2009_1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, MT1, programa M1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 19 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019

5p 1. Să se ordoneze crescător numerele 3 43, 5, 8 .

5p

2. Să se determine funcţia :f → ştiind că graficul său şi graficul funcţiei :g → , ( ) 3 3g x x= − + sunt simetrice faţă de dreapta 1x = .

5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 13 10 3 27 0x x+ +− ⋅ + = . 5p 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta

să aibă toate cifrele pare. 5p 5. Să se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC , unde (1,2)A , (2,3)B şi (2, 5)C − .

5p 6. Să se arate că ctg1 tg1

ctg 22

−= .



58 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058

1. Fie , , , 0,a b c d > matricea a b

Ac d =

şi funcţia ( ) ( ): 0, 0, , ( )ax b

f f xcx d

+∞ → ∞ =+

.

Se notează n n n

n n

a bA

c d =

, unde *.n ∈

5p a) Să se arate că dacă det 0A = , atunci f este funcţie constantă. 5p b) Să se arate că, dacă det 0,A ≠ atunci funcţia f este injectivă.

5p c) Să se arate că ( )( )de ori

... ,n n

n nn f

a x bf f f f x n

c x d∗+

= ∀ ∈+

.

2. Se consideră matricele

1 0 0 1,

0 0 0 0A B = =

şi mulţimea 2{ , , 1}.|G I aA bB a b a= + + ∈ ≠ −

5p a) Să se arate că orice matrice din G este inversabilă. 5p b) Să se arate că G este un subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din 2 ( ).M

5p c) Să se arate că ecuaţia 22X I= are o infinitate de soluţii în G.



90 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090

1. Se consideră funcţiile ( ) ( ) *: 0; , ln ,nn nf f x x x n∞ → = + ∈ .

5p a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei 1f .

5p b) Să se demonstreze că funcţiile ( )1: (0, ) , ( ) ( )n n n ng g x f x f

x∞ → = + sunt convexe.

5p c) Admitem că ecuaţia ( ) 2nnf x = are soluţia unică nx . Să se arate că şirul 1( )n nx ≥ converge la 2 .

2. Fie [0,1]a ∈ şi *

0,

1

nan

tI dt n

t= ∈

+∫ .

5p a) Să se calculeze 2I .

5p b) Să se demonstreze că 1 , 2n

n na

I I nn−+ = ∀ ≥ .

5p c) Să se arate că lim 0nn

I→∞

= .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) 1. 312 12 4 123 729, 5 625, 8 512= = =

Finalizare 3p 2p

2. ( )1,0 gA G∈ şi dreptei de ecuaţie 1x =

( )0,3 gM G∈

Simetricul lui M faţă de dreapta 1x = este ( )' 2,3M

Finalizare: ( ) 3 3f x x= −

1p

1p

1p

2p

3. Scrierea ecuaţiei 23 30 27 0,t t− + = cu 3xt = Finalizare: 1 20, 2x x= =

3p

2p

4. Sunt 900 de numere Sunt 4 5 5 100⋅ ⋅ = numere cu toate cifrele pare

Probabilitatea 1

9=

2p

2p

1p

5. ( )2, 1M − este mijlocul lui BC

Ecuaţia dreptei AM este 3 5 0x y+ − =

2p

3p 6. 21 1 1 1

2 2 1

ctg tg tg

tg

− −= =

1

2tg= =

2ctg=

2p

2p

1p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a)

Fie ( ), 0 ,x y ∈ ∞ . ( ) ( ) ( )( ) ( )

det0

A x yf x f y

cx d cy d

⋅ −− = =

+ ⋅ +

Finalizare

4p

1p

b) ( ) ( ) ( )det 0f x f y A x y= ⇒ ⋅ − =

Cum det 0A x y≠ ⇒ = 3p 2p

c) Inducţie după n: verificare pentru 1n = 1n nA A A+ = ⋅ ⇒ 1n n naa cb a ++ = , 1n n nba db b ++ = , 1n n nac cd c ++ = , 1n n nbc dd d ++ =

Finalizare

1p 2p 2p

2.a) ( )2

1det

0 1

a bI aA bB

++ + = =

1 0a= + ≠ Finalizare

2p

2p

1p

b) Parte stabilă cu condiţiile necesare

( ) 12 2

11

0 11 1 1

b a bI aA bB I A B

aa a a− − − −+ + = = + + ++ + +

cu 11

a

a− ≠ −

+

3p

2p


c) ( ) ( )2 22 2 2, 2 2X I X G I a a A ab b B I= ∈ ⇔ + + + + = ⇔

( )( ) 22a aA bB O⇔ + + =

2a = − şi b ∈ oarecare

2p

1p

2p

SUBIECTUL III (30 puncte) 1.a) Verifică faptul că nu există asimptote spre +∞

Justifică faptul că 0x = este asimptotă verticală 3p 2p

b) Calculul derivatei a II-a a funcţiei ng Finalizare

3p 2p

c) Arată că 1 2nx< < 1

12 1 ln

2

nn nn

x x = −

lnlim 0

2n

nn

x

→∞=

Finalizare

2p

1p

1p

1p

2.a) 2

20 0

11

1 1

a at

I dt t dtt t

= = − + = + + ∫ ∫

( )2

ln 12

aa a= − + +

2p

3p

b) 1

10

an

n nI I t dt−−+ = =∫

0

n at

n=

Finalizare

2p

2p

1p

c)

0

0a

nnI t dt≤ ≤ ∫

1 1

0

1

01 1 1

a n nn at a

t dtn n n

+ += = ≤

+ + +∫

Finalizare

2p

2p

1p

♦ Total: 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.



17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

19 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019 5p 1. Să se calculeze 6 6log 24 log 4− .

5p 2. Se consideră funcţia :f → , ( ) 2 3 2f x x x= − + . Să se calculeze ( ) ( ) ( )0 1 2009f f f⋅ ⋅ ⋅… .

5p 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 2.x − =

5p 4. Să se determine numărul natural ,n 5n ≥ , ştiind că ( )( )

3 !6.

5 !

n

n

−=

−

5p 5. Să se determine numerele reale ,a ştiind că lungimea segmentului determinat de punctele ( )1,2A − şi

( )4 ,4B a a− + este egală cu 5.

5p 6. Să se calculeze 2 2cos 45 sin 135+ .



58 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058

1. Se consideră sistemul de ecuaţii 2 5 4 0

3 1

2

x y z

x y z

x z a

− + =− + + = − − =

, cu a ∈ . Se notează cu A matricea sistemului.

5p a) Să se calculeze determinantul matricei A . 5p b) Pentru 1a = să se rezolve sistemul. 5p c) Să se determine cea mai mică valoare a numărului natural a pentru care soluţia sistemului este

formată din trei numere naturale. 2. Pe se consideră legea de compoziţie asociativă 1x y x y= + + .

5p a) Să se calculeze 2008 2009 .

5p b) Să se rezolve în inecuaţia 2 3x x ≤ .

5p c) Fie mulţimea { }0 1 2 2 şi 6n n nA n n C C C n∗= ∈ ≥ = + . Să se determine numărul elementelor

mulţimii A .



90 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090 1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →R , ( ) 2 lnf x x x= − .

5p a) Să se verifice că ( ) 1xf x

x

−′ = , pentru orice 0x > .

5p b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul ( )1;2A .

5p c) Să se arate că 2 2 lnx x≥ + , pentru orice 0x > .

2. Pentru fiecare *n ∈ se consideră funcţiile [ ]: 0,1nf → R , ( ) ( )1 nnnf x x x= + − .

5p a) Să se determine mulţimea primitivelor funcţiei 2f .

5p b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei [ ]: 0,1g → R , ( ) ( )2xg x e f x= ⋅ ,

axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = şi 1x = .

5p c) Să se arate că ( ) ( )1 1

10 0

n nf x dx f x dx+≥∫ ∫ , pentru orice n ∗∈ N .



EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D


Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale.


punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte)

1. ( )6 6log 6 4 log 4⋅ − =

6log 6= =

1=

2p

2p

1p 2. ( )1 0f = ⇒

( ) ( ) ( )0 1 2009 0f f f⋅ ⋅ ⋅ =…

3p

2p

3. 5x ≥ 9x =

2p 3p

4. 2 7 6 0n n− + = 5n ≥ 6n =

3p 1p 1p

5. ( ) ( )2 25 2AB a a= − + +

22 6 4 0a a− + =

1 22, 1a a= =

1p

2p

2p

6. 2 1cos 45

2=

2 1sin 135

2=

Finalizare

2p

2p

1p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) Scrierea determinantului

( )det 5A = − 1p 4p

b) Justificare

Finalizare: 4 4 3

; ;5 5 5

2p

3p

c) 91

5x a= − ,

142

5y a= − ,

132

5x a= −

5a =

3p

2p

2.a) 2008 2009 2008 2009 1= + + = 4018=

3p 2p

b) 2 2 0x x+ − ≤

[ ]2,1x ∈ − 2p 3p

c) 2 6 0n n− − = Finalizare: A are un element

3p 2p


SUBIECTUL III (30 puncte)

1.a) ( ) 1 1'f x

xx= −

Finalizare

2p

3p

b) ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = −

Ecuaţia tangentei: 2y =

2p

3p c) Punctul ( )1,2 este punct de minim

Finalizare: ( ) 2f x ≥ 2p 3p

2.a) 22 ( ) 2 2 1f x x x= − +

( ) 3 22

2

3f x dx x x x= − + +∫ C

2p 3p

b) Justificare Finalizare:

23 7

fA eΓ = −

2p 3p

c) ( )

1

0

2

1nf x dxn

=+∫

( )1

10

2

2nf x dxn+ =

+∫

Finalizare

2p

2p

1p ♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.


BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, MT3, programa M4

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba D

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 19 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 019 5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale inecuaţia 3 2 13x + < .

5p 2. Să se determine α ∈ astfel încât vectorii 1 2( 3) (1 ) , 2v i j v i jα α α= + + + = + să fie coliniari.

5p 3. Să se determine primul termen al unei progresii geometrice 1( )n nb ≥ ştiind că 43

2b = şi 5

3

4b = − .

5p 4. Fie triunghiul isoscel ABC în care 12AB AC= = şi ( ) 30m B = . Să se calculeze aria triunghiului ABC.

5p 5. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 3 8 2x x+ − = .

5p 6. Să se rezolve sistemul 2

3

5 12

y x

y x x

= +

= − +, ,x y ∈ .


BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ_Proba D, MT3, programa M4

58 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 058 Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie ( )4 20x y xy x y⊥ = − + + .

5p a) Să se demonstreze că ( )( )4 4 4x y x y⊥ = − − + , pentru orice ,x y ∈ .

5p b) Să se rezolve în ecuaţia ( )1 4x x⊥ + = .

5p c) Să se demonstreze că 4x y⊥ ≥ pentru oricare [ ), 4,x y ∈ +∞ .

5p d) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ⊥ ” este asociativă. 5p e) Să se arate că 5 este element neutru pentru legea de compoziţie „ ⊥ ” . 5p f) Să se calculeze 1 2 3 4 5⊥ ⊥ ⊥ ⊥ .


BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ_Proba D, MT3, programa M4

90 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 090

Se consideră matricele 1 2

0 1A

=

, 0 2

0 2B

− = −

şi 21 0

0 1I

=

.

5p a) Să se calculeze 2A B I− + .

5p b) Să se determine a ∈ pentru care are loc egalitatea ( ) ( )det 2 detA a A= .

5p c) Să se arate că 3 4B B= .

5p d) Să se determine ,x y ∈ ştiind că matricea 1

1

x

y

este inversa matricei A .

5p e) Să se rezolve în ( ) 2M ecuaţia matricială A X B⋅ = .

5p f) Să se calculeze ( ) ( ) ( )2 3 4A B A B A B A B+ + + + + + + .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-MT3-M4


Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


1) 3 11,x x< ∈ ⇔ .

{ }0,1,2,3x⇔ ∈

1p 4p

2) Condiţia este echivalentă cu ( ) ( )3 2 1α α α+ = +

{ }1, 2α ∈ − 3p 2p

3) 5

4

1

2

bq

b= = −

1 12b = −

2p

3p

4) 1 ˆsin2

S AB AC A= ⋅ ⋅ =

2112 sin120 36 3

2= ⋅ =

1p

4p

5) ( ) ( )33 3 3 3 3 38 8 3 8 8 0x x x x x x+ − = ⇒ ⋅ − + − =

0x = sau 8x =

3p

2p

6) 2 25 12 3 6 9 0x x x x x− + = + ⇒ − + = 3; 6x y= = .

3p 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) a) ( )( )4 4 4 4 4 20x y xy x y− − + = − − +

Finalizare 2p 3p

b) Ecuaţia este echivalentă cu ( )( )4 3 0x x− − =

{ }3,4x ∈ 3p 2p

c) ( )( ) [ )4 4 4; , 4, 4 0, 4 0x y x y x y x y⊥ = − − + ∈ +∞ ⇒ − ≥ − ≥

Finalizare

4p

1p

d) ( ) ( )( )4 4 4x y z x y z ⊥ ⊥ = − − + ⊥ =

( )( )( ) ( )4 4 4 4x y z x y z= − − − + = ⊥ ⊥ , , ,x y z∀ ∈

2p 3p

e) ( )( )5 4 5 4 4 ,x x x x⊥ = − − + = ∀ ∈ [ )4,+∞

( )( )5 5 4 4 4 ,x x x x⊥ = − − + = ∀ ∈ [ )4, 5e+∞ ⇒ = 2p 3p

f) 4 4 4,x x x⊥ = ⊥ = ∀ ∈ ⇒

( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 4x⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = ⊥ = 2p 3p

SUBIECTUL III (30 puncte) a) 1 4

0 3A B

− =

22 4

0 4A B I

− + =

2p

3p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4

2

b)

2 42

0 2A

=

⇒ 2 4

det(2 ) 40 2

A = =

1 2det 1

0 1A = =

4 1 4a a= ⋅ ⇒ =

2p

2p

1p

c) 2 0 2 0 2 0 4

0 2 0 2 0 4B

− − = = − −

3 0 4 0 2 0 8 0 24 4

0 4 0 2 0 8 0 2B B

− − − = = = = − − −

2p

3p

d) 1 1 2 1 2

1 0 1 2 1

x x

y y y

+ = +

⇒

1 2 1 0 2

2 1 0 1 0

x x

y y y

+ = − = ⇒ + =

2p

3p

e) 1 2 2 2

0 1

x y x z y tA X

z t z t

+ + ⋅ = =

⇒

A X B⋅ = ⇒0 2

0, 2, 0, 20 2

x y z t X

= = = = − ⇒ = −

1p

4p

f) 1 2 0 2 1 0

0 1 0 2 0 1A B

− + = + = − −

,

( )22

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1A B I

+ = = = − −

,

( ) ( ) ( )3 2 ,A B A B A B A B+ = + + = +

( ) ( ) ( )4 2 22A B A B A B I+ = + + = ⇒

( ) ( ) ( )2 3 42

1 0 4 02 2

0 1 0 0A B A B A B A B I

+ + + + + + + = + = −

.

1p

1p

1p

1p

1p

♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

Ministerul Educa�iei �i Cercet�rii – Serviciul Na

�ional de Evaluare �i Examinare

PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 019

1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2007 Proba scris� la MATEMATIC

PROBA D Varianta ….019 Profilul: Filiera Teoretic �: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, Specializarea: specializarea matematic�-informatic� ♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze distana de la punctul ( )2,1A la dreapta de ecuaie 0334 =+− yx .

(4p) b) S se determine coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele ( )5,3,1A ,

( )1,3,5B .

(4p) c) S se determine R∈a , astfel încât punctul ( )aM ,2 s aparin dreptei de ecuaie 0532 =+− yx .

(4p) d) S se determine punctele de intersecie dintre dreapta xy = i hiperbola 12516

22

=− yx.

(2p) e) S se calculeze 4

πtg .

(2p) f) S se calculeze suma de numere complexe 32

1111

iii+++ .

SUBIECTUL II ( 30p ) 1.

(3p) a) S se calculeze 4log2 .

(3p) b) S se calculeze 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ în 8Z .

(3p) c) S se calculeze !4

3

!3

2

!2

1 ++ .

(3p) d) S se determine probabilitatea ca un element din mulimea { }8...,,3,2,1 s fie soluie

a inecuaiei 0652 <−+ nn . (3p) e) S se rezolve ecuaia 162

2

=x .

2. Se consider func ia ( ) R→∞,0:f , ( )x

xxf

ln= .

(3p) a) S se calculeze ( )xf ′ , 0>x .

(3p) b) S se arate c func ia f este descresctoare pe intervalul [ )∞,e .

(3p) c) S se calculeze 1

lim→x

( ) ( )1

1

−−

x

fxf.

(3p) d) S se determine asimptota orizontal la graficul funciei f.

(3p) e) S se calculeze ( )nnn

−+∞→

1lim .



PROBA D. M1: Filiera Teoretic�: sp.: matematic�-informatic�, Filiera Voca�ional�, profil Militar, specializarea matematic�-informatic� Varianta 019

2

SUBIECTUL III ( 20p ) Se consider 3, ≥∈ nn N i polinomul [ ]X1... 1

11 R∈−⋅++⋅+= −

− XaXaXf nn

n ale c rui

r d cini C∈nzzz ,..., 21 verific 11 ≥z , 12 ≥z , …, 1≥nz .

(4p) a) S se calculeze )0(f i ....21 nzzz ⋅⋅⋅

(4p) b) S se arate c .1...21 =⋅⋅⋅ nzzz

(4p) c) S se arate c polinomul f are cel puin o r d cin real în intervalul ),0( ∞ .

(2p) d) S se demonstreze c .1...21 ==== nzzz

(2p) e) S se demonstreze c .0)1( =f

(2p) f) Dac n este par, s se arate c polinomul 12 −X îl divide pe f .

(2p) g) Dac ,1 nan −=− s se arate c nXf )1( −= i n este impar.

SUBIECTUL IV ( 20p )

Se consider func iile RR →:f , ( )

+=2

1xxf i RR →:g , ( ) ( ) xxfxg −= ,

unde

+2

1x înseamn partea întreag a numrului real

2

1+x .

(4p) a) S se arate c ( )

=

−∈=

2

1,1

2

1,

2

1,0

x

xxf i ( ) xxg = ,

−∈∀2

1,

2

1x .

(4p) b) S se arate c func ia g este periodic de perioad 1=T i este continu pe R .

(4p) c) S se calculeze ( )∫1

0

dxxg .

(2p) d) S se demonstreze c ( ) ( )∫∫ =−

1

01

dxxgdxxgk

k

, *N∈∀ k .

(2p) e) S se arate c ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫= −

⋅=⋅n

k

n

k

n

k

dxnxgxgdxnxgxg1 1

1

0

, *N∈∀ n .

(2p) f) S se arate c pentru orice *N∈n i { }nk ,...,2,1∈∀ , exist

−∈′′′n

k

n

kxx kk ,

1, , astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫− −−

⋅′′≤⋅≤⋅′n

k

n

k

n

k

n

kk

n

k

n

kk dxnxgxgdxnxgxgdxnxgxg

1 11

.

(2p) Folosind faptul c pentru *N∈∀ n , { }nk ,...,2,1∈∀ i orice

−∈n

k

n

kyk ,

1, avem

∞→nlim ( ) ( )∫∑ =

=

1

01

1dxxgyg

n

n

kk , s se arate c

∞→nlim ( ) ( ) ( )

21

0

1

0

=⋅ ∫∫ dxxgdxnxgxg .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M1-1 (2007) Filiera teoretică:sp.:matematică-informatică;Filiera Vocaţională, profil Militar, sp.: matematică-informatică

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M1-1 (2007) - Varianta 19


Filiera teoretică:sp.:matematică-informatică;Filiera Vocaţională, profil Militar, sp.: matematică-informatică ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) | 4 6 3 |

16 9

− + =+

= 1

5

2p 2p

b) (3,3,3)M 4p c) 4 3 5 0a− + =

3a = 2p 2p

d) 2 91

16 25x ⋅ = ⇒

⋅20

3x = ±

20 20 20 20, , ,

3 3 3 3A B − −

2p

2p

e) tg 1

4

π =

2p

f) 1 1 0i i− − + = 2p SUBIECTUL II (30 puncte)

1.a) 2 3p b) ˆ ˆ ˆ2 4 0⋅ =

Produsul este 0̂

2p 1p

c) 1 1 1 23

2 3 8 24+ + = 3p

d) 0 3p e) 2 4x =

1 22; 2x x= = − 1p 2p

2.a) ( ) 2

1 ln xf x

x

−′ = 3p

b) 1 ln 0, [ , )x x e− ≤ ∀ ∈ ∞ Finalizare

2p 1p

c) Limita este egală cu ( )1f ′ =

1=

1p 2p

d) ( )lim 0x

f x→∞

=

0y = este asimptota orizontală

2p

1p

e) Limita

1lim 0

1n n n→∞=

+ + 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) (0) 0f =

( ) 11 2... 1 n

nz z z+= −

2p 2p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M1-1 (2007) Filiera teoretică:sp.:matematică-informatică;Filiera Vocaţională, profil Militar, sp.: matematică-informatică

2

b) ( ) 11 2 1| ... | | 1 | | | .... | | 1n

n nz z z z z+= − ⇒ = . 4p

c) lim ( )x

f x→∞

= ∞

f continuă, (0) 0f < Finalizare

2p 1p 1p

d) Din | | 1kz ≥ şi din punctul b) rezultă cerinţa 2p e) Din punctele c) şi d) rezultă că 1 este rădăcină a lui f 2p f) lim ( )

xf x

→−∞= ∞ , f continuă, (0) 0f < , deci există o rădăcină ( ),0r ∈ −∞ a lui f. Din

punctul d) rezultă 1r = − .

Atunci 1 | , 1 |X f X f− + şi 2 1 |X f−

1p

1p

g) 1 2 1| ... | | | .... | |n nz z z n z z+ + + = = + +

Există 10,k k kz zλ λ> = . Din punctele anterioare rezultă 1 2 ... 1nz z z= = = = . Finalizare

1p 1p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a) Verificarea funcţiei f

Verificarea funcţiei g 2p 2p

b) f are perioada 1 g are perioada 1

1 12 2

1 1lim ( ) , lim ( )

2 2x x

g x g x= =

Finalizare

1p 1p 1p 1p

c) Justificare

Finalizare: 1

0

1( )

4g x dx =∫

3p 1p

d) 1

1 0

( ) ( 1)k

k

g x dx g t k dt−

= + − =∫ ∫

1

0

( )g t dt= ∫

1p 1p

e) Rezultă din aditivitatea integralei Riemann 2p f)

Funcţia g este continuă şi pozitivă pe 1

,k k

n n

−

, deci este mărginită şi îşi atinge

marginile. ' '',k kx x sunt punctele de minim, respectiv maxim.

1p 1p

g) 1

1 0

1( ) ( )

k

n

k

n

g nx dx g x dxn−

=∫ ∫

Rezultă din însumarea inegalităţilor de la punctul anterior.

1p

1p ♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.



Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

Varianta 019 1


PROBA D Varianta ….019 Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin

�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

♦ Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri cu solu ii complete SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se determine R∈a pentru care dreptele

01:1 =−+ yxd i 032:2 =++ ayxd sunt paralele.

(4p) b) S se determine numrul diagonalelor unui poligon convex cu 8 laturi.

(4p) c) S se calculeze modulul numrului complex 1132 ... iiiiz ++++= .

(4p) d) S se calculeze raza cercului de ecuaie 3222 =−+ xyx .

(2p) e) S se calculeze suma 4

5sin

4sin

ππ + .

(2p) f) S se rezolve ecuaia [ ]π,0,2

3sin ∈= xx .

SUBIECTUL II ( 30p )

1. Se consider func ia RR →:f , ( ) 322 +−= xxxf i se noteaz cu ba,

r d cinile ecuaiei 0)( =xf .

(3p) a) S se determine valoarea minim a funciei f .

(3p) b) S se calculeze suma 22 2

1

2

1

bbaa −+

−.

(3p) c) S se determine numerele reale y pentru care 6)3( =yf .

(3p) d) S se calculeze produsul rd cinilor ecuaiei 11)(log2 =tf .

(3p) e) S se arate c determinatul ba

ba 23 este numr natural.

2. Se consider func ia RR →:f , ( )

21

1

xxf

+= .

(3p) a) S se calculeze ( )xf ′ , R∈x .

(3p) b) S se rezolve în *R inecuaia x

xf2

1)( ≤ .

(3p) c) S se determine ecuaia asimptotei spre ∞+ la graficul funciei f .

(3p) d) S se calculeze ( ))(lim 2 nfnn

⋅∞→

.

(3p) e) S se calculeze ( )∫1

0

dxxf .



Proba D.Programa M1.Filiera teoretic�, specializarea �tiin�e ale naturii; Filier� tehnologic�, profil Tehnic, toate specializ�rile

Varianta 019 2

SUBIECTUL III ( 20p )

În (2M R ) se consider matricele

=

=

00

00,

10

0122 OI , iar pentru o matrice

oarecare ∈

=

dc

baA (2M R ) se noteaz )(Atrda =+ .

(4p) a) S se arate c pentru orice dou matrice ∈BA, (2M R ) este adevrat egalitatea )()()( BtrAtrBAtr +=+ .

(4p) b) S se arate c pentru orice matrice ∈A (2M R ) este adevrat

egalitatea 222 )(det)( OIAAAtrA =⋅+⋅− .

(4p) c) S se gseasc o matrice ∈X (2M R ) pentru care ( ) 0det =X i 5)( =Xtr .

(2p) d) S se arate c dac ∈Y (2M R ), ( ) 0det =Y i 5)( =Ytr , atunci

pentru orice n natural, 2≥n , are loc egalitatea YY nn ⋅= −15 .

(2p) e) S se demonstreze c ( ) ( ) ( ) ∈∀⋅=⋅ BABABA ,,detdetdet (2M R ).

(2p) f) S se gseasc dou matrice ∈YX , (2M R ), 2,, OYXYX ≠≠ care verific

222 OYX == .

(2p) g) S se arate c dac ∈YX , (2M R ) i 222 OYX == , atunci 0)( =+ YXtr .


Se consider func iile →

2,0:π

f R , xxxxf 2sintg)( −+= i →

2,0:π

g R ,

2)ln(coscos)( xxxxg ++= (4p) a) S se calculeze )0(f i ( )0f ′ .

(4p) b) S se arate c 2≥+a

b

b

a, ( )∞∈∀ ,0,ba .

(2p) c) S se arate c

∈∀≥2

,0,coscos 2 πxxx .

(2p) d) S se arate c func ia f este cresctoare pe intervalul

2,0π

.

(2p) e) S se arate c 0)( ≥xf ,

∈∀2

,0π

x .

(2p) f) S se arate c 0)()( =′+ xgxf ,

∈∀2

,0π

x .

(2p) g) S se arate c func ia g este descresctoare pe intervalul

2,0π

.

(2p) h) S se arate c ∫ ≤+1

0 3

2))ln(cos(cos dxxx .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M1-2 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D-M1-2 (2007) - Varianta 19

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.



a) 1d şi 2d paralele 2a⇔ = 4p

b) 28 8 20C − = 4p

c) 1z = − 1z =

3p 1p

d) ( )2 21 4x y− + =

2r =

2p 2p

e) Rezultatul este 0 2p f)

3x

π= sau 2

3x

π= 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) Rezultatul este 2 3p b) 2 22 2 3a a b b− = − =

2 2

1 1 2

32 2a a b b+ =

− −

2p

1p

c) ( )23 1 4y − =

1y =

2p 1p

d) ( )22log 1 9t − =

2log 4t = , 2log 2t = −

1 2 4t t⋅ =

1p

1p

1p

e) 3 2 3ab ab ab− = = ∈ 3p 2.a) ( )

( )22

2

1

xf x

x

−′ =+

3p

b) ( )0,x ∈ ∞ 3p c) ( )lim 0

xf x

→∞=

0y = asimptotă

2p

1p

d) Limita este 1 3p e) 1

arctg0 4

xπ= 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) a b

Ac d =

şi x yB

z t =

; ( ) ( ) ( )tr A B a x d t trA trB+ = + + + = + 4p

b) Verificare 4p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M1-2 (2007) Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profil tehnic, toate specializările.

2

c) 2 23 3

X =

4p

d) 2 5Y Y= Finalizare

1p 1p

e) Verificare 2p f) 1 1

1 1X = − −

, 2Y X= 2p

g) 22 0X O trX= ⇒ =

Finalizare

1p 1p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a) ( )0 0f =

( )' 0 0f =

2p

2p

b) ( )20a b− ≥ 4p

c) Rezultă din 1 cos 0, 0,

2x x

π ≥ > ∀ ∈ 2p

d) ( ) 2

1' cos 2 0f x x

cos x= + − ≥

Finalizare

1p 1p

e) ( ) ( )0 0f x f≥ = 2p

f) ( ) ( )sin' sin 2

cos

xg x x x f x

x= − − + = − 2p

g) ( ) ( )' 0g x f x= − ≤

Finalizare 1p 1p

h) ( ) ( ) ( ) 20 1 cos ln cos 1g x g x x x≤ = ⇒ + ≤ −

( )1

2

0

21

3x dx= −∫

1p

1p




Proba D. Programa M2. Filiera tehnologic�: profil: Servicii, toate specializ�rile, profil Resurse naturale �i protec�ia mediului,

toate specializ�rile Proba F. Programa M2.Filiera teoretic�:profil Uman, specializarea �tiin �

e sociale;Filiera voca�ional�:profil Militar,

specializarea �tiin �e sociale

Varianta 019

1


PROBA D/F Varianta ….019





NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete

SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze distana dintre punctele )2,1(A i )1,2(B .

(4p) b) S se determine R∈nm, astfel încât punctele )2,1(A i )1,2(B s aparin dreptei de

ecuaie nmxy += .

(4p) c) S se arate c triunghiul cu vârfurile ( )3,0A , ( )0,1−B i ( )0,1C este echilateral.

(4p) d) S se calculeze �45sin2 2⋅ .

(2p) e) S se calculeze numrul complex ( )( )ii +− 11 .

(2p) f) S se calculeze aria unui triunghi dreptunghic cu un unghi de �30 i lungimea ipotenuzei egal cu 2.

SUBIECTUL II ( 30p ) 1.

(3p) a) S se calculeze 22222 54321 +−+− .

(3p) b) S se calculeze !3!5 − .

(3p) c) S se rezolve ecuaia 3

13 =x , R∈x .

(3p) d) S se determine restul împr irii polinomului 15 += Xf la polinomul 2−= Xg .

(3p) e) Se consider func ia RR →:f , 2)( −= xxf . S se calculeze ( ) )1(ff � .

2. Se consider func ia RR →:f , 23 3)( xxxf += .

(3p) a) S se rezolve ecuaia 0)( =xf .

(3p) b) S se calculeze )(xf ′ , R∈x .

(3p) c) S se determine punctele de extrem ale funciei f .

(3p) d) S se calculeze ∫1

0

)( dxxf .

(3p) e) S se calculeze )(

)(lim

xfx

xfx ′⋅∞→

.







Varianta 019

2


În mulimea )(2 RM se consider matricele

=

10

012I ,

−−

=11

11A i

mulimea { }R∈⋅+== aAaIaXaXG ,)()( 2 .

(4p) a) S se calculeze 2A .

(4p) b) S se arate c GI ∈2 .

(4p) c) S se arate c ( )baXbXaX +=⋅ )()( , R∈∀ ba, .

(2p) d) S se calculeze )2()2( −⋅ XX .

(2p) e) S se calculeze ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2007...10...20062007 XXXXX ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅− .

(2p) f) Folosind metoda induciei matematice, s se arate c ( )( ) ( )naXaX n = , *N∈∀n ,

R∈∀ a .

(2p) g) S se determine R∈a astfel încât ( )( ) ( )12007 XaX = .


Se consider func ia RR →:f ,

21

2)(

x

xxf

+= .

(4p) a) S se calculeze )1(f .

(4p) b) S se calculeze )(xf ′ , pentru R∈x .

(4p) c) S se arate c func ia RR →:F , ( )21ln)( xxF += este o primitiv a funciei f.

(2p) d) S se arate c 1)(1 ≤≤− xf , ∀ R∈x .

(2p) e) S se calculeze ∞→x

lim ( )xfx ⋅ .

(2p) f) S se arate c ( ) =∫ dxxfb

a2

2

1

1ln

a

b

++

, ∀ R∈ba, .

(2p) g) S se calculeze ∞→x

lim ( ) dttfxx

∫

1

0

2 .

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M2 (2007) Filiera tehnologică: profil servicii, toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului, toate specializările

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M2 (2007) - Varianta 19


Filiera tehnologică: profil servicii, toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului, toate specializările. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) 1 1 2AB = + = 4p

b) 1m = −

3n = 2p 2p

c)

1 3 2AB = + =

1 3 2AC = + = 2BC =

Finalizare

1p 1p 1p 1p

d) 1 4p e) 2 2p

f) 3

2 2p

SUBIECTUL II (30 puncte) 1.a) 1 4 9 16 25 15− + − + = 3p b) 120 6 114− = 3p c) 1x = − 3p

d) (2) 33r f= = 3p

e) (1) 1f = − ( (1)) ( 1) 3f f f= − = −

1p 2p

2.a) Soluţiile sunt 0 şi 3− 3p

b) ( ) 23 6f x x x′ = + 3p

c) 0, 2− 3p

d) 5

4 3p

e) 3 2

2

3 1lim

3(3 6 )x

x x

x x x→∞

+ =+

3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) 2O 4p

b) 2 (0)I X G= ∈ 4p

c) 2

2

2

( ) ( )

( ) ( )

X a X b I aA bA abA

I a b A X a b

= + + + == + + = +

2p

2p d) 2(2) ( 2) (0)X X X I− = = 2p

e) Produsul este egal cu 2( 2007 2006 ... 2007) (0)X X I− − − + = = 2p

f) Verificare 2p

g) Ecuaţia este 2007( ) (1)X a X= 1a =

1p 1p

SUBIECTUL IV (20 puncte) a) (1) 1f = 4p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M2 (2007) Filiera tehnologică: profil servicii, toate specializările; profil resurse naturale şi protecţia mediului, toate specializările

2

b) ( )2

2 2

2(1 )

(1 )

xf x

x

−′ =+

4p

c) F derivabilă

( ) 22

1' (1 ) ' ( )

1F x x f x

x= + =

+

1p

3p

d) 2

2

( ) 1 ( 1) 0

( ) 1 ( 1) 0

f x x

f x x

≤ ⇔ − ≥

≥ − ⇔ + ≥ 1p

1p

e) 2

2

2lim 2

1x

x

x→∞=

+ 2p

f) 2

2

1( ) ( ) ln

1

bF b F a

a

+− =+

2p

g)

2

22 2

1 1lim ln 1 lim ln 1 ln 1

x

x xx e

x x→∞ →∞

+ = + = =

2p




M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare Varianta 019

1


PROBA D Varianta ….019 M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare NOT�.Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord� 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore La toate subiectele se cer rezolvri complete

SUBIECTUL I ( 20p )

(4p) a) S se calculeze distana dintre punctele ( )1,2 −A i ( )3,1−B .

(4p) b) S se calculeze determinantul 21

21

− .

(4p) c) Se consider func ia RR →:f , 73)( −−= xxf . S se calculeze )0(f .

(4p) d) S se rezolve în mulimea numerelor reale ecuaia 012007 =−x .

(2p) e) S se rezolve în mulimea numerelor naturale ecuaia 62 =xC .

(2p) f) S se determine valoarea minim a expresiei R∈++ xxx ,442 .

SUBIECTUL II ( 30p )

1.

(3p) a) S se calculeze suma 222 5...21 +++ .

(3p) b) S se calculeze media aritmetic a numerelor 1 i 9999.

(3p) c) S se calculeze 1000lg .

(3p) d) S se determine probabilitatea ca un element al mulimii { }20,...,2,1,0 s fie divizibil cu

5.

(3p) e) S se determine câtul împr irii num rului 2007 la 10.

2. Se consider un paralelipiped dreptunghic cu distana dintre baze egal cu 5. Bazele

paralelipipedului sunt dreptunghiuri cu lungimea egal cu 8 i l imea egal cu 6.

(3p) a) S se calculeze perimetrul unei baze a paralelipipedului.

(3p) b) S se calculeze suma lungimilor muchiilor laterale ale paralelipipedului.

(3p) c) S se calculeze aria lateral a paralelipipedului.

(3p) d) S se calculeze aria total a paralelipipedului.

(3p) e) S se calculeze volumul paralelipipedului.



M3:Proba d. Filiera Voca� ional�: profil Pedagogic, specializ�rile înv��tor-educatoare Varianta 019

2


Se consider triunghiul echilateral ABC de latur 12, punctele M, N, P mijloacele laturilor

BC, CA, AB i G centrul de greutate al triunghiului. Se noteaz cu XYZS aria triunghiului XYZ.

(4p) a) S se determine lungimea segmentului AM.

(4p) b) S se determine lungimea segmentului GM .

(4p) c) S se determine lungimea segmentului BG .

(2p) d) S se determine BCGS .

(2p) e) S se demonstreze c ABCBCG SS3

1= .

(2p) f) S se determine valoarea raportului BGM

ABG

S

S .

(2p) g) S se arate c medianele triunghiului ABC împart triunghiul în 6 triunghiuri cu arii egale.


Se consider mul imea ( ){ }1,,, =−∈= yxyxyxM *N .

(4p) a) S se arate c, dac ( ) Myx ∈, , atunci yx ≥ .

(4p) b) S se arate c ( ) M∈17,18 .

(4p) c) S se arate c ( ) M∉12,14 .

(2p) d) S se determine numrul elementelor ( ) Myx ∈, pentru care yx = .

(2p) e) S se determine numrul perechilor de forma ( )y,1 din M , respectiv ( )y,2 din M .

(2p) f) S se arate c ( ) N,∈∀∈− nMnn ,1, 2≥n .

(2p) g) S se arate c mul imea M conine cel puin 2007 elemente.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M3 (2007) Filiera vocaţională, profil pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.

1


EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2009 - SESIUNEA SPECIALĂ Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D – M3 (2007) - Varianta 19


Filiera vocaţională, profil pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele


a) 9 16 5AB = + = 4p b) Determinantul este egal cu 4 4p c) (0) 7f = − 4p

d) 0x = 4p e) ( 1) 12, 2x x x− = ≥

4x = 1p 1p

f) 0 2p SUBIECTUL II (30 puncte)

1.a) 55 3p b) 9999 1

50002

+ = 3p

c) 3 3p d) Sunt 21 de numere în mulţime, dintre care 5 divizibile cu 5

5

21P =

2p 1p

e) 200 3p 2.a) 28 3p b) 20 3p c) 140 3p

d) 140 96 236+ = 3p e) 240 3p

SUBIECTUL III (20 puncte) a) 144 36 108 6 3AM = − = = 4p

b) 12 3

3GM AM= = 4p

c) 24 3

3BG BN= = 4p

d) Aria este 12 3 2p

e) Aria triunghiului ABC este 36 3 Finalizare

1p 1p

f) Raportul este 2 2p g) Fiecare dintre cele 6 triunghiuri este congruent cu triunghiul BGM.

Finalizare 1p

1p SUBIECTUL IV (20 puncte)

a) 1x y y= + ≥ 4p b) 18 17 1 (18,17) M− = ⇒ ∈ 4p

c) 14 12 2 1 (14,12) M− = ≠ ⇒ ∉ 4p d) Nu există astfel de elemente 2p e) Nu există perechi de forma (1, )y

Numărul perechilor de forma (2, )y este 1 1p 1p

BACALAUREAT 2009-MATEMATICĂ - Proba D, M3 (2007) Filiera vocaţională, profil pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.

2

f) ( 1) 1n n− − = şi 1 1n − ≥ 2p g) Perechile ( , 1)n n − cu {2,3,...,2008}n ∈ aparţin lui M. 2p


Date post:	10-Apr-2016
Category:	Documents
Upload:	xantogenat
View:	1 times
Download:	0 times

2009_1

Documents