0

0

a

0

0

a

(

(

)exterioare cil. angr.

e) interioarcil. angr.

a

180

0

0

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

4.3. Angrenaje cilindrice cu dinti drepti.

4.3.1. Notiuni introductive.

Mecanismul format din doua roti dintate conjugate (care pot angrena una cu cealalta) se numeste angrenaj.

Dupa modul de dispunere al axelor rotilor dintate, principalele tipuri de angrenaje sunt: angrenaje hiperboloidale, angrenaje conice, angrenaje cilindrice.

a. b. c.

Fig. 93. Angrenaje cilindrice cu dinti drepti.a – angrenaje hiperboloidale; b – angrenaje conice;

c – angrenaje cilindrice.

La orice doua roti dintate care angreneaza exista câte doua cercuri care se rostogolesc unul pe celalalt fara alunecare, denumite cercuri de rostogolire (de raze si ) si care sunt tangente în polul angrenarii (notat cu C). Aceste cercuri sunt deci centroidele miscarii.

- 77 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Distanta între axele O1 si O2 a rotilor dintate conjugate se noteaza .Miscarea se transmite de la o roata dintata la alta prin intermediul

unor proeminente denumite dintii rotii dintate. Acestia au suprafetele în contact reciproc conjugate. Dintii conjugati se rostogolesc unul pe celalalt cu alunecare. În sectiune transversala (perpendiculara pe axa rotii dintate) suprafetele active ale dintilor dau liniile, denumite flancuri.

Fig. 94.

4.4. Legea de baza a angrenarii.

Definitia sumara: Normala comuna nn în punctul de contact M al flancurilor dintilor conjugati ai unui angrenaj, împarte linia centrelor O1O2 în segmente invers proportionale cu vitezele unghiulare si .

Din conditia continuitatii miscarii: proiectiile vitezelor

si pe nn trebuie sa fie identice.

Fig. 95.

Dar si deci

În cazul rotilor dintate, din multimea de suprafete curbe conjugate apte sa materializeze flancurile dintilor, se folosesc doar acelea care realizeaza

constanta raportului de transmitere i1,2. Deci în relatiile finale ale lui O1C si

- 78 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

O2C, atât cât si i sunt constanti si atunci punctul C este un punct fix pe linia centrelor.

Atunci legea de baza a angrenarii, în definitia pe larg, este: Pentru asigurarea unui raport de transmitere constant la un angrenaj, normala comuna nn la cele doua profile de înfasurare reciproca ce constituie flancurile dintilor, trebuie sa treaca permanent printr-un punct fix C de pe linia centrelor – polul angrenarii – si care împarte distanta dintre axe în segmente invers proportionale cu vitezele unghiulare si .

Tot în C sunt tangente si cercurile de rostogolire.Din conditia ca flancurile în contact ale dintilor rotilor dintate

cojugate, sa nu se întrepatrunda, nici sa piarda contactul, rezulta existenta unei viteze tangentiale de alunecare dintre dinti, tangenta la profile si permanent perpendiculara pe nn. Se justifica astfel dubla mobilitate a cuplei formata de contactul dintre doi dinti: exista doua miscari elementare instantanee suprapuse – o rotire pura a unui dinte în jurul punctului de contact M cu celalalt dinte plus o alunecare dupa tangenta comuna cu viteza .

4.5. Curbe folosite ca flancuri de dinti.

Mai întâi doua notiuni introductive: locul geometric al punctului de contact M dintre flancurile

dintilor conjugati este linia de angrenare; unghiul dintre tangenta comuna tt la cercurile de rostogolire

si normala comuna nn la flancurile dintilor în punctul de contact M, este unghiul de angrenare (fig. 96 si fig. 103).

Curbele uzuale care satisfac legea de baza a angrenarii sunt cicloidele. Ele sunt curbe ciclice descrise de un punct solidar cu rostogolitoarea mobila (ruleta), ce se rostogoleste fara alunecare peste rostogolitoarea fixa (baza), rostogolitoarele fiind cercuri sau degenerari ale cercurilor – drepte.

Când punctul care descrie cicloida apartine dreptei sau circumferintei cercului ruleta, curba este denumita comuna (normala sau propru-zisa).Cicloidele comune sunt caracterizatede puncte singulare de tip puncte de întoarcere de

speta întâi (unde cele doua ramuri ale cicloidei se gasesc de o pare si de alta a tangentei la cicloida si concomitent de aceeasi parte a tangentei la baza în acest punct. Fig. 96.

- 79 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Când punctul care descrie cicloida este

situat în interiorul cercului ruleta, sunt generate curbe denumite scurtate sau întinse.

Când punctul care descrie cicloida este situat în exteriorul cercului ruleta, sunt generate curbe denumite alungite sau buclate. Acestea prezinta puncte singulare de tip punct dublu, unde ramurile curbei se intersecteaza sub un unghi diferit de sau si deci unde se pot duce doua tangente distincte la ramurile curbei.

La evolventa cercului, curba alungita (buclata) este generata când punctul generator solidar cu dreapta ruleta se afla de aceeasi parte cu cercul de baza, respectiv cea scurtata (întinsa), când punctul generator se afla pe partea opusa cercului de baza în raport cu dreapta ruleta.

Fig. 97.

Fig. 98.

- 80 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

a. b. c. d. e.

Fig. 99. Curbe folosite ca flancuri de dinti.a – epicicloida; b – hipocicloida; c – pericicloida;

d – evolventa; e – ortocicloida.

Evoluta unei curbe plane este locul geometric al centrelor ei de curbura. Ea se obtine ca înfasuratoare a normalelor la curba plana.

a. b. c.

Fig. 100.

; ;

Evolventa cercului, denumita si curba desfasuratoare (lat. evolvere = a desfasura) este curba descrisa de un punct solidar cu o dreapta mobila (ruleta) ce se rostogoleste fara alunecare peste un cerc fix denumit cerc de baza.

O definitie reciproca acesteia: evolventa comuna (normala) este curba care are ca evoluta cercul. Aceste definitii reciproce sunt niste particularizari ale proprietatilor generale:

orice curba este evoluta evolventelor ei;

orice curba este una dintre evolventele evolutei ei.

Se atrage atentia ca orice curba admite o

- 81 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

familie de evolvente, iar toate tangentele la baza sunt normale ale evolventelor acestei familii.

Fig.101. Familie de evolvente.

Doua cazuri particulare: epicicloida comuna (normala) cu este denumita cardioida;

hipocicloida comuna (normala) cu este denumita astroida,

care se poate obtine si ca evoluta a unei elipse.

a. b.

Fig. 102.a – cardioida; b – astroida.

Fig. 103. Fig. 104.

- 82 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Etapele constructiei grafice a evolventei (fig. 104):

cu în [rad];

1 – se duce perpenticulara în Aj pe rb;

2 – se calculeaza ;

3 – se determina ;4 – se repeta pentru .

4.6. Distanta dintre axe, un invariant de raportul de transmitere.

Se considera doua roti dintate conjugate prelucrate, având distanta dintre axe si

raportul de transmitere . Se demonstreaza ca daca se trece de la la , raportul de transmitere nu se schimba. Se dau si relatiile cantitative ale variatiei razelor de rostogolire din acest caz.

Deci

Fig. 105.

- 83 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Rezulta:

4.7. Principalele elemente geometrice ale rotilor si angrenajului cilindric exterior.

5.7.1. Principalele elemente geometrice ale rotilor cilindrice exterioare.

Pasul danturii p este distanta dintre doua flancuri omoloage si sucesive, masurata pe un cerc oarecare. Deci pe diferite cercuri, pasii vor fi diferiti.

Fig. 106. Pasul danturii.

Modulul . A fost definit în urma exprimarii lungimii L a unui

cerc oarecare al rotii dintate în functie de si d, respectiv de p si z. Din definitie rezulta ca la o aceeasi roata dintata, pe diferite cercuri modulele vor fi diferite. Modulul se masoara în [mm]. Modulele STAS se noteaza cu .

;

Raza de divizare sau r, este raza cercului pe care modulul si unghiul de angrenare sunt standardizate. Cercul de divizare este centroida rotii dintate la prelucrarea ei. Cu exceptia angrenajelor denumite nedeplasate si zero deplasate, centroida de la prelucrarea unei roti dintate este diferita de centroida din timpul functionarii angrenajului, care este cercul de rostogolire de raza

. Raza de picior .

Grosimea dintelui pe un cerc oarecare de raza , este

lungimea arcului de cerc delimitat de flancurile antiomoloage ale unui dinte (grosimea plinului dintelui).

- 84 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Fig. 107. Grosimea dintelui.

4.7.2. Principalele elemente geometrice ale angrenajului cilindric exterior.

Cercurile de rostogolire de raze si , sunt centroidele din timpul functionarii angrenajului format din cele doua roti conjugate. Ele sunt generate de polul angrenarii C în planul rotii 1, respectiv 2 (fig. 103 si fig. 109).

Pasul pe cercul de rostogolire .

Distanta dintre axe .

a. b.Fig. 108.

Linia de angrenare este locul geometric al punctului M de contact între dinti; la angrenajul evolventic linia de angrenare este o dreapta, tangenta interioara la cercurile de baza în punctele A, respectiv E. Linia de angrenare este totodata si normala comuna în punctul de contact la flancurile dintilor conjugati aflati în angrenare.

Razele cercurilor de cap si , limiteaza la exterior partea

materiala a rotii dintate; o astfel de raza depinde de , de raza de picior a rotii conjugate si de jocul la fund al dintilor ().

- 85 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Segmentul real de angrenare BD, este portiunea din linia de angrenare pe care are loc efectiv contactul dintre dintii conjugati. Acesta este delimitat prin intersectia liniei de angrenare cu cercurile de cap ale celor doua roti.

Unghiul real de angrenare este unghiul ascutit dintre linia de angrenare si tangenta comuna (în polul C) la cercurile de rostogolire.

Gradul de acoperire este raportul dintre lungimea arcului de angrenare si pasul pe cercul de rostogolire. Arcul de angrenare este arcul – masurat pe cercul de rostogolire – descris de roata dintata din momentul intrarii unui dinte în contact cu dintele conjugat si pâna în momentul iesirii acestuia din contact. are ca semnificatie fizica numarul mediu de perechi de dinti aflate în angrenare.

Fig. 109.

4.7.3. Grosimea dintelui pe un cerc oarecare.

- 86 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Fig. 110.

Rezulta relatia generala: .

Daca atunci .

Deci .

Fig. 111.

4.8. Expresia gradului de acoperire.

- 87 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Fig. 112.

- 88 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

Conditia continuitatii angrenarii:

Deci

cu

Deci

Masura arcelor de cerc care caracterizeaza zona simplei angrenari (o singura pereche de dinti în angrenare), respectiv zona dublei angrenari (doua perechi de dinti în angrenare) este:

4.9. Alunecarea profilelor dintilor.

Pentru a fi asigurat permanent contactul între dintii conjugati (adica pentru ca dintii nici sa nu se desprinda nici sa aiba tendinta sa se întrepatrunda), trebuie ca tot timpul proiectiile pe nn ale lui si sa fie egale.

Tinând cont ca si sunt constante, deci si diferenta lor este constanta, pentru ca M descrie segmentul real de angrenare iar

- 89 -

Mecanisme Capitolul 4 – ANALIZA SI SINTEZA MECANISMELOR CU ROTI DINTATE

vectorul este variabil si îsi schimba sensul în polul C (care este fix), înseamna ca este variabila si se anuleaza în C unde îsi schimba si ea sensul.

Forta de frecare la care sunt supuse flancurile dintilor este întotdeauna opusa ca sens . Înseamna ca îsi va schimba sensul în pol.

Se considera stratul superficial al flancului activ al dintelui, ca o banda de grosime constanta, incastrata la baza dintelui si totodata rezemata pe dinte pe toata lungimea ei. Aceasta banda va fi atunci supusa alternativ la o “încretire” si “lustruire” de catre .

Fig. 113.

Se da întregului ansamblu o miscare inversata cu ; punctul C devine CIR si atunci:

cu

la angrenajele exterioare: pentru ca

are acelasi sens cu ;

la angrenajele interioare: pentru ca

iar si sunt de sens opus;

- 90 -

Fig. 114.