2-0 Elemente de Mecanica Newton Ian A

8/3/2019 2-0 Elemente de Mecanica Newton Ian A

1/31

2. Elemente de mecanic newtonian32

2. ELEMENTE DE MECANIC NEWTONIAN

Mecanica newtonian studiaz micarea corpurilor macroscopice ce sedeplaseaz cu viteze mici n comparaie cu viteza luminii, cauzele acestei micri

precum i interactiunile dintre corpuri.

2.1. Cinematic

2.1.1. Definiii. Mrimi fundamentale

Cinematica, ca parte a mecanicii, studiaz micarea corpurilor fr a lua n

consideraie cauzele care o determin. Ea ne arat cum se mic efectiv corpurile,

furnizndu-ne legile de micare.

Studiul micarii unui corp

presupune observarea unui obiect definitsuficient de clar pentru a fi

transsubiectiv, astfel nct toi subiecii

s se poat referi n acelai mod la

acesta. Pe de alt parte este necesar s se

reduc, pe ct posibil, gradul de

complexitate al obiectului de interes.

Reducerea maxim a gradului de

complexitate al unui obiect implic

reducerea tuturor aspectelor acestuia pn la simpla lui prezen n spaiu,

fcndu-se abstractie inclusiv de extinderea spaial, respectiv de forma

obiectului. Definim astfel punctul material ca prezen a corpului ntr-un punct

geometric. n momentul n care facem acest lucru avem nevoie de un suport

matematic care este spaiul euclidian tridimensional. n acest spaiu identificm

corpul material cu punctul geometric, P , respectiv cu vectorul de poziie alrr

Fig. 2.1


2/31

2. Elemente de mecanic newtonian 33

acestuia, adic cu ansamblul celor trei proiecii ale lui r

r

pe axele unui sistem dereferin cartezian, pe care l vom numi sistemul laboratorului (Fig. 2.1).Avem nevoie de o mrime fundamental, lungimea, pentru a fi capabili s

discutm configuraia unui sistem, respectiv s precizm poziiile relative aleobiectelor, adic ale punctelor materiale.

Construcia cinematicii necesit ns introducerea unei a doua mrimifundamentale, timpul. Devine astfel posibil studiul micrii corpului, vectorul de

poziie rr

devenind o funcie vectorial de timp, ( )trr

, descris de ansamblul celor

trei funcii scalare i( ) ( )ty,tx ( )tz .Din acest moment studiul cinematic al micarii corpului se reduce la studiul

matematic al funciei vectoriale ( )trr

rr

= .

2.1.2. Vectorul vitez

Datorit micrii, corpul, considerat punct material, ocup diferite poziii nspaiu. Curba care conine totalitatea poziiilor succesive ocupate de un corp aflatn micare se numete traiectorie.

Fie traiectoria punctului material, i dou poziii ale acestuia lamomentele i , definite de vectorii de poziie

1M 2M

1t 2t (trr

)1 i ( )2trr

i origineasistemului de referin O (Fig. 2.2).

Fig. 2.2

Definim viteza instantanee vr

, ntr-un punct oarecare al traiectoriei, calimita spre care tinde raportul dintre ( )2tr

r( )1tr

r i 2t 1t atunci cnd ,

respectiv:12 tt

( ) ( )

12

12

tt tt

trtrlimv

12

=

rrr

. (2.1)

Cum n sistemul de referin al laboratorului vectorul de poziie al punctuluimaterial:


3/31


zyx 1z1y1xr

rrrr

++= , (2.2)

este o funcie variabil n timp:

( ) ( ) ( ) ( ) zyx 1tz1ty1txtrrrrr

++= , (2.3)

viteza va fi dat de:vr

dt

rdv

rr

= zyx 1dt

dz1

dt

dy1

dt

dx rrr++= , (2.4)

sau, utiliznd o notaie frecvent folosit fdt

df &= , aceasta se mai scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) zyx 1tz1ty1txtrvr

&r

&r

&&rr

++== . (2.5)

n ultimele dou relaii se evideniaz componentele vitezei fa dereferenialul cartezian, respectiv:

zdt

dzv,ydt

dyv,xdt

dxv zyx &&& ====== . (2.6)

Micarea punctului material poate fi descris i cu ajutorul coordonatei s care ne d poziia corpului pe traiectoria ca lungimea msurat fa de o originearbitrar situat pe traiectoria'O .

Coordonata s este o funcie scalar de timp, ( )tss = , derivata sa este tot unscalari reprezint mrimea vitezei pe traiectorie, adic:

dt

dsv = . (2.7)

Dac notm cu versorul tangentei la traiectorie (Fig. 2.2), atunci:1r

= 1ds

rd rr

. (2.8)

astfel c viteza vr

se scrie:


4/31


= 1dtds

v

rr

. (2.9)

Din ultima relaie rezult c vectorul vitez, definit n fiecare punct altraiectoriei i la orice moment de timp, este tangent la traiectoria punctuluimaterial, sensul fiind dat de sensul micrii.

2.1.3. Vectorul acceleraie

Vectorul acceleraie la un moment de timp este vectorul a definit caderivata vectorului vitez n raport cu timpul la momentul considerat:

tr

2

2

dt

rd

dt

vda

rrr

== . (2.10)

Componentele acceleraiei se obin imediat:

zdt

zd

dt

dva

ydt

yd

dt

dva

xdt

xd

dt

dva

2

2z

z

2

2y

y

2

2x

x

&&

&&

&&

===

===

===

(2.11)

Astfel vectorul acceleraie se scrie:

zyxzzyyxx 1z1y1x1a1a1aar&&

r&&

r&&

rrrr++=++= . (2.12)

n afar de sistemul de referin al laboratorului, pentru precizarea poziiei

unui punct material se definete i un sistem de referin propriu cu originea npunctul material i axele date de versorii 1r

i n1r

, unde n1r

este versorul normal

la traiectoria (Fig. 2.3) i orientat spre interiorul acesteia. Trebuie subliniatfaptul c i1

r

n1r

sunt funcii de timp.


5/31


Fig. 2.3

Astfel, pornind de la relaia (2.9), pe care o derivm n raport cu timpul,expresia acceleraiei se scrie:

n2

2

2

2

1dt

1d

dt

ds1

dt

sd

dt

1d

dt

ds1

dt

sd

dt

vda

r

r

rr

rr

r

+=+== (2.13)

unde conform Fig. 2.3 s-a operat substituia n11d1drrr

= .

Din Fig. 2.3, la limita , avem:12 tt

= 1ddr

i = dds , (2.14)

unde este raza de curbur a traiectoriei n punctul considerat.Introducnd (2.13) n (2.12) i innd seama de (2.7), avem:

n

2

2

2

1v

1dt

sda

rrr

+= . (2.15)

Relaia (2.14) reprezint descompunerea acceleraiei dup cele dou direciide interes: tangenta la curbi normala la aceasta.

Componenta dup direcia tangentei, numit acceleraie tangenial, are

mrimea2

2

dt

sda = i sensul micrii atunci cnd viteza crete i invers micrii

atunci cnd viteza scade.


6/31


Componenta dup direcia normalei, numit acceleraie normal, are

modulul

=2

nv

a i este totdeauna normal pe vitez, fiind orientat nspre

concavitatea curbei (Fig. 2.4).

Fig. 2.4

2.1.4. Micarea rectilinie

Micarea rectilinie este micarea a crei traiectorie este o dreapt. Dac, deexemplu, traiectoria este paralel cu axa Ox , parcursul s pe traiectorie este chiarcoordonata , iar mrimea vitezei i mrimea acceleraiei sunt:x

2

2

dt

xd

dt

dva,dt

dxv === , (2.16)

Dac mrimea vitezei este constant, micarea este uniform. Evident, pentru acest caz acceleraia este nul. Micarea cu acceleraie constant senumete micare uniform variat:

.consta =r

Legile acestei micri rezult n urma integrrii ecuaiilor (2.15):

2

attvxx

atvv2

00

0

++=

+=(2.17)

unde constantele de integrare i , pe care le vom numi condiii iniiale ale

micrii, reprezint poziia i viteza corpului la momentul,0v 0x

0t = .


7/31


Dac punctul material se deplaseaz pe o direcie oarecare, atunci ecuaiile(2.17) devin:

.2

tatvrr

tavv2

00

0r

rrr

rrr

++=

+=(2.17)

Cunoaterea legilor de micare i a condiiilor iniiale permite determinareapoziiei i vitezei corpului deci a strii acestuia, la orice moment ulterior de timp.

2.1.5. Micarea circular

S considerm un punct material M aflat n micare pe o traiectorie circular deraz (Fig. 2.5). n orice moment, poziia

punctului material pe traiectorie estedeterminat de unghiul

R

pe care razavectoare R

r, OMR =

r, l face cu raza de

referin . Cum arcul s este egal cu

0OM

R , conform relaiei (2.8) viteza petraiectorie va fi:

Fig. 2.5

v

=

==

dsv , (2.18)R

dt

dR

dt

undedt

d= este viteza unghiular.

Pe toat durata micarii, acceleraia normal va fi orientat spre centru, iarmarimea ei n modul este dat de

22

n RR

va == . (2.19)

Acceleraia tangenial este:

=

== Rdt

dR

dt

sda

2

2

(2.20)

undedt

d= reprezintacceleraia unghiular.

Dac viteza unghiular este constant, .const= , micarea se numetecircular uniform. n acest caz acceleraia tangenial este nul.


8/31


Vectorul vitez unghiular r

are ca suport axa de rotaie perpendicular npe planul figurii, iar sensul este cel care rezult din relaia:O

. (2.21)Rvrrr

=

2.2. Principiile mecanicii newtoniene

Cinematica rspunde la ntrebarea: Cum se mic corpurile? nelund ndiscuie nici un moment cauzele micrii. n momentul n care se pune ntrebarea:De ce se mic un corp ntr-un anumit fel?, se trece la dinamic. ntrebndu-ne

despre cauze, rspunsul ne va conduce imediat la interacii drept cauze alemodificrii strii de micare a corpului, respectiv la fore.

Analiza experimentelor acumulate n timp privind micarea corpurilor iinfluena interaciunii dintre corpuri asupra micrii i-au permis lui Isaac Newtons construiasc o teorie fizic unitar asupra tuturor fenomenelor care apar ninteraciunile mecanice dintre corpurile macroscopice precum i asupra micriiacestora. Astfel, s-a nscut mecanica clasic sau mecanica newtonian.

nainte de a enuna principiile care stau la baza mecanicii newtonienetrebuie s amintim c aceasta este construit pe ideea de spaiu absoluti timpuniversal, independent de spaiu. Un sistem de referin absolut poate s fieaproximat printr-un sistem de referin avnd originea n centrul de greutate alsistemului solari axele orientate spre trei stele fixe.

Aa cum am mai discutat, mecanica newtonian explic corect numaimicarea corpurilor macroscopice avnd viteze mici n comparaie cu vitezaluminii. Extinderea legilor mecanicii la viteze mari devine posibil o dat cuapariia teoriei relativitii a lui Einstein. Pe de alt parte studiul micrii la nivelulatomic i subatomic (al microparticulelor) constituie obiectul mecanicii cuantice,elaborat n prima jumtate a secolului XX. Teoria relativitii i mai alesmecanica cuantic au adus dup ele o dezvoltare exploziv a ntregii fizicii,urmat de rezultate tehnologice remarcabile.

2.2.1. Principiul inerieiEnunul primului principiu, cunoscut ca principiul ineriei, n formularea

lui Newton, cu referire la spaiul absolut este: Orice corp i pstreaz la infinitstarea lui de repaus sau de micare rectilinie i uniform, dacnu este constrnss-i modifice aceaststare de micare prin intervenia vreunei fore imprimate.

Proprietatea intrinsec a corpului, considerat punct material, de a-i pstrastarea de micare rectilinie i uniform, respectiv de a se mpotrivi modificriiacesteia, se numete inerie. Experiena ne arat c ineria difer de la un corp la


9/31


altul aceasta fiind o caracteristic proprie fiecrui corp. Apare astfel necesitateaintroducerii unei a treia mrimi fundamentale n mecanic, ca msur a ineriei, ianume masa inerial, m.

Principiul ineriei permite s se introducsistemul de referin inerial, cafiind sistemul de referin n care este respectat principiul ineriei. Toate sistemelede referin ineriale sunt echivalente ntre ele i se deplaseaz unele fa de altelecu viteze constante.

2.2.2. Principiul fundamental

Newton introduce n enunul principiului ineriei fora imprimat drept

cauz a modificrii strii de micare. El definete fora prin propoziia urmtoare:Fora imprimat este aciunea exercitat asupra unui corp, pentru a-i schimbastarea de repaus sau de micare rectilinie i uniform. Cum aciunea exercitatasupra unui corp nu poate fi fcut dect de un alt corp, rezult c fora este omrime care descrie fizic interaciunea dintre corpuri.

ntre fora Fr

, definit ca mrimea fizic ce descrie interaciunile dintrecorpuri, masa , ca proprietate a corpului de a se mpotrivi modificriistarii de micarei acceleraia a

mr

, ca mrime cinematic, exist relaia:

. (2.22)amFrr

=

Aceast ecuaie, cunoscut ca principiul fundamental al mecanicii este

ecuaia fundamental a dinamicii.

Deoarece n mecanica newtonian masa m nu depinde de vitez, fiind

constant n timp, dependena acceleraiei ar

de viteza vr

este dat de relaia

(2.11), ecuaia fundamental a dinamicii se poate scrie i sub forma:

( )dt

pdvm

dt

dF

rrr

== , (2.23)

unde prin:(2.24)vmp rr =

se definete impulsul corpului. Dac relaia (2.22) exprim proporionalitatea

forei cu acceleraia, relaia (2.23) ne arat c derivata impulsului n raport cu

timpul este egal cu rezultanta forelor exterioare care acioneaz asupra corpului.


10/31


Aceste afirmaii reprezint enunuri alternative ale principiului fundamental aldinamicii.

2.2.3. Principiul aciunii i reaciunii

n formularea lui Newton, principiul actiunii i reaciunii are urmtorulenun: aciunile reciproce a dou corpuri sunt ntotdeauna egale i dirijate n

sensuri contrare. Dac notm cu 12Fr

fora cu care corpul 1, aflat n interaciune

cu corpul , acioneaz asupra acestuia i cu2 21Fr

fora cu care corpul 2 reacioneaz, acionnd asupra corpului 1 (Fig. 2.6), conform enunului, avem:

12Fr

21Fr

= . (2.25)

Fig. 2.6

2.2.4. Principiul suprapunerii

Conform principiului suprapunerii, dac asupra unui corp de mas

acioneaz simultan forele

m

n321 F,...,F,F,Frrrr

aciunea lor este aceeai cu aciunea

rezultantei Fr

, calculat ca suma vectorial a acestora:

. (2.26)=

=n

1i

iFFrr

n baza acestui principiu rezult ca fiecare for iFr

acioneaz independent,

prezena celorlalte fore neperturbnd efectul aciunii ei. Deci, fiecare for iFr

va

produce o acceleraie ia , ir

i amFrr

= , astfel c sumnd avem:

amamFF iirrrr

=== .

unde ar

este acceleraia produs de fora rezultantFr

.


11/31


2.2.5. Principiul relativitii galileene

S considerm dou sisteme de referin ineriale (Fig. 2.7), aa cum au fost

definite n baza principiului ineriei. Sistemul se deplaseaz cu vitez constant'S

ur

fa de sistemul S . La momentul iniial 0t0 = vectorul 0Rr

determin poziia

originii a sistemului 'S fa de sistemul S . Un punct material de mas

aflat n micare este identificat la un moment dat fa de sistemul de referinprin vectorul de poziie , iar fa de sistemul prin vectorul de poziie

(Fig. 2.7).

'O m

'S

( )trr

( 't'rr

) S

Fig. 2.7

Legtura dintre coordonatele punctului material n sistemul icoordonatele sale n sistemul S se exprim prin relaiile:

'S

.Rr'r

t'trrr

=

=(2.27)

Prima relaie este scris presupunndu-se c timpul are un caracter absolut, fiindindependent de spaiu i de sistemul de referin, iar a doua rezult din figura 2.7.

Aceste relaii sunt echivalente cu urmtoarele patru relaii scalare:

t't

ztuz'z

ytuy'y

xtux'x

0z

0y

0x

=

=

=

=

(2.28)

unde sunt componentele vitezei uzyx u,u,ur

n sistemul S .


12/31


Relaiile (2.27), sau forma echivalent (2.28), constituie grupul detransformri Galilei.

Acesta are proprietatea remarcabil de a lsa invariant legea fundamental

a dinamicii. ntr-adevr, dac derivm de dou ori relaia (2.27), deoarece ,obinem

0R =&&r

a'arr

=

( )

i deoarece interacia dintre corpuri este independent de sistemulde referin arbitrar ales la care raportm micarea acestora:

( )t,z,y,xF'y,'x'F t,'z,rr

= , rezult c legea fundamental a dinamicii nu seschimb la trecerea dintr-un referenial inerial la altul. Acest rezultat estecunoscut drept principiul relativitii galileene, sau principiul relativitiimecanice. Afirmaia fcut anterior, c toate sistemele ineriale sunt echivalente

ntre ele devine o formulare a principiului relativitii mecanice.2.2.6. Micarea punctului material ntr-un sistem de referin neinerial

Legea fundamental a mecanicii, sub forma amFrr

= , descrie micareapunctului material fa de un sistem de referin inerial.

Conform definiiei date, fora Fr

, descrie interacia dintre dou corpuri. nafar de aceasta se mai definete i o pseudofor numitfor de inerie, notattot cu simbolul F

ri avnd aceeai dimensiune.

S considerm un referenial inerial , considerat fix i un referenialneinerial avnd o micare accelerat fa de (Fig. 2.8).

S

'S S

Fig. 2.8

Poziia unui punct material de mas fa de sistemul neinerial estedat de vectorul de poziie:

m 'S

'z

'y

'x 1'z1'y1'x'r

rrrr++= . (2.29)


13/31


Dac rr

este vectorul de poziie al punctului material fa de sistemul inerial, iarS Rr este vectorul de poziie al originii ' a sistemulu 'S fa de originea

O a sistemului S , atunc O i

i:

R'rrrrr

+= . (2.30)

S considerm, pentru nceput, c micarea sistemului neinerial ' este omicare de translaie. Viteza punctului material fa de sistemul S este:

S

R'rrv&r&r&rr +== , (2.31)

sau V'vvrrr

+= , unde:

'z

'y

'x 1'z1'y1'x'v

r&

r&

r&

r++= (2.32)

este viteza punctului material fa de ' , iarS RV&rr

= , este viteza originii asistemului fa de originea O a sistemului .

'O

'S S

Acceleraia punctului material fa de sistemul se obine derivnd vitezan raport cu timpul

S

vr

(2.33)R'rva&&r&&r&rr +==

sau , undeA'aarrr

+= 'ar

este acceleraia punctului material fa de sistemul 'S , iar

RVA&&r&rr

== este acceleraia sistemului de referin neinerial fa desistemul S .

'S

Influena micrii de translaie a sistemului neinerial ' avnd acceleraiaS

Ar

fa de sistemul inerial asupra punctului material de mas rezult clardac considerm suma forelor de interacie ce se exercit asupra sa egal cu zero,

adic . n acest caz F

S

m=

m

0F =r

0a =rr

implic 0a =r

, iar din relaia (2.33) rezult

c:. (2.34)A'a

rr=

Corpul, considerat punct material, va avea fa de sistemul o acceleraie

datorat exclusiv micrii neineriale a acestuia (Fig. 2.9).

'S

A'arr

=


14/31


Fig. 2.9

Fora de interacie, caracteriznd exclusiv interacia corpurilor, esteindependent de sistemul de referin, fiind astfel zero i n sistemul . Pentru a

putea aplica legea fundamental a dinamicii i n sistemele neineriale, seconsider o pseudofor numit for de inerie dat, prin definiie, de produsuldintre masa corpului i acceleraia sistemului neinerial cu semn schimbat:

'S

AmFirr = . (2.38)

Astfel, adunnd la forele de interaciune i pseudofora iFr

putem aplicaprincipiul al doilea al dinamicii i n cazul sistemelor neineriale.

Ca o aplicaie, vom considera, n continuare, un sistem de referinneinerial ' aflat n raport cu sistemul inerial ntr-o micare de rotaiecaracterizat de vectorul vitez unghiular

S S.ct=

r(Fig. 2.10).

Fig. 2.10

Deoarece S i au originea comun, vectorii'S rr

i 'rr

sunt identici, adicstau n relaia 'rr

rr= :

'z

'y

'xzyx 1'z1'y1'x1z1y1x

rrrrrr++=++ . (2.36)

n acest caz viteza v a punctului material fa de sistemul S va fi:r

dt

'rd

dt

rdv

rrr

== .


15/31


La calculul derivatei 'r&r

folosind ecuaia (2.39) trebuie s avem n vedere ci versorii axelor sistemului 'S sunt variabili n timp, deci:

'z

'y

'x

'z

'y

'x 1'z1'y1'x1'z1'y1'x'r

&r&r&rr&

r&

r&&

r+++++= . (2.37)

Conform relaiei (2.32), primii trei termeni din membrul drept al ecuaiei(2.37) reprezint viteza ' a punctului material fa de sistemul mobil 'S :v

r

'z

'y

'x 1'z1'y1'x'v

r&

r&

r&

r++= . (2.38)

Acum, innd cont de relaia (2.21), putem scrie:

'y

'y

'x

'x 11,11

rr&rrr&r== i 'z

'z 11

rr&r= (2.39)

astfel c, ultimii trei termeni din (2.37) devin:

( ) ( ) ( ) 'r1'z1'y1'x 'z'y'xrrrrrrr

=++ . (2.40)

Introducnd notaia:

'rurrr

=

viteza corpului fa de sistemul S , va fi:

u'v'r'vvrrrrrr

+=+= . (2.41)

Dac, simultan cu micarea de rotaie este prezenti o micare de translaiea sistemului ' fa de S , atunci viteza corpului fa de sistemul fix va fi:S S

u'vvv 0rrrr

++= . (2.42)

Se obinuiete ca viteza vr

s se numeascvitez absolut, viteza ' vitezrelativ fiind notat cu

vr

rvr

, iar suma ( )'rv0rrr

+ , numitvitez de transport

este notat cu tvr

, astfel nct:

tr vvvrrr

+= . (2.43)


16/31


Acceleraia absolut a micrii se obine derivnd n raport cu timpul vitezaabsolut dat de relaia (2.42), adic:

u'vva 0&r&r&rr ++= . (2.44)

Calculm pentru nceput derivata n raport cu timpul a vitezei relative (2.38):'vr

'z

'y

'x

'z

'y

'x 1'z1'y1'x1'z1'y1'x'v

&r&

&r&

&r&

r&&

r&&

r&&&

r+++++= . (2.45)

Primii trei termeni reprezint derivata a doua a vectorului 'rr

fa de sistemul

, adic acceleraia'S 'ar

:

'z

'y

'x 1'z1'y1'x'a'r

r&&

r&&

r&&

r&&r ++== . (2.46)

Dac se au n vedere relaiile (2.39), atunci se poate scrie:

( )( )

( )'

z

'

z

'

zz

'y

'y

'yy

'x

'x

'xx

1v1'z1'z

1v1'y1'y

1v1'x1'x

rrrr&

&r&

rrrr&

&r&

rrrr&

&r&

==

==

==

astfel nct ultimii trei termeni ai relaiei (2.45) reprezint produsul vectorial'v

r . n final obinem:

'v'avrrr&r += . (2.47)

Ultimul termen din membrul drept al ecuaiei (2.44), u&r

, se obine derivndn raport cu timpul membrul stng al ecuaiei (2.40), care reprezint o formanterioar a lui u

r:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

.'r1'z1'y1'x

1'z1'y1'x1'z1'y1'xdt

du

'z

'y

'x

'z

'y

'x

'z

'y

'x

r&r&

rr&r&rr

rr&

r&

rr&

rrrrr&r

+

+

+

+

+++=++=

Folosind acest rezultat i innd cont de relaiile (2.39), avem:


17/31


( ) ( )( ) ( ) .'r'r'v'r1'z1'y1'x'vu

'z

'

y

'

xr

&rrrrrrr&r

rrr

rrrrrrrr&r

++=+++++= (2.48)

Astfel, acceleraia absolut ar

, dat de relaia (2.44), n care se nlocuiesc i'v&r

u&r

cu expresiile lor date de (2.50) i respectiv (2.51), devine:

( ) '.r'v2'r'aaa 0r

&rrrrrrrrr

++++= (2.49)

Dac vectorul vitez unghiular r

nu variaz n timp, atunci din relaia

(2.49) dispare termenul , astfel nct acceleraia absolut va fi:'rr

&r

( ) '.v2'r'aaa 0

rrrrrrrr+++= (2.50)

Semnificaia termenilor care apar n expresia lui ar

este urmtoarea: 0ar

este

acceleraia originii sistemului mobil, 'ar

reprezint acceleraia relativ a punctuluimaterial fa de sistemul mobil, iar 'r

rrr este acceleraia centripet ca

r,

care dac se dezvolt dublul produs vectorial, devine:

=rr 2

ca , (2.51)

unde r

este vectorul raz de rotaie (Fig. 2.11).

Termenul 'rr

&r

0Ca

este o acceleraie tangenial undereprezint acceleraia unghiular, iar termenul

&r

'v2rrr

=

'v

reprezint acceleraia Coriollis, care este

tot timpul perpendicular pe axa de rotaie i pe vitezarelativ

r.

Fig. 2.11

Suma ( )0 a'r'rar

trrrrr&r =++ se numete

acceleraie de transport. Observm c aceasta este o

acceleraie la care se reduce acceleraia absolut n lipsaacceleraiei relative.

n baza relaiei (2.35), fora de inerie actionnd asupra punctului material nsistemul este prin definiie:'S

(2.52)'Si amFrr

=unde


18/31


( ) '.v2'r'raa 0'Srrrrrr&r

rr

+++= (2.53)

Atunci, fora total, ca sum dintre fora de interaciune i pseudofora, iFr

, va fi:

'Si amFFF'Frrrrr

=+= . (2.54)

Cum i'Si amF,amFrrrr

== 'Saa'arrr

= , avem:

. (2.55)'am'Frr

=

2.3. Teoreme de conservare

2.3.1. Conservarea impulsului

Am definit vectorul impuls ca produsul dintre masa corpului i vectorulvitez: . Legea fundamental a mecanicii, scris cu ajutorul impulsului p

r,

este:vmprr

=

dt

pdF

rr

= .

Dac suma forelor care acioneaz asupra punctului material de impuls p

este zero, , atunci:

r

0F =r

0dt

pd=

r

(2.56)

de unde rezult:

( ) ( ) .consttptp 0 ==rr

(2.57)

Ultimele dou relaii, echivalente, exprim conser-varea impulsului

mecanic, respectiv: impulsul unui punct material izolat de exterior ( )0F =r

sepstreaz constant n timp n raport cu un sistem de referin inerial.

2.3.2. Conservarea momentului cinetic

Prin definiie, momentul unei fore Fr

n raport cu un punct O esteprodusul vectorial:

FrMrrr

= , (2.58)


19/31


unde rr

este vectorul de poziie al unui punct arbitrar al suportului forei fa depunctul O .

Momentul cinetic al unui corp, considerat punct material, este momentulimpulsului acestuia:

prLrrr

= . (2.59)

Derivnd ultima relaie n raport cu timpul i observnd c 0rmr = &r&r obinem:

MFrprpr

dt

Ld rrrr&r&rrr

==+= . (2.60)

Deci, viteza de variaie a momentului cinetic al unui corp este dat demomentul forei care acioneaz asupra sa. Acest rezultat este cunoscut cateorema de variaie a momentului cinetic.

n cazul n care atunci0F =r

0M =r

, i avem:

0dt

Ld=

r

sau ( ) ( ) .consttLtL 0 ==rr

(2.61)

Relaia (2.61) exprimlegea conservrii momentului cinetic care ne aratc vectorul moment cinetic al unui corp izolat se pstreaz constant n timp.

2.3.3. Conservarea energiei mecanice

S considerm un punct material aflat n micare sub aciunea unei fore Fr

.Fie rd

ro deplasare elementar a punctului material. Prin definiie:

rdFdLrr

= (2.62)

este lucrul mecanic elementar al forei F

r

corespunztor deplasrii rd

r

acorpului. Fora F

rpoate s depind explicit de v,r

rri , forma diferenial

ne fiind, n general, o diferenial total exact:t r

rdF

r

ddL

i de aceea lucrul mecanic elementar se scrie, n general, cu o bar deasupra

simbolului , adicdL dL .


20/31


Sunt cazuri n care forma diferenial rdF

rr

se poate scrie ca o diferenialtotal exact:

. (2.63)dUrdFdL ==rr

unde mrimea U este o funcie scalar numitenergie potenial.

n acest caz, se spune c fora Fr

deriv dintr-un potenial i pentru a vedeace nseamn aceasta s scriem difereniala funciei U :

dz

z

Udy

y

Udx

x

UdU

+

+

= .

Folosind operatorul gradient:

zyx 1z

1y

1x

rrr

+

+

= . (2.64)

dU poate fi, conform celor discutate n capitolul 1, scris sub forma:

rdUdUr

= . (2.65)

Comparnd cele dou expresii ale lui (2.63) i (2.65), rezult c:dU

. (2.66)UF =r

Astfel, forele care satisfac relaia (2.66), sunt fore ce deriv dintr-un

potenial. Dup cum vom vedea ele se mai numesc i fore conservative.

S considerm o astfel de for i innd cont cdt

vdmF

rr

= i dtvrdrr

= ,

lucrul mecanic elementar se scrie:

vdvmrdFdL rrrr == . (2.67)

Deoarece lucrul mecanic nu depinde de drum integrarea ultimei relaii ntredou momente de timp i , conduce la:1t 2t


21/31


2

1

2

1

t

t

2

t

t

122

mvrdFL == rr . (2.68)

Astfel, lucrul mecanic al forei Fr

este egal cu variaia mrimii2

mv 2,

mrime care este o caracteristic a corpului i pe care o vom numi energiecinetic, :cE

2

mvE

2

c = . (2.69)

Pe de alt parte, innd cont c fora Fr

deriv dintr-un potenial obinem:2

1

2

1

t

t

2t

t2

mvdU =

sau( ) 2c1c12 EEUU = .

Astfel:.constEUEU 2c21c1 =+=+ (2.70)

Relaia (2.70) exprimteorema de conservare a energiei mecanice a unui

corp. Conform acesteia, energia mecanic a unui corp care se mic ntr-un cmpde fore care deriv dintr-un potenial se pstreaz constant n timp dac corpul

nu este supus i altor interacii. n consecin, forele care deriv dintr-un potenial

sunt numite fore conservative.

2.4. Sisteme de puncte materiale

2.4.1. Centrul de mas

S considerm un sistem de punctemateriale, de mase i vectori de poziie

r,

cuim ir

n,...,2,1i = (Fig. 2.12).Dac sistemul este plasat ntr-un cmp de

fore de acceleraie constant ar

, atunci asuprafiecrui punct material actioneaz o for

amF iirr

= , iar momentul forei fat de origine este:

Fig. 2.12


22/31


amrFrM iiiii

rrrrr

== . (2.71)

Momentul total al forelor care actioneaz asupra sistemului de punctemateriale este:

== amrMM iii rrrr

. (2.72)

Momentul total poate fi scris i ca momentul forei rezultante careacioneaz asupra sistemului aplicat ntr-un punct, numit centru de mas, devector de poziie CMr

ra crei expresie poate fi obinut astfel:

== amFF iirrr

i

( ) ( ) FramramramrM CMiCMiiiirrrrrrrrr

==== unde s-a notat:

=

i

iiCM

m

mrr

rr

. (2.73)

Atunci, impulsul sistemului de puncte materialep

r

va fi:

( ) .vmdt

rdm

dt

m

rmd

mrmdt

d

dt

rdmpP CM

CMi

ii

iiii

iir

r

r

rr

rr==

====

(2.74)

Observm c sistemul de puncte materiale se comport ca i cum ntreaga

mas a sistemului , este concentrat n centrul de mas.= imm2.4.2. Micarea centrului de mas

Considernd forele interne jiij FFrr

= ce acioneaz ntre particulele i i

se observ c rezultanta acestora este ntotdeauna zero,

j

0FF

0j,i

ijint ==

rr. Fora

intern ce acioneaz asupra punctului material este:i


23/31


dtPdFF i

ij

jiiint,

rrr

== .

Variaia impulsului total al sistemului produs de forele interne va fi decintotdeauna nul:

===i i ij

jii 0F

dt

Pd

dt

Pd rrr

. (2.75)

Astfel, impulsul total, adic impulsul centrului de mas se conserv attatimp ct nu sunt prezente dect forele interne. Viteza centrului de mas CMvr

este

constant n acest caz.S considerm n continuare sistemul de puncte materiale plasat ntr-un

cmp extern de fore. Asupra fiecrui punct material actioneaz i,extFr

care

conform legii a doua a dinamicii, va determina variaia impulsului acestuia:

dt

pdF ii,ext

rr

= .

Atunci, pentru ntregul sistem de puncte materiale fora rezultant este:ext

Fr

( ) ( ,vmdt

d

dt

Pdp

dt

d

dt

pdFF CMi

ii,extext

r)

rr

rrr

===== (2.76)

Se observ c aciunea unui cmp de fore extern de acceleraie constant asupraunui sistem de puncte materiale se traduce prin aciunea rezultantei forelorexterne asupra ntregii mase a sistemului plasat n centrul de mas. Dac

, atunci0Fext =r

.constP =r

2.4.3. Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale

Momentul cinetic al unui punct material avnd impulsul pr

este, dup cumtim, dat de:

prrr

lr

= .De asemenea, se tie c sub aciunea unei fore, variaia momentului cinetic

este dat de momentul forei:lr


24/31


MFrdtdrrrl

r

== .

Pentru a putea vedea cum variaz n timp momentul cinetic al sistemului depuncte materiale s observm mai nti c pentru fiecare pereche de particule i i

, forele de interacie interne sunt egale i de sens contrar:j

jiij FFrr

= . (2.77)

Aceasta face ca momentul forelor s se anuleaze pentru fiecare pereche de 2particule (Fig. 2.13):

( ) .0FrrFrFrMMM ijjiijjjiijintiintj,iint ==+=+=rrrrrrrrrr

(2.78)

Fig. 2.13

Astfel, n absena forelor externe, momentul cinetic total al unui sistem depuncte materiale, dat de:

= iL lrr

se conserv:

.constL0dt

Ld==

rr

(2.79)

Dac ns sistemul de puncte materiale se afl sub actiunea unui cmp

extern de fore, atunci momentul forei i,extFr

va fi:

i,extii,ext FrMrrr

= (2.80)

iar momentul total al forelor externe este dat de:


25/31


=i,extext MM

rr

. (2.81)

Atunci, derivata total n raport cu timpul a momentului cinetic al sistemuluide puncte materiale plasat n cmpul extern de fore va fi:

( ) exti,extii MMdt

d

dt

d

dt

Ld rrlr

lr

r

==== . (2.82)n acest caz, dac , momentul cinetic total al sistemului de puncte

materiale se conserv.

0Mext =r

2.4.4. Energia unui sistem de puncte materiale. Conservarea energiei

Energia mecanic a unui sistem de puncte materiale se compune din energiacinetici energia potenial a tuturor punctelor materiale care alctuiesc sistemul.

Pentru a vedea care este energia cinetic a sistemului, s observm c vitezafiecrui punct material fa de un sistem de referin oarecare se poate scrie casuma dintre CMv

r i viteza punctului material n sistemul centrului de mas,

notat cu iint,vr

:

iint,CMi vvvrrr

+= . (2.83)

Atunci, energia cinetic a sistemului de puncte materiale este:

( )

.pvEvm21

vmvvm2

1vm

2

1

vv2vvm2

1

vm2

1E

iint,CMint,c2CM

2iint,iCM

2iint,i

2CM

iint,CM2

iint,2CMi

2iic

++=

=++=

=++=

==

rrr

rrrr

rrrr

r

(2.84)

Cum ultimul termen din (2.84) este nul ( 0p iint, = r , energia cinetic asistemului de puncte materiale are n final, expresia:

int,c2CMc

Evm2

1E +=

r. (2.85)


26/31


Energia potenial a sistemului de puncte materiale se compune din doitermeni, unul dat de energia potenial datorat forelor interne conservative iarcellalt cmpului de fore externe conservative n care este plasat sistemul.

Astfel, primul termen de energie potenial este suma energiilor

poteniale datorate interaciilor dintre perechile de puncte materiale ( :int,pE

)j,i

. (2.86)

=ij,i

ij,pint,p EE

Atunci cnd asupra sistemului nu acioneaz nici un fel de fore externe (nuse efectueaz lucru mecanic extern), energia proprie a sistemului de particule ,

dat de suma:

E

int,pint,c2CM

EEvm2

1E ++=

r, (2.87)

se conserv:

.constE = (2.88)

n sistemul centrului de mas, energia sistemului de puncte materiale estechiarenergia intern a acestuia, :intE

. (2.89)intint,pint,c EEE =+

Dac sistemul de puncte materiale este sub aciunea unui cmp extern defore conservative, atunci sistemul are i o energie potenial extern pe

care i-o confer cmpul extern astfel c energia total a sistemului de punctemateriale este dat de:

ext,pE

ext,pext,pint,pint,c2CMtot

EEEEEvm2

1E +=+++=

r. (2.90)

ntre dou momente de timp i ale micrii sistemului, lucrul mecanical forelor conservative externe determin variaia energiei cinetice a sistemului

precum i variaia, cu semn schimbat, a energiei poteniale externe a acestuia:

1t 2t

2ext,p1ext,p1c2c EEEE = 1ext,p1c2ext,p2c EEEE +=+ (2.91)


27/31


innd cont c n cazul sistemului de puncte materiale energia potenialintern nu este modificat sub aciunea forelor conservative externe, se

poate scrie c:int,pE

.constEEEE int,pext,pctot =++= (2.92)

Astfel, sub aciunea forelor conservative energia total a sistemului de punctemateriale se conserv.

2.5. Dinamica solidului rigid

Un solid rigid este caracterizat de faptul c distanele dintre punctele salemateriale, sau dintre elementele sale de mas infinitezimale nu se modific ntimp. Forele externe care actioneaz asupra unui solid rigid determin micri detranslaie sau de rotaie ale acestuia fr s se nregistreze deplasri relative aleelementelor corpului. Un solid rigid este deci un corp nedeformabil care secomport ca un tot pe parcursul micrii. Numrul maxim al gradelor de libertatede micare pentru un solid rigid este 6, adic 3 grade de libertate de translaie i 3grade de libertate de rotaie.

dm

La o micare de translaie, toate punctele materiale ale unui rigid au, la unacelai moment de timp, aceeai vitez v

r i aceeai acceleraie a

rastfel c

traiectoriile urmate sunt paralele (Fig. 2.14).

Fig. 2.14

Aceasta face ca, n cazul translaiilor, micarea unui solid rigid s se reduc

la micarea centrului de mas.Dat fiind c un corp solid are o structur material continu, vectorul de

poziie al centrului de mas CMrr

se obine, pornind de la relaia (2.73) care

reprezint expresia CMrr

pentru un sistem de puncte materiale, la limita ,

ceea ce face ca sumele s treac n integrale, rezultnd:

0mi


28/31


=

dm

dmrrCM

r

r. (2.93)

Dac se folosete densitatea masic ( )rr

, dat de ( )dV

dmr =r

, relaia se mai scrie:

( )= dVrrm1

rCMrrr

. (2.94)

nainte de a obine expresiile mrimilor

dinamice caracteristice unui solid rigid, trebuieremarcat c n ceea ce privete micarea de rotaie,datorit masei distribuite a corpului, unelecaracteristici cinematice i dinamice ale micrii inexclusiv de natura rotatorie a micrii.

Astfel, considernd un solid rigid care serotete cu viteza

r

v

n jurul unei axe fixe (Fig. 2.15),observm c punctele acestuia descriu traiectoriicirculare cu viteze diferite, dup cum cercul

descris este de raz

(rrr)

rr

mai mic sau mai mare:

( ) rrv rrrr = . (2.95) Fig. 2.15

Ca i n cazul micrii de translaie, corpul manifest o inerie fa demicarea de rotaie care este msurat de momentul de inerie al corpului.Pentru a vedea care este expresia acestuia, s scriem mai nti energia cinetic derotaie a unui element de mas al unui corp solid care se rotete cu vitezaunghiular n jurul unei axe fixe (Fig. 2.15):

J

dmr

( ) dmr2

1dmrv

2

1dE 222rot,c ==

rr. (2.96)

Energia cinetic de rotaie a ntregului corp va fi deci:

= dmr21E 22rot,c . (2.97)

Prin definiie, momentul de inerie J al unui corp solid este dat de:

. (2.98)= dmrJ 2Se observ c este independent de viteza unghiularJ

r, depinznd doar

de distribuia masei corpului fa de axa de rotaie.


29/31


Dac rotaia are loc n jurul axei Oz , care trece prin centrul de mas alcorpului, atunci momentul de inerie J este dat de:

( ) +== dmyxdmrJ 222CM (2.99)unde coordonatele i fiind msurate n sistemul centrului de mas, esteindexat cu iniialele .

x y J

CM

Fig. 2.16

Dac axa de rotaie, notat cu A , nu trece prin centrul de mas ci se afl lao distan fa de centrul de mas, fiind paralel la Oz (Fig. 2.16), momentulde inerie fa de axa de rotaie

aA se calculeaz astfel:

( ) ( )maJ

ydma2dmadmyxdmayxJ

2CM

22222A

+=

=+++=++= (2.100)

unde s-a inut cont c deoarece 0yCM = , 0myydm CM == . Acest rezultatconstituie teorema lui Steiner.

Pornind de la definiia (2.98), pentru energia cinetic de rotaiei a unui corpde moment de inerie :J

2

rot,c J2

1

E = . (2.101)i innd cont de cele discutate la un sistem de puncte materiale, energia cinetic aunui corp solid rigid fa de un sistem de referin oarecare se compune dinenergia cinetic de translaie a centrului de masi energia cinetic de rotaie:

2CM

2CMc

J2

1mv

2

1E += . (2.102)


30/31


Dac solidul rigid se mic ntr-un cmp extern de fore conservative, atuncienergia sa total , se conserv:pc EEE +=

.constEJ2

1mv

2

1E p

2CM

2CM

=++= (2.103)

O alt mrime dinamic important este momentul cineticLr

. Pornind de ladefiniia momentului cinetic al unui punct material de impuls vmp

rr= , s scriem

mai nti momentul cinetic al unei mase elementare :dm

( )dmvrLdrrr

= . (2.104)

Dac rr

este distana elementului de mas pn la axa de rotaiei se ine cont c

dm ( )rrr

rvrrr

= , atunci momentul cinetic al elementelui de maspe direcia lui este:

dmr

dmrLd 2=rr

, (2.105)

Pentru o micare de rotaie a corpului caracterizat de .const=r

, prin integrare a

expresiei (2.105), momentul cinetic al ntregului corp pe direcia lui , va fi:r

Lr

== rrr

JdmrL 2 . (2.106)

Trebuie menionat c legea de variaie a momentului cinetic

extMdt

Ld rr

= (2.107)

este valabili n cazul micrii de rotaie.Dac , atunci0Mext =

r

(2.108).constJL ==rr

Dac , atunci pentru0Mext r

.constJ = i axa de rotaie fix, obinem:

=

=r

rr

Jdt

dJdt

Ld

(2.109)

unde este acceleraia unghiular a corpului.r

n final, prezentm alaturat, mrimile i legile care descriu micarea de

translaie i micarea de rotaie pentru a putea observa corespondena dintre

acestea.


31/31


Translaie Rotaie Legea de legtur

spaiul sr

unghiul r

rsrrr

=

viteza vr

viteza unghiular r

rvrrr

=

acceleraia ar

acceleraia unghiular r

vrarrrrr

+=

masa m momentul de inerie J = dm2

rJ

impulsul p r

momentul cinetic Lr

prLrrr

=

fora Fr

momentul forei Mr

FrMrrr

=

dt

pd

F

rr

= dt

Ld

M

rr

=

amdt

pd.ctm

rr

==

==r

r

Jdt

Ld.ctJ

2

2mv

tr,cE = 2

2J

rot,cE

=

2.6. Echilibrul corpurilor

Un corp, considerat punct material, se gsete n echilibru dac sumaforelor exterioare care se exercit asupra lui este nul:

. (2.110)0F =r

S admitem c fora Fr

este conservativ i c energia potenial nudepinde dect de , . Astfel, pentru cazul unidimensional, la echilibruavem:

U

x (UU = )x

0dx

dUF == . (2.111)

Deci, echilibrul se va stabili n punctele n care derivata funciei

se anuleaz: 0x ( )xU

0dx

dU

0x

= . (2.112)

Rezult, astfel, c punctul material va fi n echilibru att n strile n careenergia potenial este maxim ct i minim, dar trebuie s distingem ntremaximele i minimele energiei poteniale n funcie de semnul derivatei a doua.Fie k valoarea acesteia n :0x

Date post:	06-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	maria-mirabela-achirei
View:	220 times
Download:	0 times

2-0 Elemente de Mecanica Newton Ian A

Documents