Teoria relativitii restrnse 53

3. TEORIA RELATIVITII RESTRNSE n capitolul 1 am artat c legile mecanicii sunt aceleai

n orice sistem de referin inerial (principiul relativitii lui Galilei) i c oricare ar fi transformrile Galilei de coordonate, legile mecanicii au un caracter invariant. Drept consecin, nu exist nici un experiment mecanic prin care s se pun n eviden starea de micare sau de repaus relativ a unui referenial dat. Ca atare nici micarea Pmntului fa de un referenial absolut, nu poate fi pus n eviden prin experimente mecanice.

n schimb, se poate arta uor prin calcul direct, c ecuaiile lui Maxwell pentru electromagnetism nu sunt invariante n raport cu transformarea Galilei.

Exist oare un alt gen de experiment fizic (cum ar fi cel optic) care s pun n eviden micarea unui referenial n raport cu referenialul absolut? Dac rspunsul este da, ce reprezint acest referenial absolut?

3.1. Cteva chestiuni premergtoare teoriei relativitii Cunotinele i teoriile fizice existente la sfritul

secolului XIX ajunseser ntr-un impas. Mecanica newtonian se dovedea incapabil s explice mulumitor o mulime de fenomene cunoscute experimental, n special cele electromagnetice. Inventarea eterului, ca o substan foarte fin, imponderabil, care umple spaiul vid i care servete ca suport al undelor luminoase este o prim ncercare n explicarea noilor fenomene. Mai trziu, pe baza analogiei dintre undele electromagnetice i cele elastice, eterul a fost

Mihail Cristea - Fizic general 54

considerat ca fiind un corp elastic ce umple tot Universul, inclusiv spaiul din interiorul corpurilor. Apare imediat problema modului de micare al eterului i a modului de interacie dintre micarea acestuia i micarea materiei.

Asupra eterului au existat mai multe ipoteze: - ipoteza eterului absolut antrenat de corpurile n micare

(ipoteza lui Hertz i Stokes), - ipoteza eterului parial antrenat (ipoteza lui Fresnel), - ipoteza eterului absolut fix (ipoteza lui Lorentz).

3.1.1. Experiena lui Fizeau

Prin aceast experien (1851) sa ncearcat verificarea

direct a ipotezei lui Hertz n care antrenarea eterului este complet n imediata vecintate a corpurilor i scade pe msur ce distana fa de corp crete. Schema dispozitivului experimental este prezentat n Fig. 3.1. El conine o lam semitransparent care divizeaz n dou fascicolul trimis de sursa S. Acestea strbat ramurile de lungime l ale tubului cu ap i cu ajutorul unor oglinzi sunt puse s interfere. Figura de interferen depinde de diferena de faz (de timp) dintre cele dou fascicole.

Cnd lichidul din tub (apa) rmne nemicat, se obine o anumit distribuie a franjelor de interferen. Dac n timpul curgerii lichidului cu viteza v eterul din interiorul apei este complet antrenat, atunci viteza de propagare a luminii n raport cu lichidul va fi

ncc /1 . Dac se msoara viteza luminii n Fig. 3.1.

v

v

S

Teoria relativitii restrnse 55

raport cu oglinzile (SRI), atunci viteza luminii va fi vc 1 pentru fascicolul 1 (care se propag n sens contrar curgerii

lichidului) i vc 1 pentru fascicolul 2. Diferena dintre intervalele de timp n care fascicolele parcurg distana 2l este:

2

2

2222

2

11

4/1

422c

vnlcnv

vc

nlvc

lvc

lt

(3.10)

Diferena de faz va fi cvnlt

28

, adic un

efect de ordinul nti n cv / . Experimentul nu a confirmat antrenarea total a eterului, dei o mic deplasare a franjelor a fost observat. A fost astfel gsit un coeficient de antrenare

434.0k , n acord cu teoria dat de Fresnel ( 211 nk , 3/4n fiind indicele de refracie al apei). n 1915, Zeeman a

reluat experimentul confirmnd din nou formula lui Fresnel. Dar asta ar fi nsemnat c nu exist doar un eter, ci o puzderie de eteruri pentru cte lungimi de und luminoase exist. Aceste eteruri ar trebui s fie antrenate cu viteze diferite, corespunztor fiecrei lungimi de und. Fr ndoial, rezultatul este greu de acceptat, fiind considerat absurd.

3.1.2. Experiena lui Michelson i Morley

Odat cu formularea teoriei electronilor, Lorentz admite ideea eterului n repaus absolut n spaiu. Acest eter complet neantrenat (fix) ar fi un sistem de referin absolut. Teoria lui Lorentz explica mulumitor fenomenele electromagnetice, dar trebuia verificat prin efecte de ordinul al doilea ( 222 / cv ), care ar fi putut pune n eviden micarea Pmntului prin eter. n 1881, Michelson (la 28 de ani) efectueaz un experiment pentru a pune n eviden vntul

Mihail Cristea - Fizic general 56

eteric prezis de ipoteza lui Lorentz a eterului imobil (se ncearc, deci, o verificare a existenei referenialului absolut al lui Newton). Experiena, bazat pe un fenomen de interferen, nu pune n eviden nici o deplasare de franje.

n 1887, Michelson apeleaz la profesorul de chimie Morley, un excelent experimentator de la Universitatea din Cleveland i refac mpreun experimentul cu un interferometru Michelson, a crui reprezentare schematic este artat n figura 3.2.

Un fascicol de lumin este divizat n dou cu ajutorul unei lame semitransparente (LS). Cele dou fascicole sunt reflectate de oglinzile 1O i 2O i puse s interfere. Lama compensatoare LC (identic cu lama semitransparent LS) este pus de aa manier ca fiecare fascicol s parcurg acelai drum optic prin sticl. Iniial, braul de lungime 1l este orientat n direcia de micare a Pmntului prin eter, iar braul de lungime 2l este orientat pe direcie perpendicular.

Astfel, timpii necesari razelor de lumin 1 i 2 pentru

parcurgerea braelor interferometrului sunt:

2111

11

12

cl

vcl

vclt (3.11)

LC

LS

Fig. 3.2.

B A

I

O2

22tc

22tv

l2

O2

O1 S

l2

l1 v

Teoria relativitii restrnse 57

22

2222

1

12

cltIBIAAB

n cazul n care braele interferometrului sunt egale, diferena de timp pentru cele dou raze este:

222/12221 2

111211

12cl

clttt

2cl (3.12)

Prin rotirea aparatului cu 90o timpii devin

21'

11

12

clt , respectiv 2

2'2

112

clt , iar diferena de

timp pentru cazul cnd braele sunt egale 2'2'1

' clttt .

Prin rotirea aparatului, diferena total de timp variaz cu 2' 2

cltt , ceea ce ar trebui s conduc la o

deplasare a franjelor cu un numr 22

lTN . Michelson

i Morley au utilizat un interferometru cu braele de 11 m, i au folosit lumina galben cu lungimea de und de 590 nm. Pentru o vitez de deplasare a Pmntului n jurul Soarelui de 30 km/s, ar fi trebuit s apar o deplasare a franjelor cu 3728.0N , adic, mai mult de o treime din interfranj. Rezultatul a fost negativ, cu toat precizia aparatului care putea sesiza o deplasare a Terrei cu numai 5 km/s.

Experiena a fost apoi reluat pe alte continente, n diverse anotimpuri, la diverse latitudini, cu lumin de la stele diferite. Rezultatul: nu s-a observat nici o deplasare semnificativ a franjelor. Ultima experien de tip Michelson a fost realizat n 1958 de ctre Charles Towns (Universitatea Columbia) care a lucrat cu radiaia unui maser, realiznd o

Mihail Cristea - Fizic general 58

precizie uimitoare. Nu a fost pus n eviden nici o deplasare de franje.

Necesitatea explicrii teoretice a rezultatului negativ al experienei Michelson (reluate de mii de ori) a ridicat din nou i pentru ultima oar problema corectitudinii eterului ca referenial absolut, care fie fix, fie mobil, fie parial antrenat, contrazicea unele sau altele din datele experimentale. Experiena lui Michelson i Morley dovedete c efectele eterului sunt nedetectabile i deci acest mediu ipotetic nu exist.

Cea dinti ncercare de explicare a eecului experimentului Michelson-Morley a fost formulat de profesorul Fitzgerald de la Trinity College din Dublin (1883). Pentru a nu avea o deplasare a franjelor, ar trebui ca cei doi timpi 1t i 2t s fie egali, adic:

22

21

1

121

12

cl

cl

(3.13)

ceea ce n cazul interferometrului cu brae egale, ar conduce la o contracie a braului interferometrului pe direcia de micare a Terrei n jurul Soarelui, de tipul

21' ll (3.14) Lorentz a ncercat s justifice (nu s explice) aceast

contracie plecnd de la structura electronic a substanei. Cnd corpul se mic, se mic toi electronii i cmpurile magnetice datorate sarcinilor n micare sunt deformate. Forele de coeziune se modific i de aici apare contracia. Factorul

21 a fost numit factorul de contracie Lorentz-Fitzgerald.

3.1.3. Ipoteza lui Lorentz Lorentz afirm (1895) c nu ar fi posibil punerea n

eviden a deplasri franjelor de interferen din dispozitivul

Teoria relativitii restrnse 59

Michelson, dect dac ecuaia de propagare a undelor luminoase nu i modific forma la trecerea de la un referenial la altul. Astfel, utiliznd ecuaia undelor electromagnetice prezis de Maxwell (care nu e invariant n raport cu transformare Galilei)

01 22

22

2

2

2

2

2

tczyx (3.16)

el gsete, pur matematic, nite relaii de transformare )',',','( tzyxxx , )',',','( tzyxyy , )',',','( tzyxzz ,

)',',','( tzyxtt , care fac ca ecuaia undelor s se scrie n aceeai form n orice alt SRI:

0'

''1

''

''

''

2

2

22

2

2

2

2

2

tczyx (3.17)

Aceste relaii de transformare difer mult de cele din mecanica clasic (Galilei). n plus, n expresia timpului apare o modificare: t nu mai este egal cu t , precum concepia timpului absolut, ci are o expresie mai complicat. Valoarea lui t dintr-un punct al unui SRI variaz cu x . De aceea, Lorentz l-a numit timp local. Dar el nu a ncercat s precizeze semnificaia fizic a timpului local t, ci l-a considerat un parametru matematic, necesar pentru pstrarea neschimbat a formei ecuaiilor electromagnetismului cnd se trece de la un SRI la altul.

3.2. Principiile teoriei relativitii restrnse

Teoria relativitii restrnse (TRR) poate fi construit pe baza principiilor fundamentale, formulate de Einstein (1905): principiul relativitii einsteiniene i principiul independenei vitezei de propagare a luminii de viteza sursei i de cea a

Mihail Cristea - Fizic general 60

observatorului. La acestea dou se poate aduga un principiu general de coresponden.

Principiul I. Toate fenomenele fizice (mecanice, electromagnetice, atomice, etc.) evolueaz identic n sisteme de referin ineriale dac condiiile iniiale sunt aceleai. Rezult ca o consecin direct, c prin nici un experiment fizic efectuat ntr-un sistem de referin inerial nu se poate pune n eviden starea de micare sau de repaus relativ. Principiul relativitii einsteiniene reprezint o extindere a principiului relativitii galileiene la toate fenomenele din natur.

Principiul al II-lea. Viteza de propagare a interaciilor este limitat superior de viteza de propagare a luminii n vid. Aceasta are aceeai valoare n orice SRI i nu depinde de micarea sistemului i de direcia de propagare. Rezultatul negativ al experimentului Michelson-Morley a fost interpretat de Einstein n sensul postulatului de mai sus.

Principiul al III-lea (principiul de coresponden). Legile mecanicii relativiste converg spre legile mecanicii clasice atunci cnd vitezele sunt mult mai mici dect viteza luminii n vid ( cv ). Compatibilitatea rezultatelor celor dou teorii att ntre ele ct i cu datele experimentale, va fi asigurat de expresii matematice analoge ale variabilelor dinamice i ale legilor fizicii.

3.3. Relaiile de transformare Lorentz-Einstein

Considerm sistemele de referin ineriale S i 'S pentru care originile coincid la momentul 0t . Axele sistemelor sunt paralele, iar

'S se deplaseaz n lungul axei Ox cu viteza v . Pentru

Fig. 3.3.

x

y y

z

x

z

O O

P

r 'r

v

Teoria relativitii restrnse 61

aceast situaie 'yy i 'zz . Presupunem c din originea comun se emite un semnal

luminos n direcia Ox . Conform principiului invarianei vitezei luminii avem tcx i '' tcx . Vom presupune c relaiile de transformare din teoria relativitii restrnse difer de cele din mecanica clasic printr-o constatanta , care la limit tinde spre 1 (cnd 0cv ). Rezult:

'''' tvtctcvtxx (3.18) tvtctcvtxx '' (3.19)

nmulind cele dou relaii, rezult expresia constantei: 211 . Astfel, obinem relaiile de transformare

directe i inverse a coordonatelor spaiale:

',',1

''2

zzyytvxx

(3.20)

zzyytvxx

',',

1'

2 (3.21)

Relaia de transformare a timpului poate fi obinut prin eliminarea lui x sau x din relaiile anterioare. Spre exemplu:

2

2

2

2

1

/'1

'1

cxvtt

tvtvx

x i analog

2

2

1

/''

cvxtt .

Prin urmare, formulele care dau transformarea Lorentz special direct i invers sunt:

2

2

2 1

/'',',',1

''

cvxttzzyytvxx (3.22)

Mihail Cristea - Fizic general 62

respectiv:

2

2

2 1

/',',',1

'

cxvttzzyytvxx (3.23)

Formulele Lorentz-Einstein au fost deduse n cazul n care referenialul 'S avea o vitez de antrenare v n raport cu S paralel cu axa Ox . Generalizarea pentru o micare a lui 'S ntr-o direcie arbitrar se poate obine uor, prin descompunerea vitezei v n dou direcii perpendiculare i utiliznd rezultatele anterioare. Sub form vectorial, transformarea Lorentz este dat de formulele:

tvvv

vrrr

222 1

111

1' (3.24)

221

1'c

vrtt

(3.25)

Aceste relaii de transformare sunt cunoscute sub numele de relaiile Lorentz-Hergloz.

3.4. Consecine cinematice ale transformrilor Lorentz-Einstein

3.4.1. Contracia lungimilor

S considerm o bar aflat n repaus n sistemul de

referin S . Un astfel de sistem n care corpul este n repaus se numete sistem propriu. Lungimea barei n sistemul propriu 0l se obine ca diferen a coordonatelor capetelor barei msurate la acelai moment de timp 120 xxl i se numete lungime proprie. Pentru un observator 'S care se mic cu viteza v fa

Teoria relativitii restrnse 63

de S , lungimea barei va fi obinut msurnd la acelai moment de timp 't coordonatele capetelor barei:

',', 1'12'2 txxtxxl

202

12

2 1'1'1

lvtxvtx

(3.26) Se observ c dimensiunea unui obiect este maxim n

sistemul propriu. De asemenea, date fiind relaiile de transformare Lorentz-Einstein, este evident c pe direcie transversal nu exist contracie a lungimilor.

Analog, dac V este volumul propriu al unui corp, atunci volumul 'V fa de un referenial 'S n raport cu care corpul se

deplaseaz cu viteza v este 21' VV .

3.4.2. Dilatarea duratelor Fie un proces fizic ce se desfoar n punctul de

coordonate zyx ,, al sistemului S , a crui durat va fi msurat de un observator aflat n repaus. Durata proprie 0 va fi: 120 tt .

Un observator n micare (sistemul 'S ) va msura durata procesului '1

'2 tt cu

'2t i

'1t msurai n acelai

punct al spaiului:

020

2

21

2

22

1'12

'2

11

/

1

/,,

cvxtcvxtxttxtt

(3.27) Se observ din ultima relaie c durata de desfurare a

unui proces este minim atunci cnd aceasta este msurat n sistemul propriu.

Mihail Cristea - Fizic general 64

Acest efect se numete dilatarea timpului. Ceasurile n micare par a rmne n urma celor aflate n repaus. Faptul nu este uor de neles n mod intuitiv i o mulime de paradoxuri aparente pot apare dac situaiile nu sunt analizate cu atenie (cel mai vestit dintre ele fiind paradoxul gemenilor). Toate aceste situaii decurg natural i devin logice dac se admite constana vitezei luminii. Acesta fiind singurul lucru misterios n teoria relativitii !!!

3.4.3. Caracterul relativ al simultaneitii Dou evenimente simultane n S , ca de exemplu

msurarea capetelor riglei de mai sus, tx ,1 i tx ,2 , nu mai sunt simultane n 'S . Utiliznd relaiile de transformare Lorentz avem:

22

22'

222

21'

1/1

/

/1

/

cv

cvxttcv

cvxtt

(3.28)

astfel nct

0/1

/'

22

212'

1'2

cv

cvxxttt . Dou

evenimente simultane n S nu mai sunt simultane n nici un sistem 'S care se mic uniform fa de S , dect numai dac cele dou evenimente se petrec n acelai punct din spaiu.

Fie dou evenimente din S care au loc n punctele 1x i

2x la momentele 1t i 2t , 12 tt . Dac aceste evenimente se afl ntr-o relaie cauzal, viteza de propagare a interaciei este:

12

12ttxxv p

(3.29)

Pe baza transformrilor Lorentz, avem:

Teoria relativitii restrnse 65

2

21212

2

211

2

222'

1'2

1

/

1

/

1

/

cvxxttcvxtcvxttt

(3.30) Pentru c n orice referenial inerial cauza trebuie s

precead efectul, este necesar ca 0'1'2 tt . Rezult c:

0101212

122

pv

cv

ttxx

cv (3.31)

Deoarece v poate fi orict de aproape de c , condiia de mai sus este ndeplinit dac

cv p (3.32)

adic propagarea interaciilor nu poate avea loc cu viteze pv mai mari dect viteza luminii n vid. Astfel, succesiunea cauz-efect capt un caracter absolut.

3.4.4. Legea de compunere a vitezelor

Vom defini tru

dd

respectiv 'd'd'

tru

vitezele unui

mobil n cele dou sisteme de referin ineriale. innd cont de relaiile de transformare Lorentz-Einstein i efectund derivrile ca funcii compuse, avem pentru componenta vitezei pe axa Ox:

'dd1

1'd'd

d'd

1

'''d

dd

','d22

tt

vtx

ttvtx

tttxxux

Pe de alt parte 2

2'

2

2

1

/1

1

/'''d

d'd

d

cvucvxttt

t x , astfel

nct:

Mihail Cristea - Fizic general 66

2'

'

/1 cvuvuu

x

xx

(3.33a)

Analog, pentru componentele vitezei pe axele Oy i Oz se obin expresiile:

2'

2

/1

1'

d'd

'd'd

dd

cvuu

tt

ty

tyu

xyy

(3.33b)

i

2'

2

/1

1'

cvuuu

xzz

(3.33c)

Rezumnd, legile de compunere directe i inverse a vitezelor n teoria relativitii restrnse sunt:

2'

2

2'

2

2'

/11

'

/11

'

/1'

cvuuu

cvuuu

cvuvuu

xzz

xyy

x

xx

2

2

2

2

2

/1

1'

/1

1'

/1'

cvuuu

cvuuu

cvuvuu

xzz

xyy

x

xx

(3.34)

O proprietate important a formulelor (3.34) este consecvena ei surprinztoare n ceea ce privete constana vitezei luminii n vid. Dac se sumeaz viteza luminii n vid cu oricare alt vitez (mai mic dect cea a luminii), rezultatul este ntotdeauna nsi viteza luminii. Astfel, dac un semnal luminos este emis din originea sistemului S n direcia Ox cu viteza c, atunci, ntr-un sistem 'S ce sedeplaseaz n lungul lui

Ox cu viteza v, se obine: cccvvcu x

2

21/' .

Teoria relativitii restrnse 67

Lsm n seama cititorului s arate c indiferent de direcia de emisie a semnalului din S , el va avea aceeai vitez c n orice sistem de referin.

Dac un foton se deplaseaz cu viteza cu x ' n sistemul

'S , iar 'S se deplaseaz cu viteza c fa de sistemul S n lungul axei Ox , fotonul va avea n S viteza c i nu c2 . Faptul c c apare ca o vitez limit este o consecin a structurii ecuaiilor (3.34) de compunere a vitezelor.

Menionm c nu exist nici un sistem de referin n care fotonul (cuanta de lumin) s fie n repaus.

3.4.5. Efectul Doppler-Fizeau relativist Acest efect const n schimbarea frecvenei unui semnal,

n funcie de viteza relativ a sursei i observatorului. S considerm n sistemul de referin S o und monocromatic plan de frecven i normal n la frontul de und. Fa de un sistem de referin inerial 'S aflat n micare fa de S cu viteza v n sensul axei Ox (Fig. 3.4.), frecvena aceleeai unde va fi ' , iar normala la frontul de und 'n .

Fig. 3.4.

x

y v

'n

'r

'x

y

r

i

n

j

Mihail Cristea - Fizic general 68

innd cont c sincos1 jijyixrr r

sincos yx , funcia de und poate fi scris n sistemul S n forma:

c

yxtAcrtA sincos2cos2cos

(3.35) iar n sistemul 'S :

c

yxtA 'sin''cos'''2cos (3.36)

Deoarece faza undei trebuie s fie invariant, rezult:

c

yxtc

yxt 'sin''cos'''sincos (3.37)

Folosind formulele de transformare Lorentz, obinem:

c

ycvcvx

cvcv

tsin'/1cos'

/1

cos1'

22

22

c

yxt 'sin''cos''' (3.38)

Deoarece ',' yx i 't sunt variabile independente, rezult c n ultima relaie coeficienii corespunztori acestor variabile sunt egali:

'/1

cos1

22

cvcv

(3.39)

'cos'/1

/cos22

cv

cv (3.40)

'sin'sin (3.41)

Teoria relativitii restrnse 69

Din ultimele dou relaii obinem c unghiurile pe care le face direcia de propagare cu axele Ox , respectiv '' xO sunt diferite:

sec1

/1'22

cv

cvtgtg (3.42)

Frecvena vzut de observatorul din 'S este:

22 /1

cos1'

cvcv

(3.43)

i) Dac direcia de observare coincide cu direcia de deplasare a lui 'S fa de S ( 0 , sursa se deprteaz de observatorul aflat n repaus fa de sistemul 'S ) avem:

vcvc

cv

cv

22 /1

/1' (3.44)

ii) Dac sursa se mic n sens contrar, atunci , ceea ce nseamn c sursa se apropie de observator, atunci:

vcvc

cv

cv

22 /1

/1' (3.45)

iii) Dac observarea se face perpendicular pe direcia de deplasare a sursei ( 2/ ), rezult:

22 /1

1'cv

(3.46)

Cazurile i) i ii) reprezint formulele pentru efectul Doppler longitudinal, n timp ce cazul iii) reprezint efectul Doppler transversal. Acesta este un efect pur relativist. Efectul Doppler transversal a fost observat experimental de ctre Ives i Stilwell (1938) care au msurat deplasarea liniilor spectrale

Mihail Cristea - Fizic general 70

emise de ionii care formau un fascicol de raze canal. Aceti ioni se deplasau cu o vitez egal cu 106 m/s.