5. ĂŢ - analizamatematicampt.files.wordpress.com · 5.1. Evenimente 89 Să revenim asupra...

5. PROBABILITĂŢI

Teoria probabilităţilor este un domeniu important al matematicii, apărut din activităţi şi necesităţi practice ale oamenilor sau din observaţii directe asupra naturii. În viaţa de zi cu zi se întâlnesc cu regularitate experimente ale căror rezultate aparţin unei mulţimi. Cu alte cuvinte este vorba de experimente, care atunci când sunt realizate pot avea rezultate diferite, în funcţie de anumite circumstanţe întâmplătoare, care nu pot fi cunoscute înaintea realizării lor. Aceste experimente sunt cunoscute sub numele de experimente întâmplătoare (aleatoare). Teoria probabilităţilor are ca scop dezvoltarea formalismului matematic (concepte, noţiuni etc.) adaptat studiului acestei categorii de experimente. Originile teoriei probabilităţilor sunt legate de observaţiile pe marginea rezultatelor jocurilor de noroc. Complicarea jocurilor de noroc a dus la apariţia a tot mai multe şi mai dificile probleme de evaluare a şanselor. Acum mai bine de 300 de ani când aceste probleme au ajuns în atenţia unor învăţaţi ai vremii (Pascal, Fermat, Huygens, Bernoulli etc.) a fost făcut primul pas în dezvoltarea teoriei probabilităţilor. Primul pas fiind făcut, această teorie s-a dezvoltat, atât teoretic cât şi din punctul de vedere al aplicaţiilor. În ciuda obârşiei sale, teoria probabilităţilor a pătruns rapid în cele mai variate domenii ale activităţii de cunoaştere umană. Astăzi teoria probabilităţilor este o disciplină complexă, aşezată pe baze riguroase, axiomatice, având un contact nemijlocit cu aproape toate celelalte domenii ale matematicii şi domenii de aplicabilitate în continuă extindere.

5.1. Evenimente

O noţiune fundamentală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveniment. Prin eveniment înţelegem producerea sau neproducerea unui rezultat într-un experiment aleator. Printr-un experiment aleator se înţelege realizarea unui complex de condiţii astfel ca un fenomen să poată sau nu avea loc. Totalitatea rezultatelor într-un experiment aleator constituie spaţiul evenimentelor elementare. Vom nota cu Ω acest spaţiu şi-l vom ilustra prin câteva exemple. Dacă o monedă este aruncată o singură dată, atunci notând cu s şi v apariţia stemei şi respectiv a valorii, spaţiul evenimentelor elementare este Ω = s, v. Dacă moneda este aruncată de două ori, spaţiul

Probabilităţi - 5 88

evenimentelor elementare corespunzătoare este Ω = ss, sv, vs, vv. În cazul aruncării unui zar o singură dată avem Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, iar în cazul aruncării unui zar de două ori Ω = (i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 6, deci în acest caz Ω se identifică cu 36 de perechi de numere naturale cuprinse între 1 şi 6. Dacă în exemplele de mai sus spaţiul evenimentelor elementare asociat experimentelor aleatoare corespunzătoare a fost finit, trebuie să precizăm că această caracteristică nu este generală. Putem să ne imaginăm ca un experiment aleator simplu, alegerea întâmplătoare a unui element dintr-o mulţime A. În acest caz spaţiul tuturor evenimentelor elementare Ω se identifică cu mulţimea A (Ω = A). Dacă A = N sau A = R vom avea corespunzător Ω = N, Ω = R. Dacă revenim acum asupra conceptului de eveniment, asociat unui experiment aleator, acesta corespunde unui enunţ privind experimentul şi se identifică cu o submulţime a spaţiului Ω al evenimentelor elementare. Să considerăm mişcarea la întâmplare a unei particule în plan, în care ne interesează traiectoria sa într-un interval de timp [0, T]. Un eveniment elementar este în acest caz o traiectorie, adică o funcţie definită pe [0, T] şi cu valori în plan. Dacă presupunem traiectoriile particulei continue, acestea se identifică cu funcţiile continue definite pe [0, T] cu valori în plan. Să presupunem că interesează evenimentul A: “particula nu întâlneşte axele de coordonate”. În acest experiment aleator, evenimentul A se identifică cu mulţimea funcţiilor continue, din [0, T] în plan, ce păstrează pe coordonate semn constant. În continuare evenimentele legate de un experiment aleator le vom nota cu litere mari A, B, C,… Orice eveniment elementar care intră în componenţa unui eveniment A se numeşte favorabil lui A. Vom spune că evenimentul A are loc într-o realizare a unui experiment aleator dacă şi numai dacă rezultatul acestuia, care este un eveniment elementar, este favorabil lui A. Întregul spaţiu Ω al evenimentelor elementare se identifică cu evenimentul sigur, iar mulţimea vidă ∅ cu evenimentul imposibil. Această identificare se bazează pe faptul că evenimentul sigur are loc în orice realizare a experimentului, iar evenimentul imposibil nu are loc în nici o realizare a experimentului. Vom spune că evenimentul A implică evenimentul B, dacă A ⊂ B, adică, dacă A este o submulţime a lui B. Două evenimente A şi B vor fi numite echivalente, dacă fiecare îl implică pe celălalt. Fie E un experiment aleator, Ω spaţiul tuturor evenimentelor elementare asociat lui E şi A, B două evenimente oarecare asociate lui E. Se defineşte reuniunea evenimentelor A şi B, notată A ∪ B ca fiind evenimentul constând din acele evenimente elementare aparţinând fie lui A, fie lui B, fie amândurora. Prin intersecţia lui A cu B, notată A ∩ B, se înţelege evenimentul constând din evenimentele elementare care aparţin şi lui A, şi lui B. Prin complementarul (opusul) evenimentului A notat cu ( )A AC se înţelege mulţimea acelor evenimente elementare care nu aparţin lui A.

5.1. Evenimente 89

Să revenim asupra experimentului aleator al aruncării, o singură dată a unui zar, atunci Ω constă din întregii i : 1 ≤ i ≤ 6. Evenimente neelementare (compuse) legate de acest experiment pot fi considerate: A = i : este un număr par B = i ≥ 4. Deci A = 2, 4, 6 şi B = 4, 5, 6, adică evenimentul A a avut loc dacă în urma aruncării zarului a apărut una din feţele 2, 4, 6, iar evenimentul B a avut loc dacă în urma aruncării zarului a apărut una din feţele 4, 5, 6. Prin operaţiile de reuniune, intersecţie şi luarea de complementară, pornind de la evenimentele A şi B obţinem:

A ∪ B = i este par sau i ≥ 4 = 2, 4, 5, 6; A ∩ B = i este par şi i ≥ 4 = 4, 6; AC = i este impar = 1, 3, 5;

BC = i < 4 = 1, 2, 3. Despre două evenimente A şi B spunem că sunt incompatibile sau disjucte dacă ele nu au nici un eveniment elementar comun, adică este imposibil ca atât A cât şi B să aibă loc simultan, în aceeaşi realizare a experimentului, altfel spus A şi B sunt incompatibile dacă A ∩ B = ∅. Fără nici o dificultate operaţiile de reuniune şi intersecţie pot fi extinse la o mulţime finită A A A n1 2, ,..., sau la un şir ( )Ai i≥1 de evenimente asociate

aceluiaşi experiment aleator E. Reuniunea unui şir ( )Ai i≥1 de evenimente, notată U

1iiA

≥, constă din acele

evenimente elementare care aparţin cel puţin unuia din evenimentele Ai , i ≥ 1.

De asemenea, intersecţia unui şir de evenimente ( )Ai i≥1, notată I1i

iA≥

,

constă din acele evenimente elementare care aparţin tuturor evenimentelor Ai , i ≥ 1.

Despre un şir de evenimente ( )Ai i≥1 spunem că sunt incompatibile în

totalitatea lor dacă A Ai j∩ = ∅ pentru orice i ≠ j, 1 ≤ i, j.

Un sistem de evenimente finit sau numărabil se numeşte sistem complet de evenimente, dacă aceste evenimente sunt incompatibile în ansamblul lor şi reuniunea lor este evenimentul sigur Ω. Din modul cum au fost definite operaţiile de mai sus, decurg următoarele proprietăţi importante pe care le posedă operaţiile cu evenimente, asociate unui experiment aleator:


(5.1.1) A A AA

A A AA A

A AA A

A AAC C

∪ =∪ =

∩ =∪ =

∩ =∩ = ∅

∪∅ =∩∅ = ∅

,,

,,

,,

,;Ω Ω Ω

Ω

(5.1.2) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;

(5.1.3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

(5.1.4) ( )UU1i

i1i

i BABA≥≥

∩=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩ , ( )II

1ii

1ii BABA

≥≥∪=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∪ ;

(5.1.5) IU1i

Ci

C

1ii AA

≥≥=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, UI

1i

Ci

C

1ii AA

≥≥=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Relaţiile (5.1.5) sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan. Din cele considerate până acum rezultă că a defini mulţimea evenimentelor elementare asociate unui experiment aleator înseamnă a reţine mulţimea cazurilor posibile. În cazul în care spaţiul (mulţimea) evenimentelor elementare Ω este finit sau numărabil se pot considera drept evenimente asociate lui Ω(E) toate submulţimile lui Ω. Totalitatea lor se notează de obicei cu P(Ω). Se observă că, dacă considerăm spaţiul tuturor evenimentelor asociate lui Ω(E) ca fiind P(Ω), acest spaţiu este închis relativ la operaţiile cu evenimente definite mai sus, adică ( ) )(PA 1ii Ω⊂≥ implică

)P(ΩA1i

i ∈≥U şi )(PA Ω∈ implică AC (care se mai notează şi CA) aparţine lui

P(Ω). În cazul când Ω este o mulţime infinită nenumărabilă nu este posibil să se ia

ca evenimente asociate lui Ω toate submulţimile sale. În astfel de situaţii suntem conduşi la a considera, ca mulţime a evenimentelor asociate lui E, o familie de părţi ale lui Ω mai mică decât P(Ω), care să fie însă o parte stabilă a lui P(Ω) pentru operaţiile cu mulţimi. O încadrare riguroasă pentru spaţiul evenimentelor asociate unui experiment aleator o reprezintă spaţiul măsurabil. Fie Ω o mulţime oarecare şi P(Ω) mulţimea părţilor sale. Definiţia 1. Un corp borelian pe Ω este o familie K ⊂ P(Ω) cu proprietăţile: a) A ∈ K ⇒ CA ∈ K;

b) UKK∞

=∈⇒∈

1nnn21 KAK,A,,A,A .

Dacă în locul condiţiei b) se aşează condiţia:

5.1. Evenimente 91

b1) UKn

1iin21 KAA,,A,A

=∈⇒∈K ,

atunci K se numeşte corp de mulţimi pe Ω. În continuare prezentăm câteva proprietăţi ale unui corp de mulţimi şi ale unui corp borelian ce decurg imediat din definiţie. ( )c1 Ω, ∅ ∈ K

Într-adevăr A ∈ K ⇒ CA ∈ K, de unde rezultă că Ω = A ∪ CA şi ∅ = C Ω sunt din K.

( )c2 Dacă A i ni ∈ =K, ,1 , atunci In

1ii KA

=∈ .

Intr-adevăr, din a doua relaţie a lui De Morgan (5.1.5) avem:

KCACAn

1i

n

1iii ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

= =I U .

( )c2′ Dacă ∞=∈ ,1i,KAi , atunci KA

1ii ∈

∞

=I (K se consideră în acest caz un corp

borelian de submulţimi ale lui Ω). ( )c3 Dacă A, B ∈ K atunci A - B ∈ K.

Într-adevăr A - B = A ∩ CB ∈ K.

În cele mai multe probleme de modelare a unui fenomen aleator apar evenimente care trebuie luate în considerare din motive fizice. De exemplu, în cazul în care se descrie timpul de staţionare a unui utilaj este natural să considerăm drept eveniment orice interval [a, b]. Va rezulta că şi intervalul deschis

( ) U∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

1n n1b,

n1ab,a va fi de asemenea un eveniment. Nu este însă necesar să

cerem ca orice interval de timp A ⊂ (0, ∞) să fie un eveniment. Se observă că

[ ] ( ) I∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∩=

1n n1b,0a,0Cb,a , deci este suficient să se ceară ca orice interval de

forma (0, a) să fie un eveniment. Fie M ⊂ P(Ω), atunci există un corp borelian unic B(M) astfel ca: a) M ⊂ B(M); b) pentru orice corp borelian K, din K ⊃ M rezultă K ⊃ B(M).


Definiţia 2. Corpul borelian B(M) se numeşte corpul borelian generat de M. În cazul în care K = B(M) se spune că M este un sistem de generatori pentru corpul K sau că M generează pe K. Corpul borelian B(M) este intersecţia tuturor corpurilor boreliene pe K care îl includ pe M. Observaţia 1. În cazul general, faptul că un corp borelian K este dat prin generatorii săi, adică K = B(M) şi A este un eveniment din K, nu oferă informaţii precise asupra evenimentului A. Numai în cazul în care M este o desfacere a întregului spaţiu al evenimentelor elementare (o partiţie sau un sistem complet de evenimente) putem obţine aceste informaţii precise.

Definiţia 3. O familie ( )Ai i I∈ de submulţimi ale lui Ω cu proprietăţile:

a) I este cel mult numărabilă b) i ≠ j implică A Ai jI = ∅

c) UIi

iA∈

Ω=

se numeşte desfacere (partiţie) a spaţiului Ω. Propoziţia 1. Dacă M este o desfacere a spaţiului Ω atunci:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⊂=∈

IJ:AMBJi

iU

Condiţia de numărabilitate a unei desfaceri este esenţială în demonstraţia Propoziţiei 1. Egalitatea celor două familii de mulţimi se poate obţine prin dublă incluziune, arătînd mai întâi că cea de a doua este un corp borelian. Definiţia 4. Perechea (Ω, K) în care Ω este o mulţime, iar K un corp borelian pe Ω se numeşte spaţiu măsurabil. O primă etapă în modelarea unui fenomen aleator o constituie construirea spaţiului măsurabil K al evenimentelor aleatoare legate de fenomenul respectiv, care este strâns legată de a doua etapă ce constă în definirea unei probabilităţi pentru evenimentele familiei K, care nu este altceva decât o măsură a realizării acestor evenimente, într-o desfăşurare a fenomenului respectiv. Mulţimea numerelor reale apare ca spaţiu măsurabil într-un mod natural considerând perechea (R, B), unde B = B(M), cu ( ) Raa,M ∈∞−=

5.1. Evenimente 93

Dacă E este un spaţiu topologic şi τ este familia mulţimilor deschise ale acestui spaţiu, atunci corpul borelian B(τ) va fi notat cu ΩB , iar elementele lui se numesc mulţimi boreliene. De obicei, o pereche de forma (Ω, K), unde Ω este o mulţime nevidă iar K este un corp borelian pe Ω, se mai numeşte câmp de evenimente. Dacă Ω este finită, atunci (Ω, K) se numeşte câmp finit de evenimente. Fiind dată o mulţime de evenimente ( ) KA,Ii,A ii ∈∈ , unde I este o mulţime de indici cel mult numărabilă, aceasta se numeşte sistem de evenimente, iar dacă

( )Ai i I∈ este o partiţie a lui Ω, aceasta se mai numeşte sistem complet de evenimente.

Fie A ∈ K, dacă există două evenimente B şi C din K, diferite de A, astfel încât A = B ∪ C, atunci A se numeşte eveniment compus. Orice eveniment diferit de evenimentul imposibil care nu este compus se numeşte elementar. Următoarele proprietăţi ale evenimentelor elementare sunt utile în cele ce urmează: e1) Dacă A ∈ K este un eveniment elementar oarecare, relaţia B ⊂ A implică B = ∅

sau B = A. e2 ) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă nu există un eveniment B

≠ ∅ şi B ≠ A, astfel încât B ⊂ A. e3) Evenimentul A ≠ ∅ este elementar dacă şi numai dacă oricare ar fi evenimentul

B, avem A ∩ B = ∅ sau A ∩ B = A. e4 ) Două evenimente elementare distincte sunt incompatibile. e5) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), fiind dat un eveniment compus B ∈ K,

există un eveniment elementar A astfel încât A ⊂ B. e6 ) Un eveniment oarecare al unui câmp finit de evenimente poate fi dat, în mod

unic, ca reuniunea unui număr finit de evenimente elementare. e7 ) Într-un câmp finit de evenimente (Ω, K), evenimentul sigur Ω este reuniunea

tuturor evenimentelor elementare. Pentru demonstraţia acestor proprietăţi, ca un model de lucru, vom demonstra proprietatea e1) . Să presupunem că B ≠ ∅ şi B ≠ A. Fie C = A - B. Din B ⊂ A şi B ≠ ∅ rezultă C ≠ A şi A = B ∪ C, ceea ce este imposibil, deoarece A este un eveniment elementar. Deci B = ∅ sau B = A.


5.2. Probabilitate

Probabilitatea unui eveniment trebuie înţeleasă ca o măsură a gradului de posibilitate a acelui eveniment, măsură ce atribuie valoarea 0 evenimentului imposibil ∅ şi ale cărei valori cresc până la valoarea 1, ce este atribuită evenimentului sigur Ω. Pentru un eveniment oarecare A, ∅ ⊂ A ⊂ Ω, probabilitatea lui A reflectă stabilitatea asimptotică a frecvenţei lui A într-un număr arbitrar de mare de repetări independente ale experimentului aleator, căruia evenimentul A îi este asociat. Dacă A şi B sunt evenimente incompatibile, atunci numărul de apariţii ale evenimentului A ∪ B, într-un număr arbitrar de repetări ale experimentului, fiind egal cu suma numărului de apariţii ale lui A şi a numărului de apariţii ale lui B, rezultă că probabilitatea lui A ∪ B trebuie să fie egală cu suma probabilităţilor lui A şi a lui B. Deci, probabilitatea trebuie să posede o proprietate de aditivitate, pentru evenimente incompatibile. Considerente de felul celor de mai sus, nematematice, au influenţat definirea conceptului matematic de probabilitate. Să considerăm un experiment aleator E şi (Ω, K) spaţiul măsurabil asociat lui E. Definiţia 1. Se numeşte probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, K) o funcţie P: K → [0, 1] cu proprietăţile: a) Dacă KAn ∈ pentru n = 1, 2, … şi A An m∩ = ∅ pentru n ≠ m, atunci

( )P A P Ann

nn=

∞

=

∞⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ∑

1 1U , proprietate numită complet aditivitate.

b) P(Ω) = 1. Tripletul (Ω, K, P) în care (Ω, K) este un spaţiu măsurabil (câmp de evenimente), iar P o probabilitate pe (Ω, K) se numeşte câmp de probabilitate. Fie acum (Ω, K, P) un câmp finit de probabilitate, ale cărui evenimente elementare sunt A A An1 2, , ,K . Deoarece: Ω = ∪ ∪ ∪A A A n1 2 K , din definiţia probabilităţii avem:

( )P A i ni ≥ =0 1 2, , , ,K şi ( ) ( )P A P Eii

n

=∑ = =

11

Dacă ( ) ( ) ( )P A P A P A n1 2= = =K spunem că evenimentele elementare

A i ni , , , ,= 1 2 K sunt egal probabile. Se deduce imediat că ( )P Ani =1

pentru orice

i n= 1 2, , ,K .

9.2. Probabilitate 95

Fie acum A un eveniment oarecare al câmpului dat. Atunci A A A Ai i i m= ∪ ∪ ∪

1 2K şi avem:

( ) ( )nm

n1APAPAP

m

1k

m

1ii

m

1ki kk

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑

= ==U .

S-a obţinut mai sus definiţia clasică a probabilităţii care are o deosebită importanţă practică şi care stabileşte că într-un câmp finit de probabilitate, probabilitatea unui eveniment oarecare este egală cu raportul dintre numărul de evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente elementare ale câmpului. În cele ce urmează vor fi prezentate câteva proprietăţi imediate ale probabilităţii (măsurii de probabilitate P). Propoziţia 2. Pentru orice câmp de probabilitate (Ω, K, P) au loc proprietăţile a) P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B); b) Dacă A ⊂ B atunci P(B - A) = P(B) - P(A); c) Dacă A ⊂ B atunci P(A) ≤ P(B); d) P(CA) = 1 - P(A); e) P(∅) = 0; f) 0 ≤ P(A) ≤ 1; g) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); h) P(A ∆ B) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B), unde A ∆ B este diferenţa simetrică a lui A

şi B, adică A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A); i) Pentru orice mulţime cel mult numărabilă de evenimente ( ) KA Iii ⊂∈ are loc

proprietatea de subaditivitate:

( )∑∈∈

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Iii

Iii APAP U .

Proprietăţile enumerate mai sus se deduc imediat din definiţiile date. Într-adevăr să presupunem că A şi B sunt două evenimente din K atunci putem scrie: B = (B - A) ∪ (A ∩ B), (B - A) ∩ (A ∩ B) = ∅. Din definiţia măsurii de probabilitate P rezultă: P(B) = P(B - A) + P(A ∩ B), de unde se deduce proprietatea a). Dacă A ⊂ B, atunci P(A ∩ B) = P(A) şi astfel se deduce proprietatea b). Dacă ţinem seama că P(A - B) ≥ 0 din b) se deduce c). Deoarece ţinem seama că A ∪ CA = Ω, obţinem că: P(A) + P(CA) = P(Ω) = 1, de unde rezultă proprietatea d). Din b) şi d) rezultă imediat e). Din ∅ ⊂ A ⊂ Ω şi proprietăţile c), d) şi b) se deduce proprietatea f).


Să considerăm relaţia A ∪ B = A ∪ (B - A ∩ B). Atunci avem P(A ∪ B) = = P(A) + P(B - A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), deci proprietatea g) este adevărată. Din definiţia diferenţei simetrice avem: A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) şi (A - B) ∩ (B - A) = ∅. Aplicând probabilitatea P evenimentelor echivalente de mai sus deducem: P(A ∆ B) = P(A ∩ B) + P(B - A). În baza proprietăţii a) avem: P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B); P(B - A) = P(B) - P(A ∩ B). Adunând termen cu termen egalităţile de mai sus se deduce proprietatea h). Pentru a demonstra proprietatea i) se observă mai întâi că

A Ai ii Ii I

= ′∈∈UU , unde U

1i

1kiiii AAAA

−

=⊂′−=′ şi ′ ∩ ′ = ∅A Am n , pentru

orice n, m ∈ I şi n ≠ m. Ţinând seama de relaţiile de mai sus şi de Definiţia 1. se deduce:

( ) ( )∑∑∈∈∈∈

≤′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Iii

Iii

Iii

Iii APAPAPAP UU ,

ceea ce reprezintă proprietatea i). Dacă Ω este o mulţime finită, atunci câmpul de probabilitate (Ω, P(E), P),

unde ( )P Acard Acard

=Ω

şi card A reprezintă numărul de elemente al muţimii A, se

numeşte câmpul de probabilitate al lui Laplace asociat mulţimii Ω sau câmpul lui Laplace de ordin card Ω. Acest câmp corespunde unui experiment aleator ale cărui rezultate posibile sau evenimente elementare sunt date de Ω şi sunt egal probabile

( )Pcard

ω =1Ω

pentru orice ω ∈ Ω. Această probabilitate este numită

probabilitatea clasică, deoarece în conformitate cu definiţia sa, probabilitatea unui eveniment A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui A şi numărul cazurilor posibile. În construirea câmpului de probabilitate ce descrie un fenomen aleator apar probleme deosebit de dificile la stabilirea spaţiului măsurabil ce descrie fenomenul, care să permită construirea pe acesta a unei (măsuri de probabilitate) probabilităţi adecvate. Dacă luăm cel mai simplu caz Ω = a, b, K = P(Ω), nu este clar apriori cât trebuie să fie P(a), valoarea ei poate fi orice număr din [0, 1]. Evident, această valoare implică P(b) = 1 - P(a). Observăm că determinarea probabilităţii unui eveniment dat nu este, de regulă, o problemă cu soluţie imediată. Această problemă creşte în dificultate în cazul unui corp borelian K complicat. Valorile probabilităţilor P(A), A ∈ K fiind prin definiţie legate între ele, sugerează existenţa unei teoreme


conform căreia, pe baza cunoaşterii valorilor P(A), pentru A ∈ K, parcurgând o submulţime M a lui K, să se poată determina în mod unic P, ca funcţie a lui K în [0, 1]. Următorul exemplu arată că în cazul când K = B(M) nu există o astfel de teoremă. Într-adevăr, fie Ω = e e e e1 2 3 4, , , şi K = P(Ω). Atunci avem

( )3121 e,e,e,eBK = . Numerele p p p p1 2 3 4 0, , , ≥ de sumă 1 ce definesc o probabilitate P pe P(Ω) nu sunt perfect determinate dacă se cunosc

( )P e e p p1 2 1 2, = + şi ( )P e e p p1 3 1 3, = + . Ca exemplu putem lua sistemele

de numere 12

0 012

, , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ şi

14

14

14

14

, , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . Se observă că, în exemplul de mai sus,

există două variante pentru ( )p p p p1 2 3 4, , , , ce au aceleaşi valori pentru p p1 2+ şi p p1 3+ . Problema analizată mai sus este rezolvată de următoarea teoremă cunoscută sub numele de teorema de unicitate: Teorema 1 (de unicitate). Fie (Ω, K) un spaţiu măsurabil, P P1 2, două probabilităţi pe (Ω, K). Dacă K = B(M) cu M ⊂ P(Ω), închisă în raport cu intersecţia finită (adică A, B ∈ M implică A ∩ B ∈ M) şi M2M1 PP = (adică P P1 2= pe M), atunci

P P1 2= . Demonstraţie: a) Fie ( ) ( ) APAP:AAU 21 =∈= K . Mulţimea U are proprietăţile:

1) Ω ∈ U; 2) A, B ∈ U, A ⊃ B implică A - B ∈ U; 3) U,A,,A,A n21 ∈KK şi A An m∩ ≠ ∅ pentru n ≠ m implică:

U∞

=∈

1mm UA ;

4) U ⊃ M. b) O familie de mulţimi inclusă în P(Ω) cu proprietăţile 1), 2), 3) se numeşte

u - sistem pe Ω. Intersecţia unei familii oarecare de u - sisteme pe Ω este un u - sistem (sistem de unicitate). Deci, există un u - sistem generat de o familie N ⊂ P(Ω), acesta este cel mai mic u - sistem ce conţine pe N, notat cu µ(N). Din raţionamentul de la a) rezultă că ( ) ( ).PP Mµ2Mµ1 =


c) Vom arăta că dacă A, B ∈ N implică A ∩ B ∈ N, atunci A, B ∈ µ(N) implică A ∩ B ∈ µ(N). Se consideră pentru fiecare A ∈ µ(N),

( ) ( ) .NµB,ANµB:BCA ∈∩∈= Se verifică faptul că CA este un u - sistem. Dacă A ∈ N, atunci NCA ⊃ , deci ( ).NµCA ⊃ Aceasta înseamnă că A ∩ B ∈ µ(N) pentru A ∈ N, B ∈ µ(N), deci NCA ⊃ pentru orice B ∈ µ(N), ceea ce trebuia arătat.

d) Se verifică faptul că un u - sistem V pentru care A, B ∈ V implică A ∩ B ∈ V este un corp borelian.

e) Din d) rezultă că µ(N) din enunţ este un corp borelian, care continuând pe M conţine pe B(M), deci coincide cu acesta. Din b) rezultă că P P1 2= , deoarece B(M) = K este domeniul de definiţie al lui P1 şi P2 .

Demonstraţia teoremei de mai sus constituie un exemplu de raţionament cu clase de mulţimi şi din acest motiv am prezentat-o în detaliu. În continuare vom utiliza definiţia probabilităţii clasice în câteva exemple. Vom stabili mai întâi: Teorema 2. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, ( )D Ai i I=

∈, o partiţie a lui Ω,

cu I cel mult numărabilă şi astfel că B(Ω) = K. Atunci probabilitatea P este complet determinată pe K dacă se cunosc valorile p P Ai i= ( ) ale probabilităţii P, pentru A Di ∈ . Demonstraţie: Dacă A = ∅ atunci P(A) = 0. Dacă A ≠ ∅ atunci U

JiiAA

∈= cu J cel

mult numărabilă şi A Ai j∩ = ∅ , deci ∑ ∑∈ ∈

==Ji Ji

ii p)A(P)A(P .

În particular ∑ ∑∈ ∈

===ΩIi Ii

ii 1p)A(P)(P .

Să presupunem că probabilităţile p P A Pi i= =( ) sunt constante pentru orice i ∈ I, adică evenimentele Ai sunt egal probabile. Dacă U

JiiAA

∈= , atunci Ai sunt cazuri favorabile ale evenimentului A şi

numărul cazurilor favorabile lui A este egal cu card J. Să presupunem că familia de indici I este finită, adică I = 1, 2, ..., n şi că J ⊂ I şi card J m n= ≤ . În acest caz

( ) mpAPAP)A(PJi

iJi

i ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

∈∈U . Din 1AP)(P

Iii =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω

∈U rezultă 1p

n

1i=∑

=,


adică np = 1, deci pn

=1

. Înlocuind pn

=1

în P(A) obţinem

P Amn

cardJcardI numarul cazurilor posibile

( ) = = =numarul cazurilor favorabile

, ceea ce reprezintă definiţia

clasică a probabilităţilor. Exemplul 1. Într-o urnă se află, numerotate de la 1 la 30, 30 de bile care nu diferă decât prin culoare: 10 sunt albe, 15 sunt negre şi 5 sunt roşii. Considerăm ca experienţă aleatoare extragerea unei bile din urnă. Să notăm cu Ai evenimentul care

constă în extragerea bilei cu numărul i, atunci sistemul D A A A n= 1 2, , ,K este un sistem complet de evenimente, format din familia tuturor evenimentelor elementare

asociate experienţei considerate. Deci U30

1iiA

==Ω . Evenimentele Ai sunt egal

probabile şi ( )P Ai =130

. Să notăm cu A, N şi R evenimentele care constau în

extragerea unei bile albe, negre, respectiv roşii, atunci P A( ) = =1030

13

,

P N( ) = =1530

12

şi P R( ) = =530

16

.

Observaţia 1. Fie acum (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate şi ( )D Ai i N=

∈

o partiţie infinită a lui Ω. Să presupunem că ( )P A p pi i= = > 0 pentru orice i ∈ N,

atunci avem ∑ ∑∞

=

∞

=∞==

1i 1ii pp ceea ce intră în contradicţie cu ∑

∞

==

1ii 1p . Dacă

p = 0, atunci ∑∞

==

1ii 0p , ceea ce atrage din nou o contradicţie. Cele de mai sus arată că

evenimentele Ai nu pot fi toate egal probabile şi deci, definiţia clasică a probabilităţii nu poate fi extinsă la câmpuri de probabilitate infinite. Teorema 3. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate (finit sau infinit, K fiind corp sau corp borelian, după cum K este o mulţime finită sau infinită de evenimente) şi fie ( )Ai i I∈ , cu I mulţime finită o familie de evenimente din K. Atunci are loc egalitatea:


∑⊂ ∈

−

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

IL Lii

1cardL

Iii AP)1(AP IU ,

numită formula lui Poincaré. Teorema 4. În condiţiile Teoremei 3 să presupunem că I = 1, 2, ..., n. Atunci are loc inegalitatea:

( ) )1n(APAPn

1ii

n

1ii −−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑==

I ,

numită inegalitatea lui Boole. Observăm că Teorema 3 stabileşte probabilitatea reuniunii unei familii finite de evenimente, nu incompatibile două căte două, iar Teorema 4 oferă o margine inferioară a probabilităţii intersecţiei unei familii de evenimente. Ambele se demonstrează prin inducţie, prima după card L iar a doua după n. Observaţia 2. În modelarea matematică a unui experiment aleator se impun etapele: definirea spaţiului evenimentelor K şi definirea probabilităţii P, ca funcţie de mulţime definită pe K şi care să satisfacă condiţiile cerute. Chiar în cazurile cele mai simple rezolvarea primeia nu atrage după sine automat rezolvarea şi celei de a doua etape, existând foarte multe, chiar o infinitate de posibilităţi de a definii o probabilitate pe un câmp (câmp borelian) de evenimente. Să presupunem că Ω = ω ω1 2, şi K = P(Ω).

Nu este clar apriori cât trebuie să fie ( )P ω1 . Ştim doar că dacă ( )P aω1 =

atunci ( )P aω2 1= − . În continuare vom utiliza definiţia clasică a probabilităţii în rezolvarea unor probleme, unele devenite deja, “scheme logice“. Exemplul 2. Schema bilei nerevenite(neîntoarse). O urnă conţine a bile albe şi b bile negre. Se iau la întâmplare n bile din urnă. Care este probabilitatea ca din n bile extrase exact k bile să fie albe. Se inpun câteva condiţii: dacă m a b= + , atunci trebuie ca n ≤ m, k ≤ n, k ≤ a şi n-k ≤ b. Fie A mulţimea bilelor albe şi B mulţimea bilelor negre, atunci A B∩ = ∅ şi A ∪ B = F reprezintă mulţimea tuturor bilelor. Mulţimea evenimentelor elementare este Ω = C ⊂ F: card C = n. Câmpul de probabilitate care descrie acest experiment este câmpul lui Laplace de ordinul Cm

n . Să notăm cu E evenimentul care ne

interesează. Acesta este dat prin E C F= ⊂ ∩:card C = n si card(C A) = k . Să observăm că aplicaţia:


( )C C A C B→ ∩ ∩, este o bijecţie între mulţimile E şi:

D D A cardD k D D B cardD n k: , : ,⊂ = × ⊂ = − ,

de unde rezultă că are loc cardE C Cak

bn k= ⋅ − . Obţinem astfel:

P Ecard Ecard

C CC

ak

bn k

mn( )

( )= =

⋅ −

Ω.

Exemplul 3. Schema bilei revenite(întoarse). Avem o urnă cu a bile albe şi b bile negre. Extragem în mod aleator o bilă, ne uităm la ea şi o punem înapoi în urnă. Repetăm această procedură de n ori. Care este probabilitatea ca de k ori să obţinem bila albă? Să observăm că mulţimea evenimentelor elementare este dată de ( ) ( ) ( )Ω = ∪ × ∪ × × ∪A B A B A BK , unde A este mulţimea bilelor albe şi B este mulţimea bilelor negre. Ω se mai poate scrie sub forma:

U K

B,AGn21

i

GGG∈

×××=Ω .

Să notăm cu E evenimentul a cărui probabilitate trebuie să o determinăm. Putem scrie:

U K

kAG:icardn21

i

GGGE==

×××= .

Obţinem imediat card E C a bnk k n k( ) = ⋅ ⋅ − şi

( )

P Ecard Ecard

C a ba b

nk k n k

n( )( )( )

= =⋅ ⋅

+

−

Ω.

Probabilitatea P(E) mai poate fi exprimată şi astfel:

P E Ca

a bb

a bC p pn

kk n k

nk k n k( ) ( )=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⋅ −

−−1 ,

unde p este probabilitatea extragerii unei bile albe din urnă, la o procedură oarecare din cele n în total, evident 1 - p reprezintă probabilitatea extragerii unei bile negre în aceeaşi procedură de extragere. Problemele de mai sus se găsesc formulate în diferite moduri, unele formulări având aplicabilitate practică directă. De exemplu, bile albe pot fi articolele fără defecţiuni în cadrul aceleiaşi livrări de marfă, etc.


Observăm că pentru a stabili probabilitatea unui eveniment, utilizănd noţiunea clasică, folosim o măsură a cazurilor favorabile şi a cazurilor posibile. Această măsură este “ cardinalul “, numărul cazurilor respective. Uneori însă, această măsură nu poate fi folosită , ambele mulţimi de cazuri fiind infinite. Aşa se întâmplă în situaţia utilizării probabilităţilor geometrice. Nu ne vom ocupa pe larg de aceste probabilităţi, dar vom prezenta un exemplu, cunoscut sub numele de problema lui Buffon. Exemplul 4. Problema acului sau problema lui Buffon. Pe un plan sunt trasate drepte paralele, astfel ca distanţa între oricare două drepte consecutive să fie 2a , a > 0. Pe acest plan se aruncă la întâmplare un ac de lungime 2l, cu l > 0 şi l < a. Care este probabilitatea ca acul să întretaie una din aceste drepte? Rezolvare: Poziţia acului faţă de dreptele reţelei este determinată de distanţa d, a mijlocului său, la cea mai apropiată dintre drepte şi prin unghiul α pe care-l face direcţia acului cu direcţia dreptelor. Se observă că d ia o valoare în intervalul [0, a] iar α în [0, π]. Poziţia acului fiind determinată de două numere poate fi reprezentată printr-un punct în plan. Mulţimea poziţiilor posibile ale acului este reprezentată de mulţimea punctelor din domeniul D. Mulţimea poziţiilor acului, în care intersectează una din dreptele reţelei, este reprezentată de mulţimea punctelor domeniului D’, definit prin:

( ) [ ] ′ = ≤ ≤ ∈D d d l, : sin , ,α α α π0 0 Probabilitatea căutată a intersecţiei este:

P Iaria Daria D

l d

ala

(&)( )( )

sin

=′=

⋅=

∫ α α

π π

π

0 2

αa

D

0

d

α(π,0)

(0,a) ( )π2

,l

D0

d

α(π,0)

(0,a)


Ţinând seama de rezultatul obţinut şi mai ales de posibilitatea simulării pe calculator, de un număr foarte mare de ori a acestui experiment aleator, el poate fi utilizat pentru obţinerea unei valori aproximative a numărului iraţional π. Exemplul 5. (Problema concordanţelor). La o linie de montaj piesele sosesc în loturi de câte n, aranjate în ordinea montării 1, 2, ..., n. Printr-un accident, piesele dintr-un lot sosesc amestecate aleator. Să se determine: a) probabilitatea ca cel puţin o piesă din lot să sosească în ordinea ei normală; b) probabilitatea ca nici o piesă să nu sosească în ordinea ei normală. Această problemă se găseşte formulată în multe alte moduri. De exemplu, n persoane îşi pun cărţile de vizită într-o pălărie. Apoi pe rând, la întâmplare, fiecare ia o carte de vizită din pălărie. Întrebările a) şi b) devin: a’) Care este probalilitatea ca cel puţin o persoană să-şi extragă propria carte de

vizită; spunem în acest caz că a avut loc o concordanţă; b’) Care este probalilitatea să nu avem nici o concordanţă? Rezolvare: Fie 1, 2, ..., n mulţimea persoanelor şi n,...,2,1 mulţimea cărţilor de vizită. Mulţimea evenimentelor elementare este: Ω = f : 1, 2, ..., n → 1 2, ,..., n : f este bijectivă.

Numărul se elemente ale lui Ω este card Ω = n!. Fie A f f i ii = ∈ =Ω; ( ) evenimentul ca persoana de rang i să realizeze o concordanţă. Evenimentul a cărui

probabilitate este cerută la punctul a) este Un

1iiAA

== . Pentru a calcula P(A) vom

aplica formula lui Poincaré:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∈⊂=∑ IU

Lii

n,...,2,1L

1-L cardn

1ii AP)1(AP ,

unde [ ]

!n!)L( dcarnAP

Lii

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∈I .

Vom obţine astfel:

P A Cn

nC

nn

Cnn n

nnn( )

( )!!

( )!!

... ( )!

=−

−−

+ + − −1 2 11 21

1.

Efectuând simplificările avem:

P An

n( )! !

... ( )!

= − + + + − −112

13

111 .


b) Probabilitatea de a nu avea nici o concordanţă este:

( )P A P An

n= − = − + −112

13

11

( )! !

...( )!

.

Exemplul 6. Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să îndeplinească patru condiţii de calitate, notate A, B, C, D. Ştiind că 85% din produse îndeplinesc condiţia A, 95% îndeplinesc condiţia B, 92% îndeplinesc condiţia C şi 97% îndeplinesc condiţia D, să se calculeze probabilitatea minimă ca un produs să corespundă controlului de calitate. Rezolvare: Pentru ca un produs să corespundă controlului de calitate trebuie să aibă loc evenimentul X = A ∩ B ∩ C ∩ D. Aplicând inegalitatea lui Boole obţinem: P (X) = P (A ∩ B ∩ C ∩ D) ≥ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - 3, adică: P(X) ≥ 0,85 + 0,95 + 0,92 + 0,87 -3 = 3,59 - 3 = 0,59, deci probabilitatea minimă căutată este 0,59.

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, finit sau infinit şi A, B două evenimente din K astfel că P(A) > 0. Definiţia 1. Se numeşte probabilitate a evenimentului B condiţionată de evenimentul A sau probabilitate a lui B în raport cu A notată prin P BA ( ) sau P B A( / ) numărul definit prin:

(5.3.1) P BP A B

P AA ( )( )

( )=

∩.

Propoziţia 1. Aplicaţia PA:K → R definită prin:

(5.3.2) K ∋ ⎯ →⎯⎯B P BP

AA ( )

este o probabilitate sau altfel spus ( )Ω, ,K PA este un câmp de probabilitate. Demonstraţie: Din (5.1.1) rezultă că P BA ( ) ≥ 0 pentru orice B ∈ K. Mai mult,

Pp A

p AP AP AA ( )

( )( )

( )( )

ΩΩ

=∩

= = 1,

5.3. Probabilităţi condiţionate. Evenimente independente 105

( )

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∩

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∞

=

∞

=∞

= )A(P

AAP

)A(P

AAPAP 1i

i1i

i

1iiA

UUU

( ) ( )∑∑

∞

=

∞

==

∩=

1iiA

1i

i AP)A(PAAP

.

Am presupus, mai sus, că evenimentele Ai şi A j pentru i ≠ j sunt incompatibile,

ceea ce în mod evident, atrage după sine faptul că evenimentele A Ai∩ , A A j∩

sunt incompatibile. Am arătat astfel că PA este o probabilitate pe K. Să considerăm acum, două evenimente A şi B cu P(A) > 0 şi P(B) > 0, atunci

au sens probabilităţile condiţionate P BA ( ) şi P AB( ) şi mai mult avem:

P BP A B

P AP A

P A BP BA B( )

( )( )

, ( )( )

( )=

∩=

∩.

Din egalităţile de mai sus rezultă: P A B P A P BA( ) ( ) ( )∩ = ⋅ şi P A B P B P AB( ) ( ) ( )∩ = ⋅ , ceea ce arată că între probabilităţile condiţionate P BA ( ) şi P AB( ) există relaţia de legătură: (5.3.2) P A P B P B P AA B( ) ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ .

Pentru exemplificarea probabilităţii condiţionate să considerăm câmpul de probabilitate al lui Laplace ( )Ω Ω, ( ),P P , unde Ω este o mulţime finită şi card (Ω) = n. Fie A, B ⊂ Ω astfel încât card (A) = m, card (B) = p şi card (A ∩ B) = q. Să se determine probabilitatea ca evenimentul B să aibă loc, ştiind că evenimentul A a avut loc. În condiţiile date:

P Amn

P Bpn

P A Bqn

( ) , ( ) , ( )= = ∩ = .

Dacă ştim că evenimentul A s-a produs rămân m cazuri posibile dintre care q sunt

favorabile lui B, deci P BqmA ( ) = , dar

qm

q nm n

P A BP A

= =∩( )

( ). Obţinem astfel

P BP A B

P AA ( )( )

( )=

∩.


Teorema 1. (Formula probabilităţii totale). Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, finit sau infinit, şi ( ) KA Iii ⊂∈ un sistem complet de evenimente, cu P Ai( ) > 0 ,

pentru orice i ∈ I, I fiind o mulţime de indici cel mult numărabilă. În aceste condiţii pentru orice eveniment A ∈ K are loc:

(5.3.3) ∑∈

⋅=Ii

Ai )A(P)A(P)A(Pi

.

Demonstraţie: ( )Ai i I∈ fiind un sistem complet de evenimente avem UIi

iA∈

=Ω şi

pentru orice i ≠ j, A Ai j∩ = ∅ . Atunci A se descompune sub forma unei reuniuni

de evenimente incompatibile astfel:

( )UUIi

iIi

i AAAAAA∈∈

∩=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩=Ω∩= ,

de unde rezultă:

( ) ( )∑∑∈∈

⋅=∩=Ii

AiIi

i )A(PAPAAP)A(Pi

.

Teorema 2 (Formula lui Bayes). În condiţiile Teoremei 1, dacă P(A) > 0 are loc şi următoarea formulă:

(5.3.4) ∑∈

⋅

⋅=

IjAj

AiiA )A(P)A(P

)A(P)A(P)A(P

j

i .

Demonstraţie: Din relaţia de legătură dintre probabilităţile condiţionate (5.3.2) avem:

P AP A P A

P AA ii A i( )

( ) ( )

( )=

⋅.

Înlocuind pe P(A) cu expresia din formula (5.3.3) rezultă formula lui Bayes (5.3.4). Această formulă poate fi interpretată ca determinând probabilităţile cauzelor, în cazul în care se cunoaşte un sistem de cauze care provoacă un eveniment A. P AA i( ) este probabilitatea de a fi acţionat cauza Ai în ipoteza că evenimentul A s-a produs.


Teorema 3. (Formula de înmulţire a probabilităţilor). Fie (Ω, K, P) un câmp de

probabilitate şi ( )Ai i n=⊂1, K un sistem de evenimente astfel încât 0AP

1n

1ii >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=I .

Atunci are loc:

(5.3.5) ( ) ( ) ( ) ( )nA

3AA2A1

n

1iAPAPAPAPP 1n

1ii

211I

LI −

=

⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩

=.

Demonstraţie: Pentru n = 2 formula (5.3.5) rezultă din relaţia (5.3.2). Pentru n > 2 formula (5.3.5) îşi păstrează valabilitatea prin inducţie după n. Fie câmpul de probabilitate (Ω, K, P) şi A, B ∈ K. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă (5.3.6) P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B). Sistemul de evenimente A A An1 2, , ,K din K se numeşte sistem de evenimente independente, dacă pentu orice i i im1 2, , ,K , cu 1 1 2≤ < < < ≤i i i nmK , m ≤ n are loc

(5.3.7) ( ) ( ) ( ) ( )m21m21 iiiiii APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ LK .

Despre două sisteme complete de evenimente A A A m1 2, , ,K şi B B Bn1 2, , ,K spunem că sunt independente dacă are loc

(5.3.8) ( ) ( ) ( )P A B P A P Bi j i j∩ = ⋅

pentru orice i m= 1, , j n= 1, . Vom arăta, printr-un exemplu, că independenţa a două câte două evenimente ale unui sistem nu implică independenţa sistemului de evenimente în sensul definiţiei de mai sus.

Fie Ω = ω ω ω ω1 2 3 4, , , , K = P(Ω) şi ( )P iω =14

. (Ω, K, P) este

câmpul de probabilitate al lui Laplace cu patru evenimente elementare. Vom considera

evenimentele A = ω ω1 2, , B = ω ω1 3, şi C = ω ω1 4, . Observăm că

P A P B P C( ) ( ) ( )= = = =24

12

şi P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = = ⋅14

,


P A C P A P C( ) ( ) ( )∩ = = ⋅14

, P B C P B P C( ) ( ) ( )∩ = = ⋅14

, pe când

P A B C P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )∩ ∩ = ≠ ⋅ ⋅ =14

18

, deci evenimentele A, B, C sunt

independente două câte două dar nu formează un sistem de evenimente independente. Exemplul 1. Într-un lot pus în vânzare la un magazin se află produsele a trei fabrici Fi i = 1, 2, 3, în cantităţile 300, 420 şi respectiv 540 produse. Se ştie, din verificări statistice, că fiecare dintre fabrici livrează produse defecte în proporţie de 1%, 2% şi respectiv 2,5%. O cantitate de produse văndute în valoare de 6.000 u.m. au fost restituite magazinului ca necorespunzătoare. Să se determine sumele ce trebuie imputate fabricilor, dacă nu se ştie de la care dintre fabrici au provenit produsele defecte. Rezolvare: Este firesc ca sumele imputate să fie proporţionale cu probabilităţile corespunzătoare de a trimite produse defecte. Fie Ei evenimentul, ca un produs luat la întâmplare, să fie al fabricii Fi i = 1, 2, 3. Evenimentele Ei formează un sistem complet de evenimente cu

probabilităţile ( )P E1300

12600 238= = , , ( )P E2

4201260

0 333= = ,

şi ( )P E3540

12600 428= = , .

Fie X evenimentul, ca luând la întâmplare un produs din magazin, acesta să fie defect. Probabilităţile condiţionate ale evenimentului X, de către evenimentele Ei , i =

1, 2, 3, sunt: ( )P XE10 01= , , ( )P XE 2

0 02= , şi respectiv ( )P XE30 025= , .

Probabilităţile ca un produs defect să aparţină fabrici Fi i = 1, 2, 3 vor fi ( )P EX i , i = 1, 2, 3, care sunt date de formula lui Bayes, în funcţie de probabilităţile determinate mai sus şi anume, avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( )XPEP

XPEPEP

k

i

E

3

1kk

EiiX

⋅

⋅=∑=

.

Obţinem ( )P EX 1 0 125= , , ( )P EX 2 0 395= , , ( )P EX 3 0 514= , .


Dacă notăm cu Si , i = 1, 2, 3 sumele ce trebuie imputate, vom avea S S S S S S1 2 3 1 2 3

0 125 0 359 0 514 1, , ,= = =

+ +, de unde rezultă S1= 750 u.m., S2 = 2154

u.m., S3 = 3084 u.m.. În continuare vom face câteva consideraţii asupra unor şiruri de evenimente. Fie (Ω, K, P) un câmp de evenimente. Un şir de evenimente ( ) KA Nnn ⊂∈ se numeşte ascendent dacă: (5.3.9) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ A n ⊂ A n+1⊂ ...

Un şir de evenimente ( ) KD Nnn ⊂∈ se numeşte descendent dacă:

(5.3.10) D1⊃ D2 ⊃ ... ⊃ Dn ⊃ Dn+1⊃ ...

Observăm că pentru şirul ascendent ( )A n n N∈ are loc Un

1kkn AA

== , iar pentru şirul

descendent ( )Dn n N∈ are loc In

1kkn DD

== . Pe baza acestei observaţii avem:

(5.3.11) U∞

=∞→==

1kknn

AAlim şi I∞

=∞→=

1kknn

DDlim .

Se pune întrebarea, dacă limitele de mai sus comută cu probabilitatea? Răspunsul este dat de teoremele următoare. Teorema 4. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir

ascendent ( )A n n N∈ ⊂ K , are loc:

(5.3.12) ( )lim limn

nn

nP A P A→∞ →∞

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Demonstraţie: Şirul ( )A n n N∈ fiind dat, construim şirul ( )Bn n N∈ prin:

B A1 1= , ..., B A A A An n n n n= − = ∩− −1 1 ,

pentru orice n ≥ 2. Acest şir are proprietăţile:

(5.3.13) B Bi j∩ = ∅ pentru orice i ≠ j şi U U∞

=

∞

==

1i 1iii BA .


Pe baza relaţiilor (5.3.13) şi a axiomei de complet aditivitate a probabilităţii P avem:

( ) ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑

∞

=

∞

=

∞

=∞→ 1ii

1ii

1iinn

BPBPAPAlimP UU

( ) ( )[ ( ) ( ) K+−+==∞→

∞

=∞→∑ 121n1n

nnAPAPAPlimBPlim

( ) ( ) ( ) ( )] ( )+ − + − =− − −→∞

P A P A P A P A P An n n nn

n1 2 1 lim ,

tocmai ceea ce trebuia demonstrat. Teorema 5. Fie (Ω, K, P) un câmp borelian de probabilitate. Pentru orice şir descendent ( )Dn n N∈ ⊂ K are loc:

(5.3.14) ( )lim limn

nn

nP D P D→∞ →∞

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Demonstraţie: ( )Dn n N∈ fiind un şir descendent rezultă că şirul ( )Dn n N∈ al

evenimentelor contrare este un şir ascendent. Conform teoremei precedente vom avea:

( )lim limn

nn

nP D P D→∞ →∞

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

,

dar nn1n 1nnnnn

DlimDDDlim∞→

∞

=

∞

=∞→=== U I

şi P D P D P Dn

nn

nn

nlim lim lim→∞ →∞ →∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 . În acelaşi timp:

( ) ( )[ ] ( )lim lim limn

nn

nn

nP D P D P D→∞ →∞ →∞

= − = −1 1 .

Am obţinut astfel că:

( )1 1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

→∞ →∞P D P D

nn

nnlim lim ,

de unde rezultă egalitatea (5.3.14).

Date post:	15-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

5. ĂŢ - analizamatematicampt.files.wordpress.com · 5.1. Evenimente 89 Să revenim asupra...

Documents