Copyright Paul GASNER 1
3. Sisteme de propagare ghidată a câmpului
electromagnetic
Copyright Paul GASNER 2
● Componente transversale şi longitudinale în propagarea ghidată
● Moduri de undă în ghiduri metalice● Ghidul metalic de secţiune dreptunghiulară● Ghidul metalic de secţiune circulară● Puterea transmisă în ghidul metalic
Copyright Paul GASNER 3
3.1.1 Structuri de propagare ghidată
● Ghiduri metalice sau dielectrice
Copyright Paul GASNER 4
3.1.1 Structuri de propagare ghidată
Copyright Paul GASNER 5
3.1.2 Componente transversale şi longitudinale● În propagarea ghidată, vectorul de undă are aceeaşi direcţie cu direcţia de
propagare (uzual axa Oz)● Expresia generală pentru câmpurile armonice, electric şi magnetic (mărimi
complexe), în ghidul de undă este
trebuie avut în vedere
pentru coordonate carteziene de exemplu
ET= k×E ×k , H T= k× H ×k
∇T=i ∂∂ x
j ∂∂ y
k⋅ ET=0, k⋅ H T=0, k×∇T×ET =0, k×∇T×H T =0
∇=∇Tk ∂∂ z
A r , t = A0r ej t
A r , t = AT Az= A0T e− z e j t A0 z e− z e j t
r=k z(3.1.1)
(3.1.2)
(3.1.3)
(3.1.4)
(3.1.5)
Copyright Paul GASNER 6
3.1.2 Componente transversale şi longitudinale
constanta de propagare în ghid
Din ecuaţiile Maxwell staţionare rezultă
∇T×E0T∇T× k E0 z − k×E0T=− j H 0Tk H 0 z
∇T×H 0T∇T× k H 0 z − k×H 0T= j E0Tk E0 z
≡g=g j g
∇T⋅E0T−E0 z=0
∇ 2=∇T2 ∂2
∂ z2
k⋅∇T=0(3.1.6)
(3.1.9)
(3.1.10)
(3.1.7)
(3.1.8)
∇T⋅H 0T− H 0 z=0
(3.1.11)
(3.1.12)
Copyright Paul GASNER 7
3.1.2 Componente transversale şi longitudinalecomponentele transversale se obţin din
sau, efectuând un nou
componentele longitudinale se obţin din
în mod analog, se obţin componentele longitudinală şi transversală pentru câmpul electric din (3.1.10)
k⋅∇T×E0T =− jH 0 z
∇T E0 z−E0T=− j k×H 0T
k×∇T H 0 z k×H 0T=− jE0T
k×∇T E0 z k×E0T= jH 0T
k×3.1.9
(3.1.16)
(3.1.17)
(3.1.15)
k⋅∇T×H 0T = j E0 z(3.1.18)
(3.1.13) k×∇T E0 z×k − k× k×E0T =− j k×H 0T
(3.1.14)k×
k⋅3.1 .9
Copyright Paul GASNER 8
3.1.2 Componente transversale şi longitudinalesau, în final
∇TH 0 z− k×H 0T= jE0T
∇T⋅E0T= k⋅E0 z= E0 z
∇TE0 z− k×E0T=− jH 0T
(3.1.22)
(3.1.23)
(3.1.21)
(3.1.24)
(3.1.19) ∇T×E0T=− jH 0 z
(3.1.20) ∇T×H 0T= jE0 z
∇T⋅H 0T= k⋅H 0 z= H 0 z
Copyright Paul GASNER 9
3.2 Moduri de undă
Pentru câmpuri armonice de forma (3.1.1), se poate scrie
care, înlocuite în ecuaţia de propagare pentru câmpul electric (v. cap2)
unde
este numărul de undă transversal (număr de undă critic), γ este număr de undă longitudinal
k2=22=2k 2
∂2E r , t
∂ t 2 =−2E0T e− z e j t
[∇T2k
2 ]E0T =0
(3.2.4)
(3.2.3)
(3.2.1) ∇ 2E r , t =∇T22E0T e− z e j t
(3.2.2)
Copyright Paul GASNER 10
3.2 Moduri de undăîn mod analog şi pentru câmpul magnetic
şi pentru componentele longitudinale
● Ecuaţiile (3.2.4) - (3.2.7) sunt ecuaţii tip Helmholtz, vectoriale respectiv scalare
● mod de undă = configuraţie de câmp electromagnetic care se propagă într-un mediu sau structură date
● mod de undă transversal magnetic TM● mod de undă transversal electric TE
[∇T2k
2 ] H 0 z =0(3.2.7)
(3.2.5)
(3.2.6)
[∇T2k
2 ]H 0T =0
[∇T2k
2 ] E0 z =0
H 0 z=0E0 z=0
Copyright Paul GASNER 11
3.2.1 Mod de undă transversal magnetic TM (unda E) şi (3.1.19) – (3.1.24) devin
iar ecuaţia Helmholtz corespunzătoare este
(3.2.10)
(3.2.8)
(3.2.9)
H 0 z=0
− k×H 0T= jE0T
∇T⋅E0T= k⋅E0 z=E0 z
∇TE0 z− k×E0T=− jH 0T
∇T×E0T=0
∇T×H 0T= jE0 z
∇T⋅H 0T=0
(3.2.11)
(3.2.12)
(3.2.13)
[∇T2k
2 ] E0 z =0(3.2.14)
Copyright Paul GASNER 12
3.2.1 Mod de undă transversal magnetic TM (unda E)componentele longitudinale sunt date de
impedanţa de undă
● se consideră ghidul fără pierderi şi atunci γ=jβg, k=β0 şi din (3.2.4)
(3.2.16)
(3.2.15)
(3.2.17)
E0T=−k
2 ∇T E0 z
(3.2.18)
H 0T=j
k×E0T=−jk
2k×∇T E0 z
Z E=
j=
jk
0
g=k 2−k2 1/2=0 1−cr
2
2 1/2
=0 1− 2
cr2
1/2
Copyright Paul GASNER 13
3.2.2 Mod de undă transversal electric TE (unda H) şi (3.1.19) – (3.1.24) devin
iar ecuaţia Helmholtz corespunzătoare este
(3.2.21)
(3.2.19)
(3.2.20)
E0 z=0
∇T H 0 z− k×H 0T= jE0T
∇T⋅H 0T= k⋅H 0 z= H 0 z
k×E0T= jH 0T
∇T×E0T=− jH 0 z
∇TH 0T=0
∇T⋅E0T=0
(3.2.22)
(3.2.23)
(3.2.24)
[∇T2k
2 ] H 0 z =0(3.2.25)
Copyright Paul GASNER 14
3.2.2 Mod de undă transversal electric TE (unda H)componentele longitudinale sunt date de
impedanţa de undă
● există frecvenţă de tăiere ca la modul TM● se rezolvă ecuaţia Helmholtz pentru componenta longitudinală după care
se determină componentele transversale
(3.2.27)
(3.2.26)
(3.2.28)
H 0T=−k
2 ∇T H 0 z
E0T=jH 0T×k=
jk
2k×∇T H 0 z
Z H=j
= jk
0
Copyright Paul GASNER 15
3.3 Ghidul de undă metalic de secţiune rectangulară● Se consideră ghid uniform de secţiune dreptunghiulară, cu pereţi metalici
perfect conductori, dielectricul din interior fiind aer (sau vid)
Copyright Paul GASNER 16
3.3.1 Modul transversal magnetic TM (unda E)● La ecuaţia scalară Helmholtz
se adaugă condiţiile la limită tip Dirichlet la pereţii metalici
● se aplică metoda separării variabilelor
din (3.3.1) se obţine
(3.3.4)
(3.3.3)
(3.3.1)
(3.3.2)
[∇T2k
2 ] E0 z x , y =0
E0 z 0, y =0, E0 z a , y =0
E0 z x ,0 =0, E0 z x , b =0
E0 z x , y =X x Y y
1X
d 2 Xdx2 1
Yd 2 Ydy2 k
2=0
d 2 Xdx2 k x
2 X =0 , d 2 Ydy2 k y
2 Y=0
(3.3.5)
(3.3.6)
Copyright Paul GASNER 17
3.3.1 Numere de undă parţialeunde
kx, ky sunt numerele de undă tranversale parţiale
● soluţiile generale ale ecuaţiilor (3.3.6) sunt de forma
● din condiţia la limită (3.3.2)
iar din (3.3.3) se obţine
(3.3.9)
(3.3.8)
(3.3.7) k x2k y
2=k2
X x=A1 sin k x xA2 cos k x x
X 0≡X a=0 ⇒ A2=0, k x=m
a, m∈ℕ*(3.3.10)
(3.3.11)
Y y=B1 sin k y yB2 cos k y y
Y 0≡Y b=0 ⇒ B2=0, k y=nb
, n∈ℕ*
Copyright Paul GASNER 18
3.3.1 Componentele câmpului electromagnetic● componenta longitunidală este atunci
● componentele transversale ale câmpului electric se determină din (3.2.15)
● componentele transversale ale câmpului magnetic se determină din (3.2.16)
(3.3.13)
(3.3.12)
E0=A1 B1
E0 z x , y =E0 sinm x
asin
n yb
E0T x , y =i E0 x x , y j E0 y x , y =−k
2 [ i ∂ E0 z x , y ∂ x
j∂ E0 z x , y
∂ y ]
H 0T x , y =i H 0 x x , y j H 0 y x , y=j0
k×E0T x , y=
=−j0
k2
k×i ∂ E0 z x , y ∂ x
j∂ E0 z x , y
∂ y
E0 x x , y=−k
2
ma
E0 cosm x
asin
n yb
E0 y x , y =−k
2
nb
E0 sinm x
acos
n yb(3.3.14)
Copyright Paul GASNER 19
3.3.1 Componentele fizice ale câmpului electromagnetic
● componentele fizice ale câmpului sunt(3.3.17)
(3.3.15) H 0 x x , y =j0
k2
nb
E0 sinm x
acos
n yb
E x r , t =g
k2
ma
E0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
E y r , t =g
k2
nb
E0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
(3.3.18)
H 0 y x , y =−j0
k2
ma
E0 cosm x
asin
n yb(3.3.16)
E z r , t =E0 sinm
ax sin
nb
y cos t−g z
H x r , t =−0
k2
nb
E0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
H y r , t =j0
k2
ma
E0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
(3.3.19)
(3.3.20)
(3.3.21)
Copyright Paul GASNER 20
3.3.2 Fenomene de dispersie● funcţii proprii = funcţiile care satisfac ecuaţiile Helmholtz cu condiţiile le
limită corespunzătoare
● valori proprii = valorile kλ corespunzătoare funcţiilor proprii
● m, n = numărul de semilungimi de undă "spaţială” ale componentelor câmpului electric şi magnetic pe direcţiile x respectiv y
● structura câmpului depinde de valorile m şi n şi atunci modurile sunt notate prin TMmn respectiv TEmn (unda Emn respectiv unda Hmn)
● din (3.2.4) se obţin valorile critice pentru propagare
pentru γ=0 se obţine pulsaţia critică
(3.3.22) k2=k mn
2 = ma
2
nb
2
2=k2−k 2=k
2−2(3.3.23)
(3.3.24) cr=k
1/2
Copyright Paul GASNER 21
3.3.2 Fenomene de dispersie● ω<ωcr (k<kλ) şi nu există propagare (cel mult oscilaţii
amortizate)
● ω>ωcr (k>kλ) - există fenomene de propagare
● ω=ωcr (k=kλ) - regim critic
● constanta de fază
● viteza de fază
⇒∈ℝ
v ph=g
=
k 0 1−cr2
2 1/2=
c0
1−cr2
2 1 /2c0
(3.3.25)
(3.3.26)
g=k 02−k
2 1/2=k 0 1−cr2
2 1/2
, k 0= 1 /2
⇒= j g∈ℂ∖ℝ
⇒=0
Copyright Paul GASNER 22
3.3.2 Fenomene de dispersie● viteza de grup
● lungimea de undă (k0=β0)
v gr=d d g
=c0 1−cr2
2 1 /2
c0 , v ph v gr=c02
(3.3.27)
(3.3.26)
g=0 1−cr2
2 1/2
, 0=20
, g=2g
g=0
1−cr2
2 1/20(3.3.28)
Copyright Paul GASNER 23
3.3.2 Fenomene de dispersie● variaţia constantei de fază (normate) funcţie de frecvenţă
Copyright Paul GASNER 24
3.3.2 Fenomene de dispersie● variaţiile vitezelor de fază şi grup funcţie de frecvenţă
Copyright Paul GASNER 25
3.3.2 Fenomene de dispersievariaţia lungimii de undă din ghid funcţie de lungimea de undă de spaţiu liber
3.3.28⇒ 0
g 2
0
cr 2
=1
Copyright Paul GASNER 26
3.3.2 Fenomene de dispersie● impedanţa de undă
– din (3.2.16) şi (3.2.27) ,
Z 0 E=Z TM=g
0=0 1−cr
2
2 1/2
(3.3.30)
(3.3.29) ⇒H 0T=1Z 0
k×E0T
Z 0={Z TM=
j=Z 0 E
Z TE=j
=Z 0 H
(3.3.31)
H 0T=j
k×E0TE0T=
jH 0T×k
Z 0 H=Z TE=0
g=
0
1−cr2
2 1/2
(3.3.32)
Copyright Paul GASNER 27
3.3.2 Fenomene de dispersievariaţia impedanţelor de undă ale ghidului în funcţie de frecvenţă
Copyright Paul GASNER 28
3.3.2 Lungime de undă critică● definiţie
● mod fundamental (dominant) = modul cu lungimea de undă critică de valoare maximă: m=1, n=1 => TM11
● moduri superioare, m>1, n>1● ghidul are comportament de filtru „trece sus”
cr=2c0
cr
(3.3.34)
(3.3.33)
cr=2k
= 2
ma
2
nb
2, m , n∈ℕ*
Copyright Paul GASNER 29
3.3.3 Configuraţii particulare de câmp TM● din (3.3.17) – (3.3.21) se obţin
unde
(3.3.35)
E x r , t =E x0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
E y r , t =E y0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
E z r , t =E0 sinm
ax sin
nb
y cos t−g z
H x r , t =H x0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
H y r , t =H y0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
(3.3.36)
(3.3.37)
(3.3.38)
(3.3.39)
E x0=cr
2
g
m2 a
E0 ; E y0=cr
2
g
n2 b
E0 ;
H x=−cr
2
00
n2 b
E0 ; H y0=cr
2
00
m2 a
E0
(3.3.40)
Copyright Paul GASNER 30
3.3.3 Modul fundamental TM11 (unda E11)● m=1, n=1
unde
(3.3.41)
E x r , t ∣t=0=E x0 cos xa
sin yb
sin −g z
E y r , t ∣t=0=E y0 sin xa
cos yb
sin −g z
E z r , t ∣t=0=E0 sina
x sinb
y cos g z
H x r , t ∣t=0=H x0 sin xa
cos yb
sin −g z
H y r , t ∣t=0=H y0 cos xa
sin yb
sin −g z
(3.3.42)
(3.3.43)
(3.3.44)
(3.3.45)
(3.3.46) 11=2 ab
a2b2
Copyright Paul GASNER 31
3.3.3 Configuraţii câmp TM11 (unda E11)
Copyright Paul GASNER 32
3.3.3 Configuraţii câmp TM11 (unda E11)
Copyright Paul GASNER 33
3.3.3 Curenţi de deplasare pentru TM11 ● curenţi de deplasare sunt defazaţi cu π/2 faţă de câmpul generator:
J d=0∂E r , t
∂ t ∣t=0
(3.3.47)
J dz=k 0
∂E z r , t ∂ t ∣
t=0=k 0 E0 sin
xa
sin yb
sin g z
J dx=i 0
∂E x r , t ∂ t ∣
t=0=i 0
112
g
E0
2 acos
xa
sin yb
cos g z
J dy=j 0
∂E y r , t ∂ t ∣
t=0=j0
112
g
E0
2 bsin
xa
cos yb
cos g z
(3.3.48)
(3.3.49)
(3.3.50)
Copyright Paul GASNER 34
3.3.3 Curenţi de conducţie pentru TM11 ● curenţi de conducţie apar la suprafaţa interioară a pereţilor metalici
Hp – câmpul magnetic în aer, tangenţial la peretele metalic
● pereţi verticali:
● pereţi orizontali:
J c=n×H pr , t ∣t=0(3.3.51)
x=0, n=i ,cos xa
=1 ⇒ J c0y=i×jH y r , t ∣t=0=−kcr
2
00
E0
2 asin
yb
sin g z (3.3.52)
x=a , n=−i ,cos xa
=−1 ⇒ J cay=J c0y(3.3.53)
y=0, n=j ,cos yb
=1 ⇒ J c0x=j×iH x r , t ∣t=0=−kcr
2
00
E0
2 bsin
xa
sin g z (3.3.54)
y=a , n=−j ,cos yb
=−1 ⇒ J cbx=J c0x(3.3.55)
Copyright Paul GASNER 35
3.3.3 Distribuţia curenţilor pentru TM11 (unda E11)
doar componenta din plan vertical
Copyright Paul GASNER 36
3.3.3 Configuraţii câmp TM21 (unda E21)
Copyright Paul GASNER 37
3.3.4 Modul transversal electric TE (unda H)● La ecuaţia scalară Helmholtz
se adaugă condiţiile la limită tip Neumann– pereţi verticali
– pereţi orizontali
(3.3.56)
(3.3.57)
(3.3.58)
[∇T2k
2 ] H 0 z x , y =0
i⋅∇T H 0 z 0, y =∂ H 0 z x , y
∂ x ∣x=0
=0
−i⋅∇T H 0 z a , y =−∂ H 0 z x , y
∂ x ∣x=a
=0
j⋅∇T H 0 z x ,0=∂ H 0 z x , y
∂ y ∣y=0
=0
−j⋅∇T H 0 z x ,b=−∂ H 0 z x , y
∂ y ∣y=b
=0
Copyright Paul GASNER 38
3.3.4 Moduri TE● se aplică metoda separării variabilelor
şi procedând analog ca la modul TM se obţin:
cu soluţiile generale
şi se impun condiţiile la limită
(3.3.59)
(3.3.60)
(3.3.61)
(3.3.62)
(3.3.63)
H 0 z x , y =X x Y y
1X
d 2 Xdx2 1
Yd 2 Ydy2 k
2=0
d 2 Xdx2 k x
2 X =0 , d 2 Ydy2 k y
2 Y =0
k x2k y
2=k2
X x=A1 sin k x xA2 cos k x x
Y y=B1 sin k y yB2 cos k y y(3.3.64)
Copyright Paul GASNER 39
3.3.4 Moduri TE. Componente de câmp
şi atunci
● componenta longitunidală este atunci
● m şi n nu pot fi simultan egali cu zero● componentele transversale ale câmpului magnetic se determină din
(3.2.26)
(3.3.65)
(3.3.66)
(3.3.67)
(3.3.68)
dXdx
=A1 k x cos k x x−A2 k x sin k x x
dXdx ∣
x=0≡ dX
dx ∣x=a
=0 ⇒ A1=0, k x=m
a, m∈ℕ
dYdy ∣y=0
≡ dYdy ∣y=b
=0 ⇒ B1=0, k y=nb
, n∈ℕ
H 0=A1 B1
H 0 z x , y =H 0 cosm x
acos
n yb
Copyright Paul GASNER 40
3.3.4 Moduri TE. Componente de câmp
● componentele transversale ale câmpului electric se determină din (3.2.27) şi se ţine seama de (3.3.69)
(3.3.70)
(3.3.71)
(3.3.72)
H 0 x x , y =−k
2
ma
H 0 sinm x
acos
n yb
E0T x , y =i E0 x x , y j E0 y x , y = jk
2k×∇T H 0 z=
=jk
2k×i ∂ H 0 z x , y
∂ xj
∂ H 0 z x , y ∂ y
H 0 y x , y = k
2
nb
H 0 cosm x
asin
n yb
H 0T x , y =i H 0 x x , y j H 0 y x , y =−k
2 ∇T H 0 z=
=−k
2 i ∂ H 0 z x , y ∂ x
j∂ H 0 z x , y
∂ y (3.3.69)
Copyright Paul GASNER 41
3.3.4 Moduri TE. Componente de câmp
● componentele fizice ale câmpului sunt
(3.3.73)
(3.3.74)
(3.3.75)
E0 x x , y = jk
2
nb
H 0 cosm x
asin
n yb
E0 y x , y =−jk
2
ma
H 0 sinm x
acos
n yb
H z r , t =H 0 cosm x
acos
n yb
cos t−g z
H x r , t =−cr
2
g
ma
H 0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
H y r , t =−cr
2
g
nb
H 0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
E x r , t =−cr
2
g
n2 b
0 H 0 cosm x
asin
n yb
sin t−g z
E y r , t =cr
2
g
m2 a
0 H 0 sinm x
acos
n yb
sin t−g z
(3.3.76)
(3.3.77)
(3.3.78)
(3.3.79)
Copyright Paul GASNER 42
3.3.5 Configuraţii particulare de câmp TE ● Modul fundamental este TE10 (unda H10) m=1, n=0
(3.3.80)
(3.3.81)
(3.3.82)
(3.3.83)
(3.3.84)
(3.3.85)
10=2 a
H z r , t ∣t=0=H 0 cos xa
cos g z
H x r , t ∣t=0=−cr
2
g
ma
H 0 sin xa
sin −g z
H y r , t ∣t=0=0
E x r , t ∣t=0=0
E y r , t ∣t=0=cr
2
g0 H 0 sin
xa
sin −g z
E z r , t ∣t=0=0(3.3.86)
Copyright Paul GASNER 43
3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de câmp
Copyright Paul GASNER 44
3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de câmp
Copyright Paul GASNER 45
3.3.5 Modul TE10. Componente de câmp
Copyright Paul GASNER 46
3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de curent● curentul de deplasare
● curenţi de conducţie pe pereţi verticali:
● curenţi de conducţie pe pereţi orizontali:
J dy=j ∂ E y r , t
∂ t ∣t=0
=jcr
00 H 0 sin
xa
cos g z (3.3.86)
x=0, n=i ,cos xa
=1 ⇒ J c0z=i×kH z r , t ∣t=0=−j H 0 cos g z
x=a , n=−i ,cos xa
=−1 ⇒ J caz=J c0z
y=0, n=j ,cos yb
=1 ⇒ { J c0z=j×kH z r , t ∣t=0=i H 0 cos xa
cos g z
J c0x=j×iH x r , t ∣t=0=−kcr
gH 0 sin
xa
sin g z
(3.3.87)
(3.3.88)
(3.3.89)
(3.3.90)
Copyright Paul GASNER 47
3.3.5 Modul TE10. Configuraţie de curent
respectiv(3.3.91)
y=b , n=−j ,cos yb
=−1 ⇒ {J cbz=−j×kH z r , t ∣t=0=−i H 0 cos xa
cos g z
J c0x=−j×iH x r , t ∣t=0=kcr
gH 0 sin
xa
sin g z (3.3.92)
Copyright Paul GASNER 48
3.3.5 Modul TE11. Configuraţie de câmp
Copyright Paul GASNER 49
3.4 Ghiduri de undă metalice de secţiune circulară● sistem cilindric de coordonate (ρ, ϕ, z)
Copyright Paul GASNER 50
3.4.1 Moduri TE● ecuaţia scalară Helmholtz
cu condiţii la limită tip Neumann
● operatorii transversali au expresiile
şi se obţine
(3.4.1)
(3.4.2)
[∇T2k
2 ] H 0 z ,=0
n⋅∇T H 0 z ,∣S=∂ H 0 z ,
∂ ∣=a
=0
∇T= ∂∂
1
∂∂
∇T2= ∂2
∂21
∂∂
12
∂2
∂2
(3.4.3)
(3.4.4)
∂2 H 0 z ,∂2 1
∂ H 0 z ,
∂ 1
2
∂2 H 0 z ,∂2 k
2 H 0 z ,=0(3.4.5)
Copyright Paul GASNER 51
3.4.1 Moduri TE● se aplică metoda separării variabilelor
soluţia generală a (3.4.8) este de forma
în structurile axiale se impune condiţia de ciclicitate
(3.4.6)
(3.4.7)
H 0 z ,=R
(3.4.8)
(3.4.9)
(3.4.10)
2
Rd 2 Rd 2
R
dRd
1
d 2d 2k
22=0
d 2d 2k
2 =0
2 d 2 Rd 2 dR
d k
22−k2 R=0
H 0 z ,=H 0 z ,2 ⇒ k=n∈ℤ
=A1 cos kA2 sin k
(3.4.11)
Copyright Paul GASNER 52
3.4.1 Moduri TE● se consideră în final soluţia
● (3.4.9) este o ecuaţie diferenţială de ordinul 2 tip Bessel:
cu soluţii de forma
● este funcţia cilindrică Bessel de speţa întâi şi ordin n● este funcţia cilindrică Bessel de speţa a doua şi ordin n (funcţia
Neumann)
(3.4.12)
(3.4.13)
(3.4.14)
=0 cos n
d 2 Rd 2
1
dRd
k2− n2
2 R=0
R =B1 J n kB2 N n kJ n kN n k
N n k∣0∞ ⇒ B2=0
H 0 z ,=H 0 J n kcos n , H 0=0 B1(3.4.15)
Copyright Paul GASNER 53
3.4.1 Moduri TE. Configuraţii de câmp● componentele transversale ale câmpului electromagnetic se găsesc din
ecuaţiile (3.2.26) – (3.2.27)
(3.4.16)
(3.4.17)
H 0T ,=H 0 , H 0 ,=−k
2 ∇T H 0 z ,=
=−k
2 ∂ H 0 z ,∂
1∂ H 0 z ,
∂ H 0 ,=−
k
H 0 J n' kcos n
H 0 ,= k
2 n H 0 J n ksin n(3.4.18)
E0T ,=E0 , E0 ,=−j
k×∇T H 0 z ,=
=jk
2k× ∂ H 0 z ,
∂ 1
∂ H 0 z ,
∂ (3.4.19)
Copyright Paul GASNER 54
3.4.1 Moduri TE. Configuraţii de câmp
● Din condiţiile la limită Neumann se alege
şi se obţine un număr infinit de valori proprii kλ. Rădăcina de ordinul m a derivatei funcţiei Bessel de ordin n este . Atunci:
(3.4.20)
(3.4.21)
E0 ,= jk
2n H 0 J n ksin n
E0 ,= jk
H 0 J n' kcos n
(3.4.22)
(3.4.23)
E0 ,∣=a=0
⇒ J n' ka =0
nm' =ka
k=k nm=nm
'
a=
2cr
(3.4.24)
Copyright Paul GASNER 55
3.4.1 Moduri TE. Frecvenţă critică
valorile proprii dau modurile TE în ghidul circular TEnm
● n reprezintă numărul (întreg) de lungimi de undă ale variaţiilor componentelor câmpurilor E şi H în lungul coordonatei unghiulare ϕ
● m reprezintă numărul de jumătăţi de lungimi de undă ale variaţiilor componentelor câmpului în lungul coordonatei radiale ρ
(3.4.25)
nm'
cr=2anm
' a, cr=
c0nm'
aRădăcini ale funcţiilor Bessel J n
' k λ a şi J n k λ a ρnm
' ρnm
n ρn1' ρn2
' ρn3' ρn4
' ρn1 ρn2 ρn3 ρn4
0 3,832 7,016 10,173 13,324 2,405 5,520 8,654 11,7921 1,841 5,331 8,536 11,706 3,832 7,016 10,173 13,3242 3,054 6,706 9,969 13,170 5,136 8,417 11,620 14,7963 4,201 8,015 11,346 14,586 6,380 9,761 13,015 16,223
Copyright Paul GASNER 56
3.4.1 Moduri TE. Câmpuri fizice
(3.4.26) H z r , t =H 0 J n kcos ncos t−g z
H r , t =cr
gH 0 J n
' kcos nsin t−g z
H r , t =−cr
2g n H 0 J n ksin nsin t−g z
E r , t =−cr
2
2g n0 H 0 J n ksin nsin t−g z
E r , t =−cr
g0 H 0 J n
' kcos nsin t−g z
(3.4.27)
(3.4.28)
(3.4.29)
(3.4.30)
Copyright Paul GASNER 57
3.4.2.1 Modul fundamental TE11
ia valori minime pentru m=1, n=1
(3.4.31) H z r , t ∣t=0=H 0 J 1 11'
acoscos g z
H r , t ∣t=0=11
gH 0 J 1
' 11'
acossin −g z
H r , t ∣t=0=−11
2g H 0 J 1 11
'
asinsin −g z
E r , t ∣t=0=−11
2
2g 0 H 0 J 1 11
'
asinsin −g z
E r , t ∣t=0=−11
g0 H 0 J 1
' 11'
acossin −g z
(3.4.32)
(3.4.33)
(3.4.34)
(3.4.35)
nm'
Copyright Paul GASNER 58
3.4.2.1 Modul fundamental TE11
Copyright Paul GASNER 59
3.4.2.1 Modul fundamental TE11. Distribuţie curenţi● Curenţii de deplasare
● Curenţii de conducţie
(3.4.36)
J c∣t=0=×k H z r , t ∣t=0=− H 0 J 1 11'
acoscos g z
J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=−k11
2g H 0 J 1 11
'
asinsin −g z
J d ∣t=0=0
d Er , t ∂ t ∣
t=0=0
112
2g 0 H 0 J 1 11
'
asincos g z
J d ∣t=0= 0
d Er , t ∂ t ∣
t=0= 0
11
g0 H 0 J 1
' 11'
acoscos g z (3.4.37)
(3.4.38)
(3.4.39)
Copyright Paul GASNER 60
3.4.2.1 Modul fundamental TE11. Distribuţie curenţi
Copyright Paul GASNER 61
3.4.2.2 Modul TE01
● m=1, n=0
● curentul de deplasare
● curentul de conducţie
(3.4.40) H z r , t ∣t=0=H 0 J 0 01'
acos g z
H r , t ∣t=0=01
gH 0 J 0
' 01'
asin −g z
E r , t ∣t=0=−01
g0 H 0 J 0
' 01'
asin −g z
(3.4.41)
(3.4.42)
J d ∣t=0= 0
d Er , t ∂ t ∣
t=0= 0
01
g0 H 0 J 0
' 01'
acos g z
J c∣t=0=×k H z r , t ∣t=0=− H 0 J 0 01'
acos g z
(3.4.43)
(3.4.42)
Copyright Paul GASNER 62
3.4.2.2 Modul TE01. Amplitudinilor componentelor de câmp
Copyright Paul GASNER 63
3.4.2.2 Modul TE01. Configuraţia liniilor de câmp
Copyright Paul GASNER 64
3.4.2.2 Modul TE01. Configuraţia liniilor de curent
● curenţii de deplasare au maxim la λg/4 faţă de maximul curenţilor de conducţie şi au sensuri diferite
● comportare anormală: pierderile pentru acest mod scad la creşterea frecvenţei
Copyright Paul GASNER 65
3.4.3 Moduri TM● ecuaţia scalară Helmholtz
cu condiţii la limită tip Dirichlet
● (3.4.43) devine
● se aplică metoda separării variabilelor şi analog modurilor TE se obţine
(3.4.43)
(3.4.44)
[∇T2k
2 ] E0 z ,=0
E0 z ,∣S=E0 z ,∣=a=0
(3.4.45)∂2 E0 z ,
∂2 1∂ E0 z ,
∂ 1
2
∂2 E0 z ,∂2 k
2 E0 z ,=0
(3.4.46) E0 z ,=E0 J n kcos n
Copyright Paul GASNER 66
3.4.3 Moduri TM. Configuraţii de câmp● componentele transversale ale câmpului electromagnetic conform (3.2.26)
(3.2.27) sunt
(3.4.47)
(3.4.48)
E0T ,=E0 , E0 ,=−k
2 ∇T E0 z ,=
=−k
2 ∂ E0 z ,∂
1∂ E0 z ,
∂ E0 ,=−
k
E0 J n' kcos n
E0 ,= k
2 n E0 J n ksin n(3.4.49)
H 0T ,=H 0 , H 0 ,= j
k×∇T E0 z ,=
=−jk
2k× ∂ E0 z ,
∂ 1
∂ E0 z ,
∂ (3.4.50)
Copyright Paul GASNER 67
3.4.3 Moduri TM. Configuraţii de câmp
● Aplicând condiţiile la limită Dirichlet ecuaţiei (3.4.46) se obţine
şi se gaseşte un număr infinit de valori proprii kλ. Rădăcina de ordinul m a funcţiei Bessel de ordin n este . Atunci numărul de undă transversal este:
(3.4.51)
(3.4.52)
H 0 ,=−jk
2n E0 J n ksin n
H 0 ,=−jk
E0 J n' kcos n
(3.4.53) J n ka =0
nm=ka
k=k nm=nm
a=
2cr
(3.4.54)
Copyright Paul GASNER 68
3.4.3 Moduri TM. Câmpuri fizicecu lungimi de undă şi frecvenţe critice date de:
● Câmpurile fizice sunt
(3.4.55)
E z r , t =E0 J n kcos ncos t−g z
E r , t =cr
gE0 J n
' kcos nsin t−g z
E r , t =−cr
2
g n E0 J n ksin nsin t−g z
H r , t =−cr
2
2g0n E0 J n ksin nsin t−g z
H r , t =−cr
g0E0 J n
' kcos nsin t−g z
(3.4.56)
(3.4.57)
(3.4.59)
(3.4.60)
cr=2anm
, cr=c0nm
a
(3.4.58)
Copyright Paul GASNER 69
3.4.4.1 Modul fundamental TM01
ia valori minime pentru m=1, n=0
(3.4.61) E z r , t ∣t=0=E0 J 0 01
acos g z
E r , t ∣t=0=01
gE0 J 0
' 11'
asin −g z
H r , t ∣t=0=−01
g0E0 J 0
' 01'
asin −g z
(3.4.62)
(3.4.63)
nm
Copyright Paul GASNER 70
3.4.4.2 Modul fundamental TM01
Copyright Paul GASNER 71
3.4.4.1 Modul fundamental TM01. Distribuţie curenţi● Curentul de deplasare
● Curentul de conducţie
(3.4.64)
(3.4.65)
(3.4.66)
J dz∣t=0=k 0
d E z r , t ∂ t ∣
t=0=−k 0E0 J 0 01
acos g z
J d ∣t=0=0
d Er , t ∂ t ∣
t=0=0
01
gE0 J 0
' 11'
acos g z
J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=−k01
00E0 J 0
' 01'
acos g z
Copyright Paul GASNER 72
3.4.4.2 Modul TM11
m=1, n=1
(3.4.67)
(3.4.68)
(3.4.69)
E z r , t ∣t=0=E0 J 1 11
acoscos g z
E r , t ∣t=0=11
gE0 J 1
' 11
acossin −g z
E r , t ∣t=0=−11
2
g E0 J 1 11
asinsin −g z
H r , t ∣t=0=11
2
2g 0E0 J 1 11
asinsin −g z
H r , t ∣t=0=11
g0E0 J 1
' 11'
acossin −g z
(3.4.70)
(3.4.71)
Copyright Paul GASNER 73
3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de câmp
Copyright Paul GASNER 74
3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de curent
Curentul de deplasare
Curentul de conducţie
(3.4.72)
(3.4.73)
(3.4.74)
(3.4.75)
J dz∣t=0=k 0d E z r , t
∂ t ∣t=0
=−k 0E0 J 1 11
acoscos g z
J d ∣t=0=0
d Er , t ∂ t ∣
t=0=0
11
gE0 J 1
' 11
acoscos g z
J d ∣t=0= 0
d Er , t ∂ t ∣
t=0=− 0
112
g E0 J 1 11
asincos g z
J cz∣t=0=× H r , t ∣t=0=k11
00E0 J 1
' 11
acossin −g z
Copyright Paul GASNER 75
3.4.4.2 Modul TM11. Configuraţii de curent
Copyright Paul GASNER 76
3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic● vectorul Poynting (complex)
● este preferabilă reprezentarea în componente transversale şi longitudinale
● se presupune pentru început că pereţii metalici au conductivitate infinită, iar mediul din interiorul ghidului nu are pierderi dielectrice
● puterea care străbate secţiunea transversală S0 a ghidului este
S r =12
[ E r × H * r ](3.5.1)
E r =ET k E z
H r =H T k H z
(3.5.2)
(3.5.3)
P z=∫S 0
ℜ S ⋅d s ; d s=k ds(3.5.4)
Copyright Paul GASNER 77
3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic
Copyright Paul GASNER 78
3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic● sau
● pe de altă parte
● puterea transmisă devine
● componentele transversale sunt legate prin impedanţa de undă
P z=12ℜ∫
S 0
[ E r × H * r ]⋅k ds(3.5.5)
(3.5.6)
(3.5.7)
(3.5.8)
S=12 [ETk E z ×H T
*k H z* ]=1
2 [ET ×H T* ]=S z
S z=∣ET ∣∣H T* ∣
P z=12∫S 0
∣ET ∣∣H T* ∣ds
∣ET ∣=Z g∣H T ∣; ET* =Z g∣
H T* ∣(3.5.9)
Copyright Paul GASNER 79
3.5 Puterea transmisă în ghidul metalic
● Moduri TM
din (3.2.14) şi (3.2.15):
● Moduri TE
din (3.2.25) şi (3.2.26):
(3.5.10)
(3.5.11)
(3.5.12)
P z=1
2 Z g∫S 0
∣ET ∣2 ds=Z g
2 ∫S 0
∣H T ∣2 ds
∇T2 E0 z=−k
2 E0 zE0T=−
k
2 ∇T E0 z
P z=1
2 Z g E∫S 0
g2
k2 ∣ET ∣2 ds
∇T2 H 0 z=−k
2 H 0 zH 0T=−
k
2 ∇T H 0 z
P z=Z g H
2 ∫S 0
g2
k2 ∣H T ∣2 ds
Copyright Paul GASNER 80
● puterea transmisă este
unde
este puterea maximă transmisă în spaţiul liber raportată la unitatea de suprafaţă şi
(3.5.13)
(3.5.14)
(3.5.16)
3.5.1 Puterea transmisă în ghidul metalic rectangular modul TE10
ET x , y =j E y x , y ; E y x , y =E0 sin xa ; E0=10
0 0 H 0
P z=1
2 Z gH∫0
a
∫0
b ∣E0 sin xa ∣
2
dx dy
P z=E0
2
401−21/2 S 0=P z0 S 0
1−21/2
2(3.5.15)
S 0=ab , =0
cr=
cr
P z0=E0
2
20
(3.5.17)
Copyright Paul GASNER 81
● Câmpul de străpungere a aerului este
coeficient de siguranţă de 300 %● de obicei şi din (3.5.15) se obţine
● pentru ghidul standard de bandă X şi pentru TE10 se obţine Pz=117kW
● puterea normată:
(3.5.18)
3.5.1 Puterea transmisă în ghidul metalic rectangular modul TE10
(3.5.19)
(3.5.20)
E str≃30 kV /cm
P z0=E str
2
2 Z 0=1.19⋅106 W /cm2
⇒E0=Emax=10 kV /cm ⇒P z0≃130 kW /cm2
=1.5cr
P z=P z0 S 0⋅0.3725≃S 0 50 kW /cm2
S 0=2.286×1.016cm2
p0=P z
P z0 S 0 /2=1−21/2
Copyright Paul GASNER 82
(3.5.21)
3.5.1 Puterea transmisă în ghidul metalic rectangular modul TE10
p022=1
Copyright Paul GASNER 83
3.5.2 Pierderi în ghidul metalic● pierderi dielectrice● pierderi în pereţii metalici● constanta de atenuare este de forma
● puterea transmisă variază cu distanţa
● conform legii conservării energiei
● şi constanta de atenuare este atunci
(3.5.22)
(3.5.23)
(3.5.24)
g=dc
P z=P0 e−2g z , P0=P z∣z=0
Pd0=−∂ P z
∂ z=2g P z
g=Pd0
2 P z(3.5.25)
Copyright Paul GASNER 84
3.5.2 Pierderi în ghidul metalic● se utilizează noţiunea de atenuare pe distanţa l
● se exprimă în neperi sau decibeli
● randamentul ghidului de undă
(3.5.26)
(3.5.27)
(3.5.28)
A=P z z=0 P z z=l
=P0
P l
ANp=ln A=2g l [Np]
AdB=10 log A=8.69g l [dB ]
=P0−Pd0 l
P0=1−2g l
Copyright Paul GASNER 85
3.5.2 Pierderi dielectrice● pentru un ghid plin cu dielectric
● constanta de propagare
● în general şi dezvotând în serie Taylor se obţine
● constanta de atenuare
(3.5.29)
(3.5.30)
(3.5.32)
k 2=2=200r 1− j tanE
=d j d=[k2−200r 1− j tanE ]1/2
=[k2−k 2 jk 2 tanE ]1/2(3.5.31)
tanE≪1
≃k2−k 21/2 jk 2 tanE
2 k2−k 21/2
=k 2 tanE
2g j g , unde k
2−k 21/2= j g
d=k 2 tanE
2g[ Np /m ](3.5.33)
Copyright Paul GASNER 86
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici
Pereţi metalici de conductivitate finită● dacă permitivitatea metalului se scrie
şi consanta de propagare:
● pierderile în pereţii metalici sunt datorate undelor electromagnetice care se propagă perpendicular pe peretele metalic
● considerăm moduri TEM şi atunci kλ=0
(3.5.34)
(3.5.36)
=c j g=[k2−k 2 jk 2/ ]1/2(3.5.35)
(3.5.37)
' '≪/
m= 1− j/ ; k 2=20 1− j/
=k [ j/−1 ]1/2≃ c1/2 [ j/ ]1 /2=1 j /s
s=1c
=[ 2c ]
1/2
Copyright Paul GASNER 87
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici● în interiorul metalului curenţii de
conducţie sunt dominanţi
● atenuarea pe direcţia este mai puternică decât pe celelalte direcţii şi atunci se consideră operatorii de forma
(3.5.38)
(3.5.40)
(3.5.41)
∇×E=− jcH
∇× H= E(3.5.39)
∇≃−n ∂∂
∇ 2= ∂2
∂2
Copyright Paul GASNER 88
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici
şi ecuaţiile Maxwell devin
de unde
● câmpurile electric şi magnetic în metal sunt paralele cu suprafaţa metalului● aplicând rotorul asupra ecuaţiilor Maxwell (3.5.38) (3.5.39) se obţine
cu soluţiile
(3.5.42)
(3.5.44)
(3.5.43)
(3.5.46)
−n×∂ H∂
= E ; −n×∂ E∂
=− jcH
n⋅E=0 ; n⋅H=0
∂2 E∂2 − j 2
s2E=0 ; ∂2 H
∂2 − j 2s
2H=0
E∥=E0∥e−/s e− j/s
H ∥=H 0∥e−/s e− j/s
(3.5.45)
Copyright Paul GASNER 89
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici
din (3.5.42) se obţine
de unde
● condiţia de continuitate impune existenţa unei componente paralele a câmpului electric paralele cu peretele metalic în vid
● impedanţa de suprafaţă a metalului (spre metal)
(3.5.47)
(3.5.49)
(3.5.48)
(3.5.50)
1 js
n×H∥=E∥
E∥=1 js
n×H ∥
la =0 E0∥=1 js
n×H 0∥=1 js
J sf
E0∥
J sf
=Z sm=1 js
=RS jX S ; RS=X S=1
s
Copyright Paul GASNER 90
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici● analog puterii transmise (3.5.10), puterea disipată în peretele metalic este
de unde Σ este aria suprafeţei metalice
● puterea disipată pe unitatea de lungime este
● Lg=2(a + b) este circumferinţa ghidului
● constanta de atenuare
(3.5.51)
(3.5.52)
(3.5.53)
Pc=ℜ Z sm
2 ∫∣H 0∥∣
2ds
Pc0=ℜ Z sm
2 ∫Lg
dL ∫z=0
1
∣H 0∥∣2dz=
RS
2 ∫Lg
∣H 0∥∣2dL
c=12
RS
Z
∫Lg
∣H 0∥∣2dL
∫S 0
∣H T∣2ds
Copyright Paul GASNER 91
3.5.2 Pierderi în pereţii metalici
Utilizarea curenţilor de suprafaţă● curentul poate fi definit pentru orice configuraţie de câmp
● puterea disipată în peretele metalic este
● puterea disipată pe unitatea de lungime în peretele metalic este
(3.5.54)
(3.5.55)
(3.5.56)
Pc=ℜ Z sm
2 ∫∣J sf∣
2ds=
RS
2 ∫∣H t∣
2dL
J sf =n× H
Pc0=RS
2 ∫Lg
∣J sf∣2dL
Copyright Paul GASNER 92
3.5.2 Mod TE10 în ghidul dreptunghiular
Avem doi pereţi orizontali şi doi pereţi verticali
● puterea transmisă în ghid este dată de (3.5.16) şi constant de atenuare va fi
● ghid de bandă X (a=22.86mm, b=10.16mm) la frecvenţa f=10GHz cu fcr=6.562GHz, cu pereţii din Cu de conductivitate σ=5.8x107S/m:
(3.5.57)
(3.5.58)
Pc0=RS
2 ∫Lg
∣J sf∣2dL=RS ∫
y=0
b
∣J c0z∣2dyRS ∫
x=0
a
[∣J c0z∣2∣J c0x∣
2 ]dx=
=RS∣H 0∣2 [ba
2 a3
22 g2 ]
c=Pc0
2 P z=
2 RS
Z gH
ba /2a3g2 /22
ab
Z TE=Z gH=c /g , g=[k 2−k2 ]=[k 2−/a]1/2=158 m−1 ; RS=c /2 1/2=0.026
c=0.0125 Np /m=−20 log e−c=0.11 dB /m