1. INTRODUCERE 1.1. Ce ar trebui să ne reamintim · unui sistem de forţe concurente la cel mai...

1. INTRODUCERE

1.1. Ce ar trebui să ne reamintim

Mecanica Teoretică poate fi împărţită după natura problemei ce se studiază

în trei părţi. Acestea coincid cu ordinea de apariţie şi de dezvoltare a Mecanicii:

• Statica are ca obiective: studiul condiţiilor de echivalenţă a sistemelor de forţe

şi respectiv, studiul stării de repaus a sistemelor de puncte materiale aflate sub

acţiunea sistemelor de forţe echivalente cu zero (în echilibru).

• Cinematica studiază mişcarea corpurilor fără să ţină seama de forţele care

acţionează asupra lor. Se mai spune că cinematica studiază de fapt geometria

mişcării.

• Dinamica se ocupă cu studiul mişcării corpurilor sub acţiunea forţelor.

Un lucru este cert: se lucrează cu vectori şi este indicat să recapitulăm

operaţiile cu aceştia (vezi anexa A).

În următoarele două capitole se vor studia metode pentru compunerea

forţelor care acţionează asupra unui punct material. Se pune problema de a înlocui

sistemul de forţe dat cu o forţă unică numită rezultantă, care să aibă acelaşi efect

cu efectul simultan al tuturor forţelor sistemului. Această operaţie de reducere a

unui sistem de forţe concurente la cel mai simplu sistem echivalent - rezultanta,

este cunoscută ca operaţie de compunere sau de sumare a forţelor. Două sisteme

de forţe concurente sunt echivalente dacă au aceeaşi rezultantă ca mărime şi

poziţie, în raport cu acelaşi sistem de referinţă.

Din cele arătate se înţelege că operaţiile cu vectori şi acele noţiuni de

matematică elementară din geometria plană şi trigonometrie trebuie să fie

cunoscute suficient de bine. Condiţia de a învinge dificultăţile de ordin matematic

(care sunt uneori inerente la început de drum) este obligatorie. Satisfacţiile gustate

de viitorul inginer se vor materializa încet dar sigur, chiar pe măsura parcurgerii

acestei cărţi, şi cu siguranţă la disciplinele următoare de studiu.

Simpo PDF Password Remover Unregistered Version - http://www.simpopdf.com

6 Complemente de Mecanică

1.2. Rezolvarea problemelor şi gradul de precizie

Aplicaţiile demonstrative cât şi cele propuse pentru rezolvare implică din

partea studentului parcurgerea următoarelor etape:

1) Citirea cu deosebită atenţie a enunţului problemei, înţelegerea semnificaţiei

fenomenului fizic şi scrierea clară a elementelor “date” şi a celor “cerute”.

2) Desenarea unor scheme sau diagrame extrem de utile rezolvării.

3) Rezolvarea numerică, calculele fiind efectuate cu atâtea zecimale câte sunt

necesare pentru interpretarea corectă a datelor de intrare.

4) Rezultatele se interpretează, verificându-se mai întâi dacă au sens, apoi

desenând sau stabilind orice concluzie care poate fi trasă de pe urma lor. Utile

pot fi şi particularizările care evidenţiază fenomene mai simple decât cele

studiate, acestea fiind mai uşor de imaginat.

Referitor la gradul de precizie din aplicaţiile numerice, se vor utiliza în

general trei cifre semnificative ca de exemplu: g = 9,81m/s2, π = 3,14, , √3=1,73 ,

sin(π/4) = √2/2 = 0,707 etc. În acest context, o masă de m=4 kg, de fapt se va scrie

în rezolvare cu valoarea 4,00 kg.

1.3. Cele patru cazuri de rezolvare a triunghiurilor

Pentru determinarea tuturor elementelor unui triunghi oarecare (laturi şi

unghiuri) trebuie să fie date trei elemente (din care cel puţin o latură) şi rămân de

aflat celelalte trei. Astfel există următoarele variante în ceea ce priveşte elementele

care se cunosc: o latură şi două unghiuri; două laturi şi un unghi opus uneia din

laturi sau format de acestea; trei laturi. Metodele de rezolvare pentru aceste cazuri

sunt prezentate în continuare.


Introducere 7

A) Se dau două unghiuri şi o latură. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi

este 180º, se află şi cel de-al treilea unghi. Laturile necunoscute se găsesc

aplicând teorema sinusurilor, de exemplu fiind date c, α, β, obţinem

γ = 180º–(α+β), γα

sinsinca = şi

γβ

sinsincb = . (1.1)

Exemplu: se cunosc c = 20cm, α =25º şi β =40º (fig. 1.1).

Se calculează:

1°°°°. γ = 180º– (25º+40º) = 115º

2°°°°. 15,136428,04226,020

40sin25sin20 ==

°°=a cm

3°°°°. 18,149063,06428,020

115sin40sin20 ==

°°=b cm

B) Se dau două laturi şi unghiul opus uneia dintre ele. Fie a, c şi γ elementele

cunoscute. Obţinem:

γβγαβγα

sinsin );(-180 ;sinsin cb

ca =+°== (1.2)

În mod evident, între elementele date trebuie să existe următoarea condiţie:

1sin ≤γca (1.3)

De aici se constată că sunt posibile următoarele trei cazuri:

B.1. a < c, unghiul dat fiind opus laturii mai mari. Atunci există un unghi α

mai mic dect γ, opus laturii mai mici care va fi ales dintre unghiurile α1 şi α2,

α1 + α2 = 180º. Soluţia unică va fi α1 < γ.

40º25º BA

C a

c=20

b

Fig. 1.1.



Exemplu: a = 5cm, c = 6cm, γ =45º. Etapele de rezolvare sunt următoarele:

1°°°° 58926.045sin65sinsin =°== γα

ca

"45'53143180;"15'0636

12

1

°=−°=°=

ααα

α2 este mai mare decât γ (vezi fig. 1.2).

2°°°°. ;"45'5398 );(180 °=+−°= βγαβ ;

3°°°°. cm38,8 ;45sin

"45'5398sin6sinsin =

°°== bcb

γβ .

B.2. a = c, triunghiul este isoscel, deci α = γ.

B.3. a > c, unghiul dat este opus laturii mai mici, iar segmentul a poate fi

atât de mare încât condiţia 1sin ≤α să nu fie verificată. Detaliem următoarele

subcazuri:

B.3.1. Nu există soluţie; nu se poate construi un triunghi cu elementele date.

Exemplu: se cunosc a = 2cm, c = 1cm, γ =45º.

.141,122245sin

12sin sin >=⋅=°== γα

ca Prin urmare nu există soluţii. Dacă

unghiul γ ar avea valori care să nu depăşească 30º, atunci problema ar avea soluţii.

B.3.2. sinα va fi egal cu 1, α va fi un unghi drept, deoarece α2 =180° – α1 =

=α1. Triunghiul fiind dreptunghic, problema are două soluţii confundate.

Exemplu: se cunosc b = 2cm, c = 1cm şi γ =30º

(fig. 1.3).

C

B

b=2

c=1 90º 30ºA

Fig. 1.3.

98º54’45º

BA

C

a=5

c=6

b=8,38

36º6’

α2= 143°54’

Fig. 1.2.


Introducere 9

B.3.3. Dacă sinα < 1, se obţin soluţiile α1 şi α2 = 180° – α1. Deoarece

sinα > sinγ, avem α1 > γ şi (180° – α1 )+γ < 180°, deci şi α2 verifică condiţiile.

Problema are două soluţii distincte.

Exemplu: a = 7cm c = 6cm γ =30º.

1°°°°. 58333.030sin67sinsin =°== γα

ca

'19144180;'4135

12

1

°=−°=°=

ααα

2°°°°. ;'19114 );(180 111 °=+−°= βγαβ ;

41'512 °=−= γαβ

3°°°°. cm94,10 ;30sin

'19114sin6sinsin

11

1 =°

°== bcbγβ

cm19,1 ;30sin

'415sin6sin

sin2

22 =

°°== bcb

γβ .

C) Se dau două laturi şi unghiul cuprins între ele. Se cunosc de exemplu b, c şi

α. rezolvarea se poate face pe două căi, aplicând teorema cosinusului sau teorema

tangentei: a2 = b2 +c2 –2bc cosα ⇒ αbccba cos 2 - 22 ⋅+= . Unghiul β poate fi

stabilit din teorema cosinusului, ca

bac2

cos222 −+=β sau din teorema sinusurilor

αβ sinsinab= . Se obţin două valori pentru unghiul β, dar numai una este

corespunzătoare din punct de vedere geometric. Din teorema tangentei şi din

relaţia 2

902

αγβ −°=+ obţinem , 2

tg2

tg γβγβ ++−=−

cbcb ; din

2γβ + şi

A2

a =7 C

A1

α1

30°°°°

c =6

B

α2

Fig. 1.4.



2γβ − se stabilesc β şi γ . A treia latură c se află din teorema sinusurilor,

αγ

sinsinac = .

Exemplu: a = 5km, c = 7,5km, β = 56°cm.

Rezolvarea se va face cu teorema tangentei: °=−°=+ 124180 βαγ ;

37615,02

tg2

tg =+⋅+−=− αγαγ

acac . Se obţine "49'3620

2°=−αγ , şi deci

"49'3682°=γ , "11'2341°=α . Proba: °=++ 180γβα .

km. 270,6sinsin ==

αβab

Verificare cu teorema cosinusului: 270,6cos222 =−+= βaccab km.

D) Se dau toate laturile triunghiului. Soluţia se află prin teorema cosinusului sau

prin formulele de exprimare ale unghiurilor în funcţie de de laturi:

bcacb

2cos

222 −+=α sau )(

))((2

tgass

csbs−

−−=α . Prin permutări circulare se obţin

şi valorile unghiurilor β şi γ . Observăm că soluţiile se pot găsi fie din combinaţiile

convenabile a şase numere a2, b2, c2, 2ab, 2bc, 2ca sau a patru numere s, s-a, s-b,

s-c. Verificarea rezultatelor se face cu ajutorul sumei unghiurilor unui triunghi.

Exemplu: a = 4cm, b = 5cm, c = 6cm.

a) Rezolvare cu teorema cosinusului:

a2 = 16 b2 = 25 c2 = 36 2ab = 40 2bc = 60 2ca = 48

b2 + c2– a2 = 45 cosα = 0,7500 ⇒ α = 41°24’35”

c2 + a2 – b2 = 27 cosβ = 0,5625 ⇒ β = 55°46’16”

a2 + b2 – c2= 5 cosγ = 0,1250 ⇒ γ = 82°49’09”

α+β +γ =180º00’00”


Introducere 11

b) Rezolvare cu formulele tangentei:

s = 7,50 s – a = 3,50 s – b = 2,50 s – c = 1,50

37796,02

tg =α α /2 = 20,7048 ⇒ α = 41°24’35”

52915,02

tg =β β /2 = 27,88557 ⇒ β = 55°46’16”

77778,02

tg =γ γ /2 =37,87498 ⇒ γ = 82°49’09”

1.4. Aplicaţii

1.1. Un fulger a fost văzut sub un unghi α de 60º faţă de terenulconsiderat orizontal şi a fost auzit tunetul la un interval de timp t = 4,5 secunde dela producere. Să se afle distanţa şi respectiv înălţimea la care s-a produs,cunoscând viteza de propagare a sunetului de v = 334m/s. Timpul de propagare aluminii se neglijează, viteza luminii fiind de 300.000 km/s.

REZOLVARE: Se notează cu d distanţa de la observator pânăla sursă şi cu h înălţimea cerută. Din figura 1.5 se stabilesc:d = vt = 334 ∙ 4,5 = 1503,0 m.h = d sinα = vt sinα = 1301,6 m.

1.2. Distanţa dintre axele a două roţi având razele r şi R = 1,5r (fig 1.6),este a= 4,5r. Să se calculeze lungimea unei curele de transmisie care antreneazăcele două roţi, presupunând că aceasta este perfect întinsă,.

REZOLVARE: Triunghiul ABC este dreptunghic în A. Se cunoaşte ipotenuza BC = a şicateta AB = R – r. Conform teoremei lui Pitagora, cateta AC se calculează: t2 = a2 – (R – r)2,

t = 4,472 r; cosα = (R – r)/a = 1/9 = 0,1111 ⇒⇒ α = 1,459 rad.

Cureaua este înfăşurată pe roata mică peun arc de lungime s = 2rα , iar pe roata mare pelungimea S = R(2π - 2α). Lungimea totală acurelei este L = 2t + s + S = 16,909 r.

Rαa

t

r

B C A

S s

Fig. 1.6.

d hα

Fig. 1.5.



1.3. Din două puncte A şi B se măsoară cu un teodolit unghiurile α = 30°şi β = 12° spre un reper C. Să se afle înălţimea h = CD la care se găseşte reperulfaţă de orizontală, cunoscând AB=100m.

REZOLVARE: Se aplică teorema sinusurilor, apoi se calculează h din triunghiuldreptunghic ADC (fig. 1.7):1°°°°. γ =β–α = 18°

2°°°°. m 803,16118sin30sin100

sinsin =

°°==

γαABBC

3°°°°. h = CD = BC sinβ = 161,803 sin 18° = 33,601 m.

1.4. Din două puncte Aşi B aflate pe o pantă de unghi β= 10° se măsoa-ră unghiurile α =35° şi γ = 40° spre un reper C(fig. 1.8). Să se afle înălţimea h lacare se găseşte reperul faţă deorizontala punctului A, ştiindlungimea AB=150m.

REZOLVARE: În triunghiul ABC se aplică teorema sinusurilor, apoi se calculează h:

1°°°°. ε = 180° – γ +β = 150°; 2°°°°.)sin(

sinαγ

ε−

= ABAC ;

3°°°°. m 579,493)sin(

sinsinsin =−

==αγαεα ABACh

1.5. În triunghiul oarecare ABC se cunosc: a = 2 m, β = 45° şi γ = 60°. Săse afle celelalte elemente ale triunghiului.Răspuns: 1°°°°) α= 75º 2°°°°) b= a sinβ/sin α = 1,464 m şi 3º) c = a sinγ/sin α =.1,793 m

1.6. Să se rezolve triunghiul oarecare ABC care are laturile a = 2 m,b = 3 m şi unghiul dintre acestea γ = 30°.Răspuns: Se construieşte mai întâi triunghiul. 1°°°°) c = 1,615 m, 2°°°°) sinα = 0,61926,α = 38º15’43”, 3º) sinβ =0,92889, β1= 68º15’43” (nu convine), β2= 111º44’17”.

1.7. Triunghiul isoscel ABC are laturile a= 6 m, b=c= 5 m. Să se afleunghiurile sale.Răspuns: 1°°°°) cosα = 0,28000, α=73º44’24” 2°°°°) cosβ = cosγ = 0,60000, β = γ =36º52’12”.

C

βDA

α

Fig. 1.7.B

γ

αβ

γγγγ

DB

C

h ε

Fig. 1. 8.

α

γA


2. METODA GEOMETRICĂ DE COMPUNEREA FORŢELOR

2.1. Regula paralelogramului

Problema compunerii a două forţe F1 şi F2 cunoscute, acţionând asupra

unui punct material M este rezolvată de regula paralelogramului forţelor

F F R1 2+ = (fig. 2.1. a). Notând cu α unghiul dintre F1 şi F2 , mărimea rezultantei

R se calculează aplicând teorema cosinusului în triunghiul MA1B:

R F F F F F F F F= + − − = + +12

22

1 2 12

22

1 22 2cos( ) cosπ α α (2.1)

Pentru afarea direcţiei rezultantei, deci a unghiurilor β şi γ , se aplică

teorema sinusurilor în acelaşi triunghi şi se obţine relaţia:

F F R1 2

sin sin sinγ β α= = (2.2)

Compunerea forţelor concurente este prima operaţie elementară de echivalenţă asistemelor de forţe.

OBSERVAŢIE:Rezultanta se poate obţine aplicând regula triunghiului forţelor,echivalentă cu regula paralelogramului. Pe baza acestei reguli seconstruieşte în extremitatea forţei F1 un vector F2 ' echipolent (paralel, deacelaşi sens şi egal) cu forţa F2 . Rezultanta R este vectorul care are

aceiaşi origine cu originea forţei F1 şi extremitatea, în extremitatea forţeiF2 (fig. 2.1. b).

B2

1FA1

B

M

2Fγ

A1

α

B

β

′2F

1F

αβ

2F

M

γ

b aFig. 2.1.

21 FFR +=21 FFR +=



Dacă punctul material M este acţionat de n forţe, se aplică succesiv regula

paralelogramului, de n-1 ori, compunând primele două forţe F1 şi F2 , apoi

rezultanta acestora R12 cu a treia forţă F3 , obţinând rezultanta R13 , şi aşa mai

departe:

RFFRFFRFFFFF nn

n

iin =+++=+++==++++ ∑

=!!! 413312

1321 (2.3)

În figura 2.2,a se exemplifică procedeul pentru 4 forţe. Aplicând succesiv

regula triunghiului, se ajunge la construcţia cunoscută sub numele de poligonul

forţelor, cu care se determină rezultanta. Laturile poligonului sunt reprezentate

de vectori echipolenţi cu forţele concurente, rezultanta unind originea primei

forţe cu extremitatea ultimului vector echipolent (fig. 2.2, b). Atunci când

metoda geometrică se aplică sub forma unei construcţii grafice, realizând

poligonul forţelor la scară, aceasta se numeşte metoda grafică a compunerii

forţelor concurente, metodă al cărui rezultat este aproximativ, depinzând de

precizia construcţiei grafice.

OBSERVAŢIE:Dacă poligonul forţelor este închis, adică extremitatea vectorului

echipolent cu ultima forţă din poligon coincide cu originea primei

forţe, atunci rezultanta este nulă şi sistemul de forţe concurente se

numeşte sistem echivalent cu zero.

3F

4F ′

3F ′

2F ′

4F

1F

4F3F

2F

M M

1F

RRR =14

13R2F

12R

bFig. 2.2.

a


Metoda geometrică de compunere a forţelor 15

2.2. Aplicaţii

2.1. Folosind metoda geometrică, să se arate că operaţia de compunerea forţelor concurente din figura 2.3 a este comutativă: 1221 FFFF +=+

REZOLVARE: Se aplică de două ori regula triunghiului, obţinându-se de fiecaredată ca rezultantă diagonala paralelogramului celor două forţe (fig. 2.3, b şi c).

2.2. Folosind metoda geometrică, să se arate că operaţia de compunerea forţelor concurente din figura 2.4 este asociativă

321321 )()( FFFFFF ++=++ .

REZOLVARE:Construind poligonul forţelor 1F , 2F şi 3F , se

stabileşte mai întâi suma )( 321 FFF ++ (fig. 2.5 a),

apoi suma 321 )( FFF ++ (fig. 2.5 b), rezultanta Rfiind latura 2MA a aceluiaşi contur poligonal

321 AAMA .

A1

BA2

ϕ

′2F

M

21 FFR +=M ϕ

2F

1FA1

'2Fϕ

BA2

M 1F21 FFR +=

′1F

b caFig. 2.3.

M

3F1F

2F

Fig. 2.4.

R=F

1 +(F

2+F 3

)

A2

A3

1F

2F ′

3F ′

A1

''32 FF +

M M1F

A3

2F ′

3F ′

A1R=(

F 1+F

2)+F 3

A2

'21 FF +

a bFig. 2.5.



2.3. Să se calculeze rezultanta a două forţe F1=200 N şi F2=180 N,ştiind că tangenta unghiului dintre ele este 4/3. Să se afle direcţia rezultantei prindouă metode: a) cu teorema sinusurilor; b) utilizând proiecţiile rezultantei peaxele de coordonate.

REZOLVARE:Figura 2.1, b corespunde enunţului problemei, forţele formând un triunghi MA1B. Se

calculează mai întâi cosinusul unghiului α, funcţie de valoarea tangentei, pentru a aplicarelaţia (2.1):

53

341

1tg11cos

22=

+

=+

=α

α

N 34115660,0182021820cos2 2221

22

21 ==⋅⋅⋅++=++= αFFFFR

a) Direcţia rezultantei este dată de unghiul β, care se stabileşte din teorema sinusurilor (2.2)scrisă pentru acelaşi triunghi MA1B.

4235.0531

3418sinsin

22 =

−== αβ

RF

°== 25)4235.0arcsin(β

b) A doua metodă identifică proiecţiile rezultantei X si Y, respectiv pe axele Ox si Oy, alesistemului xOy (fig. 2.6):

40,1480,018sin

80,3060,01820cos

2

21

=⋅=⋅=

=⋅+=⋅+=

α

α

FY

FFX

4675.080,3040,14tg ===

XYβ

°== 2575)arctg(0,46β

A1

B

1F

′2F

αβ

R

M

γ

y

Y

X

x

Fig. 2.6.



2.4. Să se calculeze mărimea rezultantei şi direcţia pe care o faceaceasta cu axa Ox, cunoscând forţele F1 şi F2 din figurile 2.7 şi 2.8 .

Răspuns: R= 24,9 N; -43,9º şi R= 36,1 N; 73,9º.

2.5. Cunoscând mărimile forţelor F1 = F3 = F2 /2 = 10 N (fig. 2.9, a), săse determine cea de-a patra forţă, astfel încât rezultanta lor să fie nulă.

REZOLVARE:Condiţia ca rezultanta să fie nulă (adică sistemul celor patru forţe concurente să fie

echivalent cu zero) este aceea ca poligonul lor să fie închis. Din construcţia acestui poligonse observă că forţa F4 este orizontală (fig. 2.9 b). Mărimea acesteia se calculează parcurgândurmătorul raţionament:

• forţele F1 şi F3 determină două laturi ale unui triunghi echilateral, rezultanta parţială fiindcea de-a treia latură (orizontală), deci R13 = 10 N;

• F2 este coliniară şi de acelaşi sens cu R13, şi atunci mărimea forţei F4 = F2 + R13 = 30 N.

y

O F1 = 30 N

x

F2 = 40 N

120º

Fig. 2.8.

30º

y

O

F1 = 8 N x

F2= 20 N

Fig. 2.7.

x

A1 A2

A5

y

A3

A4

60º1F

2F

3F

'2F'3F1F

'4F60º

120º

b aFig. 2.9.



2.6. Cunoscând mărimile forţelor F1 = 20 N, F2 = F3 = 34,64 N(fig. 2.10, a), să se determine forţa F4, astfel încât rezultanta lor să fie nulă.

REZOLVARE:Se reprezintă poligonul celor trei forţe date şi se închide cu cea de-a patra (fig. 2.10 b).

Forţele F2 şi F3 formează un triunghi isoscel A1A2A3 având baza A1A3 = 2F2cos30º=60 N.Mărimea forţei F4 este stabilită din triunghiul dreptunghic OBA3:

N

FFFBAOBF

11,721320

)30cos230sin()30cos( 221

21

23

24

==

=°+°+°=+=

Din acelaşi triunghi dreptunghic OBA3 se calculează

°=⇒=== 26,3 4949,07

32tg3

ααBA

OB

2.7. Să se calculeze mărimea rezultantei celor două forţe F1 şi F2 dinfigura 2.11. a,b,c, precum şi unghiul pe care aceasta îl face cu forţa F1, ştiind căforţele sunt reprezentate la scară: forţa reprezentată pe o latură a octogonuluimăsoară 10,00 N.

Răspuns: a) R= 53,05 N; 22,50º b) R= 32,00 N; 12,76º şi c) R= 26,13 N; 22,50º.

O 60º

30º

1F2F

3F60º

'2F '3F

1F30º

30º30º

'4F

α A3

O

B A1

A2

b aFig. 2.10.

2F90°

1F

2F 45°

1F

2F45°

1F

b cFig. 2.11.

a



2.3. Formă interactivă de studiu individual

Obiectiv: aplicarea regulii paralelogramului pentru diferite valori ale forţelor cuvariaţia unghiului dintre acestea.

Specific: prima forţă este considerată coliniară cu axa Ox. Mărimile forţelor potavea valori absolute între 1 şi 100, altfel programul anunţă eroarea. Unghiul αeste pozitiv în sens antiorar.

Exerciţiu: se introduc datele din problema 2.4 (fig. 2.8.) şi se verifică rezultatulobţinut ( vezi figura 2.12). Pentru claritatea prezentării desenului, se selecteazăîn fereastra “Scară desen”, dimensiunea “Mediu”. Trecerea la altă aplicaţie seface actionând butonul “Alt exerciţiu”. Se introduc noile date pentru forţe şiunghi. Alte două exemple sunt prezentate în figurile 2.13 şi 2.14.

Observaţie: schema forţelor este reprezentată mereu la scară, existând şiposibilitatea amplificării desenului. Opţiunile posibile: normal, mediu, mare,super (vezi figura 2.14).

Fig. 2.12



Fig. 2.13

Fig.2.14


3. METODA ANALITICĂ DE COMPUNERE A FORŢELOR

3.1. Proiecţiile şi componentele unei forţe

Forţa este o mărime vectorială sau, pe scurt, un vector. Un vector se

caracterizează complet prin mărime, direcţie, sens şi punct de aplicaţie.Vectorul

având mărimea egală cu unitatea, se numeşte versor. Versorii axelor Ox şi Oy se

notează cu i şi j . Prin definiţie, se numeşte proiecţia unei forţe pe o axă produsul

scalar dintre forţă şi versorul axei respective. Spre exemplu, proiecţia forţei F , pe

axa Ox este X şi se calculează:

X F i F= ⋅ = cosα (3.1)

în care s-a notat cu F intensitatea (modulul sau mărimea) forţei şi cu α unghiul

format de o direcţie paralelă cu axa Ox şi direcţia forţei (fig.3.1).

Proiecţia unei forţe pe o axă este o mărime algebrică scalară al cărui semn

se determină după orientarea vectorului faţă de axă. În figura 3.1, a, b, c, proiecţia

X este pozitivă, nulă şi respectiv negativă.

Componenta unei forţe după o axă este mărimea vectorială egală cu

produsul dintre proiecţia forţei pe axă şi versorul axei i (fig.3.2) :

X X i F i= = cosα (3.2)

α=π/2 Yαβ

y

Y

X = 0

y

x

y

xx

Y

X < 0X= αcos⋅F

X > 0

F FF

M M M

a b cFig. 3.1.



Utilizând proiecţiile forţei pe axe, expresia analitică a vectorului forţei este:F X i Y j= ⋅ + ⋅ (3.3)

iar modulul forţei are expresia:F X Y= +2 2 (3.4)

Direcţia forţei faţă de axele sistemului de referinţă este dată de unghiurile α şi β ,

care se calculează din relaţia de definiţie a proiecţiei unei forţe pe o axă:

cos ;α β α= XF

YF

cos = sin = (3.5)

denumite cosinusuri directoare între care există relaţia evidentă:

1coscos 22 =+ βα (3.6)

3.2. Aplicaţie

3.1. Presupunând că forţa F = 100N are pe rând direcţia acului orar alunui ceas care arată orele: douăsprezece, două, patru, şapte şi zece, să sedescompună această forţă în componente (după direcţia orizontală şi verticală) şisă se scrie expresia forţei sub formă analitică.

REZOLVARE: Direcţia forţei F1 este verticală şi are sensul pozitiv al axei Oy(fig 3.3, a): F Y j1 1 100= =

Yx

y1F

O

y

x

4F60ºX4

Y

Ox

y2F

Y2

X2O

30º

y

xX5

Y5F30º

O30º

3F

y

xX3O

b c d e

Fig. 3.3.

a

αβ

y

x

F

Y=Y∙j

X=X∙iFig. 3.2.


Metoda analitică de compunere a forţelor 23

Forţa F2 formează un unghi de 30° cu axa orizontală Ox (ceasul arată orele două) şi sedescompune în două componente (fig. 3.3, b):

jijijYiXYXF 506.86)30sin100()30cos100(22222 +=°+°=⋅+⋅=+= .

Forţa F3 (ceasul arată orele patru) se descompune (fig. 3.3, c) :F X Y X i Y j i j i j3 3 3 3 3 100 30 100 30 86 6 50= + = ⋅ + ⋅ = ° − ° = −( cos ) ( sin ) . .

Componentele forţei F4 au sensurile opuse sensului pozitiv axelor Ox şi respectiv Oy,deci proiecţiile acesteia pe axe sunt negative (fig. 3.3, d):

F X Y i j i j4 4 4 100 60 100 60 50 86 6= + = − ° − ° = − −( cos ) ( sin ) . .

Forţa F5 (ceasul arată orele zece) are proiecţia negativă pe axa Ox şi pozitivă pe axa Oy(fig. 3.3, e) :

F X Y i j i j5 5 5 100 30 100 30 86 6 50= + = − ° + ° = − +( cos ) ( sin ) . .

3.3. Metoda analitică de compunere a forţelor

Se consideră un sistem de forţe concurente coplanare F F Fn1 2, , , ,! acţionând

în punctul M şi rezultanta R , stabilită cu relaţia (1.3). Scriind forţele sub formă

analitică (3.3) şi făcând suma, se obţine:

F X i Y jF X i Y j

F X i Y j

R F i X j Y

n n n

h h hi

n

h

n

h

n

1 1 1

2 2 2

111

= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅===∑∑∑

" " " "

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(3.7)

Deoarece expresia analitică a rezultantei este:

R X i Y j= ⋅ + ⋅ (3.8)

atunci, din relaţiile (3.7) şi (3.8) se obţin proiecţiile forţei rezultante:

X X hh

n

==

∑1

şi Y Yhh

n

==

∑1

(3.9)

precum mărimea şi direcţia ei (cosinusurile directoare):R X Y= +2 2 ; cos ; cos .α βR R

XR

YR

= = (3.10)



Relaţiile (3.9) exprimă teorema proiecţiilor:

Proiecţia rezultantei unui sistem de forţe concurente pe orice axăeste egală cu suma algebrică a proiecţiilor forţelor ce alcătuiescsistemul, pe aceiaşi axă.

3.4. Aplicaţii

3.2. Să se determine rezultanta sistemului format din patru forţe, dinfigura 3.4. Forţele sunt egale în modul cu F.

REZOLVARE: Rezultanta sistemului este:

R F X i Y jhh

= = ⋅ + ⋅=

∑1

4

Alegem sistemul de axe xOy după direcţiile forţelor F1şi F4 care sunt ortogonale. Proiectăm forţele pe axe

(fig. 3.5, a) şi scriem expresiile lor analitice:

F Fi F F i F j F i F j1 2 60 602

32

= = ° + ° = +; cos sin ,

F F i F j F i F j F Fj3 430 30 32 2

= − ° + ° = − + = −cos sin ; .

Folosind teorema proiecţiilor sub forma relaţiilor (3.9), se calculează proiecţiile rezultantei:

FFFFFXXh

h 634,0)33(2

02

32

4

1≅−=+−+== ∑

=

x

y3F

O30º 60º

4F1F

2F

Fig. 3.4.

4F

Y3 > 0X3< 0

Y2 > 0

X2 > 0

y

O1F

x

2F3F

'3F4F

'2F

y

O1F

xR

0 0,5 1(F)

a bFig.3.5.


Metoda analitică de compunere a forţelor 25

Y Y F F F F Fhh

= = + + − = − ≅=

∑1

4

0 32 2 2

3 1 0 366( ) , .

Mărimea rezultantei şi direcţiile ei se calculează cu relaţia (3.10):

cos

R R X Y F F

R R R R

= = + = − ≅

= = ⇒ = ° = °

2 2 4 2 3 0 732

0 866 0 500 30 60

. ,

cos , ; , ; .α β α βPoligonul forţelor din figura 3.5, b conduce la acelaşi rezultat.

3.3. Ţăruşul din figura 3.6 este tras cudouă frânghii. Să se determine mărimea şi unghiulβ pe care îl formează rezultanta cu axa verticală.

Răspuns: R = 500 N, β ≅ °6 50' .

3.4. Două cabluri acţionează asuprainelului din figura 3.7 cu forţe cunoscute. Să sedetermine rezultanta lor.

Răspuns: R = 737 N.

3.5. Să se descompună în componente după direcţiile sistemului de axexOy şi să se scrie expresiile analitice ale forţelor din figura 3.8, ştiind că toateforţele au mărimea de 10 N.

3.6. Cinci forţe cu originea în vârful O al hexagonului OA1A2A3A4A5, auextremităţile în celelalte cinci vârfuri. Cunoscând mărimea forţei F1 = 10 N, să secalculeze rezultanta sistemului de forţe (fig. 3.9).

Răspuns: R i= ⋅60 .

60º45º

600 N300 N

Fig. 3.7.

30º

300 N 400 N

60º

Fig. 3.6.

x30º60º 60º 30º

y

b c d e f a Fig. 3.8.



3.7. Forţele din figura 3.10 au următoarele mărimi: F1 = 14,14 N, F2=F4== 5 N, F3= 8,66 N. Să se calculeze rezultanta sistemului de forţe şi să se verificerezultatul, utilizând metoda grafică.

Răspuns: iR ⋅= 5 .

3.8. Forţele din figura 3.11 aumărimile egale cu 5P. Primele două forţe suntpe direcţia punctelor A1 şi A2, iar cea de-atreia este orizontală. Să se calculeze rezultantalor ştiind că o diviziune a caroiajului esteegală cu a.

REZOLVARE: Se calculează mai înţâi pro-iecţiile forţei 1F folosindu-se funcţiile trigonome-trice din triunghiul OA1B1:cosα1 = OB1/OA1=3a/5a=0.60; sinα1 = A1B1/OA1=4a/5a= 0.80;F1x = F1 cosα1 = 5P 0.60 = 3P; F1y = –F1 sinα1 =5P 0.80 = – 4P; Din triunghiul OA2B2 se stabilesc funcţiile trigonometrice: cosα2==OB2/OA2=4a/5a=0.80; sinα1 =A2B2/OA2=3a/5a=0.60, apoi proiecţiile forţei 2F :F2x = F2cosα2=5P 0.80 = 4P; F2y = F2 sinα2 = 5P 0.60 = 3P. Forţa 3F are proiecţianulă pe axa Oy, în timp ce proiecţia pe axa Ox este negativă: F3x = –F3; F3y = 0. Rezultanta sistemului are proiecţiile (fig.3.12):

PPPPXXh

h 25433

1=−+== ∑

= ∑

=−=++−==

3

1034

hh PPPYY .

3.9. Forţele din figura 3.13. sunt reprezentate lascară, având mărimile proporţionale cu distanţele. Să seafle proiecţiile rezultantei, ştiind că o diviziune acaroiajului este egală cu a, iar F1y=P.

Răspuns: X = 0; Y = 3P.

x

y

3F

O30º60º

4F

1F2F

45º

Fig. 3.10.

x

A1 A2

A5

y

A3

A4

O3F

1F

5F

2F

4F

Fig. 3.9.

A2

y

x

2F

α23F

1FB1α1

A1

OB2

Fig. 3.11.

y xO

RFig. 3. 12.

y

x

F2 F1

Fig. 3. 13.


4. DESCOMPUNEREA UNEI FORŢE

Descompunerea unei forţe este cea de-a doua operaţie elementară de

echivalenţă, reprezentînd inversul primei operaţii elementare de echivalenţă,

care a fost compunerea forţelor concurente.

Adunarea numerelor admite o singură operaţie inversă, scăderea: x = a –

b înseamnă să aflăm pe x dacă ştim că b + x = a. Vectorii având mai multe

caracteristici, se pot enunţa mai multe probleme pe care le putem numi inverse

în sensul că ni se rezultatul unei sumări vectoriale şi trebuie să aflăm – în

anumite condiţii – termenii.

Astfel, prin descompunerea unei forţe R în n componente concurente pe

suportul său se înţelege înlocuirea unei forţe date R cu forţele astfel încât să

existe următoarea egalitate vectorială:

RFn

ii =∑

=1 (4.1)

Aparent relaţiile (2.3) şi (4.1) sunt identice, dar în relaţia (2.3) R este unica

necunoscută, cu forţele iF cunoscute, în timp ce în relaţia (4.1) problema este

inversă, fiind n necunoscute vectoriale (forţele iF , i = 1,2,…,n) în loc de una.

Concluzia este că în general, soluţionarea problemei descompunerii în mod

determinat nu este posibilă decât dacă se introduc unele restricţii sau

condiţii suplimentare.

În continuare se vor studia numai cîteva cazuri particulare de înlocuire a

forţei R în problema plană prin două forţe şi în problema tridimensională,

prin trei forţe după direcţii concurente. Abordarea este cu precădere geometrică,

datorită simplităţii şi eleganţei soluţiilor.



4.1. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F ,după două direcţii date, concurente pe suportul său

Se cunosc direcţiile ∆1 şi ∆2, concurente în punctul O, originea forţei

cunoscute R . Rezolvarea geometrică presupune construirea paralelogramului

forţelor, ducând drepte paralele prin

extremitatea forţei R , la direcţiile date

∆1 şi ∆2 (fig. 4.1). Acest caz este

echivalent cu rezolvarea unui triunghi

OAC în care se cunoaşte o latură OC

(mărimea forţei R ), şi direcţiile celor

două laturi (pagina 7,cazul A).

4.2. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F ,concurente pe suportul său, una din ele fiind dată

în mărime, direcţie şi sens

Dacă pe lângă forţa R este dată şi forţa 1F în mărime, direcţie şi sens,

atunci construcţia din figura 4.2 rezolvă

problema: se construieşte triunghiul forţelor

OAB (fig. 4.2) atunci când se cunosc două

laturi şi unghiul dintre ele (pagina 9, cazul

C).

4.3. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F ,concurente pe suportul său, cunoscute ca mărime

Rezolvarea problemei se poate face apelând la cazul de construcţie a unui

triunghi atunci când se cunosc laturile sale (pagina 10, cazul D). Problema poate

două soluţii (fig. 4.3), una sau niciuna.

R

∆2

2F

∆1

B

A

CO

Fig. 4.1.1F

R2F B

A

O

Fig. 4.2.1F


Descompunerea unei forţe 29

4.4. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F ,concurente pe suportul său, cunoscând mărimea uneia

şi direcţia celeilalte

Problema se poate reduce la construcţia unui triunghi când se cunosc două

laturi şi unghiul opus uneia dintre aceste laturi. În figura 4.4 se cunoaşte unghiul

dintre R şi 1F (se construieşte ∆1 – linia OA1A1’) şi mărimea 2F (se duce arcul

de cerc cu centrul în B şi raza 2F ). Se obţin două puncte de intersecţie (A1 şi A1’)

corespunzătoare celor două soluţii.

Dacă arcul de cerc este tangent dreptei ∆1 atunci triunghiul forţelor este

dreptunghic şi soluţia este unică (cele două soluţii anterioare sunt confundate).

Ultima posibilitate este ca suma mărimilor celor două forţe 1F şi 2F să fie

mai mică decât cea a forţei R , adică nu este îndeplinită condiţia geometrică ca

suma a două laturi ale unui triunghi să fie mai mare decât a treia. În acest caz de

construcţie, arcul de cerc nu intersectează dreapta ∆1, deci nu există soluţie.

Cele patru cazuri prezentate admit şi soluţii analitice care vor fi abordate

paralel cu cele geometrice în aplicaţiile din acest capitol. Se lasă la aprecierea

cititorului care din cele două variante este mai accesibilă.

R2F B

A2’

O

Fig. 4.4.

'1F

1F

'2FA2

A1’A1∆1

O R

'2FB’

A

Fig. 4.3.

1F B

'1F

2F



4.5. Descompunerea unei forţe R în trei forţe 1F , 2F şi 3Fdupă trei direcţii concurente date, necoplanare

Rezolvarea geometrică se rezumă la

construcţia unui paralelipiped în care cunoaştem

direcţiile muchiilor concurente în O, şi

diagonala acestuia, egală cu R. În particular,

dacă cele trei direcţii sunt reciproc ortogonale

(axele unui sistem de referinţă triortogonal),

atunci avem un paralelipiped dreptunghic. Dacă

cele trei direcţii sunt în acelaşi plan, problema

este nedeterminată.

Rezolvarea analitică are ca suport scrierea ecuaţiei vectoriale (4.1):

RFFF =++ 321 (4.2)

sub forma a trei ecuaţii de proiecţie pe axele sistemului de coordonate:

XXXX =++ 321 (4.3.a)

YYYY =++ 321 (4.3.b)

ZZZZ =++ 321 (4.3.c)

În acest sistem (4.3) sunt trei necunoscute: mărimile forţelor F1 , F2 şi F3.

Expresia fiecărei forţe iF se poate scrie în funcţie de versorul direcţiei Δi pe care

se află:

)coscos(cos kjiFuFF iiiiii iγβα ++== ∆ (4.4)

Deoarece forţa kZjYiXR ++= este cunoscută şi nenulă, şi deci termenii liberi

ai sistemului liniar de ecuaţii (4.3) nu sunt toţi nuli, soluţia există şi este unică

(numai în condiţiile ca cele trei direcţii să nu fie coplanare).

∆2

∆3

O

F2

F3

R

∆1F1

Fig. 4.5.



4.6. Aplicaţii

4.1. Să se descompună o forţă de 13N în două componente ortogonale,

concurente pe suportul său, dacă: a) una dintre componente este de 12N;

b) componentele sunt egale; c) una dintre componente este dublul celeilalte. [4]

REZOLVARE: Se aplică teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic:a) Suntem în cazul prezentat la punctul 4.4: 2

122 FFR += de unde

5251213 2221

22 ==−=−= FRF N;

b) În acest caz 22 2FR = de unde 2/22 RF = şi deci 192,95,842132

===F N;

c) Relaţia dintre laturile triunghiului dreptunghic este 2222 54 FFFR =+= , deci

5/22 RF = rezultând 184,58.335/169 ===F N.

4.2. Ce unghi trebuie să facă două forţe de 6N şi de 8N astfel încât

rezultanta lor să fie de 10N?REZOLVARE: Suntem în cazul prezentat la punctul 4.3.

Se aplică teorema cosinusului (2,1) αcos2 212

221

2 FFFFR ++= şi se calculează:

0862

)86(102

)(cos222

21

22

21

2

=⋅⋅+−=+−=

FFFFRα rezultă α = 90°, deci

componentele sunt ortogonale.

4.3. Două forţe concurente P şi Q

sunt în raportul √3 la 2 şi au o rezultantă de

1N. Ce unghi formează ele? [4]REZOLVARE: Cele două forţe împreună cu

rezultanta formează laturile triunghiului ABC.

Triunghiul este dreptunghic deoarece 22=12+(√3)2. Se scrie: sin α= BC / AB ; α =60°. Unghiul

format de cele două forţe este 90°+ α =150° (fig. 4.6).

Q=2

P=√3

B

C

A

90° α

Fig. 4.6.



4.4. Ce relaţie trebuie să existe între două forţe P şi Q care formează

între ele un unghi de 135°, ştiind că rezultanta este egală cu cea mai mică dintre

cele două forţe? [4]REZOLVARE: Se presupune că P < Q . Teorema cosinusului se aplică în acest caz:

P2 = P2 + Q2 –2PQ√2/2, din care Q = P√2. Concluzia este că forţa Q este diagonala pătratului

construit pe forţa P, deoarece raportul forţelor Q şi P este √2.

Rezolvarea grafică este la fel de directă ca

cea analitică: fie forţa P cea mai mică dintre

forţe şi AB direcţia celei de-a doua forţe, cu

care face unghiul de 135°. Se descrie un arc

de cerc cu centrul în O şi rază OA. Se duce

prin punctul A o paralelă la direcţia OB care intersectează arcul în punctul D. Rezultanta este

AD egală ca mărime cu forţa P şi deci ea este perpendiculară pe direcţia AC. Paralela DB

stabileşte extremitatea forţei Q (fig. 4.7).

4.5. Rezultanta are proiecţiile pe axe cunoscute: Rx = –F, Ry = –F, şiRz = 2F. Se cere să se descompună pe după direcţiile vectorilor )0,1,1(1v ,

)1,1,1(2 −−v şi )1,1,0(3 −v .REZOLVARE: Se consideră rezultanta 332211321 λλλ vvvFFFR ++=++=

unde necunoscutele sunt scalarii λ1, λ2 şi λ3. Acestea se află din sistemul ecuaţiilor deproiecţie (4.3,a,b,c):

=−+−=+−

−=+−

FF

F

2λλ0λλλ0λλ

32

321

21

Din primele două ecuaţii se obine 0λ3 = , din cea de-a treia F2λ2 = , iar din prima

F2λ1 = . Răspunsul este: .0 ),(2 ),( 321 =+−−=+= FkjiFFjiFF

4.6. Să se descompună rezultanta R în două componente concurente alecăror suporturi fac un unghi de 60°. Să se studieze cazurile particulare: a) F1=F2;b) F1=2F2; c) F1=R/2; d) F1=2R.

O

R

AC

B

Fig. 4.7.

P

Q




Obiectiv:• descompunerea unei forţe după direcţiile de coordonate xOy pentru diferite

valori ale forţei, cu variaţia unghiului pe care acestea îl face cu axa Ox;• verificarea calculelor efectuate de student cu cele furnizate de program.

Specific: Mărimea forţei poate avea valori între 1 şi 100, altfel programulanunţă eroarea. Unghiul α este pozitiv în sens antiorar.

Exerciţiu: La deschiderea aplicaţiei ecranul se prezintă ca în figura 4.8, apoi seintroduce mărimea forţei şi unghiul α format cu axa Ox. Reprezentarea grafică aforţei şi descompunerea acesteia este reprezentată astfel încât valorile calculatede rezolvitor pot fi deja comparate calitativ. După introducerea proiecţiilor forţeieste afişat un buton “Comparaţi rezultatele cu cele ale calculatorului”, iarefectuarea unui “clic” cu mouse-ul pe acest buton face posibilă aceastăcomparaţie (fig. 4.9). Trecerea la altă aplicaţie se face actionând butonul “Altexerciţiu”. Se introduc noile date pentru forţă şi unghiul α. Alt exemplu esteprezentat în figuria 4.10.

Fig. 4.8.



Fig. 4.9

Fig. 4.10.


5. MOMENTUL UNEI FORŢE ÎN RAPORTCU UN PUNCT

5.1. Definiţie, observaţiiO forţă care acţionează asupra unui corp rigid nu poate fi definită numai prin

proiecţiile sale, deoarece este un vector alunecător. Astfel, apare ca absolut

necesară definirea noţiunii de moment al unei forţe în raport cu un punct.

Momentul în raport cu punctul O al unei forţe F aplicate în A,

este prin definiţie entitatea mecanică vectorială exprimată prin

produsul vectorial:

M OA FO = × . (5.1)Vectorul MO se caracterizează prin:

- mărimea: M OA F OA F F dO = ⋅ = ⋅sin( , ) , deoarece în triunghiul OABdreptunghic (fig. 5.1), s-a notat distanţa de la punctul O la suportul forţei, OB=d(braţul forţei) şi OA OA F d⋅ =sin( , ) ;

- direcţia perpendiculară pe planul determinat de forţa F şi punctul O;- sensul stabilit cu regula mâinii drepte (fig. 5.2.) sau a şurubului drept;- punctul de aplicaţie O.

Mărimea momentului se măsoară în unităţi de forţă înmulţite cu unităţi de

lungime (N∙m), iar dimensiunea este MLT-2L=ML2T-2.

Semnificaţia fizică a momentului MO se poate găsi în tendinţa solidului rigid

de a se roti în jurul punctului O, presupus fix.

Fig. 5.1. Fig. 5.2.

Ax

d

z

F

O

MoBy z

y

x



În cazul în care forţa se află în planul xOy, vectorul MO este paralel cu axa

Oz şi deci se poate scrie:

M M kO Oz= ⋅ (5.2)

în care MOz este proiecţia momentului pe axa OZ.

O serie de observaţii sunt deosebit de utile calculului practic:

! Momentul este nul atunci când punctul O în raport cu care se calculeazămomentul, se află pe suportul forţei (braţul forţei este nul).

! Momentul MO rămâne acelaşi, oricare ar fi punctul A de pe dreapta suport aforţei F . Se consideră forţa F aplicată în alt punct A1 de pe suportul său (fig. 5.3,a) şi se calculează:

OA F OA AA F OA F AA F OA F MO1 1 1× = + × = × × + × = × =( ) (produsul vectorialAA F1 × =0, pentru că AA1 este coliniar cu F ).

! Momentul unei forţe în raport cu un punct O fiind un vector legat, schimbareapolului în care se calculează, din O în O1 (fig. 5.3, b), conduce la următoarearelaţie:

M O A F O O OA F O O F OA FO1 1 1 1= × = + × = × + ×( )

sauM M O O FO O1 1= + × (5.3)

Deci, schimbând polul, se schimbă momentul, dar numai în cazul în care noulpunct O1 se află pe o dreaptă care trece prin O şi este paralelă cu forţa F( O O F O O F1 1 0 ⇒ × = ), atunci relaţia (5.3) devine M MO O1

= .

! Expresia analitică a momentului forţei F Xi Yj= + al cărei suport trece prinpunctul A de coordonate x şi y, în raport cu originea sistemului de axe, O, este :

M M k xY yX kO Oz= = −( ) (5.4)

A x

z

OO1

yMO1

FMO

bFig. 5.3.

A x

z

O

A1

y

MoF

a


Momentul unei forţe în raport cu un punct 37

Aceasta se poate stabili descompunând forţa F în componente după axe ca

în figura 5.4 şi calculând momentele acestora, astfel:

- componenta Y are braţul x, iarsemnul pozitiv al momentului acestuia estedat de regula burghiului (tendinţa de rotireîn raport cu O este în sens antiorar,suprapunând pe drumul cel mai scurt axaOx peste Oy;

- componenta X are braţul y, iarsemnul negativ al momentului acesteiarezultă din tendinţa de rotire în raport cu O,în sens orar.

5.2. Aplicaţii

5.1. Să se calculeze momentul forţei F de 7.5 N în raport cu originea(fig.5.5,a), ştiind că suportul ei întâlneşte axele de coordonate în A(-3,0) şi B(0,4).

REZOLVARE: Se notează cu P piciorul perpendicularei din O pe suportul forţei, OPreprezentând braţul acesteia. În triunghiul dreptunghic OAB se calculează înălţimea:

OP AO OBAB

= ⋅ = ⋅ =3 45

2 4. m.

Tendinţa de rotire a forţei este în sens orar şi deci, semnul momentului este negativ:M F OP k k k MO O= − ⋅ ⋅ = − ⋅ = − =7 5 2 4 18 18, , , Nm.

O x

y

XMO A(x,y)

FY

x= braţulcomponentei Y

y= braţulcomponentei X

Fig. 5.4.

Fig. 5.5.

P

A(-3;0)

B(0;4)

x

y

F

O

a

A

B

α

y

3

F

O

4

Y

X

F

X

Y

xb



Altă posibilitate de rezolvare constă în a descompune forţa F în componente, într-un punct pesuportul ei aflat la intersecţia cu una din axele de coordonate.

F F i F j F AOAB

i BOAB

j i j i j= + = +

= +

= +cos sin , , .α α 7 5 3

545

4 5 6

Descompunând astfel forţa în punctul A (fig. 5.5, b) componenta X are direcţia originii O şideci momentul nul în raport cu punctul O, pe când componenta Y are braţul egal cu 3 m şiroteşte orar, deci:

M YOz = − ⋅ = − ⋅ = −3 6 3 18 Nm .Forţă F se poate descompune şi în B;componenta Y trece prin origine şi nu produce

moment, pe când cealaltă componentă X are braţul egal cu 4 m şi roteşte orar, deci:M XOz = − ⋅ = − ⋅ = −4 4 5 4 18, Nm .

Se obţine acelaşi rezultat folosind direct relaţia (5.4).

5.2. Să se calculeze momentul forţei F i j= − +2 5 4 5, , în raport cu origineaO, ştiind că suportul ei trece prin punctul A(2; 3,6). Dar dacă suportul acesteia treceprin punctul B(-2; 3,6)? Unităţile de măsură sunt N şi m.

Răspuns: M x Y y X M x Y y XO A A O B B= − = = − =18 0 Nm;

5.3. Forţa F este paralelă cu axa Ox şi are proiecţia pozitivă X = 10 N.ştiind că în raport cu O, are un moment MO = 1,25 Nm, să se calculeze braţulforţei şi să se determine ordonata punctului A de pe axa Oy prin care trece forţa F .

Răspuns: d = 0.125 m; yA = -0,125 m.

5.4. Să se determine forţa F al cărei moment în raport cu originea O estede -30 Nm, dreapta-suport întâlneşte axa Ox în punctul A de abscisă xA = 1,5 m şiproiecţia forţei pe axa Ox este pozitivă, X = 20 N. Care este ordonata punctului Baflat pe axa Oy şi pe dreapta suport a forţei?

Răspuns: După ce se descompune F în A, se calculează Y = MO/xA

F i j F yB= − = =20 20 28 28 15; . , N; m.

5.5. Cunoscând F j= 5 şi M F kO ( ) =10 , se cere abscisa xB a punctului Baflat pe axa Ox pentru care M F kB ( ) = −10 . Unităţile de măsură sunt N şi m.

Răspuns: Se foloseşte relaţia (5.3) şi xB = 4 m.


6. MOMENTUL UNEI FORŢE FAŢĂ DE O AXĂ

6.1. Definiţie, observaţiiÎn afara noţiunii de moment al unei forţe în raport cu un punct, la

stabilirea sistemelor echivalente de forţe este de asemeni necesară definirea

noţiunii de moment al unei forţe calculat în raport cu o axă. Prin definiţie,

Momentul unei forţe în raport cu o axă ( )∆ de versor u , este

mărimea mecanică scalară M∆ exprimată prin proiecţia pe

acea axă, a momentului forţei calculat în raport cu un punct

arbitrar “O”, aparţinând aceleiaşi axe (fig. 6.1):

M OP F u∆ = × ⋅( ) (6.1)

Principalele observaţii referitoare la definiţia de mai sus sunt următoarele:

! Momentul M∆ caracterizează din punct de vedere mecanic calitativ şi

cantitativ, tendinţa pe care ar avea-o solidului rigid presupus “fixat” pe axa ( )∆ ,

de a se roti în jurul acesteia sub acţiunea forţei F .

! În definiţia momentului unei forţe faţă de o axă ( )∆ , se afirmă că alegerea

punctului “O” este arbitrară, fără a fi afectată mărimea M∆ . Verificarea acestei

afirmaţii se face calculând momentul forţei F în punctul Q de pe axa ( )∆ şi

scriind proiecţia acestuia M∆ ' (fig. 6.1):

M r F u QP F u QO OP F u

QO F u OP F u OP F u M∆

∆

' ( ' ) ( ) [( ) ]

( ) ( ) ( )

= × ⋅ = × ⋅ = + × ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ = × ⋅ =(6.2)

deoarece QO u şi deci produsul mixt ( )QO F u× ⋅ este evident, nul.



! Momentul unei forţe faţă de o axă este exprimat printr-un produs mixt şi

acesta este nul, dacă cei trei vectori din (6.1) sunt coplanari, adică suportul forţei

F şi axa ( )∆ sunt în acelaşi plan.

! Pentru aplicaţii, următoarea observaţie devine utilă: momentul unei forţe F

faţă de o axă ( )∆ este egal cu intensitatea vectorului moment al componentei

forţei F⊥ dintr-un plan normal pe axa ( )∆ , calculat în raport cu punctul în care

axa înţeapă planul (fig. 6.2):

M r F∆ = ± × ⊥ (6.3)

Verificarea acestei afirmaţii se obţine imediat dacă forţa F se descompune în

două componente: prima F , paralelă cu axa ( )∆ , iar a doua F⊥ , aflată în planul

normal la axă: F F F= + ⊥ (fig. 6.2). Se calculează:

M OP F u OP F F u OP F u r F u∆ = × ⋅ = × + ⋅ = × ⋅ = × ⋅⊥ ⊥ ⊥( ) [ ( )] ( ) ( ) , (6.4)

deoarece produsul mixt ( )OP F u× ⋅ = 0 .

! Relaţia dintre momentul unei forţe calculat în raport cu un punct “O” şi

momentele aceleiaşi forţe faţă de trei axe reciproc perpendiculare şi concurente

în punctul “O”, este :

M r F M i M j M kO x y z= × = + + (6.5)

în care M M Mx y z, , sunt proiecţiile pe axe ale momentului MO şi deci,

M M Mx y z, , reprezintă momentele forţei F faţă de axele Ox, Oy şi Oz.

Fig. 6.2.

P

F!

O r

uF

F┴

(∆)

Q

MO

r’

M∆= MO∙u

P

F

Or

u

Fig. 6.1.


Momentul unei forţe faţă de o axă 41

6.2. Teorema lui Varignon.

Dacă asupra unui punct material M acţionează un sistem de forţe

F F Fn1 2, , ..., , atunci fiecare forţă are un moment în raport cu punctul O:

M F OM FO ( ) ;1 1= × M F OM FO ( ) ,...,2 2= × M F OM FO n n( ) .= ×

Adunând aceste egalităţi, se obţine:

M F M F M F OM F OM F OM FO O O n n( ) ( ) ... ( ) ...1 2 1 2+ + + = × + × + + × =

OM F F F OM R M Rn O× + + + = × =( ... ) ( ),1 2

unde R este rezultanta sistemului de forţe şi M R OM RO ( ) = × este momentul ei

în raport cu acelaşi punct O.

Relaţia obţinută sub forma:

M R M F M F M FO O O O n( ) ( ) ( ) ... ( )= + + +1 2 , (6.6)

exprimă matematic teorema lui Varignon. Un raţionament identic se poate face

pentru momentul rezultant al forţelor calculat faţă de o axă (∆) care trece prin

polul O. Dar un rezultat direct se obţine înmulţind scalar relaţia (6.6) cu versorul

axei (∆) şi conform definiţiei (6.1), se află:

∑∑=

∆=

∆ =⋅==⋅n

ii

n

iiOO FMuFMMuRM

11)()()( (6.7)

Teorema se enunţă:

Momentul rezultant al unui sistem de forţe concurente

într-un punct A, calculat în raport cu un pol O (sau cu o

axă ∆∆∆∆) este egal cu momentul rezultantei acelui sistem de

forţe concurente, în raport cu polul O (respectiv axa ∆∆∆∆).



Se fac două remarci:

• teorema lui Varignon se mai aplică şi altor sisteme de forţe care se reduc la o

rezultantă unică, aşa cum se va ilustra şi pentru cazul forţelor coplanare şi al

forţelor paralele;

• din punct de vedere practic, teorema lui Varignon este un instrument de

simplificare a calculului momentului rezultant, prin înlocuirea acestuia cu

momentul rezultantei.

6.3. APLICAŢIE

6.1. O bară solicitată axial de o forţă F , este sudată prin intermediul adouă cordoane de sudură de o placă suport. Să se descompună forţa dupădirecţiile celor două cordoane, cunoscând distanţele e1 şi e2 (fig. 6.3).

REZOLVARE: Direcţiile celor două cordoane ( )∆1 şi ( )∆2 sunt paralele cusuportul forţei F . Se aplică teorema lui Varignon, scriind momemtele faţă de două puncte Aşi B, aflate pe ( )∆1 şi respectiv ( )∆2 :

F e F e e⋅ = ⋅ +1 2 1 2( ) şi F e F e e⋅ = ⋅ +2 1 1 2( ),unde F1 şi F2 sunt mărimile componentelor cerute. Rezultă:

F F ee e1

2

1 2

= ⋅+

şi F F ee e2

1

1 2

= ⋅+

şi se verifică F F F1 2+ = .

bară

F1

F

F2

placă

e1e2

cordoane de sudură

Fig. 6.3.

(∆1)

(∆2)


7. CUPLURI DE FORŢE

7.1. Definiţie, proprietăţiUn sistem de două forţe paralele acţionând pe suporturi diferite, egale ca

intensitate şi de sensuri opuse, formează un cuplu.

Un cuplu aplicat unui solid rigid tinde

să-l rotească în jurul unei axe perpendiculare

pe planul celor două forţe. Fie F şi - F două

forţe în planul xOy (fig. 7.1). Momentul

cuplului se defineşte ca suma momentelor

forţelor care îl alcătuiesc:

M OA F OB F OA OB F BA F d F kO = × + × − = − × = × = ⋅ ⋅( ) ( ) . (7.1)

Se observă că momentul cuplului este independent de punctul cu care se

calculează, mărimea lui fiind egală cu produsul dintre intensitatea unei forţe şi

distanţa dintre dreptele suport ale celor două forţe, iar sensul stabilit cu regula

burghiului (şurubului drept).

Caracteristic cuplului de forţe este rezultanta nulă a sistemului de forţe, în

timp ce momentul este un vector liber, diferit de zero. Astfel, condiţia ca două

cupluri să fie echivalente este ca ele să aibă acelaşi moment.

Fiind dat un sistem de mai multe cupluri care se găsesc în acelaşi plan, prin

sumarea momentelor lor se obţine un moment rezultant al unui cuplu echivalent.

7.2. Aplicaţii

7.1. Să se arate că sistemul de forţe care acţionează placa dreptunghiularăABCD din figura 7.2, a:

a) se reduce la un cuplu şi să se afle momentul acestui cuplu;b) se reduce la câte o pereche de forţe acţionând pe laturile paralele ale dreptunghiului.

REZOLVARE:a) Se calculează rezultanta sistemului de forţe 0=⋅+⋅= jYiXR şi momentul rezultant MA:

∑∑ ===+−== ,0 ,010012020 hh YYXX Nm. 6203,01201,0 =⋅−⋅=AM

A

x

d

z

O

Mo

B y-F

F

Fig. 7.1.



Deoarece R = 0 şi M A ≠ 0 , sistemul de forţe se reduce la un cuplu al cărui moment este de+6 Nm.

OBSERVAŢIE: descompunând forţa de 120 N în două componente coliniare, de 20 N şi 100 N(fig. 7.2, b), sistemul este alcătuit din două perechi de forţe paralele, egale ca intensitate, cusensurile opuse, formând două cupluri cu momentele de -4 Nm şi 10 Nm. Cuplul echivalent aremomentul egal cu 10-4=6 Nm.

b) Cunoscând momentul cuplului şi direcţiile perechii de forţe (deci distanţa d dintreforţe), se calculează mărimile forţelor dacă acestea sunt pe direcţia laturilor AB şi CD(fig. 7.2, c), respectiv BC şi DA (fig. 7.2, d):

N, 203,0

6 ===BCMF A N

ABMF A 40

15,06 ===

Sensurile forţelor se consideră astfel încât cuplul format să rotească în sens antiorar.

7.2. Plăcile din figura 7.3, a şi b sunt acţionate în lungul laturilor l deforţe F egale în modul. Să se arate că sistemele de forţe se reduc la câte un cuplu şisă se calculeze momentele acestora.

Răspuns: M Fl M Fl1 23

22= =; .

7.3. Sistemul de forţe din figura 7.4 se reduce la un cuplu care aremomentul 17,65 Nm. Să se afle mărimea forţei F, unghiul α format cu axa Ox şidistanţa BC.

Răspuns: F= 30 N, α = °30 , BC = 0,6 m.

0,15

6Nm

40N

40N

d

A

120N100N

20N

y

x

CD

B0,15

0,1

0,2

a

100N

100N

4Nm

10Nm

20N

20N

b

0,36Nm

20N

20N

cFig. 7.2.

Fig. 7.4.

17,3N

y

CB αF

60° x

0,5

A

17,3N

F3

l

lF1

F2

l

AB

C

a

l

F3

F2

F1

F4

l

l

lA B

CD

bFig. 7.3.


8. STUDIUL SISTEMELOR DE FORŢE COPLANARE

8.1. Reducerea sistemelor de forţe coplanare

Fie un sistem de n forţe coplanare aplicate unui corp rigid şi un punct “O” în

planul forţelor (fig. 8.1,a). Fiecare din forţe poate fi redusă în “O”, obţinându–se

în acest punct:

- n forţe concurente, echipolente cu forţele date; aceste forţe se reduc la o

rezultantă unică:

R Fhh

n

==

∑1

; (8.1)

- n cupluri de forţe, reprezentate prin cele n momente MOh, coliniare cu axa

Oz (perpendiculară pe planul forţelor); însumându-le se obţine un moment

rezultant:

M M k MO Oh

n

Oh

n

h h= = ⋅

= =∑ ∑1 1

(8.2)

Rezultanta R şi momentul rezultant M O formează un sistem echivalent cu

sistemul celor n forţe date (fig. 8.1,b). Perechea de vectori R şi M O se numeşte

torsorul sistemului de forţe în raport cu punctul O. Expresiile analitice ale celor

doi vectori sunt:

R X i Y j= ⋅ + ⋅ (8.3)M M kO O= ⋅ (8.4)

Fn

x

yMo

b

Oy

x

B(0,yB)c

y

xF2F1

Fi

aFig. 8.1.

RR

O

An Ai

A2A1

O A(xA,0) d



Deoarece MO are direcţia normală planului forţelor în care se găseşte

rezultanta R , se poate scrie expresia analitică a momentului MO sub forma relaţiei

(5.4), funcţie de proiecţiile rezultantei:

M k xY yX kO ⋅ = − ⋅( ) . (8.5)În baza acestei relaţii, sistemul de n forţe poate fi înlocuit numai cu o

rezultantă având suportul pe dreapta de ecuaţie:

xY yX MO− = . (8.6)

Această dreaptă, întâlneşte axa Ox în punctul A; înlocuind în (8.6) yA = 0 , se obţine

coordonata x M YA O= / . Notând cu B punctul de intersecţie cu axa Oy, xB = 0 şi

y M XB O= − / (fig. 8.1, c).

Sistemul echivalent cel mai simplu obţinut în acest caz de reducere este o

forţă unică (rezultanta). Ca urmare, se poate aplica teorema lui Varignon, scriind

că momentul rezultant MO este egal cu momentul rezultantei R :

M d RO = ⋅ (8.7)

unde d este braţul rezultantei (fig. 8.1, c).

8.2. Cazurile de reducere la sistemele de forţe coplanareSistemele de forţe coplanare reprezintă unul din cazurile de forţe des

întâlnite în practica inginerească. Clasificarea cazurilor este prezentată în

continuare:

1) R = 0 şi MO = 0, sistemul de forţe este echivalent cu zero sau sistemul de

forţe este în echilibru. Cele două relaţii vectoriale furnizează trei ecuaţii de

proiecţie, respectiv rezultanta două ecuaţii de proiecţie a forţelor pe axele Ox şi Oy,

iar momentul o ecuaţie de proiecţie corspunzătoare axei Oz:

X X

Y Y

M x Y y X

h

h

O z h h h h

= =

= =

= − =

∑∑

∑

0

0

0

;

;

( ) .

(8.7)

2) R = 0 şi MO ≠ 0 , sistemul de forţe dat este echivalent cu un cuplu,

momentul acestuia având direcţia perpendiculară pe planul forţelor (fig. 8.2);


Studiul sistemelor de forţe coplanare 47

3) R ≠ 0 şi MO = 0, sistemul de forţe este echivalent în acest caz cu o singură

forţă (rezultanta), al cărei suport trece prin punctul de reducere O (fig. 8.3).

4) R ≠ 0 , MO ≠ 0 şi R MO⋅ = 0 , deoarece R MO ⊥ . Sistemul echivalent cel

mai simplu este reprezentat de o forţă unică (rezultanta) care nu trece prin

punctul de reducere O (fig. 8.4). Axa centrală este chiar suportul rezultantei şi aşa

cum s-a arătat, se aplică în acest caz teorema lui Varignon.

8.3. Aplicaţii

8.1. Să se reducă în punctul O sistemul de forţe care acţionează pe stâlpuldin figura 8.5 şi să se stabilească sistemul echivalent cel mai simplu.

REZOLVARE: Utilizând sistemul de referinţă dinfigura 8.5, proiecţiile rezultantei sunt:

X X h= = − ° = − = −∑ 6 20 30 6 17 32 1132cos , , kN,

Y Yh= = − − ° = − − = −∑ 25 20 30 25 10 35sin kN.

Rezultanta are mărimea:

R X Y= + =2 2 36 785, kN.

Momentul forţelor calculat în raport cu punctul “O”:MO = − ⋅ − ° ⋅ + ° ⋅ = − − + =6 7 20 30 0 8 20 30 4 42 8 69 28 19 28( sin ) , ( cos ) , , kNm

y

x

z

Od

Fig. 8.2.

F

-F

y

x

z

O

Fig. 8.4.

R(A.C.)

d y

x

z

O

Fig. 8.3.

R

(A.C.)

30°

O

5 kN

0,80

3,00

4,00

25 kN

y

x

20 kN

Fig. 8.5.



În figura 8.6,a este reprezentat sistemulechivalent în punctul “O”, alcătuit dinrezultanta R şi momentul rezultant MO .

Sistemul echivalent cel mai simplu este datnumai de rezultanta R (fig. 8.6,b) aflată pedreapta suport care întâlneşte axele decoordonate în punctele A(xA,0) şi B(0,yB):x M Yy M X

A O

B O

= = − = −= − = − − =

/ , / ( ) ,/ , / ( , ) ,19 28 35 0 55

19 28 113 1 70 m

m

Braţul rezultantei este: d = 19,28/36,785 = 0,524 m.

8.2. Să se determine momentul cuplului M, mărimea şi direcţia forţei F ,astfel încât bara din figura 8.7 să fie în echilibru.

REZOLVARE: Se alege axa Ox, axa barei, iar originea în capătul stâng al barei(fig. 8.7). Pentru aflarea celor trei necunoscute F, α şi M se scriu ecuaţiile de echilibru :

X FY FM M

FFMO O

= − ° == − + ° =

= − ⋅ + ⋅ ° ⋅ − =

⇒

==

=

cos cossin sin

( sin )

cossin

αα

αα

20 30 020 20 30 0

20 2 20 30 5 0

10 310

10

Nm

Se ridică la pătrat şi se adună primele două egalităţi şi rezultă F = 20 N, apoi α = 30°.Verificarea rezultatului se face procedând la scrierea condiţiei ca momentul calculat în raportcu un alt punct din plan, de exemplu în raport cu B, să fie nul:

M F MB = − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ ⋅ + − = − + − =( sin ) ( / )α 5 20 3 20 1 2 5 60 10 50 60 10 0

Fig. 8.6.

y

A(-0,55; 0)

R

x

B(0;1,70)

Od

b

Y

MOX

y

O

R

x

a

20kN

O

1,5

B A C

yα

20kN3,02,0

x F

M

30°

Fig. 8.7.


9. STUDIUL SISTEMELOR DE FORŢE PARALELE

9.1. Reducerea sistemelor de forţe paraleleConsiderăm un sistem de n forţe paralele cu axa Oz (fig. 9.1, a). În urma

operaţiei de reducere faţă de punctul O, se obţin componentele torsorului:

( )( ) ( ) ( ) .

;

yx jMiMjMiMFrMkZkFFR

yOxOhhhhO

hh

+=+=×====

∑∑∑∑ ∑

(9.1)

Cei doi vectori sunt ortogonali ( R MO ⊥ ) şi prin urmare, produsul lor scalar

(numit invariantul scalar) este nul, R MO⋅ = 0 . Astfel se deduce că proiecţia

momentului rezultant pe direcţia rezultantei (momentul minim) este nul

Mmin = 0 (fig. 9.1, b). Bineînţeles, teorema lui Varignon poate fi aplicată şi

pentru aceste sisteme de forţe paralele, dacă rezultanta este nenulă.

9.2. Cazuri de reducere

Cazurile de reducere posibile pentru sistemele de forţe paralele sunt:

1) R = 0 şi MO = 0, sistemul de forţe este în echilibru. Cele două relaţii

vectoriale furnizează şi în acest caz trei ecuaţii de proiecţie, respectiv rezultanta

o ecuaţie de proiecţie corspunzătoare axei Oz, iar momentul două ecuaţii de

proiecţie pe axele Ox şi Oy:

FnFh

F2

y x

z

O

F1

aFig. 9.1.

z

x

(A.C

.)

O

R

y

b

R

MO

90°



Z F

M y F

M x F

h

O x h h

O y h h

= =

= =

= =

∑∑∑

0

0

0

;

( ) ;

( ) .

(9.2)

2) R = 0 şi MO ≠ 0 , sistemul de forţe echivalent cu un cuplu;

3) R ≠ 0 şi MO = 0, sistemul de forţe este echivalent cu o forţă unică R ,

al cărei suport trece prin punctul de reducere O;

4) R ≠ 0 , MO ≠ 0 , R MO⋅ = 0 , sistem echivalent cu o forţă unică R , care

nu trece prin punctul de reducere O. Axa centrală (fig. 9.1,b) se găseşte sub

forma dreptei de intersecţie a două plane, ale căror ecuaţii se stabilesc aplicând

teorema lui Varignon în raport cu axele Ox şi respectiv Oy:

xZ x F

yZ y F

xx FZ

yy FZ

h h

h h

h h

h h

=

=

⇒

=

=

∑∑

∑

∑ (9.3)

9.3. Centrul forţelor paraleleO proprietate deosebit de importantă, când se consideră că forţele care

alcătuiesc sistemul îşi menţin punctele de aplicaţie şi intensităţile, dar îşi

modifică direcţia continuând să rămână paralele între ele, este aceea că dreapta

suport a rezultantei trece mereu printr-un punct fix C, numit centrul forţelor

paralele. Acest punct are coordonatele:

xx FZ

yy FZc

h hc

h h= =∑ ∑ ; (9.4)

Coordonatele centrului C verifică ecuaţia axei centrale (9.3) şi deoarece centrul

C este un punct invariabil al solidului, la o permutare a axelor de coordonate se

stabileşte şi coordonata z z Fc h h= ∑ . Vectorul de poziţie al centrului C se scrie:

r x i y j z kc c c c= + + (9.5)Se subliniază condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească sistemul de

forţe paralele pentru ca să existe un astfel de centru: rezultanta este diferită de

zero ( R ≠ 0) şi forţele sunt vectori legaţi.


Studiul sistemelor de forţe paralele 51

Proprietăţile pe care le are centrul forţelor paralele sunt:

• poziţia acestuia nu se modifică dacă toate forţele sunt multiplicate cu omărime scalară;

• poziţia centrului forţelor paralele este invariabilă în raport cu forţele, deci nudepinde de sistemul de axe ales.

Un caz frecvent întâlnit în aplicaţii este cel al forţelor paralele uniform

distribuite (fig. 9.2, a) sau liniar distribuite (fig. 9.2, b). Pentru forţele

distribuite, sumele finite ∑ din relaţiile stabilite (9.1), (9.2) şi (9.3) devin

integrale, iar forţele Fh de sub operatorul “SIGMA” devin forţe elementare dF.

Cunoscând valoarea p(N/m) a forţei distribuite şi lungimea l(m) pe care

este aplicată aceasta se calculează rezultanta R1 (fig. 9.2,a) considerând că pe un

element de lungime dx acţionează o forţă elementară dF = p⋅dx:

R dF p dx p dx pll l l

10 0 0

= = ⋅ = =∫ ∫ ∫ (9.6)

Coordonata xc a punctului de aplicaţie pentru rezultanta R1 se sabileşte folosind

relaţia (9.4) în mod adecvat:

xx dF

R

p x dx

pl

l

ll

C

lo lo

=⋅

=⋅

= =∫ ∫0

1

0

2

22

. (9.7)

Acest rezultat este uşor de intuit dacă se are în vedere simetria încărcării

uniform distribuite.

Fig. 9.2.

dF=pdxz

x dx

x

p l

a

dF=pxdxz

x dx

x px

p

b

l



Calculul rezultantei forţei distribuite liniar din figura 9.2,b se conduce în

mod asemănător, ţinând cont că de această dată, pe elementul infinit mic de

lungime dx, se exercită o forţă elementară dF p dxx= unde ordonata

corespunzătoare foţei distribuite este p px lx = / :

R dF p dx pl

xdx pl

xdx pll

x

l l l

20 0 0 0 2

= = ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫ (9.8)

Rezultanta R2 se aplică la distanţa xc de originea axelor:

xx dF

R

xp dx

pl

pl

x dx

pll

C

lo

x

lo lo

=⋅

=⋅

=⋅

=∫ ∫ ∫0

2

0

2

0

2 2

23

. (9.9)

În concluzie, rezultanta este egală cu aria forţei distribuite: pentru primul

caz R1=pl (aria distribuţiei dreptunghiulare), iar pentru cel de-al doilea caz

R2=pl/2 (aria distribuţiei triunghiulare). Rezultanta acţionează la jumătatea

lungimii “l” (fig. 9.3, a) şi respectiv, la două treimi din lungimea “l” faţă de

vârful triunghiului (fig. 9.3, b).

9.4. APLICAŢII

9.1. Să se determine rezultanta forţelor F = 1530 kN şi G = 450 kN, careacţionează asupra zidului de sprijin din figura 9.4, precum şi coordonata punctului în careacesta intersectează baza zidului.

Răspuns: R i j M k xO= − = − =1325 1215 4410 3630; ; . m.

Fig. 9.3.

R1=pl p

l/2

a

l/2 l

R2=pl/2 p

b

l/3l

2l/3


Studiul sistemelor de forţe paralele 53

9.2. Să se reducă sistemul de forţe paralele din figura 9.5 în punctul O, apoi în A şisă se stabilească cazul de reducere, specificând care este sistemul echivalent cel mai simplu.

Răspuns: Y Y M Mh O A= =∑ 10N; = 2 Nm; = -48Nm; cazul d de reducere,

R k=10 pe dreapta suport de ecuaţie x= MO/Y = 0,2m.

9.3. Considerând forţele paralele din figura 9.5 cu originea în puncte fixe pe axaOx, să se calculeze poziţia centrului lor, utilizând relaţiile (9.4).

Răspuns: xC = 0,2 m, yC = 0.


Obiectiv: utilizarea relaţiei (9.4) pentru valori diferite ale intensităţilor forţelor

verticale şi pentru distanţe diferite ale originilor lor, situate pe axa Ox.

Specific: valorile forţelor (în număr maxim de 10) pot fi între –100N şi +100N.

Originea fiecărei forţe trebuie să se afle faţă de axa Oy între –10m şi +10m,

altfel programul anunţă eroarea.

Exemplu de utilizare: se introduce numărul de forţe (3). După introducerea

cifrei 3, se deschid două ferestre pentru introducerea distanţei faţă de axa Oy a

primei forţe şi respectiv pentru valoarea priecţiei primei forţe (vezi figura 9.6).

Se repetă introducerea datelor pentru celelalte forţe. La final apare “rezolvarea”

problemei, adică valoarea rezultantei şi abscisa punctului de aplicaţie a acesteia,

precum şi relaţia utilizată (fig. 9.7). Datele introduse se pot vedea în fereastra de

sub schema de forţe. Acestea sunt reprezentate proporţional cu valorile lor.

Trecerea la altă aplicaţie se face actionând butonul “Alt exerciţiu”.

1,01,51,5 1,0

OA

y

F3=12 N

F2=8 N F4=4 N

F1=10 N

x

Fig. 9.5.

B

2

4

G

O x

y

33

F

Fig. 9.4.



Fig. 9.6

Fig. 9.7.


10. CENTRE DE MASĂ

10.1. Definiţie

Se defineşte ca centru de masă al unui sistem de puncte materiale Mi de mase

mi, ale căror poziţii sunt determinate faţă de un punct O de vectorii de poziţie ir , un

punct O, al cărui vector de poziţie OG=ρ este dat de relaţia:

∑

∑

=

=⋅

= n

ii

n

iii

m

rm

1

1ρ (10.1)

Coordonatele sale faţă de un reper Oxy sunt:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

= n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

m

ymy

m

xmx

1

1

1

1 ; (10.2)

Se observă că numitorul din relaţiile (10.1) şi (10.2) reprezintă masa întregului

sistem: ∑=

=n

iimM

1. Mărimile de la numărător se numesc momente statice, definite

astfel:

• ∑=

=n

iiiO rmS

1 – moment static calculat faţă de punctul O;

• ∑=

=n

iiiy xmS

1 şi ∑

==

n

iiix ymS

1– moment static calculat faţă de axa Oy, şi respectiv

faţă de axa Ox.

10.2. Proprietăţi ale centrului de masă

A) Poziţia centrului de masă nu depinde de sistemul de coordonate ales, deoarece

depinde numai de poziţia reciprocă a punctelor materiale Mi.



B) Dacă sistemul de puncte este rigid, atunci şi centrul de masă al acestor puncte se

găseşte la distanţe fixe de ele. Prin urmare, centrul de masă al unui sistem rigid

oarecare rămâne fixă în raport cu un reper solidar cu sistemul rigid.

C) Dacă valorile maselor sistemului material sunt multiplicate cu o constantă

scalară nenulă, poziţia centrului de masă al sistemului nu se modifică, deoarece

relaţia (10.1) este omogenă, de grad zero în raport cu mărimile mi. Proprietatea

aceasta permite reprezentarea maselor mi prin lungimi, arii sau volume,

constanta fiind densitatea sistemului considerat omogen.

D) Centrul de masă al unui sistem material constituit dintr-o linie dreaptă se află pe

acea dreaptă, iar centrul maselor unui sistem material plan se află în acel plan.

E) Dacă sistemul material admite un centru, un plan sau o axă de simetrie, atunci

centrul de masă se găseşte respectiv în centrul, în planul sau pe axa de simetrie.

F) Dacă domeniul ocupat de sistemul material poate fi descompus în subdomenii

ale căror mase şi centre de masă pot fi stabilite direct, atunci centrul de masă al

ansamblului se stabileşte cu relaţia (10.1), în care mi este masa, iar ir este

vectorul de poziţie corespunzător centrului de masă al subdomeniului “i”.

Sistemul iniţial poate fi format prin adunarea sau scăderea a două sau mai multe

subdomenii.

10.3. Metode geometrice pentru determinarea centrului de masă

10.3.1. Simetria

Din proprietăţile centrului de masă (proprietatea E) rezultă că se poate

determina fără nici un calcul poziţia acestuia pentru unele figuri regulate (care

prezintă simetrie). Astfel, următoarele plăci regulate având formă de dreptunghi,

romb, pătrat, cerc, triunghi echilateral prezintă cel puţin două axe de simetrie (de

reflectare sau oglindire) conţinute în planul figurii. Alte figuri pot avea simetrie de

rotaţie. Astfel, paralelogramul are o axă de simetrie de rotaţie, perpendiculară pe


Centre de masă 57

planul figurii şi care trece prin punctul de intersecţie al diagonalelor. În acest punct

se află centrul său de masă.

10.3.2. Centrul de masă al unei plăci omogene de formă triunghiulară

Suprafaţa triunghiulară din figura 10.1 se împarte în fâşii subţiri paralele cu

latura BC ale căror centre de masă se află pe mediana AD. Rezultă că centrul de

masă se va găsi undeva pe această mediană. Repetând de această dată operaţia de

împărţire a triunghiului în fâşii paralele cu latura AB, se stabileşte că centrul de

masă se află pe mediana AF. Prin urmare, centrul de masă al plăcii triunghiulare

omogene se află la intersecţia medianelor, în punctul G numit şi baricentru.

Acest punct se găseşte întotdeauna la o treime din înălţime, măsurată faţă de

bază, sau de două treimi măsurate faţă de vârf. De altfel este cunoscut din

geometria analitică, pentru un triunghi ABC, la care vârfurile au coordonatele

A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC), punctul G de intersecţie al medianelor va avea

coordonatele:

xG=(xA+xB+xC)/3, yG=(yA+yB+yC)/3. (10.3)

Centrele de masă pentru unele corpuri omogene uzuale întâlnite în probleme plane

sunt prezentate în Anexa C.

BA

C

F

E

G

D 2h/3

h/3h

Fig. 10.1.



10.4. Centre de masă pentru corpuri omogeneRezolvarea problemelor de stabilire a poziţiei centrelor de masă pentru

corpuri omogene se bazează pe aplicarea proprietăţii “C” de la paragraful 10.2.

Astfel, pentru o bară omogenă având masa M uniform distribuită pe lungimea ei

(notată L), se defineşte densitatea unităţii de lungime µ=M/L. Relaţia (10.2) se

scrie după simplificarea cu µ:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

= n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

l

yly

l

xlx

1

1

1

1 ; (10.4)

Pentru o placă omogenă cu aria A şi masă M cunoscute, se scrie densitatea unităţii

de suprafaţă µ=M/A. Relaţia (10.2) devine în acest caz:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

= n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

A

yAy

A

xAx

1

1

1

1 ; (10.5)

În expresiile (10.4) şi respectiv (10.5), corpul omogen a fost descompus in

subdomenii simple ca formă, acestea având poziţia fiecărui cemtru de masă

cunoscută.

10.5. Aplicaţii

10.1. . Să se determinepoziţia centrului de masă pentru baraomogenă din figura 10.2.

REZOLVARE:

1. Se alege ca sistem de referinţă, sistemulcare încadrează bara, aceasta fiind plasată înprimul cadran (fig. 10.2). Bara se considerăca o sumă de trei bare A1O, OA şi A2A3.pentru acestea vom scrie următoarelelungimi şi coordonate ale centrelor de masă:

y

A1

C2

C3C1

x

A3

O A2

Fig. 10.2

2R

4R

R


Centre de masă 59

=+=

==

===

=

==

==

RyCCRx

RRπlAA

yRxRl

OA

Ry

RRx

RπRl

OA

3

323

3

32

2

2

2

2

1

1

1

1 4/cos24/22

;024

;22/

)2/sin(2/2

ππ

πππ

π

unde distanţa C2C3 se determină pentru unghiul α=π/4 cu relaţia:

πππ 24

4/)4/sin(232

RRCC ==

Calculele se efectuează folosind tabelul 10.1:TABELUL 10.1.

Corpul (i) li xi yi lixi liyi(1) (2) (3) (4) (5) (6)

A1O (1) πR 2R/π R 2R2 πR2

OA2 (2) 4R 2R 0 8R2 0A2A3 (3) πR 2R+4R/π 4R/π 2πR2+4R2 4R2

Sumând valorile din coloana a doua, se stabileşte lungimea totală a barei care este

)2(23

1π+== ∑

=RlL

ii . Totalizând valorile din coloana a cincea şi respectiv a şasea,

se află momentele statice care sunt: )7(2 23

1π+== ∑

=RxAS

iiiy şi

)4(23

1π+== ∑

=RyAS

iiix .Utilizând relaţiile (10.4) obţinem coordonatele:

RRLS

yRRL

Sx x

Cy

C 69,0)2(2

4 ;97,127 ≅

++==≅

++==

ππ

ππ

10.2. Placa omogenă trapezoidală are dimensiunile cunoscute: B, b şi h(fig. 10.3,a). Să se calculeze cota yC a centrului de masă.

REZOLVARE: Placa trapezoidală se descompune într-o placă dreptunghiulară cu aria

A1= bB şi coordonata centrului de masă y1=h/2 (fig.10.3, b), precum şi într-una triunghiulară cu

aria A2=(B-b)h/2 şi coordonata centrului de masă y2=h/3 (fig.10.3, c).

Fig. 10.3.

B

h

by

x xb/2 b+(B-b)/3 x

y

h/3h/2

y

b ca



Se calculează: )(3)2(

2)(

6)(

2

22

21

2211

bBbBh

hbBbh

hbBbh

AAyAyAyC +

+=−+

−+=

++=

Descompunerea plăcii se poate face considerând mai întâi o placă dreptunghiulară cu aria A1=Bh(fig 10.4, B), din care se scade o placă triunghiulară cu aria A2=(B-b)h/2 (fig. 10.4, c). Evident se

obţine acelaşi rezultat:)(3)2(

2)(32

)(22

22

21

2211

bBbBh

hbBBh

hbBBh

AAyAyAyC +

+=−−

⋅−−

=−−=

Fig. 10.4.

10.3. Să se calculeze abscisa centrului de masă pentru placa trapezoidalădin figura 10.3, apoi să se verifice rezultatul obţinut folosind descompunerea dinfigura 10.4.

10.4. Corpul din figura 10.5 este alcătuit dintr-o bară circulară omogenăavând masa m1 şi o placă semieliptică omogenă cu masa cunoscută m2. Ce relaţieexistă între cele două mase, astfel încât poziţia centrului de masă al corpului săcoincidă cu centrul cercului, O ? Se cunoaşte raza R.

REZOLVARE: Problema implică utilizarea relaţiilor de forma (10.2), având corpurisimple omogene, dar de natură diferită: o bară şi o placă. Deoarece axa Oy este axă de simetrie,rezultă imediat că xC=0, iar conform alegerii sistemului de referinţă (fig. 10.5) se impunecondiţia yC=0, adică momentul static Sx=0. Elementele geometrice necesare rezolvării suntpentru primul corp: y1= 2R/π, respectiv pentru cel de-aldoilea y2 = - 2R/(3π) – vezi anexa C. Se scrie:

0

3)2/(42

21

2211

=

−+=

=+=

ππRmRm

ymymSx

şi deci m2=3m1.

y

B

h

by

x xB/2 b+2(B-b)/3 x

y

2h/3h/2

b ca

1

2

y

xC2 R/2

C1O

Fig. 10.5

R


Centre de masă 61

10.5. Să se determine poziţia centrului demasă pentru placa omogenă din figura 10.6, printr-o descompunere într-un număr minim de elemente.Cotele din figură sunt date în dm.

REZOLVARE: Placa se descompune în două elementecomponente (un paralelogram şi un triunghi dreptunghic),acesta fiind numărul minim de elemente cerut. Dupăreprezentarea poziţiilor centrelor de masă Ci aleelementelor, se alege un sistem de axe faţă de care se scriucoordonatele xi şi yi. Criteriul de alegere a sistemului deaxe poate fi determinat de simplitatea cotării centrelor demasă (de exemplu, toate centrele să se găsească în primulcadran, coordonatele lor fiind toate pozitive). Un altcriteriu s-ar întemeia pe observaţia că atunci când se află pe

axele de coordonate cât mai multe centre de masă, în expresiile momentelor statice intervinzerourile coordonatelor acestor centre şi ca urmare, calculele numerice au un volum mai redus.Paralelogramul are aria A1= 4∙2,4 =9,6 dm2, şi are centrul de masă la x1=2 dm, respectivy1=1,2 dm (fig. 10.7,a). Triunghiul dreptunghic are aria A2 = 3∙2,4/2 = 3,6 dm2, şi are centrulde masă la x2 = 1+3,0/3 = 2 dm, respectiv y2 = 2,4+2,4/3 = 3,2 dm (fig. 10.7,b).

Se calculează: aria totală a suprafeţei: A=A1+A2=13,2dm2, momentul staticSy=A1∙x1+A2∙x2=9,6∙2+3,6∙2=26,4 dm3, momentul static Sx=A1∙y1+A2∙y2=9,6∙1,2+3,6∙3,2= 23,04dm3. Rezultă la final coordonatele xG=Sy/A=2dm şi respectiv, yG=Sx/A=1,745 dm.

OBSERVAŢIE: Deoarece ambele elemente au centrele demasă cu aceeaşi abscisă (x1 = x2 = 2 dm), la alegereasistemului de coordonate se putea ţine cont de acestamănunt considerând axa Oy trecând prin cele două puncteC1 şi C2 (fig. 10.8). În consecinţă se obţinea fără calculexG=0. Dacă originea sistemului de coordonate se alegea înpunctul C1, atunci expresia pentru calculul numeric alcoordonatei yG se simplifica în continuare: yG = (A2 ∙ y2)/A =3,6 ∙2,0/13,2=0,545 dm.

Diferenţa dintre cele două valori obţinute pentru yGreprezintă tocmai distanţa relativă dintre cele două axe Ox.

Fig. 10.7.

x y1

x1 y

C1 O

a b

x

y

x2

y2

C2

O

3.0 1.0

2.4

2.4

1.0 3.0

Fig. 10.6.

Fig. 10.8.

2.0

x

y

C1

C2

G



10.6. Să se determine poziţia centrului de masă pentru placa omogenă dinfigura 10.9, a. Raza cercului R este cunoscută.

REZOLVARE: Placa se descompune în următoarelepatru plăci simple (fig 10.9,b) având următarele forme: 1) pătrat cu latura R; 2) semicerc cu raza R; 3) triunghi dreptunghic isoscel având catetele egale tot cuR; 4) sfert de cerc cu raza R (deoarece acesta se scade, aria sa seconsideră negativă).

Calculele pot fi organizate în tabelul 10.2, în modasemănător cu cel de la problema 10.1. În figura 10.10 s-aureprezentat centrele de masă pentru fiecare placă simplăcomponentă, apoi s-a ales un sistem de axe după cateteletriunghiului dreptunghic.

TABELUL 10.2.Corpul (i) Ai xi yi Aixi Aiyi

(1) (2) (3) (4) (5) (6)R2 -R/2 R –R3/2 R3/2

πR2/2 0 –4R/3π 0 –2R3/3R2/2 R/3 R/3 R3/6 R3/6

–πR2/4 –R+4R/3π R–4R/3π πR3/4–R3/3 -πR3/4+R3/3

Se efectuează sumele pe coloanele 2, 5 şi 6, după care se calculează coordonatele centrului demasă cu relaţiile (10.5):

RRR

RxG 052,0)6(3)83(

4/)6(12/)83(

2

3

=+−=

+−=

ππ

ππ

RRR

RyG 198,0)6(3)34(

4/)6(12/)34(

2

3

−=+−=

+−=

ππ

ππ

=R

RR

R

R

R

bFig. 10.9.

R

R

a

Fig. 10.10.

y

C2

C4 xC3

C1


11. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL

11.1. Teorema de echilibru static al punctului materialStudiul cazului particular al compunerii unui sistem de forţe concurente care

are rezultanta nulă (spunem că sistemul de forţe este echivalent cu zero),

conduce la noţiunea de echilibru al sistemului de forţe acţionând asupra unui

punct material aflat în repaus. În problemele concrete se aplică varianta statică a

principiului inerţiei (denumită “teorema de echilibru static al punctului

material”) care se formulează [1]:

(i) “Dacă în momentul iniţial, t=t0, un punct material se află în repaus faţă

de un reper inerţial, şi dacă în intervalul de timp [t0,t1], sistemul forţelor

date şi de legătură ce-i revin este echivalent cu zero (în echilibru), atunci

punctul material respectiv îşi păstrează starea iniţială de repaus în acel

interval de timp.”

Reciproca acestei teoreme se enunţă:

(ii) “Dacă în intervalul de timp [t0,t1], un punct material se află în repaus

faţă de un reper inerţial (ceea ce se realizează de regulă prin legături cu

mediul), atunci sistemul forţelor date şi de legătură ce-i revin este

echivalent cu zero în acel interval de timp.”

În ambele variante enunţate, noţiunea de echilibru static defineşte cazul particular

al stării sistemului de forţe căruia îi corespunde starea de repaus a punctului

material supus acţiunii acelui sistem de forţe. Practic, ambele variante ale teoremei

de echilibru static se exprimă matematic prin relaţia:

0=+ ld RR (11.1)

în care dR este rezultanta forţelor date, iar lR este rezultanta forţelor de

legătură. Forţele de legătură numite şi reacţiuni reprezintă echivalentul mecanic

al existenţei unor legături la care este constrâns punctul material. Operaţia de

înlocuire a legăturilor cu forţele de legătură este acceptată în temeiul axiomei



legăturilor sau axiomei eliberării (valabilă în cazul tuturor fenomenelor

mecanice):

Starea mecanică a unui sistem de corpuri se păstrează intactă dacă seconsideră legăturile suprimate şi se înlocuiesc cu sisteme de forţe pasivecorespunzătoare.

Aspectul practic al aplicării acestei axiome în cazul punctului material este acela căorice legătură geometrică poate fi înlocuită cu o forţă de legătură, punctul fiindconsiderat “liber” şi tratat ca atare.

11.2. Forme interactive de studiu individualObiectiv: aplicarea teoremei de echilibru static al punctului material

Specific: mărimile forţelor pot avea valori între 1 şi 100, altfel programul anunţăeroarea. Enunţul fiecărei probleme devine vizibil atunci când mouse-ul se plaseazăpe prima linie a ecranului evident, unde este afişat textul “Enunţul problemei”(fig. 11.1).

Exerciţii: 1) Echilibrul punctului material liber (fig. 11.1). 2) Echilibrul punctuluimaterial cu legături (fig. 11.2, 11.3). 3) Echilibrul punctului material supus lalegături cu frecare (fig. 11.4, 11.5).

Observaţie: schema forţelor este reprezentată mereu la scară.

Fig. 11.1


Echilbrul punctului material 65

65

Fig. 11.2.

Fig. 11.3.



Fig. 11.4.

Fig. 11.5.


12. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID

Solidul rigid (rigidul) este un corp considerat indeformabil sub efectul

acţiunilor exterioare; cu alte cuvinte, distanţele relative dintre punctele sale rămân

constante indiferent de natura solicitărilor aplicate acestuia. Definirea unui rigid

presupune cunoaşterea următoarelor caracteristici: forma, dimensiunile, masa şi

legea de distribuţie a acesteia. De regulă corpurile se consideră omogene,

densitatea (masa unităţii de volum) fiind aceiaşi în orice punct al corpului

respectiv. Studiul echilibrului solidului rigid necesită şi analizarea unor elemente

specifice cum ar fi: existenţa unor încărcări distribuite sau tipurile de legături la

care ar fi supus acesta. În cuprinsul acestui capitol se va considera cazul rigidul

supus acţiunii numai sistemelor de forţe coplanare. Dacă rigidul este o placă plană,

şi poate ocupa orice poziţie din planul ei sub acţiunea forţelor care la care este

supusa, spunem că acest corp este liber. Observăm că pentru a aduce corpul dintr-o

poziţie oarecare în orice altă poziţie există trei posibilităţi de mişcare independente

şi anume: două translaţii pe direcţiile celor două axe şi o rotaţie după direcţia

normală planului. Vom spune că rigidul are gradul de mobilitate egal cu trei. În

multe situaţii corpul rigid este supus la unele constrângeri numite legături care îi

anulează unele grade de libertate. Datorită faptului că în general interesează

corpurile care sunt imobilizate, se vor studia în continuare numai legăturile ideale

(fără frecare) ale solidului rigid.

12.1. Legăturile solidului rigid

Clasificarea legăturilor se face poate face:

a) în funcţie de mărimea suprafeţei de aplicare prin contact, rigidul poate avea:

legături distribuite şi/sau legături concentrate. Concentrarea legăturilor în

puncte este justificată mai ales în domeniul construcţiilor, unde în unele cazuri,



solidele considerate sunt bare care au secţiunea neglijabilă în raport cu lungimea

lor. Concentrarea legăturilor simplifică atât aspectul static, cât mai ales pe cel

geometric în reprezentarea schemelor de calcul.

b) în funcţie de natura lor mecanică , legăturile simple ale rigidului se clasifică în

legături de tip pendul (echivalente cu câte o reacţiune forţă) şi legături de tip

cuplet (echivalente cu câte o reacţiune cuplu).

c) în funcţie de numărul legăturilor simple componente, legăturile concentrate pot

fi simple sau multiple.

Tipurile cele mai des folosite în problema plană sunt:

• legătura de tip pendul (eventual chiar pendulul) numită reazemul simplu;

• legătura dublă de tip pendul denumită articulaţie cilindrică;

• legătura triplă numită încastrare plană, alcătuită din două legături simple de

tip pendul şi o legătură simplă de tip cuplet.

Simbolurile utilizate pentru reazemul simplu, articulaţia cilindrică şi încastrarea

plană sunt cele din figurile 12.1.a, 12.1.b şi 12.1.c. În practica inginerească,

aspectul concret al modelării legăturilor solidului rigid se face în relaţie directă cu

particularităţile corpului care preia sistemul de forţe date aplicate solidului rigid,

care poate fi partea fixă a unui utilaj (şasiu) sau terenul de fundare în cazul

construcţiilor. Unele dintre aceste modele sunt prezentate în tabelul 12.1.

Legăturile simple de tip pendul care funcţionează într-un singur sens se

înlocuiesc cu o reacţiune forţă care are sensul determinat, aşa cum se arată în

cazurile (1) şi (3) din tabelul 12.1. Acestea sunt denumite legături unilatere, în

timp ce legăturile din cazurile (2), (4) şi (5) sunt denumite legături bilatere,

deoarece împiedică deplasarea în ambele sensuri,.

Fig. 12.1.

b c a


Echilbrul solidului rigid 69

TABELUL 12.1Legătura Reacţiuni Număr de necunoscute(1) Fir

O necunoscută: tensiunea din fir. Sensulforţei corespunde celui de întindere a firului– legătură unilateră.

(2) PendulO necunoscută: forţa care acţionează înlungul axei pendulului (bară dubluarticulată) – legătură bilateră.

(3) Suprafaţă de contact lucie

O necunoscută: reacţiunea normală esteforţa care acţionează perpendicular pesuprafaţa de contact – legătură unilateră.

(4) Culisă pe bară

O necunoscută: reacţiunea normală esteforţa care acţionează perpendicular pe axabarei suport a culisei – legătură bilateră.

(5) Rolă în ghidaj

O necunoscută: reacţiunea normală esteforţa care acţionează perpendicular pe axaghidajului– legătură bilateră.

(6) Articulaţie cilindrică

Două necunoscute: componentele Fx şi Fysau mărimea reacţiunii F şi direcţia ei,unghiul ϕ.

(7) Încastrare planăTrei necunoscute: o reacţiune cuplu (M) şidouă reacţiuni forţe (componentele Fx şiFy) sau o reacţiune cuplu (M), o reacţiuneforţă (F) şi direcţia ei (ϕ).

ββ T

Tα α

Nθθ

θ

Nθ

θ Nθ

Fx

Fyϕ

F

Fx M

Fy

ϕM

F



12.2. Condiţia de echilibru a solidului rigid

Anolog teoremei de echilibru static al punctului material, se enunţă teorema

de echilibru static al solidului rigid (numită şi teorema torsorului) în una din

cele două formulări [1]:

(i) Dacă în momentul iniţial (t = t0) un solid rigid se află în repaus faţă de

un reper inerţial, şi dacă în intervalul de timp [t0, t1] sistemul forţelor

date şi sistemul forţelor de legătură ce-i revin este echivalent cu zero (în

echilibru), atunci solidul rigid respectiv îşi păstrează starea iniţială de

repaus în acel interval de timp.

(ii) Dacă în intervalul de timp [t0, t1] un solid rigid se află în repaus faţă de

un reper inerţial, (ceea ce se realizează de regulă prin legături cu

mediul), atunci sistemul forţelor date şi sistemul forţelor de legătură ce-i

revin este echivalent cu zero în acel interval de timp.

Din punct de vedere practic, ambele variante ale teoremei torsorului se exprimă

prin condiţia ca torsorul sistemului forţelor date şi de legătură să fie nul:

==

00

OMR

(12.1)

Pentru problema plană, în locul relaţiilor vectoriale (12.1) se scriu trei ecuaţii de

proiecţie:

=+=

=+==+=

∑ ∑∑ ∑

∑∑

0)()(

00

lOzdOzOz

ldy

ldx

FMFMM

YYRXXR

(12.2)

Utilizarea relaţiilor (12.2) conduce evident la o metodă analitică de rezolvare.



12.3. Teorema celor trei forţe

Uneori este convenabilă rezolvarea problemelor de echilibru a solidului rigid

atunci când acesta este supus acţiunii unui sistem de trei forţe coplanare, utilizând

unele particularităţi de natură grafică care rezultă din aplicarea teoremei celor

trei forţe:

Dacă un solid rigid se găseşte în echilibru sub acţiunea a trei forţe

coplanare neparalele, atunci suporturile celor trei forţe sunt concurente

într-un punct.

Din punct de vedere grafic, condiţia ca rezultanta forţelor care îi revin rigidului să

fie nulă este aceea ca triunghiul forţelor să fie închis, iar condiţia de moment nul

este automat îndeplinită dacă ecuaţia de echilibru corespunzătoare este scrisă în

raport cu punctul de concurenţă al celor trei forţe.

12.4. Aplicaţii

12.1. Bara OA=1,2m este articulată în O şi acţionată de greutatea G= 250N. Ştiind că bara are o greutate p=100N/m şi că este acţionată şi de greutateaQ=500N, se cere să se afle distanţa OB la care se află greutatea Q, astfel încâtpoziţia de echilibru a barei să fie orizontală (fig. 12.2, a).

B

p= 100 N/m

Q

xOG

A

a

G

ABO x

1,200,60

QVO

HO

P

bFig.12.2.



REZOLVARE: Bara OA are o posibilitate de a se roti în jurul articulaţiei din O, deci areun grad de libertate. În poziţia de echilibru, se reprezintă schema de forţe (fig. 12.2,b):- se înlocuieşte articulaţia (legătura) din O cu reacţiunile necunoscute HO şi VO;- forţa uniform distribuită (greutatea proprie) se înlocuieşte cu rezultanta ei:P=p∙OA=100 ∙1,2=120N care acţionează în centrul de greutate al distribuţiei, adică la jumătateabarei;- firul vertical din A se înlocuieşte după secţionare cu tensiunea având intensitatea G.

Necunoscutele din problemă sunt reacţiunile HO şi VO, precum şi distanţa x=OB lacare acţionează greutatea Q. Din cele trei ecuaţii de proiecţie (12.2), ultima furnizează relaţiapentru calculul necunoscutei x:

020,160,0 =⋅+⋅−⋅−= GPQxM Odin care x=0,456 m.Celelalte ecuaţii de echilibru se scriu:

∑ ∑ ==+−=== N. 370 ;0 ,0 OOhOh VGQVYHXVerificarea este ultima etapă în rezolvarea unei probleme de statica şi este obligatorie.

Se verifică condiţia ca momentul rezultant în alt punct, în A de exemplu, să fie identic nul:

04443727220,1370500)456,020,1(20,16,0

20,1)20,1(6,0

=−+==⋅−⋅−+⋅=

=⋅−⋅−+⋅= OA VQxPM

12.2. Să se calculeze reacţiunile din încastrarea stâlpului peron din figura12.3,a.

REZOLVARE: Schema de forţe este reprezentată în figura 12.3,b:- forţa uniform distribuită p se înlocuieşte cu rezultanta P=p ∙ (1,2+1,8)=3kN, pe direcţie

verticală, în centrul de greutate al distribuţiei;- se descompune forţa F: X=F∙cos 30°=1,732 kN, Y=F∙sin30°=1 kN;- după suprimarea încastrării, se reprezintă cele trei necunoscute în A: HA, VA şi MA.

Condiţia de echilibru se exprimă prin sistemul de ecuaţii:X H X Y V P Y M P Y X Mh A h A A A= − + = = − − = = − ⋅ − ⋅ − ⋅ + =∑ ∑∑0 0 0 3 18 4 0, ; , , . din

care se determină după înlocuiri: HA=1,732 kN; VA = 4 kN; MA = 9,628 kNm.

30º

1,81,2

1,0

3,0

F=2 kN

A

BC

p=1kN/m

aFig. 12.3

1,8

x

y

YX

C

P

HA

VA

MA

0,3

4,0

b

B



Verificarea se face punând condiţia ca suma momentelor forţelor în raport cu un altpunct, de exemplu B, să fie identic nulă:

0628,92,143732,1732,1315,132,13135,1

≡+⋅+⋅−−⋅−⋅−==+⋅+⋅−⋅−⋅−⋅−=∑ AAAB MVHXYPM

12.3. Să se determine tensiunile din firele cu care este prinsă placa dinfigura 12.4, cunoscând greutatea G=40N şi dimensiunile plăcii dreptunghiulare:AB = 30 cm, AD = 10 cm.

Răspuns: T1=25,98 N, T2=15 N, T3=30 N.

12.4. Bara AB lungă de 4 m, este articulată în capătul A şi sprijinită încapătul B (fig. 12.5) fiind acţionată de greutatea proprie G = 20 N şi prinintermediul unui fir, de greutatea P =30 N. Să se calculeze reacţiunile din legăturiştiind că AD=1m.

Răspuns: HA= 25,98 N, VA = 17,5 N, VB = 17,5 N.

12.5. Să se calculeze valoarea minimă pe care trebuie să o aibăcontragreutatea Q, astfel încât să nu se deschidă clapeta din figura 12.6, subacţiunea forţei distribuite liniar (presiunea unui lichid).

Răspuns: Rezultanta forţei distribuite este egală cu aria triunghiului presiunilor, dirijatăpe direcţia centrului de greutate al acestuia (F = p h / 2). Din condiţia de moment nul în raport cuarticulaţia O, rezultă Q = 8,633 kN.

A 3

C

2

D E

T3T2

T1

1 B 30º

Fig. 12.4.

G

A

60º

30º B

Fig. 12.5.

C

D

Fig. 12.6.

Q

1,1

0,3

h=1,

2

O

F

0,9

P G



12.5. O platformă OA= 3m este ancorată cu un cablu AB sub un unghiα = 45º (fig. 12.7,a). Să se determine tensiunea din cablu şi reacţiunile dinarticulaţia O, dacă greutatea proprie a platformei este p = 800 N/m.

REZOLVARE: Schema de forţe este reprezentată în figura 12.7,b. Rezultanta forţeidistribuite R = p∙AO = 800∙3 = 2400 N, este aplicatăîn punctul C, la jumătatea barei OA. Firul ABeste înlocuit cu tensiunea T pe direcţia AB. Cele două forţe (R şi T) au suporturile concurente înD. Conform teoremei celor trei forţe, şi cea de-a treia forţă, reacţiunea F din articulaţia O vaavea suportul concurent în D. Din considerente geometrice elementare, triunghiul OAD estedreptunghic isoscel şi asemenea cu triunghiul forţelor din figura 13.7,c. Se obţine T=F=R√2/2 =1697N. Reacţiunea din articulaţia O face un unghi de 45° cu bara OA şi are proiecţiile pedirecţiile orizontală şi verticală egale cu Fcos 45°=1200 N.

12.6. O vergea OA=28cm reazemă sub unghiul de 35º într-un vas, capătulsuperior ieşind în afară cu 8cm (AB=8 cm, fig. 12.8). Cunoscând greutateaG=0,35N, să se calculeze reacţiunile.

Răspuns: Reacţiunea din B este normală la direcţia vergelei NB=0,201 N. La capătulinferior O, se stabileşte reacţiunea VO= 0,186 N (↑) şi reacţiunea HO= 0,115 N (←).

12.7. Bara OA suportă la un capăt o greutate G=5 kN (fig. 12.9), fiindarticulată la celălalt capăt şi susţinută la jumătatea ei de un pendul orizontal (baradublu articulată BC). Să se afle reacţiunile din articulaţie şi pendul.

Răspuns: TCB=10√3=17,32kN(←), HO=10√3=17,32kN(→) şi VO=5kN(↑).

A

Fig.12.7.

T

F

R

c

45°

O

B

A p

a

45°

C

D

O

R

FT

b

45°

35° O

B

C

A

G

Fig. 12.8.

30°G

O

B C A

Fig. 12.9.


13. NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA

Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în

considerare masa acestora şi acţiunile care se exercită asupra lor. Studiind numai

aspectul mişcărilor din punct de vedere geometric, această parte a mecanicii se mai

numeşte şi geometria mişcărilor. Prin urmare, în cinematică se folosesc mărimile

fundamentale de spaţiu şi timp.

Mişcarea este o noţiune care cuprinde în sfera ei următoarele elemente:

corpul sau mobilul care efectuează mişcarea, mediul sau spaţiul în care se

desfăşoară mişcarea şi sistemul de referinţă în raport cu care se studiază mişcarea.

Atunci când reperul este considerat fix mişcarea se numeşte absolută, iar când

reperul este considerat mobil mişcarea se numeşte relativă.

13.1. Problema generală

Cunoaşterea mişcării unui punct material implică răspunsul la două

întrebări: unde se găseşte la orice moment de timp şi cum se mişcă faţă de

sistemul de referinţă considerat. În general, răspunsul se obţine în mod direct dacă

este cunoscut vectorul de poziţie r ca funcţie de timp (fig. 13.1)

r r t= ( ) (13.1)

Această funcţie vectorială trebuie să fie: continuă, uniformă (punctul nu poate

ocupa simultan două poziţii în spaţiu), finită în modul şi derivabilă de cel puţin

două ori. Relaţia vectorială (13.1) reprezintă legea (vectorială) de mişcare a

punctului material.

Vectorul r este definit de trei funcţii scalare (coordonate) în spaţiu, de două

pe o suprafaţă şi de una pe o curbă, din care rezultă că punctul are trei, două şi

respectiv un grad de libertate.



13.2. Traiectoria

Traiectoria este locul geometric al poziţiilor succesive pe care punctul

material le ocupă în spaţiu, în timpul mişcării. Între traiectoria şi curba pe care se

deplasează punctul nu există totdeauna o coincidenţă. Ţinând cont că mişcarea

începe de la un anumit moment t0 şi se termină la un alt moment t1, iar timpul este

strict crescător, domeniul de existenţă al acestuia impune condiţii restrictive

coordonatelor geometrice. Spre exemplu, pe un cerc, un punct poate parcurge

numai un arc sau poate parcurge de mai multe ori cercul, iar pe o dreaptă poate

parcurge numai un segment din aceasta, ci nu toată dreapta.

Referitor la definirea curbei traiectorii a punctului material se impun unele

precizări referitoare la gradul de mobilitate a punctului material.

a) În cazul punctului material liber (gradul de mobilitate este 3) traiectoria

rezultă din expresia vectorului de poziţie r t( ) care se defineşte în general cu

ajutorul a trei funcţii scalare.

– În sistemul de referinţă cartezian, triortogonal, drept aceste funcţii sunt:

x x t y y t z z t= = =( ), ( ), ( ) (13.2)

iar vectorul de poziţie r t( ) se poate scrie:

r t xi yj zk( ) = + + (13.3)

unde i j k, , sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz (fig. 13.1).

z yO

z

M0(r,θ,0)r

M(r,θ,z)

in

θ irx

Fig. 13.2

s(t)

M0

M

Fig. 13.3.

zy

Ox

z

M0(x,y,0)

r

y

M(x,y,z)

x

Fig. 13.1.


Noţiuni de bază în cinematică 77

– În sistemul coordonatelor cilindrice (fig. 13.2) cele trei funcţii scalare sunt:

raza polară r, unghiul polar θ şi cota punctului z. Se pot scrie sub forma:

)( ,)( ),( tzzttrr === θθ (13.4)

Vectorul de poziţie variabil are expresia în acest caz:

kzirtr r +=)( (13.5)

Ecuaţiile (13.2) şi (13.4) sunt ecuaţiile parametrice ale traiectoriei.

Eliminând parametrul timp (t) se poate obţine ecuaţia curbei respective.

EXEMPLU:

Dacă vectorul de poziţie al unui punct material aflat în planul xOy (adică z = 0)

este dat sub forma: r t t i t j( ) = cos ( ) sin ( )θ θ+ , atunci ecuaţiile parametrice în sistemul

coordonatelor carteziene sunt: x t= cos ( ),θ y t= sin ( )θ . Eliminarea parametrului t se

realizează folosind relaţia trigonometrică sin cos2 2 1θ θ+ = din care se deduce

ecuaţia unui cerc de rază egală cu unitatea: x y2 2 1+ = .

OBSERVAŢIE:

Traiectoria poate fi dată şi direct, prin ecuaţiile ei (sub formă implicită sau

parametric, unde însă parametrul nu este timpul). În acest caz informaţia conţinută

în date este mai săracă decât cea conţinută în precizarea funcţiei r r t= ( ), ceea ce

lasă problema de cinematică nedeterminată, dacă nu se furnizează şi alte informaţii

referitoare la mişcare [2].

b) În cazul punctului material cu legături gradul de mobilitate este mai mic

decât trei (cât avea punctul material liber), dar nu mai puţin de unu. Rezultă că se

studiază mişcarea punctului cu una sau două legături simple. Spre deosebire de

cazul punctului material liber, traiectoria punctului material cu legături poate avea

o existenţă concretă, mergând până la identificarea ei cu legătura aplicată. Astfel,

în cazul punctului material cu un grad de libertate şi având în vedere că traiectoria

este o curbă continuă şi că aceasta are în orice punct o tangentă unică, atunci

poziţia punctului se poate stabili cu ajutorul unui singur parametru scalar:



coordonata curbilinie s care reprezintă arcul de curbă, măsurat de la o origine a

arcelor M0, în sensul mişcării (fig. 13.3). Relaţia

)(tss = (13.6)

reprezintă ecuaţia orară a mişcării unui punct pe o curbă. De exemplu, în cazul

mişcării punctului pe cerc, lungimea arcului s este egală cu produsul razei R prin

unghiul la centru θ : s R t= θ( ) .

În cazul când legăturile sunt date explicit în enunţul problemei, trebuie ţinut

cont ca mişcarea (adică vectorul de poziţie r t( ) ) să fie compatibilă cu acele

legături. Astfel, dacă există o legătură dublă, în speţă punctul se mişcă pe o

dreaptă (se poate considera modelul unui inel în mişcare pe o bară rectilinie),

atunci punctul material are un grad de libertate, iar vectorul de poziţie este scris

utrr )(= , unde u este versorul dreptei respective. Dar problema poate fi

formulată fără a preciza existenţa legăturilor, şi atunci următorul exemplu pune în

lumină existenţa unor grade de mobilitate (sau de libertate) efective. Dacă se cere

“să se studieze mişcarea punctului atunci când se dă vectorul de poziţie utrr )(= ,

unde u este versorul unei direcţii fixe”, răspunsul este că punctul are o mişcare

rectilinie (cum se va studia în paragraful 14.3.1, pagina 87), iar punctul material

are gradul de mobilitate efectiv egal cu unu. Nu rezultă dacă celelalte două grade

de libertate sunt pasive (exemplul mişcării libere pe verticală a unui punct având

acceleraţia gravitaţională) sau că există o legătură simplă (mişcarea rectilinie a

unui punct pe o suprafaţă) şi că în acest caz punctul are un grad de libertate

pasiv.

13.3. Viteza

Răspunsul la întrebarea la întrebarea cum se mişcă punctul se obţine

introducând pe rând noţiunile de viteză, apoi de acceleraţie. Astfel, considerând

două mobile, acestea pot parcurge distanţe diferite în intervale de timp egale sau



aceleaşi distanţe în intervale de timp diferite, rezultă că introducerea unei prime

noţiuni, numită viteză, este absolut necesară.

Se consideră un punct pe o traiectorie curbilinie mai întâi în poziţia A1, apoi

în poziţia vecină A2. Intervalul de timp ∆t pentru parcurgerea arcului A1A2 fiind

foarte mic, se poate asimila elementul de arc cu elementul de coardă. Se defineşte

ca viteză medie, raportul

v rtm = ∆

∆(13.7)

Dacă intervalul de timp tinde căte zero, adică A1 tinde către A2, viteza medie

devine viteza instantanee (fig. 13.4):

v rt

rt

rt

= = =→

•lim∆

∆∆0

dd

(13.8)

Notaţia obişnuită pentru derivata unei funcţii scalare sau vectoriale în raport cu

timpul t este cu un punct plasat deasupra simbolului funcţiei respective:dd

) = ( )t

(•

(13.9)

Stabilirea elementelor caracteristice vectorului viteză se află din relaţia

anterioară (13.8):

v rt

rr

rs

st

st

st t t t

= = ⋅ ⋅ = =→ → → →

•lim lim lim lim∆ ∆ ∆ ∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆0 0 0 0

dd

τ τ (13.10)

deoarece

lim ; lim ; lim∆ ∆ ∆

∆∆

∆∆

∆∆t t t

rr

rs

st

st

s→ → →

•= = = =

0 0 01τ d

d(13.11)

unde s-a notat cu τ versorul tangentei la curbă. Prin urmare, viteza este un vector

legat, cu direcţia tangentă la curbă şi sensul dat de sensul mişcării. Din punct de

vedere dimensional, ecuaţia vitezei este [v] = LT-1, iar ca unitate de măsură în SI

este “metru pe secundă (m/s)”.



13.4. Acceleraţia

Noţiunea de acceleraţie este introdusă pentru a caracteriza modul de

variaţie al vitezei în timpul mişcării, ca direcţie, sens şi modul. Variaţia vitezei ∆v

între două poziţii vecine A1 şi A2, raportată la intervalul de timp ∆t se defineşte ca

o mărime medie vectorială şi anume, acceleraţia medie (fig. 13.5):

a vtm = ∆

∆(13.12)

Acceleraţia instantanee a (numită simplu acceleraţie) se obţine prin

trecere la limită, adică:

a vt

vt

v rt

= = = =→

• ••lim∆

∆∆0

dd

(13.13)

Ca şi viteza, acceleraţia este un vector legat punctului în mişcare. Ecuaţia de

dimensiuni a acceleraţiei este [a]= LT–2. Unitatea de măsură pentru acceleraţie în

SI este m/s2.

13.5. Viteza şi acceleraţia unghiulară

Poziţia unui punct pe o traiectorie circulară poate fi precizată cu ajutorul

unui unghi polar θ , raportat la o axă fixă:

θ θ= ( )t (13.14)

Pe cercul din figura 13.6 se consideră două poziţii succesive A1 şi A2.

∆r

O

trvm ∆

∆=

A2

A1

r(t+∆t)

r(t)

Fig. 13.4.v

A2

aam

v’

v

∆v v’

Fig. 13.5.



Analog cu viteza medie, viteza unghiulară medie se defineşte:

ω θm t

= ∆∆

(13.15)

Viteza unghiulară instantanee este:a

t tt= = =

→

•lim∆

∆∆0

θ θ θdd

(13.16)

iar acceleraţia instantanee

ε ω ω ω θ= = = =→

• ••lim∆

∆∆t t t0

dd

(13.17)

Dimensiunile acestor mărimi fizice sunt [ω ] = T -1 şi [ε ] = T -2, iar unităţile lor de

măsură sunt respectiv rad/s şi rad/s2.

13.6. Clasificarea mişcărilor

Criteriile de clasificare folosite în mod obişnuit sunt după forma

traiectoriei (rectilinie sau curbilinie) şi după modul de variaţie a vitezei sau a

acceleraţiei. Mişcarea în care viteza este constantă în modul se numeşte mişcare

uniformă, iar mişcarea în care viteza este variabilă se numeşte mişcare variată.

Dacă viteza este o funcţie liniară în raport cu timpul, mişcarea se numeşte uniform

variată. Se cunosc două posibilităţi: dacă viteza şi componenta tangenţială a

acceleraţiei au acelaşi sens, mişcarea este uniform accelerată, iar dacă au sensuri

contrare, mişcarea este uniform încetinită.

Fig. 13.6.

x

y

θ(t+∆t)

A2

θ(t)

A1

O



13.7. Aplicaţii

13.1. Cunoscând coordonatele parametriceale mişcării punctului, să se determine şi să sereprezinte traiectoria acestuia pentru intervalul de timpde 2 secunde de la începutul mişcării: x = 2t –1 şi y =2 –4t.

REZOLVARE: Se elimină parametrul timp înte celedouă coordonate. Astfel, din prima relaţie se scoate t şi seintroduce în cea de-a doua: 2t=x +1, de unde y=2 -2(x+1),adică se obţine ecuaţia unei drepte y=-2x (fig. 13.7). La momentul iniţial t0 = 0s, punctul arecoordonatele x(0)=0 şi y(0)=0, aflându-se în origine. După t1=2 secunde, coordonatele sunt:x1= x(2)=3m şi y1=y(2)=-6m.

13.2. Se reiau cerinţele din problemaanterioară 13.1 pentru următoarele coordonateparametrice: x=t şi şi y=2t2.

REZOLVARE: Se obţine imediat y=2x2, adică suportultraiectoriei este o parabolă care trece prin origine (la momentuliniţial), prin punctul P1(2,8) la timpul t1=2 secunde şi are dreptaxă de simetrie, axa Oy (fig. 13.8).

13.3. Să se determine viteza punctului la 0,25 secunde de la debutulmişcării, cunoscând că efectuează o mişcare rectilinie după legea s =2sinπt.

REZOLVARE: Mişcarea fiind rectilinie, viteza se află din relaţia (13.10):

tsv ππcos2== ! . La momentul cerut, t1=0,25 s rezultă smv /44,42221 == π .

13.4. Să se reprezinte traiectoria punctului P şipoziţia acestuia la momentul iniţial, la t1= 2s şi la t2= 4s dela începerea mişcării:

x=1sin(πt/4) şi y=2cos(πt/4).

REZOLVARE: Eliminarea parametrului timp se faceutilizând identitatea trigonometrică: 1)4/(cos)4/(sin 22 =+ tt ππ .

După înlocuiri se obţine ecuaţia elipsei: 121 2

2

2

2

=+ yx, care are

semiaxele egale cu 1m şi respectiv 2m (fig. 13.9). Coordonalele punctelor cerute sunt: P0(0,2),P1(1,0) şi P2(0,-2).

P1(3,–6)

y

O x

Fig. 13.7.

y

O

P1(2,8)

x

Fig. 13.8.

P2(0,-2)

y

x P1(1,0)

P0(0,2)

2

1

Fig. 13. 9.


14. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

14.1. Cinematica punctului în coordonate carteziene

Poziţia punctului la un moment dat (fig. 13.1) se poate exprima în

sistemul de coordonate carteziene prin intermediul coordonatelor x, y, z sau prin

intermediul vectorului de poziţie r t( ) conform relaţiilor (13.1) şi (13.2). Aşa

cum s-a arătat, ecuaţia curbei traiectoriei punctului se poate găsi prin eliminarea

timpului între coordonatele x, y, z care sunt funcţii de timp.

În problema plană (pesupunem că mişcarea se produce în planul xOy),

ecuaţiile parametrice ale traiectoriei se scriu:

x f ty f t

==

1

2

( )( )

(14.1)

Între coordonatele x şi y există relaţia:

r t x i y j( ) = ⋅ + ⋅ (14.2)

După eliminarea timpului între cele două funcţii f1 şi f 2 din relaţia (14.1), se

obţine:

y f x= ( ) (14.3)

care reprezintă ecuaţia curbei suport a traiectoriei (curbă plană).

Din relaţia de definiţie a vitezei (13.8) se stabileşte:v r

tr x i y j= = = ⋅ + ⋅d

d! ! ! (14.4)

deoarece versorii axelor Ox şi Oy sunt constanţi (sistemul de axe xOy este fix).

În expresia (14.4) se identifică proiecţiile vitezei:

v xv y

x

y

==

!

!(14.5)



Se observă că proiecţia vitezei unui punct pe o axă este egală cu viteza

proiecţiei punctului pe acea axă.

Mărimea vitezei rezultă:

v v v x yx y= + = +2 2 2 2! ! , (14.6)

iar direcţia se calculează (fig. 14.1):

tgα = =vv

yx

y

x

!

!. (14.7)

Acceleraţia punctului se stabileşte conform relaţiei (13.13) prin derivarea

vitezei:

a v v i v j x i y jx y= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅! ! ! !! !! , (14.8)

adică proiecţiile acceleraţiei pe axe sunt egale cu:

a v xa v y

x x

y y

= == =

! !!

! !!, (14.9)

iar mărimea şi direcţia acesteia se calculează:

a x y= +!! !!2 2 (14.10)

tgα = =aa

yx

y

x

!!

!!(14.11)

Se reaminteşte că vectorul viteză are direcţia tangentă la traiectorie, iar

vectorul acceleraţie este orientat întotdeauna către interiorul traiectoriei.

14.2. Cinematica punctului în triedrul lui Frenet

Se consideră cunoscută traiectoria punctului material şi se alege un sistem

de referinţă cu originea în punctul M având următoarele axe notate:

- τ tangenta la traiectorie, cu sensul pozitiv orientat în sensul mişcării

punctului;

- ν normala principală la traiectorie în M, cu sensul pozitiv spre centrul de

curbură;


Cinematica punctului 85

- β binormala perpendiculară pe planul τ νM , cu sensul pozitiv astfel încât,

cele trei axe să formeze un triedru drept (fig. 14.2).

Deoarece poziţia punctului poate fi definită cu ajutorul coordonatei curbilinii s,

şi ţinând cont de definiţia vitezei şi de relaţia (13.10), rezultă:

v s v= ⋅ = ⋅! τ τ (14.12)

Din această relaţie rezultă urmăoarele proprietăţi ale vectorului viteză:

- viteza are direcţia tangentei la traiectorie;

- sensul vitezei este în sensul mişcării;

- mărimea vitezei este egală cu valoarea derivatei cooronatei curbilinii.

Acceleaţia se stabileşte derivând viteza din expresia (14.12) şi unde se

ţine seama de faptul că versorul τ se derivează deoarece este de direcţie

variabilă:

a v s s= = ⋅ + ⋅! !! ! !τ τ (14.13)

unde: ! !!

τ τ τ τρ

ν= = ⋅ = =dd

dd

dd

ddt s

st

ss

s (14.14)

deoarece conform formulei lui Frenet:ddτ

ρν

s= 1 (14.15)

unde ρ reprezintă raza de curbură în poziţia considerată. Din relaţiile (14.13) şi

(14.14) se obţine:

y

x

r

axvy

vx

OFig. 14.1.

M(x,y)

aay

M0

ν

τaτ

Fig. 14.2.

r

s

aν

M(s)v

a

O



a s s a a= ⋅ + = ⋅ + ⋅!!!

τρ

ν τ ντ ν

2

(14.16)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele triedrului lui Frenet sunt:

a s v

a s v

a

τ

ν

β

ρ ρ

= =

= =

=

!! !;!

;

.

2 2

0

(14.17)

Modulul acceleraţiei se calculează:

a v v= +4

22

ρ! (14.18)

Proprietăţile de care se bucură vectorul acceleraţie decurg din interpretarea

relaţiilor anterioare:

- componenta normală νa este îndreptată întotdeauna spre centrul de curbură al

traiectoriei şi prin urmare vectorul acceleraţie este îndreptat spre interiorul

acestei curbe;

- componenta tangenţială a acceleraţiei aτ , arată variaţia mărimii vitezei, în timp

ce componenta normală νa arată variaţia vitezei în direcţie;

- dacă v a v a⋅ = ⋅ >τ τ 0 mişcarea este accelerată, iar dacă v a⋅ <τ 0 mişcarea este

încetinită.

OBSERVAŢII

! Dacă v=const., atunci aτ = 0 şi deci mişcarea este uniformă.

! Acceleraţia este zero dacă ambele componente ale acceleraţiei sunt nule.

Condiţia aν = 0 este adevărată dacă ρ = ∞ , sau altfel spus, dacă mişcarea este



rectilinie. În concluzie, singura mişcare în care acceleraţia este nulă este

mişcarea rectilinie uniformă.

! Raza de curbură a curbei suport se poate determina pe cale cinematică, din

relaţia (14.18):

ρ =−

va v

2

2 2!(14.19)

14.3. Mişcări particulare ale punctului material

Criteriile de clasificare ale mişcărilor punctului material sunt stabilite

după forma traiectoriei şi după modul de mişcare pe traiectorie.

Clasificarea după forma traiectoriei:

- mişcarea rectilinie;

- mişcarea curbilinie; dacă raza de curbură este constatantă, avem o

mişcare circulară care reprezintă un caz important de mişcare curbilinie.

Clasificarea după modul de mişcare:

- mişcarea uniformă în care viteza punctului este constantă;

- mişcarea neuniformă din care se detaşează mişcările uniform

variate ca fiind cazurile cele mai frecvent întâlnite.

14.3.1. Mişcarea rectilinie

Traiectoria unei mişcări rectilinii este o dreaptă. Dacă se consideră axa

Ox chiar axa mişcării, atunci coordonata x a punctului este şi coordonata



curbilinie. Rezultă că se va studia mişcarea folosind rezultatele obţinute cu

ajutorul triedrului mobil al lui Frenet în cazul particular când traiectoria este o

dreaptă. Pentru viteză şi acceleraţie se obţin expresiile:

v s x= =! ! (14.20)

a v s x= = =! !! !! (14.21)

din care se deduce proprietatea că în cazul mişcării rectilinii, cei doi vectori

viteză şi acceleraţie sunt coliniari şi reciproc, dacă viteza şi acceleraţia sunt

doi vectori coliniari, atunci mişcarea este rectilinie (fig. 14.3). Studiul complet

al mişcării se poate face numai dacă se cunosc condiţiile iniţiale ale mişcării:

poziţia iniţială x0 şi viteza iniţială v0.

Mişcarea rectilinie uniformă este mişcarea pentru care viteza este

constantă şi deci acceleraţia nulă (a = 0):

v v= 0 (14.22)Rezultă:

v x v= =! 0 . (14.23)Prin integrare se găseşte:

x v t C= +0 , (14.24)

iar din condiţiile iniţiale se obţine C x= 0 . Legea de mişcare este deci:

x v t x= +0 0 (14.25)

Diagramele mişcării sunt reprezentate în figura 14.4.

M

s = x xv

a

O

Fig. 14.3.

v

v0

O t

a

a = 0O t

x

x0

O t

Fig. 14.4.



Dacă acceleraţia este constantă, atunci mişcarea este uniform variată

(accelerată sau încetinită). Pornind de la caracteristica mişcării:a a const= =0 .

se deduce

a x a= =!! 0 (14.26)

relaţie care se integrează de două ori şi se obţine:

!x a t C= +0 1 (14.27)

x a t C t C= + +12 0

21 2 (14.28)

Constantele de integrare C1 şi C2 se stabilesc din condiţiile iniţiale ale mişcării:

t x x v v= = =0 0 0; ; , (14.29)

Se determină

C v C x1 0 2 0= =; . (14.30)

În acest caz legea de mişcare (14.27) devine:

x a t v t x= + +12 0

20 0 , (14.31)

iar expresia vitezei (14.46) va avea forma:

!x a t v= +0 0 (14.32)

Exemple de diagrame ale mişcării uniform accelerate sunt ilustrate în figura

14.5, iar pentru mişcarea uniform încetinită, în figura 14.6.

v

v0

O t

x

x0

O t

aa0 > 0

O t

a0

Fig. 14.5.



14.3.2. Mişcarea circulară

În mişcarea circulară, punctul este localizat pe traiectoria sa care este un

cerc, prin coordonata curbilinie s (fig. 14.7). Arcul de cerc s descris de punct are

un unghi la centru θ şi se poate exprima funcţie de raza cercului R prin relaţia:

s R= θ . (14.33)

Viteza are mărimea:

v s R R= = =! !θ ω , (14.34)

iar pentru componentele acceleraţiei se obţin expresiile:

a s v R Rτ θ ε= = = =!! ! !! (14.35)

a vR

R Rν θ ω= = =2

2 2! , (14.36)

Componenta normală aν , are direcţia razei cercului şi sensul orientat spre

centrul cercului (fig. 14.14).

v

v0

O t

x

x0

O t

a

a0 < 0O ta0

Fig. 14.6.

Fig. 14.7.

εω

εω

a bFig. 14.8.

ba



Modulul acceleraţiei este

a a a R= + = +τ ν ε ω2 2 2 4 (14.37)

Cazuri particulare:

- mişcarea circulară uniformă pentru ω = const. se stabileşte aτ = 0 şi

aν ≠ 0; legea de mişcare este

θ ω θ= +t 0 (14.38)

- mişcarea circulară uniform variată pentru ε = const. rezultă aτ ≠ 0 şi

aν ≠ 0; în acest ultim caz, dacă viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε

au acelaşi sens (fig. 14.8,a), mişcarea circulară este uniform accelerată, iar dacă

ω şi ε au sensuri opuse (fig. 14.8,b), atunci mişcarea circulară este uniform

întârziată. Viteza unghiulară se obţine

ω ε ω= +t 0 (14.39)

iar legea de mişcare este:

θ ε ω θ= + +12

20 0t t (14.40)

OBSERVAŢII

! Se poate stabili o analogie între mişcările rectilinie şi circulară ale punctului

material (uniform şi uniform variate), dacă se compară mărimile x cu θ , v cu ω ,

şi a cu ε .

! Pentru viteza unghiulară se poate da o reprezentare vectorială, considerând

că este un vector alunecător, perpendicular pe planul cercului şi care trece prin

centrul său. Sensul vectorului ω este determinat (aplicând regula şurubului sau

burghiului drept) de sensul vitezei punctului:

v r= ×ω (14.41)

unde r OM= (fig. 14.7,b).



14.4 Aplicaţii

14.1. Ecuaţiile parametrice ale mişcării unui punct material suntcunoscute, coordonatele x şi y fiind măsurate în metri:

x ty t

=

= −

/ ;212

Să se stabilească şi să se reprezinte traiectoria punctului, apoi să se calculeze şisă se reprezinte viteza şi acceleraţia acestuia după jumătate de secundă de laînceputul mişcării.

Rezolvare:Eliminând parametrul timp din ecuaţiile date, se află:

t xy x=

= −

24 12

;.

Ultima relaţie este ecuaţia unei parabole (curba suport a traiectoriei), reprezentate în figura14.9. Proiecţiiele vitezei se calculează:

v xv y t

x

y

= == =

! . ;! ,

0 52

iar mărimea şi direcţia acesteia sunt:

v v v tx y= + = +2 2 20 25 4. tg = yαvv

tx

= 4 .

Acceleraţia are proiecţiile:a xa y

x

y

= == =

!! ;!! ,

02

iar mărimea şi direcţia sunt date de relaţiile:a m s= 2 2/ = / 2.α π

Poziţia, viteza şi acceleraţia punctului la momentul cerut, t1=0.5s (fig. 14.9) se calculează:

x x t y y t

v v vx y

1 1 1 1

1

0 25 0 75

0 5 1

= = = = −

= =

( ) , ( ) ,

.

.

m; m;

m / s; m / s; = 1,25 =1,118 m / s ;

a = 2 m / s 2

OBSERVAŢIE! În mişcarea punctului pe o parabolă, acceleraţia este constatntă în mărime,direcţie şi sens şi reciproc, dacă acceleraţia punctului este constatntă în mărime,direcţie şi sens, atunci punctul descrie o parabolă.

A (0.5, 0)

M0 (0, -1)M1 (0.25, –0.75)

O y

v1y v1

v1x

x

Fig.



14.2. Un punct descrie un cerc de rază 0,4 m, unghiul la centru având

expresia θ π( )t t=4

2 (rad). Să se calculeze şi să se reprezinte viteza şi acceleraţia

punctului după două secunde de la începutul mişcării.

Rezolvare: După două secunde, poziţia punctului pe cerc este dată de valoarea unghiului lacentru θ θ π( ) ( )t1 2= = rad (fg. 14.10). Viteza are mărimea:

v R Rt= = ≅! ,θ π2

1 256 m / s ,

iar componentele acceleraţiei sunt:

a R R

a R Rt

τ

ν

θ π

θ π

= = ≅

= = ≅

!! , ;

! , ;

20 628

43 9442

22

m / s

m / s

2

2

din care se calculează şi mărimea acceleraţiei

a a a= + ≅τ ν2 2 4 m / s2 .

14.3. Să se studieze mişcarea uniformă a unui punct pe o elicecirculară, cunoscând raza cilindrului R, viteza v0 şi panta α a elicei (fig.14.11,a).

Rezolvare: Între pasul p şi panta α a elicei există relaţia (fig. 14.11,b): p R= ⋅2π αtg . Înraport cu vsistemul de referinţă Oxyz ecuaţiile parametrice ale elicei, funcţie de unghiul θ ,sunt: x R y R R= ⋅ = ⋅ ⋅cos , sin ,θ θ θ α z = tgRezultă proiecţiile vitezei punctului:

! ! sin , ! ! cos , ! !x R y R z R= − ⋅ = ⋅ = ⋅θ θ θ θ θ α tg

v v x y z R R vR

const= = + + = + = ⇒ = =02 2 2 2 01! ! ! !

!

cos! cos

.θ α θα

θα

tg

θ1M1 M0

aν

aτ a

v1Fig. 14.10.

M1

Fig. 14.11.

M0

M’

M

Rθ

p

2πR

α

b

y

z

O

R

θ

M’

xa

M M0

M1



Proiecţiile acceleraţiei se calculează ţinând cont că !!θ = 0 :!! ! cos , !! ! sin , !! .x R y R z= − ⋅ = − ⋅ =θ θ θ θ2 2 0

şi deci acceleraţia este un vector aflat într-un plan paralel cu planul orizontal, având direcţiaparalelă cu direcţia razei OM ' : a R i j= − ⋅ − ⋅! ( cos sin )θ θ θ2 şi mărimea

a Rv

R= =! cos

θα2 0

2 2

. Utilizând relaţia (14.19), se calculează raza de curbură a elicei:

ρα

=−

= = =va v

va

R const2

2 2

2

2! cos

.

14.4. Să se stabilească şi să se reprezinte traiectoria punctului, dacăecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

x t y t= =

33

23

cos sin .π π;

Să se calculeze şi să se reprezinte viteza şi acceleraţia punctului la momentuliniţial (t0 = 0s) şi la timpul t1 =1,5s de la începutul mişcării.

Răspuns: curba suport a traiectoriei este elipsa x y2 2

4 91+ = , poziţia iniţială este în

punctul de coordonate M0(3,0), iar poziţia la t1 este punctul M1(0,2). Vectorul viteză are

expresia: v t i t j= − ⋅ + ⋅π π π πsin cos3

23 3

, iar vectorul acceleraţie este:

a t i t j= − ⋅ − ⋅π π π π2 2

3 32

9 3cos sin .

14.5. Să se determine viteza şi acceleraţia punctului la o secundă de laînceputul mişcării , cunoscând că efectuează o mişcare rectilinie după legea:s t= 4

4sin π . Să se reprezinte şi diagramele mişcării.

Răspuns: Punctul efectuează o mişcare oscilatorie, cu viteza v t i= ⋅π πcos4

şi cu

acceleraţia a t i s i= − ⋅ = −

⋅π π π2 2

4 4 4sin .

14.6. Să se calculeze şi să se reprezinte viteza şi acceleraţia punctuluicare se roteşte uniform pe cu cerc de raza de 1m, în sens antiorar, cu vitezaunghiulară ω 0 2= rad / s , după ce a efectuat un sfert de rotaţie.


Complemente de Mecanică 95

TESTUL 1 (Trigonometrie)

1.Distanţa dintre punctele A(-2;-1) şi B(6;y) este egală cu 10. Să se calculeze:a) toate valorile pe care le poate avea y; (**)b) cosinuşii directori ai versorului direcţiei AB; (***)c) proiecţiile vectorului AB . (*)

2. Punctele A(-4;1), B(-2;1) şi C(3;-1) formează un triunghi dreptunghi?Verificaţi răspunsul. (**)

3. Unghiurile unui triunghi sunt (x + 72)º, (4x + 15)º şi (5x - 7)º. Să se aflemăsurile celor trei unghiuri. (*)

4. Să se găsească valorile exacte ale funcţiilor trigonometrice date de vectorul depoziţie al punctului P(2√2;1). Raţionalizaţi numitorul şi simplificaţi. (***)

sinα tgα secαcosα ctgα cosecα

5. Pentru funcţiile trigonometrice din tabelul următor, completaţi cu semnulcorespunzător cadranului: (*)

Cadranul: cosα cosecα tgαIIIII

6. Completaţi următorul tabel, folosind valorile exacte: (*)

α 90º 60º 0º 30ºsinαcosα

7. Într-un triunghi oarecare se cunosc o latură şi două unghiuri: latura a= 2,00 m,unghiul B = 45º (dintre laturile a şi c) şi unghiul C = 60º (dintre a şi b). Să serezolva triunghiul. (******)

Observaţii:

• Timpul orientativ pentru lucru independent este de 50 minute. Nu se folosescdocumente sau materiale ajutătoare.

• Punctajul acordat este de 20 puncte, steluţele marcând la fiecare enunţponderea corespunzătoare.



TESTUL 2 (Operaţii cu forţe)

1. Sistemul de forţe concurente în punctul O estedesenat la scară (fig. T2.1). Să se scrie expresiilevectoriale ale forţelor şi să se calculeze rezultantaacestora. Se cunoaşte F1x =P. (******)

2. Cele două forţe din figura T2.2 reprezentate lascară, formează un cuplu. Ştiind că mărimeafiecăreia este egală cu P√13 şi că lungimea laturiiunei diviziuni a caroiajului este egală cu a, se ceresă se scrie torsorul în raport cu punctul O.(*****)

3. Forţa F este paralelă cu axa Ox şi are proiecţia Fx = 12 N. Cunoscândmomentul acesteia în raport cu punctul O, MO = 27 Nm, să se calculeze mărimeaşi braţul forţei. Să se determine ordonata punctului A de pe axa Oy prin caretrece suportul forţei F. (**).

4. Fiind date expresiile: jYiXF += şi kMM OzO = , să se calculeze mărimea şibraţul forţei pentru: X = 6P, Y = 8P şi MOz=14Pl. Intensitatea forţei P şilungimea l sunt cunoscute. (***) .

5. Să se calculeze torsorul sistemului format din două forţe ),,(1 PPPF − şi),,0(2 PPF − , cu originile în punctele A1( l, 0, l) şi respectiv, A2(0, l, l).(****)

Observaţii:



Fig.T2.2.

O yx

Fig.T2.1.

y

x

F1F2

F3

F4 F5O



TESTUL 3 (Centrul forţelor paralele, centrul de masă)

1. Să se calculeze mărimea rezultantei (*)sistemului de forţe paralele din figura T3.1 şipoziţia centrului acestora (**). Se cunosc:F1 =80 N, F2 =100 N, F3 =170 N, OA=1.1m,AB=0.3m şi BC=0.4m.

2. Să se stabilească rezultanta şi poziţiacentrului forţelor paralele din figuraT3.2. (**)

3. Să se stabilească aria pentu placa din figura T3.3, ştiind călungimea laturii unei diviziuni este egală cu a. (**)

4. Să se descompună placa din figura T3.4 într-un numărminim de elemente simple (*); să se figureze în continuarepoziţiile centrelor de masă ale acestor elemente (**).

5. Să se calculeze poziţia centrului de masă pentru bara omogenă din figuraT3.5, alegând un sistem de axe convenabil. Secunoaşte lungimea laturii diviziunii ca fiind egală cua. Punctaj: sistem axe (*), lungime totală (*),coordonate xc, yc(***) .

6. Să se calculeze poziţia centrului de masă pentruplaca omogenă din figura T3.6, alegând un sistem deaxe convenabil. Se cunoaşte lungimea laturii diviziuniica fiind egală cu a. Punctaj: sistem axe (*), arie totală(*), coordonate xc(**), yc(**) .

Observaţii:



O x

y

C B

A

F1

F2

F3

Fig. T3.1.

+= + –+Fig.T3.4.

Fig.T3.5.

Fig.T3.6.

Fig. T3.2.

20 kN/m 10 kN/m

4.50 m x

Fig. T3.3.



TESTUL 4 (Echilibrul punctului material şi al solidului rigid)

1. Un punct material având greutatea cunoscută G, este legat cu două fire(fig. T4.1). Să se determine tensiunile din fire.(***)

2. Să se studieze echilibrul în planvertical al unui disc circular avândraza R şi greutatea G cunoscute,ştiind că reazemă fără frecare pe unperete, şi este legat cu un fir AB delungime R (fig. T4.2).(***)

3. Bara OA (fig. T4.3) se află în echilibru subacţiunea unei forţe distribuite liniar. Folosindteorema celor trei forţe, să se determine graficdirecţia reacţiunii din articulaţia A, şi să sereprezinte poligonul forţelor în acest caz..(****)

4. Pentru problema de la punctul 3, să se reprezinte schema de forţe şi să se scrieecuaţiile de proiecţie pentru echilibru. Verificare.(*****)

5. Greutatea plăcii triunghiulare din figura T4.5,a este cunoscută (G). Să sereprezinte schema de forţe pe figura T4.5,b (*) şi să se determine tensiunea dinfirul AA’ (*), scriind ecuaţia de echilibru corespunzătore (*). Catetele măsoară2m şi respectiv 6m. Verificare.(**)

Observaţii:



Fig. T4.3

30 kN/m45° A

O

A’ A

O B

Fig. T4.5, a Fig. T4.5, b

A 30°

B

GFig. T4.1.

C

B

O

A

Fig. T4.2.



TESTUL 5 (Cinematica punctului)

1. Un punct A se mişcă pe axa Ox după legea x = 30(t–1), iar punctul B se mişcăpe axa Oy după legea y = 40(t–1). Să se calculeze distanţa dintre cele douăpuncte la momentul iniţial t0 = 0s, apoi la t1 = 1s şi respectiv, la t2 = 3s de laînceputul mişcării. (**)

2. Să se calculeze şi să se reprezinte viteza şi acceleraţia punctului în mişcarearectilinie cu legea s = 3+t–t2/6, la momentul t1 = 1,5s.(**)

3. Să se reprezinte diagramele mişcării pentru datele de la problemaprecedentă.(***)

4. Să se stabilească ecuaţia implicită a traiectoriei şi să se reprezinte graficaceasta, cunoscând ecuaţiile parametrice ale traiectoriei: (**)

=−=

tytx

6sin6cos1

5. Să se determine vectorul viteză de la problema anterioară şi să se reprezinteacesta în punctele corespunzătoare de pe traiectorie la momentul iniţial t0 = 0s,apoi la t1 = π/12 s. (***)

6. Un punct se deplasează după legea s = 4,5 t3 pe un cerc de rază R = 4,00 m. Săse calculeze acceleraţia şi unghiul dintre vectorii viteză şi acceleraţie lamomentul t1 pentru care viteza are valoarea de 6m/s. (****)

7. Pe un scripete de rază R = 0,15m se desfăşoarăun fir după legea s = 4t2 antrenând scripetele într-o mişcare de rotaţie. Să se stabilească vitezaunghiulară ω, viteza şi acceleraţia unui punct depe periferia scripetelui la o secundă de laînceputul mişcării. (****)

Observaţii:



s(t)


ANEXA A

Relaţii trigonometrice într-un triunghi oarecare

Cele mai importante relaţii dintre unghiurile α, β, γ şi laturile a, b, c ale

unui triunghi oarecare ABC (fig. A.1), sunt teorema sinusurilor şi teorema

cosinusului. Teorema cosinusului poate fi înlocuită cu teorema tangentei sau cu

formulele referitoare la jumătatea unghiurilor.

Teorema sinusurilor. Într-un triunghi raportul a două laturi este egal cu raportul

sinusurilor unghiurilor opuse.

γβα sinsinsincba == (A.1)

Teorema cosinusului. Pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu

suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor

înmulţit cu cosinusul unghiului dintre ele.

γβα

cos2,cos2,cos2

222

222

222

abbaccaacbbccba

−+=−+=−+=

(A.2)

Fig. A.1 Fig. A.2

c

b

B A

a

C

α β

γ

β b

α a

c γ


Anexa A 101

Teorema tangentei

Aplicând proprietatea proporţiilor, obţinem din teorema sinusurilor:

2cos

2sin2

2sin

2cos2

sinsinsinsin ,

sinsin

βαβα

βαβα

βαβα

βα

−+

−+

=+−=

+−=

baba

ba (A.3)

Împărţind numărătorul şi numitorul prin 2

cos2

cos βαβα −+ , obţinem teorema

tangentei pentru laturile a şi b; prin permutări circulare obţinem teorema

tangentei şi pentru celelalte perechi de laturi:

2180

2 ,

2tg

2tg

2180

2 ,

2tg

2tg

2180

2 ,

2tg

2tg

βαγαγαγ

αγβγβγβ

γβαβαβα

−°=+++−=−

−°=+++−=−

−°=+++−=−

acaccbcbbaba

` (A.4)

Prin permutări circulare înţelegem că a trece în b, b trece în c, c trece în a.

Acelaşi lucru pentru unghiuri: α→β→γ→α (fig. A.2).

Exprimarea funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor

unui triunghi cu ajutorul laturilor

Se notează perimetrul triunghiului prin 2s, a+b+c=2s sau s=(a+b+c)/2.

Formulele cosinusului:

.)(2

cos ,)(2

cos ,)(2

cosab

scsca

sbsbc

sas −=−=−= γβα (A.5)

Formulele sinusului:

.))((2

cos ,))((2

sin ,))((2

sinab

bsasca

ascsbc

csbs −−=−−=−−= γβα (A.6)

Formulele tangentei:

.)(

))((2

tg,)(

))((2

tg,)(

))((2

tgcss

bsasbss

ascsass

csbs−

−−=−

−−=−

−−= γβα (A.7)


ANEXA BEcuaţii de dimensiuni. Omogenitatea formulelor fizice

Mecanica newtoniană utilizează trei noţiuni fundamentale: spaţiu, masăşi timp. Acestea sunt considerate independente. Ordonarea tuturor mărimilormecanice se face în conformitate cu sistemul mărimilor mecanice fundamentaleLMT care va conţine: lungimea, masa şi timpul.

Unităţile de măsură ale celor trei mărimi fundamentale ale mecanicii sunt:metrul, kilogramul şi secunda, formând “sistemul de unităţi de măsurăfundamentale” (notat MKS). Acest sistem este parte integrantă a sistemuluiinternaţional (SI) de unităţi de măsură care mai include şi unităţile de măsurăamperul, candela, gradul Kelvin, corespunzătoare mărimilor fizice fundamentaleintensitate a curentului electric, intensitate luminoasă şi temperatură absolută.

Mărimile fizice utilizate în afara celor fundamentale se numesc mărimiderivate, ale căror unităţi specifice de măsură (numite unităţi derivate) seexprimă prin unităţile de măsură ale mărimilor fundamentale (vezi tabelul B.1).

Relaţia specifică existentă între o mărime fizică Q şi mărimile fizicefundamentale (în cazul de fată LMT) se defineşte ca fiind ecuaţia de dimensiuni amărimii fizice Q şi are forma generală:

<Q>=f(L,M,T). (B.1)Se înţelege că deoarece legile fizice nu depind de sistemul de unităţi de

măsură în care se exprimă mărimile fizice, formula fizică asociată trebuie sărămână invariantă la schimbarea unităţii de măsură, adică este necesar să fieomogenă în raport cu fiecare dintre mărimile fizice fundamentale. În consecinţărelaţia (B.1) este de forma:

<Q>=LαMβTγ (B.2)în care exponenţii (α, β, γ - numere raţionale) definesc gradele de omogenitatesau dimensiunile relaţiei (B.2) în sistemul LMT. Această relaţie poartă numele deecuaţia dimensională a mărimii Q. Practic, stabilirea formei concrete a ecuaţiei dedimensiuni (B.2) pentru o anumită mărime fizică, rezultă din definiţia mărimiirespective sau dintr-o formulă fizică.

Exemplu: Dimensiunile forţei se deduc din formula fundamentală amecanicii clasice, care se exprimă dimensional:

<F>=<m><a> (B.3)unde: <a>=LT–2,<m>=M, rezultă:

<F>=LMT–2 (B.4)Concluzia: dimensiunile forţei sunt caracterizate de exponenţii α=1, β=1 şi γ= –2.

Domeniul de aplicare pentru ecuaţiile de dimensiuni şi pentru omogenitateaformulelor fizice cuprinde:

• omogenitatea, criteriu fundamental la verificarea valabilităţii unorformule fizice şi determinarea dimensiunilor unor mărimi fizice rezultânddin formule fizice dacă acestea sunt presupuse corecte;


Ecuaţii de dimensiuni. Omogenitatea formulelor fizice 103

• omogenitatea, suport unic la schimbarea unităţilor de măsură şiverificarea compatibilităţii sistemului de unităţi de măsură fundamentale.

Tabelul B.1: Unele unităţi de măsură din Sistemul Internaţional SI utilizate în Mecanică

Unitatea de măsurăNr. MărimeaDenumirea Simbol

Unităţi fundamentale1 lungime metru m2 masă kilogram kg3 timp secundă s

Unităţi derivate (mărimi geometrice şi mecanice)1 arie metru pătrat m2

2 volum metru cub m3

3 densitate (masă volumică) kilogram pe metru cub kg/m3

4 frecvenţă hertz Hz=1/s5 viteză metru pe secundă m/s6 viteză unghiulară unu pe secundă 1/s7 acceleraţie metru pe secundă la pătrat m/s2

8 acceleraţie unghiulară unu pe secundă la pătrat 1/s2

9 forţă newton N=kg∙m/s2

10 presiune pascal Pa=N/m2

11 energie, lucru mecanic joul J=N∙m12 putere watt W= J/s

Tabelul B.2: Multiplii şi submultiplii cu denumire specială ai unităţilor de măsură din SI

Nr. MărimeMultiplu sau

submultiplu alunităţii din SI

Denumirespecială Simbol

1 volum, capacitate 10-3 m3 litu l2 masă 103 kg tonă t3 forţă, greutate 10-5 N dină dyn4 presiune 105 N/m2 bar bar5 lucru mecanic, energie 10-7 J erg erg

Tabelul B.3: Pefixe şi simboluri pentru multiplii şi submultiplii zecimali în SI

Prefixul Simbolulprefixului

Factorul demultiplicare

Prefixul Simbolulprefixului

Factorul demultiplicare

tera T 1012 centi c 10-2

giga G 109 mili m 10-3

mega M 106 micro µ 10-6

kilo k 103 nano n 10-9

hecto h 102 pico p 10-12

deca da 101 femto f 10-15

deci d 10-1 atto a 10-18


ANEXA C

Poziţiile centrelor de masă pentru corpuri omogene uzuale

1. Bare

1.1. Bara rectilinie

1.2. Bara arc circular

1.3. Bara semicirculară

1.4. Bara sfert de cerc

x l/2

OA= lA

yO

xC=l/2 yC=0

AO x

Cy

RB

AB=πR (α=π)xC=0;yC=2R/π=0.6366R

RC

y

xO

B

A

AB=πR/2 (α=π/2)xC = yC = 2R/π.

AB=2rα

xC = OC = r α

αsinyC=0O xC

r

y

B

A

αα


Anexa C 105

2. Plăci având forma de:

2.1.Paralelogram

2.2. Triunghi dreptunghic

2.3. Triunghi oarecare

2.4. Sector circular

2.5. Semicerc

C

b/3

h

y

x h/3 b

xC = b/3 Atriun= bh/2yC = h/3

xC = OC = 32 R

ααsin

yC = 0 Asect=αR2

x y

B

A

O C

R

αα

C

(a+ b)/3 h

y

x h/3 b

xC = (a+b)/3 Atriun= bh/2yC = h/3

a

y

C

R

O x

xc= OC =π3

4R =0,4244 R

yC =0Asemicerc=πR2/2

y

xb

h

(b+h∙cosα)/2

h/2

Cα

A=bh;xC=(b+ h∙cosα)/2;yC=h/2.



2.6. Sfert de cerc

2.7. Semielipsă

2.8. Parabolă

2.9. Segment de parabolă

y

x

CR xC=yC = OC =π3

4R

Asfert=πR2/4O

π34R

π34R

b

y

x

xC= 0 A = πab/2

yC= π3

4bC

2 ayC

xC = 3a/5yC = 0Aparab=2/3 ab

ay

C xb

a53

xC = a/4yC = 3b/10A=1/3 ab

ay

Ob C x


ANEXA D

Operaţii cu vectori

D.1. Vectori: sumare şi multiplicare cu o mărime scalară

Vectorii sunt entităţi matematice, caracterizaţi de mărime, direcţie, sens şi

punct de aplicaţie. Multe din operaţiile cu vectori studiate de algebra vectorială pot

fi deduse din regula paralelogramului, prin care se defineşte sumarea a doi

vectori concurenţi într-un punct (fig. D.1). Folosind pentru vector, notaţia cu

simbolul barat la partea superioară, se scrie: bac += .

Din regula paralelogramului rezultă că sumarea

este o operaţie în cadrul căreia nu este importantă

ordinea de sumare: abc += , ceea ce înseamnă că

această operaţie este comutativă. Se observă că se poate

obţine acelaşi rezultat dacă se realizează un triunghi al

vectorilor (fig. D.2), desenând vectorul echipolent cu a ,

având originea în extremitatea vectorului b . Vectorul

c , numit vector rezultant sau rezultantă, va avea originea comună cu originea

primului vector (punctul O), şi extremitatea în extremitatea celui de-al doilea

vector. Construcţia grafică din figura D.2 este numită regula triunghiului,

echivalentă cu regula paralelogramului.

Sumarea vectorilor este o operaţie asociativă. Astfel, pentru trei vectori a ,

b şi c , vectorul rezultant se calculează în două etape: se procedează la sumarea

primilor doi, apoi la suma obţinută se sumează cel de-al treilea (fig. D.3). Acelaşi

rezultat se obţine şi dacă se sumează mai întâi utimii doi, apoi primul (fig. D.4),

ceea ce se scrie: )()( cbacba ++=++ . Sumarea mai multor vectori conduce la

a b

Fig. D.2.

c=a+b

O

b

a

c

Fig. D.1.O



generalizarea regulii triunghiului, stabilindu-se regula conturului poligonal,

vectorul rezultant având originea comună cu primului vector, iar extremitatea în

extremitatea ultimului vector.

Cea mai simplă operaţie de multiplicare a vectorilor este multiplicarea cu

un scalar (sau cu o mărime scalară). Mărimea scalară este o entitate caracterizată

printr-un număr. Dacă α este un scalar, atunci prin α a , înţelegem un vector a cărei

mărime este egală cu produsul dintre α şi valoarea absolută a vectorului a .

Vectorul α a are acelaşi sens cu vectorul a dacă α este pozitiv, iar sensul este

opus dacă α este negativ.

D.2. Versorii şi componentele ortogonale ale unui vector

Vectorul aau = , unde a este mărimea vectorului a , este adimensional, are

mărimea egală cu unitatea şi are aceiaşi direcţie cu vectorul a . Atunci u se

numeşete versorul direcţiei vectorului a .

Versorii direcţiilor predefinite furnizează mecanismul obişnuit de exprimare

a vectorilor. Fie un sistem de axe triortogonal drept, Oxyz (fig. D.5), pentru care

versorii acestor axe sunt i , j şi k . Regula paralelogramului ne permite să

descompunem un vector a în trei componente reciproc ortogonale scrise iax ,

jay şi kaz , astfel încât:

kajaiaa zyx ++= (D.1)

acb

b+c

a+(b+c)

Fig. D.4.

a cb

a+b

(a+b)+c

Fig. D.3.


Anexa D 109

Numim proiecţiile vectorului a pe cele trei axe, mărimile scalare ax, ay, şi az,

care se scriu în funcţie de unghiurile α, β şi γ (fig. D.6) pe care la face vectorul a

cu cele trei axe Ox, Oy şi respectiv Oz:

αcosaax = , βcosaay = şi γcosaaz = . (D.2)

Aceste cosinusuri sunt numite cosinusurile directoare ale vectorului a , între care

există relaţia:

1coscoscos 222 =++ γβα (D.3)

Mărimea vectorului a este dată de expresia:222zyx aaaa ++= (D.4)

Dintre proprietăţile sumării şi multiplicării cu un scalar prezentate în

paragraful anterior, de mare importanţă în aplicaţii sunt următoarele două relaţii:

kajaiaa zyx λ λ λ λ ++= (D.5)

unde λ este un scalar. Dacă bac += , atunci

zzz

yyy

xxx

bacbacbac

+=

+=+=

(D.6)

Expresiile (D.6) se pot generaliza în cazul sumării a n vectori concurenţi. Astfel se

enunţă teorema proiecţiilor: suma proiecţiilor pe o axă a unui sistem de vectori

concurenţi este egală cu proiecţia pe aceiaşi axă a vectorului rezultant.

M

ayj

x

z

y

azk

axi

P

O

Fig. D.5.

a

ay

x

z

y

az

ax

Fig. D.6.

aαααα

ββββ

γγγγ



D.3. Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori a , b este definit

ϕcosbaba ⋅=⋅ (D.7)

unde ϕϕϕϕ este unghiul dintre cei doi vectori. Acest produs, aşa cum îi arată numele,

este un scalar şi apare în mod evident din relaţia de definiţie (D.7) că acest produs

este comutativ, adică:

abba ⋅=⋅ (D.8)

Dacă vectorul a este înmulţit scalar cu un versor u , atunci

( ) ϕcos1aua =⋅ ! (D.9)

şi se obţine proiecţia vectorului a pe direcţia versorului u . Proiecţiile ale unui

vector pe axele de coordonate definite în relaţiile (D.2), se pot scrie şi sub forma:

iaax ⋅= , jaay ⋅= şi kaaz ⋅= (D.10)

Ţinând cont că versorii axelor de coordonate sunt reciproc ortogonali, atunci

0=⋅=⋅=⋅ ikkjji (D.11)

1=⋅=⋅=⋅ kkjjii (D.12)

O proprietate importantă este aceea că produsul scalar este distributiv faţă de

operaţia de sumare, adică

cabacba ⋅+⋅=+⋅ )( (D.13)

Proprietăţile de distributivitate şi comutativitate ale produsului scalar sunt

utilizate la stabilirea unor relaţii de importanţa practică:

zzyyxx babababa ++=⋅ (D.14)

2222 aaaaaa zyx =++=⋅ (D.15)


Anexa D 111

care se stabileşte şi din relaţia de definiţie (D.7): ( ) 20cos aaaaa ==⋅ . Din

relaţiile (D.7) şi (D.14) se poate exprima unghiul format de doi vectori atunci

când sunt cunoscute proiecţiile acestora:

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababababa

++++

++=⋅=ϕ (D.16)

D.4. Produsul vectorial a doi vectori

Al doilea produs stabilit între doi vectori este produsul vectorial notat ba ×

şi reprezintă un vector c care are:

– mărimea ϕsinbac = unde ϕ este unghiul (mai mic de 180°) dintre a şi b ;

– direcţia perpendiculară pe planul format de cei doi vectori;

– sensul stabilit cu regula şurubului (fig. D.7) sau regula mâinii drepte (fig. D.8);

– originea în punctul de concurenţă al celor doi vectori a şi b .

Aplicând relaţia de definiţie, se observă că produsul vectorial nu este

comutativ

baab ×−=× , (D.17)

dar este distributiv faţă de operaţia de sumare:

cabacba ×+×=+× )( . (D.18)

a

b

c

Fig. D.8.

ca

b

Fig. D.7.

ϕ < 180°



Produsele vectoriale care se stabilesc între versorii axelor de coordonate,

trebuie să respecte convenţia admisă în Mecanica Teoretică de a se lucra în

sistemul de referinţă “drept”:

jikikjkji =×=×=× ; ; (D.19)

dar

jkiijkkij −=×−=×−=× ; ; (D.20)

şi desigur

0=×=×=× kkjjii (D.21)

Exprimând vectorii a şi b în funcţie de proiecţiile lor, produsul vectorial se

pune sub forma unui determinant care are pe prima linie versorii axelor, iar pe

următoarele linii proiecţiile celor doi vectori:

kbabajbabaibaba

bbbaaakji

ba

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

)()()( −+−+−=

==×(D.22)

Mărimii produsului vectorial i se poate da o interpretare geometrică, şi anume

aceea că reprezintă aria paralelogramului având ca laturi cei doi vectori a şi b

(fig. D.9):

habac == ϕsin (D.23)

a

b

Fig. D.9.

ϕϕϕϕh= b sinϕϕϕϕ


Anexa D 113

D.5. Produsul mixt şi dublul produs vectorial a trei vectori

Două operaţii de multiplicare, fiecare implicând trei vectori, sunt în mod

firesc necesare în Mecanică. Prima dintre acestea este produsul mixt care are ca

rezultat un scalar, obţinut prin efectuarea unui produs scalar dintre un vector cu

produsul vectorial a altor doi vectori: )( bac ×⋅ . O interpretare geometrică a

acestui produs este aceea de a reprezenta volumul unui paralelipiped ale cărui

laturi au ca lungimi, mărimile celor trei vectori. Una din proprietăţile produsului

mixt este aceea că prin permutarea vectorilor care îl formează, valoarea calculată

nu se schimbă:

)()()( acbcbabac ×⋅=×⋅=×⋅ (A.24)

Cunoscând expresiile analitice ale celor trei vectori, produsul mixt se exprimă sub

forma unui determinant:

zyx

zyx

zyx

bbbaaaccc

bac =×⋅ )( (A.25)

Dacă doi din cei trei vectori au proiecţiile proporţionale (sunt paraleli), atunci

produsul mixt este nul. Justificarea se face apelând la proprietăţile determinanţilor:

dacă două linii ale determinantului sunt proporţionale, atunci valoarea acestuia este

zero. Din punctul de vedere al interpretării geometrice, proporţionalitatea a doi

vectori are drept consecinţă starea de coplanaritate a celor trei vectori, ceea ce

înseamnă că volumul paralelipipedului este nul.

Dublul produs vectorial a trei vectori se scrie: )( cba ×× şi este o mărime

vectorială care are direcţia normală la planul celor doi vectori din paranteză:

cbabcacba )()()( ⋅−⋅=×× (A.26)

)()()( cbabcacba ⋅−⋅=×× (A.27)

Relaţiile (A.26) şi (A.27) sunt utile în dinamică.



INDEX ALFABETIC

acceleraţie, 80acceleraţie unghiulară, 80articulaţie cilindrică, 68axa centrală, 47, 50axioma legăturilor (eliberării), 64baricentru, 57braţul componentei, 37–– forţei, 35, 46cazuri de rezolvare a triunghiurilor, 6centre de masă, 55, 104centrul forţelor paralele, 50cinematica, 5, 75cinematica punctului material, 83compunerea forţelor, metoda analitică, 23–– –– metoda grafică, 14–– –– metoda geometrică, 13coordonate carteziene, 76, 83–– cilindrice, 77cosinusuri directoare, 22,109cupluri de forţe, 43, 45, 46, 50dublu produs vectorial, 113ecuaţia orară a mişcării, 78ecuaţii de dimensiuni, 102formă interactivă, 19, 33, 53, 64formulele cosinusului, 101–– sinusului, 101–– tangentei, 101forţa, braţul, 35––, descompunere, 27––, proiecţia pe o axă, 21––, componentă, 21forţe concurente, 5–– coplanare, 45–– de legătură, 63, 64–– distribuite, liniar, 51–– –– uniform, 51–– paralele, 49grad de mobilitate, 67–– –– precizie, 6încastrare, 68legături, bilatere, 68–– multiple, 68–– tipuri, 68–– unilatere, 68Mecanica Teoretică, 5mişcare, 75–– absolută, 75

mişcare circulară, 90–– rectilinie, 87–– relativă, 75–– uniformă, 81, 87moment minim, 49–– rezultant, 45, 49–– static, 55momentul unei foţe faţă de o axă, 39–– –– –– în raport cu un punct, 35omogenitatea formulelor fizice, 102operaţie elementară de echivalenţă, 13, 27permutări circulare, 101poligonul forţelor, 14prefixe, 103produs mixt, 39, 113produs scalar, 110produs vectorial, 35, 111reacţiune cuplu, 69–– normală, 69reazem simplu, 68reducerea sistemelor de forţe, 45, 49,regula mâinii drepte, 35–– paralelogramului, 13, 107–– triunghiului forţelor, 13rezultantă, 5, 23, 45, 49simetria, 56sistem de forţe în echilibru, 46, 49–– echivalent cel mai simplu, 5, 46, 47–– –– cu zero, 5, 14solid rigid, 67statica, 5teorema celor trei forţe, 71–– cosinusului, 13, 100–– de echilibru static, 63, 70–– lui Varignon, 41, 46, 47, 49, 50–– proiecţiilor, 24, 109–– sinusurilor, 13, 100–– tangentei, 101–– torsorului, 70torsor, 45, 49traiectorie, 76triedrul lui Frenet, 84unităţi de măsură, 102, 103vector, 21, 107versor, 21, 108viteză, 78viteză unghiulară, 80



CUPRINS

Prefaţă 3

1. Introducere 51.1. Ce ar trebui să ne reamintim 51.2. Rezolvarea problemelor şi gradul de precizie 61.3. Cele patru cazuri de rezolvare a triunghiurilor 61.4. Aplicaţii 11

2. Metoda geometrică de compunere a forţelor 132.1. Regula paralelogramului 132.2. Aplicaţii 152.3. Formă interactivă de studiu individual 19

3. Metoda analitică de compunere a forţelor 213.1. Proiectiile şi componentele unei forţe 213.2. Aplicaţie 223.3. Metoda analitică de compunere a forţelor 233.4. Aplicaţii 24

4. Descompunerea unei forţe 274.1. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F , după două direcţii date, concurente pe suportul său 284.2. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F , după două direcţii date, concurente pe suportul său, una din ele fiind dată în mărime, direcţie şi sens 284.3. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F , după două direcţii date, concurente pe suportul său, cunoscute ca mărime 284.4. Descompunerea unei forţe R în două forţe 1F şi 2F , după două direcţii date, concurente pe suportul său, cunoscând mărimea uneia şi direcţia celeilalte 294.5. Descompunerea unei forţe R în trei forţe 1F , 2F şi 3F după trei direcţii concurente date, necoplanare 304.6. Aplicaţii 314.7. Formă interactivă de studiu individual 33


Cuprins 117

5. Momentul unei forţe în raport cu un punct 355.1. Definiţie, observaţii 355.2. Aplicaţii 37

6. Momentul unei forţe în raport cu o axă 396.1. Definiţie, observaţii 396.2. Teorema lui Varignon 416.3. Aplicaţie 42

7. Cupluri de forţe 437.1. Definiţie, proprietăţi 437.2. Aplicaţii 43

8. Studiul sistemelor de forţe coplanare 458.1. Reducerea sistemelor de forţe coplanare 458.2. Cazurile de reducere la sistemele de forţe coplanare 468.3. Aplicaţii 47

9. Studiul sistemelor de forţe paralele 499.1. Reducerea sistemelor de forţe paralele 499.2. Cazuri de reducere 499.3. Centrul forţelor paralele 509.4. Aplicaţii 529.5. Formă interactivă de studiu individual 53

10. Centre de masă 5510.1. Definiţie 5510.2. Proprietăţi ale centrului de masă 5510.3. Metode geometrice pentru determinarea centrului de masă 56

10.3.1. Simetria 5610.3.2. Centrul de masă al unei plăci omogene de formă triunghiulară 57

10.4. Centre de masă pentru corpuri omogene 5810.5. Aplicaţii 58

11. Echilibrul punctului material 6311.1. Teorema de echilibru static al punctului material 6311.2. Forme interactive de studiu individual 64

12. Echilibrul solidului rigid, teorema celor 3 forţe 6712.1. Legăturile solidului rigid 6712.2. Condiţia de echilibru a solidului rigid 7012.3. Teorema celor trei forţe 7112.4. Aplicaţii 71



13. Noţiuni de bază în cinematică 7513.1. Problema generală 7513.2. Traiectoria 7613.3 Viteza 7813.4. Acceleraţia 8013.5. Viteza şi acceleraţia unghiulară 8013.6. Clasificarea mişcărilor 8113.7. Aplicaţii 82

14. Cinematica punctului 8314.1. Cinematica punctului în coordonate carteziene 8314.2 Cinematica punctului în triedrul lui Frenet 8414.3. Mişcări particulare ale punctului material 87

14.3.1. Mişcarea rectilinie 8714.3.2. Mişcarea circulară 90

14.4. Aplicaţii 92

Testul 1: (Trigonometrie) 95

Testul 2: (Operaţii cu forţe) 96

Testul 3: (Centrul forţelor paralele şi centre de masă) 97

Testul 4: (Echilibrul punctului şi al solidului rigid) 98

Testul 5: (Cinematica punctului) 99

Anexa A Relaţii trigonometrice într-un triunghi oarecare 100

Anexa B Ecuaţii de dimensiuni. Omogenitatea formulelor fizice 102

Anexa C Poziţiile centrelor de masă pentru corpuri omogene uzuale 104

Anexa D Operaţii cu vectori 107D.1. Vectori: sumare şi multiplicare cu o mărime scalară 107D.2. Versorii şi componentele ortogonale ale unui vector 108D.3. produsul scalar a doi vectori 110D.4. Produsul vectorial a trei vectori 111D.5. Produsul mixt şi dublul produs vectorial a trei vectori 113

Bibliografie 114

Index alfabetic 115

Cuprins 116


Date post:	03-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

1. INTRODUCERE 1.1. Ce ar trebui să ne reamintim · unui sistem de forţe concurente la cel mai...

Documents