11. Serii de puteri. Teorema lui Abel.

Dezvoltări în serie Taylor Fie şirul de funcţii CDDzzf n ⊂∈ ,)),(( . Spunem că şirul de funcţii considerat este convergent în punctul Dz ∈0 dacă şirul de numere complexe

))(( 0zf n este convergent. Definiţia 1. Şirul de funcţii Dzzf n ∈)),(( este uniform convergent pe mulţimea DA ⊂ către funcţia Azzf ∈),( , , dacă pentru orice număr 0>ε

există un număr natural )(0 εn astfel încât pentru )(0 εnn > să avem: Azzfzf n ∈∀<− ,)()( ε .

1

Onl

y fo

r stu

dent

s

Fie seria de funcţii ∑∞

=1

)(n

n zf . Spunem că seria este convergentă în Dz ∈0 ,

dacă seria ∑∞

=10 )(

nn zf . este convergentă. Mulţimea punctelor de convergenţă

ale seriei le numim mulţimea de convergenţă.

Definiţia 2. Seria de funcţii ∑∞

=1

)(n

n zf este uniform convergentă pe

mulţimea DA ⊂ şi are suma funcţia AzzS ∈),( , dacă şirul sumelor parţiale

))(( zSn al seriei ∑∞

1

)(zf n , unde:

DzzfzfzfzS nn ∈+++= ),(...)()()( 21 converge uniform pe mulţimea A către S(z). Are loc:

Propoziţia 1. Fie Dzzfn

n ∈∑∞

=

,)(1

, o serie de funcţii şi 0,0

>∑∞

=n

nn uu , o

serie convergentă. Dacă pentru orice DAz ⊂∈ , şi nn uzfNn ≤∈∀ )(, ,atunci

seria de funcţii ∑∞

=1

)(n

n zf , este uniform convergentă pe mulţimea DA ⊂ .

Dacă nnn zczf =)( , sau n

n azc )( − , obţinem seriile de puteri: ∑∞

=1n

nn zc , sau

nn

nn cazc ,)(

1∑

∞

=

− şi Ca ∈ .

Are loc:

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri ∑∞

=1n

nn zc există un număr

R 0≥ numit rază de convergenţă, căruia îi corespunde în planul complex cercul ΙzΙ=R numit cerc de convergenţă, având următoarele proprietăţi:

1. În interiorul cercului de convergenţă Rz < seria de puteri este

absolut convergentă; 2. În exteriorul cercului de convergenţă Rz > seria este divergentă;

3. În orice disc interior cercului de convergenţă Rrz <≤ seria este

uniform convergentă. Ca şi în cazul seriilor de puteri reale, raza de convergenţă se determină conform teoremei Cauchy - Hadamard

2

Onl

y fo

r stu

dent

s

nnc

n

R lim___

,1

∞→

== ωω

(1) sau

n

n

c

c

n

R 1lim___

,1 +

∞→

== ωω

.

Dezvoltări în serie Taylor. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-un domeniu D şi a un punct interior lui D. Considerăm un cerc (C) cu centrul în punctul a şi de rază r situat în domeniul de olomorfie (figura) y D r u z a ρ C x 0 Vom nota cu z un punct interior cercului (C) şi , şi cu u un punct oarecare de pe (C), rau =− . Conform formulei lui Cauchy putem scrie:

(2) ∫ −=

C

duzu

uf

izf

)(

2

1)(

π.Observăm că :

(3)

−

−

−+

−

−++

−

−+

−=

−⋅

−=

− −−

+

−−

auaz

nn

auaz au

az

au

az

au

az

auauzu 1

1...1

1

1

1111

Înlocuind relaţia (3) în (2), vom obţine: (4)

∫ ∫ ∫ +−

−++

−

−+

−=

+

C C

n

Cn

n

Rduau

uf

i

azdu

au

uf

i

azdu

au

uf

izf

12 )(

)(

2

)(...

)(

)(

2

)(

2

1)(

πππ

unde

(5) ∫ −−−−

−=

+

+

Cn

n

nazauau

duuf

i

azR

)]()[()(

)(

2

)(1

1

π .

3

Onl

y fo

r stu

dent

s

Ţinând seama de expresia derivatelor unei funcţii olomorfe,

∫ +−=

Cn

n

au

duuf

i

naf

1)(

)(

)(

2

!)(

π egalitatea (4) devine:

(6) nn

n

Razn

afaz

afafzf +−++−+= )(

!

)(...)(

!1

)()()(

)(/

.

Notând )(sup zfMCz∈

= , obţinem pentru termenul complementar nR :

∫∫ ⋅−

⋅

≤

−⋅−

−≤

+

+

+

C

n

Cn

n

n udrr

M

rau

udufazR

ρ

ρ

πρπ

1

2

)(

2

1

1

1

adică 1+

⋅

−≤

n

n rr

MrR

ρ

ρ. Cum 1<

r

ρ rezultă 0lim =∞→

nn

R şi din (6) obţinem:

(7) ∑∞

=

−=0

)(

)(!

)()(

n

nn

azn

afzf

care reprezintă dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei olomorfe f(z) . 12. Seria lui Laurent. Puncte singulare. Fie f(z) o funcţie olomorfă într-o coroană circulară { }12 razrD ≤−≤= :

y )( 1γ D 1r

*u * z a 2r )( 2γ 0 *v x

Vom nota cu 1γ şi 2γ cercurile ce delimitează coroana circulară D.

Ne propunem să găsim pentru funcţia f(z) o reprezentare sub formă de serie după puterile lui z-a. Dezvoltarea găsită se va numi dezvoltarea funcţiei f(z) în serie Laurent în coroana circulară D. Aceasta ne va conduce la o generalizare a seriilor de puteri, ajungându-se la serii bilaterale, cu ocazia cărora se va introduce şi noţiunea de reziduu. Fie z un punct interior coroanei D. Atunci conform formulei integrale a lui Cauchy pentru domeniile dublu conexe, pentru valoarea funcţiei f(z) avem expresia:

(1) ∫∫ −−

−=

21

)(

2

1)(

2

1)(

γγππ zu

duuf

izv

dvvf

izf .

4

Onl

y fo

r stu

dent

s

Punctul z fiind interior cercului )( 1γ , procedând ca şi în cazul seriei Taylor, prima integrală din (1) se poate scrie sub forma unei serii Taylor:

(2) n

nn azc

zv

dvvf

i∑∫

∞

=

−=− 0

)()(

2

1

1γπ

unde:

(3) ,...}2,1,0{,)(

)(

2

1

1

1∈

−= ∫ +

nav

dvvf

ic

nn

γπ

.

A doua integrală din (1) se poate scrie sub forma

( ) ( )∫ ∫∫

−⋅++++

−=

−−−=

−−

−−

+

−−

−−

−−

2 221

1...1

)(

2

1

)()(

)(

2

1)(

2

1 1

γ γγπππ

duaz

uf

iauaz

duuf

izu

duuf

i azau

n

azaun

azau

azau

Notând cu u un punct oarecare de pe cercul ( 2γ ) şi az −=ρ , avem

12 <=−−

ρ

razau .

Deci:

(4) ∫∑∫ +−⋅−

=−

− −+

=22

11

1

))((2

1

)(

1)(

2

1

γγ ππn

kn

kk

Rduauufiazzu

duuf

i unde

(5) duufi

R azn

azau

n −

+

−− ⋅= ∫ 11))((

2

1

2γπ

.

Aplicând proprietatea modulului integralei în complex şi notând )(sup

2

zfMz γ∈

= ,obţinem:

2

2

1

2

r

rrMR

n

n−

⋅≤

+

ρρ .

Deoarece 12 <ρ

r , rezultă 0lim =∞→

nn

R şi astfel relaţia (4) devine:

∑∫∞

=

−− −=

− 1

)()(

2

1

2n

nn azc

uz

duuf

i γπ, unde

(6) duauufi

c nn

1))((2

1

2

−− ∫ −=

γπ .

Înlocuind expresiile (2) şi (6) în (1), obţinem pentru funcţia f(z) în coroana

5

Onl

y fo

r stu

dent

s

circulară D următoarea dezvoltare:

(7) ∑ ∑ ∑∞

−∞=

−

−∞=

∞

=

−+−=−=n n n

nn

nn

nn azcazcazczf

1

0

)()()()( ,

unde

(8) ,,))((2

1Znduauuf

ic n

n ∈−= ∫γπ

iar (γ ) este un cerc oarecare cu centrul în punctul a şi de rază r )( 12 rrr << .

Seriile n

nn

n

nn azcazc )(,)(

0

1

−− ∑∑∞

=

−

−∞=

se numesc respectiv partea principală şi

partea tayloriană a seriei Laurent. Puncte singulare. Definiţia 1. Fie f(z) o funcţie definită în domeniul D şi a un punct aparţinând domeniului D. Spunem că punctul a D∈ este un punct ordinar al funcţiei f(z), dacă există o vecinătate V a punctului a inclusă în D , unde f(z) se poate dezvolta în serie Taylor, deci putem scrie:

(9) ∑∞

=

⊂∈−=0

,)()(n

nn DVzazczf .

Un punct care nu este punct ordinar pentru funcţia f(z) se numeşte punct singular. Un punct a D∈ este un zero multiplu de ordinul m al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a inclus în D astfel încât: (10) 0...],)([)()( 1 ≠+−+−= + mmm

m cazccazzf . Propoziţia 1. Zerourile unei funcţii olomorfe într-un domeniu sunt puncte izolate. Definiţia 2. Un punct a D∈ este un pol al funcţiei f(z), dacă există un cerc cu centrul în punctul a, inclus în domeniul D, în care funcţia f(z) poate fi scrisă sub forma unei serii Laurent cu un număr finit de puteri negative a lui z-a, adică:

(11) ∑∞

=

−− −+−

++−

=0

1 )(...)(

)(n

nnm

m azcaz

c

az

czf .

Numărul m reprezintă ordinul polului z = a al funcţiei f(z). Un punct singular care nu este pol pentru o funcţie se numeşte un

punct singular esenţial. Observăm că dacă a este un punct singular izolat pentru funcţia f(z),

atunci există coroana circulară ∆={0<Ιz- aΙ r≤ } în care f(z) are o dezvoltare în serie Laurent cu o infinitate de termeni cu puteri negative ale lui z-a. Deci, în acest caz putem scrie seria Laurent:

6

Onl

y fo

r stu

dent

s

n

nn azczf )()( −= ∑

∞

−∞=

partea principală a seriei Laurent având un număr infint de termeni. O funcţie f(z) care într-un domeniu D nu are decât puncte ordinare sau poli se numeşte funcţie meromorfă în D. Propoziţia 2. Dacă f(z) este o funcţie raţională ireductibilă )(

)()( zQzPzf = ,

atunci zerourile de ordinul m a lui Q(z) sunt poli de ordinul m pentru funcţia f(z).

7

Onl

y fo

r stu

dent

s