GEOMETRIE PLANĂ

I. Unghiuri:

Se numeşte unghi figura geometrică formată din două semidrepte care au aceeaşi origine.

ascuţit ( ) drept

- 1 -

obtuz

alungit

I.1. Unghiuri congruente: două unghiuri cu măsurile egaleNotaţie: congruente

I.2. Unghiuri complementare: două unghiuri cu suma măsurilor lor egală cuUnghiuri suplementare: două unghiuri cu suma măsurilor lor egală cu

Observaţie: Două unghiuri care au acelaşi complement sau suplement sunt congruente.

I.3. Unghiuri opuse la vârf: două unghiuri care au acelaşi vârf şi laturile unuia sunt în prelungirea celuilalt. Ele sunt congruente.

- 2 -

Unghiurile formate în jurul unui punct au ca suma măsurilor lor

Unghiurile adiacente sunt două unghiuri proprii care au vârful comun, o latură comună, iar celelalte laturi sunt situate de o parte şi de alta a dreptei care conţine latura comună.

- 3 -

I.4. Definiţie: Bisectoarea unui unghi este semidreaptă cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul unghiului, astfel încât cele două unghiuri formate de ea cu laturile unghiului iniţial să fie congruente.

Propoziţii:

Două unghiuri opuse la vârf au bisectoarele în prelungire.

Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare.

- 4 -

Dacă bisectoarele a două unghiuri adiacente sunt perpendiculare, atunci unghiurile sunt suplementare.

I.5. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment, în mijlocul

segmentului.

Drepte perpendiculare sau ortogonale sunt două drepte congruente care prin intersecţia lor formează un unghi drept (rezultând patru unghiuri drepte).

- 5 -

Distanţa de la un punct la o dreaptă este perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă.

- este distanţa de la un punct A la o dreaptă A.

I.5. Drepte paralele

Definiţie: Două drepte distincte, a şi b, conţinute în acelaşi plan, care nu au nici un punct comun, se numesc drepte paralele. Deci dacă .

a) Axioma paralelelor sau axioma lui Euclid: printr-un punct dat, exterior unei drepte date, există o singură paralelă la dreapta dată.

b) Unghiurile formate de două drepte paralele cu o secantă (sau transversala).

- 6 -

Teoremă: Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sau respectiv perpendiculare sunt congruente, dacă şi numai dacă sunt ambele ascuţite sau ambele obtuze şi sunt suplementare dacă unul este ascuţit iar celălalt obtuz.

II. Triunghiul

Definiţie: Triunghiul este figura geometrică formată dintr-o reuniune a trei segmente determinate de trei puncte necolineare.

- 7 -

Elemente: 3 laturi: sau trei unghiuri .

Condiţii:

Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este

Clasificare:1.după laturi: a) echilateral – toate laturile congruente

b) isoscel – are două laturi congruentec) scalar – sau oarecare

2. după unghiuri a) ascuţitunghic – are toate unghiurile ascuţiteb) dreptunghic – are un unghi dreptc) obtuzunghic – are un unghi obtuz

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale, deci: sau

Semiperimetrul:

sau

II.1. Linii importante în triunghi

Mediana este segmentul care uneşte vârful unui unghi al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Notaţie:Medianele sunt concurente, iar punctul de intersecţie se numeşte centrul de greutate al triunghiului.

Proprietate: G se află la de vârf şi faţă de bază.

- 8 -

Bisectoarea interioară este bisectoarea unui unghi dintr-un triunghi. Cele trei bisectoare se intersectează într-un punct notat cu I, care este centrul cercului înscris în triunghi.Orice punct al bisectoarei este egal depărtat de laturile unghiului respectiv.

Înâlţimea este perpendiculara dusă din vârful unui unghi pe latura opusă; se notează cu h ( corespunzător cu latura pe care este dusă).

Punctul de intersecţie al înâlţimilor se numeşte ortocentru şi se notează cu H.

- 9 -

ascuţitunghic, H interior dreptunghic, H în vârful unghiului drept

obtuzunghic, H în exteriorul triunghiului.

Mediatoarea este perpendiculara construită pe latura unui triunghi, în mijlocul laturii.

Scriem că xy este mediatoarea corespunzătoare laturii (BC) astfel: şi

şi şi .

Mediatoarea şi bisectoarea sunt formate din puncte care au toate aceeaşi proprietate.

II.2. Proprietăţi în triunghi

- 10 -

: unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare nealăturate lui.

: Într-un triunghi, unghiul format de bisectoarea unui unghi cu latura opusă are ca măsură

semidistanţa măsuilor unghiurilor triunghiului alăturate acestei laturi plus

: Unghiul format de două bisectoare (interioare) într-un triunghi este egal cu + din

unghiul al treilea.

: Într-un triunghi lungimea unei mediane este mai mică decât semisuma lungimilor laturilor adiacente ei.

- 11 -

: Lungimea înălţimii unui triunghi este mai mică decât semisuma lungimilor laturilor care pornesc din acelaşi vârf.

: Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu baza şi are ca lungime din aceasta.

- 12 -

: Unind mijloacele laturilor unui triunghi se obţin patru triunghiuri congruente.

II.3. Congruenţa triunghiurilor oarecare:Definiţie: Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile (omoloage) congruente două câte două şi unghiurile corespunzătoare congruente.

Deci: dacă şi

Cazuri de congruenţă:

Cazul 1:

Cazul 2:

Cazul 3:

Congruenţa triunghiurilor dreptunghice:

: Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au catetele respectiv congruente.

: Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au câte o catetă şi câte un unghi ascuţit congruent.

: Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au ipotenuzele congruente şi câte unul dintre unghiurile ascuţite congruente.

: Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au ipotenuzele şi catetele respectiv congruente.

III. Patrulaterul

- 13 -

Definiţie: Patrulaterul este figura geometrică care îndeplineşte condiţiile:a) oricare trei puncte sunt necolineareb) oricare două din segmente nu au nici un punct interior comun

sau: figura geometrică formată din reuniunea a patru segmente determinate de patru puncte necolineare: din acelaşi plan, considerate în ordinea scrisă.

Clasificare: 1. Convex 1. Concav

Segmentul care uneşte două vârfuri se numeşte diagonala: şi sunt diagonale.

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este .

Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele.

Proprietăţi:

1. Laturile opuse sunt congruente:

2. Unghiurile opuse sunt congruente (egale): A=C, B=D3. Diagonalele se intersectează şi formează segmente congruente:

4. Unghiurile alăturate aceleiaşi laturi sunt suplementare:

Dreptunghiul este un paralelogram care are un unghi drept (toate unghiurile drepte).

- 14 -

Proprietăţi:1. Laturile opuse sunt congruente2. Unghiurile opuse sunt congruente3. Diagonalele se intersectează şi formează segmente congruente4. Unghiurile alăturate aceleiaşi laturi sunt suplementare5. Diagonalele sunt congruente6. Mediatoarele sunt axe de simetrie

Rombul este paralelogramul care are două laturi consecutive congruente (toate laturile sale sunt congruente).

Proprietăţi:Proprietăţile 1,2,3,4 sunt comune cu cele ale dreptunghiului.

5. Diagonalele sunt perpendiculare şi sunt bisectoarele unghiurilor lui.6. Diagonalele sunt axe de simetrie

- 15 -

Pătratul este un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente (toate laturile congruente)

Proprietăţi:Proprietăţile 1,2,3,4,5,6 sunt comune cu cele ale dreptunghiului.

7. Are diagonalele perpendiculare şi congruente: şi

8. Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor respective

Trapezul este un patrulater care are două laturi paralele şi celelalte două laturi neparalele.

Înălţimea este distanţa dintre cele două baze.

; înălţimea este comună celor două baze.

(trapez oarecare)

Linia mijlocie în trapez este segmentul care uneşte mijloacele laturilor neparalele.

- 16 -

trapezul cu laturile neparalele congruente se numeşte trapez isoscel

Proprietăţi:1. Unghiurile alăturate unei baze sunt congruente

2. Diagonalele sunt congruente:

3. Trapezul cu un unghi drept se numeşte trapez dreptunghic.

- 17 -