6CMPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTAIONAR N CONDUCTOARE MASIVE

6.1. ECUAIILE CMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAIONAR N CONDUCTOARE MASIVE IMOBILE n mediile conductoare imobile, ecuaiile cmpului electromagnetic se obin scriind legile generale i de material n urmtoarele ipoteze simplificatoare: a. Ipoteza relaxaiei rapide a sarcinii electrice const din neglijarea, n conductoare, a densitii de volum a sarcinii electrice, v = 0. (6.1)

ntr-adevr, nlocuind n ecuaia de conservare a sarcinii electrice (5.110) densitatea de curent J cu expresia din legea conduciei electrice pentru medii liniare, izotrope i omogene (5.22) i innd seama de relaia (5.6), se obine:

divJ = sau

divD = v = v , t v = v . t

(6.2)

(6.3)

Soluia ecuaiei (6.3) este:

v (t ) = v ( t 0 ) e

t r

,

(6.4)

unde v(t0) este valoarea densitii de volum a sarcinii electrice la momentul t0, iar mrimea r = avnd dimensiunea timpului este numit constant de relaxaie. Conductivitatea metalelor fiind de ordinul 106 -1m-1 i = 0 = 1/36109 F/m, constanta de relaxaie are valoarea

r

1 10 17 s . 9 6 36 10 10

(6.5)

266

n metale, dup un timp egal cu (3 4)r, densitatea de volum a sarcinii electrice poate fi considerat nul. Sarcina electric adus ntr-un punct din interiorul unui conductor se repartizeaz practic instantaneu la suprafaa acestuia. Deoarece n majoritatea aplicaiilor frecvenele nu depesc 1010 Hz, relaia (6.1) este satisfcut n cazul conductoarelor metalice n orice regim. Relaia (6.4) constituie teorema relaxaiei sarcinii electrice. b. Ipoteza neglijrii densitii curentului de deplasare JD=D/t n raport cu densitatea curentului de conducie J=E, n legea circuitului magnetic:

E E t

(6.6)

La o variaie sinusoidal n timp a cmpului electric E(t) = Emsint, n care =2f este pulsaia i f - frecvena, amplitudinile densitilor de curent fiind JD = Emax, Jmax=Emax, condiia (6.6) presupune / respectiv,

r < 1 ,

(6.7)

Deoarece pentru metale r este de ordinul 10-17s, rezult c la frecvene f < 1017 Hz, densitatea curentului de deplasare n conductoare este neglijabil n raport cu densitatea curentului de conducie. Deoarece n tehnic, frecvenele utilizate nu depesc 1010 - 1012 Hz, aproximaia regimului cvasistaionar este n general satisfcut. c. Ipoteza polarizrii nule a metalelor. Datorit polarizaiei P extrem de mici a metalelor, aceasta se poate neglija, P=0 (6.8) i inducia electric n metale este D = 0E. Din acest motiv, n conductoare este suficient s se determine E, inducia electric D fiind neglijabil. Conductoarele se consider imobile, liniare, omogene din punct de vedere fizic i chimic (Ei = 0) i izotrope. Ecuaiile legilor generale i de material n ipotezele regimului cvasistaionar sunt urmtoarele: legea fluxului magnetic, div B = 0; divH = 0; legea fluxului electric, div D = 0; divE = 0; legea conservrii sarcinii electrice div J = 0; legea dependenei dintre inducie i intensitate n cmp magnetic, B = H; (6.12) (6.11) (6.10) (6.9)

267

legea conduciei electrice J = E; legea induciei electromagnetice,rotE = H ; t

(6.13)

(6.14)

legea circuitului magnetic,rotH = E ;

(6.15)

legea induciei electromagnetice n funcie de potenialele electrodinamiceE= A gradV . t

(6.16)

Deoarece n aceste ecuaii intervin numai derivate pariale de ordinul I, se numesc ecuaii de primul ordin ale cmpului electromagnetic cvasistaionar n medii imobile. Ele alctuiesc un sistem complet de ecuaii i unicitatea soluiilor rezult prin particularizarea pentru regimul cvasistaionar a teoremei de unicitate n regim variabil. Din ecuaiile de primul ordin, n care intensitile i induciile cmpurilor electric i magnetic nu intervin separat, se deduc ecuaiile pe care le satisfac fiecare dintre aceste mrimi. Deoarece n aceste ecuaii intervin i derivate pariale de ordinul al doilea, ele se numesc ecuaii de ordinul al doilea ale cmpului electromagnetic cvasistaionar n medii imobile. Ecuaia de ordinul doi pe care o satisface E se obine lund rotorul ambilor membri ai ecuaiei (6.14): rot rotE = grad divE E = innd seama de relaiile (6.10) i (6.15), rezult:E = E , t E . t

rotH . t

(6.17)

(6.18)

saurot rotE =

(6.19)

Multiplicnd ecuaiile (6.18, 6.19) cu i innd seama de relaia (6.13), se obine ecuaia de ordinul doi pe care o satisface densitatea de curent J:J = J J ; rot rotJ = . t t

(6.20)

268

Dac se ia rotorul ambilor membri ai ecuaiei (6.15) i se ine seama de relaiile (6.9, 6.14), se obine ecuaia de ordinul doi a intensitii cmpului magnetic:H = H H ; rot rotH = . t t

(6.21)

Dac se multiplic ambii membri ai ecuaiilor (6.21) cu , se deduce ecuaia de ordinul doi pe care o satisface inducia magnetic:B = B B ; rot rotB = . t t

(6.22)

Rezult c intensitile i induciile cmpurilor electric i magnetic, respectiv densitatea de curent, satisfac ecuaia cu derivate pariale de ordinul doi de tip parabolic,G = numit ecuaia difuziei. Factorul = 1 (6.24) G 1 G G 1 G = = ; rot rotG = t t t t (6.23)

se numete difuzivitate magnetic. Datorit analogiei formale pe care o prezint ecuaiile (6.23) cu ecuaiile care descriu fenomenele de difuzie, ptrunderea cmpului electromagnetic cvasistaionar n conductoare se mai numete difuzia cmpului electromagnetic. Ecuaiile de tipul (6.23) nu se integreaz independent una de alta, deoarece soluiile lor sunt legate prin ecuaiile de primul ordin. Pentru rezolvarea unei probleme de cmp electromagnetic se rezolv una din ecuaiile de ordinul doi, iar celelalte mrimi se determin din ecuaiile de primul ordin. Pe suprafeele de discontinuitate trebuie impuse condiiile: B1n = B2n; D1n = D2n; J1n = J2n; E1t = E2t; H1t = H2t.B

(6.25)

Prin introducerea funciilor auxiliare Ae i V, ecuaiile de cmp se reduc ca numr i se pot integra mai simplu. Astfel, nlocuind n ecuaia (6.15) H = B/, E = J/ i deoarece B = rotAe, se obine:

rot rotA e = J ,sau

(6.26)

grad divA e A e = J .innd seama de condiia de etalonare de tip Coulomb (4.290),

(6.27)

269

div A e = 0 ,ecuaia (6.27) devine:

(6.28)

A e = J .

(6.29)

Prin urmare, potenialul magnetic vector Ae satisface n conductoare o ecuaie de tip Poisson (6.29) i n exteriorul acestora (J = 0) o ecuaie de tip Laplace,

A e = 0 .Dac se ine seama de relaia (6.16), se obine:

(6.30)

A J = E = e gradVe t i nlocuind n relaia (6.27), rezult:

(6.31)

A grad divA e A e = e + gradVe . t

(6.32)

Impunnd condiia div A e + Ve = 0 , ecuaia (6.32) are forma ecuaiei difuziei (6.23), A e = A e . t (6.33)

n regim armonic permanent, intensitile i induciile cmpului electric i magnetic, densitatea curentului electric i potenialul vector sunt funcii de punct i sinusoidale n timp: F(P, t ) = FK max (P )sin[t + k (P )]u k ,k =1 3

(6.34)

n care F este E, H, B, J sau A. Amplitudinile FKmax(P) i defazajele iniiale k(P) sunt numai funcii de punct, iar uk sunt versorii sistemului de coordonate. Fiecare dintre componentele Fk ale vectorului F, funcii sinusoidale de timp,

F(P, t ) = FK max (P )sin[t + k (P )]u k

(6.35)

pot fi reprezentate n complex nesimplificat sau simplificat, dup regulile stabilite la teoria circuitelor electrice. Conform regulii de reprezentare n complex simplificat a unei funcii scalare sinusoidale x(t),

x (t ) = X max sin(t + ) X =

X max j e , 2

(6.36)

270

se obine urmtoarea reprezentare n complex simplificat a componentei Fk, numit imagine n complex simplificat Fk,

Fk (P, t ) = FK max (P ) sin[t + k (P )] Fk =Funcia original se determin cu relaia:Fk (P, t ) = Im 2 F k e jt .

Fk max (P ) j k (P ) e . 2

(6.37)

{

}

(6.38)

Cu aceast reprezentare, vectorului sinusoidal n timp F(P,t) i corespunde imaginea n complex simplificat,

F(P ) = Fk u k = k =1

3

Fk max j k e uk , 2 k =13

(6.39)

iar vectorul original se determin cu relaia:3 F(P, t ) = Im 2 Fk e jt u k . k =1

(6.40)

Produsului scalar FG a doi vectori sinusoidali n timp F(P,t) i G(P,t) i corespunde produsul scalar (mrime complex) al imaginii n complex a vectorului F prin imaginea complex conjugat a vectorului G*, F G F G *. (6.41)

Produsului vectorial F G i corespunde produsul vectorial al imaginii n complex a vectorului F prin imaginea complex conjugat a vectorului G*, F G F G *. (6.42)

Cu regulile de reprezentare n complex (6.40, 6.41, 6.42), la care se adaug d j , se obin formele n regula de reprezentare a operatorului de derivare, dt complex ale ecuaiilor de primul ordin ale cmpului electromagnetic cvasistaionar armonic permanent:

divB = 0; divH = 0 ; divE = 0; divJ = 0;B = H ; J = E ;

(6.43) (6.44) (6.45) (6.46) (6.47) (6.48)

rotE = jH ;

271

rot H = J ;

(6.49) (6.50)

rotE = jA gradV .Ecuaiei difuziei (6.23) i corespunde forma n complex:G = j G = 2 G; rot rot G = 2 G ,

(6.51)

unde, 2 = j ; = (1 + j); = . 2

(6.52)

n relaiile (6.52), se numete constant de propagare, iar - constant de atenuare. Ecuaiile (6.51) sunt ecuaii de tip Helmholtz. 6.2. INTEGRALA DE ENERGIE A CMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAIONAR. PUTERI N REGIM ARMONIC PERMANENT Ca urmare a neglijrii curentului de deplasare, densitatea de volum a energiei electrice we rezult mult mai mic dect densitatea de volum a energiei magnetice wm i ecuaia (5.167) devine:

dt (E H )ni dA = dt E J dv + H dB dv .0 0 v S0 v

t

t

(6.53)

Relaia (6.53) reprezint integrala de energie a cmpului electromagnetic cvasistaionar. La fel ca n regim nestaionar, cu aceast relaie se demonstreaz teorema de unicitate n regim cvasistaionar: intensitile cmpurilor electric E(P,t) i magnetic H(P,t) ntr-un punct P la momentul t sunt unic determinate de valorile lor iniiale E(P,0), H(P,0) i de componenta tangenial, fie a cmpului electric Et(P,t), fie a cmpului magnetic Ht(P,t), pe suprafaa de frontier . n medii liniare, puterea electromagnetic este:

(E H )n i dA = E J dv + dt v v

d

HB dv . 2

(6.54)

Cu regula de reprezentare n complex a produsului vectorial, se definete vectorul complex Poynting S : S = E H* (6.55)

i cu regula de reprezentare a produsului scalar, se definete densitatea de volum a puterii dezvoltate prin efect electrocaloric:

272

p j = EJ* = EE* = E 2 = J J* = J 2 .

(6.56)

Pentru derivata n raport cu timpul a densitii de volum a energiei magnetice 1 w m = H B se deduce mrimea imaginar 2dw m * jH B = jH 2 . dt

(6.57)

innd seama de relaiile (6.55 6.57), expresia puterii electromagnetice (6.54) devine: * * (6.58) E H n i dA = S n i dA = p j dv + j H B dv

(

)

v

v

unde:

P = E H n i dA = S n i dA

(

*

)

(6.59)

este puterea complex transmis suprafeei nchise ; * P = Re E H n i dA = p j dv = J 2 dv v v

(

)

(6.60)

reprezint puterea activ dezvoltat n conductoarele aflate n interiorul suprafeei nchise ; * Q = Im E H n i dA = H 2 dv V

(

)

(6.61)

este puterea reactiv dezvoltat n conductoarele aflate n interiorul suprafeei . 6.3. DIFUZIA CMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAIONAR ARMONIC PERMANENT N SEMISPAIUL CONDUCTOR Se consider conductorul de permeabilitate i conductivitate constante, ocupnd semispaiul x > 0 (fig. 6.1). Se alege un sistem de coordonate cu axa Ox normal pe suprafaa conductorului. n dielectricul care ocup semispaiul x < 0 se stabilete din exterior un cmp magnetic uniform, tangenial la suprafaa conductorului i sinusoidal n timp de pulsaie ,

H 0 = H 0 max sin t u yavnd imaginea n complex:

(6.62)

273

H0 =

H 0 max . 2

(6.63)

Datorit extensiei infinite a conductorului i uniformitii cmpului magnetic inductoric n dielectric, intensitile cmpurilor electric E, i magnetic H, respectiv densitatea de curent n conductor J, sunt funcii numai de x i t: H0 O J (x )z

y H (x )

x Fig. 6.1 E = E(x,t); H = H(x,t); J=J(x,t). (6.64)

Datorit continuitii componentelor tangeniale ale intensitii cmpului magnetic la suprafaa conductorului, cmpul magnetic n interiorul acestuia este orientat dup axa Oy i are imaginea n complex H = H u y . Ecuaia lui Helmholtz pentru cmpul magnetic (6.51) este: H = respectiv,d2 H 2 = H. 2 dx

2 H 2 = H, 2 x

(6.65)

(6.66)

Soluia ecuaiei (6.66) are forma urmtoare:H = Ae x

+ B e = A e (1+ j) x + B e (1+ j) x ,x

(6.67)

unde A i B sunt constante complexe de integrare, iar i au expresiile (6.52). Termenul Be(1+j)x crete la infinit odat cu x i deoarece cmpul magnetic aplicat la suprafaa conductorului este finit, rezult B = 0. Constanta A se determin din condiia de continuitate a componentelor tangeniale ale intensitii cmpului magnetic la suprafaa conductorului: H(x = 0) = A = H0 . Cu aceast valoare, soluia (6.67) devine: (6.68)

274

H = H 0 e (1+ j)x =

H o max x jx e e . 2

(6.69)

Din relaia (6.69) rezult intensitatea instantanee a cmpului magnetic n conductor:H (x , t ) = Im 2 He jt = H 0 max e x sin (t x ) = H max (x )sin (t x ) . (6.70)

{

}

Expresia (6.70) conine doi factori: unul descresctor n raport cu x, dup o exponenial, Hmax(x) = H0max e-x, (6.71)

care pune n eviden atenuarea valorii maxime a intensitii cmpului magnetic; la distana x0 = 1/ = , msurat de la suprafaa conductorului, amplitudinea cmpului magnetic are valoarea H0max e-1 0,377 H0max, iar la distana x = 4 scade la 0,0184 H0max. Cu o eroare mai mic de 2%, cmpul magnetic n interiorul conductorului se poate considera nul; un al doilea factor, o funcie sinusoidal de x i t, sin (t - x), (6.72)

care pune n eviden propagarea cmpului magnetic n semispaiul conductor, n lungul axei Ox. Pentru a determina viteza de propagare, se impune condiia ca faza la distana x i momentul t s fie egal cu faza la distana x + dx i momentul t + dt:t - x = (t + dt) - (x +dx),

(6.73)

Din relaia (6.73) rezult viteza de propagare:

v=

dx 2 = = . dt

(6.74)

n figura 6.2,a este reprezentat repartiia de-a lungul axei Ox a intensitii cmpului magnetic n momentele t1 i t2 = t1 + t:

H( x, t1 ) = H 0 max e x sin(t1 x ) ;H( x, t 2 ) = H 0 max e x sin(t 2 x ) .

(6.75) (6.76)

n momentul t1 intensitatea cmpului magnetic H(x, t1) se anuleaz n punctele xl , x2 , x3 ... n care

t1 x = k (k = 1,2,...),iar n momentul t2 se anuleaz n punctele xl , x2 , x3 ... n care

(6.77)

t 2 x = k (k = 1,2,...),

(6.78)

275

Deoarece t2 > t1, rezult din diferena expresiilor (6.77) i (6.78) c x1 > x1, x2 > x2,... Prin urmare, H(x,t) reprezint o und amortizat care n intervalul de timp t = t2 - t1 se deplaseaz cu distana x = x1 - x1 = x2 - x2... n direcia valorilor cresctoare ale lui x, deci de la suprafaa conductorului spre interiorul acestuia. Distana parcurs de unda H(x,t) n cursul unei perioade a oscilaiei se numete lungime de und , = vT =

2 .

(6.79)

Densitatea curentului electric indus n conductor, numit curent turbionar sau Foucault, se determin din legea circuitului magnetic i se obine:

H(x,t) (y) H(x,t1) H(x,t2)x1 x2 x1 x2

J(x,t) (z) J(x,t1) J(x,t2)H 0 max e x v xx1 x 2 x1 x2

2 H 0 max e x v x

a Fig. 6.2 ux J = rot H = x 0 uy y H

b uz dH x u z = - H0 e u z . = z dx 0

(6.80)

Vectorul J este orientat dup semiaxa negativ Oz i are modulul:

J = (1 + j) H 0 e (1+ j) x .Densitatea instantanee de curent are urmtoarea expresie:

(6.81)

J( x, t ) = Im 2 J e jt = 2 H 0 max e x sin t x + . 4

{

}

(6.82)

Se observ c densitatea curentului indus are aceeai vitez, lungime de und i constant de atenuare ca i cmpul magnetic, dar defazat cu /4 naintea acestuia (fig. 6.2, b). Cmpul electric complex n conductor se obine din legea conduciei electrice:

276

E=

J H 0 (1+ j) x = (1 + j) e .

(6.83)

Din relaia (6.83) se determin intensitatea instantanee a cmpului electric:

E( x, t ) = Im 2 E e jt = 2 H 0 max e x

{

}

1 sin t x + . (6.84) 4

Raportul dintre modulele vectorilor compleci E i H este acelai n orice punct din conductor i se numete impedan de und,

Z0 =

E 1 = (1 + j) = (1 + j) . H

(6.85)

Partea real a impedanei de und este rezistena de und R0, iar partea imaginar este reactana de und X0, R0 = 1 1 ; X0 = . (6.86)

Din relaiile (6.70), (6.82) i (6.84) se observ c amplitudinile intensitilor cmpurilor magnetic i electric i a densitii de curent scad exponenial n conductor,

G = G 0e x ,unde G este E, H, B sau J. Din relaia (6.87) rezult: x= Distana x0 = = 1 1 G0 ln . G

(6.87)

(6.88)

(6.89)

msurat de la suprafaa conductorului n care lnG0/G = 1, egal cu distana n care amplitudinile sunt atenuate cu 1neper, se numete adncime de ptrundere a cmpului electromagnetic n semispaiul conductor. Din relaiile (6.523, 6.89), rezult:= 1 2 1 . = = f

(6.90)

Parametrul caracterizeaz ptrunderea cu atenuare exponenial a cmpului electromagnetic i scade cu creterea frecvenei, permeabilitii sau conductivitii.

277

Vectorul complex Poynting pe suprafaa conductorului se calculeaz cu relaia (9.33) n care se nlocuiesc expresiile intensitilor S cmpurilor magnetic i electric (6.69) i (6.83): O z xy

S x =0 = E H

* x =0

2 H 0 max = (1 + j) ux . 2

(6.91)

Din relaia (9.67) rezult c vectorul S este orientat normal pe suprafaa conductorului de la dielectric ctre conductor Fig. 6.3 (fig. 6.3). Prile real, respectiv imaginar reprezint puterile activ i reactiv absorbite pe unitatea de suprafa:2 2 H 0 max H 0 max Ps = Re{S} = ; Qs = Im{S} = . 2 2

(6.92)

6.4. EFECTELE DIFUZIEI CMPULUI ELECTROMAGNETIC CVASISTAIONAR ARMONIC PERMANENT N CONDUCTOARE MASIVEPrincipalele efecte ale difuziei cmpului electromagnetic cvasistaionar armonic permanent n conductoare masive sunt urmtoarele: cureni turbionari; efectul pelicular; efectul de proximitate; efectul Field; efectul de bucl; efectul de ecranare electromagnetic; efectul de levitaie electromagnetic.

6.4.1. Cureni turbionarin conductoarele situate n cmp magnetic variabil n timp, se induc cureni numii cureni turbionari sau Foucault. Prin inducerea acestor cureni i prin cmpul magnetic suplimentar pe care l stabilesc, numit cmp magnetic de reacie, se modific cmpul magnetic inductor. Curenii turbionari intervin n studiul fenomenelor din miezurile feromagnetice ale mainilor i aparatelor electrice de curent alternativ, determinnd pierderi de putere i nrutirea condiiilor de funcionare. Exist ns i aplicaii utile ale curenilor turbionari cum sunt: nclzirea prin inducie, frne i ambreiaje electromagnetice etc.

278

Cureni turbionari indui n placa de extensie infinit. Se consider o plac conductoare infinit lung de grosime , situat n cmp magnetic inductor sinusoidal n timp H 0 = H 0 max sin t u z , uniform n lipsa plcii i orientat tangenial la feele acesteia (fig. 6.4). Datorit extensiei infinite a plcii, mrimile de stare ale cmpului electromagnetic depind numai de coordonata dup grosimea plcii. Dinx x

H0 y z O O

H0 H0

H

H0a. x b.

x

H0 O y J O d. Fig. 6.4 continuitatea componentelor tangeniale ale cmpului magnetic pe suprafaa plcii, n interiorul acesteia cmpul magnetic H este orientat dup axa Oz i satisface ecuaia lui Helmholz: H = H; respectiv2

H0c.

d2 H 2 = H 2 dx

(6.93)

cu soluia:H = Ae x

+ Be .

x

(6.94)

Din condiia de simetrie H i (x ) = H i ( x ) i din condiia pe feele pcii H = H = H 0 , rezult valorile constantelor A i B : 2 2A=B= 2 ch 2 H0

.

(6.95)

Introducnd (6.95) n (6.94), rezult: H=Ae

(

x

+e

x

) = 2 A ch x = H

0

ch x . ch 2

(6.96)

279

Din legea circuitului magnetic,

ux rot H = x 0

uy y 0

uz dH = u y = J u y = E u y z dx H

(6.97)

se obine intensitatea cmpului electric, respectiv densitatea curentului indus: E= sh x sh x 1 dH = H0 ; J = E = H0 . dx ch ch 2 2 (6.98)

Pentru determinarea valorilor efective ale intensitilor cmpurilor magnetic i electric i a densitii de curent, se ine seama de relaiile:sh x = sh (x + jx ) sh (x jx ) =2

ch 2x cos 2x ; 2 ch 2x + cos 2x ; 2

ch x = ch (x + jx ) ch (x jx ) =2 2

(6.99)

ch + cos . ch = ch + j ch j = 2 2 2 2 2 2

Rezult:H= H 0 max 2 ch 2x + cos 2x ; ch + cos ch 2x cos 2x . ch + cos

(6.100)

J = H 0 max

(6.101)

Vectorul lui Poynting S la suprafaa plcii este normal pe feele plcii i orientat ctre plac:S x = = E H2

x =

2

2 sh sh H 2 (u u ) = m H 0 2 u . (6.102) =m y z x ch ch 2 22 0

Prile real, respectiv imaginar a puterii complexe sh 2 sh H 2 2 = (1 + j) H 0 S= ch ch 2 22 0

(6.103)

280

reprezint puterile activ i reactiv specifice:2 2 H 0 max sh sin H 0 max sh + sin Ps = ; Qs = . ch + cos ch + cos

(6.104) , 2

Aproximaia la frecvene joase. Pentru valori mici ale argumentului 1 > , 2

(6.105)

funciile sinusoidale i hiperbolice pot fi aproximate prin polinoamele de grad n ale dezvoltrilor lor n serie. Acest regim de ptrundere a cmpului electromagnetic se numete regim de refulare slab. Din relaiile (6.90) i (6.105) rezult c acest regim se stabilete la valori mici ale lui , sau f. La valori date pentru i , este un regim de refulare la frecvene joasef > 2 2 2

281

H = H0 e

x 2

; J = H 0 e

x 2

.

(6.110)

Cmpul magnetic i densitatea de curent sunt nenule numai pe fiile de grosime x situate pe ambele fee ale plcii (fig. 6.4, b, d). Acest regim de 2 ptrundere a cmpului electromagnetic este un regim de refulare net. Acest regim se stabilete la valori mici ale lui , sau f. La valori date pentru i , este un regim de refulare la frecvene nalte. Cu relaiile (6.110) se determin puterile activ i reactiv:2 H 0 max Ps = ; 2 H 0 max Qs = .

(6.111)

6.4.2. Efectul pelicularRepartiia n conductoare a curentului variabil n timp este diferit de cea a curentului continuu. De exemplu, ntr-un conductor drept valoarea efectiv a densitii curentului sinusoidal n timp este maxim pe suprafaa conductorului i scade pe msura deprtrii de suprafa spre interiorul conductorului. Acest fenomen se numete efect pelicular. Efectul pelicular determin mrirea rezistenei electrice a conductoarelor i micorarea inductivitii circuitelor electrice. Prima consecin se datoreaz faptului c nu ntreaga seciune a conductorului este parcurs de curent, iar cea de a doua este legat de diminuarea cmpului magnetic n interiorul conductorului, ceea ce determin micorarea inductivitii interioare. n teoria circuitelor electrice cu parametri concentrai se admite ipoteza repartiiei uniforme a curentului electric n conductoare. n aceste condiii, conductoarele se consider filiforme. n regim cvasistaionar armonic permanent, impedana unui conductor filiform ntre dou puncte A i B se definete cu oricare dintre relaiile: Z AB U AB S U2 ; Z AB = 2 ; Z AB = AB , = I I S (6.112)

unde S este puterea aparent. Prima definiie rezult din relaia lui Ohm i constituie definiia liniar a impedanei, iar celelalte dou sunt definiii energetice. Pentru un conductor drept parcurs de curent sinusoidal n timp, cmpul electric avnd valori diferite pe conturul seciunii transversale drepte, nu se poate defini univoc o tensiune electric n lungul firului i prin urmare prima relaie (6.112) nu poate fi utilizat pentru definirea impedanei. n regim armonic permanent, impedana, rezistena i inductivitatea interioar a conductorului se definesc energetic cu a doua relaie (6.112). Notnd cu Ra rezistena n alternativ i identificnd expresia puterii active P absorbite de un conductor parcurs de curent sinusoidal (6.60) cu produsul RaI2, se obine:

282

* P = Re E H n i dA = p j dv = J 2 dv = R a I 2 . v v

(

)

(6.113)

Din relaia (6.113) se deduc expresiile rezistenei n alternativ:Ra = 1 I2

Jv

2

dv; R a =

1 * Re E H n i dA . 2 I

(

)

(6.114)

Dac se noteaz cu P0 puterea dezvoltat n curent continuu a crui intensitate este egal cu valoarea efectiv a curentului sinusoidal, iar cu R0 rezistena n curent continuu, se obine:

P0 = R 0 I 2 .Raportul

(6.115)

kR =

P Ra = P0 R 0

(6.116)

se numete factor n alternativ al rezistenei. Prin analogie cu relaia rezistenei n curent continuu a unui conductor drept de lungime l i arie a seciunii transversale A0,

R0 =se definete o relaie similar pentru Ra,

l , A 0

(6.117)

l , (6.118) A a unde A a < A 0 este aria echivalent a seciunii conductorului n curent alternativ. Din relaiile (6.114, 6.116) rezult:

Ra =

kR =

A0 l I2

Jv

2

dv =

A0 A * Re E H n i dA = 0 2 Re S n i dA . (6.119) 2 lI lI

(

)

Rezistena n alternativ Ra este mai mare dect rezistena n curent continuu R0 i deci factorul kR este supraunitar. Identificnd relaia puterii reactive (6.61) cu Q = X i I 2 = L i I 2 , unde Xi este reactana inductiv interioar a conductorului, se obin urmtoarele expresii ale inductivitii interioare Li:Li = I2

HV

2

dv; Li =

1 * Im E H n i dA . 2 I

(

)

(6.120)

Raportul

283

Li0 , (6.121) Li unde Li0 este inductivitatea interioar a conductorului n regim staionar (v. par. 5.3.4) se numete factor n alternativ al inductivitii interioare. Ca urmare a efectului pelicular, puterea reactiv scade i deci factorul kL este subunitar (kL < 1). kL =a. Efectul pelicular n conductorul cilindric circular. Se consider un conductor cilindric circular de raz a infinit lung i izolat de alte conductoare (fig. 6.5), parcurs de curentul i(t ) = 2 I sin t . Conductorul are permeabilitatea i i conductivitatea constante. Datorit extensiei infinite a conductorului i simetriei n raport cu axa Oz, mrimile de cmp z depind numai de coordonata radial r. Problema este axial electric, respectiv transversal magnetic, adic:

E = E(r )u z ; H = H(r ) u .O a Fig. 6.5 respectivd 2 Ee 1 dEe + =0 . dr 2 r dr

(6.122) electric complex (6.123)

n exteriorul conductorului, E e satisface ecuaia Laplace,

cmpul

Ee = 0 ,

(6.124)

Soluia ecuaiei (6.124) are forma: E e = A ln r + B , unde A i B sunt constante complexe de integrare. Aplicnd legea induciei electromagnetice, rot E e = (6.125)

E u r E eu z = e u = j e H e r r

(6.126)

se obine cmpul magnetic complex

He =

1 dE e A 1 = , j e dr j e r

(6.127)

unde e este permeabilitatea dielectricului din exteriorul conductorului. Din legea circuitului magnetic aplicat cercului de raz r > ar

H e dr = 2r H e = I

(6.128)

se obine:

284

He =

I . 2r

(6.129)

Identificnd relaiile (6.127) i (6.129) se obine constanta A: A= j e I 2 (6.130)

i cu aceast valoare introdus n (6.125) rezult: E e (r ) = j e I ln r + B . 2 (6.131)

n interiorul conductorului, cmpul electric complex Ei satisface ecuaia Helmholtz

Ei = Ei ,respectivd 2 Ee 1 dEe 2 + = Ei . 2 dr r dr

2

(6.132)

(6.133)

Ecuaia (6.133) este o ecuaie de tip Bessel a crei soluie are forma:E i = C I 0 ( r ) + D K 0 ( r ) ,

(6.134)

unde I n ( r ) i K n ( r ) sunt funciile modificate Bessel de prima i a doua spe i de ordin n, iar C i D sunt constante complexe de integrare. Din legea induciei electromagnetice rot Ei = i innd seama de relaiile dI 0 (x ) dK 0 (x ) = I1 (x ) ; = K 1 (x ) , dx dx se obine cmpul magnetic complex n interiorul conductorului:Hi = 1 dEi = [C I1 ( r ) D K1 ( r )] . j i dr

E u r E iu z = i u = j i H i r r

(6.135)

(6.136)

(6.137)

Deoarece cmpul magnetic este nul n ax (r = 0) i termenul K1(0) este infinit, rezult D = 0. Prin urmare, relaia (6.137) devine:Hi = C I1 ( r ) .

(6.138)

285

Din condiia de continuitate a componentelor tangeniale ale intensitii cmpului magnetic la suprafaa conductorului, He(a) = Hi(a) i din relaiile (6.129, 6.138) se obine:C= I 1 . 2 a I1 ( a )

(6.139)

Cu aceast valoare a constantei C, soluiile problemei interioare sunt:

Ei =

I I 0 ( r ) I I1 ( r ) ; Hi = . 2 a I1 ( a ) 2 a I1 ( a )

(6.140)

Din continuitatea cmpului electric complex pe suprafaa conductorului, Ee(a) = Ei(a), se deduce constanta B: B=

I 1 I 0 ( a ) e ln a . 2 a a I1 ( a ) i

(6.141)

Raportul dintre densitile de curent ntr-un punct situat la distana r de ax i pe suprafaa conductorului, se poate scrie sub forma:

J(r ) I 0 ( r ) M 0 ( r ) j[0 ( a )0 ( r )] = = e , J(a ) I 0 ( a ) M 0 ( a )unde Mn(x) i n(x) reprezint funciile modul i argument.M0(r)/M0(a)

(6.142)

103Hz 10 510 Hz 105Hz 106Hz 1mm Fig. 6.64

1

O a.

a

O b.

a

1mm

Prin alegerea densitii de curent la suprafaa conductorului origine de faz, fazorul J(r) rezult defazat cu unghiul (r) = 0(a) -0(r). n figura 6.6, a s-au M 0 ( r ) pentru un fir de cupru avnd reprezentat la diferite frecvene curbele M 0 ( a ) diametrul de 1mm, iar n figura 9.11, b curba (r) pentru f = 106 Hz. Curbele pun n eviden efectul pelicular; pentru f = 105 Hz, densitatea de curent n ax J(0) scade sub jumtate din valoarea ei la suprafa J(a) i pentru f = 106 Hz, este numai 6,6% din J(a).

286

Vectorul complex Poynting pe suprafaa conductorului se calculeaz utiliznd relaiile (6.140) I 2 I 0 ( a ) (6.143) S r =a = E i H i r = a = u (2a )2 I1 ( a ) r i este orientat radial spre conductor. Din expresia puterii complexe pe unitatea de lungime, I 2 I 0 ( a ) S n i dA = 2 a I ( a ) S 1

(6.144)

se determin puterile interioare activ i reactiv:

I 0 (a ) I (a ) I2 I2 ; Q= P= Re(1 + j) Im(1 + j) 0 . (6.145) 2a I1 (a ) 2a I1 (a ) innd seama de expresia puterii dezvoltate n curent continuu, P0 = I / a 2 , rezult factorul de cretere a rezistenei n alternativ:2

kR =

I (a ) a Re (1 + j) 0 . 2 I1 (a )

(6.146)

Din expresia puterii reactive (6.145) se deduc reactana Xi i inductivitatea interioar Li pe unitatea de lungime: Xi =

I (a ) Xi . Im(1 + j) 0 ; Li = 2a I1 (a )

(6.147)

a , funciile Bessel pot fi aproximate prin polinoame de grad n ale dezvoltrilor lor n serie. n aproximaia de ordinul doi, rezult:

Aproximaia la efect pelicular slab. La valori mici ale argumentului

r 1+ 2 2 2 I I 0 ( r ) I I 1 + r 2 a ; (6.148) E i lim 2 a 2a a 2 4 2