45,8 34,515,3 9,0 4,84

170,2

210,4

136,7

38,8 7,856,5611,922,5

45,759,1

32,30

50

100

150

200

250

300

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

rata medie anuală

Evoluţia numărului de elevi şi studenţi la 10.000 de locuitori

1614 1594 1625 1599 1525 1501 14381350

83 103 112260 286 332

421

13221388147914981563162316181585

1660

1776

364300274238

202

181

160157

14893 110

0200400600800

100012001400160018002000

1990

/199

1

1991

/199

2

1992

/199

3

1993

/199

4

1994

/199

5

1995

/199

6

1996

/199

7

1997

/199

8

1998

/199

9

1999

/200

0

2000

/200

1

2001

/200

2

2002

/200

3

2003

/200

4

2004

/200

5

2005

/200

6

2006

/200

7

2007

/200

8

Anii universitari

Num

ar d

e pe

rsoa

ne

Elevi la 10000 locuitori

Studenti la 10000 locuitori


84

Repartizarea judeţelor pe regiuni statistice

BotosaniSatu Mare Maramures

Suceava

Bihor

IasiBistrita NasaudSalaj

ClujNeamt

HarghitaMures VasluiBacau

AradAlba

HunedoaraCovasna

SibiuTimis Vrancea GalatiBrasov

BuzauCaras SeverinArgesValcea TulceaPrahova Braila

DambovitaGorj

Mehedinti

Olt

Ialomita

Constanta

Ilfov

DoljCalarasi

GiurgiuTeleorman

47,2 40,5 40,7

39,3

38,8

41,8 50,4 39,0

39,9 41,0

40,8 35,9 41,3 47,6

36,2 42,7

40,5

39,4 39,1 46,5 43,0 42,6 42,9

35,8 36,4 43,4 36,0 36,1 38,0 41,8

46,8 38,2

36,7

40,9

32,8

39,4

35,6

42,4

39,6

34,7 38,6

67,3 - 77,657,0 - 67,246,8 - 56,936,5 - 46,726,2 - 36,4

Rata generală de activitate pe localităţi, la recensământul din 2002 (%)


85

Sursa: Eurostat

Rata şomajului pe judeţe, la recensământul din 2002 (%)

Rata şomajului pentru 15 ani şi peste 15 ani (%)


86

În concluzie, formele de reprezentare grafică în statistica social-economicăsunt extrem de numeroase, ceea ce impune alegerea cu discernamânt aacelora care sunt mai adecvate conţinutului indicatorilor şi pot sugera cuusurinţă tendintele de manifestare ale fenomenelor studiate.


Alcătuiţi un tabel statistic cu dublă intrare, în care o colectivitate să fierepartizată după două caracteristici alease, în strânsă legătură. Transformaţitabelul iniţial într-un tabel de asociere.

Reprezentaţi grafic structura populaţiei după fiecare criteriu ales, individual.

Daţi câte cinci exemple din fiecare tip de serie statistică.


87

Capitolul V

INDICATORI STATISTICI

OBIECTIVE

Familiarizarea cu noţiunea generală de indicator statistic, cu principalelereguli de construire a indicatorilor absoluţi şi relativi, precum şi exprimareacorectă a acestora în unitatea de măsură adecvată, sunt principalele obiec-tive ale acestui capitol. Sunt detaliaţi indicatorii calculaţi sub formă de mărimirelative şi exemplificate diferitele modalităţi de exprimare ale acestora.

Cuvinte cheie

Mărime absolutăMărime relativă

În sensul cel mai larg, indicatorul statistic este expresia numerica a unorfenomene, procese, activităţi sau categorii economice şi sociale, definite întimp, spaţiu şi structura organizatorică. Indicatorii statistici pot fi utilizaţiunilateral sau în interdependenţă reciprocă.

Indicatorul statistic cuprinde doua parţi: determinarea noţiunii expresia numerică ataşată acesteia

5.1. FUNCŢIILE INDICATORILOR STATISTICI

1. Funcţia de măsurare se poate face prin observare directă la nivelulfiecărei unităţi sau printr-o operaţie de agregare sau dezagregare a datelorstatistice în structura orizontală sau verticală a sistemului.

• •

Indicatori statistici

88

În urma acestei operaţii se obţin indicatori absoluţi, exprimaţi în numere,cantităţi, valori, etc., care dimensioneaza o unitate, o grupă de unităţi, strictdeterminate în timp, spaţiu şi organizatoric.

2. Funcţia de comparare provine din faptul că statistica operează cufenomene variabile, ceea ce necesită cunoaşterea modificărilor interveniteca nivel de dezvoltare sau structură. Compararea se face fie ca diferenţă, fiesub forma de raport.

Ca diferenţă se pot compara numai indicatori absoluţi care au acelaşiconţinut şi sunt exprimaţi în aceleaşi unităţi de măsura. Ca raport se pot compara fie aceiaşi indicatori, fie indicatori diferiţi dar carese găsesc într-o relaţie de interdependenţă.

3. Funcţia de analiza provine din faptul că în mod frecvent statisticaoperează cu diferite variabile complexe care se pot descompune fie printr-unprodus de mai mulţi factori, fie într-o sumă de mai multe elementecomponente. În ambele cazuri este necesar să se analizeze relaţiile careexistă între fiecare parte şi întreg, între fiecare factor şi rezultat.

4. Funcţia de sinteză este specifică fenomenelor care se manifestă diferitde la o unitate la alta. Valorile individuale diferite trebuie să fie sintetizateîntr-o singura expresie numerică, care devine ceea ce este esenţial, tipicpentru întreaga masă de fenomene de aceeaşi speţă.De regula acesti indicatori se calculează sub forma de valori medii, care ausens statistic numai dacă indeplinesc condiţia de omogenitate.

5. Funcţia de estimare poate fi folosită pentru măsurarea tendintei dedezvoltare a fenomenelor în aceeaşi perioada de timp, variabilă ca spaţiu şiorganizatoric sau în aceleaşi condiţii de spaţiu şi organizatorice dar variabileîn timp.

Se foloseşte şi atunci când datele care au stat la baza calculelor statisticeprovin dintr-un sondaj cu caracter reprezentativ.

6. Funcţia de verificare a ipotezelor şi de testare a semnificaţiei unorindicatori statistici calculaţi. Se bazează pe interpretarea probabilistică afenomenelor şi are ca scop reţinerea celui mai adecvat model de calcul alindicatorilor.

Exemplu: Dacă observarile sunt date de sondaje se impune verificareasemnificaţiei lor pentru estimarea parametrilor pentru întreaga colectivitate.


89

5.2. CLASIFICAREA INDICATORILOR STATISTICI

După etapa în care apar în procesul de cercetare statistică, indicatorii pot fi:Indicatori primariIndicatori derivaţi

5.2.1. Indicatorii primari

Indicatorii primari se obţin în cadrul prelucrării primare a datelor statistice,ca urmare a unui proces de centralizare a datelor unei observări statistice.Aceştia au un conţinut concret şi o formă concretă de exprimare.

Exemplu: volumul producţiei industriale se exprimă la nivelul agentuluieconomic în: unităţi naturale (tone, bucaţi, kg, …) sau în unităţi natural-convenţionale; în unităţi de timp de muncă sau valorice.

Din acest motiv, indicatorii primari se numesc şi indicatori absoluţi.

În practica, putem întâlni: indicatori primari:

obţinuţi de regula la nivelul unităţilor complexe, ca suma a unorcomponente.Exemplu: valoarea producţiei marfă = valoarea produselor finite + valoareasemifabricatelor livrate + valoarea lucrărilor cu caracter industrial efectuatecătre terţi

sau ca diferenţă spre exemplu:

valoarea adăugată = valoarea producţiei brute – valoarea consumuluiintermediar.

obţinuţi prin agregarea unor valori individuale cu acelaşi conţinut,dar calculat la trepte ierarhice inferioare.Exemplu: PIB, care deşi este un indicator sintetic, poate fi considerat şi caindicator agregat obţinut ca sumă a valorilor adăugate brute ale agenţiloreconomici.

obţinuţi direct din observare atunci când se face un studiumonografic a unei unităţi statistice.Exemplu: pentru o întreprindere industrială, indicatorii valorici ai producţieisunt în acelaşi timp şi indicatori absoluţi primari şi înregistraţi direct la nivelulunităţii.

•

•

•


90

La determinarea indicatorilor primari se pot întâlni în practică caracteristiciînsumabile direct sau nu. Putem avea urmatoarele cazuri:- când xi este însumabil direct, indicatorul absolut totalizator ( X ) se vaobţine ca:

- cazul în care datele individuale nu sunt însumabile direct şi trebuie găsit uncoeficient de echivalenţă ( k ), iar indicatorul absolut totalizator se va obţineca:

Exemplu: valoarea desfacerilor unui magazin = suma produselor dintrecantitatea desfăcută din fiecare produs multiplicată cu preţul unitar alacesteia;

- cazul în care însumarea directă nu are sens economic, deoarece valorileindividuale înregistrate nu au conţinut de mărime absolută, ci ele provindintr-un calcul statistic.Exemplu: productivitatea muncii ( W ), salariul mediu, etc.

În sens statistic, aceste valori au conţinut de indicatori derivaţi şi ca indicatorisintetici nu pot fi obţinuţi prin agregare.Indicatorii absoluţi exprimă volumulgrupelor şi al întregii colectivităţi.

Descrierea cantitativă a fenomenelor cu ajutorul nivelului absolut aldiverselor sale caracteristici are o capacitate limitată de caracterizare şi nupermite aprecieri calitative asupra fenomenului cercetat. Pentru aceasta,fiecare indicator absolut trebuie confruntat (comparat) cu alţi indicatori saucompletat cu informaţii superioare, de natură calitativă. Cu toate acestea,mărimile absolute constituie punctul de plecare al analizei statistice.

5.2.2. Indicatorii derivaţi

Indicatorii derivaţi se obţin în faza de prelucrare statistică a mărimilorabsolute prin aplicarea unor metode şi procedee de calcul statistic(comparaţii, abstractizări, generalităţi).

x xii 1=

n

∑=

x xi k⋅i 1=

n

∑=


91

Indicatorii utilizaţi în statistică sunt extrem de numeroşi şi cu metodologiivariate de calcul sub formă de: mărimi relative, mărimi medii, indicatori aivariaţiei (absoluţi, relativi şi medii), indici, indicatori ce caracterizeazăcorelaţia, etc.

Indicatorii derivaţi au caracter abstract, chiar dacă uneori (în cazul mediilorspre exemplu) se exprimă în unităţi concrete de măsură. Ei au drept scopanaliza calitativa a fenomenelor şi proceselor cercetate. De regulă ei seobţin prin aplicarea unui model de calcul statistic de comparare sauestimare, comparare care se face fie sub formă de diferenţă, fie de raport.

Compararea pe bază de diferenţă trebuie să îndeplinească condiţia decomprasibilitate din punct de vedere al conţinutului şi al unităţii de măsură.Exemplu: Sporul de venit net

Compararea pe baza de raport se poate face atât pentru indicatorii cuacelaşi conţinut cât şi pentru cei cu conţinut diferit dar interdependenţi întreei. Astfel apar în statisticile economico-sociale mărimile relative şi indicii.

Metoda de calcul a indicatorilor derivaţi este diferită şi va fi prezentatăseparat.

5.3. INDICATORI STATISTICI CALCULAŢI SUB FORMĂ DE MĂRIMI RELATIVE

Mărimile relative - cea mai simplă categorie de indicatori derivaţi

Un prin pas de la trecerea de la concret la abstract, de la mărimi absolute lamărimi derivate îl reprezintă compararea datelor prin raportare, obţinându-se marimi relative. Mărimile relative sunt folosite în toate documentele încare se utilizează metodele statistice.

Indicatorii relativi se obţin prin aplicarea unui model de comparaţie subformă de raport.

În statistica economică, prin mărime relativă înţelegem rezultatul raportăriia doi indicatori statistici absoluţi. Indicatorul de la numărator se numeşteindicator raportat, iar cel de la numitor indicator bază de raportare.


92

Pentru a calcula o mărime relativă trebuiesc respectate următoarelecondiţii:- între termenii comparaţii să existe o legatură firească de condiţionare saudacă este posibil chiar de cauzalitate;- termenii comparaţi să fie cu adevărat comparabili din punct de vedere alsferei de cuprindere, ca metodologie de calcul, etc.- baza de comparaţie să aibă o anumită semnificaţie în evoluţia fenomenuluistudiat.

Cele mai multe dificultăţi apar în comparaţiile teritoriale unde indicatoriiprovin din surse diferite şi uneori sunt calculaţi după metodologii diferite. Deasemenea, comparabilitatea trebuie să aiba în vedere şi timpul la care sereferă datele.

Spre exemplu, W se determina frecvent ca raport între producţie şi numărulde salariaţi. Dar, producţia este calculată la nivelul unei perioade (luna,trimestru, semestru, an), în timp ce numărul de muncitori poate fi determinatla un moment şi atunci, pentru a fi comparabile datele raportului se va lua încalcul nr. mediu al muncitorilor.

Alegerea bazei de raportare se va face în funcţie de scopul comparării. Spreexemplu, dacă se face comparaţia în timp (în dinamică), putem alege o bazăfixă, respectiv un an reprezentativ în evoluţia fenomenului studiat.

Alegerea formei de exprimare

Rezultatul raportării poate fi un număr întreg sau o fracţie. Deseori pentru afi mai expresiv rezultatul, el se înmulţeşte cu 100, 1000 sau 10000, deci seexprimă în procente, promile, prodecimile, procentimile, etc.

Forma cea mai simplă de exprimare a mărimii relative este în unităţi saucoeficienţi, rezultatul raportului arătând în acest caz câte unităţi dinindicatorul raportat revin la o singura unitate a indicatorului bază deraportare.Exemplu: Indicatorul eficienţei economice

Forma cea mai obişnuită şi sugestivă de exprimare a mărimii relative estecea de procent - %, care arată câte unităţi din indicatorul raportat revin la100 unităţi ale indicatorului bază de raportare.

Promilele se folosesc când indicatorul comparat este mult prea mic faţă deindicatorii bază de comparare şi exprimarea în coeficienţi sau chiar în % arduce la stabilirea unor mărimi relative dificil de interpretat.


93

Exemple: Eficienţa fondurilor fixe, care arată valoarea producţiei nete la1000 lei fonduri fixe; Indicatorii miscarilor naturale şi migratorii a populaţiei:nascuţi vii la 1000 de locuitori, etc.

Dacă şi în acest caz rezultatul raportului dintre cele 2 mărimi comparate areo valoare foarte mică, se utilizeaza prodecimilele sau procentimilele, etc.

Exemple: Numărul studenţilor ce revin la 10000 de locuitoriNumărul medicilor ce revin la 10000 de locuitoriNumărul de magazine ce revin la 100000 locuitori în rural.

Atenţie ! Se alege forma cea mai sugestivă.

Sensul interpretării: cu cat revin mai puţini locuitori la un medic, situaţia estemai buna.Folosirea coeficienţilor se face atunci când numaratorul este maimare decat numitorul.Exemplu: Avem o unitate care are două magazine: A şi B.

Magazinul A a vândut într-o luna de 3 milioane lei, iar magazinul B a vândutde 6 milioane lei. Comparaţia se poate face luând pe rând ca bază fiecaredin cele două magazine:

În primul caz, pentru a fi sugestiv rezultatul îl exprimăm procentual: 0,5 x100 = 50%, iar ca interpretare, putem spune că magazinul A a vândut marfavalorând 50% din valoarea vânzarilor magazinului B. În cel de-al doilea caz,evident magazinul B a vândut de 2 ori mai mult decât magazinul A.

În cazul în care indicatorul de la număratorul raportului este cu mult mai micdecât cel de la numitor, mărimea relativă se exprimă în promile, prinînmulţire cu 1000.

Comparaţiile pot fi făcute între acelaşi tip de variabile (dar din perioade detimp sau spaţii diferite) sau între două variabile interdependente.

În general o mărime relativă se calculează astfel:

kA B⁄xAxB----- 3

6--- 0 5,= = = kB A⁄

xBxA----- 6

3--- 2= = =

Termen de comparat Termen de comparaţie-------------------------------------------------------------- 10k×


94

Atunci când: mărimea relativă se exprimă în coeficient, semnificând de

câte ori este mai mare termenul de comparat faţă de cel cu care secompară;

forma de exprimare în procente (%):

Exemplu:

Rezultă că în medie, din fiecare 100 persoane aproape 48 sunt active.Acest indicator se numeşte rata generală de activitate.

forma de exprimare în promile ( ‰):

Exemplu:

În medie, la fiecare o mie de locuitori, s-au născut încă 11.

forma de exprimare în prodecimile:

Exemplu: stomatologi revin în medie la

10 mii locuitori. Dacă raportul se face invers, ar rezulta că fiecărui stomatolog îi revin în

medie aproape 160 locuitori.

forma de exprimare în procentimile:

Exemplu: în

medie, la 100 mii salariaţi revin 238 care lucrează în activitatea de cercetare.

După cum am mai precizat, se alege cea mai sugestivă formă de exprimare.

Dacă dorim să calculăm de exemplu creşterea relativă a numărului destudenţi în două perioade de timp:

- Nr. studenţi în octombrie 2008 = 7500- Nr. studenţi în octombrie 2005 = 6200

Rezultă:

k 0= ⇒•

k 2= ⇒•

336017 (populaţia activă)706623 (populaţia totală)--------------------------------------------------------------------- 100⋅ 47 6 %,=

k 3= ⇒•

8500 născuţi vii 750000 locuitori-------------------------------------------- 1000⋅ 11 = ‰

k 4= ⇒•

4700 stomatologi 750000 locuitori------------------------------------------ 10000⋅ 63 ≅

k 5= ⇒•

305 salariaţi în activitatea de cercetare 128000 salariaţi total

---------------------------------------------------------------------------------------------- 100000⋅ 238 ⇒≅

75006200------------- 1 209,= sau 7500

6200------------- 100⋅ 120 9 %,=


95

În statistica social-economică se calculeaza urmatoarele tipuri de mărimirelative:

Mărimi relative de structura.Mărimi relative de coordonare (corespondenţă).Mărimi relative ale dinamicii.Mărimi relative ale planului (programului).Mărimi relative de intensitate.

5.3.1. Mărimi relative de structură

Dacă o colectivitate este împărţită în k grupe, iar nivelul absolut al grupeloreste: x1, x2, … xk, putem obţine următoarele mărimi relative cu sensul deponderi sau greutăţi specifice:

; ; . . .

În cazul unei serii de distribuţie de frecvenţe, fiecare mărime relativă destructură exprimă ponderea grupului de elemente (xi) în total, grupulobţinându-se fie prin centralizare, fie prin produsele de frecvenţă (x; n).

Notând cu ni frecvenţa de înregistrare a elementelor de acelaşi fel:

Interpretare corectă Interpretare incorectă- nr. de studenţi a crescut în perioada analizată de 1,2 ori;- nr. de studenţi din octombrie 2008 reprezenta 120,9% din cel existent în octombrie 2005;- nr. de studenţi a crescut la 120,9% faţă de octombrie 2005;- nr. de studenţi a crescut cu 20,9% faţă de octombrie 2005.

- a crescut de 120,9 ori;- a crescut cu 120 %;- a crescut cu 1,25 %.

◊ ◊ ◊ ◊ ◊

f1 * x1

x ii 1=

k

∑-------------= f2

* x2

x ii 1=

k

∑-------------= fk

* xk

x ii 1=

k

∑-------------=

g ixi ni⋅

xi ni⋅i 1=

m

∑----------------------= 100×


96

Specific mărimilor relative de structură este proprietatea de aditivitate -mărimile relative de structura pentru aceeaşi colectivitate având aceeaşibaza de raportare admit proprietatea de aditiune (adunare) respectiv descădere.Exemplu: creşterea greutăţii specifice a populaţiei urbane de la un an la altulnu se face prin scădere, pentru că şi nr. total al populaţiei s-a modificat. Deci, se spune fie că a crescut de la x% la y%, fie se face un nou raport x/ycare se exprimă procetual şi ceea ce depăşeşte 100% reprezintă creşterearelativă a populaţiei urbane.

Fiind calculate faţă de aceeaşi bază cu greutăţi specifice corespunzătoarese pot efectua operaţii de adunare şi scadere.

Suma mărimilor relative de structură este egală cu 1 sau cu 100 dacăacestea au fost exprimate în procente.

Această proprietate se foloseşte frecvent în statistica social-economicădeoarece frecvenţele absolute referindu-se la fenomene concrete suntexprimate în unităţi concrete de măsură, deci necomparabile pentru 2 saumai multe variabile interdependente. Eliberându-se de aspectul concret, elepot fi comparate cu probabilitatea de apariţie a diferitelor evenimente, iarseria de date poate fi analizată.

5.3.2. Mărimi relative de coordonare

Mărimile relative de coordonare se folosesc pentru a compara 2 grupe aleaceleiaşi colectivităţi sau două colectivităţi situate în spaţii diferite, darcoexistente în timp. Ori de câte ori este posibil calculul mărimillor relative destructură este posibil şi calculul mărimilor relative de coordonare.

Dacă o colectivitate este împărţită în 2 grupe, iar nivelul variabilei studiateeste xA şi xB, atunci putem calcula următoarele mărimi relative decoordonare:

şi

Acestea se folosesc în special în studiul variaţiei teritoriale, prin urmare aucaracter de indici teritoriali.

kA B⁄xAxB-----= kB A⁄

xBxA-----=


97

5.3.3. Mărimi relative ale dinamicii

Mărimile relative ale dinamicii se folosesc în scopul caracterizării statisticea evoluţiei în timp a fenomenului analizat. Acestea se calculează cânddispunem de cel puţin două valori ale aceluiaşi indicator înregistrate înunităţi diferite de timp. În funcţie de baza de comparaţie aleasă putemcalcula:

a) Mărimi relative ale dinamicii cu bază fixă:

b) Mărimi relative ale dinamicii cu bază mobilă (în lant):

În primul caz putem stabili modificarea faţă de o bază de referinţăsemnificativă, iar în cel de-al doilea caz, ritmicitatea cu care se modificăfenomenul studiat. În practică, această mărime relativa se numeşte indice.

Întotdeauna la numărătorul indicelui va figura mărimea fenomenului pentruperioada de timp prezentă sau mai aproape de prezent, iar la numitormărimea aceluiaşi fenomen dar pentru o perioadă de timp mai veche.

5.3.4. Mărimi relative ale planului

Mărimile relative ale planului se calculează în economia de piaţă la nivelulunităţilor economice. Calculul presupune prelucrarea din evidenţele unităţiieconomice analizate a informaţiilor referitoare la:

- nivelul fenomenului analizat într-o perioada de baza ( x0 );- nivelul planificat (programat) al aceluiaşi fenomen pentru perioada

curentă ( xpl );- nivelul realizat al acestuia în perioada curentă ( x1 ).

Din compararea sub formă de raport a celor 3 indicatori rezultă:

- o mărime relativă a sarcinii de plan:

ii 0⁄xix0----- 100⋅=

ii i 1–⁄xi

xi 1–----------=

kpl 0⁄xplx0------ 100⋅=


98

- o mărime relativă a îndeplinirii planului:

- o mărime relativă a dinamicii:

Între cei trei coeficienţi se poate stabili relaţia:

De cele mai multe ori mărimile relative ale planului se exprimă procentual,adesea reţinând doar valoarea ce depaşeşte 100, aratând procentul dedepăşire a planului sau dimpotrivă dacă coeficientul este subunitar, aratândcu câte procente nu s-a realizat programul stabilit.

5.3.5. Mărimi relative de intensitate

Mărimile relative de intensitate se calculează între doi indicatori absoluţide natură diferită între care există o relaţie de interdependenţă. Un exemplude mărime relativă de intensitate este nivelul productivităţii muncii ( W ),calculat între nivelul producţiei ( Q ) şi numărul mediu de muncitori ( T ).

Semnificaţia lui xi: câte unităţi din valoarea caracteristicii y revin la o unitatea caracteristicii z. Rezultă că y depinde de doi factori: unul de naturăextensivă (cantitativă), zi care este însumabil direct şi altul de naturăintensiva (calitativă), xi care nu poate fi însumabil direct. Pentru a calculanivelul lui xi pe total colectivitate se raportează nivelul totalizat alcaracteristicii y la nivelul totalizat al caracteristicii z.

Mărimile relative de intensitate au largi aplicaţii în statistica social-economică.

k1 pl⁄x1xpl------ 100⋅=

k1 0⁄x1x0----- 100⋅=

k1 0⁄ kpl 0⁄ k1 pl⁄⋅=

x1x0-----

xplx0------

x1xpl------⋅=

i

ii z

yx =

∑∑=

i

i

zy

X


99

Exemplu, cazul productivităţii muncii:

Exemplu: Eficienţa fondurilor fixe, recolta la hectar, volumul pe localitate, etc

Mărimile relative de intensitate calculându-se sub formă de rapoarte cu bazediferite de raportare şi având conţinut de medie – nu admit operaţia deadiţiune.

Deci, mărimea relativă la nivelul ansamblului x nu este o sumă a mărimilorrelative parţiale, calculate la nivelul grupelor ci o medie a acestora şi poate ficalculat agregând separat variabilele din numitor şi numărator.

Exemple de mărimi relative de intensitate

- în demografie - pentru caracterizarea miscarii populaţiei (nasteri, decese,spor migratoriu);

- în economie - pentru caracterizarea gradului de dotare, a niveluluiproductivităţii, a salariului pe un muncitor;

-

-

-

W Productia Numarul mediu al personalului muncitor-----------------------------------------------------------------------------------------------------------=

xiyizi----= yi zi xi⋅=⇒

variabila rezultativa factor cantitativ

factor calitativ

social-cultural indicatori ai nivelului de trai numarul mediu al populatiei---------------------------------------------------------------------------=

coeficient de natalitate numar nascuti vii numar locuitori la data de 01.07. a.c.--------------------------------------------------------------------------------------------------= 1000⋅

rata natalitatii lunare numar nascuti vii in luna × 12 luni numar locuitori la data de 01.07. a.c.--------------------------------------------------------------------------------------------------= 1000⋅


100

-

-

-

-

-

-

-

Atenţie !

La construirea mărimilor relative trebuie să se ţină cont şi decomparabilitatatea perioadelor la care se referă datele de la numărător şinumitor.

Spre exemplu, în luna mai s-au născut 550 copii într-un judeţ a căruipopulaţie legală era de 720 mii locuitori.

coeficient de mortalitate numar decedati numarul populatiei la data de 01.07. a.c.------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1000⋅=

coeficient de mortalitate infantila numar nascuti morti sub 1 an numar nascuti vii

------------------------------------------------------------------------------- 1000⋅=

densitatea populatiei populatia (locuitori)

suprafata km2( )----------------------------------------------------= populatia / km2=

gradul de inzestrare tehnică a muncii

valoarea fondurilor fixe numarul populatiei ocupate------------------------------------------------------------------------- mii lei / persoana= =

rata globala de activitate numarul populatiei active numarul populatiei totale-------------------------------------------------------------------- 100⋅=

W (productivitatea) neta / netă / persoana ocupată

venitul net numarul populatiei ocupate--------------------------------------------------------------------------- mii lei / persoana==

coeficientul de consum volumul de vanzari numarul populatiei--------------------------------------------------- mii lei / persoana==


101

Pentru a calcula rata lunară a natalităţii:

a) INCORECT b) INCORECT c) CORECT

‰

Numărătorul nueste comparabil cunumitorul ca unitatede măsură, unuleste în persoane şialtul este în miipersoane.

Numărătorul nu estecomparabil cunumitorul din punctde vedere alperioadelor la care sereferă. Astfel,numărătorul se referăla o lună de zile,reprezentând unindicator de interval,în timp ce numitoruleste un indicator destoc, valabil doar lamomentul observării,motiv pentru care seva lua media anuală,asimilată cu populaţiade la 1 iulie (mijloculanului). A doua problemă

este dată denumărător, care sereferă la o lună, întimp ce la numitoravem o medievalabilă pe un anîntreg.

Pentru a le facecomparabile datorităproblemelor sesizate lacazul b), indicatorul de lanumărător se va înmulţi cu12 luni cât are un an, iardatele vor fi comparabilecu numitorul la care s-aînregistrat media anuală. Transformat în promile,

rezultatul semnifică: înmedie, la fiecare o mie delocuitori s-au mai născutalţi 9 în luna mai. Similar, dacă datele sunt

pe trimestru se înmulţeştecu 4, pe semestru cu 2,ş.ş.m.d.

550720--------- 550

720000------------------ 550 12×

720000--------------------- 1000⋅ 9 2,=


102

5.4. APLICAŢIE

Cunoaştem următoarele date statistice:

Să se analizeze datele din tabel cu ajutorul mărimilor relative de calcul.

Rezolvare:

Putem calcula structura populaţiei pe medii, la cele două momente de timp,ca pondere a fiecărei grupe în total.

Idem şi pentru 1 iulie 2007. Calculele sunt prezentate în tabelul al doilea.

Indicatorul statistic la 1 iulie 2000

la 1 iulie 2007

Anul 2007 Luna iule 2007

Populaţia României (mii persoane) 22435,2 21537,5 - mediul urban 12244,6 11877,6 - mediul rural 10190,6 9659,9Nascuţi vii (persoane) 214728Decese (persoane) 251965Decese la o vârstă sub 1 an (număr) 2574Decese (persoane) 18200Femei (mii persoane) 11466,3 11040,8Populaţia activă (mii persoane) 9994Şomeri B.I.M. 641Număr mediu de salariaţi (mii persoane) 4885,3Număr mediu de pensionari (mii persoane) 5745Câştigul mediu net lunar salarial (lei) 1042Pensia medie lunară (lei) 389Număr de studenţi (2007/2008) 907353Număr de medici 48199

Indicatori statistici la nivelul României

Populaţia din urban (%) Populaţia din urban Populaţia totală

-------------------------------------------------- 100⋅=

Pu 2000

12244 6,22435 2,------------------- 100⋅ 54 6 %,= =

Pr 2000

10190 6,22435 2,------------------- 100, sau 100 54 6,– 45 4 %,=⋅=


103

Interpretare:

Populaţia din mediu urban reprezenta 54,6 % în anul 2000 şi 55,1% în anul2007. Sau, altfel spus, în anul 2000, în medie, din 100 persoane, aproape 55locuiau în mediul urban şi peste 45 locuiau în mediul rural.

Ponderea populaţiei urbane în total populaţie a crescut uşor, de la 54,6% înanul 2000, la 55,1% în anul 2007.

Putem analiza modificări relative ale structurii pe medii a populaţieiRomâniei în anul 2007 faţă de anul 2000:

Este greşit a calcula prin diferenţă:- spre exemplu: la urban 55,1% - 54,6% = + 0,5%

Corect:

- se va calcula o nouă mărime relativă a dinamicii, din cele două mărimirelative de structură:

, de unde rezultă că ponderea populaţiei

urbane în total a crescut în cei 7 ani cu 0,9 %.

Calculele sunt prezentate în tabelul al doilea, împreună cu dinamica (indicii)populaţiei.

Ponderea populaţiei rurale în total a scăzut cu 1,1% în cei 7 ani.

Modificarea relativă a structurii pe medii (+/- %)

Dinamica

populaţiei (%)

Creş terea relativă a populaţiei

(+/-%)

2000 2007Populaţia României (mii persoane) 22435,2 21537,5 100,0 100,0 96,0 -4,0

- mediul urban 12244,6 11877,6 54,6 55,1 0,9 97,0 -3,0 - mediul rural 10190,6 9659,9 45,4 44,9 -1,1 94,8 -5,2

Indicatori statistici la nivelul României

Indicatorul statisticla 1 iulie

2000la 1 iulie

2007

Structura populaţiei pe

medii (%)

55 1,54 6,---------- 100⋅ 100 9 %,=


104

Pentru analiza dinamicii populaţiei în cei 7 ani putem calcula indicii şi ratelede creştere.

Astfel, pe total:

Putem spune că populaţia din 2007 reprezenta 96% din cât era aceasta în2000. Altfel spus, populaţia în anul 2007 a scăzut cu 4% faţă de ceaexistentă în anul 2000.

Din aceleaşi date putem calcula şi mărimi relative de coordonare:

Spre exemplu, în anul 2007:

Putem afirma că în medie, populaţia din urban era la 1 iulie 2007 de 1,23 orimai mare decât populaţia din rural (sau altfel spus, cu 23% mai mare). O altăformulare corectă ar fi: în medie, la fiecare 100 persoane din rural reveneau123 persoane din urban. Se alege una din aceste variante ca mod deinterpretare.

La fel, raportul de coordonare poate fi calculat şi invers:

în medie, la 100 persoane care locuiau în urban, reveneau 81 persoane carelocuiau în rural (sau cu 19% mai puţin).

Alte mărimi relative care pot fi calculate mai departe, sunt cele deintensitate, care presupun raportarea unui indicator la un alt indicator, cucondiţia ca aceştia să se afle într-o strânsă legătură.

Spre exemplu, putem calcula rata natalităţii în anul 2007:

i 2007 2000⁄21537 5,22435 2,------------------- 100⋅ 96 %= = ( sau - 4% )

Populaţia urban

Populaţia rural----------------------------------- 11877 6,

9659 9,---------------------- 1 23,= = sau 123 %

Populaţia rural

Populaţia urban----------------------------------- 9659 9,

11877 6,---------------------- 0 81,= = sau 81 %

Rata natalităţii 2007 Născuţi vii an 2007 Populaţia la 01.07.2007---------------------------------------------------------------- 1000 =⋅=

21472821537500------------------------ 1000⋅= 9 97 10 ≅,= ‰ ‰


105

Putem spune că în anul 2007, la fiecare 1000 persoane s-au mai născut înmedie 10.

În acelaşi mod putem calcula rata mortalităţii:

În medie, din fiecare 1000 locuitori ai României au decedat aproape 12 înanul 2007.

Cunoscând atât numărul de născuţi cât şi numărul de decese din anul 2007,putem calcula sporul natural al populaţiei şi respectiv rata sporului natural:

Rezultă că în anul 2007, populaţia României a scăzut pe cale naturală cu37237 persoane.

Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut dacă calculam ca diferenţă între cele 2 rate:

Rata sporului natural = Rata natalităţii - Rata mortalităţii

= 9,97 ‰ - 11,7 ‰ = - 1,7 ‰

Semnificaţie:

În anul 2007, în România, la fiecare o mie de persoane, populaţia a scăzutpe cale naturală cu aproape 2 persoane.

Rata mortalităţii 2007 Decese an 2007 Populaţia la 01.07.2007---------------------------------------------------------------- 1000 =⋅=

25196521537 5, 103⋅----------------------------------- 1000⋅= 11 7,= ‰

Spor natural 2007 Născuţi vii2007 Decese2007 =–=

214728 251965– 37237 persoane–==

Rata sporului natural în 2007 Sporul natural în 2007 Populaţia la 01.07.2007---------------------------------------------------------------- 1000 =⋅=

37237–21537500-------------------------- 1000⋅ 1 7 ,–== ‰


106

Pentru a nu efectua rotunjiri datorită zecimalelor, putem transforma şi înprodecimile înmulţind rezultatul cu 10.000 în loc de 1000. În acest caz,putem interpreta astfel: în medie, la fiecare 10 mii de persoane, populaţia ascăzut pe cale naturală cu 17 locuitori.

Un alt indicator relativ de intensitate ce poate fi calculat pe baza datelor dintabel este rata mortalităţii infantile:

Cum decesele ce pot surveni până la împlinirea vârstei de un an pot survenidin rândul celor născuţi vii în cursul ultimului an, rata se calculeazăraportând decesele respective la numărul de născuţi vii ai perioadei şi nu lapopulaţia totală (cu care nu are legătură).

Interpretare: în medie, la fiecare 1000 de născuţi vii în România în anul 2007au decedat 12.

Putem calcula de asemenea rata mortalităţii din luna iulie a anului 2007:

În medie, în luna iulie din 2007, la fiecare 1000 locuitori s-au născut unnumăr de 10 copii.

Cunoaştem mai departe numărul de femei din cei doi ani, iar prin diferenţăputem calcula numărul de bărbaţi.

Nr. bărbaţi 2000 = 22435,2 - 11466,3 = 10968,9 mii persoaneNr. bărbaţi 2007 = 21537,5 - 11040,8 = 10496,7 mii persoane

Putem calcula în continuare atât structura populaţiei pe sexe ca şi în cazulstructurii populaţiei pe medii, respectiv raportul de coordonare între bărbaţişi femei (sau invers), precum şi mărimile relative de dinamică a populaţiei pesexe în cei 7 ani.

Rata mortalităţii infantile în 2007 Decese sub 1 an, 2007 Născuţi vii an 2007

--------------------------------------------------------------- 1000 =⋅=

2574214728-------------------- 1000⋅ 11 98 , 12 ≅== ‰ ‰

Rata mortalităţii 07.2007 18200 × 12 luni21537500

------------------------------------------ 1000 10 1 ,=⋅= ‰


107

Spre exemplu, în 2007, ponderea femeilor în total era de

, iar a bărbaţilor de 48,7 % (100 - 51,3).

în anul 2007, numărul de femei era cu 5 % mai mare decât albărbaţilor, sau altfel spus, în medie la fiecare 100 de bărbaţi reveneau 105femei.

Invers,

ceea ce înseamnă că numărul bărbaţilor era cu 5 % mai mic decâtal femeilor, sau altfel spus, în medie la fiecare 100 de femei reveneau 95 debărbaţi.

În dinamică,

numărul de femei a scăzut în anul 2007 faţă de anul 2000 cu 3,7 %.

numărul de bărbaţi din România în anul 2007 reprezentau 95,7 %din cel existent în 2000, sau altfel spus, acesta a scăzut cu 4,3 % în cei7 ani.

Cunoaştem mai departe date cu privire la ocuparea forţei de muncă. Forţade muncă este dată de populaţia activă (PA) care este alcătuită din populaţiaocupată (PO) şi şomeri (Ş).

PO = PA - Ş = 9994 - 641 = 9353 mii persoane.

În continuare putem calcula alţi indicatori relativi de intensitate cunoscuţi:

11040,8 21537,5----------------------- 100⋅ 51,3 %=

Femei Bărbaţi-------------------- 100⋅ 11040,8

10496,7----------------------- 100⋅ 105 %= = ⇒

⇒

Bărbaţi Femei------------------- 100⋅ 10496,7

11040,8----------------------- 100⋅ 95 %= = ⇒

⇒

i2007 /2000 femei 11040,8

11466,3----------------------- 100⋅ 96,3 %= = ⇒

⇒

i2007 /2000 bărbaţi 10496,7

10968,9----------------------- 100⋅ 95,7 %= = ⇒

⇒


108

în anul 2007, în medie, din fiecare 100 persoane 46 erau active şiaproape 54 persoane erau inactive.

în medie, la fiecare 100 persoane reveneau 43 persoane ocupate(care lucrau pentru a obţine venituri în bani sau în natură).

Rezultă că în anul 2007, în România, la fiecare 100 persoane activereveneau în medie peste 6 şomeri.

Alte mărimi relative de intensitate:

Rezultă că aproape jumătate din populaţia ocupată avea statutul de salariat.Altfel spus, în medie la fiecare 100 persoane ocupate reveneau 49 salariaţi.

Putem calcula în continuare alte mărimi relative de coordonare:

Numărul mediu de salariaţi era în anul 2007 cu 15% mai mic decât celde pensionari.

Rata generală de activitate PA Populaţia totală------------------------------------------- 100⋅ = =

999421537 5,----------------------- 100⋅ 46,4 %= =

⇒

Rata generală de ocupare PO Populaţia totală------------------------------------------- 100⋅ = =

935321537 5,----------------------- 100⋅ 43,4 %= =

⇒

Rata şomajului Şomeri Populaţia activă-------------------------------------------- 100⋅ 641

9994--------------- 100⋅ 6,4 %== =

Nr. salariaţi Nr. persoane ocupate----------------------------------------------------------- 100⋅ 4885,3

9994-------------------- 100⋅ 48,9= = 49 %≅

Număr mediu salariaţi Număr mediu pensionari------------------------------------------------------------------- 100⋅ 4885,3

5745-------------------- 100⋅ 85 %= = ⇒


109

Altă interpretare corectă: în medie, la fiecare 100 de pensionarireveneau 85 salariaţi.

Raportul poate fi calculat şi invers:

Numărul pensionarilor era în anul 2007 de 1,17 ori mai mare ca cel alsalariaţilor (cu 17,6%). Idem pentru raportul dintre “Pensia medie” şi“Salariul mediu net din anul 2007”:

salariul mediu a fost în anul 2007 de 2,68 ori mai mare decâtpensia medie (+ 167,9 %).

pensia medie reprezenta 37,3 % din salariul mediu în anul 2007,sau altfel spus, aceasta era cu 62,7 % mai mică decât salariul.

Cu ajutorul ultimilor 2 indicatori furnizaţi în tabelul iniţial, putem calcula alte 2mărimi relative de intensitate, comparând cu populaţia medie din acel an(media fiind asimilată cu populaţia la 1 iulie a anului ).

Numărul de studenţi care reveneau la 1000 locuitori în anul 2007 era de42 ‰.

Numărul de medici care reveneau la 1000 locuitori era în anul 2007 de 2persoane:

Pensionari Salariaţi

------------------------------ 100⋅ 5745 4885,3-------------------- 100⋅ 117,6 %= =

Salariul mediu Pensia medie--------------------------------------- 100⋅ 1042

389------------- 100⋅ 267,9 %= = ⇒

⇒

Pensia medieSalariul mediu-------------------------------------- 100⋅ 389

1042------------- 100⋅ 37,3 %= = ⇒

⇒

90735321537500------------------------- 1000⋅ 42,1 = ‰

4819921537500-------------------------- 1000⋅ 2,2 = ‰


110

Indicatorul poate fi calculat şi invers:

În medie, în anul 2007, în România la fiecare medic reveneau 447pacienţi (locuitori).

Atenţie la sensul interpretării !

La primul indicator calculat, cu cât este mai mare avem o situaţie mai bună,în timp ce la cel de-al doilea (opusul său), cu cât mărimea este mai mare,situaţia este mai defavorabilă.


Daţi câte 10 exemple de mărimi absolute şi tot atâtea de mărimi relative.

Care este cea mai bună formă de exprimare a mărimilor relative ? Alegeţi din “Anuarul Statistic al României” indicatori statistici, în aşa fel încâtsă puteţi realiza şi interpreta toate tipurile de mărimi relative învăţate.

Puteţi selecta date statistice şi din baza de date Tempo OnLine de pe site-ulInstitutului Naţional de Statistică: http://statistici.insse.ro/shop/.

21537500 48199

-------------------------- 446,8 447 persoane / un medic≅= ⇒‰


111

Capitolul VI

MĂRIMI MEDII

OBIECTIVE

Dat fiind faptul că în general statistica operează cu noţiuni şi mărimi medii,este deosebit de importantă înţelegerea corectă a acestora şi folosireaautorizată, fără a face excese matematice de formule, acestea trebuiescfolosite doar în condiţii de reprezentativitate. Utilizatorii trebuie să-şiînsuşească principalele tipuri de medii întâlnite în practică, precum şi folo-sirea tipului de medie adecvat, nu la întâmplare.

Cuvinte cheie

Medii simple şi medii ponderateMedii de poziţie

6.1. CARACTERISTICILE ŞI CLASIFICAREA MEDIILOR

Mediile sunt mărimi statistice care exprimă în mod sintetic şi generalizat,ceea ce este normal, legic, esenţial, tipic, pentru toate unităţile colectivităţiidistribuite după o caracteristică.

Caracteristicile mediei:se exprimă în mod sintetic (printr-o singură valoare)are un caracter abstract (chiar dacă se măsoara în unitaţi de măsura

concrete)este o mărime generalizată, dacă înlocuim fiecare termen cu

este aceeaşi;sintetizează normalul (exprimă nivelul purtat de majoritatea unităţilor

colectivităţii).

• •

• x . . . xi∑

•

Mărimi medii

112

Într-o distribuţie normală, ocupă o poziţie centrală spre care tindemajoritatea unităţilor colectivităţii. Rezultă că este considerată speranţamatematică a acestora.

Mărimile medii mai sunt cunoscute şi ca indicatori ai tendinţei centrale.

Condiţiile de calitate (de reprezentativitate) a unei medii

Aceste condiţii au fost stabilite de Yulé (1945):1. trebuie să fie definită precis, printr-o definiţie sau printr-o formulă.Oricine ar face calcule asupra aceleiaşi serii trebuie să ajungă la acelaşirezultat.2. trebuie să fie reprezentativă, adică să reprezinte toţi termenii seriei,ceea ce înseamnă că seria trebuie să fie omogenă.3. trebuie să aibă o semnificaţie concretă, uşor de sesizat chiar şi denespecialişti.4. trebuie să fie simplă de calculat şi să se preteze la calcule algebriceulterioare.5. trebuie să fie puţin sensibilă la fluctuaţiile de eşantionare.

Reprezentativitatea medieiPentru ca o medie să fie reprezentativă trebuie să îndeplineascăurmătoarele condiţii:

Să fie calculată dintr-un număr suficient de mare de cazuri individuale.(Nu putem afirma că în medie fiecare persoană a consumat un pui, dacă

acel calcul s-a efectuat pe baza datelor de la doar 2 persoane: .

Pentru a face un astfel de calcul mediu trebuie să analizăm un eşantionreprezentativ de persoane, iar volumul eşantionului să fie stabilitcorespunzător cu dimensiunea populaţiei la care se referă).

Valorile din care se calculează media trebuie să fie omogene(asemănătoare). Dacă există diferenţe foarte mari între valori, media poatedeveni fără sens;

Spre exemplu, salarii cuprinse între 100 Euro/lună şi 4000 Euro/lună şi omedie calculată de 2000 Euro/lună. Media calculată ar reprezenta doar omică parte din colectivitatea analizată. Din acest motiv, calculul medieitrebuie completat cu studiul indicatorilor variaţiei care vor confirma saudimpotrivă vor infirma reprezentativitatea mediei;

xx

x

x

x

x

◊

0 2+2

------------ 1=

◊


113

Trebuie ales tipul de medie semnificativ pentru datele existente.

6.1.1. Mărimile medii de calcul

Obţinerea lor se face prin două operaţii: acumularea termenilor seriei fie prin

apoi revenirea (prin împărţire sau radical) la un nivel reprezentativ pentru toţi termenii incluşi în calcul.

Mărimi medii de poziţie se află prin depistarea termenului ce ocupă poziţiacentrală în distribuţia statistică.

Mărimi medii simple se calculează în cazul seriilor statistice simple (fărăfrecvenţă), adică pentru seriile în care variantele caracteristicii de distribuţiesunt purtate de câte o singură unitate statistică sau când frecvenţele deapariţie sunt egale între ele.

Mărimi medii ponderate se calculează când variantele caracteristicii aufrecvenţe diferite (serii cu frecvenţă).

◊

Dupa rolul lor Marimi medii Media aritmeticain analiza statistica fundamentale Modul

Mediana

media geometrica

media armonica

Media progresivaMedialaMedia cronologicaMedii mobile

Marimi medii de calculDupa modul de obtinere

Marimi medii de pozitie:

Clasificarea mediilor

Marimi medii cu aplicatii speciale

Modul, Mediana, Mediala

media patratica

gx

hx

px

crx

gx hx px

xMoMe

• fie prin ∏∑ •

Mărimi medii

114

6.1.2. MEDIA ARITMETICĂ

Este cea mai cunoscuta medie şi se mai numeste simplu: medie.Este principalul indicator mediu al tendintei centrale.

DefiniţieMedia este rezultatul sintetizării într-o singură expresie numerică a tuturornivelurilor individuale observate, obţinută prin raportarea valorii totalizate acaracteristicii la numărul total al unităţilor. Astfel, media este valoarea pecare ar purta-o fiecare unitate statistică dacă distribuţia ar fi omogenă.

medie simplă se calculează când distribuţia este realizată pevariante şi:

unde:

medie ponderată când:

Dacă înlocuim frecvenţele absolute cu frecvenţele relative, media este datăde relaţia:

- frecvenţa relativă: ;

•

f1 f2 . . . fn== = x

x ii 1=

n

∑

n--------------=

xi∑ x1 x2 . . . xn+ + +=

iarn volumul colectivitatii=fi frecvenţele de apariţie ale fiecărei variante=

• f1 f2 . . . fn≠≠ ≠ x

x i fi⋅

i 1=

n

∑

fi∑---------------------=

fi * fi

fi∑---------= x

xi∑fi *

fi∑---------

fi *

fi∑---------∑

--------------------- xi fi *⋅∑= = fi

*∑ 1=


115

Dacă frecvenţele relative sunt exprimate în procente: ,

atunci , iar media devine: .

Indiferent ce formulă de calcul aplicăm, rezultatul va fi acelaşi.

În cazul seriilor în care avem intervale de variaţie, valorile lui xi sunt date decentrele de interval, calculate ca medii aritmetice simple ale celor douălimite. Media se exprimă în aceeaşi unitate de măsură ca şi valorilecaracteristicii statistice studiate.

Pentru seriile cu intervale egale se observă că centrele de interval formeazăo progresie aritmetică cu raţia = mărimea intervalului. Rezultatul nesugerează că toţi termenii în acest caz se pot simplifica cu mărimeaintervalului = k.

De asemenea, se observa că se află aproape de centrul de interval cufrecvenţa cea mai mare, deci valoarea respectivă poate fi substituită cel maibine prin valoarea medie. Rezultă că putem simplifica calculul medieifolosind procedeul “originii arbitrare” a variabilei x în dreptul centrului cufrecvenţa cea mai mare.

Acest procedeu se bazează pe 2 din proprietăţi ale mediei aritmetice.1. Dacă toţi termenii seriei s-ar micşora sau s-ar amplifica cu o constanta“a”, media noii serii se va micşora sau se va amplifica cu acea constanta “a”(media este deci o mărime translativa).2. Dacă toţi termenii seriei s-ar împarţi sau s-ar înmulţi cu un coeficient “k”,atunci media noii serii ar fi de “k” ori mai mică sau mai mare decât mediainiţială.

În cazul seriei cu intervale neegale nu se mai ajunge la aceeaşi forma devariaţie uniformă pozitivă şi negativă. Rezultă că în acest caz este absolutnecesar să se calculeze toate centrele de interval şi apoi să se aleagă celemai potrivite valori pentru a şi k încât să se obţină o maximă simplificare acalculului mediei.

fi * (%)

fi

fi∑--------- 100⋅=

fi * (%)∑ 100= x

xi fi * (%)⋅∑

100-------------------------------=

x

akf

fk

ax

xi

ii

+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑

∑

Mărimi medii

116

Alte proprietăţi ale mediei:

3. Media aritmetică este cuprinsă obligatoriu între xmin şi xmax ;

4. Suma abaterilor nivelurilor individuale ale variabilei de la media lor esteegala cu 0.

5. Dacă într-o serie de distribuţie se reduc proporţional toate frecvenţele cu oconstanta “c”, media lor calculată pe baza noilor frecvenţe rămâneneschimbată. Această proprietate este folosită la calculul pe bazafrecvenţelor relative (fi*), aici constanta.

6. Suma pătratelor abaterilor individuale de la o valoare reală oarecare esteminimă când acea valoare este egala cu .

pentru a = rezultă:

= minim pentru serii simple

= minim pentru serii cu frecvenţe

Deci minimul expresiei S se atinge când valoarea lui “a” este egală cu mediaaritmetică.

7. Media aritmetică a sumei a 2 variabile aleatoare independente = sumamediilor celor 2 variabile:

8. Media produsului a 2 variabile aleatoare = produsul mediilor celor 2

variabile:

maxmin xxx ≤≤

xi x–( )∑ 0= pentru serii simple

xi x–( ) fi⋅∑ 0= pentru serii de frecvenţe

x

c fi∑=

x • x

xi a–( )2∑xi a–( )2∑ fi⋅

S xi a–( )2∑ minim ∂S∂a------⇒ 2 xi a–( )∑– 0 ⇒= = = =

a 1n--- xi∑=⇒ x=

x y+ x y+=

x y⋅ x y⋅=


117

Principalul dezavantaj al folosirii mediei aritmetice constă în sensibilitatea săfaţă de valorile extreme. Ea devine nereprezentativă dacă termenii serieisunt prea împrăştiaţi, iar dacă în colectivitatea statistică se observămanifestari distincte din punct de vedere calitativ, media tinde să devinălipsită de conţinut. În acest caz, este indicat să se calculeze medii parţialepentru fiecare tip calitativ al colectivitaţii şi în final să se determine mediagenerală. Omogenitatea colectivitaţii este de fapt o condiţie areprezentativitaţii pentru orice tip de medie.

6.1.3. MEDIA ARMONICĂ SIMPLĂ ŞI PONDERATĂ

Media armonică a termenilor unei serii se defineşte ca acea valoare a căreimărime inversă este media aritmetică calculată din valorile inverse aletermenilor aceleiaşi serii.

Avem seria: x1, x2, … xn, valorile lor inverse vor fi:

Media armonică se notează cu

analog se deduce şi media armonică ponderată

Comparând formula mediei armonice cu cea a mediei aritmetice se potstabili anumite relaţii utile pentru folosirea în practică a celor doua valorimedii.

1. Dacă toate caracteristicile sunt pozitive, atunci media aritmetică este maimare decât media armonică a aceloraşi valori.

sau

1x1----- 1

x2----- … 1

xn-----, , ,

xh

1xh----- 1

n--- 1

xi----

i 1=

n

∑= xhn

1xi----

i 1=

n

∑

-----------------=⇒

xh

fi i 1=

n

∑

1xi----

i 1=

n

∑ fi⋅

-------------------------=

xa xh> xh x<

Mărimi medii

118

2. Dacă se consideră 2 variabile dependente funcţional, de tipul

şi pentru o variabilă se foloseşte media aritmetică, atunci pentru cealaltăvariabilă este obligatoriu să se utilizeze media armonică, deoarece raportulde inversă proporţionalitate se realizează şi între cele două valori medii.

Exemplu: Nivelul productivităţii muncii (W) se poate exprima, în mod direct,prin cantitatea de produse ce revine pe o unitate de timp şi, indirect princantitatea de timp ce revine pe o unitate de produs, deci cele doua valoriindividuale sunt într-un raport de inversă proporţionalitate.

3. Media armonică poate fi egală cu media aritmetică calculată din aceleaşivalori ale caracteristicii dar folosindu-se sisteme de ponderare diferite. Astfella folosim ponderile reale ale valorilor individuale, iar pentru ponderilecompuse luate sub forma produselor, adică:

Rezultă că există un caz particular în care media armonică apare ca formătransformată a mediei aritmetice. Media armonică este egală cu ceaaritmetică numai în cazul în care media armonică are ca ponderi produselede frecvenţa ( )(dacă variabila s-a notat cu ).

Această formulă are o mare importanţă practică deoarece există frecventecazuri când se dispune de aceste produse de frecvenţă şi nu de ponderilereale ( ). Dacă se cunosc recoltele la hectar parţiale ( ) şi suprafeţele

însămânţate corespunzătoare ( ), se foloseşte media aritmeticăponderată. Dacă însă se cunosc recoltele parţiale la hectar (xi) şi recoltelecorespunzătoare totale ( ) se foloseşte media armonică ponderată.

y 1x---=

recolta la ha xi( ) recolta totală xi fi⋅( )

suprafaţa însămânţată fi( )---------------------------------------------------------------------=

qt

=W sau TQ

= W

x

( )

( )x

f

fx

fxx

fxx

fxx

fxx;

f

fxx

i

ii

iii

iih

iii

iih

i

ii

===

==

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

1

1

xi fi⋅ xi

fi xi

fi

xi fi⋅


119

Exemplu de folosire a mediei armonice:

Cunoaştem următoarele date referitoare la timpul necesar pentru rezolvareaunei probleme de statistică de către trei studenţi: primului student îi suntnecesare 20 minute, celui de-al doilea 30 de minute, iar celui de-al treilea 60de minute. Care este timpul mediu pentru rezolvarea unei probleme destatistică:

Rezolvare:Dacă aplicăm media aritmetică simplă vom avea:

Pentru a vedea dacă am aplicat corect tipul de medie, vom face verificareaastfel:

Într-o oră,

- primul student rezolvă:

- al doilea student rezolvă:

- al treilea student rezolvă:

În total, cei trei studenţi rezolvă într-o oră un număr de 6 probleme(3 + 2 + 1). Din calculul mediei aritmetice va rezulta că cei 3 studenţi aurezolvat într-o într-o oră:

probleme, ceea ce nu reflectă realitatea, ştiind

că în total ei au rezolvat 6 probleme într-o oră.

Rezultă că media aritmetică în acest caz nu reflectă realitatea, denaturândrezultatele.

Vom aplica în acelaşi caz un alt tip de medie, respectiv media armonică:

xxi∑

n---------- 20 30 60+ +

3------------------------------ 36 7 minute,= = =

x1 20=

x2 30=

x3 60=⎩⎪⎨⎪⎧

6020------ 3 probleme=

6030------ 2 probleme=

6060------ o problemã=

60 3×36 7,

--------------- 18036 7,------------ 4 9,= =

xhn

1xi----∑

---------- 31

20------ 1

30------ 1

60------+ +

------------------------------- 30 minute= = =

Mărimi medii

120

Verificare:

În intervalul de o oră, folosind media armonică calculată, cei 3 studenţi potrezolva:

Acest calcul a coincis cu cel iniţial, în concluzie pentru a calcula mediatimpului necesar rezolvării unei probleme va trebui să aplicăm mediaarmonică şi nu media aritmetică.

6.1.4. MEDIA PĂTRATICĂ

Media pătratică este acea valoare care înlocuind termenii seriei ridicaţi lapătrat nu modifică suma pătratelor lor ( ).

Media pătratică corespunde relaţiei:

înlocuind fiecare termen cu media pătratică obţinem:

În cazul unei distribuţii de frecvenţă, media pătratică ponderată este:

3 studenţi × 60 minute fiecare media armonică

-------------------------------------------------------------------------------- 3 60×30

--------------- 6 probleme= =

xp

;xx...xxn

iin ∑

1

2222

21

=

=+++

222ppp x...xx +++

n

x

xn

xx

xxn

n

ii

pi

p

ip

∑∑

∑

⇒ 1

22

2

22

===

=⋅

∑∑=

⋅

=i

n

iii

pf

fxx 1

2


121

Media pătratică se foloseşte în special atunci când se dă o mai mareimportanţă nivelurilor mai mari din cadrul seriei respective. Ea se foloseşteîn special în demografie, în statistica industriei la calculul unor indicatorimedii privind diferitele mijloace de producţie şi cel mai frecvent, la calcululunor indicatori de variaţie (abaterea medie pătratică).

Proprietăţi:xp este întotdeauna > decât media aritmetică a aceloraşi termeni, indiferentde semnul pe care îl are, deoarece prin ridicarea la pătrat toţi termenii devinpozitivi.Cu cât termenii au o valoare individuală mai ridicată, cu atât termeniirespectivi vor influenţa în mai mare măsură asupra formării nivelului mediu.De aceea mp se va folosi atunci când trebuie să se acorde o importanţă maimare nivelurilor mai ridicate din cadrul seriei pentru care se calculeazamedia.

6.1.5. MEDIA GEOMETRICĂ

Spre deosebire de celelalte medii prezentate, care se bazează pe relaţii deînsumare directă între termenii seriei, media geometrică se bazează perelaţia de produs dintre ei.

Media geometrică reprezintă acea valoare cu care, dacă se înlocuiesc toţitermenii seriei şi se face produsul lor, valoarea la care se ajunge este egalăcu produsul termenilor reali, adică:

În cazul unei serii de distribuţie de frecvenţă, fiecare termen trebuie să fieluat în funcţie de frecvenţa sa. Aceasta înseamnă că, în cazul medieigeometrice, fiecare termen se înmulţeşte de un număr egal cu frecvenţa luiîn cadrul seriei, deci frecvenţele devin puterile la care se ridică fiecaretermen:

x1 x2 … xn⋅ ⋅ ⋅ xii 1=

n

∏=

xg xg … xg⋅ ⋅ ⋅ xii 1=

n

∏=

xg xii 1=

n

∏n=

Mărimi medii

122

Proprietăţi:

- în cazul mediei geometrice este suficient ca un singur termen al seriei săfie egal cu zero pentru că media geometrică să nu se poata calcula, iar încazul când unul din termenii seriei este negativ media să devină imaginară(cazuri fără sens);

- în cazul mediei geometrice, abaterile termenilor seriei faţă de medie nu se

mai calculează sub formă de diferenţe ci sub formă de rapoarte , iar

produsul acestora este egal cu 1.

Pentru a putea fi calculată atât media geometrică simplă cât şi ceaponderată trebuie să se logaritmeze.

x1f1x2

f2 … xmfm⋅ ⋅ xi

fi

i 1=

m

∏=

xgf1 xg

f2 … xgfm⋅ ⋅ ⋅ xi

fi

i 1=

m

∏=

xg( )

fi

i 1=

m

∏xi

fi

i 1=

m

∏ ⇒ xg xifi

i 1=

m

∏fi

i 1=

m

∏==

xixg-----

11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∏=

n

i g

i

xx

( )1

1

1

1

1121 ==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==⋅⋅⋅

∏

∏

∏

∏∏

=

=

=

==n

ii

n

ii

n

nn

ii

n

ii

ng

n

ii

g

n

ggx

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

K


123

pentru media geometrică simplă obţinem:

deoarece

pentru media geometrică ponderată:

Deci prin aplicarea logaritmilor media geometrică se transformă într-o mediearitmetică a logaritmilor factorilor iar antilogaritmul ei este o valoare maimică decât media aritmetică calculata din valorile reale ale termenilor seriei.

Media geometrică se foloseşte cel mai frecvent în cazul seriilor dinamice, lacalculul mediilor din mărimile relative ale dinamicii, între care exista o relaţiede produs.

În cazul seriilor de distribuţie de frecvenţe, media geometrică se foloseştemai rar. Ea este indicat să se folosească atunci când seria prezintă variaţiifoarte mari între termenii săi sau prezintă un pronunţat caracter deasimetrie. Date fiind însă dificultaţile de calcul ale ei, media geometrică sefoloseşte rar în analiza seriilor de distribuţie.

Relaţii ce exista între mediile prezentate: pentru aceleaşi

date.

•

n

x logx log

n

ii

g

∑== 1

( )

∑∑∏

∏

=⇒=⋅

=

=

⋅⋅=⋅⋅

igig

ig

g

x logn

x log x logx log n

x logx log

xx

c logb log a logcba log

1

•

( )

∑

∑

=

=

⋅

= n

ii

n

iii

g

f

x logfx log

1

1

xh xg x xp< < <

Mărimi medii

124

Exemplu de aplicare a mediei geometrice

Cunoaştem următoarele date cu privire la evoluţia numărului mediu deslariaţi la o întreprindere: în anul 2006 au fost 50 salariaţi, în 2007 au fost500 salariaţi şi în 2008 au fost 750 de salariaţi.De câte ori a crescut în medienumărul de salariaţi în perioada 2006-2008 ?

Rezolvare:

Pentru a răspunde la întrebare, va trebui să calculăm indicii de creştere cubaza în lanţ, după care să calculăm media acestor indici.

Dacă aplicăm media aritmetică simplă în calculul indicelui mediu de

creştere, vom obţine: , ceea ce semnifică că în

fiecare an numărul mediu de salariaţi ar fi crescut de 5,75 ori faţă de anulanterior. Pentru a constata dacă am aplicat corect tipul de medie, vom faceurmătoarea verificare:- în anul 2007, numărul mediu de salariaţi va fi egal cu cel existent în anul2006, înmulţit cu indicele mediu de creştere, respectiv:

- în anul 2008:

Ceea ce nu este conform realităţii, ştiind din datele existente că în anul2008, numărul mediu de salariaţi a fost de 750 şi nu de 1653. Cu altecuvinte, în acest caz, media aritmetică deformează cu mult rezultatul.

Aplicăm media geometrică:

Facem aceeaşi verificare şi pentru media geometrică calculată:- în 2007: 50 x 3,873 = 193,65 salariaţi- în 2008: 193,65 x 3,873 = 750 salariaţiexact conform datelor cunoscute.

Rezultă că în acest caz, pentru calcularea indicelui mediu de creştere, vatrebui să aplicăm media geometrică, ca dealtfel şi în cazul altor mărimirelative.

Anul Nr. mediu salariaţi Indici lanţ

2006 50 - 2007 500 102008 750 1,5

I 10 1 5,+2

---------------------= 5 75 ori,=

50 5 75,× 287 5 salariaţi,=

287 5, 5 75,× 1653 salariaţi=

I 10 1 5,×2= 3 873 ori,=


125

6.2. MEDIA CARACTERISTICII ALTERNATIVE

Caracteristicile alternative sunt acelea la care pentru fiecare unitate admit fieforma sa directa de manifestare, fie opusul ei.

Exemplu: Un produs poate fi acceptat ca bun sau el este declarat rebut.Caracteristicile alternative apar de tipul “da” – “nu” şi sunt destul de frecventîntalnite în pracţică statistică.

Pentru a le exprima numeric se vor considera convenţional variantele curaspuns afirmativ ca avand valoarea 1, iar cele cu raspuns negativ ca avandvaloarea 0.

Notam cu N numărul total al unitaţilor observate, frecventa unitaţilor careposeda caracteristica cu M şi frecventa unitaţilor care nu posedacaracteristica cu N – M.

Fiind o distribuţie de frecvente, media se va calcula aplicând formula medieiaritmetice ponderate:

Rezultă că media caracteristicii alternative se obţine raportând nr. unitătilorla care s-a înregistrat caracteristica cu raspuns afirmativ la numărul total alunitaţilor.

Răspunsul înregistrat(variantele înregistrate)

Valoarea caracteristicii - xi -

Frecvenţa- fi -

Unitaţile care posedă caracteristica da x1 = 1 f1 = M

Unitaţile care nu posedă caracteristica nu x2 = 0 f2 = N – M

- - Nf2

1ii =∑

=

( ) ( )NM

MNMMNM

f

fxx

ii

iii

=−+−+×

=

⋅

=

∑

∑

=

= 12

1

2

1

Mărimi medii

126

Pentru a se deosebi de celelalte medii ale caracteristicii alternative, senotează cu p media caracteristicii alternative:

Fiind o mărime medie cu caracter de mărime relativă de structura ea seexprimă de regulă sub formă de procente.

Exemplu: Presupunem că într-un lot de 10.000 de produse s-au înregistrat200 de rebuturi şi se cere să se afle care este media rebuturilor pe întregullot. N = 10.000 ; M = 200:

Rezulta că în medie, la fiecare 100 de produse recepţionate pot să aparacâte 2 rebuturi.

Teme şi întrebări propuse pentru studiu individual:

Când se aplică un tip de medie ponderată ? Când se aplică media geometrică la o serie de date din observare ?Dar media armonică ?Daţi exemple de folosire a mediei armonice şi a celei geometrice, pe datealese de dumneavoastră.

p MN-----=

p MN----- 200

10000--------------- 0 02 sau 2 %,= = =


127

Capitolul VII

INDICATORII VARIAŢIEI

OBIECTIVE

Capitolul urmăreşte însuşirea aplicării corecte a unor formule învăţateanterior la matematici speciale în economie, importanţa cunoaşterii graduluide împrăştiere a elementelor unei populaţii, iar în final demonstrareareprezentativităţii unei mărimi medii calculate anterior. Utilizatorii trebuie săconştientizeze că nu orice medie calculată matematic (chiar corect), poate fiaplicată în practică, în economie şi societate.

Cuvinte cheie

Varianţă / Dispersie Omogenitate statistică

Din practica statistică apare evident faptul că, cu cât colectivitatea este maipuţin omogenă, cu atât caracterizarea ei sub raport statistic trebuie să sebazeze pe un sistem mai complex de relaţii în care sunt folosiţi indicatoriitotalizatori şi indicatorii derivaţi. Cu cât fenomenele sunt mai complexe, decidependente de mai mulţi factori, cu atât variaţia este mai mare şi folosireacorectă a valorilor medii implică verificări riguroase cu privire la stabilitatea şireprezentativitatea ei. După cum am mai spus, media nu este o valoarereprezentativă decât pentru cazul în care ea este calculată din mărimiomogene între ele.

Pentru a verifica gradul de omogenitate al caracteristicilor pentru care sedetermină media este necesar să se calculeze indicatorii de variaţie, deasimetrie şi exces. Aceşti indicatori trebuie să servească la:- verificarea reprezentativităţii mediei ca valoare tipică a unei serii de datestatistice;- verificarea gradului de omogenitate a seriei;

Indicatorii variaţiei

128

- caracterizarea statistică a formei şi gradului de variaţie a unei caracteristici;- compararea în timp şi spaţiu a mai multor serii statistice de distribuţiepentru aceeaşi caracteristică sau pentru caracteristici independente;- cunoasterea gradului de influenţă a factorilor după care s-a facut grupareaunitaţilor observate.

Indicatorii variaţiei şi asimetriei pot fi folosiţi la caracterizarea independentăa fenomenelor, la estimarea erorilor de selecţie, în analiza corelaţieistatistice şi în general, în toate cazurile când se folosesc mărimi medii şitrebuie să se interpreteze măsura în care ele sunt reprezentative pentru toţitermenii individuali din care au fost calculate. Indicatorii variaţiei pot ficalculaţi ca indicatori simpli şi ca indicatori sintetici.

7.1. INDICATORII SIMPLI AI VARIAŢIEI

Indicatorii simpli ai variaţiei servesc pentru a caracteriza gradul deîmprăştiere a unităţilor purtătoare ale caracteristicilor înregistrate. Ei secalculează pentru a măsura amplitudinea variaţiilor şi abaterilor valorilorindividuale de la media lor.

Aceşti indicatori se pot exprima atât în mărimi absolute, folosind aceleaşimărimi ca şi pentru caracteristica studiata, cât şi în mărimi relative, calculateîn raport cu valoarea mediei.

Amplitudinea absolută a variaţiei (A) se calculează ca diferenţă întrenivelul maxim (xmax) şi nivelul minim (xmin) al caracteristicii:

A = xmax – xmin

În cazul unei serii de distribuţie de frecvenţe, A se calculează ca diferenţăîntre limita maxima a intervalului superior şi limita inferioară a intervaluluiinferior. Dacă intervalele sunt deschise, atunci A se determină după ce s-auînchis, în mod convenţional intervalele extreme.

Amplitudinea relativă a variaţiei (A%) se exprimă de regulă în procente şise calculează ca raport între amplitudinea absolută a variaţiei şi nivelulmediu al caracteristicii:

100xA%A ⋅=


129

“A” nu este un indicator suficient de semnificativ deoarece nu ţine seamadecât de valorile extreme ale caracteristicii ori asupra variaţiei unui fenomeninfluenţeaza toate valorile individuale şi frecvenţele lor de apariţie.“A” se foloseşte în prelucrarea statistică la alegerea nr. de grupe şi a mărimiiintervalului de grupare.

Abaterile individuale absolute (di) se calculează ca diferenţe între fiecarevariantă înregistrată şi media aritmetică a acestora:

iar abaterile individuale relative

În analiza varianţei interesează, în special, abaterile maxime într-unsens sau altul:

Numai în cazul distribuţiei perfect simetrice dmax.negativ = dmax.pozitiv.

Indicatorii simpli ai variaţiei fiind calculaţi pe baza relaţiilor dintre doi termeniai seriei sau între fiecare termen şi media lor, nu pot exprima întreagavariaţie a unei caracteristici înregistrate. De aceea este necesar să secalculeze şi indicatorii sintetici ai variaţiei care iau în consideraţie toateabaterile caracteristicii.

7.2. INDICATORII SINTETICI AI VARIAŢIEI

Pentru a sintetiza într-o singura expresie numerică întreaga variaţie a uneicaracteristici trebuie să se recurgă tot la o valoare medie calculată dinabaterile individuale ale variantelor de la media lor.

Indicatorii sintetici ai variaţiei sunt: abaterea medie liniară, abaterea mediepătratică, dispersia şi coeficientul de variaţie.

di xi x–=

di %( )

di %dix---- 100×

xi x–x

------------ 100×= =

d max.negativa xmin x ; –= d max.pozitiva xmax x –=

d max.negativa%xmin x–

x--------------------- 100 ;× = d max.pozitiva%

xmax x–

x---------------------- 100 ;× =


130

Abaterea medie liniară ( ) se calculeaza ca o medie aritmetică simplă sauponderată din abaterile termenilor seriei de la media lor, luate în valoareabsoluta;- pentru o serie simplă:

- pentru o serie de frecvenţe absolute:

- pentru o serie cu frecvenţe relative, exprimate în procente:

Abaterea medie liniară prezintă dezavantajul că nu ţine seama de faptul căabaterile mai mari în valoare absolută influenţează în mai mare măsurăgradul de variaţie a unei caracteristici, în comparaţie cu abaterile mai mici.

Abaterea medie pătratică sau abaterea standard ( )

Se calculează ca o medie pătratică din abaterile individuale ale termenilorseriei de la media lor.

- pentru o serie simplă:

- pentru o serie cu frecvenţe absolute:

- pentru o serie cu frecvenţe relative exprimate în procente:

d

∑∑

=

= −=−

=n

1ii

n

1ii

xx n1

n

xx d

i

n

1ii

ii

n

1iii

f xx f

1f

f xx d ∑∑∑

∑=

= −=−

=

%f x x100

1100

%f x xd *

i

n

1ii

n

1i

*ii

∑∑

=

= −=−

=

σ

( ) ( )2i

2

i xxn1

nxx

∑∑ −=−

=σ

( )∑

∑ −=σ

i

i

2

i

ffxx

( ) ( )∑∑ −=−

=σ %fxx100

1100

%fxx *i

2

i

*i

2

i


131

va fi întotdeauna a aceleiaşi serii de date. În literatura despecialitate se apreciază că pentru o serie de distribuţie cu tendinţa clară denormalitate, abaterea medie liniară = 4/5 din valoarea abaterii mediipătratice.

este un indicator de bază, care se foloseşte în analiza variaţiei, laestimarea erorilor de selecţie, în calculele de corelaţie. Atât cât şi seexprimă în aceleaşi unitaţi de măsură ca şi cele ale caracteristicii a căreivariaţie o studiază.

Pentru o distribuţie normală, intervalul mediu de variaţie este ( ), înacest interval regăsind aproximativ 68,28% din termenii seriei.

În intervalul ( ) se vor afla 95,45% din termenii seriei, iar în intervalul( ) se vor afla 99,97% din termeni.

Pentru compararea gradului de variaţie a două sau mai multe caracteristicistatistice se foloseşte coeficientul de variaţie.

Coeficientul de variaţie ( v ) se calculează ca raport între abaterea mediepătratică şi nivelul mediu al seriei. De obicei se exprimă sub forma deprocente.

Dacă se cunoaşte numai abaterea medie liniară se poate calcula şi astfel:

Se apreciaza pentru interpretare următoarele limite ale coeficientului devariaţie:

media este strict reprezentativă;

media este moderat reprezentativă;

media este reprezentativă în sens larg;

media nu este reprezentativă şi seria este eterogenă.

Coeficientul de variaţie - - poate lua valori între 0 şi 100. Cu cât are ovaloare mai mică, cu atât seria statistică este mai omogenă şi deci mediaeste mai reprezentativă.

• σ d

• σ

σ d

x σ±

x 2σ±

x 3σ±

100x

v ×σ

=

100xdvd ×=

v 0 ; 17 %( )∈

v 17% ; 35 %( )∈

v 35 %; 50 %( )∈

v 50 %>

v


132

Se apreciaza că, în cazul unui coeficient de peste 35 - 40% media nu estereprezentativă şi datele trebuie să fie separate în serii componente, pegrupe, în funcţie de variaţia unei alte caracteristici de grupare. Deci, poatefi folosit ca un test de verificare în aplicarea metodei gruparilor.

Dispersia unei caracteristici se noteaza cu şi se calculeaza ca o mediearitmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor faţă demedia lor. Deci se mai poate numi şi pătratul mediu al abaterilor termenilorfaţă de media lor:

-pentru o serie simplă:

-pentru o serie cu frecvenţe absolute:

-pentru o serie cu frecvenţe relative exprimate în procente:

Comparând formulele de calcul ale abaterii medii pătratice şi ale dispersieise observă că abaterea medie pătratică implică calcularea dispersiei, dincare se extrage apoi rădacina pătratică, pentru a ajunge la acelaşi grad cucaracteristica a carei variaţie se studiază.

Dispersia se poate calcula în acelaşi timp şi fără să se calculeze în prealabilabaterile individuale ale variantelor de la media lor. Astfel, dacă în formuladispersiei se dezvoltă binomul şi ţinem seama că este o mărimeconstantă, avem:

v

σ2

( ) ( )∑∑ −=−

=2

2

2 1 xxnn

xxi

iσ

( ) ( )∑∑∑∑ ⋅−=

−=σ i

2

iii

i

2

i2 fxxf

1f

fxx

( ) ( ) %*fxx100

1100

%*f xxi

2m

1ii

i2

i2 ⋅−=⋅−

=σ ∑∑=

x

( )22

222

222

22222

2

2

22

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=σ⇒−=+−=

=⋅

+−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

=−

=σ

∑∑∑∑

∑∑∑∑

nx

nx

xnx

xxnx

nxn

nxx

nx

n

xxxxxx

ii

iiiii


133

- pentru o serie de frecvenţă avem:

Exemplu de calcul al variaţiei:

- continuarea tabelului -

Prin formula simplificată obţinem acelaşi rezultat:

Grupe de muncitori după numărul de piese realizate

Nr.muncitori

Centrul intervalului

0 1 2 3 4 5 80 - 90 15 85 1275 -23 -345 90 -100 30 95 2850 -13 -390100 -110 70 105 7350 -3 -210110 -120 60 115 6900 7 420120 -130 15 125 1875 17 255130 -140 10 135 1350 27 270

TOTAL=

21600

-945 +945 1890

a = 105 k = 10

6 7 8 9 10 529 7935 -2 -30 -450 169 5070 -1 -30 -900 9 630 0 0 0 49 2940 1 60 3600 289 4335 2 30 450 729 7290 3 30 300

28200 60 300

2

i

ii

i

i2i2

ffx

ffx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=σ

∑∑

∑∑

xi( ) fi xi

xi f⋅ i xi x– xi x–( ) fi⋅

200∑xi f⋅

i∑

xi x–( )2 xi x–( )2 fi⋅xi a–

k-------------

xi a–

k-------------⎝ ⎠⎛ ⎞ fi⋅

xi a–

k-------------⎝ ⎠⎛ ⎞

2fi⋅

x (nr. mediu de piese realizate)xi fi⋅∑

fi∑------------------- 21600

200---------------- 108 piese/muncitor= = =


134

Dacă am fi aplicat calculul mediei cu ajutorul mediei cu frecvenţe relative,am fi obţinut acelaşi rezultat:

Ţinând cont că , media aritmetică se va calcula ca

.

Rezultatul este identic cu celelelalte două metode.

7.2.1 Abaterea medie liniară

Astfel, intervalul mediu de variaţie stabilit cu ajutorul acestui indicator, nearată că majoritatea muncitorilor se situeaza între 98,55piese şi 117,45piese realizate. Intervalul de variaţie va fi:

Dispersia:

Atenţie !

1 2 3 4 85 15 0,075 6,375 95 30 0,150 14,250105 70 0,350 36,750115 60 0,300 34,500125 15 0,075 9,375135 10 0,050 6,750

Total 200 1,000 108,0

x 60200---------- 10 105+⋅ 108 piese/muncitor= =

xi fifi * fi

fi∑----------=

xi fi *⋅

fi *

∑ 1=

x xi fi *

⋅∑ 108 piese= =

x d– 108 9 45,– 98 55, 99 piese≅= =

x d– 108 9 45,+ 117 45, 117 piese≅= =

σ2 xi x–( )2∑ fi⋅

fi∑---------------------------------- 28000

200---------------- 141= = =


135

Dispersia nu are o unitate de măsură şi o semnificaţie concretă, ea foloseştela calculul abaterii medii pătratice.

Abaterea medie pătratică:

se exprimă în aceeaşi unitate de măsură ca a caracteristicii studiate şiarată că oricare din cei 200 muncitori se abate în medie faţă de numărulmediu de piese realizate cu cu ±11,87 piese.

În acest caz, intervalul mediu de variaţie va fi:

Prin urmare, în intervalul (96 ; 120) se află majoritatea muncitorilor (68,28%din aceştia), din punct de vedere al numărului de piese realizate.

Coeficient de variaţie:

Se poate afirma că media este reprezentativă pentru seria respectivă,deoarece s-a obţinut un coeficient mic de variaţie.

Tendinţa de normalitate a distribuţiei se poate constata şi pe baza relaţieidintre şi ; 4/5 din =9,48, care reprezintă o diferenţă minima (0,03)faţă de .

7.2.2. Proprietaţile dispersiei. Calculul simplificat al dispersiei şi abaterii medii pătratice

Calculul 2 pe baza abaterilor variantelor înregistrate de la media lorpresupune efectuarea unor calcule mai dificile, în special când se lucreazăcu valori mari ale caracteristicii.

σxi x–( )2∑ fi⋅

fi∑---------------------------------- 141 11 87 piese,= = =

σ

x σ– 108 11,87– 96,13 96 piese≅= =x σ+ 108 11,87+ 119,87 120 piese≅= =

v σx--- 100⋅ 11,87

108---------------- 100⋅ 10,99 11%≅= = =

σ d σ

d

σ


136

Ca şi în cazul mediei se folosesc unele proprietaţi ale care permit oanalogie între calculul simplificat al mediei şi cel al dispersiei.Principalele proprietaţi ale dispersiei:

1. 2 calculată pentru un şir de valori egale între ele este egala cu zero,deoarece media este egala cu fiecare din variantele înregistrate;

2. Dacă fiecare termen al unei serii statistice se modifică într-un sens saualtul cu o mărime constantă (a) şi se calculeaza dispersia noii serii, atunci eaeste egala cu dispersia seriei iniţiale. Deci, aplicând această proprietate,media se modifică, în timp ce dispersia ramane neschimbata, deoarece nus-a produs decât o translaţie a valorilor într-un sens sau altul, dupa cum s-aumicsorat sau s-au mărit valorile seriei cu constanta “a”.

Această proprietate se poate folosi ca un procedeu de calcul simplificat, înspecial pentru seriile care au valori mari ale caracteristicii şi, alegând o nouaorigine a variaţiei să se obţina valori mai mici pentru care este mai usor decalculat media.

3. Într-o serie de variaţie, dacă se împart sau se înmultesc toţi termenii cu uncoeficient (k > 1) dispersia noii serii este de k2 ori mai mică sau mai maredecât dispersia seriei iniţiale. Aplicând această proprietate, se modifică înproporţii diferite atât media cât şi dispersia.

Această proprietate se aplică când este convenabil să se reducă din volumulcalculelor, alegând o valoare arbitrara, care este divizor comun pentru toţitermenii.

Dispersia calculată faţă de o constantă a este > decât seriei iniţiale cupătratul diferenţei dintre medie şi constanta a:

În cazul folosirii acestei proprietaţi, abaterile se calculeaza nu faţă demedie, ci faţă de o valoare aleasă arbitrar, notată cu a.

De regulă, aceste ultime proprietăţi se combină şi se folosesc în aceleaşicondiţii ca şi la calculul simplificat al mediei.

σ2

σ

σ2

σx a–2 σx

2 x a–( )2+=


137

Dacă intervalele sunt egale, atunci se ia a = centrul intervalului cu frecvenţacea mai mare, iar k = mărimea intervalului de grupare.

Astfel, formula de calcul simplificată a dispersiei este:

iar abaterea medie pătratică va fi:

În exemplul precedent se obţine: A = 105 ; k = 10Calculele ajutătoare au fost prezentate în tabelul anterior.

În cazul când colectivitatea este împărţită în grupe, distribuţia pe întreagacolectivitate este formată din distribuţiile stabilite pentru fiecare grupa înparte.

Dispersia seriei pe întreaga colectivitate este egala cu media dispersiilorcomponente, plus dispersia dintre mediile parţiale ale tuturor grupelor şimedia colectivitaţii totale.

7.2.3. Indicatorii variaţiei într-o colectivitate împărţită în grupe Regula adunării dispersiilor ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA)

Cu cât fenomenele sunt mai complexe, cu atât gradul de variaţie este maimare. Din această cauză unitaţile la care s-a facut observarea trebuieîmpărţite în grupe, în funcţie de variaţia factorilor determinanţi. Dacă s-aaplicat în prealabil metoda gruparii, atunci se pot calcula atât medii pegrupe, cât şi o medie a colectivitaţii totale şi, corespunzator se vor calculaindicatorii de variaţie pentru fiecare grupa cât şi pe întreaga colectivitate.

( ) 22m

1ii

m

1ii

2i

2x axk

f

fk

ax

−−⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=σ

∑

∑

=

=

2xx σ=σ

σx2 300

200---------- 102 100 105–( )2–⋅ 150 8– 141= = =


138

Indicatorii de variaţie pe întreaga colectivitate se pot calcula fie facândabstracţie de faptul că ea este compusă din mai multe grupe, fie luând încalcul variaţia din interiorul grupelor şi între grupe. Între indicatorii de variaţie calculaţi la nivelul fiecărei grupe şi cei pe întreagacolectivitate există anumite relaţii, bazate pe regula adunarii dispersiilor.

Presupunând că s-au înregistrat datele pentru o caracteristică x şi unităţileau fost împărţite în “r” grupe, s-au obţinut urmatoarele distribuţii condiţionatede factorul de grupare:

Putem calcula 3 feluri de indicatori care să caracterizeze:

- variaţia valorilor în jurul mediei lor de grupa - variaţia valorilor mediilor de grupa în jurul mediei colectivităţii totale: - variaţia valorilor în jurul mediei totale:

Pentru a măsura gradul de variaţie provocat de acţiunea combinată a celor2 categorii de factori variabili se foloseste metoda analizei dispersiei bazatăpe descompunerea dispersiei.

Dispersia totală:

Dispersia de grupă (parţială):

Pentru a sintetiza într-o singură valoare variaţia întregii colectivitaţi se

calculează media dispersiei parţiale ( ):

( )∑

∑ ⋅−=σ

i

i

20i2

0 ffxx

( )∑

∑ ⋅−=σ

i

i

2ii2

i ffxx

σ2

∑∑ ⋅σ

=σi

i2i2

ff


139

Dispersia dintre grupe se calculează pe baza abaterilor mediilor degrupă de la media colectivităţii totale şi măsoară gradul de influenţă afactorului de grupare asupra variaţiei caracteristicii studiate.

Între cei 3 indicatori există relaţia cunoscută şi sub numele de regula deadunare a dispersiilor:

Dispersia colectivitaţii totale = media dispersiei parţiale + dispersia dintregrupe

Se mai poate calcula coeficientul de determinatie şi coeficientul denedeterminaţie: 1 – R2 :

şi arată care este ponderea factorului principal de grupare în variaţia totalaa caracteristicii.

Coeficientul de nedeterminaţie:

arată care este ponderea factorilor întâmplatori (neînregistraţi) în variaţiatotală a caracteristicii.

2δ

( )∑

∑ ⋅−=δ

i

i

20i

2

f

fxx

σ02 σ

2δ2+=

media abaterilor

totalemedia abaterilorîntâmplătoare

+ media abaterilorsistematice

R2

100R 20

22 ⋅

σδ

=

100R1 20

2i2 ⋅

σσ

=−


140

Dacă înseamnă că factorul de grupare acţioneaza în modhotarator asupra variaţiei caracteristicii respective şi invers. Prin urmare, cuajutorul ANOVA putem cuantifica impactul unuia sau mai multor factori deinfluenţă asupra unei alte variabile de interes.

Exemplu de calcul pentru regula adunarii dispersiilor:

Dacă se examinează relaţiile dintre cele 2 caracteristici se poate constata că“nr. maşinilor la care se lucrează deodată” constituie un factor determinantpentru dezvoltarea nivelului caracteristicii “nr. pieselor produse într-o zi”.

Se cere: să se calculeze toate felurile dispersiei caracteristicii “pieseproduse într-o zi”.

Rezolvare:

Dacă se folosesc variantele 4, 6 şi 8 piese notate cu x şi nr. muncitorilor depe rândul total de jos ( fi ) se poate calcula dispersia caracteristicii peîntreaga colectivitate:

Având 2 grupe de muncitori dupa nr. maşinilor la care se lucrează se poatecalcula dispersia pe fiecare din aceste grupe.

Grupe de muncitori dupa nr. maşinilor la

care lucreaza deodata

Subgrupe de muncitori dupa nr. pieselor, produse într-o zi TOTAL4 bucăţi

3 – 56 bucăţi

5 – 78 bucăţi

7 – 9Lucreaza cu 1 maşina 2 6 - 8 fiLucreaza cu 2 maşini

deodata - 1 4 5 fi

TOTAL 2 7 4 13 fi

22 R - 1 R >

( )

piese 31,61382

472)48()76()24(

ffx

x unde

752,113

77,22472

4)3,68(7)3,66(2)3,64(f

fxx

i

ij0

222

i

i

20i2

0

==++

⋅+⋅+⋅==

==++

⋅−+⋅−+⋅−=

−=σ

∑∑

∑∑


141

Avem nevoie de media fiecărei grupe:

Dintre cele două dispersii de grupă se poate calcula o medie aritmeticăponderată obţinându-se media dispersiilor parţiale dupa formula:

Putem calcula dispersia caracteristicii între grupe:

Grupând toţi indicatorii dispersiei la un loc se obţine:

- dispersia grupei I-a: cu frecvenţa de 8.

- dispersia grupei a II-a: cu frecvenţa de 5

- media dispersiilor de grupă:

- dispersia dintre grupe:

- dispersia generală:

64,05

3241

4)6,78(1)6,76(f

f)xx(

75,086

626)5,56(2)5,54(

ff)xx(

6,75

)48()16(x ; 5,562

)66()24(ffx

x

22

i

i2

ii22

22

i

i2

ii21

2

i

ii1

==+

⋅−+⋅−=

⋅−=σ

==+

⋅−+⋅−=

⋅−=σ⇒

=⋅+⋅

==+

⋅+⋅==

∑∑

∑∑

∑∑

7077,01320,9

58564,0875,0

ff

i

i2i2

==+

⋅+⋅=

⋅σ=σ

∑∑

044,113

75,1358

5)31,66,7(8)31,65,5(f

f)xx( 2

i

i2

0i2i ==

+⋅−+⋅−

=−

=δ∑

∑

σ12

0 75,=

σ22

0 64,=

σ2

0 7077,=

δ2

1 0440,=

σ02 0 7077, 1 0440,+ 1 7517,= =


142

Factorii neînregistraţi sau neesenţiali influenţează în proporţie de 32,2%numărul de piese produse într-o zi.


Când este o medie reprezentativă ? Dar o serie omogenă ?

Alcătuiţi o serie de distribuţie (pe 3 intervale), a studenţilor din grupă dupănotele obţinute la examenul de matematică. Calculaţi nota medie a grupei şidemonstraţi reprezentativitatea acesteia.

%2,328,67100R1

%8,67100752,1044,1R

2

2

=−=−

=⋅=


143

Capitolul VIII

INDICATORII MEDII DE POZIŢIE

OBIECTIVE

Capitolul are drept obiectiv principal cunoaşterea şi înţelegerea atât pe calegrafică cât şi pe cale matematică a unor mărimi medii ce indică poziţiispeciale într-o serie statistică de date. Finalul capitolului urmăreşteconfruntarea atât pe cale grafică cât şi prin calcule matematice, a uneidistribuţii date din observare cu distribuţia normală Gauss-Laplace şicaracterzarea normalităţii.

Cuvinte cheie

CuantileMod / dominantăSimetrie / asimetrie

8.1. MODUL (Mo) sau dominanta (Do)

Modulul ( Mo) sau dominanta reprezintă valoarea caracteristicii cu frecvenţacea mai mare. Deci este valoarea cea mai frecvent întâlnită. În cazul uneiserii simple, modulul este varianta care se regăseşte de cele mai multe ori.

Spre exemplu, într-o grupă de studenţi s-au obţinut următoarele note lastatistică:

5; 8; 9; 5; 6; 10; 4; 3; 8; 6; 7; 6.

Modulul va fi nota 6, deoarece apare de cele mai multe ori. Ca interpretare,putem afirma că cei mai mulţi studenţi au obţinut nota 6.

Indicatorii medii de poziţie

144

În următorul caz:

5; 8; 9; 5; 6; 10; 4; 3; 8; 6; 5; 6.

Avem o serie plurimodală, atât valoarea 5, cât şi valoarea 6 apar de cele maimulte ori.

şi

Putem afirma că în acest caz, cei mai mulţi studenţi au obţinut nota 5 şi 6.

În cazul unei serii de repartiţie pe intervale egale, valoarea Mo se determină:se identifică intervalul modal (cel cu fi cea mai mare, sau în cazul

seriilor de distribuţie cu intervale inegale, intervalul cu frecvenţa redusă ceamai mare);

estimarea valorii modale:

unde

unde = limita inferioară a intervalului modal(în cazul seriilor cu intervale, se calculează folosind frecvenţelereduse).

Pe grafic, valoarea modală corespunde punctului de pe abcisă, în caregraficul atinge valoarea maxima:

Mo1 5= Mo2 6=

•

•

Mo x0 d∆1

∆1 ∆2+-------------------+=

∆1 fMo fMo 1––=

∆2 fMo fMo 1+–=

x0

∆1 si ∆2

0

10

20

30

40

50

60

70

80 - 90 90 -100 100 - 110 110 - 120 120 - 130 130 - 140Mo


145

În exemplul luat: Mo = 108 piese realizate. Cei mai mulţi muncitori aurealizat 108 piese.

Mo se exprimă în unitatea de măsură a caracteristicii studiate.- Asemănător se poate determina valoarea antimodală (cu cea mai micafrecvenţa sau cel mai puţin probabilă);- Modul satisface condiţiile lui Yule nr. 1, 3 şi 4 (este definită obiectiv; are osemnificaţie concretă uşor de înţeles chiar şi de nespecialişti; este simplu decalculat) dar nu şi pe celelalte. El are avantajul în principal faţă de medie căse determină rapid şi are o semnificaţie simplă.- Există în practică şi serii de distribuţie multimodale. În astfel de cazuri sedetermină mai multe valori modale, dar ele nu pot fi sintetizate pentru a seobţine o singură valoare modală pentru întreaga colectivitate.- Metodologia de calcul a Mo pentru seriile de repartiţie cu fi* este similară.- În cazul seriilor repartiţie cu intervale neegale, modulul se determinăanalog cu cel al seriei cu intervale egale, dar se consideră frecvenţelereduse, aşa cum şi graficul seriei (histograma) se realizează cu ajutorulfrecvenţelor reduse.

Aflarea modului în acest caz necesită parcurgerea urmatoarelor etape:

1. Calculul mărimii fiecarui interval.

2. Efectuarea raportului: .

3. Corectarea efectivului “ ” prin raportul , obţinându-se frecvenţelereduse ;4. Determinarea intervalului modal în dreptul celei mai mari frecvenţereduse ;5. Calculul valorii modale prin interpolare, la fel ca în cazul prim.

valoarea unde

106070ff403070ff

10881001040

4010100dxM

1mm2

1mm1

21

100

=−=−=∆

=−=−=∆

=+=+

+=∆+∆

∆+=

+

−

piese

kidi

dmin-----------=

fi ki

f 'i

f 'i

Mo x0 d∆1

∆1 ∆2+-------------------+=

∆1 f ′Mo f ′Mo 1––=

∆2 f ′Mo f ′Mo 1+–=


146

8.2. CUANTILE

Cuantilele sunt indicatori care descriu anumite poziţii particulare din cazulseriilor de distribuţie. Conceptul de “cuantila” indică o divizare a distribuţieiobservaţiilor într-un număr oarecare de părţi. Prin urmare, cuantilele deordin “r” ( Cr ) sunt valori ale caracteristicilor urmărite care împart distribuţia

observaţiilor în “r” părţi egale şi au acelaşi efectiv din numărul total al

unităţilor.

Frecvent se utilizează urmatoarele cuantile:

- mediana sau cuantila de ordin 2 ( r = 2 );

- cuartilele sau cuantilele de ordin 4 ( r = 4 );

- decilele sau cuantilele de ordin 10 ( r = 10 );

- centilele sau cuantilele de ordinul 100 ( r = 100 ).

Cuantile de ordin superior r = 4 se calculează în cazul distribuţiilor cu numărmare de grupe sau clase de valori individuale.

8.3. MEDIANA - Me

Este acea valoare a caracteristicii unei serii ordonate crescător saudescrescător care împarte seria în 2 părţi egale: 1/2 din unitaţi < Me ,cealaltă 1/2 > Me . Din această cauza, mediana se mai numeste valoarea echiprobabilă acaracteristicii.

1. În cazul unei serii simple: se ordoneaza crescător sau descrescătortermenii:

a) Dacă seria are un număr impar, atunci termenul de la mijloc, având rangulva fi valoarea Me.

b) Dacă seria are un nr. par de termeni, Me se determina în mod

convenţional, ca medie aritmetica între valoarea individuala de rang şi

aceea de rang (deci între cei 2 termeni centrali).

r1

2n

x


147

Se observă că în cazul a) se respectă definiţia Me, în timp ce la cazul b)valoarea Me se determina convenţional şi nu conform definiţiei.

Spre exemplu, dacă o grupă de studenţi a obţinut la statistică următoarelenote:

a) 8; 7; 6; 3; 8; 4; 5; 9; 10; 6; 5.

Ordonăm crescător notele:

3; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 8, 8; 9; 10

, deoarece împarte seria exact în 2 părţi egale.

Putem afirma că 1/2 din studenţi au obţinut o notă până la 6 şi cealaltăjumătate din studenţi au obţinut o notă peste 6.

b) Avem notele: 5; 3; 8; 9; 4; 6; 10; 8; 4; 6.

Ordonăm crescător notele: 3; 4; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 10.

Fiind o serie cu număr par de termeni, mediana va fi media aritmetică simplăa celor doi termeni centrali:

jumătate din studenţii grupei au obţinut o notă mai mică

de 6 şi o altă jumătate din studenţi o notă peste 6.

2. În cazul seriilor de distribuţie cu frecvenţe:

Calculul locului .

(unitatea mediana)

Dacă

Intervalul median va fi considerat intervalul în care frecvenţele cumulatedepăşesc locul Me în serie.

Me 6=

Me 6 6+2

------------- 6= = ⇒

UMe

fi 1+∑2

-------------------=

fi∑ 500> UMe

fi∑2

---------=⇒


148

În exemplul considerat:

Mediana se exprimă în unitatea de măsură a caracteristicii studiate.

Rezultă că jumătate din muncitori au realizat mai puţin de 108 piese, iarcealaltă jumătate, respectiv 100 muncitori, au obţinut peste 108 piese.

Pe cale grafică mediana se află construind ogiva (curba frecvenţelorcumulate).

unde

Pe acelaşi grafic se vor reprezenta ambele curbe, iar dacă ducem operpendiculară pe abcisă de la intersecţia celor 2 curbe vom afla valoareamedianei.

80 - 90 15 15 200 90 - 100 30 45 185100 - 110 70 115 155110 - 120 60 175 85120 - 130 15 190 25130 - 140 10 200 10

Total 200

UMe 200 1+

2------------------- 201

2---------- 100 5,= = = Me 100 ; 110( )∈⇒

Mefpf2

1if

doxeMvaloarea∑∑ −+

⋅+=

Me 100 101100 5, 45–70

----------------------------+ 107 93 , 108 piese≅= =

xi fi fi fi

fi frecvenţe cumulate în sens crescător=

fi frecvenţe cumulate în sens descrescător=⎩⎨⎧


149

8.4. CUARTILELE (Qi)

Pentru seriile de distribuţie cu tendinţa pronunţată de asimetrie,caracterizate printr-o amplitudine mare a variaţiei, se calculeaza şi alţiindicatori de poziţie.

Cuartilele sunt acele valori ale caracteristicii, care separă seria în 4 părţiegale.

- Cuartila inferioara, notată cu Q1 este > 25% din termenii seriei şi < 75%dintre ei.- Cuartila a 2-a = mediana- Cuartila a 3-a (superioara) > 75% din nr. termenilor şi < 25% din ei.

Locul cuartilelor într-o distribuţie statistică normală:

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6frecvente cumulate crescator

frecvente cumulate descrescator

frecv

ente

cum

ulat

e

Me


150

Locul :

Locul :

Locul

0

1,2

0 3 6xi

fi

Q1M2

Q2

Q3

25% 25% 25%25%

Q1 U Q1fi 1+∑4

-------------------=

Q1 x0 d–

fi 1+4

------------∑ fp∑–

f Q1

-------------------------------------=

Q2 Me=

Q3 U Q3 34--- fi 1+∑=

Q3 x0 d–

34--- fi 1+∑ fp∑–

fQ3

-----------------------------------------⋅=

Q1

f1 1+∑4

--------------------- 2014

---------- 50,25= = = 100 Q1 110< <≅

Q1 100 1050,25 45–70

---------------------------+=⇒ 100 0,75+ 100,75 101 piese⇒= =

Q2 Me 107,93= = 108 piese≅


151

Locul

Din cei 200 muncitori, 50 (25%) au realizat un număr de piese cuprins între(80; 101), alţi 50 muncitori au realizat un număr de piese cuprins între (101;108), alţi 50 muncitori au realizat un număr de piese cuprins între (108; 116),iar ultimii 50 muncitori, între (116; 140).

Din cele 50 persoane 25% realizeaza vanzari medii lunare de pana la 31,09milioane lei, iar restul de 75% vanzari peste 31,09 milioane lei.

8.5. DECILELE (Di)

Decilele divid seria în 10 părţi egale => 9 decile.

Locul :

Similar se calculeaza toate celor 9 decile.

Q434--- fi 1+∑ 150= = 110 Q4 120< <≅

Q3 110 10150 115–60

--------------------------+=⇒ 110 5,83+ 115,83 116 piese≅= =

D1 U D1fi∑ 1+

10------------------- 5 1,= =

D1 x0 d

fi∑ 1+

10------------------- f∑ p–

fD1

----------------------------------+=

D5 Me=

…

UD99 fi∑ 1+( )

10----------------------------=

…

D9 x0 d

9 fi∑ 1+( )

10---------------------------- f∑ p–

fD9

-------------------------------------------+=


152

8.6. CENTILELE (Ci)

Centilele separă seria în 100 părţi egale => 99 centile.

8.7. RELAŢIA DINTRE Me, Mo şi

Localizarea în cadrul unei serii a acestor indicatori medii ai poziţiei centrale,ne aduc informaţii despre forma de distribuţie a unităţilor colectivitaţii, dupăcaracteristica urmărită.

Astfel:- Dacă , s-ar observa şi din grafic distribuţia frecventelor estesimetrica.

- În cazul distribuţiilor asimetrice unimodale, cele 3 valori centrale ocupalocuri diferite: cand distribuţia se întinde spre valorile cele mai mici, curba sealungeste spre stanga, este valoarea centrală cea mai mică şi Mo cea maimare:

Relaţiile dintre , Me şi Mo pot fi exprimate prin una din următoarele formuleechivalente:

x

x Mo Me= =

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 3 6 9 12 15 18 xi

fi

X Me Mo

x

x Mo– 3 x Me–( )=

Mo 3Me 2x–=


153

Când distribuţia se întinde spre valorile cele mai mari, curba se alungeştespre dreapta, este valoarea cea mai mare şi Mo cea mai mică.

Asimetrie pozitiva, etalarea frecvenţelor spre dreapta.

Sunt cazuri când unul dintre cei 3 indicatori ai tendinţei centrale are osemnificaţie mai puternică.

Exemplu:- fie seria { 2, 4, 4, 7, 8, 1000}, situaţie în care Me ca valoare centrală estemai semnificativă decât , care este afectată de valoarea extremă, respectiv1000.

Sindicatele estimează că societatea comercială “X” îşi remunerează maipuţin angajaţii. Pentru a demonstra, ei calculează salariul cel mai frecventobţinut (Mo) şi declară că este mai mic decât în alte societaţi comerciale.

Patronatul în schimb, dă replica prin calcularea salariului mediu ( ) şigaseşte că acesta este superior salariilor medii din alte societaţi comerciale.Ambele calcule efectuate sunt corecte, dar comparaţia suferă; se comparaun salariu modal cu un salariu mediu. Rezultă ca după ce calculămindicatorii tendinţei centrale, o atenţie deosebită trebuie să o acordămanalizei în concordanţă cu natura fenomenului studiat, cu gradul deîmprăştiere (variaţie) a valorilor individuale. Aceasta este cu atât maiimportant cu cât în elaborarea deciziilor se ţine seama de valoarea tipicăcalculată, cea mai reprezentativă, cu cea mai mare încărcăturainformaţională despre tendinţa centrală.

x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 3 6 9 12 15 18 xi

fi

XMeMo

x

x


154

8.8. ASIMETRIA

În practica statisticii social-economice se pot întâlni serii de distribuţie defrecvenţe simetrice, uşor asimetrice sau cu tendinţa pronunţată de asimetrie.

La interpretarea gradului de asimetrie se porneşte de la poziţia şi valorile pecare le au cei trei indicatori ai tendinţei centrale: Media, Me şi M0. În specialcalculul asimetriei se bazează pe relaţia dintre Me şi M0. Astfel, o serie poatefi în una din cele 3 situaţii:

a) Serie simetrica b) Serie cu asimetrie c) Serie cu asimetrie pozitiva negativa

Gradul de reprezentativitate al mediei creşte pe măsură ce seria se apropiemai mult de distribuţia simetrică şi are un câmp mai redus de variaţie acaracteristicii. De aceea este necesar ca pe lângă indicatorii variaţiei să secalculeze şi indicatorii de asimetrie.

Reprezentarea grafică a seriei (prin poligonul frecvenţelor sau prin curbacumulativă a frecvenţelor) ne oferă o imagine sugestivă asupra gradului deasimetrie fără însă a-l putea măsura printr-o valoare numerică.

Densitatea de repartiţie a frecventelor se calculează între fiecarefrecvenţa şi mărimea intervalului respectiv. Dacă frecvenţa este măsurată înmarimi absolute se obţine densitatea absolută de repartiţie şi, dacăfrecvenţa este exprimată în marimi relative se obţine densitatea relativa afrecventelor.

Densitatea absolută de repartiţie a frecventelor unde este

mărimea intervalului, iar reprezintă frecventele absolute .

0

1,2

0 3 6xi

fi

Q1M2

Q2

Q3

25% 25% 25%25%

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 3 6 9 12 15 18 xi

fi

XMeMo0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 3 6 9 12 15 18 xi

fi

X Me Mo

x Me Mo= =

dafiki----= ki

fi drfiki----=


155

Dacă valorile acestor indicatori arată tendinţa de crestere în valoare cătrevaloarea centrală a caracteristicii, înseamnă că seria este cu tendinţa denormalitate şi că media este reprezentativă pentru cele mai multe valori alecaracteristicii.

Necesitatea calculării acestor indicatori apare, în special, pentru seriile cuintervale de grupare mari sau neegale.

Cel mai frecvent însă pentru interpretarea asimetriei se foloseştecoeficientul de asimetrie ( Cas ) propus de Pearson, care se calculează caraport între asimetria absolută şi abaterea medie pătratică.

-1 < Cas < +1

Cu cât Cas este mai mic în valoare absolută, cu atât asimetria este maimică.

Într-o serie perfect simetrica, Cas = zero, deoarece Me coincide în valoarecu M0 seriei.

Dacă Me > M0 seriei, atunci Cas este cuprins între 0 şi 1, deci există oasimetrie pozitiva;

Dacă M0 > Me, Cas este cuprins între –1 şi 0, deci există o asimetrienegativă.

Dacă se cunoaşte Me seriei, C’as se poate calcula raportând abaterea dintremedie şi mediana luată de 3 ori, la abaterea medie pătratică:

Acest coeficient poate să ia valori între –3 şi +3 şi va arată un grad mai marede simetrie cu cât se va apropia mai mult de zero.

σ−

= 0as

MxC

•

•

σ−

=)Mx( 3C e'

as


156

8.8.1. Variaţia intercuartilică şi interdecilică

Calculând abaterile dintre valorile mediilor de poziţii şi valoarea mediană sepoate interpreta tendinţa de distribuţie a frecvenţelor de apariţie alevariantelor caracteristicii.

În aceste serii, abaterea dintre cuartila inferioară şi mediană este egală cuabaterea dintre cuartila superioară şi mediană, iar în interiorul lor se găsesc50% din numărul cazurilor înregistrate.

Ţinand cont de ordinea de creştere a valorilor celor 3 cuartile pentru o serieperfect simetrică, această egalitate va fi:

Me – Q1 = Q3 – Me

În acest caz: media aritmetică a celor 2 cuartile extreme = valoarea cuartileia doua = Me seriei:

Dacă cele 2 relaţii nu se verifică, adică:

Me – Q1 este diferită de Q3 – Me şi respectiv: , înseamnă că seriaprezintă un anumit grad de variaţie intercuartilică care trebuie să fie măsuratstatistic. I

ndicatorii de variaţie intercuartilică şi interdecilică se calculează în marimiabsolute şi în mărimi relative.

e231 MQ

2QQQ ==

+=

Vq

Q3 Q1–

2----------------------

Me----------------------

115 83 100 75,–,2

---------------------------------------------

107 93,--------------------------------------------- 0 06 ⇒,= = =

variaţia intercuartilică este nesemnificativă⇒

Q Me≠


157

8.8.1.1. Abaterea intercuartilică

Abaterea intercuartilică ( Qd ) - (Amplitudinea semiintercuartilica) secalculează ca o medie a celor 2 abateri ale quartilelor extreme faţă decuartila centrală:

1. Coeficientul de variaţie intercuartilica (Vq) se calculează ca un raportîntre abaterea intercuartilică şi valoarea mediană:

Acest coeficient poate să ia numai valori subunitare pozitive şi se apreciazăca Vq este cu atât mai nesemnificativă cu cât acest coeficient are o valoaremai mică.

Dacă seria prezintă un grad mare de asimetrie, este necesar să se calculezevariaţia interdecilică care se bazează pe aceleaşi considerente, ca într-oserie perfect simetrică distanţele dintre decilele extreme şi Me sunt egale:

Me – D1 = D9 - Me

8.8.1.2. Abaterea interdecilică

valoarea acestui coeficient se interpretează în acelaşi sens ca şi variaţiaintercuartilică vq

2. Coeficientul de variaţie interdecilica:

2QQ

2)MQ()QM(Q 13e31e

d−

=−+−

=

e

13

e

dq M

2QQ

MQV

−

==

2DD

2)MD()DM(D 19e91e

d−

=−+−

=

e

19

e

dd M

2DD

MDV

−

==


158

Pentru exemplul luat avem:

Coeficientul de variaţie intercuartilică


Alcătuiţi o serie de repartiţie cu 5 intervale egale şi variaţie discontinuă. Calculaţi indicatorii medii ai tendinţei centrale şi explicaţi diferenţele dintreaceştia. Care din indicatorii calculaţi mai înainte sunt reprezentativi ?Este seria aleasă o distribuţie simetrică ?

ativanesemnific este ilicaintercuart variatie 06,093,107

275,10083,115

M2

QQ

Ve

13

q ⇒=

−

=

−

=

( ) ( ) 01,087,11

93,1071083Mx3C

perfecta simetrie 087,11108108MxC

e'as

oas

=−⋅

=σ−⋅

=

⇒=−

=σ−

=


159

Capitolul IX

INDICATORII CONCENTRĂRII ŞI DIVERSIFICĂRII

OBIECTIVE

Un subiect aparte în statistică îl reprezintă studiul concentrării şi diversificăriifenomenelor în economie. Principalele metode urmează a fi însuşite decătre studenţi prin cunoaşterea reprezentărilor grafice specifice precum şiprin calculul unor indicatori adecvaţi.

Cuvinte cheie

Concentrare / diversificareMedială / mediană

Concentrarea valorilor individuale ale unei caracteristici studiate într-ocolectivitate este o consecinţă a dispersiei, a împrăştierii acestora.

Concentrarea salariilor, a veniturilor, a întreprinderilor, etc. sunt exemplecare evidenţiază faptul că analiza acestui fenomen este necesară pentrufundamentarea unor decizii de politică economico-financiară. Deasemenea, măsurarea concentrării este aplicată pentru caracterizareastructurii pieţei, în acest caz, studiul concentrării completându-se cumăsurarea diversificării.

Analiza statistică a concentrării a fost dezvoltata de italianul CORRADOGINI în lucrările sale referitoare la diferenţierea veniturilor. În acest sens el aconstruit un grafic (o curbă) de concentrare şi a determinat o măsură aconcentrării: indicele lui Gini.

Indicatorii concentrării şi diversificării

160

Prin concentrare se exprimă aglomerarea unităţilor unei colectivităţi sau avalorilor globale ale unei distribuţii în jurul unei valori a caracteristicii degrupare, de exemplu, a valorii centrale. Cu acest sens apare ca o noţiuneconexă celei de dispersie. Studierea concentrării este aplicabilă numaivariabilelor continue cu valori pozitive. Concentrarea este aplicabilă îngeneral oricărui fenomen care posedă caracteristici ce pot fi însumate.

Rezultă că analiza distribuţiilor statistice cu ajutorul concentrării cereîndeplinirea a 2 condiţii:

- să aibă sens însumarea variabilei de distribuţie;- să fie posibila împărţirea valorii globale a variabilei între unităţilecolectivităţii.

Cele 2 condiţii sunt îndeplinite de distribuţii cum ar fi:

- distribuţia populaţiei pe clase de venituri sau a întreprinderilor după cifra deafaceri - cazuri în care valorile globale cumulate ar evidenţa disparităţileexistente în repartiţia veniturilor colectivităţii analizate dar nu ar fi posibile încazul, de exemplu, al distribuţiei pe vârste a populaţiei deoarece atâtînsumarea cât şi împărţirea vârstei indivizilor unei populaţii ar fi operaţiiabsurde.

Caracterizarea statistică a concentrării se poate efectua prin 2 categorii deprocedee:

1. procedee numerice (prin calcul) 2. procedee grafice

1. Măsurarea gradului de concentrare prin procedee numerice consta încalculul unor indicatori ai concentrării, cum ar fi:

- abaterea medială-mediană- coeficienţi ai gradului de concentrare

2. Construirea curbei de concentrare şi pe baza ei, aflarea gradului deconcentrare, prin determinarea unui coeficient – Indicele Gini.


161

9.1. DETERMINAREA GRAFICĂ A CONCENTRĂRII

Curba de concentrare este reprezentarea grafică a variabilei “q” în funcţie devariabila “p”. Valorile celor două variabile sunt date de relaţiile:

, cu , unde

, cu , unde

Valorile pi reprezintă efectivele relative cumulate până la nivelul “i” alcaracteristicii de grupare, iar qi valorile globale relative cumulate până laacelaşi nivel “i” al caracteristicii de grupare.

Punctele de coordonate (pi ; qi) sunt transpuse într-un sistem de două axerectangulare, pe abcisă valorile pi , iar pe ordonată valorile qi . Dacă valorilepi şi qi se exprimă în procente - %, valoarea acestora variază între 0 şi100%. Prin urmare, curba de concentrare, construita prin unirea punctelorde coordonate (pi ; qi) apare înscrisă într-un pătrat ABCD, cu latura egală cu100%. Acesta este cunoscut sub denumirea de pătratutul lui Gini, iarsuprafaţa delimitată de curba de concentrare şi diagonala pătratului senumeşte suprafaţă de concentrare.

Curba se situează sub diagonala pătratului deoarece pi > qi sau sesuprapune cu aceasta când pi = qi, în cazul echirepartiţiei.

a) Echirepartiţie b) Concentrare slabă c) Concentrare puternică (lipsa concentrării)

Bisectoarea AC corespunde liniei de echirepartiţie şi de concentrare nulă.

piNi

fi∑---------= i 1 n,= Ni Ni 1– fi+=

qiLi

xi fi⋅∑------------------= i 1 n,= Li Li 1– fi+=

0

50

100

0 50 1000

50

100

0 50 100

A B

CD

0

50

100

0 50 100


162

Cu cât curba este mai îndepărtată de diagonala AC, cu atât concentrareaeste mai puternică. Pe baza figurii se determină indicele lui Gini, ca măsurăa concentrării. El se determina ca raport între aria suprafetei de concentrare(haşurată) şi aria triunghiului ABC. Deci:

Exemplu: Cunoaştem distribuţia numărului de salariaţi ale unei societăţi decomerţ, pe magazine. Dorim să studiem concentrarea salariaţilor pemagazine.

Exprimându-se procentual, indicele de concentrare este adimensional(independent de unităţile de mărime (U.M.) ale variabilelor studiate), decipermite efectuarea de comparaţii în timp sau spaţiu.

%100I0 respectiv 1I0 1patratului aria Cum

econcentrar de Suprafata2

2patratului Aria

econcentrar de SuprafataI

maxima eaconcentrar la nula, eaconcentrar la de ) 1 ; 0 (I

; ABCuitriunghiul aria

econcentrar de suprafetei ariaI

G

G

G

G

G

<<

<<=

⋅==

→∈

=

1 2 3 4 5 6 7 8-14 1 1 0,06250 13 13 13 0,0458

14-16 5 6 0,37500 15 75 88 0,309916-18 3 9 0,56250 17 51 139 0,489418-20 3 12 0,75000 19 57 196 0,690120-22 2 14 0,87500 21 42 238 0,8380

22- 2 16 1,00000 23 46 284 1,0000Total 16 x x x 284 x x

Număr salariaţi

Număr de magazine

Mijlocul intervalului

Cumularea lui

xifiiN ∑

=i

ii f

Np iifxix ∑

=ii

ii fx

Lq

ifi1i x , x −

iL


163

În acest caz, graficul ne indică un grad foarte mic de concentrare asalariaţilor pe magazine, sau altfel spus, o repartiţie relativ uniformă aacestora.

- Când valorile celor 2 variabile sunt egale ( pi = qi ) curba de concentrare sesuprapune cu diagonala pătratului, având cazul unei echirepartiţii: adica,până la 10% din efectiv deţin până la 10% din valoarea globală; 20% deţin20% ….

- Când întreaga valoare globală este concentrata la o singura unitate acolectivităţii, curba de concentrare coincide cu laturile pătratului. În acest cazconcentrarea este maxima, adică o singură unitate din colectivitate deţineîntreaga valoare globala a caracteristicii (situaţia de monopol).

În practică se întâlnesc situaţii cuprinse între cele două extreme.

În exemplul considerat se observă că nu sunt disparităţi accentuate întrecele 2 repartiţii de structură. Astfel, corespondenţa qi ; pi arată că 4,57% dinsalariaţi se regăsesc în 6,25% din magazine; 31% din aceştia se regăsescîn 37,5% din magazine, s.a.m.d. Curba fiind foarte apropiată de diagonalapătratului, disparităţile sunt foarte mici, ceea ce reflectă o concentrare slabăa salariaţilor pe cele 16 magazine.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pi

q i


164

9.2. PROCEDEE NUMERICE DE DETERMINARE A CONCENTRĂRII

9.2.1. Abaterea medială-mediană

Abaterea medială-mediană, simbolizata prin se afla după relaţia:

= Ml - Me şi presupune urmatoarele etape:1. Calculul Ml (Medialei);2. Calculul Me (Medianei)3. Calculul (Abaterii )

Concentrarea poate fi apreciată astfel: cu cât valoarea este mai mare,cu atât concentrarea este mai puternică şi invers. Dacă = 0, adicăMe = Ml, nu există concentrare, distribuţia prezentând o echirepartiţie(distribuţie egalitara). Atât Me cât şi Ml sunt indicatori ai valorii centrale aunei distribuţii.

Me este valoarea xi a variabilei X până la care, şi peste se găsesc 50% dinunităţile colectivităţii, iar Ml este valoarea xi până la care şi peste se află

50% din valoarea globală, respectiv din valoarea termenilor seriei .

În exemplu considerat, unităţile colectivităţii ( fi ) sunt magazinele grupate pe

intervale de valori după numărul de salariaţi ( = mijlocul intervalului),

produsul ( ) exprimă valoarea globală, respectiv numărul de salariaţi

aflaţi în ( ) magazine.

Mediala unei distribuţii este superioară sau cel mult egală cu mediana. Me şi Ml sunt egale în cazul când toate salariile sunt egale, distribuţieegalitara.

Locul

Locul

∆M

∆M

∆M

∆M∆M

xi fi⋅∑

xi′

xi' fi⋅

fi

Me16 1+

2---------------- 8,5= = Me 16; 18∈ ⇒ ⇒

⇒ Me 16 2 8,5 6–3

------------------- 17,666 salariaţi=+=

Mlxi fi⋅∑2

-------------------- 2842

---------- 142= = =


165

9.2.2. Coeficientul abaterii Me - Ml

Coeficientul abaterii constă în compararea sub formă de raport a mărimii cu amplitudinea de variaţie a caracteristicii de grupare

Amax = xmax - xmin.

raportul poate lua valori în intervalul [0 , 100] cu cât tinde spre zero cu atâtconcentrarea este mai slabă, adică nu există mari disparităţi şi invers. Dacăvaloarea raportului tinde spre 100, există mari disparităţi între valorileglobale pe clase de variaţie.

Coeficientul de concentrare, comparativ cu abaterea Me – Ml are avantajulexpresiei relative, dând posibilitatea comparării gradului de concentrare adiferitelor distribuţii statistice, indiferent de unitatea de măsură folosităpentru exprimarea variabilelor de grupare.

Cele 2 mărimi ale concentrării ( şi % ) prezintă avantajul facilităţiicalculelor, dar au dezavantajul unor mărimi aproximative (deoarece Ml şi Menu exprimă toţi termenii seriei, ci doar valorile ce ocupă o poziţie centralăîntr-o distribuţie). În exemplul considerat

3,65% arată o concentrare slabă a salariaţilor pe magazine, şi anume 3,65%din mărimea acesteia. Valoarea acestui indicator creşte dacă sunt urmăriţi,comparativ, în timp şi spaţiu.

18 Ml 20< < Ml⇒ x0 d locul Ml Li 1––

xi fi⋅------------------------------------------- =+=

18= 2142 139–57

--------------------------+ 18,105 salariaţi=

M∆ 18,105 17,666– 0,439 salariaţi= =

∆M

100A

M% Mmax

⋅∆

=∆

M∆ M∆

) (3,65% 0365,01224

439,0% M =−

=∆


166

9.3. ALTE APLICAŢII ALE CURBEI DE CONCENTRARE

Curba de concentrare – metodă de depistare a tipurilor calitativedintr-o distribuţie.

În literatura de specialitate este cunoscută sub denumirea: “metodaA, B,C”.

Tipurile dintr-o colectivitate, diferenţiate calitativ după valoarea caracteristiciide grupare, pot fi evidenţiate grafic prin găsirea punctelor de corespondentaa ponderilor cumulate ale efectivului cu ponderile cumulate ale valoriiglobale şi depistarea punctelor principale de inflexiune ale curbei deconcentrare.

Dacă considerăm curba de concentrare din graficul de mai sus careprezentând gradul de concentrare al societăţilor după cifra de afacerirealizată, se pot desprinde 3 tipuri calitative, spre exemplu, a număruluitranzacţiilor comerciale după valoarea cifrei de afaceri:

tipul A, al celor puţini numeroşi (20%) care realizează mult (75%,grupa celor favorizaţi);

tipul B, al celor puţini numeroşi (20%) care realizează puţin (10%,grupa echilibrată);

tipul C, al celor numeroşi (60%) care realizează foarte puţin (15%,grupa celor defavorizaţi).

05

101520253035404550556065707580859095

100

0 20 40 60 80 100pi (%)

q i (%

)

A

B

C

•

•

•


167

Metoda este folosită, în special, în marketing, ca metodă de gestionare astocurilor şi permite controlul stocurilor şi diferenţierea politicii de reînnoire astocurilor.

Curba de concentrare – mijloc de comparare a gradului de concentrare(în timp, în spaţiu şi din punct de vedere calitativ).

Metoda constă în compararea vizuală a concentrării a 2 sau mai multecolectivităţi distribuite după o caracteristică considerată, diferenţiate în timp,în spaţiu sau din punct de vedere calitativ. Se foloseşte pentru evidenţiereainegalităţilor existente în repartiţia pe grupe, după o caracteristică degrupare, a valorilor globale ale unei colectivităţi comparativ cu cele ale alteicolectivităţi. Aplicarea metodei presupune construirea, în acelaşi sistem de axerectangulare a 2 sau mai multe curbe de concentrare corespunzătoarecolectivităţilor comparate din punct de vedere al aceleiaşi caracteristici dedistribuţie.

Dacă comparăm repartizarea masei cifrei de afaceri realizate de societăţilecomerciale din 2 ramuri diferite a şi b, se constată că în ramura a) se află omai slabă disparitate a masei cifrei de afaceri faţă de ramura b). Analog s-arinterpreta disparităţile din ţări diferite sau în momente de timp diferite.

0

50

100

0 50 100

pi (% )

q i (%

)

a

b


168

9.4. INDICATORI AI CONCENTRĂRII SERIILOR CALITATIV ATRIBUTIVE

1. Raportul de concentrare Cn este folosit, în mod deosebit, în studiile demarketing şi exprimă ponderea deţinută de primele “n” cele mai mari unităţidintr-o colectivitate observată după o caracteristică ce defineşte talia lor, “n”fiind un număr ales arbitrar din numărul total al unităţilor unei colectivităţi (N).

unde,

este partea dintr-o piaţă, de exemplu, deţinută de firma “i”.

reprezintă producţia totală a celor N firme.

Exemplu: din ancheta AMIGO – Populaţia ocupată pe activităţi aleeconomiei naţionale în anul 2007:

Sursa datelor: “Anuarul Statistic al României” - ed. 2008, p.122

Exemplu: Dacă primele 2 activităţi ale economiei naţionale deţin 29,5% şi24,1%, atunci indicele de concentrare al activităţilor economiei naţionaledupă numărul populaţiei ocupate în acel moment era de 53,6%(29,5 + 24,1).

Raportul de concentrare Cn are pe lângă avantajul calcularii rapide, un maredezavantaj: nu ţine cont decât de informaţia referitoare la primele “n” celemai mari unităţi, restul de N – n unităţi nefiind considerate.

Nr.crt.

Activităţi ale economiei naţionalePopulaţia ocupată

- mii persoane-

( % )

1. Agricultura, vânătoare şi silvicultură 2757 29,5 0,08692. Industrie 2259 24,1 0,05833. Comerţ 1151 12,3 0,01514. Construcţii 679 7,3 0,00535. Transport, depozitare şi comunicaţii 489 5,2 0,00276. Administraţie publică şi apărare 468 5,0 0,00257. Învatamant 400 4,3 0,00188. Sănătate + asistenţă socială 375 4,0 0,00169. Alte activităţi 775 8,3 0,0069

TOTAL 9353 100,0 0,1812

Cn gi

i 1=

n

∑= gixi

xi∑-----------=

gi

xi∑

xi

gi gi2


169

2. Energia informaţionala Onicescu ( E ) a fost definită plecând de laconsiderarea întregii colectivităţi ( N ) ca un sistem şi a părţilor componente( fi ) ca stări ale sistemului.

Se calculează ca sumă a pătratelor ponderilor gi a tuturor părţilor uneicolectivităţi:

În exemplu luat :

Valoarea energiei informaţionale a unei distribuţii poate fi cuprinsă înintervalul. E = 1 când distribuţia prezintă o concentrare maximă (monopol);

când se prezinta o echirepartiţie.

În exemplul luat, fiind considerate 9 grupe de activitate, pentru care minimul

valorii E este valoarea calculata E = 0,1812 arată o economie

naţionala relativ concentrată, valoarea lui E aflându-se mai aproape devaloarea minimă posibilă si mai departe de valoarea maximă (E = 1).

Pentru a elimina inconvenientul variabilităţii valorii minime posibile se

calculează o formă corectata:

, al cărui interval de variaţie devine:

[0 , 1] şi indică acelaşi grad redus de concentrare a populaţiei ocupate peactivităţi ale economiei naţionale.

E g i2

i 1=

N

∑= gi2 1=∑

E gi2

∑ 0,1812= =

E 1N----=

19--- 0 111,=

1N----

E′gi

2∑

1N----–

1 1N----–

-----------------------0,1812 1

9---–

1 19---–

------------------------- 0,079= = =


170

3. Coeficientul de concentrare Corrado Gini ( CG )

are acelaşi dezavantaj, respectiv valoarea

minimă este variabilă în funcţie de numărul “n” al categoriilor.

4. Coeficientul de concentraţie Strück ( Cs ) corectează CG pentru a

corespunde formei corecte a energiei informaţionale Onicescu ( ) şipentru a fi independent de numărul de categorii considerate.


Daţi exemple de distribuţii la care este posibil studiul concentrării.

Alcătuiţi o serie de repartiţie cu 5 intervale egale, după o caracteristicăcontinuă şi însumabilă direct şi, analizaţi atât grafic cât şi prin indicatoriicunoscuţi gradul de concentrare.

Alcătuiţi o distribuţie a studenţilor din grupă după studiile anterioareabsolvite şi studiaţi fenomenul de concentrare.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∈= ∑ 1 ;

n1C ; gC G

2iG

1n---

E′

]. 1 ; 0 [ C ; 1n

1gnC S

2i

S ∈−

−= ∑


171

Capitolul X

STATISTICA - PROBLEME REZOLVATE ŞI PROPUSE

OBIECTIVE

Capitolul propune o diversitate de aplicaţii practice recapitulative, cu scopulunei mai bune înţelegeri a aplicării corecte a metodelor statistice învăţate şimai ales a interpretării corecte a indicatorilor calculaţi.

Sunt propuse de asemenea probleme pentru rezolvare, iar în final esteprezentată cerinţa unui proiect individual ce poate fi realizat pentru oînţelegere mai bună a modului de lucru.

10.1. SERII DE DISTRIBUŢIE UNIDIMENSIONALE

Problema nr. 1

Societatea comerciala "X" înfiinţată în anul 2005, cu sediul în Bacău, estespecializată în distribuţia de produse cosmetice. Distribuţia se realizeazăprintr-un număr de 50 agenţi comerciali.

Pentru a studia distribuţia celor 50 agenţi comerciali după vânzarile realizatela sfărşitul unei luni, considerata ca relevantă pentru vânzarile medii lunareale S.C. "X" s-a înregistrat valoarea vânzarilor realizate de fiecare agent,după cum urmează:

Statistică - probleme rezolvate şi propuse

172

Tabel 1Vânzarile realizate de fiecare din cei 50 agenţi comerciali ai societăţii "X".

Se cere:

1) să se sistematizeze datele prin centralizare şi grupare pe intervale egale,neegale, continue şi discontinue (discrete);2) să se reprezinte grafic una din seriile rezultate din gruparea pe intervaleegale de variaţie de la punctul anterior; 3) să se analizeze indicatorii tendinţei centrale;4) să se analizeze variaţia seriei5) să se studieze concentrarea;6) să se studieze forma repartiţiei (asimetria şi boltirea seriei).

Nr. Crt.

Vânzãri lunare (mii. lei)

Nr. Crt.

Vânzãri lunare (mii. lei)

1 18 26 602 54 27 353 33 28 404 37 29 485 39 30 596 52 31 457 54 32 698 52 33 479 33 34 3710 30 35 3611 39 36 4612 27 37 4813 17 38 1714 46 39 2415 33 40 3916 69 41 4817 14 42 4618 46 43 4719 58 44 4020 69 45 2821 24 46 2822 69 47 2623 38 48 3924 36 49 4825 36 50 14


173

1) SISTEMATIZAREA DATELOR (centralizarea şi gruparea datelor pe variante şi intervale de variaţie):

a) pe variante de variaţie:

b) pe intervale de variaţie:

- intervale egale de variaţie:

Intervale continue:

Alegem numărul de intervale: k=6.

Vânzari realizate(mii lei)

Frecvenţa de apariţie

14 217 218 124 226 127 128 230 133 335 136 337 238 139 440 245 146 447 248 452 254 258 159 160 169 4

Total 50

xi( ) fi( )

•


174

Calculăm mărimea intervalului de grupare l:

Notă: Limita inferioară este inclusă în interval

Notă: Limita superioară este inclusă în interval Intervale cu variaţie discontinuă

Grupe de agenţi comerciali după valoarea vânzarilor realizate

(mii lei) - xi

Numărul agenţilor comerciali

fi 10 - 20 5 20 - 30 6 30 - 40 15 40 - 50 13 50 - 60 6 60 - 70 5Total 50


(mii lei) - xi


fi 10 - 20 5 20 - 30 7 30 - 40 16 40 - 50 11 50 - 60 7 60 - 70 4Total 50


(mii lei) - xi


fi 10 - 19 5 20 - 29 6 30 - 39 15 40 - 49 13 50 - 59 6 60 - 69 5Total 50

I Ak----

xmax xmin–k

----------------------------- 69 14–6

------------------- 9 17, 10≅= = = =

•


175

Intervale neegale de variaţie

Notă: Limita inferioară este inclusă în interval

2) REPREZENTAREA GRAFICĂ A SERIILOR DE DISTRIBUŢIE DE LAPUNCTUL 2:

Considerăm următoarea distribuţie de la punctul anterior:

Tabel 2Gruparea agenţilor comerciali pe intervale de variaţie după valoarea

vânzarilor realizate într-o lună


(mii lei) - xi


fi 11 - 20 5 21 - 30 7 31 - 40 16 41 - 50 11 51 - 60 7 61 - 70 4Total 50


(mii lei) - xi


fi 10 - 20 5 20 - 40 21 40 - 60 19 60 - 70 5Total 50


(mii lei) - xi


fi 10 - 20 5 20 - 30 6 30 - 40 15 40 - 50 13 50 - 60 6 60 - 70 5Total 50

•


176

Din grafice se observă existenţa unui anumit grad de asimetrie la niveluldistribuţiei. Intervalul cu frecvenţa cea mai mare este 30 - 40.

3) ANALIZA INDICATORILOR TENDINŢEI CENTRALE

Notă: Toate calculele sunt prezentate în tabelul nr. 2.

Calculul indicatorilor medii de calcul:

Media aritmetica:

În medie fiecare din cele 50 persoane realizeaza vânzari medii lunare de39,8 mii lei.

Calculul simplificat al mediei aritmetice:

unde: k = 10 (mărimea intervalului de grupare); a = 35 (centrul intervalului cu frecvenţa cea mai mare).

0

5

10

15

20

0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70

fi

xiMo=38,18 0

5

10

15

20

0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70

fi

Mo=38,18

Histograma Poligonul frecvenţelor

xxi fi⋅∑

fi∑------------------ 1990

50------------- 39 8 mii lei,= = =

x

xi a–k

-------------⎝ ⎠⎛ ⎞ fi⋅∑

fi∑--------------------------------- k a+⋅ 24

50------10 35+ 39 8 mii lei,= = =


177

Media armonică:

Media pătratică:

Media geometrică:

Comparând valorile obţinute pentru toate cele patru medii se observă că severifică relaţia:

Calculul indicatorilor medii de poziţie:

Modul sau dominanta seriei -

Valoarea medie a vânzarilor cel mai frecvent întâlnite la nivelul celor 50agenţi comerciali este de 38,18 mii lei.

xh

fi∑1xi----∑ fi⋅

------------------- 501 47681,------------------- 33 86 mii lei,= = =

xp

xi2 fi⋅∑fi∑

------------------- 8885050

--------------- 42 15 mii lei,= = =

xgfixi∏

fi∑= lgxg⇔

lg fixi∏fi∑ 1

fi∑---------- lg xi fi⋅( )∑= =

xg150------78 42762, 1 5685524,==

xg 101 5685524, 37 03 mii lei,= =

xh xg x xp< < <

Mo

Mo x0 d∆1

∆1 ∆2+------------------+ 30 10 15 6–

15 6–( ) 15 13–( )+-------------------------------------------------+ 38 18 mii lei,= = =

∆1 fMo fMo 1––=

∆2 fMo fMo 1+–=


178

Cuantile

Mediana Pentru a stabili intervalul în care se afla mediana, calculăm locul (unitatea)medianei:

Intervalul median va fi acela în care frecvenţele cumulate în sens crescător

depaşeste calculată. În acest caz prima frecvenţă cumulată mai maredecât 25,5 este 26, aceasta aflandu-se în intervalul (30 - 40).

Din cele 50 persoane 50% (respectiv 25 persoane) realizează vânzari mediilunare de până la 39,06 mii lei, iar restul de 50% vânzări de peste 39,06 miilei.

Determinarea grafica a medianei:

•

UMe 50 1+

2--------------- 25 5,= =

UMe

Me x0 dU

Me fp∑–

fMe

--------------------------+ 30 1025 5, 11–16

----------------------+ 39 06 mii lei,= = =

Me=39,06

Ogiva (Curba frecvenţelor cumulate)


179

Quartilele:

Din cele 50 persoane 25% realizeaza vânzări medii lunare de până la 31,09mii lei, iar restul de 75% vânzări peste 31,09 mii lei.

Din cele 50 persoane 75% realizeaza vânzări medii lunare de până la 49,42mii lei, iar restul de 25% vânzări peste 49,42 mii lei.

Decilele:

Din cele 50 persoane 10% realizeaza vânzări medii lunare de până la 20,17mii lei, iar restul de 90% vânzări de peste 20,17 mii lei.

Similar se calculeaza toate celor 9 decile.

•

U Q1 50 1+4

--------------- 12 75,= =

Q1 x0 dU Q1 fp∑–

f Q1

--------------------------+ 30 1012 75, 11–16

-------------------------+ 31 09 mii lei,= = =

Q2 Me=

UQ3 3 50 1+( )

4----------------------- 38 25,= =

Q3 x0 dU

Q3 fp∑–

fQ3

--------------------------+ 40 1038 25, 26–13

-------------------------+ 49 42 mii lei,= = =

•

U D1 50 1+10

--------------- 5 1,= =

D1 x0 dUD1 f∑ p–

fD1

------------------------+ 20 105 1 5–,6

----------------+ 20 17 mii lei,= = =

D5 Me=

…

U D9 9 50 1+( )10

----------------------- 45 9,= =

…

D9 x0 kUD9 f∑ p–

fD3

------------------------+ 60 1045 9, 45–5

----------------------+ 61 8 mii lei,= = =


180

Din cele 50 persoane 90% realizează vânzări medii lunare de până la 61,8mii lei, iar restul de 10% vânzări peste 61,8 mii lei.

Mediala (indicator ce împarte valorile centralizate ale caracteristicii îndouă parţi egale).

se afla în intervalul (40 ; 50)

Tabelul nr. 2


(mii.lei)

mijlocul intervalului

A 1 2 3 4 5 610-20 15 5 75 -2 -10 0,3333320-30 25 6 150 -1 -6 0,2400030-40 35 15 525 0 0 0,4285740-50 45 13 585 1 13 0,2888950-60 55 6 330 2 12 0,1090960-70 65 5 325 3 15 0,07692Total 50 1990 24 1,47681

(mii.lei)

A 7 8 9 10 11 1210-20 1125 1,17609 5,88046 5 50 7520-30 3750 1,39794 8,38764 11 45 22530-40 18375 1,54407 23,16102 26 39 75040-50 26325 1,65321 21,49176 39 24 133550-60 18150 1,74036 10,44218 45 11 166560-70 21125 1,81291 9,06457 50 5 1990Total 88850 78,42762

•

UMl

xi fi⋅∑2

------------------ 19902

------------ 995= = = ⇒ Ml

Ml x0 d

xi fi⋅∑2

------------------ xi fi⋅∑ p–

xfMl

-------------------------------------------+ 40 10995 750–585

------------------------+ 44 19 mii lei,= = =

xixi

fi xifixi a–

k-------------

xi a–k

-------------fi1x---fi

xi xi2fi lgxi lgxifi f f xifi( )


181

4) ANALIZA INDICATORILOR VARIAŢIEI

Notă:Toate calculele sunt prezentate în tabelul nr. 3

Indicatorii individuali ai variaţiei

Indicatorii absoluţi

Amplitudinea variaţiei:

Abaterea individuală:

Indicatorii relativi

Amplitudinea relativă a variaţiei:

Abaterea individuală relativă:

Indicatori sintetici ai variaţiei

Abaterea medie liniară:

Dispersia:

Abaterea medie pătratică:

Coeficientul de variaţie:

Fiind cuprins în intervalul 17% - 35% coeficientului de variaţie atestă faptulcă media este moderat reprezentativ pentru seria de distribuţie.

A xmax xmin– 70 10– 60 mii lei= = =

di xi x–=

A%Ax--- 100× 60

39 8,---------- 100× 150 75 %,= = =

di %dix---- 100⋅=

dxi x– fi⋅∑

fi∑------------------------------ 569 6,

50------------- 11 39 mii lei,= = =

σ2xi x–( )2 fi⋅∑

fi∑---------------------------------- 9648

50------------ 192 96,= = =

σxi x–( )2 fi⋅∑

fi∑---------------------------------- 9648

50------------ 192 96, 13 89 mii lei,= = = =

V σx--- 100⋅ 13 89,

39 8,------------- 100⋅ 34 9 %,= = =


182

Intervalul mediu de variaţie calculat ca diferenţă între media seriei şiabaterea medie liniara, respectiv abaterea medie pătratică este:

(28,41; 51,19), calculat cu ajutorul abaterii medii liniare;(25,91; 53,69), calculat cu ajutorul abaterii medii pătratice.

Tabelul nr. 3


5) STUDIUL CONCENTRARII

Analiza concentrarii veniturilor pe grupe de agenţi comerciali după valoareavânzărilor medii realizate:

Determinarea concentrării cu ajutorul indicatorului abaterea mediala-mediana în mărime absolută şi relativă:

Abaterea medială - mediană calculată în mărime relativă, fiind un coeficientce poate lua valori în intervalul (0 - 100%), atestă existenţa unui grad redusde concentrare a vânzarilor la nivelul grupelor de persoane după mărimeavânzărilor realizate.

A 1 2 3 410-20 15 5 -24,8 -64,620-30 25 6 -14,8 -38,530-40 35 15 -4,8 -12,540-50 45 13 5,2 13,550-60 55 6 15,2 39,660-70 65 5 25,2 65,6Total 50

A 5 6 710-20 24,8 124,0 3075,220-30 14,8 88,8 1314,230-40 4,8 72,0 345,640-50 5,2 67,6 351,550-60 15,2 91,2 1386,260-70 25,2 126,0 3175,2Total 569,6 9648,0

• •

xi xi fi di xi x–= di %

xi xi x– xi x– fi⋅ xi x–( )2 fi⋅

•

A Ml Me– 44 19, 39 06,– 5 13 mii lei,= = =

A %A

Amax----------- 100⋅ 5 13,

60---------- 100⋅ 8 55 %,= = =


183

Determinarea grafică a concentrării cu ajutorul curbei deconcentrare Gini:

Analizând graficul de concentrare se observă că s-a înregistrat un gradredus de concentrare a vânzărilor pe grupe de agenţi comerciali dupămărimea vânzarilor, curba de concentrare apropiindu-se de diagonalapătratului.

6) ANALIZA FORMEI DISTRIBUŢIEI (ASIMETRIE ŞI BOLTIRE)

Indicatorii absoluţi ai asimetriei:

Valorile pozitive ale acestor indicatori atestă o asimetrie pozitivă.

•

qifi

fi∑----------= qi

xifi

xifi∑--------------=

Gradul de concentrare a vanzarilor pe grupe de agenti comerciali dupa vanzarile realizate

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

qi

pi%

As x Mo– 39 8, 38 18,– 1 62 mii lei,= = =

As′ 3 x Me–( ) 3 39 8, 38 18,–( ) 4 86 mii lei,= = =


184

Mult mai relevanţi în studiul asimetriei sunt indicatorii relativi:

Coeficientul Yule

Coeficientul empiric de asimetrie Pearson

Acest coeficient va lua valori în intervalul sau

şi va lua valori în intervalul

Coeficientul de asimetrie Pearson calculat pe baza momentelor centratede ordin trei şi respectiv doi:

, unde

(vezi Tabelul nr. 4).

Coeficientul de asimetrie Fisher

Coeficienţii de asimetrie exprimaţi în mărime absolută atestă existenţa uneiasimetrii pozitive, iar coeficienţii exprimaţi în mărime relativă atestă existenţaunei asimetrii pozitive slabe, valorile acestora tinzând către valoarea zero.

Cayq2 q1–q2 q1+-----------------

Q3 M6–( ) Me Q1–( )–Q3 Me–( ) Me Q1–( )+

-------------------------------------------------------- 0 0938,= = =

CasAsσ----- 1 62,

13 96,------------- 0 348,= = =

0 1±;( )

C′asA′sσ

------- 4 86,13 96,------------- 0 348,= = = 0 3±;( )

β1µ3

2

µ23

----- 110 784, 2

192 6, 3---------------------- 0 0017,= = =

µ3

xi x–( )3∑ fi⋅

fi∑---------------------------------- 5539 2,

50---------------- 110 784,= = =

µ2 σ2 192 96,= =

γ1 β1 0 041,= =


185

Tabel nr. 4

Caracterizarea boltirii seriei

Coeficientul de boltire Pearson:

(vezi Tabelul nr. 4)

Coeficientul de boltire Fisher

Valoarea coeficientului Pearson mai mică decât 3, iar a coeficientului Fishernegativă evidenţiază o distribuţie platicurtică.

10-20 15 5 -76265,0 1891371,020-30 25 6 -19450,8 287871,130-40 35 15 -1658,9 7962,640-50 45 13 1827,9 9505,150-60 55 6 21070,8 320276,960-70 65 5 80015,0 2016379,0Total 50 5539,2 4533365,8

xi xi fi xi x–( )3 fi⋅ xi x–( )4 fi⋅

β2µ4

µ22

----- 90667 316,192 6, 2

------------------------- 2 435,= = =

µ4

xi x–( )4∑ fi⋅

ni∑---------------------------------- 4533365 8,

50------------------------- 90667 316,= = =

γ 2 β2 3– 0 565,–= =


186

Problema nr. 2

Distribuţia a 250 unităţi de învăţământ după numărul de elevi înscrişi seprezintă astfel:

Se cere:

a) să se reprezinte grafic seria;b) să se determine principalii indicatori ai tendinţei centrale şi să seinterpreteze valorile obţinute;c) să se determine între ce limite se situeaza cele 50% unităţi situate încentrul distribuţiei;d) este media reprezentativa pentru seria dată?e) să se studieze asimetria seriei.

Observaţii:

-fiind o serie cu intervale neegale, la reprezentarea grafică cu ajutorulhistogramei şi în calculul valorii modale se vor utiliza frecvenţele reduse;

-ultimul interval fiind deschis la capăt, se va închide convenţional cumărimea intervalului precedent;

- intervalele fiind discrete (discontinue), mărimea intrervalului se va calculaca diferenţa dintre limita inferioară a intrevalului ulterior şi limita inferioară aintervalului pentru care se face calculul .

a) Histograma:

Fiind o serie cu intervale inegale, înălţimea coloanelor va fi dată de frecvenţaredusă calculată în tabelul ajutător.

Grupe de unităţi de învăţământ după numărul de elevi înscrişi

Nr. unităţi de învăţământ

300 - 499 19500-799 33800-1199 64

1200-1499 571500 si peste 27


187

b) Media aritmetică:

În medie fiecare din cele 200 unităţi de învăţământ au înregistrat 1089 eleviînscrişi.

Modul (Dominanta)

Frecvenţa redusă cea mai mare este 38, iar intervalul modal va fi(1200 ; 1499).

1 8

3 8

3 2

2 2

1 9

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

frecv

ente

redu

se

xxi fi⋅∑

fi∑------------------ 214550

200------------------ 1073 persoane= = =

Mo x0 d∆′1

∆′1 ∆′2+----------------------+ 1200 300 6

6 20+---------------+ 1269 elevi= = =

∆′1 f ′m f ′m 1–– 38 32– 6= = =

∆′2 f ′m f ′m 1+– 38 18– 20= = =


188

Cel mai frecvent număr de elevi înscrişi întâlnit la nivelul celor 200 unităţi deînvăţământ este de 1269 elevi.

Mediana

Prima frecvenţă cumulată care depăşeşte valoarea locului medianei este116, iar intervalul median va fi (800 ; 1199). Primele 50% din unităţile deînvăţământ au până la 1103 elevi înscrişi, restul de 50% peste aceastavaloare.

Locul : deci se va situa în intervalul

(500, 799);

Locul : , deci se va situa în intervalul

(1200, 1499);

Cele 50 % dintre şcoli situate în centrul distribuţiei înregistrează un numărde elevi înscrişi cuprins în limitele 785 şi respectiv 1383 elevi.

d) Coeficientul de variaţie:

UMefi 1+∑2

------------------- 100 5,= =

Me x0 dUMe fp∑–

fMe

--------------------------+ 800 400100 5, 52–64

-------------------------+ 1103 elevi= = =

Q1 U Q1 200 1+4

------------------ 50 25,= = Q1


f Q1

--------------------------+ 500 30050 25, 19–13

-------------------------+ 785 elevi= = =

Q3 U Q3 3 200 1+( )4

-------------------------- 150 75,= = Q3


f Q3

--------------------------+ 1200 300150 75, 116–57

-------------------------------+ 1383 elevi= = =

σxi x–( )2 fi⋅∑

fi∑---------------------------------- 28214000

200------------------------ 376 elevi= = =


189

Fiind cuprins în intervalul 35%-45%, coeficientului de variaţie atestă faptulca media este reprezentativă în sens larg pentru seria de distribuţie.

e) Coeficientul empiric de asimetrie Pearson;

Valorile coeficienţilor Pearson atestă o asimetrie pronunţată negativa.

Problema nr. 3

Cunoscând exporturile realizate de 10 societăţi comerciale realizate îndecursul anului 2008:

Să se determine:a) indicatorii tendinţei centrale;b) dacă media este reprezentativă pentru seria dată:

Mijlocul intervalului

Mărimea intervalului

Coeficienţi de reducere a frecvenţelor

frecvenţe reduse

400 19 200 1,0 19 7600 19 8605651,0650 33 300 1.5 22 21450 52 5904657,0

1000 64 400 2,0 32 64000 116 341056,01350 57 300 1.5 38 76950 173 4373553,01650 27 300 1.5 18 44550 200 8989083,0Total 200 214550 28214000,0

Societatea comerciala

I II III IV V VI VII VIII IX X

Exporturi realizate (mii Euro)

57 24 48 101 25 44 22 12 48 17

v σx--- 100⋅ 376

1073------------ 100⋅ 35 04 %,= = =

Casx Mo–σ

---------------- 1073 1269–376

------------------------------ 0 521,–= = =

Cas3 x Me–( )

σ------------------------ 3 1073 1103–( )

376-------------------------------------- 0 239,–= = =

xi

fidi Ki

didmin----------=

fi′fiKi-----=

xi fi⋅ fi xi x–( )2 fi⋅


190

Observaţii: - deteminarea medianei presupune o ordonare crescătoare a termenilorseriei;- fiind o serie de distribuţie simplă cu număr par de termeni mediana secalculează ca medie aritmetică a celor doi termeni centrali.

a) Media aritmetica:

În medie fiecare din cele 10 societăţi comerciale au realizat în anul 2008exporturi de 39,8 mii Euro.

Mediana:

Seria ordonată crescător va fi: 12, 17, 22, 24, 25, 44, 48, 48, 57, 101.Termenul de ordin n/2 este termenul al cinci-lea - 25Termenul de ordin n/2+1 este termenul al şase-lea - 44Valoarea medianei este: (25+44)/2 = 34,5 mii Euro

Primele cinci societăţi comerciale au realizat exporturi până la valoarea de34,5 mii Euro, restul peste această valoare.

Modul (Dominanta):

Valoarea cea mai frecvent întâlnită în distribuţie (în cazul nostru, se repetăde doua ori) este 48 mii Euro.

Fiind mai mare de 45%, coeficientului de variaţie atestă faptul ca seria nueste omogenă şi respectiv, media nu este reprezentativă pentru seria dedistribuţie.

Nr. crt. I II III IV V VI VII VIII IX X Total

12 17 22 24 25 44 48 48 57 101 398

772,8 519,8 317 249,64 219 17,6 67,24 67,24 296 3745 6272

xxi∑

n----------- 398

10--------- 39 8 mii Euro,= = =

σxi x–( )2∑n

--------------------------- 627210

------------ 25 04 Euro,= = =

V σx--- 100⋅ 25 04,

39 8,------------- 100⋅ 62 91 %,= = =

xi

xi x–( )2


191

Problema nr. 3

Distribuţia a 300 de întreprinderi după numărul mediu de salariaţi se prezintăastfel:

Se cere:a) să se reprezinte grafic seria;b) să se determine media şi dispersia prin calcul simplificat:

În prealabil se vor închide convenţional intervalele deschise la ambelecapete, cu mărimea celorlalte intervale, respectiv 100 persoane.

Grupe de întreprinderi după numărul mediu de salariaţi

(persoane)

Structura întreprinderilor după numărul mediu de salariaţi

(%)Pânã la 199 15

200 - 299 21300 - 399 36400 - 499 16

500 şi peste 12

Grupe de întreprinderi după numărul mediu de salariaţi

(persoane)

Structura întreprinderilor după numărul mediu de salariaţi

(%)100 - 199 15200 - 299 21300 - 399 36400 - 499 16500 - 599 12

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700

xi

fi

Mo

Histograma


192

a = mijlocul intervalului cu frecvenţa cea mai mare = 350k = marimea intervalului de grupare = 100

Problema nr. 4

Distribuţia salariaţilor unei intreprinderi după producţia realizată într-o lunăse prezintă astfel:

Se cere:a) să se determine intervalul mediu de variaţie al mediei;b) să se studieze forma repartiţiei salariaţilor după producţia realizată;c) să se studieze gradul de concentrare a producţiei pe grupe de salariaţidupă producţia realizată:

mijlocul intervalului

(%)150 15 -2 -30 60250 21 -1 -21 21350 36 0 0 0450 16 1 16 16550 12 2 24 48

Total 100 -11 145

Grupe de salariaţi după producţia realizată

(bucăţi)

Structura nr. de salariaţi după producţia realizată

(%)Pânã la 50 5

50-100 20100-150 60150-200 10

peste 200 5

x

xi a–k

-------------⎝ ⎠⎛ ⎞ fi⋅∑

fi∑--------------------------------- k a+⋅ 11–

100--------- 100 350+⋅ 339 persoane= = =

σ2

xi a–k

-------------⎝ ⎠⎛ ⎞

2fi⋅∑

fi∑------------------------------------ k x a–( )2–⋅ 145

100--------- 100⋅ 339 350–( )2– 14379= = =

xi fi * xi a–

k-------------

xi a–k

------------- fi⋅xi a–

k-------------⎝ ⎠⎛ ⎞

2fi⋅


193

Observaţii: - toţi indicatorii sintetici la nivelul unei serii de distribuţie în care nu se cunoscefectivele absolute (frecvenţele absolute) ale fiecarei grupe se pot determinacu ajutorul frecvenţelor relative.

Datele folosite în calculul indicatorilor sunt prezentate în tabelul ajutător dela sfârşitul problemei.

a)

Intervalul mediu de variaţie calculat ca diferenţa între media seriei şiabaterea medie pătratica este (120 - 41,53 ; 120 + 41,53), respectiv (78,47 ;161,53).

b) Indicatorii absoluţi ai asimetriei:

Valorile negative ale acestor indicatori atestă o asimetrie negativă.

Locul medianei: rezultă

xxi fi *⋅∑100

----------------------- 12000100

--------------- 120 bucăţi= = =

σxi x–( )2 fi *⋅∑

100--------------------------------------- 172500

100------------------ 41 53 bucăţi,= = =

As x Mo– 120 122 2,– 2 2 bucăţi,–= = =

As 3 x Me–( ) 3 120 121 3,–( ) 3 9 bucăţi,–= = =

Mo 100 150;( )∈

UMefi

* 1+∑2

--------------------- 50 5,= = Me 100 150;( )∈

Mo x0 d∆′1

∆′1 ∆′2+----------------------+ 100 50 60 20–

60 20–( ) 60 10–( )+----------------------------------------------------+ 122 2 bucăţi,= = =

Me x0 dU

Me fp *

∑–

fMe

*----------------------------+ 100 5050 5, 25–

60----------------------+ 121 3 bucăţi,= = =


194

Indicatorii relativi

Coeficientul Yule:

Locul :

Locul :

Coeficientul empiric de asimetrie Pearson:

sau

Coeficientul de asimetrie Pearson:

, unde:

Coeficientul de asimetrie Fisher:

Cayq2 q1–q2 q1+-----------------

Q3 Me–( ) Me Q1–( )–Q3 Me–( ) Me Q1–( )+

-------------------------------------------------------- 0 0024,–= = =

Q1 U Q1fi

*∑ 1+

4--------------------- 25 25,= =

Q1 x0 dU Q1 fp

*∑–

fQ1

*---------------------------+ 100 5025 25, 25–

60-------------------------+ 100 2 bucăţi,= = =

Q3 U Q3 3fi

*∑ 1+

4--------------------- 75 75,= =

Q3 x0 dU

Q3 fp *

∑–

fQ3

*---------------------------+ 100 5075 75, 25–

60-------------------------+ 142 3 bucăţi,= = =

CasAsσ----- 2 2,–

41 53,------------- 0 053,–= = = Cas

3 9,–41 53,------------- 0 094,–= =

β1µ3

2

µ23

----- 135002

17253----------------- 0 036,= = =

µ3

xi x–( )3∑ fi *⋅

100------------------------------------ 1350000

100--------------------- 13500= = =

µ2 σ2 1725= =

γ1 β1 0 188,= =


195

Coeficienţii de asimetrie exprimaţi în mărime absolută atestă existenţa uneiasimetrii negative, iar coeficienţii exprimaţi în mărime relativă atestăexistenţa unei asimetrii negative foarte slabe, valorile acestora tinzând cătrevaloarea zero.

Indicatorii boltirii:

Coeficientul de boltire Pearson:

, unde:

Coeficientul de boltire Fisher:

Valoarea coeficientului Pearson mai mare decât 3, iar a coeficientului Fisherpozitivă evidenţiază o distribuţie leptocurtică.

c) Abaterea mediala-mediana absolută şi relativă:

Locul medialei:

Reprezentarea grafică concentrarii producţiei pe grupe de salariaţi dupăproducţia realizată (Curba de concentrare Gini):

β2µ4

µ22

----- 1188562517252

------------------------ 3 997,= = =

µ4

xi x–( )4∑ fi *⋅

100------------------------------------ 11885625

100------------------------ 11885625= = =

γ2 β2 3– 0 997,= =

A Ml Me– 129 2, 121 3,– 7 9,= = =

A %A

Amax-----------100 7 9,

250---------100 3 16 %,= = =

UMl xifi

*∑2

-------------------- 6000= =

Ml x0 d

xifi∑2

-------------- xifip∑–

x fMl⋅

-------------------------------------+ 100 506000 1625–7500

------------------------------+ 129 2 bucăţi,= = =


196

Valoarea redusă a abaterii medială-mediană precum şi suprafaţa deconcentrare atestă o concentrare redusă a producţiei pe grupe de salariaţidupă mărimea producţiei.


(%)

( )

A 1 2 3 4 525 5 125 45125 5 12575 20 1500 40500 25 1625

125 60 7500 1500 85 9125175 10 1750 30250 95 10875225 5 1125 55125 100 12000

Total 100 12000 172500

( )

A 6 7 825 -4286875 407253125 1,075 -1822500 82012500 13,5

125 7500 37500 76,0175 1663750 91506250 90,6225 5788125 607753125 100,0

Total 1350000 1188562500

Gradul de concentrare a productie i pe grupe de salariati dupa productia realizata

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

qi

pi

%

%

xifi

*xifi

* xi x–( )2 fi *⋅fi *

pi

xifi *)

xi xi x–( )3 fi *⋅ xi x– )4 fi *⋅xifi

*

xifi *

∑----------------100 qi


197

Problema nr. 5

Distribuţia a 150 de întreprinderi după numărul de muncitori se prezintăastfel:

Se cere:

a) să se reprezinte grafic structura colectivităţiib) să se determine până la ce limite se situează primele 40% unităţi dindistribuţie.

a)

Mai întâi trebuiesc deduse frecvenţele absolute din frecvenţele cumulate,după care se vor calcula frecenţele relative care se vor reprezenta cuajutorul unui grafic de structură.

Grupe de întreprinderi după numărul de muncitori

(persoane)

Frecvenţe cumulate

Pânã 200 10200-400 35400-600 100600-800 135

800 si peste 150

Grupe de întreprinderi după numărul de muncitori

(persoane)

Nr. de întreprinderi

% 0 - 200 10 6,7200 - 400 25 16,7400 - 600 65 43,3600 - 800 35 23,3800 - 1000 15 10,0

Total 150 100,0

fi fi *


198

b)

Între fiecare două decile sunt situaţi 10% din termenii seriei. Prin urmare,pentru a stabili limitele în care se află primele 40% de unităţi trebuiecalculate valoarea decilei a 4-a.

Din cele 150 societăţi comerciale primele 40% au un număr de muncitoricuprins între 0 şi 478 persoane.

6,7

16,7

43,3

23,3

10,0

0

20

40

60

80

100

1

%

800-1000muncitori600-800muncitori400-600muncitori200-400muncitori0-200 muncitori

10%40%

xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 xmax

UD4 4150 1+

10------------------ 60 4,= = D4 400 600;( )∈⇒

D4 x0 dU

D4 fp∑–

fD4

--------------------------+ 400 20060 4, 35–65

----------------------+ 478 15 persoane,= = =


199

Problema nr. 6

Investiţiile realizate de 10 unităţi comerciale au fost într-un an de 350milioane lei, iar abaterile relative înregistrate de fiecare unitate faţă de medialor, se prezintă astfel:

a) Determinaţi valorile absolute ale seriei.b) Este această serie omogena?

a) Media aritmetica:

Se deduc mai întâi valorile absolute ale seriei:

Exemplu:Unitatea I

Ştim că

Unitatea II

Unitatea III

Calculele au fost trecute în tabel.

b)

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX XAbateri faţă de

medie (%)+14 +7 -17 +5 -6 4 -15 -5 +8 +5

xxi∑

n----------- 350

10--------- 35 milioane lei= = =

x1 x–x

------------- 100⋅ 14=

x1 x–( ) 100⋅ 14 x⋅=

x1x 14 100+( )⋅

100---------------------------------=

x1 35 1 14,× 39 9 milioane lei,= =

x2 35 1 07,× 37 5 milioane lei,= =

x3 35 0 83,× 29 1 milioane lei,= =

σxi x–( )2∑n

--------------------------- 115 69,10

------------------ 11 569, 3 4 milioane lei,= = = =

v σx--- 100⋅ 3,4

35------- 100⋅ 9,7 %= = =


200

Valoarea mica a coeficientului de variaţie ne confirmă omogenitatea seriei.

Problema nr. 7

Investiile medii realizate de 10 unităţi comerciale au fost într-un an de 20 miilei/întreprindere, iar ponderea cu care fiecare întreprindere a contribuit larealizarea investiţiilor totale, se prezintă astfel:

a) Determinaţi valorile absolute ale seriei.b) Caracterizaţi asimetria seriei.

Observaţii: - suma ponderilor deţinută de fiecare grupă a unei coletivităţi va fi egală cu100% sau după caz cu 1 (când ponderile sunt exprimate în coeficienţi). Înproblema dată ponderile sunt exprimate în %, fapt evidenţiat prin valorileînregistrate supraunitare;- calculul indicatorilor tendinţei centrale în seriile de distribuţie simplă au fostprezentate într-o problemă anterioară.

Ponderea deţinută de întreprinderea numărul zece:100 - 7 - 8 - 12 - 6 - 11 - 21 - 13 - 8 - 10 = 4%

a) valoarea totală a investiţiilor este:

I II III IV V VI VII VIII IX X Total

14 7 -17 5 -6 4 -15 -5 8 5

39,9 37,5 29,1 36,8 32,9 36,4 29,8 33,3 37,8 36,8 350

4,9 2,5 -5,9 1,8 -2,1 1,4 -5,2 -1,7 2,8 1,8

24,01 6,25 34,81 3,24 4,41 1,96 27,04 2,89 7,84 3,24 115,69

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX XPonderea deţinută de fiecare întreprindere în realizarea investiţiilor

(%)

7 8 12 6 11 21 13 8 10 ….

xi x–x

------------ 100⋅

xi

xi x–( )

xi x–( )2

x 20 mii lei= ⇒

xi∑ x n⋅ 20 10⋅ 200 mii lei= = =


201

Valorile seriei au fost calculate şi prezentate în tabel.

b)

(este valoarea care se repetă de cele mai multe ori în serie).

Seria ordonată crescător: 8; 12; 14; 16; 16; 20; 22; 24; 26; 42.

Indicatorii absoluţi ai asimetriei:

Valorile pozitive ale acestor indicatori atestă o asimetrie pozitivă.

Indicatorii relativi:

Coeficientul empiric de asimetrie Pearson:

sau

Ambii coeficienţi indica un grad mediu de asimetrie pozitivă.

I II III IV V VI VII VIII IX X Total (%) 7 8 12 6 11 21 13 8 10 4 100

14 16 24 12 22 42 26 16 20 8 200

36 16 16 64 4 484 36 16 0 144 816

gixi

xi∑-----------100= xi⇒ xi∑

gi100---------⋅=

x 20 mii lei=

Mo 16 mii lei=

Mo16 20+

2------------------ 18 mii lei= =

σxi x–( )2∑n

--------------------------- 81610--------- 9 03 mii lei,= = =

As x Mo– 20 16– 4 mii lei= = =

A′s 3 x Me–( ) 3 20 18–( ) 6 mii lei= = =

CasAsσ----- 4

9 03,---------- 0 443,= = = C′as

69 03,---------- +0 664,= =

gixi

xi x–( )2


202

Problema nr. 8

Societatea comerciala "X" a realizat în anul 2008 o producţie industrială de120 autoturisme. Considerând această societate baza de comparaţie,realizările (exprimate în %) ale altor 10 unităţi concurente se prezintă astfel:

Să se determine producţia industrială realizată de fiecare din cele 10 unităţicomerciale şi să se determine gradul de concentrare a producţiei la nivelulcelor 11 întreprinderi studiate, utilizând indicele Struck şi Onicescu corectat.

Plecăm de la mărimea relativă de coordonare:

În felul acesta vom calcula producţia fiecărrei întreprinderi ( ). Calculelesunt prezentate în tabelul de la finalul problemei.

Indicele de concentrare Struck:

Energia informaţională Onicescu corectată:

Valorile coeficienţilor de concentrare calculaţi atestă o concentrare redusă aproducţiei de autoturisme la nivelul celor 11 societăţi.

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX XRealizat

faţă de societatea comerciala “X”

- % -

110 170 85 96 85 41 122 54 85 123

Ki 0⁄xix0-----100= xi⇒

Ki 0⁄100---------- 120⋅=

xi

iSn gi

2 1–∑⋅n 1–

----------------------------- 11 0 102,⋅ 1–11 1–

--------------------------------- 0 110,= = =

E ″gi

2 1n---–∑

1 1n---–

---------------------0 102, 1

11------–

1 111------–

-------------------------- 0 012,= = =


203

Problema nr. 9

Pentru 200 salariaţi ai unei S.C. fondul de salarii într-o luna a fost de 350 miilei; cei mai mulţi dintre salariaţi având un salariu de 1820 lei. Coeficientul deasimetrie Pearson al repartiţie după salariu a fost de -0,35. Să se arate dacăacestă colectivitate este omogenă, din punct de vedere al salariului.

Plecăm în rezolvare de la recunoaşterea indicatorilor daţi în problemă:

salariul mediu este strict reprezentativ pentru colectivitatea cercetată, iarseria de salariaţi este omogenă din punct de vedere al salariilor obţinute.

I II III IV V VI VII VIII IX X 0 Total

%110 170 85 96 85 41 122 54 85 123 100

132 204 102 115 102 49 146 65 102 148 120 1285

0,103 0,159 0,079 0,090 0,079 0,038 0,114 0,050 0,079 0,115 0,093 1,000

0,011 0,025 0,006 0,008 0,006 0,001 0,013 0,003 0,006 0,013 0,009 0,102

Ki 0⁄

xigi

gi2

Mo 1820 lei=

fi∑ 200 salariaţi=

Cas 0,35–=

xi∑ fi⋅ 350 mii lei= x⇒xi∑ fi⋅

fi∑-------------------- 350000

200------------------ 1750 lei= = =

Casx Mo–σ

---------------- 0 35,–= = σ⇒ 1750 1820–0 35,–

------------------------------ 200= =

V σx---100 200

1750------------100 11 4 %, 15 %<= = = ⇒


204

Problema nr. 10

Considerând următoarele serii : a) 15, 26, 31, 1072, 22, 23, 33, 18, 26, 24, 27, 3; 26;b) 110, 120, 128, 130, 110, 1300, 125, 110, 112, 131, 122;c) 56, 42, 56, 55, 48, 46, 56, 51, 43, 61, 58, 42.

Precizaţi care din cei trei indicatori medii ai tendinţei centrale estereprezentativ pentru fiecare serie în parte şi de ce.

Observaţii: Pentru a identifica care dintre principalii indicatori ai tendinţeicentrale sunt reprezentativi pentru seria dată vom ordona crescător termeniiseriei:

a) 3, 15, 18, 22, 23, 24, 26, 26, 26, 27, 31, 33, 1072;

Media aritmetică nu este reprezentativă, pentru că seria este neomogenădatorită ultimei valori foarte mari faţă de toate celelalte.Sunt reprezentativi pentru seria dată modul şi mediana, ambele luandvaloarea de 26.

b) 110, 110, 110, 112, 120, 122, 125, 128, 130, 131, 1300 Media aritmetică nu este reprezentativă, pentru că seria este neomogenă(acelaşi aspect ca la punctul a).

Modul = 110, nu este reprezentativ, corespunzând nivelului minim al valorilorînregistrate în seria dată.

Indicatorul mediu al tendinţei centrale reprezentativ pentru seria dată este

mediana ce corespunde termenului de ordin , respectiv

122.

c) 42,42, 43, 46, 48, 51,55, 56, 56, 56, 58, 61

Indicatorii reprezentativi ai tendinţei centrale sunt:- media ;

- mediana

- modul nu este reprezentativ tinzand spre valorile extreme ale seriei.

n 1+2

------------ 11 1+2

--------------- 6= =

x 51 17,=

Me51 55+

2------------------ 53= =


205

Problema nr. 11

Despre 20 întreprinderi se cunoaşte că au realizat în total o producţie de 500mil. lei; jumătate din numărul de întreprinderi au realizat o producţie depână la 26 mil. lei.

Cunoscând coeficientul de variaţie de 22%, să se studieze asimetria seriei.

înregistrează o asimetrie uşoară negativă.

Me 26 milioane lei=

xi∑ 500 milioane lei= xxi∑

n-----------=⇒ 500

20--------- 25 milioane lei= =

V σx---100 σ

25------100 22 % σ⇒ 0 22, 25⋅ 5 5 milioane,= = = = =

Cas3 x Me–( )

σ------------------------ 3 25 26–( )

5 5,-------------------------- 0– 545, ⇒= = =


206

10.2. PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE

Problema nr. 1

Societatea comerciala "X" a realizat în anul 2008 o cifra de afaceri de 20milioane lei. Considerand această societate baza de comparaţie, abaterile(exprimate în %) ale altor 10 unităţi concurente se prezintă astfel:

Să se determine cifra de afaceri realizată de fiecare din cele 10 unităţicomerciale şi să se determine valoarea care împarte seria în doua parţiegale.

Problema nr. 2

Dintre 20 întreprinderi pentru care s-a înregistrat numărul salariaţilor, celemai multe au un efectiv al personalului de 265 persoane. Numărul total alsalariaţilor la nivelul celor 20 întreprinderi este de 5500, iar coeficientul devariaţie este de 16%.

Să se studieze asimetria seriei.

Problema nr. 3

Despre jumătate din salariaţii unei înterprinderi se cunoaste ca au realizat oproducţie de până la 23 mii lei fiecare. 25% au realizat o producţie de pânăla 16 mii lei, iar 75% au realizat o producţie de până la 31 mii lei.

Să se studieze asimetria seriei.

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX XAbateri faţă de

societatea comerciala “X”

- % -

+10 +70 -35 +25 -15 -41 22 +54 -5 +23


207

Problema nr. 4

Distribuţia a 250 unităţi de învăţământ după numărul de elevi înscrişi seprezintă astfel:

Se cere:

a) să se determine valoarea care împarte numărul unităţilor de învăţământîn două parţi egale şi să se reprezinte grafic locul acesteia;b) să se studieze asimetria seriei cu ajutorul coeficienţilor Pearson.

Problema nr. 5

Se cunoaşte că cifra de afaceri realizată de 10 unităţi comerciale a fost într-o lună 250 mii lei/întreprindere. Cunoscând abaterile în mărime absolută dela valoarea medie pentru fiecare din cele 10 unităţi:

Determinaţi valorile absolute ale seriei.Să se determine intervalul mediu de variaţie al mediei.

Problema nr. 6

Dintre 20 întreprinderi pentru care s-a înregistrat numărul salariaţilor,jumătate au un efectiv al personalului de până la 265 persoane. Numărultotal al salariaţilor la nivelul celor 20 întreprinderi este de 5500, iar asimetriaserie este de 0,32.

Să se determine dacă seria este omogenă.

Grupe de unităţi după numărul de elevi înscrişi

(elevi)

Nr. unităţi de învăţământ

300 – 500 25500 – 800 40

800 – 1200 1051200 – 1500 451500 si peste 35

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX X

Abateri (mii lei)

+ 14 - 7 - 5 - 5 + 16 -4 +3 + 5 - 8 - 9


208

Problema nr. 7

Investiţiile realizate de 10 unităţi comerciale au fost într-un an de 350milioane lei, iar ponderea deţinută de fiecare unitate în total investiţii seprezintă astfel:

Determinaţi valorile absolute ale seriei.Să se determine indicatorii medii ai tendinţei centrale.

Problema nr. 8

Cunoscând:

Să se reprezinte grafic structura pe ramuri a salariaţilor în anul 2008.

Unitatea I II III IV V VI VII VIII IX XPonderea

fiecarei unităţi în total (%)

14 7 27 5 6 4 23 5 8 …….

Ramura Numărul salariaţilor pe ramuri în anul 2000 în

judetul “X”

Modificarea relativă a numărului de salariaţi

în anul 2008 comparativ cu anul 2000 (%)

Industrie 85750 +10Agricutura 24200 -12Construcţii 33500 +7Total 256300 +8


209

Capitolul XI

INTRODUCERE ÎN ECONOMETRIE

DEFINIŢII ŞI OBIECTIVE

Definirea econometriei ca ştiinţă a cunoscut în timp diverse nuanţe, toateconducând de fapt la aceeaşi esenţă: o măsurare cantitativă a economiei învederea analizării ştiinţifice a corelaţiilor ce se manifestă în cadrul complexal funcţionării acesteia, în vederea formulării ipotezelor ce stau la bazaconstruirii de modele economice şi estimări. Modelul teoretic este confruntatcu realitatea economică reflectată prin date şi este analizat de econometrieprin intermediul metodelor statistice.

Ştiinţa economică modernă este practic o ştiinţă a analizei cantitative.Statistica şi econometria ajută economistul în înţelegerea fenomeneloreconomice, fiind de altfel foarte greu să se facă o separaţie clară între celedouă aspecte ale ştiinţei.

Conform “Dicţionarului MacMillan de Economie Modernă”, econometriaeste numită “o ramură a statisticii care se ocupă cu testarea ipotezeloreconomice şi estimarea parametrilor prin utilizarea, în principal a tehnicilorde regresie multiplă, dar uneori şi prin folosirea unor metodologii maisofisticate”.

Ceea ce este sigur însă, econometria nu numai că se bazează pe metodelestatistice de calcul, dar coexistă alături de statistică, având obiectivecomune.

Noţiunea de econometrie provine din limba greacă, fiind o reuniune acuvintelor: “eikonomia” (economie) şi “metron” (măsură). Noţiunea a începutsă circule în urmă cu aproximativ 70 de ani, odată cu înfiinţarea societăţii deeconometrie de către Rognar Frisch, profesor de economie la Oslo, laureatal premiului “Nobel” pentru economie în anul 1928. Acesta, ajutat destatisticianul I. Fisher au înfiinţat în 1930 “Econometric Society”, care areunit la nivel internaţional pe toţi specialiştii interesaţi în dezvoltarea teorieieconomice pe baza statisticii şi matematicii.

Introducere în econometrie

210

Amintesc doar câţiva precursori ai econometriei, cu importante contribuţii ladezvoltarea teoriei şi analizei economice: Francisc Quesnay (1694-1774)remarcat îndeosebi prin construirea şi analiza “tabloului economic”; WilliamPetty (1623-1687) cu contribuţia sa remarcabilă în găsirea unei “legimatematice a mortalităţii”; Antoine Cournot (1801-1877) care a introdusconceptul de funcţie în cercetarea relaţiilor cauză-efect şi a formulatmatematic legea cererii şi ofertei; Ernst Engel (1821-1896), statistician şieconomist german care, utilizând bugetele de familie a exprimat matematiclegităţi ale cererii de mărfuri; Bowley sir A.L. (1869-1957), statistician,matematician, economist şi demograf englez cu contribuţii însemnateasupra dinamicii preţurilor şi salariilor, a estimării venitului naţional; MarshallAlfred (1842-1924), economist englez remarcat prin contribuţii asupraelasticităţii cererii de mărfuri; R.A. Fisher, J. Tinbergen, W. Leontief şi alţii.

Econometricianul R. Frisch spunea: “experienţa a arătat că fiecare dinurmătoarele 3 puncte de vedere: al statisticii, al teoriei economice şi almatematicii, este o condiţie necesară, dar nu suficientă pentru o înţelegereefectivă a relaţiilor cantitative din economia modernă; unificarea lor esteaceea care asigură eficienţa. Econometria este tocmai această unificare”.

Obiectivul principal al econometriei îl constituie studiul relaţiilor dintrevariabilele economice, pentru aceasta folosind frecvent funcţiile matematice,regresia, estimarea şi metoda celor mai mici pătrate (MCMMP). Informaţiileprivind realitatea economică, exprimate prin date statistice, sunt considerateinfluenţate într-o anumită măsură de diferite cauze esenţiale, dar şiaccidentale. Cu ajutorul econometriei şi a metodelor statistice se pot izolatoate aceste influenţe cauzale, se poate găsi un model matematic care săexprime tendinţa fenomenului şi să se producă estimaţii.

Scopul estimării pe baza modelului econometric constă în analiza practică arolului factorilor asupra evoluţiei fenomenelor economice, pe baza acestoraobţinându-se predicţii în funcţie de evoluţia factorilor esenţiali. Din acestmotiv, econometria în sens larg trebuie înţeleasă nelimitată în ceea cepriveşte aria metodelor statistico-matematice utilizate, de la metode simple,până la modele sofisticate ce nu pot fi construite fără soft informaticspecializat (instrumente informatice).

Datele statistice sunt ordonate de regulă în serii de timp privind evoluţiile înparalel a diferitelor variabile, acestea fiind analizate prin metode specificeanalizei seriilor cronologice, analizei de regresie şi corelaţie, dar şi analizeifactoriale prin intermediul sistemului de indici. Dat fiind faptul că celeenumerate mai înainte sunt metode mai la îndemâna economiştilor, mai uşorde folosit şi aplicate în viaţa practică economică de toate zilele, mă voi referiîn special la aceste metode în conţinutul acestei ediţii a cărţii.


211

Capitolul XII

ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE

OBIECTIVE

În general, fenomenele din natură şi societate sunt influenţate în evoluţia lorde factori esenţiali, care le imprimă direcţia de dezvoltare şi care este foartebine să poată fi cunoscuţi, măsuraţi şi urmăriţi. Un manager poate aveasucces în afacere dacă-şi urmăreşte în timp evoluţia activităţii sale, identificăperioadele slabe sau de vârf şi analizează în profunzime cauzele care aucondus la succes sau dimpotrivă la eşec.

În prezentul capitol vom studia modalitatea corectă de constituire a unei seriide timp, analiza acesteia cu ajutorul indicatorul specifici, precum şidescompunerea acesteia în principalele componente. Pentru că factoriiesenţiali imprimă direcţia de dezvoltare a unui fenomen, vom învăţa cumpoate fi calculată tendinţa, iar în final, pe baza acesteia să putem emiteproiecţii ale viitorului.

Cuvinte cheie:

Serie cronologicăMărimi de fluxMărimi de stocSpor absolutIndice de creştereRitm de creştere al sporuluiValoarea absolută a unui procent de creştereSpor mediu absolutIndice mediu de creştereRitm mediu de creştere al sporului

Medie cronologicăMedii mobileAjustareMetode mecanice de ajustareMetoda celor mai mici pătrateSezonalitateComponentă ciclicăComponentă aleatoareTrendExtrapolare.

Analiza seriilor cronologice

212

12.1. PARTICULARITĂŢILE UNEI SERII CRONOLOGICE ŞI CLASIFICAREA LOR

Alături de seriile de repartiţie şi teritoriale, seriile cronologice (SCR)reprezintă o modalitate frecvent utilizată de observare, prezentare şi analizăa proceselor social-economice.

SCR se mai numesc şi serii dinamice sau serii de timp. Ele descriustatistic evoluţia în timp a unui fenomen sau proces economic.

Observarea statistică a unui proces se poate face ori în mod continuu, îndecurs de un interval, ori la un moment dat. Spre exemplu, volumulvânzărilor de mărfuri se înregistrează fie în fiecare zi, săptamânal, decadal,lunar (dupa nevoi), deci sub forma de mărimi de flux, în timp ce disponibiluldin marfa respectivă la anumite momente de timp - ca mărimi de stoc.Mărimile de stoc redau “fotografia” fenomenului studiat la momentelerespective de timp, iar fluxul la o perioadă de timp.

Seria cronologică alcătuită din mărimi de flux se numeşte serie cronologicade intervale, iar cea din mărimi de stoc - serie cronologică de momente.

Această deosebire este importantă la calculul unor indicatori. Spre exemplu,termenii seriei de interval se pot cumula, obţinându-se astfel mărimi de fluxcumulate pe intervale tot mai lungi, în timp ce mărimile de stoc nu ausemnificaţie concretă economico-socială.

Spre exemplu, dacă am avea o serie care prezintă evoluţia efectivuluipopulaţiei dintr-un spaţiu teritorial administrativ, nu ar avea nici un senscumularea datelor.

Dacă am efectua totalul datelor din această serie, respectiv suma de8188,3, interpretarea ar trebui să fie: în intervalul 1990 - 2000, populaţiastabila a judetului Bacău a fost de 8188,3 mii persoane.

Total incorect !

Anii 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000Evolutia efectivului populatiei stabile a judetului Bacau (mii persoane)

735,2 743,3 737,5 741,1 742,9 744,2 745,5 746,1 748,9 750,8 752,8


213

În acest caz, însumarea datelor conţine înregistrări repetate, fiecarepersoană care a locuit în toţi aceşti ani în judetul Bacău fiind multiplicată de11 ori, câti ani are seria de date.

Din acest motiv s-a precizat că însumarea datelor seriei în astfel de cazurinu are o semnificaţie economica sau sociala, aceasta fiind o SCR demomente şi pentru ca prezentarea seriei să fie corectă, în cazul de tabeltrebuie precizat clar şi momentul la care s-au înregistrat datele.

În exemplul de mai sus, corect este să scriem: “Evoluţia efectivuluipopulaţiei stabile a judetului Bacău la dată de 1 iulie a fiecărui an (miipersoane)”. Cu alte cuvinte, în cazul SCR de momente, trebuie precizat înplus şi momentul la care au fost observate datele.

La analiza seriilor cronologice trebuie avute în vedere unele proprietăţi aleacestora:

variabilitatea termenilor unor SCR (ca urmare a faptului că fiecaretermen se obţine prin centralizarea unor date individuale diferite ca nivel dedezvoltare. Cu cât acţiunea factorilor întămplători este mai mare, cu atâtvariaţia în cadrul colectivităţilor este mai mare.

Rezultă că la SCR trebuiesc măsurate şi gradul şi forma de influenţă afactorilor esenţiali, dar şi gradul de abatere de la tendinţa generala rezultatădin influenţa factorilor neesenţiali.

omogenitatea termenilor, adică în aceeaşi serie nu pot fi înscrisedecât fenomene de acelaşi gen, care sunt rezultatul acţiunii aceloraşi legi.

Rezultă că indicatorii cuprinşi în aceeaşi serie cronologica trebuie să fieexprimati în aceeaşi unitate de măsura (UM), iar pentru indicatorii valorici săse ţina seama şi de modificările de pret intervenite de la o perioada la alta.

periodicitatea termenilor din care este formată seria. Fiecare fenomeneste legat în mod obiectiv de conditiile de timp şi spaţiu. Alegerea unităţii detimp la care se refera datele este facută în funcţie de scopul cercetarii.

Exemplu: producţia industrială se poate urmări în unităţi de timp mai mici(ziuă, decadă, lună), cât şi în unităţi mai mari (trimestru, semestru, an), întimp ce producţia agricolă totală nu se poate urmări decât pe ani întregi(agricoli sau calendaristici).

•

•

•


214

Se pune problema şi alegerii întregii etape la care se referă datele. Rezultăcă înainte de a trece la întocmirea seriei trebuie să se facă o analiza aconditiilor în care s-a dezvoltat fenomenul respectiv. Deosebit de importantăeste alegerea primului an - anul de bază - deoarece mărimea indicatorilorobţinuti din prelucrare va depinde tocmai de nivelul acestui an.

Exemplu: - în trecut anii reprezentativi se considerau: 1938, 1950, 1960, 1965, 1970,1975, ..., ani care marcau anumite etape în dezvoltarea economică;- acum se compară cu anul 1989, ultimul an al socialismului sau cu anul1990, primul an de tranziţie;- populaţia se compară cu populaţia existentă la recensămintele populaţiei.

interdependenţa termenilor şi anume: indicatorii prezentaţi sunt valorisuccesive ale aceloraşi fenomene înregistrate la nivelul aceleiaşi unităţiteritoriale sau administrative.

Rezultă că valoarea fiecărui indicator va depinde într-o anumită măsură devaloarea indicatorului precedent, reflectând faptul că fenomenele social-economice sunt rezultatul unor legi obiective care se manifestă sub formăde tendinţă. De aceea, în cazul SCR, dată fiind interdependenţa dintretermeni se pune problema cunoaşterii liniei (curbei) de tendinţă specificăfiecărei etape de dezvoltare şi care, în sens statistic, exprimă într-o formacantitativă însăşi acţiunea legii care le determină.

Seriile cronologice pot fi clasificate după următoarele criterii:

a) În funcţie de modul de exprimare a indicatorilor din care este formatăseria:

- SCR formate din indicatori absoluţi;- SCR formate din indicatori relativi;- SCR formate din indicatori medii.

b) În funcţie de timpul la care se referă datele:

- SCR de intervale (perioade) de timp;- SCR de momente.

•


215

12.2. ANALIZA PREALABILĂ A SCR ŞI PRINCIPALII INDICATORI CALCULAŢI

Cea mai simplă metodă de analiză prealabilă a SCR este reprezentareagrafică a seriei.

Cronograma (histriograma) este reprezentarea grafică tipică a SCR.

Pe abcisă se reprezintă timpul prin marcarea momentelor (pentru serii demomente) sau a intervalelor (în cazul SCR de intervale) iar pe axaordonatelor termenii SCR.

Se pot reprezenta pe acelaşi grafic mai multe curbe. Când UM a termenilortuturor seriilor este aceeaşi pe ordonată se dispune o singură scara dereprezentare, iar dacă termenii seriilor sunt exprimati în UM diferite, pentrufiecare serie se stabileşte o scară de reprezentare şi se apreciază înlegendă prin culori sau linii trase diferit. Cronogramele se pot construi şi cuajutorul graficului prin coloane.

În cazul SCR de momente, din fiecare moment de timp pe axa abciselor seridică câte o coloană, iar în cazul seriilor de intervale, coloanele secentrează pe mijlocul intervalului.

Se recomandă ca baza coloanelor să aiba aceeaşi lungime, iar distanţadintre coloane să fie proportională cu distanţa dintre momente.

În unele cazuri, SCR se reprezintă cu ajutorul diagramelor prin benzi.Aceasta se recomandă atunci când se urmăreşte simultan dinamica a 2indicatori strans legaţi între ei, ca exportul şi importul. În acest caz, axele decoordonate îşi schimba locul: pe verticală se dispune timpul, iar peorizontală termenii SCR.

Pentru a putea caracteriza statistic modul de dezvoltare a fenomenului estenecesar ca datele prezentate în funcţie de timp să fie supuse prelucrării.

În urma prelucrării SCR se obţin:

1. Indicatori absoluţi.2. Indicatori relativi.3. Indicatori medii.


216

1. Indicatorii absoluţi

= nivelurile absolute ale termenilor seriei;

= modificarea absolută (spor sau scădere absolută) calculată cu baza fixă;

= modificarea absolută calculată cu bază în lanţ.

2. Indicatorii relativi= indicele de dinamică calculat cu baza fixă;

= indicele de dinamică calculat cu baza în lanţ;

= ritmul sporului cu bază fixă;

= ritmul sporului cu bază în lanţ;

= valoarea absolută a unui procent de creştere (scădere) cu bază fixă;

=valoarea absolută a unui procent de creştere (scădere) cu bază în lanţ.

3. Indicatorii medii= nivelul mediu al unui SCR de intervale;

= nivelul mediu al sporului (scăderii) absolute;

= indicele mediu al dinamicii;

= ritmul mediu al sporului.

Calculul sistemului de indicatori se face diferenţiat pentru o serie deintervale şi pentru o serie de momente. La seria de momente nivelul mediu se calculează prin media cronologică( ).

yi

∆i 0⁄

∆i i 1–⁄

Ii 0⁄

Ii i 1–⁄

Ri 0⁄

Ri i 1–⁄

Ai 0⁄

Ai i 1–⁄

y

∆

I

R

ycr


217

12.3. PRELUCRAREA STATISTICĂ A SERIILOR CRONOLOGICE DE INTERVALE

12.3.1. Indicatorii absoluti ai SCR

Exemplu: Cunoaştem urmatoarea serie de date pentru perioada 1995 -2000:

Sursa datelor: “infoSTAT“ (colecţie) - INS - D.J. Statistică Bacău

Aceasta este o serie cronologică de intervale, întrucât termenii seriei se potînsuma, totalul însumării fiind 9045. Aşadar, putem afirma că în perioada1995-2000 s-au finalizat în judetul Bacău în număr de 9045 de locuinţe.

Dacă notăm cu “t“ variabila de timp şi cu “y“ numărul de locuinte terminatedin fiecare an, seria va lua valori de la (anul 1995, care va fi consideratşi an de baza a seriei), până la (anul 2000, ultimul termen al seriei).Deoarece am notat primul termen din serie cu şi ultimul termen cu ,seria va avea n+1 termeni.

a) Termenii acestei serii sunt exprimaţi în valoare absolută.b) Modificările absolute pot fi interpretate ca sporuri (sau scăderi)absolute de la o unitate de timp la alta.

În practica statistică sporul absolut se mai numeşte şi creştere absolută(sau excedent), iar scăderea absolută poate avea uneori sens de deficit (saueconomie absolută).

Deci, interpretarea se face în funcţie de conţinut şi de tendinţă obiectivă decreştere sau micşorare a fenomenului cercetat şi nu de semnul scăderiimatematice efectuate. Aşa spre exemplu, dacă studiem cheltuielilemateriale efectuate pe o unitate de produs obţinută, scăderea acestora aresens pozitiv, de economie realizată.

Sporul sau scăderea absolută poate fi calculată fie faţă de nivelul uneisingure perioade considerată baza de referinţă, fie de la o perioada la alta.În primul caz se obţine sporul (scăderea) cu baza fixa, iar în cel de-al doilea,sporul (scăderea) cu baza în lanţ.

Anii 1995 1996 1997 1998 1999 2000Locuinte terminate în judetul Bacãu 2031 1625 1571 1395 1286 1137

y0

yn

y0 yn


218

Sporul cu bază fixă (notat cu ) se obţine ca diferenţă între nivelulfiecărei perioade şi nivelul perioadei de referinţă . Rezultatul seexprimă în aceeaşi unitate de măsura cu al caracteristicii studiate:

Pentru exemplu luat: = 1625 - 2031 = -406 locuinţe= 1571 - 2031 = -460 locuinţe

. . .

= 1137 - 2031 = -894 locuinţe

Rezultatele calculului tuturor indicatorilor sunt prezentate în tabel, unde sepot urmări usor şi corelaţiile dintre indicatori:

Locuinte terminate în

judetul Bacău

Sporul absolut cu baza:

Indicelecu baza

(%)

Creşterea relativa cu baza

( %)

Valoarea absolută a

unui procent din

ritmul sporului cu baza în lanţ

Anulfixa în lant fixa în lant fixa în lant

1995 2031 - - 100,0 - - - -1996 1625 -406 -406 80,0 80,0 -20,0 -20,0 20,311997 1571 -460 -54 77,4 96,7 -22,6 -3,3 16,251998 1395 -636 -176 68,7 88,8 -31,3 -11,2 15,711999 1286 -745 -109 63,3 92,2 -36,7 -7,8 13,952000 1137 -894 -149 56,0 88,4 -44,0 -11,6 12,86

TOTAL 9045 X

-894

X

56,0

X X X

∆i 0⁄

yi y0

∆i 0⁄ yi y0–=

∆1 0⁄ y1 y0–=

∆2 0⁄ y2 y0–=

∆5 0⁄ y5 y0–=

±

yi ∆i 0⁄ ∆i i 1–⁄ Ii 0⁄ Ii i 1–⁄ Ri 0⁄ Ri i 1–⁄Ai i 1–⁄

∆i i 1–⁄

i 0=

n

∑ Ii i 1–⁄

i 1=

n

∏


219

Sporul cu bază în lanţ ( ) se obţine ca diferenţă între nivelul fiecăreiperioade ( ) şi nivelul perioadei anterioare ( ):

Astfel, pentru exemplul luat avem:= 1625 - 2031 = -406 locuinţe= 1571 - 1625 = -54 locuinţe

.

.= 1137 - 1286 = -149 locuinţe

Între sporurile cu baza în lanţ şi cele cu bază fixă există urmatoarea relaţie:

Rezultă că, suma sporului cu baza în lanţ este egală cu ultimul spor cu bazafixă, deci cu sporul pentru întreaga perioadă luată în calcul.În exemplul luat avem: -894 = -894.

Locuinte terminate in judetul Bacau

0

500

1000

1500

2000

2500

1995 1996 1997 1998 1999 2000

yi

ti

∆i i 1–⁄

yi yi 1–

∆i i 1–⁄ yi yi 1––=

∆1 0⁄ y1 y0–=

∆2 1⁄ y2 y1–=

∆5 4⁄ y5 y4–=

∆i i 1–⁄

i 1=

n

∑ ∆n 0⁄ yn y0–= =


220

Folosind această relaţie, dacă scădem din sporul cu bază fixă a uneiperioade sporul cu bază fixă a perioadei precedente se obţine sporul cubază în lanţ corespunzător:

Sintetic putem spune:

În exemplul luat se pot urmări în tabel corelaţiile respective, spre exemplu:

- 460 - (- 406) = -54 .s.a.m.d.

Aceste relaţii se folosesc atunci când nu dispunem de date absolute şi secunosc fie numai sporurile cu bază fixă, fie numai cele cu bază în lanţ. Deasemenea se poate verifica exactitatea calculelor.

Prin urmare, putem afirma că numărul de locuinţe terminate a scăzut de laan la an, scăderea maximă producându-se în anul 1996 faţă de anul 1995,respectiv cu 406 locuinţe mai puţin. Pe întreaga perioadă a celor 6 ani(1995 - 2000) s-au terminat cu 894 locuinţe mai puţin.

12.3.2. Indicatorii relativi ai SCR

Mărimea relativă care arată de câte ori s-a modificat un fenomen în timp senumeşte indice de dinamică şi se poate calcula cu baza fixa şi cu baza înlanţ.

a) Indicele cu baza fixă ( ) se calculează ca raport între nivelul fiecăreiperioade şi nivelul ales ca bază de comparaţie. De regulă, rezultatul seînmulţeşte cu 100 şi se exprimă în procente.

se mai numeşte şi ritm al creşterii (al descreşterii).

sau (%)=

yi y0–( ) yi 1– y0–( )– yi y0– yi 1–– y0+ yi yi 1––= =

∆i 0⁄ ∆i 1– 0⁄– ∆i i 1–⁄=

∆2 0⁄ ∆1 0⁄– ∆2 1⁄=

Ii 0⁄

Ii 0⁄

Ii 0⁄yiy0-----= Ii 0⁄

yiy0----- 100×


221

În exemplul luat:

= = 80,0%

= = 77,4%

.

.

= = 56,0%

b) Indicele de creştere cu baza în lanţ ( )se calculează ca raport întrenivelul fiecărei perioade şi nivelul perioadei precedente:

sau =

Relaţii între indicii cu bază fixă şi cei cu baza în lanţ:

Prin urmare, corelaţia se poate sintetiza în:

Deci, produsul indicilor cu bază în lanţ va fi egal cu ultimul indice cu bazafixă al perioadei luate în cercetare.

Corespunzator se poate face trecerea şi de la indicii cu baza fixă la cei cubaza în lanţ:

I1 0⁄y1y0----- 100×= 1625

2031------------- 100×

I2 0⁄y2y0-----= 100× 1571

2031------------- 100×

I5 0⁄y5y0----- 100×= 1137

2031------------- 100×

Ii i 1–⁄

Ii i 1–⁄yi

yi 1–----------= Ii i 1–⁄ (%)

yiyi 1–---------- 100×

I1 0⁄ I2 1⁄× I3 2⁄× … In 1– n 2–⁄×× In n 1–⁄×yny0-----=

In 0⁄y1y0-----

y2y1-----× …

yn 1–yn 2–-----------××

ynyn 1–-----------× In 0⁄= =

In 0⁄=

Ii i 1–⁄ In 0⁄yny0-----==

i 1=

n

∏

yiy0-----

yi 1–y0

----------÷yi

yi 1–----------

Ii 0⁄Ii 1– 0⁄--------------- Ii i 1–⁄=⇒=


222

Spre exemplu, în cazul nostru:

Atenţie! Toate corelaţiile se vor efectua folosind în calcule indicii subforma de coeficienţi, apoi dacă se doreşte, se revine la forma de procent prinînmulţire cu 100.

Spre exemplu, în tabel avem calculaţi indicii sub formă de procente, iarpentru a verifica dacă produsul indicilor cu baza în lanţ este egal cu ultimulindice cu bază fixă vom transforma întâi în coeficienţi prin împărţire cu 100,vom face produsul acestor indici, apoi dacă dorim, rezultatul va fi înmulţit dinnou cu 100 pentru a fi exprimat în procente.

Astfel: 0,8 x 0,967 x 0,888 x 0,922 x 0,884 = 0,5599

Indicele de scădere pe întreaga perioadă (1995 - 2000) este de 0,56 sau56,0%.

c) În statistica intereseaza nu numai de câte ori a crescut fenomenulcercetat în timp ci şi cu cât nivelul comparat a depaşit în mărime relativănivelul folosit ca bază de comparare. În acest caz se calculează: ritmul decreştere (scădere) al sporului.

Ritmul de creştere (scădere) al sporului cu bază fixă ( ) secalculează ca raport între sporul cu bază fixă al fiecărei perioade şi nivelulanului de bază şi se exprimă în procente.

Prin urmare, dacă se cunoaşte indicele de creştere cu bază fixă, ritmul decreştere al sporului este usor de obţinut, scăzând din acesta 1 sau 100,după cum acesta este exprimat în coeficient sau în procent.

Astfel, dacă indicele a fost exprimat în coeficient, ritmul de creştere alsporului se va obţine astfel:

Dacă indicele a fost deja exprimat în procente, atunci:

I3 0⁄I2 0⁄--------- I3 2⁄

0 687,0 774,---------------⇒ 0 888,= =

Ri 0⁄

Ri 0⁄∆i 0⁄y0

---------- 100yi y0–

y0---------------=× 100

yiy0-----

y0y0-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 100 Ii 0⁄ 1–( )=×=× 100×=

Ii 0⁄ 1–( ) 100× Ri 0⁄=


223

(%) - 100

Ritmul de creştere (scădere) al sporului ne arată cu cât s-a depaşit (sau ascăzut) relativ nivelul fenomenului în perioada studiată faţă de perioadabază de comparaţie.

d) Ritmul de creştere (scădere) al sporului cu bază în lanţ secalculează raportând sporul absolut cu baza în lanţ la nivelul absolut alanului anterior şi se exprima în procente:

Atenţie !

Deci, corelaţiile dintre indicii cu baza în lanţ şi cei cu baza fixă nu se verificăşi la ritmul de creştere al sporului. Dacă vrem să ne folosim de acestecorelaţii şi la ritmul de creştere al sporului, facem trecerea la indice prinadunarea lui 100, ne folosim de corelaţiile dintre indici, apoi facem din noutrecerea de la indice la ritm de creştere al sporului.

Atenţie ! A nu se confunda indicele de creştere cu ritmul de creştere alsporului. Primul arată de câte ori a crescut (scăzut) fenomenul în perioadarespectivă, iar al doilea cu câte procente a crescut sau a scăzut fenomenul.

Spre exemplu, dacă indicele arată 0,8, respectiv 80% este de preferat să nefolosim în exprimare cu ajutorul ritmului şi să spunem că fenomenul a scăzutcu 20% (80 - 100 = - 20%).

Dacă însă indicele arată 2,5, respectiv 250% este mai pe înteles pentrupublic de a folosi în exprimare indicele şi să spunem că fenomenul a crescutde 2 ori şi jumătate decât să folosim ritmul, care înseamnă că fenomenul acrescut cu plus 150%. Dar, ambele forme de exprimare sunt corecte, însăuna poate fi mai bine recepţionată de auditoriul mai puţin specializat, faţă decealaltă.

Ii 0⁄ Ri 0⁄=

Ri i 1–⁄( )

Ri i 1–⁄∆i 1–yi 1–----------- 100×=

yi yi 1––yi 1–

--------------------- 100×yi

yi 1–----------

yi 1–yi 1–----------– 100× = = =

Ii i 1–⁄ 1–( ) 100×=

Ri i 1–⁄ Rn 0⁄≠

i 1=

n

∏


224

e) Valoarea absolută a unui procent de creştere cu bază fixă .Calculul acestui indicator se bazează pe regula de 3 simplă:

R % ............................. 1 % ............................. A

Astfel vom avea:

Rezultă că valoarea absolută a unui procent de creştere cu bază fixă esteaceeaşi pentru întreaga perioadă, deoarece nivelul care s-a considerategal cu 100% este nivelul anului de baza şi exprimă câte unităţi dinsporul înregistrat într-un an, revin la fiecare procent din ritmul de creştere alsporului.

În exemplul luat:

locuinte

Interpretare: în perioada 1995 - 2000 în medie, fiecare procent de scădere anumărului de locuinţe echivala cu un număr de 20 locuinţe mai puţin.

Verificare: pe toată perioada numărul locuintelor terminate a fost mai puţincu 44%. Rezultă 44 x 20,31 = 893,64 -894 locuinţe în perioada1995 - 2000).

După cum s-a observat, deşi este trecut în categoria indicatorilor relativi, este exprimat în mărime absolută, folosind aceeaşi unitate de măsură

cu cea a caracteristicii studiate.

f) Valoarea absolută a unui procent de creştere cu baza în lant ( )se calculeaza dupa aceleaşi principii ca indicatorul precedent.

Ai 0⁄( )

∆

A⇒ ∆R---=

Ai 0⁄∆i 0⁄Ri 0⁄----------

yi y0–yi y0–

y0--------------- 100×------------------------------

y0100---------= = =

y0( )

Ai 0⁄y0

100--------- 2031

100------------== 20 31,=

≅

Ai 0⁄

Ai i 1–⁄

Ai i 1–( )⁄∆i i 1–⁄

Ri i 1–⁄----------------

yi yi 1––yi yi 1––

yi 1–------------------------------------------

yi 1–100----------= = =


225

Pentru exemplul luat, indicatorul s-a calculat în ultima coloana din tabel.

Interpretare: spre exemplu, pentru anul 2000, reducerea cu -11,6% anumărului de locuinte terminate faţă de anul anterior a însemnat că pentrufiecare procent mai puţin, numărul de locuinţe a scăzut în valoare absolutăcu aproape 13, iar pe total cu -149 locuinţe (-11,6% x 12,86 = -149 locuinte).

Putem spunem că acesti indicatori şi fac legatura dintreindicatorii absoluţi şi cei relativi, ajutând la interpretarea corectă ai acestora.

12.3.3. Indicatorii medii ai unei serii cronologice cronologice de intervale

Prin calcularea indicatorilor absoluti şi relativi s-au caracterizat relaţiile careexistă între termenii individuali ai unei SCR. Aceşti indicatori arată gradul devariabilitate a termenilor unei SCR, ca urmare a influenţei exercitate de toatecauzele şi condiţiile ce determină evoluţia fenomenului respectiv.

Pentru a evidenţia tendinţa de dezvoltare a întregii serii ca rezultat alinfluenţei cauzelor esenţiale, calculăm indicatorii medii. Se pot calcula mediide nivel (nivelul mediu al termenilor unei SCR şi nivelul mediu al sporului)şi medii de ritm (indicele mediu al dinamicii şi indicele ritmului mediu decreştere al sporului).

a) Nivelul mediu al unei SCR de intervale

Se calculează o medie aritmetică simplă a termenilor seriei de intervale.

În exemplul luat avem: locuinţe.

Aceasta înseamnă că în medie, în fiecare an din perioada 1995-2000 s-auconstruit un număr de 1507 locuinte, ultimii trei ani din serie având valori subvaloarea medie, iar primii trei, peste medie.

Ai 0⁄ Ai i 1–⁄

y( )

y

yi

i 0=

n

∑n

-------------=

y 90456

------------ 1507 5,= =


226

b) Sporul mediu anual .Se calculează media aritmetică a sporului cu baza în lanţ.

unde n = numărul sporurilor cu baza în lanţ

sau

unde n = numărul termenilor seriei

În exemplul luat avem:

locuinţe

Interpretare: în medie, dacă numărul de locuinţe terminate scădea subformă liniară pe seama unor cauze cu influenţă constantă pe toată perioada,atunci an de an, ar fi trebuit să scădă cu aproape 179 locuinţe.

Limitele acestui indicator: după cum se vede din formula de calcul, sporulmediu ia în considerare numai termenii extremi ai seriei ( şi ),ignorând ceilalţi termeni.

Din acest motiv, sporul mediu are sens economic numai în măsura în careîntre sporurile cu baza în lanţ, nu există variaţie mare şi prezintă aceeaşitendinţă (de creştere sau de scădere) pe toată perioada studiată.Altfel, prin compensarea abaterilor în plus şi minus din interiorul seriei se vaestompa neomogenitatea datelor prezentate.

Dacă în interiorul seriei se întâlnesc tendinţe opuse, care pe graficcorespund unei schimbări de forma unei parabole de gradul doi, cu un punctmaxim sau minim, atunci seria trebuie să se dividă în 2 părţi, conform celor 2tendinte opuse, iar indicatorii medii se vor calcula separat.

c) Indicele mediu de creştere trebuie să arate de câte ori trebuie săcrească an de an fenomenul cercetat, dacă el ar fi crescut de forma uneiprogresii geometrice a cărei raţie să exprime influenţa constantă a factoriloresenţiali pe întreaga perioadă.

∆( )

∆

∆i i 1–⁄

i 1=

n

∑n

-------------------------=

∆

∆i i 1–⁄

i 1=

n

∑n 1–

-------------------------yn y0–n 1–

----------------= =

∆ 894–5

------------ 178 8,–= =

y0 yn


227

Se calculează ca o medie geometrică simplă a indicilor cu baza în lanţ.

unde n = numărul indicilor cu bază în lanţ

sau:

unde n = numărul termenilor seriei

În exemplul luat avem: = 0,8905 sau = 89,05 %

În practică mai întâlnim situaţii în care dispunem de mai multi indici medii cecaracterizează mai multe perioade succesive de timp şi vrem să calculămindicele general pentru întreaga perioadă de timp.

În acest caz, vom calcula o medie geometrică ponderată a indicilor medii decreştere:

unde: =indicele mediu general de creştere; =indicii medii parţiali;=numărul indicilor cu baza în lanţ ce intră în componenţa fiecărui

indice mediu parţial;k = numărul subperioadelor, adică al indicilor medii parţiali.

d) Ritmul mediu de creştere al sporului arată cu cât a crescut sau ascăzut fenomenul respectiv în mărime relativă, pe perioada analizată, înmedie de la o unitate de timp la alta.

Aceasta se calculează conform relaţiei de trecere de la indice la ritm alsporului:

% - 100

I Ii i 1–⁄

i 1=

n

∏n=

Iyny0-----

i 1=

n

∏n 1–=

I 0 56,5= I

I I1

n1 I2

n2 I3

n3×× … Ik

nk××

nii 1=

k

∑=

IIni

R( )

R I=


228

12.4. PRELUCRAREA SERIILOR CRONOLOGICE DE MOMENTE

Se pot întâlni două situatii:a) SCR cu intervale egale între momentele seriei;b) SCR cu intervale neegale între momentele seriei;

a) SCR cu intervale egale între momentele seriei se prelucrează la fel caSCR de intervale, putem deci calcula indicatorii absoluti, relativi şi mediiprezentaţi anterior, cu excepţia nivelului mediu al seriei, care se calculeazăfolosind o formă specială de medie aritmetică, cunoscută în literatura despecialitate ca medie cronologica simplă :Schematic, seria ar arată: . . . .

unde: = termenii seriei cronologice care iau valori de la la = intervalele dintre momentele seriei care

pot lua valori de la la

În acest caz, = = = . . . . . =

În fiecare SCR de momente vom avea “n“ termeni şi “n-1“ intervale.

Se calculeaza medii aritmetice simple parţiale, apoi media cronologicăsimplă constă în calcularea mediei aritmetice generale, din mediile parţiale. Astfel:

= =

= =

=

ycr( )

t1 t2 t3 t4

y1 y2 y3 y4 y5

yi y1 yn

tit1 tn 1–

t1 t2 t3 tn 1–

ycr

y1 y2+2

----------------y2 y3+

2----------------

y3 y4+2

---------------- …yn 2– yn 1–+

2------------------------------

yn 1– yn+2

-----------------------+ + + + +

n 1–----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y1 2y2 2y3 2y4 … 2yn 2– 2yn 1– yn+ + + + + + +2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

n 1–---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y12----- y2 y3 y4 … yn 1–

yn2-----+ + + + + +

n 1–----------------------------------------------------------------------------------


229

Exemplu de calcul:

La o unitate comercială s-a efectuat inventarul stocurilor la urmatoarelemomente:1.10.2008 . . . . . . . . . . . 72 mii lei1.11.2008 . . . . . . . . . . . 85 mii lei1.12.2008 . . . . . . . . . . . 175 mii lei1.01.2009 . . . . . . . . . . . 27 mii leii

Care a fost stocul mediu lunar la această unitate comercială ?

Se observă că aceasta este o serie cronologică de momente, cu intervaleegale între momentele seriei. Considerând convenţional o lună = 30 zile,

= = = 30 zile.

Pentru a calcula stocul mediu lunar, vom aplica direct formula de calcul amediei cronologice simple:

Dacă am fi calculat media aritmetică simplă a celor 4 valori de stocînregistrate, rezultatul ar fi fost diferit:

mii lei

b) Media cronologică ponderată se aplica în cazul SCR de momente, cu intervale neegale.

În acest caz, când distanţele dintre momentele de timp la care se cunoscdatele sunt diferite, se calculează o medie aritmetică ponderată, calculată

din medii aritmetice parţiale. Rol de pondere joacă în acest caz “ “.

t1 t2 t3

ycr

y12----- y2 y3

y42-----+ + +

n 1–----------------------------------------

722------ 85 175 27

2------+ + +

4 1–---------------------------------------------- 309 5,

3-------------- 103 166667,= = ==

ycr 103,2 mii lei≅

y 72 85 175 27+ + +4

---------------------------------------------- 3594

--------- 89 75,= = =

t1t2 t3 t4 t5

y1 y2 y3 y4 y5 y6

t1 t2 t3 … tn 1–≠ ≠ ≠ ≠

ti


230

= =

= =

=

De reţinut că pentru SCR de momente cu intervale neegale, între dateleînregistrate, media cronologica ponderată este singurul indicator cecaracterizeaza seria. Ceilalţi indicatori nu se pot calcula ca un sistemcorelat, deoarece nu se îndeplineşte condiţia de uniformitate a periodicităţiicu care sunt prezentate datele seriei.

Exemplu de calcul:

Stocul de marfa existent la o unitate comerciala s-a înregistrat laurmatoarele momente:

1.07.2008 . . . . . . . . . . . 280 mii lei 1.08.2008 . . . . . . . . . . . 180 mii lei15.09.2008 . . . . . . . . . . . 215 mii lei10.11.2008 . . . . . . . . . . . 405 mii lei 1.01.2009 . . . . . . . . . . . 125 mii lei

Care a fost stocul mediu lunar din cel de-al doilea semestru al anului ?

Fiind intervale neegale, mai întâi stabilim mărimea intervalului în zile,considerând convenţional toate lunile egale cu 30 de zile.

= 30 zile

= 45 zile zile

= 55 zile

= 50 zile

ycr

y1 y2+

2------------------ t1×

y2 y3+

2------------------ t2×

y3 y4+

2------------------ t3× …

yn 2– yn 1–+

2------------------------------------ tn 2–×

yn 1– yn+

2--------------------------- tn 1–×+ + + + +

t1 t2 t3 … tn 1–+ + + +---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y1t1 y2t1 y2t2 y3t2 y3t3 y4t3 … yn 2– tn 2– yn 1– tn 2– yn 1– tn 1– yntn 1–+ + + + + + + + + +

tii 1=

n 1–

∑----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y1t12----⎝ ⎠⎛ ⎞ y2

t1 t2+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ y3

t2 t3+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ y4

t3 t4+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ … yn 1–

tn 2– tn 1–+

2----------------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞ yn

tn 1–2

-------------⎝ ⎠⎛ ⎞+ + + + + +

tii 1=

n 1–∑

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

t1

t2 tii 1=

n 1–

∑⇒ 180=

t3

t4


231

=

=

= 256 mii lei

12.5. DESCOMPUNEREA UNEI SERII CRONOLOGICE

Analiza statistica a SCR nu trebuie să se limiteze doar la calcularea şiinterpretarea indicatorilor care caracterizează seria. Dată fiindinterdependenţa termenilor seriei cronologice, indicatorii calculaţi pot să nefolosească pentru calcule de tendinţă. Pentru aceasta se trece laextrapolarea SCR, adică la obţinerea unor valori ce prelungesc seria dincolode limitele pentru care dispunem de date empirice (din observare).

Având o SCR, se va efectua graficul, constatând astfel existenţa unorabateri de la tendinţa centrală a fenomenului studiat. Tendinţa centralăsintetizează influenţa factorilor esenţiali dar, pe lângă aceştia, fenomeneledin natură şi societate mai sunt influenţate şi de factori întâmplători,ocazionali, care fac ca pe grafic să apară acele perturbaţii, abateri de latendinţa centrală a fenomenului. Din acest motiv, când se studiază o SCR,trebuie ca aceasta să fie descompusă în principalele tipuri de mişcări careapar.

O serie tipică poate fi compusă în general din:- tendinţa centrala de dezvoltare pe o durată mai lungă, care marcheazădirecţia fundamentală a mişcării (numită trend);- oscilaţii sezoniere (ciclice) create de factori naturali (anotimpuri) sau defactori sociali (sărbatori religioase, concedii, etc.), care sunt de scurtă duratăşi crează fluctuaţii de tip sinusoidal în jurul trendului;- oscilaţii întâmplătoare (reziduale), care apar ca rezultat al unor factoriîntâmplători (calamităţi naturale, măsuri exceptionale cu caracter economic,politic, administrativ, etc.).

ycr

y1t12----⎝ ⎠⎛ ⎞ y2

t1 t2+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ y3

t2 t3+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ y4

t3 t4+

2----------------⎝ ⎠⎛ ⎞ … yn 1–

tn 2– tn 1–+

2----------------------------------⎝ ⎠⎛ ⎞ yn

tn 1–2

-------------⎝ ⎠⎛ ⎞+ + + + + +

tii 1=

n 1–

∑----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

280 30

2------⋅ 180 30 45+

2------------------⋅ 215 45 55+

2------------------⋅ 405 55 50+

2------------------⋅ 125 50

2------⋅+ + + +

180----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 46087 5,

180---------------------=


232

12.5.1. Ajustarea SCR

Statistica, prin metodele sale specifice, trebuie să studieze care estetendinţa de dezvoltare a fenomenelor, cunoscută în literatura despecialitate şi sub denumirea de trend, iar prin ajustare, să se încercesepararea influenţei factorilor esenţiali, cu acţiune sistematică, de acţiuneafactorilor accidentali, care fac ca între termenii empirici şi cei teoretici săexiste abateri.

În sensul cel mai larg, prin ajustarea termenilor unei serii de date statisticese înţelege operaţia de înlocuire a termenilor reali cu termeni teoretici, caresă exprime legitatea specifică de dezvoltare obiectivă a fenomenelor la carese referă datele.

În cazul ajustarii SCR, dispersia totală ( ), care sintetizează mărimeamedie a variaţiei produsă de influenţa tuturor factorilor se descompune în:dispersia calculată pe baza variaţiei termenilor reali de la valorile ajustate în

funcţie de timp ( ), plus dispersia calculată pe baza variaţiei acestor

valori ajustate de la media termenilor reali ai seriei cronologice ( ).

Matematic, acesta se poate scrie astfel:

unde: = dispersia totală, iar

= dispersia termenilor seriei de la valorile ajustate, care sintetizează influenţa factorilor reziduali (toţi factorii în afară de factorul timp),

iar .

= dispersia valorilor ajustate de la valoarea medie, care sintetizează variaţia produsă numai ca influenţă a factorului timp,

iar ;

σy2

σy z⁄2

σy t⁄2

σy2

σy z⁄2

σy t⁄2

+=

σy2

σy2 Σ yi y–( )2

n------------------------=

σy z⁄2

σy z⁄2 Σ yi Yi–( )2

n--------------------------=

σy t⁄2

σy t⁄2

Σ Yi y–( )2

n-------------------------=


233

Notă

S-a notat cu : = termenii empirici (din observare) ai SCR

= media termenilor SCR

= termenii teoretici (ajustaţi) ai SCR obţinuti în urma unui procedeu

de ajustare aplicate seriei empiricen = numărul de termeni ai SCR

Valorile teoretice (ajustate) în funcţie de timp se pot stabili folosind maimulte procedee de calcul. Condiţia esenţială a aplicării corecte a unuiprocedeu sau altul de ajustare este că numărul termenilor seriei să fiesuficient de mare pentru a intra în câmpul de acţiune al legii numerelor mari,asigurând astfel o compensare reală a abaterilor întâmplătoare.

Cele mai des folosite sunt urmatoarele metode de ajustare:1. Ajustarea prin metoda mediilor mobile;2. Ajustarea prin metoda grafica;3. Ajustarea prin metoda sporului mediu;4. Ajustarea prin metoda indicelui mediu de creştere;5. Ajustarea prin metode analitice de calcul bazate pe procedeul celor

mai mici pătrate.

12.5.1.1. Ajustarea prin metoda mediilor mobile

Acest procedeu se foloseşte de obicei acolo unde variaţia termenilor uneiserii dinamice prezintă un aspect de regularitate ciclică (oscilaţie sezonieră).Prin calcularea mediilor mobile se înlătură această variaţie ciclică şi seprezintă seria de date cu o variaţie continuă, lină.

Mediile mobile sunt medii parţiale, calculate dintr-un număr prestabilit determeni, în care se înlocuieşte pe rând primul termen cu termenul ceurmează în seria care trebuie să fie ajustată. De aici provine şi denumireade medii glisante sau alunecoase. alunecătoare.

Spre exemplu, dacă consideram teoretic o serie formată din 8 termeni notaţicu , care urmează să fie ajustaţi prin procedeul mediilor mobile ( )calculate din 3 termeni, vom avea:

yi

y

Yi

yi yi


234

Mediile mobile din 3 termeni se vor calcula ca medii aritmetice simple:

, , , . . . , s.a.m.d.

Prima medie mobila se va plasa pe grafic în dreptul celui de-al doileatermen real, cea de-a doua medie mobilă se va plasa în dreptul celui de-altreilea termen real, .. ş.a.m.d.

Se observa că prin ajustarea acestuia s-au pierdut 2 termeni ai seriei(termenii extremi).

În general, se obţin atâtea medii mobile câţi termeni are seria, mai puţin cunumărul termenilor din care s-au calculat mediile mobile, micşorat cu ounitate.

Dacă notam cu:

n = nr. termenilor reali (empirici) ai seriei;n’ = nr. termenilor din care s-a alcătuit media mobilăN = nr. mediilor mobile sau al termenilor teoretici obţinuţi în urma procesului de ajustare aplicat seriei de date.

În acest caz, N = n - (n’ - 1). În exemplul luat, seria a avut 8 termeni reali şi 6termeni teoretici, rezultaţi [ N = 8- (3-1) = 6]

Ajustarea cu ajutorul mediilor mobile calculate dintr-un număr impar determeni nu ridică probleme deosebite, deoarece fiecare medie mobilacalculată se va plasa pe grafic în dreptul unui termen real al seriei şi carecorespunde cu termenul ce are o poziţie centrală.

Dacă vom calcula însă medii mobile dintr-un număr par de termeni, atuncifiecare medie mobilă se va plasa la mijlocul termenilor, deci între 2 termenicentrali. În aceste conditii, pentru a putea face ajustarea termenilor se vorcalcula medii mobile iniţiale, dintr-un număr de termeni dorit (spre exempludin 4 termeni), apoi procedeul de ajustare se mai repetă odată, calculând încontinuare medii mobile din câte 2 termeni ai seriei ajustate în prima etapă.

Valori empirice

Valori ajustate

yi y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

yi – y1 y2 y3 y4 y5 y6 –

y1y1 y2 y3+ +

3----------------------------= y2

y2 y3 y4+ +3

----------------------------= y3y3 y4 y5+ +

3----------------------------=

y1


235

În felul acesta mediile mobile calculate în a doua etapă de ajustare se vorplasa pe grafic în dreptul unui termen real al seriei. Primele medii mobile se vor numi medii mobile provizorii ( ), iar celecalculate în a doua etapă se vor numi medii mobile definitive sau centrate

( ), datorită faptului că se centrează în dreptul unuia din termenii reali aiseriei de date.

Schematic, ajustarea unei serii din 8 termeni cu ajutorul mediilor mobilecalculate din 4 termeni ar arată astfel:

N = 8 - (4 - 1) = 5, deci în prima etapă s-au obţinut 5 medii mobile provizorii;N = 5 - (2 - 1) = 4, iar în a doua etapă s-au obţinut 4 medii mobile definitive.

Cu alte cuvinte, ajustând o serie din 8 termeni prin procedeul mediilor mobileformate din 4 termeni s-au pierdut 4 termeni ai seriei iniţiale.

Stabilirea numărului de termeni din care alcătuim mediile mobile estearbitrară şi, cu cât vom alege mai mulţi termeni, cu atât vom reduce numărulvalorilor ajustate pe baza cărora urmează să se traseze pe grafic liniatrendului.

Un inconvenient al mediilor mobile, în afară de cel al pierderii informaţiiloroferite de termenii extremi ai seriei este că ele nu se potrivesc decât pentruserii suficient de lungi. Ele însă se folosesc cu succes în special în cazulseriilor care prezintă mişcări oscilatorii cu perioade constante (oscilaţiisezoniere): spre exemplu: dacă oscilaţia (ciclul) se repetă după 4 luni, seajustează cu ajutorul mediilor mobile calculate din 4 termeni, iar dacăoscilaţia se repetă dupa 12 luni, an de an alura graficului având aceeaşievoluţie lunară, atunci se va folosi metoda mediilor mobile calculate din 12termeni.

Procedeul mediilor mobile este doar unul descriptiv, ajutător, dar nu duce laobţinerea de ecuaţii matematice ale trendului, deci nu se vor putea facepreviziuni.

yi

yi

Mediile mobile provizorii

Medii mobile centrate

Valori empirice

iy

iy

iy 1y 2y 4y 5y 6y 7y3y 8y

4y3y2y1y 5y

3y2y1y

4y


236

12.5.1.2. Ajustarea prin metoda grafică

Mai întâi se construieşte graficul seriei cu ajutorul cronogramei, apoi setrasează vizual linia de tendinţă care să ţină seama cel mai bine de aluradatelor empirice pe reţeaua graficului.

Linia sau curba se trasează cât mai aproape de majoritatea termenilor reali,astfel încât abaterile în plus şi cele în minus de la termenii reali la ceiteoretici să se compenseze reciproc.

Metoda grafică reprezintă un mijloc aproximativ de ajustare, care presupuneşi experienţă dar şi o percepere intuitivă a fenomenului.Ajustarea grafică ajută la alegerea procedeului analitic care trebuie alespentru estimarea tendinţei. În general, se acceptă ca cel mai bun mijloc deajustare, acel procedeu care, aplicat la seria de date empirice, permiteobţinerea unor termeni teoretici care să dea abateri minime de la valorilereale corespunzatoare.

12.5.1.3. Ajustarea pe baza sporului mediu de creştere

Această metodă se aplică atunci când, prelucrând seria de date se obţinsporuri individuale cu baza în lanţ, apropiate ca valoare unele de altele,având aceeaşi tendinţă (de creştere sau de scădere).

Aceasta corespunde unei creşteri a nivelurilor caracteristicii studiate subforma unei progresii aritmetice cu raţia egală cu sporul mediu .

Ajustarea prin această metodă se bazează pe relaţia care există între primultermen, sporurile cu baza în lant şi ultimul termen:

Dacă admitem că abaterile în plus şi minus ale sporurilor individuale faţă de

sunt minime şi se compensează reciproc, atunci putem înlocui

convenţional fiecare spor individual cu baza în lanţ cu şi vom obţine:

S-a obţinut astfel ecuaţia de ajustare prin metoda sporului mediu:

∆( )

yn y0 ∆ 1 0⁄ ∆ 2 1⁄ ∆ 3 2⁄ ∆ 4 3⁄ … ∆ n n 1–⁄+ + + + + +=

∆

∆

yn y0 ∆ ∆ ∆ ∆ … ∆+ + + + + + y0 n ∆⋅+= =

Ytiy0 ti ∆×±=


237

Pentru a afla un termen ajustat (teoretic) pe baza sporului mediu se va lua

termenul de bază, la care se va adauga , luat de un număr de unităţi detimp egale cu poziţia pe care termenul respectiv o are faţă de termenul alesca bază. De regulă, primul termen al seriei se consideră ca bază.

Dar pentru a mări gradul de precizie al ajustării se recomandă ca alegereabazei de ajustare să se facă după ajustarea vizuală, adică se va alege dingrafic acel termen care, prin poziţia sa, să se apropie cel mai bine de liniadreaptă teoretică ce uneşte cele 2 puncte extreme ale seriei. Se apreciazăcă în punctul respectiv s-a realizat cel mai bine relaţia de progresiearitmetică dintre primul termen, sporurile anuale cu baza în lanţ şi ultimultermen.

Reluând exemplul seriei dinamice privind locuintele terminate voiexemplifica ajustarea termenilor reali prin procedeul sporului mediu, precumşi prin celelalte procedee.

În tabelul următor voi considera anul 1995 ca an de bază al seriei şi voiefectua calculele ajutatoare pentru metoda de ajustare cu ajutorul sporuluimediu, precum şi cu ajutorul indicelui mediu de creştere.

se alege convenţional, ca distanţă în timp faţă de baza aleasă.

Sporul mediu s-a calculat anterior, = -178,8

Ecuaţia de ajustare pe baza sporului mediu va fi în acest caz:

∆

ANUL

1 2 3 4 5 6 7 8 91995 2031 0 2031 0 0 2031 0 01996 1625 1 1852 -227 51529 1808 -183 334891997 1571 2 1673 -102 10404 1609 -38 14441998 1395 3 1495 -100 10000 1432 -37 13691999 1286 4 1316 -30 900 1274 12 1442000 1137 5 1137 0 0 1134 3 9TOTAL 9045 9504 72833 9288 36455

iy itit

itY

×−

=

8,178

2031

itYiy − ( )2

itYiy −

( ) itit

Y

89,0

2031

×

=

itYiy − ( )2

itYiy −

ti

∆

Yti2031 178 8,( ) ti×–=


238

Vom obţine astfel: = 2031

= 2031 - 178,8 x 1 = 1852

= 2031 - 178,8 x 2 = 1673. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= 2031 - 178,8 x 5 = 1137

Rezultatele sunt prezentate sintetic în tabel, reprezentând termenii teoretici(ajustaţi) prin metoda sporului mediu.

O primă verificare pentru a vedea dacă metoda de ajustare aplicată seriei dedate este cea potrivită se face comparând suma datelor reale cu suma celorteoretice, obţinute din ajustare. Cu cât cele două sume se apropie mai mult,metoda de ajustare este mai aproape de situaţia reală.

Fiind valori discrete s-au rotunjit valorile obţinute din ajustare. În exemplul defaţă, există o diferenţă semnificativă, între 9045 şi 9504, ceea ce ne indicăde la prima vedere că procedeul de ajustare aplicat nu se potriveşte serieide date, prin urmare nu da rezultate bune pentru eventuale estimări.

Pentru a vedea care metodă dă rezultatele cele mai bune se poate calculacoeficientul de variaţie ( ) cu ajutorul abaterii medii patratice dintre termeniireali şi cei teoretici şi care metoda de ajustare dă cel mai mic coeficient devariaţie, pentru acea metoda se va opta.

Astfel, în cazul de faţă:

%

În afară de termenii extremi ai seriei, ceilalţi termeni teoretici seîndepărtează mult de la termenii reali datorită neomogenităţii sporurilor cubaza în lanţ, care este de altfel o condiţie pentru aplicarea corectă ametodei.

Y1995

Y1996

Y1997

Y2000

v

σ2 Σ yi Yti–( )2

n--------------------------- 72833

6--------------- 12138 8,= = =

σ 12138 8, 110 17,= =

v σy--- 100× 110 17,

1507 5,------------------ 100× 7 3,= = =


239

În cazul în care ajustarea prin această metodă ar fi dat rezultate bune,puteam face estimări pe termen scurt, dând valori în continuare lui . Astfel,dacă vom considera că numărul de locuinţe terminate în urmatorii 2 ani vaurma aceeaşi tendinţa de scădere medie constantă în perioada 1995 - 2000,vom extrapola seria de date:

= 2031 - 178,8 x 6 = 958 locuinte

= 2031 - 178,8 x 7 = 779 locuinte

12.5.1.4. Ajustarea pe baza indicelui mediu de creştere

Această metodă se foloseşte atunci când termenii seriei au o tendinţa decreştere sau de scădere sub forma unei progresii geometrice, în care raţiapoate fi considerată ca egală cu indicele mediu ( ). Această ajustare sebazează pe relaţia dintre primul termen, indicii cu baza în lanţ şi ultimultermen din serie.

Astfel, putem scrie:

Înlocuind fiecare indice cu baza în lanţ cu , după acelaşi raţionament ca lametoda sporului mediu, vom obţine:

Astfel, ecuaţia de ajustare pe baza indicelui mediu va fi:

În cazul exemplului dat, rezultatele s-au prezentat în tabel. Se observa căsuma termenilor teoretici obţinuti în urma aplicării acestei metode este puţinmai apropiată decât în cazul cele obţinute dupa metoda sporului mediu. Prinurmare şi coeficientul de variaţie va fi mai mic.

ti

Y2001

Y2002

I

yn y0 I1 0⁄× I2 1⁄ I3 2⁄×× I4 3⁄× … In n 1–⁄××=

I

yn y0 I× I I× I …× I××× y0 I×ti±

= =

Ytiy0 I×

ti±=

σ2 Σ yi Yti–( )2

n--------------------------- 36455

6--------------- 6075 8,= = =


240

%

Dacă se consideră că metoda de ajustare folosită da rezultate bune şi sepoate folosi în estimări, se trece la extrapolarea tendinţei, dând valori lui încontinuare, ca şi în cazul metodei sporului mediu.

Atât ajustarea pe bază de , cât şi pe baza se fac având la bază doar 2termeni ai seriei cronologice, primul şi ultimul, motiv pentru care ambele aucaracter mecanic, rigid şi pot oferi informatii utile numai dacă ipoteza pe carese bazează: omogenitatea modificărilor absolute, respectiv a celor relativecu baza în lanţ este îndeplinită.

Cu această condiţie se pot admite calcule de interpolare, respectiv deextrapolare a termenilor seriei cu ajutorul acestor metode.

12.5.1.5. Ajustarea pe baza metodelor analitice

Această metodă are la bază un model matematic iar aproximarea termenilorse face pe baza unei funcţii care corespunde tendinţei reale a fenomenelor.Spre deosebire de ajustarea mecanică, ajustarea analitică ţine seama de toţitermenii seriei.

În cazul SCR, tendinţa centrală a evoluţiei se exprimă ca o funcţie de timp:

, unde: = valorile variabilei independente (timpul);

= valorile variabilei dependente (termenii SCR).

Alegerea funcţiei care corespunde cel mai bine formei reale de evoluţie afenomenelor se face pe baza unei analize atente a graficului.

Trendul, se stabileşte utilizând metoda celor mai mici patrate, care

constă în aproximarea termenilor empirici ai seriei în aşa fel încât sumapătratelor abaterilor dintre termenii empirici şi valorile teoretice să fieminime. Matematic aceasta se scrie ca:

= minim

σ 6075 8, 77 9,= =

v σy--- 100× 77 9,

1507 5,------------------ 100× 5 2,= = =

ti

∆ I

ytif ti( )= ti

yi

Yti

S ytiYti

–( )2∑=


241

În cazul tendinţei liniare vom avea ecuaţia:

, iar condiţia va fi:

= minim

Pentru aflarea celor doi parametri a şi b care definesc ecuaţia liniei drepte,se derivează această suma în raport cu derivatele parţiale ale celor 2parametri:

Anulând derivatele parţiale şi simplificând cu 2 se obţine:

Sistemul de ecuaţii normale necesar rezolvării ecuaţiei se poate obţine cuusurinţă dacă se înmulteşte ecuaţia dreptei, pe rând, cu coeficientii celor 2parametri “a“ şi “b“ şi se însumează ecuaţiile astfel obţinute pentru toateunităţile la care s-a facut observarea scoţându-se ca factori “a“ şi “b“.

În exemplul pe care l-am luat (constructiile de locuinte în judetul Bacău înperioada (1995 - 2000) vom avea:

Prima ecuaţie o vom obţine însumând toate cele 6 ecuatii, dupa ce fiecare afost înmulţită cu coeficientul parametrului “a“ (în acest caz, egal cu 1):

ytia b ti⋅+=

yi a b+ ti⋅( )–[ ]2∑

S∂a∂

----- 2 yi a b+ ti⋅( )–[ ] 1–( )⋅∑=

S∂b∂

----- 2 yi a b+ ti⋅( )–[ ] ti–( )⋅∑=

n a b ti yi∑=∑⋅+⋅

n ti∑ b ti2 tiyi∑=∑⋅+⋅

⎩⎪⎨⎪⎧

Ytia b ti⋅+=

y1 a b t1⋅+=

y2 a b t2⋅+=

………………y6 a b t6⋅+=

yi

i 1=

6

∑ 6 a b tii 1=

6

∑+⋅=


242

A doua ecuaţie o vom obţine însumând toate cele 6 ecuaţii, după ce înprealabil le-am înmulţit pe fiecare cu coeficientul parametrului “b“( în acest

caz egal cu “ “).

Obţinem astfel urmatorul sistem general:

Cum “ “se va alege arbitrar, în funcţie de distanţa în timp faţă de baza pecare o alegem, putem simplifica calculele mult dacă vom alege pe în aşa

fel încât = 0.

În cazul în care seria are un nr. impar de termeni vom alege ca bazătermenul central al seriei, pentru ceilalţi dinainte luând valori cu minus

(-1; -2; -3; s.a.m.d.), iar pentru termenii de după luând valori pozitive:(+1; +2; +3; s.a.m.d.).

În cazul seriei cu nr. par de termeni, cei doi termeni centrali vor lua valorile -1 şi respectiv +1, urmând ca în continuare să primească valori din doi în doi.Aceasta, pentru a nu lucra cu zecimale şi a complica calculele (.. . -2,5; -1,5; -0,5; +0,5; +1,5; +2,5; . .. . ) sau ( ...-5; -3; -1; +1; +3; +5 ...).

ti

y1 t1⋅ a t1⋅ b t12⋅+=

y2 t2⋅ a t2⋅ b t22⋅+=

……………………

yn tn⋅ a tn⋅ b tn2⋅+=

yi ti⋅

i 1=

n

∑ a tii 1=

n

∑ b ti2

i 1=

n

∑+=

yi

i 1=

n

∑ n a b tii 1=

n

∑+⋅=

yi ti⋅

i 1=

n

∑ a tii 1=

n

∑ b ti2

i 1=

n

∑+=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

titi

tii 1=

n

∑

y0( ) tiy0( )


243

În exemplul considerat voi opta pentru alegerea lui în aşa fel încât

= 0.

Calculele sunt prezentate în tabel.

În cazul acesta sistemul se simplifică şi devine:

Cu alte cuvinte, parametrul “a“ este însăşi media aritmetică calculată pentrutermenii seriei cronologice.

Se fac în tabel toate calculele ajutatoare necesare rezolvării sistemului, caredevine:

Parametrul “b“ mai este numit şi coeficient de regresie, pe baza acestuiafacându-se interpretarea.

ti

tii 1=

n

∑

Anul

1995 2031 -5 25 -10155 1912.0 119.0 14161.01996 1625 -3 9 -4875 1750.2 -125.2 15675.01997 1571 -1 1 -1571 1588.4 -17.4 302.81998 1395 1 1 1395 1426.6 -31.6 998.61999 1286 3 9 3858 1264.8 21.2 449.42000 1137 5 25 5685 1103.0 34.0 1156.0

iy it 2it ii ty ×

it9,80

5,1507itY

×

=( )2

iti Yy −iti Yy −

yi

i 1=

n

∑ n a⋅=

yi ti⋅

i 1=

n

∑ b ti2

i 1=

n

∑=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

⇒

a

yi

i 1=

n

∑n

-------------=

b

yi ti⋅

i 1=

n

∑

ti2

i 1=

n

∑

---------------------=

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

9045 6 a⋅=5663– 70 b⋅=⎩

⎨⎧ a 1507 5,=

b 80 9,–=⎩⎨⎧

⇒


244

De asemenea, dacă semnul lui “b“ este “+“, indică o tendinţa de creştere afenomenului, iar dacă este cu “ - “ indică o tendinţă reală de scădere afenomenului, ceea ce se poate sesiza şi de pe grafic. În exemplul luat, atât semnul lui “b“ cât şi de pe grafic indică tendinţa descădere. Astfel, dacă dorim să facem estimări pe termen scurt, considerândcă se va merge în continuare cu aceeaşi tendinţă, vom avea:

- pentru anul 2001: = 1507,5 - 80,9 x 7 = 941- pentru anul 2002: = 1507,5 - 80,9 x 9 = 779

Deci, pe baza ecuaţiei de tendinţă gasită se va da în continuare valori lui “ ,după aceeaşi regulă folosită pentru estimarea trendului.Verificarea calculării ecuaţiei de tendinţă se face pe baza relaţiei:

Această modalitate de verificare se bazeaza pe faptul că prin ajustare s-auredistribuit influenţele factorilor, considerându-se că toţi au avut o influenţăconstantă pe toată perioada şi variabil a fost doar timpul.În cazul exemplului, sumele s-au verificat (9045 = 9045).

12.5.2. Criterii de alegere a celui mai bun procedeu de ajustare

După cum s-a observat, folosind mai multe procedee de ajustare a seriei s-au obţinut mai multe valori teoretice pentru acelaşi an. Prin urmare, trebuiesă alegem cel mai bun model matematic pentru estimarea trendului.

Cele mai cunoscute procedee şi cele mai frecvent folosite sunt:a) Se calculează abaterile dintre termenii empirici şi cei teoretici, apoi seface suma luându-se datele in modul. Se consideră cel mai bun procedeu deajustare acela la care = minim.

b) Un procedeu mai obiectiv de apreciere a modelului ales pentru ajustareeste acela al calculării coeficientului de variaţie ca raport între abatereamedie liniara sau pătratică de la valorile ajustate şi nivelul mediu altermenilor seriei empirice:

sau

Y2001

Y2001

ti

Yti∑ yi∑=

yi Yti–∑

v( )

dyi Yti

–∑n

------------------------- v⇒ dy--- 100×= = σ

yi Yti–( )2∑n

------------------------------ v⇒ σy--- 100×= =


245

Se apreciază că cel mai bun procedeu de ajustare este acela care are celmai mic coeficient de variaţie. În exemplul cifric considerat, la metodaanalitică (a dreptei), coeficientul de variaţie calculat pe baza abaterii mediipatratice va fi:

%

12.5.3. Măsurarea oscilaţiei sezoniere în cazul SCR

În manifestarea lor concretă, unele fenomene sunt influenţate pe lângăcauze esenţiale şi întâmplătoare şi de unii factori cu caracter sezonier. Astfelde fenomene care prezintă variaţii mari cu caracter de regularitate legate înspecial de modificarea anotimpurilor se întâlnesc în multe activităţi aleeconomiei naţionale (exemplu: agricultura, transporturi maritime şi fluviale,circulaţia mărfurilor).

În vederea măsurării oscilaţiilor sezoniere, statistica calculează indicatoriisezonalităţii. Cele mai des întâlnite metode sunt:

a) Metoda mediei aritmetice;b) Metoda mediilor mobile.

Voi prezenta cele doua metode pe urmatorul exemplu:

Considerăm urmatoarele date convenţionale cu privire la vânzările fizice aleunei societăţi direct producătoare: - mii hectolitri -

σ 32742 8,6

--------------------- 73 117,= =

v 73 117,1507 5,------------------ 100× 4 9,= =

Trimestrul 2006 2007 2008Sume pentru

medii partiale

Medii partiale (trimestriale)

Indicatorii sezonalitatii

I 35 38 53 126 42,0 70,0II 67 75 80 222 74,0 123,3III 70 78 81 229 76,3 127,2IV 43 48 52 143 47,7 79,4

TOTAL 215 239 266 720 60,0 400,0

iy 1000×=

yiy

i


246

Caracterul sezonier al desfacerii produsului sere rezultă atât din dateleexemplului cât şi din reprezentarea grafică a SCR.

Se observă că perioada de vârf a desfacerii de bere se înregistreaza în toţianii în trimestrele II şi III, iar în trimestrul IV (anotimpul rece), consumulacestui produs scăde, prin urmare şi vânzarea.Din grafic, rezultă atât oscilaţia sezonieră a desfacerilor de bere influentatăde anotimp, dar şi o creştere an de an a fenomenului.

a) Calculul indicilor de sezonalitate cu ajutorul metodei medieiaritmetice

Aceasta presupune determinarea prealabila a mediilor parţiale pe fiecaretrimestru în parte, iar apoi a mediei generale. În primul tabel au fostefectuate toate calculele pentru determinarea indicilor de sezonalitate pentruexemplul considerat, cu ajutorul acestei metode. Mediile parţiale trimestriales-au calculat ca medii aritmetice simple din datele pentru cei 3 ani,corespunzătoare pentru fiecare trimestru în parte.

Spre exemplu, pentru trimestrul I, media s-a calculat ca:

mii litri bere.

În dreptul rândului de “Total“ al coloanei de “Medii trimestriale“ s-a calculatmedia anuală trimestrială (media generală).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90I -

199

8

II - 1

998

III -

1998

IV -

1998

I - 1

999

II - 1

999

III -

1999

IV -

1999

I - 2

000

II - 2

000

III -

2000

IV -

2000

Trim estre/ani

Prod

uctia

de

bere

yi - Termenii realiYi - Termenii teoretici, ajustati cu ajutorul mediilor mobileMedia lunara anuala (60 mii litri)

mii hl.

yI35 38 53+ +

3------------------------------ 42 0,= =


247

Aceasta se calculeaza fie ca sumă a termenilor seriei şi împărţind la 12, fieca medie calculată din cele 4 medii parţiale trimestriale.

=

(media generala)

sau

În final se calculează indicatorii sezonalităţii, împărţind fiecare medietrimestrială la media generală.

sau

Suma indicatorilor sezonalităţii va fi întotdeauna egală cu produsul dintrenumărul indicatorilor şi 100 dacă indicii au fost exprimaţi în procente. Înexemplul nostru această sumă este 400, având 4 indici ai sezonalităţii.

Indicatorul mediu general calculat pe baza indicatorilor parţiali trimestriali aisezonalităţii este egal în procente cu 100 şi arată consumul uniform alprodusului în cursul perioadei cercetate.

În exemplul de faţă, consumul mediu trimestrial exprimat în cifre absoluteeste de 60 mii litri bere şi este trasat pe grafic ca o linie paralelă cu abcisa.

Dacă consumul, respectiv desfacerea de bere nu ar fi fost influentat defactori sezonieri şi ar fi fost uniformă pe toată perioada, atunci acesta ar fifost în fiecare trimestru egal cu 60 mii litri bere.

Fiecare indice de sezonalitate semnifică faptul că întreg orizontul de timp,factorul sezonier abate valoarea reală a desfacerii de bere de la trend, deatâtea ori sau cu atâtea procente în plus sau minus.

Spre exemplu, în cazul nostru, în trimestrul I consumul mediu este mai miccu -30% faţă de trendul general, în timp ce consumul maxim seînregistrează în trimestrul III, de 1,272 ori mai mare sau cu +27,2% pestemedia generală trimestrială. Dacă raportăm termenii reali ai seriei la indiciisezonalităţii vom obţine SCR corectată, prin excluderea sezonalităţii.

y035 67 70 43 38 75 78 48 53 80 81 52+ + + + + + + + + + +

12---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 60=

y042 74 76 3 47 7,+,+ +

4------------------------------------------------------- 60= =

iyi

y0-----= i (%)

yi

y0----- 100×=


248

Limite ale metodei: indicatorii sezonalităţii calculaţi prin această metodaprezintă dezavantajul că reflectă pe lângă variatiile sezoniere şi tendinţacontinuă de creştere a fenomenului.

Pentru a elimina influenţa modificării fenomenului de la an la an şi pentru aurmări numai oscilaţiile sezoniere pure, calculăm indicatorii prin metodamediilor mobile.

b) Calcularea indicilor de sezonalitate cu ajutorul metodei mediilormobile

Se calculeaza mai întâi medii mobile dintr-un număr par de termeni, apoi secalculează mai departe medii mobile centrate, pentru a se plasa în dreptulunui termen iniţial al seriei.

Mediile mobile centrate manifestă o tendinţă continuă de creştere şi ascundoscilaţiile sezoniere (a se vedea reprezentarea grafică a termenilor teoreticiîn cazul exemplului considerat). Pentru a releva influenţa variaţiei sezoniereşi pentru a elimina creşterea an de an a fenomenului, se face raportul dintretermenii empirici (iniţiali) ai seriei şi termenii teoretici corespunzători din

seria ajustată, adică .yiYi----

Anul TrimestrulDesfacerea

de bere (mii litri)

Medii mobile din 4 termeni

(provizorii)


(definitive)

I 35

II 6753,75

III 70 54,125 1,2933054,50

IV 43 55,500 0,7747756,50

I 38 57,500 0,6608758,50

II 75 59,125 1,2685059,75

III 78 61,625 1,2657263,50

IV 48 64,125 0,7485464,75

I 53 65,125 0,8138265,50

II 80 66,000 1,2121266,50

III 81

IV 52

2008

2006

2007

i

i

Yy


249

Pentru exemplul considerat, raportul s-a efectuat în ultima coloană atabelului.

Acelaşi lucru se poate face şi apelând la o altă metoda analitica de ajustare.În continuare, indicatorii sezonalităţii se determina prin aceleaşi operaţii ca şiindicatorii sezonalităţii calculaţi prin metoda mediei aritmetice.

Cunoaşterea gradului de sezonalitate şi măsurarea variaţiei sezoniereprezintă o deosebită importanţă, stând la baza fundamentării planului deforţă de muncă pentru luarea unor decizii cu caracter organizatoric(asigurarea transportului, înmagazinării unor produse cu caracter sezonier).

Trimestrul 2006 2007 2008Sume pentru medii partiale

Medii partiale (trimestriale)

Indicatorii sezonalitatii

(%)I 0,660870 0,813820 1,474689 0,73734 73,4II 1,268499 1,212121 2,480620 1,24031 123,5III 1,293303 1,265720 2,559023 1,27951 127,4IV 0,774775 0,748538 1,523313 0,76166 75,8

TOTAL 2,068077 3,943627 2,025941 8,037645 1,00471 400,0


250

12.6. APLICAŢIE

Cunoaştem evoluţia numărului de căsătorii încheiate în judetul Bacău pefiecare lună din anii 1996 si 1997. Să se calculeze şi să se interpretezeindicatorii acestei serii.

Spor absolut Spor absolutbaza fixa baza lant

ianuarie - 1996 - 309 0februarie 477 168 168martie 129 -180 -348aprilie 324 15 195mai 495 186 171iunie 440 131 -55iulie 533 224 93august 522 213 -11septembrie 444 135 -78octombrie 708 399 264noiembrie 530 221 -178decembrie 212 -97 -318ianuarie - 1997 - 286 -23 74februarie 400 91 114martie 264 -45 -136aprilie 185 -124 -79mai 570 261 385iunie 417 108 -153iulie 503 194 86august 586 277 83septembrie 411 102 -175octombrie 661 352 250noiembrie 512 203 -149decembrie 176 -133 -336TOTAL 10094 -133

Luna Nr.casatorii


251

Calculele s-au efectuat în tabele.

Fiind o serie cronologică de intervale, media seriei se va calcula ca o mediearitmetică simpla:

nr. mediu lunar de casătorii = = 420,6

n = numărul termenilor seriei = 24

sporul mediu lunar de casătorii= = -5,78

n’ = numărul sporurilor cu baza în lant = 23

Indice cres tere

Ritm cres tere a s porului

R itm cres tere a s porului

baza fixa - % -

baza fixa - % -

baza lant - % -

ianuarie - 1996 - 100,0 0,0februarie 154,4 54,4 54,4m artie 41,7 27,0 -58,3 -73,0aprilie 104,9 251,2 4,9 151,2m ai 160,2 152,8 60,2 52,8iunie 142,4 88,9 42,4 -11,1iulie 172,5 121,1 72,5 21,1augus t 168,9 97,9 68,9 -2,1s eptem brie 143,7 85,1 43,7 -14,9octom brie 229,1 159,5 129,1 59,5noiem brie 171,5 74,9 71,5 -25,1decem brie 68,6 40,0 -31,4 -60,0ianuarie - 1997 - 92,6 134,9 -7,4 34,9februarie 129,4 139,9 29,4 39,9m artie 85,4 66,0 -14,6 -34,0aprilie 59,9 70,1 -40,1 -29,9m ai 184,5 308,1 84,5 208,1iunie 135,0 73,2 35,0 -26,8iulie 162,8 120,6 62,8 20,6augus t 189,6 116,5 89,6 16,5s eptem brie 133,0 70,1 33,0 -29,9octom brie 213,9 160,8 113,9 60,8noiem brie 165,7 77,5 65,7 -22,5decem brie 57,0 34,4 -43,0 -65,6TOTAL 57,0

Luna

Indice cres terebaza lant

- % -

154,4

Yi∑n

----------- 1009424

---------------=

∆i i 1–⁄∑n′

-----------------------Yn Y0–n 1–

----------------- 176 309–24 1–

------------------------= =


252

Ritmul mediu lunar de scădere a sporului = indice mediu lunar - 100 = = 97,58 - 100 = -2,42%

Rezultă că în perioada celor doi ani, numărul mediu lunar de casătorii a fostde aproape 421, în medie rezultând o scădere luna de luna cu aproape 6casătorii (5,78), respectiv o reducere a numărului acestora în medie cu2,42% lunar .

Analizăm pe baza graficului cronograma: evoluţia casătoriilor pe luni înperioada celor doi ani:

Din grafic se observă că cel mai mic număr de casătorii este în luna martie,cel mai ridicat fiind în octombrie. Se observă de asemenea repetarea aliuriigraficului cu o anumită regularitate de la un an la altul precum şi tendinţa dereducere, chiar dacă mică, a numărului de casătorii fapt confirmat şi prinvaloarea negativă a sporului mediu şi a indicelui mediu.

′m 1–∏n′YnY0-----n′

176309---------23 0 56957928802,23 = = = = =

Indicele mediude crestere

lunar

0 9758, 97 58 %,= =

Evolutia nr. de casatorii in judetul Bacau pe luniin 1996-1997

0

100

200

300

400

500

600

700

800

ianu

arie

-

1996

-

febr

uarie

mar

tie

april

ie

mai

iuni

e

iulie

augu

st

sept

embr

ie

octo

mbr

ie

noie

mbr

ie

dece

mbr

ie

ianu

arie

- 1

997

-

febr

uarie

mar

tie

april

ie

mai

iuni

e

iulie

augu

st

sept

embr

ie

octo

mbr

ie

noie

mbr

ie

dece

mbr

ie

timpul

nr. d

e ca

sato

rii


253

Extrapolarea tendintei numărului de casătorii cu ajutorul sporului mediu:

În tabelul de mai sus s-a efectuat ajustarea mai întâi prin metoda sporuluimediu, folosind ca bază ianuarie 1996 apoi s-a utilizat metoda de ajustareanalitică bazată pe ecuaţia dreptei alegând cei doi termeni centrali ca bazăpentru a simplifica calculele respectiv pentru ca suma de = 0.

Comparând suma din = 10094 cu suma din = 5820.72, se observă o

foarte mare diferenţă între valorile reale şi cele ajustate prin metodasporului mediu, un prim indiciu că metoda de ajustare folosită nu dărezultate bune în acest caz.

De fapt acest lucru se putea observa de la început, metoda neputând fiaplicată în previziune din cauză că între sporurile cu baza în lanţ există mari

Spor absolut

Spor absolut

Indice crestere

Indice crestere

Ritm crestere a sporului

Ritm crestere a sporului

baza fixa

baza lant

baza fixa - % -

baza lant - % -

baza fixa - % -

baza lant - % -

ianuarie -1996 309 0 100,0 0,0februarie 477 168 168 154,4 154,4 54,4 54,4 3,09martie 129 -180 -348 41,7 27,0 -58,3 -73,0 4,77aprilie 324 15 195 104,9 251,2 4,9 151,2 1,29mai 495 186 171 160,2 152,8 60,2 52,8 3,24iunie 440 131 -55 142,4 88,9 42,4 -11,1 4,95iulie 533 224 93 172,5 121,1 72,5 21,1 4,4august 522 213 -11 168,9 97,9 68,9 -2,1 5,33septembrie 444 135 -78 143,7 85,1 43,7 -14,9 5,22octombrie 708 399 264 229,1 159,5 129,1 59,5 4,44noiembrie 530 221 -178 171,5 74,9 71,5 -25,1 7,08decembrie 212 -97 -318 68,6 40,0 -31,4 -60,0 5,3ianuarie - 1997 286 -23 74 92,6 134,9 -7,4 34,9 2,12februarie 400 91 114 129,4 139,9 29,4 39,9 2,86martie 264 -45 -136 85,4 66,0 -14,6 -34,0 4aprilie 185 -124 -79 59,9 70,1 -40,1 -29,9 2,64mai 570 261 385 184,5 308,1 84,5 208,1 1,85iunie 417 108 -153 135,0 73,2 35,0 -26,8 5,7iulie 503 194 86 162,8 120,6 62,8 20,6 4,17august 586 277 83 189,6 116,5 89,6 16,5 5,03septembrie 411 102 -175 133,0 70,1 33,0 -29,9 5,86octombrie 661 352 250 213,9 160,8 113,9 60,8 4,11noiembrie 512 203 -149 165,7 77,5 65,7 -22,5 6,61decembrie 176 -133 -336 57,0 34,4 -43,0 -65,6 5,12TOTAL 10094 -133 57,0

Luna Nr. casatorii

Valoarea absoluta a

1% din

1−iiR

ti

Yi Yti


254

diferente, acestea fiind şi cu semn “+” şi cu semn “ - “ , în concluzie, acesteanefiind omogene între ele, metoda nu poate fi folosită.Din acest motiv am efectuat tot în tabelul de mai sus ajustarea cu ajutorulecuaţiei dreptei:

punând condiţia: = minim sistemul:

cum în cazul nostru am ales = 0

a = media seriei = = 420,58

b = = 1,36

Ajustarea pe baza dreptei ne spune că tendinţa este de creştere, deşi mică,iar valorile ajustate după această ecuaţie au fost calculate în tabelul de maisus. Un prim indiciu că această metodă de ajustare este mai potrivită încazul de faţă, este dat de diferenţă foarte mica dintre suma valorilor reale= 10094 şi suma valorilor ajustate (teoretice ) = 10093,92

Pentru a demonstra că metoda este mai buna decât prima am calculat şicoeficientul de variaţie cu ajutorul abaterii medii patratice, acesta având ovaloare acceptată.

Calculele ajutatoare au fost efectuate în ultimele doua coloane:

-

Ytia b ti⋅+= Yi Yti

–( )2∑ ⇒

Yi∑ n a b ti∑⋅+⋅=

Yiti∑ a ti∑⋅ b ti2

∑⋅+=⎩⎪⎨⎪⎧

ti∑ ⇒

Yi∑n

----------- 1009424

---------------=

Yiti∑ti2

∑--------------- 6254

4600------------=

abaterea medie pătratică Yi yti

– 2∑

n------------------------- 550071 1136⋅

24---------------------------------- = ==

22919 6, 151 39,==


255

-

Datorită faptului că din grafic s-a observat repetarea cu regularitate atendinţei din primul an şi în cel de-al doilea an şi ştiut fiind faptul că evoluţianumărului de căsătorii pe luni este un fenomen sezonier, voi calcula încontinuare şi indicii de sezonalitate cu ajutorul metodei mediilor mobile:

Indicii de sezonalitate din ultima coloana au fost calculaţi raportând valorilereale din prima coloana la valorile ajustate prin metoda mediilor mobile dinpatru termeni, respectiv a treia coloana şi înmulţiţi cu 100.

coeficientul de variaţie abaterea medie patratica media aritmetica

-------------------------------------------------------------------- x100 = =

151 39,420 58,------------------- x100 36%= =

Medii mobile partiale

Indici de sezonalitate

calculate din 4 termeni

%

ianuarie - 1996 - 309februarie 477 309,75m artie 129 356,25 333,00 38,7387aprilie 324 347,00 351,63 92,1436m ai 495 448,00 397,50 124,5283iunie 440 497,50 472,75 93,0724iulie 533 484,75 491,13 108,5263augus t 522 551,75 518,25 100,7236septem brie 444 551,00 551,38 80,5260octom brie 708 473,50 512,25 138,2138noiem brie 530 434,00 453,75 116,8044decem brie 212 357,00 395,50 53,6030ianuarie - 1997 - 286 290,50 323,75 88,3398februarie 400 283,75 287,13 139,3121m artie 264 354,75 319,25 82,6938aprilie 185 359,00 356,88 51,8389m ai 570 418,75 388,88 146,5767iunie 417 519,00 468,88 88,9363iulie 503 479,25 499,13 100,7764augus t 586 540,25 509,75 114,9583septem brie 411 542,50 541,38 75,9178octom brie 661 440,00 491,25 134,5547noiem brie 512decem brie 176TOTAL 10094


Numar casatoriiLuna


256

12.7. ANALIZA SERIILOR DE TIMP FOLOSIND MEDIUL STATISTIC R

Faţă de alte soft-uri statistice (cum ar fi SPSS, SAS, STATISTICA), R esteun mediu “din linie de comandă” (denumit de multe ori şi “non-vizual”).Microsoft Excel spre exemplu, deosebit de cunoscut şi utilizat face parte dinmediul vizual (având celule, rânduri, coloane), una din problemele serioaseale acestor medii fiind aceea că nu sunt explicite (nu putem şti “dintr-oprivire” ce calcule stau în spatele unui rezultat).

Dimpotrivă, pentru un mediu “din linia de comandă”, modul de calcul estecuprins în câteva linii de text. R este gratuit (cu licenţă) şi poate fi descărcatde pe internet de la: http://www.r-project.org/.

Există circa 500 de module utilizabile în R, acesta fiind folosit în domenii ceau de-a face cu obiecte de studiu complexe, pentru care nu există practic“formule matematice” de descriere şi evoluţie şi care pot fi înţelese rapiddoar cu instrumente statistice ultra-adaptate. (Nici modelele bune îndomeniile social şi economic nu sunt de loc simple.)

În continuare vom folosi R pentru analiza unor serii de timp din economiareală a judeţului Bacău.


257

12.7.1. Analiza statistică a seriei de timp „cantitate de produse petroliere produsă în judeţul Bacău (1998-2006)” (exemplu)

În cele ce urmează vom folosi şi lucrarea „Time Series Analysis withR - Part I” de Walter Zucchini, Oleg Nenadi. Această lucrare recomandăiniţial inspecţia simplă a seriei de timp (după tranformarea datelor din sursade date în serie de timp, folosind functia ts()).

Ea a fost obţinută prin însumarea cantităţilor fizice lunare produse în judeţulBacău în intervalul 1998-2006, apoi s-a calculat media lunară pentru anul1998.

Această valoare furnizează baza pentru indicii lunari (fizici), exprimaţi înprocente.

În graficul următor sunt reprezentate diferenţele aceleiaşi serii. S-a folositfunctia diff(). Această funcţie calculează în expresie implicită diferenţa dintredouă elemente consecutive.

Pentru „aplatizarea” diferenţelor se poate logaritma seria diferenţelor relative(log()).


258

Acest grafic al diferenţelor este sugestiv pentru aspectul „oscilant” al serieide timp (de cele mai multe ori valorile pozitive alternează cu valorilenegative). O caracterizare grafică a „normalităţii” seriei de timp se obţine dinreprezentarea qqnorm(), adică qqnorm(diff(q[,1])).

Interpretarea graficului se obţine comparând cuantilele teoretice cu celepractice ale seriei (normalitatea se „apreciază vizual”, comparând cu liniateoretică abscisa = ordonata, adică cuantilele seriei ar fi cele teoretice (ceeace nu se prea întamplă decât aproximativ şi în mod asimetric):


259

În graficul anterior cuantilele sunt practic quartile (cuantile de ordinul 4).Această “inspecţie” vizuală poate fi acompaniată de teste sintetice denormalitate. În acest caz s-au folosit doua teste: Kolmogorov-Smirnov şi Shapiro (careatestă în principiu „apropierea semnificativă” de o serie „normală” a seriei detimp „cantitate lunară de produse petroliere prelucrate în judeţul Bacău înperioada 1998-2006"):

> # Test normalitate Kolmogorov-Smirnov si Shapiro> x<-diff(q[,1])> ks.test(x,”pnorm”,mean(x),sd(x))

One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: x D = 0.1297, p-value = 0.07389alternative hypothesis: two.sided

> shapiro.test(x)

Shapiro-Wilk normality test

data: x W = 0.9601, p-value = 0.004637

În exemplul de faţă se poate observa simplitatea utilizării R. Apelurile defuncţii în R (comenzile sunt scrise dupa cursorul > ) sunt perfect similare cucele matematice (operatorul <- este de atribuire). În situaţia seriei de timpanalizate (cea a diferenţelor relative), aceasta se dovedeşte a fi destul deapropiată de distribuţia normală. Mai clar, este similară cu o secvenţăaleatoare (deci greu predictibilă).

Problemele care se pot pune în legătură cu această serie de timp particularăsunt: descompunerea seriei în tendinţă (staţionară sau nu) şi componenteperiodice (sezoniere), precum şi prognozarea evoluţiei.

În cazul de faţă, s-a atins doar prima problemă (decompunerea temporală),folosind mai multe instrumente din R. Apropierea de distribuţia normală aacestei serii de timp face prognoza dificilă - este suficientă însă identificareatendinţei multianuale.


260

12.7.2. Descompunerea seriei de timp după componente temporale (tendinţa, componenta periodică, componente neregulate)

Tehnica de descompunere temporală folosită în ceea ce urmează este defapt aplicarea unei tehnici de regresie neparametrică, folosind functia stl()într-un caz special de „filtrare liniară” ce permite obţinerea „tendinţei”, apoiprin diferenţa componentă periodică. Acronimul STL este derivat din:Seasonal Decomposition of Time Series by Loess şi este în principiu otehnică de „netezire” (filtrare) a seriei de timp. O idee bună este logaritmarea seriei iniţiale.

Se aplică :

b1<-ts(q[,1],start=1998,freq=12)b2<-(stl(log(b1),s.window=”periodic”, robust=TRUE))plot(b2)

Practic, o utilizare implicită a funcţiei stl(), opţiunea s.window=”periodic”fixând modul de operare al ferestrei de comparaţie.

Este remarcabil că o utilizare atât de simplă pune în evidenţă componentealtfel insesizabile în seria de timp. Fiind o tehnică de regresie, acestprocedeu reliefează simplu „tendinţa” seriei (altfel greu de identificat prinîncercări euristice).


261

Aplicarea de tip „robust” a regresiei din stl() măreşte numărul de iteraţii „încadrul ferestrei” către un rezultat mai bun. Inspectarea vizuală a zonei„trend” din graficul stl() conduce la concluzii simple (şi greu de combătut):

- După un maxim de producţie în 1998, începând cu 1999 până în 2000 aexistat un declin al obţinerii de produse petroliere;- În perioada 2001-2003 se relansează continuu producţia, în 2003 devenindsimilară cu cea din 1998;- În perioada sfârşitul 2003 – 2004 producţia scade relativ mai lent decât înperioada 1999-2000;- În perioada: sfârşitul 2004 - 2005 se relansează producţia, care sepăstrează într-un regim „mic oscilant” până în 2005, când are loc la mijloculanului o scădere a producţiei, în revenire la sfârşitul anului 2005 şi începutullui 2006;- Componenta periodică are perioada un an, marcând o descreştere spremijlocul fiecărui an, urmată de o revenire comparabilă spre sfârşitul anului;- Cel mai semnificativ conţinut de componente neregulate este în intervalul2001-2002.

De remarcat însă nivelul relativ mic (să ne amintim: este scara logaritmică)al componentei periodice anuale. Aceste concluzii se pot extrage însă şi dininspecţia vizuală a listei seriei de timp.

Extragerea componentei periodice este mai dificil de intuit vizual. Înreprezentarea grafică este utilizată regresia „robusta” (sunt delimitatecomponenta de tendinţă „staţionară” şi cea periodică). Este însă deremarcat că tendinţa nu este staţionară în adevăratul sens al cuvântului,deoarece reliefează comportament multianual-periodic amortizat.

12.7.3. Testarea sezonieră a seriei de timp, folosind metodel şi reprezentările grafice din pachetul „uroot” din R

Anterior am aflat că seriile de timp studiate nu sunt foarte „sezoniere”, avânddominanta fixată de tendinţe oscilante multianuale. Totuşi, toate seriile aucomponente sezoniere anuale (un rezultat probabil al fluxului practic defabricaţie).

Chiar daca sezonalitatea este anuală, iar componenta sezonieră este prinnatura ei predictibilă (dacă ar fi o funcţie periodică-ar fi suficient un singuran), totuşi sezonalitate nu înseamnă periodicitate. Mai mult, reprezentărilegrafice sunt semnicative şi pentru componenta de tendinţă a seriei de timp.


262

Instrumentele care pot fi folosite sunt:

bbmp (reprezentare grafică lunară); bbcn (reprentare grafică de tip contur);quarterg (reprezentare grafică trimestrială); rmg (reprezentare graficămedii-domeniu de valori); filtrar (fitrarea frecvenţelor); bb3D(reprezentare 3D); CH.test (testul Canova-Hansen).

Din acestea am selectat bbcn (diagrama de contururi multianualesezoniere). Seria noastra de timp este aceeaşi: dinamica cantităţii totalelunare de produse petroliere prelucrate în anii 1998 – 1996, în judeţulBacău).

Dreptunghiurile colorate similar reprezintă nivele de producţie comparabile,iar lunile din anii adiacenţi sunt alăturate, astfel că pot fi identificatesezonalităţi anuale.

În reprezentarea alaturată, zonele mai întunecate reprezintă lunile de “declinal dinamicii” de producţie. Astfel, pot fi identificate perioadele cu producţiesimilară.

Seria de timp din acest exemplu este destul de neregulată, fiind marcată deani de declin (în jurul anului 2000), precum şi de variaţii anuale.


263

12.7.4. Componentele structurale calculate ale seriei de timp. Modele structurale nestaţionare „StructTS()” pentru seriile de timp

După cum am sesizat anterior, atât în descompunerile stl() (destul dereuşite), dar şi alte metode neexpuse aici, cum ar fi: filtrarea exponenţialăHolt-Winters (care produce nivele bune, dar cu predicţie vag similară caalură), dar şi modelul ARIMA (care produce nivele bune, dar cu predicţievag similară ca alură), seria noastră de timp se supune „parţial” acestorprelucrări. Explicaţia este că această serie de timp se apropie destul de multde o distribuţie normală.

Modelul generat cu funcţia StructTS() creează on model structural de treicomponente aditive, din care prima este tendinţa (filtrată), a doua ceasezonieră şi a treia reziduurile. Se bazează pe „asemanarea logaritmică”loglik şi este un model nestaţionar care include o precedentă difuză pentruanumite observaţii (de aceea – necompatibil cu ARIMA sau alte modelestructurale). Vom vedea că este mai potrivit (în special pentru tendinţaextrasă) decât alte modele pentru seria de timp „produse petroliere - total -judeţul Bacău (1998-2006)”. În descompunerea nestaţionară din acestparagraf atrag atenţia vârfurile sezoniere anuale „de sfârşit de an”, căderede producţie aparţinând tendinţei doar în 1999 şi 2000, în 2001 aceastaaparţinând componentei sezoniere. În graficele de mai sus sunt incluse şirezultatele diagnozei cu tsdiag() a modelului rezultat din aplicare StructTS().

Modelul de descompunere StructTS, un model nestaţionar este mai potrivitpentru seria noastra de timp decât cel generat de funcţia stl().

Produse petroliere (faţă de media totală 1998)


264

Se pot identifica în acest model: tendinţa multianuală şi componenteleperiodice de tip vârf (poziţionate: sfârşit de an / început de an).


265

Teme şi întrebări propuse pentru studiul individual

1. Cum recunoaşteţi o serie cronologică ?

2. Cum deosebiţi o serie cronologică de momente de o alta de intervale ?

3. Care sunt relaţiile dintre sporurile cu bază fixă şi cele cu bază în lanţ ? Darinvers ?

4. Cum se interpretează sporul absolut ?

5. Cum se interpretează indicele de creştere ?

6. Care sunt relaţiile de trecere de la indici cu bază în lanţ la indici cu bazăfixă ? Dar invers ?

7. Cum se interpretează un indice în coeficient ? Dar unul exprimat înprocente ?

8. Care este semnificaţia ritmului de creştere al sporului ?

9. Care este relaţia de legătură între un indice şi un ritm de creştere alsporului ? Dar invers ?

10. În ce condiţii putem apela la metodele mecanice de ajustare pentrugăsirea trendului şi extrapolării ?

11. Cum putem afla care model matematic corespunde cel mai bine tendiţeide dezvoltare a fenomenului ?

12. Cum recunoaşteţi un fenomen sezonier ?

13. Care este semnificaţia unui indice de senzonalitate ?

14. Cunoscând că o societate comercială a realizat în anul 1995 o producţiede 12,3 mii $ şi că în anul 2008 producţia a fost cu 25% mai mică să seestimeze producţia în anul 2009, cunoscând că aceasta evoluează înprogresie aritmetică.


266

15. Se cunosc urmatoarele date referitoare la numărul de elevi dintr-ounitate de invăţământ:

Ştiind că valoarea absolută a unui procent din ritmul de creştere al număruluide elevi din anul 2008 faţă de anul 2002 a fost de 7,5 persoane, să sereconstituie seria valorilor absolute şi să se determine media termenilor.

16. Despre o societate comercială se cunosc următoarele date referitoare laproducţia unui anumit produs “X” (exprimată în bucăţi):

Ştiind că în medie anual producţia a crescut cu 30 bucăţi, să se reconstituieseria valorilor absolute.

17. Se cunosc următoarele date referitoare la numărul salariaţilor dintr-oîntreprindere:

Să se determine numărul salariaţilor în perioada 2002 - 2008 şi să secalculeze media termenilor.

Anii 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Modificarea numărului de elevi faţă de anul precedent (%)

- 5 15 10 4 3 8

Anii 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Dinamica producţiei (%) 100 105 111 98 122 117 118

Anii 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Modificarea numărului de salariaţi faţă de anul 2002 (%)

- 5 6 10 4 3 8

Modficarea nr. de salariaţi faţă de anul 2002 (persoane)

+250


267

18. Valoarea fondurilor fixe ale unei societăţi comerciale în perioada2002 – 2008 se prezintă astfel:

Să se reconstituie seria valorilor absolute. Determinaţi valoarea medie afondurilor fixe din perioada considerată.

19. Cunoscând următoarea evoluţie pe care au înregistrat-o exporturile uneisocietăţi comericiale între anii 1999 - 2008 să se estimeze, utilizând cea maibuna metodă, nivelul exporturilor în anii 2009-2010, considerând că se vamenţine aceeaşi tendinţă de evoluţie.

20. Despre o societate comercială se cunosc următoarele date:

Reconstituiţi seria valorilor absolute din perioada 2005-2008.

AnulModificarea relativă

faţă de anul anterior (%)

Modificarea absolută faţă de

anul 2001 (mil.lei)

Dinamica faţă de anul 2001 (%)

2002 +15 +552003 1052004 -32005 -102008 98

Anul 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Volumulexportului(mii $)

6,2 6,3 6,5 7,1 6,8 7,2 6,8 6,5 6,7 6,4

Anul Modificarea producţiei faţă de anul anterior ( mii $)

Dinamica producţiei faţă de anul anterior %

2005 25 103.72006 104.22007 -102008 +19


268

21. Despre vânzările (mii $) realizate de o societate comercială se cunoscurmătoarele:

Cunoscând că valoarea absolută a unui procent din ritmul de creştere alsporului din anul 2004 a fost de 0,3 mii $ să se reconstituie seria valorilorabsolute.

22. Despre o societate comercială se cunosc următoarele date referitoare lastocul de marfă (exprimat in mii $ la sfârşitul anului):

Stiind că pe întreaga perioadă stocul de marfa a scăzut în medie anual cu2,5 mii $ să se determine producţia realizată în perioada 2002 - 2008 şinivelul mediu al seriei.

Anul%

de modificare în anul curent faţă de anul 2004

Modificarea absolută faţă de anul anterior

(mii $)2005 -52006 -52007 +22008 +6

Anii 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Dinamica stocului de marfă faţă de anulanterior (%)

- 102 89 103 101 103 99


269

Capitolul XIII

ANALIZA SERIILOR INTERDEPENDENTE (Regresie şi Corelaţie)

OBIECTIVE

Capitolul de faţă are drept principal obiectiv înţelegerea şi însuşirea de cătrestudenţi a metodelor de identificare şi analiză a interdependenţelor ce semanifestă între fenomenele economice şi sociale. Acestea pot fi măsurate,regresia având rolul de a explica şi previziona un factor pe baza unuia sau amai multor factori. Aceste aspecte sunt deosebit de utile în practică,reducând din incertitudinea manifestării fenomenelor care ne interesează,atunci când acestea se cunosc. Pe baza modelelor matematice ce exprimălegăturile statistice se pot preîntâmpina efectele nedorite. Cât de intensă semanifestă o legătură cauzală între fenomene vom studia cu ajutorul metodeicorelaţiei.

Cuvinte cheie

Asupra fenomenelor social-economice acţionează un număr diferit de factoriprincipali şi secundari esenţiali şi neesenţiali, care se găsesc în legăturăreciprocă. De asemenea, nu toate relaţiile de cauzalitate se manifestă cuaceeaşi intensitate, în acelaşi sens. Cu cât fenomenul studiat este mai

Legătură statisticăAsociereRegresieVariabilă endogenăVariabilă exogenăCorelogramăNor de puncteRegresie liniară simplă

Regresie liniară multiplăRegresie neliniară (curbilinie) simplăRegresie neliniară multiplăCoeficient de corelaţieRaport de corelaţieCoeficient de determinaţieCoeficient de corelaţie a rangurilorCoeficient de elasticitate.

Analiza seriilor interdependente (Regresie şi corelaţie)

270

complex, cu atât numărul factorilor ce-l influenteaza este mai mare, iarrelaţiile de cauzalitate mai dificil de identificat şi măsurat. De cele mai multeori, factorii se asociază între ei şi uneori apar o serie de cauzalităţi în lanţ.Nu toţi aceşti factori se pot exprima numeric însă şi de asemenea, nu oriceexpresie numerică poate fi rezultatul unor relaţii de la cauză la efect.

Identificarea legăturii dintre fenomene se poate realiza numai în urma uneianalize calitative multilaterale, în care pe lângă statistică se folosesc şicunoştinte din alte ştiinţe ce studiază acelaşi domeniu.

Legăturile sunt specifice fenomenelor social-economice şi se manifestă înmedie pentru un număr mare de cazuri şi nu pentru fiecare caz în parte.Astfel, variaţia variabilei rezultative ( ) este determinată într-o anumitămăsură de variaţia uneia sau a mai multor variabile factoriale ( ), precum şide influenţa altor factori întâmplători.

unde:

= variabila rezultativă (numită şi variabilă dependentă sau efect sau caracteristică endogenă sau variabilă determinată);

= variabile factoriale (numite şi variabile independente sau de cauzalitate sau variabile exogene sau variabile explicative);

= variabila eroare (reziduu), care reprezintă influenţa tuturor factorilor neincluşi în model, consideraţi ca “eroare“ de modelare.

13.1. TIPURI DE LEGĂTURI

Legăturile statistice pot fi clasificate în funcţie de diferite criterii:

a) După numărul caracteristicilor corelate avem:

- legături simple (când o singura caracteristica factoriala esenţiala determinao caracteristica rezultativa):

Exemplu: Suprafaţa comerciala influenteaza valoarea vanzarilor într-un magazin

Yi

xi

Yi f x1 x2 … xn, , ,( ) e+=

Yi

xi

e

Yi f xi( )=

xi yi


271

- legături multiple (când avem mai mult de 2 caracteristici factoriale).

Exemplu: Se analizează volumul vânzărilor în funcţie de suprafaţa

comercială exprimată în ( ) şi mărimea stocurilor ( ).

b) După modul de exprimare al caracteristicilor putem avea:

- legături statistice exprimate cantitativ (numeric), numite şi legături decorelaţie;

Exemplu: Valoarea încasărilor la un spaţiu de cazare ( ) în funcţie denumărul locurilor de cazare ( ).

- legături statistice exprimate prin cuvinte (calitativ), numite şi legături deasociere;

Exemplu: Legătura dintre studii şi ocupaţii.

Legăturile dintre caracteristicile numerice se mai numesc şi corelaţiistatistice, iar cele dintre caracteristici calitative se mai numesc asocieristatistice.

c) După direcţia legăturii putem întâlni:- legături directe (când la creşterea valorii caracteristicii factoriale îicorespunde o creştere a valorii caracteristicii rezultative).

Exemplu: La o creştere a salariului mediu va corespunde şi o creştere avânzării bunurilor de uz îndelungat.

- legături inverse (când la o creştere a valorii caracteristicii factorialecorespunde o scădere a valorii caracteristicii rezultative sau invers).

Exemplu: O dată cu scăderea cheltuielilor materiale creşte eficienţa peunitatea de produs.

d) După forma legăturii putem avea:- legături liniare (când se exprimă sintetic prin ecuaţia dreptei).- legături curbilinii (când expresia analitică a legaturii este de alt tip decâtliniar: parabola, hiperbola, exponenţiala, etc.).

e) După timpul în care se realizează legăturile putem avea:- legături concomitente (sincrone);- legături cu decalaj (asincrone);

yi

m2 x1 x2

yi

xi


272

Studierea legăturii dintre fenomene are la bază două metode: regresia şicorelaţia.

Studiul regresiei urmăreşte a descrie modul în care o variabila dependentăevoluează în funcţie de modificarea uneia sau a mai multor variabilecauzale, deci găsirea în final a unei funcţii matematice care să descrie celmai bine legatura dintre variabile.

Metoda corelaţiei urmăreşte să stabilească gradul în care variabila cauzalăinfluenţează modificarea variabilei efect.

Termenii de regresie şi corelaţie au fost împrumutaţi din biometrie şi suntatribuite lui Galton. Astfel, Galton a studiat legătura dintre înălţimea copiilorîn funcţie de înălţimea părinţilor. Concluzia a fost că din parinţi foarte înalţise nasc copii mai mici ca înălţime, iar din părinţi foarte mici se nasc copii maiînalţi, cu alte cuvinte are loc o regresie către valoarea medie. Dacă nu s-ar fiîntâmplat aşa şi din părinţi înalţi s-ar fi ajuns la copii din ce în ce mai înalţi,iar din parinţi mici s-ar fi ajuns din generaţie în generaţie la copii mai mici,atunci lumea s-ar fi confruntat cu situaţia de gigantism, respectiv cea depiticism.

13.1.1. Probleme ce trebuiesc avute în vedere la cercetarea bazată pe regresie şi corelaţie

a) Identificarea existenţei legăturii, printr-o analiză logică a posibilităţilorde existenţă a unei legături între variabilele considerate.

Nu trebuie pornit la studiul statistic al regresiei şi corelaţiei decât după ce înprealabil s-a ajuns la concluzia că pot exista relaţii de la cauză la efect îndomeniul studiat. Astfel, se poate ajunge la găsirea unui model matematiccare să descrie o corelaţie aparentă fără un sens real, sau altfel spus,“corelaţii fără sens“ cum le-a denumit statisticianul englez Yule şi caredesemnează stabilirea unui înalt coeficient de corelaţie între variabile, darîntre care logic nu poate exista nici o legatură.

Exemplu: Yule a gasit un coeficient de corelaţie foarte ridicat (r = 0,988) întrenumărul aparatelor de radio din Anglia şi numărul bolnavilor mintali dinaceeaşi perioadă.

S-a constatat că, cu cât a crescut numărul aparatelor de radio, cu atât acrescut mai mult şi numărul bolnavilor mintali.


273

b) Stabilirea sensului şi formei legaturii cu ajutorul metodelor analizeiregresiei.

c) Determinarea gradului de intensitate a legăturii cu ajutorul indicatorilorparametrici sau neparametrici ai intensităţii corelaţiei.

13.2. METODE DE STUDIERE A LEGĂTURILOR STATISTICE

13.2.1. Metode elementare

a) Metoda seriilor statistice interdependente constă în comparareatermenilor a 2 serii interdependente şi .

Dacă comparam 2 serii de timp, ordonam termenii cronologic, iar cândcomparam 2 serii de spaţiu sau de distribuţie, termenii se ordoneaza înordinea crescătoare sau descrescătoare a variabilei independente . Princompararea celor 2 serii putem evidenţia existenta şi direcţia legaturii.

Dacă ambele variabile variaza în acelaşi sens, avem o legatura directa, iardacă variaţia lor este în sens diferit, corelaţia este inversă. Aceasta metodase aplica în cazul seriilor cu număr mic de variante.

b) Metoda gruparilor statistice se foloseste când avem un număr mare devariante. Se face gruparea valorilor variabilei pe intervale de variaţie şi secalculeaza valorile corespunzatoare ale variabilei sub forma unei mărimiderivate (de regula ca nivel mediu).

Suma valorilor lui corespunzatoare fiecarui

interval de variaţie a lui

Valoarea medie a lui y pe grupe ale lui x (coloana 2 : coloana 1)

..

...

.

.

TOTAL

xi yi

xi

xi

yi

xi fiyj

xi

x0 x1– f1 y11∑ y1

x1 x2– f2 y22∑ y2

yij∑∑ y


274

c) Metoda tabelului de corelaţie presupune gruparea simultana dupaambele variabile corelate x şi y.

Se recomanda folosirea intervalelor de grupare egale şi un număraproximativ egal de grupe pentru ambele variabile.

În funcţie de modul de distribuţie a frecventelor în tabel se poate apreciaexistenta, direcţia şi intensitatea legaturii.

Cu cât acestea se concentreaza în jurul diagonalelor tabelului, cu atâtcorelaţia este mai intensă.

d) Metoda grafică presupune reprezentarea grafică a perechilor de valori( ).

Putem stabili existenţa, sensul, forma şi intensitatea corelaţiei folosindgraficul numit corelogramă.

Cu ajutorul graficului se poate constata direcţia spre care se îndreaptamulţimea (norul de puncte) cât şi apropierea punctelor faţă de o linie sau deo curba ce pot fi trasate pe diagramă.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. .

. . . . .

xi

yj fxiy1 y2 ym

x1 f11 f12 f1m

x2 f21 f22 f2m

xn fn1 fn2 fnm

fyj fij∑∑

xiyj


275

În general pot exista urmatoarele situaţii:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

1 şi 2 = corelaţie pozitivă, directă, valorilor crescătoare ale lui asociindu-li-se valori crescânde ale lui ;3 şi 4 = corelaţie negativă, inversă, valorilor crescătoare ale lui li seasociază valori descrescânde pentru ;

5 şi 6 = inexistenţa legaturii, punctele fiind distribuite neuniform pe grafic;

2 şi 4 = ilustreaza o relaţie strânsă între x şi y; 1 şi 3 = o legatură, dar mai slabă între cele 2 variabile corelate.

xi

yj

xi

yj


276

13.2.2. Metode analitice de studiere a legaturilor statistice

Mai întai se construieşte corelograma şi se găseşte cel mai bun modelteoretic corespunzator legăturii dintre cele 2 variabile. Apoi, se estimeazăparametrii ecuaţiei de regresie pe baza metodei celor mai mici patrate şi seinterpretează regresia în funcţie de semnul şi valoarea lor.

Exemple de legături statistice

1. Tipuri de legături simple liniare

y a bx+=

α

b tgα=

a>0b>0

α

a

a<0b<0


277

2. Legături de tip parabolic

Parabola de gradul 2: prezintă un punct de maxim sau deminim în funcţie de semnul coeficientului de regresie “c“.

Dacă

α

y = a + bxa>0b<0

a

a=0b>0

y = bx

0

α

Y a bx cx2+ +=

c 0 avem un punct de maxim<c 0 avem un punct de minim>⎩

⎨⎧


278

Parabola de gradul 3:

c > 0

c < 0

A

Bd > 0

d < 0

Yx a bx cx2 dx3+ + +=

A cand d > 0 (punctul de maxim precede pe cel de minim )→B d < 0→


279

3. Legături de tip hiperbolic:

După ce s-a aproximat pe cale grafică funcţia care coincide cel mai binelegăturii dintre cele două fenomene corelate, urmează estimareaparametrilor modelului, testarea semnificaţiei acestora şi în final măsurareaintensităţii corelaţiei.

Spre exemplu, în cazul modelului liniar cu două variabile:

,

unde

Semnul parametrului “b” indică direcţia legăturii dintre cele 2 variabilecorelate:

Valoarea parametrului “b” arată gradul de dependeţă dintre variabile,respectiv cu cât creşte sau scade “y” la o creştere sau la o scădere avariabilei “x” cu o unitate.

y a bx---+= b > 0

curba este descrescãtoare

b < 0 curba este crescãtoare

a

Yx a bx e+ +=

a = ordonata la origine şi arată valorile lui y când x = 0; b = panta dreptei, numit şi parametru de regresie; e = variabila eroare aleatoare, neobservabilă sau reziduu.⎩

⎪⎨⎪⎧

b 0= semnifică inexistenţa legăturii⇒b 0> indică o legătură directă (pozitivă)⇒b 0< indică o legătură inversă (negativă)⇒⎩

⎪⎨⎪⎧


280

Parametrii a şi b vor fi estimaţi prin metoda celor mai mici pătrate, al căruiprincipiu de bază constă în minimizarea sumei pătratelor abaterilor valorilorobservate faţă de valorile calculate (teoretice).

Expresia S se minimizează prin derivare, anulând derivatele parţiale ale luiS în raport cu a şi b.

Se rezolvă sistemul de ecuaţii normale prin metoda determinanţilor şi seobţin cei doi parametri.

În cazul când se studiază legătura între 2 variabile folosind date grupate într-un tabel de corelaţie, se ataşează şi frecvenţele corespunzătoare, sistemulde ecuaţii devenind:

S yi Yxi–( )2 minim=∑=

∂S∂a------ 2 yi a– bxi–( ) 1–( ) 0=∑=

∂S∂b------ 2 yi a– bxi–( ) xi–( ) 0=∑=⎩

⎪⎨⎪⎧ n a b xi∑+⋅ yi∑=

a xi∑ b xi2

∑+ xiyi∑=⎩⎪⎨⎪⎧

⇒

a

yi∑ xi∑xiyi∑ xi

2∑

n xi∑xi∑ xi

2∑

------------------------------------- de unde ayi∑ xi

2∑⋅ xi∑ xiyi∑⋅–

n xi2

∑⋅ xi∑( )2

–-----------------------------------------------------------------=,=

b

n yi∑xi∑ xiyi∑

n xi∑xi∑ xi

2∑

------------------------------------ de unde bn xiyi∑⋅ xi∑ yi∑⋅–

n xi2

∑⋅ xi∑( )2

–--------------------------------------------------------=,=


281

Sistemul de ecuaţii normale necesar rezolvării ecuaţiei funcţiei de regresiese poate obţine cu uşurinţă şi printr-o metodă mecanică astfel:

Se înmulţeşte ecuaţia dreptei pe rând, cu coeficienţii celor 2 parametri, a şib, apoi se însumează ecuaţiile obţinute pentru toate unităţile la care s-afăcut observarea. Astfel, în cazul ecuaţiei dreptei, prima

ecuaţie se obţine înmulţind toate cele “n” ecuaţii cu coeficientul parametruluia (adică 1) şi în final acestea se însumează:

A doua ecuaţie din sistem se obţine înmulţind toate cele “n” ecuaţii cucoeficientul parametrului “b” (adică ):

a fijj∑

i∑ b xifxi∑+ yjfy∑=

a xifxib xi

2fxi∑+∑ xiyjj∑

i∑ fxy⋅=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Yxia bxi+=

y1 a bx1+=

y2 a bx2+=

…………………………yn a bxn+=

yi∑ n a⋅ b x∑ i+=

-------------------------------------------------

xi

y1x1 ax1 bx12+=

y2x2 ax2 bx22+=

…………………………

ynxn axn bxn2+=

yi∑ xi a xi∑ b xi2

∑+=-----------------------------------------------------------


282

Sistemul de două ecuaţii devine:

, iar

Rezolvând sistemul de ecuaţii se obţin valorile parametrilor a şi b şi secalculează valoarea ecuaţiei de regresie pentru fiecare valoare acaracteristicii x. Aceste valori ale ecuaţiei de regresie se mai numesc şivalori teoretice ale caracteristicii y în funcţie de x, iar operaţia de înlocuire atermenilor reali cu valorile ecuaţiilor de regresie se numeşte ajustare.

Cu alte cuvinte, prin ajustare se înţelege înlocuirea termenilor empirici (reali)obţinuţi din observare, cu termeni teoretici, care arată tendinţa medie devariaţie a caracteristicii rezultative, dacă aceasta ar fi depins numai devariaţia variabilei independente “x” considerate.

După acelaşi raţionament se obţin şi sistemele de ecuaţii în cazul altorfuncţii matematice.

În cazul parabolei de gradul doi:

n a b xi∑+⋅ yi∑=

a xi∑ b xi2

∑+ xiyi∑=⎩⎪⎨⎪⎧

a

y∑ ixi∑

xiy∑ xi2

∑

n xi∑xi∑ xi

2∑

--------------------------------------= b

n yi∑xi∑ xiyi∑

n xi∑xi∑ xi

2∑

------------------------------------=

yi

Y a bxi cxi2+ +=

n a b xi c xi2

∑+∑+⋅ yi∑=

a xi b xi∑2

c xi3

∑+ +∑ xiyi∑=

a xi2

∑ b xi3

∑ c xi4

∑+ + xi2yi∑=⎩

⎪⎪⎨⎪⎪⎧


283

În cazul modelului hiperbolic sistemul de ecuaţii devine:

În cazul modelului exponenţial cu doi parametri, , prin

logaritmare se poate transforma în model liniar de forma:

În continuare aplicăm acelaşi procedeu al metodei celor mai mici pătrate:

Parametrii se determină prin utilizarea tabelului de logaritmi, iar modelul sefoloseşte atunci când variabila independentă are valorile în progresiegeometrică.

13.2.3. EXEMPLU

Pentru a studia dacă există o legătură între nota la examenul de matematicăşi nota obţinută la examenul de statistică, se alege un eşantion de 10studenţi dintr-o grupă, înregistrând pentru fiecare ambele note obţinute.

Se notează nota la matematică cu “ “, considerând această variabilăindependentă, iar nota de la statistică cu “ “, considerând că aceasta poatefi într-o anumită măsură dependentă de prima.

Yxia 1

xi----+ b⋅=

n a b 1xi----∑+⋅ yi∑=

a 1xi----∑ b 1

xi2

-----∑+ 1x--- yi⋅∑=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Yxia b

xi⋅=

ylog alog xi blog+=

n alog b xi∑log+ ylog∑=

a x∑log b xi2

∑log+ x ylog∑=⎩⎪⎨⎪⎧

xi

yi


284


Pentru a sesiza dacă există o legătură între nota la matematică ( ) şi notala statistică ( ), ordonăm descrescător valorile variabilei independente ( ),după care ataşăm valorile corespunzătoare pentru variabila .

Ordonarea s-a efectuat în coloanele 3 şi 4 din tabelul de mai sus. Urmărindcele 2 şiruri de valori perechi ( ; ) se constată clar că o dată cu creştereanotei la examenul de matematică, în general creşte şi nota la examenul destatistică.

Nota la examenul de matematică

Nota la examenul de

statisticăNota la

matematicăNota la

statistică

1 2 3 4 5 66 6 4 4 16 165 6 4 5 20 164 5 5 5 25 259 10 5 6 30 257 8 6 6 36 364 4 7 7 49 497 9 7 8 56 497 7 7 9 63 495 5 8 9 72 648 9 9 10 90 81

T O T A L 62 69 457 410

7 8 9 10 11 1216 4,39 -0,39 0,151 -2,9 8,4125 4,39 0,61 0,375 -1,9 3,6125 5,53 -0,53 0,279 -1,9 3,6136 5,53 0,47 0,223 -0,9 0,8136 6,67 -0,67 0,446 -0,9 0,8149 7,81 -0,81 0,653 0,1 0,0164 7,81 0,19 0,037 1,1 1,2181 7,81 1,19 1,421 2,1 4,4181 8,95 0,05 0,003 2,1 4,41

100 10,09 -0,09 0,008 3,1 9,61513 3,594 36,9

xi yi xi yi

xi yi⋅ xi2

yi2

Yxi = 0 172 +,–

+1 14 xi⋅,yi Yxi

– yi Yxi–( )2 yi y– yi y–( )2

xi

yi xi

yi

xi yi


285

De aici, concluzia că există o legătură directă între cele 2 variabile corelate, influenţând variaţia lui .

Acelaşi aspect se poate sesiza şi mai clar din graficul (corelogramă) ceexprimă legătura dintre cele două variabile.

Analizând evoluţia norului de puncte din grafic, concluzia este aceeaşi delegătură directă dintre cele 2 variabile, ecuaţia dreptei fiind cea care sepotriveşte cel mai bine acestei legături. Tot din grafic se poate trage o primăconcluzie asupra intensităţii legături. Dat fiind faptul că punctele din graficsunt suficient de apropiate unele de altele de-o parte şi de alta a dreptei,putem afirma că există o legătură strânsă între x şi y.

Alegem prin urmare ecuaţia dreptei.

, unde este nota la examenul de matematică şi estenota la examenul de statistică.

Se calculează valorile parametrilor “a” şi “b” prin metoda celor mai micipătrate, descrisă anterior.

xi yi

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

Note la matematica

Note la statistica

yi

xi

Yxia bxi+= xi yi

n a b xi∑+⋅ yi∑=

a xi b xi∑2

+∑ xiyi∑=

10 a 62b+⋅ 69=62a 410b+ 457=⎩

⎨⎧

⇒ ⇒

⎩⎪⎨⎪⎧


286

Semnificaţia valorii parametrului “b”: la o creştere cu 1 punct anotei la matematică, nota de la statistică va creşte în medie cu 1,14 puncte.Valoarea parametrului “b” fiind pozitivă, ne confirmă direcţia legăturiiidentificată pe cale grafică (o legătură directă).

Pentru a analiza intensitatea legăturii dintre x şi y vom calcula mai departecoeficientul de corelaţie (acesta se calculează numai în cazul legăturii de tipliniar).

Valoarea coeficientului de corelaţie este foarte aproape de 1,semnificând o legătură foarte puternică între nota de la matematică şi notade la statistică.

Ridicând la pătrat coeficientul de corelaţie obţinem coeficientul de

determinaţie

Semnificaţie: în medie, putem spune că nota examenului de statistică esteinfluenţată în proporţie de 90,25% de nota obţinută anterior la examenul dematematică. Diferenţa până la 100%, respectiv de 9,75% reprezintăinfluenţa altor factori neincluşi în model.

a

69 62457 410

10 6262 410

---------------------------- 69 410 62 457⋅–⋅

10 410 62( )2–⋅--------------------------------------------- 44–

256--------- 0 172,–= = = =

b

10 6962 457

256------------------------- 10 457 69 62⋅–⋅

256------------------------------------------ 4570 4278–

256------------------------------ 292

256--------- 1 14,= = = = =

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧

⇒

Yxi0 172,– 1 14xi,+= ⇒

⇒

rxy

n xy∑ x y∑⋅∑–

n xi2

∑ xi∑( )2

– n yi2

∑ yi∑( )2

–⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------= =

10 457 62 69⋅–⋅

10 410⋅ 622–[ ] 10 513 692–⋅[ ]⋅--------------------------------------------------------------------------------------= 0 95, ⇒=

⇒

rxy2⇒ 0 95,( )2 0 9025, sau 90,25%= =


287

În cazul legăturii de tip liniar se poate calcula şi raportul de corelaţie ( )pentru aprecierea intensităţii legăturii, acesta fiind obligatoriu identic cavaloare cu cea a coeficientului de corelaţie ( ).

Metoda corelaţiei aplicată în acest exemplu va fi descrisă teoretic încontinuare.

13.3. METODA CORELAŢIEI

Prin metoda regresiei s-a găsit modelul matematic care corespunde cel maibine legăturii dintre două sau mai multe fenomene din natură şi societate.

Metoda corelaţiei vine să completeze metoda regresiei, stabilind cât destrânsă (intensă) este legătura dintre variabilele incluse în modelul deregresie. Altfel spus, cât de mult pot varia estimările făcute pe baza analizeide regresie.

Intensitatea legăturii se poate măsura cu ajutorul raportului de corelaţie( ) sau a coeficientului de corelaţie ( ).

Contribuţii deosebite în studiul corelaţiei au fost aduse în special de Galton(coeficientul de corelaţie), Pearson (sistematizează analiza corelaţiei şistabileşte teoria corelaţiei pentru 3 variabile), Yule (dezvoltă teoria corelaţieimultiple), Spearman (coeficientul de corelaţie a rangurilor).

În cazul corelaţiei liniare simple se calculează fie raportul (indicele) decorelaţie ( ), fie coeficientul de corelaţie ( ), în timp ce în cazul legăturiide tip curbiliniu nu se poate aplica decât raportul de corelaţie ( ).

Rxy 1yi Yxi

–( )2∑yi y–( )2∑

-------------------------------– 1 3 594,36 9,---------------– 1 0 0974,– 0 9026, 0 95,= = = = =

Rxy

rxy

rxy Rxy 0 95,= =

Rxy rxy

Rxy rxy

Rxy


288

a) Calculul raportului de corelaţie

Pot fi calculate două şiruri de abateri:- între valorile empirice (reale) şi valorile teoretice rezultate din calcululecuaţiei de regresie:

(dispersia faţă de linia de regresie)

- între ecuaţiile de regresie şi media caracteristicii ( ):

(dispersia liniei de regresie faţă de

valoarea medie a caracteristicii).

Suma celor două tipuri de dispersii formează dispersia totală:

sau altfel spus:

unde:

Gradul de intensitate a legăturii dintre fenomene se obţine stabilindgreutatea specifică a dispersiei formată pe baza factorului înregistrat faţă dedispersia totală.

Acest indicator se numeşte raportul de determinaţie ( ).

yi Yxi–( ) σy r⁄

2=

y

Yxiy–( ) σy x⁄

2=

σy2 σy r⁄

2 σy x⁄2+=

yi y–( )2∑n

---------------------------yi Yxi

–( )∑2

n-------------------------------

Yxiy–( )∑

2

n-----------------------------+=

σy2 arată influenţa tuturor factorilor asupra variabilei rezultative;→

σy r⁄2 arată influenţa factorilor consideraţi cu acţiune constantă; →

σy x⁄2 arată influenţa factorului independent xi( ) .→

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

Rxy2

Rxy2 σy x⁄

2

σy2

----------=


289

Raportul de nedeterminaţie: .

Când se calculează pentru aceeaşi bază de date,

Dacă extragem rădăcina pătrată din raportul de determinaţie, obţinemraportul de corelaţie, indicator care măsoară intensitatea legăturii dintrefenomene.

poate lua valori de la 0 la 1 şi se interpretează astfel:

- cu cât are o valoare mai apropiată de 1 cu atât legătura dintre celedouă fenomene este mai strânsă;

- cu cât este mai aproape de 0, legătura este mai mică sau nu există.

Pot fi considerate următoarele limite orientative pentru interpretareaintensităţii legăturii dintre două fenomene:

kxy2 σy r⁄

2

σy2

----------=

Rxy2 kxy

2+ 1= Rxy2⇒ 1 kxy

2– 1σy r⁄

2

σy2

----------– 1yi Yxi

–( )∑2

yi y–( )∑2

-------------------------------–= = =

Rxy Rxy2 1

yi Yxi–( )∑

2

yi y–( )∑2

-------------------------------–= =

Rxy

Rxy

Rxy [0; 0,20)∈ nu există nici o legătură⇒

Rxy [0,20; 0,50)∈ există o legătură slabă⇒

Rxy [0,50; 0,75)∈ există o legătură de o intensitate medie⇒

Rxy [0,75; 0,95)∈ există o legătură puternică⇒

Rxy [0,95; 1,00 ]∈ există o legătură relativ deterministă, adică ⇒xi îl determină aproape în totalitate pe yi


290

Dacă se ridică la pătrat obţinem raportul de determinaţie . Acesta

din urmă transformat în procente ne poate spune în ce proporţie variabila influenţează (determină) variabila .

b) Calculul coeficientului de corelaţie

În cazul corelaţiei liniare, raportul de corelaţie se transformă în coeficient decorelaţie ( ). Coeficientul de corelaţie propus de Pearson se notează cu“ “ şi este dat de relaţia:

, unde este covarianţa a 2 variabile aleatoare

x şi y, fiind o măsură a variaţiei simultane a acestora.

, unde , , şi sunt variabilele

corelate şi nivelul mediu al acestora, iar “n” este numărul de perechi devalori corelate.

Dezvoltând relaţia obţinem coeficientul de corelaţie:

Coeficientul de corelaţie poate lua valori între 0 şi şi se interpreteazăastfel:- între (-1; 0) legătura dintre cele două variabile este de sens invers, iarintensitatea legături se apreciază în funcţie de mărimea coeficientului,identic cu interpretarea raportului de corelaţie;- dacă valoarea sa se aproprie de 0, fenomenele corelate sunt independentesau tind către independenţă; - dacă se apropie de -1 atunci legătura este foarte strânsă şi de sens invers.

Rxy Rxy2

xi

yi

rxy

rxy

rxycov x y,( )σx σy⋅

----------------------= cov x y,( )

cov x y,( )xi x–( ) yi y–( )⋅∑

n----------------------------------------------= xi yi x y

rxy

xi x–( ) yi y–( )⋅∑nσx σy⋅

----------------------------------------------=

rxy

n xiyi∑ xi∑ yi∑⋅–

n xi2

∑ xi∑( )2

– n yi2

∑ yi∑( )2

–⋅

---------------------------------------------------------------------------------------------------=

1±


291

Când , legătura dintre fenomenele corelate este directă şi, cuatât mai intensă cu cât se apropie de 1.

Semnul lui va fi acelaşi cu semnul parametrului “b” din cazul ecuaţiei deregresie simplă liniară, având aceeaşi semnificaţie, respectiv:

Interpretarea este similară cu cea a raportului de corelaţie, iar ridicând lapătrat valoarea coeficientului de corelaţie obţinem coeficientul de

determinaţie ( ), care ne arată în ce proporţie variabila independentă o

determină pe cea rezultativă .

Dacă în cazul legăturilor curbilinii nu se poate calcula decât raportul decorelaţie, în cazul legăturilor de tip liniar pot fi calculaţi ambii indicatori pentruanaliza intensităţii dintre fenomene. În acest ultim caz,

Pentru cazul unei serii de distribuţie de frecvenţe, datele se trec într-un tabelde corelaţie cu dublă intrare. Pentru astfel de distribuţii bidimensionale cutendinţă liniară, în calculul coeficientului de corelaţie vor fi ataşate şifrecvenţele corespunzătoare. Astfel, coeficientul de corelaţie devine:

rxy 0 +1;[ ]∈

rxy

b 0> rxy 0 (legãturã directã)>⇒

b 0< rxy 0 (legãturã inversã)<⇒

b 0= rxy⇒ 0 (nu existã nici o legãturã)=⎩⎪⎨⎪⎧

rxy2 xi

yi

Rxy rxy=

rxy

fij xiyi fxy⋅∑( )∑ xi fxi⋅∑( ) yi fyi

⋅∑( )–

fij∑ xi2

∑ fx xi fx⋅∑( )2

–⋅ fij∑ yi2

∑ fy yi fy⋅∑( )2

–⋅⋅

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=


292

13.4. EXEMPLU DE CALCUL PENTRU 2 SERII DE DISTRIBUŢIE CORELATE

Într-un sezon, un bun material care are preţul variabil, de exemplu producţiade trufandale, variază între 8 - 16 lei / kg şi este cumparata în cantitaţivariate între 0 - 100 kg zilnic.

Cercetând cumpărările şi preţurile în timpul a 40 zile, au fost obţinuteurmatoarele date:

Să se studieze corelaţia şi regresia dintre cele 2 variabile x şi y.

Pret lei/kg Cantitate cumparata

8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 16 TOTAL

80 - 100 1 0 0 0 160 - 80 3 5 1 0 940 - 60 2 3 6 1 1220 - 40 1 1 7 2 11 0 - 20 0 1 3 3 7

TOTAL 7 10 17 6 40

ixiy

Nr.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 90 1 0 0 0 1 90 8100 8100 9 81 810

2 70 3 5 1 0 9 630 4900 44100 95 1017 6650

3 50 2 3 6 1 12 600 2500 30000 144 1764 7200

4 30 1 1 7 2 11 330 900 9900 141 1835 4230

5 10 0 1 3 3 7 70 100 700 95 1303 950

6 7 10 17 6 40 1720 92800 484 6000 19840

7 63 110 221 90 484

8 81 121 169 225 596

9 567 1210 2873 1350 6000

10 430 540 610 140 1720

11 28700 33000 26500 4600 92800

12 3870 5940 7930 2100 19840

crt.

9 11 13 15ixiy yf yfy 2y y

2 fy xfxx

2 fx xyfxy

xyfxy

xf

2x

x2 fx

yfy

y2 fy

xfx


293

Exemplu de calcul:

col.8, rând 2 - 4900 x 9 = 44100

col.9, rând 3 - 9 x 2 + 11 x 3 +13 x 6 + 15 x 1 = 144

col.11, rând 3 - 50 x 2 x 9 + 50 x 3 11 + 50 x 6 x 13 + 50 x 1 x 15 = 7200

rând 10, col.1 - 90 x 1 + 70 x 3 + 50 x 2 + 30 x 1 = 430

rând 12, col. 1 - 90 x 1 x 9 + 70 x 3 x 9 + 50 x 2 x 9 + 30 x 1 x 9 = 3870

; ; ;

;

y a bx+n a b xi∑+⋅ yi∑=

a xi∑ b xi2

∑+ xiyi∑=⎩⎪⎨⎪⎧

⇒=

a fijj∑

i∑ b xifxi∑+ yjfy∑=

a xifxib xi

2fxi∑+∑ xiyjj∑

i∑ fxy⋅=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⇒

f 40=∑ x fx⋅∑ 484= x2 fx⋅∑ 6000= x y fxy⋅ ⋅∑∑ 19840=

40 a 484 b⋅+⋅ 1720=

484 a 6000 b⋅+⋅ 19840=⎩⎨⎧

⇒

a

1720 48419840 6000

40 484484 6000

-------------------------------------------- 1720 6000 484 19840⋅–⋅40 6000 484 484⋅–⋅

--------------------------------------------------------------- = = =

10320000 9602560–240000 234256–

---------------------------------------------------= 7174405744

------------------ 124 9,= =


294

a = 124,9b = - 6,77

Interpretarea valorii parametrului “b”: la creşterea preţului cu 1 leu/kg,cantitatea cumpărată scade în medie cu 6,77 kg. Semnul negativ alparametrului “b” ne indică o legătură inversă între cele 2 variabile.

Rezultă o legatură de intensitate medie.

preţul influenţează cantitatea cumpărată în proporţie de 34,81%.

13.5. MODELE DE REGRESIE MULTIPLĂ

În practică variaţia unei variabile y este dependentă de acţiunea complexă amai multor factori:

Modelul unei astfel de legături poate fi liniar sau curbiliniu, după cum esteforma legăturilor dintre fiecare pereche de variabile . Dacă toatelegăturile simple dintre y şi x sunt liniare, atunci şi regresia multiplă esteliniară, iar dacă cel puţin una dintre legăturile simple este neliniară atunciregresia multiplă este curbilinie.

b 40 19840 484 1720⋅–⋅5744

--------------------------------------------------------- 793600 832480–5744

------------------------------------------ 38880–5744

------------------ 6 77,–= = = =

Yx 124 9 6 77xi,–,=

rxy

fij xiyi fxy⋅∑( )∑ xi fxi⋅∑( ) yi fyi

⋅∑( )–

fij∑ xi2

∑ fx xi fx⋅∑( )2

–⋅ fij∑ yi2

∑ fy yi fy⋅∑( )2

–⋅⋅

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = =

40 19840 484 1720⋅–⋅

40 6000 4842– 40 92800 17202–⋅ ⋅ ⋅---------------------------------------------------------------------------------------------- ==

793600 832480–5744 753600⋅

------------------------------------------ 38880–65792

------------------ 0 59,–= ==

r2xy 0 59,( )2 34 81 % ⇒,= =

⇒

y f xi x2 … xn,, ,( ) e+=

y xi;( )


295

13.5.1. Regresia multiplă liniară

Modelul de regresie va fi:

Punând condiţia de minim: şi anulând

derivatele parţiale ale expresiei în raport cu parametrii

13.5.2. Regresia multiplă neliniară

Regresia multiplă neliniară de tipul putere ia forma:

care,

pentru facilitarea calculelor se liniarizează şi ia forma:

,

iar determinarea parametrilor se face rezolvând sistemul corespunzătorde ecuaţii normale rezultate din aplicarea metodei celor mai mici pătrate.

Un model de corelaţie bifactorială utilizat mult în modelarea creşteriieconomice este funcţia de tip COBB-DOUGLAS.

care exprimă corelarea produsului final cu fondurile

fixe productive ( ) şi cu forţa de muncă ( ); şi reprezintă coeficienţi de elasticitate.

Yx1 x2 … xn, , , a b1x1 b2x2 … bnxn+ + + +=

S y Yx1…xn–( )2∑ minim= =

a b1…bn, ⇒

n a b1 x1∑ b2 x2 … bn xn y∑=∑+ +∑+ +⋅

a x1∑ b1 x12

∑ b2 x1x2 … bn x1xn x1y∑=∑+ +∑+ +

a x2∑ b1 x1x2∑ b2 x22 … bn x2xn x2y∑=∑+ +∑+ +

……………………………………………

a xn∑ b1 x1xn∑ b2 x2xn … bn xn2 xny∑=∑+ +∑+ +⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

Yx1 x2 … xn, , , a x1b1 x2

b2⋅ ⋅ … xnbn+ +=

yx1 x2 … xn, , ,log alog b1 x1log b2 x2log … bn xnlog+ + + +=

Yx1x2a x1

b1 x2b2⋅ ⋅=

x1 x2 b1 b2


296

- în cazul unei legături multiple curbilinii de tipul parabolei de gradul doi,ecuaţia de regresie ia forma:

astfel spre exemplu pentru parabola de gradul 2 cu 2 variabilefactoriale:

13.6. DETERMINAREA INTENSITĂŢII CORELAŢIEI MULTIPLE

13.6.1. Coeficientul de corelaţie multiplă liniară

Coeficientul de corelaţie multiplă liniară se determină cu ajutorulcoeficienţilor de corelaţie simplă dintre variabilele perechi.

Spre exemplu, în cazul corelaţiei dintre y şi coeficientul de corelaţie

multiplă notat cu , în care:

Yx1 x2 … xn, , , a b1x1 b1x12 b2x2 … bnxn bnxn

2+ + + + + +=

Yx1 x2, a b1x1 b1x12 b2x2 b2x2

2+ + + += ⇒

n a b1 x1∑ b1 x12

∑ b2 x2 b2 x22

∑+∑+ + +⋅ y∑=

a x1∑ b1 x12

∑ b1 x13

∑ b2 x1x2 b2 x1x22

∑+∑+ + + x1y∑=

a x12

∑ b1 x13

∑ b1 x14

∑ b2 x2x12 b2 x1

2x22

∑+∑+ + + x12y∑=

a x2∑ b1 x1x2∑ b1 x12 x2⋅∑ b2 x2

2 b2 x23

∑+∑+ + + x2y∑=

a x22

∑ b1 x1x22

∑ b1 x12x2

2∑ b2 x2

3 b2 x24

∑+∑+ + + x22y∑=⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧

⇒

x1 x2,

Ryx1 x2,

r2yx1r2yx2

2ryx1ryx2

rx1x2–+

1 rx1x2

2–--------------------------------------------------------------------=

ryx1

n x1y∑⋅ x1 y∑∑–

n x12

∑ x1∑( )2

– n y2∑ y∑( )

2–⋅

----------------------------------------------------------------------------------------------=


297

Dacă ,

iar când

13.6.2. Raportul de corelaţie multiplă

pentru o corelaţie multiplă liniară dintre şi :

ryx2

n x2y∑⋅ x2 y∑∑–

n x22

∑ x2∑( )2

– n y2∑ y∑( )

2–⋅

----------------------------------------------------------------------------------------------=

rx1 x2,

n x1x2∑⋅ x1∑ x2∑–

n x12

∑ x1∑( )2

– n x22

∑ x2∑( )2

–⋅

------------------------------------------------------------------------------------------------=

rx1 x2, 0= Ryx1 x2, r2yx1 r2yx2+=⇒

rx1 x2, 1 (x1 x2 sunt perfect corelate),,±=

Ryx1 x2, ∞→

Ryx1 x2,

σ2yx1 x2,

σy2

------------------ 1σ2y yx1 x2, …⁄

σ2y------------------------------–= = Ryx1 x2, … 1

yi Yx1 x2, …–( )2∑yi y–( )2∑

------------------------------------------–=⇒

y x1 x2,

Yx1 x2, a b1x1 b2x2+ +=

Ryx1 x2, 1yi a b1x1 b2x2+ +( )–[ ]2∑

yi y–( )2∑-------------------------------------------------------------------–=


298

13.7. CORELAŢIA PARŢIALĂ

Corelaţia multiplă a caracterizat legătura dintre y şi variaţia simultană a 2sau mai multe variabile factoriale. Dar, în practică apare necesitatea studieriiseparate a perechilor de variabile y şi x, ceea ce se realizează cu ajutorulcorelaţiei parţiale, care măsoară dependenţa dintre variabile prin excludereasuccesivă a influenţei celorlalţi factori (considerând influenţa lor constantă)menţinând numai influenţa factorului măsurat.

În funcţie de numărul variabilelor a căror influenţă se elimină din calcul,coeficienţii de corelaţie parţială pot fi de ordinul întâi (pentru o variabilă), deordinul 2 (pentru două variabile), etc. Ei pot fi calculaţi fie pe bazacoeficienţilor simpli, fie pe baza dispersiilor.

Coeficienţii de corelaţie parţială de ordinul întâi:

- între y şi , excluzând influenţa lui :

- între y şi , excluzând influenţa lui :

Pentru coeficienţii de corelaţie parţială de orice ordin, relaţia este:

şi folosind dispersiile:

- între y şi , excluzând pe

- între y şi , excluzând pe

•

x1 x2

ryx1x2

ryx1ryx2

rx1x2⋅–

1 r2yx2–( ) 1 rx1x2

2–( )⋅----------------------------------------------------------=

x2 x1

ryx2x1

ryx2ryx1

rx1x2⋅–

1 r2yx1–( ) 1 rx1x2

2–( )⋅----------------------------------------------------------=

•

ryx1x2x3…xn

ryx1x2x3…xnryxnx2x3…xn 1–

ryx1xnx2x3…xn 1–⋅–

1 r2yxnx2x3…xn 1––( ) 1 rx1xnx2x3…xn 1–

2–( )⋅----------------------------------------------------------------------------------------------------=

x1 x2 ⇒ Ryx1 x2,

σyx1 x2,

2

σyx2

2-------------=

x2 x1 ⇒ Ryx2 x1,

σyx1 x2,

2

σyx1

2-------------=


299

13.8. METODE NEPARAMETRICE DE MĂSURARE A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE

Metodele analitice (parametrice) de calcul al corelaţiilor se utilizează în cazulîn care exista posibilitatea de a se determina o formă de manifestare alegăturii, verificată pentru un număr suficient de date care tind să sedistribuie normal.

Dar, există numeroase cazuri când distribuţia caracteristicilor nu estenormală şi nici nu există informaţii despre parametrii funcţiilor studiate. Înacest caz, nu se pot întrebuinţa formulele indicatorilor analitici de corelaţie,ci trebuie să se folosească alte metode pentru a putea determina existenţa,direcţia şi intensitatea anumitor legături ce se stabilesc între 2 sau mai multecaracteristici. Aceste metode trebuie să elimine ipoteza privind tipul curbeide distribuţie şi să dea posibilitatea unor estimări la cele mai variate tipuri dedistribuţie.

Metodele prin care se rezolvă aceste probleme sunt cunoscute subdenumirea de metode neparametrice.

Metodele neparametrice, pe lângă faptul ca pot stabili intensitatea uneilegături facând abstracţie de tipul de distribuţie, permit de asemenea,măsurarea intensităţii legăturilor nu numai pentru caracteristicilor cantitative,dar şi pentru caracteristici calitative deoarece în cazul metodelorneparametrice nu se lucreaza cu un număr de ordine numit rang.

13.8.1. Tabelul de asociere şi coeficientul de asociere

Actuala metodă se utilizeaza în special când unităţile purtătoare alecaracteristicilor sunt separate în 2 grupe sau sunt de forma unorcaracteristici alternative (de tipul ‘’da - nu’’).

Tabelul de asociere este format din 2 rânduri şi 2 coloane în care: încapetele rândurilor şi coloanelor se trec variantele celor 2 caracteristici carese supun asociaţiei, iar în interiorul lui, în rubricile lui, se trec frecvenţelecorespunzatoare.

Total

a b a + b

c d c + d

Total a + c b + d a+b+c+d

y1 y2

x1

x2


300

Produsul arată gradul de realizare a legăturii dintre x şi y, iar lipsalegăturii dintre aceste 2 caracteristici cercetate. Pentru stabilireacoeficientului de asociere care să indice existenţa şi intensitatea legăturii,cea mai utilizată formulă este cea propusă de Yule:

Coeficientul de contingenta:

Apar urmatoarele cazuri:

a) independenţa de asociere, când:

b) asociere completă, care se poate prezenta în mai multe variante:

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) asociaţie completă asociaţie completă asociaţie completă asociaţie completă cu sens pozitiv cu sens negativ

c) când gradul de asociere este cuprins între 0 şi se obţine:

, în care:

.

Ca orice coeficient de corelaţie şi acesta poate lua valori , aratândnu numai gradul de intensitate al celor 2 caracteristici, dar şi sensul ei.

Avantajul de a se calcula uşor şi de a se folosi şi în cazul în care dateleprovin de la unităţi statistice complexe, care în interiorul lor pot prezentaforme diferite de distribuţie, dar pot fi transformate în variabile alternative,spre exemplu: sub şi peste nivelul mediu.

a d⋅ b c⋅

Qaad bc–ad bc+------------------=

Qcad bc–

a b+( ) c d+( ) a c+( ) b d+( )-------------------------------------------------------------------------=

Qc Qa<

ac--- b

d---= a d b c⋅–⋅⇒ 0=

a 0 a b a b 0 b

0 d 0 d c 0 c d

cas 1= cas 1= cas 1–= cas 1–=

1±

ac--- b

d---≠

a d b c⋅–⋅ 0≠

1– Q 1< <


301

Exemplul 1: Să se stabilească legătura dintre distribuţia populaţiei pe mediişi sexe în judeţul Bacau la data de 1 iulie 2000.

Rezultatul obţinut arată că între distribuţia pe sex şi distribuţia pe medii, lamomentul considerat, există o asociere negativă foarte slabă.

13.8.2. Coeficientul de corelaţie a rangurilor

Rangul este o anumită treaptă de ordine a variantelor variabilei în serie.Pentru stabilirea rangurilor, valorile empirice ale variabilelor corelate suntaşezate după mărimea lor în ordinea crescătoare sau descrescătoare. Deobicei, în funcţie de variabila independentă se ordonează şi variabiladependentă.

Coeficienţii de corelaţie ai rangurilor prezintă avantajul că ei pot fi utilizaţi şiîn cazul unor distribuţii asimetrice, în cazul unui număr restrâns de unităţipentru care nu se poate verifica reprezentativitatea datelor parţiale sau încazul distribuţiilor unor unităţi complexe. De asemenea se poate utiliza încazul corelării fenomenelor şi caracteristicilor calitative, care prin natura lornu se pot exprima numeric, dar pot fi ierarhizate pe baza unui anumit rang.

Pornind de la ipoteza că între cele 2 serii de ranguri există concordanţă,seria a II-a care reprezintă rangurile caracteristicii rezultative ar trebui să seordoneze şi ea tot crescător (în cazul legăturii directe) şi descrescător (dacălegatura este inversă).

În cazul existentei legăturii dintre acelaşi număr de unităţi care au rang maimare sau mai mic decât ele. În cazul lipsei de legatură, ordinea de distribuţiea rangurilor celor 2 caracteristici este diferită.

Sex Mediu M F TOTAL

- Urban 184,8 193,1 377,9- Rural 186,2 182,0 368,2

Q 184 8, 182 0,⋅ 193 1, 186 2,⋅–184 8, 182 0,⋅ 193 1 186 2,⋅,+--------------------------------------------------------------------------- 33633 6 35955 2,–,

33633 6 35955 2,+,------------------------------------------------= = =

2321 6,( )–69588 8,

-------------------------- 0 0334,( )–= =


302

Similar se pot cuprinde în analiză şi distribuţiile paralele ale mai multorcaracteristici, cu care se pot realiza mai multe combinaţii, stabilindu-secoeficienţii de corelaţie ai rangurilor simpli, parţiali şi multipli.

Coeficienţii de corelaţie ai rangului Spearman

unde :

d = diferenţa de rang între caracteristicile cercetate = n = numărul de unităţi cercetate;

Coeficientul de corelaţie al rangurilor al lui Kendall

unde S = P + Q

P = numărul de ranguri mai mari în continuarea rangului considerat; Q = numărul de ranguri mai mici în continuare, decât rangul considerat (se ia cu semn - ); S = se calculeaza pentru rangurile variabilei dependente (y), ordonate dupa rangurile variabilei factoriale (x).

Ambii coeficienţi variază între , cu aceeaşi semnificaţii.

Exemplul 2: Considerând datele privind ponderea personalului muncitor (x)şi a producţiei industriale (y) din primele 10 judeţe ale ţării faţă de total.

rs 16 di

2∑

n3 n–---------------–=

Rx Ry–

rk2S

n2 n–--------------=

1 1+,–[ ]

Ponderea personalului muncitor

2,2 2,3 3,3 3,0 2,9 1,0 1,6 5,1 1,1 1,9

Ponderea productiei industriale

1,7 1,8 4,8 4,0 2,3 0,8 1,9 5,5 0,8 1,8

Denumirea judetelor

Alba Arad Arges Bacau Bihor Bistrita-Nasaud Braila Brasov Botosani Buzau

)( ix

)( iy


303

Ambii coeficienţi arată o corelaţie pozitivă şi destul de strânsă între cele 2variabile.De obicei, coeficientul de corelaţie al rangului dupa formula luiKendall este mai mic decât cel al lui Spearman.

13.8.3. Coeficientul de elasticitate

După calcularea funcţiei de regresie, o problemă importantă care revinestatisticii este determinarea gradului în care variabila rezultativăreacţionează la modificarile factorilor incluşi în model şi care o influenţeazaîntr-o măsura mai mare sau mai mică.

Cu alte cuvinte, vrem să determinăm sensibilitatea fenomenului efect(variabila rezultativă) la variaţia fenomenului cauza (variabila factorială).Aceasta flexibilitate este cunoscută sub denumirea de elasticitate.

În activitatea de comerţ şi turism, cel mai adesea se vorbeşte deelasticitatea cererii de consum, adică acea proprietate a cererii de consumde a se modifica în funcţie de variaţia fenomenelor care o determină(venituri, preţ, sezonalitate, structurile demografice şi socio- profesionale,etc.).

În acest scop s-a introdus de către A. Marshall în 1980 coeficientul deelasticitate şi a fost utilizat iniţial în studiul teoretic al cererii de consum. El afost determinat ca un raport între modificarea relativă a cererii pentru oanumită marfă şi modificarea relativa a preţului ei, respectiv:

Brasov 5,1 5,5 1 1,0 0,0 0,00 9 0 9Arges 3,3 4,8 2 2,0 0,0 0,00 8 0 8Bacau 3 4,0 3 3,0 0,0 0,00 7 0 7Bihor 2,9 2,3 4 4,0 0,0 0,00 6 0 6Arad 2,3 1,8 5 6,5 -1,5 2,25 3 -1 2Alba 2,2 1,7 6 8,0 -2,0 4,00 2 -2 0Buzau 1,9 1,8 7 6,5 0,5 0,25 2 -1 1Braila 1,6 1,9 8 5,0 3,0 9,00 2 0 2Botosani 1,1 0,8 9 9,5 -0,5 0,25 0 0 0Bistrita-Nasaud 1 0,8 10 9,5 0,5 2,25 0 0 0TOTAL 16,00 39 -4 35

RangurileJudetul x (%) y (%) S = P - QP Q

xR yR yx RRd −= 2d

rs 1 16103 10–--------------------– 0 983,= = rk

2 35⋅

102 10–-------------------- 0 777,= =


304

unde: x = preţul unei anumite mărfi; = modificarea preţului acestei mărfi; y = cererea mărfii respective; = modificarea acestei cereri.

Asemănător se calculează coeficientul de elasticitate al cererii de consum înfuncţie de venituri, în acest caz x va reprezentă venitul mediu, iar modificarea acestui venit.

Generalizând, rezultă că relaţia de calcul a coeficientului de elasticitate este:

unde:

= nivelul înregistrat în perioada de bază de variabila explicativă; = modificarea variabilei explicative în intervalul de timp considerat; = nivelul înregistrat în perioada de baza de variabila explicată; = modificarea variabilei explicate în intervalul de timp considerat.

Iată 3 situaţii limită: a, b şi c privind elasticitatea cererii unui produs înraport cu preţul:

a) b)

E ∆yy

------ ∆xx

------÷ ∆y∆x------ x

y--⋅= =

∆x

∆y

∆x

E ∆y∆x------

x0y0-----⋅=

x0

∆xy0

∆y

8 E =

E = 0

Q

P

Q

P


305

c)

a) Situaţia în care la orice modificare a preţului cererea, sub raport cantitativ,rămâne aceeaşi - cerere total inelastică, insensibilă la modificarea factorului;

b) Situaţia opusă, în care cererea se modifică nelimitat, indiferent de nivelulpreţului - cerere perfect elastică;

c) Situaţia de proporţionalitate în ceea ce priveşte reacţia efectului lamodificarea factorului.

Deci, în funcţie de mărimea coeficientului de elasticitate, cererea populaţieipentru diversele produse poate fi:

- elastică, când - inelastică, când - de elasticitate unitară sau proporţională, când .

Factorul în raport cu care se apreciază gradul de sensibilitate al cererii poatefi: venitul, preţul, oferta, cheltuiala de reclamă, desfacerile totale, mărimeapopulaţiei, etc.

- în raport cu venitul, cererea este de regulă inelastica la produsele de uzcasnic (alimentare şi nealimentare) şi se prezintă ca elastică sau chiar foarteelastica la produsele de uz indelungat, produsele de lux, servicii.- în raport cu preţul, cererea prezintă de regulă o elasticitate cu semnulminus, întrucât dependenţa este inversă (fac excepţie de la regulă produseledemodate şi plafonate pentru care scaderea preţului duce la scădereacererii).

E = 1

Q

P

Q

P

c e r e r e a n o r m a l a i n c a z u l p r e t u l u i n u s i a l

v e n i t u l u i

E 1>E 1<

E 1=


306

Cererea este elastică atunci când schimbarea relativă a venitului (preţului)generează o schimbare mai mult decât proporţională a cantitaţii sau acheltuielii prin care se exprimă cererea.

Exemplu: Dacă la o creştere a venitului cu 5% cererea de televizoare creşte

cu 10% este deci o cerere elastică:

O cerere este inelastică dacă modificarea venitului determină o schimbareneînsemnată a volumului cererii.

Exemplu: Dacă la o modificare cu 5% a venitului, cererea de paste

făinoase creşte cu 1%:

Elasticitatea este unitară atunci când modificarea cererii este proporţionalăcu modificarea venitului.

Exemplu: Creşte venitul cu 5%, creste şi cererea de îmbrăcăminte cu 5%:

În domeniul relaţiilor comerciale şi de cooperare cu străinătatea, prezintăinteres elasticitatea calculata la nivel macroeconomic. Se compară variaţiarelativă a exportului total sau a importului total al ţării, cu modificarea relativăa unor indicatori sintetici ai dezvoltării economiei naţionale sau cu variaţiarelativă a cererii şi a ofertei mondiale.

Coeficienţii de elasticitate astfel stabiliţi caracterizează în ce măsura este“sensibil“ comerţul exterior al ţării noastre la modificarea venitului net, spreexemplu sau la schimbările survenite în comerţul mondial.

Analiza de elasticitate a cererii poate fi făcută pe baza datelor expuse în seriicronologice, în acest caz se pot determina elasticităţi cu bază fixă sau cubază în lanţ.

Coeficientul de elasticitate fiind o mărime comparabilă, face posibilă analizaevoluţiei sale în dinamică, precum şi pe produse sau grupe de produse. Estefoarte mult folosit în analiza nivelului de trai, precum şi în prognoza cererii deconsum a populaţiei.

E 110 100–100

------------------------ 105 100–100

------------------------÷ 2 1>= =

E 101 100–100

------------------------ 105 100–100

------------------------÷ 0 2, 1<= =

E 105 100–100

------------------------ 105 100–100

------------------------÷ 1= =


307

13.9. Teme şi întrebări propuse pentru studiul individual

1. Cum identificaţi existenţa unei legături ?

2. Cum se întocmeşte o corelogramă şi cum se interpretează informaţiileoferite vizual pe diagramă ?

3. Cum se alege cel mai bun model care să exprime legătura dintre douăfenomene ?

4. Cum se previzionează evoluţia unui factor în funcţie de alt factor aflat îninterdependenţă ?

5. Când se calculează coeficientul de corelaţie şi cum se interpretează ? Darraportul de corelaţie ?

6. În ce condiţii se foloseşte corelaţia neparametrică ?

7. Cum se stabileşte asocierea dintre variabile nominale ?

8. La ce foloseşte şi cum se interpretează coeficientul de elasticitate ? Daţicel puţin 3 exemple.

9. Despre 10 unităţi comerciale se cunosc următoarele informaţii:

Estimaţi nivelul vânzărilor realizate de 50 de vânzători.

10. Cunoscând cheltuielile de publicitate şi vânzările realizate de 10 societăţicomerciale, să se estimeze valoarea vânzărilor pentru un nivel alcheltuielilor de publicitate de 10 milioane lei:

Nr. crt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Vânzări (bucăţi) 26 30 32 22 20 23 45 50 52 60Număr vânzători

(persoane) 9 12 15 7 5 8 22 25 32 40

Cheltuieli publicitate (milioane lei)

3 5 7 6 6,8 8 3,5 4 4,5 6,5

Vânzări (milioane lei) 5 25 70 45 60 90 12 15 27 55


308

11. Despre 10 salariaţi se cunosc următoarele informaţii referitoare laproductivitatea muncii şi salariul mediu realizat într-o lună:

Estimati nivelul salariului mediu pentru o productivitate de 70 bucăţi/salariat.

12. Cunoscînd veniturile medii lunare şi cheltuielile pentru achiziţionareaunui anumit produs pentru 10 salariaţi să se estimeze nivelul cheltuielilorpentru un venit mediu de 750 lei RON.

Productivitateamuncii (bucăţi/salariat)

55 54 43 41 55 56 63 64 54 58

Salariul mediu lunar (lei RON) 470 430 380 390 450 470 520 510 460 470

Venituri (lei RON) 650 520 380 420 580 440 550 480 640 610

Cheltuieli (lei RON) 341 313 271 315 332 295 337 325 352 356


309

Capitolul XIV

INDICI STATISTICI

OBIECTIVE

În permanenţă se apelează în practică la exprimarea sub forma indicilorpentru a arăta evoluţia unui fenomen sau altul. De multe ori însă nu secunoaşte în profunzime fenomenul sau, şi mai grav, se folosesc în analizămodalităţi greşite de exprimare în interpretarea datelor. Din acest motiv şidatorită deselor utilizări în practică, scopul acestui capitol este însuşireacorectă de către studenţi a modului de construire a indicilor sintetici, afolosirii sistemelor de ponderare existente, dar şi a descompunerii unuifenomen complex pe factori de influenţă.

Numeroasele cazuri aplicative prezentate la finele acestui capitol vorconduce la o înţelegere mai bună a teoriei indicilor şi la rolul acesteia înanaliza concretă a datelor reale.

Cuvinte cheie

În cadrul indicatorilor statistici care se exprimă în procente (prin mărimirelative), indicii ocupă un loc important fiind acea categorie economică caremăsoară variaţia medie a fenomenelor individuale sau colective şi careexprimă raportul dintre două mărimi omogene, de acelaşi gen, comparate întimp sau în spaţiu, a datelor absolute.

Indice statisticIndice al dinamiciiIndici teritorialiIndici ai planuluiIndici ai îndeplinirii sarcinii de planIndici individualiIndici de grupPondere

Indice agregatIndice ca medie a indicilor individualiIndici calculaţi ca raport de mediiIndicele fenomenului complexIndici factorialiMetoda substituţiei în lanţMetoda restului nedescompusSerie cronologică de indici

IndicI statistici

310

Cu ajutorul lor se poate determina mişcarea, evoluţia şi tendinţa relativă afenomenului, caracterizând nivelul şi creşterea unei mărimi faţă de alta,exprimând de câte ori este mai mare prima în comparaţie cu a doua.

Se poate spune că indicii sunt cartea de vizită a unei ţări, ei arată în modsintetic dacă sunt bine calculaţi, starea naţiunii, succesul sau insuccesul,caracterizând în ansamblu nivelul dezvoltării economico-sociale, culturale şipolitice şi îndeosebi gradul bunăstării populaţiei în ţara respectivă.

La alcătuirea indicilor trebuie să se respecte anumite principii şi reguli,pentru ca ei să răspundă sarcinii pe care o au: de a exprima conţinutul sausensul economic al schimbării fenomenului. Altfel spus, problemafundamentală care se pune la construirea indicilor este aceea de adesprinde în adâncime şi multilateral conţinutul economic al schimbării mediia fenomenului studiat.

14.1. BAZA METODOLOGICĂ COMUNĂ DE ALCĂTUIRE A INDICILOR

La alcătuirea indicilor trebuie să se respecte anumite principii şi reguli,pentru ca ei să răspundă sarcinii pe care o au: de a exprima conţinutul sausensul economic al schimbării fenomenului. Altfel spus, problemafundamentală care se pune la construirea indicilor este aceea de adesprinde în adâncime şi multilateral conţinutul economic al schimbării mediia fenomenului studiat.

Construirea indicilor se bazează pe un raport cu ajutorul căruia anumite dateluate în cercetare sunt comparate cu alte date având caracter analog, dintr-operioadă diferită sau din aceeaşi perioadă dar dintr-un spaţiu diferit. Datelesupuse studiului, numite date ce se compară apar la numărător, iar lanumitor figurează datele cu care se face comparaţia (date bază deraportare).

Datele supuse comparaţiei sunt expresia unor fenomene complexe, însensul că, mărimea lor este rezultatul unui produs de doi sau mai mulţifactori simpli. Unul dintre aceşti factori simpli are caracter extensiv, devolum, numit şi factor cantitativ, simbolizat de obicei cu f (deoarece au rol defrecvenţe de multe ori), în timp ce ceilalţi factori sunt intensivi, numiţi şifactori calitativi.


311

Din produsul celor 2 factori nivelul totalizat al fenomenului complex

la nivelul grupei sau la nivelul întregii colectivităţi.

Fenomenul complex va fi notat cu y

Spre exemplu, valoarea unei mărfi va fi dată de produsul dintre cantitate şipreţul unitar:

14.1.1. Indicii individuali

Prin indici individuali se înţelege raportul de mărime al schimbării unui singurelement, indiferent dacă este o caracteristică a unei colectivităţi omogene,volumul unei grupe sau al colectivităţii.

; ; ,

unde

Aceşti indici individuali notaţi cu sunt indici ai dinamicii întrucât secompară elementele fenomenului din perioada curentă cu acelaşi fenomendin perioada bază de raportare.

La fel se rezolvă şi alţi indici cu semnificaţia:

- indici individuali ai sarcinilor de plan:

; ;

x f⋅ ⇒

x∑ f⋅ ⇒

y x f⋅=

v = p ⋅ q

fenomenul complexnotat teoretic cu “y”

factor calitativ,notat teoretic cu “x”

factor cantitativ,notat teoretic cu “ f ”

i1 0⁄x x1

x0-----= i1 0⁄

f f1f0----= i1 0⁄

y x f⋅( ) x1 f1⋅x0 f0⋅-------------

y1y0-----= =

y x f⋅=

1 0⁄

xplx0------

fplf0-----

xpl fpl⋅x0 f0⋅

----------------

IndicI statistici

312

- indici individuali ai îndeplinirii sarcinii de plan

; ;

- indici teritoriali

sau dacă se doreşte comparaţia invers: ;

sau invers ; sau invers

unde A şi B sunt spaţii teritoriale diferite.

14.1.2. Indicii de grup

Indicii de grup se calculează la nivelul unei grupe sau pe întreagacolectivitate, sintetizând care este variaţia medie a fenomenului studiat.Deci, indicele de grup nu este o sumă a indicilor individuali ci o medie aacestora, exprimând tendinţa de modificare în timp şi spaţiu a caracteristiciila care se referă.

La constituirea indicilor de grup trebuie ţinut seama de următoarele 2 cazuri:

a) când elementele factorului cantitativ (f) ale fenomenului complex nupot fi însumate direct, fiind de esenţă diferită.

Spre exemplu cazul în care o unitate desface produse diferite, la care nu aravea nici un sens economic însumarea. de regulă, în aceste cazuri, nicifactorul calitativ nu poate fi însumat direct.

Spre exemplu, valoarea = preţ x cantitate ( ).

Factorul cantitativ este q, care nu este însumabil direct, iar factorul calitativeste preţul unitar al mărfii (p), care de asemenea nu ar avea sens să-lînsumăm.

x1xpl------

f1fpl-----

x1 f1⋅xpl fpl⋅----------------

iA B⁄ x xA

xB-----=

xBxA-----

iA B⁄ f fA

fB----=

fBxA----- iA B⁄

x f⋅ xA fA⋅xB fB⋅--------------=

xB fB⋅xA fA⋅--------------

v p q×=


313

b) când elementele factorului cantitativ (f) pot fi însumate direct, fiindde aceeaşi natură.

Exemplu, în cazul productivităţii muncii, factorul cantitativ este numărul desalariaţi, care este însumabil.

a) În acest caz indicele de grupă poate fi obţinut sub formă agregată, atât dinmărimi absolute, cât şi din mărimi relative a indicilor individuali.b) Schimbarea medie a fenomenului complex se face cu ajutorul indicilor degrupă, ca raport de medii.

O problemă deosebită la alcătuirea este alegerea şi folosireaponderilor, întrucât aceştia sunt întotdeauna indici ponderaţi.

14.1.2.1. Alegerea şi folosirea indicilor de grupă

La un indice agregat, alcătuit din mărimi absolute, ponderile suntîntotdeauna simple, în timp ce la indicii agregaţi construiţi cu ajutorulmărimilor relative a indicilor individuali, ponderile sunt compuse.

Putem avea următoarele cazuri generale:

şi

În general, pentru a scoate în evidenţă de la o perioadă la alta variaţia mediea factorului calitativ (x), celălalt factor cu care se face ponderarea se ia lanivelul perioadei curente:

şi pentru a scoate în evidenţă modificarea medie a factorului cantitativ prinmijlocirea factorului calitativ, acesta din urmă se ia constant la nivelulperioadei de bază:

.

I1 0⁄

I1 0⁄ x x1 f⋅∑

x0 f⋅∑------------------= I1 0⁄

f f1 x⋅∑f0 x⋅∑

------------------=

x1 f1⋅∑x0 f1⋅∑

--------------------

f1 x0⋅∑f0 x0⋅∑

--------------------

IndicI statistici

314

14.1.2.2. Modalităţi de ponderare a indicilor de grupă

Cele mai răspândite modalităţi de ponderare sunt cele propuse de:- LASPEYRES, care consideră factorul constant în perioada de bază;- PAASCHE, care consideră factorul constant în perioada curentă.

De subliniat faptul că în practică, indicii factorului calitativ se calculează caindici Paasche (cel mai adesea) sau ca indici Laspeyres.

Indicele factorului cantitativ se calculează numai ca indice Laspeyres.

;

Aceşti indici se pot reuni într-un sistem:

- indicele mediu geometric Irving FISCHER:

Pentru factorul calitativ spre exemplu, acesta va fi:

La fel se folosesc ponderile şi la indicii teritoriali.Ponderile la calculul unui indice de grupă îndeplinesc următoarele funcţii:

- îndeplinesc rol de frecvenţe;- au rolul de a scoate în evidenţă schimbarea medie a elementului indexat,deci a elementului care ne interesează, prin fixarea ponderilor la un anumitnivel considerat neschimbat. Deci se face abstracţie de faptul că şi ponderiles-ar modifica în timp. Ponderile sunt considerate neschimbate, tocmaipentru a putea reliefa în timp schimbarea numai a elementelor care neinteresează.

Exemplu:La indicele de grupă al preţurilor se folosesc drept ponderi neschimbatecantităţile de produse din perioada curentă, deoarece ne intereseazăeconomiile realizate ca urmare a reducerii preţului sau sumele ce trebuie săle plătească oamenii în plus ca urmare a creşterii preţurilor la produselerespective.

I Lf x0 f1⋅∑

x0 f0⋅∑--------------------= I P

x x1 f1⋅∑x0 f1⋅∑

--------------------=

I y I Lf I P

x⋅=

I 1 0⁄x x1 f0⋅∑

x0 f0⋅∑--------------------

x1 f1⋅∑x0 f1⋅∑

--------------------⋅=


315

14.2. CONSTRUIREA INDICILOR DE GRUP

Indicii de grup se pot construi sub formă de:a) Indici agregaţib) Indici calculaţi ca medie a indicilor individualic) indici determinaţi ca raport a două medii

14.2.1. Indicii agregaţi

Indicii agregaţi se calculează ca raport între suma mărimilor absolute aleindicatorilor de la nivelul colectivităţii studiate din perioada curentă şi sumamărimilor absolute ale aceloraşi indicatori pentru perioada luată ca bază decomparare.

, avem în vedere că f nu este însumabil direct.

Pentru măsurarea modificării fiecărui factor vom utiliza ca punct de plecareindicele lui y, considerând constant un factor şi variabil factorul a căruimodificare ne interesează. Factorul constant este numit pondere şi poate ficonsiderat la nivelul perioadei de bază sau curentă.

Rezultă astfel diferite sisteme de indici:

- tip Laspeyres

- tip Paasche

Identic şi pentru factorul cantitativ.Aceşti indici se pot reuni într-un sistem:

sau

De subliniat că în practică indicele factorului calitativ se poate calcula atât caindice tip Paasche, cât şi ca indice tip Laspeyres, în timp ce indicelefactorului cantitativ se calculează numai ca indice de tip Laspeyres.

I1 0⁄y y1∑

y0∑------------

x1 f1⋅∑x0 f0⋅∑

--------------------= =

I1 0⁄x x1 f0⋅∑

x0 f0⋅∑--------------------=

I1 0⁄x x1 f1⋅∑

x0 f1⋅∑--------------------=

I1 0⁄y I1 0⁄ L( )

x I1 0⁄ P( )f⋅= I1 0⁄

y I1 0⁄ P( )x I1 0⁄ L( )

f⋅=

IndicI statistici

316

Utilizând indicii din relaţiile de mai sus se pot calcula şi modificările absolute.Atunci când cei doi indici factoriali folosesc sisteme de ponderare diferite(unul de tip Laspeyres, iar cel de-al doilea de tip Paasche) este valabilădescompunerea geometrică (produsul celor 2 indici factoriali este egal cuindicele fenomenului complex).

În acelaşi timp, este valabilă şi descompunerea analitică a sporurilor (sporulfenomenului complex este egal cu suma celor două sporuri datoratefactorilor de influenţă).

Întotdeauna sporul absolut se va calcula ca o diferenţă între numărătorul şinumitorul indicelui şi arată cu cât s-a modificat în mărime absolutăfenomenul complex ca urmare a influenţei factorului respectiv.

În cazul formulelor generale de mai înainte, dacă indicii factoriali s-aucalculat ca un indice de tip Paasche pentru factorul calitativ şi ca un indiceLaspeyres pentru factorul cantitativ, vom avea:

Sporul fenomenului complex y, sub influenţa concomitentă a factorului xşi f

( 1 ‘ )

Sporul fenomenului complex y, sub influenţa factorului cantitativ f :

( 2 ‘ ) Sporul fenomenului complex y, sub influenţa factorului calitativ x :

( 3 ‘ )

( 1 ‘ ) = ( 2 ‘ ) + ( 3 ‘ )

În continuare, dacă dorim să analizăm în ce proporţie un factor contribuie laobţinerea sporului total al fenomenului complex, se va calcula pondereaacestuia în total spor şi se va exprima în procente:

Contribuţia relativă a factorului cantitativ:

•

∆1 0⁄ y x1f1∑ x0f0∑–=

•

∆1 0⁄ y f( ) x0f1∑ x0f0∑–=

•

∆1 0⁄ y x( ) x1f1∑ x0f1∑–=

• k f ∆1 0⁄ y f( )

∆1 0⁄ y

------------ 100⋅=


317

Contribuţia relativă a factorului calitativ:

Suma celor două ponderi va fi obligatoriu egală cu 1 când acestea suntexprimate în coeficient sau cu 100 când au fost exprimate în procente.

sau 100 %

Vom exemplifica în continuare folosirea formulelor teoretice asuprafenomenului (indicatorului) valorii producţiei ( ) care este compus dintr-un factor cantitativ, cantitatea produsă din fiecare produs ( ) şi unulcalitativ, preţul unitar al fiecărui produs ( ).

Dacă se doreşte analiza dinamicii pe total societate, vom avea:

a) Indicele total al valorii, care arată de câte ori a crescut valoareaproducţiei pe total societate în perioada curentă faţă de perioada bază, subinfluenţa tuturor factorilor:

Sporul total al valorii pe întreaga societate va fi diferenţa dintre numărătorulşi numitorul indicelui corespunzător:

Din se vor desprinde cei doi indici factoriali, (sau notat simplu

cunoscut în practică sub denumirea de indicele volumului fizic) şi

(sau notat simplu , cunoscut în practică şi sub denumirea deindicele preţurilor).

Cei doi indici factoriali se calculează de regulă, primul ca un indice de tipLaspeyres, iar cel de-al doilea ca un indice de tip Paasche.

• k x ∆1 0⁄ y x( )

∆1 0⁄ y

------------- 100⋅=

k f k x+ 1=

vi

qi

pi

I1 0⁄ v v1∑

v0∑------------

q1p1∑q0p0∑

------------------= =

∆1 0⁄ v v1∑ v0∑– q1p1∑ q0p0∑–= =

I1 0⁄ v I1 0⁄

v q( )

I1 0⁄ q

I1 0⁄ v p( ) I1 0⁄

p

IndicI statistici

318

b) Indicele volumului fizic:

iar sporul valorii produse pe total societate numai sub influenţa sporuluiproducţiei fizice:

c) Indicele preţurilor:

iar sporul valorii produse pe total societate numai sub influenţa creşteriipreţurilor:

Obligatoriu se va verifica relaţia:

şi respectiv:

dat fiind faptul că la construirea celor 2 indici factoriali au fost folositesisteme de ponderare diferite.

14.2.2. Indici calculaţi ca medie a indicilor individuali

Calculul indicilor sintetici sub formă agregată necesită cunoaştereaagregatelor , , , .

Agregatele şi pot fi obţinute direct dinevidenţa agenţilor economici, exprimând nivelul fenomenului complex încele două perioade.

De foarte multe ori nu se cunosc agregatele şi şideterminarea lor ar necesita eforturi şi cheltuieli suplimentare, iar când secunoaşte doar şi nu separat şi , obţinerea lor directă este imposibilă.

I1 0⁄ v q( )

q1p0∑q0p0∑

------------------=

∆1 0⁄ v q( ) q1p0 q0p0∑–∑=

I1 0⁄ v p( )

q1p1∑q1p0∑

------------------=

∆1 0⁄ v p( ) q1p1 q1p0∑–∑=

I1 0⁄ v I1 0⁄

q I1 0⁄ p⋅= ∆1 0⁄

v ∆1 0⁄ q ∆1 0⁄

p+=

x0f0∑ x1f1∑ x0f1∑ x1f0∑

x0f0∑ y0∑= x1f1∑ y1∑=

x0f1∑ x1f0∑

y x f


319

În acest caz, indicii sintetici sub formă agregată se înlocuiesc cu indiciisintetici calculaţi ca medie a indicilor individuali. În funcţie de dateledisponibile se pot calcula:

1. Dacă cunoaştem nivelul indicatorului complex în perioada de bază şi

indicii individuali ai factorului cantitativ sau factorul cantitativ pentru celedouă perioade ( şi ), indicele sintetic al factorului cantitativ de tip

Laspeyres se calculează ca medie aritmetică a indicilor individuali ( ),folosindu-se ponderea compusă :

şi

2. Dacă se cunoaşte nivelul indicatorului complex în perioada de bază şi

indicii individuali ai factorului calitativ sau nivelul factorului calitativ în celedouă perioade ( şi ), indicele sintetic al factorului calitativ de tip

Laspeyres se calculează ca medie aritmetică a indicilor individuali ,folosindu-se ponderea compusă :

şi

3. Dacă se cunoaşte nivelul indicatorului complex în perioada curentă ( )

şi indicii individuali ai factorului calitativ ( ) sau nivelul factorului calitativ încele 2 perioade ( şi ), indicele sintetic al factorului calitativ de tip Paache

se calculează ca medie armonică a indicilor individuali ( ), folosindu-seponderea compusă .

x0f0

i f

f0 f1

i f

x0f0

ILf x0f1∑

x0f0∑----------------

x0f0∑ i f ⋅

x0f0∑---------------------------= = i f f1

f0----= f1 i f f0⋅=⇒

ix

x0 x1

ix

x0f0

ILx x1f0∑

x0f0∑----------------

ix∑ x0f0⋅

x0f0∑-------------------------= = i1 0⁄

x x1x0-----= x1 i1 0⁄

x x0⋅=⇒

x1f1

ix

x1 x0

ix

x1f1

ILx x1f1∑

x0f1∑----------------

x1f1∑1ix--- x1f1⋅∑

-------------------------= = ix x1x0-----= x0

x1

ix-----=⇒

IndicI statistici

320

14.2.3. Sistemul indicilor calculaţi ca raport de medii

Când elementele factorului cantitativ pot fi însumate direct, schimbareamedie a fenomenului complex se face cu ajutorul indicilor de grupă ca raportde medii. Acesta se foloseşte atunci când este necesar să se calculezeindici de grup pentru variabile calitative care au caracter de medie. Specificacestor variabile calitative este faptul că valorile individuale sunt rezultatulraportului dintre valorile a 2 caracteristici de natură diferită darinterdependente.

De exemplu: Productivitatea la nivelul unei firme se poate exprima ca omedie a productivităţii la nivel de secţii componente ale firmei.Dacă la nivelul unei unităţi a colectivităţii studiate , vom avea:

La nivelul întregii colectivităţi:

, în care

= structura factorului cantitativ;sau altfel spus, frecvenţa relativă.

Indicele sintetic care măsoară variaţia nivelului mediu al fenomenuluicomplex, sub influenţa concomitentă a ambilor factori, poartă denumirea deindice cu structură variabilă:

(1)

Pentru a măsura variaţia nivelului mediu al caracteristicii de indexat caurmare a variaţiei ei în fiecare grupă se calculează indicele cu structurăfixă:

(2)

yi xi fi⋅=

xiyifi----=

xyi∑fi∑

-----------xi∑ fi⋅

fi∑------------------ xi∑ fi

*⋅= = =

fi *

•

I1 0⁄ x f⋅ x1

x0-----

x1 f1⋅∑f1∑

-------------------- : x0 f0⋅∑

x0∑--------------------

x1 f1 *⋅∑

x1 f0 *⋅∑

-----------------------= = =

•

I1 0⁄ x x1 f1⋅∑

f1∑-------------------- :

x0 f1⋅∑f1∑

--------------------x1 f1

*⋅∑x0 f1

*⋅∑-----------------------= =


321

Pentru a măsura nivelul mediu al caracteristicii de indexat, ca urmare avariaţiei structurii colectivităţii, se calculează indicele schimbărilorstructurale:

(3)

În continuare pot fi calculate şi sporurile aferente fenomenului complex şifactorilor de influenţă rezultând:

Exemplu de folosire a indicilor sintetici calculaţi ca raport a două medii:

1. Ştim că productivitatea medie a muncii se poate calcula ca raport întrevaloarea producţiei ( ) şi numărul mediu de salariaţi ( ). Prin urmare, are sensul de variabilă calitativă, calculată ca o mărime relativă deintensitate (raportul dintre doi indicatori diferiţi, dar aflaţi într-o strânsălegătură) şi pe de altă parte, factorul cantitativ poate fi însumat direct.

Se îndeplinesc toate condiţiile pentru a calcula indicele sisntetic alproductivităţii ca un raport a două medii. De altfel, însăşi productivitatea este o mărime medie, rezultând din formula de calcul:

la nivelul secţiei spre exemplu,

la nivelul întregii societăţi:

, unde

este structura numărului de salariaţi (care poate fi exprimată în coeficient, sau în %).

•

I1 0⁄ (f) x0 f1⋅∑

f1∑-------------------- :

x0 f0⋅∑f0∑

--------------------x0 f1

*⋅∑x0 f0

*⋅∑-----------------------= =

1( ) 2( ) 3( )⋅=

∆1 ∆2 ∆3+=

WQ T W

T

W

•

WiQi

Ti-----= Qi Wi Ti⋅=⇒

•

Wi

Q∑ i

T∑ i

------------Wi Ti⋅∑

Ti∑---------------------- Wi Ti

*⋅∑= = =

Ti *

IndicI statistici

322

Cu alte cuvinte, productivitatea medie a muncii la nivelul întregii societăţi

este o medie a productivităţilor medii a muncii a secţiilor componente .Vom construi mai departe sistemul de indici:

Indicele fenomenului complex, respectiv al productivităţii muncii petotal societate, sub influenţa ambilor factori (a productivităţii muncii la nivel

de secţie şi a structurii numărului de salariaţi :

În funcţie de datele disponibile se va opta pentru una din formulele descrisemai înainte. Calculăm mai departe cei doi indici factoriali.

Indicele factorului cantitativ, respectiv structura numărului desalariaţi:

Acesta va arăta de câte ori a crescut productivitatea muncii pe totalsocietate, dar numai sub influenţa modificării structurii numărului de salariaţi.

Indicele factorului calitativ, respectiv productivitatea muncii la nivel desecţie:

Acesta va arăta de câte ori a crescut productivitatea muncii pe totalsocietate, dar numai sub influenţa modificării productivităţilor medii a munciila nivelul secţiilor.

Wi

Wi

•

Ti *

I1 0⁄ Wi

Q1∑T1∑

------------- :Q0∑T0∑

-------------W1T1∑

T1∑-------------------- :

W0T0∑T0∑

--------------------W1T1

*∑

W0T0∑ *

-------------------------= = =

•

I1 0⁄

WiTi

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞ W0T1∑

T1∑-------------------- :

W0T0∑T0∑

--------------------W0T1

*∑

W0T0∑ *

-------------------------= =

•

I1 0⁄ W Wi( ) W1T1∑

T1∑-------------------- :

W0T1∑T1∑

--------------------W1T1

*∑

W0T1∑ *

-------------------------= =


323

În final trebuie să se verifice descompunerea geometrică:

Atunci când avem de-a face cu o dezvoltare intensivă afenomenului, respectiv o creştere a productivităţii muncii pe seama factoruluicalitativ.

Ca şi în cazurile anterioare, se pot calcula şi sporurile absolute, atât alefenomenului complex cât şi a influenţelor datorate factorilor, ca diferenţăîntre numărătorul şi numitorul indicilor corespunzători:

Sporul total al productivităţii muncii pe societate:

Sporul total al productivităţii muncii ca urmare a influenţeimodificării structurii numărului de salariaţi:

Sporul total al productivităţii muncii pe societate ca urmare ainfluenţei productivităţilor secţiilor:

Relaţia dintre sporuri:

I1 0⁄ Wi I1 0⁄

WiTi

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞

I1 0⁄ W Wi( )⋅=

I1 0⁄ W Wi( ) I1 0⁄

WiTi

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞

>

•

∆1 0⁄ W W1T1∑

T1∑--------------------

W0T0∑T0∑

--------------------– W1T1 * W0T0∑

*–∑= =

•

∆1 0⁄

W Ti

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞ W0T1∑

T1∑--------------------

W0T0∑T0∑

--------------------– W0T1 * W0T0∑

*–∑= =

•

∆1 0⁄ W Wi( ) W1T1∑

T1∑--------------------

W0T1∑T1∑

--------------------– W1T1 * W0T1∑

*–∑= =

∆1 0⁄ W ∆1 0⁄

W Ti

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞

∆1 0⁄ W Wi( )+=

IndicI statistici

324

Ca şi în exemplele anterioare, se poate calcula influenţa relativă a unuifactor asupra sporului total al productivităţii muncii, ca mărimi relative destructură:

şi

14.3. DESCOMPUNEREA FACTORIALĂ PRIN SISTEMUL INDICILOR

Cu ajutorul metodei indicilor studiem variaţia fenomenelor complexe în timpşi spaţiu, sub influenţa factorilor determinanţi. Se ştie că fenomenelecomplexe se formează ca produs a cel puţin 2 factori.

Exemplu: Valoarea producţiei se poate calcula ca produs întreproductivitatea medie lunară şi numărul mediu de salariaţi sau,valoarea producţiei este dată de cantitatea produsă înmulţită cu preţulunitar:

Prin metoda indicilor separăm influenţa fiecărui factor în parte şi calculămcontribuţia absolută şi relativă a acestuia la modificarea fenomenuluicomplex.

Operaţia aceasta de separare a contribuţiei factorilor poartă denumirea dedescompunere factorială.

Se folosesc mai multe procedee, printre care:

1. Metoda substituirii în lanţ;

2. Metoda influenţei izolate a factorilor (metoda restului nedescompus).

kWi ∆1 0⁄ W Wi( )

∆1 0⁄ W

----------------- 100⋅= kTi

ΣTi-------- ∆1 0⁄

W Ti

ΣTi--------⎝ ⎠⎛ ⎞

∆1 0⁄ W

-------------------- 100⋅=

kWi k

Ti

ΣTi--------

+ 100 %=

Q We T⋅=

Q q p⋅=


325

14.3.1. Metoda substituirii în lanţ

Metoda substituirii în lanţ constă în anihilarea unui factor şi evidenţierearând pe rând a celorlalţi factori.

În cazul în care variaţia fenomenului complex depinde doar de 2 factori,procedăm astfel:

Avem fenomenul complex

şi prin metoda substituirii în lanţ, printr-o descompunere geometrică indicelegeneral se separă în alţi 2 indici parţiali:

şi

Printr-o descompunere analitică, modificarea absolută totală:

se separă într-o sumă a modificării

datorată factorului calitativ şi a modificării factorului cantitativ

.

În funcţie de succesiunea substituirii factorilor, pot fi 2 variante. Indiferent devarianta aplicată, substituirea în lanţ presupune aplicarea următoarelorreguli:

- indicele influenţei primului factor, de regulă cel cantitativ, se construieştefolosind drept pondere cealaltă sau celelalte variabile la nivelul perioadei debază;

- un factor o dată substituit rămâne drept pondere la nivelul perioadeicurente pe tot parcursul descompunerii pentru ceilalţi indici factoriali.

yi xi fi⋅= I1 0⁄ y x f⋅( )

x1 f1⋅∑x0 f0⋅∑

--------------------=

I1 0⁄ y x( )

x1 f1⋅∑x0 f1⋅∑

--------------------= I1 0⁄ y f( ) x0 f1⋅∑

x0 f0⋅∑--------------------=

I1 0⁄ y x f⋅( ) I1 0⁄

y x( ) I1 0⁄ y f( )⋅=

∆1 0⁄ y x f⋅( ) x1 f1⋅∑ x0 f0⋅∑–=

∆1 0⁄ y x f⋅( ) ∆1 0⁄

y x( ) ∆1 0⁄ y f( )+=

IndicI statistici

326

Practica demonstrează că în general există un singur factor cantitativ cucare se începe analiza factorială, iar ceilalţi sunt factori calitativi şi seordonează în funcţie de relaţiile dintre ei.

În condiţiile în care se iau în calcul mai mult de 2 factori, ordinea substituiriieste mai greu de stabilit deoarece este aproape imposibil să se separeriguros factorii cantitativi de cei calitativi.

Spre exemplu, dacă considerăm un fenomen complex y alcătuit din 3 factori,, în care a este factor cantitativ, b şi c sunt factori calitativi, vom

avea:

În acest caz, este valabilă atât descompunerea geometrică a indicilor:(1) = (2) x (3) x (4), cât şi descompunerea analitică a sporurilor.

y a b c⋅ ⋅=

1( ) I y a1b1c1∑a0b0c0∑

-----------------------=

2( ) I1 0⁄ y a( )

a1b0c0∑a0b0c0∑

-----------------------=

3( ) I1 0⁄ y b( )

a1b1c0∑a1b0c0∑

-----------------------=

4( ) I1 0⁄ y c( )

a1b1c1∑a1b1c0∑

-----------------------=

∆1 0⁄ y a1b1c1 a0b0c0∑–∑=

∆1 0⁄ y a( ) a1b0c0 a0b0c0∑–∑=

∆1 0⁄ y b( ) a1b1c0 a1b0c0∑–∑=

∆1 0⁄ y c( ) a1b1c1 a1b1c0∑–∑=

∆1 0⁄ y ∆1 0⁄

y a( ) ∆1 0⁄ y b( ) ∆1 0⁄

y c( )+ +=⇒


327

Evidenţierea cotei parte cu care contribuie fiecare la modificarea absolută afenomenului complex se va face calculând ponderea sporului datoratfiecărui factor, în total spor:

Un exemplu tipic pentru relaţiile de mai sus cu 3 factori îl poate oferi volumulproducţiei prin influenţele:- modificării numărului mediu al muncitorilor - modificării nr. de ore lucrate de un muncitor într-un an- modificării productivităţii medii orare

ka ∆1 0⁄ y a( )

∆1 0⁄ y

-------------- 100⋅=

kb ∆1 0⁄ y b( )

∆1 0⁄ y

-------------- 100⋅=

kc ∆1 0⁄ y c( )

∆1 0⁄ y

-------------- 100⋅=

ka kb kc+ + 1 sau 100 %=

T

Wh

Wl Wz Dl×= = Wh ⋅ Dz ⋅ Dl

productivitatea medie lunară

productivitateamedie zilnică

productivitateamedie orară

durata medie azilei de lucru

durata medie a lunii de lucru

W QT----= ⇒ Q W T⋅ T Wh Dz Dl⋅ ⋅×= =

valoarea producţiei

numărul mediu salariaţi

IndicI statistici

328

14.3.2. Metoda restului nedescompus

În cazul în care indicii fenomenului complex se alcătuiesc în alte condiţii deponderare şi când:

, atunci nici suma creşterii absolute a

factorului cantitativ şi a celui calitativ nu va mai fi egală cu sporul total alfenomenului complex. În astfel de condiţii de ponderare, sporul total alfenomenului complex se va calcula astfel:

În legătură cu acest rest nedescompus ( ) în literatura de specialitates-a făcut propunerea ca el să fie atribuit în mod proporţional cu contribuţiafiecărui factor în sporul total al fenomenului complex.

- Deci, întâi calculăm ponderea cu care contribuie fiecare factor în sporultotal:

;

- Cu aceşti 2 coeficienţi vom determina cota parte din restul nedescompuscare revine fiecărui factor după cum urmează:

x1 f1⋅∑x0 f0⋅∑

--------------------x1 f0⋅∑x0 f0⋅∑

--------------------x0 f1⋅∑x0 f0⋅∑

--------------------⋅≠

x1 f1⋅∑ x0 f0⋅∑– =

∆x f⋅

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

x1f0∑ x0f0∑–( ) x0f1∑ x0f0∑–( ) x1 x0–( ) f1 f0–( )⋅+ +=

∆x ∆f⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

∆x ∆f⋅

kx

x1f0∑ x0f0∑–

x1f0∑ x0f0∑–( ) x0f1∑ x0f0∑–( )+----------------------------------------------------------------------------------------------=

kf

x0f1∑ x0f0∑–

x1f0∑ x0f0∑–( ) x0f1∑ x0f0∑–( )+----------------------------------------------------------------------------------------------=

kx′ kx ∆x ∆f⋅ ⋅=

kf′ kf ∆x ∆f⋅ ⋅=


329

Astfel, sporul fenomenului complex va fi:

În cazul când

Adăugând aspectele de analiză statistică se poate calcula în continuarecontribuţia procentuală a factorilor la modificarea fenomenului complexastfel:

- ponderea influenţei factorului calitativ asupra variaţiei absolute totale:

(idem pentru factorul cantitativ)

Folosirea acestei metode este mai dificilă în condiţiile în care creşte numărulfactorilor de influenţă, deoarece creşte numărul sporurilor care se datoreazăinteracţiunii factorilor şi odată cu aceasta, sporeşte caracterul convenţionalprivind atribuirea restului nedescompus factorilor de influenţă.

x1f1∑ x0f0∑– x1f0∑ x0f0∑–( ) kx′ x0f1∑ x0f0∑–( ) kf

′+ + +=

influenţa directăa factorului x

cota parte a restului nedescompus

ce revine lui xinfluenţa directăa factorului f

cota parte din restul nedescompus

ce revine lui f

kx′ kf

′> ⇒

kx′ kf

′< ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ calea de dezvoltare a fenomenului

complex este cea intensivă;

calea de dezvoltare a fenomenuluicomplex este cea extensivă;

x1f0∑ x0f0∑–( ) kx′+

∆x f⋅------------------------------------------------------- 100⋅

IndicI statistici

330

14.4. SERII DE INDICI STATISTICI

La construirea seriilor trebuie să ţinem cont de două aspecte:

a) baza de raportare

- cu bază fixă;- cu baza în lanţ.

b) ponderile folosite (acolo unde este cazul)

Ponderile se utilizează când seriile se alcătuiesc din indici sintetici la carevariabilele nu sunt însumabile direct:- ponderi constante- ponderi variabileÎn funcţie de a şi b există serii de indici:

1. Serii de indici de grup cu bază fixă şi ponderi constante:Luăm ca exemplu indicele de grup al factorului calitativ:

2. Serii de indici de grup cu bază în lanţ şi ponderi constante, tot peexemplul factorului calitativ x :

:

sau

Se verifică relaţia dintre indicii cu bază în lanţ şi cei cu bază fixă:

Identic şi în cazul folosirii ca pondere fixă ultimul factor cantitativ .

Ii 0⁄x xif0∑

x0f0∑----------------=

Ii i 1–⁄x xif0∑

xi 1– f0∑----------------------= Ii i 1–⁄

x xifn∑xi 1– fn∑

----------------------=

x1f0∑x0f0∑

----------------x2f0∑x1f0∑

----------------x3f0∑x2f0∑

---------------- ---… ---xnf0∑

xn 1– f0∑-----------------------⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

xnf0∑x0f0∑

----------------=

″fn″


331

3. Serii de indici de grup cu bază în lanţ şi ponderi variabile:

ponderi la nivelul perioadei de bază

sau ponderi la nivelul perioadei curente

În practică, alegerea uneia dintre aceste variante de serii de indici se va faceîn funcţie de conţinutul indicatorului analizat şi de datele disponibile.

Ii i 1–⁄x xifi 1–∑

xi 1– fi 1–∑----------------------------= ″fi 1– ″

″fi″

Ii i 1–⁄x xifi∑

xi 1– fi∑---------------------=

IndicI statistici

332

14.5. APLICAŢII

Problema 1

Se cunosc un set de date cu privire la cantităţile şi preţurile medii la uneleproduse vândute pe piaţa ţărănească din judetul Bacău (mediul urban),prezentate în tabelul nr.1:

Tabelul nr.1

Sursa: Direcţia Judeţeană de Statistică Bacău.

Se cere:

1) Să se calculeze indicii individuali ai volumului fizic, ai preţului şi aivolumului valoric;2) Să se determine indicele agregat tip Laspeyres şi tip Paasche alpreţurilor;3) Să se determine indicele agregat tip Laspeyres şi tip Paasche alvolumului fizic al produselor considerate;4) Să se calculeze indicele agregat al volumului valoric;5) Ce relaţie exista între indicele agregat tip Laspeyres şi tip Paasche alvolumului valoric şi cei ai preţului şi volulmului fizic;6) Să se calculeze modificarea absolută a vânzărilor la cele 6 produse şiinfluenţa pe factori asupra acesteia;7) Să se calculeze indicele agregat al preţurilor folosind şi alte sisteme deponderare cunoscute;8) Să se verifice relaţia dintre indicele agregat al preţurilor de tip Laspeyresşi cel de tip Paasche cu ajutorul formulei lui Bortkiewicz.

DenumireaProdusului

U.M.Ianuarie 1999 Februarie 1999

CantitatePreţ

(lei / U.M.)Cantitate

Preţ(lei / U.M.)

0 1 2 3 4 5- cartofi de toamnă Kg 47372 3201 64646 2897- fasole uscată Kg 2355 5597 4295 5434- mere Kg 17380 5237 25060 7253- garoafe fir 8030 3293 12884 4407- lapte dulce litru 6325 3574 10566 3771- ouă de găină buc. 5225 1120 13609 988


333

Rezolvare:

1) Notam cu şi cu cantitatea vândută în ianuarie 1999, respectiv

februarie 1999; cu şi preţul unitar, în ianuarie 1999 şi februarie 1999;

cu şi volumul valoric din fiecare produs, în cele două perioade.

Tabelul nr.2


Indicii individuali ai volumului fizic se calculează după relaţia:

Denumirea produsului

U.M.

Ianuarie 1999 Februarie 1999Valoare vândutã - milioane lei -

0 1 2 3 4 5 6 7- cartofi Kg 47372 3201 64646 2897 151,6 187,3- fasole Kg 2355 5597 4295 5434 13,2 23,3- mere Kg 17380 5237 25060 7253 91,0 181,8- garoafe fir 8030 3293 12884 4407 26,4 56,8- lapte litru 6325 3574 10566 3771 22,6 39,8- ouă buc. 5225 1120 13609 988 5,9 13,4TOTAL x x x x x 310,7 502,4

Indicii individuali%

qi0pi1

mil.lei

qi1pi0

mil.lei

mil.lei mil.lei8 9 10 11 12

136,5 90,5 123,5 137,2 206,9182,4 97,1 176,5 12,8 24,0144,2 138,5 199,8 126,1 131,2160,4 133,8 215,2 35,4 42,4167,1 105,5 176,1 23,9 37,8260,5 88,2 227,1 5,2 15,2

x x x 340,6 457,5

qi0qi1

pi0pi1

vi0vi1

qi0pi0

qi1pi1

vi0 =

pi1qi0

×

vi1 =

pi1qi1

×

q0/1i

p0/1i

v0/1i

qi0pi1

× qi1pi0

×

100sau 0/10

10/1 ×= q

i

iq iqq

i

IndicI statistici

334

Astfel, de exemplu pentru produsul cartofi:

Cantitatea desfacută la produsul ''cartofi'' a înregistrat, în luna februarie1999, o creştere de aproape 1,4 ori (sau cu 36,5%) fata de luna anterioară.Rezultatele pentru toate produsele au fost efectuate în tabelul nr.1.

Calculele referitoare la indicii individuali ai preţului unitar se efectuează dupărelaţiile:

De exemplu, la produsul cartofi rezultatul obţinut arată că s-a înregistrat oscădere a preţului de vânzare pe kilogram cu 9,5% ( 90,5 - 100 = - 9,5 ):

Volumul valoric se efectuează după relaţiile:

De exemplu, la produsul cartofi, volumul valoric al produsului a crescut de1,235 ori, sau cu 23,5% :

Acelaşi rezultat se putea obţine şi pe baza relaţiei dintre cei trei indici.Astfel, se obţine:

%5,136sau365,14737264646

i iq0/1 ==

100×pp

=isaupp

=i0i

1iip0/1

0i

1iip0/1

%sau,i ip/ 5,909050

32012897

01 ==

100×vv

=isauvv

=i0i

1iiv0/1

0i

1iiv0/1

%5,123 sau 235,16,1513,187

i iv0/1 ==

iq0/1

ip0/1

iv0/1 ×iii =


335

2) Indicele agregat al preţurilor se poate calcula în funcţie de sistemul deponderare folosit în doua moduri: ca un indice tip Laspeyres şi un indice tipPaasche, după relaţiile:

3) Indicele agregat al volumului fizic poate fi calculat, de asemenea, cuambele sisteme de ponderare:

Se observă că nu au rezultat diferenţe substanţiale din calculul celor doiindici agregaţi, folosind sisteme de ponderare diferite.

4) Indicele agregat al volumului valoric se calculeaza după relaţia:

Rezultatul obţinut arată că volumul valoric al celor şase produse desfacutepe piaţa ţărănească în luna februarie 1999 a fost de 1,6 ori mai mare fata deluna ianuarie 1999, sau se poate afirma că aceasta a crescut cu 61,7%.

%,sau,,,

pq

pq(Paasche)I

iii

iii

p/i 81090981

54574502

01

11

01 ===∑∑

%,sau,,,

pq

pq)(LaspeyresI

iii

iii

p/i 61090961

73106340

00

10

01 ===∑∑

%,sau,,,

pq

pq(Paasche)I

iii

iii

q/i 51474751

63404502

10

11

01 ===∑∑

%,sau,,,

pq

pq)(LaspeyresI

iii

iii

q/i 21474721

73105457

00

01

01 ===∑∑

%,sau,,,

pq

pqI

iii

iii

v/i 71616171

73104502

00

11

01 ===∑∑

iii q/

p/

v/ III 010101 ×=

IndicI statistici

336

5) Relaţia între cei trei indici agregaţi calculaţi:

Se verifică doar în cazul în care cei doi indici componenţi s-au calculat pebaza unor sisteme de ponderare diferite.

Astfel, de exemplu: 1,617 = 1,096 x 1,475 (se verifica egalitatea)sau:

De exemplu: 1,617 = 1,098 x 1,472

(se verifică egalitatea, mai puţin ultima zecimală, datorată rotunjirilorefectuate)

6) Modificarea absolută a volumului valoric se poate determina pornind de laindicele calculat la punctul 4), ca diferenţă între număratorul şi numitorulindicelului, după relaţia:

Rezultatul arată că valoarea desfacerilor a crescut, pe total, cu 191,7milioane lei, ca urmare a influenţei combinate a creşterii cantităţilor vânduteşi a creşterii preţurilor unitare.Descompunerea sporului volumului valoric pe factori de influenţa porneştede la indicele agregat al preţurilor tip Paasche (calculat la punctul 2) şi de laindicele agregat al volumului fizic tip Laspeyres (calculat la punctul 3).

Observaţie: Se poate porni şi de la celelalte sisteme de ponderare folosite,în funcţie de datele pe care le avem la dispoziţie dar, întrucât la nivelinternaţional s-a convenit utilizarea indicelui tip Laspeyres pentru factorulcantitativ şi tip Paasche pentru cel calitativ, vom adopta acest sistem deponderare mai departe.

Influenţa modificării preţului unitar:

(Paasche),I)(LaspeyresII iii q/

p/

v/ 010101 ×=

)()( 010101 LaspeyresIPaascheII iii q/

p/

v/ ×=

leimilioane,,,pqpqi i

iiiiv

/i 719173104502001101 =−=−=∆ ∑ ∑


iiiip

/i 94454574502011101 =−=−=∆ ∑ ∑


337

Influenţa modificării volumului fizic:

Corelaţia dintre cele două sporuri şi sporul total al valorii:

Măsurarea gradului de influenţă a celor doi factori asupra dinamiciivolumului valoric pe total produse vândute pe piaţa ţărănească, se poateefectua prin calcularea ponderii fiecărui spor în totalul sporului volumuluivaloric, exprimat în procente:

Diferenţa până la 100% fiind dată pe seama influenţei celuilalt factor:

100 - 23,4 = 76,6% respectiv:

Cu alte cuvinte, vânzările pe piaţa ţărănească au crescut, pe totalul celor 6produse, cu 61,7%, creştere echivalentă cu 191,7 milioane lei în lunafebruarie 1999 faţă de luna ianuarie 1999.

Această creştere s-a realizat în proporţie de 76,6% ca urmare a creşteriiefective a volumului fizic al vânzărilor, care a adus un plus de valoare de146,8 milioane lei şi, în proporţie de doar 23,4% ca urmare a creşteriipreţurilor unitare, care a adus un plus de valoare de 44,9 milioane lei.

Pe produse, creşterea cea mai mare a avut loc la sortimentul "ouă", la carepreţul unitar a înregistrat o scădere cu 11,8%, în timp ce cantitateadesfăcută a înregistrat o creştere de peste 2,6 ori.


iiiiq

/i 814673105457000101 =−=−=∆ ∑ ∑

81469447191010101 ,,,respectiv:iii q/

p/

v/ +=∆+∆=∆

%4,231007,1919,44100

0/1

0/1 =×=×∆∆

v

p

%6,761007,1918,146100

0/1

0/1 =×=×∆∆

v

q

IndicI statistici

338

7) La punctul 2) şi respectiv 3) s-a calculat indicele agregat al preţurilorfolosind sistemul de ponderare Laspeyres şi Paasche.

Acelaşi indice se poate calcula folosind formula propusă de Irving Fischer,care presupune calculul mediei geometrice a indicelui preţului calculat încondiţiile celor două sisteme de ponderare:

Alte posibilităţi de calcul:

(media aritmetica a indicelui tip Paasche şi a indicelui tip Laspeyres).

Din rezultatele obţinute pentru indicele agregat al preţurilor, calculat dupăcele cinci relaţii diferite, se observă că valorile indicelui sunt foarte apropiate,indiferent de relaţia de calcul folosită. Numai în cazuri particulare ar putea fiidentice.

8) Verificarea influenţei sistemului de ponderare asupra indicelui agregatpresupune folosirea relaţiei Bortkiewicz:

- coeficientul de corelaţie Paasche:

%7,10909699,12034,1098,1096,1)(10

11

00

01

0/1 sauqp

qp

qp

qpFischerI

iii

iii

iii

iii

p ==×=×=∑∑

∑∑

%7,109 sau 097,12194,2

2098,1096,1

2

qp

qp

qp

qp

)DrobischSidgwik(I i1i0i

i1i1i

i0i0i

i0i1i

p0/1 ==

+=

+

=∑∑

∑∑

%7,109 sau 097,12,7680,843

5,4577,3104,5026,340

qpqp

qpqp)Edgeworth(I

i1i0i

i0i0i

i1i1i

i0i1i

p0/1 ==

++

=+

+= ∑∑

∑∑

ri qi p

07175,071541438,13984114,0

7,31022113,01996249,0984114,0

pqσσ

pq)Ii)(Ii(r

i0i0ipiqi

i0i0i

qqpp

piqi==

××=

××

×= ∑∑


339

- abaterile medii pătratice:pq iisi σσ

2211327,004889967,07,310

193128,15)(

1996249,003985,07,310

3818425,12)(

00

002

00

002

===⋅−

=

===⋅−

=

∑∑

∑∑

iii

iii

pp

i

iii

iii

qq

i

pq

pqIi

pq

pqIi

p

q

σ

σ

pq ii si vv - coeficienţii de variaţie:

)2(098,1

)3(472,1

2013959,0098,1

2211327,0

1356147,0472,1

1996249,0

10

11

01

01

punctullacalculatpq

pqI

punctullacalculatpq

pqI

Iv

Iv

iii

iii

p

iii

iii

q

pi

i

qi

i

p

p

q

q

==

==

===

===

∑∑

∑∑

σ

σ

IndicI statistici

340

Tabelul nr. 3 - Elementele de calcul pentru relaţia Bortkiewicz:


Prima parte a relaţiei lui Bortkiewicz:

Rezultatul ne arată că:

Explicaţia este dată de relaţia lui Bortkiewicz, partea a doua a acesteia:

Coeficientul de corelaţie între indicii individuali ai celor două variabile fiindpozitiv

ne arată existenţa unei legături directe, iar coeficienţii devariaţie sunt diferiţi de 0.

Produsul

0 1 2 3 4 5Cartofi de toamna

0,905 1,365 -0,193 0,037249 5,6469484

Fasole 0,971 1,824 -0,127 0,016129 0,2129028Mere 1,385 1,442 0,287 0,082369 7,4955790Garoafe 1,338 1,604 0,240 0,057600 1,5206400Lapte 1,055 1,671 -0,043 0,001849 0,0417874Oua 0,882 2,605 -0,216 0,046656 0,2752704TOTAL - - - 0,241852 15,1931280

6 7 8 9 10-0,107 0,011449 1,7356684 0,020651 3,1413550,352 0,123904 1,6355328 0,044704 -0,589440

-0,030 0,000900 0,0819000 0,008610 -0,7864900,132 0,017424 0,4599936 0,031680 0,8418020,199 0,039601 0,8949826 0,008557 -0,1924201,133 1,283689 7,5737651 0,244728 -1,430690

- - 12,3818425 - 0,984114

0

1

i

ip

ppi =

0

1

i

iq

qqi = )( pp Ii − 2)( pp Ii − 00

2)( iipp pqIi ⋅−

)( qq Ii − 2)( qq Ii − 002)( ii

qq pqIi ⋅− ))(( qqpp IiIi −− 00))(( iiqqpp pqIiIi −−

002,1096,1098,1:

00

01

10

11

==∑∑

∑∑

iii

iii

iii

iii

qp

qp

qp

qp

)(0/1

)(0/1

01 qpqp II >

002,1002,012013959,01356147,007175,011 =+=××+=××+ pqpq iiii vvr

)0072,0( >=pqiir


341

Deci, dinamica factorului calitativ se asociază cu dinamica factoruluicantitativ.

În acest caz, existenţa unei legături directe a determinat ca indicele preţuluisă depindă de sistemul de ponderare folosit, respectiv indicele calculat cuponderarea din perioada curentă (de tip Paasche) este mai mare decât celcalculat cu ponderarea din perioada de bază (de tip Laspeyres).

Problema nr. 2

*) exclusiv serviciile de transport, poştă şi telecomunicaţii.SURSA: "Anuarul statistic al României" 1997 - Comisia Naţională pentru Statistică (paginile 402, 670, 697)

Se cere:

1) Să se calculeze indicii individuali ai preţurilor din fiecare an faţă de anulprecedent.2) Să se calculeze indicii individuali ai volumului valoric al desfacerilor şi alserviciilor în fiecare an faţă de anul precedent, în preţurile curente alefiecărui an.3) Să se calculeze indicii individuali ai volumului fizic al desfacerilor şi alserviciilor faţă de anul precedent şi să se calculeze sporul absolut alvolumului fizic, precum şi structura acestuia pe total.4) Să se calculeze proporţia în care a influenţat creşterea preţurilor asuprasporului total al volumului valoric al vânzărilor şi serviciilor comerciale în anii1995 şi 1996 fata de anul anterior.5) Să se calculeze indicii volumului valoric, volumului fizic şi ai preţurilor deconsum din anul 1996 faţă de anul 1993.

Rezolvare:1) Pentru a calcula indicii individuali ai preţurilor faţă de anul precedent nefolosim de corelaţia existentă între indicii cu baza în lanţ şi cei cu baza fixă:

anul 1993

anul 1994

anul 1995

anul 1996

anul 1993

anul 1994

anul 1995

anul 1996

-marfuri alimentare 2430,9 5531,9 8362,9 12144,1 3361,2 7940,3 10469,3 14276,5 -marfuri nealimentare 2935,3 7830,2 13878,9 23172,2 2907,4 6769,8 8775,5 12205,9 -servicii comerciale* 750,4 2222,5 3607,3 5431,0 2249,5 5641,8 8051,2 11830,8TOTAL 6116,6 15584,6 25849,1 40747,3 2987,0 7071,9 9353,4 12983,4

Grupa de marfuri sau servicii

Volumul valoric miliarde lei preturi curente

Indicii Preturilor de Consum / anul 1990=100%

IndicI statistici

342

Calculele sunt prezentate în următorul tabel:

Tabelul nr.1

2) Indicii individuali ai volumului valoric se calculeaza raportând datelevalorice în preţuri curente ale fiecărui an la anul precedent:

Datele rezultate pe fiecare grupa în parte au fost prezentate în tabelul nr.1.

Exemplu de calcul:

- pentru grupa de mărfuri alimentare, în anul 1994 fata de anul 1993,volumul vânzărilor de mărfuri cu amănuntul a crescut în preţuri curente depeste 2,2 ori (sau cu 127,6%):

Dar, întrucât indicii au fost calculaţi folosind datele în preţuri curente alefiecărui an şi, cum asupra creşterii volumului valoric a influenţat şidevalorizarea monedei naţionale, este necesar să calculăm acest indice înpreţuri comparabile.

3) Pentru a calcula indicele volumului fizic, avem două posibilităţi:a) Potrivit relaţiei de descompunere geometrică a indicilor:

01

0

1 −−=

i

i

ii I

II

Grupa de marfuri sau servicii

- anul precedent=100% - anul 1994

anul 1995

anul 1996

anul 1994

anul 1995

anul 1996

0 1 2 3 4 5 6 -marfuri alimentare 236,2 131,9 136,4 227,6 151,2 145,2 -marfuri nealimentare 232,8 129,6 139,1 266,8 177,2 167,0 -servicii comerciale 250,8 142,7 146,9 296,2 162,3 150,6TOTAL 236,8 132,3 138,8 254,8 165,9 157,6

Indicii individuali ai volumului valoric in

preturi curente

Indicii individuali ai preturilor / anul precedent=100%

1000

01 ×=vv

i iv/i

%,sau,,,i )(vi 622727629243095531alimentare

1931994 ==

iii q/

p/

v/ iii 010101 ×=


343

Cum sunt calculaţi în tabelul nr.1, ne folosim de aceşti indici şivom deduce indicele volumului fizic atat pe fiecare grupă în parte, cât şi petotal:

De exemplu, pentru a calcula de câte ori a crescut volumul fizic al mărfurilornealimentare vândute în anul 1996 faţă de anul 1995:

În felul acesta, s-a eliminat influenţa inflaţiei din perioada respectiva, lăsândcurat, creşterea fizica a volumului de mărfuri nealimentare vândute în anul1996 fata de anul 1995, deci de 1,2 ori, sau o creştere cu 20,0%.

Datele calculate în acest mod pe fiecare grupă în parte sunt prezentate întabelul nr.2.

Tabelul nr.2

S-a observat, din datele calculate, că la o singură grupă creşterea preţului afost mai mare decât creşterea volumului valoric, ceea ce a facut ca în anul1994 faţă de 1993 volumul fizic al mărfurilor alimentare vândute să fie maimic cu 3,7% (96,3 - 100,0 = - 3,7%).Cea mai mare creştere reală a vânzărilor s-a produs la grupa mărfurilornealimentare în anul 1995 când, faţă de anul anterior s-au vândut de 1,367ori mai multe produse (+36,7%).

b) O altă posibilitate de calcul a creşterii reale a volumului de vânzări sauservicii prestate ar fi recalcularea datelor absolute ale fiecărui an (pe fiecaregrupă în parte) în preţurile comparabile ale următorului an, apoi calcululdinamicii prin împarţirea datelor în preţuri comparabile.

ii v/

p/ i i 0101 si

i

ii

p/

v/q

/ ii

i01

0101 =

%, sau ,,,i )(qi 0120200111390167renealimenta marfuri

19951996 ==

anul 1994 anul 1995 anul 19960 1 2 3

-marfuri alimentare 96,3 114,7 106,5 -marfuri nealimentare 114,6 136,7 120,0 -servicii comerciale 118,1 113,7 102,5TOTAL 107,6 125,4 113,6

Indicii volumului fizic / anul precedent=100%Grupa de marfuri sau servicii

IndicI statistici

344

De exemplu, aducem serviciile comerciale din anul 1993 în preţuri constante(comparabile) ale anului 1994, prin înmulţirea acestora cu indicele preţurilorcorespunzator grupei şi perioadei:

750,4 x 2,508 = 1882,0 miliarde lei servicii comerciale în anul 1993 înpreţurile medii ale anului 1994.

Apoi, calculam indicele în preţuri comparabile, rezultând astfel indicelevolumului fizic:

Rezultatul coincide cu cel de la punctul a). Avantajul folosirii acestei metodeeste dat de posibilitatea de calcul al sporului absolut şi nu doar a indicatorilorrelativi ai dinamicii.

În exemplul considerat, scazând din numărator numitorul indicelui vom aflacu câte miliarde lei a scăzut volumul valoric al serviciilor ca urmare ascăderii volumului fizic al acestora:

Calculele pe fiecare grupă în parte şi pe total sunt prezentate în tabelul nr.3.

Tabelul nr.3

Toate rezultatele obţinute la indicii individuali ai volumului fizic în tabelul nr.3sunt comparabile cu cele din tabelul nr. 2.

%, sau ,,,i )qi 111818110188252222comerciale (servicii

19931994 ==

lei miliarde,,,)(qi 53400188252222comerciale servicii

9931994 +=−=∆

anul 1993 anul 1994 1994/1993 anul 1994 anul 1995 1995/1994 anul 1995 anul 1996 1996/19950 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-marfuri alimentare

5742,6 5531,9 96,3 7293,8 8362,9 114,7 11404,1 12144,1 106,5

-marfuri nealimentare

6834,8 7830,2 114,6 10150,1 13878,9 136,7 19304,3 23172,2 120,0

-servicii comerciale

1882,0 2222,5 118,1 3171,6 3607,3 113,7 5300,7 5431,0 102,5

TOTAL 14481,4 15584,6 107,6 20612,4 25849,1 125,4 35881 40747,3 113,6

Indicele volumului fizic %

miliarde lei

Grupa de marfuri sau

servicii

Volumul valoric in preturi constante ale

anului 1995


miliarde lei


anului 1996


anului 1994

miliarde lei



345

Observaţie: dacă se verifică manual calculele efectuate în coloanele 1, 4 şi7, acestea diferă puţin de datele îscrise în tabel, datorită faptului că acesteaau rezultat din calcule automate, luând în calcul toate zecimalele rezultatedin împărţirea indicilor de preţ cu bază fixă anul 1990.

Pentru a putea calcula structura sporului absolut total, ne vom folosi decalculele din tabelul nr.4.

Tabelul nr. 4

Din datele calculate, rezultă că cel mai mare spor în mărime absolută, înfiecare an, a cunoscut grupa mărfurilor nealimentare. Astfel, în anul 1996spre exemplu, faţă de anul 1995, volumul vânzărilor de mărfuri cuamânuntul la grupa de mărfuri nealimentare a crescut cu 3867,9 miliarde lei(preţuri comparabile), aceasta creştere reprezentând 81,6% din sporulabsolut al vânzărilor şi serviciilor prestate populaţiei.

Întrucât la grupa de mărfuri alimentare în anul 1994 s-a înregistrat oreducere cu 210,7 miliarde lei a vânzărilor, datorită faptului că sporurileabsolute nu sunt omogene între ele, prezentând atât creşteri cât şi scaderi,nu vom mai calcula structura pe total spor.

4) Pentru a calcula influenţele absolute pe factori, plecăm de la datele iniţialeprezentate în preţuri curente şi vom calcula sporul absolut al volumuluivaloric al fiecărui an faţă de anul anterior.

Spre exemplu, la mărfuri alimentare, în anul 1996 faţă de anul 1995, volumulvânzărilor a crescut cu 3781,2 miliarde lei, creştere datorată atat inflaţiei câtşi creşterii volumului fizic al vânzărilor.

Grupa de mărfuri sau

servicii

Sporul absolut 1994/1993 în preţuri

comparabile 1994

miliarde lei


comparabile 1995

miliarde lei

Ponderea fiecărui spor în total (%) anul 1995


comparabile 1996

miliarde lei

Pondereafiecărui spor în total (%) anul 1996

0 1 2 3 4 5 -mãrfuri alimentare

-210,7 1069,1 20,4 740,0 15,6

-mãrfuri nealimentare

995,4 3728,8 71,2 3867,9 81,6


340,5 435,7 8,4 130,3 2,7

TOTAL 1103,2 5236,7 100,0 4738,2 100,0

IndicI statistici

346

Sporul absolut al volumului fizic a fost calculat în tabelul nr. 4, deci, nu neramâne de făcut decât să calculăm ponderea sporului volumului fizic alvânzărilor în total spor de volum valoric:

De exemplu, pentru anul 1996 / 1995 la grupa de mărfuri alimentare avem:

După aceasta vom calcula diferenţa faţă de 100% scăzând din 100ponderea calculată mai sus, obţinând astfel cât % din sporul total alvolumului valoric este datorat inflaţiei, respectiv creşterilor de preţ.

În exemplul considerat avem: 100% - 19,6% = 80,4%

Deci, în anul 1996 fata de anul 1995 volumul vânzărilor de mărfurialimentare a crescut de 1,45 ori, ceea ce echivalează cu o creştere absolutăde 3781,2 miliarde lei.

Din aceasta creştere, 19,6% este urmare a creşterii efective a vânzărilor (avolumului fizic), diferenţa de 80,4% fiind urmare a inflaţiei din aceastăperioadă.

Sau, altfel spus, inflaţia a influenţat într-o proporţie de 64,6% creştereavalorică a vânzărilor de mărfuri alimentare.

Aceasta ultimă analiză s-a efectuat utilizând coeficientul de determinaţie,prin ridicarea la pătrat a ponderii calculate mai înainte şi exprimareaprocentuală.

În exemplul de mai sus, (0,804)2 x 100 = 64,6%.

Datele au fost calculate în tabelul nr. 5 pentru toate grupele:

lei miliarde,,,)(vi 2378198362112144alimentare marfuri

19951996 +=−=∆

%,,,

i

i

v

q

619100237810740100

19951996

19951996

=×=×∆

∆


347

Tabelul nr.5

Se poate observa din datele rezultate ca în anul 1996 faţă de anul anterior acrescut şi mai mult influenţa inflaţiei asupra volumului vânzărilor şi aserviciilor, în detrimentul reducerii creşterii volumului fizic al acestora.

Acest aspect se constată la fiecare grupă în parte, dar mai accentuat laserviciile comerciale prestate populaţiei, unde ponderea sporului subinfluenţa preţurilor creşte de la 68,5% la 92,9%, influenţa inflaţiei asupracreşterii valorii mărindu-se de la 46,9% la 86,3%.

5) Pentru a calcula dinamica indicatorilor din anul 1996 fata de anul 1993,vom pleca de la datele iniţiale şi vom face calculul indicilor volumului valoricîn preţuri curente:

Spre exemplu, la mărfuri alimentare:

Ceea ce înseamnă că în anul 1996 vânzarea de mărfuri alimentare a crescutde aproape 5 ori (+399,6%), creştere sub influenţa ambilor factori: creştereavolumului fizic precum şi creşterea preţurilor.

Grupa de mărfuri sau

servicii

Sporul absolut al volumului valoric miliarde lei preţuri curente ale

fiecărui an

Ponderea sporului volumului fizic al

vânzărilor şi prestarilor în total spor al

volumului valoric%

Ponderea sporului volumului valoric datorat creşterii

preţurilor%

1994/1993

1995/1994

1996/1995

1995/1994

1996/1995

1995/1994

1996/1995

0 1 2 3 4 5 6 7 -mãrfuri alimentare

3101,0 2831,0 3781,2 37,8 19,6 62,2 80,4

-mãrfuri nealimentare

4894,9 6048,7 9293,3 61,6 41,6 38,4 58,4


1472,1 1384,8 1823,7 31,5 7,1 68,5 92,9

TOTAL 9468,0 10264,5 14898,2 51,0 31,8 49,0 68,2

1001993

1996

19931996 ×=

vv

i iv

%6,4991009,24301,12144

=×

IndicI statistici

348

Urmează apoi să aflăm care a fost creşterea medie a preţurilor din anul1996 faţă de anul 1993. Pentru aceasta plecăm tot de la datele iniţiale aleproblemei, folosindu-ne de relaţia dintre indici:

Astfel:

De exemplu, la grupa de mărfuri alimentare vom aveaun indice de preţ

Calculele sunt prezentate în tabelul nr.6

Tabelul nr.6

Indicii volumului fizic s-au calculat cu ajutorul corelaţiei:

De unde:

Se observa imediat din calcule că indicele preţurilor atât pe total cât şi pefiecare grupă în parte este cu mult mai mare decât indicele volumului fizic,de aici putem trage concluzia că în perioada 1993 - 1996 influenţa inflaţieiasupra creşterii valorii desfacerilor de mărfuri precum şi a serviciilorcomerciale prestate populaţiei a fost substanţială.

Pentru a explica influenţa pe factori a dinamicii volumului valoric, se poatetrece la descompunerea analitică, utilizând sporul absolut şi calculândponderea fiecărei influenţe în total spor, exact ca la punctul 4.

Grupa de mărfuri sau servicii

Indicele volumului valoric calculat în preţuri curente

%1996/1993

Indicele Preţurilor de Consum

%1996/1993

Indicele volumului fizic

%1996/1993

0 1 2 3-mãrfuri alimentare 499,6 424,7 117,6-mãrfuri nealimentare 789,4 419,8 188,0-servicii comerciale 723,7 525,9 137,6TOTAL 666,2 434,7 153,3

I1996 1993⁄ pi I1996 1990⁄

pi

I1993 1990⁄ pi

----------------------- 100×=

%7,4241002,33615,14276

=×=

I1996 1993⁄ vi I1996 1993⁄

pi I1996 1993⁄ qi×=

I1996 1993⁄ qi I1996 1993⁄

vi

I1996 1993⁄ pi

----------------------- 100×=


349

Problema nr.3

Se cunosc următoarele date cu privire la activitatea industrială din judetulBacău:

Tabelul nr.1

Sursa: "INFOSTAT" Nr.12 / 1998, paginile: 4,7,8; Direcţia Generală Judeţeană de Statistică Bacău.

*Nota: Producţia industriala aferentă oraşului Slanic Moldova fiind foarte mică, afost înregistrată la orasul Moineşti (după sediul agentului economic).

Se cere:1) Să se calculeze indicii individuali ai productivităţii muncii.2) Să se determine dinamica productivităţii medii a muncii şi să seevidenţieze influenţa factorilor asupra acesteia cu ajutorul indicilor calculaţidin mărimi medii.3) Să se descompună analitic productivitatea medie a muncii pe factori deinfluenţă.4) Să se calculeze indicele de grup al volumului producţiei şi creştereaabsolută a acesteia.5) Să se determine sporul volumului producţiei ca urmare a variaţieiproductivităţii muncii şi a numărului de muncitori pe baza procedeuluisubstituirii în lanţ, a sporului nedescompus şi a procedeului creşterilor finite(Lagrange).

Denumirea localităţii

Valoarea producţiei industriale miliarde

lei anul 1998

Indicele producţiei industriale calculat

în preţuri comparabile %

1998/1997

Număr mediu de personal

anul 1997

anul 1998

0 1 2 3 4 -municipiul Bacău 3281,4 83,0 28984 24687 -municipiul Oneşti 3559,6 85,4 16692 13164 -oras Buhuşi 145,2 64,7 4332 2529 -oras Comăneşti 197,3 66,1 5184 3634 -oras Moineşti* 222,6 90,5 2320 1703 -oras Tg.Ocna 123,5 79,1 1273 1007 -oras Darmăneşti 696,9 215,2 611 411 -rural + pe raza altor judete 952,3 85,7 4847 3334TOTAL JUDET BACĂU 9178,8 87,5 64243 50469

111 iii TWq ⋅= prod/i 01

0iT 1iT

IndicI statistici

350

Rezolvare:

1) Notăm volumul producţiei industriale din anul 1997 cu q0, respectiv cu q1pentru anul 1998. Numărul salariaţilor cu T0 şi T1 corespunzător celor douăperioade, iar productivitatea muncii pe salariat cu W0, respectiv cu W1.

Pentru a calcula indicii individuali ai productivităţii muncii, mai întai trebuiesă deducem pe baza datelor disponibile, care a fost valoarea producţieiindustriale din anul 1997. Vom obţine aceasta valoare împărţind valoareaproducţiei industriale din anul 1998 la indicele producţiei industriale subformă de coeficient:

Exemplu: Pentru municipiul Bacău:

În continuare, se va calcula:

pentru ambele perioade şi apoi indicii productivităţii muncii:

Datele sunt prezentate în tabelul nr.2:

Tabelul nr.2

Denumirea localităţii

Valoarea producţiei industriale miliarde lei anul 1997

Productivitatea muncii

milioane lei/salariat

Indicele productivităţi

i muncii - W - %

anul 1997

anul 1998

0 1 2 3 4 5 6 -municipiul Bacău 3953,5 136,4 132,9 97,4 3367,4 3852,6 -municipiul Oneşti 4168,1 249,7 270,4 108,3 3287,2 4513,6 -oras Buhuşi 224,4 51,8 57,4 110,8 131,0 248,7 -oras Comăneşti 298,5 57,6 54,3 94,3 209,2 281,5 -oras Moineşti 246,0 106,0 130,7 123,3 180,6 303,2 -oras Tg.Ocna 156,1 122,6 122,6 100,0 123,5 156,1 -oras Dărmăneşti 323,8 530,0 1695,6 319,9 217,8 1036,0 -rural+ pe raza altor judete

1111,2 229,3 285,6 124,6 764,3 1384,5

TOTAL JUDET BACĂU 10481,7 163,2 181,9 111,5 8281,0 11776,2

10001

10 prod

/

ii i

qq =

83043281

0 ,,qi = =3953,5 miliarde lei

:TqW =

0

101 W

WiW

/ =

000 iii TWq ⋅=iW

/i 01

Wi0 Ti1⋅ Wi1 Ti0⋅

0iW 1iW


351

Din calcule se pot observa diferenţele existente între localităţi. Astfel, faţă deo creştere medie pe judet cu 11,5% a W, oraşul Comăneşti cunoaştereducerea cea mai mare, cu -5,7% (94,3 - 100) faţă de anul 1997 şi cu -70,1% faţă de media pe judeţ în anul 1998.

Urmează apoi municipiul Bacău, la care W scade în medie cu 2,6%, aceastafiind cu 26,9% faţă de W medie pe judeţ în anul 1998.

În acelaşi timp, la oraşul Dărmăneşti W creşte de 3,2 ori, fiind de 9,3 ori maimare: decât media pe judet, aceasta datorita în principal

Rafinăriei Dărmăneşti care şi-a reluat activitatea în anul 1998 fata de anul1997 când a fost întreruptă o perioada mai mare de timp sau nu a lucrat laîntreaga capacitate.

2) Indicele productivităţii medii a muncii se calculează după relaţia:

Influenta factorilor asupra productivităţii muncii se măsoară cu ajutorulindicilor calculaţi din mărimi medii:

a) Influenţa ambilor factori a fost calculată mai înainte cu ajutorul indicelui custructura variabilă şi evidenţiază o creştere a productivităţii medii a muncii cu11,5% atat pe seama variaţiei productivităţii individuale (la nivel de localitate)cât şi a structurii numărului de salariaţi.

%1,701001009,1813,54

−=−×

1695 6,181 9,------------------- 9 3,=

TW q Tq dar cum W

%, sau ,,,,:,

T

TW:

T

TW

T

q:

T

q

WWI

ii

iii

ii

iii

ii

ii

ii

ii

W/

⋅=⇒=

=⋅⋅=⋅⋅=

====∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

51111151102163109181

6424310710481

504691089178

9

999

0

00

1

11

0

0

1

1

0

101

I1 0⁄ W W( ) W1

W0-------

Wi1Ti1

i∑

Ti1

i∑

---------------------- :

Wi0Ti1

i∑

Ti1

i∑

---------------------- 9178 8 109⋅,50469

------------------------------- :8281 109⋅50469

------------------------- = = = =

IndicI statistici

352

b) Influenta productivităţii individuale asupra productivităţii medii esteexprimată prin indicele cu structură fixa.

Ceea ce înseamnă că productivitatea medie a muncii din industrie pe judeţ acrescut cu 10,8% ca urmare a creşterii productivităţii muncii individuale dinfiecare localitate în parte.

c) Influenţa structurii numărului de salariaţi este exprimată prin indicelevariaţiei structurii.

De aici rezultă că productivitatea medie a muncii pe total judeţ a crescut cudoar 0,55% datorită influenţei modificării structurii numărului de salariaţi dinlocalităţile componente ale judetului.

Se poate verifica relaţia existentă între cei trei indici, respectiv

descompunerea geometrică a lui :

1,115 = 1,10847 x 1,0055Datele sunt calculate în tabelul nr.2.

3) Pentru a descompune analitic sporul absolut al productivităţii medii amuncii şi a evidenţia influenţele datorate celor doi factori, vom porni de lacalculele efectuate la punctul 2) şi vom scadea din numărătorul indiceluicorespunzator numitorul acestuia.

181 9 106⋅,

164 1 106⋅,---------------------------- 1 10847,= = sau 110 847 %,

%, sau ,,,,:

T

TW:

T

TWI

ii

iii

ii

iii

)(TW/ 5510000551

102163101164

6424310710481

50469108281

9

999

0

00

1

10

01 =⋅⋅=⋅⋅==

∑∑

∑∑

I1 0⁄W

)i(TiW0/1

)i(WiW0/1

iW0/1 III ×=

ariat lei / sal milioane,,,T

TW

T

TW

ii

iii

ii

iii

),T(WW/

iii 718102163109181 66

0

00

1

11

01 =⋅−⋅=−=∆∑∑

∑∑


353

Deci, productivitatea medie a muncii a crescut pe judet cu 18,7 milioane lei/salariat ca urmare a ambilor factori.

Pentru a evidenţia creşterea absolută a productivităţii medii a muncii pejudet doar ca urmare a creşterii productivităţii medii la nivel de localitate,vom porni de la indicele cu structură fixă:

Pentru a evidenţia creşterea absolută a productivităţii medii pe judeţ caurmare a modificărilor structurii numărului de salariaţi la nivel de localitate,pornim de la indicele variaţiei structurii:

Se verifica relaţia dintre cele trei sporuri:

Pentru a calcula ponderea fiecărui spor în total:

Putem trage concluzia ca 95,2% din sporul absolut al productivităţii medii amuncii pe judet s-a datorat creşterii productivităţii muncii la nivel delocalitate, iar 4,8% s-a datorat modificării structurii numărului mediu desalariaţi.

Primul factor (calitativ) a determinat în proporţie de 90,6% sporulproductivităţii muncii pe judeţ (0,9522 x 100).

riatlei / sala milioane ,,,T

TW

T

TW

ii

iii

ii

iii

)(WW/

ii 817101164109181 66

1

10

1

11

01 +=⋅−⋅=−=∆∑∑

∑∑

riatlei / sala milioane ,,,T

TW

T

TW

ii

iii

ii

iii

)(TW/

ii 90216311640

00

1

10

01 +=−=−=∆∑∑

∑∑

%,,,

i

ii

W/

)(WW/ 295100

718817100

01

01 =×=×∆

∆

90817718010101

, , ,

)(TW/

)(WW/

W/

iiiii

+=∆+∆=∆

IndicI statistici

354

4) Indicele de grup al volumului producţiei:

Creşterea absoluta a volumului producţiei:

miliarde lei.

(în preţuri medii comparabile ale anului 1998)

5)

a) Descompunerea sporului volumului producţiei pe baza procedeuluisbstituirii în lanţ:

- creşterea volumului producţiei pe seama variaţiei productivităţii muncii:

Aceasta înseamnă că producţia la nivel de judeţ a crescut cu 897,8 miliardelei ca urmare doar a creşterii productivităţii muncii la nivel de localitate.

- pe seama scăderii numărului de salariaţi:

- pe seama ambilor factori:

confirmându-se astfel rezultatul de la punctul 4).

Rezultatele ne arată că sporul de producţie, datorat influenţei pozitive acreşterii productivităţii muncii, a fost depaşit de reducerea producţiei caurmare a scăderii cu 21,4% a numărului de salariaţi, facând ca pe total judeţsă existe un minus de 1302,9 miliarde lei producţie industrială (-12,5%).

%, sau ,,,

TW

TW

q

qI

iii

iii

ii

ii

q/i 5878750

71048189178

00

11

0

1

01 ====∑∑

∑∑

∆1 0⁄ q Wi Ti,( )

Wi1Ti1

i∑ Wi0

Ti0

i∑– 9178 8, 10481 7,– 1302 9,–== =

lei miliarde,,,TWTWi

iii

ii)(Wq

/ii 88970828189178101101 =−=−=∆ ∑∑


iii

ii)(Tq

/ii 7220071048108281001001 −=−=−=∆ ∑∑

lei miliarde,,,)(Tq/

)(Wq/

),T(Wq/

iiiiiii 91302722008897010101 −=−=∆+∆=∆


355

b) Descompunerea sporului volumului producţiei pe baza procedeuluisporului nedescompus:

Sporul total:

Sporul producţiei pe seama creşterii productivităţii muncii:

Sporul descompus:

Sporul nedescompus:

Sporul total al volumului producţiei calculat prin procedeul sporuluinedescompus va fi:

c) Descompunerea sporului volumului producţiei pe baza procedeuluicreşterii finite (Lagrange) se efectuează după relaţie:


iii

ii),T(Wq

/iii 9130271048189178∆ 001101 −=−=−= ∑∑

lei miliarde,,,TWTW

lei miliarde,,,TWTW

iii

iii

)(Tq/

iii

iii

)(Wq/

ii

ii

7220071048108281

51294710481211776

001001

000101

−=−=−=∆

+=−=−=∆

∑∑

∑∑

906,22200,71294,5∆∆∆ )(Tq1/0

)(Wq1/0

)T,(Wq1/0

iiiiiii -=−=+= miliarde lei

( )( )

( ) ( )7396

5129488977104812117760828189178

00011011010101

,- ,,,,,,

TWTWTWTWWWTTi

iii

iii

iii

iii

iiii),T(Wq

/iii

==−=−−−=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−−=∆ ∑∑∑∑∑

lei miliarde,),(),(,

∆∆),T(Wq

/

)(Tq/

)(Wq/

),T(Wq/

iii

iiiiiii

913027396722005129401

010101

−=−+−+=∆

+=∆

)(Tq/

)(Wq/

iii

iii

),T(Wq/

iiiiiii TWTW 0101011101 ∆+∆=−=∆ ∑∑

IndicI statistici

356

în care:

Deci:

=1073,1 miliarde lei

= -2376,0 miliarde lei

= -1302,9 miliarde lei

21440178560164243504691

114601216391811

023762

114601214407104812

1

110732

214401114607104812

1

0

1

0

1

001

001

,, TT

β

, ,,

WW

iar α

,,),(,αβq

,,,,βαq

i

i

i

i

i)(Tq

/

i)(Wq

/

ii

ii

−=−=−=−=

=−=−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∆

)(Wq/

ii01∆

)(Tq/

ii01∆

),T(Wq/

iii01∆


357

14.6. Teme şi întrebări propuse pentru studiul individual

1. Care este diferenţa dintre un indice individual şi unul de grup ? Când secalculează primul şi când se calculează cel de-al doilea ?

2. Cum se folosesc ponderile în calculul indicilor sintetici ?

3. Cum construim un indice sintetic atunci când factorul cantitativ nu esteînsumabil direct ?

4. Cum construim un indice sintetic atunci când avem de-a face cu variabilecalitative ? Daţi exemplu de o variabilă calitativă şi construiţi indiceleacesteia.

5. Cum se poate descompune dinamica unui fenomen pe factori deinfluenţă ?

6. În ce situaţie folosim metoda restului nedescompus ?

7. Cum aflăm în ce măsură un factor poate influenţa dinamica fenomenuluicomplex ?

8. Daţi cel puţin 3 exemple de fenomene complexe şi respectiv factorii deinfluenţă ai acestora.

9. În ce condiţii este valabilă descompunerea geometrică a indicilor ? Dardescompunerea analitică a sporurilor ?

10. Se cunosc datele:

Să se calculeze dinamica absolută şă relativă a volumului fizic al vânzărilorpe total societate.

Marfa Valoarea mărfurilor vândute în perioada de bază (mil.lei)

% de modificare a volumului fizic din per. curentă faţă de perioada de bază

A 81,6 -37B 64,5 -20C 44,6 -2

IndicI statistici

358

11. Despre trei societăţi comerciale se cunosc următoarele date:

Să se determine indicele de grup al producţiei la nivelul celor trei societăţicomerciale.

12. Despre trei societăţi comerciale se cunosc următoarele date:

Să se determine indicele de grup al salariului mediu.

13. Despre trei societăţi comerciale se cunosc următoarele:

Să se descompună pe factori de influenţă dinamica productivitatii la nivelulcelor 3 societati.

Societăţi comerciale

Productivitatea medie a muncii în perioada de

bază(bucăţi/salariat)

Productivitatea medie a muncii în perioada curentă(bucăţi/salariat)

Dinamica numarului de salariaţi în

perioada curentă faţă de cea de bază

(%)

Numărul salariaţilor în

perioada curentă (persoane)

A 75 85 105 55B 82 90 110 30C 55 40 94 15

Societăţi comerciale

Fondul de salarii în

perioada de bază

(mii lei)

Dinamica fondului de salarii în

perioada curentă faţă de perioada de

bază %

Dinamica numărului de salariaţi în

perioada curentă faţă de cea de bază

%

Numărul salariatilor în perioada de

bază(pers.)

A 120 98 105 106B 75 105 110 60C 45 100 95 50

Societati comerciale

Productia realizata in

perioada de baza(mil. lei)

Productivitatea muncii in

perioada curenta (mil. lei / salariat)

Structura numarului de

salariati in perioada curenta

(%)

Numãrulsalariatilor in perioada de

baza(pers.)

A 12 0,13 55 100B 6,5 0,25 15 40C 10 0,10 30 90


359

14. Despre trei societăţi comerciale se cunosc urmatoarele date:

Să se determine dinamica fondului de salarii (pe total).

15. Despre trei societati comerciale se cunosc urmatoarele date:

Să se determine indicele de grup al productivitatii muncii la nivelul celor treisocietati comerciale sub influienta productivitatii muncii la nivel de societate.

16. Despre trei societati comerciale se cunosc urmatoarele:

Să se determine dinamica productiei sub influienta productivitatii muncii lanivelul celor 3 societati, in perioada curenta fata de perioada de baza.

Societatea comerciala

Salariul mediu in perioada de baza (mii lei/salariat)

Salariul mediu in perioada curenta (mii lei/salariat)

Modificarea numarului de salariati in perioada curenta fata de cea de baza

(%)

Nr. Salariatilor in perioada

curenta (persoane)

A 2,3 2,5 -20 40B 2,5 2,1 +20 30C 1,8 2,0 +100 20


Productivitatea medie a muncii in perioada de baza (bucati/salariat)

Productivitatea medie a muncii in perioada curenta( bucati/salariat)

Dinamica numarului de salariati in

perioada curenta fata de cea de baza

(%)

Nr. Salariatilor in

perioada curenta (pers.)

A 75 85 105 55B 82 90 110 30C 55 40 95 15


Productia realizata in

perioada de baza(mil. lei)

Productivitatea muncii in perioada curenta (mil. Lei /

salariat)

Modificarea a numarului de

salariati in perioada curenta fata de cea

de baza %

Numarul Salariatilor in

perioada curenta(pers.)

A 12 0,13 +5 100B 6,5 0,25 +10 40C 10 0,10 -5 90

IndicI statistici

360

17. Se cunosc datele:

Să se calculeze dinamica absolută şi relativă a preţurilor pe total societate.

MarfaValoarea marfurilor vandute

în perioada curenta (mil.lei)

Dinamica preturilor din per. curenta fata de perioada

de bazaA 81,6 2,7B 64,5 4,2C 44,6 2,5


361

Capitolul XV

INDICII PREŢURILOR DE CONSUM

OBIECTIVE

Indicele Preţurilor de Consum (IPC), respectiv rata inflaţiei este unul dinindicatorii statistici cu cea mai largă aplicabilitate practică. Evoluţia inflaţieiîntr-o ţară influenţează nu doar evoluţia activităţii firmelor, ci şi viaţa de zi cuzi a oamenilor prin efectele sale negative asupra puterii de cumpărare abanilor.

IPC este în acelaşi timp unul din indicatorii cei mai contestaţi, existând ooarecare suspiciune asupra mărimii sale, în funcţie de interesul celui care-lutilizează. Din acest motiv, am prezentat atât modalitatea de calcul aindicelui, care are în spate o muncă laborioasă, reunind mai multe cercetăristatistice prin sondaj. Pe de altă parte, dat fiind utilizarea sa largă înpractică, necesitatea identificării unui IPC pentru o anumită perioadă dorită,am insistat şi prezentat detaliat modalităţile de calcul.

Prin multiplele exemple practice prezentate, se doreşte o clarificare asuprafolosirii corecte a noţiunii de IPC sau rată a inflaţiei, o corectă utilizare a IPCîn recalculările indicatorilor valorici în preţuri comparabile şi o corectăanaliză a dinamicii reale a fenomenelor.

Cuvinte cheie

IPCRată a inflaţieiIPC lunarRata lunară a inflaţieiIPC la sfârşitul anuluiRata inflaţiei la sfârşitul anuluiIPC anual, rata anuală a inflaţiei

Creştere nominalăCreştere realăPreţuri curentePreţuri constante (comparabile)DeflatareRacordare de indiciPutere de cumpărare a banilor

Indicele preţurilor de consum

362

1. Ce este IPC ? 2. La ce serveşte el ? 3. Care este populaţia de referinţă ? 4. Care este tipul de consum acoperit ? 5. Care este sfera teritorială de cuprindere ? 6. Sistemul de ponderare folosit ? 7. Care este metoda de calcul a IPC ? 8. Indicatori uzuali. Exemple de calcul. 9. Cum putem recalcula anumite sume cu ajutorul IPC ?10. Cum calculăm dinamica indicatorilor valorici ?11. De unde se poate afla IPC ?

15.1. Ce este IPC ?

Este un instrument de măsură care permite să estimăm, între două perioadedate, variaţia medie a preţurilor mărfurilor cumpărate şi a tarifelor serviciilorutilizate de populaţie în România.

15.2. La ce serveşte IPC ?

IPC este unul din indicatorii cei mai utilizaţi în practica economică.

Acesta reflectă intensitatea creşterilor sau scăderilor preţurilor de consumdintr-o ţară, fiind des utilizat în comparaţiile internaţionale (sub forma medieianuale) privind evoluţia inflaţiei.

Politica fiscală şi monetară a fiecărui guvern este frecvent influenţată denivelul IPC, în funcţie de acesta reglându-se spre exemplu, rata dobânzii.IPC se foloseşte şi în contabilitate şi în analizele economice, pentrucaracterizarea evoluţiei reale a consumului, independent de modificareapreţurilor.

Pentru aceasta este necesară determinarea consumului în preţuri constante(comparabile) prin raportarea consumului în preţuri curente la IPC, respectivdeflaţionarea acestuia, după cum s-a putut vedea în exemplele practiceanterioare. Practic nu este posibilă analiza în dinamică a unui indicatorvaloric înainte de a se transforma în preţuri comparabile cu ajutorul IPC.


363

IPC are şi o largă utilizare socială, fiind folosit în negocierile salariale dintreguvern, patronat şi sindicate. Ţinând cont de evoluţia IPC se indexeazăsalariile, pensiile, alocaţiile bugetare, bursele, etc. Aceste indexări asigurăpractic o menţinere a puterii de cumpărare a salariului, pensiilor, etc.

15.3. Care este populaţia de referinţă ?

IPC se calculează pe baza cheltuielilor populaţiei care sunt legate efectivde cumpărarea de mărfuri şi de plata contravalorii serviciilor necesaresatisfacerii nevoilor de trai, cheltuieli care se referă la nivelurile medii lunarerezultate din cercetarea privind Ancheta Bugetelor de Familie (ABF).

ABF se desfăşoară în 780 centre de cercetare amplasate în 427 localităţiurbane şi 353 rurale din toate judeţele ţării şi municipiul Bucureşti,eşantionul garantând estimări la nivelul ţării cu o probabilitate de 97%.

Cheltuielile băneşti pentru cumpărarea produselor alimentare, nealimentareşi pentru plata serviciilor sunt calculate ca medii pe o gospodarie şi ele staula baza sistemului de ponderare a indicilor elementari ai preţurilor deconsum.

Eşantionul de mărfuri şi servicii cuprinde sortimente care au o ponderesemnificativă în consumul populaţiei.

Nomenclatorul este structurat pe 3 nivele de agregare: grupe, posturi şisortimente, astfel:

grupa mărfurilor alimentare cuprinde 54 posturi cu 360 sortimente; grupa mărfurilor nealimentare cuprinde 112 posturi cu 947 sortimente; grupa serviciilor cuprinde 50 posturi cu 423 sortimente.

Sortimentele se individualizează în teren prin varietăţi de mărfuri şi servicii.

15.4. Care este tipul de consum acoperit ?

IPC se calculează pe baza elementelor care intră în consumul direct alpopulaţiei şi exclude: consumul din resurse proprii, cheltuieli cu caracter deinvestiţii şi acumulare sau care se referă la dobânzi plătite la credite, rate deasigurare, amenzi, jocuri de noroc, impozite, etc. precum şi cheltuieliaferente plăţii muncii pentru producţia gospodăriei.

• • •


364

15.5. Care este sfera teritorială de cuprindere ?

Observarea şi înregistrarea preţurilor, tarifelor de consum se desfăşoarădecadal, în municipiile reşedinţă de judeţ (inclusiv municipiul Bucureşti).

Practic nomenclatorul localităţilor cuprinde 42 de municipii reşedinţă dejudeţ unde sunt organizate 68 centre de culegere în care se face observareapreţurilor practicate în magazine, iar pentru înregistrarea preţurilorproduselor agroalimentare vândute pe piaţa ţărănească se utilizează unnomenclator alcătuit din 95 localităţi.

Nomenclatorul de sortimente cuprinde 1683 poziţii pentru care se culegdecadal preţuri/ tarife practicate.

Nomenclatorul unităţilor de observare cuprinde aproximativ 6400 unităţi carese consideră a fi cu vad comercial ridicat în principalele aglomerări urbane(peste 86% avand forma de proprietate privată). Acestea se completeazăcu preţurile/tarifele unice pe ţară stabilite prin acte normative sau note denegociere (energie electrică şi termică, gaz metan, transport pe calea ferată,abonamente radio-TV, ş.a.)

15.6. Sistemul de ponderare

Ponderile utilizate pentru calculul indicilor preţurilor de consum sunt obţinutedin Ancheta Bugetelor de Familie (ABF) şi rezultă din structura cheltuielilormedii lunare efectuate de o gospodărie pentru cumpărarea bunurilor şipentru plata serviciilor necesare satisfacerii nevoilor de trai.

Periodic se analizează structura cheltuielilor efectuate de populaţie, iar cândmutaţiile intervenite sunt semnificative, ponderile se actualizează. Astfel,începând din ianuarie 2006 în calculul IPC se utilizează ponderile rezultatedin structura cheltuielilor medii efectuate de o gospodărie în anul 2004.

15.7. Care este metoda de calcul al IPC ?

IPC1 se calculează ca un indice de tip Laspeyres cu bază fixă. Începânddin ianuarie 2006, calculul indicilor lunari cu bază fixă se face cu preţurilemedii din anul 2004 (anul 2004 = 100) şi ponderile din acelaşi andeterminate pe baza cheltuielilor medii din Ancheta Bugetelor de Familie.

1. Sursa: Buletinul statistic de preţuri”, Institutul Naţional de Statistică, Nr. 1 / 2006.


365

Formula generală de calcul a indicelui de tip Laspeyres este:

1) unde:

Schimbarea bazei de calcul (anului de referinţă) necesită stabilirea preţurilormedii din anul respectiv pentru toate produsele şi serviciile dinnomenclatorul ce urmează a fi utilizat pentru calculul indicilor lunari aipreţurilor.

Determinarea preţurilor medii din anul 2004 ( ) la nivelul varietăţilor

( ) s-a realizat în mod diferit pentru produsele/serviciile existente şi pentrucele nou introduse în nomenclator, astfel:

Pentru sortimentele existente în nomenclator:

- calculul preţului mediu efectiv aferent varietăţilor raportate în anul 2004;- imputarea preţului mediu lunar efectiv la toate varietăţile pentru care nu auexistat raportări (în acest caz preţul mediu aferent sortimentului calculat dinpreţurile varietăţilor rămâne neschimbat);- calculul preţurilor medii anuale la nivel de varietăţi prin media aritmeticăsimplă a preţurilor medii lunare din anul 2004.

Pentru sortimentele nou introduse în nomenclator:

- înregistrarea preţurilor aferente lunii decembrie 2005;

IPC1 0⁄ Ii 2004⁄p

∑p0q0

p0q0∑------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⋅=

IPC1 0⁄

Indicele Preţurilor de Consum agregat al lunii curente (1) din anul 2006, faţă de anul de referinţă 2004;=

Ii 2004⁄p indicii de preţ, ai lunii curente faţă de

media anului 2004, pe trepte ierarhice de agregare;

=

p0q0

p0q0∑------------------

ponderile aferente diferitelor trepte de agregare (importanţa relativă a cheltuielilor medii lunare pe o gospodărie pentru anul 2004).

=

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

p0vi

vi


366

- asimilarea sortimentelor noi cu sortimente deja existente în nomenclator(cazul posturilor de cheltuieli cu structuri omogene) sau direct cu postul decheltuieli (cazul posturilor neomogene);- determinarea preţului mediu în bază la nivel de varietate prin raportareapreţului observat în luna decembrie 2005 la indicele preţului asimilat la nivelde sortiment sau post faţă de anul 2004.Aceste preţuri medii pentru anul de referinţă 2004 rămân fixe până laurmătoarea schimbare a bazei.

Calculul indicilor lunari cu bază fixă

Calculul indicilor lunari cu bază fixă presupune parcurgerea următoareloretape:

- calculul indicilor de preţ la nivel de varietate:

2) unde:

Preţul varietăţii “i” înregistrat în luna curentă se calculează ca o mediearitmetică simplă din cele trei înregistrări decadale, astfel:

3) unde

- calculul indicilor de preţ la nivel de sortiment, ca medie geometrică aindicilor varietăţilor, conform formulei:

ivi

p p1vi

p0vi

-------- 100⋅=

p1vi preţul varietăţii ″i″ înregistrat în luna curentă (1);=

p0vi preţul mediu din anul 2004 pentru varietatea ″i″ ;=⎩

⎪⎨⎪⎧

p1vi

p1vi p11

vi p12vi p13

vi+ +3

-----------------------------------=

p11vi preţurile nominale aferente decadei 1

din luna curentă;=

p11vi preţurile nominale aferente decadei a 2-a

din luna curentă;=

p12vi preţurile nominale aferente decadei a 3-a

din luna curentă;=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧


367

4) , unde

- calculul indicilor agregaţi la nivel de post de cheltuieli, ca mediearitmetică ponderată a indicilor de preţ aferenţi sortimentelor care compunpostul de cheltuieli, conform formulei:

5) unde:

- calculul indicilor la nivel de grupe de mărfuri alimentare, nealimentareşi servicii ca medie aritmetică ponderată a indicilor de la nivel de posturi decheltuieli cuprinse în grupă, astfel:

6) unde:

- calculul indicelui general al preţurilor de consum ca medie aritmeticăponderată a indicilor de la nivel de grupe:

I 1 2004⁄

psi ivi

p

i 1=

n

∏n=

I 1 2004⁄

psi reprezintă Indicele Preţurilor de Consum la nivel de sortiment, în luna curentă faţă de media anului 2004;=

n 68≤ numărul centrelor de culegere a preţurilor/tarifelor;=⎩⎪⎨⎪⎧

I 1 2004⁄

ppi I1 2004⁄

psi∑p0

siq0si

p0siq0

si∑-------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⋅=

I 1 2004⁄

ppi

reprezintă Indicele Preţurilor de Consum la nivel de post de cheltuieli, în luna curentă faţă de media anului 2004;=

p0siq0

si

p0siq0

si∑-------------------

ponderea (importanţa relativă) a sortimentului ″si″în total cheltuieli medii de consum;ale postului de cheltuieli;

=

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

I 1 2004⁄

pgi I1 2004⁄

ppi∑p0

piq0pi

p0piq0

pi∑--------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⋅=

I 1 2004⁄

pgi

reprezintă indicele mediu al preţurilor de Consum la nivel de grupă de cheltuieli, în luna curentă (1) faţă de media anului de bază 2004;

=

p0piq0

pi

p0piq0

pi∑-------------------- ponderea (importanţa relativă) a postului de cheltuieli ″pi″

în total grupă de cheltuieli ″gi″=

⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧


368

7)

unde:

Spre exemplu, ponderile calculate pentru anul 2004 din Ancheta Bugetelorde Familie şi luate în considerare în calcului IPC pentru anul 2006 sunt:

Din 1.000.000 lei cheltuieli medii ale unei gospodării, 407.056 lei erau pentru mărfuri alimentare, 422.506 lei pentru mărfuri nealimentare şi 170.438 lei pentru plata serviciilor.

Altfel spus, din totalul cheltuielilor medii ale unei gospodării din România înanul 2004, 40,7% erau pentru mărfuri alimentare, 42,3% pentru mărfurinealimentare şi 17,0% pentru servicii.

Ponderile detaliate la nivel de posturi de cheltuieli pentru fiecare din cele treigrupe mari, se găsesc publicate în “Buletinul statistic de preţuri” alInstitutului Naţional de Statistică - Nr. 1/2006, paginile 58-61.

- calculul indicilor lunii curente faţă de luna precedentă se face ca raportal indicilor cu bază fixă, pentru toate nivelele de agregare, conform formuleigenerale:

8)

Pentru asigurarea continuităţii seriilor de indici construiţi cu baze diferite s-autilizat un “coeficient de racordare” care permite legarea (racordarea)seriei de indici lunari din anul 2006 cu bază 2004 = 100 la seria de indici cubază 2003 = 100.

IPC I1 2004⁄

pgi∑p0

giq0gi

p0giq0

gi∑--------------------⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⋅ I 1 2004⁄

pgi∑p0

giq0gi

1000000---------------------⋅= =

p0giq0

gi

1000000--------------------- =

⎩⎨⎧ reprezintă ponderea cheltuielilor medii ale grupei

în total cheltuieli medii de consum ale uneigospodării din România în anul de bază 2004.

IPCi i 1–⁄

IPCi 2004⁄

IPCi 1– 2004⁄

------------------------------=


369

Coeficientul de racordare s-a determinat ca raport între un indice de tipLaspeyres calculat pentru luna decembrie 2005 în vechea bază(2003 = 100) şi un altul de acelaşi tip şi pentru aceeaşi lună în noua bază(2004 = 100).

Compararea a doi indici calculaţi în baze diferite se face raportând indicelede comparat în noua bază multiplicat cu coeficientul de racordare la indicelecu care se compară calculat în vechea bază.

Metodologia de calcul a IPC în România este armonizată cu metodologiautilizată de Oficiul de Statistică a Uniunii Europene (EUROSTAT) la nivel declasificări, nomenclatoare, metode de eşantionare şi de calcul.

Clasificarea COICOP (Clasificarea Consumului Individual de Destinaţii)convenită de CEE/EUROSTAT/OECD asigură comparabilitatea indicilor lanivel european. Ultima versiune a acestei clasificări, adoptată în iulie 1999,este structurată pe 12 diviziuni detaliate în 39 grupe şi 93 clase de mărfuri şiservicii şi este utilizată din ianuarie 2000.

Indicii armonizaţi ai preţurilor de consum pe grupe de mărfuri şi serviciiEUROSTAT rezultă din regruparea sortimentelor şi a posturilor cuprinse înnomenclatorul privind calcului indicelui preţurilor de consum la nivel naţionalîn structura şi la conţinutul prevăzut în COICOP.


370

- % -Ian. Feb Mar Apr Mai Iun Iul Aug Sep Oct Nov Dec

TOTAL 1990 123,4 111,61991 114,8 107,0 106,6 126,5 105,1 102,0 109,5 111,2 107,3 110,4 110,9 113,71992 119,5 112,5 110,0 104,7 112,1 104,3 103,2 103,4 110,1 109,6 113,5 113,21993 111,5 108,2 109,2 110,0 130,4 105,5 113,2 110,8 110,9 116,3 114,2 107,41994 104,9 105,9 108,3 106,1 105,0 102,6 101,6 101,8 103,9 104,4 102,8 102,11995 102,0 101,4 100,9 101,6 101,1 101,3 102,6 101,0 101,6 103,5 104,1 103,71996 101,2 101,9 101,7 101,9 105,3 101,0 107,5 103,8 102,4 103,4 105,8 110,31997 113,7 118,8 130,7 106,9 104,3 102,3 100,7 103,5 103,3 106,5 104,3 104,51998 104,9 107,2 103,8 102,7 102,3 101,3 101,3 100,6 102,7 103,9 101,9 102,21999 103,0 102,9 106,4 104,8 105,3 105,1 101,7 101,2 103,2 104,2 104,0 102,92000 104,3 102,2 101,8 104,8 101,8 102,8 104,3 101,8 102,8 102,8 102,8 102,52001 103,7 102,3 102,0 102,7 101,7 101,6 101,3 102,2 101,9 102,4 102,7 102,22002 102,3 101,2 100,4 102,0 101,9 101,2 100,5 100,8 100,6 101,6 102,6 101,52003 101,3 100,8 101,1 101,1 100,5 100,9 101,2 100,3 102,1 101,5 101,4 101,22004 101,1 100,6 100,5 100,6 100,3 100,6 101,3 100,5 100,9 101,2 100,6 100,62005 100,8 100,6 100,3 101,8 100,3 100,3 101,0 100,1 100,6 100,9 101,2 100,52006 101,03 100,24 100,21 100,42 100,60 100,15 100,11 99,93 100,05 100,21 101,09 100,742007 100,20 100,04 100,07 100,52 100,64 100,14 100,29 100,86 101,08 100,97 100,93 100,642008 100,86 100,70 100,67 100,52 100,49 100,28 100,69 99,91 100,40 101,06 100,32 100,232009 101,24 100,88

- % -Ian. Feb Mar Apr Mai Iun Iul Aug Sep Oct Nov Dec

TOTAL 1991 114,8 122,9 131,0 165,7 174,1 177,6 194,4 216,1 232,0 256,1 284,0 322,81992 119,5 134,4 147,9 157,8 173,5 180,9 186,6 192,9 212,5 232,8 264,3 299,21993 111,5 120,7 131,7 144,9 189,0 199,3 225,6 250,0 277,4 322,7 368,4 395,51994 104,9 111,1 120,3 127,5 133,9 137,4 139,5 142,0 147,5 154,1 158,4 161,71995 102,0 103,5 104,4 106,1 107,3 108,7 111,5 112,6 114,4 118,4 123,2 127,81996 101,2 103,1 104,9 106,9 112,7 113,8 122,4 127,0 130,1 134,5 142,2 156,91997 113,7 135,0 176,5 188,7 196,7 201,2 202,6 209,8 216,7 230,7 240,6 251,41998 104,9 112,4 116,6 119,8 122,5 124,1 125,7 126,5 130,0 135,0 137,6 140,61999 103,0 106,0 112,7 118,2 124,5 130,8 133,0 134,6 138,9 144,7 150,4 154,82000 104,3 106,6 108,5 113,7 115,7 119,0 124,1 126,4 129,9 133,5 137,3 140,72001 103,7 106,0 108,2 111,1 113,0 114,8 116,3 118,9 121,2 124,2 127,5 130,32002 102,3 103,5 103,9 106,0 108,0 109,3 109,8 110,7 111,4 113,2 116,1 117,82003 101,3 102,1 103,2 104,3 104,8 105,7 107,0 107,3 109,6 111,2 112,8 114,12004 101,1 101,7 102,2 102,8 103,1 103,7 105,1 105,6 106,6 107,9 108,6 109,32005 100,8 101,4 101,7 103,5 103,8 104,1 105,1 105,2 105,8 106,8 108,1 108,62006 101,03 101,27 101,48 101,91 102,52 102,67 102,78 102,71 102,76 102,98 104,10 104,872007 100,20 100,24 100,31 100,83 101,48 101,62 101,91 102,79 103,90 104,91 105,89 106,572008 100,86 101,57 102,25 102,78 103,28 103,57 104,28 104,19 104,61 105,72 106,06 106,302009 101,24 102,13

luna anterioara = 100Anii

INDICII PRETURILOR DE CONSUM

Evolutia lunara in anii 1990 - 2009 fata de luna anterioara

INDICII PRETURILOR DE CONSUMEvolutia lunara in anii 1991 - 2009 fata de decembrie anul precedent

Anii decembrie anul precedent = 100


371

15.8. Indicatori uzuali. Exemple de calcul

Indicele Preţurilor de Consum lunar (IPC lunar sau , unde

reprezintă luna curentă şi luna anterioară) ne arată creşterea mediea preţurilor de consum într-o lună faţă de luna anterioară (este un indice cubază în lanţ).

Ca orice indice, exprimat în coeficient ne arată de câte ori au crescut înmedie preţurile în luna curentă faţă de luna anterioară. De regulă, indicii sepublică exprimaţi în procente.

Spre exemplu, IPC calculat în România pentru luna ianuarie 2006 faţă deluna anterioară (decembrie 2005) este publicat în broşura InstitutuluiNaţional de Statistică ca 101,03% (a se urmări în tabelele cu IPC de maiînainte).

Anul 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983IPC 100,6 100,0 100,7 101,1 100,2 100,6 100,6 101,6 102,0 102,1 103,1 117,8 104,1

Anul 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996IPC 101,1 100,8 101,0 100,9 102,2 101,1 105,1 270,2 310,4 356,1 236,7 132,3 138,8

Anul 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008IPC 254,8 159,1 145,8 145,7 134,5 122,5 115,3 111,9 109,0 106,56 104,84 107,85

Indicii Preturilor de Consum medii anuali (%)

2004 2005 2006 2007 2008Ian. 232592,1 253388,0 275913,14 286982,93 307824,34Feb 234062,9 254912,2 276565,46 287099,55 309991,94Mar 235227,7 255649,3 277141,04 287288,17 312072,92Apr 236590,9 260281,1 278291,81 288789,21 313692,53Mai 237267,2 261019,6 279963,07 290636,78 315215,21Iun 238676,8 261786,6 280389,95 291042,38 316091,44Iul 241711,6 264287,8 280688,49 291882,25 318281,55Aug 243025,0 264555,8 280487,90 294390,86 318008,17Sep 245324,0 266061,4 280635,80 297561,64 319272,68Oct 248334,0 268346,9 281219,30 300459,52Nov 249939,7 271598,1 284290,90 303259,43Dec 251360,8 273087,8 286399,10 305210,24

Indicele Preturilor de Consum fata de octombrie 1990 (%)

IPCi i 1–⁄ ″i″

″i 1″–


372

Transformat în coeficient (prin împărţire la 100) ne arată că în medie,preţurile de consum din luna ianuarie 2006 au crescut de 1,0103 ori faţă decele existente în luna anterioară.

Scăzând 100 din indicele exprimat în procente obţinem din punct de vederestatistic un alt indicator, rata de creştere (sau ritmul de creştere) exprimatîntotdeauna în procente. Acest ultim indicator se numeşte rata inflaţiei şiarată cu câte procente au crescut în medie preţurile într-o lună curentă faţăde o lună de bază.

În exemplul de mai sus, rata inflaţiei este de 1,03% (101,03 - 100 = +1,03%),ceea ce înseamnă că în luna ianuarie 2006 preţurile de consum au crescutîn medie cu 1,03% faţă de luna decembrie 2005.

În felul acesta, în funcţie de modalitatea de calcul şi de exprimare, pentrufiecare indice de preţ se pot utiliza trei variante, cu semnificaţii şi exprimăridiferite.

a) Indicele de preţ în coeficient

(preţurile au crescut în perioada calculată de 1,0103 ori)

b) Indicele de preţ în procente

(preţurile de consum din luna ianuarie 2006 reprezintă 101,03% dinpreţurile medii de consum existente în luna decembrie 2005)

c) Rată a inflaţiei (întotdeauna exprimată în procente)

(preţurile de consum au crescut în luna ianuarie 2006 cu 1,03% faţă decele existente în luna decembrie 2005).

Ca orice indice, dacă acesta este supraunitar (>1), rata inflaţiei va fi pozitivă,indicând o creştere medie a preţurilor de consum, iar dacă indicele preţuriloreste subunitar (<1), rata corespunzătoare a inflaţiei va fi negativă, indicând oscădere medie procentuală a preţurilor de consum.

Un exemplu de scădere a preţurilor medii de consum s-a produs pentruprima dată în România după liberalizarea preţurilor (din octombrie 1990), înluna august 2006.

IPC 01.2006 12.2005⁄ 1 0103,=

IPC 01.2006 12.2005⁄ 101,03 %=

R 01.2006 12.2005⁄inflatiei +1,03 %=


373

Astfel, , respectiv 99,93%,

(99,93-100 = -0,07 %), indicând o reducere medie a preţurilor de consum înluna august 2006 faţă de luna anterioară (iulie 2006) cu 0,07%.

Observaţie:

De reţinut că în calcule, se va utiliza întotdeauna indicele preţurilor deconsum IPC exprimat în coeficient, indiferent cum a fost prezentat iniţialacesta (sub formă de IPC în % sau de rată a inflaţiei).

Rata lunară a inflaţiei reprezintă creşterea medie a preţurilor într-o lunăfaţă de luna precedentă şi se calculează scăzând 100 din IPCcorespunzător exprimat în procente (după cum s-a exemplificat mai înainte).

IPC mediu lunar exprimă creşterea medie lunară a preţurilor de consumpentru o anumită perioadă considerată. Se calculează ca o mediegeometrică a indicilor lunari ai preţurilor de consum şi arată de câte ori aucrescut în medie preţurile de consum de la o lună la alta în acea perioadă,dacă creşterea acestora s-ar fi făcut uniform. Ca orice indice mediu, acestaeste reprezentativ pentru perioada calculată numai dacă IPC lunari suntomogeni (asemănători).

,

unde:

IPC 08.2006 07.2006⁄ 0 9993,=

R 08.2006 07.2006⁄inflatiei 0 07 %,–=

IPC IPCi i 1–⁄

i 1=

n

∏n=

IPCindicele mediu lunar al preţurilor de consum pentru perioada calculată;=

n numărul lunilor (a indicilor lunari);=

IPCi i 1–⁄

indicii lunari ai preţurilor de consum calculaţi faţă de luna anterioarăluaţi în coeficient.

=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧


374

15.8.1. Exemplu de calcul

a) Dacă vrem să calculăm indicele mediu lunar al preţurilor de consumpentru primul trimestru din anul 2006:

Cu alte cuvinte, dacă creşterea preţurilor nu ar fi variat de la o lună la alta şiacestea ar fi crescut uniform, am putea spune că în cursul primului trimestrual anului 2006, preţurile au crescut în medie de 1,0049 ori de la o lună la alta(sau cu +0,49%, semnificând rata medie lunară a inflaţiei).

b) Dacă vrem să calculăm indicele mediu lunar al preţurilor de consumpentru anul 2005:

(de unde rata medie lunară a inflaţiei în anul 2005 = 100,69 - 100 = +0,69 %)

Interpretare: Dacă creşterea medie a preţurilor de consum în România ar fifost constantă pe tot parcursul anului 2005, acestea ar fi crescut în medie dela o lună la alta de 1,0069 ori, sau cu 0,69 %.

Notă: pentru a înţelege toate exemplele de calcul, se vor urmări dateleprezentate în Tabela IPC, date care au fost preluate din publicaţia lunarăI.N.S. “Buletin Statistic de Preţuri”.

Rata medie lunară a inflaţiei arată cu câte procente au crescut în mediepreţurile de la o lună la alta pentru o anumită perioadă. Se obţine scăzând100 din indicele mediu lunar al preţurilor de consum, după cum s-a arătat înexemplele de mai înainte.

IPC trim.I 2006 IPCi i 1–⁄

i 1=

3

∏3 1 0103 1 0024 1 0021,⋅,⋅,3 = = =

1 0148,3= 1 0049,= sau 100,49 %

IPC an 2005 IPCi i 1–⁄

i 1=

12

∏12 = =

1 008 1 006 1 003 1 018 … 1 005,⋅ ⋅,⋅,⋅,⋅,12= =

1 086,12 1 0069 sau 100,69 %,==


375

Atenţionăm din nou asupra utilizării în calcul a acestor ultimi doi indicatori,numai dacă indicele (rata medie) calculată este reprezentativă pentruîntreaga perioadă.

Indicele Preţurilor de Consum la sfârşitul anului arată de câte ori aucrescut în medie preţurile pe parcursul întregului an, sau altfel spus, în lunadecembrie a unui an faţă de decembrie anul precedent.

Spre exemplu, în publicaţia INS, la pagina în care sunt publicaţi indiciipreţurilor de consum faţă de decembrie anul anterior, vom găsi:

, ceea ce înseamnă că în medie, preţurile deconsum au crescut de 1,086 ori (sau cu 8,6 %) în luna decembrie 2005 faţăde luna decembrie 2004.

Similar se poate vorbi de un Indice al Preţurilor de Consum la sfârşituloricărei perioade. Spre exemplu, dacă dorim IPC la sfârşitul lunii august2006, găsim în tabela cu indici din “Buletinul Statistic de Preţuri” al INS:

ceea ce înseamnă că în medie, preţurile deconsum din luna august 2006 au crescut faţă de decembrie 2005 de 1,0271ori (sau cu 2,71 %, semnificând rata inflaţiei la sfârşitul lunii august 2006).

Toţi aceşti indici sunt cu bază fixă - decembrie anul anterior prin urmarebaza de raportare este aceeaşi numai pentru indicii calculaţi pentru acelaşian.

Rata inflaţiei la sfârşitul anului reprezintă creşterea medie a preţurilor deconsum din luna decembrie a unui an faţă de luna decembrie a anuluiprecedent. Se obţine scăzând 100 din IPC la sfârşitul anului, după cum s-aexemplificat mai sus.

Exemple:

, iar

Indicele Preţurilor de Consum anual (sau în anul ...) arată de câte ori aucrescut în medie preţurile de consum într-un an faţă de anul anterior.

IPC 12.2005 12.2004⁄ 108,6 %=

IPC 08.2006 12.2005⁄ 102,71 %=

R 12.2005 12.2004⁄inflatiei 8,6 %= R 08.2006 12.2005⁄

inflatiei 2,71 %=


376

Acesta se calculează ca un raport între media aritmetică a indicilor preţurilorde consum lunari calculaţi faţă de octombrie 1990 din cei doi ani consecutivi:

Rezultă că în medie, preţurile de consum din anul 2005 au crescut de 1,09ori în anul 2005 faţă de anul 2004 (sau acestea au crescut cu 9 %, acestultim indicator fiind rata inflaţiei din anul 2005).

Similar se calculează IPC pentru orice perioadă dorită. Spre exemplu, dacădorim să calculăm care a fost creşterea medie a preţurilor din trimestrul I alanului 2006 faţă de trimestrul IV al anului 2005:

IPC an 2005 an 2004⁄ =

253388,0+254912,2+...+273087,8 232592,1+234062,9+...+251360,8----------------------------------------------------------------------------------- 262914,6

241176,1------------------------ 1,090 sau 109,0 %= = =

IPC 01.2005 10.1990⁄ IPC 02.2005 10.1990⁄ … IPC 12.2005 10.1990⁄+ + +12

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IPC 01.2004 10.1990⁄ IPC 02.2004 10.1990⁄ … IPC 12.2004 10.1990⁄+ + +12

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

IPC trim.I 2006 trim.I 2005⁄ =

IPC 01.2006 10.1990⁄ IPC 02.2006 10.1990⁄ IPC 03.2006 10.1990⁄+ +3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IPC 10.2005 10.1990⁄ IPC 11.2005 10.1990⁄ IPC 12.2005 10.1990⁄+ +3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = =

275913,14+276565,46+277141,043

------------------------------------------------------------------------------------

268346,9+271598,1+273087,83

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 276539 88,

271010,93--------------------------- = ==

276539,88 →271010 93, →

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

media lunară a creşterilor de preţdin trimestrul I 2006 faţă de octombrie 1990

media lunară a creşterilor de preţdin trimestrul IV 2005 faţă de octombrie 1990

1,0204 sau 102,04 %=


377

Prin urmare, preţurile de consum au crescut în trimestrul I al anului 2006, înmedie de 1,0204 ori (sau cu 2,04 %) faţă de trimestrul IV al anului 2005.

Rata anuală a inflaţiei reprezintă creşterea medie a preţurilor de consumîntr-un an faţă de anul precedent şi se calculează scăzând 100 din indiceleanual al Preţurilor de Consum.

În exemplul de mai înainte,

Similar se calculează rata inflaţiei aferentă oricărei perioade.

În exemplul de mai înainte, , ceea ceînseamnă că în medie, preţurile de consum din trimestrul I 2006 au crecut cu2,04 % faţă de cele existente în trimestrul IV 2005.

Atenţie !

În recalculările de sume în preţuri medii comparabile se vor utiliza:

IPC lunari sau IPC la sfârşitul anului, atunci când sumele exprimate înmoneda naţională provin din anumite luni ale anului;

IPC anuali, atunci când datele exprimate în moneda naţională suntsume ce provin din ani diferiţi, fără a cunoaşte defalcarea lunară.(Identic şi în cazul altor perioade, exemplu: trimestru, semestru, ... şi când înrecalculări vor fi folosiţi semestru, ... şi când în recalculări vor fi folosiţi indicimedii ai preţurilor calculaţi pentru aceste perioade).

15.9. Cum putem recalcula anumite sume cu ajutorul IPC ?

În toate cazurile în care utilizăm date valorice exprimate în monedanaţională, calculul dinamicii presupune în prealabil transformarea sumelor înpreţuri constante (comparabile).

Pentru recalcularea unei sume provenind dintr-o lună oarecare din trecut (debază), în preţurile medii ale unei alte luni (curente), trebuie să calculămindicele perioadei corespunzătoare.

R an 2005 an 2004⁄inflatiei 9 %=

R trim.I 2006 trim.IV2005⁄inflatiei 2,04 %=

•

•


378

Exemple:

1. Dorim să reactualizăm suma de 5 mii lei provenind din luna mai 2000, înpreţurile medii ale lunii august 2006, ultima lună pentru care avem disponibiliindici ai preţurilor de consum.

Pentru a calcula IPC aferent perioadei, respectiv , putemaplica mai multe metode de calcul:

a) Folosirea în calculul doar a IPC lunari (cu bază în lanţ):

Ne folosim de corelaţia învăţată la capitolul “Serii cronologice”, respectivprodusul indicilor cu bază în lanţ, prin simplificare ne conduce la indicele cubază fixă dorit:

(pentru a se observa clar cum se produc simplificările, voi nota schematicpreţurile medii din fiecare lună doar cu numărul lunii respective)

,

Cu alte cuvinte, se demonstrează că produsul tuturor celor 75 de indici lunariai preţurilor de consum existenţi pentru perioada luată în analiză (august2006 faţă de mai 2000), ne conduce la indicele de preţ al perioadei

.

Pentru a efectua calculul, se identifică indicii lunari ce trebuiesc luaţi încalcul, din tabelul cu IPC lunari (atenţie ! aceştia sunt publicaţi în procente şiîn calcul se vor lua în coeficient):

Suma reactualizată va fi: 5000 x 2,5979 = 12989,5 lei

IPC 08.2006 05.2000⁄

IPC 08.2006 05.2000⁄ IPC 06.2000 05.2000⁄ IPC 07.2000 06.2000⁄⋅= ⋅

IPC 08.2000 07.2000⁄ ………… IPC 07.2006 06.2006⁄ IPC 08.2006 07.2006⁄⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

06.2000 05.2000--------------------- 07.2000

06.2000--------------------- 08.2000

07.2000---------------------⋅ ⋅ ---………--- 07.2006

06.2006--------------------- 08.2006

07.2006---------------------⋅×× 08.2006

05.2000---------------------= =

IPC 08.2006 05.2000⁄

IPC 08.2006 05.2000⁄ 1 028, 1 043,× 1 018,× 1 028 1 028 1 028, ××,×,× 1 025,=

1 037 1 023 … 1 0011 0 9993,×,××,×,× 2,59789 sau 259,79 %=


379

b) Folosirea în calcul doar a IPC cu bază fixă decembrie an anterior:

Ne folosim în acest caz de corelaţia învăţată la capitolul “Serii cronologice”,respectiv împărţind un indice cu bază fixă la un indice anterior dar avândaceeaşi bază fixă, obţinem indicele corespunzător cu bază în lanţ:

În exemplul luat, vom folosi pentru calculul doar IPC cubază fixă decembrie an anterior, publicat de către INS.

Pentru a observa cum se produc simplificările în relaţiile matematice decalcul, mă voi folosi de aceleaşi notaţii simbolice de la punctul a).

succesiunea de racordări de indici prin produsul acestora,

datorită simplificărilor ne conduce la indicele perioadei dorite.

Atenţie !

Pentru a obţine un indice de preţ dintr-o lună faţă de o lună anterioară aaceluiaşi an, nu se pot împărţi decât doi indici cu bază decembrie ananterior, calculaţi pentru acelaşi an (de pe acelaşi rând din publicaţia INS),altfel nu se mai produce simplificarea bazei.

IPCi 0⁄IPCi 1– 0⁄----------------------- IPCi i 1–⁄=

IPC 08.2006 05.2000⁄

IPC 08.2006 05.2000⁄IPC 12.2000 12.1999⁄

IPC 05.2000 12.1999⁄--------------------------------------------- IPC 12.2001 12.2000⁄ ⋅ ⋅=

IPC 12.2002 12.2001⁄ IPC 12.2003 12.2002⁄ IPC 12.2004 12.2003⁄ ⋅ ⋅⋅ ⋅

IPC 12.2005 12.2004⁄ IPC 08.2006 12.2005⁄⋅ ⋅

12.2000 12.1999---------------------

05.2000 12.1999------------------------------------------ 12.2001

12.2000--------------------- 12.2002

12.2001---------------------× 12.2003

12.2002---------------------× 12.2004

12.2003--------------------- 12.2005

12.2004--------------------- 08.2006

12.2005---------------------×××× ==

08.2006 05.2000---------------------= ⇒


380

Revenind la exemplul nostru şi urmărind tabela de indici:

Suma reactualizată va fi: 5000 x 2,5965 = 12982,5 lei

c) Folosirea în calcul doar a IPC lunari cu bază fixă octombrie 1990

Dacă se cunosc aceşti indici, calculul IPC aferent perioadei dorite este cumult mai rapid (datorită aceleaşi baze fixe, raportând doi indici unul la altul,se simplifică baza) şi în acelaşi timp mult mai fidel, evitând multiplele rotunjiriîn calcul prin trunchierea zecimalelor.

Indicii cu bază fixă octombrie 1990 se găsesc publicaţi în “Buletinul StatisticLunar de Preţuri” al INS, fiind necesară întreaga colecţie, dat fiind faptul căîn fiecare lună, se publică IPC aferent acelei luni (pe total şi pe grupele:alimentare, nealimentare şi servicii) faţă de momentul liberalizării preţurilor.

Se observă că între cele trei metode rezultatele diferă uşor (începând cu atreia zecimală a indicelui în coeficient), datorită rotunjirilor efectuate înpublicarea IPC. Este de preferat utilizarea metodei c) dacă este posibil.

15.10. Cum calculăm dinamica unor indicatori valorici ?

După cum am arătat şi anterior, pentru a calcula dinamica (absolută şirelativă) a oricărui indicator valoric exprimat în moneda naţională, va trebuisă transformăm datele din preţuri curente ale perioadei în preţuricomparabile.

IPC 08.2006 05.2000⁄1 407,1 157,--------------- 1 303, 1 178,× 1 141,× 1 093,×× × =

1 086, 1 0271,×× 2 5965,= sau 259,65 %

IPC 08.2006 05.2000⁄IPC 08.2006 10.1990⁄

IPC 05.2000 10.1990⁄---------------------------------------------

08.2006 10.1990---------------------

05.2000 10.1990------------------------------------------ = = =

280487 9,107981 9,------------------------= 2 5975, sau 259,75 %=


381

Vom exemplifica prin calculul dinamicii reale a câştigului mediu net salarialreal pe economie din luna iulie 2006 faţă de iulie 2004. Ştim din “BuletinulStatistic Lunar” al INS că salariul mediu net pe economie a fost în luna iulie2004 de 5.883.194 lei ROL, iar în luna iulie 2006 de 842 lei RON.

Pentru comparabilitate a exprimării în lei vechi (ROL) sau noi (RON) vomfolosi după cum este cazul în cele ce urmează, fie înmulţirea fie împărţireacu 10.000 (1 leu nou = 10.000 lei vechi).

Mai întâi se calculează IPC aferent perioadei şi dat fiind faptul că IPC cubază fixă decembrie an anterior sunt disponibili pentru utilizatori în publicaţiaINS, voi folosi pentru recalculări doar aceşti indici:

Prin urmare, preţurile medii de consum în luna iulie 2006 au crescut de1,1608 ori (sau altfel spus, cu 16,08 %) faţă de luna iulie 2004.

În continuare, pentru calculul dinamicii salariului real putem aplica una dinurmătoarele metode:

a) Prin transformarea (reactualizarea) sumei din perioada de bază, înpreţurile medii ale perioadei curente, după care se calculează dinamicarelativă (indicele) şi respectiv dinamica absolută (sporul absolut ca diferenţăîntre numărătorul şi numitorul indicelui).

, respectiv

unde:

IPC 07.2006 07.2004⁄ =

IPC 12.2004 12.2003⁄

IPC 07.2004 12.2003⁄--------------------------------------------- IPC 12.2005 12.2004⁄ IPC 07.2006 12.2005⁄ ×× ==

1 093,1 051,---------------= 1 086, 1 0278,× 1 1608,=× sau 116,08 %

I1 0⁄ sal. real S1

S0 IPC1 0⁄×-----------------------------= ∆1 0⁄

sal. real S1 S0 IPC1 0⁄×( )–=

IPC1 0⁄ Indicele Preţurilor de Consum din luna curentă faţă de luna de bază;

=

S0 salariul din luna de bază în preţurile lunii de bază;=

S1 salariul lunii curente în preţurile lunii curente;=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧


382

În exemplul nostru:

Rezultă că salariul net real a crescut în luna iulie 2006 faţă de iulie 2004 de1,2329 ori, respectiv cu 23,29 %, ceea ce a condus la o creştere absolută asalariului cu 159,1 lei.

b) Prin transformarea sumei din perioada curentă în preţurile medii aleperioadei de bază (deflatarea), după care se calculează dinamica reală.

, respectiv

În exemplul de mai înainte:

Se observă că indicele de creştere este acelaşi, indiferent de metodafolosită. Diferă doar sporul absolut, în funcţie de preţurile în care acesta afost exprimat. În exemplul de la punctul b) am putea interpreta astfel: dacă înperioada iulie 2004 - iulie 2006 nu ar fi avut loc nici un fel de creştere apreţurilor şi acestea ar fi rămas constante, atunci salariul net ar fi crescut cu1370424 lei. Dar, cum la momentul iulie 2006 nici nu mai putem vorbi de leiROL, va trebui să facem din nou transformarea în lei RON:

lei RON,

iar mai departe, pentru că între timp a intervenit fenomenul inflaţiei care adiminuat puterea reală de cumpărare a salariului exprimat în preţurile mediiale lunii iulie 2004, va trebui să reactualizăm suma cu ajutorul IPC:

(acelaşi rezultat ca şi în cazul metodei a)

I 07.2006 07.2004⁄ sal. real 842

588319410000

--------------------- 1 1608,⋅------------------------------------------- 842

682,9--------------- 1 2329 sau 123,29 %,= = =

∆ 07.2006 07.2004⁄ sal.real 842 682 9,– +159,1 lei RON= =

I1 0⁄ sal.real S1 : IPC1 0⁄

S0-----------------------------= ∆1 0⁄

sal.real S1IPC1 0⁄----------------- S0–=

I 07.2006 07.2004⁄ sal.real

842 10000×1 1608,

------------------------------

5883194------------------------------ 7253618

5883194--------------------- 1 2329 sau 123,29%,= = =

∆ 07.2006 07.2004⁄ sal.real 7253618 5883194 – +1370424 lei ROL= =

137042410000

---------------------- 137 0424,=

137,0424 x IPC 07.2006 07.2004⁄ 137,0424 x 1,1608 = 159,1 lei RON=


383

c) Prin corectarea dinamicii nominale (în preţuri curente) a fenomenuluicalculat cu dinamica preţurilor de consum.

Se calculează mai întâi indicele în preţuri curente:

după care acesta se corectează cu IPC:

Rezultatul dinamicii reale trebuie obligatoriu să fie acelaşi cu cel din cazulprimelor două metode.

În cazul în care dinamica relativă în preţuri curente depăşeşte creştereamedie a preţurilor de consum rezultă o creştere reală a fenomenului şi,dimpotrivă, în cazul în care aceasta este mai mică decât IPC rezultă oscădere reală a fenomenului în perioada de timp considerată.

În exemplul nostru:

Rezultă indicele salariului real:

Se confirmă acelaşi rezultat cu primele două metode.

Prima metodă ne oferă informaţiile cele mai complete (atât indice cât şi sporabsolut) şi rapide (direct în preţurile medii ale perioadei curente, pentru omai uşoară interpretare).

În acelaşi mod se calculează dinamica reală a oricărui indicator valoricexprimat în moneda naţională.

În unele cazuri, în practică este necesară calcularea unui indice alpreţurilor de consum pentru perioade mai mari de timp, spre exempluindicele corespunzător unei luni apropiate de prezent (luna curentă)faţă de media unui an dinainte de 1990 (perioada de bază este anul).

I1 0⁄ sal. S1

S0-----=

I1 0⁄ sal. real I1 0⁄

sal.

IPC1 0⁄

------------------=

I 07.2006 07.2004⁄ sal. 842

588,3194------------------------ 1,4312 sau 143,12 %= =

IPC 07.2006 07.2004⁄ 1,1608=

I 07.2006 07.2004⁄ sal. real 1,4312

1,1608------------------ 1,2329 sau 123,29 %= =


384

Cum înainte de liberalizarea preţurilor de consum (octombrie 1990) IPC secalcula doar ca un indice mediu anual, este necesară racordarea indiciloranuali cu cei la sfârşitul anului.

Astfel:

- pentru perioade anuale se vor folosi indicii de preţ anuali;

- pentru lunile din anul curent se vor folosi indicii lunari cu bază lunadecembrie anul precedent;

- înlănţuirea celor două tipuri de indici se va face utilizând indicele luniidecembrie an anterior cu bază media aceluiaşi an.

Exemplu de calcul nr. 1

Dorim să calculăm creşterea medie a preţurilor de consum din iulie 2006faţă de anul 1990.Etape de lucru:

a) calculăm:

= 2,702 x 3,104 x 3,561 x 2,367 x 1,323 x 1,388 x 2,548 x 1,591 x 1,458 x1,457 x 1,345 x 1,225 x 1,153 x 1,119 x 1,09 = 2590,345 ori

sau 259034,5%

b) Preluăm din tabela cu IPC faţă de decembrie an anterior, IPC din lunaiulie 2006 faţă de decembrie 2005:

IPC2005 1990⁄ IPC1991 1990⁄ IPC1992 1991⁄× IPC1993 1992⁄× ×=

IPC1994 1993⁄ IPC1995 1994⁄ IPC1996 1995⁄ IPC1997 1996⁄× ××××

IPC1998 1997⁄× IPC1999 1998⁄ IPC2000 1999⁄×× IPC2001 2000⁄ ××

IPC2002 2001⁄× IPC2003 2002⁄ IPC2004 2003⁄ IPC2005 2004⁄××× =

IPC 07.2006 12.2005⁄ 1 0278 ori sau 102,78 %,=


385

c) Calculăm IPC din luna decembrie 2005 faţă de media anului 2005:

d) Racordând indicii calculaţi la a), b) şi c) obţinem indicele dorit:

Rezultă că preţurile medii de consum din luna iulie 2006 au înregistrat ocreştere de 2765,390 ori faţă de nivelul mediu al preţurilor existente în anul1990.

Exemplul de calcul nr. 2:

Dorim să reactualizăm suma de 945 lei din anul 1981 în preţurile medii alelunii august 2006.

Etape de lucru:

a)

b)

c) (s-a calculat la exemplul nr.1)

IPC 12.2005 2005⁄ =

IPC 12.2005 10.1990⁄IPC 01.2005 10.1990⁄ IPC 02.2005 10.1990⁄ IPC 03.2005 10.1990⁄ … IPC 12.2005 10.1990⁄+ + + +

12------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

273087 8,253388 0 254912 2 255649 3 … 273087 8,+ +,+,+,

12--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= 273087 8,

262914 6,------------------------ = =

1,0387 ori sau 103,87 %= media lunară a anului 2005faţă de octombrie 1990

IPC 07.2006 1990⁄ IPC2005 1990⁄ IPC 12.2005 2005⁄ IPC 07.2006 12.2005⁄×× = =

2590 345 1 0387 1 0278,×,×,= 2765,390 ori sau 276539,0 %=

IPC2005 1981⁄ 1,178 x 1,041 x 1,011 x 1,008 x 1,01 x 1,009 x 1,022 x 1,011=

x 1,051 x 2,702 x 3,104 x 3,561 x 2,367 x 1,323 x 1,388 x 2,548 x 1,591 x 1,458

x 1,457 x 1,345 x 1,225 x 1,153 x 1,119 x 1,09 3582,47 ori sau 358247%=

IPC 08.2006 12.2005⁄ 1,0271 sau 102,71 %=

IPC 12.2005 2005⁄ 1,0387 sau 103,87 %=


386

d)

Suma de 945 lei din anul 1981, echivalează cu 3611747 lei ROL (361,17 leiRON) în preţurile medii ale lunii august 2006 (945 x 3821,954 = 3611747).

15.11. De unde se poate afla IPC ?

Principala publicaţie a Institutului National de Statistică care informeazădespre evoluţia IPC cât şi evoluţia preţurilor în detalii, pe produse şi grupede produse este: "Buletinul Statistic de Preturi" - lunar.

IPC este disponibil începând cu data de 11 ale lunii, pentru luna anterioară.


1. Ce înţelegeţi prin IPC ?

2. Care este diferenţa dintre IPC şi rata inflaţiei ?

3. Care este diferenţa dintre IPC lunar şi IPC la sfârşitul perioadei ? Daţiexemple de interpretare pentru ambele situaţii.

4. Când se foloseşte IPC anual ?

5. Cum se calculează un IPC trimestrial ?

6. Care sunt posibilităţile de calcul şi analiză a dinamicii reale a unuiindicator exprimat valoric ?

7. Cum se poate calcula un IPC aferent unei perioade dorite utilizând doarindicii cu bază: decembrie an anterior = 100% ?

8. Cum se poate calcula IPC care să reprezinte creşterea medie a preţurilorde consum dintr-o lună, faţă de media unui an anterior ?

d ) IPC 08.2006 1981⁄ 3582,47 x 1,0387 x 1,0271 = =

3821,954 ori sau 382195,4 %=


387

9. O societate a realizat in anul 2004 o cifra de afaceri de 2,5 mld. lei, iar inanul 1998, o cifra de afaceri de 0,8 mld. lei. Sa se determine dinamica realaa cifrei de afaceri.

10. Un muncitor a realizat in luna aprilie 1998 un salariu de 856.300 lei, iar inluna martie 2003, un salariu de 3.452.000. Sa se determine care estemodificarea relativa reala a salariului in martie 2003, comparativ cu aprilie1998.

11. Daca profitul unei societati a fost in anul 1992 de 5 mii lei iar în anul 2008de 2900 mii lei, cu cât a crescut acesta în mărime absoluta în condiţii depreţuri comparabile ?

12. Cât valoreaza suma de 7,6 milioane lei din luna martie 1994, în lunadecembrie 2008 ?

13. Ştim ca volumul investitiilor la o societate au fost in anul 1992 de35 milioane lei, iar in anul 1994 de 70 milioane lei. Care a fost dinamicareala a acestui indicator în perioada respectiva ?

14. Cat valora suma de 5.600 lei din luna februarie 1992 in preturile mediiale lunii noiembrie 2008 ?

15. Daca o societate comerciala a inregistrat o cifra de afaceri de 457milioane lei in anul 1997 si de 478 milioane lei in anul 2000, cat a fostmodificarea relativa a acesteia ?

16. Un muncitor a realizat in luna septembrie 1998 un salariu de 1.950.000lei, iar in luna martie 2006 un salariu de 985 lei RON. Să se determine careeste modificarea relativa reala a salariului din martie 2006 comparativ cuseptembrie 1998, utilizand indicii preturilor de consum cu baza fixadecembrie an anterior.

17. Cât reprezinta 3,5 milioane lei din luna martie 1999 in preturile medii alelunii februarie 2008.(Nota: in calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).


388

18. O societate a realizat in anul 1997 investitii de 2,1 mld. lei iar in anul2005 investitii de 950 mii lei RON. Sa se determine modificarea relativareala a investitiilor in perioada mentionata mai sus.

19. Cât reprezinta 8,5 milioane lei din luna iulie 2001 în preţurile medii alelunii ianuarie 2008.(Nota: in calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).

20. O societate a realizat în ianuarie 1999 investitii de 4 mld. lei iar indecembrie 2005 investitii de 1.500 mii lei RON. Sa se determine modificarearelativa reala a investitiilor în perioada mentionata mai sus. (Nota: în calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).

21. Cât reprezinta 16 milioane lei din luna mai 2002 în preturile medii alelunii ianuarie 2007.(Nota: în calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).

22. Un muncitor a realizat in luna mai 1998 un salariu de 1.950.000 lei, iar inluna februarie 2006, un salariu de 650 lei RON. Sa se determine care estemodificarea relativa reala a salariului in februarie 2006, comparativ cu mai1998.(Nota: în calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).

23. Cât reprezinta 30 milioane lei din luna noiembrie 2001 in preturile mediiale lunii februarie 2008.(Nota: in calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).

24. Un muncitor a realizat în luna martie 1998 un salariu de 856.300 lei, iarin luna iulie 2005 un salariu de 850 lei RON. Să se determine care estemodificarea relativa reala a salariului din iulie 2005 comparativ cu martie1998. (Nota: în calcul se va folosi numai tabela IPC cu baza fixa decembrie an anterior).


389

Capitolul XVI

SERII TERITORIALE (de spaţiu)

OBIECTIVE

Prin însuşirea metodelor de analiză a seriilor de spaţiu prezentate în acestcapitol, studenţii vor putea efectua analize şi comparaţii regionale, care săstea în viitor la baza unor programe de dezvoltare.

O aplicare corectă a metodelor ierarhizării multicriteriale vine în sprijinulanalizelor regionale, a identificării corecte a locului ocupat de o unitateteritorial-administrativă în raport cu alta/altele şi apoi reducerea decalajelordintre acestea.

Cuvinte cheie

16.1. DEFINIŢIE ŞI PARTICULARITĂŢI

Seria teritorială numită şi serie de spaţiu prezintă distribuţia unui indicatoreconomic pe unităţi teritorial-administrative. Cu alte cuvinte, în cazul seriilorde spaţiu vom avea 2 şiruri, în care primul este dat de unitatea teritorială şial doilea de mărimea indicatorului analizat.

RegiuneSerie de spaţiuCartogramăCartodiagramăNivelul şi decalajul absolutIndicii teritorialiRatele de decalaj

Coeficientul de concentrareIerarhizare multicriterialăMetoda rangurilorMetoda distanţelor relativeIndici de devansareExtrapolare a seriilor de spaţiu

Serii teritoriale (de spaţiu)

390

Cum fenomenele economico-sociale nu sunt uniform dezvoltate, existânduneori discrepanţe mari chiar între unităţile teritoriale ale aceluiaşi judeţ,spre exemplu, apare necesitatea analizei datelor şi în profil teritorial. Pentruca factorii de decizie la nivelul unei regiuni geografice să poată lua măsurieficiente în redresarea zonelor rămase în urmă şi micşorarea decalajelorexistente, acestea trebuiesc mai întâi cunoscute şi analizate prin metodespecifice. Seriile de timp operează cu noţiuni de spaţiu cum ar fi spreexemplu: continentul, ţara, regiunea, judeţul, oraşul, comuna, satul.

Guvernele sunt în general interesate în cunoaşterea decalajelor dintreregiunile ţării respective, dar şi între ţara pe care o conduce şi ţări la carenivelul de dezvoltare se aspiră a se ajunge.

Datorită diferenţelor mari de nivel de trai între diferite spaţii teritorial-administrative, apar fenomene precum migraţia forţei de muncă cu efecteatât asupra spaţiului de provenienţă cât şi a destinaţiei finale a acesteia.Datorită aceluiaşi motiv, avem de-a face pe de-o parte cu o migraţie a forţeide muncă între judeţele ţării. Este valabil şi pentru alte nivele teritoriale maimici (localităţi) sau chiar mai mari (migraţia între continente).

Când folosim noţiunea de regiune în sens statistic nu ne gândim doar la oregiune geografică anume. Aceasta se asociază nu doar spaţiului naţionalcare este structurat în regiuni, ci şi unui grup de ţări între care se manifestăfluxuri de natură economică, culturală, comercială,etc.

Spre exemplu, Oficiul de Statistică al Uniunii Europene (EUROSTAT) aelaborat şi utilizează în analiza teritorială un “Nomenclator al UnităţilorTeritoriale pentru Statistică” (NUTS) în scopul omogenizării unităţilorteritoriale.

Nomenclatorul Unităţilor Teritoriale Statistice (NUTS)

NUTS a fost stabilit de Eurostat de mai bine de 25 ani, din nevoia de adispune de o schemă unică şi coerentă de repartiţie teritorială pentrustabilirea statisticilor regionale ale UE.

Cu toate că NUTS a fost utilizat încă din 1988 în legislaţia comunitară, deabia în 2003, după trei ani de pregătire, a fost adoptat un regulament alParlamentului european şi al Consiliului asupra acestui nomenclator. Acestregulament permite să se facă faţă într-o manieră simplă tuturor mutaţiilor cear interveni inevitabil în structurile administrative şi să se minimizezeincidenţa acestora asupra disponibilităţii şi comparabilităţii statisticilorregionale. În perspectiva viitoarei lărgiri a UE, acest obiectiv revine cu oimportanţă crescândă.


391

NUTS actual divizează teritoriul UE după lărgirea din 2007 în 95 regiuni lanivel NUTS 1, în 269 regiuni la nivel NUTS 2 şi în 1.284 regiuni de nivelNUTS 3. Spre exemplu, în România nivelul NUTS 1 este formată din 4macroregiuni, NUTS 2 din 8 regiuni şi NUTS 3 din 42 judeţe şi municipiulBucureşti.

NUTS este o delimitare geografică a teritoriului administrativ al UE pentruconstituirea statisticilor regionale. Aceste delimitări în regiuni NUTS pot fivizualizate pe hartă, ţară de ţară.

Pentru a diferenţia regiunile europene care au acelaşi nume, sigla ţăriicorespunzătoare este adăugată pentru fiecare. Fiecare regiune NUTSapartine mai multor nivele. Spre exemplu Luxemburg este în acelaşi timporaş, ţară şi regiune de nivele 1, 2 şi 3. În acest caz, codul se termină prin 0pentru regiunile care au acelaşi teritoriu cu cel al nivelului inferior următor.

Datele statistice regionale sunt disponibile în publicaţiile de bază şi în bazelede date la unul sau la 3 nivele NUTS.

NUTS este definit doar pentru Statele membre ale UE, dar o codificare aregiunilor statistice a fost realizată şi pentru ţările candidate, precum şipentru cele care compun Spaţiul Economic European (SEE), precum şipentru Elveţia.

La nivel local au fost definite două nivele de Unităţi Locale Administrative :de nivel superior (UL 1, altădată NUTS de nivel 4) este definit pentrumajoritatea ţărilor şi de nivel inferior (UL 2, altă dată NUTS de nivel 5).

Ţările sunt clasificate în ordinea oficială alfabetică, în funcţie de ortografiadin limba principală a fiecărei ţări:

Nr. Crt. Denumirea ţării Symbol Nr.

Crt. Denumirea ţării Symbol

1 Belgia BE 15 Ungaria HU2 Republica Cehă CY 16 Malta MT3 Danemarca DK 17 Olanda NL4 Germania DE 18 Austria AT5 Estonia EE 19 Polonia PL6 Grecia EL 20 Portugalia PT7 Spania ES 21 Slovania Sl8 Franţa FR 22 Slovacia SK9 Irlanda IE 23 Finlanda Fl10 Italia IT 24 Suedia SE11 Cipru CY 25 Marea Britanie UK12 Letonia LV EU-1513 Lituania LT EU-2514 Luxembourg LU


392

România, ca ţară candidată la Uniunea Europeană s-a aliniat la sistemul deîmpărţire geografică regională folosit de EUROSTAT. Astfel, spaţiul ţării esteîmpărţit în 2 nivele NUTS: NUTS 2 constituit din 8 regiuni de dezvoltare(regiuni statistice) şi NUTS 3 reprezentat de judeţele fiecărei regiuni.

În general, pentru majoritatea indicatorilor economico-sociali InstitutulNaţional de Statistică produce estimaţii până la nivel de NUTS 2. La nivelulNUTS 3 nu se pot obţine estimaţii fiabile datorită nereprezentativităţiieşantioanelor care stau la baza colectării datelor (mai ales la anchetele prinsondaj organizate în gospodăriile populaţiei).

La alcătuirea unei serii teritoriale trebuie să ţinem seama cel puţin deurmătoarele particularităţi:

a) Independenţa relativă a termenilor, ceea ce conduce la necesitateaanalizei separate a fiecărei unităţi de spaţiu. Fiecare unitate de spaţiu are unnivel specific de dezvoltare a fenomenului, fără a se condiţiona de nivelulaltei unităţi de spaţiu.

b) Omogenitatea termenilor seriei este obligatorie. Aceştia trebuie să fiecomparabili între ei atât din punct de vedere al unităţii de măsură folosite,dar şi din punct de vedere al sferei de cuprindere şi al metodologiei folositela construirea indicatorilor.

Repartizarea judeţelor pe regiuni statistice


393

Comparabilitatea datelor este în unele cazuri dificil de realizat la nivelmondial. EUROSTAT, prin regulamente specifice a impus aliniereametodologiilor de calcul a indicatorilor pentru toate ţările membre saucandidate, dar se încearcă prin organismele internaţionale şi o aliniere lanivel mondial. Altfel, toate comparaţiile între state suferă din start.

c) Simultaneitatea termenilor seriei se referă la faptul că toate dateleincluse în serie trebuie să se refere la aceeaşi perioadă (moment) de timp.

d) Variabilitatea termenilor se referă la faptul că între aceştia existădiferenţe, explicate prin influenţa cauzelor esenţiale şi aleatoare ce conducla decalaje între spaţiile teritoriale.

16.2. CLASIFICAREA SERIILOR TERITORIALE ŞI FORMA GRAFICĂ DE PREZENTARE

În funcţie de conţinutul termenilor, seriile teritoriale pot fi:

a) Serii teritoriale alcătuite din indicatori absoluţi, cum ar fi spreexemplu: populaţia judeţului pe localităţi componente; cifra de afacerirealizată pe ţară repartizată pe judeţe, etc.

b) Serii teritoriale formate din mărimi derivate (indicatori relativi,indicatori medii). Acestea se obţin în urma aplicării unor metode de calcul lanivelul fiecărei unităţi de spaţiu.

Spre exemplu: Densitatea populaţiei pe judeţe în cadrul ţării; numărul mediude salariaţi pe judeţe; ritmul de creştere al producţiei industriale pe judeţe,etc.

Dat fiind faptul că între judeţe/ţări/regiuni există diferenţe semnificative atâtdin punct de vedere al numărului populaţiei, cât şi al suprafeţei teritoriale decare dispune, în multe cazuri se foloseşte alcătuirea seriilor teritoriale dinindicatori relativi de intensitate, care sunt cu mult mai relevanţi încomparaţiile care se fac (mai ales în cazul celor internaţionale).

Spre exemplu, dacă alcătuim o serie teritorială a PIB în mărime absolută,este normal ca mărimea PIB-ului să difere de la o ţară la alta în funcţie demărimea acesteia, motiv pentru care corectă ar fi folosirea unui indicatorderivat, PIB/locuitor, care poate fi comparat între ţări.


394

Reprezentarea grafică a seriilor teritoriale are ca scop evidenţiereaintensităţii fenomenelor în diferite spaţii teritoriale. Se pot observa din graficatât aspecte statistice, cum ar fi concentrarea sau dimpotrivă, uniformitateaunor fenomene în spaţiu, precum şi nivele de dezvoltare diferită.

Principalele tipuri de grafice folosite sunt:

a) Cartogramele sunt hărţi, în care suprafeţele unităţilor teritoriale sunthaşurate (colorate) diferit în funcţie de mărimea indicatorului prezentat.

b) Cartodiagramele sunt combinaţii între cartograme şi diagrame prin figurigeometrice, de volum sau alte diagrame.

Se înscrie practic câte o mică diagramă statistică în spaţiul aferent fiecăreizone teritoriale, care să ilustreze fenomenul analizat.

BotosaniSatu Mare Maramures

Suceava

Bihor

IasiBistrita NasaudSalaj

ClujNeamt

HarghitaMures VasluiBacau

AradAlba

HunedoaraCovasna

SibiuTimis Vrancea GalatiBrasov

BuzauCaras SeverinArgesValcea TulceaPrahova Braila

DambovitaGorj

Mehedinti

Olt

Ialomita

Constanta

Ilfov

DoljCalarasi

GiurgiuTeleorman

11,2 5,9 9,3

12,7

7,3

10,3 9,6 13,0

11,0 15,7

10,5 10,9 13,2 8,3

6,8 15,6

17,1

18,1 11,9 7,1 6,6 14,1 15,6

21,2 14,2 10,7 11,5 17,2 19,1 14,8

10,6 13,2

12,2

9,8

21,6

16,3

12,8

9,6

19,5

9,5 10,1

5,9 - 9,2 9,3 - 11,912,2 - 14,815,0 - 18,119,1 - 21,6

Rata şomajului pe judeţe, la recensământul din 2002 (%)


395

16.3. INDICATORII SERIILOR TERITORIALE

Pentru a caracteriza o serie de spaţiu se pot utiliza indicatori absoluţi, relativişi medii.

a) Indicatorii absoluţi:

Indicatorii de nivel , care sunt însăşi termenii seriei de spaţiuatunci când aceasta este alcătuită din indicatori absoluţi. Spre exemplu,avem următoarea serie de spaţiu:

• yi( )

Simbolul unitatii de spatiu

Cifra de afaceri (miliarde lei)

Regiunea de Nord-Est 432.949A Bacau 150.127B Botoşani 25.475C Iasi 102.152D Neamţ 59.792E Suceava 68.828F Vaslui 26.575

Cifra de afaceri realizata de unitatile locale active din judetele Regiunii de Nord-Est in anul 2004


396

Cifra de afaceri este simbolizată cu şi reprezintă termenii seriei despaţiu.

Decalajul (avansul) absolut, notat cu sau cu , unde cu A,B ... s-au simbolizat unităţile de spaţiu.În funcţie de nevoile analizei se va confrunta (compara) o unitate de spaţiucu alta, rezultând un avans al unei unităţi de spaţiu faţă de alta luată ca bazăde comparaţie.

Spre exemplu:

Rezultă că în anul 2004, judeţul Bacău a înregistrat un avans de 47975miliarde lei la cifra de afaceri realizată, faţă de judeţul Iaşi.

Comparaţia se poate face şi invers:

Rezultă că judeţul Iaşi a realizat o cifră de afaceri mai mică cu 47975miliarde lei decât judeţul Bacău.

După cum s-a observat, decalajul (avansul absolut) se exprimă în aceeaşiunitate de măsură ca indicatorul de nivel luat în analiză şi arată cu cât estemai mare / mai mic nivelul unei unităţi de spaţiu faţă de o altă unitate despaţiu luată ca bază de comparaţie.De multe ori ca bază de comparaţie se foloseşte nivelul mediu.

Spre exemplu:

b) Indicatori relativi:

Aceştia se calculează pe baza indicatorilor de nivel. Ei pot fi:

Indicii teritoriali care de fapt sunt mărimi relative de coordonare şiarată de câte ori este mai mare sau mai mic nivelul unei unităţi de spaţiu faţăde nivelul unei alte unităţi de spaţiu luată ca bază de comparaţie, pentruaceeaşi caracteristică.

″yi″

• ∆A B⁄y ∆B A⁄

y

∆A C⁄y yA yC– 150127 102152–= + 47975 miliarde lei= =

∆C A⁄y yC yA– 102152 150127–= 47975– miliarde lei= =

∆A y⁄y yA y–=

•


397

Aşa cum s-a prezentat la capitolul indici, aceştia se pot calcula fie ca indiciindividuali, fie ca indici sintetici (de grup).

Indici teritoriali individuali sunt:

sau

Ca orice indice, aceştia pot fi exprimaţi în coeficient sau în procente.

În exemplul considerat, putem compara spre exemplu judeţul Bacău cujudeţul Iaşi:

Rezultă că cifra de afaceri realizată în anul 2004 de judeţul Bacău este de1,47 ori mai mare decât cea realizată de judeţul Iaşi sau:

Rezultă că cifra de afaceri realizată de judeţul Iaşi reprezintă 68% din cearealizată în judeţul Bacău sau, altfel spus, aceasta este cu 32% mai mică.

Între cei doi indici există o relaţie de reversabilitate:

sau 100 dacă este exprimat în procente.

Indicii de grup arată modificarea medie a unei caracteristici la nivelulîntregului teritoriu, compus din mai multe unităţi de spaţiu. Construireaindicilor teritoriali de grup respectă aceleaşi reguli prezentate la construireaindicilor dinamicii, specific fiind faptul că se foloseşte sistemul de ponderareFisher (media geometrică a celor 2 sisteme de ponderare: Paasche şiLaspeyres).

Ratele de decalaj , respectiv avansul relativ, reprezintă expresiarelativă (procentuală) a unei unităţi de spaţiu faţă de alta din punct de vedereal unei caracteristici.

Este un indicator similar ca mod de calcul şi exprimare cu cel al ritmului decreştere al sporului prezentat la capitolul serii cronologice.

iA B⁄y yA

yB-----= iB A⁄

y yByA-----=

iA B⁄y 150127

102152------------------ 1 47,= = sau 147 %

iB A⁄y 102152

150127------------------ 0 68,= = sau 68%

iA B⁄y iB A⁄

y⋅ 1=

• R (%) y


398

Pentru exemplul de calcul luat a fost deja interpretat, respectiv judeţul Iaşi arealizat o cifră de afaceri cu 32% mai mică decât cea a judeţului Bacău. Sauinvers, judeţul Bacău a realizat o cifră de afaceri cu 47% mai mare decât ajudeţului Iaşi.

c) Indicatorii medii ai seriilor teritoriale se referă la: nivelul mediu alfenomenului ( ) în profil teritorial; mediana ( ); modulul sau dominanta

( ) prezentaţi în capitolele anterioare ale cursului de “Statistică”. Demenţionat faptul că media termenilor seriei se calculează diferit în funcţie detipul indicatorului care este prezentat în seria teritorială:

- dacă seria este alcătuită din mărimi absolute media se calculează ca omedie aritmetică simplă;- dacă seria este alcătuită din mărimi relative, cum este cazul indicilor,aceasta se calculează ca o medie geometrică.

Alţi indicatori des folosiţi în caracterizarea seriilor de spaţiu sunt cei carecaracterizează gradul de uniformitate sau de concentrare, indicatoriprezentaţi la capitolul “Indicatori ai concentrării şi diversificării” din cursul de“Statistică”.

Energia informaţionala Onicescu ( E ) - se calculează ca sumă apătratelor ponderilor gi a tuturor părţilor unei colectivităţi:

Valoarea energiei informaţionale a unei distribuţii poate fi cuprinsă în

intervalul .

Când E = 1 distribuţia prezintă o concentrare maximă (monopol);

Când se prezinta o echirepartiţie.

RA B⁄y

(%)∆A B⁄

yB------------ 100⋅

yA yB–yB

----------------- 100⋅= = =

yAyB-----

yByB-----–⎝ ⎠

⎛ ⎞ 100⋅= iA B⁄y 1–( ) 100⋅=

y Me

Mo

•

E gi2

i 1=

N

∑= gi∑ 1=

1N---- ; 1

E 1N----=


399

Pentru a elimina inconvenientul variabilităţii valorii minime posibile se

calculează o formă corectata:

al cărui interval de variaţie devine: [0 , 1].

Coeficientul de concentrare Corrado Gini ( )

are acelaşi dezavantaj, respectiv valoarea minimă este variabilă în

funcţie de numărul “n” al categoriilor.

Coeficientul de concentraţie Strück ( ) corectează ( ) pentru a

corespunde formei corecte a energiei informaţionale Onicescu ( ) şi pentrua fi independent de numărul de categorii considerate.

16.4. IERARHIZAREA MULTICRITERIALĂ A UNITĂŢILOR DE SPAŢIU

În practică, apare foarte des necesitatea realizării de clasamente a unităţilorteritorial-administrative, atât în plan naţional cât şi internaţional, în vedereamăsurării decalajelor şi a elaborării unor strategii optime de dezvoltare.

Ierarhizările după un singur indicator, oricât ar fi acela de sintetic, nu sunt înmăsură să caracterizeze complexitatea factorilor ce conduc la decalaje întreregiuni.

Din acest motiv apare necesitatea luării în considerare a mai multorindicatori în realizarea de clasamente, care să reprezinte pe cât posibil toatedomeniile esenţiale ale vieţii economice şi sociale.

1N----

E′gi

2∑

1N----–

1 1N----–

----------------------=

• CG

CG gi2

∑= CG1n--- ; 1∈

1n---

• CS CG

E

CS

n gi2 1–∑

n 1–------------------------= Cs 0 1;[ ]∈


400

Pentru a efectua o ierarhizare multicriterială trebuiesc parcurse următoareleetape:

1) Selectarea indicatorilor folosiţi în elaborarea clasamentului multicriterial înfuncţie de scopul cercetării.

2) Alegerea unei metode care să conducă la un indicator unic după care serealizeză clasamentul multicriterial.

3) Elaborarea de clasamente provizorii pe baza fiecărui indicator selectat, iarîn final elaborarea clasamentului final (multicriterial).

4) Valorificarea rezultatelor.

Pentru asigurarea comparabilităţii datelor trebuie să se ţină cont de structuraeconomică, socială şi geografică a unităţilor teritoriale.

Modelele cel mai frecvent folosite sunt:

1. Metoda rangurilor care constă în atribuirea de ranguri (numere deordine) fiecărei unităţi teritorial administrative în parte. Mai întâi se atribuieranguri pentru fiecare criteriu (indicator) în parte, ordonând termenii seriei despaţiu în funcţie de nivelul acestora (de la mare la mic, sau altfel spus de laperformant la mai puţin performant).

Atenţie !

Când au fost selectaţi indicatori la care nivelul cel mai mare are osemnificaţie pozitivă, alături de indicatori la care nivelul cel mai mare are osemnificaţie negativă, trebuie ţinut cont de aceste aspecte. În acest caz, laatribuirea rangului pentru indicatorul cu semnificaţie negativă seierarhizează unităţile de spaţiu de la mic la mare.

Exemplu: cu cât rata şomajului este mai mică, cu atât unitatea de spaţiu estemai performantă. La fel şi în cazul Indicelui Preţurilor de Consum sau a altorindicatori, cum ar fi rata mortalităţii, rata divorţialităţii, etc.

Pentru calcule automate din punct de vedere informatic, se pot transformaaceşti indicatori în opusul lor şi în acest caz toţi indicatorii luaţi înconsiderare vor respecta aceeaşi regulă, rangurile acordându-se de la marela mic.


401

Spre exemplu, în cazul indicatorului rata şomajului de 8,2%, opusul acesteiaeste rata de ocupare = 100 - 8,2 = 91,8 %.

Dacă avem spre exemplu indicatorul număr de locuitori ce revin la un medic,acesta este cu atât mai bun cu cât nivelul este mai mic, motiv pentru careeste de preferat opusul acestuia, numărul medicilor care revin la 1000locuitori.

După ce s-au acordat ranguri individuale pentru fiecare indicator selectat seface scorul total, ca sumă a rangurilor criteriilor, iar în final se atribuie dinnou un număr de ordine (rangul final) în funcţie de scorul obţinut de fiecareunitate de spaţiu. Unitatea teritorială având cel mai mic scor primeşte rangul1 şi aşa mai departe.

Dezavantajul acestei metode constă în faptul că se pierde o mare parte ainformaţiei, dat fiind faptul că valorile sunt de multe ori foarte diferite camărime, iar o simplă ordonare prin numere de ordine conduce la nivelareafenomenului. O dată se nivelează la atribuirea de ranguri după fiecarecriteriu şi a doua oară la atribuirea rangului final. Din acest motiv, în foartemulte cazuri în practică se plasează pe acelaşi loc mai multe unităţi despaţiu, care în esenţă sunt cu mult diferite unele de altele.

Metoda are avantajul unei aplicări rapide, dar după cum am spus mai înainteclasamentul suferă din punct de vedere al consistenţei ştiinţifice.


402

16.4.1. Exemplu practic

Din datele furnizate de EUROSTAT, au fost selectate 5 criterii considerateesenţiale, pentru ţările Uniunii Europene, ţările candidate, precum şi pentrumarile puteri economice Japonia şi SUA.

Se doreşte realizarea unui clasament multicriterial folosind metodarangurilor.

Rangurile au fost atribuite în următorul tabel:

PIB/locuitor (SPA) UE 25=100%

anul 2005

Durata medie a

vieţii - 2004 - (ani)

Rata generală de activitate în

2005 %

Rata şomajului în 2005 %

Rata medie anuala a

inflatiei 2005 %

1 Belgia be 117,6 79 61,1 8,4 2,52 Germania de 109,4 79 65,4 9,5 1,93 Grecia gr 82,0 79 60,1 9,8 3,54 Spania es 98,6 80 63,3 9,2 3,45 Franţa fr 108,8 80 63,1 9,5 1,96 Irlanda ie 137,6 78 67,6 4,3 2,27 Italia it 102,7 80 57,6 7,7 2,28 Luxemburg lu 247,4 78 63,6 4,5 3,89 Olanda nl 124,2 79 73,2 4,7 1,5

10 Austria at 122,5 79 68,6 5,2 2,111 Portugalia pt 71,3 77 67,5 7,6 2,112 Finlanda fi 113,4 79 68,4 8,4 0,813 Danemarca dk 124,3 77 75,9 4,8 1,714 Suedia se 114,6 81 72,5 7,8 0,815 Regatul Unit uk 116,6 78 71,7 4,7 2,116 Republica Cehă cz 72,9 75 64,8 7,9 1,617 Estonia ee 57,3 72 64,4 7,9 4,118 Cipru cy 83,4 77 68,5 5,3 2,019 Letonia lv 47,2 72 63,3 8,9 6,920 Lituania lt 52,0 72 62,6 8,3 2,721 Ungaria hu 60,8 73 56,9 7,2 3,522 Malta mt 69,2 78 53,9 7,3 2,523 Polonia pl 49,8 75 52,8 17,7 2,224 Slovenia si 79,8 77 66,0 6,5 2,525 Slovacia sk 55,0 74 57,7 16,3 2,826 Bulgaria bg 32,1 72 55,8 10,1 5,027 România ro 34,7 71 57,6 7,7 9,128 Turcia tr 30,0 69 46,0 10,3 8,129 S.U.A. us 148,5 78 71,2 5,1 3,430 Japonia jp 108,7 82 68,7 4,4 -0,3

Simbolul ţării/zoneiDenumirea ţăriiNr.

Crt.

Indicatori


403

Se observă că în foarte multe cazuri pe acelaşi rang se plasează un grup demai multe ţări în acest caz, la toate se va înscrie media rangurilor pe care le-ar fi obţinut acele ţări dacă nu ar fi avut acelaşi nivel. În felul acesta, ultimulrang coincide cu numărul ţărilor luate în clasament.

Spre exemplu, în cazul ratei şomajului, atât Olanda cât şi Regatul Unit auacelaşi nivel (4,7%), ocupând locurile 4 şi 5, motiv pentru care la ambelestate s-a considerat 4,5 (media aritmetică simplă a rangurilor).

PIB/locuitor (SPA) UE 25=100% anul 2005

Durata medie a

vieţii - 2004 -(ani)

Rata generală de activitate în

2005 %


Rata medie anuala a inflatiei 2005 %

1 Belgia be 7 8,5 21 20,5 17 74 15,52 Germania de 11 8,5 13 24,5 7,5 65 123 Grecia gr 17 8,5 22 26 23,5 97 214 Spania es 15 4 17,5 23 21,5 81 195 Franţa fr 12 4 19 24,5 7,5 67 136 Irlanda ie 3 14 10 1 15 43 77 Italia it 14 4 24,5 14,5 15 72 148 Luxemburg lu 1 14 16 3 25 59 109 Olanda nl 5 8,5 2 4,5 4 24 2

10 Austria at 6 8,5 7 8 11 41 511 Portugalia pt 20 18,5 11 13 11 74 15,512 Finlanda fi 10 8,5 9 20,5 2,5 51 913 Danemarca dk 4 18,5 1 6 6 36 414 Suedia se 9 2 3 16 2,5 33 315 Regatul Unit uk 8 14 4 4,5 11 42 616 Republica Cehă cz 19 21,5 14 17,5 5 77 1817 Estonia ee 23 26,5 15 17,5 26 108 2318 Cipru cy 16 18,5 8 9 9 61 1119 Letonia lv 27 26,5 17,5 22 28 121 2620 Lituania lt 25 26,5 20 19 19 110 2421 Ungaria hu 22 24 26 11 23,5 107 2222 Malta mt 21 14 28 12 17 92 2023 Polonia pl 26 21,5 29 30 15 122 2724 Slovenia si 18 18,5 12 10 17 76 1725 Slovacia sk 24 23 23 29 20 119 2526 Bulgaria bg 29 26,5 27 27 27 137 2927 România ro 28 29 24,5 14,5 30 126 2828 Turcia tr 30 30 30 28 29 147 3029 S.U.A. us 2 14 5 7 21,5 50 830 Japonia jp 13 1 6 2 1 23 1

Rang final

Simbolul ţării/zonei

Denumirea ţăriiNr. Crt.

Ranguri dupa:

Scor final


404

Vorbeam mai înainte de dezavantajul metodei, prin aceea că se niveleazănivelul fenomenului pierzând foarte mult din informaţie. Dacă se urmăreşteîn tabelul cu date iniţiale pe ţări, în cazul PIB/locuitor spre exemplu, ţara ceamai performantă este Luxemburg cu 247,4 SPA, urmată de SUA cu 148,5SPA.

Luxemburg are un nivel PIB/locuitor de 1,7 ori mai mare decât cel existent înSUA, dar acest lucru nu este luat în considerare, contând doar simplulnumăr de ordine, nu şi decalajul relativ existent între cele două state, net înfavoarea primului.

Tocmai datorită acestui dezavantaj se preferă metoda următoare.

2. Metoda distanţelor relative care se bazează pe mărimile relative decoordonare, calculate faţă de unitatea teritorială cea mai performantă,pentru fiecare criteriu în parte.

Etape de lucru:

- se stabileşte pentru fiecare criteriu în parte unitatea cea mai performantă(cu nivelul minim sau maxim după semnificaţia indicatorului respectiv);- se calculează distanţa relativă faţă de unitatea cea mai performantă (luatăetalon);

- se calculează media distanţelor relative, ca medie geometrică a distanţelorrelative pentru cele criterii considerate, pentru fiecare ţară;

- se atribuie rangul final astfel: unitatea teritorială cu distanţa medie relativămaximă primeşte rangul 1 şi aşa mai departe.

Metoda are marele avantaj de a conserva calitatea informaţiei, furnizândclasamente pertinente.

Exemplu de calcul:

Se porneşte tot de la datele luate în exemplul aplicat la metoda rangurilor.

În tabelul următor au fost calculate distanţele relative pentru fiecare ţară şipentru fiecare criteriu în parte şi exprimate în %.

″n″


405

Spre exemplu, în cazul primului criteriu (PIB/locuitor), ţara cea maiperformantă este Luxemburg, iar aceasta devine bază de comparaţie(=100,0%) pentru toate celelalte ţări.

Distanţa relativă faţă de aceasta în cazul SUA s-a calculat astfel:

.

După ce s-au calculat toate distanţele relative, distanţa medie relativă s-acalculat ca o medie geometrică.

PIB/locuitor (SPA) UE 25=100% anul 2005

Durata medie a

vieţii 2004 (ani)

Rata generală

de activitate în 2005 %


Rata medie

anuala a inflatiei 2005 %

1 Luxemburg lu 100,0 95 83,8 104,7 104,1 0,94731 100,00 12 S.U.A. us 60,0 95 93,8 118,6 103,7 0,87453 92,32 23 Danemarca dk 50,2 94 100,0 111,6 102,0 0,85614 90,38 34 Irlanda ie 55,6 95 89,1 100,0 102,5 0,85595 90,36 45 Olanda nl 50,2 96 96,4 109,3 101,8 0,85472 90,23 56 Austria at 49,5 96 90,4 120,9 102,4 0,83946 88,62 67 Suedia se 46,3 99 95,5 181,4 101,1 0,83930 88,60 78 Regatul Unit uk 47,1 95 94,5 109,3 102,4 0,83734 88,39 89 Japonia jp 43,9 100 90,5 102,3 100,0 0,83142 87,77 9

10 Finlanda fi 45,8 96 90,1 195,3 101,1 0,82263 86,84 1011 Belgia be 47,5 96 80,5 195,3 102,8 0,80735 85,23 1112 Germania de 44,2 96 86,2 220,9 102,2 0,80570 85,05 1213 Franţa fr 44,0 98 83,1 220,9 102,2 0,80109 84,56 1314 Spania es 39,9 98 83,4 214,0 103,7 0,78407 82,77 1415 Italia it 41,5 98 75,9 179,1 102,5 0,78017 82,36 1516 Cipru cy 33,7 94 90,3 123,3 102,3 0,77313 81,61 1617 Slovenia si 32,3 94 87,0 151,2 102,8 0,75794 80,01 1718 Grecia gr 33,1 96 79,2 227,9 103,8 0,74486 78,63 1819 Portugalia pt 28,8 94 88,9 176,7 102,4 0,74325 78,46 1920 Republica Cehă cz 29,5 91 85,4 183,7 101,9 0,73687 77,79 2021 Malta mt 28,0 95 71,0 169,8 102,8 0,70801 74,74 2122 Estonia ee 23,2 88 84,8 183,7 104,4 0,69208 73,06 2223 Ungaria hu 24,6 89 75,0 167,4 103,8 0,68699 72,52 2324 Lituania lt 21,0 88 82,5 193,0 103,0 0,67631 71,39 2425 Slovacia sk 22,2 90 76,0 379,1 103,1 0,66420 70,11 2526 Letonia lv 19,1 88 83,4 207,0 107,2 0,65811 69,47 2627 Polonia pl 20,1 91 69,6 411,6 102,5 0,64003 67,56 2728 România ro 14,0 87 75,9 179,1 109,4 0,60426 63,79 2829 Bulgaria bg 13,0 88 73,5 234,9 105,3 0,59492 62,80 2930 Turcia tr 12,1 84 60,6 239,5 108,4 0,55595 58,69 30

Rangul final

Simbolul ţării/ zonei


Distanta relativa % pentru: Distanta relativa pentru

distanta medie

%

Distanta medie relativa

148,5 247,4--------------- 100⋅ 60,0 %=


406

Spre exemplu, în cazul statului Luxemburg, distanţa medie va fi:

În final, fie se atribuie direct rangul ierarhizării multicriteriale, fie se maiaplică încă o dată distanţa relativă faţă de distanţa medie cea maiperformantă şi apoi se stabileşte rangul final.

16.5. EXTRAPOLAREA ÎN PROFIL TERITORIAL

De multe ori în practică se pune întrebarea: pentru a atinge nivelul dedezvoltare al regiunii , cu ce spor (sau indice) mediu trebuie sădezvoltăm acel fenomen ? Sau, în ce perioadă de timp se va producedublarea, triplarea indicatorului la nivelul unei unităţi teritoriale ?

În acest sens se folosesc atât indicatori învăţaţi la capitolul “Serii teritoriale”,cât şi metode de ajustare (extrapolare a tendinţei) învăţate la capitolul “Seriicronologice”.

Putem avea următoarele situaţii concrete:

a) Vrem să stabilim care este indicele de devansare a dinamicii unuifenomen de către dinamica unui alt fenomen pentru un anumitjudeţ şi o anumită perioadă de timp.

Sau, cu cât acest judeţ a devansat dinamica unor indicatori similari peîntreaga ţară.

Presupunem că a înregistrat o dinamică mai rapidă decât . Calculămdinamica celor doi indicatori: şi , apoi se calculează indicele dedevansare ca raport între indicii celor 2 variabile:

; ;

1,0 x 0,95 x 0,838 x 1,047 x 1,0415 0,94731=

″x″

″y″ ″z″

″y″ ″z″″y″ ″z″

I1 0⁄y y1

y0-----=

indice de raportat

I1 0⁄ z z1

z0----=

indice bază de raportare

I y z⁄I 1 0⁄

y

I 1 0⁄z

-----------=

indice de devansare


407

b) Cunoaştem ritmul de dezvoltare a unui fenomen într-un judeţ, calculatpentru o perioadă anterioară şi dorim să ştim după câţi ani se ajunge ladublarea mărimii lui , dacă se merge în continuare cu acelaşi indicemediu .

, unde n = numărul de ani după care se va produce dublareafenomenului.

Se obţine prin logaritmare:

Dacă se doreşte triplarea, relaţia devine:

şi aşa mai departe.

c) Pentru micşorarea decalajelor existente între judeţe sau chiar pentrudepăşirea unui judeţ, ca nivel de dezvoltare la un indicator , se puneproblema după câţi ani este posibil acest lucru.

Presupunem că este mai mic în judeţul A decât în judeţul B, dar indicelemediu de creştere al judeţului A este mai mare decât la judeţul B.Vrem să vedem după câţi ani judeţul A va atinge nivelul de dezvoltare ajudeţului B.

, iar

Ştim că fenomenle se dezvoltă pe baza unei progresii geometrice, deci nefolosim de ecuaţia de tendinţă prin metoda indicelui mediu, învăţată laajustarea seriilor cronologice:

Se egalizează cele două ecuaţii de tendinţă ale judeţelor, apoi secalculează , numărul de ani după care judeţul A va atinge nivelul dedezvoltare al judeţului B.

″y″

″y″

I

I n

2=

″n″

n I log 2log= ⇒ n 2logn I log---------------=

I n

3=

″y″

″y″

yA yB< I A I B>

yn y1 I n

⋅=

″n″


408

,

unde reprezintă nivelul fenomenului la momentul efectuăriiprognozei (perioada curentă).

Numărul de ani după care se va produce egalizarea va fi:

Aceeaşi modalitate de extrapolare se poate folosi şi în cazul în carefenomenul a evoluat în perioada anterioară în progresie aritmetică, deci sefoloseşte ajustarea pe baza sporului mediu de creştere:

Ştim că:

, iar

y1 (A) I A( )n

⋅ y1 (B) I B( )n

⋅=

y1

log y1 (A) n log I A( )n

+ log y1 (B) n log I B( )n

+=

n log I A( )n

log I B( )n

–( ) log y1 (B) log y1 (A)–= ⇒

⇒

n log y1 (B) log y1 (A)–

log I A( )n

log I B( )n

–---------------------------------------------------=

yA yB< ∆A ∆B>

y1 (A) ∆A n⋅+ y1 (B) ∆B n⋅+= ny1 (B) y1 (A)–

∆A ∆B–-------------------------------=⇒


409

16.6. IERARHIZAREA MULTICRITERIALĂ ŞI ANALIZA PRIN SIMILARITATE A UNUI GRUP DE ŢĂRI, UTILIZÂND METODA “CLUSTERE-LOR”

Mergând pe aceleaşi date luate la primele 2 procedee de ierarhizaremulticriterială folosite, am încercat mai departe o utilizare a mediului deprogramare statistică R pentru a ierarhiza sugestiv cele 30 de state. Pentrua exista omogenitate din punct de vedere al punctării pozitive a indicatorilor,pentru rata şomajului şi rata inflaţiei s-au construit indicatori complementari,astfel încât algoritmul automat să prezinte rezultate corecte.

În obţinerea ierarhiei multicriteriale a celor 30 de state, am utilizat mediul deprogramare statistic R. Au fost utilizate „cluster”-ele aglomerative de tipAGNES şi reprezentările grafice de tip filogenie statistică.

În prima fază s-a obţinut un cluster aglomerativ şi reprezentările graficearborescente asociate, identificându-se principalele grupe de ţări similaredupă cele cinci caracteristici. În a doua etapă, am obţinut o reprezentaregrafică de tip filogenie statistică (arbore şi listă).


410

Lista obţinută este de fapt o ierarhizare scalară a ţărilor. Reprezentareagrafică sugestivă a evidenţiat pe primul loc Luxemburg, singurul stat atipic şiperformant, iar la polul opus, grupul România, Bulgaria, Turcia (în aceastăordine), ţări similare şi neperformante. În acelaşi timp s-a obţinut şi oreprezentare de tip filogenie radiară.

Metodele folosite de clasificare automată, permit utilizatorilor accesul rapidla rezultate, iar prezentarea grafică este intuitivă şi uşor de interpretat.

În final, pentru comparaţie, am prezentat în tabelul următor rezultatelecomparative a clasamentelor multicriteriale obţinute prin cele 3 metode:

Rangurilor Distantei relative R

1 Belgia be 15,5 11 72 Germania de 12 12 113 Grecia gr 21 18 184 Spania es 19 14 155 Franţa fr 13 13 126 Irlanda ie 7 4 37 Italia it 14 15 148 Luxemburg lu 10 1 19 Olanda nl 2 5 5

10 Austria at 5 6 611 Portugalia pt 15,5 19 2012 Finlanda fi 9 10 1013 Danemarca dk 4 3 414 Suedia se 3 7 915 Regatul Unit uk 6 8 816 Republica Cehă cz 18 20 1917 Estonia ee 23 22 2318 Cipru cy 11 16 1619 Letonia lv 26 26 2520 Lituania lt 24 24 2421 Ungaria hu 22 23 2222 Malta mt 20 21 2123 Polonia pl 27 27 2724 Slovenia si 17 17 1725 Slovacia sk 25 25 2626 Bulgaria bg 29 29 2927 România ro 28 28 2828 Turcia tr 30 30 3029 S.U.A. us 8 2 230 Japonia jp 1 8 13


Rang final dupa metoda:

Simbolul ţării/zonei


411

După cum se poate sesiza, metoda rangurilor, datorită dezavantajelorprezentate mai înainte, este departe de celelalte două clasamente realizate.

În schimb, metoda distanţei relative şi clasamentul rezultat automat pe bazăde clustere nu diferă cu mult. Majoritatea ţărilor au obţinut fie acelaşi numărde ordine în clasament, fie grupuri de câte două ţări asemănătoare dupăprima metodă şi-au inversat între ele rangul, fiind unele după altele înclasament.

Excepţie fac Belgia şi Japonia, care obţin după a doua metodă un rang de +/- 4 faţă de prima metodă. Pentru ambele ţări, nu au fost găsite în cazulmetodei automate o similitudine cu alt stat din punct de vedere al tuturorcelor cinci caracteristici alese.


1. Cum se construieşte corect o serie teritorială ?

2. Cum se construiesc indicii sintetici teritoriali ? Ce sisteme de ponderarese folosesc la construcţia acestora ?

3. Care sunt principalii indicatori ce se calculează şi caracterizează termeniiunei serii teritoriale ? Cum se interpretează aceştia ?

4. Care este dezavantajul metodei rangurilor în ierarhizarea multicriterială aunităţilor de spaţiu ?

5. Cum se pot ierarhiza multicriterial unităţile de spaţiu utilizând metodadistanţei relative ?

6. Cum se poate stabili după câţi ani o unitate de spaţiu va ajunge din urmăo altă unitate de spaţiu la un indicator, cunoscând indicele mediu de creşterepentru o perioadă anterioară ?

7. Se cunosc următoarele date statistice privitoare la forţa de muncă înjudeţele Regiunii Nord-Est:


412

Se cere:

1. Analizaţi seria teritoriala din punct de vedere al fiecărui indicator, cuajutorul metodelor cunoscute;

2. Ierarhizaţi judeţele regiunii în funcţie de mărimea tururor celor treiindicatori cunoscuţi, folosind metoda distanţei relative.

Populatia ocupata civila

(persoane)

Numarul mediu al salariatilor (persoane)

Rata somajului la sfarsitul anului %

Nord - Est 1290,9 594 9,0Bacău 234,3 132 7,1Botoşani 154,7 55 9,7Iaşi 298,2 159 9,5Neamţ 202,8 91 8,2Suceava 250,9 99 8,1Vaslui 150,0 58 12,3

Forţa de munca in Regiunea de Nord-Est


413

Capitolul XVII

TEMĂ PROPUSĂ

Tema propusă parcurge majoritatea metodelor învăţate în partea adoua a cărţii.

1)a) Alegeţi din Anuarul Statistic sau din baza de date Tempo-online a

Institutului Naţional de Statistică două caracteristici care să se afle într-oanumită relaţie de interdependenţă, pentru care să existe minim 10 perechide valori. Pot fi aleşi doi indicatori de acest gen pe judeţe ale ţării. Găsiţimodelul care caracterizează cel mai bine legătura dintre cele două variabilealese şi estimaţi o variabilă în funcţie de cealaltă pe baza ecuaţiei deregresie. Calculaţi şi interpretaţi intensitatea legăturii atât pe baza graficuluicât şi cu ajutorul indicatorului adecvat; testaţi semnificaţia indicatoruluicalculat.

b) Efectuaţi un tabel cu dublă intrare pentru o populaţie statistică de 40elemente distribuite în acelaşi timp după două caracteristici între care săexiste o legătură de interdependenţă. Estimaţi legătura dintre cele douăcaracteristici găsind ecuaţia de regresie, apoi calculaţi şi interpretaţiintensitatea legăturii atât pe cale grafică cât şi cu ajutorul indicatoruluipotrivit. Pot fi grupate spre exemplu judeţele României după doi indicatoriinterdependenţi.

2) a) Alegeţi din Anuarul Statistic sau baza de date Tempo-online a

Institutului Naţional de Statistică o serie cronologică formată din cel puţin 10termeni. Efectuaţi graficul seriei şi trasaţi vizual trendul acesteia. Precizaţi cetip de serie este; calculaţi şi interpretaţi toţi indicatorii absoluţi, relativi şimedii ce caracterizează relaţiile existente între termenii seriei. Verificaţirelaţiile ce există între indicatorii calculaţi cu bază fixă şi cei calculaţi cu bazăîn lanţ, acolo unde este posibil.

Temă propusă

414

b) Estimaţi trendul seriei cronologice folosind metodele mecanice şi celmai potrivit model analitic. Demonstraţi care este cel mai bun model deajustare calculat şi extrapolaţi tendinţa pentru următoarea perioadă.

3) Alegeţi un fenomen complex la nivelul unei grupe compuse din 3subgrupe, pentru două perioade de timp. Calculaţi şi interpretaţi dinamicarelativă şi absolută atât la nivelul fiecărei subgrupe, cât şi la nivelul întregiigrupe. Descompuneţi variaţia fenomenului complex pe factori de influienţă;verificaţi descompunerea geometrică şi cea analitică; interpretaţi rezultatele.

4) a) Alegeţi din publicaţiile statistice un indicator valoric exprimat în

moneda naţională (preţuri curente) în două luni diferite (la distanţă de 4 - 14ani). Calculaţi IPC aferent perioadei alese şi apoi dinamica reală relativă şiabsolută. Interpretaţi rezultatele obţinute.

b) Alegeţi din publicaţiile statistice un indicator valoric exprimat înmoneda naţională (preţuri curente) în doi ani diferiţi (la distanţă de 4-14 ani).Calculaţi IPC aferent perioadei alese şi apoi dinamica reală relativă şiabsolută. Interpretaţi rezultatele obţinute.

415

BIBLIOGRAFIE

1 Abraham-Frois

Gilbert “Economia politică”, Editura Humanitas, Bucureşti, 1994

2 Andrei, Tudorel; Stancu, Stelian; Pele, Daniel Traian

“Statistică - teorie şi aplicaţii” , Editura Economică, Bucureşti, 2002

3 Anghelache, Constantin; Isaic-Maniu, Alexandru; Mitruţ, Constantin; Voineagu, Vergil

“Sistemul conturilor naţionale”, Editura Economică, 2005

4 Anghelache, Constantin; Bugudui, Elena; Gresoi, Sorin; Niculescu, Emanuela

“Statistică aplicată – indicatori, sinteze şi studii de caz”, Editura Economică, 2006

5 Anghelache, Constantin

“Statistică generală – Teorie şi aplicaţii”, Editura Economică, 1999

6 Anghelache, Constantin; Capanu, Ion

“Statistică macroeconomică”, Editura Economică, 2004

7 Anghelache, Constantin; Badea, Sorin Gabriel; Capanu, Ion; Wagner, Pavel

“Bazele statisticăă teoretice şi economice”, Editura Economică, 2005

8 Anghelache, Constantin; Niculescu, Emanuela

“Breviar statistic”, Editura Economică, 2000

9 Baron, Tudor; Anghelache, Constantin; Ţiţan, Emilia

“Statistică”, Editura Economică, 1998

10 Băcescu Marius; Băcescu Angelica,

“Compediu de macroeconomie”, Editura Economică, 1997

11 Băcescu Angelica; Ţiţianu Emilian; Ghiţă Simona

“Statistică macroeconomică”, Editura Meteora Press, Bucureşti, 2001


416

12 Băcescu Marius; Angelica Băcescu

“Macroeconomie şi politici macroeconomice”, Editura All, Bucureşti, 1998.

13 Biji Elena; Baron, T., Tövissi, L., ş.a.

“Statistica teoretică şi economică”, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1991

14 Biji, Elena; Baron, T. (coordonator)

“Statistica teoretică şi economică”, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1996

15 Biji, Elena; Lilea, Eugenia, Wagner, Pavel

“Statistică”, Editura Univers Titu Maiorescu, Bucureşti, 1995

16 Biji, Mircea (sub redacţia)

Dicţionar statistic economic, D.C.S., Bucureşti, 1962

17 Biji, Mircea; Biji, Elena

“Statistica teoretică”, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1979

18 Biji, Elena; Baron, Tudor, Tövissi, L.; Wagner, Pavel; Isaic-Maniu, Al.; Korka,M.; Porojan, Dumitru

“Statistică teoretică şi Economică”, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1996

19 Biji, Elena; Lilea, Eugenia; Roşca, Elisabeta; Vătui

“Statistica aplicată în economie”, Editura Universal Dalsi, Bucureşti, 2000

20 Biji, Elena; Lilea, Eugenia; Anghelache C.

“Tratat de Statistică”, Editura Economică, Bucureşti, 2002

21 Bădiţă, Maria; Baron, Tudor; Korka, M.

“Statistica pentru afaceri”, Editura Eficient, Bucureşti, 1998

22 Bărbat, Al. “Teoria statisticii sociale”, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1972

23 Becker, Gary “Comportamentul uman – o abordare economica”, Editura All, Bucuresti, 1998.

24 Biales, C. “Analyse statistique de données”, Chotard et Associés Ed., Paris, 1987

25 Bouroche, J.M.; Saporta, G.,

“L'analyse des données”, PUF, Paris, 1980

26 Brémond J., A. Gélédan:

“Dicţionar economic şi social”, Editura Expert, 1995.

27 Bucur, Ion “Bazele macroeconomiei”, Editura Economică, Bucuresti, 1999

417

28 Caracota, Dumitrache; Caracota, Răzvan

“Strategii de dezvoltare - Previziune economică”, Editura Sylvi, Bucureşti, 2001

29 Calot, G. “Cours de statistique descriptive”, Dunod, Paris, 1975

30 Ciucu, G.; Craiu, V., Ştefănescu, V.

Statistică matematică şi cercetări operaţionale, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1978

31 Cocriş, Vasile; Işan, V.

“Economia afacerilor - 3”, Editura Graphix, Iaşi, 1995

32 Didier, Michel “Economia: Regulile jocului”, Editura Humanitas, Bucuresti, 1998.

33 Dobrota, Niţă “Economie Politica”, Editura Economica, Bucuresti, 1997.

34 Dornbusch Rudiger, Fischer Stanley

“Macroeconomia”, Editura Sedona, 1997.

35 Droesbeke, J. “Eléments de statistique”, Editura Ellipse, Paris, 1992

36 Drăgan, J.C., Demetrescu,

“Practica prospectării pieţei - Colecţia Biblioteca Marketing şi Managementul Afacerilor”, Editura Europa Nova, Bucureşti, 1996

37 Ficher, Irving “Recherches Mathematiques sur la theorie de la valeur et des prix”, Libraires Editeurs, 16, rue Soufflot, Paris, 1917

38 Georgescu - Roegen, N.,

“Legea entropiei şi procesul economic”, Editura Politică, Bucureşti, 1979

39 Georgescu - Roegen, N.,

“Metoda statistică - elemente de statistică matematică”, I.S.C.S., Bucureşti, 1998

40 Harja, Eugenia “Statistică aplicată în economie”, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2004

41 Harja, Eugenia “Statistica resurselor de muncă”, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2004

42 Harja, Eugenia “Analiza şi prognoza statistică a numărului şi structurii forţei de muncă”, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2004

43 Harja, Eugenia (coordonator)

“Anuarul statistic al judeţului Bacău”, Editura MatrixRom, Bucureşti, Ediţiile 2007, 2008 şi 2009

44 Harja, Eugenia “Probleme actuale de statistică” - Evoluţia rangului populaţiei, Editura Junimea, Iaşi, 2000 (p. 177)

45 Harja, Eugenia; Ştefănescu, Daniela

“Lărgirea Uniunii Europene” - Buletin Ştiinţific Nr. 1/2000, Universitatea “G. Bacovia” (p. 281)


418

46 Harja, Eugenia “Analiza statistică a structurii pe vârste şi sexe a populaţiei judeţului Bacău la 1 iulie 1999“ - “Statistica în cercetarea economico-socială”, Editura Junimea, Iaşi, 2001 (p. 211)

47 Harja, Eugenia “Numărul de salariaţi şi cifra de afaceri în S.C.din judeţul Bacău” - infoSTAT Nr. 6-7/1999, D.J.Statistică Bacău

48 Harja, Eugenia “Oferta şi cererea forţei de muncă în Regiunea de Nord-Est în 1990 -1999” - infoSTAT Nr. 2/2000, D.J.Statistică Bacău

49 Harja, Eugenia “Variaţia câştigului mediu net salarial pe judeţe şi regiuni statistice” - infoSTAT Nr. 2/2001, D.J.Statistică Bacău

50 Harja, Eugenia “Al 12 – lea recensământ modern al populaţiei din România” - infoSTAT Nr. 6-7/2001, D.J.Statistică Bacău

51 Harja, Eugenia “Recensământul populaţiei şi locuinţelor din România 18-27 martie 2002” - infoSTAT Nr. 1/2002, D.J.Statistică Bacău

52 Harja, Eugenia “Forţa de muncă în ţările candidate, comparativ cu ţările din Uniunea Europeană şi din Spaţiul Economic European - anul 2001” - infoSTAT Nr. 8/2002, D.J.Statistică Bacău

53 Harja, Eugenia “Primele estimări demografice pentru anul 2002 - Uniunea Europeană” - infoSTAT Nr. 2/2003, D.J.Statistică Bacău

54 Haşigan, D.O. “Metodele reprezentării grafice a datelor statistice”, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1958

55 Ignat I., Clipa N.; Pohoaţă I.

“Economie Politica”, Editura “Gh.Zane”, Iasi, 1997

56 Ignat, Ion; Luţac, Gheorghe

“Micro şi Macroeconomie”, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2004

57 Isaic-Maniu, Alexandru; Mitruţ, Constantin; Voineagu, Vergil

“Statistică”, Editura Universitară, Bucureşti, 2004

58 Ivan-Ungureanu, Clementina

“Sistemul Conturilor Naţionale, Editura Adevărul, 1997

59 Isaic-Maniu, Alexandru; Grădinaru, A.; Voineagu, Vergil; Mitruţ, Constantin

“Statistică teoretică şi economică”, Editura Tehnică, Chişinău, 1994

419

60 Isaic-Maniu, Alexandru; Grădinaru, A.; Voineagu, Vergil; Mitruţ, Constantin

“Statistică teoretică şi economică”, Editura Economică, Bucureşti, 1999

61 Jaba, Elisabeta; “Statistica economiei naţionale”, Universitatea "Al.I.Cuza", Iaşi, 1982

62 Jaba, Elisabeta; “Statistica. Sistem metodologic. Aplicaţii”, Universitatea "Al.I.Cuza", Iaşi, 1986

63 Jaba, Elisabeta; “Statistica”, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 1993 64 Jaba, Elisabeta;

Atudorei, V. “Statistică”, Editura Graphix, Iaşi, 1993

65 Jaba, Elisabeta; Niculiciou, P.; Bilaus, M.

“Cercetarea selectivă”, Universitatea "Al.I.Cuza", Iaşi, 1977

66 Jaba, Elisabeta “Statistica”, Ediţia a III-a, Editura Economică, Bucureşti, 2002

67 Jaba, Elisabeta; Pintilescu, Carmen

“Statistică – teste grilă şi probleme”, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2007

68 Jaba, Elisabeta; Jemna, Dănuţ

“Econometrie”, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2006

69 Jaba, Elisabeta; Pintilescu, Carmen; Jemna, Dănuţ

“Statistică inferenţială. Teste grilă şi probleme”, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 2002

70 Jaba, Elisabeta; Grama Ana

“Analiza statistică cu SPSS sub Windows”, Editura Polirom, Iaşi, 2004

71 Lange, J. “Eléments de technique statistique”, Dunod, Paris, 1968

72 Mallinvaud, E. “Méthodes statistiques de l'économétrie”, Dunod, Paris, 1981

73 Maniu, I., Mitruţ, C.A., Voineagu, Vergil

“Statistica pentru managementul afacerilor”, Editura Economică, Bucureşti, 1995

74 Marin, Dumitru “Teoria echilibrului general”, Editura Omnia, UNISAST srl, Braşov, 1995

75 Mihoc, Gh., Craiu, V.

“Tratat de statistică matematică”, Editura Academică, Bucureşti, 1976-1977

76 Mihoc, Gh.; Urseanu, V., Ursianu, Em.

“Modele de analiză statistică”, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982

77 Neacşu, Gabriela “Statistică microeconomică şi macroeconomică – concepte şi metode”, Editura universitară, 2006


420

78 Nechita, C. Vasile “Economie politică”, Editura Porto-Franco, Galaţi, 1992

79 Nenciu, E. “Probabilităţi şi statistică matematică”, Universitatea "Al.I.Cuza", Iaşi, 1986

80 Onicescu, O.; Ştefănescu, V.

“Elemente de statistică informaţională cu aplicaţii”, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979

81 Pareto, Vilfredo “Manuel d’economie politique”, Libraires Editeurs, 16, rue Soufflot, Paris, 1909

82 Pecican, Dumitru “Econometrie”, Editura All, Bucureşti, 1993 83 Porojan, Dumitru “Statistica şi teoria sondajului”, Editura Şansa SRL,

Bucureşti, 1993 84 Pressat, Roland “Analiza Demografică”, Editura Ştiinţifică,

Bucureşti, 1974 85 Rotariu, T.,

Bădescu, G., Culic, I., Mezei, E., Mureşan, C.

“Metode statistice aplicate în ştiinţele sociale”, Editura Polirom,Iaşi, 1999

86 Rotariu, Traian, Iluţ, P.

“Ancheta sociologică şi sondajul de opinie”, Editura Polirom, Bucureşti, 1999

87 Rotariu, Traian (coordonator)

“Metode statistice aplicate în ştiinţele sociale”, Polirom Iaşi, 1999

88 Say, Jean Baptiste “Traite d’economie politique”, 1841 89 Scarlat Emil,

Chirita Nora “Sisteme cibernetice ale economiei de piata”, Editura Economica, 1997.

90 Secăreanu, Constantin

“Starea Economiei Naţionale”, Editura Economică, 2000

91 Sora, Virgil; Hristache, Ilie; Mihăescu, C.

“Demografie şi statistică socială”, Editura Economică, Bucureşti, 1996

92 Sora, V., Mihăescu, C., Colibaba, D.

“Demografia matematică”, Editura A.S.E., Bucureşti, 1998

93 Tabără, N. “Contabilitate naţională”, Editura Moldova, Iaşi, 1996

94 Tövissi, L.; Isaic-Maniu, Alexandru

“Statistica”, A.S.E., Bucureşti, 1984

95 Trebici, Vladimir (coord.)

“Mica enciclopedie de statistică”, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985

96 Trebici, Vladimir “Demografia”, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1979

421

97 Ţarcă, Mihai “Statistică” - vol. I şi II, Universitatea "Al.I.Cuza" Iaşi, 1979

98 Ţarcă, Mihai “Tratat de statistică aplicată”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1998

99 Ţarcă, Mihai “Introducere în prognoza demografică”, Editura Junimea, Iaşi, 1979

100 Ţarcă, Mihai “Demografie”, Editura Economică, Bucureşti, 1997 101 Voineagu, Vergil;

Ţiţan, Emilia; Ghiţă, Simona; Boboc, Cristina; Todose, Daniela

“Statistică – Baze teoretice şi aplicaţii”, Editura Economică, 2007

102 Voineagu, Vergil; Isaic-Maniu, Alexandru; Mitruţ, Constantin; Tudorel, Andrei; Costea, Adrian

“Statistică”, Editura Cison, 2004

103 Voineagu, Mariana; Ţiţan, Emilia; Ghiţă, Simona

“Statistică aplicată”, Editura Fundaţiei “România de mâine”, 2000

104 Voineagu, Vergil; Lilea, Eugenia; Vătui, Mihaela

“Statistica Economică”, Editura Tribuna Economică, Bucureşti, 2001

105 Voineagu, Vergil; Furtună, Felix; Voineagu, Mariana; Ştefănescu, Codrin

“Analiza factorială a fenomenelor social-economice în profil regional”, Bucureşti, 2002

106 Voineagu, Vergil; Mitruţ,C.; Isaic-Maniu, Al.; Ţiţian, E.; Baron, T.; Matache, S.; Isaic-Maniu, I.; Şerban, D.; Voineagu, Mariana

“Statistica Teoretică şi macroeconomică. Teste, lucrări practice, studii de caz”, Editura Economică, Bucureşti, 1998

107 Wagner Pavel; Capanu Ion; Secareanu, Constantin

“Statistica macroeconomica”, Editura Economica, Bucureşti, 1997.


422

108 Wagner Pavel; Capanu Ion; Mitruţ, Constantin

“Sistemul conturilor naţionale şi agregate macroeconomice”, Editura All, Bucureşti, 1994

109 Yule, U.G.; Kendall, M.C.

“Introducere în teoria statisticii”, Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1969

110 *** “Dicţionar Macmillan de Economie Moderna”, Editura Codecs, 1999.

111 *** Manual “Medodologia statisticii pe termen scurt”- EUROSTAT

112 *** EUROSTAT - “Statistique eu Bref” - colecţie 113 *** “Anuarul Statistic al Romaniei” (colecţie) – Institutul

Naţional de Statistică 114 *** Clasificarea activităţilor din economia naţională -

Institutul Naţional de Statistică 115 *** Statistică Teritorială – Colecţie – Institutul Naţional

de Statistică 116 *** Rezultatele recensământului populaţiei şi

locuinţelor în România, iulie 2003 - Institutul Naţional de Statistică

117 *** Tendinţe sociale, Institutul Naţional de Statistică şi UNICEF, Bucureşti, Colecţie

118 *** Condiţiile de viaţă ale populaţiei din România - Institutul Naţional de Statistică, colecţie

119 *** Tendinţe Sociale - Institutul Naţional de Statistică - 2002

120 *** Utilizarea timpului în România - Institutul Naţional de Statistică şi Phare, Bucureşti, 2001

121 *** Serii de date demografice – Institutul Naţional de Statistică – Directiile Judeţene de Statistica din cadrul Regiunii de Nord-Est

122 *** “InfoSTAT” (colecţie) – Institutul Naţional de Statistică Direcţia Judeţeană de Statistică Bacău

Date post:	02-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	mariusdaniel1973
View:	257 times
Download:	4 times

51734530 Statistic A Si Econometrie Harja Eugenia 2009

Documents