07._Operatori_liniari_2

7) A=

(x)= x

(1)

Ecuatia caracteristica:

are radacinile care sunt valorile proprii ale lui .

Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:

pentru

pentru

pentru

Pentru se verifica daca vectorii formeaza o baza, adica sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori.

Vectorii sunt liniar independenti daca pentru

sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in baza

B are forma diagonala:

[ ] =

9) A=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valorile

proprii ale lui .


Page 1 of 104032OpLin.htm

20.04.2008http://cristiann.ase.ro/032OpLin/032OpLin.htm

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza

B={ }, iar in baza B are forma diagonala:

[ ] =

10) A=

(x)= x

(1)




pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in

baza B are forma diagonala:



[ ] =

n=4

11) A=

(x)= x

(1)


are radacinile care sunt valorile proprii ale

lui .


pentru

pentru

Pentru se verifica daca vectorii formeaza o baza, adica sunt liniar independenti si formeaza un sistem de

generatori.


sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar

in baza B are forma diagonala:

[ ] =

12) A=

(x)= x



(1)


are radacinile

care sunt valorile proprii ale lui .


pentru

pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={

}, iar in baza B are forma diagonala:

[ ] =

13) A=

(x)= x

(1)




are radacinile



pentru

pentru





[ ] =

14) A=

(x)= x

(1)


are radacinile



pentru

pentru

pentru







[ ] =

2.17 Fie un endomorfism pe spatiul vectorial -dimensional definit prin matricea asociata intr-o baza a spatiului. Sa se determine forma diagonala a lui cand: a) e un spatiu vectorial real, b) e un spatiu vectorial complex (in cazul cand sau se considera baza canonica a spatiului), in cazurile:

n=2

1)A=

(x)= x

(1)



a)daca este spatiu vectorial real atunci nu are forma diagonala,

b)daca este spatiu vectorial complex atunci:


pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in baza B are

forma diagonala:



[ ] =

3)A=

(x)= x

(1)



Determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem pentru

Atat in cazul a) cat si in cazul b) matricea A nu este diagonalizabila, ordinul de multiplicitate al valorii proprii este diferit de

4)A=

(x)= x

(1)



a)in cazul U =R matricea A nu este diagonalizabila;

b) in cazul U =C determinam vectorii propri inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:

pentru matricea A nu este diagonalizabila, ordinul de multiplicitate al valorii proprii este diferit de

n=3

5)

(1)



a)daca este spatiu vectorial real atunci matricea A nu este diagonalizabila;





pentru

pentru

pentru



sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ },

iar in baza B are forma diagonala:

[ ] =

6) A=

f(x)= x;

(1)



a)daca este spatiu vectorial real atunci matricea A nu este diagonalizabila;



pentru

pentru

pentru





sunt liniar independenti, ei formeaza si un sistem de generatori deci o baza B={ }, iar in

baza B are forma diagonala:

[ ] =

n=4

7) A=

(x)= x

(1)


are radacinile


a) spatiu vectorial real, determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:

pentru Pentru se vor obtine 2 vectori proprii, deci ordinul de multiplicitate al valorii proprii este diferit de matricea A nu este diagonalizabila.

b) matricea A nu este diagonalizabila;

8) A=

(x)= x

(1)



a) in cazul matricea A nu este diagonalizabila;

b) in cazul determinam vectorii proprii inlocuind valorile proprii in sistemul (1) si obtinem:



pentru

pentru





[ ] =

9) A=

(x)= x

(1)





pentru

pentru







[ ] =

10) A=

(x)= x

(1)





pentru Matricea A nu este diagonalizabila deoarece ordinul de multiplicitate nu va fi egal nu numarul vectorilor proprii.

11) A=

(x)= x

(1)






pentru

2.18 Sa se determine valorile proprii ale matricei A= stiind ca vectorii: sunt vectori proprii pentru matricea

A.

Fie valorile proprii ale matricei A.

(1)

(2)

(3)

din (1) si (2) , cum

din (1) si (3) , cum

Inlocuind obtinem valorile proprii ale matricei A:

2.20. Sa se detrmine valorile si vectorii proprii ale matricei, A= , unde si

det(A- I)=0;

Determinam vectorii proprii pentru:

16. Fie o matrice patratica simetrica nesingulara, inversa ei si o matrice patratica de acelasi ordin cu matricea . Sa se determine inversa matricei ?



=

Rezolvare:

Daca simetrica, nesingulara, n x n patratica * = ; = ; * = * =

det. = * + * * - * ( )* *( ) det. =

=

= * =

17. Fie o matrice patratica simetrica nesingulara de ordinul n si , doua matrice de tipul 1xn astfel incat * * =o, * * = * * =-1. Sa se gaseasca determinantul si, cand este posibil, inversa matricei = +a* * +b* *

18. Matricea ale carei elemente sunt = se numeste "Matricea Cauchy".

1.) Sa se verifice ca

det. = ( - )*( - )/ ( + )

2.) In ipoteza det. 0, sa se arate ca

= ( ( + )*( + ))/(( + ) *( ( - ))*( ( - ))

sunt elementele lui .

3.) Care este suma celor n elemente ale lui ?

19. Matricea ale carei elemente sunt = se numeste " Matrice Hilbert ".

1.) Sa se arate ca orice matrice Hilbert este un caz particular de matrice Cauchy.

2.) Sa se gaseasca . Sa se arate ca fiecare element al inversei este un numar intreg, iar suma tuturor elementelor inversei este n .

Rezolvare:

1.) Avand in vedere ca elementul al matricei lui Cauchy este = si ca elementul al matricei lui Hilbert este = ,atunci rezulta ca matricea

Hilbert poate fi un caz particular al matricei Cauchy daca si numai daca:

i) =i si =j-1;

ii) =i-1 si =j;

2.) pentru n=2 = det = - = (1) (1) = = =

pentru n=3 = det =

20. Fie =[ ] o matrice patratica. Numarul ... se numeste "Permanentul matricei ". Care este permanentul matricei :



21. Se considera " matricea Vandermonde "

=

1.) Sa se arate ca det = ( ) .

2.) In ipoteza det. 0, sa se gaseasca ?


Rezolvare:

1.) Inmultim linia "(n-1)" cu "-X " si o adunam la linia "n". Apoi inmultim linia "(n-2)" cu "-x " si o adunam la linia "(n-1)" etc...Inmultim linia "1" cu "-x " si o adunam la linia a "2"a. Astfel obtinem apoi prin dezvoltarea dupa elementele coloanei "1".

(x ,....,x )= =1*(-1) =...=(x -x )*(x -x )*...*(x -x )* (x ,...,x )

Prin urmare (x ,....,x )=(x -x )*(x -x )*...*(x -x )* (x ,...,x )

........... ........ ........ .......... ........... .......... ........ .......... .....

(X X )=(X -X )

Inmultind membru cu membru aceste relatii obtinem :

(x ,....,x )=(x -x )*(x -x )*....*(x -x ) x (x -x )*(x -x )*....*(x -x ) x ...x(X -X )= (X -X )

i,j=1..n

i<j

22.) Se considera matricea combinatoriala :

=

1.) Sa se arate ca det. =x (x+ny).

2.) In ipoteza det. 0, sa se verifice ca

=(-y+ (x+ny))

sunt elemente ale lui .


Rezolvare:

pentru n=2 = det =(x+y)*(x+y)-y*y=x +2*x*y+y -y =x(x+2*y)



pentru n=3 = det =(x+y) +y +y -x*y -y -x*y -y -x*y -y =x (x+3*y)

...... ........ ......... ....... .......... ....... .......... .......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... ...............

pentru n=k = det =.... ..... .... ..... .... =x (x+k*y)

...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ ....... ....... ....... ....... ...... ...... ....... ...... ...... ....... ....... ....... ........ .....

pentru n=n = det =..... .... .... .... ... =x (x+n*y)

adica generalizand det =x (x+n*y).

23. Program de inversare a unei matrice prin metoda Gauss-Jordan.

Fie =[ ] o matrice patratica de ordinul n nesingulara. Se construieste matricea extinsa cu n linii si 2n coloane, primele n coloane continand matricea de inversat , iar ultimele n coloane matricea unitate de ordinul n. In urma tramsformarilor elementare

= / , j= 2n..k \

= - * j=2n..k ; i=1..n \ k=1..n

se aduce matricea unitate in primele n coloane si-n urmatoarele n coloane se obtine matricea inversa .

24. Fie un corp comutativ si =[ ] i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n , o matrice de tipul m x n cu elemente din . Sa se arate ca rang =1 daca si numai daca exista (nu toate nule) astfel incat = * .

Rezolvare:

Daca = * rang =1, deoarece liniile matricei sunt proportionale.

Presupunand ca rang =1 nu toti vectori linie sunt nuli, si daca =( , ,..., ) 0, cu h fix ( ) =( , ,..., ) este de forma = * ,adica =* . Daca = , = = * .

25. Se considera circuitul din figura 1.1 in care E=60 V si conductorii au rezistentele 2 . Sa se determine intensitatile curentilor care circula prin conductori.

indicatie:

Folosind legile lui Kirchhoff obtinem sistemul :

I -i -I =0,(Nodul A)

I -i -I =0,(Nodul D)

I -i -I =0,(Nodul C)

I -i -I =0,(Nodul B)

I *r-i *r-I *r=E,(Circuitul AFB)

I *r-i *r-I *r=0,(Circuitul ADF)

I *r-i *r-I *r=0,(Circuitul DCF)



I *r-i *r-I *r=0,(Circuitul CFB)

26. Se considera (vectorii) matricele

= =

cu ajutorul carora definim matricea = + * .

1.) Sa se arate ca exista un polinom de gradul II cu coeficienti reali, P(x)= *x + *x+ , astfel incat

P( )= * + * + * =0.

2.) In ipoteza * =0 , sase cerceteze existenta lui .

3.) Sa se rezolve sistemul * = , unde =[ ] este data prin

= , i j

= , i=j

Rezolvare:

1.) Fie matricea P( )= * + * + * =( + + ) +(2* + )* * + *( * )( * )=( + + ) +(2* + + )* * .

Conditiile + + =0 , 2* + + =0 determina coeficientii polinomului P(x), fiind evident compatibile.

2.) Se observa ca

= + * =

si det. =1+x *y +...+x *y =1+ * . De aceea * =0 implica

det. =1 si deci nesingulara.

3.) Matricea

=

este matrice nesingulara , (1-n) si-n cazul acesta

= *

In ipoteza , (1-n), sistemul * = are solutia unica = * . Daca = 0, atunci sistemul * = se

scrie explicit sub forma (x +...+x )=y ,..., (x +...+x )=y si admite solutii numai daca y =...=y ; pentru = (1-n) 0 sistemul se transcrie (1-n) x +...+x =

,...,x +...+(1-n)x = si admite solutii numai daca y +...+y =0 .

27. Programul FORTRAN pentru metoda lui Gauss de rezolvare a unui sistem liniar.

9. Să se arate că funcţia definită pe prin este produs scalar:

Soluţie:



Se observă că

Considerăm

cu astfel că

Apoi şi numai dacă si avem un produs scalar

10. Să se determine vectorul normat din ,ortogonal vectorilor şi

Soluţie:

Fie

Condiţii pentru determinarea lui

Deci

11. Să se arate că următoarele aplicaţii sunt operatori liniari:

a) ,

b)

c)

d) ,

Soluţie:

a) Fie şi .

Avem asfel că

este operator liniar

b)Fie şi

Avem şi


c)Se observă că


d) Fie şi şi



Avem


12. Fie aplicaţiile şi.. . Să se arate că acestea sunt operatori liniari . Să se

determine şi să se verifice că sunt operatori liniari

Soluţie:

Fie şi

Avem sunt operatori liniari

a)Pentru

Avem

b)Pentru

Avem

Din a) şi b) şi sunt operatori liniari

13. Fie operatorul liniar , .Să se arate că operatorul liniar este inversabil şi să se determine

inversul său .Să se verifice că este tot operator liniar

Soluţie:

Fie şi

Presupunem că deoarece operator liniar

Pentru injectivitate arătăm că are doar soluţia banală

Dar Iar acest sistem are doar solutia banală aplicaţie bionivocă şi deci admite inversă

Fie fixat.

: Acest sitem are soluţia

aplicaţia inversă este definită prin şi este şi ea operator liniar.

14.Fie operatorul liniar definit prin . Să se arate că este un izomorfism. Să se

determine şi

Soluţie

bijecţie

a) injecţie deoarece operator liniar trebuie arătat doar că are doar soluţia banală

Soluţie unică

b) surjectivitate

Fie să arătam că există astfel încât



Cu soluţia

este un izomorfism

Operatorul liniar invers este

15. Fie transformarea liniară definită într-o bază prin matricea . Să se arate că există o bază în faţă de care

matricea transformarii are forma diagonală.

Soluţie:

Transformarea T admite trei vectori proprii liniar independenţi. (se determină întâi valorile proprii )

Ecuaţia caracteristică

sau

cu rădacinile

Vectorii proprii sunt soluţii ale sitemului

a)Pentru Rangul sistemului este doi , astfel că un sistem fundamental de soluţii este

vectorul propriu este

b)Pentru Rangul sistemului este unu şi

Vectorii proprii sunt liniar independenţi şi formează o bază in

Faţă de această bază matricea transformării liniare este

4.1 Care dintre urmatorii operatori sunt liniari ?



a. , unde

b. , unde

c. , unde

d. , unde

Rezolvare : Reamintim ca daca si sunt doua spatii vectoriale definite pe acelasi corp

de scalari K, aplicatia este operator liniar daca :

sau

a. Fie Avem :

Deci U este operator liniar deoarece

b.

Cum rezulta ca nu este operator liniar

c.



este operator liniar.

d.

nu este operator liniar.

4.2

Fie

a. Aratati ca este operator liniar.

b. Determinati matricea corespunzatoare bazelor canonice.

c. Calculati pentru .

d. Calculati pentru .

Rezolvare :

a. Fie . Avem :

rezulta ca este operator liniar.

b. Fie bazele canonice in in , adica:



Varianta 1. Avem :

Matricea ceruta este :

Varianta 2. se mai poate scrie :

Cum rezulta ca deci

c.

d. Nu are sens deoarece

4.3

Fie operatorul liniar :

Scrieti matricea operatorului corespunzator bazelor canonice.

Rezolvare : Fie bazele unitare in respectiv

Varianta 1 : Observam ca

Din rezulta deci

Varianta 2 : Avem:

deci



4.4

Fie operator liniar. Sa se arate ca daca vectorii din

sunt liniar independenti, atunci si vectorii din sunt liniar dependenti.

Rezolvare : Vectorii din fiind liniar independenti inseamna ca exista scalari

nu toti nulim astfel incat sa avem :

Aplicam operatorul U aceste relatii :

deoarece

Cum exista cel putin un scalar rezulta ca sunt liniar dependenti.

4.5

Fie operatorii liniari :

a. Sa se calculeze operatorul

b. Daca sunt matricile lui corespunzatoare bazelor canonice, ce legatura exista intre si ?

Rezolvare :

a.

b.

Din

Din

Din

Observam ca

Problema 16,pagina 139

Fie o baza spatiului vectorial . Operatorul liniar

duce vectori : in , in

in Sa se gaseasca matricea acestui operator in baza canonica si in baza { }.



Rezolvare:

Avem sistemul cu matricea lui in baza canonica.

Avem :

Inlocuind in sistem ,obtinem : -

In baza vectori g se scriu :

de unde matricea lui in baza este :


Fie operatorul liniar cu : matricea in baza

canonica Sa se scrie matricea lui in bazele:

a)

b)

Rezolvare:

a) matricea de trecere de la baza la baza Cum

si obtinem :

b) matricea dee trecere de la baza la baza


Spunem ca doua matrici si sunt asemenea daca ele reprezinta acelasi operator liniar in doua baze diferite.Avem nesingulara astfel ca

Sa se arate ca :



a)

b)

c) ,F polinom.

Rezolvare:

a) notam

Am utilizazt proprietatile matricilor ( , ,

b)

c)Fie un polinom -=

Cum


Fie matricile asemenea si .Sa se arate ca:

a) Orice matrice se obtine inmultind una din matricele permutabile cu printr-o matrice pentru care avem (matricea nu este unic determinata si are forma )

b) Polinoamele caracteristice ale matricelor si sunt egale

Rezolvare:

a) ( C este matrtice permutabila cu ) .

Pe de alta parte avem:

b)Deoarece putem scrie

det det

Dar det si deci , unde este matricea identitate.


Fie doua matrici patrate ded acelasi ordin si .Stiiind ca una din ele este nesingulara ,sa se arate ca matricile si sunt asemenea si deci au acelasi polinom caracteristic.

Rezolvare:

Presupunem matricea nesingulara si avem:

si conform exercitiului anterior rezulta ca si sunt asemenea.

Din exemplul anterior, punctul b ,rezulta si ca si au acelasi polinom caracteristic.


Fie valorile proprii ale matricii , vectorii propriii corespunzatori si uunn polinom de gradul in . Sa se arate ca:

a)matricea , admite valorile proprii avand aceleiasi vectori proprii ;



b)valorile proprii ale matricii sunt .

Rezolvare:

a)din definitia vectorilor proprii avem: De aici obtinem:

,...si daca este inversabila,

; ; ....

b)Avem : si M (1)

Polinomul caracteristic al matrici este:

(2)

Din relatiile (1) si (2) obtinem:

In relatia de mai sus punem in locul lui si obtinem

de unde rezulta ca valorile proprii ale matricii sunt .


Fie operatorul liniar care are matricea in bazaa canonica:

Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii corespuzatori si apoi subspatiile invariante nebanale in raport cu ale lui .Sa se

decida daca poate fi diagonalizata.

Rezolvare:

Ecuatia caracteristica este

,

pentru avem , cu si o baza .

Subspatiul este invariant deoarece pentru orice .

Pentru avem

, ,

.

Cum ordinul de multiplicitate al valorii proprii rezulta ca nu este diagonalizabila.


a)Sa se gaseasca baza ortonormata a spatiului in raport cu care putem reduce matricea a forma diagonala.



b)sa se gaseasca transformarea ortogonala definita prin matricea astfel ca matricea sa aiba forma diagonala

c)Matricea este ortogonala.Transformandu-se printr-o matrice ,sa se obtina forma sa canonica .

Rezolvare:

a)Valorile proprii ale matricii sunt reale si distincte deci vectorii proprii corespunzatori sunt ortogonali.

Consideram vectorii proprii Normandu-i la 1 , rezulta vectorii ortonormati (produsul scalar euclidian):

Forma diagonala este:

cu matrice ortogonala.

Transformarea (operatorul) ortogonala este

b) - ,

Valorile proprii reale implica vectori proprii ortogonali.

Pentru avem vectorii proprii

din rezulta .

Pentru avem vectorii proprii ,.

Luam vectorii proprii

si cu

si cu .

Ii normam si obtinem: .

si cu

c)ecuatia caracteristica are solutiile:

cu vectorii proprii:

Consideram vectorii cu componentele reale



pe care ii normam:

.

si cu .


Sa se deetermine o baza in care operatorul , are matricea diagonala.

Rezolvare:

Determinam vectorii proprii si subspatiile lor.

Din ecuatia caracteristica obtinem valorile proprii .

si .

Pentru calculam vectorii proprii din sistemul:

cu baza .

Pentru calculam vactorii propriii din sistemul:

a,b

cu baza .

In baza matricea lui este diagonala:

.


Fie operatorul liniar in baza si matricea lui in aceeasi baza , . Sa se arate ca nu poate fi adusa la forma diagonala , pentru:



a)

b)

Rezolvare:

a)calculam mai intai valorile proprii .

Vectorii proprii pentru sunt :

O baza in subspatiul vectorial este formata din vectorul ded unde rezulta ca

Cum din =ordinul de multiplicitate al valorii proprii rezulta ca matricea nu poate fi diagonalizata.

b)valorile proprii sunt:

Vectorii proprii pentru sunt :

cu baza formata din vectorul nu este diagonalizabila.


Sa se determine o matrice astfel incat matricea sa fie diagonala , unde

a)

b) .

Rezolvare:

a) Se utilizeaza formula de calcul a matricei unui operator cand se schimba baza.Datorita izomorfismului dintre spatiile vectoriale reale si fiecarei matrice i se poate asocia in mod unic un operator liniar in baza canonica .La noi

.



Vom ajunce la baza in care operatorul liniar are forma diagonala.

Calculam mai intai vectorii proprii ai lui

valorile proprii ale lui sunt si

Pentru

a,b,c ,

ordinul de multiplicitate al valori proprii corespunzatoare ,

Pentru obtinem

cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii .

Vectorii si formeaza o baza , in care matricea lui este:

Matricea este unde este matricea de trecere de la baza canonica la baza .,

.

b)Asociem lui operatorul

Valorile proprii ale lui sunt

Vectorii proprii pentru

a,b cu baza

si Vectorii proprii pentru

a,b cu baza



si

In baza operatorul are matricea unde:

si cu


Sa se calculeze unde

Rezolvare:

Matricei ii asociem unoperator liniar

Gasim valorile proprii ale lui

Pentru obtinem vectorii proprii:

cu

si baza in

Pentru obtinem:

cu si baza

operatorul are matricea

si .

De aici rezulta ca si

Avem si de unde

pentru par si pentru impar.


Fie cu matricea in baza canonica

;sa se aduca matricea la forma Jordan si sa se determine baza in care se scrie astfel.



Rezolvare:

Calculam mai intai valorile proprii ale matricii , din ecuatia caracteristica :

Calculam dimensiunea subspatiului propriu asociat valorii proprii

Fie care are ca matrice pe

Calculam subspatiile

Avem sirul de subspatii

de dimensiuni

Cum alegem un vector astfel ca altfel spus completam subspatiul pana la spatiul cu subspatiul liniar generat de vectorul

Luam

si alegem uun vector astfel ca sa fie baza in luam

Avem

si atunci

Numarul decelule Jordan este

Matricea de trecere dede la baza canonica la baza este :



forma Jordan.


Fie matricea Sa se jordanizeze si sa se gaseasca baza Jordan.

Rezolvare:

Valotile proprii ale matricii sunt solutiile ecuatiei caracteristice:

Pentru avem subspatiul vectotilor proprii corespunzator si luam

si operatorul liniar corespunzator

si

Luam si observam ca .

Baza Jordan este

cu doua blocuri Jordan.

Preblema 30,pagina 157

Sa se Jordanizeze urmatoarea matrice si sa se gaseasca baza in care ea

este scrisa sub forma Jordan:

Rezolvare:

Valorile proprii sunt



Pentru avem toti vectorii proprii

Pentru avem vectorii proprii

si

Avem: exista doua celule jordan , una de dimensiune 1 ,cealalta de dimensiune 2.

Fie

Pe il completez la o baza in cu v

Avem : prima celula are dimensiunea 2 si a doua are dimensiunea 1.

cu bazaa

Matricea de trecere este si ...

:

Fie matricea .Să se calculeze , , .

Matricea are 3 blocuri Jordan: , , .

Se demonstrează prin inducţie că:

, ,



,

Problema2:

Să se găsească operatorii liniari adjuncţi pentru urmatorii operatori liniari:

a) , , ;

b) , , , , ;

c) , .

Rezolvare:

a) , in spaţiul euclidian real.

Cum rezultă şi , .

b)

c) se determină din relaţia .

Problema 3:

Să se arate că urmatorii operatori liniari sunt ortogonali:

a) , ;

b) , .

Rezolvare:

Ştim ca un operator liniar este ortogonal dacă .

a) ;



.

b) ; .

Problema 4:

a) Să se determine operatorii ortogonali cu proprietatea , de forma .

b) Să se gasească operatorii ortogonali , cu proprietatea

Rezolvare:

a) Punând condiţia obţinem .

b) Punând condiţia rezultă sistemul:

Obţinem . Obţinem, prin înlocuire: şi

.

Daca , prin adunare, rezultă şi deci . Mai avem:

si .

Deci avem:

, .

Problema 5:

Fie un operator ortogonal in spaţiul euclidian , astfel încat în raport cu baza ortonormata din matricea sa sa fie triunghiulară. Sa se arate ca în mod necesar această matrice este diagonală.

-Rezolvare:

Fie matricea lui într-o baza ortonormata

Baza fiind ortonormată, matricea trebuie sa fie ortogonală. Rezultă, din , că şi apoi că . Apoi obţinem si , ş.a.m.d., .

Problema 6:

a) Fie spaţiul euclidian real şi fie un operator ortogonal astfel încat matricea lui să fie diagonizabilă. Să se arate că există o baza ortonomată in spaţiul euclidian în raport cu care matricea lui este diagonală.



b) Să se arate că există o baza ortonomată în spaţiul euclidian canonic în raport cu care matricea operatorului ,

să fie diagonală.

Rezolvare:

a) Dacă este diagonizabilă rezultă că valorile proprii ale lui sunt reale. Cum acestea sunt de modul rezultă că ele sunt sau . Dacă şi sunt două valori proprii distincte şi este vector propriu corespunzător lui şi este vector propriu corespunzător lui avem:

Cum rezultă subspaţiile sunt ortogonale şi atunci considerăm o baza ortonormată în şi o alta în iar baza cautată este

b) Avem valorile proprii şi pentru operatorul .

Cum are dimensiunea 2 inseamnă că sunt două celule Jordan pentru valoarea proprie şi deci:

este forma diagonală în baza Jordan.

Ortonormând această baza, prin procedeul Gram-Schmidt obţinem:

Problema 7:

Fie spaţiul euclidian cu produsul scalar . Să se arate că este o transformare ortogonală, unde

.

Rezolvare:

Este uşor de arătat că este operator liniar.

Fie si deci cu oarecare din .

Problema 8:

Fie spaţiu euclidian cu produsul scalar (urma matricii, adica suma elementelor de pe diagonala principală) şi se defineşte

aplicaţia: , .

Să se arate că este operator ortogonal simetric.

Rezolvare:

Avem cu

.

Deci este operator ortogonal.

Fie , avem:



În cazul n=3 avem matricea lui :

cu .

Problema 9:

Fie spaţiul euclidian canonic şi fie . Să se determine astfel ca să esiste un operator liniar autoadjunct cu Să se gasească o bază ortonormată în raport cu care are matrice diagonală.

Rezolvare:

Din condiţiile puse rezultă că vectorii sunt vectori proprii pentru valoarea proprie iar pentru . Deci , de unde:

.

Se observă că sunt independenţi iar sunt si ei liniar independenţi astfel că avem ,

în baza ortogonală care devine bază ortonormată:

.

În baza canonica matricea lui este cu:

.

Avem deci este autoadjunct.

Problema 10:

Fie spaţiul euclidian cu , atunci:

a) Daca cu fixată să se gasească adjunctul ;

b) Daca este matrice autoadjunctă atunci este autoadjunct.

Rezolvare:

a) si .

b) = autoadjunctă .

Problema 11:

a) Fie spaţiul euclidian canonic şi operatori liniari simetrici cu matricile in baza canonică:

si . Sa se arate ca si comuta intre ei si sa se construiasca o baza ortonormată formată din

vectorii proprii comuni.

b) Acelaşi lucru pentru , cu :



si .

Rezolvare:

a) Cum rezultă că .

Valorile proprii ale lui sunt , iar ale lui sunt , .

Subspaţiile proprii sunt:

O bază ortogonală este şi ortonormată este .

b)

cu baza ortonormată

cu baza ortonormată

, cu

Baza cautată este .

Problema 12:

Fie o bază ortonomată a spaţiului euclidian şi fie astfel încât , . să se arate că pentru orice .

Rezolvare:

Fie şi atunci avem:

.

Se observă că cele două sume sunt egale pentru orice .

Problema 13:

Fie I un operator autoadjunct pe spaţiul euclidian .

a) Să se arate că există astfel încât şi pentru orice cu .

b) Vectorul găsit anterior este vector propriu pentru şi valoarea proprie corespunzătoare este .

Rezolvare:

a) Fie mulţimea şi fie . Funcţia fiind continuă pe mulţimea inchisă şi marginită , există astfel încât



pentru toţi .

b) Fie pentru orice . Rezulta ca pentru orice .

Fie si sa considerăm . Conform relaţiilor anterioare rezultă că este valoare minimă şi atunci .

pentru orice rezultă că este valoarea proprie pentru vectorul propriu .

Problema 14:

Fie o transformare ortogonală şi fie matricea lui in raport cu baza . Să se arate că exista astfel încât

.

Rezolvare:

Matricea fiind ortogonală, rezultă că .

Fie atunci

luând , , cu , atunci luăm , şi acestea verifică sistemul anterior de ecuaţii

astfel încât .

Problema 15:

Fie cu spaţiul euclidian unitar de dimensiune 2 şi fie spaţiu vectorial real al operatorilor autoadjuncţi pe care au urma nulă .

a) Daca fie . Să se arate că este spaţiu euclidian de dimensiune 3.

b) Fie atunci .

c) Să se determine o baza ortonormată a spaţiului .

Rezolvare:

a) În raport cu o bază ortonormată a lui matricea este de forma .

.

Matricile sunt independente şi deci .

b) Pe se defineşte produsul scalar .

Cum f are o singură valoare proprie şi anume atunci toate pătratele operatorilor din sunt scalari, deci este scalar şi atunci .

c) O bază a lui este ortonormată dacă şi numai dacă şi pentru .

Matricile verifică aceste condiţii şi deci este bază în .

1. a) Sa se diagonalizeze operatorul liniar a carui matrice in baza canonica din este .

b) Sa se afle sirul , care are propietatea unde

c) Sa se afle o matrice ai



d) Sa se arate ca matricea unde si este diagonizabila. Precizati valorile proprii si vectorii porprii pentru

Rezolvare:

Ecuatia caracteristica pentru este cu radacinile si a) Subspatiul S este subspatiul solutiilor ale

sistemului linear si omogen : O baza B S este formata cu vectorul v , iar dimS .Subspatiul S este subspatiul

solutiilor sistemului , iar o baza in S este unde dimS

Rezulta ca este diagonalizabil. Matricea de trecere de la baza canonica B la baza B '= din R este P= iar

b) de unde deducem si Intrucat X coincide cu prima

coloana din A . Deci A unde

are valorile proprii si are aceeasi vectori proprii dati de coloanele matricei . In general, pentru orice matrice A diagonizabila tot diagonizabila si are aceeasi vectori proprii ca si matricea

13. Fie un spatiu vectorial peste corpul R, un operator liniar si

a) Daca atunci

b) Daca si atunci

c) Daca

Rezolvare:

a) Daca Atunci dar Fie atunci

b) Daca atunci , unde . Atunci .

Dar cum .

14. a) Sa se compuna aplicatiile liniare sa se arate ca .

b) Sa se afle matriciile aplicatiilor si in raport cu bazele canonice din respectiv

Rezolvare:

a)

Se constata ca

15. Fie doi operatori liniari pe spatiul vectorial peste corpul . Daca este surjectie si este injectie atunci

Rezolvare:

dar si injectiva dar . Deci



Pentru astfel incat dar astfel incat Din ipoteza surjectiva astfel incat Deci

16. Fie un spatiu vectorial peste corpul si operatorii liniari Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente

1) este automorfism

2) este surjectie, este injectie si

3) surjectie, injectie si

Rezolvare:

1) 2). , , vectorul Deci Daca si

Deci Rezulta este bijectie surjectie si injectie.

2) 1). deoarece astfel incat Dar unde si Deci astfel incat . Deci automorfism.

2) 3). demonstrat la problema precedenta. avem unde

3) 2) Se demonstreaza pe o cale asemanatore

Cum 1) 2) si 2) 3) 1) 3).

18. Fie un spatiu vectorial peste corpul de caracteristica si un operator liniar. Daca atunci este suma a doua automorfisme pe spatiul .

Rezolvare:

Fie operatorii liniari Avem

Dar Deci

Deci Fie

si

Deci este bijectiva. Analog este bijectiva, deci este o suma de automorfisme.

19. Fie doua subspatii vectoriale. Sa se arate ca exista operatorii liniari cu propietatea ca

Rezolvare:

subspatiu ,

subspatiu si

Relatiile sunt adevarate este aplicatie liniara.

subspatiu

subspatiu si

Din ultimele doua relatii ca liniara,

2. Fie aplicatia unde

a) Sa se afle valorile proprii, vectorii proprii si sa se interpreteze geometric subspatiile proprii.

b) Precizati conditiile in care este diagonizabil.

Reazolvare:



a) Rezolvam ecuatia vectoriala echivalenta cu Pentru si deci subspatiul S este un plan ce trece prin

origine determinat de doi vectori necolineari si perpendiculari pe Putem scrie S Pentru ecuatia vectoriala are solutiile de forma

Rezulta de unde obtinem iar este o dreapta ce trece prin origine. Deci

b) Daca atunci unde iar este diagonizabil. Matricea lui in baza este Daca atunci si unicul subspatiu propriu este Deci nu este diagonizabil.

20. Sa se arate ca operatorul liniar al carui matrice in baza canonica este este un automorfism.

Sa se afle

Rezolvare:

Teorema de caracterizare a injectivitatii si a surjectivitatii :

injectiva

surjectiva

Demonstratie:

pentru

pentru

liniara

Particularizand avem este surjectiva

este injectiva

Deci bijectiva si cum este automorfism.

Fie baza canonica, atunci:

Grupand prima relatie cu ultima, a doua cu penultima,s.a.m.d, obtinem:

Se stie ca

21. Fie spatiul vectorial Q peste si operatorul liniar



a) Sa se determine scalarii astfel incat

b) In spatiul vectorial al operatorilor liniari definiti pe Q se considera submultimea unde

Sa se arate ca este un subspatiu vectorial peste si sa se precizeze o baza in .

Rezolvare:

a)

Se obtine sistemul

3. Fie operatorul liniar care in baza canonica din are matricea

a) Determinati valorile proprii si vectorii proprii.

b) Aratati ca este diagonalizabil.

c)Deduceti ca matricea este diagonizabila.

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic pentru este Deci Pentru obtinem subspatiul propriu

unde Pentru obtinem unde c)

si deci c) unde polinomul Rezulta ca este diagonalizabila, are

valorile proprii si aceiasi vectori proprii cu matricea

4. Fie o matrice Frobenius de tipul

a) este diagonalizabila peste C

b) In ipoteza a) notam . Sa se precizeze subspatiile proprii pentru .

c) Determinati polinomul caracteristic pentru matricea

Rezolvare:

a) diagonalizabila implica dim cu multiplicitatea algebrica in ecuatia caracteristica. Dar dim Din relatia Deoarece dim . Reciproc, daca avem atunci

A are valori proprii distincte si deci este diagonalizabila.

b) Pentru fiecare consideram vectorul propriu si subspatiile proprii

c) Prin dezvoltarea determinantului asociat matricei se obtine

5. Fie unde si iar restul elementelor sunt nule.

a) Sa se arate ca este diagonalizabila peste . Precizati subspatiile proprii.



b) Folosind rezultatul precedent sa se arate ca matricea circulanta B= este diagonalizabila si are aceeasi vectori proprii ca

si matricea .

Rezolvare:

a) Polinomul caracteristic al matricei este si are toate radacinile distincte Spatiul propriu pentru

este b) Matricea B se scrie sub forma Deci unde este

o matrice diagonalizabila si are aceeasi vectori proprii ca si matricea iar valorile proprii sunt

6. Fie o matrice simetrica.

a) Aratati ca matrice A are valorile proprii reale si este diagonalizabile.

b) Daca determinati valoarea maxima si cea minima pe care o poate lua elementul

Rezolvare:

a) Ecuatia caracteristica pentru este cu determinantul

Daca atunci si este diagonalizabila. Daca atunci =

b) Daca notam atunci Rezulta ca de unde

si

7. a) Pentru matricea A= sa se determine toate matricile B cu propietatea AB=BA. Sa se arate apoi ca B este diagonalizabila si are

aceeasi vectori proprii ca si matricea A

b) Fie cu propietatea ca are valori proprii distincte si . Atunci exista o aceeiasi baza formatecu vectori proprii pentru si astfel incat matricile si sunt diagonale. Aplicatie in cazul in care

Rezolvare:

a) Fie AB=BA Polinomul caracteristic pentru B este cu

radacinile Daca c si deci B este diagonizabila cu vectorii proprii Matricea A este diagonalizabila si are aceeasi vectori proprii. Daca si admite ca vectori proprii pe si

b) Fie si o valoare proprie fixata arbitrar. Atunci sau Deci , Restrictia operatorului la subspatiul invariant prin este un operator liniar peste Deci si un

astfel ca deci vector propriu comul lui si . Pentru si atunci astfel incat, Cum diagonalizabil este o baza formata cu vectori proprii pentru

si . Deci si Pentru cazul concret dat, matricele in bazele canonice pentru si sunt si

8. Fie operatorul liniar dim astfel incat . Sa se arate ca si sunt diagonalizabili

Rezolvare:

Fie atunci exista astfel ca de unde . Deci si . Are loc incluziunea inversa. Pentru si pentru Pentru In plus,

deorece deci . Rezulta ca este diagonalizabila. Daca este o baza in unde

este baza in atunci si , Rezulta ca se observa ca deci

e diagonalizabil si Rezulta



2.1)Fie un spatiu vectorial complex si fie ce apartine lui .i) Demonstrati ca relatiile urmatoare sunt verificate:

include inclue

inclusa in inclusa in

ii) Demonstrati ca daca exista astfel incat atunci

"Rezolvare"

i) Fie Atunci deci si inclus in

deci si inclus in

Fie Atunci daca notam deci include

ii) Daca fie Atunci ,deci

Atunci si ,si prin urmare de unde

2.3) Fie definit prin

Aratati ca este operator inversabil si determinati si .

"Rezolvare"

Matricea asociata operatorului in baza canonica a spatiului este

, conform relatiei ,de aici

deci este inversabila, prin urmare este operator inversabil

,deoarece este baza ortonormata, matricea operatorului in aceasta baza va fi

si

si de aicir:

2.4) Fie definit prin

Aratati ca este operator inversabil si determinati

"Rezolvare"

- baza canonica iar si



deci este operator inversabil

2.5) Fie definit astfel

Aratati ca este operator inversabil si determinati

"Rzolvare"

si de aici ne dam seama ca nu este un operator inversabil si nu avem

2.6) Fie matricile

Determinati operatorii asociati calculati stabiliti ca operatorul este nilpotent si determinati indicele sau de nilpotenta

"Rezolvare"

si

Matricea asociata operatorului in baza canonica

si are matricea

Faptul ca este nilpoten rezulta din

2.7) Fie matricile



Determinati operatorii asociati aratati ca sunt operatori hermitieni si stabiliti ca este pozitiv definit

"Rezolvare"

Matricea asociata operatorului In baza canonica ,

Matricea asociata operaatorului in baza canonica ,

Matricea operatorului satisface conditia lui Sylvester.

2.9) Fie operatorul de derivare

Aratati ca este operator nilpotent .

"Rezolvare"

In baza canonica a spatiului vectorial matricea operatorului este

si daca atunci este operator nilpotent.

2.14) Fie un spatiu vectorial de dimensiune peste corpul ,fie si fie inclus in un subspatiu vectorial

de dimensiune invariat pentru operatorul . Aratati ca exista o baza a spatiului vectorial astfel incat matricea

asociata operatorului in aceasta baza sa fie de forma

Fie o baza in subspatiul si fie baza in subspatiul si fie

matricea va fi de forma

2.15)i) Fie un spatiu vectorial de dimensiune peste corpul ,fie o baza fixata in si fie

avand in aceasta baza matricea asociata de forma .Ce puteti spune despre operatorul ?

ii) Fie operatorul definit prin

Determinati un subspatiu invariabil al operatorului .

i) Daca si este subspatiul vectorial generat de vectorii din baza ,deci



Atunci este subspatiu invariat pentru operatorul deoarece pentru

apartine lui

ii)In baza canonica ,matricea operatorului este si conform punctului i) subspatiul vectorial

generat de este subspatiu invariat pentru .

1.Sa se stabileasca daca operatorul este sau nu liniar iar in caz de liniaritate sa se scrie

matricea operatorului in baza canonica.

a)

b)

c)

d)

e)

Rezolvare :

a) Fie . Va trebui sa aratam ca

Avem iar

Am aratat ca pentru oricare deci operatorul este liniar.

Stim ca E fiind baza canonica, si avem :

de unde

b) Fie si arbitrari . Pentru ca sa fie liniar ar trebui ca

pentru deci nu este operator liniar.

c) Fie oarecare.

pentru

De unde rezulta ca nu este operator liniar.

d)

-



pentru ,

arbitrar alesi.. Deci este operator liniar cu matricea :

e)Fie

pentru

nu este operator liniar.

2.Fie un spatiu vectorial al polinoamelor de grad cel mult n peste Sa sa arate ca urmatoarele

aplicatii sunt operatori liniari si sa li se calculeze matricea in baza canonica

a)

b)

Rezolvare

a) Fie oarecare,

este operator liniar.

b)Fie oarecare ,

= este operator liniar.

3. Sa se scrie matricea urmatorilor operatori in baza canonica in cazul in care acestia sunt liniari :

a)

b)

Rezolvare :

a)Fie arbitrar alesi.




b)Fie oarecare,

este operator

liniar

, unde E este baza canonica in (domeniul lui

U), iar este baza canonica in (codomeniul lui U).

4.Fie X,Y spatii vectoriale peste corpul de scalari K si un operator liniar,

Sa se gaseasca conditia pentru care este adevarata afirmatia : sunt vectori liniari

indepedenti daca si numai daca ,..., sunt liniari independenti.Analog pentru liniar

dependenta.

Rezolvare:

a) Fie liniar independenti si fie o combinatie liniara nula de vactorii

,..., cu Din liniaritatea lui U avem

pentru U injectiv.Dar vectorii sunt liniari independenti,

deci

Am aratat astfel ca sunt vectori liniari independenti in spatiu vectorial .

invers fie liniar independenti si fie cu

Aplicand pe U vectorului nul obtinem :

a =a =...=a

sunt liniar independenti.

b)Fie vectori liniari dependenti exista o combinatie liniara

cu nu toti nuli

cu

nu toti nuli vectori liniari dependenti. Echivalenta este valabila

pentru orice operator liniar

5. Fie un spatiu vectorial.



a) Fie subspatii vectoriale astfel incat atunci operatorii

cu sunt liniari.Ei se numesc operatorii proiectie

pe subspatiile respectiv .

b)Fie subspatii vectoriale astfel incat se scrie

intr-un mod unic

atunci operatorii sunt liniari

(proiectia k)

Rezolvare:

a)Fie x,y cu unici .

Fie

Am folosit faptul ca este subspatiu al lui si atunci daca avem si

Am aratat astfel ca este operator liniar ,

b)Analog ca la punctul a)

6) Fie operatorii liniari

Sa se calculeze

Rezolvare :

a)

Observam ca

b)

Matricea asociata lui este si observam ca ceea ce era de inteles din :

c)Pentru ca sa existe trebuie ca nucleul lui lui sa contina doar vectorul nul.

solutia sistemlui omogen.



este inversabil.

Fie , necunoscut.

Avem rezolvam ecuatia in

cu

cunoscut

Sau sistemul desfasurat :

obtinem acelasi lucru

7)Fie un operator liniar si matricea lui in baza caninica este

Sa se calculeze matricea operatorului in baza

Rezolvare:

Stim ca unde este matricea de trecere de la baza la baza

Avem:

deci

8.Fie operatorul liniar Sa se determine

matricea operatorului U in bazele

si

Rezolvare:

Notam cu matricea cautata si cu matricea operatorului in bazele canonice.

Daca este matricea de trecere de la baza canonica la bza din atunci



9.In spatiul se considera bazele si unde

Sa se determine operatorul liniar astfel incat

Rezolvare:

Matricea operatorului U in bazele E si F va fi iar matricea operatorului in baza canonica va fi

unde este matricea de trecere

de la F la baza canonica .

si

10.In spatiul se considera bazele si unde

si Sa se

determine operatorul liniar astfel incat

si

Rezolvare:

Sa verificam intai ca E si F sunt baze in

este baza in

= este baza in



Matricea operatorului in bazele si va fi iar matricea in baza canonica va fi

In loc de baza am fi putut lua baza si atunci si .

11.Sa se arate ca in spatiul al tuturor operatorilor liniari de la la operatorii

formeaza o baza.

Rezolvare:

In baza canonica operatorii liniari au matricile

Aceste matrici formeaza baza formeaza baza in spatiul matricilor iar spatiile si

sunt izomorfe deci si formeaza baza in

12.Fie un subspatiu vectorial si un operator liniar cu proprietatea Sa se

arate ca unde si

Rezolvare:

si Se verifica usor ca si sunt subspatii ale lui utilizand

proprietatile de liniaritate ale operatorului U.

Demonstram ca Fie si notam Avem

si deci x si Am aratat astfel ca

si cum X rezulta ca X=X

Fie x si U suma

este suma directa.

13.Fie un spatiu vectorial un operator liniar cu proprietatea ca Sa se arate

ca unde si

Rezolvare:



si

Pentru notam si

Asadar si cum

Fie suma directa.

14.Fie operator liniar ; sa i se determine nucleul, imaginea si dimensiunile lor cand :

a)

b)

c)

Rezolvare:

a)

Vectorul este baza in deci

Imaginea lui U este :

Vectorii care formeaza o baza in sunt si si deci dimensiunea

imaginii operatorului liniar este 2.

b) iar

Rezulta de aici ca si

c)

Baza este si

Rezolvam sistemul urmator in necunoscutele

sistemul trebuie sa fie compatibil.

deoarece punem conditia :



cu baza si

observam ca in toate cazurile se verifica teorema conform careia pentru

si

15.Sa se determine vectorii, val.proprii,ale operatorului liniar si dimensiunile subspatiilor

proprii:

a)

b)

c)

Rezolvare

a)Evuatia caracteristica este :

de unde valorile proprii care sunt reale si distincte.

Pentru a determina vectorii proprii vom rezolva sistemele care rezulta din relatiile

este subspatiul vectorilor

proprii asociati valorii proprii El are ca baza pe si dimensiunea egala cu 1.

Pentru valoarea proprie avem :.

Subaspatiul vectorilor proprii asociati valorii proprii este cu baza

si dimensiunea egala cu 1.

In sfarsit pentru obtinem:

cu baza si



b)Matricea opeatorului liniar este : iar ecuatia caracteristica are urmatoarele solutii :

Deci valorile proprii asociate operatorului sunt

Pentru determinam vectorii proprii :

baza lui este vectorul si

Pentru avem :

cu baza si

c)Matricea operatorului este

Ecuatia caracteristica este

sunt valorile proprii ale lui

Pentru avem :

cu

Pentru obtinem :



cu

Astfel in baza matricea operatorului este

pr.7/pag.152

Fie

a Să se determine natura lui U.

b Să se determine U si

c Să se determine .

Rezolvare:

a) Ştiu că U este bijectiv dacă şi numai dacă

. De aici rezulta ca operatorul U este bijectiv.

b) Ştiu prin teorema lui Grassmman că: .

Ştiu din a) că operatorul U este bijectiv, rezulta ca U este si injectiv

Cum şi .

c) Ştiu prin definitie că astfel încat

Cum

pr.8/pag.153

Fie matricea asociată unui operator liniar U.

a Este U injectiv? Dar surjectiv? Dar bijectiv?

b Să se determine

c Fie , arătaţi că există un vector astfel încat nu depinde de

d Să se scrie o conditie pentru ca un vector din să aparţină lui

Rezolvare:

a) Operatorul liniar U asociat matricei M este definit astfel:

Stiu ca un operator liniar este injectiv daca si numai daca , iar

Din Rezulta ca operatorul U este injectiv

Operatorul este surjectiv daca si numai daca



Cum

Rezulta ca operatorul U nu este surjectiv.

Operatorul U este bijectiv daca si numai daca este injectiv si surjectiv. U este injectiv, dar nu este surjectiv, rezulta deci ca nu este bijectiv.

b)

Stiu ca

Fie vectorii care genereaza , rezulta deci ca formeaza un sistem de generatori in . Stiu ca si sunt liniar independenti

daca determinantul lor este diferit de 0. Cum , rezulta ca si sunt liniar independenti. Deci, si formeaza o baza in

c) , (U operator liniar).

Rezulta ca trebuie pentru ca sa nu depinda de Daca , atunci . Stiu din a) ca U este injectiv, deci

astfel încat nu depinde de unde

d) Un vector din aparţine lui daca exista astfel incat unde si bazei lui si sunt liniar dependenti

Cum

Deci, conditia pentru ca un vector din ( ) să aparţină lui este ca

pr.9/pag.155

Fie un operator liniar definit prin

a Determinati nucleul şi imaginea lui U;

b Determinati natura lui U.

Rezolvare:

a)

Dacă , atunci

Cum



Vectorii şi formează un sistem de generatori in .

Cum rezultă că si formează o bază în , iar

Din (teorema dimensiunii) rezultă că

Ştiu că şi , rezultă că

Ştiu prin definiţie că .

cu vectorii şi

care generează

b) Ştim că şi din a) că , adică dimensiunea spaţiului vectorial domeniu este egală cu dimensiunea spaţiului vectorial codomeniu , de unde rezulta ca U este surjectiv.

pr.10/pag.157

Fie matricea asociată unui operator liniar U.

a Să se scrie operatorul liniar U.

b Să se studieze natura lui U.

c Să se calculeze .

Rezolvare:

a) Operatorul asociat matricei M, este definit prin:

b) Dimensiunea spaţiului vectorial domeniu este , iar dimensiunea spaţiului vectorial codomeniu este .

Deci, operatorul U nu este surjectiv pentru că , de unde rezulta ca operatorul U este injectiv dacă şi numai dacă

Din

. De aici rezulta ca operatorul U este injectiv.

c) Ştiu din teorema dimensiunii că: .

Cum

pr.11/pag.158

Fie un operator liniar definit prin:



unde este baza canonică in

a Determinaţi forma lui U.

b Determinaţi şi studiaţi natura lui U.

c Fie . Aratăţi că există un vector astfel încat nu depinde de

Rezolvare:

a) Matricea asociată operatorului U este , rezulta ca operatorul liniar U asociat lui M este definit astfel:

b) , unde x este de forma .

Din

.

Fie .

Fie vectorul care generează , deci formează un sistem de generatori în .

Cum U este şi liniar independent, rezulta ca formează o bază în

Ştiu prin teorema dimensiunii că: , adica dimensiunea spaţiului codomeniu este egală cu dimensiunea spaţiului domeniu , rezulta ca operatorul U este surjectiv.

c) U este operator liniar .

De aici rezultă că trebuie ca pentru ca să nu depindă de

unde vectorul v are, conform cu c), forma: , unde

Rezultă că există cel putin un vector astfel încat să nu depindă de .

pr.12/pag.160

Se consideră spaţiul vectorial şi baza canonică .

Fie operatorul liniar U definit prin:

Determinaţi forma operatorului U.

Rezolvare:



Matricea asociată operatorului U este: .

De aici rezultă că operatorul liniar U asociat matricei M are următoarea formă:

pr.13/pag.160

Fie M matricea asociată unui operator liniar .

a Determinaţi în funcţie de m nucleul şi imaginea lui U.

b Pentru ce valori ale lui m operatorul U este injectiv? Dar surjectiv? Dar bijectiv?

Rezolvare:

a) Operatorul liniar U asociat matricei M are următoarea formă:

Nucleul operatorului U este

Daca

I. Daca .

Sistemul devine:

Daca , atunci x este de forma:

Fie vectorul liniar indepedent care formeaza un sistem de generatori in

De aici rezulta ca formeaza o baza in , iar

II. Daca

Sistemul devine:



b) Operatorul U este injectiv daca si numai daca

In cazul (I.), in care sau U nu este injectiv pentru ca

In cazul (II.).in care sau U este injectiv pentru ca

Operatorul U este surjectiv daca si numai daca

Stiu ca

In cazul (I.):

In cazul (II.):

Operatorul U este bijectiv daca si numai daca este injectiv si surjectiv

In cazul (I.): operatorul este injectiv si surjectiv este bijectiv.

In cazul (II.): operatorul nu este injectiv si nu este nici surjectiv U nu este bijectiv.

pr.14/pag.163

Fie U si V doi operatori liniari definiti astfel:

fiind un parametru real.

Determinati nucleul si imaginea pentru U si V in functie de valorile lui .

Rezolvare:

Nucleul operatorului U este



(I.) Daca

Sistemul devine:

(II.) Daca , atunci

Sistemul devine:

Nucleul operatorului V este

pr.15/pag.168

Fie un operator liniar, definit prin

a Pentru ce valori ale lui m operatorul U poate fi injectiv?



b Determinati nucleul si imaginea lui U in functie de parametrul m.

c Cand , vectorul apartine lui ?

Rezolvare:

a) Operatorul liniar este injectiv daca si numai daca

Dar, si operatorul U nu este injectiv pentru nici o valoare a lui m.

b)

Din (3*) rezulta doua cazuri:

(I.) Daca sistemul devine:

(II.) Daca



Sistemul devine:

.

c) Fie vectorii: , care genereaza , deci formeaza un sistem de generatori in .

Daca si

Fie vectorii , care genereaza , deci formeaza un sistem de generatori in Cum , rezulta

ca si sunt liniar independenti, deci formeaza o baza in . Rezulta atunci ca .

Rezulta ca pentru a gasi o baza in , trebuie sa gasesc doi vectori liniar independenti printre deci trebuie

Cum determinantul lui si este: sunt liniar independenti, deci formeaza o baza in

Fie vectorul daca si numai daca astfel incat

Trebuie deci sa arat ca sunt liniar dependenti, ceea ce inseamna ca determinantul lor trebuie sa fie egal cu 0.

Cum , rezulta ca vectorul nu apartine lui



pr.16/pag.173

Fie spatiul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienti numere reale, spatiul vectorial al matricelor de ordinul 2 cu elemente numere reale si definit prin

, unde este functia polinomiala asociata

a Sa se arate ca U este un operator liniar.

b Sa se scrie matricea lui U in baza canonica.

c Sa se determine si

d Sa se determine si

Rezolvare:

a) U este operator liniar daca: 1) ,

2)

1) Fie si

2) Fie si

Din 1) si 2) rezulta ca operatorul U este operator liniar.

b) Baza canonica in este

Pentru

Pentru

Pentru

Rezulta ca matricea lui U in baza canonica este urmatoarea:



A=

c)

Stiu ca este de forma: ;

Rezulta atunci, stiind ca este functia polinomiala asociata, urmatoarele:

(1)

(2)

(3)

Din (1), (2) si (3) rezulta:

d) / astfel incat

Stiu prin ca:

pr.17/pag.176

Fie spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 3 cu coeficienti numere reale si . Fie operatorul liniar , definit prin

a Sa se determine si sa se justifice relatia:

b Sa se scrie matricea asociata operatorului in baza canonica si sa se calculeze

Rezolvare:

a) Fie operatorul (operatorul identic) (1)

(operatorul identic)(2).

Din (1) si (2) rezulta ca

(c.c.t.d.).

b) Consider baza canonica in spatiul vectorial ,

Rezulta ca matricea asociata operatorului in baza canonica este urmatoarea:



=

Din

=

pr.18/pag.177

Se considera spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti numere reale si operatorul definit prin: .

a Sa se arate ca U este un operator liniar.

b Sa se gaseasca cate o baza in respectiv in

Rezolvare:

a) U este operator liniar daca: 1) ,

2)

1) Fie si

2) Fie si

Din 1) si 2) rezulta ca operatorul U este operator liniar.

b) Fie ; ;

Pentru

;

iar cum

sau dar trebuie (pentru ca )



Fie operatorul liniar

Daca iar este o baza in ( ) si

sunt vectori in atunci este o baza in

pr.19/pag.178

Fie E un spatiu vectorial de dimensiune n si un operator liniar. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1)

(2)

(3)

( este operatorul ).

Rezolvare:

(1)

( ).

Deci, daca .

Atunci, pentru

(2)

( ).

Deci, daca pentru ca din

Atunci, pentru

(3) (din (1) si (2)).

Dar

dar stiu ca

Daca ( ) atunci si astfel incat

(3)

Din (3)

Cum (1).

pr.20/pag.179

Fie E, F, G trei spatii vectoriale definite peste acelasi corp , si doi operatori liniari. Sa se arate echivalenta urmatoarelor afirmatii:

(1)

(2) operator liniar astfel incat

Rezolvare:

Fie subspatiu vectorial al lui , si , unde astfel incat , si .



Rezulta ca daca , astfel incat , atunci

Deci daca , si ,

Si cum operatorul este liniar

Din (1) si cum este liniar

Fie subspatiu al lui astfel incat se scrie sub forma ,

unde unice.

Fie

obtinem implicatia (1) (2).

Cum U si V sunt operatori liniari implicatia (2) (1)

pr.21/pag.181

Fie E un spatiu vectorial real de dimensiune 2 si un operator liniar astfel incat

(Id este operatorul identic). Aratati ca este o baza in oricare ar fi

Rezolvare:

Presupun prin reducere la absurd ca si nu sunt liniar independenti, oricare , de unde rezulta ca astfel incat

Cum si ( ) deci este complex, ceea ce contrazice presupunerea ca Rezulta atunci ca presupunerea a fost falsa, deci si sunt liniar independenti. Rezulta ca este sistem de vectori liniar independenti si cum E este un spatiu vectorial real de dimensiune 2, atunci este o baza in oricare ar fi

1. Fie spaţiul vectorial şi baza sa canonicã. Se considerã operatorul liniar definit prin:

Sã se scrie matricea asociatã operatorului liniar şi forma lui .

Rezolvare:

Fie A matricea asociatã operatorului liniar . Atunci:

Este bine sã observãm cã pentru a determina , scriem totdeauna coordonatele lui pe linii, în ordine.

Cunoscând , operatorul este definit prin

2. Fie operatorii liniari definiţi prin:

a)

b)

c)

Sã se determine operatorii şi



Rezolvare:

a) Fie matricea asociatã operatorului Atunci

Atunci, este definit prin:

b) Fie matricea asociatã operatorului Atunci

Atunci este definit prin:

c) Fie matricea asociatã operatorului . Atunci

Atunci este definit prin:

3. Fie trei operatori liniari, definiţi prin:

a) Sã se determine matricele asociate operatorilor liniari

b) Sã se scrie toate combinaţiile posibile pentru aceşti operatori.

Rezolvare:

a) Matricele asociate operatorilor liniari sunt respectiv:

b) Pentru a determina este suficient sã calculãm matricea Acest produs este posibil dacã numarul de linii din prima matrice coincide cu numãrul de coloane din a doua matrice.

Produsele posibile sunt:



Combinaţiile posibile sunt

şi fiecare este un operator liniar.

4. Fie subspaţiul vectorial al lui generat de vectorii

şi

şi operatorul liniar definit prin:

Determinaţi o bazã în şi dimensiunea sa.

Rezolvare:

Se ştie cã imaginea unui subspaţiu vectorial printr-un operator liniar este de asemenea un subspaţiu vectorial.Astfel, este un subspaţiu vectorial în

Determinãm mai întâi o bază în şi dimensiunea sa. este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniar independenţi deoarece

det

Deci şi formeazã o bazã în şi

Calculãm imaginile prin ale vectorilor bazei lui .

Subspaţiul vectorial este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în

În plus, aceşti vectori sunt liniar independenţi, deoarece



det

Deci şi formeazã o bază în şi

Putem scrie acum forma generalã a lui

5. Fie subspaţiul vectorial al lui generat de vectorii

şi subspaţiul vectorial al lui definit prin

Fie opratorul liniar definit prin:

a) Sã se determine subspaţiul vectorial o bazã în acest subspaţiu precum şi dimensiunea sa.

b) Sã se determine subspaţiul vectorial , o bazã în acest spaţiu precum şi dimensiunea sa.

Rezolvare:

a) Subspaţiul este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în Deoarece

det

vectorii şi sunt liniar dependenţi.Însã şi sunt liniar independenţi, deoarece

det

Prin urmare şi formeazã o bazã în şi Calculãm imaginile prin ale vectorilor bazei lui

Subspaţiul vectorial este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniar independenţi, deoarece

det

Deci şi formeazã o bazã în şi .

Putem scrie acum forma generalã a lui

Determinãm acum o bazã în şi dimensiunea sa.

Multimea se mai poate scrie astfel:



Deci dacã , atunci

Fie şi ; este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniari independenţi,

deoarece


Calculãm imaginile prin ale vectorilor bazei lui

Subspaţiul vectorial este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în

În plus, sunt liniar independenţi, deoarece

Vectorii şi constituie deci o bazã în şi

Putem scrie forma generalã a lui

6. Fie subspaţiul vectorial al lui definit prin

operatorul liniar definit prin

şi operatorul liniar definit prin

a) Sã se determine o bazã şi dimensiunea subspaţiului vectorial

b) Sã se determine o bazã şi dimensiunea subspaţiului vectorial

Rezolvare:

a) Determinãm mai întâi o bazã în şi dimensiunea sa. Observãm cã se mai poate scrie astfel:



Vectorii

şi

formeazã un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniari independenţi, deoarece



Avem

Întrucât este un operator liniar, vectorii şi formeazã un sistem de generatori în În plus ei sunt liniar independenţi, deoarece


b) Calculãm imaginile prin ale vectorilor bazei lui

Avem

Deoarece este operator liniar, rezultã cã este generat de vectorul El este liniar independent, deci formeazã o bazã în şi

7.Fie subspaţiul vectorial al lui generat de vectorii

şi

operatorul liniar definit prin

şi operatorul liniar definit prin

a) Determinaţi subspaţiul vectorial , o bazã în acest spaţiu precum şi dimensiunea sa.

b) Justificaţi de ce este un subspaţiu vectorial al lui

Rezolvare:

a) Fie matricea asociatã operatorului ,



şi matricea asociatã operatorului ,

Pentru a determina este suficient sã calculãm

.

În aceste condiţii, operatorul este definit prin:

Determinãm acum o bazã în şi dimensiunea sa. este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, aceşti vectori sunt liniar independenţi, deoarece



Determinãm acum o bazã în şi dimensiunea sa. Subspaţiul vectorial este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus aceşti vectori sunt liniar independenţi, deoarece

Vectorii şi formeazã deci o bazã în şi

Putem sã scriem forma generalã a lui :

b) este un subspaţiu vectorial al lui deoarece este un operator liniar, fiind compunerea a doi operatori liniari, iar imaginea unui subspaţiu vectorial printr-un operator liniar este de asemenea un subspaţiu vectorial.

8. Fie un subspaţiu vectorial, un operator liniar şi

a) Arãtaţi cã dacã vectorii sunt liniar independenţi atunci şi vectorii sunt liniar independenţi.

b) Reciproca este adevaratã? Dacã nu, sã se dea o condiţie în care ea este adevaratã.

Rezolvare:

a) Fie astfel încât

Atunci

şi în baza liniarităţii lui , obţinem



Deoarece vectorii sunt liniar independenţi, obţinem

şi deci vectorii sunt şi ei liniar independenţi.

b) Presupunem cã sunt liniar independenţi şi fie astfel încât

În baza liniaritãţii lui obţinem

de unde rezultã cã Scalarii nu sunt în mod necesar nuli.

Dacã , atunci

şi liniar independenţa vectorilor implicã , adicã liniar independenţa .

9. Fie un spaţiu vectorial, un operator liniar şi . Sã se arate cã dacã vectorii sunt liniar dependenţi, atunci şi vectorii sunt liniar dependenţi.

Rezolvare:

Deoarece vectorii sunt liniar dependenţi rezultã cã existã scalarii nu toţi nuli astfel încât

Atunci

sau echivalent, în baza liniarităţii,

de unde deducem liniar dependenţa vectorilor

10. Fie un operator liniar definit prin:

a) Determinaţi nucleul operatorului.

b) Determinaţi rangul operatorului.

c) Determinaţi imaginea operatorului.

Rezolvare:

a) Se ştie cã nucleul operatorului este definit prin

Dar

Deci aici urmeazã cã şi

b) Reamintim teorema dimensiunii, care afirmã cã dacã este un operator liniar, atunci

sau



deoarece

Deoarece, şi rezultã cã,

c) Imaginea operatorului este

Deci,

sau

Notãm este generat de vectorul care formeazã deci un sistem de generatori pentru În plus, este liniar independent şi deci

formeazã o bazã în


a) Determinaţi şi

b) Calculaţi

c) Care este natura lui ?

Rezolvare:

a) Nucleul operatorului este:

Dar

Deci şi

Imaginea operatorului este:

Fie

şi

este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniar independenţi deoarece


b) Rangul operatorului este



c) Deoarece matricea asociatã operatorului liniar este pãtraticã, putem aplica douã metode diferite.

Metoda 1.

Fie matricea asociatã operatorului ,

Un rezultat teoretic afirmã cã este bijectiv dacã şi numai dacã

Deoarece

rezultã cã este bijectiv.

Metoda 2.

Din teorie se ştie cã operatorul este injectiv dacã şi numai dacã . Conform punctului a), este deci injectiv.

Un alt rezultat teoretic afirmã cã un operator este surjectiv dacã şi numai dacã

Conform punctului b), şi cum . Avem şi este surjectiv.

În concluzie este bijectiv.


a) Determinaţi şi

b) Determinaţi natura lui

c) Scrieţi o condiţie necesarã şi suficientã ca un vector sã aparţinã imaginii operatorului.

Rezolvare:

a) Conform definiţiei,

Dar

Deci şi

Imaginea operatorului este:

Fie

şi

este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus, ei sunt liniari independenţi deoarece




b) Rangul operatorului este

c) Deoarece matricea asociatã operatorului liniar este pãtraticã, putem aplica douã metode diferite.

Metoda 1.

Fie matricea asociatã operatorulul ,

Un rezultat teoretic afirmã cã este bijectiv dacã şi numai dacã

Deoarece

rezultã cã este bijectiv.

Metoda 2.

Din teorie se ştie cã operatorul este injectiv dacã şi numai dacã Conform punctului a), este deci injectiv.

Un alt rezultat teoretic afirmã cã un operator este surjectiv dacã şi numai dacã

Conform punctului b), şi cum Avem şi este surjectiv.

În concluzie este bijectiv.


a) Determinaţi şi

b) Determinaţi natura lui

c) Scrieţi o condiţie necesarã şi suficientã ca un vector sã aparţinã imaginii operatorului.

Rezolvare:

a) Conform definiţiei,

Dar

Deci




Vectorul se exprimã în baza canonicã a spaţiului vectorial , astfel:

Dacã , atunci

Fie ; este generat de vectorul care formeazã deci un sistem de generatori în . În plus acest vector este liniar independent deci

formeazã o bazã în şi .

Prin definiţie,

Deci

Fie şi ; este generat de şi care formeazã deci un sistem de generatori în . Aceşti vectori sunt liniar dependenţi

deoarece

Eliminând , vectorul este liniar independent; formeazã aşadar o bazã în şi .

Deci

b) este un operator injectiv dacã şi numai dacã adicã . Conform punctului a), şi deci nu este injectiv.

Operatorul nu este nici surjectiv deoarece şi deci .

În concluzie nu este nici bijectiv.

c) Observãm cã un vector dacã si numai dacã astfel încât ( fiind vectorul bazei lui ).

Aceasta înseamnã cã vectorii şi sunt liniar dependenţi adicã

ceea ce revine la

unde

Aşadar, condiţia

este una necesarã şi suficientã pentru ca .




a) Determinaţi şi .

b) Studiaţi natura lui .

Rezolvare:

a) Prin definiţie

.

Dar dacã şi numai dacã

Observãm cã ultima ecuaţie se obţine prin adunarea membru cu membru a primelor douã ecuaţii. Astfel, sistemul devine:

de unde deducem cã,

.


Dacã atunci

unde este baza canonicã a spaţiului vectorial .

Fie ; este generat de vectorul care formeazã deci un sistem de generatori în ; în plus este liniar independent şi deci el

formeazã o bazã în şi .

Prin definiţie

.

Atunci,



.

Fie

şi

este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . Vectorii şi sunt liniar dependenţi, deoarece

Însã vectorii şi sunt liniar independenţi deoarece

Aceşti vectori formeazã deci o bazã în şi

Rangul operatorului este

b) Se ştie cã este un operator injectiv dacã şi numai dacã , adicã .

Deoarece nu este injectiv.

Operatorul nu este nici surjectiv, întrucât şi deci .

Deci operatorul nu este nici bijectiv.

15.Fie un operator liniar definit prin:

a) Sã se scrie matricea asociatã lui relativ la baza canonicã.

b) Sã se determine şi .

Rezolvare:

a) Matricea asociatã operatorului este:

Observãm cã

şi deducem cã este bijectiv şi în consecinţã injectiv şi surjectiv.

b) Prin definiţie,

Deoarece este injectiv, deducem cã şi




a) Sã se determine şi

b) Sã se stabileascã natura lui

Rezolvare:

a) Prin definiţie,

Dar

Deducem cã


Dacã , atunci

Fie este generat de vectorul care formeazã deci un sistem de generatori în ; în plus el este liniar independent, deci formeazã o

bazã în şi

Prin definiţie,

Deducem cã

.

Fie şi ; este generat de vectorii şi care formeazã deci un sistem de generatori în . Întrucât , obţinem cã şi sunt liniar dependenţi. Eliminând , vectorul este liniar independent. El formeazã o bazã în şi .

Aşadar,

.

b) Se ştie cã un operator liniar poate fi injectiv dacã şi numai dacã . În cazul de faţã nu poate fi injectiv, deoarece .

este un operator surjectiv deoarece

.

11

Enunţ

Să se arate că operatorul definit prin este un operator liniar.

Rezolvare



este un operator liniar de la la dacă:

1.

2. .

Fie şi . Atunci

si

Fie şi . Atunci

Deci este un operator liniar.

12

Enunţ

Fie definit prin:

Rezolvare

Vom arăta că:

1.

2.

Fie şi Atunci,

Fie şi . Atunci

Deci este operator liniar.

13

Enunţ

Fie definit prin: , unde . Este un operator liniar?

Rezolvare



Observăm că Atunci nu este un operator liniar deoarece nu îndeplineşte condiţia necesară:

14

Enunţ

Să se arate că definit prin

şi , este un operator liniar dacă şi numai dacă şi sunt operatori liniari.

Rezolvare

este un operator liniar dac\a:

1.

2.

Fie şi . Atunci

dacă şi numai dacă şi sunt aplicaţii aditive de la la .

În aceste condiţii,

Fie şi . Atunci,

dacă şi numai dacă şi sunt aplicaţii omogene de la al .

În aceste condiţii, În concluzie, este un operator liniar, dacă şi numai dacă si sunt operatori liniari.

15

Enunţ

Să se scrie matricele asociate urmatorilor operatori liniari: a)

b)

c)

d)

e)

Rezolvare

Se ştie că , unde este matricea asociată operatorului liniar.Atunci

a)

b)



c)

26. Sa se stabileasca care din urmatoarele functii sunt operatori liniari si pentru acestea sa se determine ker T, Im T, n ker T si n Im T

a) unde

b)

c)

d)

e)

a) T operator liniar

Din si T operator liniar

ker T

ker

Fie baza canonica

e sistem de generatori pentru ImT

e liniar independent

baza in



b) T este operator liniar

Avem:

T nu e operator liniar

e)

1)

2)

Asadar T e op. liniar.

Consideram baza canonica

baza

27. Sa se arate ca T e inversabila si sa se calculeze

bij inversabil

inj



inj (1)

Stim ca:

surj (2)

Din (1) si (2) inversabil

Avem:

inversabila

Notam

28. Fie un operator liniar si ; sa se arate ca:

a) l.i. si injectiv l.i

b) l.d. l.d.

a) Fie

l.i.

b) l.d. o combinatie liniara nu toti nuli

Avem

nu toti nuli l.d.

29. Fie un operator liniar cu proprietatea ca Sa se arate ca e subspatiu al lui si ca



e subspatiu al spatiului

Evident

Din , si e subspatiu al spatiului

Pt. notam si

Avem:

Deci si cum

Fie si e suma directa.

30. Fie un operator liniar cu proprietatea ca Sa se arate ca si sunt subspatii ale lui si ca



Evident

Din , si e subspatiu al spatiului

Pentru notam si

Deci si cum

Fie si este suma directa.

1)Fie aplicatia , , unde , sunt numere reale distincte doua cate doua.

a) Sa se arate ca este un izomorfism de spatii vectoriale.

b) Sa se afle matricea aplicatiei in raport cu bazele canonice din respectiv .

c) Sa se determine aplicatia .

Rezolvare:

a) si ,



Fie Cum si are radacini distincte, in mod necesar avem . Se stie ca din Rezulta iar din faptul ca obtinem .

b) Fie bazele canonice din respectiv

c) unde

Pentru a determina polinomul cu conditiile numit si polinomul Lagrange asociat tabelei ,consideram polinoamele

, Rezulta iar deoarece

2)Fie un spatiu vectorial peste corpul , si operatorii liniari Sa se arate ca :

a)

b) Daca atunci

c) Construiti un exemplu pentru punctul b).

Rezolvare:

a) exista astfel ca Deci si trecand la dimensiune avem:

De asemenea

Deci si inlocuind pe cu rezulta:

de unde .

b) Fie Analog

Deci unde Din ipoteza mai obtinem ca: Deci

c)Fie (planul care contine originea si este perpendicular pe ). Avem evident (planul perpendicular pe )

si Deci

3)Fie operatorul liniar

a)Aratati ca astfel ca ( este nilpotent).

b)Sa se arate ca familia de vectori este libera daca

c)Operatorul liniar este inversabil si sa se determine inversul sau.

d)Aratati ca .

e)Aplicatiei unde operatorul liniar este dat prin este dat prin ,este un izomorfism intre

grupurile si grupul multiplicativ al automorfismelor spatiului .

Rezolvare:

a)Pentru

b) astfel ca prin aplicarea lui avem : ,ori implica Rezulta si prin aplicarea lui avem . Deci , de unde tinand seama de relatia din start ,rezulta



c) si deci

d)Fie de unde Vectorul este din sistemul este compatibil. Conform teoremei Rouche acest sistem este compatibil daca si numai daca

Ori,pentru aceasta ecuatie este verificata si deci

e) conduce la Compunem cu si avem Deci si este injectie. Aplicatia este surjectie

prin constructie. Se verifica prin calcul .

4)a) Sa se verifice ca aplicatiile urmatoare sunt liniare:

,

b)Determinati matricele unde

c)Sa se afle nucleele si imaginile pentru si

Rezolvare:

a)

b)Fie

(*)

Matricea e formata din coeficientii puterilor lui .

c)

astfel incat

toti coeficientii puterilor lui din (*) sunt 0

Fie

Caut astfel incat

Din (*)= si in continuare rezulta toti coeficientii in functie de .

Cum

5)Fie aplicatia ,

a)Sa se arate ca este liniara si sa se determine matricea sa intr-o pereche de baze convenabil alese.

b)Precizati si .

Rezolvare:



a)

b) unde

6)Se dau aplicatiile liniare:

a)Sa se afle si

b)Sa se afle

Rezolvare:

a)

Fie

constant

Fie cu proprietatea astfel incat

derivabila pe cu derivata continua

7)Fie aplicatiile

a)Sa se arate ca si sunt liniare ;

b)Sa se determine cate o baza in respectiv

c)Sa se arate ca este aplicatia identica si

Rezolvare:

a)

b)

O baza contine elemente in care fiecare din ele ar avea un singur , celelalte fiind 0 si niciodata acelasi

Exemplu pt :



Pt \ pentru

O baza ar contine elemente distincte. Primele elemente ar fi ca la si ultimile ar forma baza canonica pe diagonala principala si

restul

Exemplu pentru :

c)

Analog

8)Sa se construiasca aplicatiile liniare cu proprietatile:

a)

b)Im

c)

d)

Rezolvare:

a)

b)

c)

d)

9)Sa se arate ca exista o aplicatie liniara -impar astfel ca

Rezolvare:

liniar, -impar astfel incat

Exista o teorema care spune ca

Cum (n impar) imposibil liniara astfel incat

10)Fie unde este un spatiu vectorial finit dimensional.Daca atunci

Rezolvare:

Avem: .

Trebuie demonstrat ca :

.

Inductie:



Presupunem adevarat pentru demonstram pentru

=

11)Fie aplicatia

a)Aratati ca este liniara.

b)Precizati nucleul si imaginea lui .

12)Fie aplicatia liniara

a)Sa se afle si matricea aplicatiei intr-o baza convenabila.

b)Verificati daca are loc egalitatea:

Rezolvare:

Presupunem

a)Pentru gasirea lui rezolvam sistemul:

,etc. Toti determinantii de ordin 3 sunt 0.

necunoscute principale; necunoscute secundare.

Fie

Fie astfel incat

b)Fie baza in si baza in

verific daca sunt liniar independenti:



sunt liniari dependenti

13)a)Sa se scrie matricele operatorului liniar : in raport cu bazele : sa se afle legatura dintre ele.

b)Sa se arate ca este automorfism si sa se afle si

Rezolvare:

a) matricea lui in baza este

b)

matricea lui in baza este

c) automorfism bijectie

Fie

injectiv

Fie

astfel incat cum arbitrar surjectie bijectie automorfism

inversa lui

14)Fie un spatiu vectorial peste corpul si operatorul liniar cu proprietatea (proiector).

a)Sa se arate ca

b)Aratati ca alicatia este un proiector.

Rezolvare:

a)trebuie de fapt sa demonstram ca

Fie din astfel incat

din

15)a)Construiti o matrice astfel ca



b)Daca este un operator liniar cu prorietatea atunci este un proiector.

Rezolvare:

a)Fie

Daca in ecuatia 2 Luam

b)

(1)

proiector.

9) Este operatorul unde liniar?

Fie Avem:

este operator liniar deoarece

10) Este urmatorul operator liniar?



unde

Cum rezulta ca nu este operator liniar.

11) Fie operatorii liniari:

a) sa se calculeze operatorul

b) daca sunt matricile lui corespunzatoare bazelor canonice, ce legatura exista intre si ?

Rez:

din

din

din

Fie operatorii liniari:

,

U(x)=

si V(x)= .



Sa se calculeze operatorul V U si sa se stabileasca legatura dintre matricile lui V U, A si B (se considera bazele canonice).

Rezolvare:

= = .

Fie D matricea operatorului V V: Din .

Pe de alta parte avem:

4.7 Fie operatorul liniar:

a) Sa se calculeze .

b) Ce legatura exista intre matricile lui si ? (se considera bazele canonice in ).

Rezolvare: Pentru ca sa existe, trebuie sa aratam ca nucleul lui este format doar din vectorul nul.

Nucleul lui U se noteaza cu si prin definitie este:

.

Vom calcula rezolvand sistemul:

.

Cum determinantul sistemului , rezulta ca sistemul omogen are doar solutia banala , ceea ce inseamna ca = {0},

deci exista . Din U(x) = y, unde y= rezulta sistemul:

care are solutia:

Rezulta ca : = .



Daca A si B sunt matricile lui U si respectiv corespunzatoare bazelor unitare din , avem: A= , B= = .

Operatorul U : are matricea A corespunzatoare bazelor unitare, unde A= . Sa se calculeze U(v), unde v= .

Rezolvare:

Din U(x) = U(x)= = .

Rezulta ca U(v) = U = = .

4.9 Sa se determine spectrul si vectorii proprii ai operatorului liniar U : , U(x)= , x .

Rezolvare:

Prin spectru al operatorului intelegem multimea vectorilor proprii ai operatorului. Valorile proprii sunt radacinile ecuatiei: unde A este matricea

operatorului , iar I matricea unitate. Avem: A =

Vectorii proprii se regasesc rezolvand ecuatia U(x) = x, x fiind vector propriu.

Cazul-I:

Daca , vectorii proprii sunt

Cazul-II: .

Daca notam , vectorii proprii sunt dati de multimea vectorilor { , a,b }.

4.10 Fie U : ,U(x) = , x .

a. Aflati valorile proprii si vectorii proprii.

b. Exista vreo baza in in care matricea operatorului U sa fie diagonala ?



a. Gasim valorile proprii ale operatorului, rezolvand ecuatia caracteristica

= 0.

Deoarece A =

trebuie sa rezolvam ecuatia

= 0,

adica (1- ) ( - -3) = 0, de unde rezulta

, care reprezinta valorile proprii ale lui U.

= 1 U(x)=x , deci vectorii proprii sunt { , }.

. Din U(x) = , rezulta ca trebuie rezolvat sistemul:

. Daca notam , gasim solutia: adica: . Deci multimea vectorilor proprii este {

, }.

Lucrand la fel ca in cazul - II, gasim:

, unde: .

Rezulta: si multimea vectorilor proprii: { , }.

b. Deoarece U are trei valori proprii distincte , rezulta ca vectorii proprii sunt liniar independenti si formeaza baza in . Aceasta

este baza in care U se exprima printr-o matrice diagonala. Rezulta ca pentru vectorii: , , care formeaza in baza ,

matricea diagonala a lui U este: .

Fie U : un operator liniar care are matricea A = . Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii ai operatorului U.



ecuatia caracteristica este: = 0, adica: = 0 = 0. Valorile proprii sunt: , = 1.

Din U(x) = x rezulta U(x) = , adica: U(x) = .

Pentru = 0 avem U(x) = 0, adica: care are solutiile: . Vectorii proprii sunt: { ,

}.

= 1 avem U(x) = x, adica: , care are solutiile: . Vectorii proprii sunt



Date post:	30-Dec-2014
Category:	Documents
Upload:	ramona-alexandru
View:	71 times
Download:	0 times

07._Operatori_liniari_2

Documents