2. Cap. i. Relatii Binare. Aplicatii. Relatii de Ordine

7/22/2019 2. Cap. i. Relatii Binare. Aplicatii. Relatii de Ordine

http://slidepdf.com/reader/full/2-cap-i-relatii-binare-aplicatii-relatii-de-ordine 1/22

Capitolul 1

RELATII BINARE.APLICATII. RELATII DEORDINE.

1.1 Relatii binare

Definitia 1. Se numeste produs cartezian al multimilor nevide A1, A2,...,An, multimea n-uplelor ordonate de forma (a1, a2,...,an) unde ai ∈ Ai,i = 1, n.

Produsul cartezian al multimilor A1, A2,...,An se noteaza cu A1 × A2 ×... ×An. Avem

A1 × A2 × ...×An =©

(a1, a2,...,an)/ai ∈ Ai, i = 1, nª

.

Vom nota cu An produsul cartezian A ×A× ...×A | {z } de n ori

, deci

A×A× ... ×A

| {z } de n ori

notatie= An.

Exemplul 1. R2 = R× R = {(x, y) | x, y ∈ R}. Multimea R2 seidentifica cu multimea matricelor reale de tipul (1, 2) notata cuMR

(1,2). AnalogRn = R×R×...×R se identifica cu multimea matricelor reale de tipul (1, n)notata cu MR

(1,n).

Definitia 2. Se numeste relatie binara (sau corespondenta) de lamultimea A la multimea B, A si B nevide, un triplet de forma R ={G,A,B}care satisface conditia G ⊂ A ×B.

1



2CAPITOLUL 1. RELATII BINARE. APLICATII. RELATII DE ORDINE.

A se numeste multimea de plecare, B se numeste multimea de

sosire, iar G se numeste graficul relatiei binare R.Daca (a, b) ∈ G, atunci spunem ca a este în relatia R cu b si notam

aceasta prin aRb.Daca R ={G,A,B} este o relatie binara, atunci multimile :

D (R) = {x | x ∈ A, (∃) y ∈ B a.î. (x, y) ∈ G} ⊂ A,Im (R) = {y | y ∈ B, (∃) x ∈ A a.î. (x, y) ∈ G} ⊂ B,

se numesc domeniul de definitie si respectiv, codomeniul lui R.Evident avem G ⊂ D (R)× Im (R) .

Exemplul 2. Fie G = {(a,ai) | a ∈ R}. Evident G ⊂ R× C si deciR = {G,R,C} este o relatie binara de la R la C.

Daca în relatia binara R ={G,A,B} avem A = B, atunci o vom nota cuR ={G, A} si o vom numi relatie binara în multimea A.

Exemplul 3. Fie G = {(a, b) | a, b ∈ R, a ≤ b}. Evident G ⊂ R×R sideci R ={G, R} este o relatie binara în R, numita relatie de ordine în R.

Exemplul 4. Fie D multimea dreptelor din spatiu si

G =

n(d1, d2) | d1, d2 ∈ D, d1

k= d2

o.

Evident G ⊂ D × D, deci R ={G, D} este o relatie binara în D numitarelatia de paralelism în sens larg.

Definitia 3. O relatie binara , R ={G, A}, în multimea nevida A, senumeste relatie de echivalenta daca ea satisface:

E1. (∀) a ∈ A =⇒ (a, a) ∈ G (axioma de reflexivitate)E2. (∀) (a, b) ∈ G =⇒ (b, a) ∈ G (axioma de simetrie)E3. (∀) (a, b) si (b, c) ∈ G =⇒ (a, c) ∈ G (axioma de tranzitivitate)

Daca R ={G, A} este o relatie de echivalenta si daca (a, b) ∈

G, atuncispunem ca a este echivalent cu b si notam aceasta prin a ∼ b. Daca(a, b) /∈ G, atunci spunem ca a nu este echivalent cu b si notam aceastaprin a ¿ b. Rezulta ca axiomele E1, E2 si E3 se pot scrie sub forma:

E1. (∀) a ∈ A =⇒ a ∼ aE2. (∀) a, b ∈ A a.î. a ∼ b =⇒ b ∼ aE3. (∀) a, b, c ∈ A a.î. a ∼ b si b ∼ c =⇒ a ∼ c



1.1. RELATII BINARE 3

Exemplul 5. Se verifica usor ca relatia de paralelism în sens larg verifica

E1, E2, E3 si deci este o relatie de echivalenta. Relatia de ordine din R nuverifica E2 si deci nu este o relatie de echivalenta.

Definitia 4. Data relatia de echivalenta R ={G, A}, se numeste clasade echivalenta de reprezentant a ∈ A, multimea C a = {x | x ∈ A, x ∼ a}.

Observatia 1. In conditiile Definitiei 3 si ale Definitiei 4 obtinem:

a ∼ a =⇒ a ∈ C a =⇒ C a 6= ∅ si ∪a∈A

C a = A.

Teorema 1. Orice doua clase de echivalenta ale unei relatii de echivalenta

sunt disjuncte sau coincid.Demonstratie. Fie C a si C b doua clase de echivalenta ale relatiei de

echivalenta R ={G, A}.Distingem doua cazuri :I) a ∼ b. Din E2 rezulta ca si b ∼ a. Obtinem:

(1) (∀) x ∈ C a =⇒

x ∼ asi

a ∼ b

E3=⇒ x ∼ b =⇒ x ∈ C b =⇒ C a ⊂ C b.

(2) (∀) y ∈ C b =⇒

y ∼ bsi

b ∼ a

E3=⇒ y ∼ a =⇒ y ∈ C a =⇒ C b ⊂ C a.

Din dubla incluziune (1) si (2) rezulta C a = C b.II) a ¿ b. Prin reducere la absurd, sa presupunem ca

(∃) x ∈ C a ∩ C b =⇒

x ∈ C asi

x ∈ C b

=⇒

x ∼ asi

x ∼ b

E2=⇒

a ∼ xsi

x ∼ b

E3=⇒ a ∼ b.

Din a ¿ b si a ∼ b rezulta o absurditate deci C a ∩ C b = ∅.

Observatia 2. Din demonstratia Teoremei 1, rezulta

(∀) x ∈ C a =⇒ x ∼ a =⇒ C x = C a

si deci x este, deasemenea, reprezentant al clasei C a.

Definitia 5. Multimea claselor de echivalenta {C a | a ∈ A} ale unei re-latii de echivalenta R ={G, A} se noteaza cu AÁR si se numeste multimeafactor (sau cât). AÁR = {C a | a ∈ A} .

Observatia 3. Clasa de echivalenta a unei drepte d în raport cu re-latia de paralelism în sens larg, este formata din toate dreptele paralele sauconfundate cu d si se numeste directie.




1.1.1 Probleme

Problema 1. Sa se arate ca R ={G,C,R} unde

G = {(a + bi,a) / a,b ∈ R}

este o relatie binara de la C la R.

Problema 2. Sa se arate ca R ={G,R,C} unde

G = {(b, a + bi) / a,b ∈ R}

este o relatie binara de la R la C.

Problema 3. Sa se arate ca R ={G,MRn ,R} unde

G =©

(A, tr A) /A ∈MRn

ªeste o relatie binara de la MR

n la R. (tr A = a11 + a2

2 + ... + ann) .

1.2 Aplicatii (Corespondente)

Definitia 1. O relatie binara, f = {G,A,B}, se numeste aplicatie saucorespondenta daca:

(∀) x ∈ A, (∃) y ∈ B, (unic pentru fiecare x) asfel încât (x, y) ∈ G.

A se numeste domeniul de definitie al aplicatiei f ,B se numeste domeniul valorilor, sau codomeniul aplicatiei f ,G se numeste graficul aplicatiei f (uneori G va fi notat cu Gf ),y se numeste imaginea lui x prin aplicatia f si se noteaza y = f (x) ,x se numeste o imagine inversa a lui y (x poate sa nu fie unic pentru y

fixat).Aplicatia f = {G,A,B} se mai noteaza si prin f : A → B. Avem

deasemenea G = {(x, f (x)) | x

∈A} .

Daca B ⊂ R sau B ⊂ C, atunci spunem ca f este functie reala respectivcomplexa.

Daca A ⊂ R sau A ⊂ C, atunci spunem ca f este functie de variabilareala respectiv complexa.

Daca A ⊂ R si B ⊂ R, atunci spunem ca f este functie reala devariabila reala.

Daca A ⊂ R si B ⊂ C, atunci spunem ca f este functie complexa devariabila reala.



1.2. APLICATII (CORESPONDEN TE) 5

Daca A ⊂ C si B ⊂ R, atunci spunem ca f este functie reala de

variabila complexa.Daca A ⊂ C si B ⊂ C, atunci spunem ca f este functie complexa devariabila complexa.

Daca C ⊂ A, atunci multimea {f (x) | x ∈ C } se numeste imagineamultimii C prin aplicatia f si se noteaza cu f (C );

f (C ) = {f (x) | x ∈ C }.In particular, pentru C = A, f (A) se numeste imaginea aplicatiei f si se

noteaza cu Im (f ) ; f (A) = Im (f ) = {f (x) | x ∈ A} .

Daca D ⊂

B, atunci multimea {x | x∈

A, f (x)∈

D} se numeste con-traimaginea (sau imaginea inversa) a multimii D prin aplicatia f sise noteaza cu f −1 (D);

f −1 (D) = {x | x ∈ A, f (x) ∈ D} .

Daca D = {y} ⊂ B, atunci multimea {x | x ∈ A, f (x) = y} se numestecontraimaginea (sau imaginea inversa) a lui y prin aplicatia f si senoteaza cu f −1 (y);

f −1 (y) = {x | x

∈A, f (x) = y} .

Definitia 2. Doua aplicatii f 1 : A1 → B1 si f 2 : A2 → B2, se numescegale daca:

A1 = A2, B1 = B2 si (∀) x ∈ A1 = A2 =⇒ f 1 (x) = f 2 (x) .

Definitia 3. O aplicatie g : C → B, C ⊂ A, se numeste restrictiaaplicatiei f : A → B la multimea C, daca (∀) x ∈ C =⇒ g (x) = f (x); senoteaza g = f |C . Aplicatia f se numeste o prelungire a aplicatiei g .

Observatia 1. In general, în contextul Defi

nitia 3, aplicatia g poateavea mai multe prelungiri.

Exemplul 1. Aplicatia f : A → B definita prin (∀) x ∈ A =⇒ f (x) = b,cu b ∈ B, fixat, se numeste aplicatia constanta b.

Exemplul 2. Aplicatia f : A → A definita prin (∀) x ∈ A =⇒ f (x) = x,se numeste aplicatia identitate a multimii A si se noteaza cu iA.

Definitia 4. O aplicatie f : A → B se numeste:




-injectiva daca f (x) = f (y) =⇒ x = y,

-surjectiv˘a dac

˘

a Im (f ) = B, [(∀) y ∈ B, (∃) x ∈ Aa.ı.y = f (x)],-bijectiva daca este injectiva si surjectiva.

Definitia 5. Fie aplicatiile f : A → B si g : B → C . Aplicatia h : A → C definita prin

(∀) x ∈ A, h (x) = g (f (x)),

se numeste compusa aplicatiilor f si g , notata cu g ◦ f ; h = g ◦ f.

Definitia 6. O aplicatie f : A → B se numeste inversabila daca existao aplicatie g : B → A a.î. g ◦ f = iA si f ◦ g = iB. Aplicatia g se noteaza cuf −1; g = f −1.

Teorema 1. (Caracterizarea functiilor inversabile) O aplicatie f :A → B este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca f : A → B este in-versabila. Atunci, conform Definitiei 6, exista g : B → A, g = f −1, a.î.g ◦ f = iA si f ◦ g = iB. Obtinem sirul de implicatii:

f (x1) = f (x2) =⇒ g (f (x1)) = g (f (x2)) = iA (x1) = iB (x2) =⇒ x1 = x2.

Conform Definitiei 4, rezulta ca f este injectiva.Pe de alta parte (∀) y ∈ B consideram x = g (y). Obtinem:

f (x) = f (g (y)) = (f ◦ g) (y) = iB (y) = y.Rezulta ca f este si surjectiva, deci este bijectiva.

Suficienta. Presupunem ca f este bijectiva, deci f este si surjectiva.Rezulta ca (∀) y ∈ B, (∃) x ∈ A a.î. y = f (x).Deoarece f este injectivarezulta ca x este unic determinat si deci aplicatia g : B → A definita pring (y) = x, (∀) y ∈ B este bine definita. Avem:

(∀) x ∈ A =⇒ (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (y) = x = iA (x) =⇒ g ◦ f = iA,(∀) y ∈ B =⇒ (f ◦ g) (y) = f (g (y)) = f (x) = y = iB (y) =⇒ f ◦ g = iB.

Conform Definitiei 6, rezulta ca f este inversabila.

Definitia 7. O aplicatie f : A×A → A se numeste lege de compozitieinterna în multimea A.

Pentru (∀) (x, y) ∈ A × A, în mod uzual, f (x, y) se noteaza cu: x + y,x.y, xy , x × y, x ◦ y etc...

Definitia 8. O aplicatie f : B×A → A se numeste lege de compozitieexterna în multimea A peste multimea B.

Exemplul 2. Aplicatia f : R×C → C definita prin




(∀) (α, z) ∈ R× C →f (α, z) = αz ∈ C,

este o lege de compozitie externa în C peste R.

Exemplul 3. Aplicatia f : R×MR(m,n)→M

R(m,n) definita prin

(∀) (α, A) ∈ R×MR(m,n) → f (α, A) = αA ∈MR

(m,n),

este o lege de compozitie externa în MR(m,n) peste R.

Definitia 9. O submultime S ⊂ A se numeste parte stabila în raport culegea de compozitie interna f : A×A → A, daca (∀) x, y ∈ S ⇒ f (x, y) ∈ S.

Defi

nitia 10. O submultime S ⊂ A se numeste parte stabil˘a în raportcu legea de compozitie externa f : B × A → A, daca (∀) x ∈ S si (∀) y ∈

B ⇒ f (x, y) ∈ S.

Exemplul 4. Multimea matricelor simetrice, SRn =©

A/A ∈ MRn , A = At

ª⊂ MR

n , este parte stabila în raport cu adunarea matricelor (care este legede compozitie interna în MR

n) si în raport cu înmultirea unei matrice cu unscalar din corpul R (care este lege de compozitie externa în MR

n peste R).

1.2.1 Probleme

Problema 1. Care este graficul aplicatiei identitate iA

a unei multiminevide A ?

Solutie. G = {(x, iA (x))Áx ∈ A} = {(x, x)Áx ∈ A}.

Problema 2. Aratati ca o aplicatie f : A → B este injectiva daca sinumai daca

(1) (∀) x1, x2 ∈ A cu x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2) .

Solutie. Fie f injectiva. Prin reducere la absurd presupunem ca nu areloc (1). Conform Definitiei 4, f (x1) 6= f (x2) =⇒ x1 = x2, ceea ce estefals. Rezulta ca (1) are loc. Invers, sa presupunem ca (1) are loc si f nu este

injectiva. Conform Defi

nitiei 4, rezulta ca (∃) x1, x2 ∈ A cu f (x1) = f (x2)a.î. x1 6= x2, ceea ce contrazice (1) .

Problema 3. Aratati ca o aplicatie f : A → B este surjectiva daca sinumai daca

(2) (∀) y ∈ B, (∃) x ∈ A a.î. f (x) = y.

Solutie. Fie f : A → B surjectiva. Rezulta ca f (A) = B , deci (∀) y ∈B ⇒ y ∈ f (A) ⇒ (∃) x ∈ A a.î. f (x) = y ⇒ (2) . Invers, daca presupunem




ca (2) este adevarata, atunci are loc B ⊂ f (A) si deoarece incluziunea inversa

este evidenta, rezulta ca B = f (A), deci f este surjectiva.Problema 4. Fie F multimea tuturor aplicatiilor. Sa se arate ca egali-

tatea aplicatiilor este o relatie de echivalenta în F .

Problema 5. Fie aplicatiile f : A → B si g : B → C. Determinati g ◦ f daca

a) g este aplicatia constanta,b) f este aplicatia constanta.

Problema 6. Sa se arate ca daca f : A → B admite o inversa atunciaceasta este unica.

Problema 7. Fie aplicatia f : R3

→ R defi

nita prin (∀) x = (x1

, x2

, x3

) ∈R3 → f (x) = x2 (numita proiectia pe a doua coordonata).Sa se arateca:

a) f este surjectiva,b) f nu este injectiva,c) (∀) x, y ∈ R3 si (∀) α, β ∈ R ⇒ f (αx + βy) = αf (x) + βf (y),(proprietatea de liniaritate a lui f ).

Problema 8. Fie aplicatia f : R2 → R3 definita prin

(∀) x = (x1, x2) ∈ R2 → f (x) = (x + x2, x1, x2) ∈ R3.

Sa se arate ca:a) f nu este surjectiva,b) f este injectiva,c) (∀) x, y ∈ R3 si (∀) α, β ∈ R ⇒ f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).

Problema 9. Fie aplicatia f : X → Y si I o multime arbitrara de indici.Sa se arate ca:

a) f

µSi∈I

Ai

¶ = S

i∈I

f (Ai), Ai ⊂ X , (∀) i ∈ I,

b) f

µTi∈I

Ai

¶⊂ Ti∈I

f (Ai), Ai ⊂ X , (∀) i ∈ I,

c) f −1µSi∈I

Bi¶ = S

i∈I

f −1(Bi), Bi ⊂ Y , (∀) i ∈ I,

d) f −1µT

i∈I

Bi

¶ = T

i∈I

f −1(Bi), Bi ⊂ Y , (∀) i ∈ I,

e) f (A)Âf (B) ⊂ f (AÂB), (∀) A, B ⊂ X,f ) daca f este surjectiva atunci C Y f (A) ⊂ f (C X A), (∀) A ⊂ X,g) f −1 (A)Âf −1 (B) = f −1 (AÂB), (∀) A, B ⊂ Y,h) C X f −1 (A) = f −1 (C Y A), (∀) A ⊂ Y.




Problema 10. Fie aplicatia f : X → Y si g : Y → Z. Sa se arate ca:

a) Daca f si g sunt injective, atunci g ◦ f este injectiva,b) Daca f si g sunt surjective, atunci g ◦ f este surjectiva,c) Daca f si g sunt bijective, atunci g ◦ f este bijectiva.

Problema 11. Fie aplicatia f : X → X cu proprietatea f ◦ f = iX . Sase arate ca f este bijectiva.

Indicatie. Se utilizeaza definitia aplicatiei inversabile, Teorema de unici-tate a inversei si Teorema de caracterizare a aplicatiilor inversabile (O functieeste inversabila daca si numai daca ea este bijectiva).

Problema 12. Fie aplicatia f : X → Y . Sa se arate ca afirmatiile a),b) si c) de mai jos, sunt echivalente:

a) f este injectiva,b) f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B), (∀) A, B ⊂ X,

c) f (A)Âf (B) = f (AÂB), (∀) A, B ⊂ X,

Solutie. Aratam ca a)⇒b)⇒c)⇒a).a)⇒b).

(

∀) y

∈f (A)

∩f (B)

⇒

y ∈ f (A)

siy ∈ f (B) ⇒

(∃) x1 ∈ A a.î.y = f (x1)

si(∃) x2 ∈ B a.î.y = f (x2)

⇒ x1 = x2 ∈ A ∩ B ⇒ (∃) x = x1 = x2 ∈ A ∩ B a.î. y = f (x) ⇒y ∈ f (A ∩ B) ⇒ f (A) ∩f (B) ⊂ f (A ∩ B) ⇒ f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B)

(pentru incluziunea inversa vezi b), Problema 9).b)⇒c).

(∀) y ∈ f (AÂB) ⇒ (∃) x ∈ AÂB a.î. y = f (x) ⇒

x ∈ A, x /∈ Bsi

y = f (x)

⇒

y ∈ f (A)

siy /∈ f (B) ⇒ y ∈ f (A)Âf (B) ⇒ f (AÂB) = f (A)Âf (B)

(pentru incluziunea inversa vezi e), Problema 9).c)⇒a). Prin reducere la absurd,presupunem ca f nu este injectiva, deci

(∃) x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 a.î. f (x1) = f (x2) = y. Luând în c) A = {x1}si B = {x2} ⇒ AÂB = {x1} ⇒ f (AÂB) = {f (x1)} = {y} ⇒ f (A) ={f (x1)} = {y} si f (B) = {f (x2)} = {y} ⇒ f (A)Âf (B) = ∅ 6= f (AÂB) ,ceea ce contrazice c).




1.3 Relatii de ordine.

Definitia 1. Se numeste relatie de partiala ordonare în multimeaA 6= ∅, o relatie binara, R = {G, A}, care satisface axiomele:

1. (∀) a ∈ A ⇒ (a, a) ∈ G, (axioma de reflexivitate)2. (∀) (a, b) si (b, c) ∈ G ⇒ (a, c) ∈ G, (axioma de tranzitivitate)3. Daca (a, b) si (b, a) ∈ G ⇒ a = b. (axioma de antisimetrie)

Definitia 2. Se numeste relatie de totala ordonare în multimea A orelatie de partiala ordonare în A, R = {G, A}, care satisface :

4. (∀) (a, b) ∈ A×A ⇒ (a, b) ∈ G sau (b, a) ∈ G.Observatia 1. Daca R = {G, A} este o relatie de totala ordonare în

multimea A, atunci apartenenta, (a, b) ∈ G, se noteaza cu a ≤ b. Cu aceastanotatie axiomele 1, 2, 3, si 4, devin:

I. (∀) a ∈ A ⇒ a ≤ a,II. (∀) a, b, c ∈ A a.î. a ≤ b si b ≤ c ⇒ a ≤ c,

III. (∀) a, b ∈ A a.î. a ≤ b si b ≤ a ⇒ a = b,IV. (∀) a, b ∈ A ⇒ a ≤ b sau b ≤ a.

Definitia 3. Spunem ca B ⊂ A este majorata (sau marginita supe-rior) în raport cu relatia de totala ordonare R = {G, A} daca

(∃) a ∈ A a.î. (∀) x ∈ B ⇒ x ≤ a.

Elementul a se numeste majorant al multimii B.

Observatia 2. In conditiile Definitiei 3, daca (∃) c ∈ A astfel încâta ≤ c, atunci c este, deasemenea, majorant al lui B .

Notam cu MB multimea tuturor majorantilor multimii B în raport curelatia de totala ordonare R = {G, A} ,

MB = {a | a ∈ A, x ≤ a, (∀) x ∈ B} .

Definitia 4. Spunem ca B ⊂ A este minorata (sau marginita infe-rior) în raport cu relatia de totala ordonare R = {G, A} daca

(∃) b ∈ A a.î. (∀) x ∈ B ⇒ b ≤ x.



1.3. RELATII DE ORDINE. 11

Elementul b se numeste minorant al multimii B.

Observatia 3. In conditiile Definitiei 4, daca (∃) c ∈ A a.î. c ≤ b,atunci c este, deasemenea, minorant al lui B .

Notam cu m B multimea tuturor minorantilor multimii B în raport curelatia de totala ordonare R = {G, A} ,

m B = {b | b ∈ A, b ≤ x, (∀) x ∈ B} .

Teorema 1. Multimile MB ∩ B si m B ∩ B contin cel mult un element.

Demonstratie. Presupunem ca (∃

) a, b ∈ MB

∩B

⊂ A cu a 6= b,

rezulta:

a, b ∈ MB

sia, b ∈ B

(Definitia 3)=⇒ (∀) x ∈ B avem

x ≤ asi

x ≤ b=⇒

b ≤ a pentru x = bsi

a ≤ b pentru x = a

(III,Obs.1.)=⇒ a = b.

Presupunem ca (

∃) a, b

∈m B

∩B

⊂A cu a 6= b, rezulta:

a, b ∈ m B

sia, b ∈ B

(Definitia 4)=⇒ (∀) x ∈ B avem

x ≥ asi

x ≥ b

b ≥ a pentru x = bsi

a ≥ b pentru x = a

(III,Obs.1.)=⇒ a = b.

Daca MB ∩ B = {a}, atunci a se numeste element maximal al lui Bsi se noteaza cu max B.

Daca m B ∩ B = {a}, atunci a se numeste element minimal al lui B sise noteaza cu min B.

Avem:

MB ∩ B =

∅sau

max Bsi m B ∩ B =

∅sau

min B




Observatia 4. MB este marginita inferior de orice element al multimii

B dar, în general, nu se poate demonstra ca exista minMB.Daca exista minMB, atunci acesta se numeste marginea superioara a

lui B si se noteaza cu sup B; în acest caz avem sup B = minMB.

Observatia 5. m B este marginita superior de orice element al multimiiB dar, în general, nu se poate demonstra ca exista max m B.

Daca exista maxm B, atunci acesta se numeste marginea inferioara alui B si se noteaza cu inf B; în acest caz avem inf B = maxm B.

De cele mai multe ori existenta lui minMB este data axiomatic prin:

Axioma de existenta a marginii superioare (AMS) (Cantor-Dede-

kind). Daca multimea B ⊂ A, B 6= ∅ este majorata în raport cu relatia detotala ordonare, R = {G, A} , atunci exista sup B.

1.3.1 Probleme

Problema 1. Fie R {G, A} o relatie de totala ordonare în multimea Asi B ⊂ A o submultime pentru care exista max B (respectiv min B). Sa searate ca max B (respectiv min B) este unic.

Indicatie. MA ∩ A contine cel mult un element.

Problema 2. Sa se arate ca relatia de incluziune R= {G,P E } , undeP E este multimea partilor multimii E (multimea tuturor submultimilor luiE ) si G = {(A, B) | A, B ∈ P E , A ⊆ B} este o relatie de partiala ordonareîn P E . Este ea o relatie de totala ordonare?

1.4 Multimea numerelor reale

Definitia 1. O multime A se numeste multime de numere reale daca:a) A este corp comutativ.b) A este dotata cu o relatie de totala ordonare, notata ≤, compatibila

cu operatiile algebrice din A, adica:

b1) (∀) x, y,z ∈ A, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + zb2) (∀) x, y ∈ A, x ≥ 0, y ≥ 0 =⇒ x.y ≥ 0

c) In A are loc Axioma de existenta a marginii superioare (Oricarear fi multimea majorata B ⊂ A, exista sup B).

Observatia 1. Se poate demonstra ca orice doua multimi de numere realeA1 si A2 sunt izomorfe, adica exista un izomorfism de corpuri f : A1 → A2



1.4. MULTIMEA NUMERELOR REALE 13

a.î. (∀) x, y ∈ A1 cu x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y) . Rezulta ca toate proprietatile

ce se pot deduce din Definitia 1, pentru A1 si A2, coincid.Vom nota în continuare cu R o multime de numere reale (care se va

confunda printr-un izomorfism cu orice alta multime de numere reale). Pro-prietatile lui R, ce se pot deduce din Definitia 1, sunt proprietatile uzualecunoscute.

Daca în R avem a ≤ b si a 6= b, atunci vom nota aceasta prin a < b.Consideram, deasemenea, multimile:

R+ = {a | a ∈ R, a ≥ 0}, R∗+ = {a | a ∈ R, a > 0},R− = {a | a ∈ R, a ≤ 0}, R∗− = {a | a ∈ R, a < 0},R∗ = RÂ{0} .

Observatia 2. Din proprietatile unui corp rezulta ca înR nu sunt definiteoperatiile 0

0 si 00.

Observatia 3. Fie A ⊂ R, A 6= ∅. Daca,exista max A, atunci existamin(−A) si are loc -min(−A) = max A,unde −A = {−a | a ∈ A} .

Teorema 1.(Existenta marginii inferioare).Oricare ar fi multimeaminorata A ⊂ R, exista inf A.

Demonstratie. Fie k un minorant al lui A. Rezulta k ≤ a, (∀) a ∈ Aceea ce implica −a ≤ −k, deci −k este majorant pentru multimea −A.Rezulta mA =

−M

−A. Conform axiomei de existenta a marginei superioare

exista sup(−A) = M. AvemM = minM−A = min(−mA) = − maxmA = − inf A.

Rezulta ca exista marginea inferioara lui A si are loc inf A = − sup(−A).

Teorema 2. (Caracterizarea marginii superioare). Fie A ⊂ R,A 6= ∅ si M ∈ R.

M = sup A ⇐⇒½

10 (∀) x ∈ A =⇒ x ≤ M ,20 (∀) ε ∈ R∗+, (∃) xε ∈ A a.î. xε > M − ε.

Demonstratie. Necesitatea. M = sup A = minMA

⇒ M

∈ MA.

Rezulta ca 10 este adevarata. Prin reducere la absurd, presupunem ca 20 nuare loc, adica: (∃) ε ∈ R∗+, a.î. (∀) x ∈ A =⇒ x < M − ε =⇒ M − ε ∈ MA

(M − ε < M ) ⇒ M nu este cel mai mic majorant (M 6= sup A), ceea cecontrazice ipoteza necesitatii. Rezulta ca 20 este adevarata.

Suficienta. 10 ⇒ M ∈ MA

c) Def.1⇒ (∃) K = sup A ⇒ K ≤ M ⇒

a0. K = M sau b0. K < M.




a0 ⇒ M = sup A. Prin reducere la absurd, presupunem ca are loc b0.

Luând ε = M − K > 0 20

⇒ (∃) xε ∈ A a.î. xε > M − ε = M − (M − K ) =K ⇒ K /∈ MA, ceea ce este absurd. Rezulta ca b0 nu poate avea loc, deciM = sup A.

Teorema 3. (Caracterizarea marginii inferioare). Fie A ⊂ R, A 6= ∅si m ∈ R.

m = inf A ⇐⇒½

10 (∀) x ∈ A =⇒ x ≥ m,20 (∀) ε ∈ R∗+, (∃) xε ∈ A a.î. xε < m + ε.

Demonstratie. Necesitatea. m = inf A = maxmA ⇒ m ∈ mA.

Rezulta ca 10 este adevarata. Prin reducere la absurd, presupunem ca 20 nuare loc, adica: (∃) ε ∈ R∗+, a.î. (∀) x ∈ A =⇒ x > m + ε =⇒ m + ε ∈ mA

(m + ε > m) ⇒ m nu este cel mai mare minorant (m 6= inf A), ceea cecontrazice ipoteza necesitatii. Rezulta ca 20 este adevarata.

Suficienta. 10 ⇒ m ∈ mATeorema 1⇒ (∃) k = inf A ⇒ k ≥ m ⇒

a0. k = m sau b0. k > m.

a0 ⇒ m = inf A. Prin reducere la absurd, presupunem ca are loc b0.

Luând ε = k

−m > 0

20

⇒ (

∃) xε

∈ A a.î. xε < m + ε = m + (k

−m) =

k ⇒ k /∈ mA, ceea ce este absurd. Rezulta ca b0 nu poate avea loc, decim = inf A.

Definitia 2. O multime A ⊂ R se numeste marginita, daca ea estemarginita superior si inferior.

Observatia 2. Daca A este marginita, atunci inf A ≤ x ≤ sup A, (∀)x ∈ A.

Exemplul 1. Aplicatia f : R → R, definita prin

f (x) =

½ x, daca x ≥ 0,−x, daca x < 0,

(∀) x ∈ R,

este strict cresc˘

atoare pe [0,∞) si strict descresc˘

atoare pe (-∞, 0].Vom nota f (x) = |x| si din Definitia 1, rezulta ca au loc:(a) |x| = 0 ⇔ x = 0,(b) (∀) x, y ∈ R ⇒ |xy| = |x| |y|,(c) (∀) x, y ∈ R ⇒ |x + y| ≤ |x|+ |y|,(d) (∀) x, y ∈ R ⇒ ||x|− |y|| ≤ |x − y| .

Definitia 3. O functie f : D → R, D ⊂ R, se numeste crescatoare,respectiv, strict crescatoare, daca




(∀) x, y ∈ D, x < y ⇒ f (x) ≤ f (y), respectiv f (x) < f (y) .

Definitia 4. O functie f : D → R, D ⊂ R, se numeste descrescatoare,respectiv, strict descrescatoare, daca

(∀) x, y ∈ D, x < y ⇒ f (x) ≥ f (y), respectiv f (x) > f (y) .

Definitia 5. O functie f : D → R, D ⊂ R, se numeste monotona, dacaeste crescatoare sau descrescatoare.

Definitia 6. O functie f : D → R, D ⊂ R, se numeste strict monotona,daca este strict crescatoare sau strict descrescatoare.

Prezentarea unitara a unor rezultate fundamentale impune introducereasimbolurilor +∞ si -∞ (care nu sunt numere reale). Vom considera R =R∪ {−∞, +∞} .

Observatia 3. Relatia de ordine din R se extinde la R astfel -∞ < x <+∞,(∀) x ∈ R. Rezulta ca inf R = −∞ si supR = +∞.

Observatia 4. Operatiile algebrice din R se extind partial la R astfel:a. ∞ + x = x + ∞ = ∞, (∀) x ∈ R,b. -∞ + x = x + (−∞) = −∞, (∀) x ∈ R,c. x.

∞=

∞.x = sgn (x) .

∞, (

∀) x

∈R•,

d. x.(-∞) = (−∞).x = sgn (x) .(−∞), (∀) x ∈ R•,e. x

∞ = x−∞ = 0, (∀) x ∈ R,

f. ∞x =

½ ∞, pentru x > 00, pentru x < 0

,

g. x∞ =

½ ∞, pentru x > 10, pentru x ∈ (0, 1)

,

h. x−∞ =

½ 0, pentru x > 1∞, pentru x ∈ (0, 1)

,

i. 0∞ = 0.

Urmatoarele operatii (numite operatii f ara sens sau nedeterminari)nu sunt definite în R:

∞ − ∞, 0.∞, 0. (−∞), ±∞±∞ , 1±∞, ∞0, 0

0, 00.

In continuare vom folosi si notatiile:

R+ = [0, ∞), R− = (−∞, 0], R•+ = (0, ∞), R•

− = (−∞, 0).




1.4.1 Probleme

Problema 1. Sa se arate ca daca A ⊂ R este marginita superior atunci−A

def = {−aÁa ∈ A} este marginita inferior si are loc inf (−A) = − sup A.

Problema 2. Sa se arate ca daca A ⊂ R este marginita inferior atunci−A este marginita superior si are loc inf (A) = − sup(−A) .

Problema 3. (Teorema de existenta a marginii inferioare) Sa searate ca orice multime nevida minorata din R are o margine inferioara.

Problema 4. Sa se arate ca A ⊂ R este formata dintr-un singur punctdaca si numai daca inf A = sup A.

Problema 5. Fie A ⊂ R majorat˘

a (respectiv minorat˘

a). S˘

a se arate c˘

asup A (respectiv inf A) este unic.

Indicatie. Deoarece în R are loc Axioma de existenta a marginii supe-rioare, rezulta ca multimea majorantilor MA are un cel mai mic element,min A, care este unic (Vezi Problema 1, Sectiunea 1.3.1)

Problema 6. Sa se arate ca nu exista min A, unde A =©1nÁn ∈ N•

ª.

Indicatie. Se arata ca inf A = 0 /∈ A.

Problema 7. Sa se arate ca A ⊂ R este marginita daca si numai daca(∃) k > 0 a.î. | x |≤ k, (∀) x ∈ A.

Problema 8. Sa se arate ca A ⊂ R este nemarginita daca si numai daca(∀) k > 0, (∃) x ∈ A a.î. | x |≤ k.

Problema 9. Fie A, B ⊂ R. Sa se arate ca:a) Daca x ≤ y, (∀) x ∈ A si (∀) y ∈ B, atunci inf A ≤ sup A ≤

inf B ≤ sup B,b) Daca A ⊂ B, atunci inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

Indicatie. a) A este majorata de orice y ∈ B deci (∃) sup A si sup A ≤ y,(∀) y ∈ B. Rezulta ca sup A este minorant pentru B si deci sup A ≤ inf B.

Problema 10. Fie A, B

⊂ R, λ

∈ R, λA = {λxÁx

∈A}, A + B =

{x + yÁx ∈ A, y ∈ B} si AB = {xyÁx ∈ A, y ∈ B}. Sa se arate ca daca Asi B sunt marginite atunci λA, A + B si AB sunt marginite si au loc :

a) inf (λA)=

λ inf A, daca λ > 00, daca λ = 0

λ sup A, daca λ < 0, sup(λA)=

λ sup A, daca λ > 00, daca λ = 0λ inf A, daca λ < 0

b) inf A + inf B = inf (A + B) ≤ sup(A + B) = sup A + sup Bc) Daca A, B ⊂ [0, ∞) atunci (inf A)(inf B) = inf AB ≤ sup(AB) =

(sup A) (sup B) .




Solutie. a) λ > 0, α=inf A ⇒ α ≤ x, (∀) x ∈ A ⇒ λα ≤ λx. (∀) ελ

> 0

(∃) xε a.î. xε < α + ε

λ ⇒ λxε < λα + ε ⇒ λα = inf (λA) . Analog obtinemsup(λA) = λ sup A.λ = 0 ⇒ λA = {0} ⇒ inf (λA) = sup (λA) = 0λ < 0, inf (λA) = inf (− | λ | A) = − sup(| λ | A) = − | λ | sup A =

λ sup A. Analog obtinem sup (λA) = λ inf A.

b) Fie α = inf A si β = inf B Teorema 3⇒½

10 (∀) x ∈ A ⇒ x ≥ α,20 (∀) ε ∈ R∗+, (∃) xε ∈ A a.î. xε < α + ε.

si ½ 10 (∀) y ∈ B ⇒ y ≥ β ,20 (∀) ε ∈ R∗+, (∃) yε ∈ B a.î. yε < β + ε.

⇒½ 10 (∀) z ∈ A + B, avem z = x + y, x ∈ A, y ∈ B ⇒ z = x + y ≥ α + β ,20 (∀) ε ∈ R∗+, (∃) zε = xε + yε ∈ A + B a.î. zε = xε + yε < α + β + 2ε.

⇒ inf (A + B) = α + β = inf A + inf B.Analog obtinem sup (A + B) = sup A + sup B.c) Fie α = sup A si β = sup B.αβ = 0.⇒ A = {0} sau B = {0} ⇒ AB = {0} ⇒ sup(AB) = sup A sup B.αβ > 0. (

∀) x

∈ AB

⇒ x = ab, cu a

∈ A si b

∈ B, 0

≤ a

≤ α, si

0 ≤ b ≤ β ⇒ 0 ≤ x ≤ αβ . Fie ε ∈ (0, 2αβ ) ⇒ (∃) aε ∈ A si bε ∈ Ba.î. aε > α − ε

2β > 0, bε > β − ε

2α > 0 ⇒ (∃) xε = aεbε ∈ AB a.î.

xε > αβ − ε + ε2

4αβαβ − ε ⇒ sup A sup B = αβ = sup (AB) .

Problema 11. (Axioma lui Arhimede). Sa se arate ca (∀) x, y ∈ R,y > 0, (∃) n ∈ N, a.î. ny > x.

Solutie. Prin reducere la absurd, presupunem ca (∃) x0, y0 ∈ R, y0 > 0,a.î. ny0 ≤ x0, (∀) n ∈ N. Fie A = {ny0Án ∈ N} ⊂ R. Rezulta ca A estemajorata de x0, deci exista a = sup A. Avem ny0 = (n+1)y0−y0 ≤ a−y0 < a,(∀) n ∈ N, deci A are un majorant mai mic decât a = sup A, ceea ce este

fals.Problema 12. Sa se arate ca (∀) x ∈ R, (∃) n ∈ N, a.î. n > x.

Indicatie. Se ia y = 1 în problema precedenta.

Problema 13. Sa se arate ca Axioma de existenta a marginii su-perioare din R este echivalenta cu Axioma de completitudine a lui R(AC): (∀) A, B ⊂ R, nevide, a.î. a ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A × B ⇒ (∃) c ∈ R a.î.a ≤ c ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A×B.




Solutie. (AC)⇒(AMS). Fie A ⊂ R majorata si B = MA. Rezulta A 6= ∅si a ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A×B, deci (∃) c ∈ R a.î. a ≤ c ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A×B,de unde avem ca c = sup A.

(AMS)⇒(AC). Fie A, B ⊂ R, nevide, a.î. a ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A × B.Rezulta a ≤ sup A ≤ inf B ≤ b, (∀) (a, b) ∈ A×B, deci este satisf acuta (AC)cu c = sup A sau c = inf B.

Problema 14. Sa se determine inf A, supA, minA si maxA (atunci cândele exista) pentru: A = [a, b], A = (a, b], A = [a, b), A = (a, b).

Problema 15. Sa se arate ca (∀) n ∈ N si (∀) xi ∈ (0, ∞), i = 1, n,

astfel încâtn

Qi=1

xi = 1, atuncin

Pi=1

xi ≥ n.

Solutie. Folosim inductia matematica. Pentru n = 1 afirmatia esteevidenta. Presupunem adevarata afirmatia pentru n = k si o demonstram

pentru n = k + 1. Presupunem, deci cak+1Qi=1

xi = 1. Rezulta ca unele dintre

numerele xi, i = 1, k + 1 sunt în (0, 1] iar celelalte în [1, ∞). Renumerotându-le, putem presupune ca x1 ∈ (0, 1] si x2 ∈ [1, ∞) deci (x1 − 1) (x2 − 1) ≤ 0,ceeace este echivalent cu x1x2+1 ≤ x1+x2. Luam y1 = x1x2, y2 = x3,...,yk =

xk+1, avemkQ

i=1

yi =k+1Qi=1

xi = 1 si deci,conform ipotezei inductive aplicata

numerelor yi, i = 1, k, obtinem ca

y1 + y2 + ... + yk = x1x2 + x3 + ... + xk+1 ≥ k, deci k+1Pi=1

xi = (x1 + x2) +

x3 + ... + xk+1 ≥ (x1x2 + 1) + x3 + ... + xk+1 ≥ k + 1.

Problema 16. Sa se demonstreze ca

H = n1

a1+ 1

a2+...+ 1

an

≤ G = n√

a1a2...an ≤ A = a1+a2+..+.ann

,

(∀) ai ∈ (0, ∞), i = 1, n.

Solutie. Fie xi = ain√

a1a2...an, i = 1, n, care satisfac conditiile problemei

precedente, decinP

i=1xi ≥ n, ceea ce este echivalent cu A ≥ G. Luând bi = 1

ai ,

i = 1, n si aplicând inegalitatea G ≤ A, rezulta H ≤ G pentru ai, i = 1, n.

Problema 17. (Inegalitatea lui Bernoulli). Sa se arate ca dacaai ∈ [−1, 0] sau (0, ∞), i = 1, n, atunci

(1 + a1) (1 + a2) ..... (1 + an) ≥ 1 + a1 + a2 + ... + an.




Indicatie. Inegalitatea se demonstreaza prin inductie matematica.

Problema 18. (Inegalitatea lui Hölder). Oricare ar fi ai, bi ∈ R,i ∈ {1, 2,...,n}, si p, q ∈ (0, ∞) cu 1

p + 1

q = 1, atunci are loc

nPi=1

| aibi |≤µ

nPi=1

| ai | p

¶ 1

pµ

nPi=1

| bi |q

¶1

q

pentru p > 1

si

n

Pi=1

| aibi |≥ µ n

Pi=1

| ai | p

¶1

p

µ n

Pi=1

| bi |q

¶1

q

pentru 0 < p < 1.

Solutie. Aratam ca (∀) x > 0, are loc

(1) xα + α

½ ≤ 1 + αx, pentru α ∈ (0, 1)≥ 1 + αx, pentru α > 1

Pentru α ∈ (0, 1) fie f (x)=xα −αx + α−1, f 0 (x)=α(xα−1−1)=0 ⇒ x =1 ⇒

x 0 1 ∞f 0 (x) + + + + + 0 - - - - -f (x) α

−1 % 0 & -

∞Rezulta ca f (x) ≤ f (1) = 0, deci xα + α ≤ 1 + αx.Pentru α ¢ 1, analog, se arata ca xα + α ≥ 1 + αx.In continuare aratam ca (∀) a, b ∈ (0, ∞) , p ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞), are loc

(2) ab

½ ≤ ap

p + bq

q , pentru p > 1

≥ ap

p + bq

q , pentru 0 < p < 1

, unde 1 p

+ 1q

= 1.

Fie x = ap

bq, 0 < α = 1

p < 1, pentru p > 1. Rezulta ca

¡ap

bq ¢1

p + 1 p

(1)

≤ 1 + 1 p

ap

bq ↔ a

bqp

≤ 1q + 1

pap

bq ↔

ap

p + bq

q ≥ abq

bqp

= abq− q

p = abq(1− 1

p) = abq 1

q = ab.

Analog se demonstreaza varianta p ∈ (0, 1) .Demonstram inegalitatea lui Hölder în cazul p > 1. Pentru aceasta fie

a= |ai|µ nPk=1

|ak|p¶ 1

p, b= |bi|µ

nPk=1

|bk|q¶ 1

q




cu i fixat în {1, 2,...,n} .

Din (2) rezulta

ab = |ai||bi|µ nPk=1

|ak|p¶ 1

pµ

nPk=1

|bk|q¶ 1

q≤ 1

p

|ai|µ nPk=1

|ak|p¶ 1

p+ 1

q

|bi|µ nPk=1

|bk|q¶ 1

q.

Sumând dupa i obtinem

nPi=1

|ai||bi|µ nPk=1

|ak|p¶ 1

pµ

nPk=1

|bk|q¶ 1

q≤ 1

q + 1

p = 1.

Analog se demonstreaza cazul p ∈ (0, 1) .Problema 19. (Inegalitatea lui Minkowski). Sa se arate ca (∀) p > 1

si (∀) ai, bi ∈ R, i = 1, n, avem

(M)

µ nP

i=1

| ai + bi | p

¶ 1

p

≤µ

nPi=1

| ai | p

¶ 1

p

+

µ nPi=1

| bi | p

¶ 1

p

.

Solutie. Avem

| ai + bi | p=| ai + bi || ai + bi |

p−1≤| ai || ai + bi |

p−1 + | bi || ai + bi | p−1,

de unde, folosind inegalitatea lui Hölder, rezultanP

i=1

| ai + bi | p≤

nPi=1

| ai || ai + bi | p−1 +

nPi=1

| bi || ai + bi | p−1≤µ

nPi=1

| ai | p

¶ 1

pµ

nPi=1

| ai + bi |( p−1)q

¶ 1

q

+µ nP

i=1

| bi | p

¶ 1

pµ

nPi=1

| ai + bi |( p−1)q

¶1

q

=

µ n

Pi=1

| ai + bi | p

¶1− 1

p

"µ n

Pi=1

| ai | p

¶1

p

+ µ n

Pi=1

| bi | p

¶1

p

#, q = p

p−1 .

Împartind prinµ

nPi=1

| ai + bi | p

¶1− 1

p

obtinem (M) .

Problema 20 (Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy-Buniakowski). Sase arate ca (∀) ai, bi ∈ R, i = 1, n, avem

(SCB)

µ nP

i=1

| aibi |

¶2

≤µ

nPi=1

| ai |2

¶µ nP

i=1

| bi |2

¶.




Indicatie. Se ia p = q = 2 în inegalitatea lui Hölder.

Problema 21. Sa se arate ca daca x, y ∈ R astfel încât x < y + ε, (∀)ε ∈ (0, ∞), atunci x ≤ y.

Solutie. Prin reducere la absurd, presupunem ca x > y deci x − y > 0.Luând ε = x − y, obtinem x < y + ε = y + (x − y) = x, ceea ce este absurd.




Date post:	10-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	navatman
View:	233 times
Download:	0 times

2. Cap. i. Relatii Binare. Aplicatii. Relatii de Ordine

Documents