4doi-organizare31-64

7/26/2019 4doi-organizare31-64

1/36

FIABILITATE SI ASPECTE CONEXE IN TRANSPORTURI

organizare-rezervare-siguranta

Capitolul 2 Organizare-rezervare-siguranta in transporturi

Continut

Limitele solicitarii umane : timpul de interferenta

Studiu de caz (2) Necesarul de personal de

bord in rezerva

Inlocuirea operationala a miloacelor mobile

Studiu de caz (!) Necesarul de ve"icule in

rezerva

#robleme de rutare $n conditii speciale

Studiu de caz (%) Legaturi unice in grafuri

31


2/36



Notatii si simboluri utilizate in cuprinsul capitolului*

a numarul de ve"icule defecte la sfirsitul unei zile

b numarul de elemente de segmentare (ale unui ve"icul in parti autonome)

d identificator de drum in graf

g functie de densitate de probabilitate pentru o functie de repartitie G" costul unei ore de men&inere $n rezerv' a unui ofer

i * numarul curent

l element al multimii M: multimea arcelor posibil sa fie +LS

m arce intr-un graf

n ma,imul de elemente in multimea M

p # probabilitati

r numarul de drumuri origine-destinatie

s z L identificatori de nod

t ... timpul

v durata variabila intre sosirile consecutive ale soferilor

, numarul de soferi in rezerva

/ numarul de soferi necesari in medie in unitatea de timp

+ un eveniment particular

+LS arc legatura unica in graf (0speciala1)

C matricea drumurilor posibile intre doua noduri ( c... sint elementele matricii)

multimea evenimentelor de un anumit tip

3 numar real suficient de mare pentru a fi identificat dupa adunari repetate4i* arce ale multimii : multimea de arce incidente interior sau e,terior unui nod

N numarul de subiecti condusi de dispecer

5 valoare medie a variabilei aleatoare W ce da caracteristica numerica a unui arc

S ... sisteme in organizarea e,ploatarii

6 valoarea unui arc (pentru deteminarea drumului de cea mai sigura alcatuire)

parametrul reparti&iei e,ponen&iale care guverneaza durata v

costul unei ore de nefunc&ionare a unui ve"icul $n linie

parametrul repartitiei #oisson7 deviatia variabilei aleatoare W care da caracteristica numerica a unui arc

8 9 numarul de noduri respectiv arce

intervalul mediu intre doua cazuri de lipsa la program a soferilor

; aceste notatii si simboluri ca si numerotarea formulelor figurilor si tabelelor sunt valabile doar in

cuprinsul prezentului capitol

3


3/36



1. Limitele solicitarii umane : timpul de interferenta

Se considera un sistem in care se e,ecuta o anumita activitate : se colecteaza

informatii in sc"imbul carora se ofera o rezolvare. Subiectii care aduc informatia

(cei asupra carora se e,ecuta de fapt un control) se numesc clienti iar sistemul

este numit sistem de servire. aca acesti clientii sosesc prea des ei trebuie sa

astepte pina cind devine disponibila statia de servire ? sau sa renunte la serviciul

respectiv (daca isi pot permite asa ceva). >aca acesti clientii sosesc prea rar

conducatorul procesului (dispecerul) ramine inactiv el este cel care asteapta.

Sistemul analizat ar putea fi considerat un sistem de asteptare circular deoarece

clientii serviti (care par ca au parasit sistemul) reintra in multimea clientilor

potentiali revenind ulterior in firul de asteptare. Ordinea in care clientii sint serviti

constituie disciplina firului de asteptare. a poate urma regula @primul venit ?

primul servit@ sau se poate adapta unui sistem de prioritati (de e,emplu dupa

urgenta etc.) dar in nici un caz clientii nu sint selectati la intimplare.

>upa cum s-a aratat (in literatura de specialitate) intr-un astfel de sistem apare oproblema de teoria asteptarii daca :

a) intensitatea sosirii clientilor si A sau numarul statiilor de servire pot fi controlateB

b) e,ista costuri asociate atit timpului de asteptare al clientilor cit si al

dispecerului nesolicitat.

ezolvarea unei probleme de teoria asteptarii consta in planificarea sosirilor sau

in stabilirea numarului de statii astfel incit sa se minimizeze suma costurilor

generate de asteptare a clientilor si de e,istenta a statiillor de servire neocupare.

Concluziaacestor consideratii este : sistemul dispecer ? retea de transport nu

este Dc"iar1 un sistem de asteptare B rezultatele matematice ale firelor de

asteptare nu pot fi aplicate cazului analizat intrucit nu pot fi planificate cererile

participantilor la circulatie si nici nu poate fi modificat numarul dispecerilor.

33


4/36



Sistemul este deci altul decit cel care pare la acceptarea fara discernamint a

situatiei descrise mai sus. Ideea de la care se pleaca este ca in activitatea

dispecerului apar atit timpi in care el nu este solicitat dar si timpi in care este

suprasolicitat. >e aici se poate face observatia ca daca se pot calcula timpii in

care dispecerul este supus la solicitari simultane a mai multor participanti si in

plus care este ponderea in suprapunerea participantilor e,ista sanse de

clarificare a procesului : se desfasoara acesta sub supraveg"erea conducatorului

sau intr-o inertie inacceptabila E +paritia acestor perioade in care solicitarile

interfereaza unele cu altele impune o alta denumire sistemului identificat ca fiind

real : sistem de lucru cu interferente. In aceste conditii trebuie utilizat alt model

matematic. #rintre altele acest model trebuie sa rezolva si problema unui

indicator de eficienta a conducerii pe retea. Timpul de interferenta este aceaperioada in care sistemul solicita interventia conducatorului dar aceasta

interventie nu se produce din cauze obiective. Fimpii de interferenta

demonstreaza e,istenta perioadelor de desfasurare a circulatiei fara controlul

dispecerului iar perioada o data consumata @conduce@ procesul de transport

catre degradare continua intrucit timpul nu mai poate fi dat inapoi pentru

reluarea intr-o rezolvare favorabila a situatiilor conflictuale care ar fi impus

interventia conducatorului.

#entru un numar de N subiecti supervizati de dispecer se obtin relatiile :

probabilitatea ca nici un subiect sa nu solicite interventia la un moment dat :

N

tot

scht

tP !1"1 = (G)

unde :

tsc" este timpul total de sc"imb de informatii intre subiecti si conducatorB

ttot - timpul de lucru in tura la dispozitia dispecerului.

probabilitatea ca dispecerul sa raspunda unui subiect este:

Nt

tP

N

tot

sch #$!1"1% = (2)

3&


5/36



aceasta valoare este egala cu diferenta dintre probabilitatea ca un subiect sa

solicite o interventie si fractiunea timpului de interferenta a subiectilor adica :

tottot

sch

t

t

t

tP int = (!)

unde tint este timpul de interferenta.

Se obtine in continuare :

Nt

t

t

t

t

t N

tot

sch

tottot

sch #$!1"1%int = (%)

Nt

tttt

N

tot

schtotsch

#$!1"1%int = (H)

iar pentru toti subiectii rezulta:

$!1"1%intN

tot

schtotsch t

ttNtNt = ()

,emplu pentru ttotJ K ore tsc"J ore si G subiectii se obtine matematic

N;tint J G ore adica din K ore de munca in care informatiile in dublu sens

curg ore cca. G de minute subiectii se suprapun cerind simultan informatii si

decizii. Intrucit duratele mentionate nu reprezinta perioade continue din activitate

acest e,emplu poate alona calea catre criteriul de eficienta : timpul disponibil de2 ore (diferenta intre K ore total si ore de activitate) reprezinta o rezerva ce

poate fi folosita de dispecer pentru corectarea procesului in desfasurare.

#entru cercetarea capacitatii de cuprindere a flu,ului de informatii generat de

sistem e,ista o metodologie pusa la punct de teoria informatiei. Studiile au aratat

ca in sistemele in care apar oameni viteza de transmitere a informatiei ce

depaseste 2H bitAsec. indica un flu, informational dea intens iar la % bitAsec.

flu,ul nu mai este ==acceptat== de dispecer. #roblema de fata cauta raspunsul

tocmai la ceea ce se intimpla cu acel flu, care ar putea sa nu mai fie acceptat :

nu e,ista alternativa pierderii intrucit ar insemna recunoasterea imposibilitatii

conducerii. >aca datele s-ar pierde si dispecerul nu le-ar resolicita (din lipsa de

timp) nu ar e,ista cadrul organizatoric pentru e,ercitarea functiei in continuare.

3'


6/36



O alternativa este acordarea unui timp disponibil in care dispecerul sa poata

urmarii firul evenimentelor si tinind cont de viteza de desfasurare a actiunii pe

retea s-a corecteze eventualele devieri. #entru a face posibil acest lucru ? la un

randament constant al muncii sale ? dispecerului trebuie sa i se creeze un ==timp

de ragaz== ec"ivalent cel putincu timpul de interferenta rezultat in sistem deci :

$!1"1% N

tot

schtotschschtot t

tNttNtt = (M)

ezolvarea ecuatiei conduce la valori ce constitue tab. G determinate din relatia:

N

tot

sch

tot

scht

tt

tN !1"!$"1% = (K)

Fab. G 6alorile limita pentru solicitarea umana

subiecti de condus (N) G 2 ! % H G 2 ! Hraportul tsc"

A ttot() G %G 2M 2 G MMM !KM 2HM GH%

valoarea N;tsc"A ttot() G K2 KG K K !!! !!" !!1 !!

#$emplu numeric. % subiecti tsc"Attot calculat este ! rezultat tsc"Attot

tabelat de 2. Concluzia : ineficienta conducerii se ridica la (! ? 2);% J %.

Sau : G subiecti tsc"Attot calculat este !KM rezultat tsc"Attot tabelat de MMM.

Concluzia : incarcarea sub posibilitati a conducatorului se ridica la (MMM ?

!KM);G J !. %nalizind tabelul de mai sus se dovedeste ca scaderea

intensitatii activitatii pe retea nu poate fi insotita automat de marirea ariei

supraveg"eate intrucit mara in care se pastreaza valoarea de cca. MM a

raportului tsc"Attot este foare intinsa.

&tudiu de caz '() Necesarul de personal de bord de rezerva

Pn&elegerea subordon'rii administrative fa&' de autobaz' i operative fa&' de

dispecerat permite constituirea unei paralele $ntre : procesul de deservire a cererii (la modul cel mai concret posibil prin

deplasarea pe linie a ve"iculelor conduse de oferi ? conform programului

de activitate a personalului de bord) i

3(


7/36



procesul de diriare la punctele de munc' i la locurile de $ntQlnire in

vederea sc"imbarii personalului dupa derularea integrala a programului

cu oferii care abia intr' $n comand'.

Rai ales la orele matinale punerea $n micare a ve"iculelor se face prin oameni

adusi cu oarecare dificultate la program. >e-a lungul intregii zile lipsa unui ofer

la ora de prezentare la biroul de repartizare pe ve"icul (dup' prealabilele

verific'ri ale st'rii) este o problem' care apare cu minute bune $naintea mic'rii

pentru prima oar' a ve"iculului plin de c'l'tori $n timp ce indisponibilitatea unui

ofer de pe ve"iculul din linie in programul destinat s' acopere cererea i s'

aduc' venituri este alt' problem' mult mai complicat' i presant'. >e aceea

introducerea $ntre procesul de e,ploatare (S2) i procesul de identificare afor&elor umane $n perspectiva serviciului (SG) a unui stoc-tampon de soferi

este pe deplin ustificat' calitativ dar slab reprezentat' de modelele matematice

din punct de vedere cantitativ : cQ&i oferi trebuie p'stra&i permanent $n rezerv'

pentru $nlocuirea celor care nu mai pot face serviciul &inQnd cont c' i

prezentarea la serviciu poate suferi de 0lips' de program1 E


8/36



dup' constatarea nesosirii la ora prev'zut' $n turnus urmeaz' o perioad' $n

care conduc'torul procesului nu poate decQt s' atepte sosirea unui ofer

c"emat peste program eventual c"emat anticipat (c"emarea telefonic' de

acas' peste program implic' de regula un timp comparabil cu ateptarea

urm'toarei sosiri la program dar este mai putin incarcata de incertitudine)B

reprezinta costul unei ore de nefunc&ionare a unui ve"icul $n linie datorit'

incapacit'&ii oferului de a mai conduce (accidente $mboln'viri subite etc.)B

h este costul unei ore de men&inere $n rezerv' a unui ofer pentru preluarea

comenzii neonorate $n sistemul SG sau pentru suplinirea directa a unui

ofer $n sistemul S2

se admite ca durata unei intreruperi a activitatii unui ve"icul aflat dea in linie

datorita neasigurarii cu personal de bord este mica in comparatie cu timpul

mediu intre doua astfel de situatii.

>e asemenea fie S2 procesul de e,ploatare caracterizat prin legaturile din

fig. G :

ig. G #ozitia relativa a proceselor SGsi S2

Pn aceste condi&ii se poate accepta c' $ntreaga c"eltuial' cu oferii men&inu&i $n

rezerv' se ridic' la o valoare bine estimat' de produsul ", unde ,

reprezint' num'rul de oferi $n rezerv' (necunoscuta modelului).

3*

Co+an,a ersona.u.ui

S1

Pro/es ,e e0.oatare

S

Soeri /e nuse rezinta

.a rogra+"a2sente sauo2osea.aa./oo. et/4!

Soeri intrati inservi/iu si /are nu

+ai sint /aa2i.i sa/on,u/a "inatiizi/ sau si5i/ inur+a a//i,ente.or!

Soeri inrezerva

Traie/toria /ore/ta

Traie/torii ,e sustinere a ro/esu.ui


9/36



Fimpul total $n care sistemul S2 sufer' din lipsa personalului de bord poate fi

calculat astfel:

60,a/a60-v

60,a/a7

v

v

Notind cu g(v) func&ia de densitate de probabilitate (e,ponen&ial') a duratei v

costul total al inactivit'&ii este:

( )

yx

dvvgy

xv

TinQnd seama c' e,ist' $n medie GA num'r de cazuri de lips' la program $n

unitatea de timp costul mediu al inactivit'&ii procesului S2 devine:

( )

yx

dvvgy

xv

Ceea ce trebuie optimizat este costul mediu pe unitatea de timp ca sum' $ntre

c"eltuielile cu men&inerea oferilor $n rezerv' i costul mediu al inactivit'&ii:

( ) +in=

+

yx

dvvgy

xvhx

#rin derivare in functie de necunoscuta , (c"iar i a integralei)G

se ob&ine:

( ) 7!$8!"1"%97

=+ yx

y

x

dvvgy

xdvvgvhx

dx

d

( ) 7!$8"%9 =++ yx

Gy

x

y

xdvvgvhx

dx

dy

x

unde

y

xG este reparti&ia variabilei aleatoare ale carei valori particulare sint v

1Se a.i/a oeratia ,e ,erivare e o integra.a : !$4"%!$4"%!"!4"

xfctdx

dxfctgdvvg

dx

d

xfct

=

3;


10/36



In continuare :

7!$"%!"111

!"% =+++y

xG

dx

d

y

x

y

xG

yyyy

xg

y

xh

7$1

!"!"111

!"% =+++

yy

xg

y

x

y

xG

yyyy

xg

y

xh

71 =

y

xG

yh

sau:

y

xG

yh=1

>ar :

=

yx

ey

xG

1

galind cele doua relatii de mai sus se obtine:

yh

= yx

e

astfel ca numarul de soferi in rezerva se calculea cu :

yhyx

.n=

dac'


11/36



Pn cazul $n care J H ore (stare disciplinar' mai sc'zut'):

)(1777

1'7&.n =

=x

(. +nlocuirea operationala a mi,loacelor mobile

In mod normal orice ec"ipament se deterioreaza pe masura e,ploatarii si

invec"irii lui desi poate ca este intretinut corespunzator. In unele situatii in

loc de a efectua mentenante este mai rational sa se recurga la inlocuirea

ec"ipamentului. In situatii operative c"iar asa se intimpla B trenurie de

metrou de e,emplu nu pot fi remediate pe liniile magistrale sau in statii

dupa ce au intrat in program : in caz de aparitie a unei disfunctionalitati sintindrumate fara calatori sau sint remorcate de miloacele de autor simultan

luindu-se masuri de introducere pe programul acoperit de trenul in

suferinta a unui tren din rezerva.

>e cele mai multe ori problemele de reinoire sau inlocuire sint analizate din

perspectiva strate-ica sau tactica (pentru ec"ipamentele principale

e,ploatarea punind in balanta avantaele cistigului financiar cind nu se face o

noua investitie fata de c"eltuielile cu intretinerea B pentru ec"ipamentele

au,iliare e,ploatarea cauta sc"eme preventive de intretinere in scopul

micsorarii probabilitatii de aparite a disfunctionalitatii). >in punctul de vedere al

calitatii serviciului perspectiva operationalaeste la fel de importanta : in fata

publicului calator ceea ce se vede absolut nemilocit este intervalul de urmarire a

miloacelor mobile care asigura deservirea deci problema disfunctionalitatilor

curente trebuie tratata cu aceeasi atentie ca a balantelor financiare. Fratarea

problemei numarului de trenuri de metrou necesare in rezerva ? conforme,emplului de mai sus ? poate fi efectuata prin matematica servirii in masa

(e,ista un numar de ==statii de servire== un numar de ==cereri== ce trebuie

satisfacute o dimensiune a ==cozii== si o limita de bun simt pentru asteptare

&1


12/36



adica sint conditii pentru dimensionarea sistemului in functie de ritmul

disfunctionalitatilor care scot ==statiile de servire== din functie).

&1


13/36



>e asemenea se poate utiliza programarea dinamica. In studiul de caz urmator

se utilizeaza o te"nica bazata pe teoria probabilitatilor : asa numitele modele

sto"astice.

&tudiu de caz ') Necesarul de ve/icule in rezerva


14/36



elatia de mai sus este in fond o sum' de probabilit'&i:

7'7!444"!1"!" ac' insa la G2 ve"icule %! de ve"icule $n rezerv' @cald'@ reprezint' numai

22 pentru 2% de ve"icule eficienta este catastrofala. Care este solu&ia E

&3


15/36



&e-mentarea ve/iculelor n pr2i autonome (parte mecanic' electric'

caroserie etc.). +firmatia se bazeaz' pe urm'toarele calcule:

se noteaz' cu #bprobabilitatea ca num'rul de defec&iuni care apar $n cursul a

2 zile asupra unui element de ordin b s' fie mai mic sau egal cu numarul

de ve"icule din rezerva a deci se utilizeaza relatiile:

( )

aP

P

ab

ab

7

11

7

11

7

11;'7

=

==

La o $mp'r&ire $n dou' segmente a fiecarui ve"icul un calcul suficient de

e,act conduce la:

;)'7&7

1

1 bP

parametrul legii #oisson fiind ? pentru situatia prezentata initial:

1(

3==

a trebuie ales astfel $ncQt:

7'711444 +++= (GG)

O clas' de probleme din practica te"nologic' cere s' se determine drumul cuvaloarea medie ataat' cea mai mic' (sau cea mai mare) ce unete dou'

noduri oarecare zi i z ale unei re&ele. O dat' cu determinarea acestui

drum (sau a acestor drumuri dac' sunt mai multe) este necesar s' fie g'sita i

dispersia valorii drumului (sau drumurilor).

&'


17/36



'spunsul la aceast' problem' este dat de rela&ia mediei de mai sus dar

anticipat c' trebuie sa se aplice una din procedurile de determinarea a drumului

optim $ntre nodurile zi i z ale re&elei considerQnd drept ponderi ale arcelor

valorile medii corespunz'toare B dup' determinarea efectiv' a drumului se poate

calcula i dispersia valorii lui.

%plicatia nr. 1.#entru str'baterea unei zone pot fi alese mai multe rute alc'tuite

din arce caracterizate de num'rul mediu de incidente $nregistrate (la parcurgerea

drumului de la originea G la destina&ia $n e,pedi&ii anterioare). #e fiecare arc din

fig. 2 este men&ionat num'rul mediu de incidente (de tip comercial te"nic

administrativ) si de asemenea si dispersiile variabilele aleatoare independente

care caracterizeaz' num'rul de incidente pe arcul respectiv (in paranteze). Secere s' se arate $n ce ordine trebuie alese arcele ca pornind din nodul G s' se

ating' nodul astfel $ncQt num'rul mediu de incidente s' fie ma,im (pentru

evitare) respectiv minim (pentru utilizare).

ig. 2 Zraful aplicatiei continind si informatii despre mediile (si dispersiile) incidentelor

olosind procedura nmul2irii latinese pot obtine toate drumurile dar pentru

aplicatia in derulare se pot determina aceste drumuri si prin simpla vizualizare.

>rumurile utilizabile sunt:

&(

1

&

(

3 '

1'

"1!

'"1!

&"1!

&"'!

1"1!

1&"1!

3)

"&!

3

"!

&1

"'!

&"1!


18/36



drum suma mediilor

G% %2 U %G J K!

G2% GH U 2H U %G J KG

G2H GH U !M U 2% J M

G!H %2 U G% U 2% J K

G%H "( 8 ( 8 (" 9 4 'cea mai mare valoare)

G2!H 1; 8 (1 8 1" 8 (" 9 !" 'cea mai mica valoare)

G2%H GH U 2H U 2! U 2% J KM

pentru cel mai sigur drum G2!H : GUGUGUG J %

devia&ia fiind 2 adic' e,ista o mare probabilitate se fie $ntQmpinate :

cel putin &13&) = incidente

cel mult &133&) =+ incidente

iar pe cel mai nesigur drum G%H : GU2UG J %

devia&ia fiind 2 adic' e,ista o mare probabilitate se fie $ntQmpinate :

cel putin ;3;* = incidente

cel mult ;1&3;* =+ incidente


19/36



+stfel fiecare element din re&ea poate fi considerat ca o variabil' aleatoare ? cu

doua valori : zero si unu ? care reprezint' succesul respectiv insuccesul

$ndeplinirii opera&iilor normale corespunz'toare acelui element. Pn cele ce

urmeaz' se presupune cazul simplu $n care toate aceste variabile aleatoare sunt

statistic independente dou' cQte dou'. #entru a folosi o algebra unitar' se

noteaz' nodurile i arcele grafului ce simbolizeaz' o re&ea de comunica&ii prin

L* (* JG2! [ 8U9 unde 8 reprezint' num'rul nodurilor iar 9 num'rul

arcelor admitind conven&ia c' mai $ntQi s-au numerotat nodurile iar apoi arcele).

Corespunz'tor elementului L* se va considera o variabil' aleatoare discret'

not' cu X* i care poate lua valoarea unu sau zero dup' cum elementul

respectiv func&ioneaz' sau nu. Se noteaza probabilitatea func&ion'rii elementului

L* egal' cu p* iar aceea a defect'rii acestui element egal' cu * (evident1?- >> =+ ). Cu aceste nota&ii se pot constitui urm'toarele variabile aleatoare:

kkk

pqW

17 * JG2! [ 8U9

ie dou' noduri oarecare ale grafului care sint notate pentru mai mult' claritate

cu zG i z2 noduri pentru care se doreste cercetarea posibilitatii de

comunica&ie adic' probabilitatea evenimentului de a aunge de la onctiunea zGla onctiunea z2 indiferent de drumul folosit. Se defineste pentru rezolvarea

acestei probleme o matrice aut'toare notata prin CG2 ale c'rei linii corespund

diferitelor drumuri posibile $n graf de la zG la z2 si ale carei coloane

corespund celor 8U9 elemente ale grafului (noduri i arce). +stfel

numerotQnd toate drumurile ce e,ist' $n graf de la zG la z2 i notQndu-le prin:

dG d2 [ dr

se defineste elementul ci* al matricei CG2 element ce se g'sete pe linia i i pe

coloana * ale acestei matrice astfel:

&*


20/36



/ontrar/azin37

Le.e+entu.,,ru+u.,a/a31 >i

= contine

cik

&*


21/36



Pn ceea ce privete determinarea drumurilor in graf problema este rezolvabila

e,peditiv prin $nmul&irea latin'. ie deci urmatorul graf :

ig. ! Zraful de lucru pentru determinarea rutelor alternative


22/36



Continuarea calculelor este posibila doar daca se poate determina o formla

generala prin care sa se poata obtine valoarea probabilitatilor coroborate ale

elemetelor constitutive ale drumurilor de legatura intre origine si destinatie.

ormula poate rezulta din dezvoltarea rela&iei generale pentru probabilitatea

evenimentului cumulat. >aca e,ista urmatoarele doua evenimente :

ig. % #ozitia relativa a doua evenimente oarecare

#robabilitatea evenimentelor compatibile este :

( ) ( ) ( ) ( )111 += pppp

sau:

( ) 11 EEp =

#entru trei evenimente formula este :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3133113131 +++= pppppppp sau:

( ) 3131 EEEp +=

Ca urmare se poate considera evenimentul +G2 ca fiind evenimentul ca

nodurile zG i z2 pot comunica printr-un drum oricare ar fi acela. >atorit' formei

particulare a variabilei aleatoare ($n zero i unu) probabilitatea evenimentului

conduce la formula -enerala de calcul = o rela&ie de tipul:

( ) ( ) +

=

++

i>

=>i>

i>

=++

=+=

si unde :

r este num'rul de drumuri origine-destinatieB

8U9 - num'rul cumulat al nodurilor i arcelorB

p - probabilitatea de func&ionare a nodului sau arculuiB

ci* - valorile de adev'r ale prezen&ei arcului $n compunerea drumului.

>e e,emplu dezvoltQnd primii termeni se ob&ine pentru probabilitatea p(+G2)

de fiecare dat re2in>ndu?se numai acei @p6 pentru care valorile @c6nsumate sunt 1 :

1

1

444

1#

-1#1

/

1

1

/

1

1/

1

11

1

11

=

=

aca intersectia definita mai sus nu este vida atunci arcul iAiB nu

este +LS.

>eci arcul G% nu este +LS.

0e-ula . Ori de cite ori rezultatul intersectiei este multimea vida _ nodul AiB

respectiv se introduce intr-o multime RiJ ]lm^ l J G 2 [ n (cu alte cuvinte :

e,ista posibilitatea ca unul din arcele componente multimii Ri sa fie +LS).

0e-ula ". >aca multimea Ri este vida analiza nodului respectiv din

perspectiva arcelor incidente e,terior este inc"eiata : nu e,ista arce +LS.

Concret pentru nodul G e,ista n J 2 lGJ 2 l2 J adica : RGJ ]2^

etapa (

>in matricea Dzero1 se constituie o matrice intermediara Dunu1 aplicindurmatoarele operatii :

a) se pastraza din matricea initiala Dzero1 liniile corespunzatoare tuturor

nodurilor grafului mai putin : nodul i 'analizat) si nodurile din i

Ca urmare pentru nodul G se vor e,clude din noua matrice Dunu1 liniile

corespunzatoare nodurilor G 2 % (nodurile ramase se numesc noduri originale

? in aceasta faza numai nodurile ! si H)

b) se adauga la matricea Dunu1noi linii ce se obtin prin insumare booleana a

liniilor din matricea Dzero1corespunzatoare nodurilor din multimea \i? lm

Concret :

''


28/36



\G? lGJ ]2%^ ? ]2^ J ]%^

deci se adauga in matricea Dunu1linia (2) ca suma booleana a liniilor % si

linia % este

linia este G G

linia (2) devine G G

\G? l2J ]2%^ ? ]^ J ]2%^

respectiv se adauga in matricea Dunu1linia () ca suma booleana a liniilor 2 si %

linia 2 este G G G

linia % este

linia () devine G G G

Ratricea Dunu1care de obicei este o matrice dreptung"iulara arata astfel :

Fab. H Ratricea pentru nodul G ? prima modificare

Dunu1 G 2 ! % H ! G G H G G G(2) G G G() G G G

c) se transforma matricea Dunu1 intr-o matrice restrinsa 1unu1 a matriciiDzero1 in raport cu toate arcele ce pornesc din nodul analizat :

se pastreaza coloanele ! si H corespunzatoare nodurilor originale

se adauga coloanele (2) si () calculate astfel :

\-2? ]G^ J ]GH^ ? ]G^ J ]H^ deci coloana (2) coloana H

\-? ]G^ J ]GH^ ? ]G^ J ]H^ deci coloana () coloana H

rezulta matricea 6unu6care este intotdeauna patrata :

'(


29/36



Fab. Ratricea pentru nodul G ? a doua modificare

1unu1 ! H (2) ()! G G GH (2) G G G G() G

etapa

Se inventariaza arcele de analizat pentru nodul G B acestea sint G2 si G (s-a

stabilit d ca arcul G% nu este +LS). #entru stabilirea caracterului celor doua

arce in discutie se efectueaza urmatoarele calcule :

pentru arcul G2

se considera linia (2) din 1unu1care contine 2 elemente nenule pe

coloanele originale ! si H se aduna boolean mai intii liniile (2) cu ! rezultind seria

G G G G

se aduna boolean apoi liniile (2) cu H rezultind seria

G G G G

se poate concluziona B deoarece elementul din locatia matriciala

(2) (2) este G in orice combinatie arcul G2 nu este +LS

pentru arcul G se considera linia () din 1unu1 care contine un singur element

nenul pe coloanele originale ! si H

deci se aduna boolean liniile () cu ! rezultind seria

G G G G


() () este G in singura combinatie arcul G nu este +LS

pentru nodul 2

etapa 1

Se determina intersectia \i ` \- 4i* deci :

')


30/36



\2 ` \- GJ ]G!%^ ` ]2^ J _

\2 ` \- !J ]G!%^ ` ]2^ J _

\2 ` \- %J]G!%^ ` ]G2!H^ J ]G!^

0e-ula (.+rcul 2% nu este +LS.

0e-ula 1. >eoarece despre arcul 2G se cunoaste d ca este +LS acesta nu va

mai face parte din sfera cautarilor.

0e-ula . Concret pentru nodul 2 e,ista n J G lG J ! adica : R2J ]!^

se poate concluziona : arcul 2! nu este +LS.

pentru nodul !

etapa 1

se determina intersectia \i ` \- 4i* deci :

\! ` \- %J ]%H^ ` ]G2!H^ J H

\! ` \- HJ ]%H^ ` ]!^ J _

0e-ula (.+rcul !% nu este +LS.0e-ula . Concret pentru nodul ! e,ista n J G lG J H adica : R!J ]H^

etapa (

a! #entru nodul ! se vor e,clude din matricea Dtrei1liniile corespunzatoare

nodurilor ! % H (nodurile originale ramase in aceasta faza sint nodurile G

2 si )

2! se adauga la matricea Dtrei1noi linii ce se obtin prin insumare booleana a


Concret :

\!? lGJ ]%H^ ? ]H^ J ]%^

deci se adauga in matricea Dtrei1linia (H) ca identica cu linia %

>eci matricea Dtrei1arata astfel :

'*


31/36



Fab. M Ratricea pentru nodul ! ? prima modificare

Dtrei1 G 2 ! % H G G G G2 G G G G G (H)

c) se transforma matricea Dtrei1intr-o noua matrice 1trei1astfel :

se pastreaza coloanele G 2 si corespunzatoare nodurilor originale

se adauga coloana (H) calculata astfel :

\-H? ]!^ J ]!^ ? ]!^ J ]^ deci coloana (H) coloana

rezulta matricea 6trei6:

Fab. K Ratricea pentru nodul ! ? a doua modificare

1trei1 G 2 (H)G G G G2 G (H)

etapa

Se inventariaza arcele de analizat pentru nodul ! B acesta este !H (s-a stabilit

d ca arcul !% nu este +LS). #entru stabilirea caracterului arcului in discutie seefectueaza urmatoarele calcule :

pentru arcul !H

se considera linia (H) din 1trei1care nu contine elemente nenule pe

coloanele originale G 2 si

se poate concluziona : arcul !H este +LS.

pentru nodul Hetapa 1

Se determina intersectia \i ` \- 4i* adica :

';


32/36



\H ` \- 2J ]2%^ ` ]GH^ J _

\H ` \- %J ]2%^ ` ]G2!H^ J ]2^

\H ` \- J]2%^ ` ]GH^ J _

0e-ula (.+rcul H% nu este +LS.

0e-ula . Concret pentru nodul H e,ista n J 2 lGJ 2 l2 J adica : RHJ ]2^

etapa (

a! #entru nodul H se vor e,clude din noua matrice Dcinci1 liniile

corespunzatoare nodurilor 2 % H (nodurile originale ramase in aceasta

faza sint G si !)

2! se adauga la matricea Dcinci1noi linii ce se obtin prin insumare booleana a


Concret :

\H? lGJ ]2%^ ? ]2^ J ]%^

deci se adauga in matricea Dcinci1linia (2) ca suma booleana a liniilor % si

linia % este

linia este G G

linia (2) devine G G

\H? l2J ]2%^ ? ]^ J ]2%^

respectiv se adauga in matricea Dcinci1linia () ca suma booleana a liniilor 2 si %

linia 2 este G G G

linia % este

linia () devine G G G

Ratricea Dcinci1arata astfel :

(7


33/36



Fab. Ratricea pentru nodul H ? prima modificare

Dcinci1 G 2 ! % H G G G G! G G (2) G G () G G G

/! se transforma matricea Dcinci1intr-o noua matrice 1cinci1:

se pastreaza coloanele G si ! corespunzatoare nodurilor originale

se adauga coloanele (2) si () calculate astfel :

\-2? ]H^ J ]GH^ ? ]H^ J ]G^ deci coloana (2) coloana G

\-? ]H^ J ]GH^ ? ]H^ J ]G^ deci coloana () coloana G

rezulta matricea 1cinci1:

Fab. G Ratricea pentru nodul H ? a doua modificare

1cinci1 G ! (2) ()G ! (2) G () G G G G

etapa

Se inventariaza arcele de analizat pentru nodul H B acestea sint H2 si H (s-a

stabilit d ca arcul H% nu este +LS). #entru stabilirea caracterului celor doua

arce in discutie se efectueaza urmatoarele calcule :

pentru arcul H2

se considera linia (2) din 1cinci1 care contine un singur element

nenul pe coloanele originale G si !

se aduna boolean liniile (2) cu ! rezultind seria

G

(1


34/36




(2) (2) este zero in singura combinatie arcul H2 este +LS

pentru arcul H

se considera linia () din 1cinci1care contine 2 elemente nenule pecoloanele originale G si !

deci se aduna mai intii boolean liniile () cu G rezultind seria

G G G G

deci se aduna apoi boolean liniile () cu ! rezultind seria

G G G G


() () este G in orice combinatie arcul H nu este +LS

pentru nodul

etapa 1

Se determina intersectia \i ` \- 4i* adica :

\ ` \- !J ]!H^ ` ]2^ J _

\ ` \- HJ ]!H^ ` ]!^ J ]!^

0e-ula (.+rcul H nu este +LS.

0e-ula . Concret pentru nodul e,ista n J G lG J ! adica : LJ ]!^

se poate concluziona : arcul ! nu este +LS.

Concluzia este ca in graful analizat sint +LS numai arcele !H H2 2G :

disfunctionalitatile aparute la unul din aceste arce conduc la imposibilitatea

desfasurarii proceselor te/nolo-ice descrise prin structura -rafului(fig. H).

Informatiile posibil de obtinut de pe urma acestui tip de tratare a grafurilor sint

insa mai numeroase.

(


35/36



7rima e$tensie. #roblema si algoritmul de mai sus pot fi utilizate si pentru

analiza drumurilor critice ? care utilizeaza pentru asigurarea legaturilor arce +LS.

Se cere deci gasirea drumurilor elementare dintre fiecare doua noduri ale

grafului drumuri ce contin cel mai mic numar de arce +LSB pentru rezolvare se

parcurg doua etape :

se ataseaza fiecarui arc ponderi corespunzator relatiilor urmatoare ? fig. :

6iJ 3 daca arcul este +LS

6iJ G daca arcul nu este +LS

unde 3 este un numar suficient de mare ce poate fi identificat in ciuda

insumarilor repetate pentru cea mai complicata ruta posibil de constituit in grafB

1

1DDD 1 1

1 1DDD

1

1 1 1DDD

1 1

1

ig. Zraful pentru determinarea drumurilor care contin cel mai mic numar de arce +LS

se determina pe graf (inzestrat cu valori pentru arce si punind E 9 1DDD)

care sint drumurile minime intre noduriB tab. GG cuprinde d solutia

(rezultind din cite arce +LS este constituit drumul minim intre noduri).

Se poate constata ca drumul !-G este cel mai Dincarcat1 de riscuri intrucit este

alcatuit din trei +LS adica aceasta ruta este cea mai sensibila la aparitia

disfunctionalitatilor care vor impiedica lesne desfasurarea procesului te"nologic

(cel care a stat la baza construirii graficului de lucru analizat in cadrul aplicatiei).

(3

1

3

&

( '


36/36



Fab GG Ratricea drumurilor minime

G 2 ! % H G G 2 G 2 G2 G G G GG GG! DDD 2 G G GG% H 2 G 2 G G 2G GG G 2 G

% doua e$tensie. >aca analiza este continuata dupa indepartarea arcelor +LS

se obtine un nou graf caruia i se poate aplica inca o data algoritmul. Ca rezultat

pentru graful din fig. H din care ar fi fost eliminate arcele trasate cu linie groasa

ar aparea ca D+LS de catagoria a II-a1 urmatoarele arce : G2 G 2! !% H !

H. Ceea ce ramine sint D+LS de catagoria a III-a1 : G% 2% si H%.

Retoda aplicata in profunzime scoate in evidenta categorii diferentiate in

importanta care trebuie acordata unui ansamblu de legaturi indicind pe trepte

caror componente (sau subsisteme) trebuie sa li se acorde prioritate cind se

urmareste pastrarea comunicatiei intre elementele de tip material sau

organizational.

Observatii: algoritmul descris poate fi Dintors1 pentru analiza fiecarui arc din

perspectiva arcelor incidente interior fiecarui nodB

este convenabil citeodata sa se analizeze un numar de arce din

perspectiva arcelor incidente e,terior si un numar de arce din perspectiva

arcelor incidente interior sub conditia ca fiecare arc sa fie cercetat macar

o dataB

in toate situatiile graful de lucru trebuie sa fie orientat (si daca nu este prin

dublarea arcelor neorientate initial si inzestrea fiecaruia cu un sens

convenabil ales se poate transforma orice graf intr-unul orientat).

Date post:	01-Mar-2018
Category:	Documents
Upload:	danalexandrujoita
View:	214 times
Download:	0 times

4doi-organizare31-64

Documents