Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1 EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 5p 1. Fie fracţia zecimală periodică 12 3 0,(769230) 0, .... aaa = Să se calculeze 1 2 3 2008 .... a a a a + + + + . 5p 2. Să se arate că dreapta de ecuaţie 2 1 y x = − nu intersectează parabola de ecuaţie 2 1 y x x = + + . 5p 3. Să se rezolve în ecuaţia 2 2 4 log log 6 x x + = . 5p 4. Într-o clasă sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Să se determine numărul de moduri în care se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi. 5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele ( ) 2, 1 A − , ( ) 1, 1 B − , ( ) 1, 3 C şi ( ) ,4, Da a ∈ . Să se determine a pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare. 5p 6. Ştiind că 3 , 2 π α π ∈ şi că 4 sin 5 α =− , să se calculeze tg 2 α .
Transcript
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT1, programa M1
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050
5p 1. Fie fracţia zecimală periodică 1 2 30,(769230) 0, ....a a a= Să se calculeze 1 2 3 2008....a a a a+ + + + .
5p 2. Să se arate că dreapta de ecuaţie 2 1y x= − nu intersectează parabola de ecuaţie 2 1y x x= + + .
5p 3. Să se rezolve în ecuaţia 22 4log log 6x x+ = .
5p 4. Într-o clasă sunt 25 de elevi dintre care 13 sunt fete. Să se determine numărul de moduri în care se poate alege un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete şi 2 băieţi.
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )1, 1B − , ( )1, 3C şi
( ), 4 ,D a a ∈ . Să se determine a pentru care dreptele AB şi CD sunt perpendiculare.
5p 6. Ştiind că 3,
2
πα π ∈
şi că 4sin
5α = − , să se calculeze tg
2
α.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088 1. Fie matricea ( )2 .A ∈ M Se notează cu tX transpusa unei matrice pătratice X şi cu ( )Tr X suma
elementelor de pe diagonala principală a matricei X.
5p a) Să se demonstreze că Tr( ) 2Tr( ).tA A A+ =
5p b) Să se demonstreze că dacă Tr( ) 0,tA A⋅ = atunci 2A O= .
5p c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matricei tA A⋅ este egală cu 0, atunci ( )det 0.A =
2. Se consideră matricele 21 0 1 2
, 0 1 3 1
I A = = − şi mulţimea { }2 , .K aI bA a b= + ∈
5p a) Să se arate că 2A K∈ . 5p b) Să se arate că mulţimea K este parte stabilă în raport cu înmulţirea matricelor din 2 ( )M .
5p c) Să se arate că pentru orice 2,X K X O∈ ≠ există Y K∈ astfel încât 2XY I= .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
1. Se consideră funcţia :f → :f → , 2 2( ) 1 1.f x x x x x= + + − − +
5p a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă orizontală spre +∞ . 5p b) Să se studieze monotonia funcţiei f .
5p c) Să se calculeze(1) (2) ... ( )
limn
n
f f f n
n→∞
+ + +
.
2. Se consideră şirul ( ) 1n n
I ≥ , 1 20
1 .nnI x x dx= −∫
5p a) Să se calculeze 1I .
5p b) Să se arate că 2( 2) ( 1)n nn I n I −+ = − pentru orice , 3.n n∈ ≥
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
iar ecuaţia ( ) 0f x′ = nu are soluţii, deci derivata funcţiei are semn constant.
Cum (0) 0f ′ > , deducem că ( ) 0,f x x′ > ∀ ∈ , ceea ce arată că funcţia este strict crescătoare.
3p
1p
1p
c) 2 2 2(1) ... ( ) ( 3 1) ( 5 3) ... ( 1 1) 1 1f f n n n n n n n+ + = − + − + + + + − − + = + + − ,
ceea ce se arată prin inducţie, sau observând că 2 2( ) 1 ( 1) ( 1) 1f k k k k k= + + − − + − + .
Apoi, 2
1 2 11 1lim lim( 1 ) 1n x
n nn n n
n− − −
→∞ →∞
+ + − = + + − = , deci
2
2
1 1
12 2 1 121 1 1 1
lim lim 1
n n nnn
n n n
n n
n n n n ne
n n
+ + − −
+ + − − −
→∞ →∞
+ + − + + − −= + =
1p
1p
1p
2p
2.a) 31 12 2 2
1 0 0
11 (1 )
3I x x dx x= − = − −∫
1
3=
4p
1p
b) 3 31 1 112 1 2 1 2 2 22 20 0 00
1 11 ( 1 ) (1 ) (1 )
3 3n n n n
n
nI x x dx x x x dx x x x x dx− − −−= − = − = − − + −∫ ∫ ∫
1 2 2 2
20
1 1(1 ) 1 ( )
3 3n
n n
n nx x x dx I I−
−− −= − − = −∫ ,
de unde rezultă 23 ( 1) ( 1)n n nI n I n I −+ − = − , deci concluzia.
3p
1p
1p
c) Avem 0nI ≥
şi 1
0
1
1n
nI x dxn
≤ =+∫ ,
deci lim 0nn
I→∞
= .
1p
3p
1p
♦ Total: 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT2, programa M2
17EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.
50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050
5p 1. Să se calculeze 1
33 8
2 27
− −
.
5p 2. Se consideră funcţiile :f → , ( ) 3 1f x x= + şi :g → , ( ) 5g x x= − . Să se determine
coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g .
5p 3. Să se rezolve ecuaţia 13 9x− = . 5p 4. Să se rezolve ecuaţia ( ) ( )5 5log 2 log 2 5 1x x+ − − = .
5p 5. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctul ( )1, 1A − şi este paralelă cu dreapta y x= .
5p 6. Să se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egală cu 3 .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088
1. În ( )3M se consideră matricele
0 1 1
0 0 1
0 0 0
A
=
şi 3 , B I A= + unde 3
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
I
=
5p a) Să se calculeze .A B⋅ 5p b) Să se calculeze 2 3A A+ , unde 2A A A= ⋅ şi 3 2A A A= ⋅ . 5p c) Să se demonstreze că dacă ( ) X ∈ 3M şi ,A X X A⋅ = ⋅ atunci există numerele reale , ,a b c astfel
încât 0 .
0 0
a b c
X a b
a
=
2. Se consideră polinomul 3 2f X aX bX c= + + + , cu , ,a b c ∈ având rădăcinile 1 2 3, , x x x ∈ .
5p a) Să se determine numărul real c ştiind că ( ) ( )1 1 2 1f f a+ − = + .
5p b) Ştiind că 3, 1, 1a b c= − = = , să se determine rădăcinile reale ale polinomului f .
5p c) Să se exprime în funcţie de numerele reale a, b, c determinantul 1 2 3
2 3 1
3 1 2
.
x x x
D x x x
x x x
=
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 – sesiunea iunie - iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT2 BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii. Filiera tehnologică: profilul servicii, specializarea toate calificările profesionale; profilul resurse, specializarea toate calificările profesionale; profilul tehnic, specializarea toate calificările profesionale.
♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) -Varianta 50
1. 13 2
2 3
− =
.
38 2
27 3=
finalizare2 2
03 3
− =
1p 2p 2p
2. ( ) ( ) 3 1 5f x g x x x= ⇒ + = −
1x = şi (1) 4f =
Finalizare ( )1,4A
1p 2p 2p
3. 1 23 3x− = 1x⇒ = −
2p 3p
4. 2 0 5,
2 5 0 2
xx
x
+ > ⇒ ∈ ∞ − > .
5
2log 1
2 5
x
x
+ =−
2 55 3 ,
2 5 2
xx
x
+ = ⇒ = ∈ ∞ − .
2p 1p 2p
5. Panta dreptei y x= este egală cu1 Panta dreptei cerute este egală cu 1 ecuaţia este 1 1y x+ = − 2 0x y⇔ − − = .
[ )0,+∞ rezultă ( ) ( )0f x f≤ , pentru orice x ∈ R
( )0 1f = , deci ( ) 1f x ≤ , pentru orice x ∈ R .
2p 1p
2.a) ( ) ( ) ( )214 4x f x dx x dx+ ⋅ = + =∫ ∫
2
42
xx C= + +
2p 3p
b) ( )
1 1
2 20 0 4
xxf x dx dx
x= =
+∫ ∫
( )2 11ln 4
02x= + =
1 5ln
2 4 =
1p 3p 1p
c) Din 20080 1x≤ ≤ , [ ]0,1x∀ ∈ rezultă 20084 4 5x≤ + ≤
deci ( )20081 1
5 4f x≤ ≤ , [ ]0,1x∀ ∈ ,
( ) ( )2008
1
20080
1 1,
5 4fA f x dx Γ = ∈ ∫ .
2p 1p 2p
♦ Total 100 de puncte din care 10 sunt din oficiu. ♦ Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
BACALAUREAT 2008-MATEMATICĂ Proba D, tipul subiectului MT3, programa M4
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 Probă scrisă la MATEMATICĂ – Proba D
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. • Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. • La toate subiectele se cer rezolvări complete. 50 SUBIECTUL I (30p) – Varianta 050 5p 1. Să se determine n ∈ pentru care 50 128 200 n− + = .
5p 2. Să se determine m ∈ astfel încât ecuaţia ( )2 1 0x m x m+ − − = să aibă rădăcini reale egale.
5p 3. Triunghiul ABC are 10, 60AB m( B )= = şi 45m( C ) = . Să se calculeze lungimea laturii AC.
5p 4. Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele ( ) ( )3 3 şi 1 2A , B , .−
5p 5. Să se determine x ∈ astfel încât numerele 2 3 +2, 6 +5x , x x+ să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 6. Să se rezolve în ecuaţia 2lg 5lg 6 0x x .+ + =
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
88 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 088
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )13 , ,
2x y xy x y x y⊥ = − − + ∀ ∈ .
5p a) Să se demonstreze că ( )( )11 1 1, ,
2x y x y x y⊥ = − − + ∀ ∈ .
5p b) Să se verifice că legea de compoziţie „ ⊥ ” este asociativă pe . 5p c) Se consideră mulţimea ( )1,M = +∞ . Să se arate că pentru oricare ,x y M∈ , rezultă că x y M⊥ ∈ .
5p d) Să se rezolve în ecuaţia 35 3 1x x−⊥ = .
5p e) Să se rezolve în inecuaţia ( ) ( )2 3 1x x+ ⊥ − < .
5p f) Să se determine n ∈ , astfel încât 32 ( 1) 1, nx x x x x⊥ ⊥ = ⋅ − + ∀ ∈ ..
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
76 SUBIECTUL III (30p) – Varianta 076
Se consideră matricele 3 3, ( )A I ∈ M ,
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
=
şi 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p a) Să se calculeze 32A I− .
5p b) Să se calculeze ( )det 2A .
5p c) Să se determine numărul real x pentru care 23A A xI= + .
5p d) Să se arate că matricea 31 1
2 2A I− este inversa matricei A .
5p e) Să se determine matricea 3,1( )X ∈ M din ecuaţia matriceală 5
4
3
AX
=
.
5p f) Să se determine x ∈ pentru care ( ) 33det A xI x+ = .
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
EXAMENUL DE BACALAUREAT – 2008 - Sesiunea iunie-iulie Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D_MT3_M4
BAREM DE CORECTARE ŞI DE NOTARE
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare. ♦ Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător. ♦ Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem. SUBIECTUL I (30 puncte) – Varianta 50
1) 5 2 8 2 10 2 7 2 98n = − + = = . 98n =
3p 2p
2) Trebuie ca 0∆ =
( )21 0+ =m ,
1= −m
2p 2p 1p
3)
sin 60 sin 45
AC AB=
310 5 6
2AC = ⋅ =
3p
2p
4) 3 3
2 3 1 3
y x+ −=+ −
5 2 9 0+ − =x y
3p
2p
5) ( )13 2 2 6 5
2x x x+ = + + +
3= −x
3p 2p
6) ( )0,x ∈ ∞
lg =x t , 2 5 6 0+ + =t t 2 310 şi 10− −= =x x
1p
2p
2p
SUBIECTUL II (30 puncte) – Varianta 88 a) ( )( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 12 2
13 , ,
2
x y xy x y
xy x y x y x y
− − + = − − + + =
− − + = ⊥ ∀ ∈
3p 2p
b) ( )
( ) ( )
1 1( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)( 1) 1; , , .
2 41 1
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)( 1) 1 ; , , .2 4
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z x y z
⊥ ⊥ = ⊥ − − + = − − − + ∀ ∈
⊥ ⊥ = − ⊥ − + = − − − + = ⊥ ⊥ ∀ ∈
3p 2p
c) Fie , .x y M∈ Cum , 1,x y > avem ( )( )1 1 0x y− − > .
