ArnăutuVladimir

Metoda bisecției

Metoda bisectiei, numita uneori si metoda dihotomiei  sau a injumatatirii intervalelor, este cea mai simpla dintre metodele de rezolvare a ecuatiilor algebrice si transcendente. Se considera ca, printr-un procedeu oarecare, s-a reusit localizarea radacinii exacte  a ecuatiei f(x)=0 in intervalul [,]. In ipoteza in care functiaf(x) este continua, iar radacina  este singurul zerou al lui f(x) in [,], la extremitatile intervalului functia ia valori de semne contrare: f() * f()<0.

Metoda bisecției :

 Determinarea aproximatiei ' a radacinii exacte  cu o precizie  folosind metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (vezi si figura de mai sus): intervalul [,] se injumatateste prin punctul m=(+)/2 si se calculeaza produsul f(m) * f(). Daca f(m) * f() este pozitiv, radacina  se gaseste intre si m.In acest caz, se retine valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului (<-- m) si se reia procedeul. Daca f(m) * f() este negativ, radacina  se gaseste intre m si . De aceasta data, se modifica extremitatea stanga a intervalului (<-- m) si se reia procedeul. Aceasta schema se aplica in mod repetat pana cand lungimea intervalului [,] - modificat de la o iteratie la alta - scade sub valoarea limita 2*, adica - < 2*.

Daca, in acest moment, se considera ca radacina aproximativa '=(+)/2, acesta nu se indeparteaza de solutia exacta  cu mai mult de . Desigur, intr-un caz banal, este  posibil ca, in cursul injumatatirii intervalelor succesive [,], punctul m sa coincida cu radacina exacta . Aceasta situatie se recunoaste prin anularea produsului f(m) * f(), caz in care schema de calcul se intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina exacta '=m=.

Definirea functiei f(x), a intervalului de lucru [,], a preciziei si a numarului maxim de iteratii Nmax.

Procesul iterativ:Initializarea procesului iterativ: It <-- 0;Daca s-a atins precizia doritta (- < 2*) sau numarul maxim de

iteratii Nmax se incheie bucla iterativa si se trece la pasul 3.Se trece la o noua iteratie: It <-- It+1;Injumatatirea intervalului curent: m <-- (+)/2 ;Stabilirea noului interval de lucru:

Daca f(m) * f()<0, radacina se gaseste in [m , ]; se actualizeaza limita stanga: <-- m si se trece la pasul 2.vi;

Daca f(m) * f()>0, radacina se gaseste in [ , m]; se actualizeaza limita dreapta: <-- m si se trece la pasul 2.vi;

Daca f(m) * f()=0, radacina este m; se actualizeaza ambele limite: <-- m,<-- m si se trece la pasul 2.vi;

Se revine la pasul 2.ii;Calculul radacinii aproximative: x <-- (+)/2.

Ecuații neliniare - Metoda bisecției