1

2

1

3 PROBABILITATI SI STATISTICA MA-

TEMATICA

3.1 SPATIU PROBABILISTIC, DEFINITII, PROPRIE-TATI

Teoria probabilitatilor este analiza matematica a notiunii deexperienta aleatoare (sau aleatorie, ıntamplatoare, lat. aleato-rius < alea - zar). Notiunile de baza ale statisticii si calcululuiprobabilitatilor s-au format si au circulat din cele mai vechi tim-puri, le ıntalnim la vechii egipteni care masurau terenurile agri-cole, evaluau recoltele, etc. Calculul probabilitatilor s-a nascutın secolul al XVII-lea, ca o modelare matematica a sansei, cao stiinta a jocului de noroc. Notiunile fundamentale ale acesteiteoriei probabilitatilor sunt cele de eveniment si de probabilitate.Prin formalizarea acestor notiuni se ajunge la modelul teoreticbazat pe teoria multimilor propus de Kolmogorov ın 1929.

Fie o experienta aleatoare oarecare. Rezultatul experienteinu poate fi determinat decat ın urma realizarii experientei. FieΩ = ω multimea tuturor rezultatelor posibile ın experientadata si A un eveniment oarecare legat de experienta consid-erata, adica producerea sau neproducerea unui fenomen legat deexperienta considerata. Putem spune ca eveninentul A a avutloc sau nu a avut loc, numai ın urma realizarii experientei. Deaceea, evenimentul A poate fi identificat cu o multime de rezul-tate ω- rezultatele favorabile realizarii sale- adica evenimentulA poate fi identificat cu o submultime a lui. Elementele se potnumi atunci evenimente elementare. In acest fel operatiile de re-uniune, intersectie, complementare (negare, trecere la contrariu)a evenimentelor coincid cu operatiile corespunzatoare asupramultimilor si deci multimea evenimentelor care ne vor interesa

2

trebuie sa fie ınchisa (stabila) ın raport cu aceste operatii. Prob-abilitatea este o functie numerica definita pe multimea eveni-mentelor, functie ale carei proprietati trebuie sa fie asemanatoarecelor ale frecventei de realizare a evenimentului.

Definitia 3.1. Fie Ω = ω multimea rezultatelor posibile ıntr-o experienta aleatoare. Fie S o multime de parti ale lui Ωcare formeaza ın raport cu operatiile obisnuite cu multimi o σ-algebra, adica are proprietatile:

(i) Ω ∈ S; multimea tuturor rezultatelor posibile face parte dinS;

(ii) A,B ∈ S ⇒ A\B ∈ S; odata cu doua multimi Scontine sidiferenta lor;

(iii) Ai ∈ S, i = 1, 2, ...⇒∞⋃i=1

Ai ∈ S; orice reuniune de multimi

din S este din S.

Multimea S se numeste multimea evenimentelor legate deexperienta considerata.

Din definitia data rezulta ca multimea S a evenimentelor esteınchisa ın raport cu operatiile de reuniune, intersectie, diferentasi complementara. Evenimentul Ω se numeste evenimentulsigur ; evenimentul ∅ se numeste evenimentul imposibil ;evenimentul A\B se numeste diferenta evenimentelor A si B;evenimentul CA = Ω\A se numeste evenimentul contrariual lui A; etc. Evenimentele A si B se numesc incompatibiledaca nu se pot realiza ın acelasi timp, adica daca A ∩ B = ∅.Orice eveniment si contrariul sau sunt evenimente incompati-bile. Un eveniment se numeste compus daca el este reuniunea

3

a altor doua evenimente diferite de el. Evenimentele elementareω sunt diferite de evenimentul imposibil si nu sunt compuse.

Cunoasterea evenimentelor numai ca apartenenta la catego-ria de a fi ıntamplatoare nu este o informatie suficienta pen-tru patrunderea fenomenelor ce le modeleaza. Avem nevoiede legi de desfasurare a fenomenelor, de cunoasterea gradului(a sansei) de realizare ale diferitelor evenimente. Sunt obiectde studiu al teoriei probabilitatilor si al statisticii matemat-ice, numai experientele care poseda proprietatea de stabilitatea frecventelor de aparitie a evenimentelor asociate, adica aceleacare pot oferi posibilitati de formulare a legilor obiective dupacare se desfasoara si o prognoza privind evolutia lor viitoare.Datorita caracterului complex al categoriei de probabilitate camasura a gradului de realizare a evenimentelor, evolutia acestuiaa parcurs un drum foarte lung de la metoda empirica (statistica)pana la cea axiomatica. La elucidarea ei si-au adus contributiamatematicieni de seama ca: Fermat, Pascal, Borel, Kolmogorov,Onucescu si altii.

Notiunea de probabilitate a fost extrasa din notiunea de frecventa.

Definitia 3.2. O functie p : S→ R+ se numeste probabilitatepe multimea evenimentelor daca are urmatoarele proprietati:

(i) p(Ω) = 1; (evenimentul sigur are probabilitatea egala cuunitatea);

(i) daca Ai ∈ S, i = 1, 2, ..., sunt evenimente incompatibiledoua cate doua Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j = 1, 2, ... atunci

p

( ∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

p(Ai);

(proprietatea de aditivitate numarabila).

4

Daca evenimentele sunt incompatibile doua cate doua Ai ∩ Aj,

i 6= j = 1, 2, ..., vom scrie∞∑i=1

Ai ın loc de∞⋃i=1

Ai; la fel ın cazul

finit.

Definitia 3.3. Un triplet (Ω , S, p) se numeste spatiu prob-abilistic (de probabilitate).

Obiectul studiului teoriei probabilitatilor este spatiul proba-bilistic.

Exemplul 3.1. Fie ıntr-o experienta aleatoare multimea eveni-mentelor elementare Ω = ω1, ω2, ..., ωN si fie multimea eveni-

mentelor S = P (Ω) , multimea partilor lui Ω . Fie p(ωk) =1

N,

k = 1, 2, ..., N , adica evenimentele elementare sunt egal posibile.Atunci pentru un eveniment A oarecare legat de experienta

p(A) =r

N=

nr.rezultatelor favorabile

nr.rezultatelor posibile,

unde r = |A| este numarul evenimentelor elementare care com-pun pe A (rezultatele favorabile lui A).

Tripletul (Ω, S, p) este spatiul probabilistic al modelului clasical lui Laplace al teoriei probabilitatilor.

In cazul particular al experientei aruncarii unui zar, N = 6si ωi = i, i = 1, 2, ..., 6 este evenimentul aparitiei fetei i.

In cazul experientei aruncarii de n ori a unei monede, multimeaevenimentelor elementare este de forma ω = (ε1, ε2, ..., εn) undeεi = 0 sau 1 dupa cum la a i-a aruncare a iesit fata cu stemasau fata cu valoarea. In acest caz N = 2n. Evenimentul careconsta ın aparitia de k ori a fetei cu valoarea este

A = (ε1, ε2, ..., εn)|ε1 + ε2 + ...+ εn = k.

Atunci |A| = Cnk , p(A) =

Cnk

2n.

5

Din definitiile date rezulta usor ca ıntr-un spatiu probabilisticau loc urmatoarele proprietati:

(i) p(CA) = 1 − p(A); (proprietatea probabilitatii evenimen-tului contrar);

(ii) A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B); (probabilitatea este functie crescatoare);

(iii) 0 ≤ p(A) ≤ 1; (probabilitatea are valori pozitive cel multegale cu unitatea);

(iv) p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

sau mai general

p(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) =

=∑

p(Ai)−∑

p(Ai ∩ Aj) +∑

p(Ai ∩ Aj ∩ Ak)− . . .

(formula includerii si excluderii);

(v) daca An ↓ B adica

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ An+1 ⊃ ...B =∞⋂i=1

Ai

atunci limn→∞

p(An) = p(B) (proprietatea de continuitate la

dreapta a probabilitatii)

(vi) daca An ↑ B adica

A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ ...B =∞⋃i=1

Ai

atunci limn→∞

p(An) = p(B); ( proprietatea de continuitate la

stanga a probabilitatii).

6

Daca A,B sunt doua evenimente si p(B) > 0 atunci rapor-

tulp(A ∩B)

p(B)se numeste probabilitatea evenimentului A

conditionat de B si se noteaza p(A|B) sau pB(A). Deci

p(A|B) =p(A ∩B)

p(B)

adicap(A ∩B) = p(B)p(A|B) = p(A)p(B|A).

Cand p(A|B) = p(A) adica daca si numai daca p(AnB) =p(A)p(B) evenimentele A,B se numesc independente.

In general avem relatia

p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) =

= p(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1)p(An|A1 ∩ ... ∩ An−1) = ...

= p(A1)p(A2|A1)p(A3|A1 ∩ A2)...p(An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1).

Daca Ω =∞∑i=1

Hi se spune ca evenimentele Hi, i = 1, 2, ..., n

constituie un sistem complet de evenimente sau o des-facere a evenimentului sigur. Atunci oricare ar fi A ∈ S,

A = A ∩ Ω =∞∑i=1

(A ∩Hi) si deci rezulta

p(A) =∞∑i=1

p(Hi)p(A|Hi),

relatie numita formula probabilitatii totale.Cum oricare ar fi k = 1, 2, ..., n, p(Hh ∩A) = p(A)p(Hk|A) =

p(Hk)p(A|Hk) avem

p(Hk|A) =p(Hk)p(A|Hk)n∑

i=1p(Hi)p(A|Hi)

.

7

Aceasta este formula lui Bayes. De obicei evenimentele Hk

se constituie ın ipoteze ın care are loc evenimentul A sau cauzesub a caror actiune are loc evenimentul A; de aceea formula semai numeste si formula ipotezelor sau formula cauzelor.Probabilitatile p(Hk) sunt probabilitati a priori, ın timp ce prob-abilitatile p(Hk|A) sunt probabilitati a posteriori.

3.2 VARIABILE ALEATOARE

3.2.1 DEFINITIE, PROPRIETATI

In viata de toate zilele ıntalnim frecvent marimi care iau valorice se schimba sub influienta unor factori ıntamplatori. Asa suntde exemplu numarul zilelor dintr-un an ın care cade ploaia ıntr-oanumita regiune, numarul produselor defecte dintr-un lot exam-inat, timpul de functionare fara defectiuni al unui dispozitiv etc.Marimile care iau valori ıntamplatoare sunt legate de anumiteexperiente aleatoare, iar valorile pe care le iau sunt functii derezultatul experientei. O astfel de marime o vom numi variabilaaleatoare.

Exista variabile aleatoare a caror multime de valori este finita(variabile aleatoare simple), sau cel mult numarabila (variabilealeatoare de tip discret), precum si variabile aleatoare care iau omultime nenumarabila de valori reale, numite variabile aleatoarede tip continuu. La acestea din urma ne intereseaza in general,probabilitatea ca ea sa ia valori ıntr-un anumit interval si nuprobabilitatea ca ea sa ia o valoare bine determinata (de celemai multe ori aceasta probabilitate este nula). Adica o vari-abila aleatoare poate poate fi privita ca o corespondenta ıntremultimea rezultatelor posibile ale unei experiente aleatoare simultimea numerelor reale, pentru caracterizarea careia trebuie

8

cunoscute valorile sale posibile ımpreuna cu probabilitatile dea lua aceste valori. Acest mod de a asocia fiecarei experientealeatoare o functie, permite definirea riguroasa a notiunii devariabila aleatoare cu ajutorul analizei matematice.

Definitia 3.4. Fie (Ω, S, p) un spatiu de probabilitate. O functieξ : Ω → R se numeste variabila aleatoare sau variabilaeventuala daca pentru orice x ∈ R multimea ω ∈ S|ξ(ω) < xeste din σ-algebra S si

p(ω ∈ S| −∞ < ξ(ω) <∞) = 1.

In loc de ω ∈ S|ξ(ω) < x se scrie simplu ξ < x. Primaconditie din definitie cere sa se poata defini probabilitatea eveni-mentului ξ < x; a doua conditie cere ca functia ξ sa fieefectiv definita pe ıntreaga multime a evenimentelor elementareΩ. Daca A este un eveniment, variabila aleatoare definita prinrelatia

IA =

1, ω ∈ A,0, ω /∈ A,

se numeste indicatorul evenimentului A. (In analiza aceastafunctie se numeste functia caracteristica a lui A, ın teoriaprobabilitatilor prin functie caracteristica se va ıntelege altceva).Sunt evidente relatiile

ICA= 1− IA, IA∩B = IA.IB, IA∪B = IA + IB − IA∩B.

Variabilele aleatoare ξ1, ξ2, ..., ξn se numesc variabile aleatoareindependente daca oricare ar fi sistemul de numere reale x1,x2, ...,xn avem

p(ξ1 < x1, ξ2 < x2, ..., ξn < xn) = p(ξ1 < x1)p(ξ2 < x2)...p(ξn < xn).

9

O functie vectoriala ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) : Ω→ Rn ale carei com-ponente ξi (i = 1, 2, ..., n) sunt variabile aleatoare se numestevariabila aleatoare n-dimensionala sau vector aleatorn-dimensional.

Urmatoarele proprietati ale variabilelor aleatoare sunt frecventfolosite:

(i) Daca ξ este o variabila aleatoare si c o constanta, atunci

ξ + c, cξ, |ξ|, ξ2,1

ξpentru ξ 6= 0 sunt de asemenea tot

variabile aleatoare.

(ii) Daca ξnn∈N este un sir convergent de variabile aleatoare,atunci si lim

n→∞ξn este de asemenea variabila aleatoare.

(iii) Daca ξ, η sunt variabile aleatoare atunci ξ > η ∈ S, ξ ≥η ∈ S, ξ = η ∈ S,.

(iv) Daca ξ, η sunt variabile aleatoare atunci si ξ + η, ξ− η, ξη,ξ

ηsunt deasemenea variabile aleatoare.

3.2.2 FUNCTIA DE REPARTITIE, DENSITATEA DE REPAR-TITIE

In aplicatiile practice nu lucram cu direct cu variabile aleatoare,ci cu ”legea ei de repartitie”, adica cu o functie care i se aso-ciaza si care ne da informatii atat asupra variabilelor sale, catsi a probabilitatilor cu care sunt luate aceste valori. In cazulvariabilelor aleatoare continue sunt necesare a fi cunoscute deobicei probabilitatile evenimentelor pentru care valorile apartinunor intervale, de exemplu sunt mai mici decat o valoare realax. Toate acestea ne sugereaza urmatoarea definitie:

10

Definitia 3.5. Functia Fξ(x) = p(ξ < x) se numeste functiade repartitie sau functia cumulativa a probabilitatii vari-abilei aleatoare ξ.

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare are urmatoareleproprietati:

(i) x ≤ y ⇒ Fξ(x) ≤ Fξ(y) (este nedescrescatoare)

(ii) p(x ≤ ξ < y) = Fξ(y)− Fξ(x);

(iii) Fξ(−∞) = limx→−∞

Fξ(x) = 0,

Fξ(∞) = limx→−∞

Fξ(x) = 1.

(iv) p(ξ ≥ x) = 1− Fξ(x);

(v) Fξ(x− 0) = Fξ(x); (Fξ(x) este continua la stanga).

(vi) p(ξ ≤ x) = Fξ(x+ 0);

(vii) p(ξ = x) = Fξ(x+ 0)− Fξ(x).

Functia de repartitie Fξ(x) = p(ξ < x) = p fiind crescatoarepe (−∞,∞) cu valori ın (0, 1) se poate vorbi de inversa sa Qξ(p)definita pe (0, 1) cu valori ın (−∞,∞) astfel ca Qξ(p) = x dacaFξ(x) = p = p(ξ < x). Functia Qξ(p) se numeste inversafunctiei cumulative de probabilitate sau cuantila de or-din p.

Definitia 3.6. O variabila aleatoare ξ se numeste discretadaca ea poate lua o multime cel mult numarabila de valori. Dacao variabila aleatoare discreta ia un numar finit de valori ea senumeste simpla.

11

Fie ξ o variabila aleatoare discreta care poate lua valorilex1, x2, ..., xn, .... Fie Ai = ω ∈ Ω|ξ(ω) = xi, i = 1, 2, ..., n, ....Evident

Ω = A1 + A2 + ...+ An + ...,

adica evenimentele Ai, i = 1, 2, ... constituie un sistem completde evenimente. Invers daca se poate scrie Ω = A1 + A2 + ... +An+..., atunci putem defini o variabila aleatoare discreta punandω ∈ Ai⇒ ξ(ω) = xi.

Definitia 3.7. Prin legea de repartitie a unei variabile aleatoarediscrete ξ se ıntelege multimea perechilor (xi, pi = p(ξ = xi)),expresia pi = p(ξ = xi) fiind densitatea de repartitie a vari-abilei.

Conform definitiei variabilei aleatoare∏i

pi = 1.

Legea de repartitie a unei variabile aleatoare discrete poatefi data fie printr-un tabel de forma:(

x1 x2 · · · xn · · ·p1 p2 · · · pn · · ·

)fie printr-o reprezentare grafica de forma din figura de mai jos,fie printr-o reprezentare grafica ın care segmentele cu sageata deınlocuiesc prin dreptunghiuri (bare).

Legea de repartitie a indicatorului evenimentului A este(0 1

1− p(A) p(A)

).

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete este

Fξ(x) = p(ξ < x) =∑xi<x

pi,

12

iar ın cazul unei variabile aleatoare simple putem scrie

Fξ(x) =

0, x ≤ x1

p1, x1 < x ≤ x2

p1 + p2, x2 < x ≤ x3

............................................p1 + · · ·+ pn−1, xn−1 < x ≤ xn

1, xn < x

Ea este o functie scara pentru care se pastreaza proprietatileamintite mai ınainte.

O alta definitie a densitatii de repartitie o putem da folosindfunctia de repartitie:

Definitia 3.8. Fie F (x) functia de repartitie a unei variabilealeatoare ξ. Daca exista o functie pozitiva ρ(x) integrabila pe R,cu proprietatea ca pentru orice x ∈ R este verificata egalitatea

F (x) =

x∫−∞

ρ(t)dt

atunci ρ(x) se numeste densitate de repartitie sau densi-tate de probabilitate a variabilei aleatoare.

Proprietati ale densitatii de repartitie:

(i) P (a ≤ ξ < b) =b∫a

ρ(t)dt pentru orice interval [a, b) ⊂ R;

(ii)∞∫−∞

ρ(t)dt = 1.

(iii) daca functia de repartitie F e derivabila pa R, atunci F ′(x) =ρ(x), (∀)x ∈ R

13

Reprezentand grafic densitatea de repartitie se obtine curbade repartitie care se numeste curba normala si care are formaunui clopot, numindu-se clopotul lui Gauss. Tote curbelenormale au urmatoarele proprietati comune:

(i) admit ca asimptota axa abciselor;

(ii) admit cate un punct de maxim;

(iii) variabila aleatoare corespunzatoare este unidimensionala;

(vi) sunt simetrice fata de o paralela la axa Oy, deci toate celetrei caracteristici ale tendintei centrale de grupare ale vari-abilei normale sunt egale;

(v) admit doua puncte de inflexiune.

Functia de repartitie reprezinta aria deliminata de curba derepartitie, axa Ox a valorilor variabilei aleatoare si dreapta par-alela cu axa densitatii de probablitate dusa prin punctul x.

3.2.3 OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE SIMPLE

(i) Daca c este o constanta si ξ este o variabila aleatoare simpla,atunci cξ este functia care asociaza fiecarui eveniment el-ementar valoarea cxi cand ξ ia valoarea xi pentru acelasieveniment elementar.

Deoarece P (cξ = cxi) = P (ξ = xi) = f (xi), repartitiavariabilei aleatoare cξ este (cxi, f (xi)) , i = 1, n.

(ii) Fie ξ si η doua variabile aleatoare simple cu repartitiile(xi, f (xi)) , i = 1, n si respectiv (yj, g (yj)) , j = 1, n. Dacapentru un eveniment elementar ξ ia valoarea xi iar η iavaloarea yi atunci, prin definitie, ξ + η ia valoarea xi + yi.

14

Daca notam cu h (xi, yj) probabilitatea cu care, simultan,ξ ia valoarea xi si η ia valoarea yi avem:

h (xi, yj) = P (X = xi ∩ Y = yj)= P (X = xi, Y = yj) , i = 1, n,j = 1,m

(iii) Fie ξ si η doua variabile aleatoare simple cu repartitiilede la punctul precedent. Prin definitie, ξη este variabilaaleatoare care ia valoarea daca si numai daca ξ ia valoareasi η ia valoarea xi ·yi. Repartitia variabilei aleatoare ξη este(xiyj, h (xiyj)) , i = 1, n,j = 1,m.

3.2.4 SCHEMA BILEI NEREVENITE

Intr-o urna sunt n bile din caren1 de culoare a1,n2 de culoare a2,...,nk de culoare ak.Se extrag succesiv m bile, fara a se pune bila extrasa ınapoi

si ne intereseaza evenimentul ”se obtin mi bile de culoare ai”.Avem ın total Cm

n cazuri posibile. Numarul cazurilor favorabileeste Cm1

n1·Cm2

n2· · · ·Cmk

nksi prin urmare probabilitatea cautata va

fi

Cm1n1· Cm2

n2· · · ·Cmk

nk

Cmn

=Cm1

n1· Cm2

n2· · · ·Cmk

nk

Cm1+m2+···+mkn1+n2+···+nk

3.2.5 SCHEMA BILEI REVENITE

Intr-o urna sunt a bile albe si b bile negre. Se fac n extragericu ıntoarcere, adica punand de fiecare data bila la loc. Ne in-tereseaza evenimentul ”se obtin k bile albe”. Experienta este

15

echivalenta cu extragerea cate unei bile din n urne de aceiasicompozitie. Rezultatele se pot pune ın corespondenta cu functiilef : 1, 2, · · · , n → 1, 2, · · · , a+b () fiecariu numar i ıi punemın corespondenta bila obtinuta la extragerea i) si prin urmareavem (a+ b)n cazuri posibile.

Sa calculam acum numarul cazurilor favorabile evenimentelor”se obtin k bile albe”. Pentru ınceput sa presupunem ca avemo situatie de tipul ”de k ori am obtinut bile albe”. In aceastasituatie pe cele n−k locuri sunt n bile negre si vom avea ak ·bn−k

posibilitati de a obtine de k ori bile albe si n− k bile negre, cacifiecare extragere de k bile albe este posibila cu fiecare extragerede n− k bile negre.

Dar o situatie de tipul ”de k ori se obtin bile albe” este posibilsa apara de Ck

n ori. Prin urmare ın total vom avea Ckna

kbn−k

cazuri posibile si probabilitatea ceruta este

pk(n) =Ck

nakbn−k

(a+ b)m= Ck

n

(a

a+ b

)k (b

a+ b

)n−k

.

3.2.6 SCHEMA LUI BERNOULLI

Sa presupunem ca se efectueaza n experiente aleatoare inde-pendente, fiecare din ele putand avea doua rezultate: succescu probabilitatea p si insucces cu probabilitatea q = 1 − p. Oasemenea schema - de fapt, o asemenea experienta aleatoare -se numeste schema lui Bernoulli.

Sa notam cu bn numarul succeselor ın cele n experiente. bneste o variabila aleatoare simpla. Sa notam cu ωi, i = 1, 2, ..., nvariabilele aleatoare

Ωi =

1, daca ın a i-a experienta a fost succes

0, daca ın a i-a experienta a fost insucces

16

Fie vectorii ω = (ω1, ω2, ..., ωn). Acestia alcatuiesc eveni-

mentele elementare, deci multimea Ω . Evident bn =n∑

i=1ωi. Cele

n experiente fiind independente avem p(ω) = p(ω1)p(ω2)...p(ωn).Cum p(ωi = 1) = p, p(ωi = 0) = q = 1− p avem

p(bn = k) = p

(n∑

i=1

ωi = k

)=

∑ω1+ω2+...+ωn=k

p(ω1)p(ω2)...p(ωn)

= Cknp

kqn−k.

Vom nota

pn,k = p(bn = k) = Cknp

kqn−k.

Rezulta ca variabila aleatoare simpla bn are legea de repartitiedata de tabelul

(0 1 2 · · · k · · · nqn C1

npqn−1 C2

np2qn−2 · · · Ck

npkqn−k · · · pn

).

Definitia 3.9. Variabila aleatoare bn discreta simpla cu val-ori naturale si cu densitatea de repartitie pn,k = p(bn = k) =Ck

npkqn−k se numeste varabila aleatoare binomiala.

Evidentn∑

k=0pn,k = 1 cum rezulta si din relatia 1 = (p + q)n

=n∑

k=0Ck

npkqn−k.

Exemplul 3.2. Un aparat este compus din 5 elemente, fiecareputandu-se defecta ıntr-un timp dat cu probabilitatea p = 0, 1.Aparatul functioneaza normal daca nu se defecteaza mai mult de2 elemente. Care este probabilitatea ca ın timpul dat aparatulsa functioneze normal?

17

Solutia este

p(b5 ≤ 2) = p(b5 = 0) + p(b5 = 1) + p(b5 = 2)

= C50 · 0, 10 · 0, 95 + C5

1 · 0, 11 · 0, 94 + C52 · 0, 12 · 0, 93

= 0, 9914.

Numarul cel mai probabil de realizari ale succesului ın celen experiente din schema lui Bernoulli este apropiat de np. Fieε > 0 un numar oarecare. Sa ıncercam sa evaluam probabil-itatea

∣∣bn

n − p∣∣ > ε, adica probabilitatea ca modulul diferentei

ıntre frecventa aparitiei succesului ın cele n experiente si prob-abilitatea succesului ıntr-o experienta sa fie mai mare ca ε.

Teorema 3.1. (Legea numerelor mari sub forma lui Ber-noulli). Ori care ar fi ε > 0, probabilitatea ca modulul diferenteidintre frecventa de realizare a succesului ın n experiente dinschema lui Bernoulli si probabilitatea de realizare a succesuluiıntr-o experienta sa fie mai mica decat e tinde catre 1 atuncicand n tinde catre infinit.

Exemplul 3.3. Intr-o localitate s-au nascut ıntr-un an 400 decopii. Probabilitatea nasterii unui baiat este egala cu probabili-tatea nasterii unei fete. Sa se evalueze probabilitatea ca numarulbaietilor nascuti ın acel an sa difere de 200 cu cel mult 20.

Avem

p(|b400 − 200| < 20) = p

(∣∣∣∣b400

400− 1

2

∣∣∣∣ < 20

400

)≤

≤ 1−12 ·

12

400( 1

20

)2 = 1− 1

4=

3

4.

18

Definitia 3.10. O variabila aleatoare discreta ξ cu valori natu-rale cu densitatea de repartitie

pξ(ξ = k) = e−aak

k!, k = 0, 1, 2, ...

se numeste variabila aleatoare repartizata dupa legea luiPoisson a evenimentelor rare.

3.3 VALORI MEDII ALE VARIABILELOR ALEA-TOARE DISCRETE

3.3.1 LEGEA NUMERELOR MARI SUB FORMA LUI MARKOV

Definitia 3.11. Daca ξ este o variabila aleatoare, vom numiobservatie independenta a lui ξ orice variabila aleatoare in-dependenta cu aceea si lege de repartitie ca si Ω .

Introducem o asemenea definitie pentru ca orice observatierezulta din observarea variabilei Ω , contand mai mult realizarileacesteia.

Fie variabila aleatoare ξ cu repartitia

(1 0p q

)asociata unei

experiente. Repetand experienta de n ori obtinem variabilele

aleatoare ξi, i = 1, 2, ..., n cu aceeasi repartitie

(1 0p q

). Aces-

tea sunt observatii independente ale variabilei Ω . Conformlegii numerelor mari sub forma lui Bernoulli media aritmeticaa rezultatelor observatiilor independente ale lui ξ sunt oricatde apropiate de p pentru n mare cu o probabilitate oricat deapropiata de 1. De aceea este natural sa numim probabilitateap drept speranta matematica sau valoare medie a vari-

abilei aleatoare ξ cu repartitia

(1 0p q

).

19

Fie acum o variabila aleatoare simpla ξ cu legea de repartitie(x1 x2 · · · xm

p1 p2 · · · pm

)si fie ξ1, ξ2, ..., ξn observatii independente ale lui ξ. Daca sn =ξ1 + ξ2 + ... + ξn atunci avem sn = N1x1 + N2x2 + ... + Nnxn

unde Nj este numarul observatiilor al caror rezultat a fost xj,j = 1, 2, ...,m. Fie ξj

i indicatorul evenimentului rezultatulobservatiei i este xj . ξj

i reprezinta observatii ale variabilei

aleatoare ξj cu repartitia

(1 0pj 1− pj

). Evident avem ξj

1 +

ξj2+...+ξj

i = Nj. Atunci din legea numerelor mari a lui Bernoulliavem ca

p

(∣∣∣∣∣ξ1 + ξ2 + ...+ ξnn

−m∑

j=1

xjpj ≥ ε

∣∣∣∣∣)

n→∞−→ 0

sau trecand la evenimentul contrar

p

(∣∣∣∣∣ξ1 + ξ2 + ...+ ξnn

−m∑

j=1

xjpj < ε

∣∣∣∣∣)

n→∞−→ 1

Aceste relatii constituie legea numerelor mari sub formalui Markov.

3.3.2 VALOAREA MEDIE, PROPRIETATI

Din legea numerelor mari sub forma lui Markov rezulta ca este

natural ca sumam∑

j=1xjpj sa se numeasca valoarea medie sau

speranta matematica a variabilei aleatoare ξ (expectationın engleza, esperance ın franceza). Mai mult introducem urmatoarea

20

Definitia 3.12. Daca ξ este o variabila aleatoare discreta cudensitatea de repartitie(

x1 x2 · · · xm · · ·p1 p2 · · · pm · · ·

),

daca seria∞∑i=1

xipi este absolut convergenta atunci suma acestei

serii se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare si seva nota prin M(ξ). Variabila aleatoare ξ − M(ξ) se numesteabaterea variabilei aleatoare ξ.

Exemplul 3.4. Daca A este un eveniment, atunci valoarea me-die a indicatorului lui A este M(IA) = p(A).

Exemplul 3.5. Fie bn variabila aleatoare binomiala. Cum p(bn =k) = Ck

npkqn−k avem

M(bn) =n∑

k=0

kCknp

kqn−k =n∑

k=1

Ck−1n−1np

kqn−k = np(p+q)n−1 = np.

Exemplul 3.6. Fie ξ o variabila aleatoare repartizata dupalegea evenimentelor rare cu parametrul a, adica p(ξ = k) =

e−aak

k!. Valoarea medie a acestei variabile este

M(ξ) = e−a∞∑

k=0

ak

k!= ae−aea = a.

Valorile medii asociate variabilelor aleatoare discrete au o se-rie de proprietati.

Teorema 3.2. Fie ξ o variabila aleatoare discreta cu repartitiap(ξ = xi) = pi si f(x) o functie definita pe multimea valorilor

21

variabilei ξ astfel ıncat∞∑i=1|f(xi)|pi <∞. Atunci M(f(ξ)) exista

si M(f(ξ)) =∞∑i=1

f(xi)pi.

Consecinta: M(αξ + β) = αM(ξ) + β.

Teorema 3.3. Daca ξ si η, sunt doua variabile aleatoare dis-crete atunci M(ξ + η) = Mξ) +M(η).

Definitia 3.13. Variabilele aleatoare discrete ξ si η, se numescindependente daca evenimentele ξ = xi, η = yj sunt inde-pendente oricare ar fi i, j. Analog se defineste independenta ıntotalitate a mai multor variabile aleatoare.

Teorema 3.4. Daca ξ si η, sunt variabile aleatoare discrete in-dependente si cu valori medii finite atunci M(ξη) = M(ξ)M(η).

3.3.3 MOMENTE, INEGALITATILE LUI MARKOV SI CEBISEV

Definitia 3.14. Daca ξ este o variabila aleatoare numarul M(ξk)se numeste momentul de ordin k al lui ξ, iar numarul M(|ξ|k)se numeste momentul absolut de ordin k al lui ξ.

Numarul µk(ξ) = M((ξ −M(ξ))k

)se numeste momentul

centrat de ordin k al lui ξ, iar numarul M(|ξ −M(ξ)|k

)se

numeste momentul absolut centrat de ordin k.In particular pentru k = 2, µ2(ξ) = M

((ξ −M(ξ))2

)se

numeste dispersia sau variatia lui ξ si se noteaza si cu D2(ξ)sau var(ξ). Termenul dispersie provine din cuvantul latin dis-persio care ınseamna ımprastiere, raspandire.D(ξ) =

√D2(ξ) se numeste abaterea medie patratica a

lui ξ.

22

Notam relatiile

D2(ξ) = M(ξ2)− [M(ξ)]2

D2(αξ + β) = α2D2(ξ).

Daca ξ1, ξ2, ..., ξn sunt variabile aleatoare independente atunci

D2(ξ1 + ξ2 + ...+ ξn) = D2(ξ1) +D2(ξ2) + ...+D2(ξn),

aceasta rezultand din definitia dispersiei si multiplicativitateavalorilor medii ale variabilelor aleatoare independente.

Daca ξ si η sunt doua variabile aleatoare pentru care existamomentele de ordinul doi M(ξ2), M(η2) atunci au loc

inegalitatea lui Schwarz

M(ξη) = M(ξ2)M(η2);

inegalitatea lui Markov

p(|ξ|k ≥ ε

)=M(|ξ|k)

εk;

inegalitatea lui Cebısev

p (|ξ −M(ξ)| ≥ ε) =D2(ξ)

ε2 .

Definitia 3.15. Daca ξ, η sunt doua variabile aleatoare numarul

cov(ξ, η) = E((ξ − E(ξ))(η − E(η)))

se numeste covariatia celor doua variabile aleatoare; numarul

cor(ξ, η) =cov(ξ, η)

D(ξ)D(η)

se numeste corelatia celor doua variabile aleatoare.

23

Totdeauna |cor(ξ, η)| = 1. Daca |cor(ξ, η)| = 0 variabileleξ, η se numesc necorelate. Daca variabilele sunt independenteele sunt necorelate; invers nu este adevarat totdeauna.

Exemplul 3.7. Un lot de 400 de piese, contine 8% piese cudefectiuni. Sa se identifice legea de repartitie a numarului ξ depiese cu defectiuni dintr-un esantion de 10 piese din lot.

Lotul de c = 400 de piese contine a piese defecte si b piese

bune astfel ıncat c = a + b,a

c= 0, 08,

b

c= 0, 92, deci a = 32,

b = 368. Un esantion de n = 10 piese contine k piese defectesi n − k = 10 − k piese bune. Cu cele b piese bune se potobtine Cn−k

b = C10−k368 esantioane de n − k piese bune, cu cele a

= 32 piese defecte se pot obtine Cka = Ck

32 esantioane de k piesedefecte; deci exista Ck

aCn−kb = Ck

32C10−k368 esantioane de n = 10

piese din care k sunt defecte. Rezulta ca probabilitatea ca dinesantionul de n = 10 piese k sa fie defecte este

pk =Ck

aCn−kb

Cna+b

=Ck

32C10−k368

C10400

.

Valoarea medie a variabilei ξ este M(ξ) =10 · 32

400=

4

5, iar

dispersia este D2(ξ) =10 · 32 · 368 · 390

4002 · 399.

Exemplul 3.8. Intr-un lac sunt N pesti. Se pescuiesc a pesti,se marcheaza acesti pesti si se arunca ın lac. In lac sunt acumb = N − a pesti nemarcati. Se pescuiesc din nou n pesti. Dinschema bilei nerevenite, probabilitatea ca printre cei n pesti sase gaseasca k pesti marcati este

pN,k =Ck

aCn−kN−a

CnN

.

24

Daca dupa pescuirea celor n pesti s-au pescuit ıntr-adevar kpesti marcati, avem posibilitatea sa apreciemnumarul numarultotal de pesti din lac N pentru ca pescuirea celor k pesti marcatieste cea mai verosimila atunci cand probabilitatea pN,k estemaxima ın raport cu variabila N , adica

pN−1,k ≤ pN,k ≤ pN+1,k

Scriind aceasta se gaseste ca N este valoarea ıntreaga cea mai

apropiata dena

k.

3.4 CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABI-LELOR ALEATOARE CONTINUE

Fie ξ o variabila aleatoare continua a carei functie de repartitieeste F (x), iar densitatea de repartitie ρ(x). Presupunem cavariabila aleatoare ξ ia valori ıntr-un interval [a, b] ⊂ R.

Definitia 3.16. Daca∞∫−∞

xdF (x) este absolut convergenta, atunci

definim valoarea medie a variabilei aleatoare ξ prin

M(ξ) =

∞∫−∞

xdF (x).

In cazul ın care ξ are densitatea de repartitie ρ continua saucontinua pe portiuni, F este derivabila ın orice x ın care ρ estecontinua integrala de mai sus se reduce la

M(ξ) =

∞∫−∞

xρ(x)dx

25

siF ′(x) = ρ(x).

Variabila aleatoare ξ−M(ξ) se numeste abaterea variabileialeatoare continue ξ. Pornind de la aceasta relatie se pot definiprin analogie cu cazul discret:

Definitia 3.17. Momentul de ordin k: M(ξk) =∞∫−∞

xkρ(x)dx;

Momentul absolut de ordin k: M(|ξ|k) =∞∫−∞|x|kρ(x)dx

Momentul centrat de ordin k:

M([ξ −M(ξ)]k

)=

∞∫−∞

[x−M(ξ)]kρ(x)dx

Dispersia: D2(ξ) =∞∫−∞

[x−M(ξ)]3ρ(x)dx

Abaterea medie patratica: D(ξ) =√D2(ξ).

Proprietatile valorilor medii si ale dispersiei unei variabilealeatoare discrete se mentin si ın cazul variabilei aleatoare con-tinue, dispersia dand o indicatie asupra gradului de concentrarea valorilor unei variabile aleatoare ın jurul valorii medii.

26