1
FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV
CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A
PROCESELOR ECONOMICE
TEMA 6
INDICI STATISTICI
Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU
Facultatea de Finanţe, Bănci şi Contabilitate Braşov
Universitatea Creştină “Dimitrie Cantemir”
Obiective
Cunoaşterea conceptelor referitoare la indicii statistici
Analiza principalelor categorii de indici statistici
Cuprins
6.1 Concepte referitoare la indicii statistici 2
6.2 Indici statistici simpli 3
6.3 Indici statistici compuşi 5
6.4 Indici statistici oficiali 10
6.5 Alţi indici statistici 12
6.5.1 Indicele de concentrare 12
6.5.2 Indicii de capabilitate 16
6.6 Bibliografie selectivă 21
2 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
6.1 Concepte referitoare la indicii statistici
Indicii şi indicatorii statistici reprezintă o modalitate sistematică de
comparare în timp a evoluţiei sau dinamicii variabilelor economice.
Printre variabilele economice care sunt analizate cel mai des cu ajutorul
indicilor şi indicatorilor statistici se pot enumera: preţurile şi cantităţile de
produse, productivitatea muncii, rata inflaţiei ş.a. Prin metoda indicilor şi
indicatorilor statistici se pot sintetiza informaţiile referitoare la seriile de timp
pentru variabilele statistice economice.
Indicii şi indicatorii statistici sunt utilizaţi de organizaţiile economice
publice sau private pentru deciziile de analiză şi prognoză economică.
Indicii şi indicatorii statistici sunt definiţi de Anuarul Statistic al
României1 după cum urmează:
„Indicele statistic este un raport între valori ale aceleiaşi variabile
înregistrate în unităţi de timp sau teritoriale diferite”.
„Indicatorul statistic este expresia numerică a unor fenomene,
procese, activităţi sau categorii economice sau sociale, manifestate în
timp, spaţiu şi structuri”.
Vom analiza în această temă numai indicii statistici.
Principalele categorii de indici statistici pe care îi vom analiza sunt:
Indicii statistici simpli;
Indicii statistici compuşi;
Indicii statistici oficiali;
Alţi indici statistici.
Indicii statistici simpli reprezintă cea mai simplă formă de reprezentare
a indicilor statistici. Din această categorie vom analiza indicii procentuali
relativi.
Indicii statistici compuşi sau compoziţi rezultă din compunerea sau
combinarea informaţiilor referitoare la mai multe variabile economice de acelaşi
tip, denumite componente, şi măsoară variaţia relativă medie a fenomenului
economic analizat pe baza elementelor componente.
Indicii şi indicatorii statistici oficiali sunt definiţi de organizaţiile
internaţionale ca Banca Mondială, Fondul Monetar Internaţional, Eurostat, sau
de organizaţiile naţionale ca Insitutul Naţional de Statistică, Banca Naţională,
ministere, agenţii naţionale, bănci, burse, societăţi financiare etc.
În alte categorii de indici statistici vom include o serie de indici
statistici utilizaţi în analiza fenomenelor economice, dintre care vom analiza:
Indici statistici ai concentrării, care concentarea unor caracteristici
al evariabilelor economice;
Indici statistici ai capabilităţii proceselor de fabricaţie, utilizaţi
în tehnicile de managementul calităţii.
Ne vom limita în cadrul acestei teme numai la indicii statistici menţionaţi,
dar problematica indicilor şi indicatorilor statistici este deosebit de amplă.
1 Anuarul Statistic al României 2012, Institutul Naţional de Statistică, 2013
TEMA 14: INDICI STATISTICI 3
6.2 Indici statistici simpli
O definiţie generală a unui indice statistic, respectiv indice numeric (în
engleză index number) este aceea că indicele este un număr ce exprimă
schimbarea relativă referitoare la preţ, cantitate sau altă valoare a unei variabile
economice, faţă de o perioadă de bază. Indicele nu are unitate de măsură.
Indicele procentual relativ este un indice statistic simplu care măsoară
variaţia procentuală a unei variabile economice, exprimată prin valorile unei
serii de timp, începând de la o anumită perioadă de referinţă sau de bază t0,
şi până la o anumită perioadă de analiză sau actuală tn.
Să considerăm seriile de timp care descriu preţurile şi cantităţile pentru un
anumit produs în perioadele t0, şi tn, pentru care avem notaţiile:
p0 = preţul în perioada t0 sau 0;
pn = preţul în perioada tn sau n;
q0 = cantitatea în perioada t0 sau 0;
qn = cantitatea în perioada tn sau n.
Atunci indicele de preţ relativ la perioada n (actuală) faţă de perioada 0
(de bază) este:
(%)1000
0/ p
pI np
n ,
iar indicele cantitativ relativ la perioada n (actuală) faţă de perioada 0 (de
bază) este:
(%)1000
0/ q
qI nq
n .
Exemplul 6.1: Preţurile şi cantităţile pentru două produse P1 şi P2
înregistrate în anii 2012 şi 2013 au fost:
Anul 2012 2013
Produsul Preţ (p0) Cantitate (q0) Preţ (pn) Cantitate (qn)
P1 120 1500 125 2000
P2 300 3000 250 3500
Să se determine indicii procentuali relativi de preţ şi cantitativ în anul 2013
faţă de anul 2012, considerat perioada de bază (100%) pentru cele două produse.
Rezolvare: Pentru produsul P1 avem 12020120 pp , 1252013 ppn şi
12020120 qq , 1252013 qqn . Atunci indicii procentuali relativi pentru P1 sunt:
104,17%(%)100120
125(%)100
0
0/ p
pI np
n ,
133,33%(%)1001500
2000(%)100
0
0/ q
qI nq
n .
Rezultă deci o creştere relativă de 104,14% 100% = 4,17% a preţului şi de
133,33% 100% = 33,33% a cantităţii produsului P1 în anul 2013 faţă de 2012.
4 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Indicii procentuali relativi pentru P2 sunt:
83,33%(%)100300
250(%)100
0
0/ p
pI np
n ,
133,33%(%)1003000
3500(%)100
0
0/ q
qI nq
n .
Rezultă deci o scădere relativă de 100% 83,33 = 16,17% a preţului şi o
creştere relativă de 116,17% 100% = 16,17% a cantităţii produsului P2 în anul
2013 faţă de 2012.
Vom discuta în continuare seriile de timp de indici relativi, care
urmăresc modificarea în timp a unui indice relativ, calculat din seria de timp a
variabilei economice analizate. Seriile de timp de indici relativi pot fi calculate în
două modalităţi:
(a) Indici relativi cu bază fixă: fiecare indice se calculează folosind ca bază
aceeaşi perioadă de timp (referinţă fixă);
(b) Indici relativi cu bază înlănţuită (mobilă): fiecare indice se calculează
în raport cu perioadă de timp anterioară imediată (referinţă mobilă).
Exemplul 6.2: Producţia (în bucăţi) în primul semestru al unui an este
înregistrată în tabelul următor:
Luna Ian Feb Mar Apr Mai Iun
Producţia 2570 2480 2630 2950 3120 3250
Să se determine indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi cu bază mobilă
faţă de producţia lunii ianuarie.
Rezolvare: Vom nota perioadele celor şase luni după cum urmează:
0 = Ian, 1 = Feb, 2 = Mar; 3 = Apr, 4 = Mai, 5 = Iun.
Pentru indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi baza luna ianuarie (luna 0)
avem pentru lunile 1, 2, 3, 4 şi 5:
%00,001(%)1002570
2570(%)100
0
00/0
q
qI q ;
%50,96(%)1002570
2480(%)100
0
10/1
q
qI q ;
%33,102(%)1002570
2630(%)100
0
20/2
q
qI q ;
%79,114(%)1002570
2950(%)100
0
30/3
q
qI q ;
%40,121(%)1002570
3120(%)100
0
40/4
q
qI q ;
%46,126(%)1002570
3250(%)100
0
50/5
q
qI q .
Pentru indicii relativi cantitativi cu bază mobilă şi baza luna ianuarie (luna
0) avem:
TEMA 14: INDICI STATISTICI 5
%50,96(%)1002570
2480(%)100
0
10/1
q
qI q ;
%05,106(%)1002480
2630(%)100
0
20/2
q
qI q ;
%17,112(%)1002630
2950(%)100
0
30/3
q
qI q ;
105,76%(%)1002950
3120(%)100
0
40/4
q
qI q ;
104,17%(%)1003120
3250(%)100
0
50/5
q
qI q .
Rezultatele sunt sintetizate în tabelul de mai jos şi în Figura 6.1. Se poate
observa dinamica crescătoare faţă de luna ianuarie a indicilor cantitativi cu bază
fixă (începând cu luna martie) şi apoi creşterea procentuală de la lună la lună.
Tip indice Ian Feb Mar Apr Mai Iun
Bază fixă 100,00 96,50 102,33 114,79 121,40 126,46
Bază mobilă 96,50 106,05 112,17 105,76 104,17
100,0096,50
102,33
114,79
121,40
126,46
96,50
106,05
112,17
105,76104,17
80
90
100
110
120
130
140
IAN FEB MAR APR MAI IUN
Bază fixă
Bază mobilă
Figura 6.1: Indicii relativi cantitativi cu bază fixă şi bază mobilă (Exemplul 6.1)
6.3 Indici statistici compuşi
Indicii statistici compuşi reprezintă variaţia relativă medie a
fenomenului analizat şi se obţin prin combinarea informaţiilor referitoare la
variabilele economice de acelaşi tip, numite componente. Un indice statistic
compus se poate calcula numai dacă fiecărei componente i se atribuie un factor de
ponderare, care arată importanţa componentei respective.
În practică se utilizează două metode pentru determinarea indicilor
statistici compuşi:
Metoda indicelui medie ponderată;
Metoda indicelui agregat.
6 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Considerăm un produs cu k componente jC , kj 1 , cu ponderile fiecărei
componente jw . Pentru perioada i, ni 0 , se cunosc pentru fiecare componentă
jC preţul ijp şi cantitatea ijq .
Indicele medie ponderată este dat de relaţia:
(%)100
1
1
k
j
j
k
j
jj
MP
w
Iw
I ,
unde jI este indicele relativ al componentei jC , iar jw sunt ponderile.
Exemplul 6.3: Se consideră un produs cu 4k componente pentru care sunt
cunoscute, în două momente sau perioade, cantităţile realizate precum şi
ponderile componentelor, reprezentate de consumurile specifice. Datele pentru
anii 2012 şi 2013 sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Componente Ponderi Producţie
jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )
1C 45 700 900
2C 15 240 280
3C 30 1100 1200
4C 10 800 850
Să se determine indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei
indicelui medie ponderată.
Rezolvare: Calculăm mai întâi indicii relativi jI pentru fiecare
componentă jC , 41 j , respectiv jjj qqI 01 , şi apoi produsele jjIw . Valorile
sunt calculate în tabelul de mai jos, în care am introdus încă două coloane pentru
calculele necesare şi o linie pentru totalurile necesare:
Componente Ponderi Producţie jI jjIw
jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )
1C 45 700 900 1,286 57,857
2C 15 240 280 1,167 17,500
3C 30 1100 1200 1,091 32,727
4C 20 800 850 1,063 21,250
Total 110 129,334
Atunci indicele compus cantitativ determinat pe baza metodei indicelui
medie ponderată va fi:
117,6%(%)100110
129,3344
1
4
1
j
j
j
jj
q
w
Iw
IMP
.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 7
Indicele agregat al preţurilor este dat de relaţia:
(%)100
1
0
1
k
j
jj
k
j
njj
p
pw
pw
IAG
,
unde njp este preţul componentei jC la momentul n, jp0 este preţul componentei
jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.
Indicele agregat al cantităţilor este dat de relaţia:
(%)100
1
0
1
k
j
jj
k
j
njj
q
qw
qw
IAG
,
unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, jq0 este cantitatea
din componenta jC la momentul 0, iar jw sunt ponderile.
Exemplul 6.4: Se consideră problema şi datele din Exemplul 6.3.
(a) Să se determine indicele agregat al cantităţilor;
(b) Să se compare rezultatul obţinut cu indicele medie ponderată obţinut în
exemplul anterior.
Rezolvare: (a) Valorile sunt calculate în tabelul de mai jos, în care am
introdus încă două coloane pentru calculele necesare în relaţia de mai sus şi o
linie pentru totalurile necesare:
Componente Ponderi Producţie
jjqw 0 jjqw 1 jC jw 2012 ( 0q ) 2013 ( 1q )
1C 45 700 900 31500 40500
2C 15 240 280 3600 4200
3C 30 1100 1200 33000 36000
4C 20 800 850 16000 17000
Total 84100 97700
Atunci indicele agregat al cantităţilor va fi:
116,2%(%)10084100
97700(%)100
4
1
0
4
1
1
j
jj
j
jj
q
qw
qw
IAG
.
(b) Am obţinut în Exemplul 6.3 indicele medie ponderată 117,6%q
MPI , în timp ce
indicele agregat al cantităţilor în Exemplul 6.4 este 116,2%q
AGI . Cele două
valori, calculate cu metode diferite, sunt suficient de apropiate, fapt generat de
corespondenţa dintre creşterile valorilor cantitative în anul 2013 pe componente.
Dacă diferenţele cantitative ar fi fost semnificative, atunci diferenţa dintre cei doi
indici compuşi ar fi fost mai mare.
8 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Indicele Laspeyres reprezintă un caz particular al indicilor agregat, care
utilizează ponderile din momentul de bază pentru preţuri, respectiv cantităţi.
Indicele Laspeyres al preţurilor este dat de relaţia:
(%)100
1
00
1
0
k
j
jj
k
j
njj
p
pq
pq
IL
,
unde jq0 este cantitatea din componenta jC la momentul 0, njp este preţul la
momentul n, iar jp0 este preţul la momentul 0 al componentei jC .
Indicele Laspeyres al cantităţilor este dat de relaţia:
(%)100
1
00
1
0
k
j
jj
k
j
njj
q
qp
qp
IL
,
unde jp0 este preţul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la
momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .
Exemplul 6.5: Se consideră un produs cu 4k componente pentru care sunt
cunoscute, cantităţile realizate precum şi preţurile componentelor. Datele pentru
anii 2012 şi 2013 sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Componente 2012 2013
jC Preţ ( 0p ) Cantitate ( 0q ) Preţ ( 1p ) Cantitate ( 1q )
1C 40 700 60 900
2C 15 240 25 280
3C 50 1100 55 1200
4C 30 800 35 850
Să se determine indicele Laspeyres al cantităţilor;
Rezolvare: Valorile necesare sunt calculate în tabelul de mai jos.
Componente 2012 2013 jjqp 00 jjqp 10
jC 0p 0q
1p 1q
1C 40 700 60 900 28000 36000
2C 15 240 25 280 3600 4200
3C 50 1100 55 1200 55000 60000
4C 30 800 35 850 24000 25500
Total 110600 125700
Atunci indicele Laspeyres al cantităţilor va fi:
113,7%(%)100110600
125700(%)100
4
1
00
4
1
10
j
jj
j
jj
q
qp
qp
IL
.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 9
Indicele Paasche reprezintă un caz particular al indicilor agregat, care
utilizează ponderile din momentul actual pentru preţuri, respectiv cantităţi.
Indicele Paasche al preţurilor este dat de relaţia:
(%)100
1
0
1
k
j
jnj
k
j
njnj
p
pq
pq
IP
,
unde njq este cantitatea din componenta jC la momentul n, njp este preţul la
momentul n, iar jp0 este preţul la momentul 0 al componentei jC .
Indicele Paasche al cantităţilor este dat de relaţia:
(%)100
1
0
1
k
j
jnj
k
j
njnj
q
qp
qp
IP
,
unde jp0 este preţul componentei jC la momentul 0, njq este cantitatea la
momentul n, iar jq0 este cantitatea la momentul 0 din componenta jC .
Exemplul 6.6: Se consideră problema şi datele din Exemplul 6.5.
(a) Să se determine indicele Paasche al cantităţilor;
(b) Să se compare rezultatul obţinut cu indicele Laspeyres obţinut în
exemplul anterior.
Rezolvare: (a) Valorile necesare sunt calculate în tabelul de mai jos.
Componente 2012 2013 jjqp 01 jjqp 11
jC 0p 0q
1p 1q
1C 40 700 60 900 42000 54000
2C 15 240 25 280 6000 7000
3C 50 1100 55 1200 60500 66000
4C 30 800 35 850 28000 29750
Total 136500 156750
Atunci indicele Paasche al cantităţilor va fi:
114,8%(%)100136500
156750(%)100
4
1
01
4
1
11
j
jj
j
jj
q
qp
qp
IL
.
(b) Am obţinut în indicele Laspeyres al cantităţilor 113,7%q
LI , în timp ce
indicele Paasche al cantităţilor este 114,8%q
LI . Cele două valori, calculate cu
metode diferite, sunt suficient de apropiate. Observăm că în anul 2013 cantităţile
au crescut faţă de 2012, iar în acest caz indicele Laspeyres tinde să
supraevalueze creşterea cantităţilor, în timp ce indicele Paasche tinde să
subevalueze creşterea cantităţilor.
10 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
6.4 Indici statistici oficiali
Din categoria indicilor statistici oficiali vom discuta aici indicii cu cea mai
mare răspândire şi aplicabilitate la nivel naţional şi internaţional, dintre care
menţionăm2:
Indicele preţurilor de consum;
Indicele preţurilor producţiei industriale.
Indicele preţurilor de consum (IPC) măsoarã evoluţia de ansamblu a
preţurilor mărfurilor cumpărate şi a tarifelor serviciilor utilizate de către
populaţie într-o anumită perioadă (denumită perioadă curentă), faţă de o
perioadă anterioară (denumită perioadă de bază sau de referinţă). Indicele
preţurilor de consum se calculează numai pentru elementele care intră în
consumul direct al populaţiei, fiind excluse: consumul din resurse proprii,
cheltuielile cu caracter de investiţii şi acumulare, dobânzile plătite la credite,
ratele de asigurare, amenzile, impozitele etc., precum şi cheltuielile aferente
plăţii muncii pentru producţia agricolă a gospodăriilor individuale. Preţurile sunt
colectate din circa 7100 de unităţi aflate în 68 de centre de colectare selectate din
42 localităţi urbane, în funcţie de volumul vânzărilor şi de numărul populaţiei.
Pentru cele aproximativ 1700 de sortimente selectate în eşantionul de bunuri şi
servicii se înregistreazã periodic circa 94000 de preţuri. Indicele se calculeazã
prin agregarea indicilor individuali la nivel de post de cheltuieli, grupă
(alimentară, nealimentară şi servicii) şi total. Ponderile utilizate pentru
agregarea indicilor de preţ de consum sunt obþinute din cercetarea statistică a
bugetelor de familie şi rezultă din structura cheltuielilor medii lunare efectuate
de o gospodărie pentru cumpărarea bunurilor şi plata serviciilor necesare
satisfacerii nevoilor de trai. Ponderile se actualizează anual, luându-se în
considerare cea mai recentă estimare a cheltuielilor populaţiei.
109,0
106,6
104,8
107,9
105,6106,1106,1
103,8 103,9
109,2
103,3
102,3
111,3
108,5
105,0
106,4 106,2
109,8
110,5
108,2
106,6
108,6109,0
104,8
100
102
104
106
108
110
112
2005 2006 2007 2008 2009 2010
An
ul
pre
ce
de
nt
= 1
00
Indicii preţurilor de consum2005-2010
Total
Mărfuri
alimentareMărfuri
nealimentareServicii
Figura 6.2: Indicii preţurilor de consum în perioada 2005-2010
(Sursa: Anuarul Statistic al României 2012)
2 Anuarul Statistic al României 2012, Institutul Naţional de Statistică, 2013
TEMA 14: INDICI STATISTICI 11
Indicele preţurilor producţiei industriale (IPPI) măsoară evoluţia în
timp a preţurilor produselor industriale fabricate de producători interni, livrate
atât pe piaţa internă cât şi pe piaţa externă. Indicele preţurilor producţiei
industriale este calculat conform cerinţelor şi standardelor internaţionale cu
privire la statisticile pe termen scurt şi acoperă aproape în totalitate sectoarele
industriilor extractivă şi prelucrătoare, precum şi sectorul energetic. Preţurile
colectate sunt preţuri de producător, adică includ accizele şi alte impozite pe
produs, dar nu includ TVA. Preţurile sunt colectate de la aproximativ 2000 de
operatori economici, selectaţi în funcţie de cifra de afaceri raportată. Colectarea
se realizeazã o dată pe lună şi constă în înregistrarea preţurilor la nivel de
sortiment, considerat reprezentativ de către fiecare operator economic inclus în
eşantion. Indicele se calculează prin agregarea indicilor individuali la nivel de
produs/operator economic/clasă/diviziune şi total industrie. Ponderile utilizate
pentru calcul sunt stabilite separat pe destinaţii (piaţa internă sau piaţa
externă). Valorile de ponderare pentru toate nivelurile de agregare se determină
din Ancheta Statistică Anuală (structurală) în întreprinderi (ASA) realizată în
perioada aferentă anului de bază (2005).
În Figura 6.3 este prezentată dinamica evoluţiei preţurilor producţiei
industriale în perioada 2005-2010 (anul 2005=100), pentru indicele total, precum
şi pentru defalcarea acestuia pe două componente, respectiv piaţa internă şi
piaţa externă. Se observă o creştere mai accentuală a valorilor acestor trei indici
de apropape 40% începând cu anul 2008, anul în care a apărut actuala criză
economică. În anul 2010 se poate observa o creştere de peste 50% a indicelui
preţurilor producţiei industriale pentru piaţa externă.
100
109,7
118,0
136,0138,6
147,3
100
110,3
119,6
134,9137,8
145,8
100,0
108,0
113,7
139,1140,7
151,6
90
100
110
120
130
140
150
160
2005 2006 2007 2008 2009 2010
An
ul
20
05
= 1
00
Indicii preţurilor producţiei industriale 2005-2010
Total
Piaţa
internă
Piaţa
externă
Figura 6.3: Indicii preţurilor producţiei industriale în perioada 2005-2010
(Sursa: Anuarul Statistic al României 2012)
Principalele baze de date statistice elaborate de Institutul Naţional de
Statistică se referă la indicatori economici de dezvoltare durabilă în profit
naţional şi teritorial, indici de preţuri, precum şi o serie de 22 de indicatori
economici şi sociali, actualizaţi anual prin Anuarul Statistic al României, cât
şi periodic prin buletine statistice pe domenii de specialitate, cât şi alte publicaţii.
12 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
6.5 Alţi indici statistici
6.5.1 Indicele de concentrare
Problema măsurării fenomenului de concentrare a fost formulată de
statisticianul Corrado Gini, în 1912, în legătură cu analiza distribuţiei
veniturilor unei populaţii. Măsurarea concentrării este aplicată pentru:
analiza concentrării întreprinderilor în scopul stabilirii dimensiunilor
acestora, în raport cu cifra de afaceri, valoarea producţiei şi numărul
angajaţilor;
evidenţierea inegalităţilor dintre repartiţiile de structură, după o variabilă
dată, a indivizilor şi veniturilor unei societăţi;
caracterizarea structurii pieţelor, prin măsurarea diversificării.
Prin concentrare se exprimă aglomerarea unităţilor unei populaţii sau a
valorilor globale ale unei distribuţii in jurul unei valori, (de exemplu, a valorii
centrale) a caracteristicii de grupare. Aprecierea concentrării implică studierea
comparată a structurii efectivului unei populaţii şi a structuri valorice globale pe
aceleaşi variante de variaţie ale caracteristici de grupare. Concentrarea este
aplicată oricărui fenomen care posedă caracteristici susceptibile însumării.
Caracterizarea statistică a concentrării se poate realiza prin două categorii
de procedee:
procedee numerice (prin calcul);
procedee grafice.
Măsurarea gradului de concentrare prin procedee numerice constă în
calculul unor indicatori ai concentrării, cum ar fi abaterea medială-mediană sau
coeficienţi ai gradului de concentrare. Măsurarea concentrării pe cale grafică
constă în construirea curbei de concentrare – curba Lorenz – şi pe baza ei, aflarea
gradului de concentrare, prin determinarea unui coeficient – denumit indicele
Gini.
Procedeul grafic de caracterizare a concentrării a fost elaborat de italianul
Corrado Gini şi americanul Lorenz cu ocazia studierii disparităţii veniturilor.
Determinarea grafică a concentrării presupune construirea curbei de
concentrare (curba Lorenz-Gini), iar în legătură cu aceasta curbă se calculează
indicele de concentrare (indicele Gini).
Ca mijloc de apreciere a gradului de concentrare, curba Gini se bazează pe
faptul că prin reprezentarea grafică a concordanţei ponderilor cumulate ale
efectivelor unei colectivităţi cu ponderile cumulate ale valorilor globale ale unei
caracteristici de distribuţie se arată cât din valoarea globală a caracteristicii se
concentrează în primele două grupe, în primele trei grupe ş.a.m.d.
Curba de concentrare are numeroase aplicaţii în domeniul economic-social,
şi anume:
mijloc de apreciere a gradului de concentrare a unei distribuţii;
metoda de aproximare a valorilor centrale ale unei distribuţii şi a indicelui
de concentrare Gini;
metoda de depistare a tipurilor calitative dintr-o distribuţie;
mijloc de comparare calitativă a gradului de concentrare etc.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 13
Curba de concentrare Lorenz se construieşte într-un pătrat cu latura 1
sau 100% (cunoscut sub numele de pătratul lui Gini), în care se reprezintă
coordonatele valorilor analizate (Figura 6.2). Suprafaţa definită de curba de
concentrare şi curba obţinută prin unirea punctelor reprezentate (curba lui
Lorenz) se numeşte suprafaţă de concentrare. Diagonala pătratului este de
fapt dreapta de repartiţie egală (echirepartiţie). Dacă curba se apropie de
diagonală atunci concentrarea variabilei este slabă (Figura 6.2a), iar dacă
curba se apropie de colţul pătratului, concentrarea este puternică (Figura
6.2b).
Figura 6.2: Pătratul lui Gini şi curba Lorenz
Indicele Gini sau coeficientul abaterii Gini (G) se calculează ca raport
între suprafaţa de concentrare, notată cu A în şi aria de sub curba Lorenz, notată
cu B în Figura 1:
BA
AG
.
Ţinând cont că avem aria triunghiului de concentrare este 2
1
2
11
S
avem:
BGBGAGA
GBA 212
122
212
1
.
Vom determina curba de concentrare şi indicele Gini pentru date grupate cu
ajutorul histogramei frecvenţei relative, aplicând următorul algoritm:
[P1] Determinăm intervalele de clasă jlc , j=1, 2,..., nc şi lungimea intervalului
de clasă lc:
lc = lcj+1 – lcj.
[P2] Determinăm mijloacele intervalelor de clasă jm ,
2
1
jj
j
lclcm .
[P3] Determinăm frecvenţa absolută jfa , frecvenţa relativă jfr şi apoi:
Frecvenţa absolută cumulată jfac , j= 1,....,nc
jjj fafacfac 1
Frecvenţa relativă cumulată jfrc ,
jjj frfrcjfrc 1
a. concentrare slabă b. concentrare puternică
A A
B B
14 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
[P4] Determinăm ponderile jp ,
jjj famp
Ponderile cumulate jpc ,
jjj pcpcpc 1
Ponderile cumulate relative jpcr ,
nc
j
jjj pc/pcpcr1
[P5] În pătratul Gini cu latura 1, reprezentăm prima bisectoare şi apoi punctele
de coordonate:
O( 0, 0)
P1 11 frc;pcr
P2 22 frc;pcr
........................
Pj jj frc;pcr
.......................
Pnc ncnc frc;pcr
P (1, 1)
Unim punctele cu o linie continuă şi obţinem curba concentrării (Lorenz).
[P6] Calculăm suma ariilor trapezelor de sub curba de concentrare cu relaţia:
21
1
/]fr)prcpcr[(B jjj
nc
j
[P7] Calculăm indicele concentrării (Gini) G cu relaţia:
BG 21 .
Pentru aplicarea algoritmului în programele de calcul tabelar, propunem
următoarea organizare a datelor:
1. În Tabelul 6.1 sunt determinate valorile pentru paşii [P1] – [P4];
2. În Tabelul 6.2 sunt determinate valorile pentru paşii [P4] – [P7] ai
algoritmului.
Tabelul 6.1: Paşii [P1] – [P4] ai algoritmului
Clase Intervale de
clasă
Mijloacele
intervalelor
de clasă
Frecvenţa
absolută
Frecvenţa
absolută
cumulată
Frecvenţa
relativă
Frecvenţa
relativă
cumulată
j jlc -
1jlc jm jfa
jfac jfr
jfrc
1 21 lcxlc i
2
211
lclcm
1fa
11 fafac
n
fafr 1
1 11 frfrc
2 32 lcxlc i
2
322
lclcm
2fa
212 fafacfac
n
fafr 2
2 212 frfrcfrc
... ... ... ... ... ... ...
k 1 kik lcxlc
2
1 kk
j
lclcm kfa
kkk fafacfac 1
n
fafr k
k kkk frfrcfrc
... ... ... ... ... ... ...
nc 1 ncinc lcxlc
2
1 ncnc
nc
lclcm ncfa
ncncnc fafacfac 1
n
fafr nc
nc 1 ncncnc frfrcfrc
TEMA 14: INDICI STATISTICI 15
Tabelul 6.2: Paşii [P4] – [P7] ai algoritmului
Clase Ponderi Ponderi
cumulate
Ponderi
cumulate
relative
Aria
j jjj famp jpc
jpcr 21 /]fr)pcrpcr[(B jjjj
1 111 famp 11 ppc
jpc
pcpcr 1
1
2111 /]fr)pcr[(B
2 222 famp 212 ppcpc
jpc
pcpcr 2
2
22122 /]fr)pcrpcr[(B
... ... ... ... ...
k kkk fampc kkk ppcpc 1
jpc
pcpcr 3
3
21 /]fr)pcrpcr[(B kkkk
... ... ... ... ...
nc ncncnc fampc 11 ncncnc ppcpc
j
ncnc
pc
pcpcr
211 /]fr)pcrpcr[(B ncncnc
Exemplul 6.7: Se consideră datele grupate din tabelul de mai jos.
Clase Intervale de clasă Frecvenţa
absolută
j jlc 1jlc
jfa
1 100 300 50
2 300 500 25
3 500 700 75
4 700 900 25
(a) Să se aplice algoritmul descris anterior pentru determinarea curbei
Lorenz şi a indicelui Gini;
(b) Să se reprezinte grafic curba Lorenz.
Rezolvare: (a) Pentru aplicarea algoritmului, calulăm mijloacele intervalelor de
clasă şi frecvenţele cumulate corespunzătoare. Rezultatele sunt redate din
tabelul de mai jos:
Clase Intervale
de clasă
Mijloacele
intervalelor
de clasă
Frecvenţa
absolută
Frecvenţa
absolută
cumulată
Frecvenţa
relativă
Frecvenţa
relativă
cumulată
j jlc 1jlc
jm jfa
jfac jfr
jfrc
1 100 300 200 50 50 0,2857 0,2857
2 300 500 400 25 75 0,1429 0,4286
3 500 700 600 75 150 0,4286 0,8571
4 700 900 800 25 175 0,1429 1,0000
2000 175 - 1,0000 -
În continuare determinăm ponderile şi ariile, rezultatele fiind calculate în
tabelul următor:
Ponderi Ponderi
cumulate
Ponderi cumulate
relative
Aria
trapezului
jp jpc
jpcr jB
10000 10000 0,1176 0,0168
10000 20000 0,2353 0,0252
45000 65000 0,7647 0,2143
20000 85000 1,0000 0,1261
85000 - - 0,3824
16 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Indicele Gini rezultat este de:
G =1 – 2 ∙ 0,3824 = 0,2353,
deci o concentrare relativ redusă pentru datele analizate.
(b) Curba Lorenz este reprezentată în Figura 6.3.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
pcr
j
frcj
Figura 6.3: Curba Lorenz (Exemplul 6.6)
6.5.2 Indicii de capabilitate
Indicii de capabilitate se numără printre metodele statistice de
monitorizare a calităţii proceselor de fabricaţie. Obiectivul principal al acestor
metode îl constituie cuantificarea variabilităţii procesului, prin analiza şi
monitorizarea dinamicii acestuia în legătură cu cerinţele de performanţă
specificate pentru procesul respectiv, în scopul eliminării sau reducerii
variabilităţii.
Monitorizarea performanţei unui proces de fabricaţie se realizează cu
ajutorul unor metrici de performanţă, metrici ce cuantifică capabilitatea
procesului, respectiv măsura în care acesta îşi atinge performanţele specificate
în ceea ce priveşte, pe de o parte, nivelul de variaţie, iar pe de altă parte,
tendinţa sa centrală.
Monitorizarea performanţelor proceselor de fabricaţie se referă în principal
la uniformitatea acestora. În mod evident, variabilitatea unui proces este o
măsură a uniformităţii sau ieşirilor din proces, reprezentate de caracteristicile de
calitate corespunzătoare proceselor monitorizate.
Realizând analiza procesului, în conexiune cu evoluţia şi stabilitatea sa
statistică, determinată cu metoda fişelor de control, va trebui să evaluăm în
performanţa procesului care este în control şi să o comparăm cu un anumit nivel
specificat de performanţă. În acest scop vom defini principalele metrici de
performanţă a unui proces de fabricaţie modelat de distribuţia normală.
Să considerăm acum intervalul de toleranţă specificat, notat ITS,
respectiv intervalul de toleranţă în care trebuie să se încadreze valorile N , ixi
ale variabilei aleatoare X, generată de proces.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 17
INT
ITSLSSLSI
LNI LNS
ITS va fi determinat de intervalul închis LSS,LSI , unde LSI este limita
specificată inferioară şi LSS limita specificată superioară. Este evident că
ITS se poate calcula numai atunci când toleranţa specificată este bilaterală.
Rezultă:
LSILSSITS .
Performanţa statistică a procesului este dată de variabilitatea sa inerentă
atunci când procesul este în stare de stabilitate statistică. Atunci intervalul
natural de toleranţă, notat INT, va fi o măsură pentru împrăştierea
procesului.
În scopul evaluării INT, fie şi estimaţiile pentru media şi, respectiv,
pentru abaterea standard ale procesului modelat de distribuţia )( ,xFX .
Intervalul natural de toleranţă va fi determinat de intervalul închis LNS,LNI ,
unde:
ˆˆLNI 3 ,
este limita naturală inferioară şi:
ˆˆLNS 3 ,
este limita naturală superioară a împrăştierii procesului.
Putem acum obţine imediat intervalul natural de toleranţă:
LNILNSINT 6 .
Intervalul natural de toleranţă este o primă metrică a nivelului de
performanţă procesului. Acesta cuprinde cea mai mare parte a populaţiei
statistice reprezentate de procesul analizat şi monitorizat (99,73% în cazul
distribuţiei normale, de exemplu), cuantificând variabilitatea inerentă a acestuia.
În Figura 6.4 sunt reprezentate intervalul de toleranţă specificat ITS şi
intervalul natural de toleranţă INT, care sunt utilizate pentru monitorizarea
performanţelor unui proces.
Figura 6.4: Intervalele ITS şi INT
Metricele cu ajutorul cărora se estimează şi se monitorizează performanţele
unui proces sunt reprezentate de indicii de capabilitate.
18 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Fie X variabila aleatoare pentru un proces tehnologic ce generează o
caracteristică de calitate cu limitele de toleranţă specificate LSI şi LSS şi fie şi
valorile estimate pentru media şi abaterea standard ale procesului respectiv.
Utilizând notaţiile de mai sus definim indicele de potenţial al
procesului (Cp) ca fiind:
ˆ
d
ˆ
LSILSS
INT
ITSCp
36
,
unde distanţa d este jumătate din intervalul de toleranţă specificat, adică:
22
LSILSSITSd
.
Din relaţiile de mai sus rezultă că indicele de potenţial pC este o metrică ce
cuantifică variaţia procesului, fiind deci o măsură a variabilităţii sau împrăştierii
sale raportată la toleranţa specificată, aşa cum se observă şi din Figura 6.4.
Indicele de potenţial pC este până la urmă o măsură a capacităţii procesului de a
genera unităţi de produs care să se încadreze într-o zonă cât mai mică a
intervalului de toleranţă specificat.
Dar indicele de potenţial pC nu ia în considerare localizarea mediei
procesului faţă de limitele de toleranţă specificate, fiind o măsură numai a
variaţiei, deci a împrăştierii procesului, respectiv o variabilă dependentă numai
de abaterea standard a procesului. Pentru a evalua tendinţa centrală a
procesului, respectiv localizarea mediei acestuia faţă de limitele de toleranţă
specificate, vom utiliza indicele de capabilitate.
Indicele de capabilitate a procesului, pkC , cuantifică tendinţa centrală
a procesului, şi poate fi calculat astfel:
}, {suppkinfpkpk C,CminC
unde:
ˆ
d
ˆ
ˆLSIC
infpk33
1
,
ˆ
d
ˆ
ˆLSSC
suppk33
2
,
În relaţiile de mai sus, LSId 1 şi LSSd 2 reprezintă distanţele de
la media procesului la limitele de toleranţă specificate. Avem )( ˆ,ˆCC pkpk
deoarece indicele de capabilitate pkC depinde atât de media procesului cât şi de
abaterea standard. Relaţia dintre cei doi indici de performanţă este:
ppk CkC 1 ,
unde, considerând m ca fiind mijlocul intervalului de toleranţă specificat avem:
2
LSSLSIm
,
iar valoarea lui k rezultă din:
LSILSS
mk
2.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 19
De asemenea, indicele de capabilitate pkC poate fi scris sub forma:
ˆ
ˆmd
ˆ
d,dminCpk
33
21 .
Din relaţia de mai sus, rezultă de asemenea că ppk CC . Într-adevăr, dacă
m , atunci avem 1k şi ppk CC , iar dacă m , atunci avem 1k şi
ppk CC . Aceasta înseamnă, de fapt, că pentru un proces perfect centrat, cu
media procesului egală cu mijlocul ITS, indicele de potenţial şi indicele
de capabilitate sunt egali.
Dacă specificarea toleranţei este bilaterală, atunci pentru o specificare cu
limită inferioară LSI avem:
ˆ
d
ˆ
ˆLSICC
infpkp33
1
,
iar pentru o specificare cu limită superioară LSS avem:
ˆ
d
ˆ
ˆLSSCC
suppkp33
2
.
Tot în legătură cu performanţele calitative ale unui proces de fabricaţie,
definim fracţiunea defectivă, ca fiind estimarea, cu ajutorul distribuţiei
normale, a proporţiei de produse defective, respectiv a produselor cu
caracteristici de calitate situate în afara limitelor de toleranţă specificate.
Fracţiunea defectivă inferioară, notată infp , este proporţia de unităţi de
produs mai mici decât limita de toleranţă specificată inferioară, LSI, respectiv:
dxˆ,ˆ,xNLSIxpLSI
iinf Prob .
Fracţiunea defectivă superioară, notată supp , este proporţia de unităţi
de produs mai mari decât limita de toleranţă specificată superioară, LSS,
respectiv:
dxˆ,ˆ,xNLSSxLSSxpLSS
iisup 1Prob1Prob .
Fracţiunea defectivă totală este este proporţia de unităţi de produs mai
mici decât limita de toleranţă specificată inferioară, LSI, plus proporţia de
unităţi de produs mai mari decât limita de toleranţă specificată superioară, LSS,
respectiv:
totp = infp + supp .
Pentru determinarea fracţiunii defective vom utiliza funcţia statistică din
Excel NORMDIST().
Exemplul 6.8: Se consideră caracteristica de calitate „Diametru exterior” cu
limitele de toleranţă specificate 20 0,025 mm, pentru care a fost măsurat un
eşantion de 25 de valori, datele fiind înregistrate în aplicaţia 2.5. În Aplicaţia 3.1
a fost calculată media 9968,19x , iar în Aplicaţia 3.2 a fost calculată abaterea
standard 0,0215484s . Să se determine:
(a) Indicii de capabilitate;
(b) Fracţiunea defectivă.
20 CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR
ECONOMICE
Rezolvare: (a) Pentru eşantionul de 25n de valori, avem limitele de toleranţă
specificate 975,19025,020 LSI mm şi 025,20025,020 LSS . Valorile
estimate pentru medie şi abaterea standard sunt 9968,19ˆ x şi respectiv
0,0215484ˆ s .
Atunci pentru intervalul de toleranţă specificat, avem:
.05,0975,19025,20 LSILSSITS
Limitele naturale de toleranţă sunt respectiv:
19,9321550,021548439968,19ˆ3ˆ LNI ,
20,0614450,021548439968,19ˆ3ˆ LNS ,
iar intervalul natural de toleranţă:
0,129290,02154846ˆ6 LNILNSINT .
Atunci indicele de potenţial al procesului (Cp) este:
0,38670,12929
05,0ˆ INT
ITSCp .
Pentru indicele de capabilitate a procesului, pkC , avem mai întâi:
0,33720,02154843
9968,19975,19
ˆ3
ˆˆinf
LSICpk ,
0,43620,02154843
9968,19975,19
ˆ3
ˆˆsup
LSSCpk ,
şi obţinem:
0,33720,4362 0,3372;min}ˆ ,ˆ {minˆsupinf
pkpkpk CCC .
Se obsevă că indicelel de potenţial 0,3867ˆ pC şi indicele de capabilitate
0,3372ˆ pkC înregistrează valori necorespunzătoare.
(b) Pentru fracţiunea defectivă avem:
Fracţiunea defectivă inferioară:
975,19ProbProbˆinf ii xLSIxp
= NORMDIST(19,975; 9968,19 ; 0,0215484; 1) = 0,1558.
Fracţiunea defectivă superioară:
025,20Prob1025,20ProbProbˆsup iii xxLSSxp
= 1 – NORMDIST(20,025; 9968,19 ; 0,0215484; 1) =.
Fracţiunea defectivă totală:
totp = infp + supp = 0,1558 + 0,0953 = 0,2512.
Rezultă deci că circa 25% din unităţile de produs generate de acest proces de
fabricaţie vor fi defective, respectiv se vor situa în afara limitelor de toleranţă
specificate.
TEMA 14: INDICI STATISTICI 21
6.6 Bibliografie selectivă
1. Anderson, David, Dennis Sweeney, și Thomas Williams. Statistics for Business and
Economics. Mason: South-Western Cengage Learning, 2011.
2. Bârsan-Pipu, Nicolae. Modele pentru controlul şi reglajul statistic al proceselor –
Teză de doctorat. Braşov: Universitatea „Transilvania”, 2000.
3. Berenson, Mark, David Levine, și Timothy Krehbiel. Basic Business Statistics:
Concepts and Applications. Boston: Prentice Hall, 2012.
4. Biji, Mircea, Biji, Elena Maria, Lilea, Eugenia, şi Anghelache, Constantin. Tratat de
statistică. Bucureşti: Editura Economică, 2002.
5. Francis, Andy. Statistică matematică pentru managementul afacerilor. Bucureşti:
Editura Tehnică, 2004.
6. Isaic-Maniu, Alexandru, Mitruţ Constantin, şi Voineagu, Vergil. Statistica pentru
managementul afacerilor. Bucureşti: Editura Economică, 1999.
7. Jaba, Elisabeta. Statistica. Bucureşti: Editura Economică, 2002.
8. Keller, Gerald. Statistics for Management and Economics. Mason: South-Western
Cengage Learning, 2012.
9. Mendenhall, William, şi Sincich, Terry. Statistics for the Engineering and Computer
Sciences. Santa Clara: Dellen Publishing, 1984.
10. Mihoc, Gheorghe, şi Urseanu, V. Matematici aplicate în statistică. Bucureşti: Editura
Academiei, 1962.
11. Moore, David, William Notz, și Michael Fligner. The Basic Practice of Statistics. New
York: W. H. Freeman and Company, 2013.
12. Newbold, Paul, Carlson, William, şi Thorne, Betty. Statistics for Business and
Economics. New Jersey: Pearson Education, 2007.
13. Ott, Lyman, și Michael Longnecker. An introduction to statistical methods and data
analysis. Pacific Grove: Duxbury, 2001.
14. Ross, Sheldon. Introductory Statistics. Burlington: Elsevier, 2010.
15. Turdean, Marinella Sabina. Statistică. Bucureşti: Editura Pro Universitaria, 2009.
16. Vodă, Viorel Gh. Gândirea statistică - un mod de gândire al viitorului. Bucureşti:
Editura Albatros, 1977.
17. Waller, Derek. Statistics for Business. Burlington: Butterworth-Heinemann, 2008.
18. Institutul Naţional de Statistică. Anuarul Statistic al României 2012. Bucureşti:
2013.