Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009

5p 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe ecuaţia 2 9z = − . 5p 2. Să se determine a ∗∈ pentru care ecuaţia 2 (3 1) 3 0ax a x a+ − + + = are soluţii reale.

5p 3. Să se rezolve în mulţimea [ ]0,2π ecuaţia cos4 1x = .

5p 4. Să se determine numărul funcţiilor { } { }: 1,2,3,4,5 1,2,3,4,5f → cu proprietatea că (1) (2)f f= .

5p 5. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris într-un triunghi care are lungimile laturilor 13,14,15 .

5p 6. Triunghiul ABC are ,6 4

B Cπ π= = . Să se demonstreze că 2

AB

AC= .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097

1. Se consideră matricea ( )3

0 0 10 1 01 0 0

A M = ∈

.

5p a) Să se calculeze ( )det A .

5p b) Să se determine 1A− .

5p c) Să se arate că ( ) ( )13 32 ,

n nI A I A n− ∗+ = + ∀ ∈ .

2. Pentru fiecare *n ∈ considerăm polinomul 3 22 4 1 [ ].nnf X X X X= + − − ∈

5p a) Să se arate că 1f nu este divizibil cu polinomul 2g X= − .

5p b) Să se determine suma coeficienţilor câtului împărţirii polinomului 3f la 1X − .

5p c) Să se arate că restul împărţirii polinomului nf la polinomul 2 1h X X= + + nu depinde de n .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087

1. Se consideră funcţia : (0; ) , ( ) , 0x af f x a x a∞ → = − > .

5p a) Să se calculeze (1)f ′ .

5p b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x a= .

5p c) Să se arate că, dacă ( ) 0, 0f x x≥ ∀ > , atunci a e= .

2. Se consideră şirul ( ) 1n nI ≥ ,

1ln

e nnI x dx= ∫ .

5p a) Să se calculeze 1I .

5p b) Să se arate că 1, 2n nI e nI n−= − ∀ ≥ .

5p c) Să se arate că şirul ( ) 1n nI ≥ este convergent.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - SESIUNEA AUGUST Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT1 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică.

♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 009 1. 1,2 3z i=

1,2 3z i= − 3p 2p

2. 0∆ ≥

{ }9 2 19 9 2 19, , \ 0

5 5a

− +∈ −∞ ∪ +∞

2p

3p

3. [ ]0,2

2

kx k

π π ∈ ∈ ∩

30, , , ,2

2 2x

π ππ π ∈

2p

3p

4. Numărul cerut coincide cu numărul funcţiilor { } { }: 1,3,4,5 1,2,3,4,5g →

Finalizare: 45

2p

3p 5. 21p = , 84S =

4S

rT

= =

2p

3p

6.

sin sin

AB AC

C B=

2AB

AC=

2p

3p

SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 097 1.a) ( )det 1A = − 5p

b) 23A I= ,

1A A− =

2p

3p c) ( ) 3 31 :P I A I A+ = +

( ) ( )1P k P k⇒ +

2p

3p

2.a) ( )1 2 7 0f = ≠

Finalizare 4p 1p

b) ( )( )8 7 23 1 ... 3 1f X X X X X= − + + + + −

Finalizare: suma coeficienţilor este 9

3p

2p c) ( ) 22 4 6 2nf ε ε ε ε= − = − − unde ε ∈ , cu 2 1 0ε ε+ + =

Finalizare: restul este 6 2ε− −

3p

2p

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 2

SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 087 1.a) ( ) 1lnx af x a a ax −′ = −

( ) ( )1 ln 1f a a′ = −

3p

2p

b) ( ) 0f a =

( ) ( )ln 1af a a a′ = −

Finalizare: ecuaţia este ( )( )ln 1ay a a x a= − −

1p

2p

2p c) ( ) ( ) ( ), 0,f x f a x≥ ∀ ∈ ∞

a punct de minim

( ) 0 ln 1f a a a e′ = ⇒ = ⇒ =

1p 1p 3p

2.a) 1 1

lne

I x x dx′= =∫

( )ln1

ex x x= −

Finalizare: 1 1I =

1p

3p

1p

b) 1

1ln

e nnI x x dx

x′= ⋅ =∫

1

1

1ln ln

1

en nex x x n x dx

x−= − ⋅ =∫

1ne nI −= −

1p

2p

2p

c) [ ]0 ln 1, 1,x x e≤ ≤ ∀ ∈

( )1 1ln ln 1 0, 1

e nn nI I x x dx n+ − = − ≤ ∀ ≥∫

deci 0nI ≥

Finalizare: ( )n nI monoton şi mărginit

1p

2p

1p

1p

♦ Total: 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009 5p 1. Să se calculeze suma 1 5 9 13 ... 25+ + + + + .

5p

2. Se consideră funcţia :f → , ( ) 2 2f x mx mx= − + , m ∗∈ . Să se determine numărul real nenul

m ştiind că valoarea minimă a funcţiei este egală cu 1. 5p 3. Să se calculeze ( ) ( )2 2log 45 log 45tg ctg+ .

5p 4. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea { }2, 3, 4,..., 11A = , acesta să

fie iraţional. 5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care conţine punctul ( )2, 3A − şi este paralelă cu dreapta

2 5 0.x y+ + =

5p 6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC ştiind că AB = 6, AC = 10 şi ( ) 60m A = .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097

1. Se consideră matricele

1 2 1 1

2 1 , 1

0 2 3 1

A a B

−= =

şi x

X y

z

=

.

5p a) Să se scrie sistemul asociat ecuaţiei matriciale AX B= .

5p b) Să se determine a ∈ pentru care ( )det 0A = .

5p c) Dacă { }\ 2,6a ∈ şi 0 0 0( , , )x y z este soluţia sistemului

2 1

2 1

2 3 1

x y z

x ay z

y z

+ − =+ + =+ =

, să se demonstreze că 0

0

x

z

nu depinde de a .

2. Se consideră polinomul 2008 2008( 1) ( 1)f X X= + + − având forma algebrică

f 20082008 1 0... ,a X a X a= + + + unde 0 1 2008, ,...,a a a sunt numere reale.

5p a) Să se calculeze ( 1) (1)f f− + .

5p b) Să se determine suma coeficienţilor polinomului f. 5p c) Să se determine restul împărţirii lui f la 2 1X − .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2008 – MATEMATICĂ – Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2

87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087 1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →R , ( ) lnf x x x x= − .

5p a) Să se verifice că ( ) lnf x x′ = pentru orice 0x > .

5p b) Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 1x = . 5p c) Să se demonstreze că funcţia f este convexă pe ( )0, .+∞

2. Pentru orice *n ∈ se consideră funcţiile [ ]: 0,1nf → R , ( ) 1nnf x x= + .

5p a) Să se determine ( )1 f x dx∫ , unde [ ]0,1x ∈ .

5p b) Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei [ ]: 0,1g → R , ( ) ( )1g x f x= ,

axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = şi 1x = .

5p c) Să se arate că ( )1

0

2nf x dx ≤∫ pentru orice n ∗∈ N.

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 1

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – sesiunea august Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT2 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale.

♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 009

1. 7

1 257 91

2S

+= ⋅ = . 5p

2. 0m > şi 1

4m

∆− =

Finalizare: 4m =

2p

3p

3. tg 45 ctg 45 1= =

2 2log 1 log 1 0+ =

2p

3p 4. Numerele raţionale din A sunt 4 şi 9

Probabilitatea este 4

5

2p 3p

5. Panta dreptei

1

2−

Ecuaţia dreptei ( )13 2 2 4 0

2y x x y+ = − − ⇔ + + =

2p 3p

6. 2 76BC =

2 19BC =

4p 1p

SUBIECTUL II (30 puncte) -Varianta 097

1.a) 2 1

2 1

2 3 1

x y z

x ay z

y z

+ − =

+ + =

+ =

5p

b) ( )det 3 18A a= −

Finalizare: 6a = 3p

2p

c) ( )( ) ( )0 0

4 2 2,

3 6 3 6

a ax z

a a

− −= =− −

Finalizare: 0

0

4x

z=

4p 1p

2.a) 2008 2008( 1) 2 , (1) 2f f− = =

( ) 2009( 1) 1 2f f− + =

4p

1p b) Suma coeficienţilor este ( ) 20081 2f = 5p

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2 2

c) ( ) [ ]2 1 ,f X c aX b c X= − + + ∈

( )1f a b= + , ( )1f a b− = − + 20080, 2a b= =

Finalizare: restul este 20082

1p 2p 1p 1p

SUBIECTUL III (30 puncte) -Varianta 087

1.a) ( ) 1ln 1 ln , 0f x x x x x

x′ = + ⋅ − = > 5p

b) ( )1 1f = −

( )1 0f ′ =

Ecuaţia tangentei este 1 0y + =

1p 1p 3p

c) ( ) 1'' 0, 0f x x

x= > ∀ >

f convexă pe ( )0,∞

4p 1p

2.a) ( ) ( )1 1f x dx x dx= + =∫ ∫

2

2

xx C= + +

2p 3p

b) Aria este ( )

1

0

g x dx =∫

( ) ( )3/ 21

0

11 21 2 2 1

03/ 2 3

xx dx

+= + = = −∫

1p 4p

c) [ ]1 2, 0,1nx x+ ≤ ∀ ∈

( )1 1

0 02 2nf x dx dx= =∫ ∫

1p 4p

♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba D

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 9 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 009

5p 1. Să se rezolve sistemul 1

0

x y

xy

+ = =

, ,x y ∈ .

5p 2. Să se calculeze 3 1 333

log 27 log 3 log 1 log 3S = + − + .

5p 3. Să se afle suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice 1( )n na ≥ , ştiind că 1 3a = şi 5 11a = .

5p 4. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul (1, 1)A − şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie 1 0x y+ + = .

5p 5. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4 2(0,5) (0,125)x x− += .

5p 6. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC , ştiind că 12, ( ) 60 , ( ) 75BC m A m B= = = .

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

97 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 097

Pe mulţimea { } este divizor al lui 12H x x= ∈ se defineşte legea de compoziţie

( ). . . . . ,x y c m m d c x y∗ = , ,x y H∀ ∈ .

5p a) Să se precizeze elementele mulţimii H. 5p b) Să se arate că pentru oricare ,x y H∈ , rezultă că x y H∗ ∈ . 5p c) Să se verifice că ( ) ( )12 6 4 2 12 6 4 2 ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ .

5p d) Să se rezolve ecuaţia 6 2x∗ = . 5p e) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ∗ ” este asociativă pe H. 5p f) Să se demonstreze că legea de compoziţie „ ∗ ” are element neutru pe H.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

87 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 087

Se consideră mulţimea de matrice ( ) ( ) ( )2

24 1

, 2 2 1

aM A a A a a

a a

− − = ∈ = ∈ − − M şi matricele

3 1

7 1B

− − =

, 21 0

0 1I

=

.

5p a) Să se determine a ∈ pentru care 5 1

( )1 5

A a−

=

.

5p b) Să se calculeze 3 1 5 1

27 1 1 5

C− − −

= +

.

5p c) Să se verifice că 222 4B B I= − − .

5p d) Să se calculeze ( )det 3A .

5p e) Să se arate că dacă matricea ( ) 2X ∈ M îndeplineşte condiţia 22 22 4X X I O+ + = , atunci 3

28X I= .

5p f) Să se determine a ∈ cu proprietatea că ( )( )det 0A a = .

BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D_MT3_M4-Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare.

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - Sesiunea august Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT3_M4

BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele

punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) – Varianta 009

1) 0, 1x y= = şi 1, 0x y= = . 5p

2) 5

2S = 5p

3) Raţia progresiei este 2r =

10 1 9 21a a r= + =

10 120S =

1p 1p 3p

4) Panta dreptei cerute este 1 Ecuaţia dreptei este 2 0x y− − =

2p 3p

5) 2 4 6 321 1

3 10 02 2

x x

x x− +

= ⇔ − − =

1 25, 2x x= = −

3p 2p

6) ( ) 45m C =

6 2ˆsin4

B+=

sin 60 sin 75 sin 45

BC AC AB= = ; perimetrul este 12 6 6 6 2+ +

1p

1p 3p

SUBIECTUL II (30 puncte) – Varianta 097 a) { } 1,2,3,4,6,12H = 5p

b) ( )/12, /12 , /12x y x y x y H⇒ ⇒ ∗ ∈ 5p

c) Verificarea relaţiei 5p d) { }2,4x ∈ 5p

e) Verificarea asociativităţii 5p f) 12 12 ,x x x x H∗ = ∗ = ∀ ∈ ⇒ 12 este element neutru 5p

SUBIECTUL III (30 puncte) – Varianta 087 a) 3a = 5p

b) 1 3

15 7C

− − =

5p

c) Verificarea relaţiei 5p d) ( )det 3 26A = 5p

e) ( )( )2 32 2 2 22 2 4 8O X I X X I X I= − + + = −

328X I=

3p

2p

f) ( ) ( )( )2det 2 2 3 1 0A a a a a= − + − =

1 2,33 17

2,4

a a− ±= =

3p

2p

• Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.