Cap. 4

CIRCUITE ELECTRICE LINIARE IN REGIM PERMANENT4.1 CIRCUITE MONOFAZATE

4.1.1 Metode de rezolvare

4.1.2 Metode de transfigurare

4.1.3 Rezonanta electrica

4.1.4 Imbunatatirea factorului de putere

4.1.5 Circuite electrice simple

4.2 CIRCUITE TRIFAZATE

4.2.1 Sisteme trifazate

4.2.2 Conexiunile circuitelor trifazate

4.2.3 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate in stea

4.2.4 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate in triunghi

4.2.5 Puteri electrice in retele trifazate

4.2.6 Metoda componentelor simetrice11 rezolvari

13 teme

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

4.1.1. METODE de REZOLVARE

4.1. CIRCUITE MONOFAZATE

Etape:1. Analiza topologica: ℓ = 6; n = 4; o = ℓ-n+1= 3;2. Sens arbitrar curentilor ik, k = 1…ℓ;3. Fazorii t.e.m. ai laturilor active: Ek = Ek·ejγ, k = 1…ℓ;4. Impedantele complexe ale laturilor: Zk= Rk+jXk 5. Teorema intii a lui Kirchhoff pentru n -1 = 3 noduri;

6. Teorema a doua a lui Kirchhoff pentru o = 3 ochiuri;

7. Rezolvarea modelului matematic: sistem neomogen (ℓ x ℓ) compatibil determinat;8. Verificarea solutiei: teorema conservarii puterilor:

l

1k

2kk

l

1k

*kk IZIE

;0I(n)k

k

(o)k (o)k

kkk IZE Fig.4.1 Circuit electric izolat

1;n ..., 2, 1,i 0,Iink

k

1;nl ..., 2, 1,i ,EIZii ok

kok

kk

;E-EIZ :)(oT2K

;EIZIZ :)(oT2K

;EIZIZIZ :)(oT2K

0;III- :(3)T1K

0;III- :(2)T1K

0;III :(1)T1K

32333

254222

12233111

631

432

521

Z1·I12 + Z2·I2

2 + Z3·I32 + Z4·I5

2 = E1·I1* + E2·I4* + E3·I6*

Alte metode de rezolvare

Metoda curentilor ciclici (de bucla): Icj, j =1…(ℓ – n +1); Metoda potentialelor la noduri: Vj , j = 1…(n -1), Vn=0;

Metoda superpozitiei;

Metoda generatoarelor echivalente:• de tensiune (Thevenin) valoarea tensiunii intre 2 noduri;• de curent (Norton) valoarea curentului dintr-o latura.

kk1kkk Y)EVV(I

(k)j

jk II

Se bazeaza pe teoremele lui Kirchhoff

4.1.2. METODE de TRANSFIGURARE

transfigurarea serie:

Divizor de tensiune

Fig.4.2 Transfigurarea laturilor in serie

ss

; II k

;UUn

1kk

;ZIUE kkkk

.EZI)EZI(Un

1k

n

1kkk

n

1kkkk

ss EZIU

n

1kks EE

n

1kks ZZ

)ZZ(IU 21

22 ZIU U

ZZ

ZU

21

22 U2 = f(U)

APLICATIA 1

Problema 4.1. Capacitatea echivalenta a condensatoarelor

conectate in serie:

n21

n

1k kP C

1...

C

1

C

1

C

1

C

1

transfigurarea paralel:

Fig.4.3 Transfigurarea paralel

Divizor de curent

pp

IZZ

ZI

21

21 I1 = f(I)2211 ZIZIU

21 III

);EU(Y)EU(Z

1I kkkkk

kk

kkkk ZIUE

n

1kkII

; UU k

n

1kkk

n

1k

n

1kkkkk EYYU)EU(YI

)EU(YI pp

n

1kk

n

1kkk

p

Y

EYE

n

1k k

n

1kkp

p Z

1YY

Z

1

APLICATIA 2

Problema 4.2. Rezistenta echivalenta a

rezistoarelor conectate in paralel: n21

n

1 kP R

1...

R

1

R

1

R

1

R

1

Problema 4.3.Circuitul format dintr-un rezistor inseriat cu un condensator ideal are factorul de putere cosφs = 0,8. Calculati factorul de putere al dipolului format prin conectarea in paralel ale acelorasi componente la aceeasi frecventa a tensiunii de alimentare. Care este raportul puterilor absorbite de cele doi dipoli?

I

U R C

I1 I2

U

I

U1

U2

R

CφS

+1IU1=R·I

UI

ωC

1jU2

0γ i

φP

+1

U

I0γu

R

UI1

I2=jωC·U

a

b

0,36

0,64ωRC)(;8,0

RC)(ω1

ωRC

Cω

1R

Rcos 2

2

222

S

0,6

0,36

0,641

1

RC)(ω1

1

RωR

1

1/Rcos

222

2

P

0,64

RC)(ω

11

1

Cω

1R

R

R

U

C)1/(ωR

U

IR

IR

P

P

2222

2

2

2

22

21

2

P

S

R1=10[Ω] R2=10[Ω]L1=16[mH] L2=42[mH]

C1=353[μF]

Problema 4.4.Calculati impedanta, rezistenta si reactanta dipolului din figura de mai jos, daca frecventa f = 50[Hz].

Z1 Z3

Z2

Z

Z12 Z3

Solutie

Z1 = ZR1+ZL1= R1+jωL1 = 10+j·2π·50·16·10-3 = 10+j5[Ω];

Z2= ZC= -j/ωC = -j/(2π·50·353·10-6) = -j9[Ω];

Z3 = ZR2+ZL2= R2+jωL2 = 33+j·2π·50·42·10-3 = 33+j13,2[Ω];

Z12 = Z1·Z2 /(Z1+Z2) =-j9(10+j5)/(-j9+10+j5)=(45-j90)/(10-j4)= = (10+j4)(45-j90)/(102+42) = (810-j720)/116 = 7 – j6,2[Ω];

Z = Z12+Z3 = 17 + j7[Ω]; R = 17[Ω]; X = +7[Ω].

Tema 4.1a) Ce caracter are dipolul din problema 4.4? Justificati raspunsul.b) Calculati factorul de putere si inductivitatea echivalenta a dipolului din problema 4.4.

Tema 4.2. Sa se calculeze impedanta complexa, rezistenta si reactanta conexiunii serie, respectiv paralel a impedantelor: Z1 = 1 – j2[Ω] si Z2 = 3 + j3[Ω].

Tema 4.3. Cum conectati doua rezistoare astfel incit dipolul format sa aiba resistenta mai mica decit oricare din valorile celor doua rezistoare? Calculati rezistenta dipolului astfel obtinut, daca R1=10[Ω] si R2 =15[Ω].

Tema 4.4. Rezistoarele cu R1<R2 sint conectate in paralel. Cum este rezistenta dipolului format: a) R <R1<R2 ; b) R1<R<R2; c) R>R2.

Tema 4.5. Condensatorul ideal de capacitate C = 30[μF] este conectat in paralel cu un dipol format prin legarea in serie a bobinei de inductivitate L= 83[mH] si a rezistorului cu rezistenta R = 42[Ω]. Reprezentati schema circuitului si calculati impedanta echivalenta si factorul de putere, daca frecventa f = 100[Hz].

Tema 4.6. Un divizor de tensiune este format prin inserierea a doua impedante Z1 si Z2, fiecare formata dintr-un rezistor ideal in paralel cu un condensator ideal. Reprezentati schema electrica a divizorului si determinati conditia in care raportul U2 / U este egal cu 1/10, indiferent de valoarea frecventei.

Tema 4.7. Rezistorul cu rezistenta de 200[] si condensatorul cu capacitatea de 1,06[mF] sunt legate in serie si alimentate la reteaua monofazata: 220[V] / 50[Hz]. Sa se calculeze: impedanta echivalenta Zs, valoarea efectiva a curentului si valoarea puterii complexe S absorbite de dipol.

Circuit Impedanta Z = R + jX Admitanta Y = G - jB

LjωR 222 LωR

LjωR

LjωR

1

Cω

1jR

Cjω

1R

222

22

CRω1

CjωRCω

ωC

1-LCωj)

Cω

1Lj(ω

2

1-LCω

ωCj

2

)Cω

1Lj(ωR

22 C)1/ωL(ωR

C)1/ωLj(ωR

222

222

LωR

RLjωLRω

Lω

1j

R

1

222

2

CRω1

CRjωR

Cjω

R

1

LCω1

Lωj

2

)Lω

1Cj(ω

22

2

L)1/ωC(ωR1

L)1/ωC(ωjRR

)Cω

1Lj(ω

R

1

R

R

R

R

R

R

L

L

L

L

L

L

C

C

C

C

C

C

Problema 4.5Sa se rezolve circuitul din figura a) si sa se verifice solutia. Se da: R1=20[Ω], R2= 30[Ω], L = 45[mH], C = 60[F], E = 220[V], f = 50[Hz], γ = π/6[rad].

e

ii1

i2

LR1

R2

C

E

II1

I2

ZL

Z1

Z2

U2

U1

a

b

Rezolvare:ω = 2πf = 100π = 314[rad/s];E=Eejγ = 220·ej π/6 = 220(√3/2+j/2) = 190,5+j110[V];ZL= jωL = j·314·45·10-3 = j14,14 = 14,14·ejπ/2[Ω];Z1 = R1-j/ωC = 20-j/(100π·60·10-6) = 20 - j53,05 =

56,7·e-j0,36[Ω]; Z2 = R2 = 30[Ω].

-I +I1 +I2 = 0 -I + I1 + I2 = 0 Z1·I1 – Z2·I2 = 0 (20 - j53,05)·I1 – 30·I2 = 0ZL·I + Z2·I2 = E j14,14·I +30·I2 = 190,5+j110

Z=ZL+Z1Z2/(Z1+Z2) = j14,14+30(20-j53,05)/(20-j53,05+30) = 21,53 +j5,16 = 22,2·ej0,23[Ω].I = E/Z= 220·ejπ/6 / 22,2·ej0,23 = 9,93·ej0,29 = 9,53+j2,78[A].U1 = I·ZL = 9,93·ej0,2914,14ej1,57 = 140,47·ej1,86 = - 40 + j134,6[V];U2 = E - U1 = 190,5+j110 –(-40+j134,6) = 230,5 – j24,6 = 231,8·ej0,1[V];I1 = U2/Z1= 231,8·ej0,1/56,7·e-j0,36= 4,08·ej0,46[A]; I2 = U2 /Z2= 231,8·ej0,1 /30 = 7,73ej0,1[A];

SG=E·I* = 220·ejπ/6 ·9,93·e-j0,29 = 2184,6·ej0,23 = 2127 +j 498[VA];P = R1·I1

2 +R2·I22 = 20·4,082 + 30·7,732 = 2125,5[W];

Q = XL·I2 +XC·I12 =14,14·9,932 – 53,05·4,082 = 1394,3 – 883,1 = 511,2{var].

4.1.3. REZONANTA ELECTRICA

Conditia de rezonanta: dipolul absoarbe numai putere activa

0),C,L,R(f X = Z·sinφ = 0; B = Y·sinφ = 0;

Q = XI2 = BU2 = 0 φ = 0

APLICATIA 3

Dipol pasiv (a) si diagrama fazoriala la rezonanta (b).

Xe = 022 R

L

Lω

1C

Cω

1

LωR

LRωjR

LjωR

LjωR

Cω

1j

ZZ

ZZZZZZ

222

2

e21

21c12c

• regim de functionare a circuitelor de c.a.• circuitul trebuie sa contina obligatoriu atit bobine cit si condensatoare

γu2 = 0

a b

reactante compensate

APLICATIA 4

ee222222e jBGCLR

Lj

LR

RCj

LjR

1Y

Be = 0

??L

;LωL/CR 22

;L

R

CL

1ω

2

2

;LωR

LC

222

Z1 = ZR + ZL= R + jωL; Y1 = 1/Z1 = 1/(R +jωL);

Z2 = 1/(jωC); Y2 = 1/Z2 = jωC; Ye = YP = Y1 +Y2

Circuit RLC mixt (a) si diagrama fazoriala la rezonanta (b).

γi1= 0

↔ ω2LC < 1

↔ R2C < L

cosS

Pk P

22

2

L2

22

L2

2

L2

L cosU

PR

U

QPR

U

SRIRΔP

constcosUIcosUIP 2211 I1 > si cosφ1 <I2 < si cosφ2 > ;

Utrans >>;

Qtrans<<;

cosφ >>.

Qnecesara = Q transportata + Q produsa local

4.1.4. IMBUNATATIREA FACTORULUI de PUTERE (compensarea puterii reactive)

kP= 0,93 - 0,97 (de ce nu kP = 1 ?)

majoritatea consumatorilor mari sint inductivi: Q>0 (absorbita)

•folosirea condensatoare;• supraexcitarea masinilor

sincrone.

<<

transportata la:

Pierderi in linia de transport:

C12 III

;sinIsinIU

1I

U

1C 2211C

2

21

1

sincosU

Psin

cosU

P

U

1C 212

tgtgU

PC

φ2 < φ1 → cosφ2 > cosφ1; sinφ2< sinφ1; I2 < I1; I1·cosφ1 = I2·cosφ2

IC = jωCU

Fig.4.4 Imbunatatirea factorului de putere prin condensatoare

supracompensare

a) retele monofazate

φ2< 0

>0

I2·sinφ2< I1·sinφ1 |·UP2 = P1

Q2 < Q1

Fig.4.5 Conectarea condensatoare in stea (a) si in triunghi (b).

;U3

1U ΔY

ΔY C3C 3

C)tg(tg

U3ω

PC Y

212Δ

b) retele trifazate

UU/√3

Problema 4.6Un motor electric (dipol inductiv) absoarbe, din reteaua monofazata cu U = 220[V] si f = 50[Hz], puterea P = 1,5[kW] la cosφ1 = 0,7. Sa se calculeze:a) valoarea condensatorului care mareste factorul de putere la valoarea cosφ = 0,95;b) valoarea capacitatii condensatorului la care curentul absorbit din retea este minim.

Rezolvare:a) Motorul fiind dipol inductiv, φ1 = 45035’, tgφ1= 1,02, iar ansamblul poate rezulta inductiv sau capacitiv: φ2= ±18010’, tgφ2 = ±0,328. Pentru a reduce consumul de putere reactiva de la Q1= P·tgφ1 la Q2= P·tgφ2, diferenta de putere reactiva va fi furnizata de condensatorul avind capacitatea:

0,328)[F],(1,02220502π

1500)tg(tg

ωU

P

ωU

QQC

2212221

cu solutiile C’ = 66,9[μF] si C” = 130,3[μF]. In ambele cazuri curentul absorbit din retea se reduce de la valoarea I1 = P/(U·cosφ1) = 1500/(220·0,7) = 9,74[A] la valoarea I2’=I2”=P/(U·cosφ2) = 1500/(220·0,95) = 7,18[A], cu deosebirea

U

I2”IC”

I20 IC0

I1

I2’ IC’

φ2”

φ1

φ2’

I1I2 IC

U M

a

bca la conectarea capacitatii C’ comportarea circuitului este inductiva (φ2

’= +18010’), iar pentru C” intervine supracompensarea, comportarea fiind capacitiva (φ2

”= -18010’).

b) Curentul absorbit din retea este minim la rezonanta: φ20 = 0; I20 = P/(U·cosφ20) = 1500/220 = 6,82[A] si se obtine la conectarea condensatorului cu capacitatea:

98,6[F].1,02220502π

1500)tg(tg

ωU

PC

22120

4.1.5. CIRCUITE ELECTRICE SIMPLE

a) Circuit R,L,C serie

Fig.4.6 Circuit R,L,C serie (a) si diagramele fazoriale in regim inductiv (b), respectiv la rezonanta (c).

φ > 0 inductiv

φ = 0

rezonanta tensiunilor UC = UL >> U

;dtiC

1

dt

diLiRuuuu

t

0CLR

)];Cω

1Lj(ω[RII

Cω

1jILjωIRUUUU CLR

22 )Cω

1L(ωRZ

RCω

1Lω

arctg

);Cω

1Lj(ωR

I

UZ

0Cω

1Lω

Conditia de rezonanta: X = 0;

Proprietatile circuitului la rezonanta:

• curent maxim:

• factor de putere maxim:

• putere activa maxima:

• rezonanta de tensiuni: UL0 = UC0 >> U

max.R

U

Z

UI

00

1cos0cos 0; 00

.maxR

U1

R

UUcosUIP

2

000

f L C NU prin R

b) Circuit R,L,C paralel

Fig.4.7 Circuit R,L,C paralel (a) si diagramele fazoriale (b, c).

φ > 0 inductiv

φ = 0 rezistiv

rezonanta curentilor IC = IL >> I

;dt

duCdtu

L

1

R

uiiii

t

0CLR

C)];ω-Lω

1j(

R

1[UUCjωU

Lω

1j

R

UIIII CLR

L);ω-Lω

1(

1

U

IY

j

R;C)ω-

Lω

1(

R

1Y 2

2

1/R

CωLω

1

arctg

Conditia de rezonanta: B = 0;

Proprietatile circuitului la rezonanta:

• curent minim:

• factor de putere maxim:

• rezonanta de curenti: IL0 = IC0 >> I

max.1cos0cos 0; 00

f L C

0Cω-Lω

1

min.R

UYUI 00

NU prin R

4.2.1. SISTEME TRIFAZATE

Fig.4.8 Producerea sistemului trifazat de tensiuni electromotoare

)tcos(ABAB 1111

)tsin(E2

)tsin(ABNdt

dNe

11

111

111

)tsin(E2e

)tsin(E2e

)tsin(E2e

333

222

111

Em = ωNBA = 2π·fNBA; E = 4,44·fNBA;

4. 2. CIRCUITE TRIFAZATE

Sistem trifazat simetric

Fig.4.9 Sistem trifazat simetric in valori instantanee (a) si fazori (b).

.;

3

2sin2

3

4sin2

3

2sin2

)sin(2

13

2

13

4

2

1

3

2

1

EeE

EeE

EeE

tEe

tEtEe

tEe

j

j

j

3

E1 = E2 = E3 = E;φ12 = φ23 = φ31 = ± 2π/3.

2

3j

2

1ea;

2

3j

2

1ea 3

4j

23

2j

223 a*a;0aa1;1a

1312

21 EaE;EaE;E

12

3121 EaE;EaE;E •succesiune directă (rotire dreapta):

•succesiune indirectă (rotire stinga):

operator de rotatie:

Fig.4.10 Sistem trifazat simetric direct a) si invers b).

STSI

+1

+j

0

E1

a·E1= E3

a2·E1= E2

dreapta

+1

+j

0

E1

a·E1= E2

a2·E1= E3

stinga

STSDa b

a3=1

a

a2

6j

112

12112 eE32

3j

2

3Ea1EEEE

6tsinE32

3tcos

3sin2E2

3

2tsin)tsin(E2eee 2112

Fig.4.11 Sisteme trifazate simetrice directe (de faza si de linie).

E1, E2, E3 : sistemul marimilor de faza; E12, E23, E31: sistemul marimilor de linie.

•diferenta a doua marimi:

•suma marimilor sistemului simetric:

0)aa(1EEEE 21321

E1 Z1AX 1 1’I1

E2 Z2BY 2 2’I2

E3 Z3CZ 3 3’I3

Fig.4.12 Sistem trifazat neconectat (3 linii monofazate independente)

4.2.2. CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATE

6 conductoate de legatura

Ek

A-X;B-Y;C-Z

faze generatoare:

Zk

faze receptoare:1-1’;2-2’;3-3’

Receptor trifazat:• echilibrat: Z1 = Z2 = Z3 = Zejφ;• dezechilibrat.

N

2’

3’

E1 Z1X 1 1’I1

I2

I3

I0=I1+I2+I3

2

3C

A

BY

Z

O

Z2

Z3

E2

E3

UA

UB

UA-UB= UAB U12

E1 Z1AX

1

1’I1 – I3

E2 Z2

B

Y

2

2’I2 – I1

E3 Z3

C

Z

3

3’I3 – I2

I2

I3

I1

UAB=UA

E1

A

E2

B

E3

C

O

Z1

1

Z2

2

Z3

3

N

E1

A

E2

E3C B

Z1

1

Z2

2Z33

conexiune stea (Y): Ilinie = Ifaza; Ulinie ≠ Ufaza

conexiune triunghi (Δ):Ilinie ≠ Ifaza; Ulinie = Ufaza

Fig.4.13 Retea trifazata in conexiune stea.

Fig.4.14 Retea trifazata in conexiune triunghi.

A, B, C – bornele generatorului;1, 2, 3 - bornele receptorului

Problema 4.7Aratati ca tensiunile electrice cu valorile instantanee: u1(t) =

10√2·sin(100πt)[V], u2(t) = u3(t) = 10√2·sin(100πt+π/2)[V] nu formeaza un sistem trifazat simetric.Rezolvare:

U1 = U2 = U3 =10[V];φ12 = γ1- γ2 = 0 - π/2 = -π/2 ≠ 2π/3[rad]; φ23 = γ2 - γ3 = π/2 - π/2 = 0 ≠ 2π/3[rad].

Problema 4.8Receptorul trifazat caracterizat de: Z1=3ejπ/2[Ω], Z2 =+j3 [Ω], si (R3=0, X=3[Ω]), este :

a) echilibrat; b) dezechilibrat. Justificati varianta aleasa.

Rezolvare: Z1=3[Ω]; φ1= π/2[rad];

Z2 =3[Ω]; φ2=arctg3/0 =π/2[rad]; Z3 = 3[Ω]; φ3= arctg3/0

=π/2[rad]; Z1 = Z2 = Z3 = 3[Ω]; φ1 = φ2 = φ3 = +π/2[rad]; → RTE / varianta (a).

Z=Zejφ

Z=R + jX

4.2.3. REZOLVAREA SISTEMULUI TRIFAZAT in Y

Fig.4.16 Diagrama fazoriala pentru U0 ≠ 0.

00303202101

003'32

'21

'1

0321

YUYUUYUUYUU

YUYUYUYU

IIII

3210

3322110 YYYY

YUYUYUU

3033

2022

1011

YUUI

YUUI

YUUI

003210 YUIIII

Fig.4.15 Circuit trifazat in Y cu nul

B

A

0

C

2

0

1

3

N

U0

U2’

U1’

U3’

UA

UB

UC

Z2

Z1

Z3

Z0

I1

I2

I3

I0

U2

U0

U3

U1

A ≡ 1

C ≡ 3 B ≡ 2

U1’

U3’U2’

U23

U31 U12

O

N

• tensiuni de faza: UA= U1; UB= U2; UC= U3;

• tensiuni de linie: UAB= U12; UBC= U23; UCA= U31;

• curenti de linie = curenti de faza: I1; I2; I3

Circuit trifazat simetric si echilibrat in conexiune stea

1312

21 UaU;UaU;U

j321

j321

eZ

1YYY

ZeZZZ

0

Y3Y

aa1YUU

10

211

0

0UYI 000

1333

12

222

j1111011

IaYUI

IaYUI

eZ

UYUYUUI

Fig.4.17 Diagrama fazoriala a circuitului simetric si echilibrat, in conexiune stea.

ff II;U3U

sistem trifazat simetric de curenti

U1= U1’

U31

U23

U12

I1

I2

I3

U2= U2’

U3= U3’

O = N

φ

φ

φ

+j

+1

• Se dau: - tensiunile de linie: U12, U23 (U31 se poate calcula);

- impedantele receptoare: Z12, Z23 si Z31. • Se calculeaza: - curentii de faza: - curentii de linie:

4.2.4. REZOLVAREA SISTEMULUI TRIFAZAT in Δ

Fig.4.18 Circuit trifazat in conexiune triunghi (a) si diagrama sa fazoriala (b).

31

3131

23

2323

12

1212 Z

UI;

Z

UI;

Z

UI

;III ;III ;III 233131232231121 0III 321

a b

Circuit trifazat simetric si echilibrat in conexiune triunghi

j312312 ZeZZZ12

22312 UaU;U

12122

231231 UaUa1UUU

12j31

31122j23

23j12

12 IaeZ

UI;Iae

Z

UI;e

Z

UI

12131121 I3I;III ff I3I;UU

sistem trifazat simetric de curenti

intrerupere accidentala

B

C

A

O

Z12

Z31

Z23

I23

I31

I12

IB

IA

IN

IC

I2 I3I1

Z3Z2

N

UNO

Sursa de tensiune trifazata simetrica directa

380/220V

Z1

Z1= 260[Ω]

Z2=-j150[Ω]

Z3= j150[Ω]

Z12= 190[Ω]

Z23= -j38[Ω]

Z31= -j38[Ω]

Problema 4.9Doua sarcini trifazate nesimetrice sint conectate la o retea trifazata simetrica 380/220[V]. 1. Pentru un sistem trifazat simetric direct, care sint valorile curentilor de linie si

curentului de echilibrare? 2. In cazul unei intreruperi accidentale a conductorului de nul, calculati valoare

tensiunii de deplasare a nulului, precum si noile valori ale curentilor de linie.

RezolvareFie sistemul trifazat simetric direct al tensiunilor de faza la generator (cu tensiunea UA origine de faza): UA = Uf = 220[V]; UB = a2·Uf = a·220[V]; UC = a·Uf = a·220[V].Rezulta sistemul tensiunilor de linie: UAB = √3·UA·ejπ/6 = 380·ejπ/6[V]; UBC = a2·UAB; UCA = a·UAB.

Tema 4.8O casa este alimentata la reteaua trifazata de joasa tensiune 380/220[V], 50[Hz].

Urmatorii consumatori monofazati sint conectati in stea cu nul accesibil:• pe faza 1, o plita electrica cu puterea activa 1980[W] si cosφ = 1;• pe faza 2, o masina de spalat cu puterea aparenta 3300[VA] cu cosφ = 0,8 (inductiv);• pe faza 3, ansamblul de prize si corpuri de iluminat. Iluminatul (incandescent si fluorescent) consuma puterea activa de 1320[W], la cosφ = 0,6 (inductiv).1.Desenati schema de principiu a instalatiei.2.Calculati tensiunile de faza, curentii de faza, impedantele echivalente ale sarcinilor.3.Calculati curentii de linie si reprezentati diagrama fazoriala a tensiunilor si curentilor.4.Calculati valoarea curentului de echilibrare (prin conductorul de nul).

I1 = UA/Z1 = 220/260 = 0,846[A]I2 = UB/Z2 = a2·220/-j150 = j·a2·220/150 = j(-1/2 - j√3/2)·1,466 = 1,27 – j0,733[A]I3 = UC/Z3 = a·220/j150 = -j·a·220/150 = -j(1/2 - j√3/2)·1,466 = -1,27 - j0,733[A]I12 = UAB/Z12 = 380·ejπ/6/190 = 2·(√3/2 + j/2) = 1,732 + j1[A]I23 = UBC/Z23 = a2·380·ejπ/6/-j38 = (-1/2 - j√3/2)·10j·(√3/2 + j/2) = 10[A]I31 = UCA/Z13 = a·380·ejπ/6/j38 = (1/2 - j√3/2)·(-j10) ·(√3/2 + j/2) = -5(1+j√3)[A]IA = I1+ (I12 – I31) = 0,846+ √3 + j1+ 5(1+j√3) = 7,578 +j2,732[A]; I1 = 8,055[A]IB = I2+ (I23 – I12) = 1,27+ – j0,733 +10 - √3 - j = 9,538 -j1,732[A]; I2 = 9,848[A]IC = I3+ (I31 – I23) = -1,27-j0,733 -5(1+j√3) -10 = -16,27 – j9,4[A]; I3 = 18,79[A]IN =I1+I2+I3= 0,846 – j1,766[A]; IN = 1,958[A].

UNO = 439[V]

j380[V]2201/j150j1501/1/260

a/j150)j150/a220(1/260

YYY

YUYUYUU

2

321

3C2B1ANO

*3

*2

*1

*03210 IIII;IIII

*3

'3

*2

'2

*1

'1

*303

*202

*101

*00

*33

*22

*11

IUIUIUIUUIUUIUU

IUIUIUIUS

.PPP

I,UcosIUI,UcosIUI,UcosIUP

321

3'33

'32

'22

'21

'11

'1

Fig.4.19 Masurarea puterii active in retele trifazate cu 4 conductoare

4.2.5. PUTERI ELECTRICE in RETELE TRIFAZATE

a) Retea cu conductor neutru (retea cu 4 conductoare)

1

2

3

N

b) Retea fara conductor neutru (cu 3 conductoare)

Fig.4.20 Masurarea puterii active in retele trifazate fara conductor neutru

0III;0III *3

*2

*1321

*332

*112

*323

*121

*33

*22

*11

IUIU

IUUIUUIUIUIUS

21332332112112 PPI,UcosIUI,UcosIUP

1

2

ff3f2

f2ff1 aUU;UaU;UU

Retea trifazata simetrica si echilibrata

j321 ZeZZZ

jf

2*

jf*

3

f3*f3

jf

*jf2

*

2

f2*f2

jf

*jf

*

1

f1*f1

eIaeZ

Ua

Z

UI

eaIeZ

Ua

Z

UI

eIeZ

U

Z

UI

.eIU3eIaaUeaIUaeIU

IUIUIUSj

ffj

f2

fj

ff2j

ff

*f3f3

*f2f2

*f1f1

1ff P3cosIU3P

cosIU3

cos3

I3UΔ

cosI3

U3Υ

cosI3UP ff

],W[,cosUI3P ].VA[,UI3S;]VAR[,sinUI3Q

Fig.4.21 Masurarea puterii active in retele simetrice si echilibrate cu (a) si fara (b) conductor neutru.

a b

Problema 4.10Un receptor trifazat, conectat in triunghi, cu impedanta de faza Z,

caracterizata de R = 15[Ω] si L= 32[mH], este alimentat la reteaua trifazata si simetrica, cu tensiunea de linie de 380[V] si frecventa 50[Hz]. Sa se calculeze puterea activa absorbita.Rezolvare:

Pentru conexiunea Δ: Uℓ = Uf; Iℓ = √3·If =√3·Uf /Z; si cosφ = R/Z, unde: Z =√R2+X2= √R2+(ωL)2 = √R2+(2πfL)2

Inlocuid valorile cunoscute rezulta: Z = √152+(2π·50·32·10-3)2=10[Ω]; If = 380/18 = 21,1[A]; Iℓ = √3·21,1 = 36,6[A]; cosφ = 15/18 = 0,83;

Reteaua fiind simetrica si echilibrata si cunoscindu-se marimile de linie: P = √3·Uℓ·Iℓ ·cosφ = √3·380·36,6·0,83 = 19994[W] ≈ 20[kW].

Tema 4.9Pentru receptorul trifazat din problema 4.9, calculati puterea reactiva si

justificati ca aceasta putere este absorbita (nu debitata) de receptor.Tema 4.10 Daca sarcina trifazata, din problema 4.9, este conectata in stea in loc de triunghi, calculati valoarea curentului si o puterii active absorbite..

Tema 4.11 O sarcina echilibrata, conectata la o retea trifazata simetrica, cu tensiunea

de linie de 6[kV], absoarbe o putere activa de 48[kW], la un factor de putere cosφ = 0,94. Calculati valoarea efectiva a curentului de linie. Repetati calculul in cazul in care sarcina ar fi conectata in triunghi (aceeasi putere activa consumata si la acelasi cosφ) si determinati si valoarea efectiva a curentului prin fazele consumatorului. Tema 4.12

Impedanta de faza a unui consumator trifazat echilibrat este formata dintr-o rezistenta R = 15[Ω] in serie cu o capacitate C = 185[μF]. Acest consumator, in conexiune stea, este alimentat la o retea de 50[hz], a carei tensiuni de linie are valoarea 380[V]. Calculati tensiunea de faza, curentul de faza, defazajul, puterile active si reactive ce caracterizeaza acest receptor trifazat. Tema 4.13

La o retea trifazata si simetrica directa, cu tensiunea de 380[v], este legat in stea, o sarcina dezechilibrata formata dintr-un condensator C, o bobina L si un rezistor R. neutrul stelei N este legat la nulul sursei O. Cunoscind ca ωL=1/ Ωc = R =100[Ω], se cere sa reprezentati diagrama fazoriala a tensiunilor si a curentilor pe fazele receptoare, precum si curentul prin conductorul de nul INO. In cazul intreruperii conductorului de nul, care este tensiunea UNO si care sint curentii prin fazele receptoare? Repetari calculele pentru aceeasi sarcina dar alimentata la o retea trifazata simetrica inversa.

4.2.6 CONVERSIA TRIUNGHI → STEA

Modificarea conexiunii impedantelor din triunghi in stea este utilizata pentru:

• reducerea temporara a puterii (exemplu – pornirea motoarelor asincrone);

• alimentarea consumatorului trifazat la o retea cu tensiunea de √3 mai mare.

a) Reducerea puterii absorbite

Daca tensiunea retelei si impedanta sarcinii ramin nemodificate, conversia conexiunii din triunghi in stea, conduce la urmatoarele modificari:

• tensiunea de faza se reduce de √3;

• curentul de faza se reduce de √3 ori;

• curentul de linie se reduce de 3 ori.

Ca atare puterea obsorbita de sarcina devine de 3 ori mai mica:

b) Adaptarea la o tensiune mai mare

In SUA tensiunea de linie are valoarea de 220V (tensiunea de faza 127V). Daca consumatorul are conexiunea Δ va putea fi utilizat in CE, unde tensiunea de linie are valoarea 380V ( tensiunea de faza 220V), prin modificarea conexiunii din Δ in Y.

Tensiunea, curentul si puterea de faza nu se modifica, deci consumatorul nu este suprasolicitat. Frecventa

ΔY P3

1P

Studiul regimurilor nesimetrice in retele cu numar mare de linii de transport, transformatoare, generatoare si motoare trifazate se face dificil prin metode clasice, in special datorita prezentei cuplajelor magnetice intre elementele mobile (rotor si stator) ale masinilor electrice.

Metoda componentelor simetrice, recomandata pentru rezolvarea regimurilor trifazate nesimetrice ale circuite liniare, consta in calculul a trei regimuri simetrice.

4.2.6. METODA COMPONENTELOR SIMETRICE

a) descompunerea sistemului nesimetric in trei sisteme simetrice

Eh1 = Eh2= Eh3= Eh

simetric homopolar

Ed1 = Ed

Ed2 = a2·Ed

Ed3 = a· Ed

Ei1 = Ei

Ei2 = a· Ei

Ei3 = a2·Ei

E1 = Eh + Ed + Ei

E2 = Eh+ a2·Ed2+ a·Ei2

E3 = Eh+ a·Ed3+ a2·Ei3E1 = Eh1+ Ed1+ Ei1

E2 = Eh2+ Ed2+ Ei2

E3 = Eh3+ Ed3+ Ei3

&simetric direct

simetric invers

nesimetric

j33

aa1

aa1

111

Δ2

2

sistem compatibil determinat

Fig.4.22 Reprezentarea geometrica a descompunerii sistemului trifazat nesimetric in componente trifazate simetrice

+≡ +nesimetric simetric

homopolarsimetric direct

simetric invers

E1

E3

E2

Ei1= Ei

Ei2= a·EiEi3= a2·EiEd3= a·Ed

Ed2= a2·Ed

Ed1= EdEh1= Eh2= Eh3= Eh

E1

E2

E3

Ei1

Ei2

Ei3

Ed3

Ed2

Ed1Eh

Eh

EhE1 = Eh1+ Ed1+ Ei1

E2 = Eh2+ Ed2+ Ei2

E3 = Eh3+ Ed3+ Ei3

Ed1 = Ed

Ed2 = a2·Ed

Ed3 = a· Ed

Ei1 = Ei

Ei2 = a· Ei

Ei3 = a2·Ei

b) calculul componentelor simetrice

Eh = ( E1 + E2 + E3 )

Ed = ( E1+ a·E2+ a2·E3)

Ei = ( E1+ a2·E2+ a·E3)

• se cunosc marimile sistemului trifazat nesimetric: E1, E2 si E3;

• componentele sistemelor simetrice Eh, Ed si Ei se calculeaza cu relatiile:

3

1

3

1

3

1

Problema 4.11Sa se calculeze componentele simetrice ale sistemului nesimetric de tensiuni electrice cu valorile instantanee: u1(t) = 10√2·sin(100πt)[V], u2(t) = u3(t) = 10√2·sin(100πt+π/2)[V].Rezolvare:

Fazorii acestor tensiuni sint: U1= 10[V]; U2 = U3 = 10·ejπ/2 = j10[V].

Valorile complexe (fazorii) componentelor simetrice ale tensiunilor sint:

Uh = 1/3·(10 +j10 +j10) = 10/3·(1+j2) [V];

Ud = 1/3·(10 +a·j10 +a2·j10) = 10/3·[1+(-1/2+j√3/2)·j+ (-1/2-j√3/2)·j] = 10/3·(1- j) [V];

Ui = 1/3·(10 +a2·j10 +a·j10) = 10/3·[1+(a2+a)·j] = 10/3·(1- j) [V];

c) calculul puterilor cu ajutorul componentelor simetrice

S = U1·I1* + U2·I2* + U3·I3*,

unde: U1, U2, U3 sint tensiunile de faza, iar I1, I2, I3 curentii de faza.

Functie de componentele simetrice:

U1 = Uh+ Ud+ Ui; U2 = Uh+ a2Ud+ aUi; U3 = Uh+ aUd+a2Ui,

expresia puterii compleze devine:

S = Uh(I1* + I2* + I3*) + Ud(I1* + a2·I2* + a·I3*) + Ui(I1* + a·I2* +a2·I3*).

Deoarece; a* = a2 si a2* = a, rezulta:

S = 3Uh·Ih* + 3Ud·Id* + 3Ui·Ii*.

d) transformator de nulO retea de joasa tensiune (j.t.) este alimentata printr-un transformator trifazat T1 alimentat la o retea de inalta tensiune (i.t.). Ambele infasurari sint conectate in stea, cu nul accesibil in secundar (j.t.) si cu nulul izolat in primar (i.t.). Aceasta ultima conditie implica:

IA + IB + IC = 0. Conform teorie transformatorului ideal, curentii din infasurarile corespunzatoare ale primarului (i.t.) si secundarului (j.t.) sint proportionali, diferind numai prin numarul de spire. Ca atare relatia este adevarata si pentru curentii de linie din reteaua de j.t.:

IR+ IS+ IT = 0.Deoarece suma curentilor de linie este nula, obligatoriu si componenta homopolara va fi tot nula. Astfel, in cazul conectarii unei sarcini dezechilibrate, nu se poate garanta mentinerea tensiunii de faza.In cazul particular al conectarii unei sarcini monofazate Z (de exemplu intre faza T si nulul N), conditia IR = IS = 0 conduce la IT = 0 si UTN = 0. Pentru garantarea unei alimentari corecte a sarcinii trebuie conectat, in reteaua de joasa tensiune, un al doilea transformator, numit transformator de nul, cu primarul in stea cu nul accesibil si secundarul in triunghi. Acest transformator este capabil sa furnizeze componenta homopolara Ih ceruta. Conexiunea in triunghi a secundarului transformatorului T2 asigura egalitatea curentilor din primar.In cazul sarcinii monofazate unice Z, curentii ceruti sint I1 = I2 = 0 si I3 = I = UTN/Z. Descompunerea in componente simetrice arata ca transformatorul t2 se comporta ca un circuit deschis 9impedanta infinita) pentru componentele directa si inversa si ca un scurtcircuit (impedanta nula) pentru componenta homopolara.

teoriatransformatorului

Fig. 4.23 Tratarea nulului intr-o retea de joasa tensiune

I2

I1

I3

IB

IA

IC IT

IS

IR Ih

S

R

T

N

Ih

Ih

IR+IS+IT =0 3Ih

Z

T1 T2

retea de inalta tensiune retea de joasa tensiune

IA+IB+IC=0