40486135-Camelia-Petrescu2

Camelia Petrescu

ELECTROTEHNICĂ

€JP TEHNOPRESS

1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1 Aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentraţi

1.2 Circuite şi semnale. Tipuri dc probleme Întâlnite în studiul

circuitelor electrice

1.3 Mărimi fizice utilizate în studiul circuitelor electrice

1.4 Clasificarea semnalelor electrice

1.5 Clasificarea circuitelor electrice

1.6 Regimuri de funcţionare ale circuitelor electrice

2. ELEMENTE DE CIRCUIT DIPOLARE

2.1 Elemente dc circuit pasive

2.1.1 Rezistorul

2.1.2 Bobina Ut M 3Hfcîî.i 3TIM30'2.1.3 Condensatorul

2.2 Elemente de circuit active

2.2.1 Generatoare independente

2.2.2 Generatoare comandate

3. TEOREMELE GENERALE ALE CIRCUITELOR

ELECTRICE

3.1 Teoremele lui Kirchhoff

3.2 Teorema lui Joubert

3.3 Teorema deplasării generatoarelor

3.4 Teorema superpoziţiei

3.5 Teorema reciprocităţii

3.6 Teoreme de transformare a schemelor circuitelor

electrice3.6.1 Gruparea elementelor pasive de circuit de acelaşi fel

3.6.2 Gruparea generatoarelor3.7 Teorema conservării puterii instantanee în reţele izolate

4. ELEMENTE DE ANALIZĂ TOPOLOGICĂ A

CIRCUITELOR ELECTRICE4.1 Graful topologic. Arbore, coarbore. buclă, secţiune

4.2 Matrici de incidenţă asociate grafului topologic. Forma matriceală

a teoremelor lui FCirchhoff

5. CIRCUITE REZISTIVE LINIARE5.1 Teoremele generale ale circuitelor electrice rezistive

5.2 Analiza circuitelor rezistive cu ajutorul teoremelor lui FCirchhoff

şi a teoremei lui Joubert5.3 Analiza cu ajutorul metodei curenţilor de buclă5.4 Analiza cu ajutorul metodei tensiunilor nodale

5.5 Circuite rezistive duale5.6 Liniaritatea, reciprocitatea şi superpoziţia în cazul

circuitelor rezistive liniare

5.7 Circuite rezistive tip uniport (circuite dipolare)

5.8 Teorema transferului puterii maxime între un uniport activ şi unul

pasiv

6. CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM PERMANENT

SINUSOIDAL

6.1 Semnale periodice şi semnale sinusoidale

6.2 Reprezentarea simbolică prin mărimi complexe

a semnalelor sinusoidale

6.3 Forma în complex a teoremelor lui FCirchhoff

6.4 Forma în complex a teoremei lui Joubert

6.5 Puteri în regim permanent sinusoidal

6.6 Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal

6.6.1 Dipolul RLC serie fără cuplaje magnetice

6.6.2 Dipolul FILC paralel fără cuplaje magnetice

6.7 Analiza circuitelor electrice liniare în reiîim

permanent sinusoidal

6.7.1 Analiza cu ajutorul teoremelor lui FCirchhoff şi a teoremei lui Joubert

6.7.2 Forma matriceală a teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert

.7.3 Analiza cu ajutorul metodei curenţilor de buclă .7.4 Analiza cu

ajutorul metodei tensiunilor nodale .8 Teorema conservării puterilor

în regim permanent

sinusoidal 124

7. CIRCUITE UNIPORT ÎN REGIM PERMANENT 131SINUSOIDAL

7.1 Uniporţi activi şi uniporţi pasivi 131

7.2 Teorema transferului puterii active maxime de la un

uniport liniar activ la un uniport liniar pasiv 137

7.3 Compensarea puterii reactive. îmbunătăţirea factorului

de putere 139

7.4 Circuite uniport funcţionând la rezonanţă 140

7.4.1 Circuitul RLC serie la rezonanţă 140

7.4.2 Circuitul RLC paralel la rezonanţă 146

7.5 Circuite uniport speciale utilizate în electrotehnică 149

7.5.1 Circuite uniport care furnizează curent invariabil în

raport cu impedanţa de sarcină 149

7.5.2 Circuite complet rezistive 152

7.5.3 C irc u i t e defazoare 153

7.5.4 Circuite divizoare de tensiune şi de curent 154

8. CUADRIPOLI DIPORŢI ÎN REGIM PERMANENT 157

SINUSOIDAL

8.1 Ecuaţiile şi parametrii cuadripolilor liniari, pasivi şi

reciproci 158

8.2 Determinarea parametrilor cuadripolilor 161

8.3 Impedanţe caracteristice şi impedanţe imagine 165

8.4 Cuadripoli echivalenţi şi scheme echivalente 168

8.5 Matricile cuadripolilor. Forma matriceală a

ecuaţiilor caracteristice 1708.6 Conexiunile cuadripolilor diporţi 171

8.7 Exponentul de transfer 1748.8 Lanţuri de cuadripoli 177

8.9 Filtre electrice de frecvenţă 178

8.9.1 Determinarea limitelor intervalelor de trecere pentrufiltre simetrice nedisipative 180

9. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE ÎN REGIM 184

PERMANENT SINUSOIDAL

9.1 Sisteme trifazate simetrice de mărimi sinusoidale ,85

9.2 Conexiunile sistemelor trifazate 187

9.2.1 Conexiunile generatoarelor 187

9.2.2 Conexiunile receptoarelor 1899.3 Circuite trifazate echilibrate cu cuplaje magnetice 195

9.4 Circuite trifazate complexe 197

9.5 Sisteme trifazate nesimetriee de mărimi sinusoidale. Teorema lui

Fortescue 204

9.6 Puteri în reţele trifazate 205 10. CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM

PERMANENT 208

PERIODIC NESINUSOIDAL

10.1 Analiza semnalelor periodice nesinusoidale 209

10.1.1 Dezvoltarea în serie Fourier a semnalelor

nesinusoidale 209

10.1.2 Seria Fourier complexă 214

10.1.3 Spectrul de frecvenţă al unui semnal periodic 215

10.1.4 Valori caracteristice ale semnalelor periodice 217

10.2 Puteri în regim periodic nesinusoidal 217

10.3 Toremele lui fCirchhoff în regim deformant 219

10.4 Teorema conservării puterilor în regim deformant 220

10.5 Circuite electrice liniare în regim permanent

periodic nesinusoidal 221

10.5.1 Elemente de circuit ideale pasive în regim deformant 221

10.5.2 Circuitul RLC serie in regim deformant 225

10.5.3 Analiza circuitelor liniare în regim periodic

nesinusoidal utilizând dezvoltarea în serie Fourier 226

11. CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU 233

11.1 Determinarea condiţiilor iniţiale de funcţionare. Teoremele de

comutaţie 234

11.2 Circuite liniare de ordinul unu în regim tranzitoriu 23611.2.1 Circuitul RL serie 23611.2.2 Circuitul RC serie 240

11.3 Circuite liniare de ordinul doi în regim tranzitoriu 243

11.3.1 Circuitul RLC serie 244

11.3.2 Circuitul RLC paralel

11.4 Analiza reţelelor electrice liniare cu ajuioru metodei variabilelor

de stare

11.5 Analiza circuitelor liniare în regim tranzitoriu cu ajutorul

transformatei Laplace

11.5.1 Transformata Laplace. Funcţii original şi funcţii

imag ine

11.5.2 Transformatele Laplace ale unor funcţii uzuale

11.5.3 Proprietăţile transformatei Laplace

11.5.4 Determinarea funcţiei original corespunzătoare unei funcţii

imagine date

11.5.5 Utilizarea transformatei Laplace în studiul unor regimuri

tranzitorii

11.5.6 Forma operaţională a teoremelor Iui Kirchhoff şi a teoremei lui

Joubert

11.5.7 Metoda operaţională de analiză a circuitelor liniare în regim

tranzitoriu

11.6 Metoda răspunsului tranzitoriu

11.6.1 Răspunsul circuitelor simple Ia excitaţie delta-unitate

11.6.2 Metoda răspunsului tranzitoriu la excitaţie delta-unitate

11.6.3 Metoda răspunsului tranzitoriu la excitaţie treaptă unitate

11.6.4 Utilizarea metodei răspunsului tranzitoriu în cazul circuitelor

cu condiţii iniţiale nenule

11.7 Funcţii de circuit

11.7.1 Polii şi zerourile funcţiilor de circuit

11.7.2 Funcţii de circuit în regim permanent sinusoidal. Transmitanţa

complexă

11.7.3 Utilizarea funcţiei operaţionale de transfer în studiul

stabilităţii circuitelor liniare

11.8 Metoda transformatei Fourier

11.8.1 Transfonnata Fourier

11.8.2 Transformatele Fourier ale unor funcţii uzuale

10

11.8.1 Proprietăţile transformatei Fourier

11.8.2 Utilizarea transformatei Fourier în analiza regimului

tranzitoriu

li! ELEMENTE DE TEORIA

ELECTROMAGNETIC

12.1 Regimurile câmpului electromagnetic

12.2 Mărimi electrice

12.3 Legile de stare ale câmpului electric

12.4 Măr imi magnetice

12.5 Legile de stare ale câmpului magnetic

12.6 Legile de evoluţie ale câmpului electromagnetic

12.7 Ecuaţiile Iui Maxwell

12.8 Metode de calcul a câmpului electric şi magnetic

12.9 Capacităţi electrice

12.9.1 Calculul capacităţilor electrice12.10 Inducti vităti

■

Bibtiosrafie

CÂMPULUI

308 313

313 314 321 323 324

326 333 334 340 341 343 349

PARTEA I

CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRI

CONCENTRAŢI

CAPITOLUL 1

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Circuitele electrice sunt sisteme fizice având rolul de a produce, transmite şi prelucra semnale electrice. Ele fac pane dintr-o clasă mai larga, cea a sistemelor electromagnetice capabile să producă, sâ transporte şi să utilizeze energia electromagnetică. în timp ce sistemele electromagnetice se studiază. în cazul cel mai general, utilizând legile electromagnetismului, care permit determinarea mărimilor de stare ale sistemului ca funcţii de punct şi de timp. circuitele electrice, în speţă cele cu parametri concentraţi, se caracterizează prin variabile de stare (mărimi electrice) care depind numai de timp. Atributul "parametri concentraţi" se referă la faptul că proprietăţile elementelor care compun circuitul (elemente de circuit) se presupun localizate, "concentrate". într-un punct, putând astfel să se facă abstracţie de forma şi dimensiunile acestora.

La polul opus se situează sistemele electromagnetice cu parametri distribuiţi, pentru care dependenţa mărimilor de stare de variabilele spaţiale nu poate fi neglijată.

în acest capitol se introduc mărimile fizice utilizate în studiul circuitelor electrice, se prezintă criteriul ce permite distincţia între sistemele electromagnetice cu parametri distribuiţi şi cei cu parametri concentraţi şi se prezintă o primă clasificare a circuitelor electrice.

1.1 APROXIMAŢIILE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE CU

PARAMETRI CONCENTRAŢI

Având în vedere faptul că circuitele electrice constituie o submulţime în mulţimea sistemelor electromagnetice, ele ar putea fi, în principiu, studiate, cu ajutorul legilor generale ale teoriei macroscopice clasice a electromagnetismului. Utilizarea acestor legi permite stabilirea

unor ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale, analiza sistemului necesitând soluţionarea acestora. Totuşi, o sene de ipote2e simplificatoare, perfect valabile în cazul c.rcu.telor cu parametri concentraţi, permit o analiza mai simpla, prin soluţionarea unor ecuaţii diferenţiale ordinare. Aceste ipoteze, stabilite prin particularizarea legilor generale ale electromagnetismului pentru cazul regimului cvasistaţionar. sunt prezentate în cele ce urmează.

1. Curentul de deplasare i p = — , unde T reprezintă fluxul

electric, este neglijabil peste tot. cu excepţia dielectricilor

condensatoarelor; aceasta înseamnă că circuitul nu radiază energie

electromagnetică în mediul înconjurător.

2. Câmpul magnetic este localizat în miezul bobinelor, iar

câmpul electric în dielectricul condensatoarelor: această ipoteză conduce,

de exemplu, la neglijarea capacităţii parazite dintre spirele învecinate ale

unei bobine.

3. Intensitatea curentului electric. /(/). ce intră în una din bornele

unui element de circuit, este egală cu intensitatea curentului ce iese din

cealaltă bornă la acelaşi moment f. Aceasta înseamnă că nu există efecte

de propagare a curentului şi a tensiunii în lungul conductoarelor. Absenţa

propagării este caracteristică, după cum se demonstrează riguros in

cadrul teoriei câmpului electromagnetic. [24]. [14], circuitelor a căror

dimensiune maximă, /, este mult mai mică decât cea mai mică lungime

de undă, L corespunzătoare celei mai înalte frecvenţe la care poate să

funcţioneze circuitul:

/«X.

(1.1)

Pentru circuite de dimensiuni uzuale (centimetri sau zeci de

centimetri) condiţia (1.1) este îndeplinită pentru frecvenţe situate in

domeniul audio, radio şi TV (/<lGHz).

4. Conductoarele se presupun filiforme, astfel încât să nu fie

necesar să se ţină seama de efectul pelicular, efect ce constă in

repartizarea curentului cu densitate variabilă în punctele secţiunii

transversale a conductorului. Astfel, în teoria circuitelor cu parametri

concentraţi nu se ia în calcul majorarea rezistenţei şi a inductanţei odată

cu creşterea frecvenţei semnalelor.

Capitolul 1

1.2 CIRCUITE ŞI SEMNALE. TIPURI DE PROBLEME

ÎNTÂLNITE ÎN STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE

Situaţia tipică întâlnită în studiul circuitelor cu parametri concentraţi este prezentată în Fig. 1.1. Circuitul are o pereche de borne de intrare , (a) şi (b), la care se aplică un semnal de intrare (sau de excitaţie), *(/), Ş> o pereche de borne de ieşire, (c) şi (d), unde se obţine semnalul de ieşire (sau semnalul răspuns), y ( t ) .

-O ic)

*C0semnal

de ieşire

-O (d )

Fig. 1 .1

în studiul unui circuit pot fi întâlnite două tipuri de probleme:

a) o problemă de analiză a circuitului, în cazul în care se cunoaşte

structura circuitului şi semnalul de excitaţie x ( t ) ;

b) o problemă de sinteză a circuitului dacă sunt cunoscute cele două

semnale x ( t ) şi_v(f) şi urmează să se stabilească structura circuitului.

1.3 MĂRIMI FIZICE UTILIZATE ÎN STUDIUL

CIRCUITELOR ELECTRICE

Mărimile electrice care caracterizează funcţionarea unui circuit sunt

tensiunea electrică şi intensitatea curentului electric.

După cum se cunoaşte curentul de conducţie se caracterizează cu

ajutorul mărimii scalare numită intensitatea curentului electric, /. Deoarece la

nivel microscopic circulaţia curentului este reprezentată de o deplasare a

purtătorilor de sarcină electrică, se poate spune că intensitatea curentului

(a ) O

semnal de intrare

( b ) O

18

inir-un conductor este egală cu sarcina electrică, q , ce traversează o secţiune

transversală a acestuia în unitatea de timp:

in schemele circuitelor electrice se adoptă in mod arbitrar un sens de

referinţă pozitiv pentru intensitatea curentului electric, simbolizai nrintr-o

săgeată ce indică sensul de deplasare al purtătorilor pozitivi de sarcină

electrică (Fig.1.2). O valoare negativă pentru intensitatea curentului indică

faptul că purtătorii de sarcină electrică pozitivă au sens opus faţă de sensul

de referinţă adoptat.

Capitolul 1

U DO

O (/,)

Fig. 1.2

in sistemul internaţional de unităţi (SI) unitatea de măsură pentm

intensitatea curentului electric este amperul (A). Acesta poate lua valori in

mulţimea numerelor reale, gama de valori extinzându-se de la pico-amperi la

kilo-amperi.

Tensiunea electrică. //. intre două puncte ale unui circuit reprezintă

energia. W, pe care o sarcină electrică pozitivă, q , egală cu IC, o primeşte sau

o cedează dcplasându-se între cele două puncte. Se poate scrie astfel că:

dW(1.3)

dq

Tensiunea electrică între două puncte A şi B se defineşte în mod

riguros în cadrul teoriei câmpului electromagnetic în funcţie de intensitatea

câmpului electric ( Fig. 1.3), cu ajutorul relaţiei:

B B

"AB = pB- t yp J£-<//cosa (1.4)

,n rc8'm «aţionar sau cvasistaţionar tensiunea electrică este egală cu diferenţa potenţialelor electrice ale celor două puncte:"A B = V K - V.. (1.5)

20

Fig. 1.3

Pentru indicarea sensului de măsurare a tensiunii se adoptă în

schemele circuitelor electrice, în mod arbitrar, un sens de referinţă

pozitiv marcat printr-o săgeată (Fig. 1.4). în cazul în care V A >V B

tensiunea este pozitivă, în caz contrar fiind negativă.

Unitatea de măsură pentru tensiune în SI este voltul (V).

Tensiunea ia valori în mulţimea numerelor reale, valorile întâlnite în practică

putând să se situeze de la jiV la sute de kV.

Deoarece sensurile de referinţă pozitive pentru tensiune şi pentru

curent se aleg in mod arbitrar, este posibil ca ambele semnale să aibă acelaşi

sens în raport cu bornele A şi B (Fig.l.5.a) sau, dimpotrivă, să aibă sensuri

opuse (Fig.l.S.b). Primul dintre aceste moduri de asociere a sensurilor de

referinţă poartă numele de regula de la receptoare, deoarece este specifică

unui receptor, iar cel de al doilea - regula de la generatoare, fiind specific

generatoarelor.

u

Circuit Circuitelectric electric

( a i (fa)Fig. 1 .5

u

Cu ajutorul celor două mărimi definite anterior, intensitatea

curentului electric şi tensiunea, se pot defini alte două mărimi electrice:

puterea instantanee şi energia electrică.Puterea instantanee, /?(/), pentru un circuit cu două borne de acces

se defineşte cu ajutorul relaţiei:

/>(>)="(/)•'(') C1-

6)

ă tensiunea şi curentul au sensurile de referinţă asociate după regula de la

receptoare, iar p(t)>0 circuitul absorbe putere pe la bornele de acces, în caz

contrar, p(/)<0, el cedând putere în exterior.Energia primită sau cedată de circuit în intervalul de timp (0,r)

este definită de relaţia:

A O

u

Fig. 1.4

B O

Capitolul 1t

W{ t )* \p { t ) &>

(1.7)o

Unitatea de măsură pentru putere este wattul (W), iar pcntru energie

joulul (J). Se observă că U=lW-ls. O unitate tolerată pentru energie este W h

sau kWh.

22

Capitolul 1

1.4 CLASIFICAREA SEMNALELOR ELECTRICE

în funcţie de modul de variaţie în timp. un semnal electric. .v(/). poate

fi:a) semnal continuu (invariabil în timp) (Fig. 1.6.a):

x{ t ) = X = const.;

(1.8)

b) semnal periodic de perioadă T:

x ( ( ) = x(l + T ) = x ( t ± n T ) . (1.9)

în Fig. 1.6 b...l.6.d sunt reprezentate câteva semnale periodice întâlnite

în elctrotehnică.

Un caz particular frecvent întâlnit în aplicaţii îl reprezintă semnalul sinusoidal

(Fig. 1.6.e):

x ( t ) = X m sin(co/ + 7) (1.10)

unde Xm este amplitudinea semnalului. a>=27t/T=27ţ/ este pulsaţia semnalului

([a)]=rad/sec), iar/este frecvenţa semnalului ([/]=s''=Hz).

c) semnal aperiodic. Principalele tipuri de semnale aperiodice ce

prezintă o deosebită importanţă în studiul circuitelor electrice sunt:- semnalul treaptă (Fig.lJ.a) definit de relaţia

0,/<0 xm , f > 0 ;

■

- semnalul impuls dreptunghiular de durată t (Fig. 1.7.b) definit prin

x ( t ) = (1.11)

23

Capitolul I

.rfimpuîracsau demn,*, (Fig...7.0

40 = 5(0 = joo.,-0' (1-13)

O alta modalitate de clasificare a semnalelor electrice are >m

■ a în care acestea pot lua valon. Asfcl. semnalele care polÎS S de valon se numesc semnale discr^

ZSZ nu-ncc, Ce.c mai frecvent întâlnite semnale discrete m

Sele binare, care pot lua numai doua valon, cărora h se pot asocia

valorile bg.ee OjM. ^ ^ ^ orice va,oarc inlervaI

din mulţimea numerelor reale se numesc semnale analogice.Circuitele in care toate semnalele sunt analogice se numesc circuite

analogice, iar circuitele care procesează numai semnale digitale se numesc

circuite digitale sau numerice.

1.5 CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE

O primă modalitate de clasificare a circuitelor electrice are in vedere numărul de borne de acces ale circuitului. Astfel, un circuit cu n borne de acces se numeşte multipol. Circuitul având rr^2 borne de acces se numeşte dipol sau uniport: cel cu n=4 borne de acces se numeşte cuadripol sau diport. Un circuit fără borne de acces se spune că este izolat galvanic faţă de exterior.

Un alt criteriu de clasificare are în vedere prezenţa sau absenţa generatoarelor (surselor dc energie electrică) în structura circuitului. Astfel, un circuit care conţine surse de energie se numeşte activ, un circuit fără surse este pasiv. Un circuit este fie generator de energie. în cazul în care furnizează energie pe la bornele de acces, fie receptor, când primeşte energie din exterior.

în sfârşit, circuitele electrice se pot clasifica după relaţia de

dependenţă dintre semnalele răspuns şi cele de excitaţie. Astfel, considerând

un element de circuit având semnalul de intrare x ( t ) şi cel de

25

http://bg.ee/

Noţiuni introductive

ieşire y ( t ) (Fig. 1.8). funcţionarea acestuia este caracterizată de o relaţie de forma:

y ( t ) = y (x { t ) , t ) .... (1.14)

numită ecuaţia caracteristică de yin >

funcţionare a clementului de circuit.

In cazul în care dependenţa între

semnalele y(t) şi .v(/) este liniară, cu o

constantă de proporţionalitate invariabilă

în timp. elementul de circuit este liniar şi neparametric, având o caracteristică

de funcţionare de forma (Fig.l.9.a):

y( t )=c - x ( t ) (i.i5)Elementul de circuit este liniar şi parametric (Fig.l.9.b) dacă are ecuaţia

caracteristică dc funcţionare de forma

' >>(/) = C(f)x(0, 0-16)

neliniar (Fig.l.9.c) dacă prezintă o dependenţă neliniară între .v(/) ş i y ( f ) de

forma:

MO = >'«')),respectiv neliniar şi parametric (Fig. 1.9.d). în cazul unei ecuaţii caracteristice

neliniare de forma (1.14).

A(0 Element di' circuit

Fig. 1.8

26

Noţiuni introductive

Un circuit electric care are în structura sa numai elemente liniare dc

circuit se numeşte circuit liniar. Un circuit care are cel puţin un element

neliniar este un circuit ncliniar. iar unul care are ,n structura sa elemente

liniare şi cel puţin unul parametric este un circuit parametric.

1.6 REGIMURI DE FUNCŢIONARE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE

După modul dc variaţie în timp a semnalelor într-un circuit electric

regimul său de funcţionare poate fi:

a) regim staţionar (sau de curent continuu) - este regimul în care toate

semnalele sunt invariabile în timp:

b) regim periodic sinusoidal - caracterizat dc faptul că toate semnalele din

circuit sunt funcţii sinusoidale de timp având aceeaşi pulsaţie w;c) regim periodic nesinusoidal - toate semnalele sunt periodice, dar nesinusoidale, de aceeaşi perioadă T;

d) regimul genera) variabil - este regimul în care semnalele electrice au un mod dc variaţie în timp oarecare;

27

Noţiuni introductivec) regimul tranzitoriu reprezintă un caz particular al regimului general variabil, apărând la închiderea sau deschiderea comutatoarelor sau la apariţia unor întreruperi sau scurtcircuite accidentale. Regimurile rranzitorii fac trecerea de Ia un regim permanent (de curent continuu sau periodic) la un alt regim permanent.

28

CAPITOLUL 2

ELEMENTE DE CIRCUIT DI POLARE

In acest capitol sunt prezentate elementele dc circuit dipolarc pasive şi active care intră în structura circuitelor cu parametri concentraţi. Pentru fiecare element de circuit se prezintă modelul său idealizat care ţine seama numai dc caracteristica sa fundamentală, neglijând unele aspecte secundare întâlnite în cazul elementelor reale. Astfel, se neglijează dc exemplu rezistenţa înfăşurării unei bobine şi capacitatea dintre spirele ei, inductanţa rezistorului. rezistenţa dc pierderi a dielectricului condensatorului, etc.

2. 1 ELEMENTE DE CIRCUIT PASIVE

2. 1 .1 Rezistorul

Rezistorul este un element de circuit a cărui ecuaţie caracteristică

de funcţionare se exprimă fie sub forma dependenţei tensiunii u( t ) de

curentul /(/):

fie a curentului dc tensiune:

J /(0='0<('V)- . A^ . (2.2)

în cazul rezistorului liniar neparametric ecuaţia caracteristica

devine:u( t ) = / ? ■ / ( / ) , i ( t ) = G u { t )

(2.3)

unde R reprezintă rezistenţa elementului de circuit, iar c7 = —

conductanţa sa. Unitatea de măsură pentru rezistenţă în SI este ohm (£2). iar pentru conductanţa siemens (S). Rezistanţa şi conductanţa unui rezistor liniar sunt întotdeauna pozitive , R>0. G>0, domeniul de valori

Capitolul 2

pen.ru R extinzându-se de te mft la tffe In cazul in care R=0. şi dCci

elementul reprezintă un scurtcircuit, realizând cond.ţ.a tt(,H

dacă i-«o ?i deci (7=0. elementul reprezintă o latură în gol (circuit

deschis) fiind realizată condiţia i(t)=0.Simbolul graflc utilizat în schemele circuitelor electrice pentru

rezistorul liniar este reprezentat în Fig.2.1 .a.Relaţiile (2.3) arată câ tensiunea şi curentul au aceeaşi formă de

undă în cazul unui rezistor liniar şi neparametric.

V

Puterea instantanee la bornele unui rezistor liniar este:

p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = R i 2 ( t ) = Gu 2 ( t ) (2.

fiind întotdeauna pozitivă. Rezistorul transformă energia electrică primită pe

la borne în energie termică.

4)

31

(b)

R

o-~T7-\O

(ci)

http://pen.ru/

Capitolul 2

Rezistam! liniar şi parametric are ecuaţia caracteristică: «(0 =

R { i )■ K t ) , respectivf(j) = G{ t )■ u { t ) şi simbolul grafic reprezentat în

Fig.2.l.b. Un exemplu de rezistor liniar şi parametric este potenţiomctrul.

Rezistorul neliniar, parametric sau neparametric, are ecuaţia

caracteristică de forma (2.1) sau (2.2) şi simbolul grafic din Fig.2.l.C sau

2.1.4 Dacă fiecărei valori a tensiunii îi corespunde o singură valoare

curentului pe caracteristica de funcţionare, se spune că rezistorul este cu

control în tensiune (Fig.2.2.a), ecuaţia caracteristică fiind de forma N(«> In

cazul opus. în care pentru fiecare valoare a curentului se obţine o singură

valoare a tensiunii, rezistorul este controlat în curent, iar ecuaţia

caracteristică este u=u{i) (Fig.2.2.b).

32

Elemente de circuit dipolare

Fig. 2.2

Ca exemple de rezistoarc neliniarc se pot menţiona: dioda cu joncţiune, dioda Zener, dioda cu gaz, tubul cu fir incandescent, varistorul (care este un rezistor controlat în tensiune); termistorul. a cărui rezistenţă variază cu temperatura, şi arcul electric sunt rezistoare neliniare variabile în timp (parametrice).

2.1.2 Bobina

Bobina fără cuplaje magnetice are ecuaţia caracteristică de funcţionare;

<D(0 = *(/(/),') (2.5)

unde <!' reprezintă fluxul magnetic prin suprafaţa tuturor spirelor bobinei

produs de curentul /(/) din bobină.

Tensiunea la bornele bobinei este, conform legii inducţiei

electromagnetice:

w(0*^r- (2.6)d/

Bobina liniara şi neparametică, iară cuplaje magnetice, cu simbolul

grafic din Fig.2.3.a, are ecuaţia caracteristică:

(D(/) = L/(0 (2.7)

unde L reprezintă inductivitatea proprie a bobinei. în cadrul Teoriei câmpului

electromagnetic se demonstrează faptul că inductivităţile proprii sunt

33


întotdeauna pozitive [11], [20]. Unitatea de măsură pentru L este henry

(II).Tensiunea la bornele bobinei liniare şi neparametrice este.

34

(a)

conform (2.6) şi (2.7):

(2.8)

iar curentul are expresia:I

i ( t ) = j |w(/)d/.—X

Puterea instantanee la bornele bobinei are expresia:

/> ( ' ) = " ( ' ) • K t ) = L i { t )—

iar energia acumulată până la momentul / in câmpul magnetic al

bobinei este:

TO= j>)d/ = |l/(/)| = ^ > 0 . (2.,,)

Bobina liniara şi parametrica are ecuaţia caracteristică

O(/)=X(0-/(0

(2.12)

/.(/) este inductivitatea parametrică (variabilă în timp). Tensiunea

la bornele acestei bobine, cu simbolul grafic din Fig.2.3.b, are expresia:

d t d t(2.13)

O bobină al cărei miez magnetic liniar se deplasează este o bobină liniară şi

parametrică.Fig. 2.3

Bobina neliniară are ecuaţia caracteristică de forma (2.5) şi simbolul

grafic din Fig.2.3.c. Bobinele neliniare au miezuri din materiale feromagnetice

a căror comportare neliniară determină şi neliniaritatea caracleristicii flux-

unde

(b) (c)

curcnt. în cazul bobinelor cu miez realizat din materiale feromagnetice moi (cu

ciclu dc histerezis foarte îngust) caracteristica (/) este de tipul celei din

Fig.2.4.a; în cazul unei bobine cu miez feromagnetic dur (cu ciclu de histerezis

lat) caracteristica 0(2) este reprezentată în Fig.2.4.b.


Fig. 2.4

Bobina cu cuplaje magnetice se află suficient de aproape de alte bobine,

astfel încât curenţii din acestea, i \ ( t ) y . . . //.(/), să producă un flux magnetic prin

suprafaţa bobinei în cauză; în acest fel fluxul magnetic <l>* ce străbate spirele

bobinei A* depinde de toţi curenţii /i(/)....//X/):

(/) = O, (ij (f)V»,<* ( t U J i ('))• (2.14)

Dacă bobinele sunt liniare şi neparametrice, imobile una faţă de alta, atunci

fluxul magnetic total * este o sumă algebrică a fluxurilor magnetice

produse de curenţii /,(/):L i

^(o=^^(0=X^/y(/)* (2'15)

Mărimea Lkj , din relaţia (2.15) reprezintă inductivitatea mutuală dintre

bobinele A' şi j . Se observă că inductivitatea mutuală se poate defini cu

ajutorul relaţiei:

d>

t K ± j (2.16)

i r = 0 , P = ) , L . p * j

ceea ce înseamnă că Lş reprezintă raportul dintre fluxul magnetic produs de

curentul din bobina;' prin suprafaţa bobinei k şi intensitatea curentului

, din 1 bdbinc tund nuli. Se poate demonstra faptul ca

r ST[20].iri

,e curenţilor şi de modul de realizare .

(a)

Elemente de circuit dipolarer ^561^ Lgneticc produse dc curenţiitoftşoiarilot bobinelor ^ nuxu, etic propriu ^■ Z k ( t ) se pot aduna sau . ^ fluxu,ul magnetlc ^ fe

de i. Pentru a pred» D ^ conccntraţi bornele bobinelorschemele circuitelor clean sau cu punct). Dacă cei

se polarizează (se inarchcaw ^ ^ po,anzale (ambu ^doi curenţi âC nuxun magnetice se adună, tar cuplajul sau ambii ^s) cele două - ^ ^ ^ ^ , lcsc dm

--etic este * ^c c„t, se scade din fluxul magnet,

Capitolul 2

Fig. 2.5

<W = L k < k +

L k j > j Qj=Lj i j

+ Lyik

cuplaj aditiv

<f>* - vvQj=Lj i j~L v i k

cuplaj diferenţial

2.1.3 Condensatorul

Condensatorul având tensiunea la borne u( i ) şi sarcina q (< ) are

ecuaţia caracteristică:

q ( l ) = q (u ( t ) , t ) sau u( t ) = u (q ( t )J ) ■ ( 1 ..

Curentul absorbit de condensator este, conform legii consen sarcinii

electrice:

dq

(2.18)

d/

39

(b) ' :(a)

(O

Capitolul 2

Condensatorul liniar şi neparametric, având simbolul grafic din Fig.2.6.a, este caracterizai de ecuaţia;

9(/) = C.«(/) ht »m +m (2.19)

unde C reprezintă capacitatea condensatorului: unitatea dc măsura pentru

capacitatea electrică în SI este faradul (F). Intensitatea curentului electric în

acest caz este:

dl di' (2.20)iar tensiunea se poate scrie sub forum:

(2.21)

-a:

Puterea instantanee la bornele condensatorului liniar neparametricare expresia:

p { , ) = „(,) . /( /) = CH(0~.d/

(2.22)

Condensatorul liniar şi parametric cu simbolul grafic din Fig,2.6.b are

ecuaţia caracteristică :

9(0 *C(/) •«(/) . (2.23)

C ure n lu ) absorbit de acesta va fi:du dCi ( t ) = C ( t )~ + «(0 —d/ d l

(2.2

Un condensator ale cărui armături sau izolaţie se deplasează este u exemplu

de condensator parametric.

Condensatorul neliniar, având simbolul grafic din Fig.2.&£, prezintă

un diclecirk neliniar între armături, ceea ce determina o caracteristică

neliniară sarcină-tensiune, descrisă de ecuaţia (2.17).Fig. 2.6

40

(b)(a)

Generatorul real de tensiune (Fig.2.8.a) prezintă o rezistenţă internă R,

astfel încât tensiunea la bornele sale are expresia:

2.2 ELEMENTE DE CIRCUIT ACTIVE

2.2.1 Generatoare independente

Generatorul ideal independent de tensiune este un element

circuit care furnizează o tensiune ce nu depinde de curentul debitat ^

generator. Ecuaţia caracteristică a acestui element este: 2! ^

u{ t ) = e ( t ) , V/(/) ,

unde e ( t ) reprezintă tensiunea electromotoare a generatorului Simbol* | grafic şi caracteristica de funcţionare în pianul (/, u) sunt reprezentate' Fig.2.7.

t

«(/)

e( t)

(a) 0 (b)Fig. 2.7

Caracteristica dc

funcţionare a acestui

generator este

reprezentată în Fig.2.8.b.

Se observă că t1/,(t

generatorul real de

tensiune se apropie cu

atât mai mult de un

generator ideal cu cât rezistenţa sa interna este mai mică. în cazul

generatorului ideal rezistenţa internă este nulă, /?f=0.

Generatorul ideal independent de curent având simbolul grafic din

Fig.2.9.a furnizează un curent ig(t) ce nu depinde dc tensiunea la bornele sale.

Ecuaţia caracteristică a generatorului ideal dc curent este:

i ( t ) = i g ( t ) , VM(0, (2.27)

iar caracteristica de funcţionare este reprezentată în Fig.2.9.b.

u

ni l )/,(0

1

o(a ) (b)

Fig. 2.9

Generatorul real de curent (Fig.2.10.a) prezintă o conductanţa internă

G f= \ /R i astfel încât curentul debitat, are expresia:/(0='g(')-C/"C). (2-28)

Caracteristica de funcţionare a generatorului real de curent este reprezentată

în Fig.2.10.b. Se observă că un generator real de curent se apropie cu atât

mai mult de unul ideal, cu cât conductanţa sa internă este

mai mică (rezistenta internă este mare). In cazul generatorului jd

curent GfO (*,—»). °a| ^

în analiza circuitelor electrice este de multe ori utj|

substituie un generator real de tensiune printr-o schemă echivalentă !f *generator real de curent, sau invers, tensiunea şi curentul râm-

neschimbate în umia acestei înlocuiri. Pentru a stabili relaţiile r i " '

parametrii celor două scheme (Fig.2.8.a şi Fig.2.I0.a) se c '"^

tensiunea //(/) din relaţia (2.28) cu ajutorul relaţiei: ' Pnmă

^f-fô-m, (,29)

Comparând această relaţie cu relaţia (2.26) şi identificând termenii se

obţine relaţia de echivalenţă dintre generatorul real de tensiune şi Cc| real

de curent:

e(/) = /?,/*(') sau i s (0 = G i e ( t ) .2.2.2 Generatoare comandate

Sursele comandate de tensiune, respectiv de curent, intervin în modelarea funcţionării unor circuite sau a unor elemente de circuit având o structura compiexă. în toate variantele posibile, generatoarele comandate furnizează o tensiune, respectiv un curent, care depind (sunt comandate) de tensiunea sau curentul dintr-o altă latură a circuitului. Astfel, există patru tipuri dc generatoare comandate:a) generator de tensiune comandat in tensiune (Fig.2.11.a) avândecuaţia caracteristică:

In cazul unei comenzi liniare aceasta relaţie devine:

e k ( t ) = o . t j - U j ( t ) , (2.32)

unde at, este un coeficient adimensional de transfer în tensiune;

b) generator de tensiune comandat in curent (Fig.2.11 .b)

u k ( t ) = e k ( i j ( t ) ) ; (2.33)

în cazul în care comanda este liniara relaţia (2.33) devine:

et(,) = V',0. (134)

unde Ih, are semnificaţia unei rezistenţe dc transfer între laturile j şi k\c) generatorul de curent comandat in tensiune (Fig.2.1 l.c) are ecuaţiacaracteristică:

ik(0= i g t (U j ( t ) ) : ' (2.35)

Pentru cazul unei comenzi liniare relaţia precedentă devine:'*.(') = <V

W;(0, (2.36)

unde Gk} reprezintă conductanţa dc transfer între laturilej şi Ar,d) generatorul de curent comandat in curent (Fig.2.ll.d) furnizeazăcurentul:

(',(0) ' (2-37)

sau, pentru generatorul cu comandă liniară:

''«4(') = P<rO(')' (2.38)

unde fhj este un coeficient adimensional de transfer în curent.

Sursele comandate pot fi considerate clemente de circuit de tip diport, cu patru borne de acces: două la care se aplică mărimea de comandă şi două de la care se culege semnalul de ieşire (comandat).

TEOREMELE GENERALE ALE CIRCUITELORELECTRICE

in acest capitol se prezintă principalele teoreme care permit analiza,

respectiv transformarea schemelor circuitelor electrice în vederea

simplificării analizei lor.

3.1 TEOREMELE LUI KIRCHHOFF

Prima teorema a lui Kirchhoff. teorema de curenţi, (TKT) reprezintă

o particularizare a legii conservării sarcinii electrice pentru cazul regimului

cvasistaţionar [11], [20]. Se consideră un nod, (a), al unei reţele electrice şi

o suprafaţă închisă, I. ce îl înconjoară (Fig.3.1). Suprafaţa I intersectează

toate laturile circuitului incidente nodului (a), fără a trece prin dielectricii

condensatoarelor. Deoarece sarcina electrică nu se poate acumula în nodul

(a), curentul de conducţie total prin suprafaţa S este nul:

(3.1)

astfel încât suma algebrică a valorilor instantanee a l e c t t r e n f io r h din

laturile incidente nodului (a) al circuitului este nulă:

Teoremele generale ale circuitelor electrice

(3.2)

Relaţia (3.2) reprezintă prima teoremă

a lui Kirchhoff fiind valabilă în orice regim de

funcţionare al circuitului electric. Notaţia k e

(a) din relaţia (3.2) se interpretează sub forma

"latura k este incidenţă nodului (a)". în

scrierea sumei algebrice din relaţia (3.2) se

considera, în

47

Fig. 3.1

mod convenţional, curenţii care ies din nod cu semnul plus, iar cei care intra in nod cu semnul minus.

A doua teoremă a lui Ktrchhoff% teorema de tensiuni (TKII) este o

consecinţă a legii inducţiei clectomagneticc scrisă pentru cazul regimului

cvasistaţionar [11], [20], Se consideră un ochi sau buclă, [v], a circuitului şi

o curbă închisă. T, trasată de-a lungul laturilor k incidente acesteia, A* e[v]

(Fig.3.2). Deoarece în regim cvasistaţionar tensiunea electromotoare

indusă pe conturul V este nulă, câmpul magnetic fiind localizat numai în

miezul bobinelor, rezultă că suma algebrică a valorilor instantanee ale

tensiunilor, Uh Ia bornele laturilor incidente buclei [v], este nulă:

Relaţia (3.3) reprezintă a doua

teoremă a lui Kirchhoff fiind valabilă pentru

orice regim de funcţionare a circuitului. In

scrierea sumei algebrice din relaţia (3.3) se

iau cu semnul plus tensiunile al căror sens

de referinţă pozitiv coincide cu sensul de

parcurs al buclei V şi cu semnul minus

tensiunile care au sens de referinţă opus.

Se poate observa că cele două teoreme ale lui Kirchhoff reflectă doar

topologia reţelei (modul de interconectare între ele a laturilor), fiind

independente de natura elementelor de circuit care intră în compunerea lor.

3.2 TEOREMA LUI JOLJBERT

Se considera o latură a unui circuit electric formată dintr-un rezistor,

o bobină fără cuplaje magnetice, un condensator şi un generator ideal de

tensiune conectate în serie (Fig.3.3). Scriind teorema de tensiuni pentru

conturul inchis T se obţine:

(3.3)


inlKuind «-* K0SiUni

s L d± . U c = ± J/(/)d/; = -e(/). seobţine: df' ^ _»

+ 1 f ,-(Odr-c(0-CC

Ecuaţia (3.4) exprimi relaţia

dintre tensiunea şi curentul

corespunzătoare

unei laturi R-L-C seric

active, fară cuplaje

magnetice, şi poara

numele de ecuaţia ki

Joubert. Relaţia (3.4} ■ fa bornele laturii R-L-C serie este egală

cu suma arată că tensiunea ta ^ rezistivă căderea de tensiune inductivi.

3.3 TEOREMA DEPLASĂRII GENERATOARELOR

Un generator ideal de tensiune se poate deplasa trecând printr-un

nod al unui circuit electric conform următoarei teoreme: tensiunile f i

curenţii in laturile unei reţele electrice nu se modifică dacă se introduc, in

serie cu toate laturile conectate la un nod al reţelei, generatoare ideale de

tensiune având aceeaşi tensiune electromotoare, e(t), şi aceeaşi polaritate

faţă de nod (Fig.3.4).

= R i ; " lu

49lor la bornele elementelor de c'rcui

i

(3.4,

Fig. 3.3

Demonstraţia teoremei este evidentă: prin conectarea acestor

generatoare suplimentare expresia teoremei dc tensiuni în buclele formate

cu câte două din laturile incidente nodului nu se modifică (apar termeni

de forma +e(r)-e(r)). Astfel de la o schemă de tipul celei din Fig.3.4.a se

ajunge la schema din Fig.3.4.c.

Un generator ideal de curent se poate deplasa într-o buclă a unui

circuit electric conform următoarei teoreme; tensiunile şi curenţii în

laturile unei reţele electrice nu se modifica, dacă se conectează in paralel cu

toate laturile incidente unei bucle a circuitului, generatoare ideale de curent

având acelaşi curent şi acelaşi sens în raport cu sensul de parcurs al buclei

(Fig.3.5).

Fig. 3.4


Demonstraţia este evidentă dacă se ţine seama de faptul că

ecuaţiile obţinute prin scrierea primei teoreme a lui Kirchhoff rămân

neschimbate (apar termeni de forma fg(*)). In acest mod se trece

de

la o schemă de tipul celei din Fig.3.5.a la schema echivalentă din

Fig.3.5.c.

3.4 TEOREMA SUPERPOZIŢIF.I

51

in circuitele electrice liniare, datorită liniarităţii ecuaţiilor obţinute

prin scrierea teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert este

valabil principiul superpoziţiei având următorul enunţ: semnalul răspuns,

tensiune sau curent, obţinut atunci când in circuit acţionetca simultan mai

multe semnale de excitaţie, este egal cu suma semnalelor răspuns obţinute

atunci când semnalele de excitaţie acţionează separai.

Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe liniaritatea sistemului

de ecuaţii obţinut cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui

Joubert, precum şi pe posibilitatea de a exprima soluţia sistemului ca°

combinaţie liniară a semnalelor de excitaţie. Detaliile demonstraţii

vor putea fi prezentate după discutarea pe larg a metodelor de analiză

aplicabile în diverse regimuri de funcţionare ale reţelelor electrice.

3.5 TEOREMA RECIPROCITĂŢII

Se consideră două laturi distincte /' şi j ale unui circuit electric.

Enunţul teoremei reciprocităţii este următorul: semnalul răspuns într-o

latură i a circuitului, atunci când semnalul de excitaţie acţionează in latura

j , este egal cu semnalul răspuns obţinut în latura j atunci când sursa de

excitaţie acţionează în latura i, restul circuitului fiind pasiv sau pasivizat.

Circuitele liniare rezistive satisfac teorema reciprociăţii,

demonstraţia urmând a fi prezentată în Capitolul 5.

3.6 TEOREME DE TRANSFORMARE A SCHEMELOR


3.6.1 Gruparea elementelor pasive de circuit de acelaşi fel

a) Gruparea rezistoarelor


Gruparea serie se caracterizează prin faptul că acelaşi curent, /

(/), străbate toate elementele de circuit. în cazul a n rezistoare liniare

conectate în serie (Fig.3.6) teorema de tensiuni conduce la:

u(t) = », (0 +... + u„ a ) = /?,/(/) + ..jyco = i(0% * k = R e - K t ) •

astiel încât cele n rezistoare înseriate pot fi înlocuite cu unul singur având

rezistenţa:

53

Re

U

Gruparea paralel

aceeaşi tensiune Ia borne, //(/). Cosiderând

G„ conectate în paralel (Fig.3.7) şi scriind prima teoremă a lui Kirchhoff se

obţine:

/(/) = /, (/) +... + /„(/) = G,w(/) +... +

11

Astfel grupul paralel se poate substitui printr-un singur rezistor având conductanţa echivalentă:

Fig. 3.6


respectiv rezistenţa echivalentă:

R . .=I

(3.7)

55

Capitolul 3

Gruparea mixtă este o grupare reductibilă la o secvenţă de grupări

serie şi paralel. în cazul rezistoarelor liniare rezistenţa echivalentă a

grupării se obţine prin utilizarea în mod adecvat a relaţiilor (3.5).... (3.7).

Dc exemplu, pentru gniparea mixtă din Fig.3.8 rezistenţa3—O

echivalentă este:

R - (R i +Wf iy' R\ + ^2 + ^3

Gruparea complexă este o grupare ireductibilă la o secvenţă de

grupări serie şi paralel. Pentru determinarea rezistenţei echivalente în cazul

unei grupări complexe de rezistenţe se apelează la teorema transfigurării

stea-triunghi.

Considerând trei rezistenţe R\ . R j cu conexiunea în stea

(Fig.3.9.a) se urmăreşte să se determine expresiile rezistenţelor R\2, R23 ,

/?3i ce formează un triunghi conectat între aceleaşi noduri (1), (2) şi (3).

(Fig.3.9.b). O lrtuuirs<*9R vwm

( i ) o ( D

Cele

două

grupări

sunt

echivalente

dacă prin

substituirea uneia cu cealaltă tensiunile şi curenţii rămân neschimbate în

circuit. Se consideră cazul particular în care alimentarea se realizează

succesiv pe la bornele (l)-(2), apoi (2)-(3) şi în final (3)-(l). atât pentru

configuraţia din Fig.3.9.a cât şi pentru cea din Fig.3.9.b. cea de a treia

bornă rămânând în fiecare caz în got Deoarece la aplicarea tensiunii U curentul absorbit. /. trebuie sa aibă aceeaşi valoare în ambele cazuri,

urmează că rezistenţa

R-

R.

R. Fig. 3.8

O C)

echivalentă faţă de perechile de borne considerate trebuie să aibă aceeaşi

valoare în cele trei situaţii. Se pot astfel scrie relaţiile:r _g i ; <* 3 ,+* M )

«12 + /*23 + A 3 I

*„(* , 2 +* a )

Prin rezolvarea sistemului algebric liniar (3.8) în raport cu necunoscutele R\.

R2, /?3, se obţin relaţiile de transfigurare triunghi-stea (notate uneori A-*Y)

pentru rezistenţe:

/Jjj " /?23 n ^31 * ^23

« i 2 + « 2 3 + « 3 .

(3.9)

Rezolvând sistemul algebric (3.8) în raport cu R12, «23 şi «31 se obţin

relaţiile de transfigurare stea-triunghi (Y—»A):

_ R l R 2 +R 2 R i + R 3 R ]

2 3 = «/ •R ţR - , + R - ,R y + R - ţR j

/j) Gruparea bobinelor

Gruparea serie

Se consideră n bobine conectate în serie, lipsite de cuplaje magnetice, având inductivităţile L,,... /.„ (Fig.3.I0). Scriind teorema a doua a lui Kirckkoff se obţine:

d/ "d/ "d; *d/

"i: + «23 + «31 31

«12 =

( 3 . 1 0

Rezultă că gruparea serie se poate substitui cu o singură bobină având

Teoremele generale ah- circuitelor electrice 59tensiunea la borne //(/) = L^-. a cărei inductivitate va fi deci'

d/

(3. 1 1

< = >U

1

Fig. 3.10

Gruparea paralel

Se consideră /; bobine de inductivităţi L \ , . . .M n legate în paralel şi lipsite

de cuplaje magnetice (Fig.3. 1 1 ) . Scriind prima teoremă a lui fCirchhoff

se obţine:

Fig. 3. 1 1

;(0 = /i(/) + .../II(0 = -^ fw(/)d/ + + fw(/)d/ = ^-p- t(0d/. Urmează că

gruparea paralel se poate substitui cu o singură bobină pentru care se poate

scrie relaţia /(/) = j J«(0* astfcl »ncâl inductivitatea- /

echivalentă va fi:

Capitolul 3(3.12;

c> Gruparea condensatoarelor

Gruparea serie

Se consideră /; condensatoare de capacităţi C,,...C„ conectate în seric

(Fig.3.I2). Utilizând a doua teoremă a lui KirchhofTse poate scrie reiaţi;

U ( i ) = u y ( t ) + ... + u n ( t ) = -^- f/(/)d/ + ... + ■— f/(/)d/ = £

Gruparea se poate substitui cu un singur condensator de capacitate C

lC

-x

încât, deoarece în urma substituţiei tensiunea şi curentul rămân neschimbate,

capacitatea echivalenta a grupării serie este:

1 7****—*-; (3.13)

,. Q C:

I I ■>

Cn

-------II—o <=

Fig. 3 .12

CC

pentru care relaţia dintre tensiune şi curent este !/(/)=— ['(0d/. astfel

C =

60

Capitolul 3Jn cazul n=2 se obţine C = ■ 1 2

c1 +

c2-

Gruparea paralel

Se considera „ condensatoare conectate în paralel având capacităţile C" (F'g-3-13)- Scriind prima teoremă a lui KirchhofT se obţine:

/ v ) = / I ( / ) + . . . + / ^ o = c l ^ + . . . + c „ ^ = y C i . Â l i—t * A t

Gruparea se poate substitui cu un singur condensator pentru care relaţia

dintre tensiune şi curent este i ( t ) = C ~ , astfel încât capacitateaQt

d t

61

echivalentă a grupării paralel este:

Fig. 3 .13

(3.14)

este reductibilă la o secvenţă dc grupări serie şi

este ireductibilă la o secvenţă de grupări serie şi

paralel; în acest caz pentru determinarea capacităţii echivalente se utilizează

relaţiile de transfigurare stea-triunghi pentru condensatoare. Se consideră trei

conectate în stea, (Fig.3.15.a) şi, respectiv,un grup

conectate în triunghi între aceleaşi borne

etnce 62

Capitolul 3

Cele două grupări sunt echivalente dacă, prin substituirea uneia cu

cealaltă, tensiunile şi curenţii (sau sarcinile) absorbiţi prin bornele de acces

rămân neschimbate. Pentru gruparea având conexiunea în stea s pot scrie

relaţiile:

<1\ a 2

"31 = » 3 - » l =

3 C,

j

Rezolvând acest sistem algebric liniar în raport cu necunoscutele q\. qz,

qirezultă: ,,- ----------------*— I

, etc. (3.15) ;"12 "

C,+C2+C

3 ~ c

1 +c ,

+c

3

C:

U1\ =C,C2 c,c3

31

63

Fig. 3.15

Capitolul 3Pentru gruparea în triunghi se poate scrie că sarcina absorbită prin nodul

(1). de exemplu, este suma sarcinilor absorbite de cele două condensatoare

conectate în acest nod:

A\ = <?P_ - ?3i = Cuttn - Cj,H 3,. (3.16)

Identificând coeficienţii ce apar în relaţiile (3.15), (3.16) se obţin relaţiile de

transfigurare stea-triunghi pentru condensatoare:

Rezolvând sistemul (3.17) în raport cu necunoscutele C u C2, C3 se obţinrelaţiile de transfigurare triunghi-stea pentru condensatoare:

r _ C ] 2 C^ + C 2 3C3I + CuCr>u,-------------------------------------

C23

c2 = c»^23^c23c3l+c3,c l? (3 j g )C3I

Q _ ^12^23 + Q 3 C 3| +C 3| C |2

3" C, 2

3.6.2. Gruparea generatoarelor

Gruparea generatoarelor ideale

Generatoarele ideale de tensiune se pot conecta tară nici o restricţie în

serie. De exemplu, scriind teorema a doua a lui Kirchhoff pentru circuitul din

Fig.3.16.a, se obţine:

/<(/) = //,(/)+ //2(/)... + //n(0 = -e,(/) + (?2(/)-...-(?n(0, şi, deoarece pentru

generatorul echivalent u{ t )=—e ( t ) , se deduce că

e ( t ) = e, (/) - e2 ( t ) + . . . + en ( t ) , (3.19)

ceea ce mscamm că tensiunea electromotoare a generatondui echivalent este egală

cu suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor inseriate.

Generatoarele ideale de tensiune se pot conecta în paralel numai dacă

toate debitează aceeaşi tensiune electromotoare şi au aceeaşi polaritate faţă de

bornele de acces (Fig.3.16.b): această restricţie este impusă dc faptul că fiecare

generator trebuie să satisfacă ecuaţia u i t ) = -e( t ) . Grupul paralel se poate astfel

substitui cu un singur generator

64

Capitolul 3având tensiunea electromotoare e ( t ) .65

Capitolul 3

"2

(a)

e o

(b)

Fig. 3 .16

Generatoarele ideale de curent se pot grupa fară restricţii în paralel.

Scriind prima teoremă a Iui Kirchhoff pentru circuitul din Fig.3.l7.a se obţine:

i ( t ) = i ^ { t ) - i g ^( t ) + . . . + i g (/), încât gruparea se

66

ti

Capitolul 3

e

67

Fig. 3.17


poate substitui cu un generator ideal care debitează curentul i ( t )= i K ( t ) având expresia:

''«(0 = /,I(/)-/g;(0 + ..^/^(0. (3.20)

Gruparea seric a generatoarelor ideale de curent se poate realiza numai

dacă acestea debitează acelaşi curent în acelaşi sens (Fig.3.17.b). întreaga

grupare poate fi înlocuită cu un singur generator care furnizează curentul i ( t ) =

i g ( t ) .

Gruparea generatoarelor reale a) Gruparea serie a generatoarelor reale de

tensiune

Considerând n generatoare reale de tensiune conectate în scrie (Fig.3.18.a)

şi scriind teorema dc tensiuni se obţine :

Gruparea se poate înlocui cu un sigur generator real de tensiune (Fig.3.18.b)

pentru care u( t ) = R i ( t ) - e(0 • Se deduce astfel că parametrii generatorului

echivalent sunt:

(3.21)

Fig. 3.18


b) Gruparea paralel a generatoarelor reale de curent Considerând n generatoare

reale de curent conectate în paralel (Fig.3.19.a) şi scriind a doua teoremă a lui

Kirchhoff se obţine:

/ ( , ) = G M < ) * <'> + ~ + G "" ( , ) + ^ '

=v Gku{t)(o

Pentru generatorul de curent echivalent (Fig.3.19.b) relaţia curent-

tensiune este i ( t ) = G u{ t ) + /„(/) , astfel încât se deduc parametru schemei

echivalente:

(3.22)

Fig. 3 . 1 9

c) Gruparea paralel a generatoarelor reale de tensiune Pentru a găsi generatorul

echivalent a /; generatoare reale de tensiuni conectate in paralel (Fig.3.20.a) se

utilizează teorema echivalenţei dintre un generator real de tensiune şi unul real de

curent: schema din Fig.3.20.a

Rk

devine astfel de tipul celei din Fig.3.19.a, unde i K i ( t ) = G t e k ( , t ) =

G

Făcând apel la rezultatele obţinute la punctul precedent, urmează că gruparea

iniţială se poate înlocui cu un singur generator real de curent (Fig.3.20.c), având

parametrii:

respectiv cu unul real de tensiune (Fig.3.20.b), având parametrii:

O

neratoare reale de curent conectate în seric (Fig.3.21 .a) şi

substituind fiecare dintre acestea cu unul real de tensiune, se ajunge la schema

din Fig.3.18.a. Circuitul astfel obţinut poate fi înlocuit cu un generator real dc

(3.25)

G

I—I

(b)

(c )

';

(3.2

(b) <c)

Fiu. 3. 2»

3.7 TEOREMA CONSERVĂRII PUTERII INSTANTANEE î REŢELE

IZOLATE

Se consideră un circuit electric cu / laturi, izolat galvanic ş magnetic

faţă de exterior, pentru care tensiunile şi curenţii dc latură a sensurile asociate

după regula de la receptoare. O serie dc laturi, pen care puterea instantanee la

borne,pt(/) = wt(/)/fc(/)>0, sunt receptoare,

iar altele, pentru care p k ( t ) < 0 9 sunt generatoare, astfel încât, în

ansamblu, suma algebrică a puterilor instantanee este nulă. circuitul fiind izolat faţă de exterior

(/)^(/)=0-

Relaţia (3.27) reprezintă teorema conservării puterilor instantanee îreţele izolate, fiind valabilă atât pentru circuite liniare, cât şi ncliniare sa

CAPITOLUL 4

ELEMENTE DE ANALIZĂ TOPOLOGICĂ A


Analiza unui circuit electric presupune, aşa cum s-a menţionat în capitolul introductiv, cunoaşterea structurii sale şi a valorii semnatelor dc excitaţie ca funcţii de timp. Structura circuitului este reflectată, pc de o parte, dc modul de interconectare între ele a laturilor (adică de topologia reţelei), şi, pc de altă parte, de cunoaşterea ecuaţiilor caracteristice de funcţionare ale

4.1 GRAFUL TOPOLOGIC. ARBORE, COARBORE, BUCLĂ,SECŢIUNE

Unui circuit electric având / laturi şi n noduri i se poate asocia în mod

unic un graf orientat numit graf topologic sau graf de incidenţă după următorul

procedeu: fiecărei laturi din circuit i se asociază în graful topologic un arc

orientat în sensul de referinţă al curentului din latură. Graful astfel obţinut are

de asemenea / laturi şi n noduri reflectând topologia circuitului, dar făcând

abstracţie de natura elementelor de circuit care îl compun.

Considerând, spre exemplu, circuitele din Fig.4.1.a şi 4.1.c, grafurile

topologice asociate acestora sunt reprezentate în FigAl.b, respectiv Fig.4.1 .d.

Se observă modul de numerotare a nodurilor ((I), (2), etc), precum şi

numerotarea laturilor cu cifre arabe (1, 2,etc.\ notaţii care corespund, de regulă,

numerotării laturilor din circuit şi, implicit, indicilor curenţilor şi tensiunilor de

latură.

Se numeşte cale o curbă deschisă trasată de-a lungul laturilor între două

noduri ale grafului, astfel încât fiecare latură să fie parcursă o singură dată şi

fiecare nod să unească numai două laturi incluse. De exemplu, în graful din

nodurile (2) şi (4).

(5)

Fig. 4.1

ciclu sau circuit închis al grafului o curbă închisă,

prevăzută cu un sens de parcurs, trasată de-a lungul laturilor grafului astfel

încât fiecare latură să fie parcursă o singură dată şi fiecare nod de pe această

Subgraful conex care include toate nodurile dintr-un graf conex, fară a

arbore al grafului conex. Laturile care aparţin

Subgraful complementar arborelui se numeşte

iar laturile care formează coarborele se numesc corzi. Alegerea

arborelui într-un graf topologic nu este unică, onsiderând graful din Fig.4.I.b.

elemente de analiză topologică a arcanelor electrice

coarbore sunt:

arbore coarbore •2'4'6'7 ;- ^1,3,5,8 ! . » i

J ' 4 ' 6 ' 7 2,3,5,8 etc.

In cazul unui graf neconex se alege câte un arbore pentru fiecare

subgraf conex, reuniunea acestora formând o pădure. De exemplu, pentru

graful din FigAl.d cei doi arbori pot fi: laturile 2 şi 5, 1 şi 4, etc.

Se numeşte secţiune într-un graf subgraful format din laturile

secţionate de o suprafaţă închisă, I. care intersectează graful, astfel încât prin

înlăturarea laturilor secţionate graful se reduce la două subgrafuri conexe,

distincte. Unul dintre subgrafuri se poate eventual reduce la u nod.

In teoria grafurilor (care constituie o ramură de studiu matematicii) se

stabilesc o serie de rezultate, dintre care se prezintă i continuare cele ce

urmează a fi utilizate în analiza circuitelor electric Aceste rezultate, ce

formează împreună teorema fundamentală a teoriei grafurilor, sunt:

a) între două noduri ale arborelui există o singură cale;

b) arborele unui graf conex cu /; noduri şi / laturi conţine n-\ ramu coarbore le

fiind format din f-n+1 corzi;

c) fiecare ramură a arborelui împreună cu corzi din coarbore formează

secţiune independentă;

d) fiecare coardă a coarborelui împreună cu ramuri din arbore formează o

buclă independentă.

Teorema fundamentală a teoriei grafurilor permite deci să stabilească

cu ajutorul arborelui şi a coarborelui secţiunile independent în număr de n- \

şi buclele independente în număr de Atât în căzu secţiunilor cât şi al

buclelor independente se stabileşte un sens poziti relativ la secţiune, respectiv

buclă, astfel;

- se consideră sens pozitiv relativ Ia suprafaţa de secţiune sensul d referinţă

din ramura secţionată;- se consideră sens pozitiv de parcurs al buclei sensul de referinţă din

coarda inclusă în buclă.De regulă, ramurile arborelui se reprezintă în graful topologic cu

linii îngroşate.

(5)

Fie de exemplu, graful topologic din Fig.4.2 având /=8 laturi şi „=5

noduri. Alegând arborele format din laturile 2. 4. 6. 7 (coarborele [. 3, 5. 8),

buclele independente, in număr de

/-;/+l=4. notate pe figură cu [B,]..........[B4],

conţin câte o singură coardă; sensul pozitv de

parcurs al acestor bucle, dictat de sensul de

referinţă din coarda inclusă, este indicat pe

figură printr-o săgeată. Secţiunile

independente, in număr de //-1=4, notate cu

S S 4 , secţionează câte o singură

ramură, sensul pozitiv relativ Ia secţiune,

impus de sensul din ramura secţionată, fiind

marcat printr-o săgeată.

Utilizarea sistemului arbore-coarborc permite o scriere

sistematică şi compactă a ecuaţiilor obţinute prin aplicarea teoremei I şi a Il-a

a lui Kirchhoff pentru un circuit electric, după cum se va vedea în paragraful

următor.

.2 MATR1C1 DE INCIDENŢĂ ASOCIATE GRAFULUI TOPOLOGIC.

FORMA MATRICEALĂ A TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF

Unui graf topologic cu n noduri şi / laturi i se pot asocia matrici re

reflectă incidenţa laturilor la noduri, bucle sau secţiuni.

Matricea completă de inc ideii f ă a laturilor la noduri Ml

având elementul generic ag, i = l,n,j« \ J , Se defineşte astfel:

I. daca latura j este incidenţa la nodul i si sensul de referinţa din latura iese din acest nod;

-1. daca latura j este incidenţa la nodul i. sensul de referinţa

fiind orientat către nod; [0, daca latura j nu este incidenţa nodului i

Pentru graful topologic din Fig.4.2 matricea de incidenţă [A] este:

Elemente de analiza topologică a circuitelor electrice 55

0 - 1 0 - 1 0 1 l o "1 0 0 1 1 0 0 0o o O 0 - 1 0 - 1 1

O 0 - 1 0 0 - 1 0 - 1-1 1 1 0 0 0 0 0

Se observă că numărul elementelor ncnule de pe o linie, 7, este egal

cu numărul laturilor incidente nodului j şi in Fiecare coloană, j . se găseşte

un element egal cu 1 şi unul egal cu -1; acest ultim aspect se datorează

faptului că orice latură, j, este dipolară. fiind conectată între două noduri,

sensul de referinţă fiind orientat de la un nod către celălalt.

Graful topologic se poate trasa pe baza cunoaşterii matricii [A]c.

In sfârşit, se poate face observaţia că elementele din oricare linie

a matricii [A]c se pot obţine ca o combinaţie liniară a elmcnielor din

celelalte n- \ linii. Astfel, pentru exemplul considerat, clementul din linia

5 se obţin ca suma cu semn schimbat a elementelor din liniile 1 . 2. 3, 4

(L5=-L1-L2-L3-L4). • *

Matricea de incidenţă a laturilor la noduri permite scrierea sub o

formă compactă, matriceală, a ecuaţiilor obţinute prin aplicarea primei

teoreme a lui Kirchhoff. Astfel, dacă se defineşte matricea coloană a

curenţilor de latură:

'i■

l'ki =

teorema dc curenţi aplicată în cele /; noduri ale circuitului se scrie sub

forma:'. [A ] c - U]=0 (4.1)

Deoarece în analiza circuitului se utilizează ecuaţii independente

între ele, este necesar sâ se definească matricea redusă de incidenţă, [A],,,.,*/

obţinută prin suprimarea unei linii k a matricii [A]c. Aceasta corespunde

alegerii nodului k drept nod de referinţă în circuit, nod notat cu (0) în

[Alea =

c 'apitolul 4circuitului, celelalte noduri fiind considerate independente.

Nodul de referinţă se alege în mod arbitrar. Din punct de vedere practic,

deoarece nodului dc referinţă i se atribuie potenţialul zero, el poate

corespunde punctului de legătură la pământ, dacă acesta există.

82

Sternul de n- l ecuaţii independente obţinut prin aplicarea primeiteoreme a lui Kirchhoff se scrie sub forma:

[A]-[/] = 0 .

în exemplul considerat dacă se alege nodul (I) ca nod de referinţă

matricea [AJ-ux este:1 0 0 i 1 0 0 0 0 0 0 - l 0

- l I0 - ţ 0 0 - l 0 - l1 I 0 0 0 0 0

iar ecuaţiile obţinute prin utilizarea relaţiei (4.2) sunt:

f; I + , 4 + / 5 = 0

- 1 5 - / 7 +'s = °

- '1 + + ' j = 0

Matricea de incidenţă a laturilor la buclele independente, [B], având l-n+\ linii şi /

coloane are elementul generic bg definit astfel: I. daca latura j este incidenţa

buclei i si sensul dc referinţa din latura coincide cu sensul de parcurs al buclei; by

= < -1 . daca latura j este incidenţa buclei i si sensul de referinţa este opus

sensului de parcurs al buclei; 0 . daca latura j nu este incidenţa buclei i.

Pentru graful topologic din Fig.4.2 matricea de incidenţa [B] este:"1 1 0 - 1 0 0 0 0' 0 - l I 0 0 -1 0 00 0 0 - 1 1 0 - 1 00 0 0 0 0 - 1 1 1

Se observă că în fiecare linie a matricii [B] există un număr de elemente nenule egal

cu numărul laturilor incidente buclei.

Dacă se numerotează mai întâi, în sens crescător, laturile I arborelui şi apoi cele din coarbore. matricea [B] admite o partiţionare de forma:

tBW.)./=[Bl/Bf], (4.3)

unde [BaJr/.„,U x M , este submatricea corespunzătoare arborelui, iar (BcWiw/.^,,

este submatricea corespunzătoare coarborelui. Ţinând

(4.2)

[A] =0o- l

c 'apitolul 4

seama de modul dc stabilire a buclelor independente şi a sensului pozitiv de parcurs al buclei rezultă că submatricea [Bc] este o matrice unitate [Bc]=[l].

Notând cu [u ] matricea coloană a tensiunilor de latură

teorema a doua a lui Kirchhoff se poate scrie compact, sub formă matriceală cu ajutorul relaţiei:

[B]-[w] = 0. (4.4)

Ecuaţiile obţinute prin utilizarea relaţiei (4.4) pentru exemplul consideratsunt:

'u x +M 2 -W 4 =0

- M6 +w

7 +//

8 - 0

Se observă că prin combinarea celor /;-l ecuaţii independente

obţinute din prima teorema a lui Kirchhoff cu cele ecuaţii

independente obţinute cu a doua teoremă a lui Kirchhoff se obţine un sistem de

/ ecuaţii cu 21 necunoscute, valorile instantanee ale curenţilor şi

tensiunilor de latură.

A treia matrice asociată unui graf topologic este matricea de incidenţă a

laturilor la secţiunile independente, lQ](„-i>x/. Elementul

generic qij, i = 1./; -1, j = 1,/ al matricii este definit astfel:

1, daca latura j este incidenţa secţiunii Sssi sensul de referinţa din latura

coincide cu sensul pozitiv relativ la secţiune; qH = \ - i, daca latura j este

incidenţa secţiunii S^ si sensul de referinţa este opus sensului pozitiv relativ

la secţiune; 0 , daca latura j nu este incidenţa secţiunii Sj.

84

Pentru graftil topologic din Fig.4.2 matricea de incidenţă [Q] este:

Capitolul 4

[Qh* =

1 O O 1-l 1 1 0

o o - i oo o o o

1 0 00

0 0 0 00 1 0 -1-! O - l I

Dacă laturile arborelui se numerotează primele în ordine crescătoare şi apoi se

numerotează corzile, rezultă că matricea [Q] admite o partiţionare de forma:[ Q W = W . Q c ] (4.5)

unde [QJot-iWif-j) corespunde arborelui, iar [QJcn-iw/iHi) corespunde

coarborelui. De asemenea, având în vedere modul de stabilire a secţiunilor şi a

sensului pozitiv relativ la o secţiune rezulta că submatricea [Q.J este o matrice

unitate [Qa]=[l].

în sens mai larg prima teoremă a lui Kirchhoff (3.1) sc poate scrie pentru

orice suprafaţă închisă, I, deci şi pentru o suprafaţă dc secţiune, exprimând faptul că

suma curenţi/or care intră în suprafaţa de secţiune este egal cu suma curenţilor care

ies din suprafaţă. Ecuaţiile obţinute prin aplicarea teoremei de curenţi pentru cele

n- \ secţiuni independente se pot scrie compact sub formă matriceală, cu ajutorul

relaţiei:

[Q][/] = 0 (4.6)

Relaţiile obţinute prin utilizarea ecuaţiei (4.6) în cazul grafului opologic din

Fig.4.2 sunt:

h + k +'5= 0

!

+/', + / 3 = 0

- ' 3 + ' 6 - ' 8 = 0 -

86

Capitolul 4

- / 5 - / 7 + / 8 = 0

Se poate arăta [7] câ între roatricile [A], [ B ] şi [Q] există relaţiile:

[A][B] T = 0 ; [B]-[A] T = 0 (4.7)

[QHB] T = 0 ; [BHQ]T=0. (48)

87

Capitolul 5

CAPITOLUL 5

CIRCUITE REZISTIVE LINIARE

Circuitele rezistive liniare conţin în structura lor rezistenţe liniare şi

generatoare independente sau comandate cu comandă liniară, variabile sau

invariabile în timp. Studiul acestor circuite prezintă importanţă atât clin punct de

vedere teoretic, deoarece analiza lor comportă un grad de dificultate redus, cât şi din

punct de vedere practic, unele sisteme utilizate in electrotehnică putând fi modelate,

cel puţin în anumite domenii de funcţionare, prin astfel de circuite.

5.1 TEOREMELE GENERALE ALE

ELECTRICE REZISTIVE

CIRCUITELOR

Forma generală a teoremelor lui Kirchhoff rămâne neschimbată, ea Fiind

aceeaşi pentru orice circuit electric. Prin urmare prima teoremă a lui Kirchhoff are

expresia:

£/4 = 0 sau, matriceal, [A][/] = 0 . (5.1)

A doua teoremă a lui Kirchhoff se scrie sub forma:

JUk = 0 sau matriceal [B]-[M] = 0. (5.2)

Relaţiile (5.1) şi (5.2) formează un sistem de / ecuaţii independente cu 21

necunoscute: /,,..., //, "i,-, ''/< unde / reprezintă numărul de laturi al

circuitului.

Teorema lui Joubert pentru o latură activă rezistivă

având structura din Fig.5.1 se scrie sub forma:

sau, în final:

88

ut = R k i k - R k i g t - * ' ■ A = ( 5 3 )

Dacă se exprimă curentul din latura, h. în funcţie de tensiunea de

latură. »*. se obţine: _i k =G t u k

+ ' s , + G k e k • * '

unde GirifRk este conductanţa laturii.înlocuind relaţia (5.3) în teorema de tensiuni se obţine o altă

formă a acestei teoreme:

= Z**+ 2>*. • (5-5)

Relaţiile (5.3), (5.4) pot fi scrise compact sub formă matriceală dacă se

definesc în prealabil următoarele matrici: - matricea diagonală a rezistenţelor de

latură:

(5 . 4 )

Capitolul 5R} 0 0 &

.. * o o

0 ... 0 R , -

matricea diagonală a conductanţelor de latură:

[<3w =

G ] 0 0 G-,

0 , 0

0 ... 0 G,

matricea coloană a tensiunilor electromotoare a generatoarelor detensiune:

Mm

e-,

Daca mtr-o latură k a circuitului lipseşte generatorul independent de tens.une.

elementul din linia k a matricii [,] este nul; de asemenea, deoarece .n scrierea

relaţiei (5.3) sensul (polaritatea) sursei de tensiune influenţează semnul

termenului sursele al căror sens coincide cu sensul de refennţă al curentului

cu semnul * în matricea [el, iar cele cu sens opus, cu semnul-;

90

Circuite rezistive liniare

matricea coloană a curenţilor generatoarelor de curent:

/■

*

■

Precizările referitoare la prezenţa sau absenţa generatorului de curent în latură,

precum şi cele referitoare la sensul sursei de curent în raport cu sensul

curentului /*, sunt similare celor făcute la matricea [e].Cu aceste notaţii, cele / relaţii dc forma (5.3) se pot scrie compact cu

ajutorul relaţiei matriceale:

M = [K\ ■ [ / ] - [ * ] ■ [ / , ! - [eh (5,6)

iar cele / relaţii de forma (5.4) se exprimă sub formă matriceală cu ajutorul

relaţiei:

W = [^]-M + [/J + [G]-[e]. (5.7)

Teorema conservării puterilor în cazul unui circuit rezistiv, liniar, izolat

îşi păstrează forma generală.

£M') = XM')'*(>) = 0.

Această relaţie poate fi scrisă şi matriceal utilizând matricile coloană [u ] şi [/']

sub una din formele echivalente:

MM''] = 0 ; [/]T •["] = 0. (5.8)

înlocuind în relaţia (3.27) tensiunea u*cu expresia (5.3) se obţine o

formă echivalentă a teoremei conservării puterilor în cazul reţelelor rezistive:

Analog, dacă se înlocuieşte în relaţia (3.27) curentul i k având expresia (5.4) se

obţine o a doua formă echivalentă a acestei teoreme:

t^ '^ - i^ ' t ew- (5-10)

Observând că matricile [R] şi [G] sunt diagonale şi prin urmare

satisfac relaţiile [R] r =[ R l [G\H&\i relaţiile <5-9)- (5:10) Pot fi scrise şi matriceal dacă

se ţine scama dc faptul că:

[/]T=MT^]+[',JT+MT^[„locuind [uf , respectiv [ i f în expresiile (5.8) se obţin în final două fomie

echivalente ale acestora:

Relaţiile de bilanţ de puteri (5.9). (5.10) exprimă faptul că suma

algebrica a puterilor■furnizate de generatoarele de tensiune şi de cele de curent

este egala cu suma puterilor disipate în rezistoare. energia absorbită de

rezistoare conducând la încălzirea acestora.

5.2 ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL

TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF ŞI A TEOREMEI LUI JOUBERT

Se consideră pentru început cazul unui circuit rezistiv cu / laturi şi /;

noduri care conţine numai generatoare reale şi rezistenţe. Utilizarea teoremelor

lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert permite să se obţină un sistem algebric

liniar de 21 ecuaţii cu 21 necunoscute, tensiunile uk şi curenţii/>, A = 1./, de

forma:

[AJ[/J = 0 [B][»] = 0l"] = [ R ] [ i ] - [ R ] [ i t , ] -[ e ]

(5.12,)

sau

[A][/] = 0

[Bjr>3= o^[G ] [u ) + [G ] [ e ] + [ i g ]

Dacă se urmăreşte, în principal, determinarea curenţilor în laturi se va

solupona sistemul (5.12,) în care se substituie ultima ecuaţie matriceală

(5.12:)

( ircuitc rezistive liniare 94

in cea dc a doua obţinându-sc:

* * [M1W = 0 ' Vv :J\ [ B ] [ R ] [ i ) = [ B ] [ R ] [ i t ] + [ B ] [ e y ( 5 l 3 )

Analog, dacă se urmăreşte, în principal, analiza în raport cu tensiunile, se rezolvă sistemul (5.122) în care ultima ecuaţie matriceală se înlocuieşte în prima obţinându-se:

'[B][M] = 0[h][G){u] = -\A][iK ) - [ A ) [ G ] [ e y ( M 4 )

In oricare variantă sistemul obţinut are / ecuaţii şi / necunoscute.

Dacă s-au determinat mai întâi curenţii, tensiunile de latură pot fi ulterior

calculate cu ajutorul relaţiei (5.6). în mod analog, dacă s-au determinat

iniţial tensiunile, curenţii în laturi pot fi calculaţi utilizând relaţia (5.7).

Sistemul de tensiuni şi curenţi de latură obţinuţi trebuie să satisfacă teorema

conservării puterilor (relaţia (5.8)).

Pentru circuite cu o structură simplă scrierea teoremelor lui

Kirchhoff şi a teoremei Iui Joubert se poate face direct, prin examinarea

reţelei, (ară a se recurge la formele matriceale ale acestor teoreme.

Exemplul 5.1 Sâ se analizeze circuitul clin Fig.5.2 utilizând teoremele

lui Kirchhoff şi teorema lui Joubert. Se cunosc: R/=40/3 Q, R :=2Q, R 3=40Q,

igi=7,5Ât e3=!80 V. Circuitul are /=3 laturi şi n=2 noduri. Teorema de curenţi

se va scrie de /7-I = l ori, în nodul (I), iar teorema dc tensiuni dc /-/;

+l=2 ori pentru cele două bucle independente. Alegând

sensurile de referinţă pentru curenţi şi sensul dc

parcurs al buclelor ca în figură se obţine:

( l )

f"i

r—'2

fj [jHH00

(0)

Fig.

5.2

Rj\ * R-ih = *t'gt'

înlocuind valorile numerice şi rezolvând sistemul se obţine:

ii=6 A, i2=10 A, i3=4 A. Tensiunile de latură au expresiile:

ui = R1i1 ^ 20 V

Bilanţul puterilor este:w,/,+w2/2+ W3/3 = -20-6 + 20-10-20-4 = 0.

Laturile 1 şi 3 furnizează putere laturii 2.

în cazul circuitelor care conţin generatoare ideale analiza comportă

aceleaşi clape, cu următoarele observaţii:

- dacă în circuit de găsesc /zc generatoare ideale de tensiune sunt cunoscute

de la începutul analizei nc tensiuni de latură (//( = ±et);

- dacă în circuit sunt prezente tt\ surse ideale dc curent sunt cunoscuţi de

la început nx curenţi de latură (z4 = i);

- deoarece pentru laturile care conţin generatoare ideale nu se poate scrie o

relaţie de legătură directă între tensiune şi curent, rezultă că teorema lui

Joubert se poate scrie de l-ne-n\ ori;

- completând cu cele / ecuaţii obţinute prin utilizarea teoremelor lui

Kirchhoff rezultă că sistemul algebric va avea în acest caz 2/-/;c-Wi

necunoscute (/-/7c tensiuni de latură şi /-/;, curenţi de latură).

5.3 ANALIZA CU AJUTORUL METODEI CURENŢILOR DE BUCLĂ

r—'2

fj [jHH00

In cazul circuitelor cu un număr mare de laturi sistemul de ecuaţii

obţinut prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert este

de dimensiuni mari, implicând un volum important de calcule.

Pentru simplificarea analizei s-au conceput metode capabile să genereze sisteme de ecuaţii de dimensiuni mai mici, prima dintre aceste metode fiind prezentată în cele ce urmează.

Metoda curenţilor de buclă (sau a curenţilor independenţi) realizează

o schimbare dc variabilă considerând drept necunoscute un număr de /-/;+l

curenţi fictivi ataşaţi buclelor independente ale circuitului,

care străbat numai laturile incidente unei bucle. In cazul

unui circuit liniar este valabilă teorema superpoziţiei, astfel

încât fiecare curent de latură poate fi exprimat ca sumă

algebrică a curenţilor dc buclă care ating latura respectivă.

Astfel, presupunând situaţia din Fig.5.3, în care latura A'

este incidenţă numai buclelor p şi q, străbătute de curenţii

de buclă /'bP şi /bq, având sensurile indicate în figură, se

poate scrie că:

f* ~ hP ~ ibq -

Deoarece incidenţa laturilor la bucle este reflectată de elementele

matricii de incidenţă [B], se poate scrie că:

'* = Vbp + Vbq < V =1 î%

sau, în general.

SV« '*=1

'7 (5

-15)

HRelaţiile de forma (5.15) pot fi exprimate compact, sub forma matriceală, cu

ajutorul relaţiei:

[/],,,= [Btf,,,W''bWiH ( 5 - 1 6 >

unde prin [ i b] s-a notat matricea coloană a curenţilor dc buclă:

r—'2

fj [

j

H

H

0

0

'bl

'b2

'b/-«-.|

Metoda curenţilor de buclă se bazează pe teorema de tensiuni şi pe teorema

lui Joubert. Astfel. înlocuind (5.16) în (5.6) şi rezultatul obţ.nut

r—'2

fj [jHH00

Capitolul 5

in (5.2) se obţine: [BP][B]T[/b] = [BW/g] + [B]W (5-17)

Notând matricea de coeficienţi cu:

şi matricea termenilor liberi cu:[ e b ] { l . M = m e M B ] [ R ) [ i B ) ,

sistemul algebric (5.17) se scrie sub forma:

iA]['b] = K ] - <5-20)

Se poate conchide că metoda curenţilor de buclă presupune, în cazul

unui circuit cu generatoare reale, stabilirea şi soluţionarea unui sistem algebric

liniar cu l-n+\ ecuaţii cu l -n+\ necunoscute. Restricţia referitoare la absenţa

generatoarelor ideale provine din faptul că pentru acestea nu se poate scrie

ecuaţia lui Joubert, cazul acestor circuite

urmând a fi analizat separat.in concluzie, etapele analizei unui circuit rezistiv liniar cu

ajutorul metodei curenţilor de buclă sunt:

- se numerotează laturile şi se aleg sensuri de referinţă pentru curenţii de

latură;

- se stabilesc buclele independente, fie cu ajutorul grafului topologic şi al

sistemului arbore-coarbore. fie direct, prin examinarea reţelei;

- fiecărei bucle independente i se ataşează un curent de buclă având sensul

identic cu sensul de parcurs al buclei (sensul de referinţă din coarda inclusă în

buclă);

- se stabilesc matricile [B], [ R ] , [e] , [/J;- se calculează matricile [R b] şi [<?b] cu relaţiile (5.18). respectiv (5.19);- se soluţionează analitic sau numeric sistemul (5.20) determinându-se

matricea coloană a curenţilor de buclă. [/bl;- se determină curenţii de latură cu relaţia (5.16);- se determină tensiunile de latură cu relaţia (5.6).

(5.18)

(5.19)

r—'2

fj [jHH00

Capitolul 5Se observă că deoarece l - n + \ < l , dimensiunea sistemului algebric

generat de metoda curenţilor de buclă este întotdeauna mai mică decât cea a

sistemului obţinut prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff si a teoremei lui

Joubert.

R


Exemplul 5.2 Să se analizeze circuitul clin Fig.5.4 cu ajutorul metodei curenţilor de buclă.

Se cunosc: R t=3 Q, R2~6 Q,

Rs=2 a R<=6 Q, Rs=3 Q.

e , = 3 0 V t e 2 = 1 2 V , i S3= 5 A .

Circuitul are /=5 laturi şi

;;=3 noduri. Alegând buclele

independente în număr de

/-n+l=3 şi sensurile curenţilor de

buclă şi a celor din laturi ca în

Fig.5.4. se pot scrie matricile:

0 0 0 01 0 0 1 o

1 0 R-> 0 0 0

=0 -1 I -1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0 R4 00 0 0 0 R5_

00

0 -'«6

0 0 00

Matricea coeficienţilor şi cea a termenilor liberi au expresiile:

- R 0

[ R b L 3 = L BMB]T =

0

/?, + R3 + R A - R2 - R, R, + R 5 J

kL =[B]te] + [B][R]t/J = - R j g ) - e2

înlocuind valorile numerice şi rezolvând sistemul (5.20) se obţine:

_

[B]*5 =


4

11

3 2

Reţinând faptul că asocierea sensurilor

de referinţă ale tensiunilor şi curenţilor se face după regula de la receptoare,

rezultă că tensiunile d latură vor fi;

—

" y

Verificarea bilanţului de puteri conduce la identitatea:

[ u ] T [ i ] = [ I]T[H] = -72 - 6 +12 + 54 +12 = 0.

Pentru circuite cu o structură simplă (număr mic de bucle) stabilirea

sistemului de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei curenţilor independenţi

poate fi făcută şi direct prin examinarea reţelei. In acest scop se analizează, în

cele ce urmează, semnificaţia coeficienţilor şi a termenilor liberi ai sistemului

(5.20). Astfel, elementul generic al matricii [Rbl se poate scrie ţinând

seama de relaţia (5.18), sub forma:

*u= ZM k *jk ■ <J = 1 (5.21)k = \

n cazul în care i=j (coeficient de pe diagonala principală) se obţine:

*n=2>lk)2** (5.22)

'l r »bi1*2* —

'bl -'b2- # ■

r î'i -e

i 1"-

18*1-6—1218

Rs's . 6

= [*][/]-[fl][ ' ,]-M =[ " J5 .I =

1 0 1

1

hz—1

1

2

Curenţii de latură au valorile:

['HI, =

Capitolul 5

ceea ce arată că Ru reprezintă suma rezistenţelor laturilor, k, incidente

buclei i (bflntO). în cazul vfi se poate întâlni una din situaţiile ilustrate în

102

b)

Fig.5.5. Observând că latura k trebuie să fie incidenţă simultan buclelor i şi j (blk?0, bjtffcO) rezultă că % reprezintă suma algebrică a rezistenţelor laturilor comune buclelor i şi j, acestea intervenind cu semnul + dacă cei doi curenţi de buclă au acelaşi sens în latura comună (Fig.5.5.a) şi cu semnul - dacă ei au sensuri opuse (Fig.5.5.b).

Fig. 5.5

Elementele matricii tennenilor liberi pot fi scrise, conform relaţiei(5.19), sub forma:

^X^+ ZM ^- (5-23)

Analizând relaţia precedentă rezultă că ebi (tensiunea electromotoare

corespunzătoare buclei i) este egală cu suma algebrică a t.e.m. ale

generatoarelor de tensiune incidente buclei, luate cu semnul *■ dacă sensul

sursei coincide cu sensul curentului de buclă fy şi cu semnul - în caz contrar

(Fig.5.6). Se observă că în

această interpretare este necesar să

se echivaleze în prealabil

generatoarele reale de curent cu

generatoare reale de tensiune având tensiunea

electromotoare Ryi^.

Se consideră în continuare cazul circuitelor

care conţin în structura lor nc generatoare ideale de tensiune şi/sau n x

generatoare ideale de curent. Având în vedere semnificaţia coeficienţilor

sistemului algebric (5.20) şi ţinând seama de faptul că rezistenţa internă a

unui generator ideal dc tensiune este 0, iar a unuia ideal de curent este

infinită, rezultă că

Fig. 5.6

a)

b)

Fig. 5.7

0 atenţie deosebită trebuie aeordată surselor ideale de curent. Alega*,

1 independente astfel incât laturile cu generatoare ideale de curent

s7ap rtină câte unei singure bucle (să fie corn in graful topolog.c),

7K sunt cunoscup de la începu, , curenţi de buclă. rămânând necunoscuţi

ceilalţi /-«+!-«< curenţi de buclă. Sistemul algebric de ecuaţii este

determinat, ecuaţiile scriindu-se pentru cele l-n+l-m bucle la care nu sunt

incidente generatoare ideale dc curent. In plus in acest mod se evită

dificultatea eencrată dc apariţia coeficienţilor infiniţi în sistem.

Rxcmnlul 5.3 Să se analizeze circuitul rezistiv liniar din Fig.5.7 utilizând

metoda curenţilor de buclă. Se cunosc: e,=10 V, R,=5 Q, ig:=7A. R.,=10 Q. ej=20 V,

Ra=10 Q, R.<=5 Q, i g i=4 A.

-l

Ri- k .

Circuitul are 1=5 laturi (dacă se consideră că grupul paralel Ryi, se echivalează cu un generator real de tensiune). Alegând bucle independente ca în Fig.5.7 (bucla l

formată din laturile 1 şi 2, bucla 2 laturile 1. 3, 5, bucla 3 - laturile 3, 4) se respectă cerinţa ca generatori ideal de curent /jj să aparţină numai unei bucle. în

plus se cunoaşi curentul

h =/bi ='g2 = 7 4 - jRămân necunoscuţi ib2 şi ia pentru determinarea cărora se scriu ecuaţiile generate

de metoda curenţilor independenţi pentru buclele 2 şi 3:+*22'*2 +R23'bi = e h 2

Ri\ih\

+ R32U2 + #33*43 = CM '

în care tf2,=R,=5 O, R22=R,+Ri+Ri=20 a r^r^^q a R},=0. R3i=Ri+Ra-20 Q, eb2=-e,-e3-R5/B5=-30-20= -50 V eb3=e3=20 V Rezolvând sistemul se obţine: i b2=-5 A, /b3=-l,5 A. Curenţii înlături au valorile:

* , '1 =-'bi -'b2 =-2 a ;

'3=-'b2+'b3=3,5^ -

'4 = -'w = 1.5 A

Tensiunile la bornele laturilor vor fi:

M, =/?,/,--e, =r-20V w2 ="i =-20V

vv 1/3=^3/3- ^ = 1 5 ^ ^ - : * - ■ ' m

»4 ="3 =15V

H5 = R5i5 = 5 V

Verificarea bilanţului de puteri:5

Z"V* = "l'l + M2'2 + "3'3 + »4'4 +"5'5 + «s'g5 = 0 ■

In cazul în care în circuit există generatoare de curent comandate

procedeul de aplicare a metodei curenţilor independenţi rămâne acelaşi ca şi în

cazul generatoarelor de curent independente, urmând să se ţină seama în

calcule de funcţia dc comandă.

Exemplul 5.4 Pentru circuitul clin Fig.5.8 se cunosc valorile clementelor

de circuit şi curentul generatorului comandat ig6sGjtfift Să se stabilească sistemul

de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei curenţilor independenţi.

în Fig.5.8.b este reprezentat graful topologic, arborele şi coarborele

rezultând curenţii de buclă cu sensurile specificate în figură. Latura 6 (/g6) este

incidenţă unei singure bucle. Sistemul de ecuaţii va fi de forma:

'M = *g6

L

unde R 2 \=R\+Ri, RtfR^+Ri+Ra* Ri^R^Ri+R*. Ry\=Rz-

înlocuind în sistemul de mai sus se obţine un sistem de doua ecuaţii având

necunoscutele & şi fa

m <2>

Capitolul 5

Fig. 5.8

Observaţie. Posibilitatea de a exprima curenţii de latură în funcţii de

curenţii de buclă sub fonna relaţiei (5.16) poate Fi justificată riguroj nu numai

prin aplicarea principiului superpoziţiei, ci şi prin utilizai teoremelor lui

Kirchhoff [15],

Astfel, dacă se ţine seama de relaţia de ortogonalitate dini matricile

[Q] şi [B], precum şi de partiţionarea acestora în submatri» corespunzătoare

laturilor arborelui respectiv coarborelui, se pot scri< relaţiile:

[QHB ]T=0 ; [Q] = [Q a Q c ] = [ l Q J ; [B] = [Ba Bc] = [Ba 1],

Se obţine [Qa Qc]

relaţia:

Bl= 0 sau [1QC]

B= 0, ceea ce conduce îl

(5.24)

107

Capitolul 5D-acâ se partiţionează matricea [/] în două submatrici

corespunzătoare curenţilor în laturile arborelui, respectiv coarborelui, şi se sene

teorema 1 a lui Kirchhoff ÎD formă matriceală relativ la secţiunile

108


independente sc obţine: [Q„Q C ] - = 0 sau [1QC] = 0,

conducând la [1MU+[QcHL] = 0 şi în final la la relaţia:

['a] = -[Qc]-['c] (5.25)

înlocuind (5.24) în (5.25) se poate scrie matricea [î] sub forma:

l/] =

fH4^C''Cl=fBlH=fBTr''Cl

= [B]T[/c].

Observând câ matricile [/c] şi [/b] sunt egale rezultă în definitivrelaţia (5.16).

Această demonstraţie arată că. de fapt, sistemul generat prin metoda

curenţilor de buclă se bazează, pe lângă teorema de tensiuni şi teorema lui

Joubert, şi pe teorema de curenţi. înglobând într-un singur sistem cele trei

teoreme generale ale circuitelor electrice. în plus. această demonstraţie arată

că metoda poate fi adaptată şi pentru analiza circuitelor neliniare, modul de

stabilire a sistemului de ecuaţii în acest caz urmând a fi prezentat în Capitolul

12.

5.4 ANALIZA CU AJUTORUL METODEI TENSIUNILOR

NODALE

Această metodă consideră drept necunoscute principale tensiui dintre

nodurile independente şi nodul de referinţă numite tensiuni nodale Pentru un

circuit conex cu / laturi şi n noduri vor fi /;-l tensiuni nodal

notate cu //10, "20, •. •,wn-1 .o-Fig. 5.9

109


Considerând latura k a circuitului conectată între nodurile p şi

(Fig.5.9) se observă că tensiunea 14 se poateexprima utilizând a doua teoremă a lui Kirchhoff în Cp)Qj------------------polifuncţie de tensiunile nodale ttpo şi wqo : M/^V / *><i°

Latura k fiind dipolară este incidenţă numai nodurilor independente p şi q.

Cele I vela,» de fim.» (5.27) pol fi scrise compact, sub fora»

matriceala, cu ajutorul matricii de incidenţa a Wudor b nodurile

ZaSm. [Al. Dac. se defineşte „tatneca coloana a tcns.un.lo,

nodale:" I I I

Fig. 5.9

110

Capitolul 5

«70

(5.28)

»„-I.O

relaţia dintre vectorul tensiunilor de latură şi cel al tensiunilor nodale

[•IM =tAţî) 'KW

<5-29)Pentru a stabili sistemul de ecuaţii ce are ca necunoscute tensiunile

nodale se rescriu teoremele generale ale circuitelor electrice în formă

matriceală:

- teorema de curenţi:

- teorema Iui Joubert:

[ i ) = [ G ] [ u ] + [ ig] +

[ G ] [ e ] .

(5.30)

(5.31)

înlocuind (5.29) in (5.31) şi rezultatul obţinut în (5.30) se obţine:

[ A ] [ G ] [ A ] T [ u n ] = - i A ] [ i t ] - [ A ] [ G ] [ e ] .

Dacă se notează matricea dc coeficienţi a sistemului (5.32) cu

K5, W.*-.» = [ A ] [ G ] [ A ] 1 (5.33)

şi matricea termenilor liberi cu:

PfcW =[A]['xl + [Al[C][e], (5.34)

se obţine sistemul algebric liniar cu n-1 ecuaţii şi n-1 necunoscute:

IGJk ] = -[/•;,,,]. (5.35)

(5.32)

Capitolul

Rezulta astfel că etapele analizei unui circuit rezistiv liniar fără

generatoare ideale (restricţie impusă de faptul că s-a utilizat teorema lui Joubert

in forma (5.31)) sunt:

- se numerotează laturile si nodurile circuitului alegându-se un nod de

referinţă;

. se aleg sensurile de referinţă ale curenţilor din laturi, identice cu cele ale

tensiunilor la bornele laturilor;

- se stabilesc matricile [A], [G], [/g], [«]*

- se calculează matricea coeficienţilor şi matricea termenilor liberi ai

sistemului cu ajutorul relaţiilor (5.33), (5.34); se rezolvă analitic sau

numeric sitemul (5.35); se determină tensiunile de latură cu relaţia

(5.29); se calculează curenţii în laturi cu ajutorul relaţiei (5.31).

In concluzie metoda tensiunilor nodale presupune stabilirea şi

rezolvarea unui sistem algebric liniar cu //-l ecuaţii şi /;-l necunoscute,

întotdeauna de dimensiuni mai mici decât cel obţinut prin aplicarea teoremelor

lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert.

Exemplul 5.5 Să se analizeze circuitul din Fig.5.4 cu ajutorii metodei

tensiunilor nodale.

Deoarece n=3 rezultă că există două tensiuni nodale independente: u\o,

wao- Ţinând seama de sensurile de referinţă ale curenţilor din laturi matricea

[A] este:

- 1 0 1 1 0

0 - 1 - 1 0 1

Celelalte matrici implicate în calcule au valorile:

G, + G3 + G.

-G,

-G3 G, +

G, + G, iar

matric

termenilor liberi

C\00000 00«1000000 00e2000 00! ['gJsxi "-'83 ; [e]s*i

=0000GA

00000L ° 000G5L ° --

0

Matricea coeficienţilor este

[GJ2,2=[A][C7][A]T =

G,e~i +»«.

G 2e 2- i a

fcctuînd calculele rezultă:

["]5„=[A]T["J =

r -«io |"-18l-«20 -6

«10 _M20 = 12"10 18"20 J

6

Pentru circuite având o structură simplă sistemul de ecuaţii (535) poate fi

obţinut şi direct, prin examinarea reţelei. Pentru a stabili semnificaţia coeficienţilor

acestui sistem se observă că elementul generic de pe poziţia y al matricii [Gn]

poate fi scris, conform relaţiei (5.33), sub forma:

In cazul /=/ (clement de pc diagonala principală) se obţine:

(5.37)

ceea ce indică faptul că G„ reprezintă suma conductanţelor laturilor

incidente nodului i (auÔ, (a l tf>0). In cazul %' relaţia (5.36) arată că G\

reprezintă suma conductanţelor laturilor incidente simultan nodurilor i şi j

(aufQ, ajtfQ); cum laturile sunt dipolare unul din cei doi coeficienţi este +1,

["io[ [18][ 6

înlocuind valorile numerice şi c

V.

V.

iar celălalt -l, deci aik-aJk=-\. Prin urmare Gi} reprezintă suma, luată cu semnul

-, a conductanţelor laturilor incidente simultan nodurilor i şi/ .Semnificaţia tennenilor liberi se deduce analizând relaţia (5.34).

Astfel, termenul liber din linia / are expresia:

=Zfl<*'«. +Sa«C7*e*

ceea ce arată că igi reprezintă suma algebrică a generatoarelor de curent

din laturile k incidente nodului i (a^), incluzând aici şi generatoarele reale dc curent obţinute prin transformarea generatoarelor reale de tensiune; în acastă sumă se iau cu semnul + generatoarele al căror curent iese din nod (#,-*= 1) şi respectiv cu semnul - cele al căror curent intră înnod.

Trebuie observat şi in cazul acestei metode că utilizarea teoremei Iui Joubert (relaţia (5.31)) presupune că toate generatoarele sunt reale. Prezenţa generatoarelor reale de curent nu pune probleme deosebite având în vedere conductanţa internă nulă a acestora. în schimb, generatoarele ideale de tensiune, cu conductanţa internă infinită, trebuie tratate ca un caz special. Dacă în circuit există un singur generator ideal dc tensiune nodul de referinţă se impune a fi ales unul din nodurile la care este conectat acesta, rezultând astfel o tensiune nodală cunoscută de la începutul analizei. în cazul în care în circuit sunt prezente nc generatoare ideale de tensiune este posibil să existe una din următoarele situaţii:a) toate cele nc generatoare au un nod comun. în acest caz nodul comun va fi ales nod de referinţă rezultând astfel că sunt cunoscute din start nodale;b) generatoarele ideale dc tensiune nu au un nod comun. In această situaţie, utilizând teorema deplasării generatoarelor de tensiune, se poate ajunge fie la cazul precedent, fie la situaţia în care generatoarele de tensiune devin reale (în scrie cu o rezistenţă).

în oricare variantă se ţine seama de faptul că sistemul algebric de ecuaţii, având acum n-nc-\ tensiuni nodale necunoscute, trebuie să rămână determinat, astfel încât se vor scrie numai ecuaţiile corespunzătoare nodurilor independente la care nu sunt incidente

generatoare ideale dc tensiune.Exemplul 5A Sâ .se analizeze circuitul din Fig.5.10 cu ajutorul

metodei tensiunilor nodale.

Capitolul 5

Alccând ca nod de referinţă

unul din nodurile la care este conectat

generatorul ideal de tensiune e\ şi

numerotând nodurile ca în Fig.5.9 se poate

scrie sistemul de ecuaţii obţinut prin

utilizarea metodei tensiunilor nodale sub

forma:

« io = < î i ' t o 'J ■ s'i

G2|M10 + C?22«20 + ?23M30 = ~'g2 1

%»io + Gr.u2a + Ga'ho = -'^ Coeficienţii şi

termenii liberi au expresiile: G;) =-C73

= :

G22 = G 2 + G 3 f G ş = \ / R 2 + \ / R i + M R , ;

ţi = ~G2^ '„ =G2^ - ' g 6 -Tensiunile la bornele laturilor, exprimate cu relaţii de forma (5.27)

sunt:

"1 = -"io = -ci; «2 = "30 - "20; «3 = "20 - "10; "a = "10 - "30; "$ =

-"20; "a = -"30

Curenţii în laturi se exprimă fie cu ajutorul teoremei lui Joubert, fie, in cazul laturii cu generator ideal de tensiune, utilizând teorema I a Iui Kirchhoff:

'2 = G2u2 + G2e2;'3 = G3"3 -U = ga"a

'5 = Gj"5; h = fa \i\ = / 4 - ' 3 ;

Circuitele rezistive care au în structura lor generatoare comandate de

tensiune sau de curent se analizează la fel ca şi circuitele cu generatoare

.dcale independente, cu observaţia că sistemul (5 35) se completează cu

ecuaţiile caracteristice de comandă ale acestora.Exemplul 5.7 Sâ se analizeze circuitul din Fig. 5.8 cu aiutorul metodei

tensiunilor nodale.

Sistemul de ecuaţii având ca necunoscute tensiunile „10, u20, „30

-,v

este de forma:

t

j_ _1_ #1 +

R y

M,or

rtt2o=H

*

--------"io +

K, R2 R,1120

——«™ = -G<e

---------"20 + «2 + RA M30 = "/

5.5 CIRCUITE REZISTIX E DUALE

Noţiunea de dualitate se referă la similitudinea unor sisteme (fizice,

matematice, etc.) diferite între ele, dar care sunt într-un anumit identice. în

cazul circuitelor rezistive dualitatea se refera la identitatea, ca formă, a

sistemului de ecuaţii algebrice generate de metoda curenţilor de buclă,

pentru unul dintre circuite, cu sistemul generat de metoda tensiunilor nodale

pentru cel de al doilea circuit.

30'5 C

"l= "io-"2o ;/, = G,H,"2= "20 - "30; i

2 = G

2u

2"3= "10;

h=G3u

3U

4= ""30; /

4 = G

4"4"5=

"20; ;5 = G

5v

5"6= "l0""30• '6 =

'gt =

unc *c '«6 ~ ^ 3 6 W 3 -G36

W |0. După rezolvarea sistemului se obţin

tensiunile şi curenţii dc latură:

Capitolul 5

Fie, de exemplu, circuitele din Fig.5.1 l.a şi b. Pentru circuitul

din Fig.5.11.a se poate scrie, folosind metoda curenţilor independenţi,

ecuaţia:

-,v

Se observă că

Capitolul 5

I—T

(0) h)Fig. 5. 1 1

ecuaţiile (5.39) şi (5.40)

suni formal identice, iar dacă valorile numerice ale parametrilor sunt egale

( R ] Gt ; R2 <-> G2 : e <-> ig) cele două sisteme au soluţii

numeric egale. ib <->M10- Circuitul din Fig.5.1 l.a este dualul celui din

Fis.S.ll.b.

Se poate constata că o primă condiţie pentru ca două circuite să fie

duale este ca numărul de bucle independente al circuitului analizat cu metoda

curenţilor de buclă să fie egal cu numărul de noduri independente al celui

analizat cu ajutorul metodei tensiunilor nodale.

Dacă se scriu sub forma matriceală sistemele de ecuaţii generate de

cele două metode de analiză pentru cazul unui circuit cu / laturi şi n noduri

se obţine:

ih \lh) = M respectiv, [G„ }[u„ ] = -[/', ].OH

Pentru ca circuitele să fie duale trebuie ca sistemele obţinute să fie

identice, ceea ce revine la egalitatea matricilor coeficienţilor şi a termenilor

n i

î) ^ Q*

liberi. Având în vedere relaţiile (5.18) şi (5.33). respectiv (5.19) şi (5.34),

rezultă că se pot stabili următoarele corespondente între matricile care

descriu cele două circuite:


[ R ] [ G ]

[ B ] * * [ A ] (5.42)

Rezultă că două circuite rezistive liniare care satisfac condiţiile (5.42) şi

pentru care există relaţia l -

n+\circuit

= n -1 M suntcircuit analizat cu metoda tens. nodale

dualc.

5.6 LINIARITATEA, RECIPROCITATEA ŞI SUPERPOZIŢIA ÎN

CAZUL CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE

După cum s-a constatat din paragrafele anterioare analiza unui

circuit rezistiv liniar conduce, indiferent de metoda de analiză utilizată, la

necesitatea soluţionării unui sistem algebric liniar de ecuaţii. Aceasta are

drept consecinţă faptul că circuitele liniare satisfac teorema reciprocităţii şi

teorema superpoziţiei.

Pentru a demonstra faptul că un circuit rezistiv liniar este reciproc

se consideră cazul circuitului prezentat în Fig.5.12.a. In circuit există o

circuit analizat cu mctodac.de bucla

sistemul dc ecuaţii:

S I

singură sursă de semnal care acţionează în latura L Alegând laturile i şi/ drept coarde

şi aplicând metoda curenţilor de buclă se poate scrie

http://mctodac.de/

= 0

Curentul in latura./ va fi de forma:

0 = % = Aunde A este determinantul sistemului de ecuaţii (5.43). iar A,y esteminorul asociat liniei /' şi coloanei/

Dacă semnalul de excitaţie acţionează în latura / (Fig.5.12.b)

atunci curentul in latura i . i ] . va avea expresia:

(5.45)

obţinută prin soluţionarea unui sistem de forma (5.43), în care termenul liber

nenul apare în linia/. Deoarece minorii A,y şi A;, sunt egali, matricea

coeficienţilor fiind simetrică faţă de diagonala principală, rezultă că este

îndeplinită condiţia:

adică circuitul satisface teorema reciprocităţii.

In mod similar se poate demonstra teorema reciprocităţii dacă sursa

de semnal este un generator ideal de curent, utilizându-se în acest caz

teorema tensiunilor nodale.

Circuitele liniare rezistive satisfac teorema superpoziţiei. Astfel,

considerând din nou circuitul din Fig.5.1 l.a se observă că dacă semnalul de

excitaţie creşte de X ori_(/.c) semnalul răspuns va creşte, conform relaţiei

(5.44), tot de X ori. în plus, dacă in circuit există două surse de semnal care

acţionează în corzile asociate buclelorp şi q, ep şi eq, scriind sistemul de

ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei curenţilor de buclă rezultă un sistem de

forma (5.43) cu doi termeni liberi nenuli în liniile p i q. Curentul în latura j

va avea expresia:

(5,

124

Clipitului 5

(5.4:

+

« • •

+ ... = 0

Circuite rezistive liniarei - i - A"> o

+ (5.47)


fiind egal cu suma a doi curenţi

determinaţi de

acţiunea câte unui singur generator.

Utilizarea teoremei superpoziţiei poate simplifica uneori analiza

circuitelor electrice dacă se determină pe rând răspunsul la acţiunea fiecărei

surse de semnal şi apoi se însumează răspunsurile astfel obţinute.

5.7 CIRCUITE REZISTIVE TIP UNI PORT (CIRCUITE DIPOLARE)

Un circuit uniport. sau dipol electric, este un circuit cu două borne

de acces. Dacă circuitul este compus numai din elemente pasive, uni-portul

este pasiv, în caz contrar el fiind activ.

Un uniport pasiv rezistiv (care conţine numai rezistenţe) poate fi

substituit printr-o rezistenţă echivalentă a cărei valoare poate fi determinată

fie experimental, prin măsurători de tensiune şi de curent, fie analitic,

utilizând regulile de grupare ale rezistoarelor (Fig.5.13).

Este de asemenea posibil ca determinarea rezistenţei echivalente a

unui uniport cu o structură internă cunoscută să fie realizată prin aşa-

numita metodă a aplicării sursei. Conform acestei metode se consideră

circuitul alimentat de un generator ideal de tensiune sau de curent, se

efectuează apoi analiza

exprimându-se

tensiunea aplicată şi curentul w

absorbit, obţinându-se în final

rezistenţa echivalentă cu relaţia:

Uniport

rezistiv

'îl

A

A "

Circuite rezistive liniare*e=

4. (5.48)

FiS'

5-

13

Exemplul 5. f i Să se determine rezistenţa echivalentă Rab o grupării din

FigJ. M . cele 12 rezistenţe egale. R. fiind dispuse pe laturile

unui cub.Se consideră dipolul alimentai

cu o sursă de curent. is. Din motive de

simetrie curenţii /,. h, h sunt egali:•

/( _ j2 = j } = 'jL. Tot din motive de

simetrie curenţii U Ş> h, precum şi curenţii în laturile analoage acestora

r

sunt egali; /4 = i

s = ^ = - j • în mod

asemănător curenţii fa h şi U sunt egali

i6 = i j -1

8 = —. Astfel

tensiunea U ^ S Q poate scrie urmărind un traseu conductor între nodurile A şi

B şi aplicând teorema a doua a Iui Kirchhoffi

' 2 ig _|

8= -/?/'. Rezistenţa echivalentă va 6

*

Un uniport activ rezistiv admite o schemă echivalentă de tip generator

real de tensiune sau generator real de curent (Fig.5.15). Pentru a determina

parametrii acestor scheme echivalente (R c , e, /g) se consideră situaţia în care

dipolul alimentează o rezistenţă de sarcină Rs (Fig.5.16.a). Curentul prin R,

este curentul furnizat de dipol i\Q=i0. în etapa următoare

/

Uniport

u

rezistivactiv

a )

s e c o n e c t e a z ă î n s e r i e c u R, un generator ideal de tensiune de valoare

aleasă astfel mcât curentul prin R, să se anuleze (Fig.5.16.b). Notând cu /,

(.-l)_q_


curentul furnizat dc sursa dc tensiune e şi aplicând teorema superpoziţici se obţine iD+U=0. Această situaţie este similară mersului in gol când /f s-.co

şi /'AB=0. Tensiunea între bornele A şi B va fi în acest caz tensiunea de mers în gol UABO- Scriind teorema lui Joubert pentru latura serie R s e rezultă că valoarea tensiunii este:

"ABQ = e (5.49)

in line uniportul se pasivizează (Fig.5.16.c) caz în care prin R s va circula

curentul U—io, egal şi de sens contrar curentului iniţial furnizat de dipol.

M) ' A BM

UniportJ,

rezistivactiv u

( B )a)

Uniport pasivizat D(B )

c)

Uniport —c

rezistiv "ABo

activ_

IB)

(.1)-o—

Om

'AB

\R>

Fig. 5.16

Uniportul pasivizat se substituie prin rezistenţa sa echivalentă în rapo cu

bornele A şi B, R, , (Fig.5.16.d). iar sensul sursei e se inversează pentru a

schimba sensul curentului, revenindu-se astfel la situaţia originală când

curentul prin R> era /'o-

Se observă că dacă Ks=0, adică bornele A şi B sunt scurtcircuitate, se

obţine un curent /Absc, iar *c se poate exprima cu ajutorul relaţiei:

"ABo . (5.50)

AB,c

Re

R, « AB

130


Conform schemei echivalente din Fig.5.16.d curenml în rezistenţa de

sarcină se poate exprima cu ajutorul relaţiei:

131

Capitolul 5

Alin (5.51

Echivalenta dintre un dipol activ rezistiv şi un generator real di

tensiune (FigSAS.a şi b) ai cărui parametri au semnificaţiile precizate prin

rela\iile (5.49X (5.50) formează conţinutul

tensiune (sau teorema Iui Thevenin).

în mod analog, deoarece orice generator real de tensi (Fig.S.lS.b)

fi substituit printr-un generator real de cure. (Fig.5.15.c) rezultă că un circuit

uniport activ rezistiv se poate echivala cu un generator real de

generatorului echivalent de curent sau teorema

generatorului va fi-

'AR* (5.52)

reprezentând curentul de scurtcircuit al dipolului. Tensiunea la bornele

rezistenţei de sarcină, //AB, se poate exprima cu ajutorul relaţiei:

z/A B= *AB&C

Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent pot fi utilizate ca metode de analiză a circuitelor electrice rezistive în situaţia în care interesează răspunsul circuitului (tensiune sau curent) pe o singură latură a sa.

Exemplul 5*8 Să se determine curentul i

utilizând metoda generatorului echivalent de tensiune.

132

Capitolul 5

c )

133

Capitolul 5134

Capitolul 5

c )

a)

Fig. 5. 17

135

Pentru a determină dipolul echivalent în raport cu bornele A-B se deconectează R, şi apoi se determină pe rând parametrii Rc şi ,,Ano . Prin pasivizarca dipolului cu bornele de acces A şi B se obţine schema din Fig.5.17.b având rezistenţa echivalentă:

Tensiunea la mersul în gol se obţine analizând schema din Fig.5.17.c, de exemplu cu ajutorul metodei tensiunilor nodale. Astfel se obţine sistemul dc ecuaţii:

5.8 TEOREMA TRANSFERULUI PUTERII MAXIME ÎNTRE UN

UNIPORT LINIAR ACTIV ŞI UNUL PASIV

Se consideră situaţia în care un uniport activ rezistiv (o sursă de

semnal) alimentează un uniport pasiv (un receptor) (Fig.5.18.a). Fiecare din

cei doi uniporţi poate fi substituit primr-un dipol echivalent, obţinându-se

circuitul din Fig.5.18.b. Puterea absorbită de receptorul R,

Fig. 5.18

" io = ~e\

prin a cărui soluţionare se obţine tensiunea de mers în gol:

"aho = "30 •

Ui)

11

Uniport

rezistiv activ

Uniport rezistivpasiv

Fig. 5.18

Capitolul S

ss

de la sursă are expresia:

ABn

Interesează să se determine în ce condiţii puterea absorbită dc

rezistenţa de sarcină este maximă, in acest scop se calculează derivata dc

ordinul 1 a funcţiei />,(/?,): + R S - - 2 R , ( R C + R < ) _ „ 2 R < - R <

-----------------------:

dP.Impunând condiţia —L = 0 se obţine:

dA",

R, = Re. - a (5-55)

Pentru a stabili natura punctului Rs = Re (maxim, minim sau punct

staţionar) se calculează derivata de ordinul II:

d -P .

1

dR = -u ABN 8/? 3 "

Deoarece —f < 0, în punctul A\ = R r . rezultă că acesta reprezintă un dR:

punct de maxim pentru P„ şi Ps

Randamentul de transfer al puterii de la generator la receptor are, în

valoarea:

R"AB,* " R, + R, = - = 50%.

In Fig.5.19 sunt reprezentate graficele funcţiilor P,(R 5) şi respectiv r\După cum se poate observa. în condiţia Rt»Rc puterea transm.să este mai

mică, dar randamentul este mai apropiat de 1, în timp ce pentru valori ale

rezistenţei de sarcină R s = * . puterca l r a n s m i s ă are valoarea maximă, însă jumătate

din puterea generatorului se pierde pe

•\H(iABN 1*,+*,)( R , + R , rdA*

A R

0 R,.

Fig. 5. 1 9

Circuite rezistive liniare 89

rezistenţa R©, neajungând la receptor.

Dacă se realizează condiţia /?ţ = R c % se spune că sarcina este adaptată

la generator.

1

--------------

|-------;---------1

----1-------------1----------1------— i------------1

-------------.

0 Rr

CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM PERMANENT

SINUSOIDAL

mul permanent sinusoidal este regimul de funcţionare al unui it în care

toate semnalele electrice sunt sinusoidale, de aceeaşi pulsaţie co. Acest tip de

regim este frecvent întâlnit atât în tehnica curenţilor tari (transmiterea

Unii de înaltă sau joasă tensiune, maşini electrice de

curent alternativ, etc). cât şi în tehnica curenţilor slabi ( î n radiocomunkaţ'ri).

permanent sinusoidal prezintă importanţă nu numai datorită

incidenţei sale în electrotehnică, cât şi datorită faptului că furnizează un

suport teoretic necesar abordării analizei altor regimuri cum este. de exemplu,

regimul permanent periodic nesinusoidal.

SEMNALE PERIODICE ŞI SEMNALE SINUSOIDALE

Un semnal periodic.^/), de perioadă T, satisface relaţia: f ( t ) = f ( i +

f ( i + n T ) ,V/el? , n e N .

reprezintă intervalul minim de timp după care valorile semnalului

In cazul unui semnal periodic se definesc următorii parametri:

valoarea medie pe o perioadă:

7(0 = } j /(T)DT = -i:"{/(T)DT.

(6.1)

n semnal periodic cu valoare medie nulă pe o perioadă se numeşte semnal

alternativ, valoarea efectivă:

142(6.2)

. valoarea de vârf (amplitudinea):

^ = moax{|/(/)|}. (fif)

Dacă funcţia M are o variaţie de forma unui sinus sau a unui cosmus

semnalul eons.derat este sinusoidal, in prineipiu se poate alege ea formă dc

referinţa a semnalului sinusoidal fie forma în sinus fie d-a in cosinus, trecerea

de la o formă la cealaltă efectuîndu-se cu ajutorul relaţiilor:

sinet = cos a - —

;'; 2în cele ce urmează se

consideră expresia de referinţă pentru

semnalul sinusoidal de forma:

/ ( / ) = Fm sinţo)/ + (p),

(6.4)

in care:./(/) reprezintă valoarea instantanee a semnalului la momentul /. Fm

amplitudinea semnalului, cor+tp faza semnalului la momentul i. a>=2jif=27t/T

pulsaţia semnalului, f frecvenţa sa. iar 

(2n + <ji) (o/ + 4.)

143Fig.6.1

Valoarea de vârf a unui semnal sinusoidal este amplitudinea sa, Fm, iar

valoarea sa medie pe o perioadă este zero deoarece

Capitolul 6|Fmsin((O/ +

cp)=0.(6.5)

o

Valoarea efectivă a semnalului /(/) este:

astfel încât semnalul sinusoidal se mai poate scrie sub forma:

/(/) = F>/2sin(cor + <p).

(6.7)Se consideră două semnale f \{ t) şif i( t ) de aceeaşi frecvenţă, dar cu faze

iniţiale diferite:

/,(/) = F,V2sin(co/ + <p,),

/ , ( / ) = F2 4l sin(ow + 9,). Defazajul dintre cele două

semnale, cp. este egal cu diferenţa fazelor lor:

9=91-92-fn funcţie de semnul sau de valoarea defazajului 0 f \( t) este în avans de fază faţă de /:(/);

b) <p<0 f \( t) este în întârziere de fază faţă de/:(/);

c) <p=0 f \( t) ş'ifiit) sunt fn fază;

d) <p=±7t/2 f \{ t) ş\f i( t ) sunt în cuadratură;

e) q>=±7t /|(/) şi/:(0 sunt în opoziţie de fază.

In Fig.6.2 a.b.c sunt reprezentate două semnale aflate în cazurile c), a), respectiv

e).

\

/2\

b ) Fig. 6.2 A c )

1441

■A If if

a)

T 0 T 0

Capitolul 6Defazajul dintre un semnal sinusoidal J [ t ) şi derivata sa în raport

145

Fig. 6.3

umăr emregmpermanent sinusoidal93

cu timpul sc obţine calculând /"(/);

= coFmcos(

W + (p

) = (oFmSi

!

J[ i ) cste dcfa2afă cu - . 1}

amplitudinea derivatei este de © ori mai mare ' ^ accstuia, iarDefazajul intre primitiva semnalului şi semnal»!

Ş1 semna'"l ong.nal se obţine

/(0d/ = -^cos(wr + 9) = ^sin^/ + ^£N Prin urmare integrala în raport cu

Suma a doua semnale sinusoidale de aceeaşi pulsaţie o, este tot un semnal sinusoida de pulsaţie a>, în schlmb produsu, J £ ^sinusoidale de pulsaţie co nu este o mărime sinusoidală.

6.2 REPREZENTAREA SIMBOLICĂ PRIN MĂRIMI

COMPLEXE A SEMNALELOR SINUSOIDALE

Se consideră funcţia sinusoidală /(/) de forma (6.4). Acesteia i se poate

asocia în mod unic numărul complex:

/(/) = Fmej(0,,+*\ (6.9)

Funcţia originală se poate regăsi cu ajutorul relaţiei:

/ ( / ) = \m\jXt)\. (6.10)

Mărimea complexă /(/) reprezintă valoarea

instantanee complexă a semnalului /(/). Afixul corespunzător numărului

complex /(/) descrie în planul complex pe durata

un cerc cu centrul in origine, de rază Fm (Fig.6.3).

Corespondenţa biunivocă între semnalul /(() şi valoarea sa

71OJ/ + cp +

147

complexă stabilită prin relaţiile (6.9), (6.10) se numeşte reprezentare simbolică în

complex nesimplificat.

Reprezentarea semnalelor sinusoidale sub formă de valori instantanee

complexe se bucură de următoarele proprietăţi:

a) operaţiei de sumare în domeniul timp a funcţiilor reale îi corespunde

operaţia de sumare a valorilor instantanee complexe a celor două funcţii:

/, (0 + h (0 = lm^(0}+ Iml/; (/)) = = Im{£(/)

+ £(/)}

b) operaţiei de înmulţire cu un scalar real a funcţiei J{ t ) îi corespunde

înmulţirea cu acelaşi scalar a funcţiei /(/) :

X f ( t ) = U m { £ ( ( ) } = l m { X £ ( t ) } , X e R ;

c) ca o consecinţă a proprietăţilor a) şi b). unei combinaţii liniare de funcţii reale

în domeniul timp îi corespunde aceeaşi combinaţie liniară a valorilor instantanee

complexe:

d) operaţiei de derivare în raport cu timpul a semnalului f[ t ) îi corespunde

înmulţirea cu jco a valorii sale instantanee complexe:

d/ c . r.— = coFm sin co/ + cp + —d/

j to/+<p~

= Im-! coFme v= Im{jcD/(0};

:) operaţiei de integrare

în raport cu timpul a funcţiei reale /(/) îi corespunde împărţirea valorii instantanee

complexe prin jco:

|/(/)d/=-^-sinJ cotŞt+tp-E | = im^

"' e 1 20)

ImF i ej(oj/

+ip)

2 j

Fm

produsul a două funcţii sinusoidale de aceeaşi pulsaţie/,(/) şi f2(f) nu ite o funcţie

sinusoidală şi prin urmare nu are o reprezentare simbolică sub formă de număr

complex:

149

/, CO • fi (O = Fim sin(u' + 9. )• F2m sin(wr

+ q>2) = [cos((p, - <p2) - cos(2cor + cp,

+ <p2)]

în concise deoarece regula de reprezentare a funcţiilor sinusoidale sub

formă de valori instantanee complexe este o S£ „niara, care transforma

denvarea şi integrarea în raport cu timpul întro operaţie de înmulţire cu o

constantă complexă, rezultă că oricărui operator l.n.ar mtegro-d.ferenţial aplicat

unei funcţii//) îi corespunde o operaţie algebrică de înmulţire cu o constantă

complexă a lui /(/). Astfel unei expresii de forma:

a f( tY+b—+cjf( j )dt , a ,b,c< = R (6.11)

ii va corespunde prin reprezentarea în complex nesimplificat expresia:

a f ( t ) + } ( o b f ( t ) + — f ( t ) . (6.12)- Jffi-

Se poate constata astfel că utilizarea reprezentării simbolice în complex

simplificat transformă ecuaţiile integro-diferenţiale scrise în domeniul timp în

ecuaţii algebrice cu coeficienţi complecşi.

Utilizând regula de însumare a numerelor complexe în planul (+1, +j),

ilustrată în Fig.6.4.a, rezultă că expresia (6.12) admite o reprezentare în planul

complex ca în Fig.6.4.b. în această reprezentare s-a ţinut seama de faptul că

y=fi'*n şi l/j=e'ir'2 ceea ce înseamnă că o

F,„.F I m ' 2m

b)

a ) Fig. 6.4

151

înmulţire sau o împărţire cu j implică o creştere, respectiv o scădere a

fazei cu n/2.

O modalitate mai simplă de reprezentare prin numere complexe a

semnalelor sinusoidale se poate obţine dacă se observă că în regim

permanent sinusoidal toate semnalele au aceeaşi pulsaţie, cunoscută, o),

astfel încât informaţiile legate de semnal se referă la amplitudinea sa (sau

la valoarea efectivă) şi la faza sa iniţială. Astfel, semnalului

/(/) = /rV2sin(co/ + (p) i se

poate asocia in mod unic numărul complex:

F = Fe* . . . . (6.13)

numit valoarea efectivă complexă a semnalului. Corespondenţa inversă

între F şi funcţia//) este asigurată de relaţia:/ ( / ) = lm{£(t)} = Im[/2£e^}. (6.14)

Se observă că între semnalul./?/) şi valoarea sa efectivă complexă există o

corespondenţă biunivocă stabilită prin relaţiile (6.13), (6.14).

în planul complex afixul numărului complex F este fix şi nu rotitor

ca în cazul lui £ ( t ) (Fig.6.5). Vectorul care uneşte originea cu

afixul lui F s c numeşte fazor.

formă de valori efective complexe se numeşte reprezentare în complex simplificat. Această mod de reprezentare se bucură de aceleaşi proprietăţi ca şi reprezentarea în complex nesimplificat, putându-se stabili corespondenje între expresiile în domeniul timp şi cele în complex simplificat, după cum urmează:

a) proprietatea de aditivitate:

/i(0 + /2(0- I m U ^

/.(0+/2(0*»3+2|

b) înmulţirea cu un scalar real, X :

+j

0 +Fig. 6.5

Jtot

c) proprietatea de liniaritate este o corneei,,,* a proprietăţilor a) şi b)-

d) derivatei în raport cu timpul a lui J [ , ) 5i corespunde înmulţireavalorii efective complexe:

-~ = lm(j(o/(0)= lm(j(o£V2eil0'} d/

c) integralei în raport cu timpul a semnalului J [ t ) îi corespunde împărţirea prin jco a valorii efective complexe:

III)/f U ) â i = Im JO)

= Im- 10)

J jco

0 unui operator liniar integro-difercnţial ii corespunde prin

reprezentarea în complex simplificat un operator algebric de înmulţire

cu o constantă complexă:

4Ta/(/) + />— + c f/(/)d/<-> o + jo)fe + ^-

dr J l j«>

Astfel, utilizarea reprezentării simbolice sub formă de valori efective

complexe permite să se asocieze ecuaţiilor integro-difcrcnţialc scrise in

domeniul timp. ecuaţii algebrice cu coeficienţi complecşi. Deoarece

frecvenţa semnalelor apare în mod explicit în aceste ecuaţii prin

cu io) a

intervenţia factorului jco=j-2*f. acest tip de reprezentare mai poartă

numele de reprezentare în domeniul frecvenţă. Unei expresii algebrice

de forma:

a F + m b F + ~ - £- 1(0

îi corespunde în planul complex o diagramă fazorială care se construieşte rinând

scama de regula de însumare a numerelor complexe ş. dc efectul Înmulţirii,

rspectiv împărţirii fazoruiui F prin constanta complexă jco (Fig.6.6).

Fig. 6.6

6.3 FORMA ÎN COMPLEX A TEOREMELOR LUI K1RCIIHOFF

Se consideră un circuit aflat în regim permanent sinusoidal pentru care

curentul într-o latură k a sa este de forma:

/x.(0 = ^V2sin(o)/ + Y/A) (6.15)

având reprezentarea în complex simplificat

i = 4EÎT*; (6.16)

In baza proprietăţii de aditivitate, prezentată în paragraful anterior, teorema I a

lui Kirchhoff scrisă în domeniul timp.

£'*(') = 0 , (6.17)

admite o reprezentare în complex simplificat de forma:

(6.18)

In Fig. 6.7 este exemplificat cazul în care sunt trei laturi incidente în

157nodul (a).

-/ ,( /)- ': (O+ /3 (0 = 0

- / , - Z 2 + Z 3 = 0 .

Pentru scrierea teoremei dc

tensiuni se presupune cfi tensiunea la

bornele laturii k are expresia: Mt(0 =

^V2sin(O)/ + Y U I ) (6.19)

cârcia îi corespunde valoarea efectivă

complexă:

Teorema de tensiuni scrisă în domeniul timp

X'MO = 0*€(V]

se poate exprima în complex simplificat sub forma:2> = o .

In Fig 6.8 este ilustrată scrierea teoremei de tensiuni pentru o buclă formată din cinci latun dipolare.

Trebuie menţionat că în schema unui circuit electric semnalele se

notează fie pnn valorile lor instantanee reale, fie prin valorile lor instantanee

sau efective complexe, nef.ind permise notaţii combinate

Fig. 6.S

Fig. 6.7

(6.20)

(6.21)

(6.22)

158Capitoi tu

6.4 FORMA ÎN COMPLEX A TEOREMEI LUI JOUBERT

Teorema lui Joubert. prezentată în §3.2. exprimă relaţia dintre I5iune şi curent pentru o latură RLC serie activă cu cuplaje magnetice |

(Fig.6.9): ii 9a».<'>=^«<"+ir+rJ"(')d'"e'<')

în exprimarea fluxului magnetic total prin spirele bobinei, %

trebuie să se ţină seama de posibilitatea existenţei unor cuplaje

magnetice între bobina din latura A- şi bobine din alte laturi, aflate la o distanţăFig. 6.9

suficient de mica pentru ca o parte din fluxul magnetic produs de curentul din

acestea să intersecteze suprafaţa spirelor bobinei k. După cum s-a arătat in

§2.1.2 fluxul magnetic total prin suprafaţa spirelor bobinei k are expresia:

A' A'

**(') = X= W) + £ V,C) (6-24)s = 5 = 1

unde Lk reprezintă inductivitatea proprie a bobinei A% iar Lfa este inductivitatea

mutuală dintre bobinele k şi s. în expresia (6.23) sutnarea se efectuează algebric

ţinăndu-se seama de tipul de cuplaj: aditiv sau diferenţial.

Tensiunea Ia bornele bobinei are expresia:

Circuite liniare in regim permanent sinusoidal 101

în regim permanent sinusoidal curenţii din laturile circuitului au valori

instantanee de forma (6.15) şi valori efective complexe de forma (6.16). Utilizând

regulile de reprezentare în complex simplificat rezultă că valoarea efectivă

complexă a tensiunii la bornele bobinei Lk are expresia:

N

U -k = U LKeJT"u = joi*Lk + ]T jtoLfaZ, • (6.26)

s*k

Dacă latura k, reprezentată în Fig.6.9, are un singur cuplaj magnetic, cu latura s,

sensurile curenţilor fiind cele din figură, atunci, cuplajul magnetic fiind aditiv,

tensiunea jŢu are expresia:

LLLk =\(aLkLk +}®L k sL t . Dacă sensul curentului /, este

opus celui din figură, atunci cuplajul magnetic este diferenţial, iar tensiunea (Ţu

se scrie sub forma:

U_Ll = '}<oL kL k-}<iiL l aL s .

Având în vedere expresia (6.26) şi regulile de reprezentare în complex,

rezultă că relaţiei integro-diferenţiale (6.23) îi va corespunde relaţia algebrică:

N j

= R kL k + jcoZ,tZ* + Y jinft&£ +—^Lk Grupând termenii se

obţine:

i i

Rk+JG>h +—— \h + jcoYLhLs ~Ek (6-27)JOC. —

Relaţia (6.27) reprezintă forma în complex a teoremei lui Joubert pentru latura

RLC serie activă cu cuplaje magnetice. Mărimea complexă

Capitolul 6

I= R t + i

ioLt - (6.28)

reprezintă impedanţa complexă proprie a laturii k, iar

reprezintă impedanţa complexă mutuală între laturile k şi s.înnhprt se mai nc

fonna:

(6.30)ar»l

Schema electrică corespunzătoare ecuaţiei (6.27) este reprezentată în

Fig.6.9.b. Se observă că toate semnalele sunt notate prin valorile lor efective

complexe, iar elementele pasive de circuit sunt notate prin impedanţele lor

complexe (/?*, j©Z*, I/jo)C*).

Dacă în relaţia (6.22) se înlocuiesc expresiile tensiunilor cu reiaţii de

forma (6.27) sau (6.30) şi se grupează termenii, se obţine o formă echivalentă

a teoremei Kirchhoff II în complex:

s

i*€fv 5=1 = 2>

(6.31)

nia nupcutuiiu tuui itAu .......--------------- .

Cu aceste notaţii teorema lui Joubert se mai poate scrie sub

161

(6.29)

(6.35)

Fig. 6.10

Capitolul 6Dacă latura k nu prezintă cuplaje magnetice cu alte laturi, atunci

Lb=0 şi teorema lui Joubert capătă forma mai simplă:

U k = \ R k + jcoZ., +^rj/4 ~ E

caz teorema de tensiuni se reduce la:

2^Z*lk =

*«fv] X-

Se poate constata analogia formală dintre relaţiile (6 32)

res^nv (6.33) şi relaţiile scrise în cazul unei laturi active rezistive

laturilor rezisten<e,or fiind h* de impedanţele complexe ale

6.5 PUTERI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

•f, rSi.dC,mUTCirCUit Unip°n ftinc»ionâ"d în regim permanent sinusoidal (F.g.6.10). Tensiunea la borne şi curentul absorbit de circuit sunt dc forma:

t

//(/) = (/ V2sin(cor + Yu) >/(/) =

/V2sin(a)r + YJ1' ' Puterea

instantanee Ia bornele circuitului arc expresia:

yu )sin(cof + y t) = Ul[cos{yu - yJ - COS(2(O/ +

instantanee nu este o mărime

dintre un termen j constant şi un termen sinusoidal de frecvenţă dublă, " '

numită putere oscilantă:

(6.34)

162

1 6 3

P o ( t ) = U I s m

2co/ + Yw+y|.--|. (6.36)

Puterea activă se defineşte ca fiind valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee:

j T

P « — \p(t)ât = UI cos(yu - yi) = UI cos<p. (6.37)1 o

în expresia (6.37) s-a notat cu (p=Yu-Yi defazajul dintre tensiune şi curent.

Dacă P>0 puterea activă este absorbită de circuitul uniport, iar dacă P<0 puterea

activă este cedată circuitului exterior. Unitatea de măsură pentru puterea activă

este wattul (W).

Energia electrică primită sau cedată de circuit într-un interval de timp

egal cu un număr întreg de perioade, nT, este:f f f

W - J/7(/)d/ = «i7/cos(p = //^ (6.38)

Puterea reactivă, Q y se defineşte cu ajutorul relaţiei:2 = t//sinip (6.39)

şi este egală cu valoarea medie pe o perioadă a oricăreia dintre mărimile:

9,c)=«(')'!'+-J ; ^( / ) = M

TT (6.40

)

Q

=

L J«(/)//+jjd/ = | Jc//sin((o/ + yH

)sin 7T

co/ + Y/ + — ]d/ =

UI cos| y„ -Y, l -cos|

2

d/ = t7/ s in(y ( / -Y . )

U■

Interpretarea semnului puterii reactive este aceeaşi ca în cazul puterii active:

Q>0 semnifică o putere reactivă primită de circuit, iar O<0 o putere reactivă

cedată. Unitatea de măsură pentru puterea reactivă se numeşte Var,

Ulterior se va arăta că puterea activă este legată de transformarea

ireversibila a unei părţi din energia electrică în căldură. în timp ce puterea

reactivă apare ca efect al acumulărilor de energie electrică, respectiv magnetică

în câmpul electric al condensatoarelor, respectiv în câmpul magnetic al

bobinelor.

Se defineşte puterea aparentă, 5, mărimea egală cu produsul între

valoarea efectivă a tensiunii U şi cea a curentului /:

tjj^JfcMui (6.41)

Se poate constata că puterea aparentă reprezintă maximul puterii active pentru

cazul în care cos(p=l. Unitatea de măsură pentru puterea aparentă este volt-

amperul (VA).

Se observă că între puterile astfel definite £ P şi 0, există relaţiile (Fig.6.11):

ă l

Efccruind calculele se obţine:

712o)t + Ytt+ Y , + -

1 6 5

/? = 67coscp = 5'cos(p

0 = Ltfsin(p = Ssin(p

(6.42)

cele «rc. mărimi S. P şj q formâ rf

Fâcând apel la reprezentarea nrim ' ^PtUn8WC a' pUtcri,°'-valori efective complexe se poate uşor ohT 8U1U8oidaIe

formă dcQ pot fi reunite într-o singură relaţie dacă CC'C W pu,cri * * *

== w cos «p+(/, sin v B p e ; (6.43)

Mănmea complexă Ş definită prin relaţia (6 43) c n

aparentă complexă. în relaţia (6.43) s-a nota, rin ' 5*valorii efective complexe a curentul " P, ~ conJugatul

aparentă pot fi determinate, dacă se cunLe îSl rCaCtivă şi

cu ajutorul relaţiilor: Ş,C pu,crea aParcntă complexă.

*«Re<Ş ; 0 = Im<Ş} ;

In planul complex (-f|,+j) aceste puteri fonncază un triunghi dreptunghic (Fig.6.12) reprezentând relaţia Ş=P+jQ,

Pentru a caracteriza transmisia puterii active

in regim permanent sinusoidal se defineşte mărimea

*P, numită factorul dc putere al circuitului:k p = - = costp.

(6.45)

Factorul de putere al unui receptor este un număr adimensional care ia valori în

intervalul [0. 1]. în cazul A>=0 nu se transmite putere activă, iar în cazul Ap=l

puterea activă transmisă este egală cu puterea aparentă.

6.6 CIRCUITE ELECTRICE SIMPLE ÎN REGIM PERMANENT

SINUSOIDAL

6.6.1 Dipolul RLC serie fără cuplaje magnetice

(6.44)

0Fig. 6.12

167Se consideră un circuit uniport (dipol) obţinut prin gruparea în

serie a unui rezistor. R. a unei bobine ^ R de

inductanţă L şi a unui condensator <f-H de

capacitate C (Fig. 6.13). Circuitul este

alimentat cu o tensiune sinusoidală de

pulsaţie io. Datorită liniarităţii circuitului

curentul este de asemenea sinusoidal de

aceeaşi pulsaţie.Teorema lui Joubert scrisă în valori efective complexe are

expresia:

iZ= R + j(oL + -jcoCV

z = z z (6.46)

unde

Z = R + }\ a>L-2G)C

(6.47)

este impedanţa complexă proprie a laturii RLC serie. MărimeaX, = (oL

numeşte reactanţă inductivă a bobinei, iar mărimea

1

(6.48)

(oC (6.49)

constituie reactanţă capacitivă a condensatorului. Partea imaginară a impedanţei Z

X = l m { Z } = X L - X c (6.50)

rezintă reactanţă laturii RLC serie. Se observă că atât reactanţă inductivă

cât şi cea capacitivă depind de frecvenţă.Impedanţa complexă poate fi scrisă şi sub formă polară:

1 = 2*" (6.51)unde modulul impedanţei Z

(6.52)( o L -

1

1_

coC

constituie impedanţa (reală) a laturii RLC serie, iar argumentul lui Z este:

Circuite liniare in regim permanent sinusal 107

(OL-9 = arg{Z} = arctg — = arţg coC

R R (6.53)

Unitatea de măsură pentru imnîm*,uu,u impeaanţa şi pentru reactanţă este

ohm-ul («).

Dacă dipolul RLC serie este alimentat în tensiune atunci curentul arc valoarea efectivă complexă:

(6.54)/? + j COL -

astfel încât valoarea efectivă a curentului are expresia: / = ^-, iar

iniţială a acestuia este: y, =y„-q> . Unghiul <p = argţZJ = yu -y,

reprezintă defazajul pe care latura RLC serie îl introduce între tensiune şi

Conform relaţiei (6.53) defazajul <p ia valori în intervalul

. Semnul şi unele valori particulare ale defazajului permit

caracterizarea dipolului RLC seric după cum urmează:

f , ceea ce înseamnă XC <X'L , dipolul este inductiv;

ceea ce înseamnă Xc>Xi, dipolul este capacitiv;

<p = — dipolul este pur inductiv; (p

= -— dipolul este pur capacitiv;

cp=0 : în cazul Xc=X,*0 dipolul funcţionează la rezonanţă, iar în cazul

=XL=Q. dipolul este pur rezistiv.Valorile efective complexe ale tensiunilor la bornele elementelor

X

%- = /eiT'Z e2

«C

utusoulul

I

de circuit sunt:

U_R= R L = /?/eJY<

U L = j w U =

j X L L

(6.55)

Ecuaţia de tensiuni :

U_ = y- R+ U .L+ V -c

admite o reprezentare ca în Fig.6.14. numită

diagramă fazorială de

De asemenea, impedanţa complexă Z = /? + ] { X L -

reprezentată în planul complex al impedanţelor obţinându-se un triunghi al

impedanţelor ca în Fig.6.15 (desenele corespund dipolului capacitiv).

x

tensiuni.

Fig. 6.14 Fig. 6.15

Mărimea complexă Ydefinită cu ajutorul relaţiei:

1 R Vj . , ' , 2 =G,-j*, = re-fr (6.57)Y = l =

se numeşte admitanţa complexă a dipolului. Partea sa reală, Gft constituie

conductanţa echivalentă, iar panea sa imaginară, B,. se numeşte susceptanţa

echivalentă a dipolului. Se observă că există relaţiile:

G- = Re!n = R X

Circuite liniare in regim permanent sinusoi109

(6.59)

reprezintă admitanţa reală a circuitului RLC serieConductanţa, susceptanţa şi admitanţa se măsoară în Siemens * ohm'

Cu aceste definiţii curentul / se mai poate scrie:

Puterea aparentă complexă la bornele laturii RLC sene arc

U L = Z L L = Z I 2 = ( R + j ( X L - X c ) ) l 2 = P + i Q (6.61)

Puterea activă

P = R c { S } = R I 2 > 0 (6.62)

este absorbită de circuit şi transformată ireversibil în căldură de către rezistorul

conform legii transformării energiei în conductoarele parcurse de curent [11],

Puterea reactivă, £, are expresia:

Q = l m { Ş } = ( x , - X C ) I 2 =

în cazul unui dipol inductiv puterea reactivă este absorbită (Q>0). iar în cazul

unui dipol capacitiv ea este cedată restului circuitului (O<0).

Puterea reactivă este egală cu suma a doi termeni: puterea reactivă

inductivă, Oi/.

QL = X L 1 2 =<aU 2 > 0 , (6.64)

şi puterea reactivă capacitivă Qc

Q - - X c l 2 = - — / : < 0 (6.65)

Q = Q L + Q C -

( 666)

Sc observă că bobina cedează putere reactivă (QL>01 iar condensatorul

primeşte putere reactivă (Oc<Q).

Puterea aparentă complexă scrisă sub forma:

SAU

(6.60)

I 2 . (6.63)I O L -

(tid al

Ş = P + j ( Q L + Q c ) < 6 6 7 )

poate fi reprezentată în planul complex sub forma unei diagrame

fazoriale de puteri ca în Fig.6.16.

Expresiile (6.64). (6.65) ale putem reactive

inductive, respectiv a celei capacitive, permit să se

dea o interpretare energetică putem reactive. Astfel,

utilizând notaţia /(/) pentru valoarea medie pe o

perioadă a unei funcţii periodice, puterile reactive QL

şi Qc mai pot fi scrise sub formele:„ L Î 2 ( t )

GR = coif = (ML i ' ( t ) = 2 <o—-— Fig. 6.16

= 2cofVm(0

(6.68)

(6.69)

Relaţiile (6.68). (6.69) arată că puterea reactivă inductivă reprezintă valoarea

medie pe o perioadă a energiei înmagazinate în câmpul magnetic al bobinei

înmulţită cu dublul pulsaţiei, iar puterea reactivă capacitivă este egală cu

valoarea medie pe o perioadă a energiei înmagazinate în câmpul electric al

condensatorului înmulţită cu -2co . în sfârşit, puterea reactivă se mai poate scrie

sub forma:

Q = 2<J$?m-W

ey

(6.70)

exprimând faptul că în regim permanent sinusoidal ea este egală cu produsul

dintre 2co şi diferenţa între valoarea medie pe o perioadă a energiei magnetice

şi respectiv a celei electrice.

Acest rezultat, obţinut aici pentru cazul particular al dipolului pasiv

RLC serie, este valabil pentru orice circuit sau sistem electromagnetic care

funcţionează în regim permanent sinusoidal de pulsaţie o) [ ] 4 ] .6.6.2 Dipolul RLC paralel fără cuplaje magnetice

Fie circuitul RLC paralel alimentat cu tensiune sinusoidală de pulsaţie

(o având valoarea efectivă complexă U (Fig.6.17). Curentul total absorbit, /.

precum şi curenţii în laturi sunt sinusoidali de aceeaşi

Qc =

/ / /

Pulsaţie. Seriind teorema de eurenţi si eorema

lu, Jouben pentru fieeare din eele

R 6L =C lre' laturi se obţin relaţiile:

V = RLR = iuu, =Ip_Fig. 6.17 ~ jcoC'- , ... , Substituind expresiile celor trei curenţi de

latură in relaţia (6.71) rezultă:

coZ.-coC \ \ U . (6.73)

Mărimea complexă

1coi. = G - j f î = y e

•J<p (6.74)

reprezintă admitanţa complexă a grupului RLC paralel. Partea reală (7=1//?

este conductanţa echivalentă a grupării, iar partea imaginară

B=ii~

(aC=BL~Bc (6

-75)

reprezintă susceptanţa echivalentă, BL=MiS)L fiind susceptanţa bobinei, iar

5c=toC susceptanţa condensatorului. Mărimea )' = |y| = Vg: + B ~

reprezintă admitanţa circuitului, iar cp = arctg(S/G) unghiul de defazaj

între curent şi tensiune.

Curentul absorbit. /. poate fi exprimat în formă polară:

L = m = Ye* Ue»- = /eJTl

având valoarea efectivă

I = Y U = y l G 2 + B 2 U = J G - +

f_\_

[ L O L-coC U (6.77)

şi faza iniţială:

1 -coC

(6.76)

(6.71)

(6.72)

(6.78)

G - GEcuaţia de curenţi (6.73) permite construirea în planul complex a

unei diagrama fazoriale de curenţi (Fig.6.18); în mod asemănător relaţia

(6.74) se poate reprezenta în planul complex sub forma unui triunghi al

admitanţelor (Fig.6.19).

Fig. 6.18 Fig. 6.19

Puterea aparentă complexă absorbită de circuit pe la borne se

exprimă conform definiţiei cu ajutorul relaţiei:

Ş = U l = U ( Y U ) m = I U 2 =(G + j B ) U 2 = P + jQ (6.79)

Puterea activă absorbită de circuit este:

P=G-U2>0, (6.80)

iar puterea reactivă schimbată de dipolul RLC paralel cu restul circuitului

este:

l l 2

0 = B U 2 = ( B L - B C ) U 2 = - -----coO/2*0ioL

(6.81)

In cazul dipolului inductiv ( B / > B C ) puterea reactivă este primită de

circuit, iar în cazul celui capacitiv ( B i < B c ) puterea reactivă este cedată.

Se poate constata că ecuaţia de tensiuni (6.46) scrisă pentru circuitul

RLC serie este similară cu ecuaţia de curenţi (6.73) scrisă pentru dipolul RLC

paralel, cele două circuite fiind duale.

ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM


circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal este

Fig. 6.20

regtm permanent sinusoidal 1 1 3

mult simplificată dacă sc apelează Ia renr

simplificat. în acest caz problema de 2£T & C°mplex

întotdeauna la necesitatea soluţionării unu' ' * ClrCUllului c°nducc

ecuaţii cu coeficienţi complecşi Ca si I ' ^t** a,scbric liniar dc

prezintă în continuare cele trei metode nr" ' x C,rCuitelor «Mve se

pe utilizarea teoremelor lui Kirchhoff si ° ""^ CCa bazafi

curenţilor dc buclă şi metoda tensiunilor nliremei ^mcloda

6.7.1 Analiza cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert

Se consideră un circuit liniar cu / laturi şi n noduri funcţionând în regim

permanent sinusoidal. Spre deosebire de circuitele rezistive sau de de curent

continuu, in structura cărora există numai cuplaje galvanice - prin legături

conductoare. în regim permanent sinusoidal, datorită prezenţei cuplajelor

magnetice, este posibil să existe în componenţa reţelei

electrice subcircuite neconexc. între care nu există

legături conductoare. Un exemplu tipic în acest sens este

transformatorul (Fig.6.20), legătura între primar şi

secundar realizându-sc numai prin intermediul câmpului

magnetic.

Presupunem că circuitul considerat este compus din s

subcircuite

neconexc, fiecare având /* laturi şi m noduri. A' = l,.v.

Pentru fiecare din cele s subcircuite teorema I a lui Kirchhoff poate fi

scrisă de n>r\ ori, în total obţinându-se un număr des ___

^{n k -1) = n - s ecuaţii independente având necunoscutele /*, A- = 1./ .

Capitolul 6

tensiuni poate fi scrisă în mod independent de un număr

ori pentru fiecare subcircuit, în total obţinându-se

+l) = /- n + s ecuaţii independente în necunoscutele

1 8 2

Fig.6.21

k = 11. Astfel din scrierea teoremelor lui KirchhofT se obţin in total / ecuaţii cu

21 necunoscute. Sistemul de ecuaţii se completează cu cele / relaţii furnizate dc

teorema lui Joubert. obţinăndu-se un sistem algebric determinat. După

rezolvarea acestuia în raport cu necunoscutele se face trecerea de la valori

efective complexe la valori instantanee reale. Exemplul 6.1 In circuitul din

Fig.6.21 se cunosc: e :( t)=200 sinm-n/4), e3(t)=200^2 cos(cot), Ri=coL,=5Q,

R:=l/((oC3)=20Q. Să se determine valorile instantanee ale curenţilor în

laturi ij(t), h(t). h(t).

Valorile efective complexe ale

tensiunilor celor două ceneratoare sunt:E^fi = 100(1 -j)

4iE 3 =200e : = 200 j

Teoremele Iui KirchhofT permit

scrierea ecuaţiilor în valori efective

complexe:

( R i + jwZ.,) + R2 l 2 = £ 2 sau . numeric:

"Zi+Z: = 0 5(1 + j)Z, + 20/, = 1

00(1 - j ) . [20/2-20j/3=l00(l+j)

Sistemul obţinut are soluţia: Z,=10(I-j); ^_5j ; /3=-10+5j. Valonle tnstantanee reale

ale curenţilor de latură au expresiile:

t W>

Fig. 6.22

Capitolul 6Circuite liniare în regim permanent s

115

71

/|(/) = 20sinô)/--

i y ( i ) = V250sin| (ot -

2,

Exemplul 6.2. fn circuitul din Fig. 6.22 se

e,(t)=100<2sin(wt)(V), 1,2(0=10^2 sin(cot+n/2)

R,=Wq R }=15Q. f=5i)Hz, L,=L 3=0.]/ K

l }=0,05/n H, C,=l/n mF. Să se determine

i,(t), i3(t),

Rcactanţclc inductive au valorile: <oL\ =2nf-L i=10Q:

=10n, a)Z.13=5a Reactanţă capacitivă are valoarea Aa=l/

,)=10a iar £,=100 (V) Ţ,2=10j (A). Teoremele lui Kirchhoff

pcnnit scrierea ecuaţiilor+ z 3 = o

I

(.ÎCZ, - jo3LnZ3 +(/?3 + JOJL3)Z3 - jcoZ.13Z, = £,'

înlocuind cu valorile numerice se obţine:

-Z , + / 3 = 1 0 j

(10-5j)/, +(15 + 5j)/3 =100 având soluţia /,=6(l-j),

73=6+43. Valorile instantanee reale ale celor doi curenţi vor fi:

;,(0 = 12sin lOOnt—

11 ; /

3

(/) = 52V2 sin^lOOTt/ + arctg-

jj (A).

Exemplul 6.3 Să se determine tensiunea de mers in gol. u2

( t) . pentru

transformatorul fără miez feromagnetic din

Fig.6.23 alimentat în primar cu tensiune u

>^

sinusoidală de pulsaţie co . Valori numerice:

u,(t)=21Q^2 sintot (V), R,=I()(IQ,

=75Q, L,=0,2H,

Fig. 6.23

;/2(0 = 5^2sini © / - - l -2 '

1 8 4

sinusoidal

Li=0.15H. L I 2 =0,1H. C, = 10 f iF. a>=500s ' .

La mersul în gol curentul în secundar este /2(/)=0. Pentru circuitul

neconex din Fig.6.23 se pot scrie două ecuaţii de tensiuni, pentru primar şi

pentru secundar:

m =(*t + J <oZ,)Zi -jcoL l2/2 -^Ţ^>U .2 =~(R2 + 3 ®£i)H + J mZ-i2-£i Dacă se ţine seama de faptul că

£=0 se obţine curentul în primar:LLi _ 21(1 +j)

Xi = —

20

secundar va fi: U2\,^ = jî.li =52,5(-l + j) (V) având valoarea——

in. Tensiunea de mers în gol

Capitolul 6

instantanee reală: w:(0|n=0 =105sin 500/ + y | (V) .

6.7.2 Forma matriceală a teoremelor Iui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert

Teorema I a lui Kirchhoff scrisă în valori efective complexe cu ajutorul

relaţiei (6.18) pentru cele n -s noduri independente admite o exprimare

compactă, matriceală, similară celei din domeniul timp (relaţia (4.2)), de forma:

[A]'1/1=0 (6.82)

Dacă se are în vedere faptul că circuitul poate fi în general neconex.matricea de

incidenţă a laturilor Ia nodurile independente, [A], are dimensiuni (n-s)xl

are ca elemente valorile efective complexe ale curenţilor în laturi.

Teorema a Il-a a lui Kirchhoff scrisă în valori efective complexe cu

ajutorul relaţiei (6.22) pentru cele l-n+s bucle independente admite o formulare

compactă, matriceală similară celei din domeniul timp (relaţia (4.4)) având

expresia: in reia.a (6.83) matncea de incidenţă a laturilnr, u , < 6«)nea (/.„+,)x/ c * J £ ™ »

la buclele independente

independente. Matricea coloană U n a Mărului de bucle

complexe ale tensiunilor la bornele bturito ^ VMb cfcctivc

Pentru scrierea în formă matriceali

forma în complex a teoremei lui To2cn ' ^ Care rePrez'n<ă

matricea impedanţelor complexe: (6'30)) se defineşte

186

187

Zii Z I I

Zn Za

ale cărei clemente au semnificaţiile:

1- impedanţa complexă proprie a laturii /.

hj = ±j<n£| - impedanţa mutuală complexă dintre laturile i ş i S e m n u l

+ corespunde unui cuplaj magnetic aditiv, iar semnul -. unui cuplaj magnetic

diferenţial între laturi. Se observă că matricea [Z] este simetrică faţă de

diagonala principală deoarece ZfZii (L,,=Lj).

Dacă se notează cu [£]M matricea coloană a valorilor efective complexe

ale tensiunilor electromotoare ale generatoarelor de tensiune urmează că forma

matriceală a teoremei lui Joubert în valori efective complexe este:

[ID = [ IW-[E]- (6-84)

Se poate observa similitudinea relaţiei (6.84) cu relaţia (5.6) scrisă

pentru circuite rezistive. locul matricii rezistenţelor de latură fiind luat de

matricea impedanţelor complexe.

6.7.3 Analiza cu ajutorul metodei curenţilor de buclă

Principiul acestei metode, care a fost prezentată în §5.3 pentru cazul

circuitelor rezistive. constă în posibilitatea exprimării valorilor efective

complexe ale curenţilor de latură in funcţie de valorile efective complexe ale

curenţilor de buclă ataşaţi buclelor independente. Deoarece in demostraţia din

§5.3. care stabileşte relaţia dintre curenţii de latură şi cei de buclă, s-a

presupus un regim oarecare de funcţionare al circuitului, urmează că şi în

regim permanent sinusoidal se poate stabili o relaţie similară intre matricea

coloană [/J şi matricea coloană a curenţilor de buclă

0)1, -coC

Capitolul 6

[/J =

Zb, Zh:

l b l -n+s

le forma:

[/] = [Bf[/b]. (6.85)

înlocuind (6.85) în (6.84) şi expresia rezultată în (6.83) se obţine sistemul:

[B][Z][B]T[/b] = [B][£]. (6.86)

Notând matricea coeficienţilor cu [ZJ:

f e b ] = [B][Z][B]T (6.87)

şi cea a termenilor liberi cu [£D]

tkb] = [B][£] (6.88)

^zultă că forma compactă a sistemului alsebric de ecuaţii generat de letoda

curenţilor de buclă este:

fcJ[Zb]=[£ b] (6-89)ie observă similitudinea sistemului (6.89), obţinut în cazul regimului iermanent

sinusoidal, cu sistemul (5.20) obţinut în cazul circuitelor 'ezistive.

Pentru a stabili semnificaţia coeficienţilor şi a termenilor liberi ai

sistemului (6.89) se exprimă mai întâi un element generic al matricii [Zb]. Elementul de pe poziţia pq a matricii [Zb] are, conform relaţiei (6.87), expresia:

-I2>*= . tri=\

(6.90)

188

I V )

in cazul p-q (corespunzător unui element d* no vmatricii [Zb] ) pot fi întâlnite situaţiile: dlagonala principală a

. k=m. termenul corespunzător fiind h: 7 .> Z t > accasta înseamnă că 2

conţine suma impedanţelor proprii complexe afe Io, •■ ., (bÔ); PeXC ale latunl0-- '"cidente buclei

- kfim, termenul corespunzător din sumă fiind b 7 h .. . . . " p k ^ - k m o , tcnnen

corespunzător unei impedanţe mutuale feimlni m • v -

m, incidente buclei p }n FigeTt^^T- - I a - , . r

'fe-°-4

sunt prezentate situaţiile ce not fiintalmte din punctul de vedere a. tipului de cuplaj realii m'căzu circuitulu,

reprezentat ,n F,g.6.24.a termenul corespunzător din sumă este *„k^ p m -l-J^-

l=jroZ.im şi cuplajul este aditiv. în cazul din Fig.6.24.b se obţine b/A*fi>, iar

cuplajul magnetic este diferenţial, in sfârşit pentru cazul din Fie 6 ?4 c se

poate sene că ^ P k Z .kmb pm = iar cupkju] ^

diferenţial. Din analiza acestor cazuri se poate concluziona că termenul

'-khm------v

\V-m

a )

t y p TUIIUIIC NI PIUS. ŞI SUINA

I IUPTUAN^ IWI —------------------------

buclei /;; termenul JU>Z.A„. apare cu semnul + dacă //,,, realizează un cuplaj

magnetic aditiv între cele două laturi, şi, respectiv cu semnul - , în cazul unui

cuplaj diferenţial. Deoarece sumarea este dublă în relaţia (6.90) rezultă că Zpp

conţine suma înmulţită cu 2 a impedanţelor mutuale complexe dintre laturile

incidente buclei p.Cazul p f t , corespunzător unui element din afara diagonalei

c)

conţine în plus şi suma impedanţelor mutuale dintre laturile incidente■ < . I _ _ v r .. . . K . ... ■ i "i im /•I IRTL ' I I

principale a matricii [Zb] se analizează, de asemenea, în situaţiile: - k=m,

termenul b^Z*^, reprezentând impedanţa proprie a unei

laturi k incidenţă simultan buclelor p şi q (bprfQ. M*0). Dacă cei doi curenţi de

buclă au acelaşi sens în latura parcursă în comun atunci bpk'bqk-\ (Fig.6.25.a), iar

în caz contrar b^-b^=-1 (Fig.6.25.b).

Fig. 6.25

în cazul kf=m termenul bpkZ.hnbqm reprezintă o impedanţa

mutuală existentă între o latură k a buclei p şi o latură a buclei q . Acest termen va

apare în suma din relaţia (6.90) cu semnul + dacă la circulaţia curenţilor de buclă

Jj tp şi lj se stabileşte un cuplaj magnetic aditiv între cele două laturi (Fig.6.25.c), şi

respectiv cu semnul - în cazul unui cuplaj diferenţial (Fig. 6.25.d). Se observă că

2^==^ matricea [ Z h ] fiind iimetricâ faţă de diagonala principală.

Pentru a stabili semnificaţia termenilor liberi ai sistemului (6.89) ;e observă

că elementul din linia p a sistemului are, conform relaţiei 6.88). expresia:

k=\

?ea ce înseamnă că reprezintă suma valorilor efective complexe ale nsiunilor

electromotoare ale generatoarelor de tensiune incidente buclei p. In cazul existenţei

unor generatoare reale de curent acestea trebuiesc în ►realabil înlocuite cu

generatoare reale de tensiune echivalente.

Exemplul 6.4 în circuitul din Fig.6.26 se cunosc: ?i(t)~240<2 sin(WOOt) (V)t

R 2=R 3=20 Q, L 2=L 3~20 mH. C^lOO/3 VF,

d)

a)

b)

Fig. 6.27Fig. 6.26

191

A,, - - i, (cuplaj magnetic perJecl) . .

efective complexe f i im,an,a,:ee ale " " Cofc"tee valorile

V^caaaivâfnâaivăahsoroimaecZT0' * ,/

Sistemul de ecua|„ ob|inui pri„ aplicat,

/?, + jcoZo coC, ,

m

( _ R 2 - jcoZ2 + jwL23)/bl + (/?2 + /?3 + jco(L2 + L3 - 2L 2 , ) ) / b , = 0 înlocuind

valorile numerice se obţine sistemul: (20-10j)/bl -20/b2 =240

-207bl+40/b2 = 0

Valorile efective complexe ale

curenţilor în laturi sunt: /i=/bi=12(l+j). Z:=/bi-Zb2=6(l+j), /3=Zb2=6(l+j), cărora

le corespund valorile instantanee reale: /'i(/)=24 sin(1000/+rt/4), i 2( t)=h(l)=\2

sin(1000/+Tt/4).

Puterea aparentă complexă este Ş=£r/i'=24012(l-j)=2880(l-j): prin

urmare P=2880 W, Q=-2880 Var.

Exemplul 6.5 Sa se stabilească sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei

curenţilor de buclă pentru circuitul din Fig.6.27. Sistemul este de forma:■

= n / b i + £ i : Z b : = E b l

-2lZb| +^22Zb2 ~ Eb2 m care:

, având soluţia /bI=i2(l+j). Ţj,2=6(l+j).

Capitolul 6

6.7.4 Analiza cu ajutorul metodei tensiunilor nodale

Ca şi în cazul circuitelor rezistive, metoda tensiunilor nodale

presupune drept necunoscute valorile efective complexe ale tensiunilor dintre

nodurile independente şi nodul de referinţă al circuitului. Dacă se notează

matricea coloană a tensiunilor de latură cu \JJ[. şi cu [U^] matricea coloană a

valorilor efective complexe a tensiunilor nodale, se poate stabili o relaţie

analoagă relaţiei (5.29):

[£/] = [A]T[ţ/J.

(6.92)

Notând cu [ Y ] matricea admitanţelor:

V[HZ\'\

(6.93)matricea coloană a curenţilor de latură, [/], poate fi exprimata utilizând

teorema lui Joubert (6.84) sub forma:

B=iaE]+feK]-(6.94)

înlocuind (6.92) în (6.94) şi expresia obţinută în (6.82) se obţine:

Mly}M Tk„h-WkUl (6.95iSistemul algebric (6.95) se poate scrie matriceal sub forma:

[LfcM/J, (6.96)

unde matricea coeficienţilor are expresia:

[L]=[Al ][Ar, (6.97)

iar cea a termenilor liberi:

|ZgJ= 4 A ][r][£]. (6.98)

Analiza unui circuit funcţionând în regim permanent sinusoidal cu ajutorul

metodei tensiunilor nodale conduce la un sistem algebric iniar cu coeficienţi şi

192

193

termeni liberi complecşi de dimensiuni (n-s)x(n-s). CazuI unui circuit conex, pentru

care 5=1, dimensiunea sistemului este

( I)

n-\ ecuaţii cu n-\ necunoscute.

Pentru un circuit fără cuplaje m

este o matrice diagonală, astfel încât «rf™ 2 ^ 'atUri ma'™<* fZJ

matrice diagonală având elementele dc IT^ estc « o

admitanţcle complexe ale laturilor: a,a8°nala principală egale cu

In acest caz coeficienţii şi «ermenii liberi ai cî , (6'W)

stabiliţi direct prin examinarea circuitulu 711 T ( M 7 ) P°l fi

i.j a matricii [K] este, conform (6.97): mCntUl de Pe P***

l l J = Z a ^ a «- (6.100)

Un raţtonament similar celui efectuat în &5 4 arată că Y I ■suma. cu semnul -. a admitanrHnr o rcPrezmtă

simultan nodurilor / şi T

Y

es^ îincidcnte

incidente nodului , Element Z ÊrT? âvând expresia: P ^ l'3 ' 3 matnc" termenil°' "'beri,

este egal cu suma curenţilor generatoarelor de curent, Xk'Ek incidente

nodului /; în acesta sumă curenţii generatoarelor care ies din nod se iau

cu semnul r, iar cei care intră in nod, cu semnul

Exemplul 6.6 In circuitul clin Fig.6.28 se cunosc: e:(t)~200 sinfeot-n/4), e}(t)=200<2 cos( cot), Ri=Xu=5Q. R:=Xc3=20Q. Sâ se analizeze circuitul utilizând metoda tensiunilor nodale.

Numerotând nodurile ca în figură Ai se va

obţine o singură ecuaţie prin aplicarea metodei

tensiunilor nodale:

unde

(6.10!)

4=^3R

i - Z i + l i + t - i - Ri+ i X i i ■ r 7 - } x C 3 DU + J; ™ w 20

F §L - 3 unde g2=100(l-j), EJ=200). înlocuind sc obţine

£/,o=-l00 V. r t„ . ^ , , r ^ r r «Curenţii în laturi au valorile :

2, = - = 10(1 R2 R :

U = L z - h =-10 + 5j.Valorile instantanee reale ale curenţilor în laturi vor fi:

;/:

(/) = 5V2sin^co/-^j;

/3(/) = 5VH)sin|w/ -arctg- + n

.8 TEOREMA CONSERVĂRII PUTERILOR IN REGIM


Teorema conservării puterilor instantanee a fost prezentată în &3.7

pentru cazul unui circuit izolat galvanic şi magnetic faţă dc exterior.

In regim permanent sinusoidal interesează bilanţul puterilor active,

reactive şi aparente complexe definite în &6.5. In cele ce urmează acest bilanţ

de puteri se va stabili într-un caz mai general, cel al unui circuit izolat din

punct de vedere magnetic, dar neizolat galvanic faţă de exterior.

Se consideră o reţea electrică liniară

constituită din elemente dipolare de circuit, ale

cărei laturi nu sunt cuplate magnetic cu exteriorul.

Reţeaua prezintă m borne de acces în care intră

curenţii /bI, /b2, .../b„, (Fig.6.29). Circuitul are /

laturi s subretele

Fig. 6.29

/.(/) = 20sinK

(0/---------

4

196

neconexc între ele şi n noduri. Se presupune că n,început cu bornele de acces (1) , . nunicr»tarca nodurilor a0*1).....in). '•••-^continuând cu nodurile interioare

Se definesc matricile:

[ l ] = l l \ L i — L i Y matricea valorilor ^curenţilor de latură: ' efccUvc com^ aleGZ]=feZ, «j ~ U.Y matricei valorilor efective comp.exe aletensiunilor de latură; F'tAt dlc

UJ matricea valorilor efective complexe ale curenţilor din borncle dc ^

[iZ„J=liZ,o <Z20 ... £Zm0 ... iZn-,o]T matricea valorilor efective complexe ale

tensiunilor nodale.

Anterior s-a arătat că pentru un circuit izolat galvanic de exterior

teorema 1 a lui Kirchhoff se scrie sub formă matriceală: [A][/]=0 PeZ o

reţea ne.zolată galvanic având „ borne de acces această teoremă trebuie scrisă

sub forma:

. - i^MAim (6.102)

Demonstraţia este imediată dacă se obseda că, pentru nodurile interne ale

reţelei, relaţia (6.102) ia forma binecunoscută £a*Z*=0 ,

= m +1,- iar pentru bornele de acces se poate scrie că / Qfr Lk = Lb,« / =

l$w, ceea ce exprimă faptul că intensitatea curentului

care intră în borna dc acces /, /H;. este egală cu suma algebrică a curenţilor dc

latură care ies din acest nod .

Conjugând relaţia (6.102) şi înmulţind rezultatul la stânga cu

197

UZ»]T sc obţine: ■ Vj ^

[£ZjT[A][z'J=[L/nr|z;]. (6.103)

Ţinând scama dc faptul că

Capitolul 6

[ ]TW={[Aj[îZjf (6.104)

şi de relaţia dintre tensiunile de latură şi cele nodale, [U \=[A]T[U„l S e obţine:

{ U î [ i ' } = l u j [ h ] (6..05)

Dacă se înlocuiesc tensiunile dc latură exprimate în funcţie de curenţii de latură

cu ajutorul teoremei Iui Joubert (6.84) astfel încât:

se obţine:

im4i' ] - iu.Y[^]*UT[i i (6.106,

Termenii care apar în relaţia (6.106) suni mărimi scalare având semnificaţia

unor puteri aparente complexe: termenul:

&=[£z„F|z;]=

-[(Zio UmO ILn-s.o]'

0

o

reprezintă puterea aparentă complexă primită de reţea pe Ia bornele de acces;

termenul

Ş,=[£]T[/ ']=[£, . . . £,](6.108)

L,reprezintă puterea aparentă complexă furnizată dc generatoarele de tensiune din reţea;

termenul

=2>oz;*=i

m(6.107)

198

K&m permanent sinusoidal

H 1=1

(6.109)

reprezintă puterea aparentă eomplexâ absorbită de impedanţele din circuit.Prin urmare relaţia (6.106) se mai poate scrie sub fonna:

Sft+S*=S- (6.110)

Relaţia (6.110) exprimă faptul că puterea aparentă complexă absorbita de

impedanţele din circuit este egală cu suma dintre puterea aparentă complexă

primită pe la bornele de acces şi respectiv cea furnizată dc generatoarele din

reţea. Relaţia (6.110) cu interpretarea de mai sus reprezintă teorema

conservării puterilor în regim permanent sinusoidal pentru o reţea neizolată

galvanic.

Fiecare dintre cele trei puteri Şj,, Ş, Şg este o mărime complexă deforma:

Ş g = P g - r ) Q g .

(6.111)

Relaţia (6.110) implică egalitatea părţilor reale şi imaginare ale celor doi

membri astfel încât bilanţul puterilor se mai poate exprima şi sub fonna:

Ph + P s = P (6*112)

Q b + Q g = Q . (6.113)

Aceste relaţii exprimă faptul că puterea activă, P, absorbită de impedanţele din

reţea, este egală cu suma dintre puterea activă primită pe la bornele de acces,

Pb, şi puterea activă furnizată de generatoarele din reţea, Pg. în mod similar

puterea reactivă absorbită de impedanţele din reţea. O, reprezintă suma dintre

puterea reactivă primită pe la borne. Qb, şi cea furnizată de generatoare. (?,.

Relaţiile (6.112) şi (6.113) arată ş. faptul că puterile activă şi reactivă se

conservă separat.

în cazul unei reţele izolată galvanic de exterior puterea primita pe la

borne, Sj, este nulă încât bilanţul de puteri se scrie sub forma:Ş . = Ş (6.114)

Utilizând relaţiile (6.107) şi (6.105) se obţine:5,=t/JT[/ ;]=fc]T[z*]=ţ^^ (6.117)

astfel încât în cazul unei reţele izolate galvanic şi magnetic de exterior suma

puterilor aparente complexe la bornele laturilor reţelei este zero în orice

moment:

o (6.118)

Pentru o reţea pasivă alimentată din exterior 5^=0 şi Şb*0 încât bilanţul

de puteri are expresia:

S y - S ; P h = P i Q h = Q . (6.119)

Dacă reţeaua pasivă este izolată galvanic de exterior atunci 5^=0, Sb=0 încât se

obţine:

5 = 0 ; P = 0 ; Q = 0 . (6.120)

Această reţea nu absoarbe nici putere activă, nici putere reactivă; de regulă

curenţii în laturile circuitului sunt în acest caz nuli.

Exemplul 6.7 Sâ se efectueze bilanţul puterilor pentru circuitul din Fig. 6.22

(analizat in exemplul 6.2).

Puterile aparente complexe la bornele laturilor se calculează după:um urmează:

« - a i i - Rt + jaL - J

coC i J

Zi -JwZ13/3 - E Zi =420-660j;

&ţ = U d \ =-900 + 200j: Ş , «ţyj =480 + 460j. Bilanţul de

puteri: Ş, + Ş 2 + Ş y = 0 .

Transferul puterii active prin cuplaj magnetic Se consideră două laturi A- şi m

cuplate magnetic (Fig.6.30). tenie aparente complexe la bornele celor două

laturi au expresiile:

12')

Circuite liniare *'^gimpermanent sinusoi

sk = K* fi=+ « fi*- NÊ - £4]/; = Pi + jQt

5m=<z

mz: = [(*„+jcoij/

m+^

L k m L k - E m

]rm=P

+\0

Presupunând că m m J!efm-

Z, = /4ejT- : Zm = 7meJT- ; Rk = £iCiu ; £m = £ eJT„şi separând părţile reală si imaginară ale celor "două puteri aparentecomplexe rezulta că: 1 «>pun,nie

/I-^-V I ^ . T.J-^X-T.) (6.121) a-^*-V*siri(Y<4-Y^+o,!^^ _Tft)((U22)

P. = R J l - E J m cos(y,.m - Y J-aL^sinta - Y J (6.123) £ffl = coLm/; - £m /„ sin(ym

- Ym) + coZ^7, /m cos(y a - y,J. (6.124) Comparând expresiile puterilor active

corespunzătoare celor două laturi se observă prezenţa termenului

<oL k m l kImsin(yim - y j termen ce apare cu semnul - în expresia lui Pk şi cu

semnul+ (datorită imparitătii funcţiei sinus) in expresia lui Pm . Presupunând că

sm{y i m-y lk)>0 rezultă că latura k cedează o putere activă egală cu:

Puamfem = ^kmhL M j lm ~ Y« ) (6.124)

laturii m care o absoarbe. Se obser\'ă că in suma Pk+Pm cei doi termeni se reduc

ceea ce înseamnă că prezenţa cuplajului magnetic nu determină o absorbţie

suplimentară de putere activă.

De asemenea, comparând expresiile

puterilor reactive Qk şi Qm se observă

prezenţa termenului

Vm C<K(Yim - Ya) având, în

ambele cazuri, acelaşi semn. Se

constată că prezenţa cuplajului

magnetic determină o absorbţie

suplimentară de putere reactivă de la

generatoare sau pe la bornele de acces,

Fig 6 30

deoarece în suma Q k + Q m acest termen apare înmulţit cu 2.

ii'idal

12')

Transferul puterii active prin cuplaj magnetic este utilizat în construcţia

unor dispozitive electrice, cel mai cunoscut fiind transformatorul.

CAPITOLUL 7

CIRCUITE UNIPORT ÎN REGIM PERMANENT

SINUSOIDAL

7 ! UNIPORŢI ACTIVI Şl UNIPORŢI PASIVI

După cum s-a arătat în &5.7 un circuit uniport (sau dipol) este un circu.t

cu două borne de acces care poate să includă în structura sa generatoare de

tensiune sau de curent - caz în care se spune că este activ-sau să fie const.tu.t

numai din elemente pasive de circuit - caz in care el este pasiv.

în regim permanent sinusoidal un dipol pasiv (Fig.7.1) se

caracterizează prin impedanţa sa complexă echivalentă definită prin

relaţia: «Ş -Ur ■»

l e = = = R ..+ixe (7.1)

sau prin admitanţa complexă echivalentă

L e = ^ G c - ] B c . (7.2)

In cazul in care se cunoaşte

structura internă a dipolului impedanţa sa poate fi determinată

utilizând regulile de grupare a impedanţelor. Aceste reguli se

stabilesc impunând condiţia ca în urma înlocuirii grupării originale cu cea

echivalentă tensiunea şi curentul să rămână neschimbate.

Astfel, pentru gruparea serie (Fig.7.2) se poate scrie:

ţ/ = z , / + . . . z „ / = / £ z i .respectiv

U = Z c L

(7.3)

*=1

//UniportU pasivp r.p.

s.

Fig. 7.1

205

încât impedanţa complexă, rezistenţa şi reactanţa echivalentă au

expresiile:

n H n

l e

= J ^ Z k ; *,=2> ! (7.4)

Fig. 7.2

Trebuie observat că în scrierea ecuaţiei (7.3) s-a presupus că impedanţele

Z\. . . .Z„ nu au cuplaje magnetice.

în cazul a n impedanţe lipsite de cuplaje magnetice grupate in

paralel(Fig.7'.3) se pot scrie relaţiile:

U U 1 \^

^=ir+-+r=Î-=^2>*' (7.4)

1=1

*=1

z _z.

t -l

Capitolul 7respectiv

(7.5)

astfel încât admitanţa complexă, conductanţa şi susceptanţa echivalentă a grupării devin:

iar impedanţa echivalentă este:

Zi &

A i

206

207

Gruparea mixta este o Cru gnipări scrie şi paralel, în Pare rcd"ctibi|ă |a 0

acest caz impedanţa echivalentă determinându-se prin aplicarea rcgu\i\or de grupare în scrie şi în paralel. De exemplu, pemru grupareadin Fig.7.4 impedanţa echivalentă este:

2 = fei±^)|— r

Cm/w/iea C0ro/>/ex<5 este o grupare ireductibilă la o secvenţă de

grupări sene ş. paralel. In acest caz pentru determinarea impedanţei complexe

echivalente se utilizează teorema transfigurării stea triunghi. Se consideră trei

impedanţe Z,. £. Zj conectate în stea şi se urmăreşte să se determine trei

impedanţe cu conexiune în triunghi Z,;. Z^, Zj, (Fig.7.5) astfel încât, prin

înlocuirea unei grupări cu cealaltă, tensiunile dintre nodurile (l)-(2), (2)-(3) şi

(3)-(l) precum şi curenţii absorbiţi prin nodurile (1), (2) şi (3) să nu se

modifice. în ambele configuraţii impedanţele se presupun lipsite de cuplaje

magnetice. Observând că în acest caz teorema lui Joubert are aceeaşi formă ca

şi în cazul circuitelor rezistive. rezultă că pentru stabilirea expresiilor

impedanţelor Z\i. £3. Z3, se poate face un raţionament similar celui din

&3.6.1. Relaţiile de transfigurare vor păstra aceeaşi formă ca şi în cazul

rezistenţelor:

secvenţă dc

Fig. 7.4

Capitolul 7

Fig. 7.5

- transfigurarea stea-triunghi

208

Z , Z 2 + Z

2 Z y + Z,Z,

Z y

Z \ Z 2 + Z 2 Z y + Z ş Z

~z,(7.8)

- transfigurarea triunghi-stea

z 2

Zn

hi+ ^23 +^31

^31^23

Z|2 + 2 23 + Z31(7.9)

în cazul în care structura internă a dipolului nu este cunoscută impedanţa

echivalentă se determină experimental. Astfel, impedanţa complexă echivalentă

definită prin relaţia (7.1) se mai poate scrie sub forma:

I I U e"u U Z . . = = = ^— = -e^ = Ze eJ" = Re (©) + jXe (co).7e

Deoarece, în general, atât

rezistenţa echivalentă, 7?t., cât şi

reactanţă echivalentă, Xc, depind de

pulsaţia co, rezultă că sunt necesare

patru determinări experimentale,

indicate în Fig.7.6: valoarea efectivă

a tensiunii, (/, cea a curentului, /,

(7.10)jr,

Z.23 =

Z, =

Fig. 7.6

valoarea defazajului, tp, şi a pulsaţiei OJ; parametrii

ajutorul relaţiilor:

Re =ycos(p ; X e =ysin<p. (7.11)

Un circuit uniport activ funcţionând în regim permanent

" Şi cel descris

sinusoidal (Fig.7.7.a) poate fi sub„if .rezişti vi, fie printr-o schema , i Ca Şi în r-.^, i

. co„r„m, ,,,,„,,,

cssa?,* •* fesa:ac,ivi

generatorului echivalent de cm» dc Cut"cnt - ,„;, b)" fic

pe principiul superpozitie re(Fi -7.0. S^Ê

în &5.7 pentru uninnmL!, proeedeT ^

MJ (-0

Uniport ^ iliniaractiv

1 1—

a )

Tensiunea electromotoare a eeneratnmi,,; i .

• fie - ţ/^ . iar impedanţa

saintema este egală cu impedanţa echiva.entă ,a bornele A-B a dipolului

Dacă se conectează o impedanţa de sarcină Z, între bornele A siB. curentul absorbit de aceasta este: Ş

ti»-* (7.12)

în &5.7 pentru uniporţi activi rezistivi

0

Substituind generatorul real de tensiune din Fiu.7.7.b printr-un generator

echivalent de curent se obţine schema din Fig.7.7.c în care curentul generatorului

este:

~ ZABSC f

(7.13)

egal cu curentul de scurtcircuit al dipolului. La conectarea unei impedanţe de

sarcină Z, între bornele A şi B tensiunea are expresia:* *

A I : 4 I »

Capitolul 7mine

circuitul din Fig. 7.S.a.Tensiunea Ia mers in gol se determină analizând circuitul din

Fig.7.8.a pentru care se pot scrie ecuaţiile de tensiuni:C/| = (#, + jcoL,)/, -j(oL i 2 l 2 =(/?, + jwZ-,)/,

rezultând

R } + JO)L,

Impedanţa uniponului pasivizat, în raport cu bornele A - B, se -AB = ~ = A\ + JQ)Zo + i

:

R ] + jcoL,

: r 2

1 2

2 /**

+ jwZ-,

faţă de bornele AB este:

213

Excmnlul 7.1 Să se determine generatorul echivalent de tensiune

h)

Fig. 7.8

faţă de bornele A-B pentru

a)

c)

Capitolul 7

1 2

214

Capitolul 7

1 2

215

Capitolul 7

1 2

216

Capitolul 7

1 2

217

Capitolul 7

1 2

218

Capitolul 7

1 2

219

Capitolul 7

1 2

220

Capitolul 7

1 2

221

Capitolul 7

1 2

222

Capitolul 7

1 2

223

Capitolul 7

1 2

224

Capitolul 7

1 2

225

Capitolul 7

1 2

226

Capitolul 7

1 2

227

Capitolul 7

1 2

228

Capitolul 7

1 2

229

Capitolul 7

1 2

230

Capitolul 7

1 2

231

Capitolul 7

1 2

232

Capitolul 7

1 2

233

Capitolul 7

1 2

234

Capitolul 7

1 2

235

Capitolul 7

orZ, 1 2

R: +o)-L:

1 2

2362 ,2

Fig. 7.9

arcuite uniport i„ regim permanent sinusoidal

7>2 TEOREMA TRANSFERULUI PUTERII ACTIVE MAXIMI DE LA UN UNIPORT LINIAR ACTIV LA l \ UNIPORT LINIAR PASIV

Se consideră un uniport liniar activ care alimentează cu tensiune sinusoidală un uniport liniar pasiv (Fig.7.9.a). Fiecare din cele două

mcircuite uniport admite o schemă cchivalrmsT'.' ' Tcu un generator rea. de tensiune, i ^ P"fd fi -bstituiZ, (Fig.7.9.b). PaS,V CU 0 ""Pedaniă de sarcina

Z

( A ) ,

mUi)

b)

Considerând cele două impedanţe dc forma:Z,=/?,+jA',, Z^+jA',,

unde Rh Xt sunt fixe, iar R5J Xs variabile, se pune problema dctcnninării

valorilor parametrilor /?„ Xs pentru care puterea activă absorbită de

impedanţa dc sarcină este maximă. Deoarece curentul / arc expresia:

(7.15)

puterea activă absorbită de Z, va fi:

Maximul funcţiei PS(R, A',), dacă există, va fi o soluţie a sistemului dc

ecuaţii:

ap.

(7.16)

5 _

237

2

Uniport

U

activ

a

r.p.s.■ ■ i ■

i

a)

arcuite uniport i„ regim permanent sinusoidal= 0

< A

cP.(7.17)

d X s

Calculând cele două derivate se obţine:

238

Capitol"!

c P 2ţV,+*,)*,£

d X ,(7.18)

dR,

Sistemul (7.18) are soluţia:x , = - x ,R , = R .

(7.19)

ceea ce înseamnă căZ,=Z,\ (7.20)

Pentru a determina natura soluţiei obţinute (punct de maxim, dc minim

sau punct staţionar) se studiază matricea hessiană asociată funcţiei dc

două variabile P,(R„ X,):

H =

Elfi 6R;d lP.

<r-p.

dR tdXs

B2P.

(7.21)

dX,cR, 6X:

Efcctuind calculele se constată că matricea 11 este negativ definită (-11

este pozitiv definită) ceea ce înseamnă că soluţia definită dc relaţia (7.20)

reprezintă un punct de maxim pentru P,. Puterea activă maximă

transmisă are valoarea:

E 2

(7.22)4R>

iar randamentul dc transfer al acesteia este:

= - = 50%Pg P,+P, R , f - + R , I 2 2

Dacă este îndeplinită condiţia (7.20) se spune că impedanţa de arcină este adaptată la generator.

239

RJ2

(7.23)

Capitol"!

Se constată că şi în cazul regimului permanent sinusoidal se pot

formula concluzii similare celor stabilite pentru uniporţii rezistivi (5.8).

Astfel, deşi puterea activă transferată în condiţia (7.20) este maximă.

240

uniport în regim permanent sinusoidal

U 50% din aceasta ajunge la impedanţa de sarcină, restul fiind disipată pe rezistenţa internă a generatorului.

Dacă puterea transmisă este mică (nivel redus al semnalelor) este avantajos să se transfere o putere activă maximă către receptor. Dacă insă puterea transmisă este mare, aşa cum se întâmplă în electroencrgcticâ. atunci se preferă să se transmită o putere activă care nu este maximă, dar în condiţii de randament mai bun. în realitate, considerând că impedanţa de sarcină este un consumator casnic sau industrial, valoarea acestei impedanţe este întotdeauna mult mai mare decât cea a liniei dc transport a energiei electrice (Z,»Z,) astfel încât pierderile de putere activă pe linie reprezintă doar o fracţiune mică din puterea totală transmisă.

7.3 COMPENSAREA PUTERII REACTIVE.ÎMBUNĂTĂŢIREA FACTORULUI DE PUTERE

Reţelele de transmisie a enersiei electrice sunt dimensionate astfel încât să funcţioneze la o anumită tensiune nominală. U. în funcţie de care se stabileşte distanţa dintre conductoarele liniei, şi la un curent nominal. /. în funcţie de care se alege secţiunea conductoarelor. Cu alte cuvinte linia de transmisie, care funcţionează în regim permanent sinusoidal, este proiectată să transporte o anumită putere aparentă. S=U-I. Dacă puterea reactivă absorbită de receptor este nulă atunci puterea activă transportată este maximă, P=S, iar factorul de putere este unitar A>=1. Cum insă majoritatea receptorilor de putere au caracter inductiv (motoare, transformatoare, etc.) puterea reactivă este nenulă, iar

P<Sş\ prin urmare Â><1.Pentru îmbunătăţirea factorului de putere se conectează în

paralel cu receptorii ^ n inductivi baterii de condensatoare

dimensionate astfel încât să compenseze puterea reactivă inductivă,

apropiind factorul de putere de valoarea unitară (Fig.7.10). 2 = oQ> Q kP< 1

241

uniport în regim permanent sinusoidal

Dacă ZT M&s Puterea

reaCl,Vă absorbită de

aceasta este:

a=AV2=^^T-

(7.24)

Pentru o compensare totală a puterii reactive absorbite de Z> trebuie ca

puterea reactivă corespunzătoare grupului Z< în paralel cu C să fie

nulă:

Se obţine astfel valoarea capacităţii C de forma:

©te; + A, j

7.4 CIRCUITE UNIPORT FUNCŢIONÂND LA REZONANŢA

Fig. 7.10

u2

242

Capitolul 7

Se consideră un circuit uniport liniar

pasiv alimentat cu tensiune sinusoidală şi care

absoarbe curentul

/'(/) = /V2 sin(cor + y,) = / VI sin(ca/ + yu~(ţ>)

(Fig.7.11). în cazul general defazajul dintre

tensiune şi curent este nenul:

< p = y , , - y , * o .

Dacă este îndeplinită condiţia

<P = Yu-Y/=0 (7.26)

se spune că s-a realizat rezonanţa la bornele circuitului. După cum s-a arătat

în &7.1 un uniport liniar pasiv se poate substi tui cu o impedanţa

echivalentă:

(7.27)

sau cu o admitanţa echivalentă :

(7.28)

Deoarece *,=Zrcos.p şi X „ = Z , sin<p. iar Gc = Y, cos«p şi

BT = YT sin «p, urmează eă . la rezonanţă, reaetanţa echivalentă precum si

susceptanţa echivalentă a circuitului uniport se anulează:" " ■ " • - , ...

(?29)B ' = 0- JP ^(7.30)

Fig. 7. 1 1

Capitolul 7De asemenea, puterea aparentă complexă absorbită de dipol este conform (6.43), egală cu puterea activă, iar puterea reactivă se anulează: '

(2 = (//sin <p = 0

Relaţiile (7.29)...(7.31) arată că circuitul uniport funcţionând la

rezonanţă se comportă ca o rezistenţă, chiar dacă în structura sa există şi

clemente reactive de circuit.

Studiul rezonanţei in circuitele ce funcţionează în regim permanent

sinusoidal prezintă importanţă deoarece se pot pune" în evidenţă fenomene

deosebite cum ar fi apariţia unor supratensiuni sau a unor supracurenţi în

elementele reactive de circuit. Ca exemplu se prezintă în continuare cazul

circuitelor RLC serie şi RLC paralel funcţionând la rezonanţă.

7.4.1 Circuitul RLC serie la rezonanţă

Se consideră circuitul RLC scrie alimentat cu o tensiune sinusoidală

de pulsaţie co (Fig.6.13). Impedanţa complexă a circuitului este:

Circuite uniport în regim permanent tiZ = R + j co/.-— M +

jA". coC

La rezonanţă A>0 încât oiL = — saucoC

XL'XC. (7.32)

Condiţia (7.32) poate fi realizată fie prin modificarea frecvenţei tensiunii de

alimentare, caz în care pusaţia de rezonanţă este:

•-•ic- jES <7

;33)

fie la variaţia inductivităţii bobinei sau a capacităţii condensatorului. în

sinusoidal 14 /

condiţia (7.33) Z=R, iar curentul absorbii »« L - R ■

Tensiunile pe elementele de circuit au, la rezonanţă, expresiile:

(7.34)

(7.35)

a , ta

(O, C M KZ R

(7.36)

elaţia (7.34) arată că la rezonanţă tensiunea aplicată circuitului RLC serie

se regăseşte la bornele rezistenţei. Relaţiile (7.35), (7.36) arată că tensiunile

pe bobină şi pe condensator au. la rezonanţă, valori efective egale, fiind in

opoziţie de fază:

rc/

= U c\ =±±-U = Q

% U . (737)

Factorul

R(7.38)

se numeşte factor de calitate al circuitului RLC serie, în funcţie de parametrii

circuitului acesta putând fi subunjîar sau supraunitar. Relaţia (7.37) arată că

în cazul O s>\ se obţin supratensiuni pe bobină şi pe condensator.

Impedanţa

(7.39)

= U= R I

L

C

L

C

L

C

reprezintă impedanţa caracteristică a circuitului RLC serie.

Diagrama fazorială de tensiuni pentru circuitul RLC serie la rezonanţă este prezentată în Fig.7.12, rezonanţa în acest caz numindu-se ■ezenanţă de tensiuni.

248

Ob|inerca supratensiunilor nc

elementele reactive la rezonanţă noatc fi ~j

utilizată pentru amplificarea unui semnal

util, în cazul dc faţă a tensiunii aplicate U

La nivele mari de semnal, cum sunt cele

întâlnite m energetică. rca|i?area

accidentală a rezonanţei de tensiuni poate "°

fi periculoasă, conducând |asuprasolicitarea bobinelor şi a condensam^,, a- 7 1 2

Valorile efective ale tensiunii "rC,Ca-exprimate in funcţie dc pulsaţia o, si ™CDteIe dc arcuit pot firelaţiilor: 1 W Ş' de factoru' * calitate ft CU ajutorul

U R = RJ = R

1 + 2;

U , = (oLI =

R 2 +

coZ.coC

Q tUa

(7.41)

(7. = coC

(7(7.42)

coC, \ R 2 + (oL-COC;

(0 0)

(oL -

ip = arctg = arcts Q* CO (0r

(0

(7.43)

In Fig. 7.13 sunt reprezentate graficele funcţiilor U R { ( o / < o r )

t/^(w/cor),(/c(co/o)r ),(p(co/(or) pentru un factor de calitate Qs=\. iar m

Fig.7.14 este reprezentată variaţia tensiunii pe rezistor pentru diverse

U (7.40)

r

co

0) 0)

\co co

r

(0

249

valori ale factorului de calitate al circuitului. în ambele grafice scara

pentru variabila o)/d)r este logaritmică.Analiza graficelor din Fig.7.13. 7.14 permite să se observe că:

0.

5

0

Capitolul 7

- tensiunea pe rczistor este maximă la rezonanţa;

- maximul funcţiei U c(<a/(O r) se obţine pentru o pulsaţie maximul

funcţiei U L ( t o f & r ) se obţine pentru o pulsaţie a):>tor, pentru a),=o)r cele

două tensiuni fiind egale;

1.5 1 uL /u

—

Fig. 7.13- pentru (0=0, ceea ce corespunde unei alimentări cu o tensiune

continuă, impedanţa Z->x, curentul 1=0 şi tensiunea U sc regăseşte la bornele

condensatorului;

- pentru valori mari ale pulsaţiei.

G>-KC, impedanţa Z-KX, curentul /—

>0. iar tensiunea aplicată. £7, se

regăseşte la bornele bobinei;

- cu cât factorul de calitate Qs este

mai mare, cu atât variaţia funcţiei

6//?(co) în vecinătatea pulsaţiei de

rezonanţă este mai abruptă. Pentru un

factor de calitate

Fig. 7.14

( ' )( ! ) ,

250

Circuite „nipon in regim permanent ti*ntu\oidul 145

ridicat, graficul (7«(co) sugerează posibilitatea utili/iriiseric ca filtru electric de frecvenţa de tip treee b " °- *ccvcn,e sUuatc în vecinătatea frecvenţei

t ^Slsuni mult atenuate Caractensttca de

frecvenţă a unui filtru trece bandă ideal este prezentata in F.g.7.15. Intervalul [co,, co2] constituie banda de trecere a filtrului.

în cazul filtrelor reale se admite că limitele benzii de trecere a

filtrului sunt pulsaţiile pentru care valoarea efectivă a semnalului de ieşire

scade la l/V 2 din valoarea maximă. Pentru circuitul RLC scrie condiţia

U(7.44)

permite determinarea pulsaţiilor coi şi co2 (Fig.7.16); astfel, dacă seutilizează relaţia (7.40) şi se consideră se obţine:

(0 (0r

= +1CO

ceea ce conduce la co, = tor 1-

2G., respectiv w: = cor

Lăţimea benzii de trecere a filtrului, definită prin relaţia:

Aw = co, - co, = — (7.45)

«5este cu atât mai mică cu cât factorul de calitate Qs este mai mare. Un filtru

cu o bandă de trecere îngustă este un filtru cu o bună selectivitate.

U,

0 CO, < 0

Fig. 7.15 Fig. 7.16

Capitolul 7

7.4.2 Circuitul RLC paralel la rezonanţă

Se consider* circuitul RLC paralel lipsit de cuplaje magnetice

alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsaţie co (Fig.6.17). Admitanţa

complexă a circuitului are expresia

La rezonanţă susceptanţa echivalentă se anulc«i2ă, 2?(.=0, fiind îndeplinită

condiţia:

= o)C sau BL = Bc. (7.46)

Ca şi în cazul circuitului RLC serie condiţia (7.46) se poate realiza fie Ia

variaţia capacităţii C a indiict iv ' i tâţ i i L sau a pulsaţie i <o. în acest ultim

caz pulsaţia de rezonanţă a circuitului RLC paralel este:

1r VZc

La rezonanţă Y=G, iar curentul absorbit de circuit este

A = Y U = G U-Jrcz-----------—

Deoarece admitanţa circuitului

(7.47)

(7.48)

Y = JG2 +

-coC

coZ.

este minimă la rezonanţă. Y\M = G rezultă că şi valoarea efectivă a

curentului total , /, pentru circuitul RLC paralel excitat in tensiune, este minimă la rezonanţă:

j\m =min{/}=Gc/. (7.49)

Dacă G=0 atunci Y\m = 0 şi ^ = 0 , circuitul LC paralel acordat la rezonanţă

blocând circulaţia curentului de pulsaţie co=av.Curenţii în rezistor. bobină şi condensator au, la rezonantă, expresiile:

252

253

LR =^ = G U = L

A

ttz(7.50)

Capitolul 7

rcz

W

(7.51)

(7.52)

Diagrama fazorială de curenţi care exprimă în planul complex relaţia-L = I-«+U+U (7.53)

este reprezentata, pentru cazul circuitului anat la rezonanţă. în Fig.7.17.Analiza relaţiilor (7.50)...(7 52) şi a

permite să se formuleze următoarele concluzii: - curenţii în bobină şi condensator au la rezonanţă valori

Q „ I (7.54)la rezonanţă curentul total absorbit

este egal cu curentul din rezistor. curenţii din bobina şi condensator compensându-se reciproc; din acest motiv rezonanţa în circuitul RLC paralel se numeşte rezonanţă de curenţi; - factorul

(7.55)

se numeşte factor de calitate al circuitului RLC paralel. în funcţie de

parametrii circuitului el putând fi subunitar sau supraunitar, in cazul QP >U

se obţin supracurenţi în cele două elemente reactive de circuit. Acest

efect poate fi utilizat în tehnica curenţilor slabi pentru a realiza o amplificare

a curentului /, dar el se poate dovedi dăunător in tehnica curenţilor tari dacă

apar în mod accidental rezonanţe de curenţi.

Dacă se consideră circuitul RLC paralel alimentat cu un curent

sinusoidal dc pulsaţie co şi valoare efectivă /. Valorile efcct.ve ale

254

Fig. 7.17

Q l i o

cp = arctg

celorlalţi curenţi precum şi a defazajului cp pot fi exprimate în funcţie dc

pusaţia co şi de factorul de calitate Qp cu ajutorul relaţiilor:

(7.56)

11 + Q

CO

CO

QJa>. (7.57)

CO

co

(7.58)

(7.59)

Dualitatea dintre circuitul RLC serie alimentat în tensiune şi circuitul

RLC paralel alimentat în curent se reflectă în similitudinea expresiilor (7.40)...

(7.43) şi respectiv (7.56)... (7.59), punându-se în evidenţă următoarele

corespondenţe: Ur<->Ir , Ul+-*Ig Uc*~+Il - Graficele funcţiilor //c{co). //.(co),

Icito) au aceeaşi formă ca şi cele reprezentate în Fig.7.13 pentru £/*(co), (/

({co), respectiv t//.(co). Pentru pulsaţii co<cor circuitul este inductiv (9=yM-

Y/>0), iar pentru pulsaţii co>«r circuitul este capacitiv (cp<0).

Considerând din nou circuitul RLC paralel alimentat în tensiune

valoarea efectivă a curentului absorbit poate fi exprimată în funcţie de pulsaţia

co şi de factorul de calitate Q p sub forma:

T1 -Q>C| U = G U J l + Q'9

toL

In Fig.7.18 este reprezentat graficul funcţiei /(co/cor) pentru diverse valori ale

factorului de calitate 0,„ scara pulsaţiilor fiind logaritmică. Se observă că

variaţia curentului / în jurul pulsaţiei cor este cu atât mai rapidă

O)

co( O

I = Y U = JG2

+ (7.60)

r 4

14')

te uniport fn regim permanentsi

cu cât factorul de calitate este mai mare.

Pentru un factor de / calitate

ridicat ( Q ,^\0) circuitul RLC paralel

arc o caracteristică

asemănătoare caracteristicii de

frecven|ă a unui filtru de lip opreşte

bandă. Un filtru ideal opreşte-bandă

blochează GU trecerea semnalelor Cu

pulsaţia cuprinsă în intervalul [toi,

to:], lăsând să treacă semnalele cu

pulsaţii situate în afara

paralel cu factor de calitate ridicat poate fi S T™1 Ckcuku] ^bandă, admiţând ca lunnc ale benzfi dea tm ? ^ de *ip Wcare este îndeplinită condiţia: ^ pulsa",lc <»u co: pentru

Daca se are m vedere expresia n fim „ icazul expresiile: ' > d0Uă pU,sa"' ? H * au. în

co, sco r I -2

20co2 S C0r 1 +

22,(7.62)

7.5 CIRCUITE UNIPORT SPECIALE UTILIZATE ÎN

ELECTROTEHNICĂ

7.5.1 Circuite uniport care furnizează curent invariabil în raport cu

impedanţa de sarcină

Se consideră uniportul pasiv reprezentat în Fig.7.19. Impedanţa

complexă echivalentă a circuitului este:

(7.61)

Fig. 7.18

Fig. 7 . ]9

z 2z sz „ = z , +

curentul absorbit are expresia:

y

_ ţ/(Z2^J (7.64)

Curentul £ prin impedanţa de

sarcina Z< se obţine rezolvând sistemul:Z, +Z: = 0

(7.65)

(7.66)

(7.67)

independent de impedanţa de sarcină Z,. Deoarece Z| = /?, + j X i şi , = /?

2 + jA\ condiţia (7.66) nu poate fi îndeplinită decât dacă

x, =.-*, : (7-68)

ceea ce însemnă că impedanţele Z\ şi Z> sunt pur imaginare, una fiind un

condensator, iar cealaltă o bobină:

Z, = jcoL _(7.69)

sau

UndC w?5 = Cl)Z" Condi-ia Precedentă reprezintă o condiţie de rezonanţă.

Se observă că în raport cu impedanţa de sarcină Zs circuitul

funcţionează ca un generator ideal de curent de valoare Mb°îff&-

(7.63)

Se obţine:

Dacă este îndeplinită condiţia

atunci curentul /s are expresia:

/?,=/?,= 0

coC

Z2 = jcoLz 2 =- J -

toC

Circuite uniport in regim permanent sillllsoi 151

Presupunând că % este variabil î„ jnlerva]

curentului h rămâne constantă cu ex ° °bscrvă că Poarca(funcţionare în gol), când />0. în această T T* Cand

sursa de tenstune U este pusă în scuS^ deoarccc ftfe-Odistrugerea ei. c,rcu" ceea ce poate conduce la

Circuitul din Fig.7.19, pentru carse numeşte circuit Boucherot.' ^ °Ste ,ndePlin'iă condiţia (7.66)

Un alt exemplu de circuit care fu i complexă a curentului în sarcină mizează acceaşi valoare efectivăindependent de valoarea impedanţei Zţ

este cel prezentat în Fig.7.20.Curentul £ poate fi

exprimat cu ajutorul teoremei generatorului

echivalent de tensiune:

—An0

unde tensiunea de mers în gol. U/MO* are

expresia:U

£-*v

(7.71)

iar impedanţa echivalentă faţă de bornele AB, cu Z, deconectat, şi 6-0 este:

7 - l l ^ Z ■

^ A U ~~ '

(7.70)

oului

z , + z2 z

3+ z

4

înlocuind în (7.70) se obţine expresia curentului /<:

L = U-S

^fe + l i fe 3 (Z, + Z A ) + Z y Z A (Z, +Z2)

Se observă că dacă este îndeplinită una din condiţiile: Z, +Z;

= 0 sau Z, +Z4 = 0

(7.72)

(7.73)

(7.74)

261

tunci curentul in impedanţa de sarcinii este independent dc Z, şi are

expresia: 7j=--^- = -=-, în condiţia (7.74), , respecţiZ: Z,

= _JL = JL în condiţia (7.74)2. Condiţia (7.71), este îndeplinită f,c Z3 &j

Iacă Z.-jcoL,,^fie dacă Z, = -— , Z2 = jcoL:, ţcoC

imîlar, condiţia (7.74)2 se realizează fie dacă £3 = ja>Z3 , Z4 =---------------LcoC,

dacă Z, =—f-,Z4 = jcoL,, iar C0L3 —(oC3 coC4

respectiv

,5.2 Circuite complet rezistive

Pentru majoritatea circuitelor uniport impedanţa complexă este reală doar când pulsaţia tensiunii de alimentare este egală cu pulsaţia de rezonanţă. Există însă circuite uniport care se comportă ca o rezistenţă pentru orice pulsaţie a tensiunii de alimentare, chiar dacă în structura lor există bobine şi condensatoare. Aceste circuite se numesc complet rezistive.

incoCj

ambele cazuri fiind necesar ca «L, = — respectiv o)L2 = 1

Structurile de bază ale circuitelor complet rezistive sunt rezemate în Fig.7.21 aşi b.

C (7.76)

în condiţia (7.76) impedanţa echivalentă devine ZC~R. circuitul fiind complet

rczistiv.

7.5.3 Circuite defazoare

Valorile clementelor de circuit pot fi

alese astfel încât să se obţină valori impuse

ale defazajelor dintre tensiuni şi curenţi. Se

consideră ca exemplu circuitul din Fig.7.22.

Se urmăreşte să se determine valoarea

capacităţii C pentru care curentul £> este în

cuadratură cu tensiunea IJ. Curentul

absorbit /i are expresia:

U

o-

impedanţa echivalentă a circuitului din Fig.7.2ţ.aestc-

(7.75)

JwCDacă este îndeplinită condiţia

atunci

(7.77)

circuitul fiind complet rczistiv.

Pentru circuitul din Fig.7.21.b impedanţa echivalentă este:

1( R + i<oL)

R +jcoC,

(7.78)1

2 R + ja>L + -jcoC

Fig. 7.22

265

z, = LL(7.79)

I

jcoC

Curentul h se poate exprima în funcţie de l_\ rezolvând sistemul dc

ecuaţii:

f Z i = Z : + Z 3

{ R : + j o i L )l2 = -jcoC

(7.80)

astfel încât se obţine

J U(7.81)

1Pentru ca /-. şi 6/ să fie in cuadraturâ este necesar ca MZ = — astfel

coC

încât capacitatea C are expresia:

(7.82)

Condiţia (7.82) reprezintă o condiţie de rezonanţă.

7.5.4 Circuite divizoare de tensiune şi de curent

Un circuit divizor de tensiune este format din două impedanţe conectate în serie (Fig.7.23).

6)

Fig. 7.23

F

OiUi

U

— --l

u

o)

o Hi

2, -l

267

Dacă cele două impedanţe sunt de forma:

atunci valorile efective ale tensiunii totale şi ale tensiunilor pe clementevor fi:

U i = Z J = ^ R 2 + X 2 - I

U 2 = Z 2 I =^Ri + X ; I t (7.83)

Valorile efective complexe ale tensiunilor

U\ şi au expresiile:

ţ / , = z , / = — u

După cum se poate observa din relaţia (7.83) este posibil ca cele două tensiuni, U\ şi LA, să aibă valori efective mai mici decât tensiunea totală U (Fig.7.23.b) sau, dimpotrivă, mai mari decât U (Fig.7.23.c), în funcţie de valorile parametrilor celor două impedanţe R\JC\9 f e i 2- Cel mai frecvent, divizoarele de tensiune sunt utilizate pentru a extinde gama de măsură a unui voltmetru sau pentru a obţine un semnal util de amplitudine mai mică decât ce) existent. Din acest motiv, un caz de tipul celui din Fig.7.23.c este nedorit.

De regulă divizoarele de tensiune se realizează din două rezistenţe sau din două condensatoare conectate în serie, caz în care condiţiile

, , v ; U\<U ; U2<Usunt Întotdeauna îndeplinite.

Z

Z, + Z ,(7.84)

Un circuit divizor de curent este alcătuit din două impedanţe

conectate în paralel (Fig.7.24.a). DeoareceU U Z i + Z 2

curenţii I_\ şi & au expresiile:Ca şi în cazul divizoarelor de tensiune. în funcţie de parametrii

celor două impedanţe. se pot obţine cazurile:

/,</ ; h/ : I<>I (Fig.7.24.c).

Deoarece divizoarele de curent sunt utilizate pentru extinderea

gamei de măsură a ampermetrelor sau pentru obţinerea unui curent de

valoare efectivă mai mică decât cel total, cazul I\>I sau h>I este nedoriL

cel mai adesea fiind utilizau în construcţia divizoarelor de curent dipolii

rezistivi.

a) b)c)

Fie. 724

Fig. 8.1

CAPITOLUL 8

CLADRIPOLI DI PORŢI ÎN REGIM PERMANENTSINUSOIDAL

în clasa circuitelor multipol un loc important îl ocupă circuitele

electrice cu patru borne de acces, numite tetrapoli (Fig.8.1). Funcţionarea

acestora în regim permanent sinusoidal este caracterizată de valonle efective

complexe ale curenţilor în bornele de

acces Iu h* şi de tensiunile dintre

perechile de borne de acces U\. Uz* L j -

Curenru] în cea de a patra bornă de acces

se exprimă cu ajutorul primei teoreme a

lui KirchhofT scrisă relativ la o suprafaţă

de secţiune care secţionează

conductoarele ce leagă tetrapolul de

exterior

Tensiunile dintre oricare pereche de borne se pot exprima in funcţie

de U\. Uz. L}. utilizând a doua teoremă a lui Kirchhoff. nodul (4) fiind

considerat drept nod de referinţă.

Dacă suma curenţilor in două borne de acces este egală cu zero cele

două borne formează o poartă. Un tetrapol cu două porţi de acces se

numeşte cuadripol dipon sau pe scurt cuadripol (Fig.8.2). Poarta 1-1 se

numeşte poartă de intrare, iar poarta 2-2* { î } ^

m

____________________________________________________.----------, /: a)

poartă de ieşire. Tensiunea U\ este

tensiunea de intrare, iar tensiunea Uz este

tensiunea de ieşire a cuadripolului: (1

(8.1)

curentul /, este curentul de intrare, iar izeste curentul de ieşire al cuadripolului. Fl2-s-

Un cuadripol care conţine în structura sa eeneratoare independente de tensiune sau de curent este un

158 Capitolul 8

cuadripol activ, în cazul în care este alcătuit numai din elemente pasive de

circuit fiind un cuadripol pasiv. Un cuadripol care verifică teorema de

reciprocitate se numeşte cuadripol reciproc, în caz contrar fiind nereciproc.

Un cuadripol care conţine rezistoare ce transformă ireversibil energia

electromagnetică în căldură este un cuadripol disipativ, în caz contrar el fiind

nedisipativ. Un cuadripol alcătuit din elemente liniare de circuit este liniar;

dacă în structura sa există elemente neliniare şi/sau parametrice el este

neliniar, respectiv parametric.

în cele ce urmează se consideră numai cuadripoli pasivi, liniari şi

reciproci care nu prezintă cuplaje magnetice cu exteriorul.

PARAMETRII CUADRIPOLILOR

ŞI RECIPROCI

curenţilor în bornele ce formează o poartă este egală

necesar să fie cunoscuţi numai doi dintre curenţii în

respectiv numai două tensiuni, U\ şi

cuadripolul se pot întotdeauna scrie două relaţii de legătură

fi(lli dulii d i ) = 0

Relaţiile (8.2) sunt ecuaţii liniare, pentru un cuadripol liniar, şi

omogene pentru un cuadripol pasiv, ele constituind ecuaţiile cuadripolului în

formă implicită.

Relaţiile (8.2) capătă diverse forme în funcţie de modul de alegere a

variabilelor independente. Astfel, dacă se aleg drept variabile independente

mărimile electrice de la poarta de ieşire, U2 şi h« ecuaţiile cuadripolului se

scriu sub forma:

(8.3)

Ecuaţiile (8.3) se numesc ecuaţiile fundamentale ale cuadripolului, iar

Cuadripoli diporţi în regim permanent sinusoidal 159

A\\ 9 An, dzu Â22 sunt parametrii fundamentali ai cuadripolului în regim permanent sinusoidal. Coeficientul Au

are dimensiunea unei impedanţe, coeficientului este o admitanţa complexă, iar^n şi^22 sunt adimensionali.

Dacă se aleg drept variabile independente curenţii I\ şi Ţ2 atunci ecuaţiile cuadripolului capătă forma:

U - 2 ~ Z L2 \1 \ +

^LllLl

(8.4)

Z\u Z12, Zzu Z22 se numesc parametrii impedanţa ai cuadripolului.

In sfârşit, dacă se exprimă curenţii 1\ şi I2 în funcţie de tensiunile Mi ŞÎ Uz se obţin relaţiile:

<

h = ln

Ul +

Yn

U2

( 8 . 5

)

în care parametrii Y\\9 £ns Z21, Z22 sunt parametrii admitanţa ai cuadripolului.

In cazul cuadripolilor reciproci, datorită condiţiei impuse de teorema de reciprocitate doar trei din cei patru

parametri sunt independenţi între ei. Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate se analizează cazul particular al cuadripolului

alimentat pe la poarta de intrare 1-1', poarta 2-2' fiind în scurtcircuit (Fig.8.3.a) şi apoi cuadripolul alimentat cu aceeaşi

tensiune pe la bornele 2-2', poarta 1-1' fiind în scurtcircuit (Fig.8 . 3 . b).

( i ) lo—

U-

0')

Cuadripol liniar

pasiv reciproc

(2) h-o—*—

(2')

Cuadripol liniar

pasiv reciproc

a ) b )

- l

Fig. 8.3

în cazul din Fig.8.3.a, pentru care U\=E şi Uz=0, ecuaţiile fundamentale capătă forma:

Capitolul8

cuadripol activ, în cazul în care este alcătuit numai din clemente pasive de circuit fiind un cuadripol pasiv. Un cuadripol care verifică teorema dc reciprocitate se numeşte cuadnpo] reciproc, în caz contrar fijn(j nereciproc. Un cuadripol care conţine rezistoare ce transformă ireversibil energia electromagnetică în căldură este un cuadripol disipativ, în ca?. contrar eJ fiind nedisipativ. Un cuadripol alcătuit din elemente liniare de circuit este liniar: dacă în structura sa există clemente neliniare şi/sau parametrice el este ncliniar, respectiv parametric.

în cele ce urmează se consideră numai cuadripoli pasivi, liniari şi reciproci care nu prezintă cuplaje magnetice cu exteriorul.

8.1 ECUAŢIILE ŞI PARAMETRII CUADRIPOLILOR LINIARI, PASIVI ŞI RECIPROCI

Deoarece suma curenţilor în bornele ce formează o poartă este

egală cu zero rezultă că este necesar să fie cunoscuţi numai doi dintre

curenţii în bornele de acces, Zi şi respectiv numai două tensiuni, U\ şi

Analizând cuadripolul se pot întotdeauna scrie două relaţii de

legătură între mărimile U\3 lu Lh* b:

Relaţiile (8.2) sunt ecuaţii liniare, pentru un cuadripol liniar, şi omogene pentru un cuadripol pasiv, ele constituind ecuaţiile cuadripolului în formă implicită.

Relaţiile (8.2) capătă diverse forme în funcţie de modul de alegere a variabilelor independente. Astfel, dacă se aleg drept variabile independente mărimile electrice de la poarta de ieşire, şi ecuaţiile cuadripolului se scriu sub forma:

(8-2 )

(8.3)

Capitolul8Ecuaţiile (8.3) se numesc ecuaţiile fundamentale ale cuadripolului, iar

279

Cuaa-npoli dipor(i tn rcKim permanem ^

coeficienţii A\u Av„ ^ s u n ţ

cuadripolului în regim permanent sinusoidal C rmcn,ali ai

dimensiunea unei impedanţe. coeficientul 4, °? ,cicntul 4n arciar4» Ş' sunt adimensionali. ° adm,,a"tA complexă,

Dacă sc aleg drept variabile independente p ■

ecuaţiile cuadripolului capătă forma: Cnţ" Şl - atunci

^ 2 = ^ , / , + ^ / , - (8.4)

.l2=yi }U l+Y 3 2U 1 (8-5)

in care parametrii >'„, y12. jfc sunt parametri, admitanţa ai cuadripolului.

în cazul cuadripolilor reciproci, datorită condiţiei impuse dc

teorema de reciprocitate doar trei din cei patru parametri sunt

independenţi între ci. Pentru stabilirea condiţiei de reciprocitate sc

analizează cazul particular al cuadripolului alimentat pc la poarta de

intrare 1-1'. poarta 2-2' fiind in scurtcircuit (Fig.8.3.a) şi apoi

cuadnpolul alimentat cu aceeaşi tensiune pc la bornele 2-2". poarta 1-1"

fiind in scurtcircuit (Fig.8.3.b).

în cazul din Fig.8.3.a, pentru care Jfi-£ şi ecuaţiile

a)

)

£/2=0

=

1

1

!

!

(2')

280

fundamentale capătă forma:

E = A u - 0 + A i 2 I _ 2

L =421-0+422 • £2 cntru circuitul din

Fig.gJ.b pentru care U\=0 şi Uz='E sc pot scrie ecuaţiile:[0 = A I I ( - E ) + A , J ' 2

•

/', = dj' £)+ dnli Satisfacerea teoremei de

reciprocitate impune ca:

L z = L r

Din relaţia (8.6)1 rezultă că iar

din relaţiile (8.7) sc obţine că

L = - d u E + dii--— =----------------------------------- â -

Comparând expresiile (8.9) şi (8.10) rezultă că egalitatea (8.8) are loc ă este

îndeplinită condiţia

(8.11)

aceasta constituind condiţia dc reciprocitate pentru un cuadripol liniar pasiv în

regim permanent sinusoidal.

Un caz particular îl reprezintă cuadripolii simetrici. Aceştia au

proprietatea că la schimbarea porţii de intrare cu poarta de ieşire tensiunile şi

curenţii în circuit nu se modifică. Pentru stabilirea condiţiei de simetrie se

consideră cuadripolul alimentat in sens direct, pe la poarta l-T (Fjg.8.4.a) şj

apoi cuadripolu) alimentat în sens invers , pe Ja poarta 2-2' (Fig.8.4.b). Pentru

cazul alimentării directe sc pot scrie ecuaţiile fundamentale în forma (8.3).

Rezolvând sistemul (8.3) în raport cu U2 Ş« h şi ţinând seama de condiţia de

reciprocitate (8.11) se obţine:

,11f—

O)

12)

(2') Fig. 8.

<2')

(8.6)

(8.7)

(8.8)

(8.9)

(8.10)

dac

d w d n d \ zd 2 \ 58

*

I-,

Ux

( ! ) Cuadripol simetric

<2')

£2 =-42,IZ, + A \ X LPentru cuadnpolul inversai tensiunea la poarta 2-2' este U for

tcnSiunca la poarta l-l este J£ astfel încât in relaţiile (8.12) au loc

schimbările iar Ur*Ui, Dc asemenea din analiza Fig 8 4

observă că în rclaţnle (8.12) /,->-/,, iar Aslfc|

ffl

capătă forma:JiZi =^22^2+^,2/2

Comparând relaţiile (8.13) cu relaţiile (8.3) sc obţine condiţia pc care trebuie să o satisfacă un cuadripol simetric:

d\ 1=422- (8.14)

Rezultă deci că în cazul unui cuadripol reciproc şi simetric doar doi

parametri fundamentali sunt independenţi intre ci.

8.2 DETERMINAREA PARAMETRILOR CUADRIPOLILOR

Determinarea parametrilor cuadripolilor se poate realiza fie pe cale

analitică, în cazul în care structura lor internă este cunoscută, fie pe cale

experimentală. In primul caz utilizarea metodelor dc analiză ale circuitelor

electrice permite să se scrie întotdeauna ecuaţiile cuadripolului

în una din formele (8.3), (8.4) sau (8.5).

Fie de exemplu cuadripolul din Fig.8.5.a numit cuadripol in T.

Utilizând teoremele lui Kirchhoff scrise în complex se obţin relaţiile:

L = L 2

+ 23 (8.15)

2

V

(8.12)

sc

relaţiile

(8.12

Capitolul <V

Prin identificarea coeficienţilor se obţin parametrii fundamentali a.

cuadripolului în T:

284

(8.16)

â± Z 3

z , z :

23

A 2 X = 4 " î 4a = 1 + —*3

Cuadripolul din Fi».8.5.b reprezintă un cuadripol in Q. Analizând

circuitul cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se obţin relaţiile:

ţ/, = U 2 + Z 2

(8.17)

L

>= l 2 +

T+

f

Fig. 8.5

înlocuind pe (/, în expresia lui /, şi identificând coeficienţii mărimilor de ieşire, LA şi h. rezultă parametrii fundamentali ai cuadripolului în fi:

Capitolul <V

A 1 1 2 -(8.18)

Z i

286

(8.16)

Cuadripoli diporli in regin, per,,,,,,,,;,, si

în Fig.8.5.c este reprezentat n rvt

.rcnno^M

- (*.+M1

)ZI

- j

(t)

.p/

;eCUndarsc

inre.a

I

ii,e;

Prin identificare rezultă parametrii im , ]

miez feromagnetic. dc forma: P an|â ai ,ransformatoru|ui fără

£11 = R , +jwZ.. : Z L ,Sistemul rx 1 Q » ■' (8.20)MStcmul (8.19) pennite obţinerea „

cuadripolului din Fig.8.5;c. Astfel. rezolvândT '0' funda'"«-'ntali aipoarta dc intrare (primară) se obţine: ' rap°n cu marimile dc la

J'î: jtoZ.l2 ~2

. A^ J& iSjfc+ja J . i (8.21,

de unde. prin identificare, rezultă parametrii fundamentali ai transformatorului fără miez feromagnetic:

_ fl, + jcol, _ _ (/?, + jaiL, X^2 + jolo) . ,

J f 0 12 J<DZl2 t * ™

^ | — - /Iii —

Pentru determinarea pe cale experimentală a parametrilor

fundamentali ai unui cuadripol reciproc se fac măsurători ale tensiunii şi

curentului absorbit în patru cazuri (Fig.8.6):

- cuadripolul alimentat în sens direct, pe la poarta 1-1', cu poarta 2-2' la

gol;- cuadripolul alimentat în sens direct având poarta 2-2' în scurtcircuit;- cuadripolul alimentat în sens invers, pe la poarta 2-2' cu intrarea la

"nusoidal / 6 ,

• cuadripolul alimentat în sens invers cu poarta 1 -1' in scurtcircuit.

Fig. 8.6

Cuadripol

pasivreciproc

)

in fiecare caz măsurarea valorilor efective ale tensiunii şj curentului,

precum şi a defazajului dintre ele (cu ajutorul cosfimctrului) permite

calcularea unor impedanţe complexe echivalente la poarta Ul* respectiv 2-2'

când cealaltă poartă este în gol sau în scurtcircuit. Utilizând ecuaţiile

fundamentale ale cuadripolului aceste impedanţe complexe se pot exprima în

funcţie de parametrii fundamentali. Se obţin în felul acesta următoarele

relaţii:

z2. - z

_

Z l K =

2,

in

dr.

U,*G d .22

impedanţa primară la mers în gol;

impedanţa primară la scurtcircuit:

z zZi-0

- —'-.

t/,«o dii

impedanţa secundară de mers în gol;

impedanţa secundară la scurtcircuit.

Se observă că aceste impedanţe satisfac relaţia:

Z . i * Z l K = Z i 0 Z X K (8.23)

\

ceea ce înseamnă că este suficient să se realizeze doar trei

determinări experimentale, cea de a patra impedanţa putând fi calculată cu

ajuiorul relaţiei (8.23). Dacă se utilizează şi condiţia de reciprocitate (8.11)

atunci parametrii fundamentali ai cuadripolului se pol exprima în funcţie de

impedanţele Z,0, £0, Zlte cu ajutorul relaţiilor:

(8.24)gj IMPEDANŢE CARACTERISTICE

IMAGINE IMPEDANŢE

Se consideră un cuadripol liniar

impedanţa de sarcină Zj conectată la

Pasiv şi reciproc ce alimentează

o poarta de ieşire 2-2'

(Fig.8.7.a).1) Zi

o—•— Cuadripol\s i \ liniar

T

fi- -pasiv

1 )

a)

Evident Z, =U_1[L1. Impedanţa echivalentă la poarta de intrare 1-1'. numită

impedanţa de intrare primară, va avea expresia:

z [ JLx = 4ll£2+il2l2 = i n ^ + i l 2 ( g 2 5 )

Fig. 8.7

(2'J

1 hQCuadripol

liniar

&\pasiv ----------

0

2.j

(8.24)

Dacă se alimentează cuadripolul pe la poarta 2-2', iar impedanţa de

sarcină Z\ se conectează la poarta 1-1' (Fig.8.7.b). atunci impedanţa de

intrare secundară este:

2 _ LL2 _ AlzţLl + d \2L\ _ jJ22 -l + Â \2 _e2 ~ 77 " i 2 i î+iiiî " iîili +in în general ZrffiZi şi Zei±Z\. Prezintă insă

interes cazul în care aceste impedanţe sunt egale. Astfel, se defineşte

impedanţa caracteristică directă , Zc,, acea impedanţa care trebuie conectată

la bornele 2-2' (Fig.8.8.a) pentru ca impedanţa de intrare primară să satisfacă

relaţia:

Ze, -z,cl - a 2 .

Utilizând relaţia (8.25) se obţine expresia impedanţei caracteristice directe:

(8.26)

(8.28)166 holul 8

du - Â 2 2 ± 4 { â \ \ + A n f - *

în mod asemănător se defineşte impedanţa caracteristică inversă, 2c2.

acea impedanţa care trebuie conectată la bornele 1 - 1 ' pentru ca la bornele 2-

2' impedanţa echivalentă să fie egală cu Zc2 (Fig.8.8.b):

= = Z, (8.29)

Utilizând expresia (8.26) se obţine impedanţa caracteristică inversă:

Z c 2

=

An'An ±VUH + Ă n T ~*(8.30)

în relaţiile (8.28). (8.30) se alege semnul + sau - care conduce la

îndeplinirea condiţiilor i»îe{Zcl }> 0, i>îe{Zc,)>0.

n

cuadripol (Fîg.8.9), condiţia de adaptare nu

se modifică dacă £(0 impedanţele

caracteristice directă şi inversă a

cuadripolului satisfac eJaţiile:

o)

b)

Fig. 8.8

Impedanţele caracteristice prezintă importanţă atunci când este necesar ca

sarcina să fie adaptată la generator. Astfel, dacă între impedanţa de

sarcină Z, şi generatorul de semnal având ,—o-mpedanţa internă

Z% se intercalează ?J\ j

Cuadripol pasiv liniar

Fig. 8.9

(8.28)

(8.31)Ă« =z

£

r

cazul unui cuadripol simetric, pentru care A\\=Aj2 impedanţele «eristice

directă şi inversă sunt egale şi au expresia:

a)

(8.32)Cuadripoli diporţi î„ regi,,, per,m,H,u rf

sinusoidal

Impedanţele imagine, g, şi Zj2 se d

-----— oauci incaiconectează impedanţa Za la bornele 2-2' impedanţa echivalentă la poarta

Să He 'ar dacă la bornele 1-1' sc conectează impedanţa &, „„pedanta echivalentă la poarta 2-2' să fie Z,2 (Fig.8.10).

Z ~~ 2 - A 2 l U . \ + d v M = d i z l * + â \ 2

~'2 I 2 421. 1 + A u l \ d z x l x + d n ' Rezolvând sistemul

format din relaţiile (8.33), (8.34) se obţin cele două impedanţe imagine:

(8.35)

In relaţiile (8.35) se alege semnul + sau - pentru care sunt îndeplinite

condiţiile: SRejZjJiO, 9ie{Zi2}>0.

Impedanţele imagine prezintă importanţă dacă sc urmăreşte ca

prin intercalarea unui cuadripol

intre un uniport activ şi unul pasiv

să nu se modifice condiţia de &

adaptare care impune ca impedanţa

de sarcină să fie egală cu impedanţa

generatorului (Fig.8.11). în acest

caz impedanţele imagine trebuie să Fig. 8. 11

«mină astfel încât dacă

Aceste impedanţe satisfac relaţiile:

[A] raft( 2 ' )

respectiv:(8.34)

ZJ

(1) ( 2 )

r—9--------- ----O----1

7 hoCuadripol pasiv liniar

U-----0----

(10r ( 2 i )

(8.33)

h)F ig.8.

10

Capitolul 8satisfacă relaţiile

z i 2 = z 5 " ------------------------

în cazul unui cuadripol simetric

impedanţele imagine sunt egale şj au expresia

(837)8.4 CUADRIPOLI

ECHIVALENTE

ECHIVALENŢI ŞI SCHEME

Doi cuadripoli suni echivalenţi dacă ei pot fl înlocuiţi unul cu celălalt

fară ca tensiunile şi curenţii în restul circuitului să se modifice. Pentru ca cei doi

cuadripoli să fie echivalenţi este necesar şi suficient ca ei să aibă aceleaşi ecuaţii

caracteristice şi. prin urmare, aceiaşi parametri fundamentali.

Deoarece un cuadripol liniar, pasiv şi reciproc este caracterizat de trei

parametri fundamentali independenţi între ei, rezultă că pentru aceştia se poate

găsi întotdeauna o schemă echivalentă constituită din trei impedanţe complexe.

Cele mai simple scheme care satisfac această condiţie sunt cuadripolii în T.

respectiv în

Se considera un cuadripol liniar, pasiv ş j reciproc, funcţionând în regim

permanent sinusoidal şi având parametrii fundamentali Aj\ 9 An. âi\« âz2

cunoscuţi. Se pune problema determinării cuadripolului echivalent în T

(Fig.8.5.a) adică a valorii impedanţelor Zi, h-Utilizând relaţiile (8.16) cele trei

impedanţe pot fi exprimate în funcţie de parametrii fundamentali sub forma;

z ,=dnzl421 421

In mod asemănător se pot determina parametrii cuadripolului

echivalent în n (fig.8.5.b). Astfel, dacă se au în vedere relaţiile (8.18),

impedanţele Z,, Ţa, 2, ce alcătuiesc cuadripolul în fi au expresiile:

i

z3 = (8.38)421

(8.36)

Fig. 8.12

297

$39)Ca exemplu se

consideră in continuare cazul 'L ' « ftră miez feromagnetic (Fig.8.12.a) pentru ^!transformaûi

urmăreşte

determinarea unei scheme echivalente in T. Utilizând expresia <fc r»x ale

parametrilor fundamentali ai transformatorului fără miez feromagnetic,

impedanţele Z,, £, £ Ce formează cuadripolul in T (Fig.8.5.a) calculate cu

relaţiile (8.38) sunt de forma:

2, =*,+jco(Z, -/,,,)

Z 2 = R 2 + i d { L 2 - L i 2 ) . Z 3 =

joi/.,.

Relaţiile (8.40) permit să se stabilească structura fizică a celor trei impedanţe:

de exemplu. Zj se obţine prin înscrierea unui rezistor de valoare R\ cu o bobină

dc inductanţă L\-L\i , etc. astfel incât schema echivalentă "in T a

transformatorului fără miez feromagnetic este cea din Fig.8.12.b. Se poate

stabili şi schema echivalentă in n a cuadripolului din Fig.8.12.a, dar

interpretarea modului de realizare fizică a celor trei impedanţe este mai

dificilă.

Intr-un cadru mai general, se poate spune că echivalenţa dintre

cuadripolii reprezentaţi în Fig.8.l2.a şi 8.12.b permite să sc elimine cuplajul

magnetic dintre două laturi. Acest mod dc transformare a schemei unui circuit

(8.40)

(2') (

298

electric poate simplifica uneori analiza sa, după cum se va constata în

capitolele următoare.

8.* MATRICILE CUADRIPOLILOR. FORMA MATRICEAL* A ECUAŢIILOR CARACTERISTICE

Ecuaţiile caracteristice ale cuadripolilor liniari şi pasivi sunt ecuaţii

liniare putând fi scrise şi sub formă matriceală. Asfel. ecuaţiile (8.3) devin:

fa"

\ân

.Ii . 421 Â22. L2

unde matricea

d u du

LA 2 \ diz(8.42)

reprezintă matricea fundamentală a cuadripolului.Relaţiile (8.4) pot fi scrise matriceal sub forma:

~Zu Z a ] [ Z i ]Ui Mu Z r li (8.43)

matricea

fel-

(8.44)

(8-45)

unde matricea

(8.41)

rz,-

-

[In1,2

1[- '1 li

l

fiind matricea parametrilor impedanţa a cuadripolului.

In mod similar relaţiile (8.5) se pot exprima sub forma:

I n I, 2 la

reprezintă matricea parametrilor admitanţa a cuadripolului.

Este de asemenea posibilă o scriere hibridă a ecuaţiilor caracteristice ale

cuadripolului în care perechea de mărimi U\9 h se exprimă în funcţie de I } şi £A:

0d= (8.46)

Cuadripoli diporţi în rcKim pcrmanen,^nu\„idal

/ ■ /

h(8.47)

sau perechea 7|. LA se exprimă in funcţie de Uu şi /,

(8.48)

Se poate arăta [9] că matricile [Y\ \7\ \m c i • ,

8.6 CONEXIUNILE CUADRIPOLILOR DIPORŢI

Determinarea parametrilor unor cuadripoli este mult s.mplificatâ dacă se poate cons.dera că aceştia s-au obţinui pnn interconectarea unor cuadripoli cu o structură mai simplă.

în cazul cuadripolilor se pot pune în evidenţă conexiuni in lanţ. in sene. in paralel şi conexiuni hibride.

Conexiunea în lanţ (sau în cascadă) se obţine prin legarea porţi, de ieşire

a unui cuadripol la poarta de intrare a următorului cuadripol din lanţ

(Fig.8.13). Considerând că cei doi cuadripoli conectaţi in lanţ au

matricile

parametrilor fundamentali [A,], respectiv [A;], mărimile electrice de la poarta

de intrare 1-1' a primului cuadripol, Uţ\li se pot exprima în funcţie dc

mărimile de la ieşirea celui de al doilea cuadripol

ugQg astfel: „ , a ' - xJ> < ' ' * ' . - ■

a) Fig.

8.13

b)

( I

) 1

i\ -U.1

w= Li.]U:l

1?tu

Fig. 8.14

Rezultă deci că matricea parametrilor fundamenta)} pentru cuadnpoluj echivalent celor doi cuadripoli conectaţi în cascadă arc expresia:

U]=Li»ILi:I- (8.50)

Generalizând pentru cazul a n cuadripoli conectat în Janţ se obţine:

(8.51,

in cazul în care cei n cuadnpoli sunt identici şi au matricea parametrilor fundamentali [ A ' ) sc obfine:

U1=UÎ-

(8.52)e poate face observaţia că în cazul in care se schimbă ordinea a doi

cuadnpoli din lan? matricea parametrilor fundamentali sc modifică deoarece produsul a două matrici nu este comutativ.

Conexiunea in serie a doi cuadripoli presupune legarea in seric aporţilor lor de intrare respectiv de ieşire. In Fie.8.14 sunt reprezentaţi doicuadnpoli conectaţi în scrie

.având matncile parametrilor J i 0 Jt

impedanţa [Zi], respectiv\Zi\. Sc observă că există 'relaţiile;

Astfel, tensiunile U\ şi ţA de Ia intrarea, respectiv ieşirea ansamblului

celor doi

cuadripoli se pot exprima in funcţie de curenţii /i şi £ cu ajutorul relaţiilor:

( 2)1 f f d l l f r ( 2 )<2)

Matricea parametrilor impedanţa a cuadripolului echivalent celor doi cuadripoli înseriaţi are expresia:

ia=K,]+fe21(8.53)

Generalizând pentru cazul a n cuadripoli conectat, in scrie se obţine-

Zi" h+12)

4*1 (8.54)

Conexiunea paralel a doi sau mai mult in

cazul acestui tip dc conexiune există relaţiile:

z,=/II>

-Zi2

'

Curentul de intrare J, şi şi cel de ieşire & se pot expnma in funcţ.c de tensiunea de intrare ţ/,. respectiv dc cea dc ieşire fi cu ajutorul rclaţnlor.

Matricea parametrilor

admitanţa ai

cuadripolului echivalent celor doi

cuadripoli conectaţi în paralel

este:

(8-55)

Generalizând pentru cazul a n

cuadripoli conectaţi în paralel se

obţine:

[r]=£[rJ (856>■

Conexiunile hibride pot fi de două tipuri: serie la intrare şi

paralel la ieşire, respectiv paralel la intrare şi serie la ieşirea

cuadripolului. Utilizând un raţionament similar celor din cazurile

anterioare se obţine:

[y=to]+fc] <8-57>

în cazul conexiunii serie Ia intrare, paralel la ieşire.respectiv în cazul

conexiunii paralel la intrare, seric la ieşire.

Fig. 8.15

-i /: (2)

Fig. 8.16

Capitolul «V

8.7 EXPONENTUL DE TRANSFER

Se c o n s i d e r ă

un c u a d r i p o l liniar,

( î i /}

pasiv şi reciproc având conectată la

poarta 2-2' o impedanţa de sarcină Zs j

(Fig.8.16). Se defineşte exponentul de °

transfer în tensiune al cuadripolului

mărimea c o m p l e x ă definită prin relaţia;

•-u ^ 2(8.59)

4 •

Dacă L£i =t/,eJYl'1 şi Zi=/,eJY" atunci exponentul de transfer î tensiune se mai poate

scrie sub forma:

L

'= l n

^+ J

^"V

^= a H + J / ? w

'(8.60)

Partea reală

a f / = In — U

(8.61)

reprezintă atenuarea în tensiune pe care o introduce cuadripolul, iar partea sa

imaginară

l f rr < bi= yu\ - y u 2 i (8.62)

reprezintă defazajul i n t r o d u s d e c u a d r i p o l între tensiunea de intrare şi cea de ieşire.

In mod asemănător se defineşte exponentul de transfer în curent al

cuadripolului mărimea complexă yj calculată cu relaţia:

306

y

Capitolul «V

i i

(8.63)

Deoarece Z, = /,eJY" şi L2 = /,ejy,:, % se mai poate scrie sub forma:

L = l n 7 L + j ( y , 1 - y J : = « , + j ^ (8.64)

307

1 - 5

a, * IniI , (8.65)

reprezintă atenuarea în curent pe care o introduce cuadripolul ia

defazajul între curentul de intrare şi cel de ieşire. '

Atenuarea sau constanta de atenuare a andrei i ■ . ,,a|,a (8.61). respectiv

(8.65, Se exprin* C^ZVl ^ ? Neper (nep). Atenuarea este egala cu 1

«TtetuiS ,,,:=e ,0=2.7,828 baZa ,oSar,,mi,„r J ftgft 3£S pen.ru măsurarea a,e„uan, „ o .la unitate, bel, (B), sau Submu„ip,uU decbcll (<JB).

Atenuarea expmnatS în be„ se ealeuleaza cu Juumu relaţiilor:

f l „ B = 2 1 o g 1(A ; a (ii=21og10iU 2

(8.67)

iar în decibeli cu relaţiile:

"HdB=201og10-f ; a . = 201og1(A. (8.68)

Trecerea dc la o unitate de măsură la alta se face observând că:

i V\

a d B =201ogI0^- = 201og10ea^ = </ncp • 20log10e = 8.6858-ancp

a„cn = -^- = 0,921 .a™.ncp 8,6858 ^

Defazajul />,„ respectiv 6j se măsoară in radiani.Dacă impedanţa dc sarcină este egala cu impedanţa caracteristică

directă

I s = I c (8.69)

atunci, având în vedere faptul că tf, = Z r , / , şi (Z2 =Z«-iZ: se obţine egalitatea

între exponentul de transfer în tensiune şi cel de transfer în

curent:

http://pen.ru/

Capitolul 8lu = li (8.70)

în acest caz mărimea complexă:

y = In

reprezintă exponentul de transfer pe impedanţa caracteristică al cuadripolului. Se

obţin de asemenea expresiile constantei de atenuare şi a celei de fază:

2 -"2

Parametrii fundamentali ai unui cuadripol simetric pot fi exprimaţi în

funcţie de impedanţa caracteristică Zc şi de exponentul de transfer 2- Astfel, se pot

scrie relaţiile:

e- = b L 2 (8.73)

Având în vedere că Zc = ÂM

IAI X se obţine că:

e I = â\\ +V î2 ' A i \ • (8.74)

Pe dc altă parte, în cazul unui cuadripol simetric, pentru care Au^dn* condiţia de

reciprocitate capătă forma Au - A\iAi\ = 1, încât

A\\ ~ v A \7&2\ I

= AU-UMA2I ■ (8-75)

Ţinând seama de relaţiile (8.68), (8.69) se obţine că:

Au = A-,- , =e-T+e-? 2

e l - e L

= chy

= shy.

(8.76)

(8.77)

= ln^- = fl + .)/> (8.71)

U' = In-*- ; /3 = />„ = b{ = yul - y„2 = y„ - y(8.72)1a = a., = a, = Inu

U

Capitolul 8

In sfârşit, având în vedere şi expresia impedanţei caracteristice, Z

doi parametri fundamentali:

A l2 =Zcshy

Astfel ecuaţiile fundamentale ale euadripoiului liniar reeproc,

snnetnc, închis pe tmpedanţa caracteristică se pot scrie subU} =chy-ţ;2 + Z fshY-/ 2

shy

Z - (8.80)

8.8 LANŢURI DE CUADRIPOLI

Se consideră /; cuadripoli pasivi, reciproci, conectaţi în lanţ (Fig.8.17).

Exponentul de transfer în tensiune al acestui lanţ de cuadripolieste:

y =ln-=î-=ln— u EL.II.......^ ± . M ,

u , u

L — 2 ^3 (8.81)

unde y' ' = In— u

reprezintă exponentul de transfer în tensiune al

Fiu. 8.17

în mod asemănător exponentul de transfer în curent se poate exprima sub

forma:

forma:

(8.79)

pasiv,

cuadripolului A- din lanţ.

Capitolul S

y . = In

= ln4 L+> (8.8

2)= ym + r,:, + -r;"Srr, = ^ + J / > ,

unde yw«'ln-=*- reprezintă exponentul de transfer în curent al

Lk+\cuadripolului A'.

Se obţine de asemenea că:

",,=î>r ! *,.=î>"' i «.-£«.'" i &-£*P> (8.83)

*=| *=! *=1 *=I

ceea ce înseamnă că atenuarea totală este egală cu suma atenuărilor introduse de

fiecare cuadripol din cascadă, iar defazajul total este egal cu suma defazajelor

introduse de fiecare cuadripol.

Dacă toţi cuadripolii sunt identici între ei lanţul se numeşte

omogen. în acest caz y|*' = y_u = au + ]bu şi yy - y . = a ] + ] b ] ,

V A' = l.w, şi atenuarea totală va fi:

a u = n a u , a , = n a i t

(8.84)

iar defazajul total introdus de lanţul de cuadripoli este:

b„=nb'K , b,-,nb].

8.9 FILTRE ELECTRICE DE FRECVENŢĂ

Filtrele electrice de frecvenţă sunt circuite de tip cuadripol intercalate pe o

linie de transmisiune a unui semnal electric, având rolul de a permite trecerea

semnalelor cu frecvenţa cuprinsă într-un interval de frecvenţă numit interval de

trecere a filtrului şi de a bloca transmiterea semnalelor din intervalul de frecvenţă

complementar acestuia, numit interval de oprire sau de atenuare. Funcţionarea

filtrelor de frecvenţă se bazează pe faptul că atenuarea introdusă este funcţie de

frecvenţă sau de pulsaţia w:

Cuadripoli diparfi în regim permanent sinusoidal

N CAZUL UNU, OH. CU ft,nc|ionarc (tM)PCN.RU FRECVENTE S„U„,C ÎN BANDA DC ,RCCCREA ! MAM™ «TE „„,DE NPRNC. D,„ PUNE, DE VEDERE PRAC,,C J ^ " H INFINITA I„ BAN

VALON CA. NU. MAR, ,„ ,„LERVA|U, DC ATENUARE? * ALEMA™ SI IA

FRECVENŢA LA CEALALTĂ SI FIE CÂT MAI RAPIDAKREA DC LA ° W, DC

IN LUNCPE DC FORMA CARAC.CRK,;FRECVENŢĂ SE CLASIFICĂ IN: "C" <*°) FILTRELE ELECTRICE DE

A) FILTRE TRECE-JOS PENM, CARE ATENUAREA ESTE (FIG.8 I G A).fl((0) = 0 ,coe[o,co,]. * 0

,o)>o), '

b) filtru trece sus având o caracteristică a(co) de forma (Fig.8.18.b):f*0 , C O G [0,CO,].

a(co) =0 , co xo,

c) filtru trece bandă (Fig.8.18.c) pentru care:VfJ ,coe[G\co,)

«(co) = 0 .coe[co,,co2] ; * 0

. co > co.

0©1 (Ol

6)

(Ol (O,

c)

CO

a

(Oi (i> 2 IO li (UtCO, 0)4 (O

d ) C)

Fig . 8 .18d) filtru opreşte bandă (Fig.8.18.d) având caracteristica <*a» de forma:

http://pcn.ru/

'apitoiul 8

[0 , c o e [0,co, ) fl(co) = J^ 0 , © e[fl>,,G>2] ; 0 , © > © 2

e) filtru tip pieptene având mai multe intervale de trecere şi de atenuare

(Fig.8.18.e).

Filtrele electrice de frecvenţă pot fi realizate cu elemente active de

circuit (fîftre active) sau cu elemente pasive de circuit ( f i l t re pasive), în cazul în care în

structura filtrului nu există rezistenţe (sau dacă rezistenţele au valori neglijabile)

filtrul se numeşte nedisipativ.

Deşi caracteristica o(co) poate fi obţinută, prin utilizarea metodelor de

analiză a circuitelor electrice, pentru orice tip de filtru, determinarea pe calc

analitică a limitelor intervalului de trecere este de multe ori dificilă. în cele ce

urmează se prezintă modul de determinare a benzii de trecere şi de atenuare pentru

filtre electrice nedisipative ealizate din cuadripoli simetrici închişi pe impedanţa

caracteristică.

'.9.1 Determinarea limitelor intervalelor de trecere pentru filtre simetrice

nedisipative

Filtrul electric nedisipativ şi simetric admite, ca orice cuadripol, o schemă

echivalentă în T sau în n realizată din două impedanţe distincte, pur imaginare.

Considerând cuadripolul în T, condiţia de simetric di\-dzi atrage după sine egalitatea

(]) z impedanţelor Z, şi Zj. Cuadripolul °—C=

Io

or ; • • ' "«

Fig. 8.19arametrul fundamental Au al acestui cuadripol are expresia:

in = 1 + Z _r 0 = l + B0 (8.87)

fiind un număr real, Au e R.

Impedanţa caracteristică a cuadripolului, calculată cu relaţia (8.32), are

expresia:

z (2)1—o1

SI,echivalent în T pentru filtrul considerat ţj este

reprezentat în Fig.8.19 unde

Param<

Cuadripoli diporţi în regimpermanent slnu.nl 1 H 1

Â 2 lB

(8.88)

de altă parte, parametrul fundamental Au poate fi exprimat Fn funcţie de

exponentul de transfer pe impedanţa caracteristică fiind de forma-

in *422=chY = ch(fl+j6) = chfl.cos6î+jshfl-sin6. (8.89) Deoarece A\i

trebuie sâ fie real este necesar ca:Im{i411} = sha-sin/) = 0 . (g 90)

în banda de trecere a filtrului atenuarea este nulă, </=0« şi condiţia (8.90) este

îndeplinită (sh fl=0), Parametrul Au devine în acest caz:

An = c o s b .

Se observă câ în banda de trecere este îndeplinită condiţia U„în banda de oprire (sau de atenuare) a filtrului atenuarea este

a*0. condiţia (8.90) impunând ca sin b=0 sau b e {0,+7t,-;r}.

Parametrul A \ i are >n acest cazexpresia:

i,,=±cha • (8.92)

astfel încât în intervalul de atenuare |/[,,| > 1.

Analiza efectuată permite să se observe că pulsaţiile limită ale intervalului

de trecere al unui filtru nedisipativ simetric sunt soluţii ale ecuaţiei:

|i„| = l (8.93)

Concluziile obţinute sunt prezentate sintetic în Tabelul 8.1.

Tabelul 8.1

a bIntervalul de trecere 0 arccos(/[ii)

Intervalul de atenuare anich(.in)

Exemplul 8.1 Sâ se determine Umilele intervalului de trecere şi tipul filtrelor

simetrice nedisipative din Fig.8.20.a, b, c, d. a)-4,, = l + Z Y 0 = l + j < o L -

j t o C = l - ( o 2 L C .

(8.91)

< 1 .

smusaidul

http://slnu.nl/

C

(1) /YY\ .(2)

(1^—II—HM

l i f(2',

o) A)

(2 )C

■II-

(2) o

Fig. 8.20

Condiţia Un | = ' se poate realiza Fie daca dti=U ceea ce conduce la

(D|=0. fie dacă A\\=-\. conducând la co, =LC

. Intervalul de trecere

este 0.LC

, iar filtrul este de tip trece-jos.

b) Au = 1 + T

jcoC jcoZ. in'LC Condiţia |/in| = l conduce la a>2-»cc în cazul

4ji=1, respectiv la

în cazul A ] }=-1. Intervalul de trecere al filtrului este (coj, co),

4ÎLC

filtrul fiind de tip trece-sus.

= 1-

(Di =

(2)

! 1 1

C

c) Au = l + jcoZ,-jtoC = l-co:!Z.C.

^ i i = l => co, = 0

A\\ = 1 o •4n = - I co2

=

2_

LC

Fig. 8.21

I H 3 1 9

Filtrul arc banda dc trecere 1

1

d ) ^ 1 = 1 +

jcoCjcoL

( f E C â u = l =>1 ■ Intervalul de trecere este (o>,, «), iar filtrul

este de tip trece-sus.

Exemplul 8.2 Să se determine intervalul de trecere al filtrului nedisipativ din Fig.8.21.

Cuadripolul din Fig.8.21 este L

de tip T. iar impedanţele Z şi Y0 au

1

expresiile: ( I

jcoL—-—

z =I

j ( o L -coC

(oC0-

fundamental /fu este: = 1 +

wC0

coZ. o ;

0.

= 1 -

(O-, —> co

1

coC J

Parametrul

coZ. -

Ş' este un filtru de tip trece-jos.

. Din condiţia .iu=l se

C toL-

obţine co, = . iar din condiţia in=-l rezultă w

Intervalul de trecere al filtrului este [min{a>i,<o;}, maxţcoi, co

este de t ip trece bandă.

CAPITOLUL 9

CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE ÎN REGIMPERMANENT SINUSOIDAL

Transmiterea energiei electrice de la un generator dc semnal către un

receptor se poate realiza. în principiu, prin intermediul a două sau mai multe

conductoare (Fig.9.I). f n tehnica curenţilor tari, şi în special în clectroenergeiică,

sistemul de transmitere a energici electrice prin două conductoare se numeşte sistem

monofazat, sistemul de transmitere a energiei prin mai mult de două conductoare

fiind un sistem polifazat

Fig. 9.1

în prezent in electroencrgctică se utilizează sistemul trifazat dc producere,

transmisie şi distribuţie a energiei electrice. Acest sistem presupune existenţa unui

generator trifazat care furnizează trei tensiuni electromotoare sinusoidale, având

valori efective egale şi defazate între ele cu 2TC/3, a unei linii de transport formată din

trei conductoare principale, şi eventual unul neutru, precum şi a unor receptoare

trifazate (motoare, transformatoare) având impedanţele fazelor conectate în stea sau în

triunghi.

Sistemul trifazat de transport a energiei electrice s-a impus datorită

avantajelor sale dintre care sc pot enumera: o transmisie mai economică în raport cu

puterea totală transmisă, posibilitatea dc a dispune la receptor de două tensiuni de

valori efective diferite (tensiune de linie şi tensiune de faza), sau de doi curenţi de

valori efective diferite (curent de linie şi curent de fază), posibilitatea de a obţine

câmpuri magnetice învârtitoare care permit realizarea celor mai simple motoare anm

Wam ,-„ nglm iKmnm

Gen.

electrice, motoarele asincrone. în pW construc..

trifazatc nu este mai complicată decât a cZr gCnfCratoarc,or

presupunând existenţa a trei înfăşurări (trei faze). monofa™e. ele

9il SISTEME TRIFAZATE SIMETRICE DE MĂRIMISINUSOIDALE 1111

Un sistem trifazat simetric de mărimi sinusoidale este un sistem de trei mărimi

sinusoidale având aceeaşi pusaţie. to, aceeaşi valoare efectivă şi defazaje de 2n/3 între

oricare dintre ele. Dacă cele trei mărimi, de exemplu trei tensiuni electromotoare, se

succed în ordinea 1. 2, 3 se spune că sistemul este cu succesiune directă a fazelor, in

acest caz valorile instantanee ale celor trei semnale au expresiile:

e, (/) = E^fl sin((o/ + <p)

e2(/) = £V2sin((o/ + (p-^). (9.1)

e3(/) = £V2sin(cof + <p-4*)

Dacă cele trei semnale se succed în ordinea 3, 2, 1 sc spune că sistemul

trifazat este cu succesiune inversă a fazelor. Valorile instantanee ale celor trei tensiuni

electromotoare au în acest caz expresiile:

e\ (0 = £"V2sin(cor + (p)

e:(0 = £v/2sin((o/ + <p+-ţL). (9.2)

e\ (/) = E4Î sin(co/ + tp+-y) Pentru a simplifica reprezentarea în

complex a mărimilor sinusoidale ce formează sisteme trifazate se introduce notaţia:

— ">n 2na = eJ 3 =cosy + jsiny. (9-3)

Se observă că numărul complex a satisface următoarele relaţii:

. 2 R2 ' -l /JT a = — = a = e *

a

1 + < 7 + tf2 = O

l-o2 = V 3 e

. K

Valorile efective complexe ale sistemului de tensiuni

lectromotoare cu succesiune directă a fazelor sunt:

E y = £eJ*=£.2r.

Capitolul 9

£\ = E e:(m ArA M

(9.5)

E3 = E c

iar ale celui cu succesiune inversă a fazelor sunt:

£J = £ej+— .2n

E*> = E e

= £e 3 = a E (9.6)

E , = Ec

\ 3 i = £ e 3 = a2 E

în mod similar se poate concluziona că un sistem de mărimi sinusoidale având

valorile efective complexe

F , = F L2 = a ^ L , £3 = a F

formează un sistem simetric cu succesiune directă a fazelor, iar unul de forma

£ , = F , F 2 = a F , F 3 = a 2 F

constituie un sistem simetric cu succesiune inversă a fazelor.

In Fig.9.2.a este reprezentat sistemul celor trei fazori în cazul succesiunii

directe a fazelor, iar în Fig.9.2.b cel corespunzător succesiunii inverse a fazelor.

Ţinând seama de faptul că 1 + a + a 2 = 0 rezultă că

IS6

Relaţiile (9.7) au

drept consecinţă şi

faptul că suma

valorilor

instantanee

mărimilor formează

sistem

simetric,

cu

succesiune directă

sau inversă, este

nulă:

Fig. 9.2

e,(O

+

e2(/)

+

e3(r) = 0 e ] ( t ) + e ' 2(t)

+ e i ( t ) = o'

(9.8)

9.2 CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATE 9.2.1 Conexiunea

generatoarelor

în Fig.9.3 este reprezentat un generator trifazat cu conexiunea în stea a

fazelor. Acest tip de conexiune se obţine prin legarea în comun a bornelor (T),

(2'). (3') ale celor trei înfăşurări obţinându-se punctul comun (O) numit neutnd

generatorului. Nodurile (1), (2) şi (3) reprezintă

începuturile dc fază ale fazelor generatorului.

Tensiunile dintre începuturile de fază şi neutrul

generatorului se numesc tensiuni de fază şi au, în

cazul succesiunii directe, valorile efective

£0 + « + a2) = 0

£0 + a+aJ)sO(9.7)

h)

188 ('apUolul 9

(9.9)

U „ = £ , = a E

Astfel, tensiunile de fază formează un sistem trifazat simetric cu succesiune

Tensiunile dintre începuturile a două faze se numesc tensiuni de linie şi au

complexe:

= ( l - a 2 ) E = j3Ee 6 U n = V .2o- U .30

i 2 = a2&Ee~<> (9.10)

Relaţiile (9.10) arată că tensiunile de linie ale unui generator cu conexiunea

in stea a fazelor formează un sistem trifazat simetric cu succesiune directă defazat

/6 înaintea sistemului de tensiuni de fază. Dacă se notează cu Uf valoarea

efectivă a tensiunii de fază şi cu (7, valoarea efectivă a tensiunii de linie

f / /= | ţ / ,o |=fco | = fco| = ^

fc3|= fe i | = V3V se observă că

între tensiunea de linie şi cea de Uîî fază există relaţia:

U , = S l J f . (9.11)

De exemplu dacă c//=220 V se obţine (7/=380 V.

In Fig.9.4 sunt reprezentaţi fazorii

corespunzători sistemului de tensiuni de fază,

respectiv cel al tensiunilor de linie.

J -

IH<J

Generatorul trifazat cu conexiunea în triunghi a fazelor (Fig.9.5) se caracterizează

prin faptul că sfârşitul unei faze se leagă la începutul fazei următoare. în acest fel

tensiunea pe oricare fază a generatorului

Zi î (I )

c,y,,„y, „„.,*, „y,,,,,,. „, reglm

U 2 i - -

Curenţii /i, £, £ formează sistemul trifazat al curenţilor de linie, iar curenţii A,, /

13t ^ sistemul trifazat al curenţilor de fază. Sc observa că valorile efective

complexe ale curenţilor dc linie pot fi exprimate în funcţie de cele ale curenţilor

în fazele generatorului cu ajutorul relaţiilor:

!-\ -Z13

£3=1. 3 - / 3 2

Dacă generatorul funcţionează la gol, frfcjfr* şi rin ^ fazele acestu.a

c.rculă acelaşi curent 4. Deoarece fiecare înfăşurare prezintă ş. o impedanţa de

valoare mică, rezultă că L se poate exprima sub forma:

3ZR = ° - (9.14)

în cazul apariţiei unei nesimetrii în funcţionarea generatorului (datorate unor

cauze mecanice sau electrice) condiţia £ , + £ , + £ 3 = 0 nu mai este îndeplinită,

astfel încât prin înfăşurările celor trei faze ale generatorului apare un curent 4*0.

Acest curent are o valoare efectivă mare. datorită valorii mici a lui Zg, putând

duce la deteriorarea înfăşurărilor. Din acest motiv conexiunea în triunghi a

fazelor generatorului trifazat nu este întrebuinţată in practică.

9.2.2 Conexiunea receptoarelor

I. Se consideră pentru început un receptor trifazat cu conexiunea în stea a fazelor

alimentat de la un generator trifazat cu conexiunea în

(9.12)

(9.13)

devine egală cu tensiunea dc linie:

= E , = a 2 E .

stea (Fig.9.6). In analiza care urmează se presupune că impedanţele fazelor

receptorului. Zi, Z?, Z3, precum şi

impedanţa conductorului neutru, Z*, nu

prezintă cuplaje magnetice.

în Fig.9.6 s-au utilizat notaţiile:

i/iN, J2»N valorile efective

complexe ale tensiunilor de faza ale

receptorului;

- Ih h curenţii de fază;

- i/10, Lho valorile efective

complexe ale tensiunilor de faza la generator;

- N neutrul receptorului, O neutrul

generatorului;

- U o tensiunea dintre neutrul

receptorului şi neutrul generatorului, numită şi

tensiune de dezechilibru-

- l\ curentul fn conductorul neutru.

In genera) se presupun cunoscute tensiunile de alimentare, c710ţ îhh Lho Şi

impedanţele Z \ , Z>, Zţ, ZN şi se urmăreşte determinarea tensiunilor U\s, Uzx, Lhs Şi a

curenţilor /i, Ţ2, Ţ3.

Circuitul din Fig.9.6 are două noduri (O) şi (N) şi poate fi uşor analizat cu

ajutorul metodei tensiunilor nodale. Alegând nodul(O) drept nod de referinţă se obţine

ecuaţia:

de unde rezultă tensiunea de dezechilibru

(9.16)

I m I i+Za+Ia .+lN ensiunile pe fazele receptorului vor

avea expresiile:

ILIN =LL\o - U. NO

U - i N =U .2o - UNO ■

(9.15)

(9.17)

IU

LLIN = L/30 -LLNO urenţii de fază, egali cu cei

de linie, pot fi exprimaţi cu ajutorul elatiilor:

Valorile efective complexe ale curenţilor şi al

fazele receptorului, precum şi valoarea tensiunii de ăt c ^

dc valorile impedanţelor din circuit, in cele ce URMST ^ 1 ^câteva cazuri particulare. ™Cază sc analizează

a) în cazul în care impedanţele 7, 7, ci 7 £Stc echilibrat Notând CU Z

vabarca comunîa ICT.ora-

z- = z-\ = Z 2 = Z 3 =2ej9 şi cu I = - = Y e i 9 se obţine

tensiunea de dezechilibru:

3Z+7« " ° - (9-19)

Curentul în conductorul neutru este:

i , _ _ _ = 0 (9.20)

astfel încât în cazul unui receptor trifazat echilibrat cu conexiunea în stea a

fazelor, alimentat cu un sistem trifazat simetric de tensiuni sinusoidale,

conductorul neutru poate lipsi.

Tensiunile pe fazele receptorului sunt egale cu tensiunile pe fazele

generatorului şi deci formează un sistem trifazat simetric:

U .2N= U .20 (9.21)

Curenţii în faze au expresiile:

/ _ —10 _ —10 C-J«P

ML?" g&irV ^ Z '; ^20_ = ^20_e-j9 (922)

Z Zformând un sistem trifazat simetric ce verifică relaţia Z i + / 3 = o

în Fig.9,7 este reprezentată diagrama vţ/30 = fazoriafă dc tensiuni şi

de curenţi fn cazul unui receptor echilibrat inductiv.

Tensiunile de linie Ia receptor sunt egale cu

cele dc la generator fiind satisfăcută relaţia

(9.11).

In cazul în care Z&ZyfiZs receptorul este

dezechilibrat, fn acest caz impedanţa ZN poate avea

diverse valori, inclusiv 0 şi oo.

b) Considerând cazul ZN=0 înseamnă

scurtcircuit între neutrul receptorului şi cel al

generatorului. Tensiunea de dezechilibru este nulă deoarece

ILN O = 2NZ-V = 0. (9.23)

Tensiunile pe fazele receptorului sunt egale cu cele de fază ale generatorului

formând un sistem trifazat simetric, la fel ca în cazul receptorului echilibrat. în

schimb, curenţii de fază au valori efective diferite, formând un sistem trifazat

nesimetric de mărimi sinusoidale:

l2=Li-u2

(9.24)

l 3 = l 3 ' " I O

urentul în conductorul neutru are expresia:

LN = X I + Z 2 + Z 3 * 0

fiind în general nenul.

Existenţa unui conductor neutru dc impedanţa nulă

prezintă, pe de o parte, avantajul că realizează simetrizarea

tensiuni de fază la receptor şi, pe de altă parte, permite modificarea

o fază, prin modificarea impedanţei dc fază, fără a schimba

în celelalte faze. Acest ultim aspect prezintă o importanţă practică

c) In cazul unui receptor dezechilibrat fară conductor neutru,

tensiunea de dezechilibru este diferită

20

Circuite electrice trifazatc

,c,u "'"usoidai ,93

N O = MLt^£2_ + ^£

Tensiunile de fază şi curenţii de'FEJ TF'

nesimetric. Curenţii de fază satisfac relaţia Un sis*m

trifazat

iar mod.ficarea curentului dc pc 0 fa7a atrao. ■ (9-27)

celelalte două faze. * atraSe ?' modificarea curenţilor î

d) Cazul general, al receptorului d „eufru, se analizează cu ajutorul

relaţiilor (9 llw^™ CU conduc'or

Diagrama fazorială dc tensiuni )'"{91^-

reprezentată în Fig.9.8. Se observă că este 25 ****** k «te

tensiun.lor pe unele dintre fazele receptorul Cfectivc ale

valoarea efectivă a tensiunii de fază de h n,n Să flC mai mari decât (în Fig.9.8

Ur>U30). Acest fenomen ^ , supratensiunilor pe fazele

unui reCepto 4 dezechilibrat cu conex.unea în stea a

fazelor este cunoscut în practică, putând uneori să conducă

la deteriorarea receptorului de pe faza suprasolicitată Din

acest motiv în reţelele de distribuţie a energiei electrice

se urmăreşte întotdeauna o funcţionare echilibrata a

razelor.

H. Se consideră un receptor trifazat cu conexiunea în triunghi a fazelor (Fie.9 9)

alimentat cu un sistem trifazat simetric de

tensiuni de linie.

t Hn= U , "^23 = a~U, (9.28)U 2 l = a U ,

Tensiunile pe faze sunt egale cu tensiunile de

lime, formând un sistem trifazat simetric.

Presupunând că nu există cuplaje magnetice

între faze. curenţii de fază au expresiile:

Fig. 9.9

U(9.26)

*4o

Capitolul 9

Z.: =

ULl3 = y.21 u

£.3(9.29)

"urenţii de linte se determină cu ajutorul relaţiilor:

i - 3 1

Z3 = ^ 3 1

-- 2 3

(9.30)

Se observă, după cum era de aşteptat, că cei trei curenţi de linie satisfac

relaţia:

■y- - z, +/2 ¥â& *mw : * . (9.3i)

fn cazul unui receptor trifazat echilibrat cu conexiunea in triunghi

impedanţele de fază satisfac relaţiile Z, =Z 2 = Z3 =Z =Z ejip\ iar curenţii de fază

formează un sistem trifazat simetric:

uH . 2 3 2 , Z23 =

&« i - 1 2

z ~ ~ z

având aceeaşi valoare efectivă /y = expresiile:

.71I> = Z i 2 - / 3 i =Zi2 = Z,2 V3e"

6

Z 2 =Z 2 3 -Z12 = « 2 Z i 2 ( 1 - " ) = a2z,

Z3 -Lsi ' I u = a l \i 0 formând un sistem trifazat simetric de curenţi,

defazaţi cu TT/6 în urma sistemului de curenţi de fază. Valoarea efectivă a curenţilor de

linie este

de -Jî ori mai mare decât a curentului de fază:

J , = S I F

C/n

Z, 2 =

17

/ t/,—- = — . Curenţii de linie au

(9.33)

(9.34)

334

/ , . = ^ - Z , 2

(9.32)

Capitolul 9

Diagrama fazorialâ de tensiuni şi de curenţi pentru un

receptor echilibrat cu conexiunea în triunghi a fazelor este

reprezentată în Fig.9.10.

în cazul receptorului dezechilibrat curenţii de fază şi de

linie formează sisteme nesimetrice de mărimi trifazate.

335

a)

(9.336)

9.3 CIRCUITE TRIFAZATE ECHl» i R D

MAGNETICE ^HILIBRATE CU CUPUJE

Se consideră pentru început cazul unui receptor trifazat echilibrat, cU

conexiunea în stea a fazelor, între oricare două faze existând un cuplaj magnetic

aditiv caracterizat de impedanţa mutuală Zst (Fig.9.1 l a ) .Fig. 9.! I

Scriind teorema de tensiuni pentru cele două bucle independente ale

circuitului se obţine:

(Zi: =ZZi +ZA /Z: + ZA ,Z 3 -ZZ 2 - ZA /Z, -ZA ,Z 3 =

= (Z-Z_A / )Z,-(Z-ZA , )Z 2 [Lrs =Z.Li+ZML\ + ZA /Z 3 -ZZ 3 -ZUL\ -IMLI =

= (Z-ZA / )Z 2-(Z-ZA / )Z 3 Relaţiile (9.35)

permit să se substituie circuitul din Fig.9.11.a cu schema echivalentă din Fig.9.Il.b

în care s-au desfiinţat cuplajele magnetice dintre faze. S-a obţinut astfel un

receptor trifazat echilibrat cu conexiunea în stea fără cuplaje magnetice, alimentat

cu un sistem trifazat simetric de tensiuni sinusoidale, caz studiat în &9.2.2.

Al doilea caz analizat este cel al unui receptor trifazat echilibrat cu

conexiunea în triunghi a fazelor ce prezintă cuplaje magnetice de impedanţa

(9.35)

mutuală Z\, între faze (Fig.9.12.a). Scriind teorema de tensiuni pentru cele trei

bucle independente ale circuitului se obţin relaţiile:

a)

(9.338)

196 'aptiolul 9+ Z .\il2i + Z s i h \ = Z l \2 + ZA / (Z 23 + Z31)

=ZZ23+ Z A , (Zl2+Z3.)+Z,i / (Zi2 + Z 2 3 ) Zi

însumând cele trei tensiuni V12 + U 2 3

(Z + 2ZM ) ■ (Z12 + Z23 + Z31) = 0. (9.37)

Pentru un circuit disipativ Z + 2Z.u * 0 astfel încât:

Z I2+Z23+ Z 3 ! = 0 - (9.38)

Ţinând seama de relaţia (9.38) sistemul (9.36) devine:

£Z1 2=(Z-ZA / )Z. 2

£Z23=(Z-ZA / )Z 2 3 . (9.39)

M ) h \ Relaţiile (9.39) permit să se înlocuiască circuitul din

.a prin circuitul echivalent din Fig.9.12.b. S-a ajuns astfel la un receptor

trifazat echilibrat fără cuplaje magnetice cu conexiunea în triunghi a fazelor, caz

Analiza funcţionării unei reţele de distribuţie a energiei electrice trebuie să

ţină seama şi de impedanţele liniilor de transport. în cele ce urmează se consideră

cazul în care cele trei linii au impedanţe egale cu Z/ i prezintă cuplaje magnetice între

/,u(Fig.9.13.a).

seama de faptul că

b)

Fig. 9.12

şi ţinând

a)

b)

arcuite electrice trifazate in regim „„„„„„„ ^Fig. 9.13

Căderea de tensiune pe conductorul liniei 1

este- & - Z . , L > + Z.IM

h + ZM h = Z,Z, + Z/

„ (fc +I3) (9 40) Dacă

receptorul conectat

la linia trifazată este

echilibrat atunci

sitemul curenţilor de linie

este simetric astfel încât

Ii+fc+fc-O. (9.41)

înlocuind / , + 73 = -/, în relaţia (9.40) se obţine:

U \ =(Z/ -Zu/)Zi. (9.42)

Relaţii similare se obţin şi pentru celelalte două linii. Astfel circuitul din Fig.9.13.a

se poate înlocui cu schema din Fig.9.13.b din care au fost eliminate cuplajele

magnetice.

9.4 CIRCUITE TRIFAZATE COMPLEXE

In &9.2 s-a analizat cazul unui singur receptor cu conexiune în stea sau în

triunghi Iară a se lua în calcul impedanţa liniilor de alimentare cu energie electrică.

Deoarece, în general, o reţea de distribuţie alimentează mai mulţi consumatori. în

cele ce urmează se analizează câteva cazuri de circuite trifazate complexe.

Receptorul trifazat cu conexiunea în stea a fazelor alimentat prin linii de

impedanţe Z)U ZihJdi. Zis (Fig.9.14.a) poate fi asimilat cu un singur receptor cu

conexiunea în stea având impedanţele fazelor:

Z'*=Z,+Z,4 , * = 1,2,...N. (9.43)

în cazul unui receptor cu conexiunea în triunghi a fazelor (Fig.9.14.b)

C) (l)

(3') (3)

b)

Capitolul 9

acesta poate fi substituit printr-un receptor cu conexiunea în ste echivalent,

ajungandu-se astfel Ia o situaţie de tipul celei din Fig.9,14 a ^

340

0)

(3)

Z/32:*3

L

( N)

/ 3 4 1

a )

în cazul în care două

receptoare trifazate, unul cu

conexiunea în triunghi şi

unul cu conexiunea in stea,

sunt alimentate prin aceleaşi

linii de impedanţa Z/k

(Fig.9.15) se poate

transfigura receptorul

conectat în stea în unul conectat în triunghi, după care se

grupează laturile conectate in paralel ale celor două

receptoare. Se ajunge astfel la o situaţie de t ipul celei din

Fig.9.14.b.

Dacă cei doi consumatori sunt ambii cu conexiunea în stea se echivalează

fiecare dintre ei cu un receptor conectat în triunghi ajungându-se la un caz discutat

anterior.

Exemplul 9.1 Receptorul trifazat dezechilibrat din Fig.9.16 este dimentat cu un sistem trifazat simetric de tensiuni de faza cu succesiune firectă. Se cunosc U W =I20 V, R2=R3=10 Q, Xw^Xa^lOtâ Q, rL2"=Xc2

=10'43 Q. Sâ se determine curenţii de faza precum şi curentul în iductorul neutru.

( D o

<2> o

( 3 ) o -

fig. 9. J 4

Fig. 9.16

30

Capitolul 9

Sistemul de tensiuni de

fiză de ,a Senerator

este:

'f (7,o=120V ^

( 2

Ţcnsiunea de

dezechilibru are ( expresia:

R e z u l < ă : ( ; ; V O = 120eJ 3 . Tensiunile pe fazele

receptorului au expresiile:.Jt

U m =£Z.o-LU) = 120V3Y«

U 2 A' = a 2 o-aNo=120V3e'^ .L /3Af = Lbo ~ U . N 0 = 0

Curenţii de fază au valorile efective complexe:

U=36e 3;

I

.2nU 2 0 = \20c^ .

■ZL

ţ / 3 0 = 120c' J 3

y =_i- = 0 , l S ; I . v = -U R:

342

1

0

1

fi.1

.it

JT

/ 3 4 3------5=12^;

* 2 + JlAV*Cl)

/ = =â£L = o. Curentul în conductorul neutru este:R

JT

IN = / , + / 2+ l 3 = 1 2 ^ e i - Exemplul 9.2 . Receptorul trifazat

echilibrat cu conexiunea in stea a fazelor clin Fig.9.17 având impedanţa

defaza Z=R+jX=15+18j Q este alimentat de la reţeaua trifazata cu un

sistem simetric de tensiuni de linie

de valoare efectivă U'i=208 V. Impedanţa conductoare/or de alimentar este Zj=3+2J Q. Să

se determine curenţii defaza şi de linie.

Fig. 9.17

Cele trei impedanţe conectate în triunghi se înlocuiesc cu o stea

echivalentă având pe fiecare latură impedanţa

Z>| = 5+6j.

Impedanţa fiecărei faze este:

r = z , + z >8+8j n .

Deoarece sistemul este echilibrat, tensiunea pe o fază va fi

dte-i n « -.■.!)

f =-^= = 120 V . Alegând ca origine de fază tensiunea pe faza (1) sistemul de

tensiuni de fază este:lVC " LLio = U f =I20V J

27.

a2

o = Uf

e 3 = a

2U

f

An

U

U .30 = U / e ' T = a U f

Curenţii de linie au valorile: , _ ^ i o 120 , .v Z'"F=^j = 7'5(, + j)

Circuite electrice trifazate în regTensiunile pe fazele receptorului sunt-

Uk-Un -Z,Z,.+Z,fc .K t t ' .= 142,63- 11I.5J V l 12 > =

iZ3l=«CZ',2

Intensităţile curenţilor în fazele receptorului sunt: Z l 2 = ^ = 10,48

+ ,,83j;Z23=o:,1:;Z3i=oIi2

EXempk

" U

P

~il

<** *rf receptoare triatedezechilibrate din Fig.9.18 sunt R = _ J_ _ ,ftr. m

wr; Sistemul de

tensiuni de linie este simetric şi are valoarea efectivă Ut=380 V Se cer,, să se determine:

a) indicaţia voltmetrului de impedanţa internă infinită conectat intre neutrele celor receptoare;

h) curenţii de linie;

c) puterile activă şi 11) reactiva

absorbite de aceste receptoare.

Se analizează circuitul cu

ajutorul metodei tensiunilor nodale

alegând drept nod de referinţă nodul

(3) ( (3)=(0) ). Considerând ca

origine de fază tensiunea de linie

U\2* sistemul trifazat simetric de

tensiuni dc linie este:

ILn^lLi ; £Z23=a 2 £Z/ ; LLu=aU.i .

Circuitul arc patru noduri independente (1), (2), (N) şi (N') şi două

tensiuni nodale sunt cunoscute:

^ 1 0 = ^ 1 3 = ^ 3 1 = ^ ^ / î ^ 2 0 = ^ 3 = ^ / -Sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea metodei tensiunilor

0V)

Fig. 9.18

'« Permanent sinusoidal346

Capitolul')nodale este:

-IxiiZio -ZmlLin+ZmtU.N<t -ZmlLm = 0 -ZA- I£Z I O -Zx-zUzo

- X .X W U .X O + Z X:\- U. X-O = 0 Admitanţa voltmctrului este zero şi deci

ZN N1 = 0. Se obţine:

£ Z,vo =

jo)C(-flc//)+-----a 2 L / ,

Z.V| [ Z l O+lA '2iZ20________J Q > £1 •( r> 1

—-f- j cot?-----------R l coZ.

- - j a U ,R o)C + i o Z

£ ZA "0 -

Zx? t o C -\

0)L

Valoarea efectivă a tensiunii indicate de voltmetru este:

U v =\LLx-o-U.xo\- }aU ! R \ — + aC - 2 U , = 760V.

2 2 jtoZ

■

^ = ^ = jcoC({Z2o-tZô)

^2U -30 -U .N'0

l-AA'

■

z3

=

347

1

Valorile efective complexe ale curenţilor în fazele receptoarelor

sunt:

Zi =^- = jcoC(iZ,o- [ Z A-o) ; Z;=^- = (iZ,o-L / A -0)/GwZ)

Z i

iZ30

Capitolul')

h =R R

Curenţii de linie au valorile efective complexe:

348

L - M

h)

Fig. 9.19

Circuite electrice trifazate în regim permanent sinusoidal

/ , = /', + l\ = »5,2 A ; / 2 = f2 + /"2 =-15.2 A ; / , = £ + £ = 0 . Puterea aparentă

complexă primită pe la bornele dc acces, se calculează cu relaţia (6.107) şi are

expresia:

S b = U-xo ■ lî + ^.20 • Li = -aU t L, + a2l/, (- /,) = 5776 VA.

tcrea activă arc valoarea P=5776 W. iar cea reactivă este Q=Q. FxenwhţL2J- Se

consideră receptorul echilibrat cu conexi

ferelor şi cuplaj magnetic între faze (Fig.9.19.a) având parametrii RQ U)L=50 Q.

OJM=12 Q. Sistemul tensiunilor de linie este simetric ^' valoarea efectivă Ui=380 V .

Să se determine curenţii de fază.

Reducând cuplajele

magnetice schema electrică este cea din Fig.9.19b. Tensiunile de fază au valoarea

efectivă U f = 1 ) 41 = 220 V Sistemul trifazat simetric al tensiunilor de fază este:

ţ/ ,o= c //; ţ/ 2 0 =f l 2 t//; C i 30 =a C / / .

conexiunea in

a)

Circuite electrice trifazate în regim permanent sinusoidal

Curenţii de fază au valorile efective complexe:

ţ/,0 220 5(1 -j)= V 3 •4i

12

" R + )(a( L - M ) 38 + 38J Valorile instantanee ale

celor trei curenţi de fază sunt:

Capitolul 9

« * SISTEME TRIFAZATE NESIMETRICE DE MĂRIM] 9 ?

SINUSOIDALE. TEOREMA LUI FORTESCUE

Sc consideră un sistem trifazat nesimetric de mărimi sinusoidale

caracterizat prin faptul că valorile lor efective complexe nu sunt egale, iar

« dmtre ele sun, diferite de 2*/3. F,e spre exemplu, s.stemu,

trifazat "«imelric . \ * ^

" Conform teoremei lui Fortescue [12], [19] un sistem trifazat nesimetric de

mărimi nesinusoidale poate fi cxpr.mat ca suma dmtre un sistem trifazat simetric

cu succesiune directă a fazelor, unul cu succesiune inversă a fazelor şi unul

homopolar, sub forma:

U 2 = a 2 U d + a U i + U h (9.44)

Rezolvând sistemul (9.44) în raport cu necunoscutele Uj. U,. Uj, şi ţinând scama

de faptul că 1 W =0, iar a3=l. se obţ.ne:

- h = 3U , +aU^ + a 2 U ,

U.j = —-----------=f-------------— • (9.45)

ţ j

3

Sistemul homopolar are aceeaşi valoare efectivă complexă , L^, pentru toate

fazele, sistemul simetric cu succesiune directă este reprezentat de mărimile a'U^j,

aUj, iar cel simetric cu succesiune inversă de mărimile Uj. aUj. a* Uj . O

descompunere similară se poate obţine pentru un sistem trifazat nesimetric de

curenţi.

Astfel, un circuit trifazat liniar, alimentat cu un sistem trifazat nesimetric de

tensiuni sinusoidale, poate fi analizat fie prin utilizarea metodelor generale dc

351

Capitolul 9

analiză în complex, fie, utilizând teorema superpoziţiei şi realizând trei

analize succesive: la excitaţia cu sistemul simetric direct, apoi cu cel simetric invers

şi apoi, în sfârşit, cu cel

352

Fig. 9.20

Circuite electrice trifazalc ;>f

Lk»u permanent sinusoidal

205

Analiza circuitelor trifazate, echilibratalimentate cu un sistem trifazat de tensiuni neVnJT d°ZCchilibratc

formuleze unnătoarelc concluzii: ' mcincc Permite să se

a) deoarece suma curenţilor de linie într un i

conductor neutru este întotdeauna egală eu zero re/uhw

^ aceştia nu au componentă homopolară; ' form (945>''b) deoarece suma tensiunilor dc linie este egală cu »» î„

rczultă că nic, tensiunile de linie nu conţin o

S STc) dacă există conductor neutru acesta este parcurs de curenTl

adică este egal cu tnplul componentei homopolare a curenţilor de fază-

d) în cazul unu, receptor trifazat cu conexiunea în triunghi componenta

homopolară a curenţilor de fază se închide numai prin impedanţele

triunghiului deoarece curenţii de linie nu au această componentă

In general răspunsul circuitului trifazat alimentat cu un sistem de

tensiuni nesimetnce este de asemenea nesimetric. Dacă receptorul este

echilibrat, atunci componentele simetrice ale sistemului tensiunilor de linie

(sau de fază) determină ca răspuns un sistem simetric de curenţi de fază cu

aceeaşi succesiune a fazelor ca şi sistemul dc tensiuni.

9.6 PUTERI Î N REŢELE TRIFAZATE

Se consideră un receptor trifazat având trei sau patru borne de acces (Fig.9.20). Dacă neutrul este accesibil atunci se cunosc. în general, tensiunile de fază de forma:

ţ/,o = tfi0ejr" ; ^20 = : £/» = ■Dacă neutrul nu este accesibil se cunosc tensiunile de

linie având valorile efective complexe: . <3) Utilizând teorema

conservării puterilor (6.110) şi ţinând seama de faptul că receptorul

este un circuit

2<>o Capi/olul 9

pasiv. ^=0. rezultă că puterea aparentă complexă absorbită de acesta este

egală cu puterea aparentă complexă primită pe la bornele de acces:

- imS = Ş b . » • ( 9 - 4 7 )

Ţinând scama de (6.107) se obţine expresia puterii aparente complexe

absorbite de receptorul trifazat:3

£=2g*o4 =^.o-Z.*+^2oZ2+ţZ 3 0 Z 3 - (9.48)

Curenţii de linie Iu /j, h pot fi exprimaţi sub forma:

/, =/,ejr" , /2=/2cJTa , / 3 =/3eJr'J. Puterea activă absorbită de

receptorul trifazat are expresia: A» = Re{i} = £/,„/, cos(yUi - y,-,

cos(y„, -y .J+^3o/3cos(y u j -y , ) > ^

iar puterea reactivă:= Im{ş} = £/,<>/, sin(y1(| -y , ( j+c/20/2 sin(yu, -y;.J+

;T[ >ô/3sin(yM3-yJ • <9-5°)

Dacă neutrul reţelei nu este accesibil se poate alege drept nod dc referinţă

nodul (3) şi puterea aparentă complexă absorbită de receptor are expresia:

Ş = y . l 3 l \ + U . 2 3 l 2 = P + J Q - (9.51)

Puterea activă exprimată în funcţie de tensiunile şi curenţii de linie este deci

= -UnI { cos(y3 - y /()+ U ^ I , cos(y2 -y,J, (9.52)

= -£/„/, sin(y3 -yyJ+c/Âsinly; -y ,J . (9.53)

Dacă se notează cu /,, 72, J3, IN valorile efective ale curenţilor defază. respectiv din conductorul neutru, puterea aparentă complexă pentruun receptor fără cuplaje magnetice, se poate exprima în funcţie de

Zu Z,, şi a cea conductorului neutru, Z,v, sub forma:

355

în cazul unui receptor trifazat echilibrat cu conexiunea in stea a

activă şi reactivă au expresiile:

/, = 3t////cos(p = V3t////Cos(P

e = 3L////sin(p = V3L///,sin(p (9'55)

unde s-a ţinut scama dc faptul c Z U , = S u f .

Pentru receptorul cu conexiunea in triunghi a fazelor puterea aparentă complexă

totală este egală cu suma puterilor aparente complexe absorbite de fiecare fază. Dacă

receptorul este echilibrat U,=Uf , /, = V 3 I f şi, notând cu Uj şi Ţ*, k=\. 2. 3.

tensiunile şi curenţii dc fază se obţine:

S. = Yu.kh =Yu k I k coscp^+jYîV^sincp, =

*2? M t! (9.56)= 3L////cos(p + j3t//// sincp

de unde:

P = 3U , I f costp = 4^11,1, costpr • (9.57)Q = 5U f I f sin(D = v3/7/// sinip

(9.54)

CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM PERMANENTPERIODIC NESINUSOIDAL

Regimul permanent periodic nesinusoidal se caracterizează prin aceea

că toate semnalele din circuit sunt periodice, de aceeaşi perioadă Ţ$ dar

nesinusoidale. Acest regim poate apărea fie în cazul unui circuit liniar alimentat

cu o tensiune periodică nesinusoidală, fie în cazul unuia neliniar sau parametric

alimentat cu o tensiune periodică.

Deoarece semnalele periodice nesinusoidale sunt deformate în raport cu

semnalul sinusoidal de aceeaşi perioadă, acest regim sc mai

numeşte deformant.

Prezenţa elementelor neliniare de circuit într-o reţea excitată cu tensiune

sinusoidală produce curenţi nesinusoidali care vor determina căderi de tensiune

nesinusoidale pe elementele neliniare de circuit. Conform clasificării făcute de

Constantin Budeanu elementele ncliniare de circuit sunt elemente deformante de

prima categorie, ca exemplu putând fi date bobina cu miez de fier. redresorul,

cuptorul cu arc electric, dioda cu vid şi cea semiconductoare, etc.

Elementele reactive de circuit pot realiza o deformare suplimentară a

semnalelelor nesinusoidale sau dimpotrivă o "netezire" a formei acestora. Astfel,

aşa cum se va vedea în acest capitol, bobina liniară deformează tensiunea mai mult

decât curentul, iar condensatorul liniar deformează mai mult curentul în raport cu

tensiunea la borne. Elementele reactive dc circuit sunt elemente deformante de a

doua categorie.

Studiul regimului deformant prezintă importanţă atât datorită efectelor

nedorite pe care acesta le produce în reţelele electrice (pierderi suplimentare de

energie electrică, rezonanţe periculoase, scăderea factorului de putere), cât şi

datorită frecvenţei cu care este întâlnit în electrotehnică. Trebuie menţionat că în

timp ce semnalele sinusoidale sunt în principal purtătoare de energie, semnalele

nesinusoidale pot fi şi

Circuite liniare i„ reel».

„ purtătoare de infonnapc.

,0.1 ANALIZA SEMNALELOR

10.1.1 Dezvoltare, ;„ wil. NESIJVUSOIDALE

C--d« - —I periodic dc „ ■

carer„dcpli„c51euTO8,oare|ccond.ij;/^r»

• eS,ema,,„ilJ|/(/)|d,<o=:

o

. are un număr finit de discontinuităţi de speţa I pc durata unei perioade;

. perioada T se poate descompune într-un număr finit de subintcrvalc pe care funcţia este monotonă.

în aceste condiţii funcţia M poate fi scrisă ca sumă a unei serii trigonometrice, numită serie Fourier, având expresia:

/(') ■ 4) + L Akm sm(*aw + Y*) (10.1)

sau

/ ( ' ) = Ao+ Y B k m sin(A-o)/)+^C,m cos(A-co/) (10.2)

unde pulsaţia co este co = 27t/r.

Termenul A X m sin(co/ + y(), având aceeaşi perioadă ca şi semnalul

/{/), se numeşte armonică fundamentală, iar termenii având indicele A*>1 sunt

armonici superioare. Termenul Bk sin(Ator) reprezintă armonica de

rang k în sinus, iar termenul Ckm cos(A-(o/) armonica de rang k în cosinus. Ao

reprezintă componenta continuă a semnalului. Coeficienţii seriei Fourier, Akm ,

Bkm \\Ckm\ reprezintă amplitudinea armonicii de rang k,

respectiv a armonicii de rang k în sinus şi a celei de rang k în cosinus.

Determinarea coeficienţilor seriei Fourier se poate realiza Cu uşurinţă

dacă se observă că:

a) valoarea medie pe o perioadă a semnalului J[ i ) este egală Cu componenta

continuă ÂQ\

A 0 = j \ f ( 0 d t : o(10.3)

b) multiplicând expresia (10.2) cu sin(kco/) şi integrând pe o perioadă se obţine

coeficientul Bkm având expresia:

Bkm = j J A ' ) s i n { k ( o ( ) d t ; (10.4)

c) înmulţind expresia (10.2) cu cos(kcor) şi integrând pe o perioadă se obţine

coeficientul C k având expresia:

? rCkm = - J/O cos(A-cor )d/. (ţ 0.5)

o

între coeficienţii A k_, Bkm, Ckm şi faza iniţială yk a armonicii de

rang k există următoarele relaţii:

\, = Pi, + CL > Y*=arctgBk

(10.6)

*ţ.=4mcosy

4 , C

k m= A

k ms m y

k. (10.7)

In cazul în care funcţia f \ t ) nu este cunoscută analitic, ci sub formă

grafică, sau dacă în urma determinărilor experimentale se cunosc eşantioane ale

funcţiei J { t ) pe durata unei perioade, atunci calculul coeficienţilor se face

numeric, aproximând integralele (10.3),..(10.5) prin sume. Astfel, considerând că

se cunosc valorile funcţiei (eşantioanele) la momentele de timp echidistante m -

T / N , m = 0,1,..JV- l (Fig.10.1),

valorile aproximate ale coeficienţilor seriei Fourier se obţin cu ajutorul relaţiilor:

(10.11)m = 0

D I s in A-

m-0 (10.8)

2u„,

Conform teoremei

eşantionării (teorema lui

Shanon) [25] pentru a putea

determina coeficienţii seriei

Fourier pană la armonica dc

rang p. inclusiv, este necesar

ca numărul dc intervale, N, în

care se împarte perioada Ţ sj

satisfacă relaţia N>2p. Cu

Fig. 10.2

cos

v N

Fig. 10.1

alte cuvinte, pentru determinarea armonicelor dc rang p frecvenţa de

eşantionare N/T trebuie să fie mai marc decât 2p /T. Funcţii periodice

particulare

1) Semnalele cu valoare medie nulă pe o perioadă se numesc semnale

alternative şi au componenta continuă nulă: -40=0.

2) Semnalele care îndeplinesc condiţia de simetrie:

T

/«) = /

au numai armonici pare în sinus şi cosinus şi componentă continuă:

CC CD

/ ( / ) = A 0 + Y j B 2 k sin(2A(o/)+^C2A cos(2A<o/). (10.10)

Calculând coeficienţii dezvoltării în scrie Fourier ai funcţiei //+ T/ 2 ) şi

identificând coeficienţii cu cei ai funcţiei /(/) se constată că

3) Semnalele care îndeplinesc condiţia

/ + (10.9)

au o dezvoltare în serie Fourier de forma:

f i t ) =y ^2*+i sin(2A- + l>o/ cos(2*' + l>o/. (10 12)

înlocuind dezvoltarea de forma (10.2) în relaţia (10.11) şi idenficând termenii din

cei doi membri se constată că AoÔ, B^CÔ. 4) Funcţiile pare pentru care

f (0= f (-0= f ( T - 0 ( io. I 3 )

au o dezvoltare în scrie Fourier de forma:

f(0 = A+£Ckm

cos(to/) (10.14)k = \

fapt ce poate fl uşor constatat clacă se înlocuieşte (10.2) în (10.13). 5 ) Funcţi i le

impare, care îndeplinesc condiţ ia:

/(') = -/(-')—/(T- o cio.i5)

conţin numai armonici în sinus, după cum se poate verifica înlocuind (10.2) în

(10.15):co

f ( t ) = y^B k sinA-w/. (10.16)

Exemplul 10.1 Să se determine dezvoltarea in serie Fourier a funcţiei crenel

reprezentate în Fig. 10.2.

Funcţia poate fi scrisă analitic sub forma:

m=

Semnalul f [ t ) este

alternativ, A

impar şi antisimetric

f

yr2

faţă de

semiperioadă, îndeplinind

condiţia (10.11). Dezvoltarea sa ~A în serie

Fourier va fi deci de

(10.11)( j,ruite liniare în regim permanent DerinJt* ■

periodic nesinusoidal 213

fonna:

/ (*)'-2*2*+i sin(2A+l ) w

unde:T

= 1 f /-(/)sin(2fc + l )M/d/ =t> 2 k + \ T y

I I

J,L sin<2*

+

l )a,/d/- fu in (2A +

l)co/d/

2. RI-cos(2A- + L)(or/2 COSHÂR + iUr " /

(2* + L)(o

Prin urinare: 4^

/(O =71

4.-l

(2Jt+l>

Exemplul 10.2 Să se determine dezvoltarea in serie Fourier a semnalului

liniar variabil, in dinţi de fierăstrău, reprezentat în Fig. 10 .3.

/(/) = ^ . / , / e [0, r ] .

Componenta continuă este:

0 0

Amplitudinea armonicii de rang k In sinus

are expresia:

Fig. 10.2

X

sin o)/ + ^-sin 3co/ + -sin 5co/ +...3 5

I

A

T

Bkm

= j sin k<ot d/ = J/

sin km dt =

o

T

o

T sin A-(or------+- cosA'O)/

2 A

T 2

cosAa)/

A'CD

Idt+AltA'(o A-2 co2

kto 0 QAmplitudinea armonicii de rang A' în cosinus este:

2

T

I A

C . = ~ [ f i t ) cos hat d t = ^ 4 fr cos hcot d/ =*■ T J ' T ~ J

o

ii sin kiotT r _ r

f sin

fa )/ " J fco

= 0.

Prin urmare /(/) = ^-

]2 sin A-co/

10.1.2 Seria Fourier complexa

Semnalul periodic//) poate fi exprimat şi sub forma unei serii Fourier

complexe. Astfel, dacă în expresia (10.2) se înlocuiesc funcţiile sin(A-wr) şi

cos(Ao>/) prin:

sin ktot = ~~2 j : coskcot =

se obţine:

/(/) = ^0 +£^(eJ"*u/ -e^'j-f (eJ^ +e'J^') =

M , + Z ^£ k e i

' " +

*=1 z*-1

UI

2

(10.16)

Notând cu O* numărul complex:

—— = - (cos Arco/- jsinA-tor)d/ (10.17)

o

şi ţinând seama dc (10 .3) , . . . , (10 .5) , se observă că sunt satisfăcute relaţiile:

= ^-*m i = i Q .km . 0 = • Este astfel posibil să se

exprime /(/) sub forma unei serii Fourier complexe :

o

- r Z

4 (D 5 (i) W

h)

Circuite l iniare în regim permanent periodic nesinusoi215

/(')= ^Dê**(10.18)

-CC

unde coeficientul Dkm se calculează, conform (10.17) cu relaţia:

D . k m =- J/ (0e-JTO,DI. (10.19

)o

0 13 Spectrul de frecvenţă al unui semnal periodic

Dacă sc reprezintă amplitudinile armonicelor 4. în funcţie de

_ co se obţine un grafic de forma celui din FiB.IO.4.a Graficul aţinut

const.tu.e spectrul dc frecvenţă al semnalului. Se observă că un semnal

pcriod.c are un spectru discret de frecvenţă, corespunzător multiplilor

frecvenţei de bază. Se pot reprezenta grafic şi fazele iniţiale Yk în funcţie dc

pulsaţia co (Fig. 10.4b). Seria Fourier este univoc determinată dacă se cunoaşte

atât spectrul de frecvenţă cât şi fazele iniţiale yk(co).

1k

01_____L

2<o 3o) ■*(■> 5 (0 to

a)

Fig. 10.4

pusaţia

0

nulul

tu 2(i>

10.1.4 Valori caracteristice ale semnalelor periodice

Valoarea efectivă a semnalului periodic fiţ) se defineşte cu ajutorul

relaţiei:

Utilizând dezvoltarea in serie Fourier a semnalului /(/) se obţine:

F 2 = 1 f A0 + £ Akm sin(*co/ + y k) ' o .

**1Explicitând intcgrandul din relaţia precedentă rezultă:

_ -

30

= Al + 2/loX^« sin(A'C0/ + *y*)

+

A k mA L s>n(A:o)/ + y A )sin(/co/ + Y/)

4

+

sin2

(Â-co/ + yJDeoarece J s in (A'to/ + y k )dt = O şi Jsin(A:co/ + y^)*sin(/fl)/ + y , )d/ = O

o

/=!od 00

T

2

pentru fot/, iar jsin2.(Aa>f+yA )d/ = - J [l - cos2(£co/ + y

t )]d/ = — ,

o (

rezultă că:

(10.21)

km]

Notând cu Ak valoarea efectivă a armonicii de rang k, astfel încât Ak - 4 l A k .

valoarea efectivă, F, a semnaluluiy(/) are expresia:

(10.22)

Dacă semnalul /(/) este o tensiune de forma:

CC

u d ) = U 0 + 2 sin(*(M + y, ) , valoareasa efectivă este

\km]

* In m°d Similar' va|oarea efeeti

/ ( / ) = 'o + ^£7* ^l**0' + ) este / =\

/

Coeficientul dc distorsiune al unui semnal nesinusoidal este un număr adimensional definit prin relaţia:

x

*=2

£4

l - 4 =-. (10.23)

i ircPrc7.intă reziduul deformant al

semnalului. Coeficientul de distorsiune ia valori in intervalul [0, 1] şi arată căt

de deformat este semnalul în raport cu forma de unda sinusoidală. Valoarea

k ( f=0 corespunde semnalului sinusoidal.

In clcctroencrgetică sc admite că semnalele având factorul dc distorsiune

kj<5% sunt sinusoidale.

Mărimea /l(y =

ivă a unui curent

CC

10 .2 PUTERI ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Pentru circuitul uniport având tensiunea la borne: u ( t ) =

U 0 +42Ûk sin(*fflf + y„4)

(10.24)

şi care absoarbe curentul:

Capitolul 10

i { t ) = I Q^42Y^ I m

sin(//70)/ + yJ( 1 0 . 2 5)

puterea instantanee la bornele de acces este:co

p ( t ) = //(/)/(/) = U 010 + JÎUo^ I m sin(w©/ + yim)

CC CC

+ j 2 I Q ^ U k sin(*co/ + yWj )+^X^7- sM^ + YW

+y/JPuterea activă. P , primită sau cedată de circuit reprezintă

valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee:T T

P = j p(0d /=- J«( / ) / ( / )d / .o o

Utilizând dezvoltările în serie Fourier ale celor două semnaleşi /(/) şi ţinând seama de faptul că: r

Jsin(A-co/ * yUi )sin(/?;co/ + y^ )d/ = 0 pentru m*ky o

-cos<pA. rezultă o

(10.27)

Prin urmare puterea activă în regim permanent

nesinusoidal este egală cu suma dintre puterile active pe armonici

puterea corespunzătoare componentei continue.

iar2 x"4

2

că puterea activă are expresia:

X

372

Capitolul 10

Puterea reactivă, O, se defineşte ca fiind suma puterilor

reactive corespunzătoare armonicelor:

CC

0 = si (10.28)

Puterea aparentă, 5, se defineşte Ia fel ca în regim permanent

373

sintpi

* = (1033)

arcuite liniare în regia, permanent periodic ni """ic nesbuuoUal 2 /9

sinusoidal ca fiind produsul între valoarea efectivă . , •

curcntului: ,cnsi"i" şi cea a

S = U I .

Unităţile de măsură pentru aceste puteri sunt: watt-ulputerea activă, var pentru cea reactivă şi voltamper (VA

aparentă. PCF (VA) Pcm™ ceaSe observă că în regim permanent periodic nefii„„e i. .

satisfăcută inegalitatea: 1 °d,C ncs,™so.dal este

• , „ ^ ' (10.30)ceea ce .-a permis Iu, Constantin Budeanu să definească putereadeformanta, D, prin relaţia: 1 u"-rtd

Unitatea de măsură pentru puterea deformantă este volt-amper deformant (vad).

Factorul de putere în regim permanent sinusoidal se defineşte la fel ca în regim permanent sinusoidal:

K - P

K=-g (10.32)

îmbunătăţirea factorului de putere în regim deformant este mai dificil

de realizat decât în regim armonic, şi introducerea bateriilor de condensatoare

pentru ameliorarea sa pe armonica fundamentală poate să diminueze valoarea

sa globală obţinută cu relaţia (10.32) [12]. [9].

Capitolul 10374

10.3 TEOREMELE LUI KIRCHHOFF Î N REC1M

DEFORMANT

In regim permanent periodic nesinusoidal tensiunile şi curenţii pot fi

exprimaţi sub forma unor serii Fourier:

* = (1033)

U k ( , ) = Ulk0) + V 2 |>r" sin(mco/ + yUm)

CDît(/)=/J°> +^£/4« sin(mcof+Y/-)

m =1

Deoarece o serie Fourier este identic nulă atunci când atât termenul

constant cât şi amplitudinile armonicelor sunt nule, rezultă că teorema I şi

teorema a Il-a a lui Kirchhoff sunt satisfăcute atât la nivelul curenţilor şi

tensiunilor corespunzătoare laturilor:

5>.(') = 0 . £/,(,) = 0 cât Şî

separat la nivelul Fiecărei armonici de rang m m parte:

(10.34)

Z<<r(') = 0 ; £/r(>) = 0 , (10.35)

sau

2]^r>sin(ww/ + 7 ^ ) = 0 î SÎD(OTQ>/ + 7/M)= 0. (10.36)k e ( a )

10.4 TEOREMA CONSERVĂRII PUTERILOR I N REGIM

DEFORMANT

Pentru o reţea cu / laturi izolata de exterior (fară cuplaje galvanice şi

magnetice), teorema conservării puterilor instantanee se scrie şi in regim

permanent periodic nesinusoidal sub forma:

Capitolul 10376

X^(/

)=

Zw

*(/)/

*(/)=0

(10J7)

k = \ k-A

unde u k( t) şi /*(/) au expresiile (10.33).

Dacă se calculează valoarea medie pe o perioadă a relaţiei (10.37) se

obţine ecuaţia de bilanţ a puterilor active de forma:

* = (1033)

Circuite liniare în regim permanent periodic nesinusoidut 221

Considerând reg.mul permanent nesinu v, J

intre un regim staţionar (C/f,/»)) şj 0 sumă 7°ldaI ca 0 s"Pcrpozi|ie

pulsap'e JIHO, m=I, 2,...co, se constată că r r Sinusoida,e de

*=l *=i Y* u.«*I,oo. (io .39)

Dc asemenea puterile reactive se cnncr,,* .armonici: COnServă ■* b nivel global, cât şi pc

k = \ mm] I

£ f / Jm )' iw ) sinc^m)=0m = Loc

(10.40)

Puterea reactivă pentru armonica m corespunzătoare unei laturi k poate fi

exprimată generalizând relaţia (6.40) obţinută în regim permanent sinusoidal

cu ajutorul expresiei:

■ A m ) I + d t . (10.41)

4»; ,

Capitolul 10378

10.5 CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM

PERMANENT PERIODIC NESINUSOIDAL

10.5.1 Elemente de circuit ideale pasive în regim deformant

Rezistorul liniar având tensiunea nesinusoidală la borne

u{t) =E/o*sin(A_C0/ + Y<<* )

absoarbe curentulm = ^ = ^ + & f Ştfbfc» + yut ) = I 0

+mf7 t sinfcco, + v . \R R M K

M

'*>

unde ?' Y/i s Vi»' Tensiunea şi curentul fiind proporţionali,

factorul de distorsiune al curentului, k d . având expresia:

CC

2>'

U ,

A = 2 _ A = 2

x (10.42)

ste e«al cu factorul de distorsiune al tensiunii, k , .

Puterea activă absorbită de rezistor este:

Puterea reactivă O este nulă (deoarece q>*=0), iar cea aparentă

S = U - I = R I 2

este egală cu puterea activă. Prin urmare puterea deformantă

este nulă.

Bobina liniară cu tensiune nesinusoidală la borne (Fig. 10.5) are

ecuaţia caracteristică

' ( ' ) = — ju(t)ât. Bobina scurtcircuitează

componenta continuă a curentului astfel încât //(/) este de

fonna:

"(/) =yJ,

* = 1

381

Circare iiniare

în ^>»/>^c/ jar intensitatea

curentului este

/ ( / ) = /«+ JÎJL,1* + yk )= /„ + VIV uk .

Valoarea efectivă a curentului pentru armonici H

rang A-are expresia:h = — ~ = -_*_

k f o L Xţ- (10.45)

*deûl<P. -y.4 -r,4 «| eâce^^^ Factorul de disto.iune a, -entului, , cstc ma, ^ ^

al tensiunii, ka . deoarece reactanţă inductivă y , ,/., =tol creşte odată cu

rangul armonicii: v ,u LU

Astfel:

CC CC

*=2 A =2* = 2T. < k (10.46)

M I / - i

Se spune din acest motiv că bobina "netezeşte" fonna de undă a curentului in raport cu cea a tensiunii la borne.

Puterea activă este nulă deoarece yk=n/ 2 şi (/0=0; puterea reactivă absorbită de bobină are expresia:

lim/t = limii_ = 0

382

0 = Z<V*smq>4 =£cy, = £ f a)£rj*0. (10.47)

Puterea aparentă se calculează, conform definiţiei, cu relaţia:

-i

(10.48)*=1

iar puterea deformantă D = ^S 2 - Q 2 este ncnulă.

, c

Capitolul Jt)

Condensatorul liniar cu tensiune nesinusoidală la borne (Fig.]rj6)

blochează circulaţia componentei continue a curentului, astfel încât:

■ 1

co

/ / ( / ) = U0 +45 YjPt Mk<»' +Y„J

duDeoarece / = C— se obţine :

d t

» / \

/(/) = V^^T&oCL^sin Jatf + Y^ +—]■

Valoarea efectivă a armonicii de rang £ a curentului este;

/ t = k<oCUk = (10.49)

iar defazajul <pÂ. = yU| - y, = ia fel ca în regim permanent

sinusoidal.

Factorul de distorsiune al curentului este mai mare decât cel al tensiunii

deoarece reactanţa capacitivă X c =—-— scade odată cu1 K(i)C

creşterea rangului armonicelor şi curentul A este mai puţin atenuat. Astfel

1 co

2tf

383

Capitolul Jt)

(10.50)

2# fl>^)2

km) I jh I *=J

Condensatorul deformează şi mai mult forma de undă a curentului în raport cu cea

a tensiunii la borne.

Puterea activă este nulă deoarece /0=0 şi <p*—7r/2, iar puterea reactivă

cedată de condensator are expresia:

>k.

5W

384k *

arcuite liniare in regim permanent periodic nesinusoidal 225

CC

(10.51)

Puterea aparentă are expresia:

S = U I =

1(10.52)

jar Cea deformantă se calculează, ca şi în cazul bobinei, cu relaţia

10 .5.2 Circuitul RLC serie în regim deformant

în Fig. 10.7 este reprezentată o

latură RLC serie fără cuplaje magnetice.

Teorema lui Joubert se poate scrie atât la

nivel global, pentru semnalele u{t) şi /(/),

cât şi pentru fiecare armonică în pane:

i/(/) = /î/(/) + L^

+ I J /(,)d/

dl C

d î 1i , k ( t ) = R i k ( l ) + L-^ + - \ i k ( i ) d i , k =î^ (10.54)

d l C Junde u k( t) = U kj2s\n(laai + y U i ) şi i k( t) = ^Jîsmîoi + y^).

Circuitul fiind liniar, poate fi analizat utilizând teorema superpoziţici.

Astfel, considerând ca semnal de excitaţie armonica de rang A- a tensiunii,

circuitul se va afla în regim permanent sinusoidal de pulsaţie km, iar semnalul

răspuns. u(/), va avea expresia:

M^^^+7* "■**)• (10-55)

(10.53)

JtcoC

unde Zi. R 2

+kioL-

AcoC >

iar <p* =arctg— li

Răspunsul total. /</). este egal cu suma armonicelor de curenţi, /,(/):

i ( t ) = ^2^~sxn(k^t + yU k -<pj. (10.56)

Se observă că impedanţa circuitului şi defazajul sunt funcţii de ranuul

armonicii: Z^Zô), <P*=<P*(M. în funcţie de valoarea elementelor de circuit

poate să apară o rezonanţă de tensiuni pentru

pulsaţia jto, în situaţia în care kcoL deci pentru kr -^jj-; ÎD

acest caz impedanţa Zk=R este minimă, iar amplitudinea curentului este maximă.

Pentru armonici de rang k<kT circuitul este capacitiv (<pk<0), iar pentru armonici

superioare, A>A*r. circuitul este inductiv (<pk>0).

10.5.3 Analiza circuitelor liniare în regim periodic nesinusoidal utilizând

dezvoltarea în scrie Fourier

Semnalele de excitaţie periodice se consideră cunoscute, fiind date fie

sub formă grafică, fie sub formă analitică. Analiza circuitului sc bazează pe

teorema superpoziţiei şi comportă următoarele etape:

a) se determină dezvoltarea în serie Fourier a semnalelor dc excitaţie

periodice de perioadă 7";

6) se analizează circuitul fn regimul permanent sinusoidal de pulsaţie Arco

stabilit de armonicele de rang k ale semnalelor de excitaţie, determinându-se

armonicele de rang k ale semnalelor răspuns;

c) utilizând teorema superpoziţiei se determină semnalul răspuns egal cu

suma valorilor instantanee reale ale armonicelor de rang k ale semnalului

răspuns. Suma obţinută reprezintă dezvoltarea în serie Fourier

a acestui semnal. / ____R

Exemplul 10 .3 Să se -------'—I u

determine expresia k u

Fig. 10.8

TA

curentului i(tj şi a tensiunii u l1 _

la bornele bobinei, uL(t)ţ în P ~0

circuitul RL serie excita! cu o-----------------------1

Fig. 10.8

Circuite liniare în regim----------11 ',tr"'«"' nesinusoidal 2 2 ~

0 tensiune în impulsuri dreptunghiulare alternative (Fig. 10.8) Tensiunea de intrare are dezvolt**»* î_

m Sene Fourier (vezi

aa*U UU>: m-^Xe£?. A n n o r f c . d e » * * ,

* impar

CUrentului, este:

M') = AnV/?2 + &2©2La

sin ktot - arctgfroL

iar cea a tensiunii pe bobină, (/) are expresia:

d/, _ 4Umfl<aLsinf A'o)/-

Semnalele cerute au expresiile:

• f ,

r w smU-co/-arctg-—-i U ) = n

tt k J t f + k W l }

* imparfooL 7t

arctg------+ -

AUm V2 (,)L V - R

A imparExemplul 10.4 In Fig. 10.9.a este reprezentat un circuit redresor monoaltemanţă

cu o diodă ideală, a cărei caracteristică de funcţionare

Fig. 10.9

are dezvoltarea

4LL sin fon/

sinf A'tO/ -

21 /

c)

Fig. 10.9 21 /

c)

a)b)

Capitolul 10

este reprezentată în Fig. 10.9.h. Cunoscând că tensiunea de intrare

circuitului este / / ( / ) = V m sin co/ să se determine dezvoltarea fn serie Fourier a

tensiunii pe rezistor, uR(t). precum şi factorul de distorsiune al acesteia.

Dioda redresoare ideală arc rezistenţă nulă Ia polarizare directă (;/n>0) şi

rezistenţă infinită, blocând circulaţia curentului la polarizare inversă (WD<0). Prin

urmare ca reprezintă un scurtcircuit pentru u{)>0 şi un circuit deschis pentru //D<0.

Rezultă că tensiunea la bornele rezistorului va fi:

U m sin (o/

0 t e

T

* 4

Vfiind reprezentată în Fig.l0.9.c.

Dezvoltarea în serie Fourier a semnalului uR( t) are expresia:oo oc

= U 0 + ^ Bkm sin A-co/ + Ckm cos

k = \ M

ku>t

unde:

\ T %U 1 -cosco

T t 1T I

= J[cos(/r -1 )w/ -

cos(A- +1 )co/]d/ =

o

pentru fc* I.

on Î I T/î

sin(A--l)7t sin(A + l)-i

7t

Bkm = — p/^(/)sin A'co/d/ = jsincofsin Aco/d/ =

o o

A + lA - l

U

391

Capitolul 10B ] m = jsin:a)/d/ = - - j"(l - cos2<o/)d/ =

392

Circuite liniare în re.ia, permanent perioaic Berf

sin «)/cosA-co/d/ = u 7/

\

t/« [ l-cos(Ar + l)rc | -cos(^ l

A- + 1

O . * impar

r = 1 \um s \ c'- r J M

oPrin urmare UR ( I ) este de forma:

U

l+-sina)/ + 2Y-COS2 71

Factorul de distorsiune are expresia:

*=2 = . 1-

unde t/ este valoarea efectivă a tensiunii uR(/):

' 1 1 0

Se obţine:

= 40%.

27C" - 8

Exemplul 10.5 Să se determine dezvoltarea în serie Fourier şi

factorul de distorsiune al tensiunii uR(t). obţinută la ieşirea

A-- l2RC

sin co/cos (ord/ = O.

redresorului bialternanţâ din Fig.lO.IO.a, ştiind că tensiunea de

intrare este ufO-U intot.în Fig.lO.lO.b este reprezentat semnalul dublu redresat »R(/).

a ) l>)

Fig. 10.10

Expresia sa analitică este: M R ( /) = |C/msinco/|. Deoarece u R ( i ) = u R ( - t )

CC

dezvoltarea în serie Fourier va fi de forma; uR{ t ) = U

0 + ^JTc^

cosit©/

unde U0 = - j i < ( t ) d t =o

U m fsinw/d/- — fsinco/d/ =—-

0 %

2 fC. = — [//(/) cos Â-(o/d/ = " 7 J

2U

T

m jsinw/cos&o/d/- Jsinco/cositco/d/

0

AUm

7\ . * Par-

Prin urmare dezvoltarea în serie Fourier este de forma:

2U

^(0 =7t

1 + 2Zcos2 /xo /

Valoarea efectivă a tensiunii u R { t ) este:

r /2

" co/d/ +

Jv*

sin2

0

267,

~ Oii d i

r / 2

Factorul de distorsiune:

Fig. 10.1!

Circuite liniare in regim permanent periodic neslnusol231

, 1 - 1-8

= 17,4%.

}mm

EmmhlLHlA Orcuitul din Fig.10.1 1 este alimenta, cu tensiunea = 80sin 0)1 + 60 sin 3co/. Parametrii

B=0}L=I/(oC=2O. Sâ se determine curenţii in h,„ s"n,:

fl, M factorul de distorsiune al teZ ^ tSZ Rprecum şi puterile S. P. Q şi D absorbite de circuit. ""

Se utilizează teorema superpoziţici. Considerăm tensiunea de

intrare-

„(!)(/) = 80sîn ( O t . Impedanţa pe armonica

fundamentală:

( R + )u>L)

Zl,) =2 R + j

Curentul pe armonica fundamentală este:/">=£_ = 20V2 ; /(1)(/) = 40sincof. Z(l)

Utilizând regula divizorului de curent se obţin armonicele fundamentale ale

curenţilor ij(0 şi MO'-

2 R + j coLcoC

2/1+j wL-coC

iar în valori instantanee: ^

■r - ^ ) _ ( 2 + 2 j ) (2 - 2 j ) "

(oCJ

~">idal

/|,,(/) = 20>/2sin[co/-^ ; 4n(/) = 20V2sin^ + ^

Considerând acum circuitul alimentat cu t(>nc...

"-"sitincau ' } , ( t ) = 60sin3o>/. impedanţa complexa pe armonică a 3-a este:

Z(3) =

2 R + j \3 ( o L - 3w C

4 + <%j= 2Q.

Curentuf totaf absorbit este: /{3) = =^ = 15 2 , / = 3osjn 3W

Curenţii Fn laturi sunt:

i-\60

R + j 3 w L V2(2 + 6j)

-Jl

(i-3j) ;

, 0 ) . U.(3) 60

- = 4.5V2(3 + j),

R—— V2 2- J - /f > ( / ) = 3 V Î 0 s i n(3(o/ - arctg3); t f >(/) =

9^10 s i n(3co/ + a r c t g - '

In final se obţine:

/(/) = /'"(O + /(3)(/) = 40sin (o/ + 30sin 3(0/

3,

(3)

/, (/) = 20V2 sinô)/ - j j + 3VT0 sin(3(o/ -

arctg3)

/,(/) = 20VJsin (o/

+ -

4;

+ QViOsin|

I3(0/ + arctgj |.

CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU

După cum s-a arătat în Capitolul 3 circuit^ i • in structura lor bobine şi

condensatoare sunt dcscri^T ^ "*» ecuaţii integro-diferenţiale în

domeniul timp obZ "*? dC teoremelor lui Kirchhoff şi a

teoremei lui Joubert 5L2 ™ „„egro-d.ferenţia.ă se datorează

faptului că b^f^magnc,ice. având tensiunea la borne i| şi condensatorul cu

tensiunea la borne «cCOJl dl introduc prin ecuaţiile lor

caracteristice o dependenţă dc timp a semnalului răspuns de semnalul de

excitaţie: din acest motiv bobina şi condensatorul sunt denumite elemente

dinamice de circuit.

Se numeşte regim permanent al unui circuit electric regimul in care

semnalele răspuns au acelaşi mod de variaţie în timp ca şi semnalele de excitaţie,

periodice, respectiv staţionare.

în circuitele care conţin elemente dinamice regimul permanent nu se

stabileşte instantaneu la aplicarea semnalelor de excitaţie, datorită faptului că

sursele de semnal reale pot furniza o putere finită şi nu infinită. Astfel, dacă un

parametru al circuitului sau valoarea unui semnal de excitaţie se modifică brusc,

circuitul funcţionează în regim tranzitoriu, trecând de la o stare de echilibru la o

nouă stare dc echilibru şi deci de la un regim permanent la un nou regim

permanent. Practic, regimul tranzitoriu apare la conectarea sau deconectarea de la

surse a circuitelor, la modificarea topologici circuitului (introducerea sau

scoaterea unor elemente din circuit), la realizarea unor scurtcircuite sau

întreniperi accidentale, la modificarea prin salt a valorilor tensiunilor sau

curenţilor de excitaţie.Studiul regimurilor tranzitorii prezintă importanţă atât în

electrotehnic;, şi encreetică. datorită suprasolicitării unor clemente dc circuit la

supracurent sau la supratensiune, cat ş. in electronică şi automatizări. în

circuitele de impulsuri ale căror constante dc timp sunt comparabile sau mai

mari decât perioada impulsurilor.

Analiza regimului tranzitoriu sc poate efectua in domeniul timp sau in

domeniul frecvenţă. Metodele dc analiză în domeniul timp sunt metoda directă,

metoda variabilelor de stare ş. metoda răspunsului tranzitoriu, iar cele de

analiză in domeniul frecvenţă sunt metoda transformatei Laplace şi metoda

transformatei Fourier.

11.1 DETERMINAREA CONDIŢIILOR INIŢIALE DE

FUNCŢIONARE. TEOREMELE DE COMUTAŢIE

Se consideră un circuit cu / laturi. /; noduri şi s subcircuite conexe.

Teorema I a lui Kirchhoff. ^/A(r) = 0 , generează n-s ecuaţii

independente, teorema a N-a a lui Kirchhoff. ^//*(/) = 0 , generează I-

n+s ecuaţii independente, iar teorema lui Joubert furnizează / ecuaţii

independente dc forma:

uk( t ) = R

ki

k( t ) + ^ + -L ţ i

k(

t)d t - e

k( , t ) , k = l , l (11.1)

dt Ck-X

Tensiunea la bornele condensatorului Q se poate scrie sub forma:

Capitolul 11

forma:

1

CL

rir *■ ' d " " ^ '

■ ( 1 L 2 )

= MCi

(0) + J- J /

i(/)d/

* 0

Curentul prin bobina fară cuplaje magnetice poate fi exprimat sub

4031 ' ° '- J''*Od/ = — J/t(/)d/ + J- j/,(/)d/ =

ile liniare in reni,,, tranzitoriu

h(') = Ţ- k(/)d/ = / i ( o) + _L 'fL*i L J

"'.<')d/ { U 3 )

In rezolvarea sistemului de 21 ecuaţii im necunoscute un rol importau,

i „ determinare JES?? C" 8 a u c o o d i t f f l e inipale.

Deoarece bobina ş i conden lr ' ! T1" " "

- rr xs:

dc

**?

in

rapon

^ssase refera la valonle tenstumlor m.ţialc pe condensatoare. „t. (0), şi , fluxurilor

magnetice ini,iale prin bobine. <p,(0), unde M 'QmMml momentul r=0 ca moment al

comutării.

Valorile tensiunilor sau ale sarcinilor iniţiale ,1c condensatoarelor, q ( 0 )

= C-,/c(0), precum şi valorile fluxurilor magnetice iniţiale prin bobine, O(0),

pot fi determinate analizând circuitul în regimul permanent existent înainte de

comutare.

Teoremele de comutaţie arată că. in circuite reale, cu surse de putere

finită, aceste mărimi nu pot avea discontinuităţi de speţa I (nu pot varia prin

salt).

Astfel, prima teoremă a comutaţiei afirmă că fluxul magnetic prin

bobină nu poate varia prin salt în momentul comutaţiei, ceea ce se exprimă din

punct de vedere matematic prin relaţia:

O(0-) = O(0+), (11.4)

unde (0-) reprezintă fluxul magnetic în momentul imediat anterior

comutării, iar 0(0+) cel din momentul imediat ulterior comutării. Dacă bobina

nu are cuplaje magnetice astfel încât 0=2.7, atunci condiţia (11.4) se poate

exprima sub forma echivalentă:

/i(0-) = /£(0+). (11.5)

405

Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe faptul că puterea

instantanee la bornele bobinei:

MO = "('Wt (0 = ^-M') (U;6)

trebuie să aibă valori finite in orice moment, astfel încât — fiind finită.at

fluxul magnetic este o mărime fără discontinutăţi dc speţa I.

A doua teoremă a comutaţiei afirmă că sarcina electrică acumulată pe

condensatoare nu poate varia prin salt, ceea ce se exprima prin relaţia:

<7(0-) = *(0+). (11,7)

q(0-) reprezintă sarcina electrică în momentul imediat anterior comutării, iar <?

(()+) cea din momentul imediat ulterior comutării. Deoarece q{t)=C-uc{t)

condiţia (11.7) poate fi scrisă şi sub forma echivalentă:

;/c(0-) = wc(0+). (118)

Demonstraţia celei de a doua teoreme a comutaţiei se bazează pe faptul că

puterea instantanee la bornele condensatorului trebuie să fie finită în orice

moment:

p ( t ) = u ( t ) - i ( t ) = u ( t ) - ^ , (H.9)

iar — finită, implică absenţa discontinuităţilor de speţa 1 pentru sarcina di

q{<).

11.2 CIRCUITE LINIARE DE ORDINUL UNU I N REGIM TRANZITORIU

In Capitolul 5 s-a arătat că un circuit rezistiv este descris de un sistem de

ecuaţii algebrice, independent de modul de variaţie în timp a semnalelor de

excitaţie. Dacă în circuit există cel puţin un element dinamic, circuitul este

descris de o ecuaţie sau de un sistem de ecuaţii diferenţiale. In cazul cel mai

simplu, circuitele cu un singur element dinamic, bobină sau condensator, sunt

descrise de o ecuaţie diferenţială de ordinul I, ele numindu-se din acest motiv

circuite de ordinul I.

11.2.1 Circuitul RL serie

Se consideră circuitul RL serie care se conectează la momentul r=0 la o sursă de

tensiune e( t ) (Fig.) 1.1). Scriind teorema a 11-a a lui

407

regim tranzitoriuKirchhoff după comutare sc obţine ecuaţia.-

=( I

, ,0)

Relaţia (11.10) este o ecuaţie

diferenţială neomogenă de ordinul I

cu coeficienţi constanţi. a cărei c"\ i /

soluţie generală este de forma: ^ 1"

/(/) = //(/) + /„(/). ( l i . U)

itf) reprezintă, din punct de vederematematic, soluţia generală a ecuaţiei F* 11-1

diferenţiale omogene, iar. din punct de vedere flzic Cs„liberă a curentului /(/), ce apare numii n„ A componenta

amortizându-se în timp: i,Z~ ^ T

curenmlui în regimul permanent care se " T**epuizarea regimului tranzitoriu. ^ C,rCU,, duPă

Pentru determinarea componentei de regim liber se soluţioneazăecuaţia diferenţială omogenă: ^'".luntaza

«W+if-o (IU2)

objinându-se

i,«) = A e > ' . ( 1 U 3 )

Conatanta l sc determină impunând condiţia ca ifâ să satisfacă ecuaţia

(11-12):/? A c>-' - X L A e ' ' = 0 de unde >. = 1 . Constanta dc integrare

A se determină din condiţiile iniţiale de funcţionare:

/(0-)=/(0+)=/(0). Deoarece /(0+)= ip(0)+A,

rezultă constanta A de forma:

A* /(O)- ;,(0).'nn urmare curentul în circuitul RL serie are în regim tranzitoriu

expresia:

' V ) = ' l , U ) + {m- ' r(0))c'- 1 . (11.14)

i

Constanta T = — are dimensiunea s (secunde) şi reprezintă constanta dcR

timp a circuitului-

Expresia componentei de regim permanent se stabileşte în funcţie de

natura tensiunii de excitaţie; In cazul în care e(0=£=constant, regimul

permanent va fi unul staţionar, iar /,,(/) = const. = — deoarece bobinaA

reprezintă un scurtcircuit în curent continuu. In cazul în care e{!) = Bi/2m(d>t

+ y e ) componenta i P ( t ) va avea expresia:

E4I( o l }

sin (of + y - arctg — |. (11.15)

în Fig. 11.2.a şi Fig.] ].3.a este reprezentat curentul /(/) m cazul conectării la

o sursă de tensiune constantă, respectiv sinusoidală, pentru un circuit RL cu

condiţii iniţiale nule. Se observă amortizarea componentei de regim liber. lim/,(/) =

0 şi intrarea în regim staţionar.

respectiv sinusoidal. i

Amortizarea este cu atât mai

rapidă cu cât -| constanta dc

t imp este mai mică.

Teoretic Q i K f ) se

anulează după un timp

infinit de lung, dar din punct

de

o )

Fig. \

1.2

b)

vedere practic se consideră ca durată a regimului tranzitoriu intervalul de timp

după care /(/) diferă de /,,(/) cu mai puţin de 1%:

i ( 0 - i p ( ( )<1%. (11.16)

Pentru circuitul RL serie durata regimului tranzitoriu este de aproximativ 5t = 5~-

D*n Fig. 11.3.a şi b se poate constata faptul că la conectarea circuitului RL serie la

o sursă de tensiune sinusoidală pot apărea

Circuite liniare în regim trântitaUoriu

upracurcnţi (|/|>/m«) a căror valoare den' H

TENSIUNII, yc. Considerând /(0)=0 şi înlocuind Mfaza in'lială a

Hcpresia curentului în regim tranzitoriu: '0 l l 4 ) se obţine

sm^co* + ye - arctg

Supracurentul este maxim atunci când sin

coZ,

U = T + arCtgT (Fig-1 L3-b)' Caz în care expresia curentului î

tranzitoriu este:

/ ( / ) =Fig. 11.3

s I I

'0= /T,2 . „2,2 Y.-arctg^ R-e 1 -sin

(oLYc - arctg= 1 şi deciR

inregi

i

i

L

L

Y"''' / / \ \

/

0W Iv / \

\

C O S W / - C :

(A)

Supracurentul Ai obţinut la momentul / = — este maxim şi arc expresia:

A'max = eS -2 21

.

Tensiunea la bornele bobinei are, în regim tranzitoriu, expresia:

Capitolul 1 1

R

L * * * „ _ (11.17,= ,,

£ (o-«('«')-v(0))-e'1'

Sc observă că in timp ce curentul prin bobină are o variaţie continuă

tensiunea pe bobină suferă la momentul r=0 un salt de valoare:///.r(0+)-;/i(0-)-/?(/(0)-//,(0)).

Spre exemplu, in cazul conectării la o sursă de tensiune continuă e(/)=£ pentru care

uL = 0, uL (0-) = 0, /(O) = 0 se obţine un salt de tensiune de

valoare E. Altfel spus. în momentul conectării la sursă, tensiunea acesteia se

regăseşte la bornele bobinei.

în Fie.ll.2.b este reprezentat graficul funcţiei *//.(') pentru cazul conectării la

o sursă de tensiune constantă.

11 .2.2 Circuitul RC serie

Considerând circuitul RC serie care la momentul r=0 se

conectează la sursa de tensiune e(t) (Fig. 1 1 .4) acesta poate fi analizat

scriind ecuaţia de tensiuni după comutare:

e(l) = Ri(t) + u c ( t ) . (11.18)1 = 0

dur

Deoarece /(/) = C—— se obţine

ecuaţia diferenţială: e { n \ \ )

e ( t ) = RC—£- + u c ( t ) . (11.19) al

C \ u,

încât circuitul RC serie este un circuit dc

ordinul I. Soluţia udt) este suma a două

componente:

u c ( t ) = u C p ( l ) + i 'C l(0 ( 1 , - 2 0 )

Fig. 1 1 .4

412

Capitolul 1 1

unde u C p ( t ) reprezintă componenta de regim permanent a tensiunii la

Circuite liniare h, regim tran*oH"i

bornclc condensatorului, iar uq (/) cstc componenta de regim liber fi' ,

soluţie a ecuaţiei diferenţiale omogene: " '

d' C'W (11.21)Se obţine ca şi în cazurile anterioare:

.. - y 01-22) înlocuind UQ

(/) în ecuaţia diferenţială (11.21) se obţine:

încât se obţine X = —; constanta ,1 se obţine impunând condiţia de

continuitate a tensiunii pe condensator în momentul r=0:

uc (0) = uc (0-) = uc (0+) => /} = „c (0) _,/(. (0).

în final se obţine soluţia generală de forma:

uc ( / ) = uCf ( l ) + («c (0) - uCf (0))e" «c (j, 23)

Constanta x=RC reprezintă constanta de timp a circuitului RC seric. Ca şi în

cazul circuitului RL scrie, durata regimului tranzitoriu se consideră a fi intervalul

de timp după care valoarea tensiunii t i ({ t) diferă cu mai puţin de 1% de valoarea de

regim permanent uc ( / ) :

413

414u c ( t ) - u c ( t )

< 1 % .

(11.24)r "c>(/)

Condiţia (11.24) permite aprecierea duratei regimului tranzitoriu:

* mvist/cazul conectării la o sursă de tensiune constantă, e(/)=£, se

în acest caz :

l t c( , ) = E + (uc ( 0 ) - E ) c « c . (11.25)

este sinusoidală, c(/) = £V2sin(co/ + yJ,

are expresia:

Fig. 1 1 . 5

Capitolul U

uCp

( / ) =

E4Î

coCsin

7X

(oRC 2 ,(11.26)

co2C:

Înlocuind (1 1 .26) în (11.23) se obţine:

E-JlR' +

oTC:

coCsin (o/ + y,. + arctg

_J_____£

co/?C 2

(11.27)

+ wc(0)e RC

co/?C 2 )

Intensitatea curentului electric în regim tranzitoriu are expresia:

i (D = Cdu "c(0)-"cr(0) R RC

(11.28)

în timp ce tensiunea i t c ( t ) este continuă în momentul r=0, itensitatea

curentului electric are. conform relaţiei (11.28) un salt de valoare:

«C(0)-M C (0)- • (11.29)

R

în cazul conectării la o sursă de tensiune constantă, pentru care uCf (f) =

E . iar /,,(0)=0. ;'(0)=0 se produce un salt dc curent de valoare:

E-u c (0) RIn Fig. 11.5 sunt reprezentate mărimile u d t ) şi /(/)

în cazul în care e(/)=£=const.. iar în E Fig. 11.6 este

reprezentată u d t ) pentru cazul

e(t) = E&sfa(mi+y€). Din Fig. 11.6 se observă

că fn cazul conectării circuitului RC serie la o sursă

sinusoidală pot apărea supratensiuni în regim tranzitoriu

1

Y. + arctg-s in

i p (0 ) - i {0- ) -

415

1

i

RC

1

Capitolul U

la bornele condensatorului. Conform relaţiei (11.27) cazul cel mai

defavorabil este cel în care

416

*b-.*«nfe-fj-' * « Exprcsiatensiuni' i/c<0 este in această situaţie:

£V2

*2

+ 1

co2C2

1

toCcoso)/-e *c + uc(0)-e'«c) (U30)

graficul ei fiind reprezentat în Fig. 11.7 pentru cazul Mc<0H>.

Supratensiunea AMC este maximă Ia momentul 1 = — şi are expresia:

A//,mu

£V2

(11.31)

Existenţa unei tensiuni inţiale nenule «<K0)<0 determină o

supratensiune suplimentară conducând la o suprasolicitare a condensatorului

în regim tranzitoriu.

Fig. 1 1 .6 Fig. U.7

T .

1 1 .3 CIRCUITE LINIARE DE ORDINUL DOI ÎN REGIM

TRANZITORIU

Circuitele dc ordinul doi au în structura lor o bobină şi un condensator

fiind descrise de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi. Ca exemple de circuite de

ordinul doi se analizează în cele ce urmează

Fig. 1 1 . 8

circuitele RLC scrie şi RLC paralel.

1 1 .3.1 Circuitul RLC serie

în Fig. 11.8 este reprezentat un

circuit RLC scrie care la momentul r=0

se conectează Ia o sursă de e(0ffj

tensiune e{ t ) . După comutare teorema

a doua a lui Kirchhoff permite să se

scrie relaţia:

diRi(t)+L—+uc(t) = e(t) d/

(11.32)

di/,Deoarece /(/) = C—- se obţine ecuaţia:

d/

LC^ + RC^ + u c ( l ) = e ( t ) .d r (11.33)

Ecuaţia ( 1 1 .33) este o ecuaţie diferenţială neomogenă de ordinul II cu

coeficienţi constanţi a cărei soluţie generală este de fonna:

MO = WQ (') + "<:,('). (11.34)

uCi (;) reprezintă soluţia de regim permanent, iar UQ. (() , componenta de

regim liber, reprezintă soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene:

d 2 u d u .

d l(11.35)

Soluţia generală wC; (r) este de fonna:

uCi(t) = A le>l' + A2e>-' (11.36)

unde X \ şi X2 sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice ataşate ecuaţiei diferenţiale sau

echivalent

A. + —X +

d i

L L C ~ ° " (H.37)

Dacă se notează - = 2a şi — = co; rădăcinile ).,. au expresiile:

Xu = - o ±Va2 - o »5 . ( U 3 8)

Circuite liniare în regim tranzitoriu421

Te sunt

reale şi negative, de forma = -a + p;)., = _ a _ p cu p = ^T^ riar«c,(0 este: fliaT ^ ' * 11

«QO^V^+V^. (11.39)

Răspunsul liber al circuitului este aperiodic.

sunt

complex conjugate cu partea reală negativă : X } =-a + jco;).2 =-a-jco.unde w

= ^(03 - a2 . Componenta de regim liber are expresia:

wC/(0 = ê-a'-e^+ê-aê^ (11.40)

sau, în forma echivalentă:

uq ( / ) = A e a' sin (co/ + (p). (11.41)

in acest caz wC/(f) se amortizează în timp datorită exponenţialei c"*, motiv

pentru care constanta a = — se numeşte coeficient de amortizare

(sau atenuare) a circuitului, având dimensiunea Neper/sec. Răspunsul liber al

circuitului este oscilant amortizat, oscilaţiile având pseudo-

perioada T = —, diferită de perioada proprie a oscilaţiilor circuituluico

r0= — = 2 W Z c . *(00

în cazul R = 2^ sau a=o)0, rădăcinile ecuaţiei caracteristice

sunt egale, reale şi negative h=h=-<^ iar soluţia de regim liber este de forma:

Wc,(') = (4 +^2 'W*!

(11.42)

caracterizând un răspuns liber aperiodic critic.

Rezistenţa

regim tranzitoriu422

z j t f c

mm

a circuitului.

Stabilirea caracterului regimului tranzitoriu se poate face şi în

factorul de calitate ai circuitului RLC serie, Qs =^Z /C//?.

<l/2 regimul tranzitoriu este aperiodic;

regimul tranzitoriu este aperiodic critic;

>l/2 regimul tranzitoriu este oscilant amortizat;

0) circuitul intră în regim permanent sinusoidal (oscilaţii

sinusoidale neamortizate), deoarece constanta de amortizare este nulă (a=0).

<p care apar în expresiile (1 L39)...(l

1.42) se determină impunând condiţiile de continutate a curentului prin bobină

şi a tensiunii pe condensator în momentul comutării. Astfel, curentul în regim

/

[MieM + M2eXl" )(11.44)

Presupunând că înainte de comutare curentul era nul. iar tensiunea la bornele

cele două teoreme ale comutaţiei conduc la

C { X ] A ]

(0) + Ai

Prin soluţionarea sistemului (11.45) se obţin expresiile constantelor A\, A2:

(11.45)

Circuite liniare în regim tranzitoriu

>.2(»C(0)-Hcv(0)j

* I («c(0)-H C (0)j(U.46)

Componenta de regim perrnanem a ^ ^

determină analizând regimul permanent către care tinde circuitul AS,fH dacă

c(0=£=const., reg.mul permanent va fi unul staţionar /„(,)=() si U C f { t ) = E ,

iar dacă e( t ) = Ejl sin(co, + v<) reg i rnul permancm ya f i

sinusoidal, iar expresiile curentului şi a tensiunii pe condensator vor fi:

1

/ „ ( / ) =

1

w

fl2 + coL-

(oC

sin cof + y, - arctg---------R

(11.47)

«c(') =.7:

R2 + coL-

1

6)C

1

2 toCsin iot +y - arctg

coi-1

coC

* " 2

în Fig. 11.9 a, b sunt reprezentate semnalele udt) şi /'(/) după

conectarea la o sursă de tensiune constantă, în cazul unui regim tranzitoriu

apcriodic, respectiv oscilant amortizat. Se observă că amortizarea

componentei de regim liber se datorează rezistenţei circuitului. Dacă

aceasta este nulă. R =0, se obţine a=0 şi

w = co0

=

1 . în circuit apărând, după conectarea la sursă, oscilaţii

4231 "*p(0)%2 -A, c

1A;2 - Xj

L c

liniare în regim tranzitoriu

neamortizate (întreţinute) de pusaţie egală cu pulsaţia de rezonanţă 424

II

/l \ A_____

\ •

ro

' - t

(a) (b)

Fig. 11.9

în continuare se analizează cazul descărcării unui condensator având

tensiunea iniţială »c<0) pe un circuit RL serie (Fig.11.10). Deoarece uC p (/)

= 0 şi i p{ t) =0 constantele A\ şi A% au expresiile:

Considerând că R>Rcr, h-h= -2p, iar soluţia pentru udO este: "c(0 = ^[(« +

P)ep ' + (- a + p)e p ']uc(0) =

< 7>

u

•1

/ = 0 R

Fig. 11.10

2P

e"a 'sh(p/+ y)'—-[ashp/ + pchp/]i/ r(0)«2p shy

«c(0)

unde cthy = -^. Dacă R<Rcr, uj$) are expresia:

/ . \ f / w e*0

''sin(co/+Y)«c(') = « r(0)------------^--------— undesiny

Circuite liniare în regim rran-i(O

v = arctg—.' a

1 1 .3.2 Circuitul RLC paralel

Circuitul RLC paralel din Fig. 11. U se P0 la sursa de curent /,.

(/). Teorema I a lui K.V^S^ '* momcnt"lPurcnh0" Permite să se scrio

Deoarece

i R + i L + i c = i g ( l ) , / > 0

i / - r d " c diR ~ R 'lQ " C"DT • "C - «i-LŞT SE OBFINE:

(11.48)

(0. (11.49)

Curentul //.(/) satisface o

ecuaţie diferenţială de ordinul ___JtfII similară ecuaţiei (11.33), soluţia fiind dc fonna:

'.(') = /,,(/)+ /,,(/), W » J

*

în care iL (/) reprezintă

componenta dc regim Fig. 1 1 . 1 1

permanent, iar f^(f)« componenta de regim liber, soluţie generală

ecuaţiei diferenţiale omogene, având expresia:

1 /) = V+V '-Ecuaţia

caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale (11.49) este:

X2+ —X + — = 0 sau X-+2a-X + coJ =0 RC LC

având rădăcinile X l 2 = -a±^ja2 -w2, .Rădăcinile sunt reale negativ

cazul în care R < , regimul tranzitoriu fiind aperiodic , iar în caz

relaţia:

T'c

1"c

e in

Unriu427

Circuite liniare în regim rran-i

contrar. /? >1 ? circuitul are un

regim tranzitoriu oscilant amortizat.

Unriu428

Capitolul 1 1

corespunzător unor rădăcini complex conjugate ale ecuaţiei

tranzitoriu aperiodic critic.

Constantele de integrare .-li şi Ai se determină din condiţiile

iniţiale (0) = 0,wc(0) = 0, calculele conducând la expresii similare celor

obţinute in cazul circuitului RLC serie.

Exemplul 11.1 IH circuitul din Fig. 11.12 la momentul t=0 se

închide întrerupătorul. Să se determine curentul prin bobină. iL(t), şi tensiunea pe rezistorul Rj, u,(t). în regimul tranzitoriu care apare. Sursa de tensiune E furnizează tensiune constantă.

Se analizează circuitul pentru /<0. cu întrerupătorul deschis, pentru

determinarea condiţiilor iniţiale. Deoarece £=const. regimul este staţionar

şi M/=0 Ecuaţia de tensiuni permite determinarea curentului

,m 3R,

R

tt

l = ' L + i 2

E = u L + R y i«3

Fig. 11.12

Eliminând necunoscutele i şi /'; se obţine ecuaţia diferenţială de ordinul I:

E = L^ + R d l

, Ri dt

* 2 ,

caracteristice. La limită, dacă R = Ra = -J— . circuitul are un regim

i,m /i(o-) = /(o-) =R l +R3

După comutare, pentru r>0 se pot

scrie ecuaţiile:

.1

u L = R J , = L ^ 2

dl

L d i L+ RJ

-111:3 *2)

3 ' L

429

d/,

d

t

Capitolul 1 1

având soluţia i L ( l ) = i l i(t) + i L p ( t ) . Soluţia de regim permanent va

fi k f(f)-~r-j Ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale este^3

0 = L

^ + /?3, obţinăndu-se X = - 2^3 _ unde

* 2 ,

430

f = 0 r

431iareînre8im tranzitoriu

R =R. + R-

. Prin urmare:

^(0 = ^'=^Constanta A se obţine din impunerea co H' • •curentului prin bobină în momentul comut-,, d° con ,in"'tate aconduce la: " ' ''-(°-)= //.(0+)

= ^(0) + /, ;(0) = |+Adeunde/ i = _

l'n final curentul în bobină are expresia-

R.1-

*> + R3

iar tensiunea */.,(/) este: ;/3

(,) = R3

i = +

y =

R

R+ i

did/ (R { + R y)(R 2 + R,)

-V e L

[ R . + R ^ R . + R , )

£-e L se obţine:

Exemplul 11.2 In circuitul din Fig. 11.13 comutatorul trece la

momentul t=0 de pe poziţia (1) pe poziţia (2). Tensiunea

Uo-const. să se determine uc:(t) ■

Condiţiile iniţiale de funcţionare sunt:

«c, (0-) = U 0: uC: (0-) = 0. Teorema

Q=L C

a ll-a a lui Kircbhoff permite să se scrie ecuaţia:

-HC|(/)+/?/' + MCi(/) = 0, unde

d u

d t

d//c

~

Fig. 11.13

ceea ce

R

R,R 2

<■ :== «o

c,

'"=C,

Deoarece u , ( t ) =

1-

432

d7

Fig. 11.13

'"=C,

Fig. 11.14

inlocuindu-1 pe i în ecuaţia de tensiuni se obţine ecuaţia diferenţială dc

ordinul I:

1_ _1_C, + C 2 , u f

având soluţia generală de fonna i ( i ) = A e R C , unde C - —VZ%_

Particularizând ecuaţia de tensiuni pentru r =0 se obţine

^0)-»C:(0)=^ = / l încât

/(O) =

R

Integrând se obţine:

"cA') = — f/(/)d/ + «c,(0) = U-

o

t

«c,(') = ~ J/(/)d/ + iiCi

(0)

=

c, +c \

C

c, + c,

1-e *c

1 +

o

u0.

Se observă că după amortizarea regimului tranzitoriu tensiunile la

bornele celor două condensatoare sunt egale:Q

1/» -/•

Exemplul 11.3 în circuitul clin Fig. 11.14 la momentul t=0 se

include întrerupătorul. Curentul i^const. Se cere să se determine

curentul iL(t) şi tensiunea uc(0 ştiind ,y = 0

că iniţial condensatorul este descărcat.

Condiţiile iniţiale sunt:

RR

wuuuiţiuc; uniune suni: /~\

k(0-)=i$; ud0-)=0. După comutare se pot

scrie ecuaţiile:

t't =''t(0 + /2(0

u c(,) = A + R i ci/

dt

Derivând a doua relaţie şi înlocuind /,(/) = c^- m prima

dtecuaţie se obţine ecuaţia diferenţiala de ordinul II:

Soluţia generală este de forma: i , _(/) = /,(,) + f (|) ţn care soiuţia de regim

permanent i, r ( t ) = ig şi i'^(/) = 0. Soluţia de regim liber i^t) este de

forma i L i ( t ) = A^tKy' + Ae' : ' unde Xi şi X ; sunt rădăcinile ecuaţiei

caracteristice: L O 2 + #CX + 1 = 0 astfel încât

«c(0 = »c(0) + - }':(Od/ =i }(/, -i t(/))d/ =o o

C

Deoarece //.(0>/g rezultă că //|+//:=0. Impunerea condiţiei uci0)=0

conduce la o identitate: 0=0. A doua relaţie dintre constantele .1,


şi .-U sc obţine observând că «c (/) = /?/,. = — A + I.

înlocuindX,

4=-VFCREZULTĂ PI,/*, =RCig\th ÎNCĂT = JT '

Curentul //.(/) are deci expresia:

2 S 3

Capitolul I I

1 + (e^'-e^)

iar tensiunea //<</) este:

1 -c 1 -e^

în cazul fn care X,, X2 <0 regimul tranzitoriu este aperiodic,

X^-a-rjo), ).2=-a-j(0 regimul tranzitoriu este oscilant amortizat.

11.4 ANALIZA REŢELELOR ELECTRICE LINIARE

AJUTORUL METODEI VARIABILELOR DE STARE

Circuitele electrice liniare având în structura

acumulatoare de energic, bobine şi condensatoare,

dinamice liniare descrise de ecuaţii diferenţiale ordinare.

circuitului, tensiuni şi curenţi, pot fi exprimate, utilizând

Kirchhoff şi ecuaţiile caracteristice ale elementelor de circuit,

de un set minimal de variabile independente, numite variabile

Doarcce elementele de circuit care introduc dependenţa

semnalelor sunt bobinele şi condensatoarele, iar condiţiile

funcţionare sunt reprezentate de valorile fluxurilor iniţiale

şi de cele ale tensiunilor iniţiale la bornele condensatoarelor,

drept variabile de stare ale circuitului intensităţile curenţilor

şi tensiunile pe condensatoare.

Fie un circuit electric lipsit de cuplaje magneiice având

şi / laturi format din rezistoare, bobine şi condensatoare,

I u generatoare de tensiune şi din /, generatoare de curent. Ecuaţiile

436

Capitolul I Icaracteristice ale elementelor pasive de circuit sunt: iRk =

du,'ck = C k — ~ : uu = k — • Scriind teorema I a Iui Kirchhoff fie

* dt ** * dtrelativ la nodurile independente, fie relativ la secţiunile independente, se

d i

437

438Mite liniare in regim tranzitoriu

obţin «-1 relaţii de fonna:

*6(0)

in mod analog scriind teorema a doua a lui Kirchhoff relativ la cele /-n+l bucle independente se obţin ecuaţii dc forma:

X"*=0 , M = (1] ['-n + 1].*£fv]

Dacă se aleg drept necunoscute ale sistemului de ecuaţii obţinut

curenţii prin bobine. i'k , şi tensiunile pe condensatoare, uCi, atunci sc

obţine un

sistem dc l, ecuaţii diferenţiale de ordinul I. unde Wc+4 reprezintă numărul de clemente reactive din circuit (/c - numărul dc condensatoare. IL~ numărul de bobine), de forma:[ "c, 1

"C l

1* *

•

"C/c■

= A - "c,c*

'/-l' t -2

*

Ecuaţiile (11.50) se numesc ecuaţii diferenţiale dc evoluţie ale

circuitului. Matricile A şi B au dimensiunile / rx/„ respectiv lr\(lu+l,).

elementele acestora depinzând dc structura circuitului şi de

valorile clementelor de circuit. Dacă se notează cu x vectorul

variabilelor dc stare:

şi cu

u=[e, e2 e4 i f t ••• / f l l]

vectorul variabilelor de intrare, atunci ecuaţiile de evoluţie pot fi scrise

matriceal .sub forma:

+ B(11.50)dr

'K/i

Circuite liniare in revin, tranzitoria

dx= A x + B u .

în cazul în care circuitul nu conţine nodun sau secţiuni de bobine şi

eventual generatoare dc curent, şi nici bucle formate din condensatoare si

eventual generatoare dc tensiune, sau bucle formate numai din bobine şi

eventual generatoare dc tensiune, atunci cele lr ecuaţii ce formează

sistemul (11.50) sunt liniar independente. Variabilele wCj , A-= l./c , ^ y =

17/ 7 sunt variabilele de stare ale circuitului, fiind independente

fotre.ele. . . . .• • , u u

în cazul contrar, in care circuitul conţine secţiuni dc bobine sau

condensatoare şi. eventual, generatoare independente de current, sau

bucle de condensatoare, sau bobine şi. eventual generatoare independente

dc tensiune, atunci circuitul este cu elemente reactive în exces. în

această

situaţie numărul variabilelor de stare independente se reduce cu numărul

de astfel de secţiuni sau bucle.

Stabilirea sistematică a ecuaţiilor de evoluţie în cazul circuitelor cu

o topologie mai complicată se poate face utilizând sistemul arbore-

coarbore. Alegerea arborelui se face astfel încât condensatoarele şi

generatoarele Independente de tensiune să fie ramuri, iar

bobinele şi generatoarele independente de curent să fie corzi.

Fxemnlul 11.4 Să se stabilească ecuaţiile de evoluţie pentru

circuitul din Fig. 11.15.Teoremele lui Kirchhoff permit scrierea ecuaţiilor:

439

Capitolul 1 1

/' - i, -u = 0

di,

dt

n ■ , d/2

dt

î . ■ r- d u C A I - A Fig. 11.15In plus i = C —— . Alegând ca

dtnecunoscute tensiunea uc şi curenţii i\ şi h se obţine sistemul dc ecuaţii

440

Circuite liniare in revin, tranzitoriadiferenţiale:

d"c 1 /. . ,\

d i

4d/

1u1 R, i

c

sau. în formă matriceală:

0u c

i

ti iL

1

c\"c~

0 0 _

0 • *

'l•

+ 0 «1

k

*

•

* _ l 2 1

Jjl0

Prin identificare cu relaţia (11.50) rezultă matricile A şi B.Exemplul 11.5 Sâ se stabilească ecuaţiile de evoluţie pentru circuitul

cu elemente reactive in exces din Fig. 11.16.Circuitul are două

bobine şi două

condensatoare (/ r=4), dar

conţine o buclă formată din

condensatoarele C7, Ce şi

generatorul de tensiune ei%

precum şi o secţiune

formată clin bobinele LK şi

I5 şi generatorul de curent

i$\ prin urmare este un

circuit cu două elemente

reactive în exces, iar

numărul variabilelor dc

stare independente este egal

cu 2.

d_

dt

441

c

0 -S.

Capitolul 1 1

Relaţiile de legătură între variabilele

th. = "c, - uC f h " 's

-', . = 0 '

Teoremele lui Kirchhoff scrise relativ

independente ale circuitului au expresiile: (I):

- /, + /„ - /4 = 0

(3): - i 5 - i g 3 + i 4 = 0 ; (4): / 6 + ' 7 - ' 8 =0 ;(5):[B, ]: uC7 - Uc, =e2 ; [B, ]: uk + uCt + + R.în plus ecuaţiile caracteristice ale elementelor

scrierea relaţiilor:

_ , ţk."..-*.*'*

Alegând drept variabile de stare independente

/„ se obţin ecuaţiile de evoluţie:

„ _ , - T «!*..) - C ^ - i

- c d"

c'

442


_d

dt

r "c. 0

t*+Ls

c6+c,

tuU .

+443

Capitolul 1 1

0

o o

I

oo 'fi

fi0

0d/

ii d/

Se observă că semnalele »Q şi /g depind nu numai de semnalele de

excitaţie, e2, e4, ig şi />, ci şi de derivatele acestora, de2 /di, d/g9/d/.După cum se cunoaşte din studiul ecuaţiilor diferenţiale soluţia

generală a sistemului (11.51) este de fonna:

x(t) = eA ' ■ x(0) + JeAH• B• u(t)dT = x, ( i ) + xp ( i ) ( I I .52)o

unde x(0) reprezintă vectorul valorilor iniţiale ale variabilelor de stare, U t ) -

soluţia de regim liber (soluţia generală a sistemului omogen (11.51)), iar \ p( t)

- soluţia de regim permanent (o soluţie particulară a

„p»s.e ce sa.,sface co„di, i a raj | j ala >( ' ,""> (, ,.53)

Vl'l "kM «>M« »W este mai USOr H 7 " " (0) ' °aC5 * «"oas,,.

(Il.53)dccâ tcucxpre sia(,,.52) "'Ş0rdc*c,ua,pr in ^

Mafricca «*' poar,a «■"* **!

unde X. reprezintă rădăcinile ecuaţiei caracteristice ataşate sistemului de

ecuaţii diferenţiale (11.51), şi anume:

i A - X l | = 0 - (11.55)

Rădăcinile X* reprezintă din punct de vedere matematic valorile

proprii ale matricii A, iar din punct de vedere fizic ele constituie pulsaţiile

naturale sau frecvenţele ciclice naturale ale circuitului, in cazul unui circuit

fără elemente reactive în exces A are dimensiunile lr\lr. obţinându-se lr

444


frecvenţe ciclice naturale: fiecare element reactiv in exces reduce cu 1

dimensiunea matricii A şi deci şi numărul pulsaţiilor

naturale.

Numărul pulsaţiilor naturale ale unui circuit se numeşte ordin de

complexitate al circuitului, fiind egal cu numărul maxim al condiţiilor

iniţiale.

In cazul circuitelor disipative pulsaţiile naturale pot fi reale negative

sau în perechi complex conjugate cu partea reală negativă, în oricare situaţie

putând fi simple sau multiple. în cazul circuitelor nedisipative frecvenţele

ciclice naturale sunt pur imaginare, în perechi complex conjugate, simple

sau multiple.

Existenţa elementelor disipative asigură stabilitatea circuitelor

liniare deoarece, în condiţia Re {**}<() componentele de regim liber ale

445

Capitolul 1 1

semnalelor tind asimptotic spre zero.

Metoda variabilelor dc stare prezintă avantajul abordării anali

circuitelor din punctul dc vedere al teoriei sistemelor. Sistemul de CCS diferenţiale dc evoluţie (11.51) poate fi soluţionat analitic (într-un nurnâ'

restrâns de cazuri) sau numeric. în plus, metoda variabilelor de sta poate fi

utilizată. într-o formă adaptată, şi pentru analiza circuitel neliniare [5], [8].

11.5 ANALIZA CIRCUITELOR LINIA RK ÎN REGn TRANZITORIU

CU AJUTORUL TRANSFORMATFi LAPLACE

1 1 .5.1 Transformata Laplace. Funcţii original şi funcţii imagine«

Transformata Laplace este o transformată funcţională care asociază în

mod unic unei funcţii de timp /(/), numită funcţie original o funcţie de

variabilă complexă, F(s). numită funcţie imagine Clasa funcţiilor care admit

transformată Laplace se numeşte clasa funcţiilor original. Corespondenţa

intre funcţia original şi funcţia imaeine este biunivocă.

O funcţie f i t) care îndeplineşte condiţiile:

a)y(/)=0, pentru /<0,

b) este mărginită, continuă pc porţiuni şi are un număr finit de

discontinuităţi de speţa I,

c) pentru f>to>0 funcţia \ f( t) \ nu creşte mai repede decât o exponenţială,

adică există constantele Ao>0, ao>0, /o>0 astfel încât:

|/(')|<4>e°0 ' , '>'o, (11.56)

este o funcţie original în sensul transformatei Laplace. Ei îi corespunde în

mod biunivoc funcţia imagine:

F(s) = L{/(/)} = J/(/)e-''dr (U.57)

0-

unde s este un număr complex de forma s = a + jco. Integrala din relaţia

446

Capitolul 1 1

, , 57) este convergentă pentru domeniul Re(*W»I convergenţă a lui F(.v). Limitele integralei din^ S domcniu

tbuiesc interpretate în sensul că: ^ d 'n «P«* lui F(,>r

F( 5)=lim f/(/)e"d/EToi ' (H.58)

jn felul acesta putându-sc calcula şi transformatele Lanlace »U

funcţjj cu discontinuităţi de speţa I sau a II-a în origine U"° r

Semnalele întâlnite în electrotehnica îndeplinesc condiţiile

menţionate antenor fund funcţii original în sensul transformatei Laplace

11.5.2 Transformatele Laplace ale unor funcţii uzuale

in acest paragraf se prezintă modul de determinare a transformatelor

Laplace ale unor semnale frecvent întâlnite in electrotehnică.

1) Funcţia exponenţială, definită prin:

J K ) le" J />0..arc transformata Laplace:

F(J) = Je°V" d / = — . (11.59)

os~

a

Domeniul de convergenţă se obţine observând că integrala este finită dacă:

447

Circuite liniare în revin, tranzitoriu448

Uri / ( / ) - e ' s - ' ► = lim

= lime , a-c) ' = 0,deci c>a.;->x

2) Funcţiile sinus şi cosinus

Funcţia /"(') = 1° ' ' < 0 are transformata Laplace: V 7 w

[sinco/ , t> 0

F( s)=L{/(,)}= J^.-d<-jŞ-^-o-di- T -yXlLWo o -J

t i

h)

Capitolul I I{ O , t < 0 . ,

Funcţia /"(/) = < n arc transformata Laplace;[coscot . I > U

» xpe

J«»' +

e-J""

F(,)=L[/(/)}=/cosa )/e- i 'd/= j-3) Funcţiei treapta (Fig. 11.17.a) definită prin: /(/) =

c o r e s p u n d e imaginea Laplace:

F(j) = L e -wd / = - .

4) Funcţia impuls dreptunghiular de amplitudine AJŢ şi durată

(Fig. 11.17.b) are transformata Laplace ^ î

F(,)=/ie-d/ =T

(,-e-n

.v7"(11.63)

5) Funcţia impuls Dirac sau impuls delta unitate (Fig.l 1.17.c) definită

0 . 1 * 0poate fi considerată ca provenind dintr-un

1 = 0

impuls dreptunghiular de amplitudine A=\ a cărei durată T tinde la zero

astfel încât amplitudinea sa. 1/7"devine infinită.

A

a )

2^(11.61) ' < 0e-"d/ =2

0

I I

/ > o

(11.62)

prin relaţia 6(/) =-<-

449

0 t

c)

i oi

Capitolul I I5("

AIn felul acesta transformata Laplace a funcţiei 6( 1 ) poate fi obţinută

calculând limita când 7"->0 a imaginii Laplace a impulsului dreptunghiular

de amplitudine 1/7":

450


2(,i

1-C"ST «"Hospiul .--i -T

F(s)=L{ 5 (,)|=Hm-^- == lin.-—= 1. (11.M)

1 1 .5.3 Proprietăţile transformatei Laplace

Deoarece în ecuaţiile ce descriu comportarea circuitelor • in

domeniu, timp apar operaţiile de adunare. înmulţiriZj^T derivare,

integrare, precum şi produsul de convoluţie a două ££ prezintă interes să se

stabilească efectul acestor operaţii asupra fimSimagine.

1) Adunarea

Daca/,</) şi/:(0 sunt funcţii original atunci transformatei Laplace a

sumei celor două funcţii îi corespunde suma transformatelor lor

Laplace:

L{f1(0+/2(0}=|l/1(0+/2(/)]es'd/ =0

= J/,(r)e-"d/ +

j/

2

(/)es'dr =F,(,)

+

F2

(*)

0 o

( 1 1 .65)

2) înmulţirea cu un scalarDacă /(O es tc 0 funcţie original şi X o constantă atunci:

LK/r/)}=}U(0e -"d/ = >.F(5). d l -66)0

3) Utilizând proprietăţile (1) şi (2) urmează că transformata Laplace a

unei combinaţii liniare de funcţii original este o combinaţie liniară a

imaginilor lor:

4) Transformau, Laplace a derivatei unei fimqii original, calculară

s t-

s

utilizând integrarea prin părţi este:

l{a/)}= J F- E "S ' D / = /(/)e"1o + S J-^ ( /> E"M

D / •

o oDacă se impune ca lim|/(/)e*w = 0, condiţie care este îndeplinită ,

în vedere relaţia (11.56), pentru o>o0 şi />/o, se obţine:

l{T(/)}=.*F(j)-/(0). Dacă f tO)=f(0)=0

atunci rezultă că :

l{t(/)}=*2F(j).

5) Transformata Laplace a integralei unei funcţii este:

t | j >(/)D/ = ] J /( I)D T e S 'D / = -le-s'J / (T)D R + 1 j >(,)e»D , .

v - eO0/

e"' \f ( x ) d x0

£ -40 lim e-s /C

/-MC<*0

0

ceea ce revine la a>oo şi f>io. atunci sc obţine:

J/(T)d F( . v ,

(11.70)

6) Transfonnata Laplace a unei funcţii original întârziate având

întârziere T este:

« CC

o

rezultând în final:

(H.68)

(11.69

)

Dacă este îndeplinită

condiţia: lim= ^lime ,0°-0) ' =

0O /-*

^ ( / - T ê-11 F ( s ) . 7)

Teorema deplasării (11.71)

L^(0e->,}= J/(/)e-''cs 'd/ = J/(/)e- (^"d/

454

ob!inându-se în final:

L|/(/)e-'')=F(, + X)

g) Teorema convolutei (11.72)D3Că.A0 V s u n t două o r i g i n a l , produsul W ,1,/(/)* g(')> se defineşte cu ajutorul r e l a ţ i e i : ' involuţie.

/(0*G( / )=J / (

T ).

G ( /_

T ) D I

01.73)

Transfonnata Laplace a produsului de convoluţie este f n -L t A O - s M l ^ M A O i . M g , , ) , ^ , . ^ . _

Propriclăţilc (1)...(5) arata că unui operalor , jn . '

J i fcrc,„ial aplica, unei funepi de top ii corcspumic JJJLaplace un operator algebric liniar: ia

/O+

*F +

C

I/(0

d/

' = ° ) +

*T *M - /(0))

+ £

F(,), ( 1 1 . 7 5 )0 .V

unde F(5)=L{/W).

H.5.4 Determinarea funcţiei origina] corespunzătoare unei funcţii imagine date

Pentru stabilirea originalului /(/) corespunzător unei funcţii

imagine F(.v) date, se utilizează aşa-numitele formule de inversiune.1) Formula de inversiune Mellin-Ricmann permite determinarea

funcţiei original cu ajutorul relaţiei [1]:

/(/) = L- ,{F(.s)} = — JF(*)eMo> (11.76)

O-j»

455

integrarea facându-sc pe dreapta Rc{.vi=o, dreaptă care lasă în

semiplanul stâng toate singularităţile funcţiei F(.v).

2) Formula dc inversiune a lui Heaviside permite determinarea

funcţiei original atunci când F(.v) este de forma :

F(.v) =

Q(s)

(11.77)

unde P(s) şi Q(s) sunt două polinoame prime între ele de grad

respectiv /;. m<n. Sc pot întâlni două situaţii :

a) polinomul Q(s) are numai rădăcini simple fiind dc forma :Q(s) = ( s - s l ) ( s - s 2 ) . . . ( s - s n ) , ( 1 |

caz în care F(s) se poate descompune într-o sumă de fracţii simple •

F(5)=-^L_+-^-+...+-^_. M ;

s - S ] s-s2 s-sn C1.79)

Coeficienţii Q, A-l,...,// se pot calcula uşor observând că

P (s )

Capitolul I I

Ck = lims-*st

"^SS^So' de

unde

' prin

aplicare

*regulii lui L'Hospital. rezultă :

m) (11.80).

b) polinomul O(s) are rădăcini multiple, s\, . . , sr având ordinul de

multiplicitate mu • • • m r fiind deci de forma :

în acest caz F(s) se poate descompune în fracţii simple având expresia:

F(,) = -î- + -^-r + . . . +

( J - J , ) - (5-5.)

+ ——+------------E—+r.„+ 2m^+(j-

52r=(11.81)

+ r l cr2 "'I.

Coeficientul Q, se poate calcula observând că:

Cfa, = lim(.v-.vAr ' F (5).( 1 1 .82)

Derivând relaţia (1 1 .82) de mk-l ori se obţine coeficientul Cu de forma:

456

arcuite liniare în regim tranzitoria

- lim" (mk -/)'•*-

*'«dv

V

(11.83)

nrieinalul corespunzător unui termen ueneric al ^ . .S (11.81) «stem: "ê al dezvolţi î„ fracţii

-l c

( 5 - 5 , ) ' ] (/-l).

iar cel corespunzător unui termen general al dezvoltării (11.79) cs te.

(11.85)

în concluzie se pot stabili următoarele form,,. „ ■. în cazul în care Q(s) are rădăcini simple , ? ""versiune:F( 5)este: ' *'A 1 originalul funcţiei

/(0 = L-,{F( 5) ( = y _2£ţl

it Q'(s ). dacă polinomul £(.v) are rădăcini multinle » Li__ r H ^ ^ A - I .........;• cu ordine de

multiplicitate m k ,k = \ , r V » , „ „ • • , ,*' • Z,7"* - " originalul funcţiei F(j) este:

/<0 =

L-'{FU) } = ] TX

(11.87)

unde coeficienţii Cu au expresiile (11.83).

Relaţiile (11.86), (11.87) poarta numele de formulele de inversiune

ale lui Heaviside.

Formula de inversiune a Iui Heaviside (11.86) se poate aplica şi în

YAs)cazul unei funcţii imagine F(.v) =

Y 2 ( s )

polinoame, dacă )':(.v) are poli simpli in număr finit sau infinit şi nu

(11.84)

(11.86)

*=1

unde )'i(.v) şi )':(.v) nu sunt

457G, =

arcuite liniare în regim tranzitoria

sin cuconţine alte singularităţi. Un exemplu este funcţia F(s) = —— care are

o infinitate numărabilă de poli. rădăcinile ecuaţiei cosps-O.

cos [îs

458

in

Fig. 11.18

Capitolul 11

1 1 .5.5 Utilizarea transformatei Laplace In studiul unor regi tranzitorii

Pentru a ilustra modul dc utilizare a transformatei Laplace |smdiul regimului tranzitoriu sc considera r = Q

1

câteva exemple simple. ,-----R

I) Circuitul RL seric din Fig. 11.18, având condiţii

iniţiale nule, sc conectează Ia ( \ ) momentul /=0

la sursa de tensiune ^K^s constantă C/o. Se cere să se

determine curentul /(/) după comutare.

Scriind ecuaţia de tensiuni după

d/

comutare //(/) = /?•/+ L - . unde u ( t ) = U 0 \ ( t ) şi aplicând acesteia

transfonnata Laplace se obţine :

U= R I ( s ) + s L / ( s ) -L i ( 0 ) .

.v

Deoarece /'(0-)=/'(0+)=0 se obţine transformata Laplace a curentului

r o P( .s)

s(R + sL) Q( s )

Soluţia Q( s )=0 are rădăcinile .Î,=0. S2=-R/L, iar Q\s)=R+2sL. Utilizând formula de inversiune (11.86) se obţine :

Q (0)

R L

R L /

R

R

R

, _ e r

,/>0.

Fig. 11.19

o _

Capitolul 11

2) Circuitul RC serie din Fig. 11.19

având condensatorul iniţial încărcat

cu sarcina q0, se conectează la

momentul r=0 la o sursă de tensiune

"(') = U 0c '•<>, unde U0 >Să se

Fig. 11.19

C W d )

2(><)

"' tranzitoriu

dclCnmnc tensiunea u ({ i) după comuta

Scriind ecuaţia de tensiuni pe„' "

picând transformata Laplace acesta

70 C » ^ undc

5 +

rezultă imaginea tensiunii pe condensator:

U

«c(O = L- ,{t/c(.v)} = t/0.c " ~ e

1 1 .5.6 Forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui .Joubert

Se consideră un circuit electric liniar având / laturi, n noduri şi c

subcircuite neconexe. Aplicând rransfonnata Laplace teoremei I a lui

Kirchhoff scrisă în domeniul timp :

Ic se obţine:

1 -

Circuite liniare i,

Rădăcinile polinomului Q.(.v) sunt .*,= l/flC şi .v2=-l/

Xo, iar rt'f5) = 25+—+

— • Utilizând formula de inversiune (11.86) se obţine in final:

C .(.0 02(*)iRC ,v + RC

e 10 -e *c r - + -C

2(><)£/ t(/) = 0

(11.88)*€(«»

relaţia:

Capitolul I I

^ / t ( s ) = 0 , a=\,n-c01.891

ke(a) y'

unde h(s)=L{i(t)} . De asemenea, aplicând transformata Laplace ta a Il-a a lui KirchhofT scrisă în domeniul timpJû k( t) =

0 i c | v ]

se obţine:

Ûk(s) = 0 , v = l./-« + c

unde L /,(*)=L {//*</)}. Ecuaţiile (11.89). (11.91) reprezintă forrnc |c

operaţionale ale teoremelor 1. respectiv a Il-a, a lui Kirchhoff. p,^ teoremă

se poate scrie de n-c ori. relativ la nodurile sau secţiunii independente, iar

cea de a doua teoremă de l-n+c ori relativ la buclele independente.

Pentru obţinerea

formei operaţionale a teoremei lui

Joubert se consideră o latură RLC

serie activă cu ' cuplaje

magnetice (Fig. 11.20) pentru

care se poate scrie această

teoremă în domeniul timp:

dd>k

1uk ( t ) = Rkik (/) + _L + _ jik ( , ) d / + W c . ( 0 ) _ £k ( / )

* o

Aplicând transformata Laplace relaţiei (11.92) se obţine: U k ( s )

= R k Ik ( s ) + s L > ® k ( , ) } - Q k ( 0 ) + - ţ - r

" c ' ( 0 )

k s

unde /,(.9)=L{/(/)}. U^L^t)} , E k(s)=L{e k(r)} . Deoarece

i , L

01.92)

- E k ( s )

: corcnie i

(11.90)

01.91)

/ , ( s ) +sC,

2 "O

Capitolul I I

rezultă că

^ V*j

2 "O

27/

M<M<))=V.W+2v,

(l).

/ « IJ *k

j„ loc;,i»d $ V*** .cnnenii se „„,„„. foraia „^.^ i ^ .jftnberc

L/A .(.v) = + .vi. + -L sCk

L

I

-a> t (o )+^L2.£t(5)

Mărimea complexă

^ ( 5 ) = ^ +sL k + -L

sC* (11.94)

sc numeşte impedanţa operaţională proprie a laturii RLC seric iarZ*«-*« ' (11.95)

reprezintă impedanţa operaţională mutuală dintre laturile k şi/

Se observă prezenţa în relaţia (11.93) a doi tenneni datoraţi

condiţiilor iniţiale de funcţionare, şi anume fluxul magnetic iniţial in

bobină. j(0). şi tensiunea iniţială pe condensator. uc (0).

Utilizând notaţiile (11.94). (11.95) teorema lui Jouben in formă operaţională se mai poate scrie :

U k( s ) = Z k ( s ) I k (s) + £Z k j ( s ) ■ (,<5) - O, (0) + ^- E k(,) (11.96)7 = 1 S

f**

Ecuaţiilor (11.93), (11.96) li sc poate asocia o schemă echivalentă

operaţională reprezentată în Fig. 11.21, în care termenii corespunzători

condiţiilor iniţiale au fost modelaţi prin surse dc tensiune. într-adevăr,

scriind relaţia dintre U k(s) şi I k(s) pentru latura RLC scrie activă din

Fig. 11.21 se regăseşte ecuaţia (11.93).

27/

Sensul sursei operaţionale <W(0) corespunde sensului fluxului

prin bobina L k Ia momentul /=0. în absenţa cuplajelor magnetice, acesta

coincide cu sensul curentului iniţial prin bobină deoarece

A(0)=Z.*'/A(0).

Uj ( s )

r

Capitolul 1 1

Fig. 11.21

Sensul sursei operaţionale uCi ( Q ) / s reflectă polaritatea tensiunii

iniţiale pe condensator vârful săgeţii din simbolul sursei de tensiune este

orientat către borna cu potenţial mai ridicat a condensatorului in momentul

r=0.

în situaţia în care condiţiile iniţiale sunt nule, circutul numindu-se

în acest caz relaxat, sursele operaţionale <1>*(0) şi u C i (0) / s lipsesc din

schema echivalentă operaţională.

Dacă se înlocuiesc expresiile tensiunilor Uk(s) cu expresii de tipul

(11.96) în a cea de a doua teoremă a Iui Kirchhoff se obţine o altă formă a

teoremei de tensiuni:

£ z,(5)/,(5)+2v*V,(0

unde s-a notat cu EL ( s ) sursa opraţionalâ corespunzătoare condiţiilor

iniţiale :

EA (5) = O,(0)u

Ck (0) (11.98

)

467

Capitolul 1 1

Se poate observa analogia formală dintre expresiile în

complex ale teoremelor lui Kirchhoff şi, respectiv, a teoremei lui Joubert.

corespunzătoare regimului permanent sinusoidal, (relaţiile (6.18), (6.22).

(6.27)), şi forma opraţională a acestor teoreme corespunzătoare regimului

tranzitoriu (relaţiile (11.89), (11.91), (11.93)). Singura deosebire constă

468

t ircuite liniare lui r*8lm tranzîtoH

in lCmiCnU,Ui ^ « dat0ra l condi ţ l i lo r ln i ţ ialc .m

operaţională a teoremei lui Joubert. Aceasta analog ncn., „nor

corespondenţe Intre reprezentările semnalelor l r*T Btabflirea generale ale circuitelor electrice, prezentate în Tabelul \u XC°Kmc{oT

Semnale

Reprezentare

a simbolică£ = Fe"

Tabelul U.l

Regim tranzitoriu funcţii

original

■

F i s ) = J/(t)e-"d!

operaţională

2(5) =

/? + ^ + -L_______sC

£/ t(,) = 0 ^L1(,)

= 0

*€|v]

t/*U) = Z4(.v)/4(.v)*

- £ t ( 5 ) - £ f | ( 5 )

Ca urmare a acestor corespondenţe, metodele şi teoremele stabilite

pentru analiza în complex a circuitelor liniare în regim permanent

sinusoidal pot fi extinse, formal neschimbate, şi pentru studiul circuitelor

liniare în regim tranzitoriu cu ajutorul transformatei Laplace.

Impedanţa

Teorema Kirchho

Teorema Kirchhoff

II tdv]

Teorema lui Joubert

/-l

469

complexă

Z = R + j(oL+-L.jo)C

t ircuite liniare l

Deosebirea esenţială constă în apariţia în schema echivalentă

operaţională a circuitului a surselor operaţionale corespunzătoare

iniţiale. Teoremele referitoare la gruparea impedanţelor. la

curenţilor dc buclă şi cea a tensiunilor nodale

generatorului echivalent de tensiune şi de curent, au aceeaşi fonnâ ^

permanent sinusoidal. Ca !

Metoda operaţionala de analiză a circuitelor liniare în regin,

tranzitoriu

consideră cunoscute topologia reţelei, valorile elementelor

circuit şi semnalele de excitaţie. Etapele analizei circuitului în

tranzitoriu sunt următoarele:

analizează circuitul in regimul anterior comutării stabilindu-se

fluxurilor magnetice iniţiale prin bobine, O*(0), şi ale tensiunilor

bornele condensatoarelor uCk (0);

reprezintă schema echivalentă operaţională a circuitului după

notând pe schemă impedanţele operaţionale ale clementelor

circuit şi transformatele Laplace ale semnalelor dc excitaţie- de

se reprezintă în schemă sursele operaţionale corespunzătoare

iniţiale;

analizează circuitul astfel obţinut fie utilizând transformata

teoremelor lui Kirchhoff şi a teoremei lui Joubert, fie o altă

analiză în formă operaţională, determinându-se transformatele

semnalelor răspuns;

utilizând formulele de inversiune ale lui Heaviside de determină

corespunzătoare semnalelor răspuns.

Exemplul 11.6 fn circuitul din Fig. 11.22.a la momentul t=0 se

deschide 'întrerupătorul Să se determine curentul i,(t) după comutare dacă

tensiunea sursei este E0=constant.

Condiţiile iniţiale dc funcţionare sunt: /,(0-) = £0/y?, ; /2(0-) = 0 . echivalentă operaţională după

a

Ş

i

470

t ircuite liniare l

comutare este reprezentată în Fig.l 1.23.b. Utilizând teorema de tensiuni

în forma (1 1 .97) sc obţine transformata Laplace a curentului. I\ (s):

471

' l W r

h)

27 S

Circuite mare tn regim ,ran:hnr;F L O R I I ,

— + ^,/,(0) .y

s( L t + L 2 ) 5 + —!------1

Impunând Q(s)=0 se obţin rădăcinile si=0, s, = - + ^:

L, + L 2

R + RCALCULÂND DERIVATA NUMITORULUI,^) = 25 + —!-------ŞI UTILIZÂND

FONNULA DE INVERSIUNE A LUI HEAVISIDE SE OBŢINE CURENTUL i\(t):

' G"(0) Q'(52)

o

în Fic.l 1.22 .C este reprezentat semnalul" Exemplul 11.7 Circuitul clin Fig.lU3.a se conectează la

momentul t=0 Ia sursa de tensiune U0=constant. Se cere să se determine

IU

"° L ©

'1

'

0 '

''

c )

Fig. 11.22

Q(s)

Capitolul 1 1

tensiunea la bornele condensatorului în regimul tranzitoriu care a

Circuitul arc condiţii inţialc nule. Schema echivaT*operaţionala după comutare este reprezentată în Fig. I I.23.b. Util* ^

teorema dc tensiuni şi regulile de grupare a impedanţelor se

imaeinea curentului: e

/?, + .vZ., +

R2 .± ' sC

1

sC

2 "6

Capitolul 1 1

Fig. 11 .23

Tensiunea operaţională Ucis) are expresia:

1

U c ( s ) = I ( s )

■ sC _ U 0

/fc,+-L L\c s{s2+2as + ( * l )

QW 2 sC

unde s-au utilizat notaţiile a = — +

e; m2

R 2LX C ■ ' R2LXC Impunând

O( s )=0 se obţin rădăcinile s,=0\ s 2 J = - a ± J a 2 - coj .

Q ' i s ) = ( s - s 2 ) i s - s i ) + s i s - s 2 ) + s i s - s i ) . Tensiunea

udt) se obţine cu ajutorul formulei de inversiune (1 1 .86):

_ P(s)

R, + R.şi OJ0 =

2 "6R , +

'Ucis)

Fig. 11.24

Circuite liniare î n regim tranzitoriu

+1

Q'(.v3

)

eJ j' I =

i . Rt

■ute-Ja3-< 4 . , - o ' -

o x . ,2Va

:-(o2

0(-a +

>/aTr '-

a

+

^Z^

EjmînM-JJJi 1» Ocultul din FigAlMa la momentul" t*0 comutatorul trece de pe poziţia ( 1 ) pe poziţia (2). U0=cons,a,u, iar ,0 - £^2 sin (Ot. Se

cere să se determine ujt) după comutare.Condiţiile iniţiale sunt: tic(0)= " : -U^, iar i t(0)=0.

Schema echivalentă operaţională după comutare este reprezentată în F i o 1 1 2 4 . b . Transformata Laplace a semnalului e{t) este:

r (a = feE(0 . Curentul I(s) are expresia: 52

+(0 2

E(s) -s1 R s L ' +

iar tensiunea LH<0 este: ,

M O )

475

u (0x ţ „c( 0 ) [frţEs-Ucm^^» c C 0 ) A. T ^ ^ + L j ^ ^PLO

+ M51

0(.S) 5

Polinomul

I M R

Circuite liniare î n regim tranzitoriu

2 -V Clipitului 1 1

Q(s) = s(s 2 + (o2 ){RLCs2 + sL + R ) = RLCs(s 2 + or )(s 2 + 2cw + m2 j

are rădăcinile5,=0, = ±jco. J4<3 = -a±- io 2 = -a ± p, jar

Q'(s) = RLC[(s 2 +(0 2)(s 2 +2as + (o20) + + 2s 2 ( s 2 + 2as + a>l) + 2s (s 2 + ar )

(s + a)]" Oricinalul va fi de forma:

Exemplul 11.9 în circuitul din Fig. 11.25.a la momentul t=0 Se închide

întrerupătorul. Sursa de tensiune este E=constant. Se cere să se determine curentul

in secundar, i;(t), după comutare.

Condiţiile iniţiale suni /, (0-) = , h(0-)=0,

d>,(0-) = V,(0-)-Z i :/2(0-) = L

O, (0-) = L2 i2 (0-) - Lah (0-) = -Ll2,\ (()-). Schema

echivalentă operaţională este prezentată în Fig.l 1.25.b. Ecuaţiile de tensiuni

în formă operaţională au expresiile:

477

(a)

fig. 11.25

+ O, (0) = (/?, + sL,) /, ( s ) - sLv 1 , ( S )

(0) = (/?2 + ^:) h(*) - sl<\il\{s)

raport cu Ia(s) se obţine:

L O, (0) + j^g i (0)) + gig 2 (0) + E I„ _

rădăcinile polinomului Q(s), curentul i2(t) va fi dc Rotând cu ■ i

că rădăcinile j|, s2 sunt reale şi negative pentru oriceclementelor de circuit, fapt ce poate fi uşor verificat, regimul

ancriodic cu lim MO = 0. în secundar apare un curent/_♦«

regimului tranzitoriu.

RĂSPUNSULUI TRANZITORIU

răspunsului tranzitoriu este o metodă de analiză în domeniul timp ce

determinarea unei mărimi dc ieşire, y{t), a unui circuit liniar,

ncanticipativ. atunci când se cunosc semnalul de intrare, x{t), circuitului la un semnal dc excitaţie elementar, de tip treaptă

delta - unitate. Deşi aceste semnale au fost prezentate anterior, se

definiţia lor. Funcţia treaptă unitate (Fig.l 1.26.a) este definită

f { t ) = K0 =

Funcţia treaptă unitate întârziată (sau retardată), având o întârziere

t (Fig.l 1.26.b) are expresia:

/«>=«, )={?;<»•««»

Funcţia treaptă unitate intervine Fn exprimarea semnale]

discontinutăţi de speţa I (care variază prin salt); de exemplu conectaunui circuit la momentul r=0 Ia o sursă de tensiune [ f — _

• ■ • ^ Colici

echivalează cu aplicarea unei tensiuni de intrare //(/) = U Q - . ;n

similar conectarea Ia o sursă de curent /o=const. echivalează cu

excitaţie de fonna /(/) = /0 • 1(0. 0

cu

ca

0 , r< 0 (U.99)1 , r > 0 "

Capitolul 11

1( 0

t '"Ti

I I

(a) (b)

Fig. 11 .26

Funcţia impuls dreptunghiular finit unitar (Fig. 1 1 .27) definită prin

relaţia:

0 . t< 0

(') =j , '€(0.7-) ( 1 1 . 1

0 1 )0 1 > T

poate fi exprimată în funcţie de semnalul 1 ( / ) sub forma:

, i(/)-i(/-r)AT(0=-iJ-^-------(11.102)

Atributul "unitar" din denumirea funcţiei A j ( l ) provine din faptul că aria

mărginită de impulsul dreptunghiular este egală cu 1.

Dacă durata impulsului 7"-»0. amplitudinea sa, l/T, devine infinită,

obţinându-se funcţia Dirac sau impuls unitar sau delta-unitatc. (Fig.ll.28.a):

0 ■ c.103,

Se observă că impulsul unitar reprezintă derivata în

raport cu timpul a funcţiei treaptă unitate:

5(/)= limAT(/) = r->o 1

I co

480

4 8 1

Zitorit,

1T

8(0

i5(f-t)

T i

Fig. 11.27 (a)

Fig. 11.28

<b)

Impulsul unitar retardat având o întârziere t (Fig.ll.28.b)

definit prin: ■ (

,_ g

0 , t * x

(11.105)

O proprietate importantă a impulsului Dirac este aceea că:« 0+

Js(/)d/= Js(0di = i.mm

—CC

0-

Accastă proprietate rezultă din faptul că aria delimitată de funcţia Atfr) este

egală cu unitatea:co Ţ ^JA

T

(/)d/= J-d/ = l (U.106)

—x 0

şi. prin trecere la limită când T-»0, se obţineae te

j5(/)d/ = Hm JAT(0d/ = l .

-OO

Funcţia treaptă unitate este adimensională. iar funcţia Dirac are

dimensiunea s*1.

5(/-x) =

(11.104

)

est

4 8 2

In funcţionarea unor circuite în regim tranzitoriu apar semnale ce

conţin derivata de ordinul I în raport cu timpul a impulsului Dirac, h\t\

numită dublet unitar.

Funcţia delta-unitate permite definirea unui semnal de tip impuls

unitar de tensiune, respectiv impuls unitar de curent. Astfel semnalul:. dl(/) d(l(/))

a).6(/ ) = ,I,.__ = —---------------------, (11 I0?)

unde d)=I Wb este un flux magnetic unitar, are dimensiunea unei

tensiuni si reprezintă un impuls unitar de tensiune. în mod similar

semnalul:M v ^ dl(/) d(Q-l(/))

Q6(/) = Q — = d/ .

(11.108)

unde Q=\C reprezintă o sarcină unitară, are dimensiunea unui curent

electric, fiind numit impuls unitar de curent.

Metoda răspunsului tranzitoriu presupune determinarea

prealabilă a răspunsului circuitului la o excitaţie dc tip treaptă unitate,

respectiv delta-unitate. Deoarece comportarea circuitelor la excitaţie

treaptă unitate a fost studiată anterior. în continuare se analizează

răspunsul unor circuite simple la excitaţie tip impuls unitar.

11.6.1 Răspunsul circuitelor simple la excitaţie delta-unitate

Rczistorul liniar neparametric excitat cu un impuls unitar de

tensiune, '6(/), răspunde cu un impuls dc curent:

. u ( i ) 4 > - 5 ( / ) ■ '/? O = — = —— = Q ■ 8(0 •

La excitaţie cu un impuls unitar de curent, Q d ( t ) , rezistonil răspunde cu

un impuls de tensiune:

u R ( t ) = R i ( t ) = R Q 6(/) = d>8(/).

Bobina liniară neparametrică fără cuplaje magnetice excitată cu un

impuls unitar de tensiune răspunde cu o treaptă de curent:

'L( ' ) = J f-6(/)d/ = y [d(r)d/= -•.(/).

4 8 3

La excitaţia cu un impuls unitar de curent bobina răspunde cu un dublet de tensiune:

d/ dt

2*3CirCUi'e,iniarci"^tr„^tHriu

Condensatorul liniar neparametric excitat •

MSFUNE răspunde cu un dublet dc curent: °U U° 'mpuls Un»ar de

dld, -CcD8'(/).

U excitaţie cu un impuls unitar dc cur™răspunde cu o treaptă de tensiune: condensatorul

M c( , ) 4}/(0d, = IJ

e.

8(,

l d,

= £.

1 ( ( )

-«o -co C

Circuitul RL seric conectat la

sursa de tensiune 5(t) (Fig.l 1.29)

satisface ecuaţia dc tensiuni în

domeniul timp:

<D-8(/) = Ri + L — .di

Aplicând transformata Laplce relaţiei Fig. u 19

precedente şi ţinând seama dc faptul

câ transformata Laplace a impulsului Dirac este:

0+ o*

L{8(/)}= j5(/)e-"d/= |5(/)e-"d/= fo , )di = \ ,

o- o- 0-

se obţine: d> = R l ( s ) + sLI( s ) . Circuitul are condiţii iniţiale nule /

(0-)=0.

Se obţine astfel imaginea Laplace: I ( s ) = — —î—, căreia îi corespundeL. n

5 + —L

funcţia original /*(/) = — ■ e 1 •!(/). Tensiunea pe bobină arc expresia:

u L ( t ) = L ^ = < l > b ( t ) - < l > ţ e T ' - \ ( t ) .d t L

Curentul care apare ca urmare a aplicării impulsului unitar dc tensiune

scade exponenţial în timp, având un salt de valoare O / L pentru f=0, iar

tensiunea pe bobină conţine un impuls dc tensiune în t=0 şi o componentă

care scade exponenţial în timp. în Fig.l 1.30.a, b sunt

Capitolul 1 1

Fig. 11.30

reprezentate semnalele /(/), respectiv u,{t).Circuitul RC serie alimentat fa o sursă de tensiune o>6(/) (Fig.

11.31) satisface ecuaţia de tensiuni:

<t>-o(t) = RC^z~- + u c .d t

Aplicând transformata Laplace ecuaţiei precedente şi considerând că

circuitul are condiţii iniţiale nule, ;/c<0)=0, se obţine: d> = (RCs + l ) -

U c ( s ) , d e unde

 1

T 5 +//c(/), are expresia

V ~//c(/) =--------e HC iar curentul înRC

circuit este:

. Tensiunea pe condensator scade

exponenţial în timp având, la momentul r=0, un salt de valoare 0>/(RQ.

Curentul i( t) este egal cu suma dintre un impuls i l>-S(t) /R şi o componentă

. Funcţia original.

RC

485

O (a)

Fig. 11.31

Capitolul 1 1

care scade exponenţial în timp. în Fig.l 1.32a, b sunt reprezentate

semnalele itcit), respectiv /(/).

486

Circuite liniare in regim tranzitoriu

fig. 11.32

Din analiza acestor circuite simple excitate cu surse de .in ■ , unitar

de tensiune sau de curent, se constată că variabilele dc'Tre curentul pnn

bobină, respectiv tensiunea pc condensator varia/!" salt in momentul

apariţiei impulsului, ceea ce contrazice prima resncT a doua teoremă de

comutaţie. Trebuie totuşi reţinut ca cele două teoreme de comutaţie

(relaţiile (11.5), (11.8)) au fost stabilite in ipoteza ca sursele dc tens.une

din circuit furnizează o putere instantanee finită in orice moment.

Generatoarele de tip impuls unitar de tensiune, respectiv dc curent,

furnizează o putere instantanee infinită in momentul apariţiei impulsului şi

zero in restul timpului, ceea ce explică variaţia prin salt a variabilelor dc

stare ale circuitelor.

Circuitul RLC serie din Fig.l 1.33 este alimentat dc o sursă de

tensiune <1>5(/). circuitul satisface ecuaţia diferenţială scrisă in domeniul

timp:

/?/ + L^ + wc(/) = <D.8(/)

sau, înlocuind / = Cd//c/d/ se obţine:

d2u^ „ „ duc

dr dtAplicând transfomata Laplace acestei ecuaţii rezultă:

\LCs2 +RCs + \ ^ U c ( s ) = <t>

487

(a)

Circuite liniare in regim tranzitoriuunde s-a considerat că Mc<0-)=0 şi i(0-)=0. 488

Fig. 1 1 .33

in final expresia lui Ucis) este: Pis)

U M s ) = LC(s 2 +2as + (ou) Q ( s )

unde s-au 2a=RlL,Polinomul

Q(s) = s 2 +2as + (ol

rădăcinile

s l 2 = - A ± J A2 - 0 )5 , rădăcini care

pot fi rea/e şi negative

dacă a>a>o, ceea ce echivalează cu/?>/? fr = 2 I/C, sau complex

conjugate cu partea reală negativă în caz contrar. Considerând cazul în care

R>Rcr. s,=-a+p, s:=-a-P, Q\s)=2s-s\-s2 se obţine, prin aplicarea

formulei de inversiune a lui Heaviside:

1

LC PDaca /?</?Cr, rădăcinile Su $2 sunt de fonna

s,=-a+j(D, 52=-a-jco, iar tensiunea Ia bornele condensatorului este oscilant

amortizată:

tl> e"°"'»r(0 = —-------------sin co/ -1( / ) .

LC co

1 1 .6.2 Metoda răspunsului tranzitoriu la excitaţie delta-unitate

Această metodă de analiză a circuitelor liniare în regim tranzitoriu se

bazează pe cunoaşterea răspunsului circuitului la excitaţie de tip impuls unitar

(delta-unitate) de tensiune sau de curent. Se consideră pentru început cazul

circuitelor cu condiţii iniţiale nule, numite şi circuite relaxate.

După cum s-a arătat anterior, funcţia impuls unitar satisface

6-5( 1 )are

-a-/

■shp/•!(/).fh«c(') =

utilizat notaţiile

o2. = \JLC.

arcuite liniare în regim tranzitoriu491

«o 0+

ol

faaalţinâ ambn membri ai rciaţ icj (1 l.ţ09)

în oricine, mărginită şi integrabili <i rCCCdcn,c cu 0 fim,.-xr °* ("°°' M sc

Considerând funcţia jmpu| °" W-<'UlO)

din tr-Un 'mpU,S ^ 6(,T) c

r-*o -i Zi „JcS( / - T ) d x =

J5( / -

X) d x = l

/-O(11.112)

şi înmulţind cu funcţia tfx) continuă în x=t, mărginită şi integrabilă, se

obţine: . *

"» 1+0

j6( / - T ).t( T ) d T = J8( / - T ).t(T)dT = .v(/) J6( / - T ) d T = x (0.-oo r-0 r-o

Relaţia precedentă rescrisă sub forma:co

*(/) = j8( / - T ) x ( T ) d T (U.113)

-CC

reflectă proprietatea impulsului Dirac de a extrage, prin integrare pe

întreaga axă reală, valoarea funcţiei ,v(x) la momentul apariţiei impulsului

x=/, numită proprietatea de filtrare a impulsului delta. Făcând o schimbare

de variabilă adecvată, relaţia (11.113) poate fi scrisă şi sub forma:

0 0x( t ) = J8(x) . r ( / - T ) d t . (11.114)

— X

obţine:

prov

satisface şi ea relaţia:

Semnalul răspunsSemnalul de excitaţie

5(T)\V(/-T)dTcc

.v(,) = Jo(T)-V(/-T)dT —

cc

Capitolul 1 1

■ A în fine că x(D reprezintă semnalul de excitaţieCOnSSnnto relaxat, iar,(O răspunsul său, si notând1 cu ,s(f )

aplicat circuitului 1 niar dc | t a.Unitatc, se poate face Un

răspunsul circu.mlui ' a ci rcu i tului şi pe utilizarea teoremeiraţionament bazat pe l.nu nu , , 2

superpoziţiei, raţionament prezentai ________^ ^ ^ ^-T

Prin urmare la aplicarea semnalului de excitaţie .v(/) exprimat în forma

(11.113) sau (11.114) circuitul răspunde cu un semnal y{t) având expresia:

= jr6(x)x(t-x)dx= j r f , ( i - x ) x ( x ) d x(11.115)

Presupunând că excitaţia se aplică la momentul r=0, limita inferioară a

integralei (11.115) este 0. De asemenea, deoarece circuitul liniar este

ncanticipativ, răspunsul său la momentul / nu depinde de valorile semnalului

de excitaţie la momente ulterioare lui /, T>/, şi, prin urmare limita superioară a

integralei (11.115) este /. Funcţia v(/) are deci expresia:

v(')= Jr6(T)JC(/-T)dT= jr6(t' X )x(x)dx (11.116)

o o

Relaţia (11.116) permite determinarea răspunsului circuitului având

condiţii iniţiale nule, atunci când se cunosc semnalul de excitaţie şi răspunsul

său la un semnal de excitaţie tip delta-unitate. De asemenea relaţia (11.116)

arată că v(/) reprezintă produsul de convoluţic între x ( t ) şi r*(/):y(Q=x(t)*rt{t) (11.117)

Utilizarea metodei răspunsului trânti,^pre^P^^P/'^^gereaunidtoarelor^0" la dcha

v U )

492

y(')= Jr8(T) x ( / - t )dT

Capitolul 1 1se determina răspunsul tranzitoriu al ci

unitate, de tensiune sau de curent, în funcţie ,a Cxc»aţia delta-, se calculează răspunsul circuitului util.xând 22 ţ??"**'! «0,

dacă semnalul dc intrare .v(,) arc discontinui»? i"11^( ,16) se descompune în,r-o sumă de integrale iî** 1 ^de continuitate ale funcţiei. c'ecruate pc intervalele

Exemplul 11. 10 Să se determine curentul i(A ■ , (Fig.lU4.a). daca la intrarea acestuia se ^^"^^«rfcgraficul reprezentat în Fig. 11.34.b.c. respectiv J. avât>d

Răspunsul în curent al circuitului RI iCne 13 excitalie tip <b-m

493

2*9fost determinat în §11.6.1, având expresia: /

6

(r) = I

.e

T' ^

Răspunsul /'(/) calculat cu relaţia (11.116) va fi;■

a) /(/)= f / / ( T ) / f i ( / - T ) d t = ke^4e ^'dT = (;nilllî

b) u ( t ) =

0 0 / < 0 t e

[0,7*]

Dacă / e [0T] se obţine: /(/) = f(/0--e

—I

1-e

iar în cazul 1>T curentul va fi:

J 0 L R

0

14;

Circuite liniare in regim trami.

O

(c)

//,(/) , /6[0./,)

U 2 ( l ) , / €

[ / , , / , )

« 4(0 > *>h

. Considerând cazul / e[/2,/3) se obţine:

'1 '

orii,

495

(a)

u

(d)

fig. 1 1 .34

T i

T) DT + ju2 (T) I

6 (/ - T) DI + j1/3

tranzitoriu la excitaţie treaptă unitate

pe cunoaşterea răspunsului circuitului liniar şi

tip treaptă unitate de tensiune, U o ' H O , Uvr=lV,

curent, /o'l(r), /D=1A , precum şi pe cunoaşterea

fc&AcQl 0 se

exprime mai foltâi

semnalul

treaptă unitate. în acest scop

împarte în N

&x=t/N.

poate fi

constantă pe porţiuni (funcţie scară) anro 'funcţiei ser?":' * * mai c«

' d' A*, la momentul

A*(T) = A.V(MT) = ,(MT)

la momentul T>O M^0 Rpoatc fl aproximată cu ajutorul

tW5r(0H(

',+

l^'"-)-

% 1 1 .35

Circuite liniare in regim trami.Dacă numărul dc intervale N-*r hacul ^

dt, A*) va deveni d„t, iar ^ * i,,„nit mi,integrala. In (ine. deoarece dv(T)-v'r, . )",clalimiao

forma: W-*(T)*, rela,ia ( n . I I K ) cap5I5

*) = ,(0).l(

,)+

j,,t)

,(

,.ţ)dt

(i|u9)

care * ^2 TT,^ -'«a, pc„,ra Poate faee un 0 ^ ^ " '"—■W-

IH-

orii,

497

y(t) = x(0) ■ g ( / ) + Jxf(T) - f ) ( / - T) dT .

(11.120)

Dacă fn relaţia precedentă se face schimbarea de variabilă /'=/.T se obţine:

V(') = .V(0) • / } ( / ) + |.V, ( / - T ) - / 1 ( T ) d T .(11.121)

In sfârşit dacă se utilizează formula de integrare prin părţi în relaţiile (11.120),

(11.121) se obţin două forme echivalente pentru y( t ) :

)iO = x ( 0 - r}( 0 ) + J.v( T ) - / - ; ( / - T ) d T , (11.122)

Semnalul de excitaţieSemnalul răspuns

i x ( 0 ) l ( i ) ■v(0) • /•, (/) —~ .v' ( t ) l ( / - t )di

)

x(r) = x(0) ■ + fx' W K r -Ddt v(0 = -v(0). ,,(/)+ fx' ( t ) . , - ,

(, _

ţ)d00

Tabelul 1 1 . 3

Prin urmare răspunsul circuitului l iniar relaxat la excitaţia cu semnalul

.v(/) arc expresia:

Circuite liniare in regim trami.

y(t) = x(t) ■ r, (0) + jx(i - T) ■ r/(T) d i .(11.123)

Relaţiile (11.120)........(11.123) se numesc integralele lui Duhamel.

Metoda răspunsului tranzitoriu la excitaţie treaptă unitate presupune

parcurgerea următoarelor etape:

- determinarea răspunsului circuitului la excitaţie treaptă unitate de tensiune

sau de curent, în acest scop utilizăndu-se orice metodă de analiză a regimului

tranzitoriu, inclusiv metoda transformatei Laplace;

- calcularea semnalului y(f) utilizându-se una dintre relaţiile (11.120)(11.123).

Dacă semnalul .v(/) prezintă discontinuităţi, atunci se preferă

orii,

499

Circuite liniare in regim tranzitoriu

uti,izarca relaţiilor (11.122), ( 1 1 . 2 3 ) deoarece nu n, •privatei semnalului dc intrare. nu necesită calculul

fc*ţ»plul 11.11 La intrarea circuitului RcapHcâ un impuls dreptunghiular de tensiune dcT*?" % 1

iJatâ T (Fi,-1 I M b). Sa se determine H *

Râspunsul tranzitoriu al circuitului la conectarea la o

unttate de tensiune E-IV, a fost ţ * *«Ptreap*

particularizarea relaţiei ( 11. 2 5 ) în cazul „dO ) = o s c oh[]n(.., 1 U 3 t P r i"Mc,(') = l-e ' A c .

Semnalul de intrare este:

«(/ ) = x(0 =

, /€(0,r)

0 , t > T

uHt»)

0

» (b)

Fig.

1 1 .36

Semnalul răspuns udt)=y( t ) se calculează

cu ajutoml relaţiei ( 1 1 . 1 2 2 ) în două situaţii:a) t € (0, r ), pentru care se obţine:

i

uc ( / ) = u ( ( ) • uC{ (0) + J//(T) • uq ( t - T)dl =

t/0

o

b) ţ>Tt pentru care se obţine:

T

u c { t ) = u(*) - u C ] (0) + JM(T) • u q (/ - x)dx = U\

1-e

l-T

RC -P "*C

o

Graficul semnalului răspuns Mc</) este reprezentat în Fig.l 1.36.C.

C =S(a)

29.?

Capitolul I I

în cazul în care constanta de timp a circuitului RC serie. x=RC, C s t c

mai mică decât durata impulsului T. condensatorul se mc^rcă tensiunea

maximă Um=U0. în caz contrar. R C > T , condensatorul

încarcă la tensiunea maximă Um =uc(T) = U 0 \ l—e K

11.6.4 l tilizarea metodei răspunsului tranzitoriu în CazuJ circuitelor

cu condiţii iniţiale nenule

în paraerafele anterioare s-au stabilit relaţiile de calcul u semnalului

răspuns cu ajutorul metodei răspunsului tranzitoriu pentru circuite cu condiţii

iniţiale nule. în cele ce urmează se extinde această metodă pentru cazul

circuitelor cu condiţii iniţiale nenule.

în acest scop se observă că atât bobina cât şi condensatorul având

condiţii iniţiale nenule se pot înlocui prin scheme echivalente în care fluxului

iniţial prin bobină, respectiv tensiunii iniţiale pe condensator, le corespund surse

de tensiune sau de curent de tip treaptă sau impuls.

Astfel, considerând bobina fără cuplaje magnetice, având curentul iniţial

//.(O) (Fig.l 1.37.a), se poate scrie ecuaţia curent-tensiune sub fonna:

o ' '

/(/) = 1 J„(,)d/ + - ju( t )d t = iL (0) • 1(0 + - \u{t)ăt; (11 -124)

acestei ecuaţii i se poate asocia schema echivalentă paralel din Fig.l 1.37.b.

înmulţind relaţia (11.124) cu L şi derivând se obţine:

u( t ) = L - - L i L ( 0 ) d ( l ) , (11.125)dt

relaţie căreia îi corespunde circuitul serie din Fig.l 1.37.C In schemele din Fig.l

1.37.b şi c bobina apare ca element cu condiţii inţiale nule.

Condensatorul liniar şi neparametric având tensiunea iniţială la borne

wc<0) (Fig.l 1.38.a) satisface ecuaţia tensiune-curent:

501

c"c (0)6(0

502

O ;

^ ) 4 J ' ( o * + i J /(„d,=„c(0),(,)+iV

o CJu ,a/ ' (U.126)

ecuaţie căreia i se poate asocia schema echivalentă 1 ■înmulţind relaţia (11.126) cu C şi derivând se obdne %1U8-b"

/(/) = cTi7-Cwc(0)-8 (,),

di '-GW 'OWi (11.127)

relaţie căreia îi corespunde schema echivalentă paralel din Fig.l 1 38 c în

schemele din Fig. 11.38.b şi c condensatorul are tensiunea inţială egală cu

zero.

'(') o—*—|' 'c(0) l ( / (J

~C/^.(0) = 0

! (0) (b) . • (c) 'Fig. 1 1 .38

Analiza circuitelor liniare cu condiţii iniţiale nenule cu ajutorul

metodei răspunsului tranzitoriu presupune parcurgerea următoarelor etape:

1 "M (tjCMdO) X

♦

o

(a)

*4(0)«L i , ( 0 )

C«c(0) = 0

503

a) se analizează circuitul relaxat prin metoda răspunsului tranzitoriu la excitaţie

treaptă unitate sau delta unitate;

b) se pasivizează circuitul şi sc înlocuiesc bobinele şi condensato având

condiţii iniţiale nenule prin scheme echivalente serie sau parai C după cum s-

a arătat anterior; se determină răspunsul circuitului \ acţiunea surselor

corespunzătoare condiţiilor iniţiale;

c) se însumează răspunsurile obţinute la punctele a) şi b).

11.7 FUNCŢII DE CIRCUIT

în §11.6.2 s-a arătat că răspunsul circuitului liniar ncanticipativ cu

condiţii inţiale nule este egal cu produsul de convoluţie dintre semnalul de

excitaţie şi răspunsul circuitului la excitaţie delta-unitate:

y ( t ) = J.v( T )r6 ( / - T ) d T = .t(/)*r6(/)

(11.128)

o

Considerând că funcţiile x ( t ) . y ( t ) . r.it) aparţin clasei funcţiilor original şi

aplicând transformata Laplace relaţiei precedente, se obţine:

Y ( s ) = X ( s ) - H ( s ) , (11.129)

unde s-a notat cu K(5)=L{>•(')},X(s)=L{ x ( t ) } , Z/(.s)=L{rg(/)}. Funcţia

H ( s ) = ^p- = L{ r , ( t ) }

(11.130)

numeşte funcţie operaţională de transfera circuitului.

In cazul unui circuit liniar neparametric expresia funcţiei

operaţionale de transfer, numită uneori şi transmitanţă oparaţională sau

funcţie de circuit, nu depinde decât de structura circuitului fară a fi

influenţată de modul de variaţie în timp al semnalelor x ( ( ) şi v(/).

Relaţia (11.129) permite să să se ataşeze circuitului liniar, pasiv

relaxat din Fig.l 1.39.a o schemă echivalentă operaţională ca în Fig.ll,39.b.

Capitolul 1 1

40 Circuit

liniar pasiv

relaxat

( o )

\ i t ) X { s ) H(s) Y(s)=H(s)-X(s)

Fig. 11.39

504

(b)

în funcţie de natura mărimilor *(5) şi Y( s) funcţia

^nsfer poate căpăta diverse semnificaţii fizice. Astfel dacădC

cprczintă tensiunea de alimentare a circuitului şi V(,> cur n Jab^K

acesta, atunci funcţia operaţională de transfer: ' ' abs°rb,t dc

//(.v) =(11.131)

reprezintă admitanţa operaţională de intrare a c'Dacă circuitul se consideră excitat cu un curent d

1e^CU,tUlu, (Fi8-> 1.40.a).

reprezintă tensiunea de intrare, atunci: "ltrare Şl răsPunsul îl

Hs) (11.132)

este impedanţa operaţională de intrare a circuitului n, r - •

alimentat cu o tensiune de intrare şi semnalul răsn.1 CS,C

alta latură a circuitului (Fig. 1 1 .40b). atunci ^

Fig.

11.40 M ( s )

=

(11.133)

reprezintă o admitanţa operaţională de transfer. In cazul în care

alimentarea se realizează cu un curent cunoscut şi semnalul răspuns este

tensiunea pe o latură a circuitului, funcţia operaţională de transfer

H(s)J£iM (11.134)IM

reprezintă o impedanţa operaţională de transfer.în sfârşit, în cazul în care X{s)=U,„(s) şi Y(s)=Uie}(s)

gte® (11.135)H( s ) =

_ K t )

U ( s )

(a)

U J s )reprezintă un coeficient operaţional de transfer în tensiune, iar dacă

Capitolul I I

X(s)=Us) ?i Y(s)=*Ikt(s) atunci:

H(s) = DM

reprezintă un coeficient operaţional de transfer în curent.

11.7.1 Polii şi zerourile funcţiilor de circuit

După cum s-a arătat în §11.5. funcţiile operaţionale de transfer ale

circuitelor liniare şi neparametrice rezultă întotdeauna de forma raportului a

două polinoame în s:

+ - + a„ . < )37)

+.. . + b0 ( s - p, )(5 - p 2 ).. .(.y - p )

Rădăcinile polinomului de Ia numărător, z\ , . . .=„, reprezintă zerourile funcţiei

operaţionale de transfer, iar rădăcinile numitorului, p\, . . .pm , reprezintă polii

funcţiei operaţionale de transfer.

în general transformata Laplace a semnalului de excitaţie, X(s), este

de asemenea de forma raportului a două polinoame în s A'(.v) = A ( s ) / B ( s ) ,

astfel încât imaginea semnalului răspuns are expresia:

P(s) A(s)Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) =

Q(s) B(s)

Aceasta arată că polii funcţiei Y{s) sunt datoraţi atât funcţiei operaţionale de

transfer cât şi transformatei Laplace a semnalului de intrare.

Polii p k , k = \ ,m ai funcţiei de transfer se numesc frecvenţe naturale

ale circuitului având dimensiunea s"1.

L

(11.138)

507

• 136)

Capitolul I I

Se consideră ca exemplu circuitul RL serie având ca semnal de intrare

tensiunea constantă E (Fig.l 1.41) şi ca semnal răspuns curentul ibsorbit.

Funcţia operaţională de transfer are expresia:

J ( s ) 1 1 1 1

U ( s ) Z ( s ) R + sL L RS T

L

508

• 136)

509

L'rC,U,CUniUrCÎ"^'ranzil0riu

FreCvcnţa naturală a circuitului este P ] = ~ R i L T

semnalului răspuns: 1 ransformata Up|

l ( s) = U ( s ) - H ( s ) = - - 1

Rs + —

Lare doi poli p } = - R / L , datorat lui şj ^=0. datorat

sursei de tensiune constantă. Se poate spune că

frecvenţa naturală a sursei de tensiune este nulă.

indicând astfel faptul că ea furnizează o tensiune

constantă.

acea

11.7.2 Funcţii de circuit în

Transmitanţa complexăregim permanent sinusoidal.

Funcţnle de transfer ale circuitelor ce funcţionează în reeim

permanent sinusoidal de pulsaţie co pot f, obţinute prin particularizarea

funcţnlor operaţionale de transfer. Astfel, ţinând seama de faptul că

vanab.la s este un număr complex de forma .v=o+jco şi considerând ci=0.

rezultă că s=j(0.

Funcţia:

70'©) '/Y(.v) = //(jco) =

A'(jco)

reprezintă funcţia de transfer a circuitului în regim permanent sinusoidal, numită

şi transmitanţa complexă sau imitanţă.

Ca şi în cazul funcţiei operaţionale de transfer, transmitanţa complexă

poate avea diverse semnificaţii fizice, depinzând de natura semnalelorx ( t ) şi.v { t ) :

(11.139)

Fig-11.41

510

- dacă A'0W)=L/„,(>) şi K(>)=UJw), atunci //(jto) = reprezintă admitanţa

complexă de intrare a circuitului;

- dacă A'(jto)=/,„(jco) şi ma>)=UM, atunci H{i^) = V m ^)ILW

reprezenta impedanţa complexă de intrare a circuitului;

căzui in care A'0«)=6WJW) ?> >tJa>)=//^0^) se 0bj lne

ffQ®) = I*G®)/Ui*Q®) care reprezintă o admitanţa complexă de transfer;

- în mod asemănător, H(jco) = Um (j(o)/I i n(jco) reprezintă o impedanţa

complexă dc transfer;

//(jto) = (/io0«)/^(jw) reprezintă un coeficient complex de isfer în

tensiune, iar

- /y(jo)) = / / r f0'w)// i f I(ja)) reprezintă un coeficient complex de

transfer în curent.

Imitanţa H(jto) este o mărime complexă de fonna:

ta

Fig. 11.42

Capitolul I I

//(jco) = //(jco) (11.140)

Analiza comportării în frecvenţă a circuitului presupune studiul

variaţiei funcţiilor |//(jw)| şi arg{#(io)} la variaţia pulsaţiei © diagramele

corespunzătoare purtând numele de diagrame Bode.

Exemplul 11.12 Se considera

circuitul RL C serie pentru care semnalul de

excitaţie este o tensiune sinusoidală de pulsaţie w, iar

semnalul răspuns este curentul absorbit (Fig. l 1.42).

Admitanţa complexă de

intrarea circuitului este:

//0'to) = /(jco) ^________________

VJ ' tf + jco/, + -

jcoC col-

- iarcig

(aZ.

R -

= |//( jco)|

In Fig.l 1.43 sunt reprezentate grafic funcţiile |//(j<o)| şi arg{//(jco)}.

smi

,h7.3 Utilizarea funcţiei operaţionale de transfer î

stabilităţii circuitelor liniare

in §11 .4 s-a arătat că soluţia de regim tranzitoriu pentru variabilele

de stare ale unui circuit electric liniar poate fi exprimată sub forma:

x(r) = x/(0+xp(0 = eA"[x(0)-xp(0))+xp(0 (H.141)

Presupunând că semnalele de excitaţie sunt mărginite, valorile către

care tind variabilele circuitului in regim permanent sunt de asemenea

mărginite. Componenta de regim liber care depinde de valorile iniţiale.

.v(0) şi x p (0) , poate fi mărginită, tinzând la 0 pentru t-»x, caz în care

circuitul este stabil, sau poate fi monoton crescătoare pentru f>0. situaţie

care circuitul devine instabil.

Deoarece condiţiile iniţiale de funcţionare pot fi modelate, dup cum

s-a arătat în § 1 1 .6.4, prin surse de tensiune sau de curent de ti impuls.

5(r) sau Q b { t ) , rezultă că stabilitatea circuitelor liniare se poa analiza

studiind funcţia operaţională de transfer. H( s )=L{r^l)} .

m studiul

Funcţia operaţională de transfer a unui circuit liniar fiind d forma

raportului a două polinoame în s, admite o descompunere în fracţ simple. în

funcţie de natura polilor lui H{s) se pot întâlni următoarele situaţii:

a) H(.s) are poli simpli reali şi negativi:

s—P\ s - p 2 s - p

Funcţia original r, i t) va avea expresia:m

(U.

U3)

deoarecepk<0 . Iimr s( t) = 0. circuitul fiind asimptotic stabil.

b) //(.?) are şi poli multipli, reali şi negativi. Presupunând că polul p <Q are

ordinul de multiplicitate termenii corespunzători din dezvoltarea în

fracţii simple a lui H(s) sunt:

r { \ )r ( 2 )

tenneni le corespund funcţiile original:

/V'

(m,-l)f

acestora pentru /->oo fiind egală cu zero. Circuitul este şi în acest caz

stabil.

poli simpli în perechi complex conjugate cu partea reala necativă. Fie

forma />*=-ct+jco, a-jto, a>0. Termenii din dezvoltarea în fracţii

corespunzători acestora

—, iar funcţia original este Ck c'a t

sin((o/ -f y), ^ + a — jco s + a + jco

"' sin(co/ + y) = 0 Prin urmare circuitul este asimptotic stabil.

are poli multipli în perechi complex conjugate, cu partea reală

Urmărind raţionamentul de la punctele b) şi c) rezultă că în

se vor găsi termeni de forma:

sm(©/+Y f),C^Xe"0 ,1 siniut + y , ) , . . ^ * — ---------------------------e'*' sin(co/ + yWi

când a acestor termeni este nulă, rezultă că circuitul este asimptotic

poli simpli complex conjugaţi pur imaginari de fonna:

f i : T^'TTv cărorafunqia ori.nai

+ T>' Acest tcrnicn "u tinde la o pentru

pentru orice r>0. Circuitul este în acest caz stabil i V"* ^ poli multipli în perechi complex conjug „ * '

J».î =-Jco au ordinul de multipli^.? '" ^

dezvoltarea lui H{s) se vor găsi termenii ' ' alunci in

5 -jco 5 + jco' '(.sw- J ^ ' P - Y R cărora le corespund funcţiile original:

sunt:

C;sin(co/ + YO,...,Cr'"-i^sinL \

Deoarece aceşti termeni cresc nemărginit pentru /->x circuitul est

instabil. s e

Se pot prin urmare formula următoarele concluzii-

- circuitul este stabil dacă polii funcţiei de transfer sunt situaţi in scmiplanul

complex stâng (Re{/?*}<());- circuitul este stabil la limită dacă //(,) are poli simpli situaţi pe

axa imaginară (Re\pk\=0);. circuitul este instabil dacă polii funcţiei H(s) sunt situaţi in semiplanul drept

(Re \pk}>0) sau dacă sunt pur imaginari, dar multipli.

in cazul circuitelor liniare disipative polii funcţiei operaţionale de transfer

îndeplinesc condiţia Re {/?*}<(), aceste circuite fiind întotdeauna stabile în raport cu

condiţiile iniţiale.

11.8 METODA TRANSFORMATEI FOURIER

11.8.1 Transformata Fourier

Ca şi transformata Laplace. transformata Fourier este o

Capitolul 1 1

transformare funcţională care asociază unei funcţii de timp, JTA

/e(~oo,oo), o funcţie de variabilă complexă, F(j<o), definită cu ajutorul

relaţiei:

FQa) = ¥ { / ( ! ) } = J/(/)e j ,u 'd/. (11.144)

-CC

Variabila co reprezintă o pulsaţie, din acest motiv analiza circuitelor cu

ajutorul transformatei Fourier fiind o analiză în domeniul frecvenţelor Funcţia

de variabilă complexă F(jo)) constituie imaginea Fourier a funcţieiyf/).

Pentru ca integrala din relaţia (11.144) să fie convergentă, deci pentai

ca transformata Fourier să existe. J{t) trebuie să îndeplinească următoarele

condiţii [12]:

a) să fie continuă pe porţiuni, să aibă un număr finit sau numărabil

de maxime şi minime şi de discontinuităţi de speţa I;

b) să fie absolut integrabilă, ceea ce înseamnă că

ACj |/(/) |d/ < co (11.145

)

Dacă

lini /(/) = 0 , (11.146)

atunci condiţia (11.145) este îndeplinită.

Dacă funcţia/{ t)=0, pentru t<0, atunci

/ r(jw)= j>;e-jt0'd/ (11.147)

Se poate observa similitudinea între definiţia transformatei Laplace şi

a transformatei Fourier. între aceste transformări existând relaţia:

(11.148)

516

cea

Capitolul 1 1

^(Jco) = F | / ( / )} = L{/(/)}[ . = F ( s )Dacă se cunoaşte funcţia Ftjo)), atunci funcţia original./(/) se

obţine cu ajutorul relaţiei:

(11.149)

2n J

5=J(U

517

518

Circile liniare în regim tranzitoriu

numita

transformata Fourier inversă.

,1.8.2 Transformatele Fourier ale unor funcţii uzuale

a) Transformata Fourier a impulsului Dirac:

„,,50,

b) Transformata Fourier a unei constanteiDeşi funcţia constantă, J[,)=A, ,

6 nu

(,1.146), totuşi transformata sa Fourier se poate calcula, ceea ce arată că

această condiţie este suficientă, dar nu şi necesară pentru ca FMffl să

existe. Astfel, utilizând relaţiile (11.149) şi <11.130> se poate scrie că:'

\ ~5(/) = — fl-e^dco

-00sau. făcând schimbările de variabilă /+-*CD,

\_

I n dar şi

8(-<D) = — fe- j w ,d/ 2 TI J

(11.152)

(11.153)

Deoarece 5((o)=5(-co) rezultă, prin înmulţirea relaţiei precedente cu 2*4, că

transformata Fourier a funcţiei constante este:

00F { A } =

j/ie-

j a"d/ = 27L-l-5(a)). (11154)

-oc

c) Transformata Fourier a unui impuls dreptunghiular de amplitudine A Şi

de durată T:

(11.151)

8(to) = — fe*d/,

519

0 , / < 0 ,«* f { t ) = \ A , t e ( 0 , T ) . 0 .

/ > 0

d) Transformata Fourier a funcţiei treaptă unitate:!(/) = ■ 0 , / < 0

1 \ t > Ţ

în cazul (0*0 se obţine:CP

F{1(/)! = |c J"Hd/ =o

în cazul co=0 transfonnata Fourier a funcţiei treaptă unitate devine infinită şi

se poate scrie în final că [9], [25]:

1, co* 0

F{l(7)}HJco71 • 5(co) , co = 0

e) Transformata Fourier a funcţiei exponenţiale

l

F{e-"'l(/)!= fe- ,"-e' j t l> 'd/ = ^-î—

o J

.e a>0 pentru a sc asigura convergenţa integralei.

0 Transfonnata Fourier a funcţiei e-ia)

°/

F{e j a v}= JeiUUo-<o)d/ = 27t6(to0-to) = 27r5((o-(o0) (11.158)

unde s-a utilizat relaţia (11.152).

g) Transformata Fourier a funcţiei sin co0/

F{sinco0f} =

- j-

ew _e-j«v ~2) 71

e-J°"d/ = - Jo(co

(11.156)

(11.157)

- io0) - 5(« + a>0)

.1 (11.159)

s-a utilizat relaţia (11.158).

h) Transformata Fourier a funcţiei cosco0/

liniare în regim tranziloriu

%eJ°V + e-J«o» r

Ftcoscoo/} = J 2 C'J""d' =( I

, ,60)

11.8.3 Proprietăţile transformatei Fourier

Având în vedere relaţia (11.148) rezultă că transformata Fourier

arc proprietăţi similare transformatei Laplace. a) proprietatea de liniaritate

(11.161)

b) Transformata Fourier a derivatei în raport cu timpul:

• = J<O-F(/"(/)} (11.162)dt

c) Transformata Fourier a integralei funcţiei original

j/(0d/- = ^F{A')}.-co (11.16

3)

d) Transformata Fourier a unei ecuaţii integro-difcrenţiale

a f ( t ) + b^ + c J/(/)d/| = a + ico6 + T- F( j u ) . jco (11.164)

e) Transformata Fourier a produsului de convoluţie

ao

J/!(t)-/2(*H>*

= F.(jW)-r:(jto) (11.16

5)- *

f) Transformata Fourier a unei funcţii având o întârziere t

F(jco) (11.166)

g) Transformata Fourier a funcţiei /(Oe

308 Capitalii/ 1 1

F|/(/)eX7j

= /r(Jw + ^) (11.167)

Aceste proprietăţi arată că. utilizând transformata Fourier, ecuaţiile

intc.ro-difcrcnţialc care descriu funcţionarea în regim tnn/itoriu a unui

circuit cu condiţii inţiale nule devin ecuaţii algebr.ee cu coeficienţi

complecşi, la fel ca în cazul funcţionări, in regim permanent sinusoidal Din

acest motiv metoda de analiză a regimului tranzitoriu bazată pe

transformata Fourier se aplică la fel ca ş. metoda de analiză în complex a

regimului sinusoidal, algoritmii utilizaţi fiind identici.

1 1 .8.4 Utilizarea transformatei Fourier în analiza regimului tranzitoriu

Etapele analizei unui circuit în regim tranzitoriu cu ajutorul

transformatei Fourier sunt:

a) se calculează transformatele Fourier ale semnalelor dc excitaţie;

b) se stabileşte schema echivalentă operaţională a circuitului în care

clementele active sunt reprezentate prin transformatele Fourier ale

semnalelor, iar cele pasive prin impedanţele lor complexe (rczistoruI->#.

bobina->j(oZ., condensatorul-» I/(jcoC), impedanţa mutuală-»j(oA7);

c) utilizând una dintre metodele de analiză în complex (curenţi dc buclă,

tensiuni nodale, etc.) se determină transformata Fourier a semnalului răspuns,

F(j(o);

d) cu ajutorul formulei de inversiune (11.149) se determină funcţia original.

Observaţii

1. Utilizând relaţiile de definiţie ale transformatelor Laplace, respectiv

Fourier se constată că:

co co

M/O! = J/(/)e'Md/ = J/(/)e°'e- jo> 'd/ = F{/(/)e°'}.o o

Factorul e' face ca integrala corespunzătoare transformatei Laplace să fie

convergentă şi în situaţii în care transformata Fourier este divergentă.

nin acest motiv metoda transformatei Fourier se utiliza

http://algebr.ee/

restrânsă decât metoda transformatei L,n ° dasi

principal al metodei transformatei ZTîn complex similar celui folosi, in anali'/ in

sinusoidal; deosebirea principală faţa dcrCg,mulu i

revenirea de la funcţia imagine la Zfc 2*, * y in principiu,

transformatei Fourier s-ar nu. ! n,ru analiza circuitelor cu condiţii

«£2? f ê3labil nuxurilc iniţiale ale bobinelor si tensiunile

generatoare de tip treaptă sau impuls Dirac dM cum s-a

utilizând apoi teorema superpoziţici P 4. Determinarea

ajutorai formulei de inversiune (11.149) necesită calculul

funcţii complexe dc variabila complexă, de forma: \F(z)dz, unde

F(z) este de forma:

{ ) ~ g ® l&mY (1 U 6 8 )

F(z) admite o dezvoltare în serie Laurcnt dc forma:

F(z)

=

7------------rr7T = 4> +

/

M--a)+

-1J

-+"-- di.169)( z - a ) h { z ) z - a

numit reziduu relativ la punctul a, se obţine înmulţind expresia

trecând la limită pentru z->a:

iC, mliSl. (11.170)

reziduurilor. [1]. dacă ok sunt poli simpli ai lui F(:). atunci

fF(r)d.- = 2,j X 4, 0U7D

conturul de integrare V este un contur arbitrar care înconjoară polii lui F(z). în

particular, dacă polii sunt situaţi pe axa imaginara, conturul T este format din segmente

de dreaptă, reunite cu semicercuri de rază e->0 ce înconjoară polii, şi respectiv cu

semicercul de rază (Fig.l 1.44).

( upitolul 1 1

— 1>(0

1J

\

i1 0

/ 1 / 1 1)

♦< J

Fig. 11.44

ExmlluL__JJM Circuitul din

F - 1 1 4 5M se conectează la momentul t=0 la• \an u(t) reprezentată grafic fntensiunea >u'/ f . .

/ • , H 4 5 b Să se determine mărimile iL(t), utilizând metoda transformatei Fourier. Transfonnata Fourier a tensiuni, surse, este:

toagmilc semnalelor /,(/) şi "ci') sunt:

0 -j (o7"

jeo(*i+J<^) w 8ijco + — jcoL jco +

1 ô(l-e'JU,r

jcoC .jcoC,

ju)CR2

(i

Utilizând teorema reziduurilor (11.171) se obţine:

-î U- Z. 27rJj4jco + ^) *

1-e t

1 = 0

M l )

(a) Fig. 11.45

jco

5 2 5

s

MJ°>) = !

U c()(o) = -:

(b l

( ircuite l iniare in regim tranzitoriu. A ..pel la relaţia (11.166) rezulta :

1-e L• 10-7").in final curentul

are

erpresia: „1-e

A,L 1-e

Ut-7).

■ od asemănător se obţine tensiunea uc

X^ f i \ ( ±*

526

,-\

J

i tci t) de

forma: \

U - T ) .

( ircuite l iniare in regim tranzitoriu\ { t ) + U 0 1 - e *

u c

527

ELEMENTE DE TEORIA

CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Elemente dc tebrtă tXntpulul il*ctromttgm

STOLUL a

Pe lângă sistemele electroma

anterioare, caracterizate de variabile .u8"01'" s,udiî>te în Pf, ■

„urnite pe scurt circuite cu para,£ t coV'3" * dCpi"d «lifcS?ogamă largă de dispozitive ale că o Sff * Scoordonatele şpaNe> prin unnar 1'' Ci ««;mra.Siudm nguro, a.

acestor ««cmcU?? ! dC dimini

precum şi legile câmpului elc ^ P ^ mărimi fizice macroscop.că clasică a

clearomaîm I, , T ^ C,C di" 2 («861-1879) şi H. Hertz

(1857- ^ * J.C.

sistemelor macroscopice, permiţând fonnulal 5 ' la **« mani

majontăţi a sistemelor întâlnite în electo h '"' de studiu *

12.1 REGIMURILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Regimul câmpului electromagnetic se stabileşte după modul de

variaţie în timp a mărimilor electrice şi magnetice. Astfel:

• regimul staţionar este regimul în care mărimile electromagnetice

sunt invariabile în timp, ele depinzând numai de coordonatele spaţiale;

• regimul cvasistaţionar este regimul în care mărimile

electromagnetice sunt variabile în timp, dar se poate neglija, fie variaţia

în timp a câmpului magnetic, fie a celui electric;

• regimul nestaţionar este regimul în care nu se poate neglija nici varia-

ţia în timp a câmpului electric, nici a celui magnetic. Acest regim este

caracterizat de apariţia fenomenului de propagare prin intermediul

undelor electromagnetice.

Câmpul electric, una din cele două componente

clectromaenetic. este produs de corpurile încărcate CU saremă electrica,

dc dieleetncii Polariza ţi permanent - care reprezintă analogul electric al ma-

neplor permanenţi, precum si de varia,ia în timp a fluxuu, magnetic. S uiumă sursă de câmp electric este pusă ,n evidenta de fenomenul de

inducţie electromagnetica, fenomen cc urmează a fi prezentat ulterior.

La nivel local. într-un punct P. câmpul electric este caracterizat de

mărimea fizică vectorială de stare numită intensitatea câmpului electric, E

Principalul efect al prezenţei tâmpului electric îl constituie exercitarea unei forţe

de tip electric, F asupra corpurilorjncărcate cu sarcină electrică. Astfel. în

principiu, prin măsurarea forţe. F, exercitată asupra sarcinii electrice

punctiforme q, se poate determina E cu ajutoml relaţiei:

(12.1)

Considerând punctul P caracterizat de coordonatele x, \\ z în sistemul

de coordonate carteziene (Fig.l2.1), sau 9, z - în sistemul de coordonate

cilindrice (Fig. 12.2), respectiv r, 0, cp - în sistemul de coordonate sferice

(Fig. 12.3), E va fi funcţie de punct şi de timp. ceea ce se exprimă sub fonna

E ( P j ) . (Tabelul 1).

ale câmpului

SistemulCartezianCilindric SfericCoordonate X, y. z r.O.r r, 0, (pVersorii axelor Uj .ke

r,eQ.ke

r .eo.^p

Tabelul I

~ ~ ~ i P ( x o - vo- -o)

7 ! Jb.

Elemente de n-oria câmpului eleetromagnetic

Cwbck având proprietatea de a fi ,'T'3, 3 ;eCtorului 2 se numesc ^ °ricc puncl 'a

Totai.ra.ea l.m.lor de câmp corespunzătoare unu C*mP ^lecthcformează spectrul acelui câmp. Unui s,stem electromagnetic

Unitatea de măsură pentru £ Pcf

in prezenta unut câmp electri ^

U, între două puncte din câmp. A şi fi ,F, S= j£-d/.

Simbolul • reprezintă produsul scalar dintre vectorii E şi dl având

expresia:

E d l = £d/cosa unde E = |^| şi d/ = d/ reprezintă

modulul celor doi

vectori. Unitatea dc măsură a tensiunii electrice este voltul (V). în relaţia

de definiţie (12.2) C reprezintă curba pe care se efectuează integrala intre

punctele A şi B. La frecvenţe foarte înalte de oscilaţie a mărimilor

electrice şi magnetice rezultatul acestei integrale depinde de alegerea

curbei de integrare C (după cum sc va vedea ulterior), fapt ce impune

anumite restricţii în măsurarea tensiunilor la frecvenţe inalte.

Dacă integrala din relaţia (12.2) se calculează în lungul unui contur

închis, f, se obţine tensiunea electromotoare în lungul acelui

(12.2)

532

F.g.12.4

http://Totai.ra.ea/

Elemente de n-oria câmpului eleetromagnetic

contur, definita dc relaţia :

O altă modalitate de caracterizare a unui câmp electric esie

bazata pc cunoaşterea mărimii sclarc numită potenţial electric, V jn regim

staţionar şi cvasistaţionar electric (în care se poate neglija variaţia în

timp a câmpului magnetic) legătura între E şi Teste :

£ = -gradK. (124)

în relaţia (12.4) s-a notat cu grad operatorul gradient. Expresia acestuia Fn sistemul de coordonate carteziene este:d r s . ~ - dV-. d V - c V j

(v dy dz iar în sistemul de

coordonate cilindrice :. . . d V - \ d V - 8 V T gradJ = — — *e+—k . dr r cQ dz

Tensiunea electrică poate fi exprimată în funcţie de potenţialul

electric. Astfel, dacă se exprimă vectorii E şi dl în coordonate carteziene

E = E x i + E l J + E :k = - — i - — j - — k . d/ = dx/ + dv./ + ctA-cx dy dz 'J '

atunci:B

A A

A

încât

« A B =^(A ) - , / (B ) (12.5)

ceea ce arată că în regim staţionar şi cvasistaţionar electric tensiunea dintre

două puncte este egală cu diferenţa potenţialelor lor electrice. Restricţia

anterioară referitoare la domeniul dc valabilitate al relaţiei (12.5) se va

justifica după discutarea legii inducţiei electromagnetice.

Dacă se alege în mod convenţional un punct P0 ca punct de

referinţă pentru măsurarea potenţialului, atunci, utilizând relaţiile (12.2)

şi (12.5), rezultă că potenţialul unui punct arbitrar P, poate fi exprimat cu

dV . dV+ — dy +--------dz

dy dz

533

Elemente de teoria eâmpuiui electromagnetic 3, -

Il0n.l

. Ioarca K(Po)=ô=constant se numeşte potenţial dc referinţă, alegereastei valori, precum şi a poziţie, punctului de referinţă, P0 rund

titrară- Din relaţia (12.6) se observă că prin creşterea sau scăderealorii potenţialului de referinţă potenţialul tuturor punctelor creşte sauleade cu aceeaşi valoare. Din acest motiv se spune că potenţialul electric

i determinat până la o constantă aditivă, arbitrară, K(P0). Sc constată\ modificarea valorii potenţialului de referinţă nu modifică valoareaC «rtrii câmpului electric deoarece grad r0=0.,ntensitJJ" r , ....

Caracterizarea câmpului electric cu ajutorul potenţialului prezintă

o importanţă practică deosebită deoarece potenţialele pot fi uşor măsurate °u

ajutorul voltmctrului. în timp ce măsurarea directă a intensităţii câmpului

electric este mai dificil de realizat.

Alte mărimi ce caracterizează câmpul electric, cum ar fi larizaţia ~P Ş>

fluxul electric 4\ intensitatea curentului electric, i şi densitatea de curent 7,

sunt definite în paragraful următor, ele fiind lesate şi de comportarea materialelor

în câmp electric.

Câmpul electric în substanţă

în funcţie de comportarea substanţelor la introducerea în câmp electric,

acestea se clasifică în conductori şi diclectrici (izolatori). între aceste două

grupe există o categorie intermediară, cea a

semiconductorilor.

La introducerea unui conductor într-un câmp electric purtători! liberi

de sarcină electrică, electronii, se pun în mişcare sub acţiunea forţelor de

tip electric( qE ) determinând fie apariţia unui curent electric, in cazul in

care conductorul face parte dintr-un circuit închis (Fig.l2.5.a). fie separarea

sarcinilor pozitive şi negative pe suprafaţa conductorului, in cazul în care

acesta este izolat (Fig. 12.5.b).

Elemente de teoria eâmpuiui electromagnetic 3, -

în cazul în care conductorul este parcurs de curent se spune ca el se

află in stare electrocinetică, stare caracterizată la nivel macroscop.c de

Capitolul 12

'CM /

izolator

^contluctor

izolator 'CM

F i p . i :.5

mărimea numita intensitatea curentului dc

definit ca fiind egal cu sarcina electrică

secţiunea transversală a conductorului în

dg

d7' • < • \ , 02.7)

La nivel microscopic (într-un

caracterizează cu ajutorul mărimii vectoriale

de conducţic, J . Aceasta reprezintă curentul

suprafaţă aşezată perpendicular pe direcţia

AA-»0 AA

In relaţia precedentă Ai reprezintă curentul

suprafaţa dc arie AA. Curentul total din conductor

densităţii de curent pe secţiunea conductorului:

s

in relaţia (12.9) // reprezintă versorul

Unitatea de măsură pentru 7 este amper pe metru

In cazul conductorului din Fig.l2.5.b

suprafaţa acestuia având o densitate superficială

unitatea de suprafaţă:

t =

J 1 S

a)

Capitolul 12p,= Hm (12.10)

5 AA-OAA

Sarcina totală a conductorului este egală cu integrala densităţii de

* „«. suprafaţa acestuia. S (Fig. 12.6):

^ inăP f f *iJ/ \ (12.11)

J 1 S

Elemente de teoria eâmpuiui electromagnetic ?, 9

j„ cazul conductoarelor filiforme, cu secţiune transversala

neglijabilă, sarcina cleetncă se repartizează pc lungimea conductorului gvând

0 dens.tate l.ne.că de sarc.nă p,, egală cu sarcina pe unitatea de* lungime:p'/= lirn-^r m m

A / - . 0 A / (12.12)

Sarcina totală a conductorului este. în acest caz, egală cu integrala in lungul

conturului conductorului, C, a densităţii de sarcină p, (Fig. 116).<7=jp,d/. Q2.13J

C

Unitatea dc măsură pentru p5 este coulomb pc metru pătrat (C/m2), iar

pentru p/ este coulomb pe metru (C/m).

în cazul izolatorilor şi al semiconductorilor sarcina electrică poate

fi repartizată şi în volumul acestora. Se defineşte în acest caz densitatea

volumetrică a sarcinii electrice, pv, egală cu sarcina în unitatea de volum:

p v = Hm (12.14)Av-»0 Av

sarcina totală a corpului fiind egală cu integrala densităţii pv pe volumul

val corpului:

dv. (12.15)

Considerând acum cazul unui

corp dieleetric plasat într-un câmp electric exterior, absenţa purtătorilor

liberi de sarcină electrică nu permiteI i electric Leaâturilc puternice dintre atomii

circulaţia curentu substanţe permit doar o uşoara deformare şjmoleculelor aces ^ e ^ ^

»o rotire a mole uUor. ^ ^

^

■ in-

FiR.12.6

Elemente de teoria eâmpuiui electromagnetic ?, 9

ticter,^ bmve. «oca. (într-un punct) de mărimea vectorială numuă 7 ,> P Polarizaţia are în general o componentă temporară, P„

ses-ees* c,cctric

ap,icat

in

cxteri

°r

-*, , „ f t t nre7cnta şi o polarizare permanentă, P P , care persistă^ÎSTîS *

T

;'x,r

Conduc,oare,c nu

*

ajutorul mărimii vectoriale de stare nuntiţi inducţie elecmca, D , definităcu ajutorul relaţiei: _ _

J D = z 0E + P (12.16)

unde eo=l/(4rc-9-l09) F/m reprezintă penmuvitatea _vidului. Relaţia (12 16)

constituie legea iegătuni între vectori. D , E ^ P .

Prezenţa câmpului electric determina apariţia unu. flux eleetnc, y. definit prin relaţia (Fig. 12.7):

Fiti.12.7

In relaţia (12.17) Sr reprezintă o

suprafaţă deschisă ce se sprijină pe

conturul închis V , iar // este versorul

normalei la suprafaţa Sr ; sensullui n se corelează cu sensul de parcurs al lui Y după regula burghiului drept.

Unitatea dc măsură pentru mărimile D şi P este C/m2.

Vsr- f P ' n d A . (12.17)

12

3 LEGILE DE STARjş îp . rfnV«Jui

electromagnetic, ea exDrinS Una

*ntre i ■

Legea fluxului electric are atât b

experimentale, fiind valabilă în orice rei>im al cJhfl ,eorctice

Relaţia (12.18) justifică. între altele, feptul ca l ?inducţia electrică este C/m2. un, tatca & măsurăUtilizând transformarea Gauss-Ostrogradskiscriecă # ^ = €divDdv,precumşirlţia , d^ »*■ să sc1 * 1 u- ,5)> este posibil

se obţină o formă locală (referitoare la un ounrt Hin - ,

eleerne. şi anume : PUnCl d ,n ca™P) a legii

2. Icgor potofaţl electrice temporare exprimă

polarizaţtei temporare, P „ de intensitatea câmpului Zndielectncilor liman ş. izotropi_această lege are forma ■

unde reprezintă o constantă de materni • susceptivitate electrică. ad.mens.onală,

înlocuind relaţia (12.20) în (12J6) se_obţine D =

unde e, = , + Xr este permitivitatea relativă, iar ^ absoluta. Deoarece

că E>eo

I.

123- £«« m*^ electrice exprimă dependenţa dintre densitatea™2 ^^^êa câmpului electric . în medii liniare şi izotrope această

dependenţă este de forma :

322 ( a pi toiul 12

reprezintă conductivitatea mediului considerat. Unitatea ^ măsură

siemens pc metru (S/m). Mărimea p=l/a reprc ■ d° rczistivitatea

având unitatea dc măsură ohm-mctni(Q-m *,IMa

Clasificarea materialelor în conductori, izolatori

semiconductor* are drept criteriu valoarea constantei a. Astfel: ?l

metale (conductoare dc speţa I) a=I06-H08 S/m ;

clectroliţi (conductoare de speţa a N-a) o=I0 :S/m;

semiconductor! 0=10 +10 S/m

diclcctrici er= I O' +10 S/m.

metale, cum ar fi plumbul, prezintă fenomenul d

supraconductibilitatc. care constă în anularea reziştivităţii atunci când

scade sub o valoare critică, T<TC.

Legea transformării energiei in conductoarele parcurse de curent (legea

exprimă faptul că un conductor omogen căruia i aplică o

este parcurs de un curent i (Fig. 12.8) absoarbe pefo borne o

/> = '"/ 02.23)transformă în căldură, determinând încălzirea conductoruluiprecedentă constituie forma globală sau integrală a lesij J0u|e Lenz.

locală a acestei legi exprimă

energie ce se transformă, în

timp, din energie

în alte forme de energie, / f

termică. Astfel.observând că

relaţiile : Fig. 12.8

» = J E - d l ; i = j O - n d Ad) s

şi că puterea totală, /> este integrala densităţii de putere, pV9 calculată pe

volumul sistemului electromagnetic, P = jjjpy dv. rezultă că

p = l / . i = ' j £ c l / - jp»d-l= jjp-Edv,

• Ut scama dc fapml că clementul dc volum sc poate exprima unJc **

A dl • » d-'1 • Rc/uuă- prin 'dcnlif»carca intcgranzilor. că

«t»'01

""" " „ - 7 7P * = J - E (12.24)

jc ^ constituie forma locală a legii transformării energici în poarele parcurse de curent.

, MĂRIMI MAGNETICE

Câmpul magnetic este produs de conductoarele parcurse de .nt de corpurile

magnetizate permanent (magneţii permanenţi) ^cum ş' dc variaţia în timp a fluxului

electric. Ultima dintre aceste trei ^-e dc câmp magnetic este pusă în evidenţă de

legea circuitului 5UrS *ii> lcoe ce urmează a fi prezentată ulterior.

Câmpul magnetic, cea de a doua componentă a câmpului lectromaenetic,

este caracterizat prin mărimea fizică vectorială de stare numită inducţie

magnetică. B. Principalul efect al prezenţei câmpului macnetic îl constituie

exercitarea de forţe asupra sarcinilor aflate în mişcare (forţa Lorentz F =

q \ ' t B ) , asupra conductoarelor parcurse de curent (forţa Laplace F = i l * B ) , şi

respectiv asupra magneţilor

permanenţi. _Unitatea dc măsură pentru B se numeşte Tesla (T).O altă mărime fizică vectorială ce caracterizează câmpul

macnetic este intensitatea câmpului magnetic, H având unitatea de măsură

amper pc metru (A /m), in vid legătura dintre intensitatea câmpului magnetic

şi inducţia magnetică este exprimată de relaţia :

~B = \ i 0 H (12.25)

po=47fl0"7 H/m reprezintă permeabilitatea magnetică a vidului

ca valoare de cea a acrului).Dacă asupra unui corp, ce nu se află în stare electrocinctică. se

cupluri dc forte la introducerea aceshua într-un canip poetic exterior,

corp este magnetizat. In natură exis,, S magnetizate permanent

ce să fi fost exPuSc nVun câmp'magnetic produs prin

De asemenea, 0 "rie de metale (fierul, nichelul şi cobaltul),

ale aceS,0ra) noi ti magnetizate permanent pnntr-o expunere în câmp

ele producând câmp magnetic după suprimarea câmpului

. . . . 'Starea de magnetizare se caracterizeazăJa nivel local cu ajutorul

numită magnetizajie. M . Ca_şi polarizajia, macnetizatia are in

componentă temporară A/,, care dispare după încetarea acţiunii

magnetizant, şi o componentă permanentă. J f f , care persistă şi după

a produs maenctizarea.

corpurile magnetizate reprezintă o sursă de câmp magnetic

producerea inducţiei magnetice), între mărimile B . M ş i H

dejegătură^B = n0(M + H ) (12.26)

reprezintă legea legăturii între vectorii B , M şi H .

global, prezenţa câmpului magnetic determină apariţia unui

printr-o suprafaţă deschisă Sr, mărginită de conturul T, (Fig. 12.9),

relaţiei:

=

jp- n t e - (

1 2-

2 7)

de măsură pentru fluxul magnetic se

(Wb), iar cea pentru magnctizaţie este

(A/m).

STARE ALE CÂMPULUI MAGNETIC

1. Legea fluxului magnetic, una dintre legile generale ale câmpului

546

Elemente de teoria câmpuiui electroni

< 7r i m a f a |"U l C 5™S™<< Primr.„ suprafa |ă

1 . « v este nul .închisă. — dtf-pi-

° £ =f^='°- (12.28)

Această lege poate fi demonstrată teoretic şi sc verifică .„mental în

orice regim al câmpului electromagnetic. tXpC Se poate stabili o formă locală a

legii fluxului magnetic j-ervândca $ B n d A = JJJdivfldv = 0 ceea ce conduce

la :

div5 = 0 ..., . . . , (12.29)

Se observa similitudinea formelor globală şi locală ale legii

|luxului electric, respectiv magnetic, cu deosebirea că, neexistând sarcini

-genetice, membrul drept in legea fluxului magnetic este nul. 2 Legea

magnetizaţiei temporare exprimă dependenţa dintre oagnetizaţia temporară şi

intensitatea câmpului magnetic. Pentru materiale liniare şi izotrope această

dependenţă este de forma :M l = X m H ( 1 2 3 0 )

unde Xm este 0 constantă de material adimensională numită susceptibilitate magnetică.

în cazul materialelor fără magnetizaţie permanentă ( Ă 7P= 0 ) Înlocuind

(1 2 . 3 0 ) în (1 2 . 2 6 ) se obţine :

£ = Mo(xm + l ) / 7 .

( 1 2 .31)

Constanta adimensională

Hr=l+Xm Jfcfc fcfab , ( 1 2 . 3 2 ) reprezintă permeabilitatea magnetică relativă, iar

H=U o - J J * ( 1 2 . 3 3 )permeabilitatea magnetică absolută. Se obţine astfel ecuaţia de material

B = y i H . . . . J : . (12.34)

valabilă în cazul materialelor liniare şi izotrope.

Materialele pentru care constanta jfo< 0 (u r<l, dar u^l) se numesc

diamagnetice, iar cele pentru care x , „ > 0 (u,>l, dar ţ v=l) se numesc

547

paramagnetice. Practic, în calcule, se consideră atât pentru materialele

diamagnetice cât şi pentru cele paramagnetice u r=l, acestea

Fig. 12.10

constituind categoria substanţelor

neferomagnetice.Materialele feromagnetice se

deosebesc de restul materialelor prin valorile

deosebit de mari ale permeabilităţii

relative (p r= 10"-10*). In plus. acestea au o

caracteristică neJiniară B(H) şi prezintă

fenomenul de histerezis (Fig. 12.10). Dacă un

corp din material feromagnetic este expus într-

un câmp magnetic alternativ se constată că acesta sc încălzeşte

deoarece o pane din energia câmpului electromagnetic se transformă în

energie termică Deoarece, de regulă, acest fenomen este nedorit, se spune că

materialei feromagnetice prezintă pierderi de putere prin histerezis magnetic.

O clasă specială de materiale feromagnetice sunt feritele. Acestea au o

reziştivitate care ie plasează în domeniul semiconductorilor şi un ciclu de

histerezis îngust, ceea ce determină pierderi prin conducţie şj prin histerezis

magnetic reduse.

12.6 LEGILE DE EVOLUŢIE

ELECTROMAGNETIC

CÂMPULUI

fi

In afară de legile de stare prezentate anterior. în care intervin fie numai mărimi

electrice, fie numai mărimi magnetice, în teoria macroscopică clasică a

electromagnetismului mai există trei legi în ale căror expresii intervin mărimi

electrice şi magnetice, precum şi derivate ale acestora în raport cu timpul, ele

numindu-se legi de evoluţie. 1. Legea conservării sarcinii electrice exprimă

faptul că intensitatea curenruJui electric ce iese dintr-o suprafaţă închisă I este

egal cu viteza de scădere în timp a sarcinii electrice q din interiorul suprafeţei

(Fig.12.11):

Elemente dc teoria câmpuiui electromagnetic

jn cazul în care se poate vorbi de o repartiţie volumetrică a i

t.|ectricc. iar corpurile încărcate sunt imobile în raport cu I,

arunci

utilizând relaţia (12.9) dc legătură dintre / n pluS. u u "

j precum şi transfonnarca Gauss-Ostrogradski,

«obţine ------ _/ = 4j/-"d.4= jjjdivJdv,s

jjtfel încât, comparând integranzii, rezultădiv7 = ~1r (12.36)

Relaţia precedentă reprezintă fonna locală a legii conservării arcinii

electrice în domenii dc continuitate ale vectorului 1 . 7 Legea circuitului

magnetic

1) Legea circuitului magnetic în regim staţionar. Teorema lui impere

Această lege stabileşte expresia integralei vectonilui 77 în lumzul

unei curbe închise V (Fig.12.12), integrală ce poartă numele de tensiune

magnetomotoare. In regim staţionar aceasta are expresia:

J H - d l = £/4 + Jp-ncU, (12.37)

r *csr 5r

fiind deci egală cu suma algebrică a tuturor

curenţilor de conducţie care traversează

suprafaţa Sr ce se sprijină pe conturul T.

Notaţia k e S, semnifică un conductor filifonn

k ce traversează Sp. Convenţia privitoare la

semn stabileşte că dacă sensul lui ik se

corelează cu sensul de parcurs al conturului T Fijţ.12.12

după regula burghiului drept, atunci ik se ia cu

semnul plus în sumă. în caz contrar el fiind luat cu semnul minus. Cel de al

doilea termen din membrul drept al relaţiei (12.37) reprezintă curentul

inP'u

FiR.12.11

549

z parcurge un conductor masiv de arie a secţiunii transversale ncnulâ "

care densitatea de curent este J.Teorema lui Ampere poate fi demonstrată teoretic [11], 120] j

verifică experimental pentru cazul regimului staţionar (curenţi const- ^ şi

conductoare imobile). Fără a prezenta aici o demonstraţie a acest»

teoreme, care ar depăşi cadrul acestei expuneri generale, se poate tot '

verifica valabilitatea ci pentru cazul simplu prezentat în FjgJ213

Se consideră un conductor filiform drept foarte lung, parcurs de

curentul /. Liniile de câmp magnetic sunt în acest caz cercuri de rază având

centrul situat pe conductor, iar H are expresia :

(12.38)

Fi*». 12.13

e alege conturul T o linie de câmp magnetic. Elementul dl , tangent la

conturul de integrare, se exprima vectorial sub forma dl = d/eo. Se obţine astfel:

d77-d7 = <f— dl = — cfd/ = — • 2nr = i.} J l n r 2 n r j 2nr

Deoarece singurul curent care traversează suprafaţa Sr este curentul /, al cărui

sens se corelează cu sensul de parcurs a) conturului T după regula burghiului

drept, teorema lui Ampere este verificată, b) Legea circuitului magnetic in regim

nestaţionar

In regim variabil expresia (12.37) nu mai este valabilă membrul drept

trebuind să conţină termeni suplimentari. Pentru a ilustra acest fapt

t consideră un condensator alimentat cu un

^ vanab.1 i(t) (Fig.12.14) şi se alege un . ^

^wr închis T care înconjoară conductorul de - --illl>-'êntare. Se pot alege două suprafeţe închise

jTl/puncte care se sprijină pe conturul r, S r ' 3r r '

„versată dc conductorul parcurs dc curentul i

f.,Sr-trasată prin diclcctricul condensatorului Fi«.I2 l4

.,Jeci neparcursă de curent. Evident, dacă se scrie r,.

r f„două suprafeţe S r, respectiv Sr" în membru 1 ( l 2 3 7 ) ™ru

k respectiv 0 pentru Sr . Totuşi, făcând apel |a L„ J* °bţ inc PCn*]

(J /egea conservării sarcinii electrice se poat e,ectrjc şi

r SUPrafa

'

a

1

^ *

CU

— "-. e-ccLe

^r"' r l "H 5p şj

dar ^ =0 deoarece câmpul electric este r«tC C°nCentrai «ntre armăturile

cocorului, încât ^ . ^ s q . _ ^ ^

*sepo

ate

Astfel, pentru Sr' - " * * ^

/+ir = / ' ' 'arPenrruS r"Seob rineO + l - ,

«fcpendcm dc modul de aW,r d/ '' ie** rezu,ta<Prin urmare legea a,SUprafeîei Sr.

terme

nul

dV

gresia: C,rcu»"'u' magnetic fa reeim

regim nestafionar are

r i J

Rda! ia^)-stituie forma giobală a acestei legi

I entru cazu, SISteme,or eIect romagnct ice ^

variaţia

d¥ _d

Dacă suprafaţa Sr este intersectată de conductoare parcurse de un

curent având densitatea J atunci:

cJH- d / = \p- n d A + \\^--nc\A. (12.40)

Folosind transformarea Stokes J H - d l = JJrottf • n d A şi identificânds,

integrantii din cei doi membri ai relaţiei (12.40) se obţine:77 7 SD ro\H = y +

ci (12.41)

Relaţia precedentă reprezintă forma locală a legii circuitului magnetic.

Legea circuitului magnetic în forma (12.41) pune în evidenţă faptul că

un câmp electric variabil în timp constituie o sursă de câmp magnetic.

3. Legea inducţiei electromagnetice

Această lege a fost stabilită experimental dc Michael Faraday (1791-

1867) care a pus în evidenţă apariţia unor tensiuni electromotoare induse în

conductoare ce mărginesc suprafeţe străbătute de un flux magnetic variabil în

timp (Fig. 12.15). Variaţia fluxului magnetic se poate obţine fie datorită

dependenţei de timp a unui curent, conductoarele fiind imobile, situaţie în care

se obţine o tensiune electromotoare indusă statică, fie prin

deplasarea conductorului în raport cu sursa de câmp

magnetic, rezultând o tensiune electromotoare indusă

dinamică.

Legea inducţiei electromagnetice exprimă

faptul că tensiunea electromotoare indusă într-un

contur r este egală cu viteza de scădere în timp a

A. JJ ^ Q(

situaţie în care variaţia în timp a fluxului electric este produsă numai dea inducţiei electrice. In acest caz

timpm

fluxului magnetic prin orice suprafaţă deschisă ce

se sprijină pe curba închisă T. Fig. 12.15

e de teoria câmpului electromag331

Forma globală a acestei legi arc expresia:def-----------U<1>,

cr =«{E-d/ =-------5L .(12.42)

Semnul minus din relaţia (12.42) apare datorita unui efect de mcrţ.e

ce însoţeşte fenomenul de inducţie electromagnetică Acesta constă în laptul că.

in cazul în care conductorul dc contur r formează un circuit închis, în el ia

naştere un curent indus (ca urmare a apariţiei tensiuni, electromotoare er) ce

produce un câmp magnetic propriu care se opune variaţiei f luxului

magnetic inductoric.

Fonna locală a legii inducţiei electromagnetice se stabileşte ţ inând scama de expresia derivatei fluxului magnetic <D5|, pentru cazul

general în care conturul F este în mişcare cu viteza v [11], [20]:

■

f

(5 •/!&* = [fl-dt

Făcând apel la relaţia (12.29) şi la transformarea Stokes care

pennitesăse scrie că J£ d / = JJrot£»d-l relaţia (12.42) devine :r s,

\\rot£ • nd/1 = -JJ -ndA- [Jrot(flx v)-n6A.

s, s, dl s,

Identificând integranzii în cei doi membri se obţine:

rotE = -£^_rot(flxv) (12.43)el

sau, pentru medii imobile, ( v = 0 ) :

rot/: = ——-. dt

Relaţii le (12.43). (12.44) reprezintă

formele locale ale legii inducţiei electromagnetice.

- = JF5.,,cL4=JJLŞ +

v.divB + rot(Bxv)

(12.44)

—*-o

( 1 ) l i■

"L L•

J

1

or

Aplicaţii le în electrotehnică ale

fenomenului de inducţie electromagnetică

sunt numeroase, cele mai cunoscute fiind ^

Capitolul 12y 5 *»

332

transformatorul (Fiu. 12.16) şi generatorul

de curent alternativ (Fig. 12.17).

In cazul transformatorului variaţia în timp a curentului din primar. i i ( r ) .

determina un câmp magnetic variabil şi deci un flux magnetic variabil, care străbate

spirele înfăşurării secundare. Astfel la bornele secundarului (2-2') apare o

tensiune electromotoare indusă (componenta statică).

Generatorul dc curent alternativ constă.

în principiu, dintr-o bobină cu N spire de arie A

care sc roteşte cu viteza unghiulară io într-un câmp

magnetic omogen, de inducţie B. produs de o

sursă exterioară. Unghiul dintre versorul

normalei la suprafaţa spirelor, w, şi direcţia liniilor

de câmp magnetic este variabil în timp, având expresia a = co/ + <p.

La bornele generatorului apare o tensiune electromotoare indusă

(componenta dinamică) de forma• " M dO '* ^

<?(/) = -unde

ci> = N JjT? • /;d l = N jJB- dAcosa = NBAcosfwf + cp),

astfel încât

e ( t ) = (t i tfBÂ sin(co/ + <p) = Em sin(co/ + <p). (12.45)

în conductoarele masive situate într-un câmp magnetic exterior, variabil

în timp, apar tensiuni electromotoare induse care determină circulaţia unor

curenţi induşi, numiţi curenţi turbionari. Acest fenomen este utilizat în

electrotermic ca procedeu de încălzire a conductoarelor în câmp magnetic de

înaltă frecvenţă (zeci de kHz). în afara acestei aplicaţii fenomenul de circulaţie a

curenţilor turbionari trebuie limitat, deoarece produce pierderi de putere nedorite.

Spre exemplu, miezul feromagnetic al unui transformator este divizat in tole,

izolate între ele, pentru a diminua circulaţia curenţilor turbionari.

12.7 ECUAŢIILE LUI MAXWELL

După cum se cunoaşte din analiza vectoriala, un câmp de vectori este

determinat mtr-un domeniu spaţial Vj dacă se cunosc divergenta "i rotorul său în

dt

Fip.12.17

Capitolul 12

orice punct al domeniului. în cazul câmpului electromagnetic, caracterizat dc

mărimile vectoriale de stare £.73 fi si 77 rotorul si divergenţa sunt furnizate

dc formele locale ale leeilor de stare şi de evoluţie. Particularizate pentru cazul

mediilor liniare şi imobile ncpolarizate şi nemagnetizate permanent acestea

formează un sistem de 7 ecuaţii vectoriale numite ecuaţiile lui Maxwell:

1. legea circuitului magnetic

— - d~D" ă T; ( 1 2-4 6 )

2. legea inducţiei electromagnetice

rot£ = -— ; (12.47)ot

3. legea fluxului electric

divD = p v ; (12.48)

4. legea fluxului magneticdivfl = 0 ; (12.49)

5. legea leeăturii dintre D şi ED = E£ ; (12.50)

Elemente de teoria câmpului electromagne6. legea legăturii dintre B şi I I

B = p/7 ; (12.51)

7. legea conducţiei electriceJ = o£. (12.52)

Utilizând relaţiile (12.46) ... (12.52) se pot stabili ecuaţii vectoriale cu

derivate parţiale, atât după coordonatele spaţiale cât şi în funcţie de timp, ale

căror soluţii indică propagarea câmpului, sub formă de unde electromagnetice,

având o viteză v, ce depinde de parametrii e şi U ai mediului.

,2.8 METODE DE CALCUL A CÂMPULUI ELECTRIC Ş] MAGNETIC

Există două categorii dc mc.ode de calcul a mărimilor electrice şi

magnetice : metode exacte si metode aproximativer (sau_numcr.ee ).

" Dintre metodele exacte amintim metoda directă (bazată pc utilizarea legilor

câmpului electromagnetic), metoda imaginilor electrice, metoda separării

variabilelor (ca metodă de soluţionare a ecuaţiilor cu derivate parţiale satisfăcute de

unele mărimi clcctr.ee sau magnetice), metoda funcţiilor Green [II]. [20].

Principalele metode numerice de analiză a câmpului electromagnetic

sunt: metoda diferenţelor finite, metoda clementelor finite şi metoda

elementelor de frontieră [11]. [20].

întrucât în acest capitol s-au prezentat legile generale ale câmpului

electromagnetic, în continuare se prezintă câteva exemple de calcul a

intensităţii câmpului electric, respectiv magnetic, bazate pe utilizarea acestor legi.

Metode directe

1. Calculul intensităţii câmpului electric produs de repartiţii cunoscute de sarcină

electrică

a) Sarcina punctiformă q situată intr-un mediu dielectric omogen şi

liniar de permitivitate E produce un câmp ^ j-

electric cu orientare radială şi care depinde \-' Njjr

numai de distanţa faţă dc sarcină E ( r ) ! '/ \

(Fig. 12.18). Folosind legea fluxului electric şi ~ "l a > o /alegând drept suprafaţă închisă. I. o sferă de \ /

559

http://clcctr.ee/

Elemente de teoria câmpului electromagnecu centrul în punctul în care este situată / ? ----*''\ q. se obţine :

j ţD-nâA = q . FÎR.12.18z

= z E , iar /; = e r (versorul direcţiei radiale) încât rezultă :

<£JE£C

L4 = cEAitr2 = q

560

âmpuiui electromagneticşi în final

/.• _ 9 ~*-* — ■----------g

4nerJ

b) Un conductor drept dc lungime finită. /. aflat in aer. este uniform încărcat cu densitatea de sarcină P( (Fig.l2.19.a). Se cerc intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric într-un punct aflat la distanţa r faţă dc fir.

(a)

Fig. 12.19

Pentru calculul câmpului electric se aplică principiul

superpoziţiei astfel : se descompune firul în segmente de lungime infinit

mică, d/. se exprimă câmpul electric elementar , d£ = d£ re r + d£_£ produs

de

sarcina elementară df/^p/d/ aflată pe segmentul dl şi, în final, se

integrează în lungul firului componentele d£r, d£: obţinându-se £ = E r e r +

(12.53)

Elemente de n-oria c

561

ii

clK

.> db. AV

âmpuiui electromagnetic

E :k . Deoarece segmentul dl este infinit mic sarcina d</ este

practic punctiformă şi produce un câmp electric :

d£ = ———~~R* = P/d/ : (cosagr -sina*).4nc { tR

Dar R = —^— ; dl = dz = d(rtga) = ——dacosa cos -a

meat

4nt 0R

Elemente de n-oria c

562

dE r

=

Pi4m0r

cosa da, d£ = -P i sinada

şi în final rezultăQ'

Pi

4nc 0rcosa da = P i

4nc0 r(sina2 -sina,) (12.54)

£. = fd£. = — — (cosa. - cosa,). J 47rs0r (12.55)

Spectrul câmpului electric al acestui fir încărcat este reprezentat

înFig.l2.19.b.

Dacă firul are lungime mult mai mare decât distanţa r (la limităR i

;te infinit de lung) atunci a2->7E/2, ai->-7t/2. Er= ------------------------ şi £",=0.

câmpul electric având în acest caz numai componenta Er perpendiculară pe fir.

Pentru calculul potenţialului electric, V9 se utilizează din nou

principiul superpoziţiei. Potenţialul electric elementar, d l \ produs de sarcina

elementară d</=p/d/ este:

p,d/ p,dzdV =

4m 0R 47t£ 0V /-2+z2

rin integrare se obţine potenţialul în punctul P:

v( P ) = V(rt

z ) = )-rr=T =#"4 +

^4ne0JVr - + z 2 4 TTE0

-l

P i Inz2 + J r 2 + z ;

.(12.56)

■o z, + -Jr2 + z 2

unde ;,=rtgai, 22=rtga2.

c) Să se determine intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric produse

de o folie conductoare plană, de dimensiuni mari în raport cu distanţa la care se

calculează E şi V (Fig. 12.20). Folia este uniform încărcată cu densitatea

superficială de sarcină ps.

4TIE,

Elemente de te »ria vămpuiui electromagnetic

în acest caz câmpul electric sc poate

determina cu formula directă, bazată pc principiul

superpoziţiei, ca şi în cazul anterior:

i_ J FP^-„o s «

£(P) = (12.57)4

dar efortul dc calcul poate fi diminuat în mod considerabil dacă se observă că

planul încărcat cu sarcină electrică având densitatea ps =constant produce un

câmp electric ale r5n,; r

depind. nu„,a, de d,s,an,a f»

t i dc

plan

,n J**- '

poate determina utilizând legea fluxului electric. Astfel «toc, * ,1 supra„a I un

c.indna drep, cu bazele de arie ,1i a c t , 1 distanţa z faţă de plan, se

poate scrie că:

<$DndA = qx

iunde D = E0£ . Integrala din membrul stâng se scindează intr-o sumă de

integrale pc suprafaţa laterală, S,. şi pe cele două baze. Ţinând seama de faptul că

D şi n sunt ortogonali in punctele situate pe S, şi că pe cele două baze £=£

(z)=constant, se obţine:

<£[D • ndA = j|o • nâA + JJD • n<L4 + JJD • 7/dl = 2 D ■ A.

Pe de altă parte = J*JpsdL-I = ps/l încât rezultă:

(1158)e0 2c f

Sc observă că de fapt câmpul electric nu depinde nici de coordonata r fiind

un câmp uniform sau omogen.

in particular, în cazul unui condensator plan ale cărui armături sunt

încărcate cu densităţile superficiale de sarcina ps, -ps, aplicând principiul

superpoziţiei sc obţine (Fig. 12.21):

= E:

Ps\E2

Io

Fig.I2.21

2. Calculul inducţiei magnetice şi a intensităţii câmpului magnetic produs

de repartiţii cunoscute de current. a) Formula Biot-Savart-Laplace

Această formulă, care este o consecinţă a legilor câmpului magnetic,

(pentru detalii se pot consulta lucrările [11], [20]) permite calculul inducţiei

magnetice produse de conductoare parcurse de currentul, /, situate în medii

uniforme de permeabilitate magnetică u (Fig. 12.22). Formula Biot-Savart-

Laplace are expresia:

ui CdlxRţ i 2.60)

4 n J fi-

unde T reprezintă conturul conductorului

filiform parcurs de

curentul i, dl este un vector de lumiime

infinit mică tangent la conturul T şi orientat

în sensul curentului, iar R este vectorul de

poziţie al elementului d/ în raport cu

punctul P în care se exprimă câmpul

magnetic.

Ca exemplu se consideră cazul unui conductor filiform, drept, de lungime

finită parcurs de curentul i (Fig. 12.23). Alegând sistemul dc

coordonate cilindrice având versorii axelor e r , e*Jc, vectorii R şi d7 se pot

scrie sub forma:

R = -zk + r e r ; M = dzk .

Prin urmare

B { P )

Fig. 12.22

http://Fig.I2.21/

337

«Wetic 339

ai Crdz-

unghiul a şi observând că

. _ r—da; R =

cos" a cosa

cosadaeo =-^-(sina2-

471/'

sunt cercuri cu centrul situat pe tirul

fiind corelat cu sensul curentului după

foarte mare în raport cu distanţa r,

obţine:

02-61)

magnetic cu ajutorul teoremei iui

(relaţia (12.37))_poate fi utilizată penti

demente <U- e„,riu câmpuiui electron

FiR. 12.23

= i f >

568

(12.59)

calculul vectorului 77 în situaţia în care J H • d/ este uşor de

considerente de simetrie a câmpului.

Ca exemplu se consideră cazul unei bobine toroidalc parcursă de

curentul i având N spire uniform înfăşurate pe un tor de permeabilitate

magnetică u (Fig. 12.24). Torul arc o formă inelară, putând să aibă secţiunea

transversală dreptunghiulară sau circulam. Datorită formei inelare a torului şi a

dispunerii uniforme a spirelor, liniile de câmp magnetic sunt cercuri de rază

r cu centrul situat pe axul torului, iar

Dacă se alege conturul T o linie de câmp atunci:

(JH ■ dl = (jf idl = H <jd/ = H 2nr.

r r r

Curentul total de conducţie care intersectează suprafaţa delimitată de

cercul T este £ f, = N i. Prin urmare:icS,

ramn

H =---eo.2nr

(12.62)

12.9 CAPACITĂŢI ELECTRICE

Un sistem format din două conductoare încărcate

şi d e semne contrare, între care se găseşte un dielectric neîncărcat

electrică şi nepolarizat permanent, constituie un condensator

pozitivă definită de raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare

potenţial dintre el şi celălalt conductor rcprez.ntă

condensatorului:

C = -l_______1vt -Vţ~u

în cazul în care dielectricul dintre armăturile condensatorului

atunci capacitatea sa nu depinde nici de q , nici de U.

geometria acestuia şi dc permitivitatea diclectricului dintre armături.

Se poate de asemenea defini şi capacitatea unui

mare distanţă faţă de alte conductoare). în acest caz capacitatea sa

raportul dintre sarcina şi potenţialul său:

•;' - ' C= - . v ^L-, Practic, dacă sc admite că punctele de la infinit au potenţialul

referinţă), relaţia (12.64) defineşte capacitatea dintre conductorul

sfera de la infinit.

Fip. 12.24

12.9.1 Calculul capacităţilor electrice

Procedeul întrebuiţat de regulă pentru calculul capacităţilor electrice

este următorul: se presupune cunoscută sarcina de pe armăturile

condensatorului, se determină intensitatea câmpului electric produs de aceasta

în interiorul condensatorului, se determină apoi tensiunea cu relaţia (12.2) şi

în final se obţine capacitatea cu relaţia (12.63).

Exemple1) Condensatorul plan cu dielectric omogen (Fig. 12.25) este format

din două armături de arie A, paralele, situate la distanţa d ş. separate de un

dielectric de permitivitate E. Dacă se admite că sarcina q se repartizează

uniform pe armături cu densitatea superficială atunci intensitatea câmpului

electric între armături are o expresie de

forma (12.59):

Capitolul 12

Tensiunea va fi

in o« r-'

iar capacitatea condensatorului plan este:

C=~, (12.65)c/

2) Condcnsatoml cilindric

formal din două conductoare cilindrice coaxiale separate

omogen dc permitivitate e. Câmpul electric în izolaţie,

de pe armătura interioară, arc simetrie cilindrică: D =

suprafaţa I un cilindru dc rază r şi lungime /. coaxial cu

utilizând forma globală a legii

obţine: <j^DndA = q .

jJDdA = D• 2nrl, deoarece

I vectorii D şi /; sunt

încât inducţia electrică în D

! a i

! 6

(12.66)2 n/7

dintre armături va fi:

mU = j£.d7=f^d /=-^ln^,

(l) a e 2TTE/

Fie. 12.26

condensatorului cilindric este:

(12.67)In —

o linie de transmisiune a unui semnal formată din două

paralele, de rază a, situate în aer la distanţa d* d»a. La

U între cele două conductoare acestea se încarcă pc

sarcinile p/, respectiv -p/, constante

Fin. 12.25

572

în lungul conductoarelor. în sitinth ;„

în raport cu distanţa ,/(FiB"2 27) ^ aCCSt0ra *» marc

Pentru calculul intensităţii

câmpului electric se aplică principiul h?2] >.

superpoziţiei, Inducţia electrică ^Ngi.......te JBiSprodusă de un conductor cilindric are o n L - -Ifi \I7~*5

expresie de forma (12.66). încât, în

punctual P situat la distanţa x faţă de

axul conductorului încărcat cu P/, cele FiR 1227

două conductoare produc fiecare un câmp electric de Intensitate:E

\ = T~7T7 =

i P

' »respectiv =-------------------h _27ie( 1 A / 27ie0x 2 2«S0(«/-X)'

(21 _

, tar tensiunea U = ^ E d l arc

expresia:

Capacitatea

expresia:

27te0 J ^.r d - x )

dintre conductoare, pe unitatea de lungime, are

= £l = 7TE

(12.68)

In

a

Observaţie. In cazul sistemelor fonnate din mai mult de două

conductoare se definesc capacităţi parţiale dintre oricare două conductoare

din sistem, detalii putând fi găsite în [11], [20].

12.10 INDUCTIVITĂŢI

Pentru a defini inductivităţile proprii şi mutuale sc consideră un sistem

format din două circuite filiforme aflate unul în vecinătatea celuilalt, (dc

1Câmpul total este £ = -£i_(I +27TE

X d - x .

7T£« a

dx = -^ln0

exemplu două bobine), având Nu respectiv Ni spire şi parcurse dc curenţi'.'

/,. respectiv /: (Fig. 12.28). S e notează cu <D„ f l u x u l magnetic total produs

dc curentul i\ prin suprafaţa celor N\ spire ale bobinei I. cu :, fluxul

magnetic produs de ij prin suprafaţa celor N2 spire ale bobinei 2. şi cu 9a\ fluxul

magnetic de dispersie, produs de curentul /'[. dar care nu intersectează

suprafaţa spirelor bobinei 2.

Fig. 12.28

Se defineşte inductivitatea proprie a bobinei 1 mărimea pozitivă egală

cu raportul dintre fluxul magnetic total <!>,, şi curentul i\:

(12.69)

In mod asemănător dacă se consideră bobina 2 parcursă dc curentul /':

atunci inductivitatea bobinei 2 este:

L A- (12.70)

Inductivitatea mutuală dintre bobinele 1 şi 2 . notată cu L2\ se defineşte prin relaţia:

L =^2L

(12.71)

espectiv

*na — : • (12.72)

II

(apitolul 12

în timp ce inductivitâţilc proprii sunt întotdeauna pozitive inductivităţile mutuale pot fi atât pozitive cât şi negative. Se poate demonstra [11], [20] faptul că

L ' 2 = L 2 i - (12.73)In medii liniare din punct dc vedere al proprietăţilor magnetice

inductivitâţilc nu depind nici de fluxuri, nici de curenţi, ci numai de geometria circuitelor şi de poziţia lor relativă, precum şi de permeabilitatea magnetică a mediului.

In general, nu toate liniile de camp magnetic produse de curentul /,

intersectează suprafaţa spirelor celui de al doilea circuit, existând un flux

magnetic de dispersie, «l^ i . Se defineşte inductivitatea de dispersie a circuitului 1

în raport cu circuitul 2 mărimea:

^:,=%L>0. (12.74)

Analog inductivitatea de dispersie a circuitului 2 faţă de 1 este:

Ana--^>0. (12.75)

Inductivităţile de dispersie nu sunt. in general egale: LM * L J Î X .

Pentru a caracteriza cuplajul magnetic al celor două circuite se

defineşte coeficientul de cuplaj magnetic, k. cu ajutorul relaţiei:

Acesta este o mărime adimensională care ia valori în intervalul [0, 1]. Valoarea

Â-0 caracterizează absenţa cuplajului magnetic (Li;=0, *i;=0). în timp ce

valoarea A-=l caracterizează un cuplaj magnetic perfect

(<Dd l2=d21=0).

în cazul a două circuite cuplate magnetic, situate într-un mediu

liniar din punct de vedere magnetic, fluxurile magnetice totale prin suprafaţa

oricăruia dintre ele se obţin, utilizând principiul superpoziţiei, prin însumarea

fluxurilor produse de fiecare din cei doi curenţi:

576

Elemente de teoria câmpului electromagnetico, =o11

+a>i: = /. „;,

+£,;»':

(1277)c p , = o

::+ax, =/.„/', +

/.,,/,

577

(apitolul 12

Exemple

I ) Pe un tor circular de rază interioară a, rază exterioară b şi

permeabilitate magnetică \L sunt uniform înfăşurate două bobine având N|,

respective N: spire. Secţiunea torului este dreptunghiulară, de înălţime h

(Fig.12.29). Să se determine inductivităţile proprii ale celor două bobine,

inductivitatea mutuală şi coeficientul de cuplaj.

Presupunând bobina I parcursă

de curentul i \ inducţia _ magnetică produsă

de aceasta este, n conform relaţiei (12.62):

t

D =--------Ci\ .

2itr Fig.12.29

Fluxul magnetic prin suprafaţa

dreptunghiulară a unei spire a bobinei 1 este:

J J J J 2nr 2 n J J r 2n a

Fluxul total prin suprafaţa celor N\ spire ale bobinei 1 este \ p| ly

" 5 t . = —*—In—, iar fluxul magnetic prin suprafaţa celor N2 spire ale

bobinei 2 este <1>,, = i iA^ln-. Inductivitatea proprie a bobinei 1 va2 ti a

fi:

.. \ xN;h l b In

iar cea mutuală între bobinele 1 şi 2 va fi:

i dA

B

I I

2n

L..=îi = nn_ln^5I I

2 tt

în general, pentru N circuite cuplate magnetic, parcurse de curenţii

/,./:..../.% fluxul magnetic total pentru un circuit / se obţine utilizând

superpoziţia. fiind de forma:

(12.78)ui

578

Elemente de teoria câmpului electromagneticL

2 i - L\2 - — = —:-----------------In — .

/, 27r a

Similar se poate stabili că inductivitatea proprie a bobinei 2 este:

L::-------~ = " ' In-.<2 2K a

Coeficientul dc cuplaj între bobine are valoarea A - L " - |

indicând un cuplaj magnetic perfect.

2) Să sc determine inductivitatea proprie a unui solenoid având Nspire uniform şi strâns înfăşurate pc un cilindru de rază a şi lungime /

( l»a) (Fig. 12.30). Miezul solenoidului

are permeabilitatea magnetică \x. V

Pentru a determina intensitatea I

câmpului magnetic în interiorul 2d -f —i —V. —^—Y...solenoidului se consideră că, deoarece |

t»a> câmpul magnetic este concentrat "7

în interiorul cilindrului, fluxul de dispersie

t u n d nul. I n aceste condiţii

admiţând că fî^constant în interiorul solenoidului, şi aplicând teorema lui Ampere

pentru conturul dreptunghiular T, se obţine:

477- d / = M , H I = N Î ; / / = - y .

l :luxul magnetic prin suprafaţa unei spire este:

unde A=iuf este aria unei spire. Fluxul magnetic total prin suprafaţa celor N

spire este =Mty . încât inductivitatea proprie a solenoidului de

lungime / şi arie A este: L = ~r = —j— ■

579

Date post:	04-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	petroaia-sorin
View:	245 times
Download:	0 times

40486135-Camelia-Petrescu2

Documents